俺様の測度と積分論

R^n上のすべての部分集合が可測となるような公理を仮定する。
この上で、可測集合、積分、可積分関数を定義し、L^1(R^n)が完備であることを証明せよ。

さあ、語れ。

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これまでの俺様測度論
その1
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123 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/01/15(日) 07:07:29.95
例えばZFに「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加しただけで
「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」を証明する方法も見つかっていない

軽々と公理変えればいいと言えばいいってもんでもない


124 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/01/16(月) 07:31:32.21
「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したらいいんでね？


125 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/01/17(火) 11:18:08.55
>>124
このばあい、「R^nで定義された関数は全部ルベーグ可測関数である」
となりませんか？


126 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/01/17(火) 15:36:29.48
同値なように思われるけれども


127 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/01/19(木) 21:45:21.60
>>126
それで､それで､どうなる??


128 名前：１３２人目の素数さん [age]： 2012/01/21(土) 07:09:25.70
決定性公理から「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って導かれるの？
-------------------------------------------------------------

その2
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130 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/02(木) 05:17:03.30
マーティンの公理ってルベーグ測度や積分に何か関係あるのでしょうか？


131 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/05(日) 23:24:01.08
吉田洋一のルベグ積分入門ってのを読んでみたけどサッパリわからなかった


132 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/06(月) 11:21:11.96
>>131
同感。結局，ルベグ積分てなんなんだぁ！！（魂の叫び）


135 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/07(火) 01:05:14.56
>>128
集合論では R も R^n も同相。集合論では R = 2^ω だからね。
よって ZF+DC に「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したら
自動的に「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」となる。
当然これらは決定性公理から導かれる。


136 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/07(火) 08:43:26.97
同相って言うなよ……


137 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/07(火) 09:16:51.39
RとR^nが同相になるってどんな集合論だよ
-----------------------------------------------------------

その3
-----------------------------------------------------------
138 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/07(火) 09:19:35.90
同型の間違いだろ。


140 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/07(火) 19:04:00.25
等濃のまちがいじゃねーの？


141 名前：１３２人目の素数さん [age]： 2012/02/08(水) 01:55:38.72
おいおい、数オタのくせにどいつもこいつも定義が変わると思考停止かよｗｗ
「R = 2^ω」と書いてあるだろうが！(2^ω)^n と 2^ω が同相なんて教養レベルの演習問題。


142 名前：１３２人目の素数さん [age]： 2012/02/08(水) 02:02:36.63
>>141
その「同相」の英訳は？仏訳でもいいや


143 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 02:06:06.38
homeomorphic


144 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/08(水) 02:11:50.32
集合論では離散位相辺りを入れるのが常識なの？


145 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 02:14:03.03
ωには離散位相が入っているのが普通。一般に順序数には順序位相が入っているかな、ωの場合はたまたま離散移送になるってだけ。
-------------------------------------------------------------

その4
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146 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/08(水) 02:17:47.82
それは知らなかった。
知っていれば、確かに教養レベルの練習問題だな。


147 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 02:22:58.25
補足すると集合論でも R＝2^ω とは限らず R=ω^ω の場合もある。
要するに集合論では、R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
結論が同じになるような話ばかり扱っているので、扱いやすい定義を使っている。
「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。


148 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/08(水) 03:06:11.23
同相じゃないんじゃん。


149 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 05:58:40.33
何言ってんだ？ R＝2^ω や R=ω^ω の定義の下では、R^n は R と厳密に同相だよ。


152 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 08:35:05.57
R と R^n は集合論だと同相だけど
位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス

単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
そういえば良い
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その5
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153 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 09:01:53.92
R=2^ωなんて定義見たこと無いけど
文献挙げてもらえるかな


154 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 16:05:28.39
>単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
測度論勉強したことある？
ルベーグ可測性は濃度にしか依存しないなんて、御バカのいうことだｗ


155 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 17:04:40.84
同じ濃度（連続濃度）でも、測度は無限にも有限にも零にも、あるいは非可測にもなりますものね。


156 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/08(水) 17:09:59.39
それは間違った氷系を採用するからだ


