円周率が3.05より大きいことを証明せよ

〔B.C.Carlson〕
　3sinθ/(2+cosθ) < θ < sinθ/(cosθ)^(1/3) < (2sinθ+tanθ)/3,

(略証)
(左)
　f(θ) = (2+cosθ)θ -3sinθ,
とおくと
　f '(θ) = 2sinθ{tan(θ/2) - (θ/2)} > 0,
(中)
　g(θ) = sinθ,
とおくと、
　g(x)g "(x) = {g '(x)}^2 - 1, ゆえ
　(右辺) ' = {3(g ')^2 - gg "}/{3(g ')^(4/3)}
　　　　= {2(g ')^2+1}/{3(g ')^(4/3)}
　　　　> 1,　(相加･相乗平均)
(右) 〔Snellius-Huygens〕,
　相加・相乗平均

>>22

θ = π/3 のとき 3.1176915
θ = π/4 のとき 3.1344465
θ = π/6 のとき 3.1402373

>>22

{sinθ, sinθ, tanθ} の相加平均Ａ、相乗平均Ｇ、調和平均Ｈについて
　H ≦ θ ≦ G ≦ A,