問題文一行の難問を出し合うスレ

シンプルかつ難しい数学の問題を出していってください
ジャンルは何でもok

まずは有名な問題からだけど
「1は合同数でないことを証明せよ」

球に内接する4面体で体積が最大のものは正4面体であることを示せ．

任意の自然数nについて、n^2＜p＜(n+1)^2を満たす素数pは存在するか

3以上のnに対し、非負整数x,y,zがx^n+y^n=z^nを満たせば、xyz=0であることを証明せよ。

(2012)^2013と(2013)^2012の大小を比較せよ。

>>6
y=log(x)/xとおくと、
y'=(1-log(x))/x^2
x＞eのとき、yは単調に減少する。
∴ log(2012)/2012-log(2013)/2013＞0
2013log(2012)＞2012log(2013)
2012^2013＞2013^2012

長さ1の線分を360度回転させるのに必要な領域の最小面積を求めよ

平面による切り口がすべて円であるような有限な立体は球であることを証明せよ。

>>5
3以上のnであり、3以上の”自然数”nではないんだな・・・

3つの自然数x,y,zにおいて、x^n+y^n=z^n(n≧3)を満たすnは存在しない事を証明せよ。

>>11
nは3以上以外は特に指定ないの？

n=3.45787... のとき、
6^n+7^n=8^n

存在するけど？
知ったかぶりするなよ

>>

これはひどい>>11

>>8
下限は0だが最小は存在しない

>>12
そういうのは余計なことを言わずに反例をひとつ上げるだけでよい

>>12

n=3.45786657570368669500425･･･

見つけた

x^n+y^m=z^l　(x,y,z)=1　1/n+1/m+1/l < 1 の3つを満たすx,y,z,n,m,l∈Nの組合せは有限個しか無い事を示せ

難問じゃないけど

Σ[k=1,n]k*a_k=0 と ∀k∈{1,...,n} a_k∈{1,-1} を満たす (a_k) が存在するような n の必要十分条件を求めよ

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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>>20
n≡1,2 mod4ならΣkak≡1 mod2だからΣkak≠0
n≡3,0 mod4なら(1+2-3)+(4-5-6+7)+(8-9-10+11)+〜
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+〜を考えればakは存在する

挙げてばかりで誰が解くの？
とりあえず高校の超有名問題
「√２が無理数であることを証明せよ」

a,bを互いに素な整数とするときaX+bY(X,Yは0以上の整数)で表せない自然数の個数

忍法帳

>>24は√2=x/y x,y∈Z x,yは素と仮定すれば 2y^2=x^2 → xは偶数 → yは偶数となり仮定に反するから
√2は無理数になる

じゃあもう少し難しくした問題
互いに異なる素数p,q,rに対して {1,√p,√q,√r,√(pq),√(qr),√(rp),√(pqr)} はQ上独立か？

意味不明

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>>19
ABC予想より導ける

>>19 みたいなものを、わざわざタイプまでして投稿する意味が分からない
何故何どうして？教えて偉い人

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>>27
一次独立にはなるが証明は極めて非自明

x^2−2mx＋n＝0 が 1≦α＜2 なる解を持つ条件は？

4n+3の形の素数は無限個あることを証明せよ。

素数は無限個あることを証明せよ。

(素数の積)＋1 は素数ですか？

3*3 + 1 = 10

3n+2の形の素数は無限個あることを証明せよ。

円周率は有理数か

43より小さくて、43と互いに素な自然数の個数は？

eは有理数か？

49より小さくて、49と互いに素な自然数の個数は？

ハウスドルフ次元が0であり連続体濃度を持つような、数直線上の点の集合は存在するか？

素数のみを項の値に持つ30項の等差数列がつくれることを示せ。

>>46
条件が足らないのでは？　公差0なら幾らでもできる
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2

60より小さくて、60と互いに素な自然数の個数は？

>>46
それ院試ででたわ

>>45
存在する。きちんとした証明はやや長いが、
問題自身は易しい。

>>48
互いに素てどうゆう意味なの

3 →　3,　　6 →　4,　　8 → 2, 　 10 →　?