157 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 19:29:25.01
>>135
R^nルベーグ測度はn次元単位立方体に対して1を与え
直交するn方向の並進に対して不変な測度だから
濃度が等しいという理由だけでn=1からn>1が自動的というのは
書き過ぎだと思いますが？
---------------------------------------------------------

その6
---------------------------------------------------------
158 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 19:54:26.04
濃度にしか依存しない話というのは測度論じゃなくて
集合論のつもりだったんだが……


159 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 22:07:58.61
ここは数学板だよな？その住人が、数学ではすべてが定義次第ってことを理解できていないのか？
通常とは定義が違うよと２度も注意があったにもかかわらず（しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ）、
いまだに自分の定義で話しているバカと、数学なのに「定義がおかしい」と言ってるバカばかり。
「定義がおかしい」が数学的な批判になりうるのは ill-defined っていう批判だけだろ。
どいつもこいつも数学のリテラシーがなさすぎ。


160 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 22:36:10.06
矛盾してないだけで意味の無い話なんて腐るほどあるよ


161 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 22:41:18.39
>>160
「しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ」
-------------------------------------------------------------

その7
-------------------------------------------------------------
162 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 22:50:23.86
>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。


163 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:15:16.84
つまり同相ではない。


164 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/02/08(水) 23:18:06.09
だから同型だって


166 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:25:02.09
>>162
通常の定義と違う時点で興味を失う人が大半じゃねえの？


167 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:27:07.80
>>166
最終的なステートメントはどちらの定義でも同値だと>>147が説明しているだろ。
--------------------------------------------------------

その8
-------------------------------------------------------
168 名前：１６２ [sage]： 2012/02/08(水) 23:38:09.63
言い方が悪かったね。以下のように直せばいいかな？


>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか（ただしRは実直線）？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。



169 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:38:45.51
>>167
でもその理由を説明しているなぜなら〜以下が意味不明だよね


170 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:41:04.80
頭悪いんじゃね？測度論勉強しなおした方がいいよ。


171 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:48:35.84
ていうかωって何？
------------------------------------------------------------

その9
------------------------------------------------------------
172 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:49:09.81
＞「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
＞なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。

これがちょっと意味わからないよね
2^ωとω^ωと通常のRはどれも同相じゃないし

173 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:52:17.48
同相じゃないからわざわざ「ルベーグ零集合を除いて」とついているんだろ。


174 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:56:12.27
ていうかそもそも2^ωやω^ωのルベーグ測度はどうやって定義するんだ


175 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/08(水) 23:59:41.38
だからωって何なんだ？
R=2^ωって意味不明なんで教えろ


176 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2012/02/09(木) 00:00:42.61
標準的な2^ωやω^ω上のルベーグ測度、と言ってもいいが、
「ルベーグ零集合を除いて同相」から induce される測度と言ってもいい。
（この場合、2^ωやω^ω側に測度がまだ定義されていないので
「ルベーグ零集合」も定義されていないが、同相から外れた部分は零集合という意味。）

>>1
「俺様の測度」はデルタ測度だな

>例えばZFに「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加しただけで
>「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」を証明する方法も見つかっていない
てきとーに言っただけなんだよなコレ
本当は見つかってたりしてな

>>13
>>1

>>1
R^n上のすべての部分集合が可測となるような公理を仮定する。
↓
どんな実数値函数も可測
↓
Ｆｕｂｉｎｉの定理が、どんな（多変数）実数値函数にも成り立つ。
↓
やっぱり、おかしくないか？

>>15
それを明確にすることが主題：どこかで破綻するか、それとも目的にたどりつくのか。
Fubiniの定理は仮定を変更すれば成立するらしい。
但し、本人が明示的に定義をいっていないのでぐぐった結果の文献より

極限順序数と自然数全体Nを定義したときにωと書くらしい

>>15
可測と可積分を取り違えてないか？

☆カントール空間とは位相空間(2^ω,Ｏ)のことである。
但し、Ｏは2={0,1}に離散位相を入れたときの2^ωの積位相。
Ｏは次の基本開集合により生成される位相である。
2^(<ω)={s:あるn∈ωに対してs:n->2}

☆Ｒは2^ωとは位相同型ではない。
☆Ｒは2^ωとは"ほとんど"位相同型である。

>>1
> R^n上のすべての部分集合が可測となるような公理を仮定する。

つまり選択公理を捨てて代わりに決定性公理を採用した集合論で数学をやろうということですか。そうですか。

R^n上のすべての部分集合が可測となるような公理って決定性公理に限らないと思うけど。

>>18
皮膚じゃなかった､非負(可測)関数では〜?

