数学基礎論・数理論理学　その12

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/

前スレのSanders御犬ネタのまとめ(1)

815 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 07:42:20.85
www.math.tohoku.ac.jp/~y-keita/friday-seminar/friday-seminar/sanders1112.pdf

↑の文書の27ページ目に

(#2) CZF proves "Each total function from R to R is continous"

とありますが、本当でしょうか？
これが正しいとすると ZF は CZF に排中律を加えたものらしいので、
ZF でも "Each total function from R to R is continous" が
証明できることになってしまうと思うのですが。

816 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 08:31:44.53
「正則性公理がないとZFCは矛盾する」以来の大ネタになりそうなヨカン

817 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 08:57:52.35
>>815
超準（Non-standard analysis)での話だと思われますが?

820 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 17:32:29.74
>>815
CZF proves "Each total function from R to R is continous"
これは次のようなことではないでしょうか？

「『実数上の全域関数』として構成的数学において認められるモノ」はすべて連続である。

『実数上の全域関数』と通常認められても構成的数学ではそうでない、
というモノがきっとたくさんあるので、
ZFが変な事を証明するということにはならないと思います。
素人なので間違っていたら恐縮です。

前スレのSanders御犬ネタのまとめ(2)

826 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 21:11:38.20
>>820
公理が増えれば定理が増えるのは当然。
もし "Each total function from R to R is continous" が CZF の定理なら
CZF + PEM = ZF の定理にもなる。この点は>>815が正しい。

>「『実数上の全域関数』として構成的数学において認められるモノ」はすべて連続である。
これは正しいが、この事実を
>(#2) CZF proves "Each total function from R to R is continous"
と表現するのは、論理学の初歩が身についていない「駆け出し」の典型的な誤り。
そのページの(#4)も同様に間違い。

829 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 21:55:07.75
>>815
その文書は他にも嘘多数なので、参考にしないように。
トンデモ愛好家の方に「是非」と勧めるレベル。
著者は、駆け出しの学生さんかと思ったら、博士号をお持ちだそうだ。

BHK interpretation の定義も、∀の解釈は通常と同じと書いてあるが真っ赤な嘘。
これでは直観主義論理 IL ではなく、中間論理のCDになってしまう。
27ページの (#1) IL rejects AC というのも、
"reject" の意味が不明瞭なので断定出来ないが、かなり濃い灰色。
何故なら Bishop 流の数学では、ある種のACを認めている。

830 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 22:00:35.13
その他、細かい間違いが多数あるが、書くのが面倒なのでやめとく。
「その文書は信用すべきでない」を示すのにはこれだけ間違いを指摘しておけば十分だろうから。

前スレのSanders御犬ネタのまとめ(3)

831 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:13:08.78
>>826は、「古典論理で不連続関数となるような対象 "f" は本当は不連続な関数なのだが、
構成主義では公理が弱いからその存在が証明できないのだ」と考えるんだろうけど
「或る対象は構成されて初めて存在する」と考える構成主義者はそもそもそう考えない。

だからこそ、排中律も
「本当は成り立っているかも知れないのだが公理系が弱いから証明できない」
じゃなくて単に
「排中律は成立しない（つねに"反例"が存在する）」
という風に表現されるわけで。
「本当は〜〜なのだが」という類の言い方は構成主義に真っ向から反する言い方だと思う。

敢えて二重引用符"で挟んであるのは、二重括弧の中が構成主義的な言明で
外がメタな立場での言明だからでしょ。
こういう言い方は構成主義の話をするときには多くの人がするので
>「駆け出し」の典型的な誤り。
などというのは如何なものか

前スレのSanders御犬ネタのまとめ(4)

832 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:24:22.76
>>831は著者本人か？日本語が達者だなｗ
って思うくらいに著者と同レベルのレスだな。

>敢えて二重引用符"で挟んであるのは、二重括弧の中が構成主義的な言明で
>外がメタな立場での言明だからでしょ。
問題になっているのは

>CZF proves "Each total function from R to R is continous"

なんだが。CZF ってのは形式体系でしかない。
構成主義というのは CZF の「可能な解釈の一つ」でしかない。
CZF は ZF の部分体系であるのだから、古典数学も CZF の「可能な解釈の一つ」。
命題 A が形式体系 T で証明可能だということは、
その命題は T のどんな解釈でも正しいことを意味する。
こんなことは論理学の初歩。

よって CZF proves "Each total function from R to R is continous" と書いてあれば
CZF の可能な解釈の一つである古典数学でも
"Each total function from R to R is continous" が正しいということ。
Sanders本人も>>381も、論理学の初歩が全く身についていない駆け出しだということだ。

834 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:31:47.99
831は、
「排中律が証明できない」と
「排中律の否定が証明できる」
の違いから勉強してくるべきだなｗ

前スレのSanders御犬ネタのまとめ(5)

835 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:38:27.56
だからその構成主義的な解釈の仕方で或る命題を読むと
そういう表現になるというだけだろ。
その前にブラウワーの話とかをわざわざしているのだから
文脈上そのくらいの補間をすることは求められているんじゃないか？
普通のロジックの分野だとprovably continuousとか言うのかも知れないけど
直観主義者は大抵そういう言い方を嫌う。

>>826みたいな事言うのなら今度から
　実数上の全域関数には不連続なものがある。
じゃなくて
　「「実数上の全域関数」として古典論理上の数学において認められるモノ」」には不連続なものがある、
と言うようにしてくれよ。CZFをZFCや普通の数学と両立しないやり方で拡張することだって出来るんだから。

836 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:44:31.86
アホだな。

>CZFをZFCや普通の数学と両立しないやり方で拡張することだって出来るんだから
どんな拡張しても定理は増える一方で、
定理であったものが定理でなくなることはありえない。
つまり CZF で定理だという以上、
「どんなやり方で拡張しても」定理でなければいけない。
「ZFCや普通の数学と両立しないやり方」があったとしても
「ZFCや普通の数学になる拡張」がある以上言い訳になっていない。

>「「実数上の全域関数」として古典論理上の数学において認められるモノ」」には不連続なものがある
メタレベルとオブジェクトレベルの区別を付けてから出直してくるんだな。

前スレのSanders御犬ネタのまとめ(6)

837 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:47:46.85
なんか>>836は覚えたての言葉を披露したがってるようにみえる
"Each total function from R to R is continous"を額面通りに読んではいけない、という要旨が伝わっていないようだ

838 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 23:53:04.77
CZF＝構成主義、というスローガンだけ知ってて、中身分かっていない駆け出しがウロウロしているようだ。
この等号はある意味では正しいが、ある意味では正しくない。
少なくとも>>820のような解釈をすると、CZF=構成主義は正しくない。理由は>>815の通り。
もし

It is true in Constructivism "Each function from R to R is contious"

と書いてあるのなら>>820みたいな解釈の余地があるので間違いではない。
しかしきっちり定義のある形式体系 CZF を使って

CZF proves ....

と書いてあれば明確に間違い。

840 ：１３２人目の素数さん：2012/03/11(日) 00:01:07.00
直観主義数学というのを形式化されてないもので、いうのなら別だが、
通常よく知られており正しいのは、実関数が閉区間で定義されていること
が証明可能なら、（一様）連続である。

841 ：１３２人目の素数さん：2012/03/11(日) 00:20:37.32
>>840
CZF は古典数学、直観主義数学、再帰数学の共通部分を抜き出したもの。
直観主義数学を形式化したものが CZF だなんて思っているようじゃ論外だよ、君は。

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640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品

�@『監査法人 (2008)』反体制・反社会

�A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会

�B『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会


日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員


テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は

>>前スレ975
>定理の証明はトンデモとは違ってちゃんとしているけど、
>結果の意義の説明ではトンデモみたいな理屈を付ける人は多い。
>だいぶ前に話題になった某F先生の
>「基礎の公理の下で完全性定理が証明できるから」も滅茶苦茶だけど、
>論文の定理の証明がトンデモというわけではない。

>>前スレ987
>フチノがアンサウンドな精神の持ち主であることは
>文章を読めば誰でもわかることである。
>
>まあ、数学者にはそういう人が少なくないが。

数学者も論理的でなんかは全然ないってことだなｗ

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そういえば Sanders の発表スライドで
「フチノ・センセイに評価されています」みたいなアピールが入っていたけど、
フチノ・センセイはトンデモ理論にまんまと騙されたってこと？

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＞>>885のリンク先見てみましたが、
＞どこかで聞きかじった断片的な知識を組み合わせて独自理論を打ち立ていて
＞とってもクリエイティブな講演ですね。
＞構成的数学では εo 番目の Hardy function H_{\varepsilon_0} を越えられない、
＞とか書いてあるけど、CZF なんかでは H_{\varepsilon_0} を越えられるし。
＞構成的数学＝ハイティング算術、という前提で誰かが言っていたのを
＞ろくに理解しないまま断片的にだけ受け売りしたんでしょうね。

サンダースの小犬のグループには江口さんっていう Hardy 階層とか
証明可能再帰関数の理論の専門家がいらっしゃるのに不思議ですね。
こういう間違いを見落とすとは思えないんですが。

>>16
そこら辺は、出来の悪い連中同士がつるんで
お互いに「優秀優秀」言い合っているようにしか見えないな

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>>F先生の云々
よーわからんが　この話か？
?ttp://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/foundation.html
人違いだとまずいだろうから確認

前スレ 966 は某TH大逆数学派のものと思われる。
逆数学というだけでも、まあ、なのだが、それが直観主義論理上のもの
の逆数学って何？って感じだね。

すいません、
計算量関係で出てくるtruly fasibleってどういう意味でしょうか？
その方面の書籍にあたっても出てこないので...

Truly feasible。
ググっても正確な定義が今一出てきませんね。

Elliott Mendelson
Introduction to Mathematical Logic, Fifth Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)
数理論理学はじめの一冊に最適。
古典論理の初等的定理がかなり詳細に掲載されている。
ゲーデルの第二不完全性定理の可導条件は省略されているものの、
ゲーデル数化の方針は十分に示されいる。
公理的集合論はZFCではなくNBGを採用しており異色である。

>>20
だとすると、グループの仲間の研究のオリジナリティを否定するカキコミだが、
あそこは内紛でも起きているのか？

>>24
S. Sanders はただのバカだろう．どこでもおバカが職につくことがあるって
ことだね．定職ではなさそうだが．

>>23
NBGってBGとかGBとか色々な表記を見るけれど、
この3人それぞれの貢献ってどうなっているの？

集合論の代替を自称するメレオロジーは
実は普通の述語論理・集合論と変わらない、トンデモ研究。

>>25
そのただのバカにまんまと乗せられた某F先生

>>26
ノイマンが独力で作ったものを
かなり後になってベルナイスとゲーデルとロビンソンが簡易化したと言われている。

んだら NBGR というべきだな、ロビンソン皮磯酢

>>28
サンダース御犬と仲いいことアピッてるバカは他にもいるぜ。
twitter.com/georg_logic/statuses/175508453345857536
フチノは「評価している」ことに御犬に勝手にされただけかも知れないが
こいつは自分でアピッってやがるｗ

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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10.11.6_01/15　リチャード・コシミズ｢日本らしい日本を取り戻そう！..｣

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>>31が勝手にアピールだと解釈しているだけだと思う

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>>35
本人乙

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>>24
数学の講演には、オリジナルの結果の披露ではなくその分野のサーベイの講演というのも多くあります。
ですから「この講演にはオリジナルの結果はありません」という台詞を、
その台詞だけから「内紛」と解釈しているのならば、認識が違うのではないかと思います。

もしも、その講演の場（査読付き研究会なのか、単なるセミナーなのか、等）を知っていて、
講演内容も理解した上で「内紛」と解釈されているのならば結構なのですが。

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39、補足です。
かくいう私も、問題になっている講演の場も講演内容も知らないので、
あくまで一般的な意見ですが。

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>>39
講演内容は、構成的逆数学と超準解析の比較で、
これは話題のSanders御犬が最近「研究していると主張している」研究テーマ。
（研究の名に値するレベルかどうかは議論があると思われるので括弧つけとく。）
もしこの研究テーマがオリジナルでないと主張しているのだとすると、
最近のSanders御犬の研究が全否定されてしまう。

内紛ってか、TH大のそのグループ内でも、胡散臭く思われてるってだけだろ。
そういうのを内紛なんて言わないだろ、普通。

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何にしても講演中に誤りを指摘されても、修正もせず平然と公開している
３ダースの子犬に問題がある、ということに変わりはないね。

?ttp://cage.ugent.be/~sasander/papers/JSL3.pdf
講演じゃない論文のほうで再評価希望
結構面白いとおもいます（３ダースファンクラブ　キリッ）

36はトンデモじゃないよ
講演内容もしっかりしてるし

>>48
先生の名前で遊ばないでください
確かに３６＝３x12ですがせめて一対一対応でないと
（Sam 3ders顕彰会　キリッ^２）

どうせトンデモするなら
ここまではじけないと。
http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=kisoron1954&cdvol=31&noissue=1-2&startpage=9&lang=ja&from=jnltoc

>>47
講演より論文が重要つったって、講演であんな滅茶苦茶な奴の論文なんて誰も読まんだろ

何の為にトンデモ愛好者を税金に養っていると思っているんだい？

>>17が言ってるつるんでいる連中の一員が48だなｗ

>>51
幾らなんでも、JSL の査読はザルではないと信じたい。
時々「どうしてこんなのが！」という論文でも載っているけどな。
それにその論文は、36匹の仔犬が学生だった頃の論文だから、
きっと指導教官の Weiermann がチェックしていて間違いはない筈。
問題があるのは Weiermann のチェックが入っていないであろう博士取得後の講演資料。

>>52
ウリも税金で養われる身になってから議論しなおしませうと思うニダ
>>51
その論文がサーベイ程度でオリジナリティ少なすぎワロタ
といってほしかったんですがorz
>>50
Definition::（トンデモ＋インチキ）/２＝＝＞【トンチキ(or デモイン)】
Example:: ph.Y.Nakayamas'「四次元メレオロジー」 is so "デモイン”
>>53
4ダースのカキコ欲嫁

以上　（財）S_砂ersism普及教会　広報委員　IDじんせいやまんなか　敬白　

テレビで
女性に人気の
とか言っているのを見て真に受けて買い求めに走る女とか見てると　テレビっ言う宗教の信者なのかと思ってしまう


やらせA 就活中
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/3/1/31a6f8e6.jpg
やらせB 就職後
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/2/b/2b790359.jpg

世論調査もこんな感じで捏造してます
いい加減、目覚めなさい

日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、
あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。
そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる？

今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。　

世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、
テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、
戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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>>47
サーベイ程度でオリジナリティ少なすぎワロタ

>>58
ご協力有難うございます
（財）S_砂ersism普及教会　広報委員　IDじんせいやまんなか
なお当財団は現在　法人格審査局より非公式な差し止め指導を
賜り絶賛係争中でありますので寄附はご遠慮ください
詳細は以下の法務ページにて
?ttp://www.templeton.org/

