現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18

「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。

両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。

ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21

ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。

が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。

ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。

ガロアの書き方が、現代の主流の置換群の書き方と違う
これについては、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨に詳しい
http://www.nikkei.com/life/culture/article/g=96958A96889DE3E2E2E5E5E4E1E2E0EBE2E4E0E2E3E29C9C99E2E2E3;p=9694E3E4E2E4E0E2E3E2E5E3E2E4
ガロアの群論　中村亨著 天才数学者の問題意識探る 2010/6/30付

ただ、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨だけでは、本当の面白さは分からない

やはり、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) を傍に置きながら読まないと
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2-%E7%BE%A4%E3%81%A8%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%B3%BB%E8%AD%9C-11/dp/4320011643
出版社: 共立出版 (1975/4/20)

倉田令二朗も、ガロアのアイデアにそった解説を書いている

http://books.google.co.jp/books/about/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%82%92%E8%AA%AD%E3%82%80.html?id=9xqpAAAACAAJ&redir_esc=y
ガロアを読む: 第1論文研究
著者 倉田令二朗
出版社 日本評論社, 1987

http://ameblo.jp/europa2718/entry-11041364474.html
2011-10-08 03:55:22
倉田令二朗著『ガロアを読む』第1論文研究　その2

http://ameblo.jp/europa2718/page-4.html
2011-10-19 03:50:26
破天荒の人　倉田令二朗

>>3
現代数学の系譜 11によれば、ガロア論文では、現代的な群や体の定義は出てこない

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。

ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

>>4
> 倉田令二朗
超準解析の人だろ

ガロアの人物については下記

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア
（抜粋）
新資料の発見

決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。
彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュモテルといい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュモテルの娘であった。
彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。
その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書が真実を記したものとは言い切れないことが明らかになった。

その上でリガテリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然さを指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。

ステファニーに失恋したガロアは、｢民衆の友の会｣の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。
（作中では「D」と名前を明確にしていないが）デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。
そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。
ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである（その後の暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい）。

>>6
乙

>超準解析の人だろ

かな？
http://www.jca.apc.org/beheiren/162KurataReijirounokai.htm
162.　倉田令二朗さんをしのぶ会のご案内（01/10/01掲載）

>>8 補足

http://d.hatena.ne.jp/rockmass/20080315
2008-03-15
倉田令二朗、超準解析！（感謝を込めて）
（抜粋）
「まずは基礎論をやって、つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。」ということになった。
イプシロン-デルタ論法にかわる話を、大学に入って間もない、しかも理学部以外の学生に対してするので、教える側としては相当工夫しないと簡単には理解させることはできない。
それまでも毎回の配付資料の量の多さは異常だったが、ノンスタンダード・アナリシスになってからは、毎回の資料が30枚ほどになっていた。
いずれも汚ったない手書き文字のコピーなんだけど、いま思いだしても、非常に丁寧にわかりやすく作ってあった。

（数学者でもない私が口を挟むのもなんだが、超準解析は、いまでは多くの書籍もでて、当初は「ノンスタンダード・アナリシス」だったのに、いまでは「スタンダード」なアナリシスになった。
大学の講義でも広く扱われている。
倉田令二朗氏のすばらしさは、当然基礎論の大家でもあったのだが、30年もの昔にこの「ノンスタンダード・アナリシス」に最初に目をつけて独自に体系化し、さらに実学分野でも応用できるようにした点は、倉田令二朗氏によるところが非常に大きいと思う。）

>>9
趣味ならいいけど

はあ
こんなページがあるんだ

http://ufcpp.net/study/group/group.html
群という概念は、ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、ノルウェーの数学者）が 5次方程式の一般解法の存在の有無を調べるために考えたものです。
この当時、アーベルは可換群しか想定していませんでした。後に、ガロアが群論を構築する際、非可換なものも群として考え、アーベルの考えた群は可換群として区別するようになりました。
可換群をアーベル群と呼ぶのはこの名残です。

>>10
乙

>趣味ならいいけど

いや、どちらも利点がある。というか、「数学は自由だ！」「直感をもっと重視しよう！」「右脳を使え！」「もっと楽しく！」ってことじゃないかな？

>>12
どうでもいいことだけど、「評価されんぞ」ということ

>>12
”つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。”>>9

昔、イプシロンデルタが重視された時代があった
高校時代に数学の教師が、高校では極限はこれで済ますが、厳密にはイプシロンデルタみたく言った時代があったんだけど
そして、ワイエルシュトラスが直感を排した厳密な理論を作ったと喧伝された時代があった
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日）はドイツの数学者。
姓はヴァイアーシュトラスと表記するほうがより正確である。

>>13
ああ、「評価されんぞ」か
まあ、良いんじゃない？
流行に流される研究ばかりじゃ面白くないだろ

>>15
蛇足だけど、既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけないぞ。
δ(x)^2を定義したいというような明確な目的があれば別だろうが。

>>16
うーん、「既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけない」ということもないように思う
超準解析でなにをしたいかってことじゃないかな

例えば、”超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。”と。つまり、ある分野に限ってでも使えれば良いと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析（ちょうじゅんかいせき）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。
そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。
超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。

>>17

「〜なにか問題が？〜」：”簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。”だと思う
過去、日本の多くの数学者が、直感を否定し厳密性を重視した時期があった。だが、２０世紀末から２１世紀は再び”直感”復権の時代だと思う
もっと直感を大切にすべき
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis1.htm
超準解析１

原初無限小解析は、dxやdyが図形的な考察とともに乱れ飛ぶ直感的に明快な論理体系であった。
この考え方は固有の利点を持っており、オイラー信者の高瀬正仁大先生が著書｢dxとdyの解析学｣で詳細に述べていらっしゃる。

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis2.htm
超準解析２

〜なにか問題が？〜

　　簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。
　導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
　しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。
　頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。

　　私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。
　 数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?

　　私の答えは、超準解析を学ぶことである。

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis3.htm
超準解析３　One cushion at a Promenade

　超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)

　　しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。

　　本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。

>>18　補足

まあ、こんな利用法もある
ある特定の分野で活用できるだけでも存在意義はあるし
人が直感を取り戻し、その直感を支える道具でも可だろうし
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0982-11.pdf
数理解析研究所講究録
982 巻1997 年115-125
超準解析による経路積分
駿台予備学校中村徹(Toru Nakamura)

>>19 補足
中村徹 著 ｢超準解析と物理学｣

>>20　乙　補足の補足
http://www.nippyo.co.jp/book/1320.html
超準解析と物理学｜日本評論社　数理物理シリーズ　中村　徹　著　旧ISBNコード4-535-78248-2　 発刊日：1998.06　判型：Ａ５判　ページ数：308ページ

無限大を実無限としてとらえる解析学《超準解析》の基礎をわかりやすく丁寧に解説し、
さらにその方法を物理学──エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など──に本格的に応用して展開した日本で初めての本。

第２章　超準解析による積分論とその応用
１節　ローブ測度
２節　積分
３節　ブラウン運動
４節　エルゴード定理
５節　ボルツマン方程式
第３章　超準解析による経路積分の構成
１節　経路積分公式の直感的な導出
２節　関数解析による合理化
３節　測度論による合理化
４節　ディラック方程式と*-測度
５節　*-測度からスタンダードな測度へ
６節　シュレディンガー方程式と*-測度
第４章　超準解析からみた位相線形空間
１節　ヒルベルト空間とスペクトル分解
２節　超関数論からの準備
３節　Ｄ’（Ω）の超準表現
４節　　’（Ｒ）の超準表現

信者乙

>>15
「評価されんぞ」か
溝口紀子氏。どうでも良いが、日経サイエンスに記事が出ていた。人の評価を気にせずやったと

http://www.saruhashi.net/latest.html
第３１回　猿橋賞受賞者　溝口紀子氏の研究業績要旨 04/19/2011 17:16:03

受賞研究題目「爆発現象の漸近解析」
“Asymptotic analysis of blowup phenomena”

　溝口紀子氏は、べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式をはじめとする非線形放物型偏微分方程式の爆発現象の研究において目覚ましい成果を挙げてきた。

　微分方程式の解の最大値がある時刻Tに近づくと無限大に発散するとき、その解は時刻Tで爆発するという。
　べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式は燃焼現象を記述するモデルとみなされ、解の爆発は「発火」を意味する。
　1960年代半ばに藤田宏氏によって先駆的な結果が発表されて以来、爆発は微分方程式の分野で最も活発に研究されてきたテーマのひとつである。
　微分積分学の授業で教わるような、座標変数と時刻の関数として陽に表すことができる解は強解または古典解とよばれる。
　解が爆発すれば、その時点で、発散した値からの解の延長は不可能であり、解は強解としての意味を失う。
　しかし、関数に適当な試験関数を乗じて方程式を積分することで得られるような、微分の概念を広げた方程式を満たす解が存在する可能性があり、このような解は元の方程式の弱解とよばれる。
　爆発後弱解としても延長不可能な爆発を完全爆発、爆発後も弱解としては延長可能な爆発を不完全爆発とよぶ。
　燃焼を例にとると、完全爆発は「完全燃焼」に、不完全爆発は「不完全燃焼」に対応すると考えられる。
　半線形熱方程式の爆発に関する研究は長年完全爆発を対象としてきたが、1990代後半になって、ある条件のもとではこの弱解は有限時刻で爆発することが証明され、
　この時点ではじめて不完全爆発する解の存在は認識されたが、不完全爆発する解の爆発後の振る舞いについては未解決のまま残されていた。

>>23
>藤田宏

>>22
ありがとう
このスレは、超準解析スレじゃない
だが、「数学に直感を取り戻そう！」というスレであることは間違いない

難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
これぞ数学の真髄（こころ）

数学に直感を
複雑なことを図式化し

見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する

これが大事だと思うよ
これぞ数学の真髄（こころ）

>>1
そろそろ主題に戻ろう

>ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？

ガロアの原論文（「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」）を読むための３つのポイントは
１．ガロア分解式（リゾルベント）
　V=Aa+Bb+Cc+・・・
　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる
２．置換群のガロア記法
a b c d・・・・k
b c d・・・・k a
c d・・・・k a b
・・・・・・・・・・・
k a b・・・・・i

注）今日、置換は普通はコーシーの記法
（a b c d・・・・k）
（a b c d・・・・k）
（直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください）

（コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう）
http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf

>>28　つづき
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応

（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,

注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）

>>28-29　補足

１．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31

に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論　中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

>>30
>ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

下記藤原松三郎 代數學 P106あたりの記述が近いが、「ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応」という捉え方はしていない
http://www.rokakuho.co.jp/data/books/0026.html
代數學　　第二卷
A5／765頁　9450円（本体9000円＋税5%）　978-4-7536-0026-7
藤原松三郎（理学博士）　著

第十一章　がろあノ方程式論
1. 代數的數體／2. 方程式ノがろあ群／3. がろあ分解式ノ簡約／4. 代數的ニ解カレル方程式／5. 圓周等分方程式／6. あーべる方程式／7. 素數次ノ方程式

>>30
>ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

補足
ガロアの時代
今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算（積と和）で閉じた集合として捉えられていない

そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う

>>29
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）

１．この方程式は、例えば一般の５次方程式なら根の置換は１２０個あり
２．V、V'、V''、・・・・、V''*も、１２０個あり（５次の置換で異なる値をとるから）
３．F(x)は１２０次の方程式
４．そんなものを考えてどうなる？
５．どっこい、F(x)の１２０次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ

>>33
例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう

V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）を作ることができる

残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ

もうちょっと読みやすく

高校生の皆様、スレ主のインチキに引っ掛からないように気をつけてね。

>>35
激励ありがとう
残念ながら、複雑な数学記号が掲示板では使えない

例えば、置換のコーシーの記法は、２行にわたる括弧が必要だが、ここでは使えない
そこらの読みにくさはご容赦願いたい

その制約の中で出来るだけ分かりやすくを心がける

>>36
そうそう、よろしくね。怪しいところがあれば、指摘して
高校生の諸君は、図書館に
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3は、あるか
ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>2も是非併読を
それから、倉田令二朗ガロアを読む>>4があれば完璧かな

>>34　補足

差積と判別式は、下記に詳しい
ここでは、判別式は重根の有無を見分けるためと書かれている
しかし、差積（＝判別式の平方根）は、偶置換（＝交代群の置換）で値が変わらないということも重要なのだ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%A0%B9_(%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)

>>38 名前：１３２人目の素数さん ：2012/02/03(金) 07:19:19.91
>>それから、倉田令二朗ガロアを読む>>4があれば完璧かな

この「ガロアを読む」。誤植が多い様なきがします（第１刷）。最近の再版では
誤植はなくなったのでしょうか。

>>40
誤植か？　さあ？
まあ、おいらも初版なので、誤植に気がついたところをここにアップしてちょ
確認するから

>>38
そういえば、最近はコピー機などがあるから、面白いところをコピーすることも可だろう

>>33-34
補足

ガロア方程式という言葉は、倉田>>4のP110では
「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある
しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）をガロア方程式と呼びたい
それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから（ガロア論文で扱われているのはこれだ）

>>43
そして、判別式の平方根を添加することで
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)
と二つに分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した
F’’(x)：奇置換に属するものだけを取り出した
となる

>>44
そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば

ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x)
とp個に分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：ある部分群に属するものだけを取り出した
F’’(x)・・・・F’p(x)：ある部分群の共役に属するものだけを取り出した
となる

これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

>>45
補足

方程式のガロア群をGとすれば、ある部分群をHとして
G=H＋τ1H+τ2H+・・・・+τp-1H
と左剰余類に分割されるべき（倉田>>4 P139 式(7)）

ここに、τ1、τ2、・・・・、τp-1は、ご存知Gを剰余類分割するときに登場するGの要素
なので、部分群Hの位数は群Gの位数をPで割ったものになる

>>46
補足

なお、議論を簡単にするために
ここでは、念頭に置いているのは、一般の５次方程式で、ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）はkで既約で、重根を持たないと単純化している

ここもいずれ熊に飲み込まれるか・・・
また一つ、クソスレが死んだ

>>45
>これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

こう考えると、ガロアの原論文の意図が見えてくる
例えば、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について、上記のガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セットを念頭に解説する

というかこの３点セットを念頭にしなければ、なにを書いているか理解できまい

>>48
いや、猫いらずを撒いたので、熊はこない。よって、このスレはつづく

(・3・)

test

>>49　つづき

”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について

１．まず、（判別式の）平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む（ガロア）方程式の群（＝４次対称群）は２つに分解するという
　　これは、>>44に書いた通り
２．そこで、12個の置換群（これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが）
３．４次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す

a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a

これで、24次のガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）が
12次のF'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した>>44 に次数が下がった

>>53

a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a

この１２個の置換を含む群（＝４次の交代群）を立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる
そこで、３次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる

群は
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
に縮小し、ガロア方程式も４次式になる

>>54
群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる
あとは、ガロアが書いている通り
平方根を添加することでガロア方程式も２次式になり、４次方程式が解けることになる

ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか

>>54
訂正

立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる
　↓
縦４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる

>>55　補足
”群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる”

これは、クライン群などと呼ばれる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
また、交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。

>>55
>ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
>これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか

まとめよう
１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セット>>49が、ガロア理論の原型
２．そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る>>33-34
３．平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる>>43-44
４．同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる>>45-46
５．このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる
　　この様子を、ガロアは４次方程式について、解説しているのだ（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36）>>53-57

>>57-58
「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足

群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

はコーシー流（現代の群論の教科書はこれ）では、次の４つの置換で書く
（a b c d）
（a b c d）

（a b c d）
（b a d c）

（a b c d）
（c d a b）

（a b c d）
（d c b a）

ここで、一番上の置換は恒等置換でｅと書かれたりする

>>59　さらに補足
で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも

だが、群の分解を考えると
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる”ってところでメリットがでる

１．つまり現代のコーシー記法だと下記
（a b c d）, （a b c d）
（a b c d）, （c d a b）

（a b c d）, （a b c d）
（b a d c）, （d c b a）

２．しかし、こうも見ることができる
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （c d a b）

（a b c d）, （c d a b）
（b a d c）, （d c b a）

つまり、ガロアの記法は「１行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと
そして、上記２．の見方は、ガロアの記法の真骨頂
２．左の列の２番目は、（ab）と（cd）が入れ替わっている。これを番号に書き直すと（12）と（34）が入れ替わっている。右の列も同じく（12）と（34）が入れ替わっている。

そういう目で、もう一度>>53のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう

自分のホームページでやれ。

>>61
激励ありがとう
ここが、おいらのホームページだ

>>60　つづき
置換群のガロア記法>>28について、もう一つ見ておこう
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で

定理VII
n=5とせよ；群は次のようなものであろう：
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e

ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2
5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
となる

>>63　つづき
訂正スマソ　（５行目）
5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5
　↓
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5

第一番目の列
1 2 3 4 5,
2 3 4 5 1,
3 4 5 1 2,
4 5 1 2 3,
5 1 2 3 4,
が、長さ５の巡回群を表していることは見やすい

>>63　つづき

さて、第一行目は
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3

1 2 3 4 5に、巡回置換（2 3 5 4）を次々に行なっている
つまり、第一行目は巡回群（2 3 5 4）（＝長さ４の巡回群）と見ることができる

>>64-65　つづき

さて、第２列目を見よう
1 3 5 2 4,
3 5 2 4 1,
5 2 4 1 3,
2 4 1 3 5,
4 1 3 5 2,

第一番目の列の冒頭1 2 3 4 5,に巡回置換（2 3 5 4）を行なって第２列目の冒頭の1 3 5 2 4, が得られる
それをもとに、長さ５の巡回置換を上から順に行うと、第２列目全体が得られる