その反例って選択公理使わなかったっけ？

☆位相空間(X,O)に対して、Oから生成されるσ-代数をBor(O)と記す。
Bor(O)の元をXのボレル集合という。
☆開集合の可算個の共通部分で表される集合をG[δ]集合、閉集合の可算個の合併で
表される集合をF[δ]集合とよぶ。G[δ]集合とF[δ]集合はボレル集合である。

Fにはδではなくσがお似合いですね

★★★下記の本スレへ誘導のほどお願いします★★★
ルベーグ積分や測度論のスレ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1317556554/
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

このスレの目的は>>1の通り。
それ以外の、測度論一般の話は本スレでやれ、すれちだ。

>>24
訂正
フランス人の集合はF[σ]集合

☆位相空間(X,O)の部分集合D⊂XがXで稠密とは、任意の空集合と異なる開集合M∈O
に対して、D∩Mが空でないこととする。
部分集合Y⊂XがXで疎であるとは、任意の空集合と異なる開集合N∈Oで、Y∩N=φとなる
ものが存在することとする。
部分集合Y⊂Xがやせた集合とは、Y=∪Y[n]、但しn∈ω、Y[n]はXの疎な部分集合、
と表せるときにいう。

定理（ベールのカテゴリ定理）
Xを局所コンパクトまたは完備距離づけ可能な位相空間とするとき、Xの任意の空集合
ではない開集合はやせた集合ではない。

系
カントール空間2^ωの任意の空でない開集合はやせた集合ではない。特に2^ω自身は
2^ωでやせた集合ではない。

きゃｑん

☆Sを任意の集合とするとき、I⊂Ｐ(S)がS上のσ-イデアルであるとは
(1)S∈/I
(2)各x∈Sに対して、{x}∈I
(3)X∈I、Y⊂XならばY∈I
(4)X[n]∈I、n∈ωならば、∪X[n]∈I

系
M={X⊂2^ω:Xはやせた集合}とすると、Mは2^ω上のσ-イデアルである。

☆I⊂Ｐ(S)をS上のσ-イデアルとするとき、J⊂IがIを生成するとは、
I={Y∈P(S)：あるZ∈Jに対してY⊂Z}

位相空間(X,O)において、σ-イデアルI⊂P(X)がボレル集合に台をもつとは、
Xのボレル集合からなるJ⊂IでIを生成するものが存在することをいう。

命題
Mはボレル集合に台をもつ2^ω上のσ-イデアルである。

確か選択公理を入れると、
ルベーク可測でないR^nの部分集合の存在が言えると読んだが。

☆B⊂P(S)がσ-代数のとき、B上の非負関数μがB上の測度とは、μが次の３条件を
満たすことをいう。
(0)μ(φ)=0
(1)μ(S)=1
(2)A[n]がBの互いに素な部分集合列ならば、μ(∪[n∈ω]A[n])=Σ[n∈ω]μ(A[n])

☆μがσ-代数B⊂P(S)上の測度のとき、X⊂Sが零集合であるとはμ(Y)=0、X⊂Yとなる
Y∈Bが存在することである。

系
N={X⊂2^ω:Xは零集合}とするとNは2^ω上のボレル集合に台をもつσ-イデアルである。

>>33
>>26-27を嫁。すれちだ。

定理
連続体仮説を仮定する。関数f:[0,1]x[0,1]->[0,1]で、積分∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dxdyと
∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dydxは存在するが、それらが等しくならないものがとれる。
注意：この定理は連続体仮説を否定すると真偽は定まらない。

定理
ZFCのモデルMで、すべてのMでの関数f:[0,1]x[0,1]->[0,1]に対して、Mで
∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dxdyと∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dydxが存在するときにはMで等しくなるもの
がとれる。