なんか4次元メレオロジーがトンデモほざいてる雑魚がいるんで論破しにきましたわｗ

3次元主義はある瞬間における空間上に存在するものがユニットになってて
部分と全体は単位空間内ですべて完結してるって立場、だから時間ってのは定義不可能。
ここで、ホメオスタシス性導入。
人間の全身の細胞は一年ですべて入れ替わるんだけど
そのとき、この人間は一年前の人間と同じと言えんのか、って問題な。
ここで一年の期間全体を通した人間を形成する細胞全体を部分として
人間と言われるものが全体とするのが4次元ワーム理論。
その4次元主義の一派が件のPDFの著者や。おぼえときー！

>>60
4次元主義は良いんだけどさぁ、
メレオロジーって別に集合論として定義してもいいと思うんだけど。
だってプロパークラスの扱いが違うだけじゃん。

オントロジーを使って記述しようとか言ってるバカが
集合論を語る時の集合論は大抵、通俗書レベル。

>オントロジーを使って記述しようとか言ってるバカ
オントロジーという言葉の使い方が間違ってるような

>>63
以下６２の翻訳(案)
*\\01;phD.Y.Nakayama's 「オントロジーを使って集合を記述云々」
*\\　　is DQN. His 「集合論」 are almost near 「通俗解説書レベル」.
*\\02;My dear 5ダース(5x12)
*\\　　Are you 「中山厨」?
*\\　　Go back to 「鉄スレ」!
以上　文責　Han大人文科学科用務部内スルースキル撲滅運動同好会

つーことじゃなかろうか？　違ってたらごめんなさいm(__汗)m

哲学系の連中が、数学を分かってないで数学用語使うのを批判するのには大いに賛成だが、
その批判が分かっていないで使ってる哲学用語満載ってのでは同じ穴の狢でしかない。

>>31
変なリンクの貼り方しないでくれ
http://twitter.com/georg_logic/statuses/175508453345857536

Ｆ先生とかフチノとか書いてあるのは渕野昌さんのことね

>>67
大胆だね。

ま、当人も大胆な人だしいいんじゃね。

どう考えてもメレオロジーってのは非古典論理の一種、
もしくは部分集合に関する公理を中心とした集合論の変種なんだけど、
集合を使わずに数学を構成したと主張する方々が少なからずいる。
そういった方々の持つ集合論のイメージは、集合とその要素という関係程度。
集合論の論理式にメタの我々が持つイメージを、
構文論的構造が本来持つ特性だと錯覚している。
だから既存の記号を交換して違う公理を使えば集合論と無関係な世界が構築できたと考えている。
以前このスレで話題になったレシニフスキーやスペンサー・ブラウンはこの類の人物。

>>617
俺の彼氏のフェラチオは気持ちいいが。

レシニェフスキはウカシェヴィチと同じ大学で
同じ学派を構成する同僚として働いてるので
現代論理学の黎明期の学者。

ブルバキ以前、特にヒルベルト以前には集合論は
今のように数学者の常識になっているとは到底言えず、
一部の数学者のみが関心を持つ妙に抽象的な理論だった訳で。
彼らの仕事は、一階論理上のZFのような集合論を
敢えて使わずに数学を構成しましたという仕事じゃない。

個人的にはスペンサー・ブラウンの研究にはあまり価値が無いと思うけど
レシニェフスキは優れた論理学者だったと思うけどね。

＞「『実数上の全域関数』として構成的数学において認められるモノ」
＞はすべて連続である。

これって
「不連続な関数は、CZFでは全域関数だと証明できない」
ってことだろ。

>>73
＞「不連続な関数は、CZFでは全域関数だと証明できない」

排中律が成り立たない場合、当然そうなるよな。

(別に四月一日だからってわけじゃないからね)
これどうよ
ぎりぎりセーフかトンデモか
?ttp://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/hm.pdf
ちなみに法務頁は
?ttp://www.math.princeton.edu/~nelson/index.html

すまんが、教えてくれ。

ψ→(a∨b∨c)が恒真式であり、ψが充足可能であるようなψは、
ホーン式ではない。

上記命題は恒真命題でしょうか？

自明に思えますし、可算の範囲で変数の追加によって、
ホーン式にならない事は証明できそうに思いますが、
変数の追加によってホーン式にならないことが
ホーン式ではないことにはならない。

逆数学や形式的検証に関わる分野で、上記は
よく知られていたりしますか?

それとも、物凄く恥ずかしいことを聞いていますか?

やっと書き込めた。
さて、a, b, c が任意変数で
ψ→(a∨b∨c) がトートロジーとなるには...

¬ψ∨a∨b∨c
ψの標準系は
ψ≡p_1∨....∨p_k　（kは自然数）
で定義され、
¬ψ≡¬p_1∧....∧¬p_k であるから、
¬ψ∨a∨b∨c
≡(¬p_1∧....∧¬p_k)∨a∨b∨c
≡(¬p_1∨a∨b∨c)∧....∧(¬p_k∨a∨b∨c)
こいつがトートロジーになるには、p_1 から p_k が a, b, c のいずれかのとき、
つまり、ψ≡p_1∨....∨p_k はホーン節になり得ないわけだ。

＞逆数学や形式的検証に関わる分野で、上記は
＞よく知られていたりしますか?
これは知らないけど
普通は論理プログラミングの分野で出てくる。

メレオロジーや個体計算は位相空間の意味論だよ。
数学というより、むしろ哲学的言語学的な価値がある。
レシニェフスキは確かに集合論のような
非直感的な形式化に疑問を持ち、
唯名論という立場に立って数学を展開したわけだ。
しかしながらメレオロジーも個体計算も
一階述語論理とほとんんど同じとみなしてよいだろう。

CZFって言葉を使えば賢くなったと勘違いする香具師

論理学は数学・哲学・情報の三分野で研究されてるけど
証明論っぽくない再帰函数論やモデル理論や集合論は
数学科プロパーの研究だし、論理学というよりも数学だと言い切って良いと思う

スレを盛り上げるために
随分前の議論を穿り返してきたか。

>>80
集合論は、論理式を使うし、不完全性定理を解釈するうえでは、一番切実な
ところだから論理を研究するものは無視できないはずだが、実際には形式体系
としての集合論でしか理解されていない。これは、新井本ですらそうである。

今の研究テーマって言えば、
・いと美しき算術
・気高き算術
・最後の算術
だけど、どれも非常にスマートだい。

┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Hey!Fucking!!!
このスレ、どんどん頭悪くなってね？
Oh！Yes！Fuckin！BabY!!!

>>84
おひさー

独立性なしに現代の集合論は語れないが、
証明の形式化なしに独立性を論じることはできない。
証明の形式化を必要としている限り、集合論も論理学の一部。

同時に論理学は集合論の一部でもある、ということですね。

↑
パチンコと売春の「うんこ日本」で生活する発達障害者 （チビ、ブサ、知的障害）たち
↓

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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証明論的意味論ってなんですか？

memo:
Wolfram Class 1,2: Π^0_2-Complete.
Wolfram Class 3: Σ^0_3-Complete.
Wolfram Class 4(Chaos) : Triv.

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>>90
どこで聞いたの？

意味論的証明論ってなんですか？

ZF集合論の公理系について質問させてください。

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo?Fraenkel_set_theory

上記wikipediaによると、ZFの公理のうち、何の仮定もなしに集合の存在を主張するのはAxiom of infinityだけです。
この公理に現れるφが実際に集合であることを保証するために、
既に存在することがわかっている集合wとAxiom schema of specificationを使って
φ＝{ u∈w ; u≠u } として集合φを定義しています。
しかし、既に存在することがわかっている集合はAxiom of infinityから出てくるものしかありません。
Axiom of infinityを述べるためにはφが集合であることを知っておく必要があります。

これは循環論法ではないかと思うのですが…。
どうなんでしょうか？

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel_set_theory

申し訳ありません。正しいURLはこちらです。

>>95
「ｘが空集合である」という論理式を定義するのには、集合の存在は不要。
その定義を満たすｘが存在することを示すときに、
何か集合が一つでも存在していないといけないというだけ。
Axiom of infinity は「ｘが空集合である」という論理式を使っているだけ、
そういう集合の存在は仮定してないので循環論法ではない。

すいませんが、
P. Odifreddi, 1989. Classical Recursion Theory と
P. Odifreddi, 1999. Classical Recursion Theory, Volume II
ってcontents見る限り結構内容が被ってそうなんですが、
両者で被った項目は内容もかぶっているんでしょうか？
（1巻だけ所有しています。）

>>76ですが、

よくよく考えて見ると、

a∧b∧c → (a∨b∨c)

って、恒真式ですし、aもbもcもホーン節なんで
ホーン式なんですよね･･･orz

定義によるけど
aやbやcが正リテラルなことを仮定して回答しちゃいました。

>>97
御回答ありがとうございます。
なるほど言われてみればその通りでした。
Axiom of infinity ∃X[φ∈X∧∀y(y∈X→S(y)∈X)]
の φ∈X の部分は ∀u[∀v¬(v∈u)→u∈X] と置き換えられるわけですね。

どうでもいいけど
メレオロジーってどーなの？

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！！
　
　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

なにこいつつまんねー
レシュタニフスキの数学が
21世紀には集合論にとって代わるんだろ？

>>86
かのくるるさんをはじめ、集合論者の中にはそういう部分を疎かにしている人多いよね。
「集合論は論理学ではない」とか大きなことを言うのは、基本を抑えてからにしろよと。

>>105
佐藤憲太郎さん？
でも僕は「くるる」さんは，佐藤さんよりはるかに，，，と思うよ！

佐藤さんってくるるさんに否定的だったの？

>>78
>レシニェフスキは確かに集合論のような
>非直感的な形式化に疑問を持ち
レシニェフスキは集合論のどういうところが非直感的と主張したのでしょうか？

ブラウンの研究は意味ないがレシュタニフスキのメレオロジーは
優れているとか良くわかんないな。
http://211.1.212.79/jalop/japanese/ronbun/2003/saito.pdf
レシュタニフスキのメレオロジーも
ブラウンの形式の法則も
ブール代数もすべて同等の理論だっていうのに。
>>108
集合にエレメントが属するって考え方。
唯名論の方がより自然言語に近いと考えた。
しかしいずれにしろ数学的には同じで
クラスの扱いが違うだけ。
クラスの扱いが違う集合論ならURやNFだってそうなのに！

ZFCが定着した後でそれと同等の体系を提案したって意味はないが、
それ以前に提案してたのなら、色々な経緯でその後ZFCが定着したというだけで、
同等だから意味がないということにはならないと思う。

┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Hey!Fucking!!!
レシュタニフスキ自体が悪い？NO!
レシュタニフスキを発掘したかのようにいう哲学者が悪い！
Fuck!!!!!!!!!

メレオロジーはあまり数学科でやる研究という感じじゃないと思う

証明の形式化を（道具として）必要としている限り、
論理学の一部であるというのは必ずしも一般的な意見じゃない。

強制法を使わないと示せない定理は全部論理学の研究成果だというのは無理だと思う。

あと、「集合論は論理学なんかじゃない」、じゃなくて
「論理学に詳しくなくても集合論自体の研究は充分できるし、
実際にそうしている人が多いので自分が集合論を研究しているからといって
論理学研究者だと主張できるわけじゃない」
みたいな言い方だったと思うけどな

>必ずしも一般的な意見じゃない
最後にこれ付ければなんでもいえるなｗ

>>113
＞強制法を使わないと示せない定理は全部論理学の研究成果だというのは無理だと思う。
強制法を使っても使わなくても Set Thoery 03Exxは
Mathematical logic and foundations 03-XX の一部ですが何か？

集合論は logic ではない。
しかし mathematical logic and foundations の一部である。
これらから導かれる結論は簡単で、集合論は foundations だということだ。

基礎になりえるものであって、基礎そのものではなかろう。

>>112
数学科以外でもやる研究ではない状態。

上の方で証明論っぽくない再帰函数論なんてあったけど
再帰理論は今では計算論と呼ばれ証明論の基礎になっている。
計算論の終焉は証明論の始まりである、なんて誰だったかの言葉もある。
計算論そのものもTT完全みたいに真理値表だとか論理学
そのものと直接絡み合ってる。

「論理学」という言葉で表されているものがはっきりしない。
特に議論を始めた>>80にはそこら辺をはっきりさせて貰いたい。
様相論理とか多値論理とか非古典論理の研究が正真正銘の「論理学」だと言いたいのだろうか？

非古典論理の研究が「論理学」で、
集合論や計算論が「基礎論」ってことおk

違う言葉があるから違う意味合いを持たせなきゃいけない、という発想は本末転倒である。

正則性公理って、代数・幾何・解析のようないわゆる通常の数学でも使われますか？

>>122
>>121は>>115,>>116あたりを受けての>>113への皮肉だと思うが、なんでそんな御バカなレスがつくのやら

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　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！

>>123
ここには「代数・幾何・解析のようないわゆる通常の数学」の専門家はいないから
いるところで聞いてみた方がいいんじゃないかな？
猫なんかは呼べば来るかも知れないけど。

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>>124
>>122は>>121へのレスではないことに注意せよ

>>124
あと>>113って皮肉るに値するほどおかしいレスかい？

おかしいから皮肉られてる（と思われる）んだろ？

>>131
的外れな皮肉もあるからねえ、「皮肉られたものには必ずおかしいところがある」なんて思えない。

論理学と数学は本質的には同じものだ、という立場もあるけど、
それは一般的な立場じゃない

数学者の多くはもちろん違うと考えてるし数学者じゃなくて
論理学者や哲学者や計算機科学者でもそうだと思う

(Ｐ⊃Ｑ)⊃(〜Ｑ⊃〜Ｐ)は恒真式で、「(ＰならばＱ)ならば(ＱでなけばＰではない)」が
成立するが、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] は恒真式なのに、
[Ｐならば(ＱかＲ)]ならば[(ＰならばＱ)か又は(ＰならばＲである)] は成立しない！？！

>>132
本人乙

>>128
俺は、オマエのような奴とは付き合わないｗｗｗｗ

>>133
君の脳内「一般的」はいいから、>>120に答えてくれんかな？

>>137
私も一般的じゃないと思う

┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Hey!Fucking!!!
罵倒し合ってないで数学OR論理学しろよぉ！Fuking!!

>>120の言う通り意味のはっきりしない主張について
一般的だの一般的でないだの言い合っていても無意味。
噛み合わない議論続けても時間と２ｃｈのリソースの無駄だろう。

別に正真正銘の論理学なるものがあると言いたいんじゃないし
或る分野が論理学か数学かということに綺麗な一線が引けるという主張もしてないが
論理学の研究としては>120で挙がってるようなものの研究の方が
>80で挙げた分野の研究よりも典型的だろうね

実際世に出ている「論理学」とか"Logic"と名前の付いた本を集めて見てみれば一目瞭然だけどね

Fuck!
計算論から論理学を抜いたら何が残るんNENｗ
AKIMASEN NEN!!