同じことを、第２列目に行なって>>63の第３列目が得られ、第３列目に行なって>>63の第４列目が得られる。

３行で分かるガロア理論

>>67
thx

>>63
>ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると

これで全くの間違いという訳ではないが、これではガロアの見ていたものは見えない
a→0, b→1, c→2, d→3, e→4の置き換えでなければならない

これだと下記になる
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4

>>69　つづき

第一番目の列
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64

だが、第一行目の見え方が違う
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2

これ、最初の順列を２倍したら次の順列で、それをさらに２倍したら次ということが見えるだろう
但し、mod 5(5を法として計算)でだが

ここは、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）の書き方から、もっと早く気づくべきだった

>>69　続き

0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4

で、例えば、左から３列目で、上から３つめの順列3 2 1 0 4を考えよう
これは、最初の順列0 1 2 3 4を、４倍して３を足せば（mod 5 で）得られるんだ

このことを、ガロアは第VII節と第VIII節で書いている

>>71
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993

ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい）
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

>>70　補足

”第一番目の列
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64”

ここも、これで間違いじゃないが、これではガロアの見ていたものは見えない
mod 5(5を法として計算)で見ないと

つまり、最初の順列
0 1 2 3 4に＋１をすると
1 2 3 4 0が得られる

そう見るんだ！
それでこそ、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述と整合してくる！

訂正スマソ

>>63
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e（５行目）
　↓
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e

5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5（５行目） (これは>>64で書いたが再録)
　↓
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5

>>69
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目）
　↓
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4

>>70
1 2 3 4 0（５行目）
　↓
4 0 1 2 3

>>71
1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目）
　↓
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4

>>73
1 2 3 4 0（５行目）
　↓
4 0 1 2 3

注）最初>>63で、アルファベットの順列のときに一箇所誤記があって、それに気付かず誤記が拡散してしまった。

>>74
もう一度正しい群を書き下しておこう

0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　（←　ここが訂正）

そしてガロアが見ていたものは
１．縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ

２．横に、第一番目の列の群
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と

３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば
ガロアが見ていたものは
Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+C
(ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)

>>75

「数学に直感を取り戻そう！」>>25
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26
複雑なことを図式化し、見える化する>>27
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）

ガロアの見ていたものが、少し見えてきただろうか？

>>32
>ガロアの時代
>今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない

補足（説明が不正確だった）

ガロアは、群を群に属する二つの置換S、Tの積STが群に属することは明記している。
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP27だ

この事情は、ガロアの群論　中村亨>>2のP211に詳しい
ただ、ガロアが現代群論のように、集合論を基本として、単位元、逆元、積で閉じた集合として群を考えていたわけではなかった
だが、方程式のガロア理論を語るには十分だった
ただ、他の人にそれを理解させるためには、群の概念を現代のように明確にした方が良いわけで、そこがガロアの現論文が分かりにくいといわれる原因になっている

ただ、>>75で見たように、置換群のガロア記法>>30は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う

>>62
これはひどい

>>78
”これはひどい”？
証明できるかね？

>>77
ガロアは群論の創始者であり、群論が一番有名だ
が、下記「ガロアへのレクイエム」や「近世数学史談」によれば、楕円関数論についても当時の時代を凌駕する研究をしていたようだ

山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/kojihas-jM.html
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)にお世話になりました。

近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
http://www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910

>>79
2chは個人のホームページじゃないよ

>>81
でももしそういう事をスル人が居るとして、ソレを阻止したり排除した
りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。

猫

>>82
いやあ、こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ
スレ潰しには猫召喚が一番さ

>>81
その証明には欠陥がある
”ここが、おいらのホームページだ”と言ったことで、果たして”個人のホームページ”になるのかどうか
その証明がなされてない

>>82
乙！

>でももしそういう事をスル人が居るとして、ソレを阻止したり排除した
>りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
>のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
>を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。

同意だ
”自分のホームページでやれ。”>>61の方がひどいし、荒しという考えもある

>>61の方がひどいし、荒しという考えもあるとして、ソレを阻止したり排除した
りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。

猫に

>乙！

ってレスする人を初めて見たｗｗｗ

>>85
>>86
いや、そうではありません。私は：
★★★『２ちゃんの運営側の管理者としての怠慢』★★★
を糾弾しています。誤解の無い様に願います。悪いのは決して>>61では
ありません。酷いのは２ちゃんの運営サイドですね。

猫

猫の方がひどいし、荒しという考えもあるとして、ソレを阻止したり排除した
りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル
のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策
を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。

これだけ大きくなってしまった２ｃｈを
簡単には運営できまい。
ボランティアが削除人をやっているのが現状だから。
だから、運営を批難する前に、２ｃｈを見なければ良いだけ。

見てしまったから撲滅するなんてのは、
理論的な思考とは真反対の、単なる、
自己愛性人格障害でしかない。

つまり、

「自分には数学の才能があるのに、
　数学者として十分に活躍できなかったのは、
　父親が悪いのだ」

などという自分勝手な妄想を固く信じているということは、
これはもう精神病である。
このような症状を、自己愛性人格障害という。

>>89
正に『そういう事』です。私を規制できないという時点で２ちゃんの運営
は敗北しています。つまり私のこの作戦行動の標的は実は貴方達ではなく
て『２ちゃんの運営サイド』という事になります。

猫

>>91
そう、俺は猫の敵でもなんでもないんだよ。

なあ、痴漢でクビになった寝取られ夫の猫さんやｗ

>>83
>こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ
>スレ潰しには猫召喚が一番さ

熊がこなければ良い>>48-50
それにせっかく来てくれた猫さんに
”こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ”なんてどういう言い草かね？

>>93
猫も熊も似たようなもんだってことだろう（爆

>>92
まあこうやって２ちゃんの運営に圧力を掛けてる積りなんですがね。

ケケケ猫

>>95
そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな

>>93
別に構いませんけどね。私の作戦行動の目的が２ちゃん（少なくともこの
数学板）の壊滅である事は貴方も知ってるでしょ。

猫

>>96
まあ「自由を獲得した」と言ったらどうですかね。

猫

>>98
本当にそこまでポジティブに思ってるなら、いつもの猫さんなら
HNを変えるところなんだけどねー

>>99
そんな事は別にどっちだっていいんですよ。唯言える事は、私は結婚なん
てもう二度と御免だという事ですね。

猫

>>75
では、本題に戻る

0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　

この位数20のメタ巡回群B'5 >>72
元吉文男氏は、これを利用して5次方程式の可解性の高速判定法を考えた>>72

つまり、5次方程式のガロア群がもともと位数20のメタ巡回群B'5 になっていることが、5次方程式が可解である条件なのだ
一般のガロア群S5の位数は120。120/20＝6次の式が、”P の中に根を持つならば元の多項式のP でのガロア群はB05 の部分群である”
ここに、Pは5次方程式の係数が属する体

もう少し精密には
体P 上の５次の多項式f(x) = x5-a1x^4+a2x^3-a3x^2+a4x-a5
x1, x2, x3, x4, x5 を不定元とし、
h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1 - x1x3 - x3x5 - x5x2 - x2x4 - x4x1 (1)
としたときに多項式
g = h^2
は、B'5 の置換で不変であり、A5 やS5 の置換では不変ではない。
g にS5 のすべての元を作用させたときに生成される多項式のうちで異なるものは６個

この６個を根に持つような６次方程式を考える
ここでは、アスキーベースなので、添字やべきがうまく書けないので、>>72の下記文献を見てほしい
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf

>>99
アゲときますから、カキコして下さいませ。

猫

ケケケ猫

>>101

”１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セット>>49が、ガロア理論の原型”と書いた>>58

>>44のアナロジーで言えば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　（120次）
は、方程式のガロア群が位数20のメタ巡回群B'5 になっている場合

メタ巡回群B'5に属する20個のV、V’・・・を取り出し
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：B'5に属するものだけを取り出した20次の式
以下、B'5の共役類に分けて
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・F’’’’’’(x)
のように、ガロア方程式F(x)（120次）が、20次づつ6つの式に分けられることがイメージできるだろう

これがガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか

>>96
貴方のご指示通りにハンドルネームを変えましたのよ〜ん。

猫ォ〜ん

>>96
アゲときますのよォ〜ん。

猫

>>105-106
猫さん、アゲご苦労さまです
寝取られ夫なんすか、そうですか
結婚なんてもう二度と御免だと
ご愁傷さまです

>>107
いいや、『唯単に学習しただけ』ですから。だからご愁傷様でも何でも
ないですね。親子という概念が全くの無意味なのは糞父のお陰で学習済
でしたけどね、でも結婚もそうだったと学習しただけですから。そもそ
も紙切れ一枚でお互いの自由を縛るなんて馬鹿げてますよね。

猫

>>107
ワシはアゲ猫

>>107
ワシはアゲ猫

>>107
ワシはアゲ猫

現代はフリーセックスの時代だよ

現代はフリーマセマテックスの時代だよ

猫

>>108-111
なるほど、学習ですか
それで、卒業証書をいただいたと

>>96
しつこくアゲときますのよォ〜ん。

猫

>96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47
> >>95
> そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな
>

>>115
よいHNをつけてやった俺に感謝してね♪

>>114
証書は貰ってません。唯単に懲りただけです。

猫

>>116
感謝してるから『こそ』、こうやって愛用してるんじゃないですか。

猫

>>96
しつこくアゲときますのよォ〜ん。

猫

>96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47
> >>95
> そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな
>

>>101
5次方程式の可解と非可解が、ある置換に関する６次方程式が解けるかどうかに関係すると
これは、ラグランジュもそれに近いところ（６次方程式が解けるかどうか）まで行っていた（山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」>>80 P185）

ガロアは、おそらくラグランジュを読んでいた
（例えば、（θ＋αθ1+α^2θ2+・・・++α^p-1θp-1））^p)をガロアは記しているが、これはラグランジュの分解式だ。（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36））

だが、”「自分の理論をラグランジュの理論から独立したものにしようと考えた・・」とエドワーズは述べている”（山下P271）
まあ、思うにラグランジュの理論の亜流とは見られたくなかったのかも

>>96
しつこくアゲときますのよォ〜ん。

猫

>96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47
> >>95
> そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな
>

ああ、スレが焼けて行くなァ〜

猫

>>83が正解でした〜

潰して欲しかったら何時でも依頼して下さいまし。

猫

>>124
いや、つぶしはご勘弁だが、定期的に上げて頂くのはありがたい
一日３回ご飯の時にしていただけるくらいでたいへん助かる
おそらく、ここにまともに書くのはおいらくらいだから

>>125
そうですか。ほんならワシが協力しますがな。

猫

ところで、その唯単に懲りた結婚と数学板との結びつきがいまいち理解できないが
Ａ.その女が数学教師だった、B.寝取った相手の男が数学教師だった、C.その他

答えにくければ、無理に答える必要はないが、どうよ？

>>126
ありがとう。よろしくね、感謝します！

>>127
全く関係がアリマセン。無関係です。

猫

>>127
その相手は東大出の一流商社マンですね。しかも凄いイケメンでね。そや
けどワシのココでの馬鹿潰し作戦は全く別の動機からですね。ワシは馬鹿
が死ぬほど嫌いなのでね。

猫

>>96
しつこくアゲときますのよォ〜ん。

猫

>96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47
> >>95
> そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな
>

>>129-130
乙です。無関係ね。よくわかりました。
”その相手は東大出の一流商社マンですね。しかも凄いイケメンでね”か・・・

プライバシーに立ち入って悪いけど
１．あんたの奥さん、そんなに魅力的だった（東大出の一流商社マンなら選択肢は複数ありそうに思うが）
２．あるいは、奥さんの方から仕掛けていった（東大出の一流商社マンだが、うぶだったのでイチコロ？）

そこらがイマイチ腑に落ちない・・
ま、ともかくよろしく

>>132
>”その相手は東大出の一流商社マンですね。しかも凄いイケメンでね”か・・・

そういえば、日本の総理大臣で、東大出でアメリカへ行っていたときに、人の嫁を・・・ってのがいたね
えーと、だれだっけ？　ハトなんとか・・・
東大出というのが共通項か・・・

すまん、プライバシーに立ち入りすぎた
ま、ともかくよろしく

>>132
そのどちらも違うみたいですね。でもソコから先は彼女のプライバシーなので、
従って私の口からは何とも。

猫

猫

>>133　ハトなんとか・・・

ああ　あの包茎バトるか？

美人妻と寝取れた猫w

美人東大生妻ヲ寝取ラれた猫ブタw

猫

猫

>>134
猫さん、乙！
そのどちらも違うみたいか・・

物理の現象で”近接作用”というのがある
男と女も近接作用だと。近くなれば、引き合うのが自然だと（数学板で物理の話をするのもなんだが）。おそらく、なにかのきっかけで近接作用が働く距離に近づいてしまったのかも

http://hooktail.sub.jp/welcome/enkakuKinsetsu/
遠隔作用・近接作用という考えは，物理学の発展と共に生じてきました．
ここでは，遠隔作用・近接作用とはどのようなものなのか，またそれらはどのようにして生まれたのか，について説明します．

近接作用の考え方とはどのようなものなのでしょうか．
『近接作用の力』とは，何らかの“場”を仲立ちとして生じ，作用する力のことを言います．

>>141
補足

いや、こんなことを書いているのも、うちの親戚でそんな話（猫さんみたいな）が実際あってね
一つは、従弟の嫁が浮気して離婚になった。子供が二人いたんだが

もう一つは、従妹が出産で実家に帰っている間に旦那が浮気。出産後に離婚。これは、旦那を寝取られたんだが
まあ、世の中いろんなことがある

幸い我が家は、まだそういうのはないんだが・・

さて、今日の本題は、「数学史 (数と方程式)」小杉肇
このP118にLagrangeの方程式論が詳しく書かれている
日本語の文献としては、Lagrangeの方程式論がもっとも詳しく書かれていると思う

http://mail2.nara-edu.ac.jp/~kawaken/zemi_kawaken.html
平成 13 年度は数学史を学生のみんなと一緒に勉強しました。教科書として「数学史 (数と方程式)」小杉肇, 槙書店, をゼミのみんなで輪読しました。
そのあと、各自興味のあるところをつっこんで探求してもらいました。

http://www.jbook.co.jp/p/p.aspx/1159113/s
数学史（数と方程式） 数学選書 小杉　肇
発行年月：1973年06月 発売元：槙書店

>>143　つづき
小杉のLagrangeの方程式論のP120-121（Lagrangeの分解式を用いて、(n-2)！次の方程式の解法にする方法が記されている（これは一般の５次方程式の場合には６次式になるが））
これが、 ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36のラグランジュの分解式>>120とそっくり

違いは、Lagrangeが一般５次方程式は当時まだ解けると思っていたのに対し
ガロアは、解けないと思っていたこと

>>144
つづき

結局、ガロアが言っている５次方程式が解ける条件は、Lagrangeの方程式論の言っている(n-2)！次の方程式が解けることと同じ？
いや、実際”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”P40には

”この次数１・２・３・・・（ｎ−２）の補助方程式が有理根をもつかもたないかを知れば十分である”などと書いている
そして、ガロアはラグランジュの理論の亜流とは見られたくなかった>>120から、ラグランジュを引用しなかったのだろうと

>>145
つづき

繰り返しになるが、Lagrangeは一般５次方程式は当時まだ解けると思っていた>>144
対して、ガロアは群論を編み出し、一般５次方程式は解けないこと
Lagrangeの分解式を用いて、(n-2)！次の方程式の解法が通用して、これが有理根を持つときのみ解けると看破した

結論は似ていても、群論を編み出したガロアが一段高いところから、方程式の解法を見ていたことは明らかだ
そして、ガロアの死後、群は方程式から抜け出して、独自の歩みを始めたのだった

>>142
マジレスするとですね、私の従兄弟は全部で５人居るんですよ。だから私を含
めて全部で６人なんですけどね。そんでその殆ど全員が浮気や離婚や家出や蒸
発みたいなのばっかりなんですね。妻子を打ち捨てて家出してミュージシャン
になったとかね。ほんでマトモな家庭を築いてるのは大学を出てない某君だけ
ですね。

まあウチはそういう家系ですワ。

猫

猫

>>147
>全部で６人なんですけどね。そんでその殆ど全員が浮気や離婚や家出や蒸
>発みたいなのばっかりなんですね。妻子を打ち捨てて家出してミュージシャン
>になったとかね。ほんでマトモな家庭を築いてるのは大学を出てない某君だけ

ああ、そうなんか
で、浮気、家出、蒸発は、原因はご本人さまなんだけど
猫さんの離婚は、相手に原因があるんだ
そういうことなんね

で、因みに、当方従妹の方はそのまま母子家庭で子育てしたんだが
従弟の方は、再婚して、それが結構若い人でまた子供ができたんだ
人生いろいろ、世の中いろいろだね

>>148
憎しみね
わからんこともない
自分がそういう境遇になったらどうなるか？

>>149
そうですか、なるほど。

猫

>>150
馬鹿が沢山居て、そういう下らない連中がこういう場所を用いて無責任
な発言を繰り返して世論を形成したりしたのも、日本のアカデミックが
崩壊した遠因になってますわね。まあ何れにしても馬鹿が寄って集って
日本のアカデミックをぶち壊したんですよね。だから今度は私がそうい
う馬鹿共のふざけた遊び場を焼き払う訳ですわね。

馬鹿がそういう境遇になったのは自己責任でしかない。従ってそんな事
に理解を示す必要なんて皆無。唯単に問答無用に打ち下されても文句な
んて言えない。いい加減にせよ。この世の中には馬鹿なんて必要ないん
だよ。

猫

>>149
まあ離婚に限らず、人間関係のトラブルならばどんな事柄であっても双
方に責任がありますからね。だからそんな事を言っても全くの無意味な
訳ですよ。加えてこの種の問題に関しては特に『他人は一切無関係』で
すからね。まあ私みたいな人は家族を持つべきではないですね。子供の
時に自分の目の前で見てた家族の姿は完全にアブノーマルでしたからね。
だから親子とか夫婦という概念が私の中では完全に崩壊してますから。

