【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】5

桜の季節が来たので復活

解析
高木、小平、杉浦、溝畑、笠原、加藤十吉、藤原松三郎、
田島、松坂、ハイラー＆ワナー、ラング、スピヴァク
小林昭七、一松、黒田、斎藤正彦、宮島、 金子晃、
難波誠、藤田宏、ルディンetc..

線型
佐武、斎藤正彦、齋藤毅、松坂、笠原、 永田雅宣、
長谷川、川久保、新井、ストラング、平岡、ラングetc...

シリーズ
理工系の、キーポイント、スミルノフ、石村園子、マセマ
ゼロから、なっとく、なるほど、30講他

過去スレ
【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】4
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1301782973/
【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1260206599/
【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1236240837/
【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1205577088/

関連スレ
数学の本 第45巻
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328927255/

深めていく

麦茶って本当に「自殺」したみたいだね

昨年だったみたいだ・・・



291 : 病弱名無しさん : 2011/09/01(木) 02:24:35.47 ID:ZJv2GXl10 [5/14回発言]

麦茶さん

mixiの最終ログイン３日以上前

twitterの最終ツイート６日前

そして、連絡が一切取れない

本気で心配です。

これを見ていたら、誰かに連絡を取ってください。

お願いします。

馬鹿話は無駄。

猫

sabe

sage

多変数の微積分の本で、杉浦�U、溝畑�U以外にお勧めある？

スピヴァック『多変数の解析学』

微分形式を使ってスッキリ解決

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[KBGE/SC]

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解析は小林昭七さんの「微積分読本」シリーズが良さげ。
但し、杉浦さんの解析入門が一番好き。

線形は佐武さんの一択。
マサヒコさんのは読んでて面白くなかった。
松坂さんのは知らないから分かんない。


・・・微積と同時に一般的な位相論も教えるべきだと思うのは私だけか？

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>>16
杉浦は面白いか？

>>18
それは個人の勝手だが(私には面白かった)
少なくとも微積分学を何も知らない学生が寝言でε-δ法が言える様になるくらいの訓練にはなる。

>>16
佐武のどこがいい？

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>>20
研究課題とかが結構ぶっ飛んでるのを除けば斎藤さんのより面白いし、読みやすい。

>>23
明らかに斎藤のほうが読みやすいだろ。
佐武の証明は無駄に分かりにくい。
簡単な証明があるのに。

佐武の証明は力技が多いね

高木、溝畑、小平は有理数から実数を構成しているが、杉浦だけは公理的に展開している

>>25
そう。力技だから応用が効かないしすぐ忘れる。
あれ？これどうやって証明したっけ？

いや応用が効くかどうかは読む人次第だ

ジョルダン標準形のところなんかは特に力技っぽいね＞佐武
スペクトル分解の解説が簡潔すぎるのも気になる

佐竹のいい点は、線型群とテンソルが書いてあること？

>>28
証明方法の応用が効かないという意味だ。
文脈からわかるだろ。

>>30
それ別に線型代数の本でやらなくてもいいと思うけどね…

>>30
中途半端に書くくらいなら基礎的な説明や
演習にページを使ったほうがいい。

佐武が2chで何故人気あるのか謎

佐武は初学者向けに数ベクトル空間から論を展開しているが、さらに基礎的な説明が要るのか？

>>31
応用の効く証明とやらを具体的に例を挙げてに教えてください
それが載ってる線型代数の本も

>>35
それ最初だけだから。
上でも書いてるが後半は簡潔すぎ。

佐武はレイアウトがみにくい

特に4章

>>36
例えば斎藤のジョルダン標準型の証明

そのくせ、演習問題は簡単すぎるものが多い

そもそも行列式を天下りに定義するのは如何なものか？
>>佐武

高木の代数学講義だって行列式を天下りに定義してない

2chはアホが多いから良書の判断が出来ないw

斎藤のジョルダンの標準形の証明を、線型代数演習のものと差し替えるか
佐武に連立一次方程式の解法（掃き出し法）を加えるか

>>44
斎藤のジョルダン標準型の証明はそのままでいい。

>>44
佐武に掃き出し方を加えるべきなのは当然だが
それだけしてもだめ。

なんでこのスレは春になると決まって佐武アンチが沸くの？

>>47
春になると佐武マンセーが涌くから

>>47
・新入生が知ったかでレビューしている
・いくつになっても線型代数ばかりやってる奴がいる

線型代数も結構深いぞ

佐武の4章は、初学者には難しいというより、不親切
例1、例2で任意の行列のJordan標準形が一意的に定まることを説明しているが
どう見たって、例じゃなくて本論だろこれｗ

>>29
最近のゆとり向けの本だと、ジョルダン標準形のところは
手抜きして嘘を書いてることがあるので、ああいう本も必要ですよ。

ゆとりにおもねると数学もおわこんになるぞ

高校から微分方程式が消えた頃から、数学の衰退が
はじまってるような。平成元年告示の学習指導要領で
1978年度生まれ（2012年度に34歳になる）あたりから。

大学でも、ゆとりに迎合した割に、大学院の定員も増えて
崩れが常態化してきた。

>>52
ゆとり向けの手抜き本と比べて必要と言っても
意味ないだろ。佐武より良書がいろいろあるんだから。

>>54
なんで定員ふやしたのかね、行き先は限られているのに

文部省の方針に逆らうとお金もらえなくなるから

>>55
そういう人て、実は佐武より良書は知らない件

>>58
だから佐武は良書じゃない。
斎藤とかラングとか良書はいろいろある。

>>56
行き先は、樹海とかいろいろあるじゃないか

おいらはHalmosの線型代数が一番好き
かなり古い本だけど

Peter Laxでいいよ

>>59
ラングでジョルダン標準形勉強しても、普通の学生は
計算もできないよ。ラング先生の本は、切り口は
面白いところはあっても、全体に荒っぽい。

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああああ！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！

佐武でも計算できるようにはならないよｗ

いや、佐武は任意の行列Aが、対角化可能行列Sと冪零行列Nの和に一意的に表せて
N〜diag[N[1],N[2],…,N[r]] （〜：相似ということ）
ただし、N[i]=A-λ[i]E （λ[i]：Aの固有値、E：単位行列）
で、各N[i]は対角成分の肩に1を並べただけの行列に相似なことを説明しているから
しっかり証明を理解すれば直接計算できるようになる

>>66はおかしいが面倒臭いので修正しない

掃き出し法が載ってない佐武で計算出来るようになると
言われても信用出来ない。

ジョルダン標準形のところは、佐武を読めば計算が出来る形に
書いてある。

読んでもいない奴が良書だ、そうでない、と言うのが、このスレｗ

分かりやすく詰め込むというので
やはり長谷川のが一番いいと思う

線型代数レベルの教科書を知ったかぶりでレビューするという発想自体がなかったわ
万年線型代数勉強中の君と違って、該当箇所を読めば何が書いてあるかは判断できるわけで

>>69
具体的な計算と証明は分けて考えろよ。
計算出来る証明がいいとは限らない。

だから「いい証明」とは何かをしっかり定義しろって
それでも数学やってんのかよお前

>>71
教える立場になればわかる。

>>73
明快な証明

>>73
計算的より概念的な証明

>>73
複雑より単純な証明

>>73
力技より素直な証明

証明はたくさんあった方が良い

>>70
あれは良く書けてるね、2000年代に書かれた線型代数の
本では最高の本じゃないかな、まあ他の本を丁寧に見た
ことはないがｗ

行列式のまともな計算法が載ってない佐武で計算出来るもないだろ

「行列式のまともな計算法」とは何かが分からないが
行列式の行や列に関する展開と、計算例は載っているのだが

読まずに佐武叩いてるアホが一人いるな・・・

>>82
それで行列式を計算するのはアホ

足助先生の本は
京大と東大の授業が合わさっているらしい
結構内容豊富だ

>>83
誰のことかはっきり書けよ
その度胸がないなら黙ってろ

>>85
ああ、足助氏は広島大助手→京大助教授→東大准教授だったな

85は線形代数ね

>>86
お前のことだよｗ
馬鹿って自覚はあるようだなｗｗｗ

>>88
行列を習ってない学生を対象にしてるから、
高校新課程をにらんでいるんだろうな。

3年後になるが、新しい定番になるかもしれない。

>>71
＞線型代数レベルの教科書を知ったかぶりでレビューするという発想自体がなかったわ

読まずに批判できるようになって、ようやく一人前の２ちゃんねらｗ

>>89
小学生かよw
あんたがそう判断したレス番を書けって意味だ。

佐武を読まずに批判って何を根拠に言ってる？
今のところ全部当たってるだろ。

おやおや、よくある後出しじゃんけんですな。幼稚園児はやることが違うｗ



86 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/26(木) 20:46:57.99
>>83
誰のことかはっきり書けよ
その度胸がないなら黙ってろ

　　↓

92 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/26(木) 20:57:07.48
>>89
小学生かよw
あんたがそう判断したレス番を書けって意味だ。

どこをどう読んだらそうなるのか

>>93
佐武を読めば、ジョルダン標準形は計算できる。
お前の書いたレス番なんて知らんわｗ

行列式の計算もできる
掃き出し法は載っていない

それだけ

掃き出し法が載っていないのに、この時代の人はどうやって連立方程式解いてたの？
斎藤正彦も、掃き出し法で解くのが良いというのは工学者から聞いて知ったという風なことを言ってるし

>>90
問題豊富でいいよね

>>96
掃き出し法を知らないでどうやって行列式を
計算する？

行列式の計算に掃き出し法なんか使わないんだが…
掃き出し法を使ったら値が変わってしまうのだが、頭大丈夫か？お前

>>96
あのなあ計算出来るの意味が違う。
実用になるかどうかってこと。
実用にならない計算法は証明の手段として
くらいしか使えない。

たぶんランクの計算とごっちゃになってるんじゃないか

クラーメルの公式を使って連立方程式を解いている

次数が低い場合は、単因子を用いるより（斎藤のやり方）も広義固有空間の直和に分解する方法（佐武のやり方）の方が簡単なんだが、頭大丈夫か？お前

>>101
掃き出し法 行列式 でググれ

掃き出し法で行列式の計算ですかｗｗｗ
行入れ替えたら符合変わっちゃいますが？ｗｗｗｗ

>>105
3次とか4次など次数が低くけりゃどんな方法だろうと大した違いはない
そんなとこで威張るなよ

大した違いはないなら、どちらの本で学んでも大した違いがないんだからいいじゃん
頭大丈夫か？お前

12次正方行列のJordan標準形を求めるのがお仕事なんだよ
察してやれよ・・・

盛り上がってまいりました

>>107
符号変わったらマイナス掛ければいいだけだろ。
頭大丈夫か？

というか、基本変形はちゃんと載ってるんだから、掃出し法（みたいなもの）を使った行列式の計算なんて誰でも思いつくだろ

>>109
計算出来るって威張ったのはお前だろ

>>113
佐武は少なくとも本を書いたとき思い付いてない。

>>113
誰でも思いつくっつーか、行列式の計算は書いてあるんだよ
書いてないのは、連立一次方程式の基本変形による解法だけ
いい加減なこと言う前にまず本読めやアホたれ

>>116
そうだったか
内容うろ覚えだったのでスマン

アホ大学は別として、最近は学部2年の線型代数でテンソル積が扱われるのは普通だから、そのニーズを満たしていなければならない

>>118
アホ大学でも、最近は学部1年の線型代数で掃き出し法が扱われるのは普通だから、そのニーズを満たしていなければならないだろｗ
頭大丈夫かお前

>>118
そのニーズを満たすなら斎藤毅だが、最初にこれで勉強したら佐武で学ぶ以上に計算はできなくなるだろうｗ

抽象論は分かっている人には便利だが、初学者にはその実態が想像しにくく、
論理だけは終えても具体的な対象の操作ができなければ理解もしにくいわけで、
その点、佐武と斎藤正彦の本は数学科の標準的な教科書として優れていると思うよ

純粋数学なら別に具体的計算とかしなくても
理論だけでいける。佐武はそういう考えだろ。
そういう考えもあり得る。
その佐武を持ち上げるのにことかいて
佐武のジョルダン標準形は計算出来るとか
見当はずれも好い加減にしろ。