私立小学校入試問題

私立に入るためには幼稚園から漢字をやらなあかんのか

>>45の問題だけど
n∈N に対してI_nを2^n個の区間の和集合として
I_0⊃I_1⊃I_2⊃... かつ |I_n|=(2/3)^n となるとき∩I_nは次元log2/log3のカントール集合だけど
|I_n|=1/(n+1)! となるようにI_nを作れば∩I_nが次元0である事の証明はそんなに長くならないんじゃないのか

1〜100までの整数のうち合成数が続く最長区間はどこからどこまで？

e+πは有理数か？

30! は最後に0がいくつ並ぶか？

約数のうちの５の数ぶん

>>56

無理数

>25
地味に難かったがなんとか解けた、(a-1)(b-1)/2個

>>59
証明は？

>>56
本当は超越数って書きたかったんだろうけど

>>62
証明は？

2003^2003 を7で割ったときの余りは？

10年遅い

2^α+3^α=1を満たす実数αが唯一つ存在して、それが無理数であることを示せ。

余りは4

あっ

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「 a＞0 b＞0 」は，「 a＋b＞0 ab＞0 」であるための何条件か？

必要十分条件

十分条件だろ

金くれるの？

>>72
なぜ？

>>74
72ではないが 
a=1+i , b=1-i のとき 
a+b>0 かつ ab>0 だが
a>0 でも b>0 でもない

「a＋b ,ab は整数」は，「a，b は整数」であるための何条件か？

>>70>>74
不等式が出て来るからには、a, b が実数と云う前提があるだろう。

1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,･･･のとき、最初の10は第何項か？　第100項目の数は？

無理数の個数は有理数の個数より多いことを証明せよ。


知ってる人は対角線論法で一発だが・・・

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>>77
あなたがそういう前提が暗黙のうちにあることが唯一正しい解釈であり
それ以外は間違っているというのなら、それでも構わない。 

>>76
必要条件。

>>79
対角線論法ではない証明をぜひ

>>83
有理数が可算個であることは容易に示せる。
一方、0以上1未満の実数に限ってもそれが可算個では表せない事は、
その実数xの小数点以下を2進法で表記すると
x=0.b1b2b3b4・・・・・
と表すことが出来る。一方、小数点以下は可算桁であるから、
実数の個数は2^X0個（但しX0はｱﾚﾌ・ｾﾞﾛのつもり）となる。
X0=2^X0と仮定すると、
・・・orz

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「a＝b」は，「ac＝bc」であるための何条件か？

必要十分だろw

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>>86
十分条件

まじか

ちびまる子条件

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキどもがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

命題「素数全体の100％は奇数である」は真か偽か

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（ 　　( 　・ω・）　ブヒブヒ
　 しー し─Ｊ

>>93
真じゃないの？
素数の無限性と実数の連続性を使って

３号機の爆発が赤茶けた煙だったのは海水で錆びた炉内の錆が吹き出していた。
当然ニュークジュースも。

すべての素数を小数点にもつ超越数をあげなさい

漸化式を楽に解く方法は

100 通りある。

うむ

>>93
偽
反例：２

じゃあ何パーセントなんだ

>>93は難問というよりひっかけだな

この馬鹿板の住人は100パーセントが馬鹿。そやし全員を焼却処分にしたる。

描

limit[n→∞]((n-1)/n) を計算せよ

1
なんだそりゃ

つまり素数の１００％が奇数

素数pがある整数m,nによってp=m^2+mn+n^2と表されるための必要十分条件は、p≡0,1(mod 3)であることを示せ。

2^p=2(mod p) を示せ(５分以内)

反例 2^2 ≡ ０(mod2)

反例じゃないだろ

>>64
2かな?