論理学入門書で良書発見したんでメモっとく
A Concise Introduction to Mathematical Logic (Universitext) [Paperback]
Wolfgang Rautenberg (Author)
命題論理、述語論理、自然演繹、論理プログラミング、
モデル理論の基礎、不完全性定理の完璧な算術化による証明。
決定不能性に関する定理や証明可能性論理。
相当詳しく最新の話題もあり、Boolosの例の本よりさらに一歩踏み込んでる。

141は実際世に出ている"Logic"と名前の付いた
　★★学術誌★★
を集めて見てみるべきだな

>>141
Association for Symbolic LOGIC のブックシリーズ Perspectives in LOGIC
ラインナップはこちら
http://www.aslonline.org/books_perspectives.html

141はどうせロジックの入門書を幾つか見ただけの自称プロなんだろ。
ジャーナルに載ってる研究論文どころか、
perspectives in logic みたいな専門書とも無縁な自称プロさん乙だなｗｗ

>>146
そういうことを自分の学習歴・研究歴を晒さずに言われても説得力はない。
もちろん、説得力のないことを書いても問題はない。

まあまあ。
ジャーナルに載ってる研究論文を読んだことがある程度の
自称プロさんのいうことですから

数理論理学と弁証法論理学

つまりこれまでのすべてのレスが説得力なしということですね。

記号のことについて質問です
本に書いてあった
｢試験に及第するためには、勉強するかカンニングをしなければならないが、カンニングをしないから、勉強しなければならぬ｣
について記号化した場合、自分の予想では
[{Ａ⊃(Ｂ∨Ｃ)}∧〜Ｃ]⊃Ｂ
だと思ってました。

しかし、今読んでる本には
Ａ・[Ａ⊃(Ｂ∨Ｃ)]・〜Ｃ⊃Ｂ

古い本なので∧が・になってたり、カッコについては置いといて
最初の『Ａ∧』についてどうも理解できません。
教えてください。よろしくおねがいします

あなたが日本語で書いた文には一部無意識に省略してしまった部分が
あるということではないかな？
省略しないで書くと次のようになるね（省略されていたのは(3)の部分）
｢(1)試験に及第するためには、勉強するかカンニングをしなければなら
ない。(2)カンニングはしない。(3)試験には及第する。(1)(2)(3)のす
べてを満たすなら、勉強しなければならぬ｣
これを記号化すればほぼ本の答えになるのでは？

>>152
ありがとうございます。でも
本の通り書いたので省略はないです。
仮に(1)(2)(3)のす
べてを満たすならという意味を著者がこめてたとしてもよくわからないです
何回も、本を見返したりしました。
自分のカッコの付け方がおかしかったかと思いかえてみたりしましたがわかりません
ありがとうございました

>>153
そういうことなら、本の記述が不適切であり、
あなたの「最初の『Ａ∧』についてどうも理解できない」は正しい
反応だと思う。

上の方で議論になっていた、非古典論理より集合論の方が通常の数学に近い、
という話、僕はむしろ逆だと思うけどな。
メタ理論ZFCの中でメタ理論ZFCそのもののモデルを作ったり、
メタ理論に独立な命題を加えたり外したりで、
集合論ではメタ理論を気にしなければいけないので、通常の数学とは毛色が全然違う。
非古典論理ではメタ理論なんて気にもせずに、
群や環などの代数系を扱うのと同じように○○論理の代数系を扱うだけ。
非古典論理の方がずっと普通の数学の匂いがする。

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！！！

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>>155
私は非古典論理が代数構造だけ研究しているとは思いません。

非古典論理は代数系の研究だけというのはどうかと思うけど
メタ理論を気にしなくていいというのは（ほとんどの場合）確か。
だから大筋としては>>155に同意。
「通常の数学」から奇異の目で見られる一番の原因は
メタ理論を気にしたり独立命題とか扱っているからだと思うので。

日本には、小野寛晰先生がいらっしゃるせいか、
非古典論理というと代数というイメージが強いですね。

命題論理の完全性について教えてください。

命題論理の演繹が健全であることは、有限の範囲
であれば真理値表を作れば明らかだと思います。

しかし、妥当式ならば演繹が存在するのか?
つまり、証明できるのかと聞かれると途端に
分からなくなります。

古典論理ならば全ての妥当式に演繹が存在するそうですが、
使用する結合記号を限定してしまえば、直観主義論理でも
完全なのでしょうか?

結合記号¬→のみで表される命題が妥当式ならば、
同一律とprinciple of explosionのみを公理とする推論体系で
証明可能なのでしょうか？

たとえば、

((A→((B→C)→C))→((B→C)→C))→(
(A→((B→C)→C))→((B→((A→C)→C))→(
(A→(B→C))→((C→((A→B)→B))→(
(A→(C→B))→((B→(C→A))→(
(A→(B→¬C)))))))))

は、同一律とprinciple of explosionのみで証明可能なのでしょうか?

言い換えれば、結合記号¬→のみで表される命題が妥当式ならば、
¬→⊥の導入と除去のみで証明図が示せるのでしょうか?

もし良ければ、教えてください。

でも「通常の数学」からみた場合の集合論の存在意義って
かなりの部分が命題の独立性証明にあると思うけどなあ

それに集合論のひとは案外、外の人が思うよりも
群論や環論の公理系と似たようにZFCの公理系やそのモデルなどを扱っていると思う。
メタ理論と意味論を与える理論の区別をきちんとしていれば、
原理的にはほぼ全てのケースで、集合論における独立性証明を行うときの
メタ理論は弱い自然数論と見做せる。

一方で時相論理とか義務論理とかの研究の興味は
体系の数学的性質にはあまり無いと思う

直観主義論理でも完全性は成り立ちますが、
その場合、可能世界意味論などの、古典論理の場合とは異なる意味論を採用しなければなりません

直観主義論理における「妥当式」というのはどういったものを考えていますか？

記号での練習問題がたくさんあって解説も丁寧な本を教えてください

古いのでも新しいのでもたくさんお願いします

>>164
Elliott Mendelson　INTRO..MATHEMATICAL　LOGIC

>>165
ありがとうございます
これはもしかして英語で書かれてますか？
自分は英語さっぱりわかりません

数学書の英語は高校１年生でも楽に読める程度
もちろん、数学的な内容まで楽に理解できるわけではありませんが

>>直観主義論理における「妥当式」というのはどういったものを考えていますか？
それがよく分からないのです。
だから、結合記号¬→のみで表される命題が妥当式ならば
直観主義論理の範囲で証明できるのか？
と言う疑問が沸きました。

自分は中学くらいの英語もよくわかりません！
日本語で書かれたのがいいです

>>168
あなたが何に疑問を抱いているか、いまひとつわからないけれども、次の事実はご存知ですか？

パースの論理式と呼ばれる
((A→B)→A)→A
はトートロジーであるが、直観主義論理では証明できない。
（A,Bは異なる命題変数）

>>162
私は非古典論理が時相論理とか義務論理とかだけ研究しているとは思いません。
上で名前の挙がった小野先生の論文を幾つか見られては？

>>162
モデル検査などの応用指向で時相論理を研究する人や、
哲学指向の論理学で義務論理を研究する人はそうでしょう。
しかし、様々な代数系の数学的性質を調べるのと同様に、
時相論理や義務論理の数学的性質プロパーに興味をもって
研究している非古典論理研究者もいるのではないでしょうか。
それにどれだけの意義があるかは別問題として。

二重否定除去　¬¬A　→　A　も結合記号¬→のみで表せますよね？

>でも「通常の数学」からみた場合の集合論の存在意義って
>かなりの部分が命題の独立性証明にあると思うけどなあ
これって>>86や>>105の言ってる集合論の「論理学」の側面だな

非ユークリッド幾何の円盤モデルとかが論理学ならそうだろうね

平行線の公理がユークリッド幾何の他の公理から独立という話と、
連続体仮説がZFCから独立という話は全然毛色の違う話だと思うが

>>176
どう違うのかkwsk

毛色の違いは>>155の言う通りメタ理論を意識しないといけないかどうか。
連続体仮説の独立性では ZFC + CH と ZFC + ¬CH のモデルを ZFC の中で構成する。
ユークリッド幾何学の公理のモデルは、どこで構成するか気にする必要は余りない。

だからメタ理論は自然数論で充分だというのに

>>179
それは瑣末な問題にしか見えないが？

集合論の命題は自然数論の命題に翻訳可能だからね＾＾；

>>170

やっぱり、((A→B)→A)→A は証明できないんですね。
納得できました。ありがとうございます。

>>173
dentialって言われる記号1つのやり方も存在するよ。
記号が理論からどれだけ減らせるかは問題じゃないよ。

>>169
英語じゃなくてプログラミング言語だと思えばどうでしょう？
決まりきった言い回ししか出てこないので。
ttp://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/writing.html
上記サイトとForestという英文法書と電子辞書（WEB上のでもOK）を使用して
できれば洋書で学習してください。
演習を解くならほとんど文章を熟読する必要もありませんし。
あとはWEB上のPDFで同じ部分の日本語で書かれたものと比較しながら進めてください。

和書で学習する方が上記のやり方よりも最終的に遠回りになります。
現時点で独習可能でまともな論理学入門書は日本では出版されていません。

別に英語の本で勉強したって悪いことはないが
最近は和書でも結構良い本が出てるけどね

>>177
横レスだが、同じ独立命題と言っても、
例えば交換法則が群の公理から独立というのと
連続体仮説が「通常の数学すべて」から独立というのとでは、
「通常の数学」の人からの気色の悪さはまるっきり違うと思う。

>>186
どうも作用素環論とか離散群論の微妙な問題だと、連続体仮説が効いてくるらしい。

>>187
そうして集合論者は喜び勇んで駆けつけるが、
作用素環論者や離散群論者は色々理由をつけて避けようとするわけだ。
いつまで経ってもロジシャン側から「通常の数学者」への片思い。

私は作用環論研究者の論説でそれを知ったので、>>188の言ってることは的外れのように思える

>>188
そういう意味では　>>172 の言う非古典論理研究者の方は
「ある論理が決定可能」という数学的性質を証明すると
それに興味を持ってくれる応用指向研究者がいるはずなので、
「ロジシャンから通常の数学者への片思い」よりは幸せか？

>>188
以前、つまり、20年以上前はそういってもおかしくなかったと思う。
最近は、通常の数学者風の集合論者だか、集合論者風の通常数学者がいる。

>>184
丁寧にありがとうございます

>>191
差し支えなければ具体的な研究者名を挙げていただけませんか。
決して「誹謗中傷」には当たらないと思いますので。

>>189,>>191
昔から基礎論に興味を示す奇特な「通常の数学」者は少数ながらいた。
現在、そういう奇特な人間が数人いたところで事情は昔と変わらない。

>>190
小野先生の専門である部分構造論理の代数的研究では代数屋さんとの交流がずっと続いていますよ

>>194
持論が先に有って、どんな事象を突き付けられても頑強に受け入れを拒否している感じ。

>>187
数学が物理に応用されるからといって、数学が物理になるわけではないよね

>>191
物理学者風の数学者や数学者風の物理学者がいるからといって、数学が物理になるわけではないよね

>>195
物理との交流があるからといって、数学が物理になるわけではないよね

>>196
話は簡単で>>191がそういう研究者がいるだけではなく、
それが大きな潮流になっているという事象を突きつければいいだけのこと。

まあまあ、まずは>>193への回答を待とうよ。
大きな潮流かどうかはそれで分かるだろうから。

>>197
応用というのとは違うみたい。

>>199
大きな潮流なんてどうとでも言えるからねえ。

>>201
反駁不可能なくらいの決定的証拠を期待しようじゃないの

反駁不能なんて、理屈と膏薬は何にでもつくから無理

日本論理学会ってどうなったのか誰かご存知でしょうか？
設立準備委員会ができたという話は聞いたのですが、いつ正式に出来るのでしょうか？

>>168ですけど、

任意の論理式ψについて、¬¬ψが直観主義論理において証明不可能ならば、古典論理においても
妥当式ではないと言えるのでしょうか?

((A→B)→A)→A は証明できないとしても、¬¬(((A→B)→A)→A)は
証明できますよね？

あと、A→¬¬Aは最小論理で証明できるので、ψが直観主義論理で
証明できるなら、¬¬ψも直観主義論理で証明できるのでしょうか?
(少なくとも、¬¬(A→A)は、証明できますよね・・・)

ならば、

結合記号¬→のみで表される命題Pが妥当式ならば、
¬¬Pは、結合記号¬→⊥の導入と除去だけで、
証明図を示せるのでしょうか?

>>205
あなたの言っていることは、まさに有名なグリベンコの定理ではないでしょうか：
　
　【グリベンコの定理】
　任意の命題論理式 A に関して次の２条件は同値：
　（１）　A が古典論理で証明可能。
　（２）　¬¬A が直観主義論理で証明可能。

そんな定理があったんですね。
私の知識の7割は日本版Wikipediaなので・・・orz

wikipedia読むにしてもせめて英語版読むようにしたら知識が増えます
本当は図書館とかがもっと良いのだけど

有名な定理で小野さんの現代数理論理学序説にもある。

そもそも、A→¬¬Aは直観主義論理で証明可能で、
最小論理じゃ⊥→¬¬Aしか証明できないですよね・・・

シュプリンガーによると
JECHのSET THEORYのペーパーバック版の次の入荷8月だって。
まだまだ全然届かないよ。
COOPERのComputabilyty THOERYのほうも多分遅くなるんだろうけど。

あ

>>212
すいませんが今回の書き込みで何が伝えたいんでしょうか？
このスレッドは数理論理学に興味を持つ人々が集まって
一緒に話題を共有しようとして作られました。
今回の書き込みが
そういった人々に対して失礼にならないと保証できますか？

保証ｗｗｗ

直観主義論理と言うよりも構成的数学かもしれませんが、

任意の論理式ψが、古典論理において妥当式であり、
直観主義論理で証明不可能であることは、どのように
証明もしくは定義できるのでしょうか?

たとえば、任意の論理式ψの全ての演繹を定義できるので
あれば、それら演繹の中に証明であるものが存在しない事を
証明すればいいと思います。

しかし、古典論理において論理式ψが妥当式であれば、
論理式ψがたとえ有限であっても、背理法などを考えれば、
その演繹は無限に存在するように思います。

任意の論理式ψについて、直観主義論理の範囲で有効な演繹は
論理式ψが有限であれば、有限個しかないのでしょうか?

結局何が言いたいかと言うと、直観主義論理において
証明不可能であることを証明する自動証明アルゴリズムは
存在するのでしょうか？

立て続けになり申し訳ないのですが、

命題論理の完全性から、ほぼ明らかだとは思うのですが・・・
古典論理において、有限長の全ての妥当式は有限回の
公理の使用によって証明できるのでしょうか?