うむ、よく分からなかったが、
どうやら線形代数は佐武一択らしいな

まーそーいうことで斎藤

別に佐武が計算を度外視して理論だけで作っているわけではない

PCがまだ普及してない頃の教科書だから計算効率とかは考える必要がなかったのだろう

>>121
佐武は具体的計算もあまりよくない
>掃き出し法の無視

Jordan標準形が一意的に定まることの証明に沿って計算すればいいという事実を述べただけで的外れっていうのは意味がわかりませんな

>>127
もうお前は掃き出し法の名人にでもなれよｗ

>>129
掃き出し法は理論上も重要。
SL(n,Z)とかやるとわかる。モジュラー形式とか。

れれれーのれー

線型代数＝掃き出し法とでも思ってるのかってくらいのdisりようだな

掃き出し法知らんと逆行列もとてもじゃないが求められないから重要なのは当たり前
そんなこと改めていうほどのことじゃない

掃き出し法ごときでここまで白熱できる人が羨ましいわ

>>133
その当たり前が分かってないのが佐武マンセー

佐武自身がクラメルの公式を用いて連立方程式を解くことは推奨していない

>>133
当然、佐武も本を書いた当時はその重要性を
認識していなかった。

>>136
で何を推奨してたっけ？

古屋　行列と行列式（培風館）　附録を参照されたい.
同署にはこの他にも種々の興味ある数値計算法が載っている.
（p63脚注）

掃き出し法が載っていない一点でここまで叩かれるって、よっぽど読めなかった奴が多いんだなｗ

万年線型代数どころか、万年掃き出し法のレビュアーしかいないのがこのスレｗ

いや、佐武は次元定理も表現行列も載っていないし、どう見ても現代的じゃないでしょ

>>142
＞次元定理
p104 （�V §4 定理7）

＞表現行列
p120 （�V §7）

まず、本を読んでからものを言おうな

>>140
掃き出し法で盛り上がったのは佐武は計算が出来ると
言い出したアホがいたから。
佐武の欠点はそれだけじゃない。
証明が明快でないという点。
むしろこっちが問題。

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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>>143
何なのお前？
気持ち悪いわ
一生佐武でも読んでろよｗ

>>144
佐武に載ってる方法でJordan標準形の計算ができるのは事実なのだが
あと、明快な証明とやらの定義を求む

彼の頭の中では、明快な証明＝単因子論なんだから、論理での説得では不可能ですｗ

広義固有空間への分解なんて、線型代数学の教科書としては極めて標準的な証明方法であって、とりわけ佐武だけが煩雑というわけではないと思うが
行列式の章は成分計算ゴリ押しが多いが、これはべつに良いとか悪いとかの問題じゃない
強いて問題をあげるとすれば、ケイリーハミルトンの定理の証明が天下り的すぎるくらいか

ケイリーハミルトンの定理の証明は、佐武p148にあるFrobeniusの定理を用いて証明するのが、俺の知っているなかでは最も明快だ

>>150
お前気持ち悪いよ＾＾；
そんなに佐武が好きなら一生佐武だけ読んでろよ＾＾；

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>>151
気持ち悪いのなら、もうここには来なければいいのに

線型代数の教科書で、中途半端に単因子論なんか援用する方が、よほど煩雑な証明になると思うのは俺だけか？

単因子論どころか数学自体中途半端にしかやったことない奴らが私怨を書き連ねてるだけなんだからもう放っとけよｗ

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結論として佐武の本はどうなのですか？

>>157
言うまでもなく良書である

単因子論は線型代数やるなら常識だろ。
ジョルダン標準型イコール単因子論と言っても
いいくらいだ。
ジョルダン標準型は有限アーベル群の構造定理と本質的に同じ。
だから整数成分の行列の単因子論とも本質的に同じ。

整数行列の単因子論をポントリャーギンは行列の
基本変形を使って簡単に証明してるが
この方法はジョルダン標準形の証明にも使える。

単因子論をやれば固有方程式と最小多項式が一致すれば
その空間は一個のベクトルで多項式環の加群として
生成されることが簡単にわかる。
これを使うと有限体上のガロア群の正規基底の証明が
簡単に得られる。

ジョルダン標準型と有限アーベル群の構造定理は本質的に同じということを
理解すれば、固有方程式は有限アーベル群の位数に対応し、
最小多項式はその群の指数に対応することがわかる。
固有値はその群の位数の素因子に対応する。

可換代数の言葉を使うと 線型写像の固有値は加群の随伴素イデアルと
同一視される。

有限アーベル群の位数はその群を零化する。
これはケーリー・ハミルトンの定理に対応する。
だからこの定理の証明を上記の類似を
使って簡単に証明出来る。

そうですか

初等的な証明なんて、素数定理の初等整数論的な証明にこだわるくらい不毛なこと

本質的に同じことをしているのであれば簡潔で明快な証明が求められる
解析学の教科書で、代数学の基本定理をε-δ論法と実数の性質のみを使って示す意味はあまりない
リュービルの定理を使って示すのと本質的にあまり変わらない上に、証明が煩雑になるからだ

>>166
素数定理の初等的証明はセルバーグの有名な結果
彼がフィールズ賞を受賞した理由の一つがこれ。
だからといってこれがほんとに重要なのかわからないが、
あんたが不毛と言い切る理由は？

本当に数学やってるのか？ってくらい非論理的な文章だな
これだけのレスを重ねて未だに
「佐武の欠点は証明が明快でない点」
という主張の論拠が出てこないという不思議

>>168
フィールズ賞を受賞したから何なの？ｗ
解析的により簡明に証明できるのに、わざわざ初等的な証明に拘る意味がないｗ
そして、>>166は当然のことながら教育的な文脈で言っている

何をもって証明が「明快」とみなすのかの説明がなされていない

Jordan標準形の「実用的な計算方法」とは何なのか？
何をもって佐武の教科書の方法を実用的でないとみなすのか
という説明もない

・行列式の計算法が載っていない
・Jordan標準形が計算できない
・佐武のJordan標準形の証明は煩雑（文脈からして、他書とくらべて煩雑ということ）
といった事実誤認に関しては、何の訂正もない

>>170
フィールズ賞を受賞すれば数学の世界では一目も二目もおかれる。
その受賞理由の一つにその初等的証明がある。
仮にそれは何かの間違いとして無視するとしよう。
その証明で開発さてたテクニックが未解決の整数論の問題を
解決するかもしれない。

>>171
明快の定義については>>76、>>77、>>78

>>171
計算出来るからいい証明ってことはない。
証明には計算的と概念的の2種類があって
どちらも長短がある。
しかし現代数学では概念的証明に重きを置いている。
計算的証明はごたごたして不透明なきらいある。
天下りな傾向も多い。

駄目だ
日本語も論理も分かっちゃいない
そんなんでよく数学書のレビューができたもんだ

いいか？もう一回だけいうぞ

まず、「佐武の教科書の証明は明快でない」ことの論拠をあげろ
また何を以て証明が明快であるのかをはっきりさせろ
Jordanの標準形の実用的な計算方法とは何かを示せ
また、何を以て実用的と見なすのかをはっきりさせろ

そして、計算が出来るからいい証明だなんて誰が言ってるんだ？
いい加減、日本語読めるようにしろよ

まず、妄想が激しいんですね

誰が佐武を持ち上げているのか

小学校の国語からやり直したいなさい

ぶっちゃけ、標準形が計算さえできれば、証明なんかどうだっていいｗ

ああ、アホらし

より高等な数学に応用が効くことと、初等科の線型代数の教科書に載せるべきだということは、まったくの別のことであり、ましてや計算さえできれば証明方法などどうでもいい分野にちょっと単因子論を援用してるかどうかで、参考書の評価が分かれるなどということはない

佐武信者必死だなｗ

一生線型代数やってろよ^^;

>>177
それだと数学の各分野への応用が狭くなる。
>>159から>>164を読め

>>178
高等な数学というより学部の常識なんだがw

比較級が分からないようだ^^;

>>180
なんで？

論理的な文章の書けない奴らだな^^;

単因子論を載せるべき論拠を示せってのｗ

今日も頑張ろう

応用の効く証明とか言ってるやつが、数学的な思考のし方を文章に応用できていないのが、なんとも皮肉だな

>>184
>>159から>>164を呼んでもわからないか？
単因子論はジョルダン標準形の本質
これ位は学部の常識と知っているべき。

常識として知っているべき

多変数の微積分のまとめ

・杉浦�U
・溝畑�U
・スピヴァック
・Munkres

>>187
分からないから分かるように教えてよ

本質知ってんでしょ^^

>>187
>>159-164が、「単因子論を学部初等科の線型代数の教科書に載せるべきだ」という主張を演繹できないことが分からないんですか？
それで応用の利く証明とか言ってたんですか？

補足

・宮島

高木の多変数は2次元までだっけ？

>>193
ネット上のを見るかぎり3次元までのよう

>>190
書いてある内容は理解出来る？

>>191
全部数学で基本的な事柄で密接に関連してる。
というか本質的に同じ事柄。
だからこれらは学部学生の常識とすべき。

>>195-196
で、「単因子論を学部初等科の線型代数の教科書に載せるべきだ」という主張はどこから導かれるのですか？

もうお前話にならないから戸塚ヨットスクールで矯正してもらえよｗ

>>189
溝畑は下

>>199
は？この中じゃ溝畑が一番上だろ

>>200は忘れてくれ・・・

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！

　ヒゲの生えた３歳児、白髪・ハゲの３歳児の、クソガキどもがああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>189
今更、スピヴァック読むくらいならMunkresのほうが
いいと思う。スピヴァックは薄さが魅力だが、演習問題に
大事な話が書いてあったりするので、初学者は大変なんだが。

読んでない人が勧めているような気がしないでもない。


杉浦IIと溝畑下は、多変数の解析を「完備」にしようとした本なので
大変な教科書ではあるが、手元に置きたい本である。
杉浦先生は溝畑を見ながら書いた「後出しじゃんけん」なので、
すっきり書けてる部分がある反面、数学者としての力量の差は
いかんともしようがなく、細かい計算を一箇所溝畑に投げている・笑

どーでもいいっちゃどーでもいい定理なので、一般人は杉浦を
読めばいいと思うが、該当箇所の溝畑のコピーくらい取っておこう。
杉浦を行間のない本と思っている人は、ちゃんと読んでないってこった。

なーる

今日ちょっと調べごとがあって杉浦とか解析概論とか見てたら
丸写しの箇所があってびっくりした

多変数なら宮島が一番わかりやすいと思うの
けど線積分や面積分が‥‥‥

多変数を厳密にやろうとするとえらく面倒だぞ。
だからほとんど誰もやってない。
厳密にやろうとすると角のある多様体の理論を
使う必要がある。何故かというと立方体のような
単純な図形でも角があるから。

万年初心者専用か、ここは？

うん

>>208
スレタイ見ろよ

>>203
Munkresって大学１年レベルで読めるの？
graduate text って書いてあった気がしたけど

>>211
横だけど、
一変数の微積分、距離空間、線型代数を予備知識としている。
ここの板の住人なら大丈夫だろ。

>>211
高木だ、杉浦だ、小平だ、とか万年初級の議論をやってる
ヒマがあるなら、十分読めるよｗ

笠原の最初のところもそうだけど、日本のテキストでも1970年代
くらいだと、最初にR^nの距離位相を少しやって〜みたいな
スタイルを1年の微積の講義をやってた人は多かったらしい。
ゆとりになって、絶滅したけどね。

溝畑の陰関数定理の証明が意味分からん

自分で補完できるから読んでんじゃないの？

Munkresの前にMaclaneを読んだオレはバカだった

京都の事故

44 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/04/12(木) 20:06:17.25 ID:LKXz/REk0
かつてはてんかん患者の自動車免許取得は法的に制限されていたが、
2002年6月の道路交通法改正によって、発作が起きても意識障害を伴わない又は、
発作が就寝中に限るなどの患者は、公安委員会の検査や、医師の診断書を提出するなどの条件付で取得に道が開かれた。
日本てんかん協会の運動で、てんかんでも免許取得が可能になった。
その結果、案の定、２００２年以降、てんかん患者のひきおこした重大な事故が急増

2011/04　栃木・鹿沼　　 6人死亡　（持病を隠蔽、過去に事故2件）
2011/04　島根・松江　　 1人死亡　（持病を隠蔽、薬飲まず）
2011/05　広島・福山　　 4人重軽傷　（過去に事故2件）
2011/07　愛知・岩倉　　 2人死亡　（通院歴なしで不起訴）
2011/10　鹿児島・姶良　1人死亡4人重軽傷　（過去に物損事故、薬飲まず）
2012/02　栃木・宇都宮　6人重軽傷　（昨年7月に事故、運転しないと誓約書）

すると2002年の法改正で可能になった、てんかん患者の自動車免許取得を既得権益とする
共産党が支援している日本てんかん協会は
「てんかん患者の権利を守れ」と法務大臣に要望書を提出
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1334225953/

その三日後にまたしても死亡事故発生
2012/04　京都・東山区　7人死亡9人重軽傷　　　　　（数日前に発作、姉と相談）

日本てんかん協会　（共産党の支援団体）
住所　東京都新宿区西早稲田2-2-8

＞＞権利を守れ
＞＞西早稲田2-2-8　　　　差別利権で食ってる団体だな

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松坂和夫の線型代数って読んだ人いますか？あんまり話題にならないから良くないのかな。

>>197
線型代数の教科書でジョルダン標準形の単因子論を使った証明を
やらなかったらどこでやる？

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>>219
品切れになることが多いからなｗ
普通に良い本だけど、4,515円と高いからねえ