>>64
間違えた
１だ

4人でじゃんけんをして,決着が付く回数の期待値を求めよ

決着とは何だ？一人だけ勝ち残る事か？

あいこも1回と数えるとして1人の優勝者を決めるって話なら確かに難問だ

勝ち負けが決まる。 という意味でいいのなら
グーチョキパーの何れか１種のときと３種の時があいこ
２種の時が決着

すいませんルールが曖昧でした
・負けた人は次の回から参加できない
・あいこも1回としてカウントする
・ちょうど1人の勝者が決まるまでじゃんけんをし続ける

ということです
でもこれだと一行におさまらない・・・

Vipper~~

4人で負けた奴は抜けるじゃんけんをした時、1人残るまで掛かる回数（あいこ含む）の期待値は？

1行で収まった

期待値は離散グラフ(頂点は残り人数に対応)上のマルコフ過程として解きゃいい

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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x^2−2mx＋n＝0 が 1＜α≦2 なる解を持つ条件は？

知るかバカ

>>98
たしか、「コープランド-エルデシュ定数」だったような

>>126
間違えた

Σ1/nを求めよ

Σ[n∈N | ∃m(m≡0 mod n かつmの10進法での各桁の和がn)]1/n が発散する事を証明せよ

>>9
切り口で直径が最大のものを選び、直径をABとする。
A,Bを通る任意の平面で切断しても直径を共有しているため、その切り口の円は最大のものと等しい。
よってこの立体は円を回転させたものとみなせるので球である。
>>35
1-2m+n=0∨(1-2m+n)(4-4m+n)<0∨(m^2-n=0∧1<m<2)
>>36
4n+3の形の素数が有限個であると仮定し、それら全ての積をQとし、M=4Q-1とする。
Mは4n+3の形をしているので、Mの素因数の中には、少なくとも1つは4n+3の形をした素数がなければならない。
すなわち、M-4Q=-1が4n+3の形の素数のいずれかで割り切れることになり矛盾する。よって4n+3の形の素数は無限個ある。
>>37
>>36より素数は無限個ある。
>>40
>>36とほぼ同じ
>>42
43は素数なのでφ(43)=43-1=42
>>44
φ(49)=7^2-7=42
>>48
φ(60)=60(1/2)(2/3)(4/5)=16
>>55
90〜96
>>56
未解決問題
>>78
第k群の末項が数列全体の全体k(k+1)/2項目になることを考えると、最初の10は第55項目、第100項目は9
>>110
二項定理より(1+1)^p≡1^p+1^p(mod p)よって2^p≡2(mod p)
>>124
>>35とほぼ同じ
>>128
�納n=1,∞]1/nってことなら∞

>>130
＞ 切り口で直径が最大のものを選び
選べるのか？

>>130
＞ Mは4n+3の形をしているので、Mの素因数の中には、少なくとも1つは4n+3の形をした素数がなければならない。 
なんで？

>>129
2,5を除く全ての素数pに対して、10進法での各桁の和がpであるようなpの倍数mが存在することを示す。
以下、≡はpを法としているとする。
フェルマーの小定理より、10^(p-1)≡1
α=10^(p-1)とおくと、
α≡α^2≡…≡α^(p-1)≡1
よって、m=1+α+α^2+…+α^(p-1)とおけば、
m≡1+1+…+1(p個)≡0で、mの10進法での各桁の和はp。

全ての素数の逆数和が発散することから、問題の和も発散する。□

p=2,5の場合それぞれm=2,5で成り立つから除かなくても良かったんだけど、冗長になるので。

>>131
有限の立体で任意の平面による切り口が円なんだから、その中に直径が最大となる切り口が存在すると思ったけど
考えてみると単調増加で直径がある値に漸近していくような切り方の列がとれるなんてこともあり得るのかな？分からん。

