高校生のための数学の質問スレPART339

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886132人目の素数さん
887132人目の素数さん:2012/09/01(土) 14:59:53.90
>>886の問題でどっちが正しいのか教えてください

【1】
原点を通る直線をy=kxと置くと
x=√2/3との交点の座標は(√2/3,k*√2/3)
x^2+(y-1)^2=1との交点は
x^2+(kx-1)^2=1
(k^2+1)x^2-2kx+1=1
x{(k^2+1)x-2k}=0
だから
(2k/(k^2+1),2k^2/(k^2+1))
になる。よって線の長さlは
l=[{2k/(k^2+1)-√2/3}^2+k^2*{2k/(k^2+1)-√2/3}^2]^0.5
=[(k^2+1){2k/(k^2+1)-√2/3}^2]^0.5
=(k^2+1)^0.5 * {2k/(k^2+1)-√2/3}
=2k(k^2+1)^-0.5 - √2/3*(k^2+1)^0.5 @

これの最大値を求めればいいから
dl/dkを求めるんだけど、積の微分とか駆使してとけばいい
めんどくさいから省略、最終的に
dl/dk=-√2/3*(k-√2)(k^2+√2k+3)(k^2+1)^(-1.5)
になる。与えられた範囲内で極大になるのはk=√2だけだから
このときのlが最大で@に代入すると
l=2√2/√3-√2/3*√3=√2/√3=√6/3
tanθ=k=√2だから
cosθ=√3/3
888132人目の素数さん:2012/09/01(土) 15:00:49.30
ちなみにk=tanθを
l=(k^2+1)^0.5 * {2k/(k^2+1)-√2/3}の段階で適用すると
l=(1/cosθ)*{2sinθcosθ-√2/3}
=2sinθ-√2/3*(cosθ)^-1
に置き換えられる。これを微分して
dl/dθ=2cosθ-√2/3*sinθ(cosθ)^-2
={2(cosθ)^3-(√2/3)sinθ}/(cosθ)^2
だから
2(cosθ)^3-(√2/3)sinθ=0
2(cosθ)^3=(√2/3)sinθ
sinθ/(cosθ)^3=3√2
tanθ/(cosθ)^2=3√2
tanθ{1+(tanθ)^2}=3√2
(tanθ)^3+tanθ-3√2=0
(tanθ-√2){(tanθ)^2+√2(tanθ)+3}=0

(tanθ)^2+√2(tanθ)+3=0の判別式Dは
D=2-4*3=-10<0で解を持たないので
tanθ=√2が唯一の極値になる
tanθ=√2が極大値で問題で与えられた区間に存在するから
ことのきが最大であり、cosθ=√3/3となる
889132人目の素数さん:2012/09/01(土) 15:01:40.72
【2】
正弦定理より余弦定理が導けることから

 θ(0<θ<π/2)から、 x=cosθ
 2π/3−θ なので、正弦定理より、

  l/sinθ=x/sin(2π/3−θ)から 
  l=sinθcosθ/sin(2π/3−θ)

  上記から加法定理より、
  l=sinθcosθ/{(√3/2)cosθ+(1/2)sinθ}
   =2sinθcosθ/(sinθ+√3cosθ)

 0<θ<π/2であるから
  sinθ=√(1−x2)
  l=2x√(1−x2)/{√(1−x2)+√3x}
  l=2sinθcosθ/(sinθ+√3cosθ) より、
   L=1/l=(√3/sinθ+1/cosθ)/2 として、
   dL/dθ=(−√3cosθ/sin2θ+sinθ/cos2θ)/2
        =(sin3θ−√3cos3θ)/(2sain2θcos2θ)

   dL/dθ=0 から sin3θ−√3cos3θ=0 より、 tan3θ=√3 となりθは
  1個存在し、その値をαとすると、l は、θ=αで極大かつ最大となる。
   したがって、x=cosθ=1/√{1+3^(1/3)}

             よって解は 最大値l= √6/3 、cosθ=1/√3

以上です。どっちが答案として良いのか正解してるのかを教えてください。
890132人目の素数さん:2012/09/01(土) 15:25:01.06
【1】はあってるんじゃない?
【2】ははじめっから日本語理解出来んくて読む気失せた
2π/3がどっから湧いてきたかもわからんし
答えがあってるから俺がアホなだけかもしれんがとりあえず答案としては【1】かな