猫

>>143-146
さて、今日の本題は、>>4 ガロアを読む: 第1論文研究 著者 倉田令二朗
P206 第22節「ラグランジュとガロア」がある

１．ガロアがラグランジュの影響を受けているかどうかで２説あるという
２．一つは、ブルバキの立場で、ガロアはラグランジュの影響を受けていると
３．もう一つは、影響を受けていないと。これは、倉田令二朗先生の立場みたい
４．で、おいらは前者だな
５．P208に、ガロアが逮捕されてその釈放要求の記事が新聞に出たそうだが
　　ガロアは「ラグランジュの解釈できなかった困難を取り除くもの・・・」と記されていて
　　それは、一般人がガロア論文を理解できないからガロア自身の口から出た言葉だろうとある
６．実際、ガロア第1論文には、>>143-146に記したようにラグランジュの考察した６次方程式が出てくるわけで
　　ラグランジュの方程式論を群論という一段高い立場から見たという考えもありうるだろう
　　おいらはこれだな

>>152
＞この世の中には馬鹿なんて必要ないんだよ。

だな、猫なんてこの世に必要ないさ

>>152
>馬鹿がそういう境遇になったのは自己責任でしかない。従ってそんな事
>に理解を示す必要なんて皆無。唯単に問答無用に打ち下されても文句な
>んて言えない。いい加減にせよ。この世の中には馬鹿なんて必要ないん
>だよ。

なるほど
で、一つ質問

猫さんは、どの集合に属すると思っているのかな？　無理に答える必要はないけれど

１．馬鹿、２．Not 馬鹿、３．どちらでもない（物理でいうところのシュレーディンガーの猫状態（量子力学的状態））
http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity/contents/column5.html
これから、量子論の大難題といわれる「シュレーディンガーの猫」の問題を紹介する。

>>156
当然の事ながら『私自身は馬鹿』ですよ。だから私のレベル以下の馬鹿
を全部処分したら、ココからサッサと消えてあげるよ。この世の中は私
よりも優れた人達だけで運営されるべきですからね。馬鹿なんて必要あ
りませんよ、私の程度のレベルが最低限度ですよ。私以下は存在しても
全くの無意味ですから。

私のレベル以下の人なんて生きてても意味が無いよね。私でさえ低脳の
馬鹿なんだからサ。

猫

>>153
>まあ離婚に限らず、人間関係のトラブルならばどんな事柄であっても双方に責任がありますからね。

いや、ま、そうなんだが
実はこの前交通事故を起こしてね。車体車で物損で済んだが
過失責任の割合ってのが議論になってね
当方がかなり悪いんだ。でも、世間では（というか保険会社の言い分）、交差点の中の事故だから１００対ゼロはないと
結局、８５ 対 １５の比率になった
なので、双方に責任があるけれども、交通事故の場合には比率が議論される（離婚と交通事故を混同してどうするというかも知れないが）

>子供の時に自分の目の前で見てた家族の姿は完全にアブノーマルでしたからね。
>だから親子とか夫婦という概念が私の中では完全に崩壊してますから。

ああ、そうなんか
もし、それが結婚前からなら、嫁さんあんたの匂いを感じ取ったのかも。あるいは、女の直観かな

”東大出の一流商社マンですね。しかも凄いイケメン”>>130も理由の一つかも知れないが
女の本能か直感か知らないが、彼女は猫さんの心の深淵に気付いたのかもね・・

＞私の程度のレベルが最低限度ですよ。

んなこたーない。過大評価もいいとこ。
最低限度は、あんたのもっと上だよｗ

>>159
ソレでもいいでしょう。とにかく私を含めた全ての馬鹿は不必要で、優秀
な人だけが権限を持って政治や学問を動かすのが安全ですね。馬鹿は全部
去るべき。

猫

>>157
>当然の事ながら『私自身は馬鹿』ですよ。だから私のレベル以下の馬鹿
>を全部処分したら、ココからサッサと消えてあげるよ。

なるほどね。けど、あまりスレのレベルを計量しているようには見えないが・・、それはともかく
以前にお願いしているけど>>125、”一日３回ご飯の時にしていただけるくらいでたいへん助かる”と

他のスレをしっかり燃やしてもらって、このスレも毎日この程度燃やしてもらえると、良い焼け具合と思うんだよね
よろしくね

>>158
ソレは当然に気付いた筈ですよね。だから『彼女は極めて賢明な選択をした』
という理解が当然に可能ですね。実際、私に対して離婚を要求した彼女の行動
を私は褒めましたから。自分の意思をきちんと提示する、という意味も含めて
立派だと思います。

夫の言いなりにしかならない、という妻ではダメですから。

猫

>>161
話としては聞いておきます。従うかどうかは知らんけどね。

猫

>>163
猫さん、ども。お任せします。どうぞ、お好きに

>>164
何れにしても、私は唯単に自分が定めた作戦行動を作業として実行するだけ。
馬鹿は思いっきり打ち据えて、ソレを燃料として用いて馬鹿スレを焼き払い、
そして真面目な数学の議論だけを黙って見逃すだけ。だから任されるも糞も
ないですね。全てが私の自分からの判断でしかないのでね。

猫

>>162
いやー、猫さんの話は面白いね

>だから『彼女は極めて賢明な選択をした』という理解が当然に可能ですね。

二択の選択肢で、どちらかってことね
Ａ．猫さん＝”親子とか夫婦という概念が私の中では完全に崩壊してます”>>153と、のたまう男性と今後何十年と結婚生活が続けられるのか？
Ｂ．とりあえず”東大出の一流商社マンですね。しかも凄いイケメン”>>130

で、イケメンではないけれど、東大出の一流商社マンの方と仕事で関係したことがあった
一流商社と言っても、一人は住友商事、一人は伊藤忠だった
両方とも、東大法学部卒でね

まあ、優秀でしたけど
仕事の関係で、商社の表裏は分かりましたから
まあ、あまり家庭を重視できる仕事ではないですねと

彼女が本当に幸せになったかどうかクエスチョンだといっておきますが、確かに”親子とか夫婦という概念が私の中では完全に崩壊してます”といわれると引くよなと

>>165
乙です

>>166
なるほど。そりゃあ引くでしょうね。まあ私は数学には必要無いモノをドンドン
と削ぎ落として来ましたからね。特に邪魔した糞父を最初に処分したので。

猫

>>168
いやー、猫さんの話は面白いね

>まあ私は数学には必要無いモノをドンドンと削ぎ落として来ましたからね。

ふーむ
では、質問二つ

１．数学には必要無いモノをドンドンと削ぎ落として来て、現在まだ数学には必要無いモノは残っていますか？
２．数学には必要無いモノをドンドンと削ぎ落として来て、現在まだ数学自身残っていますか？

答えにくければ、無理に答える必要はないけれど・・

>>169
１．そういうのは常に沢山残ってますね。でも例えば糞父みたいに深刻な
　　癌でなければ、適当に放置しても然程は困りませんよね。
２．残ってると自分では期待してますけどね。でも他人から見たらどう見
　　えるかは私は知りません。でも他人の目は私には無関係なので。

猫

>>153 どのようにアブノーマルだったのですか？

>>171
１．糞父は毎晩の様に糞母を罵倒して殴る。
２．祖父母は冷戦。
みたいな話ですワ。何回も同じ話しをカキコするのは面倒なので。

猫

>>170
猫さん、早速の回答乙です
では、今日はこのへんで

そうですか。ではまた。

猫

猫

猫

ここはID出ないので、紛らわしいからコテつける。トリは省略します。>>1です。

>>172
>糞父は毎晩の様に糞母を罵倒して殴る。

猫さん、ども
うんうん、我が家でもあったね。毎晩でも無かったけどね。DVってやつね

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%A1%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%90%E3%82%A4%E3%82%AA%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9
「ドメスティック・バイオレンス」（英: domestic violence、以下DVと記述）とは、同居関係にある配偶者や内縁関係の間で起こる家庭内暴力のことである。
近年ではDVの概念は同居の有無を問わず、元夫婦や恋人など近親者間に起こる暴力全般を指す場合もある。
英語「domestic」は「家庭の」という意味なので日本語の「家庭内暴力」と同義に捉えようとする誤解も存在するが、
英語では日本語の家庭内暴力にあたる語は family violence と表現され使い分けられている。
（引用おわり）

男は不器用だから、DVでしか権威を保てなかったのかも
しかし、DVの程度の問題なのかね・・

>>170

また質問ですまんが

”残ってると自分では期待してますけどね。”とあるけど、専門は？
数学基礎論かな？

>>177
まあ『相手の人格を徹底的に無視して自分だけに屈服させる』という方法
論で自分の権威というかメンツを保とうとした糞父でしたね。私はそうい
う馬鹿を絶対に認める事が出来ない、という事ですね。

猫

>>178
悪いですが、ノーコメントとします。どうか悪しからず。

猫

猫

>>179
猫さん、乙です

>まあ『相手の人格を徹底的に無視して自分だけに屈服させる』という方法
>論で自分の権威というかメンツを保とうとした糞父でしたね。

そうだよね
うちもそうだったような

>>180
>悪いですが、ノーコメントとします。どうか悪しからず。

了解す

>>182
そういう人はこの国には極めて多いでしょうね。その事実そのもが日本
の家庭教育が歪められている事を如実に示していると私は考えています。
そういう考え方の親達を駆逐して行かなければ何も変わりませんよね。
加えて私の場合では：
★★★『そういう親に屈服して従う事が研究者としての基本的態度だ。』★★★
という間違った事を言ったので、だから私は自分の一生を掛けて徹底的
に打ち下しているだけです。コレだけは絶対に許せないので、従って本
人が死亡しても徹底的な糾弾が永遠に続くことになる訳です。

猫

>>183
人(親含む)がつくった家庭に文句つけるのは
自分が満足のいく家庭をつくってから。

夫婦でも家庭でも教育でも社会活動でも、
自分ができないくせに、他人にはうるさいな。

大学が、大学生を客として教員がサービスを提供する場で無いのと同じ理由で、
家庭も、親が子供にサービスする場では無い。
家庭が悪かったとしても、子供である自分にも責任はあり、親に一方的に文句が言えるものでも無い。
親が金出して大学いかせてやるという以上、
親の意見を聞くのは当然だ。
嫌なら、中学卒業したら、かってに家を出て働く選択肢だってあったはずだ。

自分が親になれば、そういったこともわかり、自分の親も
相対的に考えられるようになるはずだ。

猫には、他人に対する責任感というものが決定的に欠如している。
これではまともな家庭も教育も築けない。

>>184
私は被害者です。だから加害者を徹底して打ち据えてるだけ。また私自身
が家庭を持たないのはこの打ち据え作戦の一環。

猫

>>185
私はそういう考え方はしない。今後も加害者である糞父を徹底して打ち
据える活動を続行するだけ。あの馬鹿親を許すという考え方は最初から
皆無。問題はマトモかどうかの話ではなく、私は家庭を築くという考え
方が最初から皆無。コレはもはや可能不可能の問題ではない。子孫を残
さずに家の系譜を私が自ら打ち切るという行動を取る事が既に糞父に対
する報復活動の一環。

馬鹿な事をすれば、家系が断ち切られてしまうと認識するべき。

猫

科学者としての基本的な態度が聞いて呆れる。馬鹿も休み休み言え。この
糞低能の馬鹿父め。

猫

猫

猫『も』痴漢の鬼、猫は性犯罪者、猫は痴漢退職野郎・・ですか
なかなか、名前の多い方ですな
まるで怪人二十面相ですな
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%80%AA%E4%BA%BA%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E7%9B%B8
二十面相は「変装がとびきり上手」で、
「どんなに明るい場所で、どんなに近寄ってながめても、少しも変装とはわからない、まるで違った人に見え」、
「老人にも若者にも、学者にも無頼漢にも、イヤ女にさえも、まったくその人になりきってしまう」、
「本人にすら本当の顔がわからない」大怪盗。
（引用おわり）

まあ、このスレで気の向くまま遊んでいってください

>>154
では、猫さんとあそびつつ、今日の本題
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”P32

ガロアは、第II節で
定理　与えられた方程式に既約な補助方程式の１根rを添加するならば、（途中省略）
ガロア方程式が
f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・
とp個の因子に分解する場合がある
という

ガロア方程式については、>>33-34、>>43-45、>>47、>>53-55、>>58、>>104 で既に述べているので参考にしてほしい
ガロアは、現代風の集合論による体論はもっていなかったろう（類似の概念はあったろう）から、体論の代わりに上記ガロア方程式の因子分解を考えたのだろう
これが、ガロアが見ていた原風景だろうと思う

>>191　補足

”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP92の守屋の解説や、倉田令二朗「ガロアを読む」P135では、この第II節の記述は不正確だという
だが、倉田令二朗はまた、
「pが素数ならばガロアのすべての言明は完全に正しい。そして後に見るように、代数的可解性の条件についてのガロア理論はpが素数の場合だけでまったく十分なのである」（「ガロアを読む」P144）
と述べている

実際、倉田P144にも書いてあるが、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”P32の注には、はじめ”素数p次”ということばをおいていたとある

>>191-192　補足

現代風のガロア理論＝集合論による体論に基づき、”数体を基礎体（普通Q＝有理数体）から代数的数を添加した有限次元ベクトル空間への拡大と群の対応”と整理するのは、分かりやすい
しかし、それでガロアの原論文を読もうとすると、>>1にあるように
「現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしま」うということになる

その要因を分析すれば
１．一つは、置換の記法がガロア記法になっていること>>28-32、>>49、>>53、>>55、>>58−60、>>63、>>77
２．それから、上で述べた「体論の代わりに上記ガロア方程式の因子分解を考えた」ということ
３．さらに、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29

上記の３点セットが、「ガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか」>>104
そういう目で見れば、ガロアの原論文からガロアが見ていた原風景が見えてくる

>>193　補足
繰り返しになるが、上記ガロア記法については、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨に詳しい>>2ので、そちらをご参照

>>192　補足
>「pが素数ならばガロアのすべての言明は完全に正しい。そして後に見るように、代数的可解性の条件についてのガロア理論はpが素数の場合だけでまったく十分なのである」（「ガロアを読む」P144）

推定だが、ガロアは最初素数p次のべき根の添加を考えていたと思う
そして、その考察をどこまで拡大したか不明だが、倉田P144「おそらく決闘の前夜、読み返してみて、pが素数でない場合にも成り立つと考えて「素数p次」ということばを消した・・・のであろう」とある

二つの方向がある
素数p次から素数でない場合へ
べき根から一般の補助方程式へ

だが、素数p次のべき根の添加の場合は、話が簡単になる
素数p次のべき根に持つ方程式は、素数p次の二項方程式（例えばx^p=a　ここにaは有理数体の定数）
このとき、素数p次の二項方程式のガロア群は位数pの巡回群（一般的な巡回群の記法でCp 下記参照）となる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4　巡回群

だから、>>191 ガロア方程式が
f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・
とp個の因子に分解する場合
倉田令二朗「ガロアを読む」>>4P138の記法で、もとのガロア方程式の群Gとf(V,r)の部分群Hとの関係は、部分群Hは正規部分群になり商群G/Hが、巡回群 Cpになると
これが、ガロアの見ていた原風景
（但し、”部分群Hは正規部分群になり商群G/Hが、巡回群 Cpになる”ということを、もう少し一般化して、ガロア独自の（現代風でない）言葉で、第II節から第III節で述べられている。
　なお、第III節 が正規部分群に関する定理で、第II節 はその前段に当たる）

そして、繰り返しになるが、素数p次べき根拡大（最初）→一般の方程式の場合の拡大（決闘前夜？）となったのだろう
だから、第II節から第III節の著述が、不十分だという後世の数学者の言い分になり、また原論文を読む者の理解を難しくしている

>>195　補足
なお、素数p次のべき根の添加の場合は、その根を一つ添加することと、全てを添加することは同じになることに注意しておく
（素数p次のべき根を、繰り返し何乗かしてゆけば、素数p次の二項方程式の全ての根が得られるから）

>>193　訂正

１）
>>58−60
　↓
>>58-60

２）
>>63
↓
>>69-75 （ここは63に誤記があったんだ）

「数III方式ガロアの理論」P276で、矢ケ部 巌は、「足場を見せない数学はあっても、足場を組まない数学はない！」という（下記）

ガロアの足場は、現代風体論と群との対応理論ではなかった
ガロアは足場に、体論の代わりにガロア方程式の因子分解と、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29とを使ったのだ

http://www.amazon.co.jp/product-reviews/476870011X
数III方式ガロアの理論―アイデアの変遷を追って [単行本] 矢ケ部 巌 (著) 出版社: 現代数学社 (1976/06)

本書は多くの方々にお勧めできる、とても良質な数学啓蒙書と言える。現在、版を絶っているのはとても残念なことだ。

さて、このスレの趣旨は、「現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしま」う>>1に対して
なぜガロアの原論文が難解なのか、ガロアの見ていた原風景がどんなものだったのかを考えるスレなのだが

もう一つ>>76
”「数学に直感を取り戻そう！」>>25
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26
複雑なことを図式化し、見える化する>>27
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）”ということ

矢ケ部 巌は、「足場を見せない数学はあっても、足場を組まない数学はない！」という
確か、高木貞治が書いていたと思うが、ガウスは足場を見せないと
まあ、足場が邪魔というか美観を損ねるということはあるかも

しかし、一般の数学書の定義から始まって、定理を一つ一つ積み上げてという
最後まで辿れれば、高い立場から全体が見えるとしても
途中、なにをしているのかさっぱり（あたかも数メートル先しか見えない霧の山中を手を引かれて案内されているような）

では、その数学理論を作った例えばガロアがその著述の順で考えたかと言えば
おそらくそうではない
もっと直感的な理解をしていたに違いない

その直感的理解の原風景を見るというのも
このスレのテーマではある

”昔、イプシロンデルタが重視された時代があった”>>14
無限は、常識では考えられないことがあるから、ワイエルシュトラス流のイプシロンデルタだと
イプシロンデルタにあらずば、数学にあらずという時代があった