最小論理に、2重否定の除去(¬¬A→A)を加えた論理は
古典論理と等しいことは自明です。

ならば、ψが古典論理において妥当式ならば、
(¬¬)*ψで示される論理式の何れかが、
最小論理で証明可能であると言えるのでしょうか?
((¬¬)*は、¬¬の0回以上の有限の繰り返し)

さらに

A　¬A
　⊥
¬¬A
A→¬¬A

であることから、A→¬¬Aは、やはり最小論理で
証明できると思うので、

任意(有限長)の妥当式ψについて、(¬¬){k,}ψで
示される全ての論理式が、最小論理で証明できる
有限のkが常に存在すると言えるのでしょうか?
((¬¬){k,}は、¬¬のk回以上の繰り返し)

結局、なにが言いたいかと言うと、最小論理に
使用回数を限定した2重否定除去公理を加えた
論理はどのような性質を持つのでしょうか?
(当然、そこから導かれる定理を使用した場合も
使用回数を消費すると考えて)

少なくとも、古典論理に包含されることは明らかですが、

使用回数の定義の仕方によっては、古典論理より弱く
直観主義論理より強くしたり、直観主義論理より弱く、
古典論理より強くしたり出来るのでしょうか?

直観だろうと古典だろうと
量化子を持つ論理体系は決定不能。
そのような自動証明アルゴリズムは存在しない。

A∧Bであーる
したがってBであーる

誤爆　無視して

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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２０世紀の論理学の標準理論は間違っている；−

(Ｐ⊃Ｑ)⊃(〜Ｑ⊃〜Ｐ)は恒真式で、「(ＰならばＱ)ならば(ＱでなけばＰではない)」が
成立するが、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] は恒真式なのに、
[Ｐならば(ＱかＲ)]ならば[(ＰならばＱ)か又は(ＰならばＲである)] は成立しない★

そもそも、「⊃」を勘違いしてないか?
(Ｐ⊃Ｑ)⊃(〜Ｑ⊃〜Ｐ)ってことは

(P←Q)←(¬Q←¬P)

だぞ？

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結局何が言いたいかというと、と言った後に
前の質問の言い直しじゃなくて別の質問が書いてある気がする
着眼点とかは面白いとは思うのだけど

まずは完全性定理とか、
古典論理を直観主義論理に埋め込む方法
（http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%E2%80%93Gentzen_negative_translation）
とかを勉強したらいいと思う

それから簡単なリマークとして、
直観主義論理でも¬¬¬φ→¬φは証明できるので
¬¬¬¬φは¬¬φと同値になります

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「A ならば B」を「A ⊃ B」と書く流儀は竹内外史の本
とかには見られるが、最近はあまり採用されていないと思う。
これは、命題の意味を素朴に集合で考えたときに
「部分集合」と完全に逆方向になって誤解されやすいからでしょう。
つまり、「A ならば B」を

　 ∀x(x∈A ならば x∈B)

と解釈（？）すると、これはまさに部分集合としは

　 A ⊂ B

という意味なので。

>> 223 も、このように読んだのですね。

時々、「⊃」の意味が逆に感じるのはそういう事なのね。

[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)]　
を
(P→(QＶR))→((P→Q)∨(P→R))

と解釈するなら、排中律を認めなければならないが、
認めないような考え方をしたり、前提を作ったりすると
そりゃ、成り立つとは言えないんじゃないだろうか?

たとえば、

(人間ならば、男か女である。)→
((人間ならば男である)または(人間ならば女である))

排中律を採用するならば、前提

人間ならば、男か女である。

が真であるか偽であるのどちらかである。
偽であれば、爆発原理から命題は真。

つまり、

人間ならば、男か女か┌（┌ ＾o＾）┐ﾎﾓｫ･･･である。

ならば、前提は偽となるため、爆発原理から命題は真。

直感に反するとすれば、この辺なのではないでしょうか?

と書いて見たが、

(P→(QＶR))→((P→Q)∨(P→R))

について排中律あれば証明できる事は理解できるが、
排中律がなければ、証明できない事をどのように
証明できるのか？

と言うのが、私の疑問。

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>>228
「人間ならば男かまたは女である」は命題論理じゃなくて述語論理の命題だよね。
∀x(P(x)→(Q(x)∨R(x)))の形でしょ

(P→(QＶR))→((P→Q)∨(P→R)) が妥当式であるとは、
P,Q,Rが、どのような命題であっても論理式が真である
って意味ですよね。

P,Q,Rは任意の命題なのだから、
Pを「人間である。」と考え、
Qを「男である。」と考え、
Rを「女である。」と考え、

(人間ならば、男か女である。)→
((人間ならば男である)または(人間ならば女である))

は、(P→(QＶR))→((P→Q)∨(P→R))で表現される命題の
1つではないですか?
(人間ならば、男か女である。)→
((人間ならば男である)または(人間ならば女である))

そして、

Pを「犬である。」と考え、
Qを「人間である。」と考え、
Rを「女である。」と考え、

としても、排中律と爆発原理を認めるなら、

(犬ならば、人間か女である。)→
((犬ならば人間である)または(犬ならば女である))

は、真である。というのが妥当式だと私は理解しているのですが
違うのでしょうか？

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さらに言えば、
「人間ならば、男か女である」は真か偽かのどちらかであるは、

(人間ならば、男か女である)∨¬(人間ならば、男か女である)

と言う意味でなので、上記主張は

∀x(P(x)→(Q(x)∨R(x)))

じゃないと思います。

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テンプレが、多いのはつまらないことを書き込むなと
諭されているのでしょうか・・・・

>>215

に関しては、結局以下が同値であることを証明すれば
良いのですよね。

1.論理式ψが古典論理で証明可能で、
　直観主義論理で証明不可能。

2.論理式ψが古典論理で証明可能で、
　直観主義論理に論理式ψを公理
　として加えた論理で、排中律が
　証明可能。

どちらにしても、>>225の仰るとおり、完全性定理と
古典論理を直観主義論理に埋め込む方法をもう少し
ちゃんと勉強すべきなんでしょう・・・。

命題論理の公理の独立性を示すのと同じようなやり方でやるのかな？

>>238

1.論理式ψが古典論理で証明可能で、
　直観主義論理で証明不可能。

2.論理式ψが古典論理で証明可能で、
　直観主義論理に論理式ψを公理
　として加えた論理で、排中律が
　証明可能。

この２条件は同値ではありません。
反例：ψ = (p→q)∨(q→p)

(p→q)∨(q→p)を直観主義論理に公理として加えたら
直観主義論理と古典論理の間に位置する「中間論理」になります。
中間論理は他にもたくさんあります（非可算無限個あります）。
たとえば鹿島亮の数理論理学には中間論理や
「論理式（たとえば(p→q)∨(q→p)）が直観主義論理で証明不可能なこと」
をクリプケモデルを構成して示すことが載っているので、
その辺りを勉強するとよいのでは。

1億人から選ばれた1人（A)が、1億人全員から口座に1円づつ振り込まれるとする

毎月1人選ばれるとすると1年間に12人が1億円の資産を持つことができる

10年で120人　20年で240人　30年で360人が1億円を手にできる

宝くじより確実

1億人全員が1億円持つことは可能か

ナイキが有名になってから、ストライキやインキの表記を馬鹿にする人が減ったが、
クリプキ・クリプケどっちが標準的なんだろう？

全員がものすごく長寿ならほぼ可能。

直観主義論理は可能世界モデルに対して完全性定理が成り立つから
世界番号付きのタブロー法とかで証明可能か簡単に分かるよ。

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>240
>>244

ありがとう。要は認識論理の勉強をすればいいのですね。

>>241

そもそも、一番初めに全員の総資産が、(1億)^2円なければ、
1億人全員が1億円持つことは不可能じゃ？

・・・そういうことじゃないの？

別に認識論理とかは必要ないと思うけど
http://www.amazon.com/Introduction-Non-Classical-Logic-Introductions-Philosophy/dp/0521670268
この本に非古典論理のタブロー法のやり方が色々載ってる

>>246
どういたしまして。
しかしあなたは、私(240)も244も認識論理なんていう単語を
まったく発していないのに、なぜこんなことを言うのですか？

>>242
ググった結果、
　クリプキモデル　約 11,200 件
　クリプケモデル　約 427 件
でクリプキモデルの勝ち。

竹内外史先生はお元気ですか。
結構大きいことをおっしゃる人でしたが。

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>>251
N≠NPは解ける！って言っていたのになあ。

そんな問題は存在しないから誰にも解けないよ

NP のことを Non-Polynomial だと思っている人がいる件について。

つ P≠NP

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>>249

いえ、単純に構成的プログラミングと認識論理関係の本が図書館に
あったので内容と参考文献を勉強すればいいんだろうなと思ったの
で・・・

>>258
そうでしたか。
まずは数理論理学の入門文献を読まれるのがいいのではないでしょうか。
その「構成的プログラミングと認識論理関係の本」の参考文献に
適当な本が紹介されていればそれでもいいし、
例えば 鴨 浩靖 先生（奈良女子大）の個人ページの下の書評ページにも
たくさん紹介されています。

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>>241
>>241
その場合、寿命はないものと解釈していいよね？
寿命あったら貰えず死ぬ人がほとんど
寿命がなかったら、仕事をしたり年金によりずっと収入があるから
無限回数できるだろうから
それなら可能じゃないかな
それとも手持ちの金額が決まってる？
一度選ばれた人がまた選ばれるかどうかも知りたい
もしそうなら、たとえば一億持ってても選ばれず破産してしまう人いて一円支払えなくなるかもしれないからね

?ttp://arxiv.org/pdf/1204.4045v1

ろくに知りもしないで集合論以外の基礎論は数学ではないとかいう香具師は、
ろくに基礎論を知りもしないで基礎論は数学ではないという香具師と変わらん
少しくらい真面目に勉強してみてからそういうこと言えばいいのにな

>>263
ありがとうございます
とても参考になりました

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一昨日の夜10時位、横浜の公園で

オッサン好きのオレは、早速、デブの後を追いかけてる50才位のオッサンを見つけた
追いかけてみたら、そのオッサン、生意気にも「付いて来るな！あっちに行け！」と言いやがったｗ

その後、成り行きを注目してたら、オッサンもデブに｢来るな！｣と怒鳴られてた
で、便所の茂みを見ると、デブが俺に｢おいで、おいで｣をしてるｗ

ったく･･･、冗談じゃねぇよ｡
しょうがねぇなぁ･･･､世の中ってヤツはｗ

>>266
杏子さん、ありがとうございます
それは素晴らしいですね
論理学は面白いです

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数学基礎論入門 前原昭二/著
を読んでいていきなりわからなくなってしまったんですが質問させてください
p.20の問「定理2.2-2.8を用いて、公理II.1と公理II.2が空な仮定のもとで証明できることを示せ。」とありますが、
　定理2.5「いかなる仮定のもとでも公理は証明できる。」から、空の仮定のもとでも公理は証明できる。
　よって、公理II.1と公理II.2は証明できる。
ではいけないんでしょうか。
もしかして、この問においては定理2.2-2.8以外のことは(公理でさえ)知らないこととして証明しなければならない、という意味なんでしょうか？

定理2.2-2.8を"公理・推論規則"だと思って、公理II.1と公理II.2を"定理"として導け
という意味かと。
要は、公理・推論規則の設定の仕方は一通りではない、という話。

公理II.1と公理II.2、および推論規則1が
「→」の直観的な働きを過不足なく規定していることを認識させたいのだろうな、著者としては

241 １３２人目の素数さん 2012/04/21(土) 23:18:11.46

1億人から選ばれた1人（A)が、1億人全員から口座に1円づつ振り込まれるとする

毎月1人選ばれるとすると1年間に12人が1億円の資産を持つことができる

10年で120人　20年で240人　30年で360人が1億円を手にできる

宝くじより確実

1億人全員が1億円持つことは可能か

>>271-272
なるほど…あれだけの問でそこまで考えられるんですね
ありがとうございます

いやその後の展開がわかってるからそう言う風に分かるのさ
いわば後出しじゃんけんみたいなもの

分配法則だって小学校でならうけど本質的な意味が分かるのは
大学で代数ならってからでしょ、それと同じ。

タイヘン参考になりました

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>>275
そうでしたか
やはり分かる人に聞くのは大事ですね

問の答は、公理II.1については
　仮定A,Bのもとで、Aは証明できる。(定理2.6)
　よって、仮定Aのもとで、B→Aは証明できる。(定理2.7)
　ゆえに、空な仮定のもとで、A→(B→A)は証明できる。(定理2.7)
で良いんでしょうか。
また、公理II.2についてはどう証明してやれば良いんでしょうか。
よろしければ教えてください。

ありがとうございます！

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アナルアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
うしろはアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
まえは　ヴぁぎな　あっと　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいい

アナルアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
うしろはアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
まえは　ヴぁぎな　あっと　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいい

アナルアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
うしろはアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
まえは　ヴぁぎな　あっと　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいい

アナルアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
うしろはアナル　あっ　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいいの
まえは　ヴぁぎな　あっと　そこはやめて　おねがい　ねこにして　いぬでもいい

>>281
ありがとうございます
おはやうございます！

京都の事故

44 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/04/12(木) 20:06:17.25 ID:LKXz/REk0
かつてはてんかん患者の自動車免許取得は法的に制限されていたが、
2002年6月の道路交通法改正によって、発作が起きても意識障害を伴わない又は、
発作が就寝中に限るなどの患者は、公安委員会の検査や、医師の診断書を提出するなどの条件付で取得に道が開かれた。
日本てんかん協会の運動で、てんかんでも免許取得が可能になった。
その結果、案の定、２００２年以降、てんかん患者のひきおこした重大な事故が急増

2011/04　栃木・鹿沼　　 6人死亡　（持病を隠蔽、過去に事故2件）
2011/04　島根・松江　　 1人死亡　（持病を隠蔽、薬飲まず）
2011/05　広島・福山　　 4人重軽傷　（過去に事故2件）
2011/07　愛知・岩倉　　 2人死亡　（通院歴なしで不起訴）
2011/10　鹿児島・姶良　1人死亡4人重軽傷　（過去に物損事故、薬飲まず）
2012/02　栃木・宇都宮　6人重軽傷　（昨年7月に事故、運転しないと誓約書）

すると2002年の法改正で可能になった、てんかん患者の自動車免許取得を既得権益とする
共産党が支援している日本てんかん協会は
「てんかん患者の権利を守れ」と法務大臣に要望書を提出
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1334225953/

その三日後にまたしても死亡事故発生
2012/04　京都・東山区　7人死亡9人重軽傷　　　　　（数日前に発作、姉と相談）

日本てんかん協会　（共産党の支援団体）
住所　東京都新宿区西早稲田2-2-8

＞＞権利を守れ
＞＞西早稲田2-2-8　　　　差別利権で食ってる団体だな

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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またゲーデル本出てた。
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4130639005/ref=pd_lpo_k2_dp_sr_3?pf_rd_p=466449256&pf_rd_s=lpo-top-stripe&pf_rd_t=201&pf_rd_i=4622075695&pf_rd_m=AN1VRQENFRJN5&pf_rd_r=1DCGWNG26HPKQ67C0E85
内容は岩波の不完全性定理の完全な解説。
ページ上半分が元論文で下半分が文章での解説。
初学者には分からん内容。
不完全性定理既習でゲーデルのオリジナル証明に興味ある奴必携。
後ろの方に計算理論とかが多少紹介されてるが
基本的には初学者向けの論理学の学習にはならない。

>>285
Amazonでは"gp/product/"や"dp/"の後の10桁の数字だけで本を指定できます。

ゲーデルに挑む: 証明不可能なことの証明
http://www.amazon.co.jp/dp/4130639005

知らんかった！

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まず初めに謝罪します。
私は「考える人」であり「超越論的数学者」であり、
「山之内彰」であり、「超越論的数学天使」であり、
「おさーん」でありました。
様相論理の件で論破されてのも私でした。
それではなぜこのような悲劇に至ったのかをお話ししましょう。
まず私は数学の素人です、論理学もまだ不完全性定理まで進んでいません。
しかしそれでも計算機の本（とりわけ赤間先生や人工知能関連）を読んでいると、
すぐにわかったようなレスができるようになりました。
そこでメレオロジーやオントロジーや記述論理といった
形式化オタクの文化を学習していきました。
ですから私は何もしらない単なる素人でしかないのです。

申し訳ない！
しかし様々な本で知った知識をここで開放したかった、
それだけのことでした。

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>>289 >>290
赤間世紀さんの本ってこういう需要に支えられているのですよね。

不完全性定理について、いつも思う事ですが、

任意の仮定Aについて

1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。

の何れかであるのでしょうか?