松坂先生とラング先生はバカにとっては救世主

>>223
そうですか、ありがとうございます。他の人に線型代数の本を薦める時は、この本を選んでいるので、間違っているのかと思っていました。

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[TS/GF/VX/MP]
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[JKN][Don'tOS][Un][Noise]
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[RS4432][HK][NT][SL]
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[F4][CA]
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[JKN][Don'tOS][Un][Noise]
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[RS4432][HK][NT][SL]
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[F4][CA]
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洋書だけど、Cullen の Matrices and Linear Transformations が丁寧かつスッキリとしたスタイルの良書。
おまけに安い。

単因子論ってPID上の有限生成加群構造定理だよね
線形代数の枠内では難しいちゃうの？

>>229
どこまでを線型代数というかにもよるが、一般化された固有値空間に
比べれば、単因子論のほうが理解しずらいだろうとは思う。

一般化された固有値空間のほうが、線型代数の枠におさまりやすい。

>>230
一般固有値空間は加群の p-成分だろ。
有限アーベル群で言えば p-Sylow 部分群。
ジョルダン標準形はこれを巡回加群の直和に
分解することと同値。これは単因子論と同値。
正確には分解の一意性も含めるが。

正確には有限生成の束縛加群に関する単因子論と同値。

有限アーベル群の構造定理は群論の基本中の基本。
これの証明はジョルダン標準形の証明と基本は同じ。
PID上の有限生成加群の定理として証明すれば
両方とも同時に証明出来る。これが嫌なら別々に
証明してもいいが、証明の本質は同じ。

佐武の証明は良く覚えてないがその方法は
一般のPID上の有限生成束縛加群でも使えるんじゃないか？
もし使えるなら単因子論と同じじゃんw

とにかく証明方法としてはなるべく広い範囲に
適用出来るのが良い。
だから命題は出来るだけ一般化するのがよい。
ただし、一般化するのに骨が折れるときは
コストと利便性の兼ね合いの問題になる。

頭の悪そうなスレですね

アホにとっては理解出来ないスレってだけ

>>237
なんでそんなに一生懸命なん？

２ちゃんねるのどこが面白いのかさっぱりわからない。

目が覚めてヒマだから書いてるだけだ。
この程度の内容は常識だから気楽に書ける。

「ゼロからわかる微分積分」「ゼロからわかる線形代数」
とつづいて、線形代数のあとがきに「ゼロからかわる偏微分」出す予定、
ってあるけどそれから１０年近くたってもでてないみたいだけど、どうな
ちゃってるの？

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>>159
> 単因子論は線型代数やるなら常識だろ。
単因子論に触れない線型代数の教科書や講義は多いので常識ではないです。

自分の頭の中＝常識だからなｗ

根拠を挙げろと言われているのに一向に示そうとしないからな

線型代数なんてただの通過点、どっちでも良い

「単因子論」の定義をしろ

>>243
単因子論とはPID上の有限生成加群の構造定理。
線型代数では PID として1変数多項式環をとり、
有限生成束縛加群を扱う。
ジョルダン標準形はこの加群の構造定理に
他ならない。だからジョルダン標準形のどんな
証明も単因子論になる。

じゃあ、どんな証明してもいいじゃん

終了

自分の頭の中＝世界の常識と思っている人を、論理で説得しようとしても無駄である。

その証明方法に良し悪しがある。

>>250
数学科だろ？
線型代数としての単因子論が常識でない数学科もあるのか？

必死って言われてコテはずしたの？>>159

>>252
知らね
自分で調べればいいだろｗ

>>253
パソコンを立ち上げ直しただけだ。
寝る前に電源くらい切るだろ。

一々反応してくれるなんて良い人だな

>>254
あんたのとこは？

顔真っ赤だけど「気楽に」書き込んでるわけか

>>252
線型代数を学ぶのは数学科だけではないですよ。

俺のところは、おおむね佐武に載っている（広義）固有空間分解の方法でやったな

ほとんどの大学で行われる証明は、佐武や松坂に載っている方法と同じだろう
斎藤自身も、中途半端に単因子論を援用したのは失敗だったと言っているし
もっとも、これは単因子の概念を前面に出すかどうかの違いであるので
「どの証明でやっても本質的に単因子論になる」というのであれば、それは「単因子論」なので
あなたの主張と矛盾しないことになる。

以上

リー群はまだしも、古典群やリー環は線型代数でやってないのか。
群や体などの抽象代数を或る程度やってから行列をやるという方法は知っておいた方がいい。
準同型を最初にやると便利だぞ〜。
線形写像(作用素)は加群の準同型の特別な場合だよ。

斎藤毅　線形代数の世界

あ〜、行列やベクトルはリー群の例だったな。
半分寝ぼけてたわ。
それじゃ〜リー環も線型代数でやるべきだな。

論理的な文章すら書けない人に、数学の常識ですか（笑い）

あらら、一般線型群は古典群の例だったわね。
さすがに一般線型群はやっているだろうな。

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>>265
リー環は線型代数で或る程度やるのが常識だよ。
行列の交換子積もリー環の例で行列のノルムとか考える下準備として役立つ。
これから行列の対数関数や指数関数が定義されていく。
最低限そこら辺までは線型代数の範疇だろう。

>>268
面白いから、もっとボロ出して

>>269
ああ、眠い中適当に書いてるから、バンバン間違えてると思うよ。
正確には正方行列の交換子積の集合がリー環の例だからね。
クリフォード代数やスピノール群も線型代数でやっていいと思うよ。
今はもうお昼寝タイムだよ。

なんで俺の顔色が分かるのか不思議なわけだが。
2chなんて気楽に書くとこ。
間違っても問題ないしw
ただし出鱈目書いても面白くない。

>>261
単因子論がなにか分かってないのに議論してるだろ。

タニシ論とか云々の余裕があるなら、他にやることがあるのでは？
さっさと代数のお勉強をするなり、計算実例の横田半単純リー群で遊んでいる方がマシ

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>>273
それをこのスレで言っても場違いだろ

あくまで、線型代数でのタニシ云々という話？
ならバカじゃねｗ

>>269
核心部分を話すとボロが出るから、関係ないこと言って逃げてんだろｗ

>>276
そんなこと言ってないだろ。
解析にしろ線型代数にしろ数学の中で
孤立してるわけじゃない。

タニシの例として冗談は悪くないが
よいこのせんけーだいすーの教科書として、わざわざタニシなのはなぁ

>>279
佐武で一般固有値空間を扱っておきながら
ジョルダン標準形を加群の構造定理として
捉えないのは中途半端。そこまでやるならってやつ。

結局ジョルダン標準形を数学科の学部1年の線型代数として
教えるのに無理ある。
一般の環上の加群上での線型代数の一部として教えるべきだな。
つまり群、環、体 などの代数一般の一部として。

そうだな

教育熱心で結構なことだ
教育する立場の人かどうかはしらんが

そうだな

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教育熱心というか行き掛かり上レスしてるだけだ。
要するにヒマw

今日の良スレ

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書きっぷりからも、タニシな人は大学での教育経験は
乏しいだろ。

仮に俺の教育経験が乏しいとして、それがどうかしたか？

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もうこの話は終わりと思ってたんだが
俺と話をしたい人がいるようだなw

GWだからだろ

斎藤とPID上の有限生成加群の構造定理以外の証明はあるの？

レス乞食（死語）がいるのも数学板らしいな・・・

>>159さんって本当にお暇なんですね

あっさり万歳か？

>>269
お昼寝タイムが終わったからレスする。
任意の複素行列Aに対してAの指数関数expAは、行列のノルムを考えなくても定義されるが
その収束性の確認に行列のノルムが必要になる。
定義については、複素変数zの指数関数expzと同様になるが、expzの場合は収束性の確認はいらない。
一方、Aの対数関数logAはexpAの逆関数として定義されるが、定義っからノルムが必要で
その値がlog2より小さい行列に対してのみ厳密な意味で逆関数になる。
しかし、単にlogAを定義するだけなら、||A-I||＜1であればよい。
||A-I||＜1から||A||＜2は自明だが、||A||＜2から||A-I||＜1はいえない。
そこがzの一価の対数関数logzの定義と決定的に異なる。
そしてリー環はリー群GL(n;C)の単位元Iの近傍の性質を調べるのに重要になる。
そのあたりまでは線型代数の範囲だ。
行列についての常微分方程式も、行列の指数関数の定義の際あった方が分かりやすい。
そして微分作用素も線型作用素の1つで線型代数の対象だ。

>>299は>>277へのレスとすべきであったか。
まあ、いいや。

松坂さんの線型代数学を読んだこと無いんだけどどうなの？
目次すら見つからないんだけど。

佐武さんについては
良い点
・載せる順番が良い(数ベクトル→行列式→ベクトル空間→標準形)
・広義固有空間でジョルダンを証明している(単因子論はどうせ後に代数学で詳しくやる）
・テンソルについて載っている
・お話的に読める(何となく結果を理解していける)

悪い点
・研究課題やLie群の話をする際に話が空の彼方に吹っ飛んでいく(定義などを述べないせいで意味が分かんない)
・変な証明が多い(突如として超平面を使おうとしたりする)
・具体的な計算方法を他書に投げてる(講義で講師が補足すれば良い)
・印刷が汚い
・底の変換の説明が分かりにくい(多分、可換図式が使えばマシになる)

これらを補って現代版の佐武を作ったら売れるんじゃね？

じゃあ君が書けばいい

>>301
広義固有空間は単因子論やれば自然に出てくる。
上にも書いたが学部1年の線型代数でジョルダンやるのは
無理がある。
テンソルも同様。

佐武は行列の三角化について書いてないだろ？
ジョルダンで三角化は無し。
小鳥を撃つのに大砲使うようなもん。

ジョルダンをやるならポントリャーギンみたいに
行列の基本変形使う手もある。
これが学部1年でやるにはいい。

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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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佐武は行列式を天下りに定義してるだろ。
置換の符合とかいきなり言いだして初心者ははあ？
なんでこんなもの考えるんだよ。

客観的に見て悪い点と認め得るのは
＞・印刷が汚い
＞・底の変換の説明が分かりにくい(多分、可換図式が使えばマシになる)
この２つだけ

つーか、数学やってるなら、もっと論理的な文章書けないの？
「変な証明」ってどんな証明なのさ？
何が欠点で、どうすればよくなるのか具体的に書けよ

そのうち、常用漢字がどうのこうのとか、旧仮名遣いが混じってるのがいけないとか、数学とまったく関係のない批判がでてきそうだ

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評論家が何と多い事か。
そんな暇があったら独創的な事をやれ。

独創的な評論を目指してください
文芸評論のプロがいるように数学書評論のプロがいてもいいと思います

2ちゃんにいるのはコピペ評論家だけだよ。
ろくに中身を読んでないことが多い

そりゃそうでしょ
佐武には行列式の計算法が載ってないとかあからさまな嘘言ってもバレないんだから

つまり、評論してる奴も、読んでる奴も、ろくに教科書すら読んでない馬鹿ばっかｗ

面白い。
俺のコピペの元ネタを教えてくれ。

>>319
どういう計算法？
今手元に佐武がないから教えてくれ。
因みに俺は学部のとき佐武を読んだ。

佐武を勧めてる奴とかちょっと信じられないんだが。
ジョルダンは置いておいても突っ込み所満載じゃんw

佐武で勉強したやつはクラメールで線型方程式を解きかねんw

佐武が好きな奴ってお話が好きなんだろ。
ワイルズとかポアンカレ予想の話とかやたら
詳しいくせに数学はよく出来ない奴がいるがw

2ちゃんで釣った情報をもとに、手元にない名著を叩く俺かっこいい

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>>323-325
そうムキになるなよｗ

ほんと、ただのレス乞食だなｗｗ

手元にないと批判しちゃいけないのかw

ムキになるなというならいつまでも引っ張るなよ。
俺はこの話は昨日で終わりだと思ってたぞ。

2ちゃんで何言おうと勝手だろうが、
手元にない本をあやふやな記憶だけで叩いてるカスだろ、お前・・・
くらい言ってもいいだろｗ

俺の記憶違いってことにしたいのか。
ということは記憶が当たってたら嫌だということだなw

展開に先だって、(18)により、展開しようと思う列（行）に他の列（行）の適当な一次結合を加えてその列の成分をできるだけ多く0にしておき、それからその列（行）に関して展開するのが常法である。

（p58 �U行列式 §行列式の展開）

天下り的じゃない行列式の定義ってどんなの？
佐武も斎藤も松坂も同じだと思ったが。
斎藤毅は、たしかn-1次までの行列式が分かってると仮定したときに、n次の行列式を定義するやり方だと思ったが、本質的にやってることは変わらんな。
とりわけ理解や計算が簡単になるわけでもない。
高木の代数学講義は、忘れたが、別のやり方だったような気がする。