>>132
素因数が4n+1の形をしたものばかりであれば、その積も4n+1の形になるから。

>>129を考えてて見つけた事を問題にしてみる。難問って程でも無いけど。

nを自然数とする。1を3^n個並べてできる3^n桁の自然数は、3^nの倍数であることを示せ。

>>135
�納k=1,3^n]10^(k-1)=A(n)とおき、3^n|A(n)を示す。
A(1)=111=3*37よりn=1のとき成立。
3^k|A(k)のとき、A(k+1)=A(k)*(10^(3^(2n))+10^(3^n)+1)
A(k)は3^kで割り切れ、10^(3^(2n))+10^(3^n)+1は各位の和が3なので3で割り切れるので、3^(k+1)|A(k+1)
数学的帰納法より任意の自然数nについて成立。

>>136
うむ。自分で考えた証明と全く同じだ。
A(k+1)=A(k)*(ホニャララ)
の部分が微妙に違う気がするが

これにより、3の累乗は全て>>129のΣの下の条件を満たすので、和は
(1/3)+(1/9)+(1/27)+…=3/2以上であることが分かる。
結局使わなかったけど。

解いてくれた>>133に感謝しつつもう一つ問題を

長さ80byte程度のまま129の問題でmに「各桁が0でない」という条件を加える事は可能か？

？？＞長さ80byte程度のまま

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全角４０文字程度、半角文字は２文字で１文字と数える
というくらいの意味では？

「Sの元は全て素数」「a,b∈S→ab+4∈S」の両方を満たす集合は空集合のみな事を示せ

数学への登竜門。
彼を差し置いて数学を語るべからず。
あなたの数学レベルを測るなら、先ずは彼へのアプローチが必要です。

おまいら今日は幾ら負けたんだ？【234万負け】
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/pachi/1356270091/

【人物像】
通称:ゴルフ男爵
年収500万円程度の雇われリーマンを嘲笑い、左団扇で悠々自適に暮らす。
日本のドナルド･ジョン･トランプに成り得る資質を持つ、頭脳明晰にして博学として知られる。
数学にも滅法強く、"この世に解けない問題など無い"という。
数字や数学を愚弄する事を嫌い、難解な数学をこよなく愛する。

リーダーシップがあり、懇切丁寧な語り口と経験則から語る分かり易い説明も魅力のひとつ。

ゴルフ男爵が解けない問題など存在しない。
清流をせせらぐ様な、透明で一点の濁りもない回答を堪能して下さい。

狢

>・高知大学で２００７年８月３日(金)に行われた増田氏のセミナー
>（この講演を終えた後、８月４日ＪＲ車内で痴漢行為を行い逮捕される）
>
>日時：2007年8月3日(金) 15:00-16:00 (tea:14:45-15:00) （予定）
>場所：理学部2号館6階数学大セミナー室
>講演者：増田哲也氏 (筑波大学数理物質科学研究科数学専攻)
>タイトル： 量子群が通常のリー群と違う点
>http://www.math.kochi-u.ac.jp/2007sem.html
>
>Date: Friday, August 3, 2007
>Time: 15:00-16:00 (tea:14:45-15:00)
>Place: Room 614, Faculty of Science Building No.2
>Speaker: Tetsuya Masuda (Institute of Mathematics, University of Tsukuba)
>Title : On some departure from classical Lie group to quantum group.
>http://www.math.kochi-u.ac.jp/2007sem-e.html
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>>142
a∈S, a[0]=a, a[n+1]=a^2+4 とすると ∀n∈N a[n]∈S になるが a が幾つでも
a[n] が何れ 13 の倍数になるので S の元は全て素数という条件は満たされない