ならば、仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが
存在しないことは、どのような無矛盾な公理系でも
証明可能なのでしょうか?

ただ、もし上記が恒真なら、仮定Aが独立ならば、

仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが存在しない。
仮定¬Aについて、少なくとも反例のモデルが存在しない。

が、証明できるので、どのような仮定Aも

1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。

に分類できる事になり、「不完全性定理」の「完全」の意味で
ある種の「完全」なんじゃないかと、私は思うのです。

>>294
＞不完全性定理について、いつも思う事ですが、
＞
＞任意の仮定Aについて
＞
＞1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
＞2.仮定Aは、証明可能。
＞3.仮定Aは、その公理系と独立。
＞
＞の何れかであるのでしょうか?
3はいらない。3は1に含まれてる。

＞ならば、仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが
＞存在しないことは、どのような無矛盾な公理系でも
＞証明可能なのでしょうか?
なぜそんなことが言えるというのか。

>>294-295
全く意味がわからない。

Ａがある公理系Ｔから独立なら、ＴとＡが成り立つモデルが存在するし、Ｔと¬Ａが成り立つ別のモデルが存在する。

>>3はいらない。3は1に含まれてる

正確には、
1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。

は、

1.仮定Aは、その公理系と矛盾する。

と書いた方がいい。

>>なぜそんなことが言えるというのか。
だから、疑問形なのです。

つまり、私は、どのような無矛盾な公理系でも、
任意の仮定Aが「少なくともその公理系と矛盾しない」ことは
常に証明できるのか？

と言う疑問です。

>>300
「私は…証明できるのか？」
？？？

>>301
つまり、私は、以下を疑問に思っています。
<以下略>

って意味です・・・orz

おそらく、根本的に色々理解してないのだと思いますが。

任意の仮定Aは、公理系が無矛盾であれば、
何れかに分類できるか?

1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。

そして、仮定Aがどこに分類される事は、
常に証明可能なのか？

と言う疑問です。

>>293
そうだと思います。
結局普通に学習した方が早いんでしょうが...。
何というか理解よりもカッコイイタームに引きずられている自分が恥ずかしいです。
特に多いんですよねコンピュータサイエンスってこんな用語が...。
さすがに本場の数学系論理学にはついていけないし。

>303
公理系と仮定Ａについての全ての関係
1.仮定¬Aは、公理系のみを用いて証明可能。
2.仮定Aは、公理系のみを用いて証明可能。
3.仮定Aと¬Aは、公理系のみでは証明不可能（独立）
4.仮定Aと¬Aは、公理系のみを用いて証明可能（矛盾）
において、4.は存在しないということ？

公理系が無矛盾であることを前件としているのだから、当たり前のような気がするけど。

このあたりは「形式論理学 その展望と限界」が分かり易いと思う。
他に良い本あるかね？

>>303
証明可能。
無矛盾ならその3通りしかありえんから。

>>無矛盾ならその3通りしかありえんから。

私も、そう思うのです。

ここでの疑問は、

1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
4.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在する。
5.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在する。

5になるような、仮定Aは存在するのか？
と言う疑問です。

>>5.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在する。

5.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在しない。

の間違い。

今考えているのは第一不完全性定理ですよね？
その場合、４と５における
「上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明」は、
別の公理系によるものなので（我々のメタ理論）、
１から３での証明とは別の世界のものになります。

>>１から３での証明とは別の世界のものになります。

そこなんですよね。よく分からないの。

つまり、
「その公理系と独立であることが証明できる無矛盾な公理系」は、
必ず存在する。

と言う命題は、真か?偽か?決定不能か?

と言う疑問なんだと思います。

全ての仮定A下記の何れかに属する。

1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。

仮定Aが独立である時、仮定Aが独立であることを
証明可能な無矛盾な公理系は常に存在する。

上記は、真か?偽か?決定不能か?

>311
言い替えると、

「公理系が無矛盾ならば
公理系+仮定A
公理系+仮定¬A
のいずれか、あるいは両方が無矛盾である」
という命題を証明できるか

ということかね。
両方矛盾するのは公理系または仮定Ａが矛盾する場合しか無いから、
それ以外は成立するんじゃないの？

可能ですよ。
集合論なんて正にそういう研究ばっかやってますよ。

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>>313
どっちらかと言うと、

公理系が無矛盾であることを前提に、
公理系+仮定A
公理系+仮定¬A
の何れか、あるいは両方が無矛盾である事を
証明できる公理系が存在する。

上記は、真か?偽か?決定不能か?

が近いのだと思います。

>316
公理系+仮定Aと公理系+仮定¬A自体も公理系になるから、
言っていることは同じことですな。

集合論の強制法あたりの勉強をすれば良いと思うけど、あれも難解だしなぁ。

強制法・・・無茶だ・・・orz

>313の間違い見つけた。
仮定Aが矛盾するときは仮定¬Aは恒真になるから、>313は公理系が矛盾する場合だけ
考えればいいね。
ということで命題は成立すると思う。

そもそも証明可能や矛盾の定義が何かを考えれば
メタ理論が何かなんて関係ないし強制法もいらない。

メタとオブジェクトの区別はついてるつもりだけど、
メタ定理の「証明」とかそもそもメタ言語の「定義」
とかってどう定義されるの？
何をもってメタ定理を証明したとか、メタ言語を定義したと
判断されるの？

それはこのスレではるか以前に出た話題だけど、
通常の数学（解析学）なんかをやる場合と同じ
論理と集合による議論を前提をしている。
定義は定義、証明は証明であって、定義も何もない。

>>295で私が言いたかったのは、

全ての仮定A下記の何れかに属する。

1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。

仮定Aが独立である時、仮定Aが独立であることを
証明可能な無矛盾な公理系は常に存在する。

上記が証明可能もしくは、独立であることが
証明できる無矛盾の公理系が存在するならば、

あらゆる無矛盾の公理系のあらゆる命題において、
「誤りではない」ことを必ず証明でき、ある種の
無矛盾な論理としての極大性があるのではないか?

と言う疑問です。

>>あらゆる無矛盾の公理系のあらゆる命題において、
>>「誤りではない」ことを必ず証明でき、

あらゆる無矛盾の公理系のあらゆる命題において、
「誤りではない」か「誤りである」こと(独立
ならば、誤りではないとして)を必ず証明できる

と言う意味

>>322
じゃあ通常の数学における言葉の様式、習慣を受け入れてる人にとっての
定義や証明ということ？
メタ定理っていうのは通常の数学を受け入れてる
人にとって信頼できる文章で、受け入れてない人にとっては定か
ではないのかな。また通常の意味で、数学的に証明されたことは
疑いなく正しいと数学者は言うけどそれは何によって保証
されてるの？あるいは、あくまで一つの言葉の様式で経験的に
それによる結論が信頼できる言葉の様式とされてるだけ？

>>325
それは形式的証明にも同じことが言えるよね

1 名無しさんにズームイン！ [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ？ID:NWYs/2ZP Be:
　やらなけゃいけない
　電○の各局への圧力が半端ないんです
　昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。
　各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです

ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして
AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら

やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件　その127
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/mor●ningcoffee/1335468718/

AKBの宣伝に税金を使い、その税金が民主党に流れている
テレビの捏造に騙されるな

>>325
そんな軽率なことを言う数学者ばかりじゃないよ

>>323
まず無矛盾なら、
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.1でも２でもない場合。
の３通りのいずれかで、
これはΔ^0_1文までしか使わない理論なら決定可能。
不完全性定理の発生する理論はこれより階層が上。
もし我々のメタ理論がオブジェクトの理論と同等と仮定するなら、
例えばΣ^0_1文の否定がΠ^0_1文になるけど、
一般にΠ^0_1文の（モデル論的）完全性は成り立たない。
Π^0_1文の完全性を成り立たせるためには、
・２階の文を表現できないように、算術の表現能力を制限する。
・理論の公理系の再帰性を捨てる。
の２つの回避方法があって、
前者の例がプレスバーガ算術、後者の例が真の算術（Σ^0_ω）。
我々のメタ理論がオブジェクト理論よりどれだけ無矛盾性が強いとしても、
帰納的には決定できない、ただし強制法が使える。
もちろんこのときのメタ理論には推移モデルの存在が仮定されていたりするので、
第2不完全性定理の影響は受けない。

>>326
文字列をオブジェクト言語とする
見方をしている下で、その文字列はそのオブジェクト
言語において定義されている証明であったりする。
こういう理解でいいのかな。
>>328
そうなのか。俺はごく一部の数学者の発言
しか知らないからなあ。大学の数学の先生とか。
数学的証明の確かさってのも普遍的ではなく、
言葉の様式に相対的なものなのか。

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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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>>329

つまり、>>323は一般には「偽」である事が証明できる
と言う意味でしょうか?それとも、推移モデルの存在が
仮定されるのであれば、「真」と言う事でしょうか?

推移モデルの存在の仮定とは、>>329そのものとは
また違うのでしょうか?

STS446さん。何があったの？びっくりしたし、がっかりした。

>>332　
いえ、
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
ですが、これらの何れになるかは個別には一階述語論理で既に決定不能です。
ですから不完全性定理の成り立つ算術体系（クリエイティブ理論）も決定不能です。
決定不能とは真偽の判定自体ができないということですね、どのようなメタ理論においても。
ただし個別の論理式に対して様々な手法を用いて１〜３の何れかを言うことはできます。
一方で、これらの3つのパターンしか存在しないということ自体は定義から明らかでしょう、
どのようなメタ理論においても。

推移モデルの存在は別の話で、
強制法があたかも不完全性定理に反するように見えることに関する注意です。
あんまり関係ない話題で誤解を生んでしまったようでした...。

>>333
http://logsoku.com/thread/science6.2ch.net/math/1265884076/551-556
これがかつての私です。
http://logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1289481237/
このスレの368も私です。
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1319895756/
ここの766以降の考える人もそうですね...。
色々やってきました＾＾；

もうみんなつまんない知ったかとか衒学趣味はやめて
素直に数学と論理をやろうぜ。
これからは好きなことをとことん突き詰める！

>>336
いいこと言った！
論理学は好きだ
だが、自分は数学はわからん！

>>304
> 特に多いんですよねコンピュータサイエンスってこんな用語が...。

Type theoryどころかresolution pricipleすら怪しげなのによくそんな事言えるなw

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きてるよ。
論理ブーム、きてるよ！

>>338
甘いな、
resolution priciple 用語の説明はできるが
内容はさっぱりだ！

>>325 >>328 >>330

数学的証明の確かさには次の２つの局面があります。
　（１）公理の正しさ。
　（２）論理展開の正しさ。
このうち（２）の方を疑問視すると、たとえば「排中律を使った証明は
正しくない」とかいう方向で、数学でなく、哲学になっていくと思います。
通常の数学をやっている人々の共通認識は（２）の正しさは疑わない
ということです。
（１）の正しさは、たとえば集合論の公理の正しさとかは微妙ですが、
普通に数学をやっている範囲ではそこで用いている公理の正しさは
数学者の共通認識でしょう。
もちろん不完全性定理が示すように、
公理の正しさを証明することは不可能で、正しさは無条件に
認めるしかありません。
つまり正確に言うならば、数学の定理の正しさは
「公理が正しいならば結論も正しい」
というよう相対的な確からしさになります。

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┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Fuckin!!
そうそうこれも私でしたね＾＾；

http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1325513069/108-109
の樹形図も私の作品です＞＜；

>>340
せやな！

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ちょっと前に話題になった
スペンサーブラウンの形式の法則を
国会図書館で閲覧してきたけど酷かったよ。
数学的にはちゃんとしたものなんだけど、
この本書かれたのって60年代の終わりで、
再帰理論についての基本的な結果も大体出揃ってた時期なのに
なんで未だにこんな古い論理観なのか疑問に思った。
それから、あとがき読んで訳者と監修者が全然理解してないんだなぁと思った。
監修者は数学系だけど論理学には無知そうな感じ。
しかも訳者の宮台と大澤とかいう人は社会学者らしくてまったくの門外漢。
哀れだね。

>>318
Jech の SET THEORY をすすめる。
予備知識なしで強制法が最短でわかる。
他の本よりはるかにシンプルでわかり易い。

>>348
↓これ?
http://www.amazon.co.jp/gp/product/toc/3540440852

そう。
Kunenの本もあるが
あっちはまとまりが悪いのでおススメしない
Jechは分厚いがはじめから前頁みっちりやる必要はない

>>347
>スペンサーブラウンの形式の法則
圏論もそうじゃないのかと思っちまうのだが、違うかな？

>>350

逆に、初めから読めば予備知識0でもいいってこと?

