数学の問題の解説してー

よろしくです

f=x^2+y^2+z^2
g=2ax+2by+2cz+2d=0
(a^2+b^2+c^2≠0)

φ=f-λgとおくと

φx=2x-2λa=0
φy=2y-2λb=0
φz=2z-2λc=0

(x,y,z)=λ(a,b,c)

λ=-d/(a^2+b^2+c^2)

c≠0とする
陰関数定理より、(x,y,z)=λ(a,b,c)
の近傍でz=z(x,y)と解け

zx=-a/c
zy=-b/c

fxx=2+2(a/c)^2>0
fxy=2ab/c^2
fyy=2+2(b/c)^2

fxx･fyy-fxy^2
=4+4(a/c)^2+4(b/c)^2>0

よってfは
(x,y,z)=λ(a,b,c)
で極小値を取る

xlogx
=logx/(1/x)

x→0のとき-∞/∞だから
ロピタルの定理より

lim[x→0]xlogx
=lim[x→0](1/x)/(-1/x^2)
=lim[x→0]-x=0

∫dx/√(1+x^2)

t=x+√(1+x^2)とおくと

dt/dx=1+x/√(1+x^2)
=t/(t-x)

∫dx/√(1+x^2)
=∫1/(t-x)･dx/dt･dt
=∫dt/t
=logt+C
=log(x+√(1+x^2))+C