おそらくいまでも多少はあるのだろう（一時ほどではないようだが）
その後、勉強を進めると、ディラックのδ関数からそれを数学化した超関数や佐藤スクールの仕事が出てきた
そして、1990年にウィッテンがフィールズ賞を受賞すると、「なんだこりゃ？」という気になった
かれは、ほとんどの論文で数学的な証明を書いてない。だが、結論は正しい。彼は、物理的直感で数学的に正しい結論を出すということで、それでフィールズ賞をもらっちまったと（下記）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%89%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%86%E3%83%B3
ブランダイス大学時代は歴史学や言語学を専攻し、
1971年に卒業するとウィスコンシン大学マディソン校大学院で経済学を学ぶがすぐ辞め、プリンストン大学で当初は応用数学を、後に物理学を学び、デビッド・グロスの下で1976年に博士号を取得した。
その後ハーヴァード大学のフェローなどを経て、1980年から1987年までプリンストン大学物理学科の教授を務めた。
1995年に南カリフォルニア大学で開かれたスーパーストリング理論国際会議で、仮説M理論を発表し学会に衝撃を与える。物理学者であるが、数学界のノーベル賞と言われるフィールズ賞を受賞。2008年にクラフォード賞、2010年にローレンツメダルを受賞。
両親も物理学者で父親は著名な相対性理論の研究者。ネーサン・サイバーグとは友人で共同研究者。米制作ドキュメンタリー「美しき大宇宙」（原題：The Elegant Universe）に出演している。

http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Witten
（こちらの英語版の方が面白いよ）

>>200
そのときから、目からウロコというか、数学観が変わった
定理を一つ一つ積み上げるのが数学、それも数学の一面ではあるが
もっと、取り除かれた足場も想像しながら、全体的直感的な理解をするのが良いのではないかと

>>200
>かれは、ほとんどの論文で数学的な証明を書いてない。だが、結論は正しい。彼は、物理的直感で数学的に正しい結論を出すということで、それでフィールズ賞をもらっちまったと（下記）

これも高木貞治が書いていたと思うが、オイラーも直感的に級数の収束が分かったのではないかと
オイラーは、おびただしい無限級数の計算をしているが、計算結果は正しいと

>その後、勉強を進めると、ディラックのδ関数からそれを数学化した超関数や佐藤スクールの仕事が出てきた

ディラックのδ関数は、ヘビサイドのY関数を微分したもの
というか、いまやδ関数を積分すればY関数になると言った方が早いか。しかし、歴史的にはヘビサイドのY関数が先

http://www.geocities.jp/signalintegrityjp/signal-history.htm
19世紀の後半、16才までしか教育を受けず、その後電信技士となっていたイギリス人ヘビサイド(Oliver Heaviside, 1850-1925)は1873年に出されたマクスウエルの本「電気磁気論」に触れてから24才で田舎に引っ込み独学し、
線路を伝わる信号の時間応答を示す、式1の電信方程式をまとめました。
ヘビサイドは微分方程式が簡単な代数に置き換えられる演算子法という方法を考え出しました。現在ラプラス変換として広く使われている方法です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E6%B3%95
演算子法

>>202
δ関数もY関数も演算子法も、最初は数学的厳密性に欠けると言われた
だが、その結論は正しく、有用であったから、後に数学的基礎付がなされたのだった
そして、数学的基礎付がなされた後、それらの数学理論はさらに発展した

そういう歴史を知ると、”定理を一つ一つ積み上げるのが数学、それも数学の一面ではあるが
”取り除かれた足場も想像しながら、全体的直感的な理解をするのが良いのではないかと”>>201という結論になる

そして、δ関数やY関数や演算子など、新しい視点で全体像を見やすくする
そういうことも大事なのではないか？

”置換群のガロア記法>>30は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う”>>77と書いた
そして、抽象的体論の代わりに、直感的なガロア方程式とその因子分解>>191と、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29と、置換群のガロア記法とにより
直感的にガロア理論の全体像を描いていた・・・、ガロアの見ていた原風景をそういうように理解できるのではないだろうか

大統一理論はいつ完成するの？

そのうち。

猫

>>203
大統一理論ね
ウィッテンは、M理論を1990年代に21世紀の理論だと言ったとか
だから、M理論は21世紀に完成かも

>>205
猫さん、age乙です
また、名前が変わりましたね

はあ。

猫

>>203
「物理数学の直観的方法　〈普及版〉 (ブルーバックス) [新書] 」
つい書店で買ってしまった

以前書店で長く置かれていたので、ロングセラーだったんだろうね
しかし、 (ブルーバックス)がこんなのを出す時代かね？

ともかく、直感だ全体像だと書いた直後だったから
あっと思った次第

このスレを直観的方法のガロア版だと思ってもらえれば・・、と長沼先生に怒られるかね
いや、当時（ハードカバーの）この本は読んだけど買わなかったんだが

しかし、学生さんにはいい本です

http://www.amazon.co.jp/product-reviews/4062577380/ref=cm_cr_dp_all_summary?ie=UTF8&showViewpoints=1&sortBy=bySubmissionDateDescending
物理数学の直観的方法　〈普及版〉 (ブルーバックス) [新書] 長沼 伸一郎 (著)

>>208
ところで、猫さん、趣味はないの？

>>210
数学とか物理以外には好きなものは余りありませんね。

猫

>>60>>75

ガロア記法のコーシー記法に対し優れているところを再度記しておこう
１．記述がコンパクト（コーシーでは順列を二つ使うがガロアは一つで済ます）
２．記述がコンパクトだから、部分群が見える
３．記述がコンパクトだから、自分でいろいろ試して書いて見るのに楽（足場の構築>>198）
４．群の共役の記述がシンプル（コーシー記法ではH = gKg?1と書かなければいけないが（下記参照）、ガロア記法はgを左様させるだけで良い>>195。だから、正規部分群に早く気付いたのかも）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E5.85.B1.E5.BD.B9
部分群 H, K に対し、H = gKg?1 となる g ∈ G が存在するなら、二つの部分群 H, K は互いに共役であるという。

>>211
なるほど
ゲームはやらないの？

>>212
訂正

４．群の共役の記述がシンプル（コーシー記法ではH = gKg?1と書かなければいけないが（下記参照）、ガロア記法はgを左様させるだけで良い>>195。だから、正規部分群に早く気付いたのかも）
　↓
４．群の共役の記述がシンプル（コーシー記法ではH = gKg-1と書かなければいけないが（下記参照）、ガロア記法はgを作用させるだけで良い>>195。だから、正規部分群に早く気付いたのかも）

>>213
ゲームとかの、そういう人間が恣意的に作った遊びは大嫌いです。

猫

>>213
佐藤ゲーム（マヤゲーム）の
話を聞いたことがあるけど
あれは面白いね。

>>216
マヤゲームか
知らなかったが、下記ね。佐藤先生は数理ゲームが好きだったのかも・・

http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/108205
タイトル: マヤ・ゲームの数学的理論 : 佐藤幹夫氏講演 (計算機によるゲームとパズルをめぐる諸問題研究会報告集) 榎本 彦衛 Sep-1970 京都大学数理解析研究所

http://mathsoc.jp/publication/tushin/1403/1403oono.pdf
書評 佐藤幹夫の数学 - 木村達雄編日本評論社2007年 近畿大学理工学部大野泰生

三山崩しから始まって佐藤のゲームとマヤ代数の解説をされている対談では，説明のために紙に描かれた絵がそのまま収録されていて，まるで直々に解説を伺っているような感覚になる．

>>215
>ゲームとかの、そういう人間が恣意的に作った遊びは大嫌いです。

ああ、なるほどね
もっと面白いことがあると

>>218
だって数学というモノは神様が創った壮大な作品ですからね。だから人
造物なんかとは比較になりませんよ。

猫

>>218
いや、ゲームを聞いたのは、直感と右脳の話に関係があるんだ
以前、将棋の羽生善治の脳の働きを調べたら、右脳を使っていたという

将棋のアマは左脳で考え、プロは右脳で考えるともいう
昔、原田泰夫八段が、「この程度の変化は一瞬で浮かぶ」というのをNHK将棋の解説で言っていた
同じことを、囲碁のプロもいう。手どころの変化は、ある程度の定型は一瞬で浮かぶと。手を読むというより、右脳が図形的に処理しているんだろう

左脳は、言語脳とも言われ、論理の積み上げで判断を下す
対して、右脳は図形的直感的な判断をするという

数学もプロは、右脳で考えているんじゃないだろうかと（直感的に結論が分かる）
まあ、下記のブログなどはかなり怪しいことを書いているが、気分は出ていると思う

http://members.jcom.home.ne.jp/the-cosmos/brain.html
右脳を使えば生き方が変わる

もっと右脳を使う必要があります。右脳を使うと脳内モルヒネがどんどん出てきます。

右脳を使う生き方をすれば、人間はどんなつらい状況でも前向きに考えて生きられるのです。

不快にも否定的にもならずに生きられれば、今健康な人はますます健康になる。

若さを保つこともできるようになります。

また、右脳を使うと心が落ち着き、争い事もぐっと少なくなる。

そうすれば、ほうっておいても世の中は良い方向へと向かい始めるでしょう。

どうすれば右脳をもっと使えるのか。

>>219
>だって数学というモノは神様が創った壮大な作品ですからね。だから人
>造物なんかとは比較になりませんよ。

確かにね
NHKの番組で、以前リーマン予想についての番組があった（こいつは見逃したのでDVDで見た）

リーマン予想に関しゼータ関数の非自明な零点分布（の間隔）が、ダイソンの研究していたランダム行列の固有値の分布（間隔）と一致するという結構有名な話題が取り上げられていたね
量子カオスとも関係していると。不思議なこともあるものだね

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/246_riemann.htm
［２］リーマン予想と量子物理学との関連
　これらのことにより，ゼータ関数の零点分布がランダム行列理論で得られる関数で表されることは予想されていたのですが，近年，ルドニックとサルナックはこれを部分的に証明したという・・・．

　このようにゼータ関数の零点を作用素のスペクトルと関連づけて解釈しようとする数論の新しい動きを総称して「数論的量子カオス」と呼ばれます．
素数を周期軌道，零点を固有値と読み変えることによって，ゼータ関数が仮想的な量子系を表現していると考えることができるというのです．

　リーマン予想の証明では，このようなゼータ関数の零点が固有値となるような演算子をつきとめるというヒルベルト・ポリヤ以来の行列の固有値方面からのアプローチがあげられるのですが，
フランスの数学者コンヌは，それとは逆に，量子物理のアイディアからリーマン予想を証明しようとその可能性を追求しています．コンヌのアプローチはそのような演算子を実際に構成するというものです．

　コンヌはリーマン演算子が作用する対象として非常に変わった空間を構築しました．アデールとはすべてのｐ進数体Ｑp｛Ｑ2，Ｑ3，Ｑ5，Ｑ7，・・・｝と実数体Ｒから成るのですが，
それぞれに素数を内蔵していてすべての素数を備え，同時に２進数であり３進数でありかつ実数でもあるような仮想的な数体系となっています．

　コンヌは有理数体Ｑのアデール環ＡをＱの乗法群Ｑ~で割って得られる非可換空間Ａ／Ｑ~を基にして

　　リーマン予想　←→　Ａ／Ｑ~に対して跡公式が成り立つ

を示しました．

では、今日はこのへんで

量子カオス理論て最近はどうなの？

>>223
さあ？
quantum chaos Riemann でぐぐると　下記などがヒットするけど？

http://www.bourbaphy.fr/keating.pdf
Seminaire Poincare XIV (2010) 115 { 153 Seminaire Poincare
Quantum chaos, random matrix theory, and the Riemann zeta function 2010

http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry154.pdf
RIEMANN'S ZETA FUNCTION: A MODEL FOR QUANTUM CHAOS? M.V.Berry.

そうそう、これ面白いね。図が多くて。それに2011年と新しいようだ
http://www.dhushara.com/DarkHeart/RH2/RH.htm
Experimental Observations on the Uncomputability of the Riemann Hypothesis　Chris King　Mathematics Department, University of Auckland

>>195-197
さて、今日の本題

>だが、素数p次のべき根の添加の場合は、話が簡単になる
>だから、>>191 ガロア方程式が
>f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・
>とp個の因子に分解する場合
>倉田令二朗「ガロアを読む」>>4P138の記法で、もとのガロア方程式の群Gとf(V,r)の部分群Hとの関係は、部分群Hは正規部分群になり商群G/Hが、巡回群 Cpになると
>これが、ガロアの見ていた原風景
>（但し、”部分群Hは正規部分群になり商群G/Hが、巡回群 Cpになる”ということを、もう少し一般化して、ガロア独自の（現代風でない）言葉で、第II節から第III節で述べられている。
>　なお、第III節 が正規部分群に関する定理で、第II節 はその前段に当たる）

素数p次のべき根の添加の場合は、上記。そして、素数でないべき根は、素数p次の議論を繰り返し適用すれば良いことは簡単に分かる
そこで、素数p次の一般の（二項方程式でない）場合の補助方程式g(x)の根rが添加されて、f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・のように分解される場合を直感的に説明する

まず、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・はガロア方程式>>33-34
つまり、>>28ガロア分解式（リゾルベント） V=Aa+Bb+Cc+・・・ 　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように決める

V、V'、V''、・・・・、V''*　（もとの既約方程式の根　a,b,c・・・を置換してできる値の異なる全ての式。（元が一般５次方程式なら120個の式））
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　（元が一般５次方程式なら120次の式）

この場合、V、V'、V''、・・・・、V''*は、互いに他の一根の有理式で表されるという性質を持つことに注意しておこう　（元の根a,b,c・・・もVの有理式で表される）
（これは、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)のガロア論文 P28の補題IIIに相当する）

>>225
さて、ここは、
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)では、守屋がP101から111までをかけて延々解説している

この要点だけをつまむと
１．f(V,r)＝（x-V1）（x-V2）・・・（x-Vn） (上記V、V'、V''、・・・・、V''*を一般性を失わずに並べ替えて、V=V1、V'=V2・・・と書き換えた)
２．g(x)=(x-r1)(x-r2)・・・(x-rm) (上記r,r',r''・・ をr=r1,r'=r2,r''=r3・・・と書き換えた。なお、再度強調するが、g(x)は素数p次の既約式)
３．F(x)が２の根rの添加でF(x)＝f(V,r)q(V,r)と分解されたとする
　　ここに、F(x)、g(x)は体Q（有理体）、f(V,r)、q(V,r)はQ（r）(有理体にｒを添加した体)に属するとする
４．逆に見ると、Q（r）に属する二つの式f(V,r)、q(V,r)の積が、有理体QのF(x)という式になるためには
　　f(V,r)q(V,r)の中に、g(x)の全ての（m個の）根r1、r2、・・・、rmが含まれていないとまずい
５．つまり、F(x)=(f(V,r1)xf(V,r2)x・・・xf(V,rm))x(q(V,r1)(xq(V,r2)x・・・xq(V,rm))となっているべき
　　別の見方をすると、F(x)の右辺はg(x)の全ての（m個の）根r1、r2、・・・、rmの対称式になっていないと、有理体QのF(x)にならないと
６．そこで、改めて、f(V,r1)＝f(V,r1)xq(V,r1)と書き直せば、ガロア論文のP32　第II節の因子分解が得られる
　　また、対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだと

これが、直感的な説明で、ガロアの見ていた原風景ではなかったか

>>196
>（素数p次のべき根を、繰り返し何乗かしてゆけば、素数p次の二項方程式の全ての根が得られるから）
これ違うよ。

>>227
>>（素数p次のべき根を、繰り返し何乗かしてゆけば、素数p次の二項方程式の全ての根が得られるから）
>これ違うよ。

ああ、指摘ありがとう。違ったね

（訂正）
１．素数p次のべき根は、その一つのべき根に、素数p次の１のべき根を繰り返し何乗かしてゆけば、素数p次の二項方程式の全ての根が得られる
２．だから、素数p次のべき根の添加の場合は、その根を一つ添加することと、全てを添加することは同じになる
３．なお、そもそも代数的可解性の原則をいう場合は、「しばしば１の累乗根は既知」（倉田など）とされるのだった
　　（倉田 ガロアを読む>>4 P72　あるいは、下記）
http://homepage2.nifty.com/cakravala/
数学史の自習室 - History of Mathematics
http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf
A History of the Theory of Equations (2002) 方程式論の歴史（平成１４年）
の P26 代数的可解性の原則　（ここでは暗黙裏に１の累乗根は既知としている）

>>226
>アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)では、守屋がP101から111までをかけて延々解説している

ここで、守屋の解説を読むときの注意を少々
１．守屋の解説は、最初(P102で)
補助方程式 g(x)=(x-β1)(x-β2)・・・(x-βm)
ガロア方程式 f(x)=(x-θ1)(x-θ2)・・・(x-θn)
としている

２．そして、ようやくP110で
「ガロア分解方程式　f1(x)=0の任意の一つの根Vの整式・・・」とガロア論文の本文のVとの関連が
「f1(x)はkで既約であるが、kにrを添加した体k(r)・・・」とガロア論文の本文のrとの関連が
出てくる

３．いや、おそらく守屋はなにか群論のたね本があって、それで g(x)=(x-β1)(x-β2)・・・(x-βm)とf(x)=(x-θ1)(x-θ2)・・・(x-θn)で一般論を展開して
その特別の場合として、ガロア論文との関連をつけて、「はい、終わり」というつもりなんだろうけど、それが見えるまでがなかなか道中が長い