ZFCは、公理そのものが理解できない(そもそも、理解しようって
ところが間違いなのかもしれませんが)から、殆ど分からない。

>>351
全然違う。
>>352
うん、
ただし素朴集合論くらいは少しやっておくべき。

>>353
ありがとう。高校の数学A程度の知識はある(と信じたい)。

そのレベルなら
簡単な集合位相の教科書買った方が良いよ
ホントに簡単なのだけで良いから

最近のKunen新版だと、構成可能集合の話は
一章を使わずにこれこれの操作で閉じた最小の集合だ、
ということで軽く済ましてあったり、
より新しい話題が追加されたりしてると聞いたけどね

値段を考えればKunenはおすすめかもしれない。
初めて集合論をやる人が
Kunenの最初の方の解説を理解できるのか疑問だけど。
少なくとも私はKunenを挫折してJechで強制法を学習しましたね。

強制法は、本当は〜〜がやりたいのだが
論理的にそれを直接やるのは不可能なので
迂回して〜〜という態で議論する、みたいな話が多くて技術的にやや複雑で
そこらへんの細かいことを一番詳しく書いた本がKunenなので
勉強しやすくはないけど強制法の基礎理論について一番網羅的に詳しく書いた本ではある
あと演習問題がやたら多い

Kunenってこれ？
ttp://www.nippyo.co.jp/book/3221.html
日本語訳はどうなんだろ？

普通に良訳だと思うよ

強制法は日本語では
選択公理と数学みたいな緑の本の
最後の方にも書いてあったと思うけど

田中尚夫の『公理的集合論』にものってた気がする

ちなみに私がJechをすすめた理由は
これ1冊に集合論に必要なものはほとんど書いてあるため。
これ1冊買えば、何冊も買わなくて済む。
強制法に必要ない部分、組合せ集合論とか巨大基数とかボレル集合とかは飛ばせばOK。
あとはKunenや選択公理と数学を副読本として
図書館から借りて来ればOK。
Jechを読み終わったらWoodinの本でもKanamoriの本でも
Handbookでも好きなのに入っていくと良いですね。

>強制法に必要ない部分、組合せ集合論とか巨大基数とかボレル集合とかは飛ばせばOK。
何のために強制法を勉強するの？っていう

それは俺もツッコもうと思った。

それは俺も書いてから思った。

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強制法だけやったら、
河合塾からでてた篠田・倉田とか難波みたいな薄い本でええやん、
要は式をブール代数にのせてしもたらええんやから。

test

アノ薄いのは絶版だと思ったけど

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河合塾のほうは品切れか絶版だけど、難波のほうは売ってた。

学習がすすむと
結局JechやKunenも買い始めることになる

読みもしないのにとりあえずで買っちゃう誰かさんみたいになるよりはずっといい

僕の事ですね。
ええ、Kanamori買ってますが
読めていません＾＾；

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　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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ふと疑問になったんだが、
λxλy.Pxy から　λy.Pay を作るには、(λxλy.Pxy)a とやればよいが、
λxλy.Pxy から　λx.Pxb を作るのは、直接にはできない。よね？
これはちょっと不便ではないんかな？
λ計算の規則ってどうしてこうなってるんだっけ？
知ってる人いる？

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>380
最も左のλを簡約すれば
有限回で正規形に到達する。
そうでなければ一般には簡約が終わらない。

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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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>>382
答えになってないと思われ

>>380

λ計算では、このような場合はカリー化という技法を使います。
なぜ多変数関数を直接に扱えない不便な定義にしたか、というと、
λ計算は現実のプログラミング言語ではなく数学理論なので
単純さを良しとしたからでしょう。

>>387
もとの　λxλy.Pxy　も 　λxλy.(Px)y のつもりで書いたものであり、
これはすでにカリー化されています。
多変数関数を直接に扱える便利な（変わった？）定義法はどこかで提案されているのでしょうか？

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>>388
圏論系のラムダ計算は引数をタプルで渡す形式化だよ。
そっちが自然で、それでなければ嫌だと思えばそっちで勉強すれば?
ダダこねても仕方ないよ。

質問なんですが
Jech Set Theory　の
p33の定理3.11のｋが無限基数ならｋ＜ｋ^(cfｋ)の証明が良くわかりません。
Proofを読んでもなぜｋ＜ｋ^(cfｋ)が出てくるのかよくわかりません。

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来てるわ。
基礎論ブーム完全に来てるわ。

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>>390
圏論系のラムダ計算って、引数をタプルで渡すその形式のまま
チャーチロッサーとか最左簡約定理とかを、論じるのですか？

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>>399
おやすみ

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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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>>390
たぶん答えになっていないと思われ

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>>397
圏論は性的な意味論しか与えてくれないよ。
そういう胴的な性質は圏論系では扱わない。

基底の巣窟

竹内外史著「数学基礎論の世界」（日本評論社）
のp.53には
「．．．しかし現在までゲンツェンの証明に対して数学界は誤解で充満しているようである。
たとえば、ある高名な数学者は’ゲンツェンとは、数学的帰納法の無矛盾性の証明を超限
帰納法を用いて証明した奴(guy)である’といっている。こういう発言はたいていの場合、
身勝手な偏見に基づいて、ろくに物を考えないで感情的な発言をしているのだから、別に
とりあげる必要はないが、じつは誤解の原因はわれわれ有限の立場側のほうにも責任があ
るのである。もっとくわしくいえば、定理４の証明が有限の立場で遂行できるということ
が、ゲンツェンの証明においてはあまりキチンと説明されていないし、．．．」
とありますが、結局は、「ゲンツェンの示した自然数論の無矛盾性の証明というのは有限の
立場でなされた」といっているのでしょうか？本当でしょうか？

読んだ本人の解釈を他人がとやかく言う必要は無い。

その後に「有限の立場」について説明してあるでしょ。

ZFCで∫e^(ix^2)dxを計算せよ
が分かりません、よろしくお願いします。

数理論理学が学べる大学を探してます。
筑波大、千葉大、金沢大、富山大、埼玉大、理科大あたりの大学で悩んでます。
何か情報下さい。
よろしくお願いします。

独学じゃないとできないよ

>>411
現状その通りだと思うよ。
Gödelを見てもわかると思うが、この分野の人は、たとえば哲学めいたことをおやりになるようになったりして、数学をあまりやらなくなったりする。（論理学と分野を共有しているからみたいだが。）

>>411
神戸大はダメ？

　
　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！！！！１１

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！！！！！！

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ゲンツェンとは、数学的帰納法の無矛盾性の証明を超限
帰納法を用いて証明した奴(guy)である。

・・・・何が悪いんだろうか?

そもそも、命題論理の無矛盾性だって、数学的帰納法で証明するの
だから、数学的帰納法は、それよりも強い体系を使うのは当然のように
感じるのですが、問題でもあるでしょうか?

>この分野の人は、たとえば哲学めいたことをおやりになるようになったりして、
>数学をあまりやらなくなったりする。
そんなこと無いと思うけど……
証明論とか記述集合論とかそういうのは数学じゃなくて哲学だ、とか言い出すなら別だが

>406えらくて優しい人おながいします。

>>416
「数学的帰納法の無矛盾性」って言葉が意味不明なのが悪い。

竹内外史のその本持ってないから定理4ってのが良く分からんけど
一般的に言われるのは、
Gentzenは有限の立場で
「ε0までの超限帰納法が成り立つ」 ⇔ 「PA は無矛盾」
を示している、ということ。つまりPAの無矛盾性の強さは
ちょうどTI(ε0)だということ。
左辺の「」内はPAの命題としてコーディングできるので、これはPAの定理でもある。

無矛盾性の強さを順序数で測るという考えに基づいて
レスができると言うことは、その方面の専門家かな。
第一人者が新井敏康さんだったと思うけど。
集合論の無矛盾性証明の研究が、どの程度進んでいるのか、気になる。

>>420
＞「ε0までの超限帰納法が成り立つ」 ⇔ 「PA は無矛盾」
左から右はよく言われることだが、
その逆を Genzen が証明したというのは初耳。
参考文献を教えて欲しい。

http://logsoku.com/thread/bubble4.2ch.net/cafe40/1157925509/

レスしてくださった方々本当にありがとうございます。

ちなみに
竹内外史著「数学基礎論の世界」（日本評論社）p.53の定理４は
「順序数の狭義に単調減少な数列
　　　α0>α1>α2>．．．
は有限回で終わってしまう。」
です。
有限の立場について一番詳しいのは竹内外史のProof Theoryなのでしょうか？
ちょっとしりたくなっちゃったなあ。
>>421
＞無矛盾性の強さを順序数で測るという考えに基づいて
にも興味あるなあ。何か参考文献を教えていただけるとうれしいなあ。

>>410
普通に東大にいっとけ

>>424
>>421ではないですが、
証明論的順序数のテキストとして
Proof Theory: The First Step into Impredicativity (Universitext)
Wolfram Pohlers
http://www.amazon.co.jp/dp/3540693181
が標準的です。

>>410
数理論理学を専門とする教員がいると思われる国公立大学リスト（試作）
東北大
群馬大
筑波大
千葉大
東工大
首都大
静岡大
名古屋大
京都大
大阪府大
神戸大
九州大

>>409

>>410

日本数学会のHPに入って、
　会員および数学研究者用　→　分科会　→　数学基礎論および歴史　→　特別講演
とすると、日本の主要数理論理学者一覧が見らる。

>>422
分かっていて言っているような口振りなので余計な節介かも知れないが、
PAの無矛盾性からε_0までの帰納法は導けないことは知られている。
420は知ったかしてるだけ。

>>410
数理論理学と一口に言っても、中身は千差万別の分野に分かれているからね。
日本の大学ではどの大学を選んでも、その内一つ二つの分野しか学べないので、
数理論理学の中でどの分野を学びたいのかはっきりしていないと選びようがないと思うよ。

大したことではないのだが、これの証明がいまひとつうまくできないんだ。

f：X→Y を局所Noetherスキームの間の固有射であるとし、
X , Y の構造層 , の間には f*( )＝ が成り立つと仮定する。
このとき、任意の y∈Y に対し、 f^-1(y) は、空でなく、連結である。

>>431
それはその通り。
もし詳細な分野が決まっていないならば、
とりあえず数理論理学の（どの分野でもいいから）専門家がいる大学で基礎を勉強して、
分野を決めてから大学院で適切な先生のところを受験すべき。
大学入試と比べて大学院入試は楽勝。

>>432
大したことないのにマルチすんな

>>433
基礎だけ勉強するなら専門家がいてもいなくても大差ないだろ。
一方で数理論理学の専門家がいても入門向け講義をやってなくて
微積や線型代数とか教養の講義持たされてる所もあるだろうし、
他方で数理論理学の専門家はいないのに入門講義がある所も多い。
最初から1対1の個人指導受けるつもりなら別だが、
そんな親切心と暇を持ち合わせた奇特な専門家はそうそういない。

>>435

>他方で数理論理学の専門家はいないのに入門講義がある所も多い。

そういう講義は羊頭狗肉なことがあるので要注意。

>最初から1対1の個人指導受けるつもりなら別だが、

専門家のいる大学に入って４回生のセミナーでその人に付くのがベスト。

＞専門家のいる大学に入って４回生のセミナーでその人に付くのがベスト。
多い大学でも数理論理学の専門家は数人だから、
毎年セミナーが開講される保証はないわけで（一人なら隔年以下の頻度）、
そんな不確実なことを目指して4年間学ぶ大学を選ぶのはどうかなと思う。

410です。
皆さん丁寧な回答本当にありがとうございます。

大学によって専門分野が大分違うみたいなので、慎重に選ぶ必要がありますね。
今のところモデル理論を専門にしてる筑波大を検討しているのですが、モデル理論という分野をよくわかっていない上、他分野を知らない状態で安易に専攻をこの分野にして良いのかと悩んでます。

またもう一つ質問があります。
数理論理学は物理学との関係を持ちますか？
自分は元々物理学科志望だったので、物理を捨ててまで数理論理学を勉強して良いのかとかなり悩んでます。

一応質問させて頂きますが、学部は物理学科で院から数理論理学専攻ということは可能でしょうか？
また、量子論理学という分野がありますが、これは物理学の類には入るのでしょうか？

>>429

ありがとうございます。やってみます。

東大とか京大で独りで勉強するのも手だよ

>>438
中身もよくわかってないのに先走りしすぎだ。
とりあえず物理か数学か専攻を決めた方がいい。
その中での分野選択は大学に入ってからでも遅くない。

いろいろ選択肢を残しておきたいなら東大か京大にでも行っとけ。

名古屋が楽しそう

高校時代が数理論理学に興味持つって...
ネット世代は凄いねぇ。

糞論あげ

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>>438
「量子論理学という分野」が本当にありますか？
どこで聞いたのですか？　
「量子論理」ではなく「量子論理学」という言葉を使っている文献がありますか？

量子論理という論理体系はあります。
私見ですが、数理論理学から見ればそれは単なる非古典論理のひとつに過ぎません。
数理論理学においては量子論理はひとつの研究対象だけれども
ひとつの分野と言えるほど重要なものではないと思いますが。

物理をやりつつ趣味で論理学やる方が良いと思うけど。
逆は厳しい。

俺は数学とは無縁なんだが、無限について考えたことがある。
ガレリオは自然数と二乗数の数は同じかということについて考えたそうだが、俺はこう思う。

A 1,2,3,4,5,6,7...
B 1,4,9,16,25,36,49...

