函数論・複素関数論・複素解析のスレ

函数論、複素関数論、複素解析に関する事を自由に語ってください

保型関数までは勉強しようね

そりゃ難しいお

一致の定理

現代的スタイルのオススメ教科書プリーズ

アールフォルス精読中

D-{0}={z|z≠0,|z|<1}とA(1/2)={z|1/2<|z|<1} は等角同値ではない.

リュービルの定理
C上有界な正則関数は定数関数のみである

最大値の原理
fは領域D上で正則な関数で,しかも定数関数でないならば,|f(z)|はD上で最大値を取らない.

Xは連結集合
f:X→Rは連続関数
Xの任意の点xに対して,xのある近傍へのfの制限が定数関数であれば,fはX全体で定数関数である.

解析接続とかあるけど
ある開集合Oで定義された正則な関数が
O⊂O'となる開集合O'に解析接続出来るかとか
O'の点での具体的な値とかどうやって求めるんだ

コーシーの積分公式
fが単連結な領域D上で正則とならば,D上の長さを持つ任意の単純閉曲線γと,γに囲まれた任意の点aに対して等式:
f(a)=∫[γ]f(z)/(z-a)dz
が成り立つ.

アスコリ・アルツェラの定理

鏡像の原理

ピカールって名前が可愛いよね

カラテオドリの定理

ワイエルシュトラスの二重級数定理

あぼーん

>>4,>>13-17
定理の内容をきちんと述べよ
名称を連呼するだけならば馬鹿でもできる

代数学の基本定理の複素解析的証明

>>20
代数学の基本定理の証明は、リュービルの定理かルーシェの定理を使うのがいいですね。
ε-δ論法でも手間暇かければ証明できますが（杉浦　解析入門１に載っています）
やっていることは本質的に最大値の原理（>>9）と変わらないので敢えてすることはないかと。

んー言われてみればそうかもしれませんね
ようするに、zが十分小さい範囲を動いているときは、係数が0でない最小次数の項だけを評価すればよくて
ある点aを中心とする十分小さい円周上を動かしたとき、f(a)が0でなければ、かならずf(a+εe^(iθ))がf(a)よりも小さくなる点があるってことですね

最大値の原理をルーシェの定理を用いて証明するってどうやるんでしょうか？

g(x)がx=aにおいて1位の零点を持ち、f(a)≠0のとき
f(x)/{g(x)}^2のx=aでの留数ってどうやって求めるんですか？

ｆとｇのテイラー級数を使ってそれを
慎重にローラン展開すれば
二つの項からなる公式が得られる

x-a=tとおく
f(x)=f(a)+f'(a)t+f"(a)t^2/2+…
g(x)=t(g'(a)+g"(a)t/2+…)

f(x)/{g(x)}^2
=(f(a)/t^2+f'(a)/t+f"(a)/2+…)(g'(a)+g"(a)t/2+…)^(-2)
=(f(a)/(g'(a)t)^2+f'(a)/(tg'(a)^2)+f"(a)/(2g'(a)^2)+…)(1+g"(a)t/2g'(a)+…)^(-2)
=(f(a)/(g'(a)t)^2+f'(a)/(tg'(a)^2)+f"(a)/(2g'(a)^2)+…)(1+(-2)g"(a)t/2g'(a)+…)

留数は
(-2)g"(a)f(a)/2g'(a)^3+f'(a)/g'(a)^2
={f'(a)g'(a)-f(a)g"(a)}/{g'(a)}^3

俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが必要条件。
さらに arXiv math に論文だせば十分条件にもなる。
俺､一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。

じゃあf(x)h(x)/{g(x)}^3だったら？

タイヒミュラー空間論ってまだやること残ってるの？

関係ないがもっちーのp進タイヒミュラー理論（とその周辺）の論文面白いよ

数論幾何かあ。
俺にはわからんな。

f= f0 f1 f2 f3 …
h= h0 h1 h2 h3 …
g= g1 g2 g3 …

fh: f0h0 f0h1+f1h0 f0h2+f1h1+f2h0 f0h3+f1h2+f2h1+f3h0 …

1/g^3= 1/(g1g1g1(1 g2/g1 g3/g1 …)^3)
=(1/g1g1g1)(1 (-3)(g2/g1 g3/g1 …) 6(g2/g1 g3/g1 …)^2 …)
=(1/g1g1g1)(1 (-3)(g2/g1 g3/g1 …) 6(g2/g1)^2 …)

留数は
(f0h2+f1h1+f2h0)/g1g1g1+((-3)(f0h1+f1h0)(g2/g1))/g1g1g1+(f0h0)((-3)(g3/g1)+6(g2/g1)^2)/g1g1g1

適当に解釈してください

>(f0h2+f1h1+f2h0)/g1g1g1+((-3)(f0h1+f1h0)(g2/g1))/g1g1g1+(f0h0)((-3)(g3/g1)+6(g2/g1)^2)/g1g1g1

{f(a)h"(a)+2f(a)h(a)+f"(a)h(a)}/2{g'(x)}^3
-3g"(a){f(a)h'(a)+f'(a)h(a)}/2{g'(a)}^4
+f(a)h(a)[3{g"(a)}^2-g"'(a)g'(a)]/2{g'(a)}^5

リーマンの写像定理
Cと異なる任意の単連結領域は単位円板|z|<1に等角同値である

>>7
リーマンの定理
fはD-{a}で正則、点aの近傍で有界ならば、点aでの主要部は0（⇔aは除去可能）
を使う。

定義域を0まで拡張したfをf~とでも書こう。
f~(0)がA(1/2)の内部にあるときは同相性に、
境界にあるときは正則性（最大値の原理 >>9）に、
外部にあるときは連続性に反する（自明）。

>>35
※ "同相性"はfの同相性である

シュワルツの不等式:
fは領域|z|<Rで正則で,f(0)=0,|f(z)|≦Mをみたすとする.このとき
|z|<R ⇒ |f(z)|≦M|z|/R
が成り立つ.特に0<|z|<Rなる或るzにおいて等号が成り立つとき,|z|<Rにおいて
f(z)=e^(iθ)(M/R)z
である.

回転数って閉曲線にしか定義できないの？
たとえば螺旋状の曲線も、ある点を中心に回転していると言えそうだけど

困ったちゃん

解析概論第五章

>>38
回転数の期待値を考える時にはそういう拡張も必要になります

質問スレで答えが得られなかったので、ここで質問します
Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2
がＣ＼Ｚで広義一様に絶対収束することの理由を教えて下さい

ワイエルシュトラスのM判定法:
ある正項級数 a_1+a_2+…+a_n+… と,定数Mが取れて,十分大きなnに対して,
x∈E ⇒ |f_n(x)|≦M*a_n
が成り立つならば,関数項級数 f_1(x)+f_2(x)+…+f_n(x)+… は集合E上で一様に絶対収束する.

a_1+a_2+…+a_n+…は収束する

複素解析は理論が美しいって本当ですか？

杉浦解析入門2にも、「複素解析は数学のなかでもっとも美しい理論のひとつである」と断ってから初めているね

>>43
自分でやってみたのですが、広義一様収束は示せました。
任意のＲをとって、|ｚ|≦Ｒで考える。２Ｒ≦Nとなる自然数Nをとる
Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝-∞〜-N)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝-N〜N)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝N〜∞)1/(ｚ-n)^2…�@
と分ける。
まず第１項について
Σ(n＝-∞〜-N)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝N〜∞)1/(ｚ＋n)^2と考えて、ワイエルシュトラスの判定送を使って第１項が一様に絶対収束することを示す。
N≦nの時
|1/(ｚ＋n)^2|≦4/n^2
Σ(n＝N〜∞)4/n^2＜∞だから、�@の第１項は一様に絶対収束する。同様に第３項も一様に絶対収束する。
したがって、|ｚ|≦ＲでΣ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2は一様収束するから、広義一様収束が示された。

しかし、絶対収束が示せません…
上の証明と同様にΣ(n＝-∞〜∞)|1/(ｚ-n)^2|＝Σ(n＝-∞〜-N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝-N〜N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝N〜∞)|1/(ｚ-n)^2|と分けます。
第１項と第３項は先ほどの議論から、収束しますが、第２項が有限かどうかわからないため、絶対収束が示せません…
方針がまずいのでしょうか？アドバイスお願いします

>>47をお願いします…

Lax and Zalcman : Complex Proofs of Real Theorems
2012 1月発売
たった９０ページなのに３３６０円

>>49
高いな

>>49
とても面白いタイトルですね。是非とも眺めてみたいです。

猫

>>47をなんとかお願いします…

せっかちだな。もっとゆっくり考えたって誰も困らないぜ。

>>53
すみません…自分でも考えてみます 方針がまずかったのかな…

解説お願いします

広義一様収束は示せたが、広義一様絶対収束は示せないということは、少なくともこのふたつの区別はついているわけだ。
よろしい。定義を書いて違いを説明してみなさい。

>>55
Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2は広義一様に絶対収束する
とテキストにあったのですが、これは
広義一様収束かつ絶対収束
ですよね？

ちなみに広義一様収束、広義一様絶対収束の定義は
Ｄ上でΣｆ_nが広義一様収束する⇔Σｆ_nがＤ上の任意のコンパクト集合上で一様収束する

Ｄ上でΣｆ_nが広義一様絶対収束する⇔Σｆ_nがＤ上で広義一様収束かつ絶対収束する

ではないですか…？

絶対収束性は、一様なのか、広義一様なのか、各点なのか

>>57
テキストには
広義一様に絶対収束としか書いてなくて…

1/ｚ^2＋Σ(n＝1〜∞){1/(ｚ＋n)^2＋1/(ｚ-n)^2}＝Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2
という式変形の正当化をしようとしてます。
右辺が広義一様絶対収束してれば、和の取り方を任意に変えても値は変わらないから、式変形が正当化されたということになりそうです。
なので、テキストにあった[広義一様に絶対収束する]というのは広義一様絶対収束ということだと思います。

「広義一様に絶対収束」といえば意味は一意に定まるが、「広義一様収束かつ絶対収束する」の「絶対収束」は広義一様なのか一様なのか各点なのかと訊いている。

一様収束かつ絶対収束するが、一様絶対収束しない例ってあるの？

>>59
すみません、広義一様の意味です

広義一様に絶対収束してることが示されれば、>>58の正当化はできますよね…？

まず|z|≦Rで広義一様収束するの？

>>62
>>47のような議論で、任意のＲに対して |ｚ|≦Ｒにおいて一様収束していることが示せました
すなわち、任意のコンパクト集合上で一様収束しているということだから、Ｃ＼Ｚで広義一様収束しているとなりました
間違いでしょうか…？

第二項はどうして広義一様収束するの？

>>64
関数の有限個の和だから、広義一様収束すると思ったのですが、間違いでしょうか…？

>>65
第2項の絶対値はそのような任意のNに対して上に有界に見えませんが・・・．

>>66
たしかに…
そうすると広義一様収束も怪しくなりました

証明の方針のアドバイスをお願いします…

不安になってきた。
領域V上で広義一様収束は「Vに含まれる任意のコンパクト集合で一様に収束」で
広義一様絶対収束は「Vに含まれる任意のコンパクト集合で一様に絶対収束」
でおｋ？

>>68
そうだと思います…
>>47は本当に広義一様に絶対収束しているでしょうか…？

すみません>>42の間違いでした

じっくり考えてみよう．
実軸上にぽつりぽつりと特異点を持つ函数になると思うので，
それを踏まえたうえで広義一様に絶対収束を示さなければならない。

いま，C＼Z上の任意のコンパクト集合Kをとる．
n＜0に対して
　Σ[n=-∞ to -1]1/|z-n|^2＝Σ[n=1 to ∞]1/|z＋n|^2
となるが，
　|z＋n|^2＝|n＋Rez|^2＋|Imz|^2≧|n＋c|^2　（cはKで決まる定数）
よって，
　Σ[n=1 to ∞]1/|z+n|^2≦Σ[n=1 to ∞]1/|n＋c|^2
となって広義一様収束性はOK．
n≧0も同様に
　　Σ[n=0 to ∞]1/|z-n|^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋Rez)^2
となりのでOK．

こんな感じでどうすか？

>>71
返信ありがとうございます！
任意のコンパクト集合ｋを{ｚ∈Ｃ||ｚ|^2≦Ｒ}の形の集合に限っても良いですよね？

この時、>>71の証明中のｃはＲを使って書けますか？

ちょっと修正
　Σ[n=0 to ∞]1/|z-n|^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋Rez)^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋c)^2 　（cはKで決まる定数）
だからOK


>>72
論証の仕方次第だけど，そこの集合に限ったら特異点含んじゃうよ．

>>73
何故そのようなｃが取れるのでしょうか…？

>>47のような議論はまずいのでしょうか…？

>>74
そのようなcが取れるのはKはコンパクトだから

>>75
何がまずいのか上の方で言われてるけどそれも理解できないってこと？
何がわからないのかはっきりさせないとだめでしょ．
だめ？いい？だけ聞いて何がしたいの？