>>228　参考
代数的可解性の原則で下記がヒットしたね

http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-776.html
2009-09-20-Sun 新しい数学史を求めて(105) 情緒の数学史(45)代数的可解性の基本原理をめぐって
（抜粋）
低次数の円周等分方程式でしたらラグランジュの論文「省察」にも出ていて、ごく簡単な工夫で代数的に解かれていましたが、その工夫を適用できるのは円周等分方程式に対してのみでした。
これに対しガウスが示した手法はどれほど高い次数の円周等分方程式にも適用可能ですし、しかもいっそう根源的に、
そもそも方程式が代数的に解けるというのはどのようなことなのかという根本原理が明示されているのですから、ラグランジュが驚嘆したのも無理からぬことでした。
　ルフィニに欠如していたのはこの根本原理で、そのことがそのままルフィニの「不可能の証明」の欠陥になりました。
アーベルはといえばガウスに学んでこの原理を理解して自分のものにしていましたので、「不可能の証明」に成功するとともに、ルフィニの失敗の原因もすぐにわかったのでした。
「不可能の証明」の正否を分けたのは代数的可解性の根本原理の認識なのであり、これを欠いていたのでは「置換の理論」なども働く余地がありません。
ガウスは別格で、アーベルの証明はガウスの目にはあたりまえのことのように映じたことでしょう。
では「省察」を書いたラグランジュはどうかと言えば、ラグランジュは「省察」のころから一般方程式の代数的可解性に確信があったようで、しかもその確信はガウスが円周等分方程式を代数的に解く様子を見てますます強固になったのではないかと思います。
ラグランジュの二通の手紙を読むと、そんなラグランジュの心情がありありと伝わってきます。

>>230　参考追加

http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-292.html
2008-04-26-Sat （ガウス32）アーベル方程式とガロアの第一論文
（抜粋）
代数方程式論を語るうえで、夭逝してフランスの数学者エヴァリスト・ガロアの名を逸することはできませんが、そのガロアの理論を理解するためには、それに先立ってアーベルのアーベル方程式論を一瞥しておかなければなりません。

　ガウスが考察した素数次数の円周等分方程式は巡回方程式でした。すなわち、次数nは素数とするとき、円周等分方程式のn個の根は、
《ある任意次数の方程式の根は、すべての根がそれらのうちのひとつを用いて有理的に表示されるという様式で相互に結ばれているとしよう。そのひとつの根をxで表わそう。
また、さらに、θ(x)、θ1(x)は他の任意の二根を表わすとするとき、
　　θ(θ1(x))=θ1(θ(x))
となるとしよう。このとき、ここで取り上げられている方程式はつねに代数的に可解である。》

　この命題では、「アーベル方程式は代数的に可解である」ことが主張されています。これもまた数あるアーベルの定理のひとつです。
　代数的可解性を左右する根源的な要因は「諸根の相互依存関係」にあります。この認識はガロアもまた共有し、代数方程式の代数的可解性をテーマにした第一論文
　「方程式が冪根を用いて解けるための条件について」において、
《冪根を用いて解ける方程式のどれもが満たし、しかも逆に、その可解性を保証するひとつの一般条件》をみいだすことに成功しました。

第一論文からここまでの部分を抽出して精密に展開すれば、今日のいわゆるガロア理論が手に入ります。
他方、ガウスが円周等分方程式を解いていく道筋を忠実に再現すれば、そのままガロア理論が出現するという事実もまた注目に値します。
アーベルはガウスの理論の根幹をなす数学的思想の泉から直接、アーベル方程式の概念を取り出しましたが、ガロアはガロアでガウスの理論の「証明の構造」を学び、ガウスの理論をその雛形と見ることを可能にする大きな理論を構想したのでした。
　ガロア理論により、素次数既約方程式の代数的可解性の判定条件が手に入ります。

　ガウスに端を発し、アーベルが洞察した代数的可解性の基本原理は、ガロアに継承されてひとつの完結した姿形を獲得したのでした。

>>231
>ある任意次数の方程式の根は、すべての根がそれらのうちのひとつを用いて有理的に表示されるという様式で相互に結ばれているとしよう。

たぶん、これとの類推で、ガロアは

>>43
「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある

のような方程式を考えたんだと思う。

>>232
なるほど
ご指摘ありがとう

>>225-226
さて、>>225から再録

素数p次の一般の（二項方程式でない）場合の補助方程式g(x)の根rが添加されて、f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・のように分解される場合を直感的に説明する
まず、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・はガロア方程式
つまり、>>28ガロア分解式（リゾルベント） V=Aa+Bb+Cc+・・・ 　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように決める

V、V'、V''、・・・・、V''*　（もとの既約方程式の根　a,b,c・・・を置換してできる値の異なる全ての式。（元が一般５次方程式なら120個の式））
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　（元が一般５次方程式なら120次の式）

この場合、V、V'、V''、・・・・、V''*は、互いに他の一根の有理式で表されるという性質を持つことに注意しておこう　（元の根a,b,c・・・もVの有理式で表される）
（これは、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)のガロア論文 P28の補題IIIに相当する）

>>226から再録
１．f(V,r)＝（x-V1）（x-V2）・・・（x-Vn） (上記V、V'、V''、・・・・、V''*を一般性を失わずに並べ替えて、V=V1、V'=V2・・・と書き換えた)
６．そこで、改めて、f(V,r1)＝f(V,r1)xq(V,r1)と書き直せば、ガロア論文のP32　第II節の因子分解が得られる
　　また、対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだと
（再録おわり）

１．さてここで、ガロアの置換とVの対応を思い出そう>>29　（アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) P31の記述）
２．ガロアの>>29の置換の定義では、V1、V2、・・・、Vnはそれぞれ置換と対応していたのだ
３．だからf(V,r)＝（x-V1）（x-V2）・・・（x-Vn）から、n個の置換が見える
４．同様に、f(V,r')＝（x-V'1）（x-V'2）・・・（x-V'n）などと書け、これはまたn個の置換に対応する（V'1、V'2、・・・、V'nは、V、V'、V''、・・・・、V''*から選び出して並べ直すとして）
５．この繰り返しで、群の分解が見える

>>234　つづき

１．つまり、補助方程式の根rの添加で、元の方程式の根から作られたV=Aa+Bb+Cc+・・・ で、元の方程式のガロア群をGとして
２．根の置換とV、V'、V''、・・・・、V''*　（もとの既約方程式の根　a,b,c・・・を置換してできる値の異なる全ての式。（元が一般５次方程式なら120個の式））が対応して）
３．F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　（元が一般５次方程式なら120次の式）が、分解し
４．その分解の様子は、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・となり、対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだと
５．F(x)の分解に対応して、f(V,r)＝（x-V1）（x-V2）・・・（x-Vn）でV1、V2、・・・、Vnに対応する置換を集めてくる（それらの置換を例えば、g1、g2、・・・、gnなどすればイメージがわくだろう）
６．これを繰り返せば、F(x)がn個つづの積に分解され、それに対応して元の方程式のガロア群Gもn個つづに分解される

これが、ガロアの見ていた原風景だろうと
対称式の要請から、f(V,r1)、f(V,r2)、・・・、f(V,rm)は次数はもちろん式の形も同じだとすれば、分けられたn個の群の部分も同じ構造を持つだろうと、直感的に納得できるのでは？
つまり、群論の言葉でいえば、元の方程式のガロア群Gが部分群Hによって分解され、剰余類分割されると

繰り返しになるが、ガロアは
１．ガロア分解式（リゾルベント） V=Aa+Bb+Cc+・・・
２．ガロア（分解）方程式 F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　
３．V、V'、V''、・・・・、V''*と置換との対応>>29

をセットにして、この３つを通して見ることで、ガロア群Gがrの添加で分解する様子をイメージしたのだろうと思う>>234

お、ウマそうなスレ発見したぞｗｗ

>>235
補足

現代風集合論による体論を持たなかったガロア
だが、上記のガロアの発明：ガロア分解式、ガロア（分解）方程式、V、V'、V''、・・・・、V''*と置換との対応>>29
をもって、直感的に方程式の根の置換によるガロア群と、その補助方程式の根rの添加による分解を直感的に把握した
そして正規部分群の発見から、素数次の既約方程式が解ける条件の把握へ進んでいった

現代風集合論による体論を持たなかったがゆえに、自身の（ガロアの）発明を通してもっともっと直感的に、方程式のガロア群とその分解を把握した
そのように考えられるのだ

>>236
βさん、乙す
よろしくね

「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」

180ページ足らずで、4,725円。高すぎる・・・

>>239
ふむ、おいらのは昔だから2200円だけど
ただ、ページ数じゃないんだよね。どれだけ楽しめるかだ

それと、どこかの図書館で借りる手もあるし
古書を買うてもある

ガロアの論文の部分だけなら十数頁だけど
解説がある方が面白い

矢ケ部巌さんのやつ？

>>240-241
>矢ケ部巌さんのやつ？

いや、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」の方
2200円と書いてある。いつ買ったか忘れたが

補足
古書だと、本に書いてある値段をもとにするから、古い定価の本だと安い可能性があるよ

>>243
> 古書だと、本に書いてある値段をもとにするから、古い定価の本だと安い可能性があるよ

理工系専門の明倫館や四方堂みたいに専門分野をもっている古書店だと
自分とこの専門分野の書籍に関しては品切れ・絶版の情報や需要を把握しているから
表示されている元の定価とは関係なく、タイトル毎の価値（需要と供給のバランス）に合わせて
値付けをしているから、そういう事はないけどね。

専門知識のない街の古本屋さんやブックオフでは元の定価ベースで値付けしてるケースは確かに少なくない。

>>244
乙す

明倫館はよく行ったね。岩波と三省堂とを、はしごした。数学関係は１Fの入ったところだね。B1が工学系で。数学の書籍も何冊か買った
四方堂は知らなかったが、通販ベースみたいだね

四方堂の中で、「現代数学の系譜」で検索すると下記２件ある
http://www.shi-ho-do.com/home.php
142
現代数学の系譜１１　アーベル・ガロア群と代数方程式
アーベル／ガロア
守屋美賀雄
共立出版　箱無日付
1976 2刷
1,575円

56717
現代数学の系譜１１　アーベル・ガロア群と代数方程式
アーベル／ガロア
守屋美賀雄
共立出版
1975 1刷
2,625円

>>245　補足

http://www.shi-ho-do.com/home.php?page=shihodo
■四方堂書店の自己紹介
昭和24年に神田の古本街に店をオープンして以来４４年間、多くのお客様に親しまれながら商売を続けて参りました。
諸事情もあり平成５年に店を閉めましたが、お客様からの根強い要望と、「良書を安価にてご提供させていただきたい」という思いで、ホームページを開設いたしました。
（引用おわり）

ああ、写真があるね。思い出したよ
一度入ったと思う。ただ、おいらは明倫館が主だったな
明倫館を出て、表通りを歩いて三省堂へ行く途中にあったよね

>>234-237

素数p次の一般の（二項方程式でない）場合の補助方程式g(x)の根rが添加されて、f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・のように分解される場合は、上で述べた
素数p次なので、補助方程式g(x)の根r、r'、r''・・・はp個ある

（一応話を簡単にするために、特に断らなければ基礎体をQ（有理数体）とする）
ガロア方程式F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・と分解されて、F(x)の係数がQ（有理数体）だから、f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・は対称式（p個の根r、r'、r''・・・の）でないとまずい

つまり、f(V,r)、f(V,r')、f(V,r'')・・・などは次数はもちろん式の形も同じになっていないと対称式（p個の根r、r'、r''・・・の）にはならないので、そうなっていると
つまり、f(V,r)、f(V,r')、f(V,r'')・・・はｐ個ある

さて、今日の本題は、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) P33　第III節
定理　もしも方程式に一つの補助方程式の根のすべてを添加すれば、定理IIで問題となっている群はさらに次のような性質をもつ、すなわち、各群において置換は同一である
と

これが、ガロアの発明の偉大な正規部分群の定理だと
守屋の解説P111や倉田（P142）も書いているが、補助方程式の根のすべてを添加する＝補助方程式の根でガロア分解式を作って、それを添加するのと同じだと

ガロア分解式を作るというのは>>235の１から３をやるわけで、
具体的には、U=A'r+B'r'+C'r''・・・

>>247 つづき

（スマソ、途中で誤操作で投稿してしまった）

具体的には、U=A'r+B'r'+C'r''・・・　で　A'、B'、C'・・・はQ上の定数でUの値が、p個の根r、r'、r''・・・の全ての置換で異なるように定める
根r、r'、r''・・・に特別の関係がなければ、異なる数はｐ！（ｐの階乗）になる

つまり、根を一つ添加したときは、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とｐ個分解されたのが、全部添加だと

F(x)=f(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・と分解され、前と同様に根右辺は補助方程式の根r、r'、r''・・・の対称式であって・・・
という複雑な関係を維持していなければならない

で、ガロア分解式を考えることは、ガロア群を考えることと同じだったから（>>28-29参照）
補助方程式のガロア群（例えばNとする）を考えていることになる

F(x)=f(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・で、根r、r'、r''・・・の置換を行うとf(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・は積の順番が変わるのだが
そもそも
f(V,U)＝（x-V1）（x-V2）・・・（x-Vn'）なわけで（>>235の５項参照）
もとの方程式の根V、V'、V''、・・・・、V''*（>>235の２項参照）の置換とも見ることができて

元の方程式のガロア群をG、その正規部分群をHとして、補助方程式のガロア群Nは商群になっていると
つまり、G/H=Nだと。これが、ガロアの見ていたものだろう
http://hooktail.sub.jp/algebra/QuotientGroup/
商群
群Gの一つの正規部分群をHとします．このとき，G のH に対する商集合(つまり，Hによる剰余類全体の作る集合．商集合については， 完全代表系と商集合 を復習して下さい．)を 商群 ，もしくは 因子群 ， 剰余群 などと呼びます．

>>248
訂正

F(x)=f(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・と分解され、前と同様に根右辺は補助方程式の根r、r'、r''・・・の対称式であって・・・
　↓
F(x)=f(V,U)xf(V,U')xf(V,U'')x・・・と分解され、前と同様に右辺は補助方程式の根r、r'、r''・・・の対称式であって・・・

>>247

正規部分群については、下記が面白く、かつ印象が強烈だったので紹介しておく
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-378.html
正規部分群はどういう意味があるか
（抜粋）
正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。

まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。
なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。
それで定義も忘れると。

そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。

だいたいこんな感じ。
これでだいたい、

せ…正規部分群…おまえ…

ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。
（以下略）

>>248
補足

補助方程式の根を１つだけ添加するより、もったいぶらず全部添加する方が、話は早い
で、そうすると、正規部分群の話になって、補助方程式の添加でガロア（分解）方程式が分解するなら、そもそも方程式のガロア群が正規部分群を持っていて、補助方程式の群は商群になると

逆に言えば、そういう方程式のガロア群の構造になっていないと、ガロア（分解）方程式を分解できるような補助方程式は見つからないんだよと
それが、ガロアの見ていた原風景だったろう

>>248
補足

>>195でも書いたが、推定だが、ガロアは最初素数p次のべき根の添加を考えていたと思う
素数p次のべき根（二項方程式の根）の場合、話は簡単

二項方程式は巡回群になるから、素数p次のべき根一つを添加することと、その全部の根を添加することとは同じだから
そして、素数p次のべき根は、ｐ乗されて有理数体Qになるので、話は簡単になる

ガロアは決闘直前に見直して>>247 第III節の定理のように一般化したのだった

>>248
>つまり、根を一つ添加したときは、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とｐ個分解されたのが、全部添加だと
例えば、ｒを添加したとき、f(V,r)が出てくるのはわかるけど、

f(V,r')xf(V,r'')x・・・

という分解は無理じゃない？

猫

>>254
猫さん、乙
チョコ３つか・・
おいらは、義理チョコ一つだよ

>>253
乙
フォローありがとう

>つまり、根を一つ添加したときは、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とｐ個分解されたのが、全部添加だと
>例えば、ｒを添加したとき、f(V,r)が出てくるのはわかるけど、
>f(V,r')xf(V,r'')x・・・
>という分解は無理じゃない？

そのセンスは正しいよ
が、r、r'、r''・・・は補助方程式g(x)の根であったことを思い出そう>>247
ここに、g(x)は素数p次の式で、Q（有理数体）で既約とする。面倒なので、モニック（最高次の係数が１）としておこう
で、F(x)が根rの添加でF(x)＝f(V,r)q(V,r)と分解されたとする>>226

１．左辺F(x)は、Q（有理数体）の式
２．なので、右辺f(V,r)q(V,r)は、r、r'、r''・・・の対称式になっていないとまずい（r、r'、r''・・・の対称式になっていないと、Q（有理数体）の係数にならないから）
３．ということは、f(V,r)q(V,r)はr、r'、r''・・・の対称式なので、それを
　　F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) ここにr'p-1は、rに’（ダッシュ）がp-1個ついたもの（なお同じ記述が>>226に記号を変えてある）
４．で、結局右辺は、r、r'、r''・・・の対称式になっていなければならないから、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とならないといけない
５．しかし、これはもしそういう分解が起こったらということで、実際にそういう分解がめったに起こらない
６．実際にそういう分解が起こらないということが、代数的解法ができないということにつながる

>>

>>255
当然の事ながら私のも全部義理チョコでっせ。どうかご安心を。

猫

PS:だってこんなオッサンが本命チョコなんか貰ったら大変ですワ。

>>256

> ４．で、結局右辺は、r、r'、r''・・・の対称式になっていなければならないから、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とならないといけない
> ５．しかし、これはもしそういう分解が起こったらということで、実際にそういう分解がめったに起こらない
> ６．実際にそういう分解が起こらないということが、代数的解法ができないということにつながる

補足
１．一般の方程式で、５次以上の場合、方程式の代数的解法はないことは良く知られている
２．それは、５次以上の一般方程式のガロア群は、対称群Sn（nは５以上）で、正規部分群は交代群Anのみ（nが５以上のAnは単純群）
３．ということは、簡単には上記４のような分解は起こらない。（判別式の平方を添加することで、SnをAnに縮小させることは可能。でも、このときの話は単純）
４．で、４次方程式以下の場合は、べき根のみの添加で、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・の分解は起きる（それは>>53-57あたりに群の分解として書いた）
５．だから、結局補助方程式として二項方程式以外を使う場面は出てこない
６．けど、やっぱガロアが補助方程式を一般の方程式まで拡大したことは意味があって、方程式の理論としての完成度が高いだけでなく、群論としてのその後の発展でも意味あったんだ