上のほうでも書いてあるが、佐武自身がそもそもクラメルの公式による連立方程式の解法を推奨していない。

>>339
それだけかよ。
どうりで記憶にないと思った。

４７ページから６１ページまでずっと行列式の性質と計算例なんだがな

>>304についてはどうだ？
俺の記憶違いか？

>>340
高木はちゃんと説明している。

例1 Aを固有値がすべて実数であるようなn次（実）行列とする。Aに対し、適当なn次直交行列Tをとれば

T^(-1)AT = ([α[1],0,…,0],[*,α[2],0,…,0],…,[*,…*,α[n]])

のように三角行列に変換される。

（p154 �W行列の標準化）

佐武には行列の基本変形という考えがはっきり書いてないだろ。

書いてないがそれがどうした？

>>346
一般の正方行列の三角化は書いてないだろ。
ジョルダンは除いて。

>>348
線型代数で重要な考えなんだが、まあそれを知らなくても
生きていけるから問題ないっちゃ問題ないw

メリケンのもっと良い教科書読めばいい

任意のn次正方行列Aに対し、適当なユニタリ行列Uを取れば

U^(-1)AU=(三角行列)

となる。

（ｐ157　�W行列の標準化）

>>352
さすがにこれが書かれていない線型代数の教科書は、数学科の教材としては使えない

情報つり上げてるだけのアホに餌をやるなって・・・
何を言っても、揚げ足取るだけ

>>352
ユニタリ行列が使えないときはどうする？
ジョルダン除いて。

任意のm×n列行（誤植?）Aに対し、A*Aの階数をr,A*Aの0でない固有値を
r[1]^2,…,γ[r]^2 (γ[i] > 0)とおけば、適当なユニタリー行列U[1],U[2]に対し

U[1]AU[2]=diag[γ[1],…,γ[r],0,…,0]

（ｐ157 �W行列の標準化）

>>354
情報釣り上げるってw
何の目的で？
全くとんでもない考えをするやつがいるんだな

行列式の天下り的でない定義って何？

だからユニタリ使わずに三角行列に変形しろよ。

>>358
行列式の定義をいきなり持ち出すんじゃなくて
そういうものが何処から出てくるかという説明。

佐武にも斎藤にも附録にあるじゃん

ユニタリ使わない三角行列への変形は重要なんだが、
佐武しか知らない奴は（略
まあ知らなくても死ぬわけじゃないから問題ないっちゃ問題ないw

>>361
何が？

佐武のJordan標準型の証明は、
�V章研究課題の結果使っていたり、多項式論に関する補題が多かったり、記号が直感的に分かりづらかったりして、
もともとのレイアウトの悪さもあいまって、かなり見通しが悪い(笑)

ここは改善した方がいい
�W章は全体的にごちゃごちゃしてるから、数学科の1年は�X章を先に読む方がいいかもな
Jordan標準型は、1年範囲じゃまず使うことはないし、内容的にも5章のテンソル積とか群の表現の方が面白かろう

ユニタリ行列は複素数体に特有なものだろ。
一般の代数的閉体じゃ使えない。

>>357
持ってない本に何書いてるか知りたそうにしてんじゃん、おまえｗｗ

定理を正確に書いてくれんと何が載ってるか分からない
いかんせん、あんたらみたいに数学できないから

>>363
持ってないカスにはわからんだろうな

高木「代数学講義」のp214-219にかけて、こんにち我々が行列式と呼んでいるものの性質をみたす斉一次式Δの存在を仮定し、Δ≠0なら、1次連立方程式が一意的に解けることが書いてあるね。
そのあとは、置換からはじめて佐武や斎藤に書いてある行列式の定義、性質が書いてある。まあ、これは文章構成上の差ではあるが、佐武や斎藤との内容上の差は特に見出だせないな。

>>369
連立方程式が一意的に解けるってのは、パラメータが出てこないという意味だと好意的に解釈してやろう
まあ、佐武にしろ斎藤にしろ、「読めば分かるだろ」ってことが書いてあるだけで、特に良いとか悪いとかの問題じゃないな

版は古いかもしれないが佐武も斉藤も持ってる。
探すのが面倒なだけw

なんかよう分からん人だな
「佐武しか読んでない人」って誰のことだろう？そんな人いるの？
少なくとも俺は、線形代数の単位だけで卒業できる数学科というのは聞いたことがない

>>369
俺はうまく解説してると思ったけどな。

結局、ユニタリ使わない三角化は書いてないだろ。
この証明はそんなに難しくはない。
要するに佐武には三角化の重要性が見えていなかったということ。

↑高木も佐武も、手元にないから、クレクレ君になってる例

斎藤の単因子論ってそこまでわかりにくいか？
まあやや唐突な感は否めないが・・・

佐武の底の変換のところは、短すぎるだろ
二つのベクトル空間の間に一対一上への線形写像が存在すれば、ベクトル空間の構造はまったく同じだから、以後行列だけ扱うよって数行書いてあるだけじゃん

佐武は持ってなくても問題ない。
というか無駄にわかりにくいから

全体的に「○○が載っていない」、「だから何だ」ってもんばっかだな

洋書を読みましょう

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洋書厨まで乱入

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>>379
そりゃ、
・学部初等科の教科書に載せるべきか否か
・「載せるべき」というならその理由
を書いていないんだから、「だからどうした」になるに決まってるだろ
お前は正常

重要なことが書いてないというのが一番分かりやすいから。
証明がごたごたしてる、明快でないというのも大きいが
それを明快な証明を知らない奴に言っても分からんだろ。

佐武や斎藤のような本が日本の数学科の標準的教科書となり、
日本人の頑ななまでに保守的な国民性と相まって長らく固定されてしまうと
日本人の知的水準が歴史の進運に取り残されてしまうので問題である

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>>387
それはあなたの説明能力がないからです。

>>388
じゃあ、どういう本がいいと考えているの？

>>388
最近のゆとり（笑）には佐武は無理だから、ほとんど使ってないだろ。
齋藤はけっこう残ってるけど。いろんな大学のシラバス見てみ。
長谷川とか最近増えてるよ

>>386
掃き出し法も基本変形も三角化も学部1年で教えるべき内容。
これ等は難しくない。

そうか。
だからどうした？

というか三角化は載ってるんだがな
定理の内容を書いてくれないから何を期待してるのかが分からんのだが

>>390
明快な証明を説明するのは実際証明するしかないだろ。

>>395
佐武に載ってないだろ。

>>393
>掃き出し法も基本変形も三角化も学部1年で教えるべき内容。
必ずしもそうでは無い。掃き出し法は近似計算が目的だから。

正方行列をそれと相似な三角行列に変形すること。

近似計算w

掃き出し法が載ってない線形代数の教科書なんてゴミ

>>401
私の考えと違うが、それが悪いと言っている訳では無い。

数学の授業では簡単に触れて、
情報・計算機の授業で詳しくやる方が良い。

三角化可能性について、斎藤正彦の本で探してるが、三角化の三の字も出てこない
こんなもんはどの本にも書いてあるはずなので、ないということはないと思うが
佐武のほうは固有空間への分解と対称行列の標準化のところを見れば容易に見つかる

定理3　任意のn次正則行列Aに対し、適当なn次正則行列Pをとれば
P^(-1)AP=（三角行列）

（p145 �W行列の標準化 §固有空間への分解）

>>346,>>352について、数学的帰納法で直接示す方法と、>>404を使う方法のふたつが書いてある。

斎藤にもユニタリ行列を使った三角化は書いてあるよ

そりゃ書いてあるだろう
探しても見つからないだけ

>>401 確か、ブルバキの代数の線型代数の章にも、
掃き出し法は載っていなかったような。

ここは価値一元論を信奉する共産主義者の集まりですか

ブルバキで線形代数を勉強しようなんて奴はおらんから問題ない

佐武で線型代数を勉強しようなんてやつはおらんから問題ない

ブルバキは終わった

佐武は終わらない

佐武を薦める奴のせいでそういう人間が一定数発生する可能性がある
ゆえに問題あり

この話題で 1000 迄行くのか？

万年基本変形クンのためにな

佐武と斎藤はクソみたいなのでそれ以外でいい本教えてち

斎藤毅のほう

線型代数で独創的な研究は出来無いの？

俺の言ってる三角化は任意の正方行列をそれと相似な三角行列に
変形すること。ユニタリ行列は使わずにだ。
お前らがこのことを知らないことが良くわかったw
念のためにいうがジョルダンも使わずにだ。

>>405
載ってたって教育上効果的に配置されてなけりゃ意味ないんだよｗ
さすが佐武信者揚げ足取り必死だなｗｗｗｗｗｗｗ
悪書呼んでると性格までひねくれんだな

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落ち着け、 AA 貼ってやるから

他人の意見を聞き容れないし、数学も分からない佐武信者が発狂するスレｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>421
教育上効果的な配置とは？

むしろ、佐武に掃出し法が載ってないとしつこく粘着してる人が発狂してるようにしか見えないけど

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佐武は「突っ込みどころ満載」らしいから、その「突っ込みどころ」とやらをつぶさに挙げてくれ
参考にするから

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三角化を使えばフロベニウスの定理は簡単に証明される。
フロベニウスの定理を使えばケーリーハミルトンの定理は簡単に証明される。
佐武はどうやってる？w

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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佐武はお勧めできないという結論でよろしいかね？

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「明快な証明」の定義をし、佐武の証明が明快ならざることを客観的に示してくれ

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「佐武の欠点は全体的に明快さに欠けること」の論拠を教えてくれ

具体的にどういう線形代数の教科書がいいのかを教えてくれ
俺は一年じゃないから、別に入門書でなくとも構わん

掃出し法一つでそこまで評価分かれるものかねえ
一つくらいの不足なら他書で簡単に補えるだろうに
数値計算中心の線型代数の本だってあるし

>>430
自明だな

数値計算とは無関係に掃き出し法は重要

すべての質問に論点をずらさず客観的かつ正確に答えろ
それができない奴は主張するな

お前らは一生掃き出し法やってろ

>>444
お前は一生佐武読んでろｗｗｗ

佐武のケーリーハミルトンの証明は良く覚えてなが
行列環上の多項式を使った技巧的でわかりにくいもの。

「明快さ」の定義なんて無いもんな

もうすぐ 500

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500

計算間違った

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>>441
何が？

449 + 1 = 500

佐武のケイリーハミルトンの定理の証明がわかりにくいのは同意

三角化→フロベニウス→ケーリーハミルトンとやるのが簡単

お前らはもう一生掃き出し法やってろよ＾＾；

>>457
お前は一生佐武読んでろｗｗｗ

偏狭で傲慢で低能な佐武信者が発狂するスレ

500 迄は行きそうだな

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STK48

>>428
突っ込みどころが多すぎるところが一番の突っ込みどころｗ

>>463
全部あげろってこと
日本語分かる？

>>464
全部あげるには多すぎるｗ

>>465
それはあなたの表現能力が低いだけです
つまりあなたのいう「突っ込みどころ」すべてを、論理的に明確な形で列挙し切る表現能力がないだけです

>>466
じゃあお前があげてみろよｗｗｗ

159って時々名無しに戻る

「佐武には突っ込みどころ多すぎｗｗｗ」

　「じゃあ、その突っ込みどころ全部あげてみて？」

「お前があげろよｗｗｗ」


？？？

そいつは俺じゃない。

時折名無しに戻ってること自体は否定しないのなｗ

>>456
それだと一般の体でケーリーハミルトンを証明できないのがイマイチ
（代数的閉包の存在を使えばいいけどそれもイマイチ）

佐武のテンソルとか群の表現とかリー群とかの話はいらない。
行列の指数関数とかもいらない。
そういうのは専門のいい教科書がある。

そうだな
それでどうした？

>>472
代数的閉包を使うとなんで今一なんだよ。
代数的閉包使わなかったら現代数学は成り立たない。
数論なんか使いまくりじゃん。

そうだな
それがどうした？

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佐武信者は佐武が必読な理由を書けよｗｗｗｗ

>>483
そんなこと誰も言っていないんだが

>>474
ページが無駄。
ドキュンがいい本と勘違いする。
現に上のほうで勘違いしてる。

そうか
それがどうした？

なんだアホか

佐武、斎藤、松坂
この3つは言うまでもなく良書であろう
松坂はたびたび売り切れるから入手しにくいが
最近の入れれば長谷川か

>>487
発言の中身がないからレッテル貼りにきたか

>>472
代数的閉包が嫌なら適当な有限次拡大取ればいいだけ。

有限次元ベクトル空間にしか通用しない基底の定義を採用してる本とかもあるシナ

>>488
斎藤毅 線形代数の世界

いいかげん、「佐武の欠点は証明が明快でないこと」の根拠を書けって

>>491
線型代数の本の中には、細かい仮定が抜けていたりという
意味で間違ってる本がけっこうある。
実用上はほぼ困らないけど、何かの時に困る。
基底のあたりと、（ジョルダン）標準形のところでよくある。