>>77
|ｚ|≦Ｒにおいて
Σ(n＝-∞〜-N)1/(ｚ-n)^2は一様に絶対収束するから、ｆに一様に絶対収束していると仮定
Σ(n＝N〜∞)1/(ｚ-n)^2も一様に絶対収束しているから、ｇに一様に絶対収束していると仮定する。
h(ｚ)＝Σ(n＝-N〜N)|1/(ｚ-n)^2|
とおくと
sup|Σ(n＝-k〜k)|1/(ｚ-k)^2|−(f(ｚ)＋h(ｚ)＋g(ｚ))|→０(k→∞)
だから、Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2は
|ｚ|≦Ｒでｆ(ｚ)＋ｈ(ｚ)＋ｇ(ｚ)に一様に絶対収していると考えたのですが、どうでしょうか…？

Σ(n＝-N〜N)1/(ｚ-n)^2はｚを動かした時には有界ではないのはわかるのですが、まずいのでしょうか？ 有界でない関数に一様に絶対収束しているだけだと思ったのですが、間違いでしょうか？

>>76
何故Ｋがコンパクトであることから、そのようなｃが取れるとわかるのでしょうか…？
無知ですみません、解説お願いします

>>78
そもそも|z|≦Rに特異点もってるって言われてるのにそれはなんでスルーなの？

無知って言うより横着。

>>80
すみません…
>>47の議論は任意のＲについて|ｚ|≦Ｒで考えていますが、訂正します

Ｃ＼Ｚの任意のコンパクト集合Ｋについて、Ｋは有界な閉集合だから
任意のｚ∈Ｋについて
あるＲが存在して|ｚ|≦Ｒとなる
以下は>>47の議論を展開してΣ(n＝-∞〜-N)1/(ｚ-n)^2、Σ(n＝N〜∞)1/(ｚ-n)^2 が一様に絶対収束していることを示せて
Σ(n＝-∞〜∞)|1/(ｚ-n)^2|＝Σ(n＝-∞〜-N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝-N〜N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝N〜∞)|1/(ｚ-n)^2|
の右辺の第２項はＫにおいて特異点をもたず、有界で 第１項 第３項は一様収束するから、
Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2が広義一様に絶対収束することが示された

この議論はどうでしょうか…？

確信が持てるまで考えたらいいよ。

なんでわざわざNなんてもの持ち出してよくわからないことしてるの？
Kはコンパクトなんだからその上の連続関数1/|z±n|^2は評価できると思うけど？
どうしてもNを持ちだしたいんだら>>47の考え方でいいと思うけど。（細かいところは読んでないけどね）

>>84
1/|ｚ＋ｎ|^2の評価がうまくできなかったためです

ありがとうございます 考えをまとめてみます

なんとか考えをまとめてみました…間違いがあったら訂正お願いします…

Ｃ＼Ｚ上の任意のコンパクト集合ｋにおいて
Σ(n＝1〜∞)1/(ｚ-n)^2は一様に絶対収束していることを示す。
Ｋ上で|1/(ｚ-n)^2|は連続な実数値関数で、Ｋはコンパクトだから、あるｃ∈Ｋがあって最大値をとる。つまり
|1/(ｚ-n)^2|≦|1/(ｃ-n)^2|
であって
Σ(n＝1〜∞)|1/(ｃ-n)^2|は収束するから、ワイエルシュトラスの判定法より Σ(n＝1〜∞)1/(ｚ-n)^2はＫ上で一様に絶対収束する。
同様に
Σ(n＝1〜∞)1/(ｚ＋n)^2もＫ上で一様に絶対収束する。
ゆえに
Σ(n＝-∞〜∞)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝1〜∞)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝0〜∞)1/(ｚ＋n)^2
はＫ上で一様に絶対収束する
ゆえに示された
どうでしょうか…？

>>86
よいと思います．

確信が持てるまで考えたらいいよ。

>>87
>>88
ありがとうございます。やっと納得できました

ありがとうございました

＞Σ(n＝1〜∞)|1/(ｃ-n)^2|は収束する

なぜ？

しまった．
Rez＝-nとなってしまうときケアしてなかった．
ちょっと考え直す！

|z−n|^2を下から評価できさえすればいいだけだから
これが0じゃないもので下からおさえる。
そのためには>>47の考え方が意外とうまくいく。
和の項をある有限個N（Kで決まる）だけ除いてそれ以降だけみれば
|z−n|^2≧|Rez−n|^2＞0はいえる。
Σ[n＝N to ∞]1/|Rez−n|^2はK上一様収束する。

閉円盤|z-z0|<=R、但し実軸上の点0,+-1,+-2,,,とは交わらないとする、をとる。
これにたいして|z-n|を下から評価すればよい。

正則関数（定数でない）の零点が孤立点であることはいかにして証明するのですか？

>>94
一致の定理

それは一変数の場合

複素平面Cと単位円板Dが等角同値でないのはどうやって示すのですか？

>>97
正則関数f:C→Dは、リュービルの定理より定数

最大値の原理ってどうやって証明するんだっけ？

>>99
コーシーの積分公式で出来る

コーシーの評価式：
f:D→Cは正則、|z-a|<Rで|f(a)|≦M
⇒ |f^(n)(a)|≦n!MR^(-n)
を使う。

それか
任意のa∈Dに対してf(a)=αとおき、εを十分小さく取れば、|z-a|<εでf(z)-α=0の解はz=aだけにできる。
δを十分小さく取れば、|ζ-α|<δでf(z)-ζ=0がf(z)-α=0と同じ個数解を持つ（∵ルーシェの定理）ことから、f(D)が開集合であることを示す。

ルーシェの定理ってそんなところにも使えたんですね
見直したら杉浦にもアールフォルスにも書いてありました

当たり前だろ、数学やめろ

holomorphic function F in D
holomorphic function F on D
F is holomorphic in D
F is holomorphic on D
どれも見る気がするだけどinとonをどのように使い分けるのかがよく分からないのです。

onを使えば誤解はない

日本語でも「領域Ｄの中で正則」，「領域Ｄ上で正則」みたいに言い方が違っても
指す内容は変わらなかったりしますがinかonかというのも，それと同程度の違いと
思っておけばよいって事ですかね？

「中で」とか「内で」と言っても、集合や写像のことばで明確に書けば誤解はないが、「中(in)」には
「内部で」というニュアンスがあり、「内部」という数学用語もあるので、「上(on)」のほうがいいと思う。

開集合だったらinもonも変わらないけど、たとえば平面上の曲線γだったら、「in γ」より「on γ」の方がいいと思う。

曲線なら、「γに沿って」という言い方も

なるほど。場合によってはしっかり考慮が必要ですね。

複素解析とはどのようなことをするのですか

君にはまだ早いことだ

他のスレで流れてしまったので、ここで質問させて下さい
二重級数Σ(n＝1〜∞)Σ(k＝1〜∞)(ｚ^2/ｎ^2)^k
が|ｚ|が十分小さい時、絶対収束してることを示したいです。
Σ(k＝1〜∞)Σ(n＝1〜∞)|ｚ|^(2k)/ｎ^(2k)≦Σ(k＝1〜∞)|ｚ|^(2k)Σ(n＝1〜∞)1/ｎ^2＝ＭΣ(k＝1〜∞)|ｚ|^(2k)＝Ｍ|ｚ|^2/(1−|ｚ|^2)
ゆえに絶対収束している。
この議論は正しいですか…？

複素解析 複素数の関数を微積したりテイラーしたりする、あと等角写像もね。

Σ[k=1,∞]Σ[n=1,∞]|z/n|^2k
=Σ[k=1,∞]|z|^2kΣ[n=1,∞]1/n^2k
≦Σ[k=1,∞]|z|^2kΣ[n=1,∞]1/n^2
=MΣ[k=1,∞]|z|^2k (M=Σ[n=1,∞]1/n^2)
=M|z|^2/(1−|z|^2) (|z|<1)

>>115
>>113は正しいのですね？ ありがとうございます

>>111
複素数Re^iθをかけることは、複素平面（複素数x+iyをベクトル(x,y)と同一視したもの）上で原点を中心とするR倍の相似拡大とθ回転の合成を意味する。
複素数はただのベクトルと違って（自然な）積と商の構造をもつから、実数の四則演算で表されることは変数を複素数に置き換えても成り立つ。
だから、複素数変数の関数f:C→Cに対して、実数の一変数関数関数とまったく同じように微分を定義できる。つまり、ある複素数定数Aがあって
f(z)-f(a)=A(z-a)+ο[z-a] (z→aのときο[z-a]/(z-a)→0)
となるとき、f(z)はz=aで微分可能という。
z,aが実数のときは、z→aの近づき方は、z→a+0,z→a-0の2通りしかなかったが、変数が複素数になると近づき方は無数にある。だから、fが実数の範囲で微分可能でも、複素数の範囲で微分可能とは限らない。
z-aに複素数Aをかけることは原点を中心とする回転拡大を意味するので、fが微分可能ならばfは局所的には回転拡大となっている。
で、f:C→Cは、変数変換Φ:(x,y)→(u,v)と見なせるから、ヤコビ行列∂(u,v)/∂(x,y)は回転拡大を表す行列になっている。つまり、
∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x （コーシー・リーマンの関係式）
をみたす。以上から、複素数の意味で微分可能というのは、かなり強い性質であることが分かる。

>>111
fがCの領域Dの各点で微分可能なとき、fはD上で正則であるという。コーシー・リーマンの関係式とグリーンの定理から、次のコーシーの積分定理が導かれる:
fはD上正則でDの境界∂Dが区分的になめらかな閉曲線とすると
∫_[∂D]f(z)dz=∫_[∂D](udx-vdy)+i∫_[∂D](udy+vdx)=0
つまり、正則関数を閉曲線に沿って線積分すると0になる。この定理から次の重要な公式が導かれる:
同じ仮定のもとで、任意のa∈Dに対して
f(a)=(1/2πi)∫_[∂D]f(z)/(z-a)dz （コーシーの積分公式）
正則関数にまつわる重要な定理はすべてこの公式から導かれるといってもさほど過言ではない。
たとえば、正則関数は何回でも微分可能とか、関数列{f_n}がD上でfに広義一様収束するならfも正則で任意のk∈Nに対して{f^(k)_n}はf^(k)に広義一様収束するとか、
領域D内に集積点aをもつ点列{z_n}(z_n≠a)上でf(z_n)=0ならD上でf(z)=0とか、定数でない正則関数の絶対値は領域上で最大値を取らないとか、複素平面全体で有界な正則関数は定数のみとか、……

ああコーシーリーマンの方程式ってそういう幾何学的意味があったんですね

当たり前だ数学やめろ

だいたい半年でこんなことをやるんだな
あとは留数定理とか等角写像とか調和関数とかか

留数定理も等角写像も調和関数もやると
学生たちから難しすぎると文句が出る

27 ：１３２人目の素数さん：2012/02/10(金) 09:27:14.33
俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが必要条件。
さらに arXiv math に論文だせば十分条件にもなる。
俺､一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。

（笑）それで、あんさんのその後はどうやねん？

f(a)=(1/2πi)∫_[∂D]f(z)/(z-a)dz 留数定理

留数の和が出てくる奴

留数定理は絶対要るだろ？

留数定理だけで終わらせようと思うと
計算練習ばっかりやってないといけなくなる

>>122
留数定理は、ま、必修みたいなもの。

等角写像は、定義だけはやるが、長方形を
円に移す写像とか具体的な話はやらない（今の学生のレベルでは
できない）。リーマンの写像定理も、まずやらない。

調和関数も言葉を紹介する程度で、突っ込んだ話は
やらない。

これが現状でしょう。

試験が計算問題ばっかりで複素解析嫌いになった。

>>128
ケイリー変換や複非くらいはやるよ
正則函数の実部が調和函数だということくらいも

そういう話を一通り聞いた学生の半分以上は
正則関数の定義がわかっていない

>>130
だから、調和関数は言葉を紹介する程度でしょ。
Harnakとか劣調和とか、最近じゃやらない。

一次分数変換はやるだろうね、簡単だから。

線積分、ガウス積分、フーリエぐらいに使う程度

>>131
正則関数の定義はさっぱりわかってないけど、必死になって
留数計算だけは丸暗記するｗ

そんな学生を哀れんだ教授が計算問題ばかり出す>>129

ローラン展開で挫折するのが最初の壁

セブラルコンプレックスバリアブルまでやればいいのに。中途半端。

高校でアルフォース読めばわかるでしょ？

カタカナでいうとダサいなｗ

別に高校じゃなくても、普通に大学の2年か3年でアルフォース読めば
わかる。わからんアホのことまで知るか

>>132
Harnackとか劣調和はディリクレ問題まで行けないんだから
そこだけやっても意味が分からない
調和関数が正則関数の実部になるための条件は押さえたい
そこで単連結の意味が分かればリーマンの写像定理も無理ではない