>>257-258
猫さん、乙
あれ、いつの間にかチョコ一つ増加・・

>>260
さっきコンビニに買い物に行ったら、知り合いの姉ちゃんに出会ってね、
ほんでまた一個義理チョコを貰いましたね。

猫

妄想乙
お薬出しときますね

>>262
どんな薬や？　早よ出せや。

猫

>>263
リスパダールだ。

>>264
コレですか：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%89%E3%83%B3
随分と高価な薬みたいですナ。本当におかしくなってこういう薬のお世話
になったらかなり大変でしょうね。勉強になりましたワ。

どうもです。

猫

>>265
読み間違えてない？4090円じゃなくて、40.90円だぞ。
だから、一錠あたり41円ぐらいで、普通じゃん。

>>266
ああ、そうですね。コッチ：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%91%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%BF
と勘違いしてましたワ。

猫

>>256
>そのセンスは正しいよ
> １．左辺F(x)は、Q（有理数体）の式
> ２．なので、右辺f(V,r)q(V,r)は、r、r'、r''・・・の対称式になっていないとまずい（r、r'、r''・・・の対称式になっていないと、Q（有理数体）の係数にならないから）
> ３．ということは、f(V,r)q(V,r)はr、r'、r''・・・の対称式なので、それを
>　　F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) ここにr'p-1は、rに’（ダッシュ）がp-1個ついたもの（なお同じ記述が>>226に記号を変えてある）
> ４．で、結局右辺は、r、r'、r''・・・の対称式になっていなければならないから、F(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・とならないといけない
> ５．しかし、これはもしそういう分解が起こったらということで、実際にそういう分解がめったに起こらない
> ６．実際にそういう分解が起こらないということが、代数的解法ができないということにつながる

これを書いていたあとで、考えたんだが
上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ

えーと何が言いたいかというと、現在の我々は、ガロア分解式>>28とガロア（分解）方程式を経由しない完成されたガロア理論を持っている
その完成されたガロア理論を正しいとすれば（当然正しいが）、補助方程式の根を添加して上記の分解が起こるのは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ

逆にいえば、正規部分群がないのに、補助方程式の根の添加でそんな分解が起これば、完成されたガロア理論に反する
だから、上記のような分解が起こるのは、完成されたガロア理論に従う場合だけで、結局正規部分群に従って分解が起きるだよと

>>268
補足

アーベルが一般の５次方程式が代数的に解けないことを証明する前、それはガロア理論の前でもあるが
ラグランジュを代表として、「補助方程式さんに頑張ってもらえば、なんとかなる」＝>>268のF(x)=f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・みたいな分解が補助方程式gをうまく作ればやれるのではという幻想を持っていた

ところが、現代のガロア理論では、元の方程式が素性の特性を持つ群Gでないと、いくら補助方程式さんが頑張ってもどうにもならんと
元の方程式が素性の特性を持つとは、群Gが可解群になっていること。可解群とは、正規部分群の連鎖から出来ている群だと

（可解群の一つの定義は下記。表現はいろいろあるみたい。本によって違う）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
可解群・交換子群・冪零群

>>269
訂正

ところが、現代のガロア理論では、元の方程式が素性の特性を持つ群Gでないと、いくら補助方程式さんが頑張ってもどうにもならんと
元の方程式が素性の特性を持つとは、群Gが可解群になっていること。可解群とは、正規部分群の連鎖から出来ている群だと
　↓
ところが、現代のガロア理論では、元の方程式が素性の良い特性を持つ群Gでないと、いくら補助方程式さんが頑張ってもどうにもならんと
元の方程式が素性の良い特性を持つとは、群Gが可解群になっていること。可解群とは、正規部分群の連鎖から出来ている群だと

>>270
補足

ガロアさんは、群論の創業者として、苦労して、ガロア分解式>>28とガロア（分解）方程式>>33を経由して、ガロア方程式論の頂上まで上っていったんだが
その過程で
１．ガロア論文第II節で、補助方程式の一根rを添加して、ガロア（分解）方程式が分解される場合を考え>>268
２．その後、第III節で、補助方程式の根の全てを添加した場合として、正規部分群を考えた

しかし、完成されたガロア理論から見れば（それはあたかも我々が、舗装された道を車で山頂まで上って、眺めるようなものだが）
上記１．の場合だって、方程式の群Gが正規部分群を持たなければ、そもそもそんな分解は起こらない
分解が起こる場合は、正規部分群の働きで分解は起こるべくして起こる。補助方程式も、それに適合した式でなければならないんだと

だから、”f(V,r')xf(V,r'')x・・・
という分解は無理じゃない？”>>253というのは、結構良いセンスだと
分解は起きるべくして起き、そう簡単に起きるものじゃないと>>256

>>271
さらに補足

１．アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)>>3 のP33の第III節の注記にあるように、ガロアは最初ここは素数P次の二項方程式r^p=Aの場合を考えていた
２．しかし、決闘前夜に見直して、一般の正規部部分群の場合に書き直したという（倉田P144>>4）
３、なので、個人的感想をいえば、第III節はいかにも急に付け足した感じで、証明もろくに書いていないし、>>271に書いたように第II節との整合性がすっきりしていない感があるんだ
４．そして、「すっきりしていない感」は以前からあったんだけど、>>268に書いたように>>256の後、なんですっきりしないかその理由が分かった気がした

ガロア

>>256
補足の補足の補足

>右辺f(V,r)q(V,r)は、r、r'、r''・・・の対称式になっていないとまずい（r、r'、r''・・・の対称式になっていないと、Q（有理数体）の係数にならないから）
> ３．ということは、f(V,r)q(V,r)はr、r'、r''・・・の対称式なので、それを
>　　F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) ここにr'p-1は、rに’（ダッシュ）がp-1個ついたもの（なお同じ記述が>>226に記号を変えてある）

共役という概念がある。複素数でも、共役複素数などと。複素数さんは、共役複素数さんとペアにならないと、リアル（実数）の世界に戻れない
無理数も同じ。既約な補助方程式の根r、r'、r''・・・は、単独では無理数だが、共役な他の根とセット（対称式）になると有理数の世界に戻れる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9
共軛、共役（きょうやく）は2つのものがセットになって結びついていること、同様の働きをすること。
共軛の「軛」（くびき）は、人力車や馬車において2本の梶棒を結びつけて同時に動かすようにするための棒のことである。
「軛」が常用漢字表外であったため、音読みの同じ「役」の字で代用され、現在では共役と書かれることが多い。

数学における「共軛/共役」
以下は主な例であるが、数学において、この語は様々な文脈で用いられるため、全てを網羅してはいない。
・共役複素数のこと。
・群論において、群の内部自己同型で移り合う元あるいは部分集合たちの関係のこと。
・代数拡大体の自己同型で移り合う元の関係のこと。特に Q 上自己同型に関するものは代数的数を参照。
（引用おわり）

だから、F(x)=(f(V,r)xf(V,r')x・・・xf(V,r'p-1))x(q(V,r)(xq(V,r')x・・・xq(V,r'p-1)) で、左辺F(x)が有理数の世界の式だと、右辺は共役なr、r'、r''・・・たちのセット（対称式）でないとまずいよと
しかし、これは簡単に実現できない。そもそも、１根rを添加してガロア（分解）方程式>>33が可約になると、他の共役なr'、r''・・・たちも必然的に出現すると
これは、よほどうまく仕掛けが出来ていないと、実現できないという空気は分かるでしょ

>>268
>上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ
そんなことないよ。

うん

>>275-276
そうなんか？
例えば、具体的な例を挙げられる？

矢ケ部はちゃんと読んだ？

>>278
おお、ありがとう
矢ケ部ね
あそこに例があったかな・・・、思い当たるのは、ラグランジュの分解式のところだから
P176-178かな？　もう一度読んでみるよ

>>279
例えば、与えられた方程式が三次方程式とする。
その時、以下のような補助方程式を考える：

{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 .

ただし、α、β、γは元の方程式の根とする。上の式を展開すれば、
係数はα、β、γの対称式なのは明らか。

さて、この補助方程式の根を添加すると、

F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　

はどのように分解されるか。その時、各因子 f(V,r) の群は？　一致するか否か？

>>280
乙
ありがとう
なかなか深い人がいるね
ちょっと考えて見るよ

>>280
いま、あまり時間が取れないが、考えたことを書いておくと

三次方程式のガロア群は、S3（３次の対称群）になるけれど
で、S3の群の要素は、長さ３の巡回置換と、３つの互換とからなる

{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 は、互換で変わらないのを作ったってことかな？

なお、対称群などについては、下記が参考になるだろう
http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm
明治大学 蔵野ゼミ 研究室の学生の卒業論文・修士論文

>>282
いい機会なので、Maximaを使ってみようと
以前、下記の竹内薫さんの本、「はじめての数式処理ソフト」CD-ROM付 (ﾌﾞﾙｰﾊﾞｯｸｽ)を買って、前のPCとかにインストールしていたんだが、あまり使っていなかった　（Weblogの方とは別人です。念のため）

今回は、win7のCorei7になっているので、下記Maximaのページから最新版（windows版）を落とした
5.26.0-Windows 2012-01-26なんだけど、インストールすると、CD版とは印象が違う

http://blog.goo.ne.jp/hauru_haku/e/e2886fbbe99c2ad40a652c81dcb47847
「はじめての数式処理ソフト」　竹内薫 2007-07-23 02:27:22 / Weblog
（抜粋）
今日は、本屋へ行き、楽しみにしていた竹内薫さんの本、「はじめての数式処理ソフト」を購入。CD-ROM付 (ﾌﾞﾙｰﾊﾞｯｸｽ)

さっそくMaximaをインストールして、本にしたがって、遊び始める。

楽しい！
（引用おわり）

http://maxima.sourceforge.net/
Maxima, a Computer Algebra System
（SourceForge file managerからダウンロード、Maxima-Windowsの）

>>283　つづき
ちょっと遊んでみると、

(%o22) (x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2)

(%o23) x^3-2*c^2*x^2+2*b*c*x^2+2*a*c*x^2-2*b^2*x^2+2*a*b*x^2-2*a^2*x^2+c^4*x-2*b*c^3*x-2*a*c^3*x+3*b^2*c^2*x+3*a^2*c^2*x-2*b^3*c*x-2*a^3*c*x+b^4*x-2*a*b^3*x+3*a^2*b^2*x-2*a^3*b*x+a^4*x-b^2*c^4+2*a*b*c^4-a^2*c^4+2*b^3*c^3-2*a*b^2*c^3-2*a^2*b*
c^3+2*a^3*c^3-b^4*c^2-2*a*b^3*c^2+6*a^2*b^2*c^2-2*a^3*b*c^2-a^4*c^2+2*a*b^4*c-2*a^2*b^3*c-2*a^3*b^2*c+2*a^4*b*c-a^2*b^4+2*a^3*b^3-a^4*b^2

(%o24) x^3+(-2*c^2+(2*b+2*a)*c-2*b^2+2*a*b-2*a^2)*x^2+(c^4+(-2*b-2*a)*c^3+(3*b^2+3*a^2)*c^2+(-2*b^3-2*a^3)*c+b^4-2*a*b^3+3*a^2*b^2-2*a^3*b+a^4)*x+(-b^2+2*a*b-a^2)*c^4+(2*b^3-2*a*b^2-2*a^2*b+2*a^3)*c^3+
(-b^4-2*a*b^3+6*a^2*b^2-2*a^3*b-a^4)*c^2+(2*a*b^4-2*a^2*b^3-2*a^3*b^2+2*a^4*b)*c-a^2*b^4+2*a^3*b^3-a^4*b^2

>>284
説明

(%o22) (x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2)：最初、α、β、γをテキストコピーで入力したら、文字化け。で、a,b,cで計算
(%o23) が、展開結果
(%o24) は、式の整理というコマンドがあって、それを適用した結果（関数の整理コマンドもやってみたが、同じ出力）

>>284-285
補足
この式は、コピーしてここに貼り付けると、こんなエクセル記法になるけど
Maxima（正確にはwxMaxima）画面では、LaTex（ご存知と思うが下記）風の数式（いわゆる数学書籍風）に見える
http://ja.wikipedia.org/wiki/LaTeX

こんなところが、windows版らしいところかも・・
以前見たCD版よりだいぶ進化している感じがする

>>284
補足

式の対称性が壊れて、あまり見やすくないね

えーと、

A=(a-b)^2
B=(b-c)^2
C=(c-a)^2
と置き換えて

(x-A)*(x-B)*(x-C)
展開
(%o29) -A*B*C+x*B*C+x*A*C-x^2*C+x*A*B-x^2*B-x^2*A+x^3

式のxについての整理ratsimp(%,x);
(%o31) x*((B+A)*C+A*B)-A*B*C+x^2*(-C-B-A)+x^3　（xのべきの昇順にすればいいのに、定数項がへんなところに。ご愛嬌ですか？）

こんな程度は、暗算レベル（昔散々やった）でしょうが、式を手書きするより楽です

>>287
” maxima 日本語 解説 ”でネット検索すると、いろいろ資料がヒットする
maxima がすいすいフリーで使える時代ですか。いい時代ですね
Mathematicaは、使ったことがないけれど、式の整理とかどうなんでしょうね？　対称性を考慮した整理なんてのはないのでしょうか？

>>282
>三次方程式のガロア群は、S3（３次の対称群）になるけれど
>で、S3の群の要素は、長さ３の巡回置換と、３つの互換とからなる

S3（３次の対称群）について下記がある

http://oshiete1.nifty.com/qa6387299.html
QNo.6387299　投稿日時 - 2010-12-15 23:54:32

３次の対称群を、
A＝{e = (1 2 3 ｜1 2 3）,　r+ ＝(1 2 3 ｜ 2 3 1),　r-＝(1 2 3 ｜ 3 1 2),
σ1=(1 2 3｜1 3 2), σ2＝(1 2 3 ｜3 2 1), σ3＝(1 2 3｜2 1 3)}
とする部分群G＝{e, r+, r-}およびH＝{e, σ1}に対して

(1) ラグランジェの定理を使って [A：G]および[A：H]を求めよ。
(2) G、Hに対して、全ての左剰余類を求めよ。
(3) G、Hに対して、全ての右剰余類を求めよ。
(4) G、HがAの正規部分群であるかを判定せよ。

分かりません。。よろしくお願いします！

A.
(1) [A：G]＝２、[A：H]＝３
(2)　A=G＋σ1G={e, r+, r-}+{σ1, σ3, σ2},A=H＋r+H ＋r-H ={e, σ1}＋{r+, σ2}＋{r-, σ3}
(3)　A=G＋Gσ1={e, r+, r-}+{σ1, σ2, σ3},A=H＋Hr+ ＋Hr- ={e, σ1}＋{r+, σ3}＋{r-, σ2}
(4)　Gは正規部分群、Hは正規部分群ではない。

ここで、Gは長さ３の巡回置換を要素とする交代群A3
で、G=A3が、S3の唯一の正規部分群だと

>>282

http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
のP2の表に同じ話がある（下記抜粋）

S3 の部分群
位数　同値関係　　　　　　共役な部分群の個数
　　（共役）での代表元
1　　　 { e } 　　　　　　　　　 1
2　　　 { e , (12) } 　　　　　　3
3 　　　{ e , (123) , (132) } 1
6 　　　S3 　　　　　　　　　　 1
計6　（自明な部分群を含む）

>>290
関連する文献で、下記あり。

http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類　
P10 （数学記号が表示できないので、原文PDFご参照）

”6 位数が2p の群の分類(p は奇素数)

この節で，位数2p (p は奇素数) の群の分類を行う．

#G = 2p と仮定する．S2, Sp は，それぞれG の2-シロー部分群，p-シロー部分
群であるとする．すると，#S2 = 2, #Sp = p である．シローの定理より，G は唯
一つのp-シロー部分群をもっているので，Sp / G （注：ここSp / Gは、SpがGの正規部分群を表す白三角の記号で表現されている）である．

また，
S2 ＾ Sp = { e } （注：ここS2 ＾ Spは、S2 ＾ Spの積集合（交わり）を表すハット形の記号で表現されている）
であり，#S2 ・ #Sp = #G である．よって，注意3.3 により，G はS2 とSp の半直
積となる．つまり，G＝Sp x S2 と書ける．ただし，
s : S2 → Aut(Sp) (3)
は準同型とする．S2 = { e, a } としよう．

このとき，定理4.1 によりAut(Sp) = (Z/pZ)x = { 1, 2, ・・・・ p-1 } である．
(Z/pZ)x の中の二乗して1 になる元は§1 のみである．よって，(3) の準同型は，
「s(e) = s(a) = 1」と「t (e) = 1, t (a) = -1」の二通りが考えられる．
s の場合は，G はS2 とSp の直積と同型になり，特にアーベル群になる．

t の場合を考える．Sp = <b> とする．すると，a^2 = b^p = e, aba^-1 = b^(p-1) で
あり，この群は位数2p の二面体群D2p と同型である．(二面体群に関しては，第2 節参照．)
以上により，位数が2p の群(p が奇素数) は，C2 x Cp とD2p の二通り存在す
る．(D2p はアーベル群ではないので，この二つの群は，同型ではありえない．)”

>>282
ちょっと地道に準備を

３次方程式：f(x)=x^3+A*x^2+B*x+C=(x-a)*(x-b)*(x-c)　（α、β、γは、Maximaに乗らないみたいだから。？　半角のギリシャ文字があるのかもしれないが・・・）

A=a+b+c
B=a*b+b*c+c*a
C=a*b*c

(o：ω(1の原始根)の代わり）
o =(-1+√3i)/2
o^2=(-1-√3i)/2 (o+o^2=-1 ＆ 1+o+o^2=0 (oとo^2は、共役複素数))
o^3=1

として、３次のラグランジュ分解式を次のように考えても一般性を失わない
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,

ガロア（分解）方程式は下記
F(x)=(x-V2)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)

補助方程式　>>280
g(x)=(x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2)