連続体仮説は選択公理を導く。

そんで>>22と>>23の話はどうなった？
>>35と>>36のやりとりはそれを受けてのことだと思うが。

☆普通のやつ

定理
(X[1],M[1],μ[1])、(X[2],M[2],μ[2])を測度空間とし、その直積測度空間を(Y,N,σ)とする。
1)E∈Nならば
a)Eのx断面集合E[x]∈M[2]、μ[1]-a,e,xに対して、Eのy断面集合E[y]∈M[1]、μ[2]-a,e,y
に対して、である。
b)μ[2](E[x])はM[1]-可測関数、μ[1](E[y])はM[2]-可測関数である。
c)∫[X[1]]μ[2](E[x])dμ[1]=∫[X[2]]μ[1](E[y])dμ[2]=μ(E)
2)f(z)=f(x,y)がN-可測でf(z)>=0,σ-a.e.zに対して、とする。
a)f(x,y)はyの関数としてM[2]-可測、μ[1]-a,e,xに対して、
f(x,y)はxの関数としてM[1]-可測、μ[2]-a,e,yに対して、である。
b)∫[X[2]]f(x,y)dμ[2]はxの関数としてM[1]-可測、
∫[X[1]]f(x,y)dμ[1]はyの関数としてM[2]-可測である。
c)∫[X[1]](∫[X[2]]f(x,y)dμ[2])dμ[1]=∫[X[2]](∫[X[1]]f(x,y)dμ[1])dμ[2]=∫[Y]f(z)dσ
（注意）2)でfの正値性の仮定をはずすとfがY上可積分の仮定が必要

以下、1様の測度と積分論

だからデルタ測度なんだって。
R^n上のすべての部分集合が可測となるし、L^1(R^n)は完備である。

>>40
心と体へ

カントール集合は、全不連結かつ完全

全不連結と完全の定義を述べよ

デルタ測度は完全無欠だな

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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猫

猫

猫

どきんちゃんのガロア積分

L^1(X) の dual は L^∞(X) だが、 L^∞(X) の dual は (特別な場合を除いて)
何で L^1(X) に戻らないのか？

sage

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>>61

誰か、コイツを「書き込み禁止」にしてくれ！！！！！

ゼロ集合は全ての部分集合が可測。

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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駄スレではあるが、猫（本物）の書き込みが2012年3月17日頃まで
あったことを示すスレになってくれている。
4月以降は見ないな。まだ生きているという話は聞いた。

バカ乙

確率論にとってリーマン積分は「無用の長物」だ。

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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http://awabi.2ch.net/test/read.cgi/philo/1361640308/281

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閑話休題

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
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良スレ

>>1
そんな測度があると思うなら、
他人にふる前に自分で構成して見せろや。

依頼で立てたけど、あまりに俺様∫を暑苦しく語ってたから
隔離依頼が来たんじゃなかったっけ？

>>95
> >>1
> そんな測度があると思うなら、
> 他人にふる前に自分で構成して見せろや。

確か集合論の公理として選択公理を捨てて代わりに決定性公理を採用すれば
Rの任意の部分集合はルベーグ可測になるはず。そしてその場合でも
選択関数の存在を可算集合に限定したバージョンの選択公理（可算選択公理）は
その公理系での定理として成立しているので可算集合の扱いに関しては
通常の選択公理を採用した公理系と同じように扱えるので何も不自由しない。

何も？

>>98
> 何も？

可算集合に関してはね。
非可算集合に関しては整列可能性は保証されなくなるから色々と不自由も出てくるだろうね。
ただ非可算集合に関する整列可能性の喪失という不自由さとRの任意の部分集合がルベーグ可測になるという便利さとの
プラスマイナスはどうか？というのは一考の価値があるだろう。

俺の印象では選択公理(AC)が（整列可能性を保証するという点からすると逆説的だが）
どちらかと言えば混迷を生み出す（より正確には混迷の元となる自由さを持ち込む）公理であるのに対して
決定性公理(DC)は秩序を生み出す（より正確に言えば秩序を乱すものを排除する）公理のように思える。
確か、ACを捨ててDCを公理として採用した公理系だと連続体仮説も成立してしまうんじゃなかったかな？