>>139
大学の２年か３年だと普通は読めんよ。
演習問題も解かんといかんし。

セールの数論講義ってあったでしょ。あれを読むのもいいと思うよ。

>>142
演習問題はついていたっけ？

>>140
以前は、ディリクレ問題一般はともかく、ポアソン積分
くらいは教えていたから。今、いろんなことをやらなく
なったから、バランスが悪くなってる。

リーマンの写像定理を教えなくなったのも、他を削って
あれだけやっても仕方ないでしょ。

>>141
２ちゃんの数学板は、東大数理か京大数学系が基準だからｗ

>>145
それはいけませんね
東大京大の上位を基準にすべきです

>>144
そんなことはありませんよ。
リーマンの写像定理をふまえて
楕円モジュラー関数を鏡像原理を用いて導入し、
詳しくはセールの本を見よとかいって
お開きにすることができます。

あぼーん

ガンマ関数について以下の事を示したいです
Γ(１−ｘ)Γ(ｘ)＝π/sin(πｘ)
資料には、まず０＜ｘ＜１であるような有理数ｘについて、留数定理を使って
Γ(1−ｘ)Γ(ｘ)＝π/sin(πｘ)
を示して、連続性より０＜ｘ＜１となる任意のｘについて成り立つ、とあるのですが、何故でしょうか？

シカゴはシアーズタワーは昔からあったのか。。。でも斜めカットのビルはなかった。
ハリーとタントの映画

アルフォースはペーパーの原書がいいよ。翻訳はいらない。英語もおぼえるし。
高２ぐらいで読めるよ。

>>151
実際に読めたのか？

>>149
そう書いてあるのはどの本ですか？

>>153
特殊関数入門という本です
間違いですか？

>>154
ちょっと腑に落ちません
xがその範囲にある時、右辺の積分表示は確かに留数定理を使って求めますが
xが有理数である必要はありません。
xを有理数に限って置換積分や部分分数分解をして積分表示を求めたのはオイラーで
もちろんその計算には留数定理は使いません

RudinとAhlforsを2年のときに図書館に通って読んでた

　お前たちは、定職に就くのが、先決だろがああああああ！！！！！！！！！！！！！！

そうですか。私もRudinとAhlforsは読んだつもりですが
最初にこの２つを読もうという気になるのが素晴らしいですね
解析的なアプローチと幾何学的なアプローチの相違は
どういう風に感じ取られましたか

ニートの海外就職日記

>>156
で、今は何やってんの？

２chにはゴミしかおらんな

>>156
Rudinは測度論もいいらしい

というか、調和解析への入門として最適

あぼーん

>>163
翻訳してよ

あんなわかりやすい英語なのにか・・・

分かりやすい英語か分かりにくい英語かというのは意味がない、
求めているのは日本語だからだ。

小ルディンとか、アールフォルスなんか下手に翻訳するから、元の文章の品格が損なわれている

なんだよ、「本質的でない多くの複雑さのために」って

わかりやすい英語より、わかりにくい日本語を求める
>>167君には、一度アメリカに渡仏することを薦めるｗ

>>167は分かりやすい英語よりも日本語、としかいってないのに
勝手に分かりにくい日本語に置き換える神経もよく分からんが、
分かりやすい英語よりも分かりにくい日本語のほうが数倍読める。

お前がそうなら、それでいいだろう。
日本語に翻訳するやつはいないけどなｗ

理想の筆おろしの相手を議論し続けて30歳になってしまった素人童貞

って感じの人が多いね

グダグダ言わずにさっさとやれ

四の五の言わずにアールフォルス

小Rudinを初めて読んだとき、数学的な内容云々よりも英文が凄く分かりやすいことに感激した。

あぼーん

アメリカに渡仏ｗ

w^n = z_0 + z_1w + z_2w^2 + ... + z_{n-1}w^{n-1}
でimplicitに決まるn変数解析函数
w = f(z_0, ... , z_{n-1})
に何か名前ってついていますか？

へえ、それ解析的なんですか

連続であることまでしか示せません（ルーシェの定理）

というか多変数の解析関数の定義を知りません

>>177
「代数方程式の解の公式函数」かな？

>>178
連続であることはどうやって示したんだい？

>>180
そんなこと確かめてどうするの？
そもそもgenericにはn値の多価函数になっている認識があるかどうか。

>>181
知らんがなそんなもん。示したって言ってるからきいとるだけや。

複素数ｘについて
Γ(ｘ)Γ(１−ｘ)＝π/sin(πｘ) を示す計算過程で

ｘ(１−ｘ)Π(n＝1〜∞)(1＋(ｘ/n))(1−(ｘ/(n＋1)))＝ｘΠ(n＝1〜∞)(1＋(ｘ/n))(1−(ｘ/n))という計算が出てきました。これはどのような計算をしたのでしょうか？
Π(n＝1〜∞)(1＋(ｘ/n))(1−(ｘ/(n＋1)))＝Π(n＝1〜∞)(1＋(ｘ/n))Π(n＝1〜∞)(1−(ｘ/(n＋1)))
と変形できれば、後ろの無限積に(1−ｘ)を含めて、示すことができそうですが、上の変形はまずいですよね？

解説お願いします

>>183をお願いします

>>184をお願いします

楠幸男 函数論―リーマン面と等角写像―
という本読んだことある人いますか？いたら感想教えていただきたいです。

>>186
セミナーで一年かけて読んだが
進み方が遅かったので半分くらいまでしか読めていない。
そのセミナーは先生が好きだったから出ていただけで
他の本で読んで知っていたことを丁寧に復習しただけ。
後半部は著者自身の研究結果の紹介が目的だ。
結果は非常に興味深いし基本的なのだが
何度眺めても（読み方が悪いかもしれないが）
弾みがついて進んで行くような感じがしない。
ネヴァンリンナ流のアプローチの限界なのかもしれない。

>>183
定義通りに。

>>188
どういうことでしょうか…？

絶対収束どころかハッサン

>>186
復刊されてたんだね。
欲しいけどちょっと高いなあ。

>>190
ですよね…
Π(n＝1〜∞)(1＋(x/n))は発散しますよね

どうやって正当化すればいいかわからなくて…
解説お願いします

>>189
無限積の定義通りに。

>>187
ありがとうございました。

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　とは言わない

また君か。

1 < Re(s) においてΣ_{n=1}^∞ 1/n^sが一様収束しない事は
lim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ 1/n^sが発散する事から示されるそうなのですが

これはどうしてそのように言えるのでしょうか?

確かにs→1の時,Σ_{n=1}^∞ 1/n^sはどんどん大きくなるので
lim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ 1/n^sが発散する事くらいは分かりますが。。。

何かz平面があって、そこにカーソル合わせたら隣のζ平面にf(z)がリアルタイムで表示されるようなのが見たいなぁ
fを好きな正則関数に設定できて…

この世が4次元以上じゃないのが悪い。

あぼーん

”Visual Complex Analysis (T Needham, Oxford Uni. Press)” は、一読の価値あり。

邦訳もある；−『ヴィジュアル複素解析』（培風館）

複素懐石は偏微分も知らない高校生が好奇心で
覗くのにちょうどよい
そんな初心者にヴィジュアルはかえって毒

Visual Complex Analysisが「一読の価値あり」ってのは
間違ってないんじゃないかな。

ただし、「一通り勉強した後に、複素解析を見直すためには」
という条件がついているだけで。

だから、>>201-202はどちらも正しいことを言ってる。

>>203
条件を省略して述べるのは良くない
むかし京大で足立先生にそう教わった

ビジュアルはゆとり本
あんなん読んで複素解析勉強してるようじゃ数学に向いてない

あぼーん

>>204
それは正しいと思います。定理の条件はしっかり確認して
適用範囲を正しく述べ、習う方も条件を確認する。
それを、うざいと思う人は、数学を学ぶ資格がないと断言して
よいでしょう。

ただ、ある種の「お話」として書いた数学の本は、あっても良いとは
思います。が、あくまで副読本であり、それだけで勉強する本では
ないと思います。

30講みたいなのは、最初から読者にもお話とわかるのですが
"Visual Complex Analysis"は、勘違いする人が出てくるかも
しれませんね。

日本で初めて函数論の本が出たのが1913年
ワイルの本と同じ年だったとは驚き

>>208
ワイルは28歳で「リーマン面」を著したが、その1913年の本の
著者も35歳で、日本最初の函数論の本を書いてる。

まあ、19世紀終わりには、函数論のテキストは欧州では
いろいろ出てて、「リーマン面」という章はあったし。

吉川実夫の「函数論」だね。
結構読まれたらしい。
寺阪先生の退官記念講演にも
これを読んだときの話が出ている。

掛谷宗一の「一般函数論」が1947
吉田洋一の「函数論」が1938
竹内端三の「函数論（上・下）』が1926

複素解析のことを昔は関数論といってたのに
そういわなくなったのはどうして？

関数論なんて見た事無いよ

うちの大学には、関数論の先生と複素解析の先生両方いるわ

Ｎｏｎ−Ｓｔａｎｄａｒｄ　Ａｎａｌｙｓｉｓ

掛谷の本は1930
Hartogsの分離正則性定理に触れているが
Osgoodの定理を誤ってHartogsに帰している

辻正次を忘れるな！

複素函数の”グラフ”は、強いて言えば、流体力学的立体面か？？？

”Visual Complex Analysis”は、天下の「Oxford University Press」より刊行されている。
侮る勿れ。

おっぱいの形をした生息関数ってあるの？

多項式でいくらでも近似できると思うよ

関数の形って何？

４次元のグラフ

>>219
別に「トンでも本」だと言っているわけではない

４次元空間の中の面だから
３次元の部分空間で切って断面を見る
すると空間内の曲線が見える
切り方を変えると曲線も変わるから
４次元空間内の面は曲線の動きととらえられる
見方をこう固定した上で、
「さて、正則関数のグラフはどんな特徴を持っているだろうか」
という話になるわけだ

>>215
複素解析は難しい？

解析接続がよく分かりません＞＜

僕のおちんちんを可愛いようじょたんと解析接続したいです

lim(x→x0)x^2=x0^2になるε-δ論法の証明がよくわかりません！
どのようにδをとればいいのでしょうか！理由も添えておねがいします！

十分小さければ何でもいいのに、悩む意味が分からん。

>>227
ということは、一致の定理がわからないということでしょうか。

|x^2-a^2|
=|x-a||x+a|
=|x-a||x-a+2a|
=|x-a|^2+2|a||x-a|

|x-a|^2+2|a||x-a|-ε<0 ⇔ 0<|x-a|<-a+√(a^2+ε)

だから、0<δ<-a+√(a^2+ε)とすれば、

|x-a|<δ ⇒ |x^2-a^2|<ε

>>232
センスがない

却下

δ=min(ε/(1+2|a|),1) とおけばいいのに

連続関数とか無限小の概念をさっぱり理解していない
高校生レベルの延長みたいな解凍だ

>>234
ということは、高校生なんだろう。

>>234
(|x-x0|+2|x0|)*|x-x0|<(δ+2|x0|)δ　までは分かるんですけどこっから
(δ+2|x0|)δ<εとなるようにδを取るんですよね？
ここでなんでδ=min(ε/(1+2|a|),1) 　こうなるかわかりません＞＜
ばかでごめんなさい＞＜

x<1 ならば x^2<x

訂正:
|x|<1 ならば |x^2|<|x|

0<δ<1の時δ^2+2|x0|δ<δ+2|x0|δ<ε　で　δ<ε/(1+2|x0|)
とするってことですね！
こんな馬鹿な質問にわざわざありがとうございました！

ちなみにこれってx0が-1/2のときどうなるんですかね？

あ、ごめんなさい絶対値ですねばかでごめんなさい

>>236
＞となるようにδを取るんですよね？
いいえ、十分小さければ何でもいいです。

Non-standard Analysis：−

【公理】 df(x)＝f(x+dx)−f(x)

┌ n個 ┐
d(d( … df(x))…)=？

Σ[k=0,n](-1)^k*C[n,k]f(x+(n-k)dx)
だろ

違う

┌ n個 ┐
d(d( … df(x))…)＝d^nf(x)

>>243
一致の定理がわからない人ですか？

あぼーん

【定理】　df(x)/dx＝ ｛f(x+dx)−f(x)｝/dx

すいません。下記の命題の反例を探しているのですがどうしても見つけれません。
どなたか教えてください。m(_ _)m

「∀k∈Nに対して,複素関数列f_kは開領域D(⊂C)で正則であるとする。この時,
{Σ_{k=0}^n|f_k(z)|;n∈N}が有界⇒Σ_{n=0}^∞f_n(z)はDで正則」

Vitali-Porter

あぼーん

>>251
条件がよくわからない
「任意のｚに対して有界」ですか？

>254
「∀z∈Dに対して」です。

あぼーん

>>255
各点ごとに有界で止まっていては
議論が進まないので
ベールのカテゴリー定理を使ってみたらどうでしょう

あぼーん

Non-standard Analysis

【公理】df(z)＝f(z+dz)−f(z)

>>259
複素解析がわからないから逃げているのか？

>>251
和が振動する級数を持ってきて、各項の値になる定数関数で充分。

うおっ、絶対値が付いてたか！
絶対収束なら和も正則だろう。
証明は導関数の積分表示を使って、積分路上で一様収束するから導関数も収束で良いんじゃない？

>>260
＞複素解析がわからないから逃げているのか？

複素解析をノン・スタンダード・アナリシスで展開しようとしているものと思われ。

やることは同じなのに、わざわざ面倒なことするなー。

>>264
＞やることは同じなのに、わざわざ面倒なことするなー。

Non-standard Analysis でやったほうが簡単なんだよ。ｗ

df(z+dz)＝f(z+dz)-f(z)
　　　　

>>265
簡単になることが多いかどうかが問題

Re:>>265 つまり,df(z+dz)=df(z).