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
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>>292　つづき
で、補助方程式の根(b-c)^2を添加して、ガロア（分解）方程式が可約になったとする

その因子をf'(V,r) ：Vはガロア分解式（V1・・・V6のどれか。これらはお互いに有理式の関係がある）、r=(b-c)^2　（注：f(x)と紛らわしいので、f'(V,r)と’を付けた）

ここで、互換（b,c）を作用させると、rは変化しないので、たとえばV1*V2とすると

V1*V2＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)

=b*c*o+c^2+b^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o^2+a*c*o+a*b*o+a^2

=a*b*o^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o+b*c*o+a*c*o+a^2+b^2+c^2

=(a*b+b*c+a*c)*o^2+(a*b+b*c+a*c)*o+a^2+b^2+c^2

=(a*b+b*c+a*c)*(o+o^2)+a^2+b^2+c^2

=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2

などとなりますが、これK(r)になる？

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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Ann.of Math にえらくこだわっているが、古典的なアタマかな
ポアンカレ予想を解決したペレリマンは、結局その論文はネット上にアップしただけだった

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3
ペレルマンとポアンカレ予想
arXivで以下の3つのプレプリント (Preprint) を発表しポアンカレ予想を解決したと宣言した。
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications、2002年11月11日
Ricci flow with surgery on three-manifolds、2003年3月10日
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds、2003年7月17日

彼はウィリアム・サーストンの幾何化予想（ポアンカレ予想を含む）を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した。
手法もリチャード・S・ハミルトンの発見したリッチ・フロー (Ricci flow) （ハミルトン・ペレルマンのリッチ・フロー理論）と統計力学を用いた独創的なものである。
ペレルマン論文に対する他の数学者達による検証は、国際的な数学者の助力の下2006年夏頃まで続いたが、結論として少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンの証明は正しかったと考えられている。

2006年度、ポアンカレ予想解決の貢献により「数学界のノーベル賞」と言われているフィールズ賞（幾何学への貢献とリッチ・フローの解析的かつ幾何的構造への革命的な洞察力に対して）を受賞したが、「自分の証明が正しければ賞は必要ない」として受賞を辞退した。
フィールズ賞の辞退は彼が初めてである。ペレルマンは以前にも昇進や欧州の若手数学者に贈られる賞を辞退するなどした経緯があり、賞金に全く興味を示さなかったり、自分の論文をあまり公表したがらない性格でも知られていた。
アメリカの雑誌の取材に対しては「有名になると何も言えなくなってしまう」と答えている。

以前に例を出した、エドワード・ウィッテン>>200>>206なども、Ann.of Math に投稿するスタイルじゃないだろうよ

http://ja.wikipedia.org/wiki/M%E7%90%86%E8%AB%96
M理論（えむりろん）とは、現在知られている5つの超弦理論を統合するとされる、11次元（空間次元が10個、時間次元が1個）の仮説理論である。
尚、この理論には弦は存在せず、2次元の膜（メンブレーン）や5次元の膜が構成要素であると考えられている。

1995年、エドワード・ウィッテンによって提唱されたこのM理論は、11次元超重力理論がもつこれらの難点を克服すると考えられるものであり、その提唱は第二次超弦理論革命へのきっかけとなった。

数学者は、リチャード・ボーチャーズなどアスペルガー症候群の人もいるから、付き合う相手としては気を付けた方がいいだろう
まあ、数学者には限らないが、数学以外の分野では他人とのコミュニケーションがより必要とされる場合が多いだろうから、ある程度対人スキルも訓練されると思うけど
いやまあ、アスペルガー症候群に対する理解をしてあげれば、お付き合いは可能と思うけど

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%BC%E7%97%87%E5%80%99%E7%BE%A4
アスペルガー症候群（アスペルガーしょうこうぐん、Asperger syndrome: AS）またはアスペルガー障害（アスペルガーしょうがい）は、社会性・興味・コミュニケーションについて特異性が認められる広汎性発達障害である。
各種の診断基準には明記されていないが、総合的なIQが知的障害域でないことが多く「知的障害がない自閉症」として扱われることも多い。

アスペルガー症候群の診断を受けている事を公表している著名人
倉持由香[15]
リチャード・ボーチャーズ[16]
スティーブン・スピルバーグ[18][19]

佐藤 幹夫先生なんかも、Ann.of Math に投稿するスタイルじゃない
もっとも、女性にはモテたのか、下記”佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）”というのが、ソリトン方程式を共同研究していた若い女性と結婚したって話は有名でね

そもそも、Ann.of Mathなど論文投稿を基準にしているってのが、ちょっと21世紀の基準としてはどうなのかと疑問に思った次第だ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
佐藤 幹夫（さとう みきお、男性、1928年4月18日 - ）は、日本の数学者で佐藤超函数、概均質ベクトル空間、D加群の創始者。大阪大学教授を経て京都大学数理解析研究所名誉教授。1992年退官。東京都出身。

東京大学理学部数学科で彌永昌吉に師事した後、一時期高校教師を務めるなど異色の経歴を持つ。ノーベル物理学賞受賞の物理学者朝永振一郎に学んだこともある。

ソリトンなど可積分系の研究、特に、ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論とみなすことができる。

人物
・ 不快でなじめぬ中学時代、それを忘れるため数学に没頭していたという。
・ 彼の講演を理解できる人がおらず、「ほとんどの聴衆は道に迷ってしまう」と述懐している。
・ 自身では論文をほとんど書かず、アイデアや方針をうけた弟子が書き留める。
・ 数学を解説するのではなく、独創的に作り上げるタイプの数学者。

外部リンク
Mikio Sato (京都大学数理解析研究所)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/past-director/sato.html
An invitation to the Theory of Hyperfunctions
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/hyperfunction.htm

>>294　補足
>V1*V2＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)

えーと、正確には
（x-V1)*(x-V2)=x^2+(V1+V2)*x+V1*V2
を考えて、（x-V1)*(x-V2)は互換（b,c）で変化しないから、これが因子f'(V,r) の候補だと

それで、定数項V1*V2を計算してみたのが>>294なんだけど

注）
なお、一般人には常識だけど（いまさらですが）
^：べきの記号
*：積の記号
いずれもエクセル記法だが、いまや数式処理では標準かな（数式処理からエクセルに入ったのかも？）

定理［ガロア、アーベル］n＞5ならば、方程式の解を根号m√と加減乗除によって係数 a0, a1, ...anで表示することはできない。

　この定理を証明するために彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。

（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群で記述される。

（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。

訂正
>>292
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,
　↓
V3=b+o*c+o^2*a, V6=b+o*a+o^2*c,

>>294：V2→V4
ここで、互換（b,c）を作用させると、rは変化しないので、たとえばV1*V4とすると
V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
=b*c*o+c^2+b^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o^2+a*c*o+a*b*o+a^2
=a*b*o^2+b*c*o^2+a*c*o^2+a*b*o+b*c*o+a*c*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*o^2+(a*b+b*c+a*c)*o+a^2+b^2+c^2
=(a*b+b*c+a*c)*(o+o^2)+a^2+b^2+c^2
=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2
などとなりますが、これK(r)になる？

>>300：V2→V4
>V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)

えーと、正確には
（x-V1)*(x-V4)=x^2+(V1+V4)*x+V1*V4
を考えて、（x-V1)*(x-V4)は互換（b,c）で変化しないから、これが因子f'(V,r) の候補だと

それで、定数項V1*V4を計算してみたのが>>294なんだけど

>>301
乙！

>>302
さらに補足

V1+V4の方は簡単で
(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a+(o+o^2)*b+(o+o^2)*c
(ここで、o+o^2=-1>>292を使うと)
=2*a-(b+c)

で、>>302
V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V6=b+o*a+o^2*c,

ガロア（分解）方程式>>292：F(x)=(x-V2)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)

なので、互換（b,c）で変化しない因子の組み合わせは
上記（x-V1)*(x-V4)と、（x-V2)*(x-V6)と、（x-V3)*(x-V5)

（x-V2)*(x-V6)と、（x-V3)*(x-V5)について、同様の計算ができる

>>280
これ、ガロアを読む: 倉田令二朗>>4の16節（P146）からの「根の有理式の添加によるガロア群の簡約」が参考になるね

補助方程式：{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0
で、
根 (α-β)^2は、>>289の巡回群G（＝C3）で変わる。具体的には
(α-β)^2
(β-γ)^2
(γ-α)^2
となる

根 (α-β)^2は、>>289の互換σ1, σ2, σ3と恒等置換e
で変わらない

で、互換σ1, σ2, σ3と恒等置換eとで、対称群S3の部分集合を形成するが
部分群ではない

部分群は>>290、 { e , (12) } など位数２の部分群３つか、位数３の{ e , (123) , (132) } の一つしかない（真の部分群の意味で）
位数３の{ e , (123) , (132) } は、>>289のG。 { e , (12) } は、>>289のH。

>>302-305
えーと、考えの筋を書いておくと

まず、３次方程式で、ラグランジュ分解式V1=a+o*b+o^2*c,を考える (a,b,cは、方程式の根で、o：ω(1の原始根)の代わり。o =(-1+√3i)/2） （こう考えても一般性は失わないだろう）
すると、３つの根の置換で、６つの式ができる

V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
V2=c+o*a+o^2*b, V5=c+o*b+o^2*a,
V3=b+o*c+o^2*a, V3=b+o*a+o^2*c,

ガロア（分解）方程式は下記
F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)

因子はこの６つしかない
なので、勝手な補助方程式をもってきて、補助方程式の根を添加してあげるから可約になってくださいといわれも
V1〜V6の組み合わせの仕方は制限されている

ところで、V1〜V6は根の置換と対応しているから、元の方程式のガロア群（置換群）とも関連していて、ガロア群に従った組み合わせしかできないのだ
で、補助方程式g(x)=(x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2) が、ガロア（分解）方程式を可約にする能力があるのかと

そんな複雑な計算しなくても、ラグランジュの定理を使えばすぐわかるんじゃない？

>>307
乙！
おお！　そうなのか！
どうやるの？　教えて

ぶりっ！

ぶりっ子かい？

ではマイペースで

>>306
「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198 P151から、「ラグランジュの水平思考」で、３次方程式について書いている
P159で、
矢ケ部が書いている式がある。矢ケ部は、根をx1,x2,x3で書いているが、
それにならって>>306を使って書く

V1=a+o*b+o^2*c, V4=a+o*c+o^2*b,
oV1=V2=c+o*a+o^2*b, oV4=V5=c+o*b+o^2*a,
o^2*V1=V3=b+o*c+o^2*a, o^2*V4=V3=b+o*a+o^2*c,
(念のため o：ω(1の原始根)の代わりで、o^3=1)

なので、ガロア（分解）方程式は下記
F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)
=(x^3-V1^3)*(x^3-V4^3)
とV1とV4の３乗でまとまり、X^3の２次方程式と見ることができる

これは、>>290のS3の群の構造（位数３の巡回群＝正規部分群と、３つの位数２の部分群を持つ）が反映されていると見ることができる

>>310
つづき

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2*c^2-2*b*c-2*a*c+2*b^2-2*a*b+2*a^2
=2*(-(a*b+b*c+c*a)+a^2+b^2+c^2)
なので
>>302
V1*V4＝(a+o*b+o^2*c)*(a+o*c+o^2*b)
=-(a*b+b*c+a*c)+a^2+b^2+c^2
=((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2

一方
>>304
V1+V4=(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a-(b+c)
=(a-b)-(c-a)

となる

（x-V1)*(x-V4)=x^2+(V1+V4)*x+V1*V4の係数がこうなる
これが、補助方程式g(x)=(x-(a-b)^2)*(x-(b-c)^2)*(x-(c-a)^2) の一つの根r=(b-c)^2を添加して、その係数が拡大体K(r)（元の体をKとして）に属するのかと

>>308
ラグランジュの定理とは？

>>312
乙

ラグランジュの定理とは、普通は下記
「G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。 」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。
G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。
また、指数を用いれば次のような式で表すことができる。
[G] = [G:H] ・[H]

>>311
つづき

さて
「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198 P34から、カルダノの公式
（詳しくは、 http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicEquation/ 三次方程式の解の公式 など参照 ）

３次方程式
A*x^3+B*x^2+C*x+D=0の根　（ここでは、根をa,b,cとする）

カルダノの公式は
a=-B/(3*A)+t1^(1/3)+t2^(1/3)
b=-B/(3*A)+t1^(1/3)*o+t2^(1/3)*o^2
c=-B/(3*A)+t1^(1/3)*o^2+t2^(1/3)*o
但し、t1^(1/3)*t2^(1/3)=-p/3

(o：ω(1の原始根)の代わり）
o =(-1+√3i)/2
o^2=(-1-√3i)/2 (o+o^2=-1 ＆ 1+o+o^2=0 (oとo^2は、共役複素数))
o^3=1

とすると
a-b=t1^(1/3)+t2^(1/3)-(t1^(1/3)*o+t2^(1/3)*o^2)=(1-o)*t1^(1/3)+(1-o^2)*t2^(1/3)
b-c=t1^(1/3)*o+t2^(1/3)*o^2-(t1^(1/3)*o^2+t2^(1/3)*o)=(o-o^2)*t1^(1/3)+(o^2-o)*t2^(1/3)=(o-o^2)*(t1^(1/3)-t2^(1/3))
c-a=t1^(1/3)*o^2+t2^(1/3)*o-(t1^(1/3)+t2^(1/3))=(o^2-1)*t1^(1/3)+(o-1)*t2^(1/3)

>>313
そっちの方じゃないｗ　例えば、倉田の本の§７に書いてあるやつ。

>>314
つづき

さて
「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198 P53-54から

カルダノの公式を使った練習問題
(2) x^3-9*x^2+36*x-48=0
この根が、3+3^(1/3)-3^(2/3), 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))+1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i, 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))-1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i
(１実根と２虚数根)だとある

これを、順にa,b,cとして

b-c=(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i
この両辺を自乗して

(b-c)^2=((3^(5/6)+3*3^(1/6))*i)^2
=(3^(5/6))^2+2*(3^(5/6))*(3*3^(1/6))+(3*3^(1/6))^2
= 3^(5/3)+2*3*3+9*3^(1/3)
(要するに、(b-c)^2だと、3^(1/6)が自乗されて3^(1/3)がベースになる)

>>315
ああ、見た
P49の命題１ね
不変式論ってやつかな？　自分でタイプするのは面倒なので、検索すると

http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf
方程式論の歴史（平成１４年）

これの定理3-3だな

>>317
そうそれ。
で、例えば、（α−β）^2を変えない置換を

（ａα＋ｂβ＋ｃγ）（ａβ＋ｂα＋ｃγ）

に施すとどうなるか考えてみる。

>>316
つづき

まず、訂正（虚数単位iを飛ばしていた）
(b-c)^2=((3^(5/6)+3*3^(1/6))*i)^2
=(3^(5/6))^2+2*(3^(5/6))*(3*3^(1/6))*i-(3*3^(1/6))^2
= 3*3^(2/3)+2*3*3*i-9*3^(1/3)
=3*(3^(2/3)+6*i-3*3^(1/3))

さて
この矢ケ部 巌>>198 P53-54の具体例
(2) x^3-9*x^2+36*x-48=0
この根が、3+3^(1/3)-3^(2/3), 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))+1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i, 1/2*(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))-1/2(3^(5/6)+3*3^(1/6))*i
(１実根と２虚数根)だとある　（これを、順にa,b,cとして）

（補足：3^(1/3)は3の3乗根、3^(1/6は3の6乗根など）

で、>>311を見ると
V1+V4=(a+o*b+o^2*c)+(a+o*c+o^2*b)
=2*a-(b+c)
=2*(3+3^(1/3)-3^(2/3))-(6-(3^(1/3)-3^(2/3)))
=3*3^(1/3)-3^(2/3)

(b-c)^2を添加することは、3^(2/3)-3*3^(1/3)を添加することと見ると、V1+V4は、K(r)に属すると言えるね>>311

V1*V4がどうかだが

>>318
ああ、誘導ありがとう。君は親切だね
えーと、今日は時間がなくなったので、後日

>>317
そうそう、検索途中で面白いのが落ちていた
なにかのご参考まで
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H16-mukai.pdf
平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所
不変式の話　?対称式と方程式から第14 問題の反例へ?　向井茂

>>321
これ面白そうだな。

>>318
なるほど
ラグランジュの定理>>317の根の式の場合で、
f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）
で
g(α,β,γ)=（ａα＋ｂβ＋ｃγ）（ａβ＋ｂα＋ｃγ）は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないから、
ラグランジュの定理の適用で、g(α,β,γ)はf(α,β,γ)=（α−β）^2の有理式になるはずだと

g(α,β,γ)にγが含まれていて、f(α,β,γ)=（α−β）^2にγが含まれて居ないから疑問におもったが
>>292みたいに、f(x)=x^3+A*x^2+B*x+Cの根とすると、根と係数の関係から、α+β+γ=Aでγ=A-（α+β）で置き換えられるからそうなりそうかな

で、同じようにg’(α,β,γ)=（ａα＋ｂβ＋ｃγ）＋（ａβ＋ｂα＋ｃγ）もf(α,β,γ)=（α−β）^2の有理式になるはずだと

なので（ｘ−（ａα＋ｂβ＋ｃγ））（ｘ−（ａβ＋ｂα＋ｃγ））の係数もf(α,β,γ)=（α−β）^2の有理式になるはずだと

>>323
その通り。それで、（α−β）^2だけでなく、（β−γ）^2と（γ−α）^2を添加したとき

F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)

がどう分解されるかをみると？

>>324
誘導ありがとう。君は親切だね

f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ

同じようにするんだが、>>289の記号で、r+ ＝(1 2 3 ｜ 2 3 1),　r-＝(1 2 3 ｜ 3 1 2)（長さ３の巡回置換）を使って
（β−γ）^2を添加するときは、これを変えない置換は（β、γ）で変わらない式を作る
r-（Ｖ１）＝ａβ＋ｂγ＋ｃα＝Ｖ２として、（β、γ）（Ｖ２）＝ａγ＋ｂβ＋ｃα＝Ｖ５
で（ｘ−Ｖ２）（ｘ−Ｖ５）