そういう点でも、細かいところまで丁寧に書いた本は必要だね。

で、結局、佐武も駄目、斎藤も駄目なら、何がいいの？

「証明の明確さ」を定義せよ
その定義にもとづいて「佐武の証明が明確でないこと」を証明せよ

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>>493
とっくに書いてる。

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佐武の�X章がいらない理由は？

500

佐武の要らないところ全部あげて

>>495
数学やめたほうがいい

斎藤と佐武をくらべてそれぞれいいとこ悪いとこ全部あげて

お、過ぎてしまった。
1000 行く可能性有り。

Peter Laxがいいよ。

基本変形が重要である根拠は？

あっという間にレスが増える。

三角化が重要である根拠は？

>>489
発言の中身がないのは>>486

学部初等科の線形代数でやるべきこと全部あげて

>>511
とりあえず、Fredholm determinantが計算できるように

>>498
どれ？
もっかい書きなおして？

>>512
なにそれ？
具体的に書いて

>>514
ぐぐれかす

>>510
それはあなたの読解力が至らなかっただけです。

>>515
いやです
あなたの表現能力がないものと見なします

>>517
は、見なしてください。次の方どぞー

佐武の5章要らない理由教えて

>>516
いやそれはあんたが錯覚してるだけ

つーか佐武なんて全部クソだろ
信者が持ち上げてるだけでｗ

>>520
何をですか？

>>521
どうしてですか？

単因子論が必要な理由は？

だいたい学部初等科って何？
どこのFラン用語？

初等科があるなら高等科もあんの？ｗ

>>524
必ず要るということはない
他の章との兼ね合いにもよる
1つの章だけ浮いていてはよくない

斎藤先生の線かたち代数の世界は群の章だけ浮いてますが？

>>524
PID上の有限生成加群は数学のいたる所に現れるから。

だからどうした

斎藤先生は準同かたちとも書くようになった人だから、それでいいのです。

>>529
なにそれ？

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>>530
だからアホには不要

アホの定義を述べよ

せっかくの休日をこんなことに費やして、馬鹿らしく思わないの？

あんまりごちゃごちゃはしてるよりクリティカルにおもしろいところだけをつまみぐいするのがいい

少しは勉強になっただろ

いいえ

頭の悪い奴も世の中にいるってことを実感したよ

このコテは何故こんなに必死なの？

はい

>>538
勉強になるとは？

>>538
あなたは誰ですか？

PID上の有限生成加群って何ですか？

単因子ってなんですか？

三角化ってどこに出てきますか？

単因子論覚えたら東大受かりますか？

ひどい自演だな

三角化が重要な理由は？

行列式の計算法って何？

行列式の天下り的じゃない定義って何？

必死なのは俺じゃないw

佐武の要らないとこ全部教えて
飛ばして読むから

佐武信者必死だな

佐武信者必死だな

一生佐武だけ読んでろ

数学関係者の「天下り」という言葉の使い方が気持ち悪いとずっと思ってました（俺も数学関係者ではあるけど）

天孫降臨

>>558
なんて言うのがいいと思うの？

天下り的とおもうのは直感力が足りないから

>>558
実は、天下り＝一番自然　かもしれないしねえ
歴史的順序でないってだけで。

やっぱ、線型代数は体上の加群として始めて
線型空間の公理やって、行列式も外積代数の射として
定めるのが、一番自然だよね。

連立方程式にこだわってる歴史家は無視すりゃあいい。

というか理工系の計算で必要な技術は全部高校までに詰め込めばいい
大学は理論を学べばいい

どうせ佐武読んでも連立方程式は解けないんだから
佐武読んでる奴にとってはそれでいいかもなｗ

折り合いつけろよ
極端にすりゃいいってもんじゃないだろ
原理主義者どもが

行列式いきなり定義されてもなんのこっちゃ状態だろ。

つーか、自分の感想＝世界の常識と思ってる奴大杉

>>566
それはあなたの直感力が足りないからです

人による

連立方程式が解けるかどうか判別するからdeterminantなんだから連立方程式と結びつけてる高木の本が正しい

>>490
それもイマイチだね
ケーリーハミルトンのためにわざわざ分解体まで持ち出すとはね
もっとスッキリ証明出来るんだからそうすればいい

何が正しいとかない
俺は体積要素の変化率とみるのがもっとも分かりやすい

>>572
n次元がイメージできるんですかｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

そういうこと言っていない

この難しい教科書を読める俺すげえ！
え？難しすぎる？
それはお前が頭悪いからだよ（この瞬間のために数学やってるんだよな〜）


という思考が見え隠れしてるねえ
たかが教科書なのに

教科書は教育のためのものだということを無視するのが偉いんだ、
あたかもそう信じているかのように振る舞うことで自分の頭の良さを知らしめたい

数学科の学生が学ぶのであれば佐武でいいんじゃないの
他の学部だったら話は別だが

佐武は難しいが、書いてあることはいたって標準的

他の学部は、もっと薄い本でいい

>>577
いやアレは悪書ｗ

>>577
佐武が標準的とか、数学を学ぶ者としての常識を疑うね

佐竹チョイナチョイナ

>>577
いや5章とか、行列の指数関数とか要らん

>>582
どうして？

>>580
数学を学ぶものの常識とは？

掃き出し法が載っていない云々でここまで伸びるとは・・・ｗ

>>585
そんなこと言っていない

>>586
では、何をいっていたの？

掃き出し法が載ってない教科書は標準的とは言えないな

>>588
なぜですか？

>>588
線形代数の教科書の標準とはなんですか？

>>571
代数的閉包または分解体を使わなかったら固有値の意味ないだろ。
だからスッキリしないというのは当たらない。
それがスッキリしないなら体論の90%以上がスッキリしないこよになる。

そうだな
それがどうした

>>591
何が言いたいのかわからん
ケーリーハミルトンの証明に固有値の概念は必要ないし

掃出し法なんて応用数学

ケーリーハミルトンの証明で代数的閉包を使いたくなかったら>>164のようにやればいい。

応用を軽視しては基礎もおぼつかない

逆だろ
基礎を軽視しては応用できないんだ

ケーリーハミルトンなんて二行で対角行列の場合に帰着するから自明に近い。

数学は応用から生まれる

代数的閉包の存在証明には選択公理を使うからな
使わずに済むならそれにこしたこたあない

>>593
固有多項式

>>599
ハァ？
応用は基礎あってこそだろ
何言ってんだお前
頭おかしいんじゃね？

だからどうした

>>602
数学は物理や化学から生まれる

いや、そうとも限らないだろ

>>598
どういうこと？

俺も知りたい

じゃあ俺も

別に興味無いがきいとく

説明しろ

分からないのはお前の直感力が足りないから

直感力って何？

>>601
固有多項式が分解しなくてもそれなりに意味があるでしょ
有理標準形とか

こころのちから

そうだな

だから何だ？

核心しゃべれよ

>>600
だからそれなら分解体使えと言ってるだろ。

国語力低い馬鹿はすっこんでろ

だからどうした

さっさと説明しろ馬鹿

言ってる意味がわからん

それは読解力不足だから

>>618
そんなダッセー証明嫌だよ

ダッセーって何？

アルファベット表記だけでも教えて

ダッセー尾形

>>613
意味がないとは言ってない。
分解するのはスッキリしないとか言ってるから
それは違うだろと

一変数及び、多変数の微積分が基礎的数学だとしたら、
線型代数は一種のアブストラクトナンセンス。
先へ進まないとその真価が分からない

>>628
君のやり方は明快な証明とは言えない

線形代数の定理の証明に体論の結果を持ち出す論理構造がイマイチ
どうしても必要ならしょうがないが使わずに簡単に証明出来るんだからね

>>628
おめえ>>591でハッキリと「意味がない」って言ってるじゃん

>>631
有理行列なら複素数体を使えばいい。
一般の体上で行列の固有多項式とか考えてるときに
代数的閉体を使うからスッキリしないとかはない

>>631
むしろ、体論の証明で、本質的には線型代数ってのがあるからなあ

>>633
代数的閉体に留まるのであれば複素数体だけでやってればいいじゃん

>>632
固有値の意味がないと言ってる。

>>635
複素数体以外も使えるんだから使えばいいだろw

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固有多項式が分解するかどうかが問題で
代数的閉体かどうかは問題じゃない場合が多いからな

有理行列の問題なのに複数数を持ち出すのは不純とか
そういうことなのか？

誰が有理行列の話をしてるんだ

オマエらいい加減に頭を冷やせ

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ケーリーハミルトンは可換環上の行列でも成り立つ。
この証明は三角化は使えない。
しかし余因子を使えば簡単に証明出来る。

線形代数にスタイニッツの定理は要らん

>>641
>>613

>>645
代数学の基本定理は？

>>644
その余因子を使うのが佐武の証明じゃねえの？

>>646
有理標準形は有理行列に限らん
係数は任意の体でよい

>>648
佐武のは使い方が違うんだろ。
俺の記憶では佐武は行列環、つまり非可換環上の
多項式を使ってたな。

>>647
それは解析の講義でやればいいんじゃねえの

「代数学の基本定理」って、「代数学の範疇の定理」ではない
ところがミソだけど、ガウスから近代代数学が始まってるって
意味なんだよな。誤解してる人が多い。

>>649
有理行列が典型的な例だろ。

>>651
だったらシュタイニッツの定理だって使っていいだろ。

>「代数学の基本定理」って、「代数学の範疇の定理」ではない
代数で簡単に証明出来る

>>653
それがどうした

ガロワ理論を使う証明もあるけど
それにも解析の事実をちょこっと使う

>>657
中間値の定理を使う。

>>655
おまえ、代数学の基本定理の証明わかってないだろｗ

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>>654
好きにすればいいよ

当々力が出なくなったか

選択公理を使うのが嫌だとか言ってる奴がいるが
解析は選択公理を使いまくりなんだが、
お前らが気付いてないだけでw
可算選択が多いが。

誰もそんなこたぁ言ってないがね

というか選択公理は普通の数学者が普通に証明やると
使ってないつもりでも知らずに使ってたりする

あと可算体の代数閉包の存在の証明に選択公理は要らない。
実連続関数における中間値の定理から示せる。

代数学の基本定理の証明に選択公理は必要なん？

当然ながら不必要

>>666
そもそも実数体の構成に使うんじゃないか？
よく検討してないが。
詳しい人？

あんまり細かいこと気にしてるとハゲるぞ

>>667
そうなのか？
中間値の定理が必要だがその証明は
本質的には閉区間の連結性。
この証明ってどうやったっけ？

>>668
>そもそも実数体の構成に使うんじゃないか？
全く使わない

そろそろ時間切れ引き分けだな

佐武を読むなら、岩堀先生の線型代数シリーズでも読むべきだな。
集合や位相に関しては殆どダメだが、その他はワンサカで佐武よりかは遥かに使える。
群環体や四元数体の基本的ことは当然載ってて、終結式など行列式の応用も載ってる。
基本的な常微分方程式(差分方程式)の演算子法による機械的解法や外積も載ってる。
勿論、ジョルダン標準形や単因子論、置換やスペクトル分解、テンソル積も載ってる。
行列の指数関数や対数関数やら、有限次元ヒルベルト空間の定義とかも載ってる。
ローレンツ群や回転群も載ってて、クリフォード代数も載ってる。
その他にも例や演習にラプラシアンやら初等整数論やらが出て来る。
高校で習うベクトルや行列などの定義から始めてていいシリーズだよ。

>>668
>そもそも実数体の構成に使うんじゃないか？

おいおい、しっかり実数論やったのか？w
実数の構成に選択公理は必要ないぞ。
何で>>663で
>解析は選択公理を使いまくりなんだが
って書いててそんなこと書いてんだ？
解析は何を読んだんだ？

実数体を構成した後、コーシー列が収束することを示すのに選択公理を使わなかったっけ（うろ覚えだけど）
構成するだけなら確かに選択公理はいらないけど

>>675
少なくとも、数列{a_n}がコーシー列と仮定して{a_n}が収束することをいうときは、
実数の連続性が必要で選択公理が必要になる。
逆を示すときも然りで、ε＞0を走らせるときなど選択公理は必要になる。