集合論公理系としての安心度（無矛盾性に関する）は
当然ながら選択公理(AC)のほうが決定性公理(DC)よりもずっと上でACはとても安心できる公理だ。
ZFを選択公理も決定性公理も含まないZermelo-Frankelの公理系だとした時、
「ZFが無矛盾ならばZF+ACも無矛盾である」というのは保証されている（証明されている）が
ZF+DCに関しては当然ながらそうはならない。
（DCの無矛盾性を保証するにはZFでは存在を保証できない程度に大きな基数の存在公理が必要）

>>96
公理厨を隔離しようと思ったけど、
ついてこなかったので俺様が展開、ほぼ普通の測度論と平行に展開できることがわかった
あとは俺様がすきに使用予定（でした）

学生の時にちょっと手を出したかなー

>>99
決定性公理は Axiom of Determinacy だろ？
どうして略語がDCになる？

>>102
> >>99
> 決定性公理は Axiom of Determinacy だろ？
> どうして略語がDCになる？

すまん、単にADの書き間違いだｗ

>選択関数の存在を可算集合に限定したバージョンの選択公理（可算選択公理）は
>その公理系での定理として成立しているので可算集合の扱いに関しては
>通常の選択公理を採用した公理系と同じように扱えるので何も不自由しない。

可算選択公理だけでは不自由するような
従属選択公理（これこそDCと略される）くらい必要じゃないか？

可算選択公理と従属選択公理の違い教えて、エロい人

スレチ（笑）

測度論の最初に習うように
「R^n上のすべての部分集合が可測となるような公理」は
選択公理と矛盾するんだから、
どの程度の選択公理なら許容できるかって話はとても重要。
全くスレちではないから >>106は無視して、続けてくれ。

>>107
行李中は無視してくれ（笑）

マジレスすると、ベールの範疇定理とか、
CC(可算選択公理)では証明できなくてDCが必要だと思う。

ベールの範疇定理が測度論にでてくるの？

測度論には知らんが、ルベーグ積分論展開して函数解析やるには必須だろ？

函数解析だろ関係ない、スレタイが読めないのか（笑）

スレタイには「積分論」が入っているぜ。
積分論と函数解析の間に明確な区別があるとでも思ってんの？

苦しくなってまいりました

スレの自治を気取るにも最低限の知識がないと恥をかくだけだ、と身をもって教えてくれてる

（笑）の人

>>111
>測度論には知らんが、
おやおや

>>117
実際どうなの？教えてよ

前提には入れとく必要があるだろ

>>118
いらない

>>119はこのスレにいらない

決定性公理をDCとか言っちゃうシッタカ君だもんねえ

理由くらい書けよ

>>111
函数解析のどこに必要なの？

>>123
入門書でも買って、検索掛けてみな。
そこかしこで使われてることが分かる。

>>124
やっぱり答えれないのか

当たり前だけど、発言者が正しい場合にしか意味をなさない煽り文句＞やっぱり答えれないのか

ふぁー眠いのー

傷付きやすい奴だなｗ

行李中の脳みそが疎であることが証明されました。

わざと違う漢字を使うのは、反論されたとき「本気にするなよｗ」で切り抜けるための予防策かな
小さいわ、人間が

行李中は人間が大きいのか、脳みそは空だけど

もうちょっと上手い煽りならスレも盛り上がるんだろうが
これじゃーなー

行李中ってなんですか？

公理の打ち間違い

教えて君する前に少しは調べろよ。
ウィキペディアにすらいろいろ書いてあるじゃないか。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86

二つの主張 BCT1 と BCT2 を任意の完備距離空間に対して証明するには、適当な形の選択公理を用いる必要がある。実は BCT1 は ZF のもとで従属選択公理と呼ばれる弱い形の選択公理と同値である[1]。

と書いてあるから、可算選択公理ではベールの範疇定理は証明できないらしいな。

測度論と関係ないだろ（笑）

>>137
スレタイから積分論を削除したければ、別スレ立てればいいんじゃね？

積分論との関係は？

すべての集合が可測となる話だったんじゃないのか？

「ベールの範疇定理」との関係は？