>>267
出て来るのは知能検査を受けてからにシロや。

猫

>267 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2012/04/10(火) 23:51:16.98
> Re:>>265 つまり,df(z+dz)=df(z).
>

>>265
複素解析に関して前に進まない理由がそれだけではさびしすぎる

ｽﾏﾝ､間違ごうた。ｗ

df(z)＝f(z+dz)-f(z)

【定義】 f'(z)＝df(z)/dz

【定理】 df(z)＝ f'(z)dz

とりあえず、【定義】を集合論の言葉で書き下してみようか
そのままでは、ライプニッツの17世紀レベルの夢想と何一つ変わらないから

きちがいカントルの集合論
いらん

>>273
公理原理主義者は巣からでてこなくてよい

別に集合論でなくてもかまわんよ
要は、【定義】 f'(z)＝df(z)/dz に現れる記法の定義は？と訊いてるんだ
ひょっとして、無定義の代数式なのかな
いよいよ17世紀レベル未満の、いきあたりばったりな定義になってしまうが…

>>275
無知で無礼なガキの相手は無駄

＞無知で無礼なガキの相手は無駄
質問をはぐらかして逃げを打たれてしまったか

お前さん、次に書き込むときは【定義】をきちんと考えておくようにな
次は丁寧な口調と謙虚な態度で問い詰めることにするから

>>271だけじゃ定義と言えない事を知らない、そもそも「数学」自体を知らないんじゃないか？
そうでないとNon-standard Analysisが簡単なんて言えない。
それらしい数式を並べれば数学だと思ってるんだろう。

>>275 ：１３２人目の素数さん：2012/04/11(水) 12:49:25.16
＞ 要は、【定義】 f'(z)＝df(z)/dz に現れる記法の定義は？と訊いてるんだ

dz は z に伴う「無限小／微分」。

df(z) は f(z)に伴う「無限小／微分」で、【公理】df(z)＝f(z+dz)−f(z)

>>279
専スレたててやれ

>>278
＞Non-standard Analysisが簡単なんて言えない

ロビンソンのものだけが Non-standard Analysis じゃないよ。(^o^)

Non-standardなnon-standard analysisもあるってことか・・・

ロビンソンの Non-standard Analysis は、モデル理論を学ばなければ使えない。(^o^)
モデル理論なんかまなばなくとも、無限小／微分の扱える Non-standard Analysis がある！

「無限小」と「微分」を定義しなければならないと言われてるのには気づいてないのか、耳を塞いでいるのか…
数学における定義が、文学的な表現で済まされ得るものと勘違いしている可能性もあるか

函数論、複素関数論、複素解析に関する事を自由に語ってください

等角写像のところが難しい、、、

ある複素平面上の領域(上半分とか)を別の複素平面上の領域(単位円内とか)に写す関数を見つける問題が今ひとつ納得できんよ。

コツとかあるのかな。

基本的な写像のパターンを覚えて組み合わせるだけ？

まあ定石は覚えないと打てない

>>286
指数関数が虚軸直線を単位円に写すとかいう基礎知識を持ってる必要がある。
基本パターンを組み合わせるのはその通りだが応用の利く論理的理解が大事。

まあコツコツやることだ

Φ'(t)＝(1/(2t)^2)＋(1/t)＋∫(0→∞)(4ty/(t^2＋y^2))(1/(e^(2πy)-1))dy
について
この両辺をtについて積分すると、右辺でtとyの積分の順序変更ができて
Φ(t)＝a＋lnt-(1/(2t))-∫(0→∞)(2y/(t^2＋y^2))(1/(e^(2πy)-1)))dy (aは定数)となる。
とあったのですが、
この場合のtについて積分するというのは両辺のtについての不定積分を考えるという意味ですよね？
積分の順序変更ができる理由を教えて下さい。

>>289,288,287
コツではなく、(コツ)^2が必要だったか。やり込みも理解も足りてなさそーだな。もちっとがんばるわ。サンクス。

>>290
そう、不定積分。
f(y,t) の2重積分は有限和近似で考えると Σ Σ f(y,t) Δy Δt＝Σ Σ f(y,t) Δt Δy
極限が素直なら積分でも成り立つ。

>>292
素直とは何でしょうか…？

積分の順序変更についてははフビニの定理が有用ですが、今回の場合は使えませんよぬ？

すみません最後の ぬ は ね です

誤字すみません

あぼーん

>>284
＞「無限小」と「微分」を定義しなければならない

その必要はない。　無定義概念でいい。　要は、理論に矛盾が無ければよいのだ。

１８世紀か

>>293
素直とは絶対収束。(級数以外でも言ったっけ？とにかく絶対値の和が有限)
広義積分でなくて2重積分があればフビニの定理が使える。

>>296
だったら公理系を見せろ。
定義が必要な場合と無定義概念を使っていい場合の区別は分かってるのか？

>>298
今の場合
∫(∫(0→∞)(2y/(t^2＋y^2))(1/(e^(2πy)-1)))dy)dt＝∫(0→∞)∫(2y/(t^2＋y^2))(1/(e^(2πy)-1)))dt)dy…＃

が成り立つかどうかが理解できません
フビニの定理は
積分∫_E∫_Ff(x、y)dxdy
の順序変更が可能であることの十分条件を与える定理ですよね？
フビニの定理は
＃のような、不定積分と定積分の順序変更可能であることの十分条件を与えてはいないですよね？
不定積分と定積分の順序変更を可能にするための十分条件を与える定理はあるのでしょうか？

無限小 dz は限る無く０に近いが０ではない。　その証拠に、０/０は無意味だが dz/dz＝1。

(1)∫c (1/sinZ)dZ、c:|Z|=1の複素積分を求めよ。
(2)∫c (1/sinZ)^2dZ、c:|Z|=1の複素積分を求めよ。

どなたかわかる方教えて下さい。留数定理も使えないしわからないです。

>>290
実関数だ

>>303
どういうことでしょうか？

>>304
すれち

>>305
関数論の話だと思ったので ここで質問しました

>>306
関数論（複素解析）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90

>>307
すみませんでした

>>302
まず留数定理を勉強しなきゃ答を聞いても何にもならない。

>>302
まず留数定理を勉強しなきゃ答を聞いても何にもならない。

>>302
留数定理が自分だけではわからないから
助けを求めているのですか

>>311
じゃあまず留数定理を勉強して
留数定理について質問したらどうなんだ？
基礎がわかってないのに問題質問してもしかたなくね？

あぼーん

>>312
日本語がわかっているのか？

馬鹿の常套句、日本語

いずれにせよ数学以前の問題

ちゃんと本読めば留数定理くらいわかると思うんですがねぇ・・・

わからんやつは線積分もわからん。

複素線積分やったあと、実軸上だと普通の実積分と同じだろ
と言っても、どうしてですか？って聞いてくる。

同じ式になるところまで見せて話をまとめないからそうなる

リーマン積分がわかってないからという落ちじゃね？

極が分からないとマジレス

無限遠点はリーマン球面では地球儀の北極みたいところにあるから
関数が無限遠点を確定値としてとるとき
そこで関数は極を持つというようになったわけだね

関数が正則である定義が多すぎてわかりません

"Visual Complex Analysis" by T Needelham, Oxford Univ. Press

（邦訳）『ヴィジュアル複素解析』培風館

>>323
昔の一般向けの入門書に
未開人は数を数える時に
１、２、たくさんと数えるという話が書いてあったけど
正則性の同値な定義が（有名なものだけだが）３つあるということ自体
耐えられないということなのかな

あぼーん

>>323
複素数の定義が多すぎてわからないということはないですか

大学で数学の勉強はじめてすぐの頃、「同型」という概念に感心したもんだ

正則の定義なんて、基本は「微分可能」だろ。

わからないやつにはどう説明してもわかってもらえない

>>325
多変数になると複雑で、一変数の復習がいるかな。
自動解析接続できたり。

>>327
それはない、リーマン面はやってないけど。

>>330
初めて定義に出会ったときに理解できないと諦める人が大多数だから。
何度も読み返して、演習問題とかわからないなりに手を動かして、
だんだんわかってくる。

そこまでやらずに、最初にわからなかったら、本が悪い、教授の教え方が
悪いって、人のせいにしておきゃ楽だからｗ

お前ら本当にいい性格してるよ
俺は機電だがここは数学科の奴が多いのか？

機電は腐るほど、求人と推薦が来るが、数学科は....wwwwwww
まあ数学の教師ｗなり、塾講ｗなり明るい将来のために数学の
勉強頑張ってくださいｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

すごいねー、俺は302が解けるけど

解けても就職先が・・・・・・・・ｗｗｗｗｗｗｗｗ

就職と関数論になんの関係があるのかわからん
スレチだろ

このスレの人は普通にレスしてるだけ。
性格悪いのは君の方。

そうだな
数学屋さんは就職先が皆無ということで結びにしましょう

アクチュアリーをなめるなよ

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

コーシー・リーマンの微分作用素は楕円型だったんだ

"Visual Complex Analysis" by T Needelham, Oxford Univ. Press

（邦訳）『ヴィジュアル複素解析』培風館

>>284 ：１３２人目の素数さん：2012/04/14(土) 12:09:01.30
＞「無限小」と「微分」を定義しなければならないと言われてるのには気づいてないのか、耳を塞いでいるのか…

「無限小／微分」は、公理を満たす、無定義概念ってことだよ、チミー。　ｗ

>>346
楕円型境界値問題という名著をご存知ですか

アプリオリ評価はツマラン

>>349
アグモンに書いてありましったけ？

楕円型境界値問題をふまえて
コーシー・リーマン作用素に関する
劣楕円性評価の理論が展開される

それは教科書に書いてある？

アポステリオリ評価が良い

あぼーん

>>353
Straubeの講義録(European Mathematical Society)に書いてある

あぼーん

>>356
これね、ありがとん
Lectures on the $\mathcal{l}^{2}$-sobolev Theory of the $\bar{\partial}$-neumann Problem

あぼーん

tは実部が正であるような複素数、
∫(0→∞)f(x,t)dxは収束しているとします

任意のtに対して、tを含むコンパクト集合Ｋをとってきて、Ｋ上でtによらない(0,∞)で可積分な関数φ(x)が存在して
|f(x,t)|≦φ(x)
ならば、ルベーグ積分の事実を使って
Ｋ上で∫(0→∞)f(x,t)dxは微分可能で
∫(0→∞)f(x,t)dxのtによる微分は
∫(0→∞)(∂f(x,t)/∂t)dxとなる
tは任意だから、結局すべてのtに対して
∫(0→∞)f(x,t)dxは微分可能で
∫(0→∞)f(x,t)dxのtによる微分は
∫(0→∞)(∂f(x,t)/∂t)dxとなる

この論法は正しいですか…？

>>360
> ルベーグ積分の事実
そういう便利なものがあるのなら教えて

>>361
すみません
|f(x,t)|≦φ(x) は
|∂f(x,t)/∂t|≦φ(x)
の間違いです

どうですか…？

>>362
有界収束定理　以上

>>363
つまり正しいのでしょうか…？

有界収束定理というのは、ルベーグの収束定理のことですよね…？

>>364
わからなければ、あらためて質問すれへ

あぼーん

tは実部が正であるような複素数とします

d/dt∫(0→∞)2y/{(t^2＋y^2)(e^(2πy)-1)}dy＝
∫(0→∞)4ty/{(t^2＋y^2)^2(e^(2πy)-1)}dy
を示したいです
ルベーグの収束定理を使って示したいのですが、どうやって使っていいかわかりません
解説お願いします

あぼーん

>>367
368はあほらしいとさ

あぼーん

あぼーん

>>369
何故でしょうか…

あぼーん

373にきけば？

あぼーん

>>367をお願いします…

>>367
360と同じ

収束定理を100回書く

定理読めば分かる事を聞くのは釣りなんだろうな。

だろうね

別に釣りでもいいけど、
>>***をお願いします…
とかうざい。

実関数の平均値の定理にあたるものって、複素関数でありますか？

あぼーん

それは大学院の口頭試問につかえる

>>383
あるのでしょうか？

不等式なら

>>385
どのような定理でしょうか？

>>385
そんな不明確な答なら不合格

一を聞いて十を知るとまでは行かなくとも
八つ九つを聞いて十分かるぐらいにはならないと辛いよ。
気が利かないにも程がある。

平均値の定理を重ねてテイラー展開が出るから、複素関数論でテイラー展開の元になるのはコーシーの定理だな。
平均値の定理を数値微分と数値積分の関係と見れば、コーシーの定理は原始関数の存在を示すから、意味も近い。
(なんか、こじつけっぽいが)