>>674
何を偉そうにw
実数体の構成なんぞよく覚えてないから聞いてる。
使うとは言ってない。

自分がたまたま憶えてるからって鬼の首を取ったようにw

>>677
デデキント切断による実数体の構成に選択公理は必要ない。

コーシー列の収束を示せないなら実数を構成してもあまり意味ないなw
俺が言った通りじゃん。
お前ら気がつかずに選択公理使いまくりだとw

>>678
実数論は解析の基本中の基本だよ。

>>679
だから使うとは言ってないって。
使わなけりゃそれでいい。

>>681
だからなに？
実数体の構成を憶えてないと駄目なのか？

実数論が解析の基本だから実数体の構成を覚えてなけりゃ駄目というのは
ドキュンだろ。
デデキントが実数体を構成するまで解析学はなかったのか？

>>682
切断を用いて実数を構成しても、コーシー列が収束することを示すには
実数体が完備であることを用いるから、選択公理は使ってる。

実数論なんぞいちどやったら忘れれていい。
ただし実数の性質は忘れたら駄目だが。

>>683
別に覚えている必要はないが、知っていると面白いことが出来るw

>>686
終わったな。

>>685
了解

>>688
何が？

>>687
例えば？

>>690
いやいや、何でもないですよ。
単なる独り言です。

>>691
大変難しいことが、簡単な計算問題になってしまう。
勿論、それは物凄い量の計算ですが。
それで、論文書くのに四苦八苦してる途中なんですよ。

>>675 >>676
横レスで申し訳ないが、僕は過去、実数体の構成と、
コーシー列（とコーシーフィルター）の収束について、
ZF 内で定式化できないかどうか、検証したことがあってね。

結論を言うと、選択公理は必要ないね。
ZF 内で示せる。

もちろん、一般の一様空間の分離完備化と、
コーシーフィルターの収束についても、
ZF 内で定式化・証明できる。

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>>694
そうそう、解析の教科書の書き方によっては、実数の構成に
選択公理を使ってそうなものがあるので、>>675のような
印象を持つ人が多い。

丁寧に構成すれば実はいらない。なので、当然と言うほど
でもないが、「実数の構成、連続性には選択公理はいらない」
というのが正しい。>>663 >>667 は、どちらも言い過ぎだと思う。

解析学では選択公理を使うケースが多いが、初等微積分の
範囲だと回避できると思っている（精査したわけではないので
嘘ならゴメン）。ルベーグ積分になると衝突しまくり。

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お〜い猫や〜い

Test

>>697
俺は解析で選択公理を使いまくりとは書いたが
実数の構成で選択公理が必要とは書いてない。
勘違いしないように。
因みに有界数列が収束する部分列を持つという解析の基本定理の
選択公理を使わない証明ってあるのか？

>>702
>>658-559あたりの流れの後、
いまさらその質問をされてもなあ・・・

いいかげん、知らないなら黙ってたら？

×　>>658-559あたりの流れの後、
○　>>658-668あたりの流れの後、

>>702
あるよ。一般に、次の定理は、ZF で証明可能：
「E を 実数の集合 R の空でない部分集合で、
上に有界とすると、E には上限が存在する。」

蛇足だけど、上のほうで誰かが言っていた中間値の定理も、
ZF 内で証明できるね。

>>705
収束部分列の存在を選択公理使わないで証明出来るなら
その証明をぜひ教えてくれ。
俺にとってはビッグニュースだ。

>>703
演習問題の出題者は答えを知らないと思ってるのか？

>>694が書いてるように実数論と選択公理の関係は半可通が思うほど
トリビアルじゃないだろ。

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猫あきらめろ

>>692
独り言なら俺に言うなよ。
ほんとに独り言なら病院に行け。

>>707

実数列 {a(n)} が 有界とすると, ある実数 M>0 が存在し、
-M≦a(n)≦M が、全ての n∈N に対して成り立つ。

ここで、i についての帰納法で、部分列の項 a(n(i)) と、
a(n(i)) の入る区間 I(i) を定義し、
I(i)が無数の n について a(n)を含むことを見ていこう。

i=1 については、n(1)=1, I(1) = [-M, M] とおく。

i=k までは、n(i) と I(i) = [M(i), L(i)] は構成されたとする。

i=k+1 に対して、定義しよう。P(k) = (M(k) + L(k))/2 とおく。

つづき

次の場合分けをして、定義する:

case 1: 区間 [P(k), L(k)] に a(n)が入るような n∈N が有限個の時。
このとき、I(k+1) := [M(k), P(k)] には無数の n について
a(n) が入るので、
n(k+1):= ｛n(k)より大きい n で I(k+1) に a(n) が入るような n の最小値｝
とおく。

case 2: 区間 [P(k), L(k)] に入るような a(n) が有限個でないとき
このとき、I(k+1) := [P(k), L(k)],
n(k+1):= ｛[P(k), L(k)] に a(n) が入るような n > n(k) の最小値｝
とおく。

ここで、区間 I(k+1) の長さは I(k) の長さの半分だから、
a(n(i)) (i∈N) は R のコーシー列で、R のある点に収束する。

（自然数全体の部分集合 H が有限とは、ある自然数 n が存在し、
全ての k∈H に対して、k<n が成り立つこととする。
また、自然数全体の部分集合が夢幻とは、それが有限でないこととする。）

訂正
×自然数全体の部分集合が夢幻とは
○自然数全体の部分集合が無限とは

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>>714
なるほどこの場合は数学的帰納法を使えばいいわけだ。
勉強になりました。
しかし一般のコンパクト空間ではどうですかね？
コンパクト距離空間でもいいですけど。
すなわち点列は収束部分列を持つことの証明。

>>693
それじゃ何のことか分からない。
もっと詳しく

>>718

距離空間 X については、
「X がコンパクト⇒X の任意の点列は収束部分列を持つ」
という命題は、ZF 内で証明できます。

ただし、この命題の逆については、僕は、
従属選択公理を使った証明しか知りません。

この辺の話題については、次の文献が、見やすいです：
内田伏一「集合と位相」
この本の p.146. 定理 27.2 を丁寧にチェックすれば、わかります。

名前のミス： 713 ではなく、714 でした。

>>718
因みによくある証明は空間の各点でその点列をたかだか一個しか
持たないような開近傍をとって矛盾を起こす。
まてよ空間が可分ならいいのかな。

>>708は私の勇み足。
失礼しました。

とにかくある証明に選択公理が必要であろうとそうでなからろうと
明確に書いてある本は少い。
これは数学者が暗黙に選択公理、とくに可算選択を当然とみなしている証拠。
さすがにZornの補題が必要なときは明示してるが。

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民主党とAKBの関係が遂に明かされようとしている
秋元康の後ろには蓮訪
蓮訪の後ろに前原、枝野　そして民主党全体

税金を使ってAKBを宣伝し、その税金が民主党に流れている
AKB自体が、税金目当ての捏造ブーム

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>>697
>解析学では選択公理を使うケースが多いが、初等微積分の
>範囲だと回避できると思っている（精査したわけではないので
>嘘ならゴメン）。ルベーグ積分になると衝突しまくり。

その根拠は？
例えば、X をユークリッド空間内の点集合とすると
「X の任意の点列は収束部分列を持つ ⇒ X はコンパクト」 は ZF で証明出来ない。

また、別の例として
ある点 x_0 での関数 f(x) の連続性と x_0 での点列連続性 lim f(x_n) = f(x_0) の同値性は ZF で証明出来ない。

まあこれ等が使えないとどの程度初等微積分に影響あるのか知らないが。

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そんなことはだーれもきにしていない

>>730
実際の所、点列取らないと証明できない定理でなければ
回避できるんじゃないかと。微積限定だと、選択公理が必要になり
そうな箇所って、数列をどう取るかでしょ。

なんかの証明で、点列取らないと大変なのがあった記憶が
あるが、必須かどうかわからんなあ。

>>733
上の点列とコンパクト性に関しては？

>>734
「点列コンパクトならコンパクト」って、微積でどこまで必要だっけ？
使った覚えはあるんだけど。

>>735
それを聞いてる

>>736
俺はわからない

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>>733
>実際の所、点列取らないと証明できない定理でなければ
>回避できるんじゃないかと。微積限定だと、選択公理が必要になり
>そうな箇所って、数列をどう取るかでしょ。

或る数列{a_n}の任意の部分列が同じ点x∈Rに収束するなら、{a_n}もxに収束する
っていう定理だな。これは選択公理を使うとε-δで示せる。
微積分の範囲だと収束の定義にε-δ使う筈で、ここで選択公理が必要。
それを使って、関数列の広義積分とか考えることになる。
だから、初等的な微積分で既に選択公理は使ってる。
高々可算無限個の点で不連続な関数を考えるときも、選択公理は使ってる。

>>739
f: X → B が全射ならば、あるs: B → X があって合成 f s が恒等写像にできる
は選択公理と同値な命題ですか？

>>739
そういう話を聞きたいんじゃなくて選択公理を使わないで初等微積分をどの程度展開出来るかってこと。
>>697はかなりいけると考えてる。

>>741
高々可算無限個の点で不連続な関数の積分の話になると選択公理は使う。

>>741
逆にいえば、選択公理を使わずに行けるのは、せいぜい無限級数あたりまでだろうな。
その計算となると、選択公理が必要だろ。

>>740
X、Bが共に非可算集合のとき、その命題を証明するには選択公理が必要になり、
逆にそれから選択公理を証明しようとすると、
f:X→Bは全射なんだから、その定義から選択公理は既に成り立ってる必要がある。
そうでないと、fが全射という仮定を真として考えることが出来ない。
例え仮定が偽であっても、選択公理がないとs:B→Xが定義出来ない。
よって、選択公理と同値になる。
一方、X、Bが共に可算のときは、選択公理と同値でない。

>>742
初等微積分では高々有限個の点で不連続な関数が扱えりゃ十分だろ

>>743
>逆にいえば、選択公理を使わずに行けるのは、せいぜい無限級数あたりまでだろうな。

関数の微積分は扱えないということ？

>>745
>>746
高々有限個の点で不連続な関数でいいなら、選択公理はいらない。
関数の微積分にも、選択公理はいらない。
級数考えてそれから関数の微積分考えるから、
無限級数を初等微積分で必要としないなら、選択公理はいらない。
だが、無限級数を扱うとなると、選択公理は必要になる。
テイラー展開だの計算の話となると、選択公理は必要になる。

>>747
>だが、無限級数を扱うとなると、選択公理は必要になる。

どこで無限級数のどこで選択公理を使います？

>>745
>>746
そういえば、eを無限級数で定義しないで微積分は出来ないだろ。
eを定義するとき、無限個の実数の和を足しますって感じで、選択公理は使ってる。
だから、選択公理を使わないで微積分を展開するとなると、かなり制限されるな。

>どこで無限級数のどこで選択公理を使います？

無限級数のどこで選択公理を使います？

>>749
e = Σ1/n！ この定義のどこで選択公理を？

logを∫(1/x)dxで定義したあと、expを逆関数で定義する
dy/dx=y, y|x=0 = 1 の解としてexpを定義する
とかじゃダメなの？

>>748
>>750
級数の部分和がsに収束するとき、その極限としてsを無限級数で表す。
つまり数列の極限に選択公理を使うことになるが、
数列を定義するには可算選択公理が必要になる。
単純に考えたら、数列は無限個の実数を並べたモノだろ。

>>753
>つまり数列の極限に選択公理を使うことになるが、

何故？

関数の定義に選択公理が不要で数列の定義には必要って意味不明なんだが

>>752
微積分をしないで、いきなり微分方程式を微積分の話に用いるのか。
微積分を展開しないで微分方程式を扱えるならそれでいいんだが、その方法は分からない。
歴史的には積分や微分方程式が微積分より前にあったから出来るかも知れないが、
どうやって積分や微分方程式から微分を厳密に定義するんだ？

微積分の一般論にexpの定義は要らないだろ、たぶん

>>754
部分和は数列の項だろ。

>>755
関数の定義と選択公理の関係については何も書いていない。

>>758
部分和の定義のどこに選択公理？

>>758
>関数の定義と選択公理の関係については何も書いていない。

>>747で高々有限個の点で不連続な関数でいいなら、選択公理はいらないと書いてるけど。

>>754
失礼。>>758では答えになってなかった。
数列の極限を考えるには数列が必要だ。
その数列は何かといったら、可算個の有理数(或いは実数)を並べたモノだろ。
それを構成するには、選択公理で可算無限個の有理数(或いは実数)を取り出す必要があるだろ。

>>760
そういう関数の定積分や広義積分のことを考えていたんだよ。

>>761
例えば級数 Σ1/n！の定義のどこに選択公理を使う？

>>697
> ルベーグ積分になると衝突しまくり。
調べたことねーだろ

>>763
無限級数の定義には∞がという記号が必要で、
それを定義するには、その前に数列の収束について考えることになる。
それには、実数列を考えなければならないが、
そうするには、実数体から可算無限個の実数を1度に取り出すことになる。
その際可算無限公理を使う。よって、選択公理は使ってる。

