現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

>>266

斎藤毅さんの、これも面白いね
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf
グロタンディーク　[さいとう たけし]

グロタンディークほど、多くの伝説が語られた20 世紀の数学者はいないだろう。しかしここで書きたいのは、私にとってのグロタンディークである。
それは、今では遠い学生のころ、来る日も来る日も読みふけった、Tohoku、EGA、SGA の著者である。

全13 章の計画が、第4 章までで中断されたままである、というのも有名な話だが、そこまででも計1,800 ページという膨大なものである。IHES（パリ郊外の高等科学研究所）の青表紙の雑誌で1960年から1967 年まで毎年1 冊ずつ出版されたものだが、
1 章だけは、大幅に改訂されたものがシュプリンガーから本となってでている。
そのはじめのところをみると、数学の対象とは構造のついた集合であるという、ブルバキの数学観が、時代遅れになっていることがわかる。
グロタンディークにとっては、数学の対象とは、表現可能な関手を表現する圏の対象である。
たとえば、ブルバキ流にいえば、実数体とは、実数全体の集合に、加法と乗法という代数的な演算を与え、さらに位相をいれたものである。
EGA では、スキームX とY のS 上のファイバー積とは、S上のスキームの圏の対象で、X が表現する関手とYが表現する関手の積関手を表現するもの、というのが定義である。

数学の対象は、それが何からなりたっているかではなく、どういう役割を果たしているかが重要だ、という視点の転換がそこにある。
アファイン・スキームも、局所環つき空間として構成されるのだが、その存在理由は、大域切断という関手の随伴関手であるところにある。対象それ自体よりも、対象から対象への射のほうが重要だ、といいかえてもよい。
この視点にたつグロタンディークにとって、スキームの点とは、位相空間としての点ではない。
それは、ほかのスキームからの射である。これは、シュヴァルツの超関数が、試験関数の空間の双対として定義されることを思い起こさせる。
（つづく）