3≦a≦9999を満たす奇数aについて、a^2-aが10000で割り切れるものを全て求めよ

nを自然数とすると
a = 2n+1
a^2-a = 2n(2n+1)

a^2-aを10000で割った時の商をmとすると
2n(2n+1) = 10000m =(2^4)*(5^4)m

〜〜〜こっからは上手い書き方がわからない〜〜〜〜
2nは2^4を因数に持つ偶数になり、2n+1は5^4を因数に持つ奇数になる。共に10000以下
→「2^4の倍数＋1」になる「5^4の奇数倍」を探す
→「625の奇数倍−1」を16で割りきれるか確かめる。割り切れたのなら、「その時の奇数」×「商」がm
625*1-1 = 624 = 16*39 → m = 1*39
625*3-1 = 1874 → ×割りきれない
625*5-1 = 3124 → ×割りきれない
625*7-1 = 4374 → ×割りきれない
625*9-1 = 5624 → ×割りきれない
625*11-1 = 6874 → ×割りきれない
625*13-1 = 8124 → ×割りきれない
625*15-1 = 9374 → ×割りきれない

2n = 624
2n+1 = 625
m = 1*39だけ。

a = 625の一通り


どういう風に説明して良いのか全然わからない
勉強法教えて欲しい。いつも答え合ってても×とか△貰うんだ

&bull;

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>>148
東大合格おめでとう

体積1の円錐の表面積の最小値を求めよ

(x-a) (x-b) (x-c) (x-d) … (x-z) を展開した時の x^3 の係数を求めよ

0

>>155
正解

・

&bull;

.

a^b＝c を満たす無理数a,bと有理数cが存在することを示せ

sin1ﾟ　は有理数か

f(x)=x^2　（x≧0）、g(x)=x　（x<0）と定義するとき、f(x)とg(x)はx=0で連続であることを『ε-δ論法を用いて』証明せよ

生徒40人のクラスで、生徒全員が誕生日が違う確率は1/2以上か。ただし閏年産まれの生徒はいないものとする。

２０％くらいじゃないの？

>>163
人力で計算しきれんだろ

え？

次の（　　）に当てはまる言葉を入れなさい。　　実数より今日数が好き。なぜなら虚数には（　　）があるから。

訂正です

×　実数より今日数
○　実数より虚数

>>160
(√2)^(√2)のやつが有名だけど、もっと単純に
a=√2,b=2log[2](3),c=3
とかでもいいじゃないかと思う。
log[2](3)の無理数性は以下の通り：

log[2](3)=p/q　(p,qは自然数)
とする。変形して
2^p=3^q
p,qは1以上だから、両辺の素因数を比較して矛盾。

これならそう難しくはない。

閉曲線図形の(面積/周長)の最大値を求めよ

一辺aの正方形を考えればa^2/4a=a/4だからa→∞で発散するよね
最大値ないよね

面積/(周長)^2 のつもりだったのかな

問題文が京大のパクリのようなもんですが

tanα=1/3を満たすα（0<α<π/2）は超越数か。

オイラーの等式を証明せよ

　２０代と３０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

僕は２問除いて全部解けたよ。真似されるから答えは言わない。

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>>176
その2問は何？

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Z^2上を酔歩する鼠が2000歩動く度にZ^2の点を1つ潰す。有限歩数で鼠が潰れた点を通る様に出来る？

しまった
今日はエイプリルフールだ

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>180
「1歩ごと」だったら self-avoiding walk なんだけど 2000 だとどうなんだろう。

>>134
平面を平行移動させて考えれば、不連続なら垂直面で切れば円にならない
連続だから最大値がある
その直径まわりに回転させて大きくなるようなら、そっちに平行移動させれば大きくなるから最大値でなかったことになる
直径を共有してるから小さくなることはできない
同じ円のまま回転するから球

横が縦の5倍の長さの長方形を折るだけで正五角形は作れるか。

結び目を作ればよい

n<mを満たすn,mについて自由群F_nとF_mが同型で無い事を証明せよ

n<mを満たすn,m∈Nについて自由群F_nとF_mが同型で無い事を証明せよ

に訂正

アーベル化のrankを考えれば自明

あぼーん

n<m(n,m∈N)に対しF_nとF_mから生成されるフォン・ノイマン環が同型で無い事を証明せよ

コラッツをといて