>>765の「可算無限公理」は「可算選択公理」の間違い。

>>765
今、問題になってるのは初等微積分で選択公理を使わずにどの程度までいけるかということ。
あんたの意見だと数列は全く使えないということ？

>>767
デデキント切断で実数を定義してから初等微積分を展開する方法だと、そうなるな。

>>768
それはない。
例えば有界数列は収束部分列を含むという定理はZFで証明出来るって上の方に書いてある。

ルベーグ可測でない集合の構成くらいは
できた方が良いでしょう

>>770
それが初等微積分で必要なの？

>>765
いや、それは違うでしょ
与えられた数列の極限を定義するのに選択公理はいらない
数列を構成することと混同してるんじゃないか？

>>772
単に実数を並べるだけだから、数列の構成自体に選択公理はいらないが、
それを記号で{a_n}などと表記するとき、
その{a_n}はどういう扱いになるかといったら、{a_n}は構成した数列自体を指すだろう。
つまり、{a_n}は並べられた可算無限個の数を指すだろ。
その{a_n}という表記のときに可算選択公理が必要になると思うが。
ちなみに、私は小平解析入門を読んだ。

>>773
あんた完璧に勘違いしてる

ここは本の話をするところ、糞論は糞論すれでやれ

あらしコピペより１００倍まし

>>774
例えば、証明で「数列{a_n}が…」などと書いたら、
実数体から可算無限個の実数を1度に取り出して{a_n}を構成したことになるぞ。

>>774
証明で、「数列『a_1、a_2、…、a_n、…』が…」という表記では、実数を並べて数列{a_n}を構成しているのに対して、
「数列{a_n}が…」という表記では、実数体から可算無限個の実数を1度に取り出して数列{a_n}を構成している。
この微妙な違い、分かるよな。

>>776
おこちゃまか

>>774,777,778
すれちだ、わかるよな

すれち承知で書いてるから何度も言わなくていい。

>>781
すれち

>>777
あんた全く分かってないからもういいよ

>>779
なら、荒しコピペにも文句言えよ

>>783
任意の数列{a_n}が…などといったら、実数体から可算無限個の実数を1度に選び出すことになるだろ。
いってる意味分かるか？

>>783
数列空間をSとして記号で表すと、「∀{a_n}∈S」になる。
このとき、実数体から可算無限個の実数を1度に選び出すことになるだろ。

>>785
数列って単なる写像だよ？一体どこで選択公理を使うのかはっきりと示してくれ、できるものなら。

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>>787
任意の数列{a_n}といったら、定義された写像a:N→Rのすべての像を1度に取り出している。
a(N)の元をすべて1度に取り出している。a(N)は可算無限集合だから、このとき可算選択公理を用いている。
可算無限公理がないとこれは出来ず、高々有限個の像しか1度に選ぶことは出来ない。
a(N)は数列ではなくなる。

数列の定義に選択公理を使うと勘違いしてる人がいるな…；
雑な頭しとる

とんでもない人が現れたなｗ

>>789
その「取り出す」のは分出公理に拠っているのです
普通は必要ないけど、貴方は（公理的）集合論の勉強をした方がいいかもしれません

確かにそれは分出公理だな
勘違いしてる人、さっそくググってこい

まずは「一度に取り出す」とかの曖昧な表現をやめるべき

久々に真性のトンデモ現るｗ

この場合は置換公理と言ってもいいと思う

>>787
数列は単なる写像ではなく、各自然数nに対する像a_nを、
自然数nが小さい方から並べて行かないといけない。
数列{a_n}をa_2、a_1、a_3、…、a_n、…などとは書かないだろ。

>>792
ああ、公理的集合論はさっぱり分からんし、暇なとき調べるよ。

>>797
全く意味が分からない
数列の定義を何だと思ってるの？

>>797
それは選択公理を使っているのではなく、数学的帰納法を使っているんじゃまいか
recursion theorem とかでググってみれば？
（大抵の教科書では言及さえされない定理だから、無意識に使っている人も多いと思う）

>>798
http://math.stackexchange.com/questions/46756/explaining-why-a-function-is-well-defined

Recursion Theorem.
Let X be a set, let a∈X,
and let g:X→X be a function. Then there exists a unique function u:N→X
such that u(1)=a and u(n+1)=g(u(n)) for all n.

>>797
議論につきあってあげるから
数列の定義だけは教えてくだはい

>>799
集合論で勉強したときは実数はNからRへの写像と書いてあったな。
だが、確か小平解析入門には、高校数学と同じように、実数を並べたモノと書いてあったな。
それをマジメに定義として採用していた。

>>800
そのあたり全くの音痴だからゆっくり調べる。

>>800
今の場合recursion theoremは関係ないだろ。
数列 a_1、a_2、．．．と (a_n)、n ∈ N は同じ意味

>>804
いや、おそらく数列を何らかの方法で「構成する」ときの話をしてるのかと思ったからさ

因みに数列を {a_n} と書くのが一般的だが俺に言わせればこれはアホ

>>805
構成するときの話ならこんなに大騒ぎしないｗ

>>807
勘違いしている人は
「抽象的定義」と「構成的定義」の区別がついていないものと思われる

>>803の「実数はNからRへの写像」は「数列はNからRへの写像」の間違い。

トンデモは、自分の良く分かってないことでも自信満々に主張するから困る。
自分を疑うということが出来ない人間。

>>810
それはトンデモに限らないだろ。
誰でも思い込みはある。

>>810
トンデモでもいいけど、基礎論や公理的集合論は必ずしも必要ない。
その方面の専門家も沢山いるだろう。

>>809

写像の定義：
fが集合Aから集合Bへの写像であるとは
fは直積A×Bの部分集合であって、任意のa∈Aに対して(a,b)∈fとなるb∈Bがただ一つ存在することである。
このとき、Aをfの定義域という。
数列（より一般には点列という）とは、定義域を自然数全体Nとする写像のことである。


この抽象的な定義に選択公理を使う余地などない。
もちろん、具体的な数列を構成するときには選択公理を使う場面もある。
中にはそういう場面もあるというだけで、
例えば数列a_n＝1/n! というふうに一般項を与えてやれば、選択公理は必要ない。

微積分の理論を展開する際は、抽象的な一般の数列の性質を論じたり、具体的な数eを定義したりするわけだが、
このどちらにも選択公理は必要ない。
必要となる場面というと、与えられた数列から性質のよい部分列を取り出して収束定理を導くときなど、極々限られた状況しかない。


貴方が勘違いしているのは、数列は常に具体的に構成されなければならないと思い込んでいること。わかった？

何が知りたいのかは多様であってもよい
初等微積分そのものではなく
初等微積分の論理を突き詰めたいのなら
それもいいだろう

>>813
初等微積分の数列といったら、{a_n}は自然数の順序に従って具体的に構成される必要性があるとばかり思っていた。
一般項の定義とかまでは書いてなかったと思うんだよな。
微積分で数列をNからRへの写像として扱ってよい訳ね。
それなら、確かに微積分で選択公理は余り必要なくなる。
数論的関数も数列で事足りる。
だが、並行させる方法はあっても、微積分に或る程度の集合論は必要になるな。

いまいち何を誤解してたか良く分からんが、まあ個人的なことだから
どうでもいいなｗ

>>784
関係ねーだろ、お子ちゃま

>>816
いやね、単に数列{a_n}といったら、
任意の項の記号a_nは1つの抽象的な実数の記号になるのか、
それとも1つの具体的な実数の記号になるのか、
そのあたりが分からなかったんだよ。
代数の言葉でいえば、{a_n}を単なる文字列として扱うのか、
(例え具体的値がまだ分からなくても)実数が代入された文字列として扱うのかっていうこと。

>>817
両方ともスレ違いだから関係大有りじゃん、赤ちゃん

>>818
ますます何が分からなかったのかわからないｗ

杉浦解析Iを捲ってみたら
選択公理を使う場所を明記してあったよ。
定理I.6.2のところ。

かなり基本的な定理なので、選択公理を使わずに微積分を構築するのは無理っぽい。

>>821
かなり基本的な定理ってどういう定理？

>>821
杉浦を持ってない人にも分かるように説明してよ

>>819
こんにちは、馬鹿

>>824
超古いなｗ

>>822
田中尚夫の選択公理と数学から引用
選択公理と同値なのが、
チコノフの定理、チューキーの定理、ベクトル空間の基底の存在、など。
可算選択公理が無いと証明できないのが、
閉包の点列極限による定義との同値性、同様にコンパクトと点列コンパクト、など。

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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>>826
>閉包の点列極限による定義との同値性、同様にコンパクトと点列コンパクト、など。

このあたりは上でも分かってる。
今ここで問題にしてるのは、これ等を使わないでどこまで初等微積分が展開出来るかということ。
言い換えるとこれ等を使わないと何が出来ないのか？

>>825
で馬鹿びっぱー

>>821
収束点列を使う論法は全滅ってことだな

連続関数がコンパクト集合上で一様連続である(ハイネの定理)ことを示すのに選択公理が必要。
つまり、選択公理抜きでは連続関数が有界閉区間上で可積分であることを証明できないってこと。

>>831

>連続関数がコンパクト集合上で一様連続である(ハイネの定理)
>ことを示すのに選択公理が必要。

このあたりの議論について、僕は精査しことがありますけどね、
結論から言うと、選択公理は必要ないです。

つまり、以下の定理は、ZF から証明可能：

「コンパクト距離空間 X から距離空間 Y への
任意の連続写像 f は、一様連続」

詳しくは長くなるので述べませんが、ZF での証明には、
一様空間論を使います。

同様に、X がコンパクトハウスドルフ空間、Y が一様空間のときも、
同様に成り立ちます。（コンパクトハウスドルフ空間には、
その位相と両立する一様構造が、ただ一つ存在します。）

>>739

>或る数列{a_n}の任意の部分列が同じ点x∈Rに収束するなら、
>{a_n}もxに収束するっていう定理だな。
>これは選択公理を使うとε-δで示せる。

ZF で証明できますよ。

もっと一般に、次のことが ZF で証明可能：
位相空間 X の点列 (x_n) が b∈X に収束する
ための必要十分条件は、(x_n) の任意の部分列が、
X に於いて b を集積点として持つこと。

杉浦解析の定理I.6.2を選択公理を使わないで証明できるの？

>>834
だからその定理の内容をここに書けよ。
杉浦持ってないやつもいるし、
持ってても手元にあるとは限らない。

なにを拘ってるのか知らんけど、よそでやってくれ。

>>834 一般の形では、わからないが、部分的には ZF で O.K.
例えば、B の可算稠密部分集合の存在を仮定すれば、大丈夫。
特に、R^n の開集合 から R^m への点列連続写像は、
連続になることが、ZF で証明できる。

うざ

>>837
次の本にその証明が載っている。
Herrlich, H. The Axiom of Choice (Springer, 2006)

age

>>839 ありがとう、後で購入してみます。

>>800
>>820
数列を誤解していた例の人間なんですけどね、
恐らくカントールの実数論を殆ど知らなかったのが大きな要因ですね。
集合論は現代数学概説�Tの集合の部分を読んだんですけど、
集合を扱ってる割には、何が公理なのか強調して書かれてなかったです。
空気のように外延性公理や空集合の公理を公理として仮定してたと思いますね。
その割には、何故か選択公理は公理として強調してましたけど。
しかし、同じ著者？が書いた集合論の本にしては、妙によいモノが手元にありました。
集合と位相っていう本なんですけど、これは公理が強調されてて帰納定理も載ってますし、よいです。
カントールの実数論も載ってました(手元にあるから調べたら、現代数学概説�Tにも付録としてカントールの集合論は載ってましたけど)。
確かに実数の構成に選択公理はいらないです。

平面R^2や空間R^3が共に空でないこと(こんなこと微積分に必要なのかどうかは知らんが)の証明に選択公理はいる。
従って、R^2やR^3、及びこれらの非可算な部分集合(例えば円や球など)を考えるとなると暗に選択公理を用いることになる。

＞平面R^2や空間R^3が共に空でないこと(こんなこと微積分に必要なのかどうかは知らんが)の証明に選択公理はいる。

え？

ところで、ここって選択公理のスレだっけ？

>>844
例えば、直線をRで表すと、平面は直積R×R=R^2なんだけど、
この直積が空でないことを示すのに選択公理がいる。
もっと一般に、添数集合I={1、2}によって添数付けられた集合族を{R_1、R_2}として、
R_1、R_2≠φとすると、直積R_1×R_2が空でないことを示すのに選択公理がいる。
ここでR_1=R_2=Rとすれば、平面R×R=R^2が空でないことが分かる。

>>846
釣りだよね？

>>847
では、選択公理を使わずに、R^2が空でないことを示してみて

>>847
よく考えたら、確かに平面R^2や空間R^3のときは選択公理はいらないけど、
>>846の命題を更に一般化させて、Iが可算無限集合や非可算集合とした場合は選択公理が必要になる。
まあ、これらの場合はもう微積分ではないが。

>>848
(0, 0) ∈ R^2

>>849
(0、0、．．．) ∈ R^N

>>849
釣りだよね？

選択公理が必要なのはΠA_iでしかもA_iたちに
特別名前の付いた要素が無いみたいな場合ね
普通の微分積分ではこういう集合は出て来ないです

>>851
この構成法だと、添数集合Nによって添数付けられた集合族I={a_n|a_n={0}、∀n∈N}に対して、
任意のa_n={0}∈I、n∈Nについてf({0})=0であるような写像f_n:{0}→∪{0}を考えることで
点(0、0、…)∈R^Nを構成しているから、選択公理は使ってる。