たとえば、

{e^z-e^(z+2πi)}/2πi=0

だが、e^z≠0なので、f(a)-f(b)=f'(c)(b-a)となる複素数cが、かならずしも存在するとは限らない

>>389
なるほど面白い

あぼーん

>>389
一松先生によれば（コーシー　近代解析学への道）
正則性の定義に導関数の連続性をも仮定して議論を簡易化した方が
かえって有用と思う．

解析関数が局所的に原始関数をもつことは
定義から明らか
したがって、解析関数に対してはコーシーの積分定理は
原始関数の一価性を保証する位相的な命題と等価である

あぼーん

上空移行はlifting principleかと思ったら
configuration何たらというそうな

あぼーん

ギリシャ数学の精神だそうだ

>>394
>解析関数が局所的に原始関数をもつことは
>定義から明らか

解析関数の定義による。

普通の収束ベキ級数による定義ならそうなる

>>360に関連してる質問なのですが、実数についての積分記号下での微分についての証明では平均値の定理を使っていました
複素変数についての積分記号下での微分については、複素関数では実関数と同じような平均値の定理は存在しないですよね？では、どのように証明されているのでしょうか？
証明が書かれたウェブページなどはありませんか？

あぼーん

>>400
そうだな。
こちらの勘違いだった。

>>401
複素変数についての微分は実変数についての微分の
線形結合だと思っていましたが違うのですか？

>>404
すみませんそうですね

もう一度考えてみます

>>404
それは「複素変数についての微分」ではなく「複素数値関数の実変数についての微分」なのでは

>>406
複素変数についての微分について
積分記号下での微分についての定理の証明を知りたかったです

複素変数をもつ複素関数は、実数値関数の平均値の定理はないですよね？
どのように証明されるのでしょうか？

>>406
収束すれば良いので問題なし。

407はまだわかんねーのか

>>409
すみません調べてるのですが、複素変数でどうすればいいか見つけられません
証明ののっているウェブページなどはないでしょうか？

教科書読め

>>411
手持ちの本に実変数の場合しかなくて…

もう少し調べてみます

あぼーん

>>367
記した式は正しいか？ 誤植はないか？ 俺の見誤りかもしれんが、成り立たないような気がする。

>>414
すみません、左辺に−がつきました

ルベーグ積分の本で調べたのですが、やはり複素変数に対する積分記号下での微分の定理は見つかりませんでした…
どのようにルベーグ積分を使って>>367は確認されるのでしょうか？

>>415
複素変数についての微分は実変数についての微分の
線形結合だと思っていましたが違うのですか？

>>415
ルベーグの収束定理ですぐ示せそうに思えるけど

>>416
ℂ ≌ ℝ×ℝ だから、 ℝ×ℝ 上で考えてみればわかると思うよ。

>>417
それは実変数に関する微分で
それに関しては415は（わかっているかどうかは別として）
納得しているようだ
複素変数に関する微分がどうしてもわからないらしい

>>418
日本語を知っていれば
416の意味がそうでないことくらいわかりそうなものだが

>>420
だって、考えるべき様々な方向もあるわけだし...

いいから、実変数の場合の、微分と積分の順序交換の証明を読めってｗ

有界収束定理がなんのためにあるか（ルベーグ積分の存在意味）がわからんのだろ

>>423
複素変数を持つ複素関数に実関数でいう平均値の定理が無いから、実関数と同様の議論で成り立つことは証明できませんよね？
勘違いしてるのでしょうか…？

>>424
関係ない

>>425
何故関係ないのですか？

>>426
> 勘違いしてる

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

正則関数の定義がわからないとか？

>>427
どういうことなのでしょうか…？

実関数の積分記号下での微分に関する定理と同様に
複素変数を持つ複素関数の積分記号下での微分に関する定理は証明されるのですか？

ルベーグ積分勉強しなよ
ルベーグ積分知らずに解析やるなんて馬鹿げてるよ

レス読めねーやつには何言ってもむだか

>>431
勉強し直します

すみませんでした

するーかwwww

2ちゃんはスルー力も大切だけど、
大事なのもスルーしちゃうようになるよね。

頭のいい人は2chそのものをスルーします

おまえは馬鹿ていうこと

何か思い込みが邪魔をして簡単な事が分からんらしい。

正則関数の極は孤立してますか？

教科書読め

単位開円板D上の正則関数で、∂Dが自然境界になるような例を挙げなさい。

いやだ

>>430
416の質問に答えられないのですか？

あぼーん

>>430
416の質問に答えられないのですか？

>>445
番号が違ってるんじゃない？

良く分かんないけど、f(z,t)でtをR^nのある開集合で定義されてるとして
f(z,t+h)がf(z,t)にコンパクト一様に収束する事を言えば良いんでないかい？

>>445
423

あぼーん

複素微分は実微分の線形結合

あぼーん

実微分をなめるな

楕円函数というのは誰の造語ですか
ご存知の方がいたら教えてください

超越的な変化量の世界において楕円的なものを切り取って楕円関数と 名づけたのですが、
この命名はルジャンドルの創意であることに．．．

ルジャンドルの楕円函数は
今で言う楕円積分
それを楕円積分とよびその逆関数を楕円函数と読んだのはヤコビ

あぼーん

ルジャンドルの楕円函数は
今で言う楕円積分
それを楕円積分とよびその逆関数を楕円函数と読んだのはヤコビ

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/LaurantExpand.pdf#search=%27%E4%B8%BB%E5%80%A4%E7%A9%8D%E5%88%86%27

ここの（７６）式の理由教えてください

極限と積分の順序交換をしてるようですが、無条件にはいえませんよね？　解説お願いします

a で　f　は連続じゃないんですか？

>>459
何故連続だと、そうなるのでしょうか？

あぼーん

>>658をお願いします

>>658に期待！

すみません>>458でした
>>458の解説お願いします

>>458
半円上の値はf(a)+εだから。

あぼーん

>>465
それもわかりません。。
ｆの形がわからなくても、計算できるのですか？

釣り針にしか見えない

>>468
釣りではありません
自明には見えないのですが、何故そうなるのですか？

あぼーん

>>458をお願いします

あぼーん

あぼーん

>>469
その順序交換は
f が定数でも自明ではないのですか

>>458
fはどんな関数か知らんけど
fがz=a近くで正則なら、f(a+εe^(iθ))はε→0のときf(a)に（θに関して）一様収束

>>474
でも被積分関数は定数ではないですよね？

>>475
一様収束するのですか…
何故でしょうか？

>>476
連続だから

>>447
連続だとなぜそうなるのでしょうか…？

あぼーん

>>476
定数に限ったときなら理解できるという意味に取ってよいでしょうか

>>478
C上の連続関数の定義を理解して下さい。

もはや何の事を議論してるか分からない。

釣られるのは暇なやつ

順序交換厨と名付けよう

あぼーん

Since ∀η ∃δ such that |h|＜0 ⇒ |f(a+h)-f(a)|＜η,
|ε|＜δ ⇒ ∀θ |f(a+εe^iθ)-f(a)|＜η, therefore |∫f(a+εe^iθ)-f(a)dθ|＜πη,
i.e. lim_[ε→0] ∫f(a+εe^iθ)-f(a)dθ= 0.

あぼーん

>>486
ありがとうございます

|h|＜0は |h|＜δの間違いですよね？

>>488
fが定数の場合はいいわけ？

あぼーん

>>489
はい
fが定数なら
∫(0→π)f(ａ＋εｅ^(iθ))dθ＝∫(0→π)f(ａ)dθ＝πf(ａ)
ですから
>>458の(76)が正しいことがわかります

すると、aの付近で定数のときはわかるが
aで連続な場合には誤差の評価が難しくてわからないということでしょうか

問題に粘着、答えに粘着

自分より馬鹿な奴が現れて喜んでたのに、問題が解決してしまったのが気に食わないんだろ

>>492
どういうことでしょうか…？

lim(ε→＋０)∫(0→π)f(ａ＋εｅ^(iθ))dθ＝∫(0→π)lim(ε→＋０)f(ａ＋εｅ^(iθ))dθ
となる理由がわかりませんでした
しかしｆが複素関数としてａで連続ならば、
ε→＋０のとき、０≦Θ≦πでf(ａ＋εｅ^(iθ))は一様にｆ(ａ)に収束するから 上の積分と極限の順序交換が可能ということがわかりました
間違っていますか…？

>>495
ソイツはからかってるだけだから、気にするな

>>496
すみませんわかりました
ありがとうございます

>>494
360を答えてあげたら、成仏するから

>>494
自己紹介だったか

流石に意味が通ってないわ、そのツッコミ

>>500
えさ、360

>>500
自己紹介、確定

>>502
見透かされて悔しかったのかｗｗｗ

>>503
360の答えは？

ageましょう

あぼーん

アールフォルスが理解できないのは、訳が絶望的に日本語になっていないから

>>507
例えばどこが？

>>508
今手元にないから分からん

>>509
ならあんたの勘違いの可能性もある

あぼーん

>>510
そうだな

役者の語彙が貧相なために、アールフォルスの流麗で豊潤な文章を訳しきれていないな

絶対値が最小の数ω1≠0を含む
（7章　定理1の証明）

今ぱっと開いて目についたが、これは誤解を招く表現だな
英語だとどうなってんのか知らんけど
ほかにもあるかは知らんけど、頻繁にこういう悪文に出くわすとすると、読むのは大変だろうな

>>514
どう誤解する？

絶対値が最小の数（複素数）は存在しない

>>516
アホか。
文脈から意味は明らか。

原文
As soon as M contains a number ω ≠ 0 it also contains one, call it ω_1, whose absolute value is a minimum.

文脈が理解出来ないアホにとってはどんな文章も意味不明になる

沸点の低い奴だな
的外れだからなおさら質が悪いが
日本語として一意的に意味が通らなければそれは悪文

>>519
原文読めるか？

>>520
何の原文だ？
自分の質問が意味が通っているかどうかぐらい、確かめてから書き込もうとは思わんのか？

因みに原文の M は複素平面の離散部分群のことな

で、結局どう誤解し得るの？

>>521
なんの原文って分からないのかｗ

基本的に逐語訳調で、情報提示の仕方がヘッタクソなんだよな
意訳しすぎると、別の本になるが

こんな明白な文章を誤解するようなアホは、そもそもどんな数学も理解不能だから論外

別の本になってもいいと思うけど
別に、定理の配置や証明方法が同じなら、意訳したところで差し支えないわけだし
文学者ではなく作家が洋書を訳すときは、その人の感性がかなり影響する場合があるが
数学者が数学書を訳すのは、このパターンだと思う

>>525
だから例を挙げろって

逐語訳ですでに別の本なんだから、意訳して名訳になるんならそっちの方がいいだろｗ

吉田洋一訳したポアンカレの著書は評価高いな
フランス語読めないから原文は分からんが

英語の本くらい原著を読めばいい。
英語ならタダで落ちてるだろｗ

原著読む方がいいよ
訳は下手だし、Ahlforsなんてそんなに難しくないんだから

上の数人は何をムキになって反論（反論になっていないが）してるのかは知らんがな

>>527
そもそも翻訳はある程度意訳しないと駄目だろ。
逐語訳ならコンピュータでも出来る。
問題は意訳をどこまでするかという匙加減。

何故、どう誤解したのか書かないのか
恥ずかしいからか？

ルディンの邦訳もイマイチだな
まあ、アレは地の文少ないからそこまで影響ないけど
最終章の序文に、「必要でない多くの複雑さのために……」みたいな文があった気がするが、
これはもっと上手く訳せるだろ、とは思った

アールフォルス（訳）にもとびきりの珍文があった気がしたが、どこだったかは忘れた

「誤解を招く」を「誤解した」と誤読する方がよっぽど恥ずかしいと思うぞ

志村先生が「数学の好きな人のために」のあとがきで
「Aであるための必要十分条件はBである」式の表現はおかしい
とおっしゃっていたが、アレはどうなんだろうな？
この表現自体はよく見かけるけど

if and only ifをヤクシカんだろうが
条件の表現自体はBのほかにもあるだろうから
Bであるとは言い切れないわな

あぼーん

英語の原書読めば無問題
タダで転がってるの多いしｗ

ttp://torrents.thepiratebay.se/4741911/Rudin_-_Real_And_Complex_Analysis.4741911.TPB.torrent