二つは対になっているが、...が無限に続くなら同じかという問題
確かにある自然数R≧3を定めるとRに近づく速度はBの方が常に速くて、Rが有限ならば常にBの方が少なくなるのに
無限になると同じになるように見えるという不思議な現象についてだが、俺はこう思う。
そもそも、∞というのは数ではなくて概念であって、∞個というのは存在しない。
ただ、...が永遠に続くというだけであって、∞個というのは存在しないのだから（個数は常に有限）
AとBの数は不定というのが正しいんじゃないだろうか
もし上限を自然数R≧3と定めればRが有限であるならば常にBの方が少ないが、∞という個数は存在しないので
無限に続くならAとBの個数は不定である。ガレリオには悪いけど二乗数は整数よりも少なくはないとかそういう問題じゃないと思う
俺は数学には全くの素人だが、このスレに書き込んでいいのかも分からないが書いてみた

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>>447
数学をやりつつ趣味で論理学やることも良し。
この場合は、趣味が高じて論理学のプロになることも可能。

>>410,>>438
学部段階で身に付けるべき数理論理学に必要な基礎内容は、
その他の数学とほぼ共通しているので、
君の力で入れる一番レベルの高い数学科に行くのがいい。
履修内容が一律に決まっている高校までと違って、
大学では学生のレベルによって内容がまるで違うから、
できるだけ上のレベルの数学科に行く方が、
専門家の有無なんかよりも後々ずっと有益になる。

>>450
それじゃ北田均氏になっちゃうｗｗｗ

>>441や>>451が妥当な助言だな。
大学に入学する段階でそんな細かな専門分野を決めるのは健全ではない。
数学か物理か程度の大まかな分類だけ決めて
その中での分野は色々勉強してみてから決めるべき。

私も数学とは無関係な人間だったが、ひとつ質問。
元々は、ただのプログラマだったが、いつの間にか
数理論理学や集合論をかじるようになっていた。

ここ最近(2006年ぐらい)から、囲碁や将棋のプログラムにおいて
モンテカルロ法(より負けない終局が多い所に打つのが最善手)と
と言う考えが注目されています(実際問題として、この考えに
基いたプログラムは単純な割に異常に強い)。

これは、突き詰めると一般化された将棋において、先手or後手に
より負けない終局が多い方に最善手(必ず負けない手)が存在する
と考える事も出来ると思います。

一般化された将棋において、先手or後手のどちらに最善手が
存在するかと言う判定問題はEXPTIME完全ですが、先手or後手に
より負けない終局が多い方に最善手が存在するのならば、
それは、複雑性クラスPPに属すると思うのです。

PP=PSPACE=EXPTIME

と言う事を、想定している専門家はいるのでしょうか?
このスレに書き込んでいいのかも分からないが書いてみた。

>より負けない終局が多い方に最善手が存在するのならば

間違ってない？

>>455
経験的にそういう考えがはやっている(特に囲碁で)だけで、
間違ってるかどうかは分からないんです。

で、もしも、その推測が一般に正しいとすれば、
PP=EXPTIMEになっちゃうんじゃないかと・・・

北田均氏についてｋｗｓｋ

>>421
集合論の無矛盾性の強さは巨大基数と呼ばれるもので測る。

北田均氏は、ゲーデルの不完全性定理について、英文のトンデモ論文を
発表し、Zentralblatt Math で reviewer にたたかれて、また反論し、
またバカにされているが、本人は理解できない。
日本語の本は、もっとトンデモであるが、本人に誰も変だといってないん
だろう。
もともと本業のほうも、証明がしっかりしない人ではある(谷島さんにくっつ
いていた間はよかったが）。

>>459
そのトンデモ論文のトンデモっぷりを解説してくれないかい？

将棋でモンテカルロ法のプログラムが強いという話はあまり聞かないけどね。

>>426さん具体的なテキストの情報ありがとうございます。
また、>>430,458さんもありがとうございます。

さて>>406での竹内外史著「数学基礎論の世界」（日本評論社）のp.53の引用ですが、同じページの
すぐ上に、まさに
「ゲンツェンは、さらにこの定理を用いて、自然数論の無矛盾性の証明を有限の立場で遂行したのである。」
（上記引用文のこの定理とは、>>424の定理４のことです。）
とありました。こちらを引用すべきでした。すいませんでした。
さて本題ですが、上記引用文の内容は本当でしょうか？第2不完全性と矛盾しないのでしょうか？
>>420の
＞Gentzenは有限の立場で
＞「ε0までの超限帰納法が成り立つ」 ⇔ 「PA は無矛盾」
＞を示している、ということ。
の指摘ですが、（⇔か⇒だけかは、おいといて）これはまさに>>406の引用文における’ある高名な数学者’
の主張なのではないでしょうか。
竹内外史の言っていることだけに無視できません。もう少し皆さんの意見をお伺いできないでしょうか。

竹内外史の言っていることじゃなくて、
竹内外史がとんでも発言として引用していることでしょ…

北田均著「ゲーデル不完全性定理への道」
p.154
　　Feferman によれば
　　ω_1 < ω＾(ω＾(ω＾2))
　　である。

とある。
ω_1 は Church-Kleene の順序数とあり、non-recursive ordinal の最小
という意識はある。右辺は ε_0　より小さいので、話にもならないが、この
順序数の表記を全く理解せず、もちろん Feferman の論文の滅茶滅茶な誤解
と自身の妄想を膨らませた、トンデモ本の典型。本当にこの人、東大で基礎論
の授業してるの？

>>463
いいえ違います。>>462の
＞「ゲンツェンは、さらにこの定理を用いて、自然数論の無矛盾性の証明を有限の立場で遂行したのである。」
は竹内外史自身の言葉です。当該書か、>>406を読んでいただければわかると思います。

順序数解析の人は大抵そうだけど、
竹内外史の場合は特に、「有限の立場」という言葉を
他人と違う意味で使うので。

まあ昔は有限の立場内で証明したと言い張らないと
相手にされないような状況があったんだろうとは思うけどね。

有限の立場について、一般的な意味と竹内外史の考える意味を是非教えて頂きたい

便乗して質問です。
以前、整列順序<ω_1CK, ＜>は算術の述語を用いてω上に定義することができないと
このスレにあった気がするのですが、
Σ1文では上手くいかないというのは分かるのですが、
もっと量化の複雑な式を用いて定義することはできるのではないでしょうか？

上の質問と関連するのですが、第一不完全性は、
公理（のゲーデル数）の集合がΣ1ではなくて
Σnだったときにも一般に成立するんでしょうか？

誰かA⇔ Bと論理的に等価でかつ、論理積と論理否定だけを使った適当な命題論理式わかる人いますか？
困ってます・・

not(A∧notB)∧not(B∧notA)

ありがとうございます

>>464
それは誰かのブログでも繰り返し指摘されていましたが、それだけ？
たしかに酷い間違いですが、それだけで本が一冊まるごとトンデモになるほどのものではないですよね。

>>468

話題のこの人の論文はいかが？

http://arxiv.org/abs/math.GM/0307090

>>468
Church-Kleene の順序数 ω_1CK には同値な定義がいくつもあって、
「算術の述語を用いてω上に定義することができない最小の整列順序」というのも
そうした定義の中の一つ。
この定義だとそれは自明なのだけど、貴方の意図している定義は？

>>473
いや私はω1CKは存在しないのではないかとか
そういうことを考えている訳じゃないのです。
あと0から始めて帰納的に定義される順序数は
recursiveだ、とみたいなことがその論文に書いてありますが
私はそういう言葉の使い方をしていません。

>>474
普通は<ω, ＜>が再帰的に定義できないような
（つまりΣ1述語で表現できないような）最初の順序という風に定義すると思います。

>>459
その論文が載ったIJPAMって雑誌はザルのような査読しかしないんだろうか？

>>475
どの定義が普通だとか講釈できる位なのだから、
再帰理論にはさぞお詳しいのでしょう。
答えを知っているのに知らない振りして質問するのは何故？

>>466
＞竹内外史の場合は特に、「有限の立場」という言葉を
＞他人と違う意味で使うので。
ああ、そういうオチでしたか。それじゃあ、竹内外史の言う「有限の立場」というのは、超限帰納法と
同じかそれ以上のものだと言う事ですか。そうですか。ううむ。
なんか、抜け道みたいなのがあるのかなあ、と期待してしまったんだけどなあ。

別に何通りもの定義を洗いざらい調べたというのでは無くて
単に「算術の述語を用いて定義することができない」
という風に定義した文献を見たことが無いというだけです

Σ1述語で定義できないというのと算術の任意の述語で
定義できないというのではかなり隔たりがあると思います
前者との同値は明らかであることが多いですが
後者の定義は仮に同値だとしても私には証明できませんし
かといって反例も思いつかないのでここで質問させていただいています

算術＝Δ^0_ω＝Δ^1_0
ではないのですか？

３ダースの次は北田均か。叩く対象の「プロ研究者度」がどんどん上がってるな。

>>481
すると次はプロ中のプロのあの人か、P=NP?問題を解いたと自称する....

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>>476
IJPAM の査読がザルであることよりも、本人の頭がザルであること
が問題。

すみません、ちょっと質問です。
Stone空間とかStoneの表現定理を丁寧に説明している本って
ありますでしょうか？

位相空間とブール代数の関係を知りたくて『位相と論理』を
読んでみたのですが、いまいち判らないので別の本も読んで
みようかと考えています。

>>485
少し古いが、コッペルベルグ『現代のブール代数』共立出版。
品切れでなくてよかった。
あと、完全性定理の証明をあわせて読んでみると同じこととわかって有益。

査読がそんなザルなら IJPAM に投稿しまくって論文数を稼がない手はないな

>486
サンキューです。とりあえずジュンク堂で注文しました。
週末に読んでみます。

ストーンの定理のストーンってもっと尊敬されていて良いはずなのに
何故か誰も彼のことを語らないらしいね

>>479
大概の Recursion Theory の本には証明が載ってるよ。
Boundedness principle というものの帰結の一つで
算術的に限らず Σ^1_1 まで拡げられる。

いわゆるゲンツェンの基本定理によって
対偶法・背理法といった間接証明で証明可能な命題は直接証明可能である
ということが導かれるのは何故でしょうか

>>489
スコートゥスの定理のスコートゥスも全然語られないな

>>491
証明が存在するなら、部分論理式属性を持つ証明が
存在することを証明してるから。

証明図中に登場する全ての論理式が、帰結となる論理式または公理の
部分論理式になっているから、証明の中には証明する論理式と
公理以外は存在しない。

だから、直接証明可能。

>>493
すみません
仰ることは分かる気がするのですが
それを基本定理が示しているというのがピンときません

補間の存在の有無と仰ることがどう関連するのか
腑に落ちないというか…

仰ることが真の意味では全くわかっていないのかもしれません

>>494
web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf

正確には、ゲンツェンの基本定理ではなく、その系から
導かれたはずです。

ttp://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf

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集合の質問ってここで良いのかな？
どなたかご存知でしたらお教え下さい。
A_B = {a∪b|a∈A, b∈B}
のような演算_は何か名前がついていたりしますでしょうか？
Webで検索してみたのですが、似たようなのは見付かりませんでした。

 取り出す要素a,bによって演算A_Bの結果が変わるのけ？

>>490
ありがとうございます。探してみようと思います。

>>498
どういう脈略でそのような演算を考えたのですか？

>>500
MoschovakisのDescriptiveSetTheoryという本（Webで無料公開中）に詳しく紹介されています。

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>>495
これを読んでもやはりその帰結が得られません
背理法は推論規則の一種だからということでしょうか
それなら定理である対偶にも適用可能というのがわかりません…

>>495
別のものを読んだら
少しわかってきました

正規化定理が成り立つ場合、その体系においては部分論理式原理が成り立ち、
この部分論理式原理が成り立つということが即ち直接証明可能な証明図の存在、
構成を可能にするということなのですね

>499
演算結果は集合になるので、一意に決まります。

>501
導出原理を集合として扱いたいのですが、そのような場合には
このような演算があった方が便利なようです。

>>495
この文献を紹介された意味は
NKにおいても部分論理式原理が成り立つことが言えるということでしょうか

>>507
NKの場合、単純な意味での部分論理式原理は成り立たない。
例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬¬(p∨¬p) の登場が必要。

訂正：
例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬(p∨¬p) の登場が必要。

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>>491
「ゲンツェンの基本定理によって対偶法・背理法といった間接証明で証明可能な命題は直接証明可能である」
というのは、定理の雰囲気を説明するための喩え話のようなものではないでしょうか。
聞き流す分には害はないけれども、喩え話だけを見て深く考えようというのは不適切で、
深く考えたいならば基本定理の主張を正確に数学的に理解する必要があると思います。

正確に理解しない数学なんてありえない。
喩え話は数学には必要ない。
数学的直感は必要。

>>513
例え話は例えた奴の理解度と知性がよくわかるので有用。

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>>506
＞ 演算結果は集合になるので、一意に決まります。 


取り出す要素a,bは一意でないのに？

それに要素a,bが集合でない場合の演算∪はどう定義される？

>>516
大分的外れなこと言ってるね。
取り出す要素が一意だったらおかしいでしょ。
a,bが集合でない場合なんて考えようがないし考える意味もない。

取り出す要素が一意でないのに
aUbは一意に決まるのですか？

U_[p] ： {p：p=aUb(a∈A,b∈B)}

498から想像するに、おそらく こんな感じの演算。
aUb(a∈A,b∈B) のa,bが一意に決まらないのに
aUbが一意に決まるわけがない。

それだと A_B は 普通に A∪B になるんじゃね？

ならない
A={ {1,2} ,{1,3} }　　B={ ｛0,1} } のとき

A∪B={ {1,2} ,{1,3},｛0,1} }
∪_[a∪b| (a∈A , b∈B)]  ＝ { 0,1,2,3 }
{ a∪b| a∈A , b∈B) } ＝ { {0,1,2} , {0,1,3} }

>>519
一意に決まったらそれこそおかしいでしょ。
a,bは集合A,B全体を動く変数なんだから。

>>522
よく嫁。
519はa,bは一意に決まらないからa∪bは一意に決まらないと言っているだけだ。
{a∪b}とa∪bは違うと言っている。

>>508
二重否定除去を用いる時点で背理法が使われている筈だから、¬を用いた式を新たに使わなければならない以上
部分論理式原理は成立しない、従ってNKにおいては対偶・背理法を用いず云々の話は言えない

ということでしょうか
つまり部分論理式原理はLKでは言えるがNKでは言えないと

>>523
依然として何を問題視しているのかが見えない。
どこに問題があると考えているの？

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499と516が
{a+b : aは2の（正の）約数、bは3の（正の）約数}
= {1+1, 1+3 ,2+1, 2+3} = {2, 3, 4, 5}
みたいな書き方を知らないだけだと思うな

>523
a∪bとしては一意に決まりませんが、{a∪b|a∈A, b∈B} としては一意に定まります。
正しく >521の演算の通りですね。

たぶん特別な名前は付いてない
仮に付いててもメジャーじゃないから通用しない

>529
やっぱり無いですかね。それでは適当に定義することにしようかな。

ウェブサイト（http://erectuswalksamongst.us/Chap9.html）につき
そこでいう“Caucasian”は、
　　 {Caucasians} ⊂ {Caucasoids}
である。また、そこでいう“Asian”は、「Mongoloid」の定義いかんでは
　　 {Asians} ∩ {Mongoloids}C ≠ Φ
　（{Mongoloids}C は {Mongoloids} の余集合を表わす）
という集合をつくる。簡単に分かることであるが、
　　 {Caucasians} ∩ {Asians} ＝ Φ
である。　そして、次のような集合（集団） S が存在し得る：
　　 S ⊂ {Asians} s.t. S ⊂ {Caucasoids}＼{Caucasians} ．

このような集団 S に属する人々としてどのような例がありますか？

>>524

「対偶・背理法を用いず云々の話」は、誰かが言っているように喩え話なので、
これを論じ始めると各自の解釈に依存する泥沼になってしまうだけだと思う。
そのような非数学的議論を楽しむのも結構だが、それは次の数学的事実を
正確に理解してからの方がよいだろう。

[数学的事実]
NKで仮定無しに証明できるが、その部分式だけを使用した証明図では
証明できない論理式がある。

なお、この事実をもって「NKでは部分論理式原理が成立しない」
と言うかどうかは「部分論理式原理」の定義に依存する。
あなたは（あるいはあなたが読んでいる本は）「部分論理式原理」を
どう定義していますか？

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>>532
証明図中に登場する論理式について、仮定と結論の部分論理式以外のものは登場しない
ということでした

家庭というのは前提のことです

>>534

これはひとつの証明図に着目してそれが部分論理式原理をもつことの定義ですね。
そして「NKにおいて部分論理式原理が成り立つ」ということの定義はおそらく次ですね：

Γ |- φ　を表す証明図（つまり、結論がφで仮定はすべてΓの要素であるような証明図）
が存在すれば、 Γ |- φ　を表し部分論理式原理を持つ証明図が存在する。