>>854の
f({0})=0であるような写像f_n:{0}→∪{0}
は
f(0)=0であるような写像f_n:{0}→∪{0}
の間違い。

>>854の
f({0})=0であるような写像f_n:{0}→∪{0}
を
f_n(0)=0であるような写像f_n:{0}→∪{0}
に再度訂正。

>>854
釣りだよね？

>>857
数列の構成の場合と違って、これは確実に選択公理を使ってる。

>>858
あんた例のトンデモの人？
数列というのは R^N の要素のこと。
数列の構成に選択公理は必ずしも必要ない。

>>859
一般項をa_n=0としてR^Nの点を構成したならよいが、
ただ単に点(0、0、…)∈R^Nとして数列を構成したら、
厳密には、必ずしも一般項がa_n=0である保証はない。

トンデモ確定ｗ

>>861
0、0、…が無限個の0からなる数列であることを保証するには、選択公理が必要だ。

そもそも選択公理が何かということについてよく分かっていない者が選択公理を語るべきではない

選択公理というのはユークリッド幾何学の平行線の公理みたいなもんだな

>>863
>>862のどこに間違いがある？

トンデモが信じてることをそうでないと納得させることは不可能に近いなｗ

>>866
0、0、…というのは直観的な表記だ。

>>862
「0,0,…」とはなんですか？

>>868
直観的には無限個の実数0が並んでいる数列だが、
厳密にはそれだけでは無限個の実数0が並んでいる数列という保証はない。
それ以前に或る項0が実数ではなく或る加群の零元であるかも知れない。

処置なしｗ

>>870
或る加群Gの零元0からなる無限列0、0、…なんて簡単に構成出来るよ。
零元0_GのGを省略して書けば、或る項が0∈Gで他の項が実数0である無限列0、0、…も構成出来る。
だから、0、0、…は必ずしも実数0のみからなる数列とは限らない。

>>871
>>843からスレを読めば処置なしだということがわかる

これはひどい
数列の構成に選択公理が必要って言ってた人と>>843は同一人物かな？

>>872
では、普通に0、0、…を一般項が0の実数列とみなす。

>>873
>>843の命題は、選択公理を用いて示す方法もある。

もう一度選択公理を勉強し直してください
集合の有限個の直積は選択公理と関係してこないよ

>>876
無限個の集合の直積の場合、選択公理は必要だよな。
>>843はの命題はその特別な場合だと思うんだよな。

>>877
有限個の直積は選択公理要らない。

>>876
まあ、現代数学概説�Tなんていう変わった本で集合やったからかな。
何が公理なのかがさっぱり分からないんだよな。
手元に集合と位相があるから、こっちで集合論やり直すわ。

>>878
了解。

>>877
無限個の直積でも例えば X^Y が空でないことを示すのに選択公理は不要。

>>879
>何が公理なのかがさっぱり分からないんだよな。

学部で公理的集合論はやらない。
数学者でも公理的集合論の公理をちゃんと知ってる人は少ない。

>>879
あんたの問題は読んだ本が問題ではなく（略

>>883
最初っから現代数学概説�Tを読んでみるといい。
変わったというか、妙に難しいやり方で写像などを定義をしている部分がある。

>>884
俺は集合論をその本で勉強した。
あの本のいいところは集合論。

選択公理の話題でにぎわってますなｗ

公理的集合論はヲワコン

>>885
そうなのか？
私の理解不足なだけなのか。
集合と位相と一緒に読みなおしてみるわ。

>>884
妙に難しいやり方って、どんなやり方？

>>889
写像についていえば、最初に2つの空でない集合A、Bの直積A×Bの部分集合G
を考えて、最初に多価写像を考えてそれから一価の写像を考え、単射などを定義していくようなやり方。

>>890
集合論で写像を定義しようとしたらそれが普通だろ

>>890
それがスタンダードです

>>891
>>892
それなら、最初に2つの空でない集合A、Bについて、
Aの任意の元に対してBのただ1つの元を対応付けて
一価の写像f:A→Bを定義しているようなやり方は一体何なんだ？
どちらかというと、こっちの方を多く見かけるのだが。

>>891
>>892
いずれにしろ、いきなり一価の写像を定義しているモノが多いことは確かだ。

>>893
対応の定義は何？

糞論で1000までか

>>895
空でない集合Aの任意の元aに対して、空でない集合Bの部分集合X≠φを考えて対(a、X)を構成すること。

>>897
どうやって対(a、X)を構成する？
選択公理を使うのか？

>>895
もしかして、現代数学概説�Tの一見複雑に見えるやり方が正しい方法なのか？
線型代数の本だとそんなやり方では殆ど書かれていないのだが。

>>898
空でない集合Aの任意の元aに対して、空でない集合Bの元bを考えて対(a、b)を構成すること
だった。現代数学概説�Tだとそのような対の全体を考えて対応を構成してたな。

>>890 ブルバキの集合論でも、そういうやり方だったよ。
他のテキストにも、ある。

>>900
だからどうやって対(a、b)を構成する？
選択公理を使うのか？

>>901
そっちが正当なやり方だったのか。これは目から鱗だわ。
線型代数や抽象代数とかの本だと、
多くの場合>>893のような方法で書いてたから、こっちが正当だとばっかり思ってた。
マジメに集合論やり直すわ。

>>902
共に空でないような2つの集合の直積を最初に考える。
それから対(a、b)を考える。

>>904
>>903に聞いたんだが。
それなら現代数学概説�Tのやり方(>>890)でいいだろ

>>905
>>903=>>904で、私の理解が不完全であることが分かった。

多価写像ってかただの二項関係でしょ

現代数学概説�Tは集合についての記述はあまり優れてはいないと言わざるを得ないので
彌永の「集合と位相」の方が良いはず

素朴集合論だとどこでどの公理を使ってるかというのが
原理的に判らないので、選択公理を使うかどうかを問題にしたいなら
きちんと公理から書いてある本で勉強した方が良い

>>907
>現代数学概説�Tは集合についての記述はあまり優れてはいないと言わざるを得ないので

俺の集合論の知識のほとんどはこの本で得たんだが、例えばどのへんが優れていないの？
反論してるわけじゃなく純粋に理由を聞きたい。

>>903
一応言っておくけど、論理的に正しければどちらのやり方でもいいんだぞ？（実際どちらも論理的に正しい）
正当という言葉をどういう意味で使ったのか知らんが…

解析と線型代数の本のスレが、なぜか集合論の本の話題で持ちきり。

>>910
解析と線型代数も集合論を基礎にしてる

>>909
現代数学は集合論を基礎に展開されてるから集合論によって写像を定義したほうがいいだろ。

>>911 そりゃそうだけどさ。なんか納得行かないなあｗ

このスレももうすぐ終りだから文句言ってもあまり意味ないだろｗ

言葉遣いの問題なのかな。

１．最初、「一般的なもの」として多価写像を定義して、
その特別な場合として、普通の（一価）写像を定義する。

２．最初、「一般的なもの」として二項関係を定義して、
その特別な場合として、普通の写像を定義する。

二項関係の G⊂E×F のに対する Dom(G) = {x | (∃y)((x, y)∈G)}
が E 全体であるかないかの違いを除いて、１．のやりかたと２．の
やり方は、同値なはずなんだけどなあ。

「多価写像」という言葉遣いがその人の直観に訴えないのかもしれない。

>>915
何に対して文句言ってるのか知らないが、１．はどうやって多価写像を定義する？

>>916 別に文句のつもりはないよ。

>>917
別に文句のつもりはないとして、１．はどうやって多価写像を定義する？

>>916
1．のやり方を真面目に考えてみたが、G が E から F への多価写像とは、
G⊂E×F で、Dom(G) = {x | (∃y)((x, y)∈G)} = E なること
としか、思いつかなかった。二項関係と同じですね。

この場合、任意の x∈E に対し、({x}×F)∩G は、
一元集合になるとは限らない。

現代数学概説で、どういう風になっているのか、知りたい。

>>919
現代数学概説もまったく同じように多価写像を定義してる。
多価写像の代わりに対応という言葉を使ってるが。

>>882
大学教授も大半が知らない、選択公理による罠を知ってる俺、
かっけー、って人が多いんですよ。

で、そういう奴が数列がわかってないというｗ
選択公理をメインに解説した本は十数冊くらいある（和書は1冊しか
ないはず、古い翻訳がもう一冊ある）。

>>903
普通に微積や線型代数で、写像に慣れておいてからじゃないと
>>890みたいに書かれても意味わからんだろ。

数学ってそういうものだから。予備知識が全く無くてもブルバキは
読めるように書いてるが、普通の知性の持ち主は読めないっての同じ。

>>922
素朴集合論にしろ濃度とか順序数を扱ってる本格的な集合論（現代数学概説�Tみたいな）を大学１年で
やらないだろ。

>>923
「集合と位相」にあたる講義を1年後期でやってた
大学は、昔はあったと思う。今はなんでも後回しに
なってるから、ないかもしれない。

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>>924
そりゃやろうと思えばやれるだろ。
しかし、それが良いかどうかは別問題。
昔は中学でも集合論をやってたしｗ

>>926
中学で、簡単な集合論、写像の概念（イギリス→ロンドン、フランス→パリ
みたいなのをやってたｗ）をやって失敗でもなかったと思うけどね。
教員サイドが対応できないってのは大きいが

集合論はカントールがようやく１９世紀の終わり頃に創始した。
カントールが集合論を考えるようになったきっかけはフーリエ級数論。
あるフーリエ級数が収束しない点の集合を調べていたときだった。
要するに実解析の微妙な部分に遭遇して初めて集合というものを
真剣に考える必要に迫られた。
それからデデキントのイデアル論も集合論に対して影響している。
いずれにしても大学１年で扱う題材とは程遠い。
カントール以前は集合論無しでほぼ問題なく数学やっていたわけで。

>>927
大失敗だよ
日米ともに失敗してるじゃん
集合論を教える前にもっと大事なことがあるだろと

文字式ふくんだ計算力・式変形や、立体までふくんだ図形的な直感みにつけないと、集合論やっても陳腐な発想しかできん

別に歴史通りに教える必要はないだろ。

微積だって、コーシー以前は収束気にせずやってたし、
εδはワイエルシュトラスくらいから。
オイラーはそれで何も困ってなかったけど、
今は最初から収束やったほうがわかりやすい。

多変数の解析やるとか、線型空間の概念とかやるなら
素朴な集合論知ってると身につきやすい。1年後期に集合やってた
大学って、それなりに見識あったと思う。ゆとりでは無理だが

多変数の微積は、位相的な概念なしには語れない

>>929
70年代に集合教わった今の40代、50代が失敗だったと？
ゆとりのほうがよっぽど失敗だろｗｗｗ

今の40代、50代のどこが失敗じゃないの？

団塊だろ

>>934
集合を教えたから失敗したって分析あるの？ｗ
集合やってないより団塊よりダメなの？

ゆとりになって、いろいろ落ちてるってデータは
どこまでが本当かともかく、いくつも出てきてるけどさ。

>>931
よく誤解してるやつがいるけどεδはコーシーが始めた。
因みにコーシー列もコーシーなｗ

>>936
例えばアメリカ生活が長かった小平邦彦は娘がnew mathの犠牲になったといって嘆いていた。
要するに基本的な計算が身についていない。

>>938
アメリカのほうが失敗したって話だろ。

ちなみに、ゆとり教育もアメリカ起源で、日本が導入しようとした
2000年頃には、すでに米国で失敗してたと報告があったけど
日本の教育界、文科省はスルーｗ

>>939
日本も失敗した

>>937
ちゃんと調べたわけではないが、コーシーの論文の中に
εδ論法にあたる手法が使われていたのであって、
極限の定義としてεδ論法で確立したのは、コーシーの後。

誰でもわかる形にしたのがワイエルシュトラス。

>>940
ゆとり教育は明らかにそうだなｗ　
new math 失敗の分析ってまともなのあるのか？

小学校、中学校の伝統的な算数教育に手を入れる必要はない。
いじればいじるほど悪くなる。
問題ないのにいじるのはアホ。
よほど明確にメリットがあると分かっていれば別だが、
教育で事前にそれを知ることはほとんど不可能。

>>941
>ちゃんと調べたわけではないが、

なら説得力ないなｗ

アーベルだってεδ論法を使いこなしていただろ。
そうでなけりゃ冪級数のアーベルの定理は証明出来ない。

>>942
new mathは日米とも失敗したから中止したんだろ、常考

new mathが成功してりゃ今もやってる、常考

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new mathが成功してりゃ今もやってる、常考

>>945
アーベル全集くらい読んでから言おうなｗ