ドンドン滅びるゴミ・ジャップ

よ、塵

あぼーん

Ahlforsの原書のハードカバー版って青かったっけ

あぼーん

薄い黄色

あぼーん

ハードカバーかなら青だ

ハードかバーカ

あぼーん

野口先生の「複素解析概論」について
おねがいします

まかせなさい

あぼーん

あぼーん

>>553
ではよろしく

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

よろしく

コーシーの積分便利すぎワロタ
理屈はよくわからないけど
積分するとなんか2πiになったりするんだろ

あぼーん

あぼーん

>>563
理屈がわからないなら何の意味がある？

阿呆が粋がってまあｗ
文明の利器なんて大半は理屈を知らんだろうお前は

留数の公式を覚えてうれしいのだろう

あぼーん

>>567
理屈を知ることにのみ価値がある少数の知識の一つが
数学である

　　　　 /: : : : : __: :/: : ::/: : :／/: : :/l::|: : :i: :l: : :ヽ: : :丶: : 丶ヾ　　　　＿＿＿
　　 　 /;,, : : : //::/: : 7l,;:≠-::/: : / .l::|: : :l: :|;,,;!: : :!l: : :i: : : :|: : ::､　 ／　　　　 ヽ
　　　 /ヽヽ: ://: :!:,X~::|: /;,,;,/: :／　 ﾘ!: ::/ﾉ　 l｀ヽl !: : |: : : :l: :l: ﾘ /　そ　そ　お　＼
　　　/: : ヽヾ/: : l/::l |／|||llllヾ,､　　/ |: :/ , -==､　l＼:::|: : : :|i: |　/ 　 う　う　 前　　|
.　　 /: : : //ヾ ; :|!: ｲ､||ll|||||::||　　　 ﾉノ　 ｲ|||||||ヾ､ |: ::|!: : ｲ: ::|/　 　な　思　が
　　 /: : ://: : :ヽｿ::ヽl |{ i||ll"ﾝ　　　 ´　　　i| l|||l"l　｀|: /|: : /'!/l 　 　 ん　う
　∠: : : ~: : : : : : : :丶ゝ-―-　　　　　 , 　ｰ=z_ｿ　　 |/ ﾊﾒ;, :: ::|.　　　だ　ん
　　 i|::ﾊ: : : : : : : : : : : ､ﾍﾍﾍﾍ　　　　 ､　　ﾍﾍﾍﾍﾍ /: : : : : ＼,|.　　　ろ　な
　　 |!l　|: : : : : : : : :､: ::＼　　　　､-―-,　　　　　　/ : : :丶;,,;,:ミヽ　　 う　 ら
　　　　　丶: :ﾊ､lヽ: :ヽ: : ::＼__　　｀~　"　　　　　 /: : ﾄ; lヽ）　　　ゝ
　　　　　　 ﾚ　｀|　｀､l｀､＞=ﾆ´　　　　　　　 ,　　_´ : :}　｀　　　／
　　　　　　　　 ,,､r"^~´"''''"t-｀r､ _　　-､　´ヽノ　＼ﾉ　　　／　　　　お ・
　　　　　　　,;'~　　_r-- ､__　　　　　~f､_>'､_　　　　　　　　 |　　で　　前 ・
　　　　　　f~　　,;"　　　　　~"t___　　　　ﾐ､ ^'t　 　 　 　 　|　　は　　ん ・
　　　　　 ,"　　,~　　　　　　　　　ヾ~'-､__　ﾐ_ξ丶　　　　　|　　な　　中 ・
　　　　　;'　　,ｲ　.. 　　　　　　　　　ヽ_　　 ヾ､0ヽ丶　　　　l　　　　　　　　　/
　　　　 （　;":: |:　:: ..　　　　　　　　　 .｀,　　 ヾ　丶 !　　　　＼＿＿＿＿／
　　　　　;;;; :: 入:: :: :: 　 　　　l｀ｰ-､　　 ）l　　 ヾ　丶
　　　　　"~､ｿ:: :い:: :　　　　　＼_　　ノ　,　　　 ヾ　丶

>>563
知るかそんなもん

数学の理屈は何千何億の屁理屈の積み重ねに過ぎない。

数学掲示板群・各分野あり
http://www.google.co.jp/search?q=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%8E%B2%E7%A4%BA%E6%9D%BF+alpha

E={z∈C|1≦|z|≦2}をふくむ開集合Dで定義された正則関数fで
|z|=1 ⇒ Ref(z) > 0
|z|=2 ⇒ Ref(z) < 0
をみたすものは存在しないこと

そのようなfが存在するとして矛盾を導く
f|_E(fのEへの制限)は、最大値の原理より、Eの境界において絶対値が最大となる。
|f|_E|が最大値を取る点をz0とおく。
ここで、Dは開集合なので、z0をふくむ十分小さい閉円板V={z∈C||z0-z|≦δ}はDにふくまれる。
ふたたび、最大値の原理より、|f|_V|の最大値はVの境界上で取る。その点をz1とする。
z1∈Eなら、fはV上で定数（∵ V or Eの境界以外の点で、|f|_V| or |f|_E|が最大となるから）、つまりD上で定数となるから、仮定に反する。
よって、z1∈D＼E

ここまでは分かったのだが、ここからが分からぬ
教えてくれ

f(z)/z をCの境界に沿って積分するとか

あぼーん

あぼーん

楕円関数・リーマン面について書かれた本教えてくれ

>>579
> リーマン面について書かれた本教えてくれ
ワイル、辻

あぼーん

>>579
岩沢健吉　代数函數論

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>582
それは名著ですね

あぼーん

>>579
アールフォルスの「複素解析」にも書いてある。

あぼーん

>>588
アールフォルスは、リーマン面は概要しか書いてなくない？

あぼーん

あぼーん

ワイルだぜー

あぼーん

アールフォルスは原著と訳書どっちがいい？

原著

訳書は、不要な日本語の解釈に気を煩わすことになる。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

原著は不十分な自分の英語力の点検に
気を煩わすことになる

あぼーん

ここって院生の溜まり場になってんの

アールフォルスのレベルは学部生だろ

あぼーん

アールフォルスは院生レベルです

正確にいうと、今の学部生には読めない

あぼーん

>>606
残念
今の院生にも読めません

あぼーん

アールフォルスのレベルまで複素解析知ってる院生って
どのくらいいるかねー　
せいぜい留数定理のちょっと先までだろ、普通は。

無限積のワイエルシュトラスの定理、Jensenの定理、正規族、
リーマンの写像定理・ディリクレ問題、楕円函数、ピカールの定理

あたりになると、勉強してる院生がかなり少なくなる。

あぼーん

え、うちの院生は留数定理もあやしいですorz

それもう何のために数学やってんの？

留数定理もあやしいロンダ君ははっきり「ここの院に入ったのは就職のためです」って言ってたｗ

∫1/(1+z^4)dzとかの定番の計算はできるんだけど、
有理型函数の留数の和はゼロだろ？というのはわかんない。

こんな旧帝大修士が普通にいるわけですよ。教授に言われるまま修論書いて
どっかに就職していくだけ。

トポロジー専攻の人はわからない人もいるそうだ、逆も真だが

トポロジーたって、クライン群とか、複素超曲面の孤立特異点とか
複素解析寄りの話あるしなあ。
留数定理程度は知っておかないと先で細くなるぞ。

簡単なホモロジー・基本群の話もどの分野でも役に立つというのも真。

>有理型函数の留数の和はゼロだろ？
分からないので教えてください

教科書嫁

あぼーん

εは十分小さい正の数　Θはーπ/２以上π/２以下の数とします

εe^(iΘ)/sin(εe^(iΘ))
はεによらない数でおさえることはできますか・・・？？解説お願いします

すみません
εe^(iΘ)/sin(εe^(iΘ)) の絶対値はεによらない数でおさえられるか　という質問です
訂正します

おまえがAAあらしか？

違います・・

あぼーん

あぼーん

>>620
同じ質問を繰り返すな。答が不満なら理由を言え。

>>626
1−(sin z)/z＝z^2/3!−z^4/5!＋・・
|z|< r <1 なら |1−(sin z)/z|< (r^2＋r^4＋・・)/3!＝r^2/(3!(1−r^2))
これが 1/2 以下になるようにしておけば |z/(sin z)| < 1/2

という解答をいただいたのですが、最後の
|z/(sin z)| < 1/2

はなぜですか？？その前の結果から得られる理由がわからないのですが・・・・・

|1−(sin z)/z|<1/2 → 1−|(sin z)/z| ≦ |1−(sin z)/z|<1/2
1−|(sin z)/z| <1/2 → 1−1/2<|(sin z)/z| → 1/2<|(sin z)/z|
→ |z/(sin z)| < 1/2

>>614
有理型関数の留数の和が0ってどういうこと？

なんで分からん部分だけ質問しないの？
回答者の無駄な労力は気にしないのか。

>>629
教科書読め

>>629
無限遠点を含めた全部の特異点を囲む積分路を考えると、特異点を含まない領域を逆回りで囲む積分路になるからさ。

>>620
つりだろう

あぼーん

>>628
ありがとうございます　助かりました

あぼーん

嫌ならば回答しなければいい
ただそれだけのことなのに、個人的な不満を他人に押し付けるな
善人面して回答者の苦労とか言い出す馬鹿は見苦しい

>>637
嫌なら質問しなければいい

>>631
なんの教科書に載ってる？

RForceだろうjk

>>637
おまえが他人の無駄な苦労を気にしない事は分かった。
軽蔑する。

>>640
アールフォルスのどこに載ってる？

>>642
ちょとまって

「教科書読め」ってのは、標準的なテキストには
載ってるってことだから、親切なレスなんだがな、
それがわからん低レベルな質問者もいたもんだ

1+1/2^2+1/3^2+…=π^2/6

ってどうやって証明するの？

sinπz=πzΠ[n:1〜∞](1-z^2/n^2)
で、z^2の項を見比べる

もう一つ有名な証明は x＾2（偶函数）をcos フーリエ展開して
x=πとおく。フーリエ係数がだいたい 1/n^2になっている。

？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

あぼーん

>>648
教科書読めｗ

>>650
> 教科書読めｗ
もしもし
> x＾2（偶函数）をcos フーリエ展開
お話を伺えないでしょうか

>>643はまだか？

>>652
まだだよ

>>643
おいどうした早く書き込め
口からでまかせいって逃げてんじゃねえぞ

>>654
いまでるところです

あぼーん

あぼーん

>>643
言ったからには発言に責任を持て
さっさと答えろ

>>643
おいコラどうした？
さっさと答えんかい

>>614
> 有理型函数の留数の和はゼロだろ？というのはわかんない。
そんなの定義域に依存する。アホなことを言うな。

>>660
教科書・・・読んだねｗ

あぼーん

>>643
おいコラ
有理型関数の留数の和がゼロってことが、アールフォルスのどこに載ってるのか
さっさと答えんかい

なんだみんなわかっててニヤニヤして見てたのかw
酔っ払って帰ってきてざっと見たとこだったからわかってなかったw
マジレスすまん。

最初からわかっていた人と、わかってなかった人、途中で
気がついた人、そもそも定理を知らなかった人ｗが混在して
いたろうから、流れがわかりにくかったろうなｗ

>>643
おいさっさと答えろ

今ここで粘着を止めたら、自分だけが間違いに気付いていなかったことになっていしまうから、もう少し続けないとね。

>>664
>>660のようなレスは、即レスしないと意味ないからねえ・・・
ま、即レスしたら、今度はただの揚げ足取りになるしさ。

そもそもステイトメントを正確に述べなければ、定理を知っているもクソもない
断片的な文章から、自分の持っている知識への類推がはたらいたとしても、
それはただ自分が納得しただけで、数学的に意味をなさない。

>>643
さっさと答えろ
こちとら眠いんだよ

アールフォルスに載ってるなら、どこに載ってるのか俺も教えてほしいわ

そもそも間違ってるんだから載ってねえよ
いつまで揚げ足取り続けるんだksが

アールフォルスなんて読んだ事ないし持っても居ないから聞いてもしゃーないなー

アールフォルス以外で教科書教えてください

溝畑の下巻
杉浦の下巻

吉田洋一

複素解析概論 (数学選書): 野口 潤次郎

あぼーん

柴の関数論

掛谷 宗一「一般函数論」

Zeev Nehari 「Confomal Mapping」

r

あぼーん

岸・藤本の「複素関数論」最強

あぼーん

何と言ってもフォルスター

stein

あぼーん

Donaldson

あぼーん

Jarnicki-Pflug

あぼーん

Fritzsche-Grauert

あぼーん

あぼーん

あぼーん

フィッシャー・リープ最強

あぼーん

Fischer-Lieb

あぼーん

マテマティカのカタログに出ていた

あぼーん

あぼーん

D1={Z | 0<|z|<1}
D2={Z | 1/2<|z|<1}
D1からD2への正則関数で1対1である(つまり逆写像をもつ)ものは存在するか？

>>704
マルチ

マルチとは一体･･･

duplicated posting a problem to multiple threads

クソマルチは構わなくていいから>>575教えてくれ
京大あたりの入試問題だったと思う

院試だろう、来年頑張れよ

>>708
円環の周に沿ってf(z)/zを積分してみるとか

>>708
アールフォース読むとか

易し過ぎるだろうこれは

俺は分からん

>>708
構わないのは「おまえ」、日本語もわからんようでは、

公務員試験受けたら

専門問題でなくて必須問題なら、そんなもんでね？

>>714の日本語能力が心配なのだが

>>716
はあ

どうやるんだっけこういう問題
よくある問題だと思うけど忘れたわｗ

>>716
716=708か

くだらない問題を質問するな

主な論点と比べて末梢的であるかなり微妙な問題を質問するな

で、どうやんの？

だってｗｗｗｗｗ

質問者は礼儀をわきまえろ

嫌なら答えなければいい。
ただそれだけのことができずに、非建設的なコメントを投稿する人の気が知れない。
結局、「自分の言っていることが正しい」という前提に立っているから、こういう発言ができるわけである。
つまり、自分こそが常識ないしは正義である、と。これは価値観の押し付けに他ならない。
いい大人であれば、自分の発言内容をよく自問自答してから書き込むべきである。