そして、この定義の部分論理式原理がNKで成り立たないことは理解できますか？

ついでに言うと、定義を変えれば成り立つかもしれないというのは、
一例として、「部分論理式」の定義を少し変えて ¬(p∨¬p) が p∨¬p の部分論理式である、
と言えるようする、などです。

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>>536
Aの部分論理式として
¬Aも、¬¬Aも認めないのであれば成り立たないですよね

で、¬¬Aを部分論理式として認めると、その帰結としては背理法・対偶を使わない正規形が存在しない、ということは言えませんよね
ということです

正規化定理⇒(修正された)部分論理式原理はいえても
部分論理式原理⇒正規形に間接証明を用いているものがない
は言えないと思う、ということなのですが…

>>538

「背理法・対偶を使わない正規形」の正確な定義はありますか？

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>>539
背理法を使う証明：命題(前提⇒結論)の否定から矛盾を導くことで命題を証明する証明
対偶を使う証明：結論の否定から前提の否定を導くことで命題を証明する証明

即ち前提⇒結論の部分論理式に¬をつけた論理式を部分論理式として認めるか否か
によって変わってくるということです

背理法使わなかったら、完全性が成立しないんでないの？

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>>541
「命題を証明する証明」の定義がわかりません。
「証明Pが命題Aを証明している」という概念の正確な定義は何ですか？
そもそも「命題」という言葉を「論理式」と同じ意味で使っていますか、
それとも違う意味で使っていますか？

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>>544
命題は
前提⇒結論の形の論理式です。そう書きました

ありがとうございました。もう結構です
どこまでいっても定義を聞き返されるだけになりそうなので

要はある論理式(例えばA⇒B)があって、その部分論理式として、¬Aとか¬¬Bを認めるか否か(部分論理式の定義をどうするか)が
｢NKについて部分論理式原理が成り立つ｣といえるかどうかを決めるということですね

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>>548
「ありがとうございました。もう結構です。」

何て奴だ。

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よくわからんのだが・・・

>>NKの場合、単純な意味での部分論理式原理は成り立たない。
>>例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬¬(p∨¬p) の登場が必要。

そもそも、排中立はNKにおいて公理なので、

p∨¬p

で証明完了だよね?

あと、「背理法・対偶を使わない」と言うのは、推論規則に依存します。
なにが背理法なのか、何が対偶なのか分かりません。

なので、「直接証明」を定義しないといけません。

で、「直接証明」を定義すれば、NKにおいても、
「証明が存在すれば、直接証明が存在する」
って言うことが言えるよってだけの話です。

排中律が公理になるのか定理になるのかも推論規則の選び方によるわけだが

取り敢えずwikiの数理論理学のページに背理法対偶云々のことが書いてはあるな

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彌永昌吉先生ってすごく偉い先生だよね。

竹内外史が基礎論に興味を持ったのですが、と彼に言ったときに
Herbrandの論文を読みなさい、と助言し、その論文が図書室になかったと言うと、
じゃあGentzenの論文を読むのが良い、と再度アドバイスした。
しかも彼が特に基礎論にだけ造詣が深かったわけではもちろんない。
並の了見の学者にできることじゃないと思う。

昔の帝国大学では数学科と物理学科が分かれていなかったように
学問の世界は時の流れに伴って専門分化が進んでいく
というだけのことじゃないの？
昔の偉い人は、（今から見れば）複数の分野に跨って造詣が深かった、
というのは全く珍しいことではないと思うがね。

日本人のウルフ賞受賞者、小平、伊藤、佐藤はいずれも弥永にかなり世話になっている。
特に伊藤、佐藤は弥永がいなければ研究者の道を絶たれていたかもしれない。

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彌永先生は高木先生の弟子だったよな

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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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群論なのですが
(1)
Z=nZを含むsに対し、g→sg で定まる写像fs:Z=nZ→Z=nZ について、
fs は全単写であることとsが(Z=nZ)*を含む事が必要十分条件であることを示せ。
(2)
sは巡回群Z=nZ の生成元であることと(Z=nZ)*が必要十分条件であることを示せ。

の問題をどう解くべきなのかが方針すら定まらない状態です。
どなたかご教授していただけないでしょうか

申し訳ありません　誤爆しました

>>552
排中律が公理とか断定してる時点でもうね
公理にしてるやつしか知らないのか

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だから何だ

>>566

だから、私は「NKにおいて公理」と断っているが?
自然演繹NKでは、同一律も矛盾律も公理ではない。

そもそも証明とは、結論に一切の仮定が存在しない演繹のことです。
そして、公理とは仮定に含まれない仮定である。つまり、公理のみを
仮定した上で演繹される結論には、一切の仮定が存在しない。

言い換えれば、結論に公理のみが仮定として存在する演繹は
証明です。これは、どのような推論体系に対しても共通に
言えることです。

A∨¬A

上記の演繹は、結論が公理であり、結論には一切の仮定がない。
故に、自然演繹NKにおいて上記の演繹は証明である。

もちろん、自然演繹NKにおいて、上記が証明だと言っているだけで、
その他の推論体系には何も言っていません。

いや、二重否定除去則を推論規則として採用する代わりに
排中律を公理に採らないタイプの定式化もあるので

だからどうした。

>>570

あったところで、それは別の推論体系であって、
自然演繹NKではないでしょ。二重否定除去則は、
自然演繹NKにおいて、一種のカットに属するので。

>あったところで、それは別の推論体系であって、
>自然演繹NKではないでしょ。
ろくに物知らないで偉そうなこと言ってる香具師ﾊｹｰﾝ!!

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ろくに物知らないのは事実だが、
二重否定除去則を正式な推論規則として採用すると、
⊥に関する推論規則も除去される。

そんなものNKでもなんでもない。

排中立の証明などと言う意味のない事を考えなければ、
NKで、正規化定理が成り立つって話だけをしてる。

論理的思考Ｓランクのみなさん
http://ikura.2ch.net/test/read.cgi/campus/1337669967/
↑
暇つぶしにこいつら論破してやってくれませんか

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>二重否定除去則を正式な推論規則として採用すると、
>⊥に関する推論規則も除去される。
>そんなものNKでもなんでもない。
ろくに知らないのにどうしてそう断言できるの？
巷に出回っている本でNKと呼ばれる体系がどんなものか調べて出直しておいで。
著者と本によって微妙に異なった体系がどれもNKと呼ばれていることに気づくと思うよ。

569も意味不明だね。
部分論理式原理は仮定を含めても定式化できるのだから
仮定があるとかないとか今の話に何も関係ない。
シーケントでNKを定式化する場合には仮定込みでの方が自然だし。

>>575
馬鹿過ぎる
二重否定除去を推論規則として採用すれば
矛盾からは何でも〜の推論は定理として証明できる

ほんとに何も知らんのだな
英語版wikiで証明見てこいよ

>>578

>>妙に異なった体系

単純に、様々な派生推論規則が加えられてるだけじゃなくて?
基本的な定義から変わってるってこと?

たしかに「自然演繹」と呼ばれるものは沢山あると思うけど、
「自然演繹NK」についてもいろいろあるの?

そうだとすれば、私の完全な勉強不足なので、具体的な本を
教えてほしい。

もうだめだこいつ
というかそもそも何を読んだんだよ

>>580

私は、二重否定除去+最小論理からは、いわゆる「爆発原理」と
「排中立」の両方が証明できると言っているだけ。

だから、⊥に関する推論規則と排中立は不要。

そんなのNKでもなんでもないとか言ってるから馬鹿過ぎると言ったんだよ

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なんだか、前原昭二『記号論理入門』と林晋『数理論理学』読んでおきたいな。

基本的な質問で申し訳ないですが
数理論理学と記号論理学って同じものでしょうか？
僕は論理学入門や記号論理学の本は見ましたが
数理論理学と記号論理学が違うのかよくわかりません。
数理論理学の本を買うべきか迷ってます。

一概に同じとは言えない

名前を気にするより実際に名前に数理論理とか記号論理とかついてる本をざっとでも見てやりたいものを選べば良い

>588
> 数理論理学と記号論理学が違うのかよくわかりません。

あなたの感想は実に真っ当です。
この２つの言葉はかなり重なる部分があり、人によってもニュアンスが異なります。
ちょうど、以前からたびたび議論になる「数理論理学」と「数学基礎論」のように。

記号論理って書くのは人文系向けのが多いね。
自然言語を例にとってるものが多い。
そして数理論理学はそこらへんが省かれているものが多い気がする。

戸次大介の数理論理学で
数学基礎論（mathematical foundation）
と書いてあったことを思い出した。
さすがにその日本語と英語は意味が違うだろうと思った。

>>592
それは、戸次さんが「数学基礎論」の人ではないことの証拠ですね。

>>589

田舎だとamazonで買うことはできても、手に取って立ち読みすることができない。

英語の本なら…ｺﾞﾆｮｺﾞﾆｮ

みなさんありがとうございます！

本というか雑誌だけど Journal of Symbolic Logic っていうのもある。
しかし別の雑誌 Archive for Mathematical Logic と扱う範囲が違うわけじゃない。
使い分ける人もいれば同じ意味で使う人もいる、くらいのもの。

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雑誌とか学会の分野名は結構適当
数学基礎論という分類でほとんど論理学の関係無い
数学史的な講演とか普通にあっても全然おかしくない

>>599
それは「数学基礎論および歴史」という分類だとおもわれ

>>581
>たしかに「自然演繹」と呼ばれるものは沢山あると思うけど、
>「自然演繹NK」についてもいろいろあるの?
古典論理の自然演繹体系で NK 以外の名称って例えばどんなものがあるんだ？
本の中だけの便宜的な名称として NK' というようなのは見たことあるが。

すいませんが
cooper computability theory　の
p77のExercise5.2.18（１）の
{ｚ｜∃ｓ（ｚ∊X^s−Y^s）}はC.E.であることを示せ
のヒントお願いします

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上の方でＮＫをシーケントで定式化とか言っているバカがいるが
シーケント計算はＬＫだろｗｗ

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>>604
私は579ではありませんが、579はバカではありません。

自然演繹を木状に書くのではなくシーケント状に書く流儀があるのです。
型理論を指向する研究でよく使われるのではないかと思います。
手元にないので確認できませんが、林晋さんの数理論理学では
シーケント状のNKを使っていたかもしれません。

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606が言ってるようにシーケントを使うかどうかと自然演繹型の体系かどうかは全く関係がない。
メイジャーな証明体系として、ヒルベルト流、自然演繹、シーケント計算の三大分類がよく出てくるが、
最後のをシーケント間の推論の体系という意味で考えるのなら
ヒルベルト流も自然演繹もシーケント間の推論体系として書き直すことができるので
シーケント計算ということになってしまう。
だからヒルベルト流や自然演繹と対置して「LKのような体系」という意味で
「シーケント計算」と呼ぶのは正しくないが、しかしそれにふさわしい用語は俺は知らない。

正解を書くと、
推論規則をできるだけ減らした体系がヒルベルト流、
公理型をできるだけ減らした体系がゲンツェン流と言われる。
ゲンツェン流の極端な例として、仮定やdischargedを導入することで
公理をなくしてしまった自然推論体系がある。
シーケント計算というのは証明図に対して呼称されるもので、
タブロー法とかTAIT計算とかと同じカテゴリに入る。
他にもシュッテの記法とかポーランド人が考えたBasicみたいな記法とかもあるけど。

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>公理型をできるだけ減らした体系がゲンツェン流と言われる。
これじゃ NK も LK もゲンツェン流であって（それは正しい）
両者を区別できないのだから>>608への正解かどうか以前に
答えとして型エラーだな

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>>609
ヒルベルト流は「推論規則をできるだけ減らした体系」、
ゲンツェン流は「公理型をできるだけ減らした体系」とは言えても、
それらの性質がヒルベルト流やゲンツェン流を特徴づけるわけではない。
推論規則が最小な体系はなんでもヒルベルト流になるわけでも
公理型が最小な体系がなんでもゲンツェン流になるわけでもないのだから。

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構造規則についてだろNKとLKを区別することが出来る点は

論理的思考の技法〈2〉三段論法と誤謬
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4587037559/ref=mem_taf_books_d?uid=NULLGWDOCOMO

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自然推論の語源って演繹定理からきてんだよ。
当初は自然演繹とよばれてた。
ゲンツェンが数学の記述には
仮定が頻出することから導入した。

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>>618
いや今も自然演繹と呼ばれてるが

>>615
NKでも構造規則はコントロールできるわけだが？
→の導入で消去できる仮定を一つ以下にするとか、
必ず一つ以上消去しないといけないとか。
シーケントで定式化した NK ならこれらは LK の構造規則と全く同じ。

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>>609
TAIT計算はシーケント計算だろ？

というかTaitって人名だよね？何で全部大文字

証明論黎明期の20世紀初頭には
100種類以上の証明図が考案された。
既にあがったコワレフスキやシュッテや
ロビンソンらの記法もそうである。
また最近ではDRTやピンホールモデルなど
計算機科学の世界で発展し続けているのだ。

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　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
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　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
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「NKとは何か？」「LKとは何か？」が問題になっているみたいだが
確かに面白い問題だと思うので私見を述べておく

>>581が当初主張していたように NK や LK が特定の一つの形式体系というのは
実際の使われ方に照らして正しいとは言えない
ある性質を満たす古典論理の証明体系はすべて NK または LK と呼ばれると言っていいと思うが
ではこの「ある性質」は何なのかが問題なのだ

>>606や>>608が正しく指摘しているように
「論理式をツリー状に並べれば NK でシーケントで書けば LK」というのは表面的過ぎており
NK や LK の区別はもう少し深いレベルのものと考える

前置きが長くなったが私見では two-sided sequent で表現した場合に
各々の論理結合子（量化子含む）ごとに右導入規則と右除去規則があるのが NK で
各々の論理結合子（量化子含む）ごとに左導入規則と右導入規則があるのが LK である

異論があれば傾聴したい

>>631
長々ともったいぶっておいて結論はそれだけかよｗ

398 名無し生涯学習 sage 2012/05/19(土) 07:53:33.61
ジョーは酒場で論理学の教授と知り合った。

「論理学ってのはどういったもんですか？」
「やって見せましょうか。お宅には芝刈機があります？」
「ありますよ」
「ということは、広い庭があるわけですね？」
「その通り！うちには広い庭があります」
「ということは、一戸建てですね？」
「その通り！一戸建てです」
「ということは、ご家族がいますね？」
「その通り！妻と２人の子供がいます」
「ということは、あなたはホモではないですね？」
「その通り！ホモじゃありません」
「つまりこれが論理学ですよ」
「なるほど！」
深く感心したジョーは、翌日友人のスティーブに言った。
「論理学を教えてやろう。君の家には芝刈機があるか？」
「いや。ないよ」



「ということは、君はホモだな！！」