>>725
嫌なら質問しければいい

いつもの粘着か

いやマルチポストはマナー違反だから

低レベルな質問ですが、群数列が分かりません

正の奇数の列を次のような群にわけ、第n群にn個の数がはいるようにする。

1/3,5/7,9,11/…
1)第n群の最初の項を求めよ。
2)第n群の項の総和を求めよ。

1)はΣ(2k−1)＋1を使えばできると思ってたのですが、どうも答えが違うようで。
Σ使えないんですかね。

至急お願いします

スレ違い

質問スレでどぞ

大学1年レベルから読めて、記述が親切丁寧で、内容が包括的で高度な内容まで含んでいて、でもやっぱり説明が丁寧だから高度な内容でも式を追っていけば理解することができるような、そんな素晴らしい複素関数論の本ってないですか？
邦書でも洋書（ただし英語）でも構いませんし、分厚くても構いませんので心当たりあれば教えてください

Ahlfors, Complex Analysis

微積分をしっかりと習得して極限の扱いに慣れている、という前提で薦めるなら
プリンストン解析学講義シリーズのやつ

ありがとうございます
両方チェックしてみます

>>732
そんなもんあるかい

こんにちわ　無事大学院合格できました
みなさんの指導のおかげです　ありがとうございました

のどがかわいたなー

>>737
お前だれｗ

質問なのですが、コーシー分布の特性関数
∫_R exp(i tx) / (x^2 + 1) dx
を求めるところでわからないところがあります。
http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Example_.28II.29_.E2.80.93_Cauchy_distribution
のように留数定理を用いて導出するわけですが、
何故 t>0 と t<0 とで場合分けしなければならないかがわかりません。

t<0 のときも t>0 のときと同じ積分領域 (リンク先の半円C) を用いてはだめなんでしょうか？
どうして、t<0のときは半円Cの対称になる半円を積分領域にしなければならないのでしょうか？

>>740
積分路を書いてみ

>>740
半円部分での積分を評価してないだろ、君。
自分で計算してない。だからわからない。

>>740
同じ質問を最近見たぞ

>>740
同じ質問じゃなかった
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1341844850/195

>>740
質問の意図がわからないんだよね
というのは、場合分けしない場合でやったらどうなったのか、という点について何も書いていない
何も自分でやっていない証拠

>>744
向こうの人は、自分で手を動かして納得してるね。
>>741-742で答えは出てる。

このスレのレベルみるに学部生レベルの人しかいないのに偉そうなやつばっかだな

函数論（）が前提だから
函数論が（）かはさておき

>>128-147あたりの流れは、少なくとも今の学部生レベルよりは
高いね。20年前なら学部でやってた話だから、その頃のおっさん
だろうがｗ

>>747
そういうレスは>>740がちゃんと返事してからじゃないと
君が740のなりすましみたいに思われるだけだよ。

別人としても、似たような教えて君が暴れてるだけと
思われるだけ。まあ逃げちゃった740が一番悪いんだが。

>>747
レベルは関係ない。人に教えるなら、それらしい態度でやらねばならない
レベルなどが関係すると思うのは事大主義
それとも「偉そう」に過剰反応する廚二病か

廚二はレベルが上がった。廚二は「偉そう」を覚えた！

しかし　厨二は　すでにおぼえている！

だが、まぁぶっちゃけこのスレのレベルは低いよな…

話のネタがないだけじゃないの
何か問題でも出せばそれなりにアカデミックな議論が沸き起こるんじゃね

勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。

描

>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>

一変数関数論の最初の数章の話で終わってる

>>754
2ちゃんの他のスレも似たようなものだろ。

代数だと、写経してる人とか、文献紹介のコピペばかり
してる人とか、変なのいるけどｗ

ε>0とします

√(z*z -1) を　直線Im z = ε　にそって　-1+ε 〜　1+ε

まで積分するのと
直線　Im z = -ε　にそって　-1-ε 〜　1-ε　に積分するのとでは
値が　-1倍　違うということがよくわかりません。
文献か証明をご教示いただけないでしょうか？　

>>759
積分できないの？

訂正

√(z*z -1) を　Im z > 0 上の　直線Im z = ε　にそって　-1+ε 〜　1+ε

まで積分するのと
Im z <0 上の直線　Im z = -ε　にそって　-1-εi 〜　1-εi　に積分するのとでは
値が　-1倍　違うということがよくわかりません。
文献か証明をご教示いただけないでしょうか？　

あぼーん

あぼーん

>>761
∫√(z^2−1)dz＝z√(z^2−1)/2＋log(√(z^2−1)−z)/2
だから計算して確かめろ

余計な事かも知れんが
log(−√(z^2−1)−z)＝−log(√(z^2−1)−z)

あー、それなら過去にやった記憶があるので理解できそうです
ありがとうございました

等角写像って円を円に移すわけですけど
円の中心は円の中心に移るんですよね？
任意の円周上の点cについて と中心とを結んだ直線lを考えると
写像の移動先で c'の接線と, l'　もまた直交するんですから

あ、おかしいですね
単位円の中心は 1/z で∞にいっちゃいますからね

実数の世界とは異なって,複素数の世界ではロピタルの定理が成立たないそうですが
それが分かるようなシンプルな例を教えてください。

成り立つよ？
分子分母をマクローリン展開

えっマジで!?

正則関数は等角写像である。　　-Wikipedia「等角写像」より-

証明してみ

wikiに正確さを期待しても無駄。
直しても、バカが元に戻す

>>773
正則関数は等角写像なんて複素数の微分からほとんど自明だろ

あぼーん

あぼーん

接続だからだよ

層を教えて下さい

複素数平面の開集合U上の正則関数全体は層なのですか?

>>779
はい、層です。

層なの？

そうだよ

Uが連ケツなら、U上の自明な層にはなる

穴繋がり

あぼーん

　ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ 　　( 　・ω・）　ブヒ─ブヒ─
　 しー し─Ｊ

複素変数の(Non-standard)無限小解析：

【公理】或る複素変量zは「無限小（つまり、０ではないが限りなく０に近い量）dzを伴う。

[註（無限小が０ではないことを示す一例）]　０/０ には定まった意味はないが、一方、dz/dz＝1である．

【公理】dfz+dz)＝f(z+dz)-f(z)

【定理】dfz+dz)＝f'(z)dz

【定理】dfz+dz)＝f’(z)dz

>>787
独自すれでやれ

いやだ。　ここに居座る。　ヽ(^。^)ノ

数式らしい物を書いてるから飾りと思えばいいんじゃない？

>>787>>791
括弧の数が合わなくても数式か？

ブラとかケットのような使い方もある

>>793
ﾜﾛﾀYO

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>775
「導関数が消えない範囲では」の但し書きを忘れる罪は
Wikiでは無視可能

＞導関数が消えない
これってどういう意味？
正則関数なら微分可能だけど･･･

f'=0 のことだろ
その場合は等角写像じゃない

その場合だとどうなりますか？
全部同じになって写像も何もないって感じかな？

再び f'≠0 になったとき以前の方向と不連続に変わっても良い

あぼーん

あぼーん

宜しくお願い致します。

真性でない集積特異点というのはあるのでしょうか?
もしあるのでしたら,簡単な例とその特異点の名称をお教え下さい。

真性特異点の定義はローラン展開で無限個の負冪がある事
ローラン展開は孤立特異点でしか存在しない

無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵！
お前たちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

4元数を変数に持つ4元数値関数論とかないの？
なんかあったような気がするのだが、複素関数論みたいに内容はないのかな。

代数方程式が無限個の解を持つような数でどうしろと？

知りませんでした。

>>810

無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵！
お前たちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>809
http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_variable

>>810
解説：
x^2+y^2+z^2=1 を満たす実数 x, y, z により
4元数 I=x i+y j+z k を考えると、I は虚数単位 i と全く同じ性質を持つ。
従って、実係数の代数方程式に a+b i の解があれば a+b I も解となる。
そのような x, y, z の組は無限個

あぼーん

関数を函数と書き換える厨房をなんとかしたい。

それくらいしか他人に言いたいことがないんだよ。

分岐点が集積特異点になることはあるのだろうか？

分岐点を持つ関数で無限級数作れば良い
Σ(1/n!)(x-1/n)^(1/2)

あぼーん

>>818
それに気がついていれば岡先生も苦しまずにすんだかも

>>819
ありがとうございます。
でもこういった場合にリーマン面がどのようか形状になるのか
僕にはさっぱりイメージできません。どうなるのでしょうか？


>>821
詳しい話又はリンク先教えてください。
学部の物理数学レベルの知識しかなくてすみません。

>>819を書いたオレにもイメージできんな
数学セミナーとかでリーマン面を描くソフトで色々図を見せてたことがあったから
探せばソフトが見つかるかもしれん

あぼーん

複素平面全体で定義された生息関数で、実部も虚部も常に正のものは、定数関数に限るか？

あぼーん

>>825
一次分数変換で半平面を単位円盤内に写像すると有界な整関数になる
リュウビルの定理より定数関数

宜しくお願い致します。
複素関数について質問です。
実関数の極限と異なり,

lim(f(z))の極限は収束,∞,振動,カオス
の4種類の状態が有り得り, ∞や振動やカオスを纏めて,発散と呼ぶ。
という解釈で宜しいでしょうか?

>828

すいません。訂正。
被拡張複素平面では
lim(f(z))∈C∪{∞}の時,f(z)は収束するといい(特に∞の時は無限遠点に収束するという),
振動やカオスを纏めて,発散と呼ぶ。

でいいんですよね?

意味不明

あぼーん

質問です。
級数が絶対収束でない場合、項の順序を入れ替えると総和が変わってくることがあると知りました。
その具体例を1つ教えてください。

Σ_[n=1〜∞] (-1)^n/n

教えてやって意味あったのか？　いやない！

>>833
ありがとうございます
>>834
いやいや、意味ありましたよ

総和が変わると自分で確かめられるのなら意味あるだろう

こういった級数になにか理論的な展開はできるの？
単にそういった級数を構成できるということしか知らないけど。

Rungeの理論はそれを目指している

>831
ふたたび、真珠湾を攻撃して、アメリカに雪辱するには、徴兵制もやむなしと思うけど。

日本とアメリカは共に太平洋に面した海洋国家だから平和憲法を捨てれば必ず戦争する
中国とアメリカ両方を敵にすれば必敗、雪辱などありえない。懲りない馬鹿と言われるだけ

中国に魚釣をお返ししてあげて同盟関係を結べばいいだけだよ。
雨公のような毛唐は神聖なる国土からさっさと追い出さんとあかんぜよ。

大河の毛利元就を見返しているが、初期のころは大内につくか尼子につくかで迷う弱小国毛利。
今の日本にも通じる。謀略をもって敵を翻弄する強かさがあればいいのだが。

先を見ればアメリカより中国だが、やりかけた民主政権はアッサリ腰砕けで自民は逆行してる
強かさどころかビビって逃げてるだけなのを正当化するようじゃなー

中国は民主化するまではまともに相手にしない方がよい

あぼーん

倭国は歴史認識を改めない限りまともに相手にしない方がよい

あぼーん

>>844
民主化なんてものがあると思ってるんか
>>846
認識なんてものがあると思ってるんか

あぼーん

複素関数が常に複素平面への解析接続を持つとは限らないそうなのですが
そのような(できるだけ)簡潔な例を教えて頂けないでしょうか?

>>850
1番有名で単純にいういわゆる素数愛が強いゼータ―さんがそう。
そのゼーターさんは複素平面上の点s=1で発散し、点1∈Cでは定義出来ない。

>851
どもです。

"複素平面への解析接続を持つ"は"複素平面上の有理形関数を持つ"という意味ですよね。

ζ関数は複素平面上の有理形関数を持つので複素平面へ解析接続可能と言えるのではないのでしょうか?

>>850
もっと単純なのだと、Eulerが考えてた実部が1より大きい領域で定義されるような、無限級数で表される複素関数
f(z)=Σ(1/n)^z、
各点z、Rez>1、に対してnは自然数全体を渉る、
になる。それを平面Cに解析接続すると、
>>851の(素数に愛される)Riemannのゼーターさんになる。

>>852
>"複素平面への解析接続を持つ"は"複素平面上の有理形関数を持つ"という意味ですよね。
その意味による。
「複素平面への解析接続」が「複素平面全体への解析接続」なのか、そうではないのか。
単純に「複素平面への解析接続」だと、「平面Cへの解析接続」とも解釈出来て、
解析接続した後の定義域はどうなるのか、という点で解釈の問題が残る。

>>852
ちなみに、解析接続の一意性から、
ゼーターさんは複素平面C上全体には解析接続出来ない。
解析接続したら点s=1は特異点になる。

>>850
1/z

f(z)=z+z^2+z^4+…+z^(2^n)+…
は収束半径1だが、z=(1の2^k巾乗根)(kは任意の自然数)なる全てのzでfは発散するので
単位円周の外には解析接続できない

いわゆるひとつの自然境界

>>850
log(z)

ルートz

【数学】世界一の難問「多変数解析関数論」を解いた数学者、岡潔の顕彰碑が完成　和歌山・橋本市

http://anago.2ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1385303757/

主岐と主値の違いって何なのでしょうか?

例えば,ln(z)=ln|z|+i(arg(z)+2nk)ではk=0をした時の
ln|z|+iarg(z)をln(z)を主岐と呼び,さらに
-π≦arg(z)≦πに限定した時をln(z)の主岐の主値と呼ぶのでしょうか?

すると,Ln(z)=ln|z|+iArg(z)はln(z)の主岐の主値なのでしょうか?

主岐->主枝
でした。失礼致しました。

ところで"主枝"という言葉は対数関数のみで使われる言葉なのでしょうか?

たびたびすみません。

ln(z)=ln|z|+i(Arg(z)+2πk)にて,
k=…,-1,0,1,-2,…を分岐点と言い,
値域を
…,ln|z|+i(Arg(z)+2π(-1)),ln|z|+i(Arg(z)+2π・0),
ln|z|+i(Arg(z)+2π・1),ln|z|+i(Arg(z)+2π・2),…
としてできた一価関数らを…,k=-1の分枝,k=0の分枝,k=1の分枝,k=2の分枝,…
というのですね。

そして,特にk=0の分枝を主枝もしくは主値というのですね。
どうやら主値と主枝は同意味のようですね。

主枝にあるのが主値
主値の集合が主枝
集合と要素を区別しろ

どの枝が「主」かなんて、各関数各分岐点ごとの
各論で定義するに過ぎない。工学的で無意味。

どうも有難うございます。

梅原さんの楕円関数論を読み始めた
これ絶版になってるんだなー

5次方程式の解の公式がのってるやつだっけ

>>869
正解！

楕円関数なら梅村
梅原の方が有名かもしらんけど

>>871
梅村さんだった…

アールフォースって本当に名著なのか？曖昧なところが多くて物理の教科書読んでる
気になるんだけど。

>>873
行間は自分で埋めるんだよ

アールフォースより野口のにした方が良いよ

>>873
そんなあなたにrudin

古いのはダメ、Steinにしておけ

この辺の入門の話って別に新しいネタないと思うが

既出かどうか判断できるほど読み込んでないんで

入門で野口勧めるか、読んでないけど

シュタイン空間論は？

小松先生の本まだかな

アールフォース4章の終わりまで読んでみたけど、あれ行間が多いというよりそもそも
定義がしっかりとされず日常言語でやっているところがすごく気になる。後、n位の零点
をもつ点の近傍でちょうどn個の根を持つようにできるとかいう定理の図を使った解説でさら
っとこの場合n乗根は一価になって云々と書いてあるけど、一価になる条件ってその後のページに
書いてあるんだよな。

>>883
一般論が特殊な例の後に書いてあるのが
曖昧な書き方ということになるわけ？

嫌なら自分でノートなり作って再構成しなさい

俺もアールフォースは嫌い
コーシーの定理の証明のところとか最悪
もっとクリーンなものを見せなさいって感じ

"complex analysis"でamazon.com検索して、上位の中から
2000年以降に出版されたの選べば、そんなにはずれはない。
アールフォースは、確かに昔の定番だったが、最近の本は
そうした不満を解消しようとしてるから。数学的な進歩は
全くなくても、教育的配慮は進んでる。

でもアールフォースの序文によると、あのコーシーの定理の証明って古典的な
ものに比べるとかなり簡単になっているんでしょ。本文の注によると古典的なやり方だと
指数の概念もでてこないし、ホモロジーも出てこないとか恐ろしいこと書いてあるんだよな。
ちょっと恐ろしいよ。

ごく特殊な場合に示しておいて
一般の場合は積分順序の交換による
たいへんすっきりしている

保守

コーシー変換について詳しい最近の本は
Tolsaの

村井先生の論文が幾つか引用されていた

Lars Valerian Ahlforsの複素解析（Complex Analysis）っていいって　数学の授業の先生は　みんなゆってますけれど
本当に学生にとって親切なのかな

数学の授業の先生は　学生にとって親切　ってゆってるんですか

いい本ってゆってました

は〜　ゆいゆい

>>893
アールフォルスはアルティンの回転数の議論を教科書に採用した最初の教科書として名高い．

一般のコーシーの定理は曲線のホモトピーの議論が登場することになるが
そういう風に論理でバシッと書いた本はそれなりに読みづらい．
例えば野口潤次郎「複素解析概論」なんかはそういう趣向で書かれている．

回転数の議論の見通しの良さは，回転数の検出道具を1/2π(z-a) にしてしまうことで
ホモトピーの議論を最小にできることにある．

ただ，こういう議論が有効であることを理解するためには複素平面やリーマン面についての
素朴な感覚が育っている事が必要かな感もあり，こういったことが，上のほうで誰かが書いていた
「物理みたいで何を言ってるのかわからない」と言われる原因の一つではないかと思われる．

は〜　ゆいゆい

>>897
ありがとうございます！

高橋先生の本はアールフォルス流

数セミに連載をはじめた川平先生は
コーシーの積分定理をどう証明するだろう
楽しみ

積分はルベーグにして後は忘れるのがよい

初年級の複素解析ならコーシーの定義でOK

コーシーの積分定理でいいんですか？いいんです。　川平J

現代数学にも何かあった
小寺先生だったか

保守

コーシーの積分定理の証明は分かるんだがどうも腑に落ちん。
∫f(z)dz = 0　というんだが、f(z)は正則といえども少しは
変動している。それらの変動が「塵も積もって」となぜならないの？
あれじゃあ、f(z)はどこにも効いてこないじゃないか。
∫1dz = 0　と同じじゃないか。f(z)がもったいない。
逆にいうと、f(z)が効いてくる積分ってないの？

極、留数は勉強したか？

>>907の疑問はそれでは解けないと思う。順序が逆だ。

そうか、なら積分定理の証明を理解してないてことか、まさか単なる積分だと思ってるとか

分かるが、腑に落ちんと言ってる

>f(z)は正則といえども少しは
>変動している。
どういう意味か説明しろ

定数じゃないという意味。
f'(z)dzくらいの変動はあるという意味。

(df(z)/dz)dzな

だから、ただの積分と違うといってるだろう

ただの積分だよ

実関数sinxを0から2πまで積分するときも同じことを言うのか

>>917
馬鹿じゃないの

>>918
mod 2π で 0 と 2π は同じ点、このときの0から2πまで積分する積分路ってのは
適当な埋め込みで積分定理の積分路とホモトピック

要するに、正則函数なら多少移動がぶれても行って来いでちゃんと増えた分減るってだけ。
だから、一点可縮な積分路を回る限り、積分値に変化は起きない、つまり0だ。
ところが極などの特異点をまわるとそれに引っかかるような積分路の変更はできなくなる。

>>907をおいてくなよ

どう考えても置いていってないだろｗ

918!=907だろ
三角形とか円の境界上積分して一周すれば0になるのがわかんないんだろ
そんな難しいこと持ちださんでも

>>919
こいつ地頭悪そうだな

積分値が0ってのは単に増大分と減少分の釣り合いが取れてるってだけで意味が無いのとは違う。
そういう意味で>>917は別に話がずれているわけじゃない。
つか、R上で行って戻る積分、例えば∫[0,1]f(x)dx+∫[1,0]f(x)dx = 0 が分かってれば
積分定理に疑問無いだろｗ

実関数持ち出してわざわざ話を混乱させようとする奴

>つか、R上で行って戻る積分、例えば∫[0,1]f(x)dx+∫[1,0]f(x)dx = 0 が分かってれば
>積分定理に疑問無いだろｗ
相当なアホだな

誤答おじさんのお弟子さんかな？

電磁気学のイメージで納得していた

これは大学の数学だろう（笑）

証明は分かるって言ってるんだから厳密性に拘る必要はない
腑に落ちないというのが趣旨なのだから間接的に類例をだして腑に落ちるなら直接説明である必要はない

電磁気学の教科書に載ってる、ストークスの定理の直観的説明がわかりやすいと思うがね
線上の積分＝面上の回転の総和＝0

>>930
今日は暑いせいか、イミフだな

証明は分かるが腑に落ちないというのがそもそもイミフ
理屈じゃなく騙して欲しいと言われてる気分

>証明は分かるが腑に落ちないというのがそもそもイミフ
そういうことはよくあることだ。むしろ、そういう理解のしかたをしないといけない。
>>907の2行目以下に答えてやればいいんだよ

>>934
どうぞどうぞ

>>934
積分定理の証明は既に分かっている状態だから
「f(z)が効いてくる積分」が存在しないことが既知なのに
どうやって答えるの？
手本を見せてよ。

「それらの変動が「塵も積もって」となぜならない」ってだけなら
プラスもマイナスも同じだけ積もるから積もってないように見えるだけなので
>>917とかの例で十分だろう？

というか、積分定理の証明って、ぐるりと回ってくるというのを行って返っての道の
組合せに分解して各部分で〜とかそういう方針でやるんじゃないっけ？

>>907はどこいった？

>「f(z)が効いてくる積分」が存在しないことが既知なのに
むしろどんな積分もf(z)が効いているのが普通なんだが
>プラスもマイナスも同じだけ積もるから積もってないように見えるだけなので
周回路なんで、同じ道を行って返ってとは違う
>というか、積分定理の証明って、ぐるりと回ってくるというのを行って返っての道の
>組合せに分解して各部分で〜とかそういう方針でやるんじゃないっけ？
方針は小さい周回路の組み合わせだが、その小さい周回路は、同じ道を行って返ってとは違う

>>938
言葉遊びはやめろ
> むしろどんな積分もf(z)が効いているのが普通なんだが
>>907の主張は∫f(z)dz=∫dz=0となることを「f(z)はどこにも効いてこない」と言ってる
つまり、積分定理の成立は>>907のいう「f(z)が効いてくる積分」が存在しないということだ。

>>プラスもマイナスも同じだけ積もるから積もってないように見えるだけなので
>周回路なんで、同じ道を行って返ってとは違う

行って帰ってこようが周ろうが行ったままだろうが、同じだけプラスとマイナスが積もれば結果は０だ。

周る場合に、「同じだけ」ってどうして確信できる？

>>941
結果が0だという事実を無視して何言ってるんだ？
何の寄与も無く0なのではなく寄与があって0になっている、
プラスの寄与とマイナスの寄与の総量が同じだから0なんだ
っていう話だぞ、文脈を無視するとか小学生か？

だっていまは、結果が本当に0か？と疑ってる文脈じゃないかｗ

違うぞ、証明は終わってる。>>907も証明は分かると言ってる。これは前提だ。

分からん奴だな。
証明は分かっても、それを主体的に点検するフェーズが必要なんだよ。
907はそれをやってるということじゃないのか？

日本人は全員ゴミ

証明は終わってる、定理は真、ゆえに反例は無い、反例を挙げろという暴論はタヒね、という話

これまでの書き込みから、おまえがコーシーの定理を本当には理解できていないこと
は分かったｗ

ほんとのこというのやめろよ

講義ではリーマンsティる手巣積分をつかっていたが
なぜルベーグ積分でぜんぶせつめいしないのだらうか

おとなの事情、集合・位相・測度やってから微積分やるか？

ルベーグ積分が完全に上位互換ってわけでもないし

講義って何の講義か知らんけど
ルベーグ積分は理論の説明に時間がかかると言うことはあると思う
それ以外大した理由はあるのかなあ

リーマン積分した後極限を取るというズルをして
ルベーグ積分より適用範囲が広いこともあるとかいうのは
一種の詭弁だと思う

>リーマン積分した後極限を取るというズルをして
>ルベーグ積分より適用範囲が広いこともあるとかいうのは
>一種の詭弁だと思う
あんまり無理しない方がいいと思う

ルベーグ積分とは、実数の完備をその上の構造たちにうまく波及させられる積分だと思ってます。
間違いですか？

えっ

複素平面全体から原点を取り除いたC\{0}上で定義され、値域が{ImZ>0}(上半平面)に収まる正則関数はどのようなものがありますか？

まあ　苦労するけど記憶容量が違うからね
としをとるとルベーグ以外はわすれたよ

つまり身に付いていないということですね

数学セミナーで梅田先生が積分論書いてたね

>>967
>>957

w = z^(1/4)

0< z:Arg <=2Pi

でどうかな？

>>959

はは　ルベーグは計算技術と関係ないからね

>>961
あ、定義域は原点以外全体です。

w = （z　Exp（＋ｊδ」）^(1/4) 　δは適当に小さい正数
0　＝< z:Arg <=2Pi -->δ＝< z:Arg＋δ <=2Pi+δ
でどうかな

原点は最初から　入っていないというか　0^1/n は面倒だから

>>957
f(z) = 1

iとかにしないとだめだろ

全然計算できないのに
ルベーグ積分の本で勉強したので
フーリエ解析の初歩的なことは知ってます、とか言うのもアレだけどね

フーリエだって多変数になったら
手に負えないってか分かってないことも色々あるんでしょ？

ルベーグ積分とフーリエ解析は違う分野

今時「ルベーグ積分」という分野の研究者なんて居るのかね

測度論的群論てのがあるらしい、ようしらんが

ウィーナー過程とかもやってんじゃね