（γ−α）^2を添加するときは、これを変えない置換は（γ、α）で変わらない式を作る
r+ （Ｖ１）＝ａγ＋ｂα＋ｃβ＝Ｖ３として、（γ、α）（Ｖ３）＝ａα＋ｂγ＋ｃβ＝Ｖ６
で（ｘ−Ｖ３）（ｘ−Ｖ６）

これで、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)の分解が見える

>>280
で、最初の問に戻る

Ｑ１．F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)　はどのように分解されるか。
Ａ１．>>325の通り。補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2
　　　と書き直すと、
　　　F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3),
　　　f1(x,r1)=（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）
　　　f2(x,r2)=（ｘ−Ｖ２）（ｘ−Ｖ５）
　　　f3(x,r3)=（ｘ−Ｖ３）（ｘ−Ｖ６）

Ｑ２．その時、各因子 f(V,r) の群は？　一致するか否か？
Ａ２．各因子 f(V,r) の群は、>>290の { e , (12) } 型の位数２の３つの部分群。同型だが、一致はしていない。

ってことか

>>326
補足

f1(x,r1)=（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）
f2(x,r2)=（ｘ−Ｖ２）（ｘ−Ｖ５）
f3(x,r3)=（ｘ−Ｖ３）（ｘ−Ｖ６）

で、Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγの係数a,b,cは、置換で全て異なる数になるようにとったから
f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は、全て異なる（等しくない）

えーと、申し遅れたが、f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)の形にしたのは、ガロア論文（アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3）のＰ３２　第II節の定理の書き方
「・・もしもＶの方程式が可約ならば、Ｖの方程式はすべて同一の次数のｐ個の因子に分解し、そしてr,r',r'',・・・はrの異なる値として
f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・
という形になる。したがって、与えられた方程式の群はおのおのが同一個数の順列に分解する。」という記載に合わせたもの。

>>327
そこで一つ疑問が残る
f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は、全て異なる（等しくない）

でも、ガロア論文では
”f(V,r)xf(V,r')xf(V,r'')x・・・という形になる。”としている

V,rの２変数の式としてみたときに、同じ式の形になる？
ラグランジュの定理の証明の筋で言えるか？　はて？

”Ｖの方程式はすべて同一の次数のｐ個の因子に分解し”と”与えられた方程式の群はおのおのが同一個数の順列に分解する”は、>>326の通りでいえるね

>>328
つづき

で、まだよく理解できないのが
補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2を全部添加したらどうなるのか？
ガロア論文第ＩＩＩ節によれば、「各群において置換は同一である」と。はて？

>>323
ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだね
補助線を一つ引くことで、見通しが良くなる

昔、小平邦彦が平面幾何の補助線を非常に重視していたとか（下記）
”補助線”の概念を、拡張すれば、上記のようにいえるかも・・

http://blog.goo.ne.jp/yamada-seismic/e/0d4c79bd25bfa30cb1db6d673df133f1
30　小平邦彦の「平面幾何の追放」に対する警鐘 2010-07-17 16:49:48

小平は著書「怠け数学者の記」（岩波現代文庫）の中で、
・・・・大脳生理学の知見が正しいとすれば・・・昔われわれが中学校で学んだユークリッド平面幾何は数学の初等教育のための最適な教材であることになる。
・・・平面幾何では図形を見ながら論証を進める。図形を見るのは右半球の働き、論証は左半球の働きであるから、平面幾何は左右の両半球を互いに関連させて同時に訓練することになる。
殊に証明のための補助線を引くには図形全体のパターンを眺めて総合的に判断することが必要である。
故にそれは右半球のための最もよい訓練である。
アダマールがいうように発見が「無意識」すなわち右半球の働きであるとすれば、したがって平面幾何は創造力を養うためにも最適な教材であることになる。
近年ユークリッド平面幾何は(文部省によって)数学の初等教育からほとんど追放されてしまったが、それによって失われたものは普通に考えられているよりもはるかに大きいのではないかと思う(34頁)。
・・・・幾何学的直観力の一つが補助線を発見する能力ですが、この能力を猛勉強によって獲得したという体験談があるんです(232頁)。

>>328
その通り。

>>329
つまり、今までは補助方程式の根を別々に添加していたわけだけど、同時に加えるということ。
俺の挙げた例でいうと、K(r1), K(r2), K(r3) ではなく K(r1, r2, r3) でF(x)を見たらどう分解されるか？

ｘの１０じょう　÷Ｘの２じょう　ー３ｘ＋２

ができません汗
解説できたらおねがいします１

>>326
>Ｑ２．その時、各因子 f(V,r) の群は？　一致するか否か？
>Ａ２．各因子 f(V,r) の群は、>>290の { e , (12) } 型の位数２の３つの部分群。同型だが、一致はしていない。

そういうことｗ　ガロアは一般的な立場で補助方程式の根の添加、言い換えれば体の拡大を考察している。

>>333
乙、ありがとう

>>331
>つまり、今までは補助方程式の根を別々に添加していたわけだけど、同時に加えるということ。
>俺の挙げた例でいうと、K(r1), K(r2), K(r3) ではなく K(r1, r2, r3) でF(x)を見たらどう分解されるか？

誘導ありがとう
１．まず、K(r1)のとき、>>326でr1=(α-β)^2、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)、f1(x,r1)=（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）
　　までは、すでに記した通り。
　　で、F(x)＝f1(x,r1)(x-V2)(x-V3)(x-V5)(x-V6)＝f1(x,r1)g(X) 但しg(X)=(x-V2)(x-V3)(x-V5)(x-V6)として、g(X)がK(r1)に属するかだが
　　ラグランジュの定理でいえるね。
　　g(X)＝F(x)/f1(x,r1)と書けて、F(x)とf1(x,r1)とも（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないから、g(X)も変わらない。だから、その係数はr1の有理式で、g(X)がK(r1)に属する
　　だがそこまでで、g(X)＝g(x,r1)とは書けるが、これ以上分解はできない
２．で、K(r1, r2, r3) は、r1, r2, r3を全て含む拡大体で、>>326 F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3)で
　　f1(x,r1)=（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）,f2(x,r2)=（ｘ−Ｖ２）（ｘ−Ｖ５）,f3(x,r3)=（ｘ−Ｖ３）（ｘ−Ｖ６）となるが
　　f1(x,r1)、f2(x,r2)、f3(x,r3)は全て、K(r1, r2, r3) に属するので、F(x)=f1(x,r1)xf2(x,r2)xf3(x,r3) （２次式）までの分解ができる
３．では、それ以上（１次式へ）の分解ができるか？　これはできない
　　K(r1, r2, r3) の元は、例えば（α,β）（＝α,βの互換）で変わらないが、V1〜V6は、全て（α,β）で変わるから、K(r1, r2, r3) の元ではない。だから、１次式への分解はできないと

>>334
補足
ここらは、倉田　ガロアを読む:>>4のP146 16節「根の有理式の添加によるガロア群の簡約」に関連した事項だ

で、中間体K(r1, r2, r3)のガロア群がどうなるかだが、P155の対応定理などで見るんだろうね

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
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>>334
>K(r1, r2, r3) の元は、例えば（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない
そうかなｗ　K(r1, r2, r3) は、例えば r2 を含むよね。これに（α,β）を施すとどうなる？

>>337
ああ、そうか。誘導ありがとう。君は親切だね
ここの理解が不十分だから、すっきりしなかったんだ

１．さて、K(r1, r2, r3) ：補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 の根を、r1=(α-β)^2, r2= (β-γ)^2, r3= (γ-α)^2 >>326
２．で、ガロア分解式（>>28）にならって
V’＝A’r1＋B’r2＋C’r3で、係数A,B,Cは体Kに属するとして、r1, r2, r3の置換すべてで、異なる値を取る様に選んだとする
書き直すと
V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2
３．このV’は、拡大体K(r1, r2, r3)に属する元
これに（α,β）を施すと
V1’＝A’(α-β)^2＋B’(α-γ)^2＋C’ (γ-β)^2となり、V’≠V1’となり値は変わる（異なる値を取る様に選んだので）
４．つまり、V’は互換（α,β）で値が変わる。これは、全ての互換にいえる。
５．また、長さ３の巡回置換（α，β，γ）でも値が変わる。これは、互換とは別の式で値も異なる
６．結局、V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2は、根α，β，γの置換の全てで異なる値を取る
７．ラグランジュの定理>>317で、V’は全ての置換で変わって、これを変えないのは恒等置換ｅのみ（>>289-290参照）で、
　　もとの方程式のガロア分解式V=Aα+Bβ+Cγ >>235 とV’＝A’r1＋B’r2＋C’r3とは、いずれも、恒等置換ｅ以外のすべての置換で値を変えるから
　　お互いに有理式で表される関係（VとV’は同じ分解能力を持つってことか）
８．だから、ＶはV’の有理式で表されるということで、拡大体K(r1, r2, r3)の中で、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)は、１次の式に分解される
　　つまり、V1、V2、V3、V4、V5、V6たちは、拡大体K(r1, r2, r3)の元？

>>338
つづき

ということは、補助方程式 { x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 を解くことは、即もとの方程式を解くことに
また、補助方程式のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2は、６つの異なる値を取り、補助方程式のガロア群はＳ３（３次の対称群）となる・・

>>339
つづき

(α-β)^2自身は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない
(β-γ)^2、 (γ-α)^2も同様

しかし、この３つを集めて、V’＝A’r1＋B’r2＋C’r3を作ると、V’は根α，β，γの置換の全てで異なる値を取ると
面白ね

>>340
つづき

なお、(β-γ)^2＝(β＋γ)^2−４βγ

と書けて
３次方程式：f(x)=x^3+A*x^2+B*x+C=(x-α)*(x-β)*(x-γ)　>>323
で、α+β+γ=A、αβγ=Ｃより

β+γ＝A−α
βγ＝C/α
となり、これを代入すると

(β-γ)^2＝(β＋γ)^2−４βγ＝（A−α）^2−４（C/α）
つまり、αだけの式になる
まあ、(β-γ)^2は、αの化身だと

>>338
>８．だから、ＶはV’の有理式で表されるということで、拡大体K(r1, r2, r3)の中で、F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)は、１次の式に分解される
>　　つまり、V1、V2、V3、V4、V5、V6たちは、拡大体K(r1, r2, r3)の元？
まあそういうこと。あと付け加えると、F(x)はK(r1, r2, r3)の中で

F(x)=(x-V1)(x-V2)(x-V3)(x-V4)(x-V5)(x-V6)

と分解されるよね？　このとき、各因子(x-V1)〜(x-V6)の群はすべて恒等置換よりなることがわかる。
すなわち、補助方程式のすべての根を添加することによって、

>>329　ガロア論文第ＩＩＩ節によれば、「各群において置換は同一である」と。はて？

となっていることがわかる。俺の挙げた例では、恒等置換だけだからおもしろみはないけどね。
なお、ちゃんとした証明は、守屋や矢ケ部の本にあったと思う。お持ちのようだから
読んでみれば？　定理のイメージがつかめたなら、それほど難しくない・・・と思うｗ

それでは、>>275からの件はこれで終わりと言うことで。気が向いたらまたコメントするよｗ

>>342
ありがとう。君は親切だね

>それでは、>>275からの件はこれで終わりと言うことで。気が向いたらまたコメントするよｗ

乙
>>上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ>>268

えーと、ここから始まったんだが。いろいろ誘導ありがとう。おかげですっかり理解できた
（（有理式と置換に関する）ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだ>>330ということも）

１．>>280のように、ある方程式（例えば３次方程式（以下例えばを略する））の根（α、β、γ）のある有理式を考える（ (α-β)^2）
２．倉田>>4のP146のように、この有理式（(α-β)^2）の最小定義多項式（＝補助方程式と見ることもできる）を考える（{ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0 ）
　　この有理式が、根（α、β、γ）の全ての置換で取る異なる値を集めて例にならって多項式をつくる
　　そうすると、ラグランジュの定理から作った多項式の係数は、元の体kに属することが分かる
３．そうして、この有理式（(α-β)^2）の添加で、ガロア分解方程式（F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　）がどうなるかを考える
　　可約になる場合がある（>>323-327）
４．この場合、最小定義多項式の根を全て添加すると、さらに低い次数への分解ができる場合がある（>>338）
５．これを群論の言葉でいうと、この有理式を不変にするガロア群Gの部分群Hがあって
　　Hの左剰余類によるGの分解
　　G=H+s1H+・・・+sk-1H (ここで、s1・・・sk-1は、倉田P146ではシグマに下付の1・・・k-1が添えられたものだが、ギリシャ文字が面倒なので代用)
６．で、３の可約によるガロア分解方程式の因数分解は、上記左剰余類によるGの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hに従う
（つづく）

>>343
つづき

７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もある）を考えることになって
　　これは、Gの正規部分群。このとき、正規拡大になっている
８．ということは、ある有理式を考えて、その最小定義多項式（＝補助方程式）を考えると、その最小定義多項式（＝補助方程式）の全ての根が使えるが、それを全て添加すると、Gの正規部分群と正規拡大の話になる
９．これすなわちガロア理論

”上記のような分解ができるということは、元の方程式のガロア群が正規部分群を持っている場合だけ”>>268
を正しく言い換えると上記のようになる？

これでOK？

>>344
まだやるのか？ｗ　

肝心なことがわかってないかな。

>７．で、４の最小定義多項式の根を全て添加するとは、Gの分解G=H+s1H+・・・+sk-1Hで、H、s1H、・・・、sk-1Hの共通部分（最大公約部分群などと書いてある本もあ

ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。
手短に書くと以下。

F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は
各々（上の記号を使えば）、

H　s_1H　・・・　sk-1H

となる。このとき、各因子のガロア群は、

Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1}

となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに
できる群のこと。

そして、すべての補助方程式の根を添加したときのガロア群とは、上のｋ個の
群の共通部分をとってできる根のことだよ。なお、この群はGの正規部分群の性質をもっている。
すでにHが正規部分群のときは、上の共通部分はH自身となる。俺のあげた例では
恒等置換となる。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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>>345
おお、ありがとうよ
君は、親切だし、本当にガロア理論を理解しているね

>ここが違う。H、s1H、・・・、sk-1H に共通部分はない。

そうだった。剰余類分解だから、共通部分はない

>Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... s_{k-1}*H*s_1^{k-1}
>となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_{k-1}で変換したときに

うんうん
変換だね
ありがとう

>>345
そうそう

>F(x)に補助方程式の根を添加して因数分解されたとき、各因子の根の順列は
>各々（上の記号を使えば）、
>
>H　s_1H　・・・　sk-1H
>
>となる。このとき、各因子のガロア群は、
>
>Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}
>
>となる。記号がわかりにくいが、要するに、Ｈを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換したときに
>できる群のこと。

ここ、流石だね。（蛇足だが、s_1^{-1}・・・(s_k-1)^{-1}は、s_1・・・(s_k-1)の逆元だね）
”各因子の根の順列は各々（上の記号を使えば）、H　s_1H　・・・　sk-1H”については、

”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”>>29と関連するけれど、普通に使われる順列を上下２行並べてするコーシーの記法（>>28）で
H　s_1H　・・・　sk-1Hで、コーシーの記法の下の順列だけを取るとガロア記法になる

ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H　s_1H　・・・　sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
Ｈ s_1*H* s_1^{-1} ... (s_k-1)*H*(s_k-1)^{-1}、つまりのＨを（恒等変換を含めて）、s_1・・・s_k-1で変換した群を表すんだよね

この見方は、ガロアの原論文>>3を読むときに常に意識しておくべき点だ

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！

　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！

>>343
最小定義多項式の参考に下記を
（最小多項式と書かれている本が多い。下記も）

http://www.kishimo.com/math/Galois/p46.html
アルティン「ガロア理論入門」を読む・p46の最小多項式の性質

>>348
>ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H　s_1H　・・・　sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
俺はあなたの言いたいことがよく理解できないが、ちょっと違う気がする。

例として、３次方程式の群である３次の対称群をとるとしよう。
H＝｛e, （αβγ), （αγβ）｝、S1=（αβ）とすると、元の群Gは、G = H + H*S1 と分解される。具体的に書くと

　H　　　　　H*S1
−−−　−−−−
αβγ　　βαγ
βγα　　αγβ
γαβ　　γβα

となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。

βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。
αγβ→γβα　は、（αγβ）に等しい。

恒等置換を含めると、H*S1に含まれる順列の間を移り変えるような置換は群になることがわかる。
この群は、実際に計算してみればわかると思うが、実は、、

　　S1*H*S1^{-1}

に等しくなっているのである！　ちなみにこの例では、Hと等しい。

よくわからなかったら、群論の本の置換の章でも参照してください。
　

ネット検索してたら、こんなのがあった
神田神保町の岩波書店に置いてあったのを見たことがある

http://mathsoc.jp/publication/tushin/0801/mitsumatsu.pdf
原田耕一郎著，『群の発見』岩波書店，２００１年，２４８ + xiv 頁　（三松佳彦，中大理工）
（抜粋）
本書が出版された２００１年１１月，生協の書籍部で見付けて直ぐに，これは素晴ら
しい本だと感じた．以来（特に教室内部では学生，院生たちに）「日本の数学書の中で
も特筆すべき名著」などと宣伝していたら，とうとう書評の依頼が来てしまった．改め
て読んでみても，最初の印象に間違いはない．この書評などどうでもよいから，とにか
く読んで頂きたい，というのが筆者の偽ざる気持ちである．特に若い人には是非読んで
もらいたい数学書である．しかも，この本自体が若者たちに読んでもらいたがっている
のだ．筆者も（残念ながらまるで若くはないのだが）大きな，しかも多くの意味で感銘
を受けた．

「こういう風に教えてくれれば，僕にもガロア理論はもっと素直に生き生きと分かっ
たに違いない！」本書を手にして最初に強く感じたことである．学生時代の自分のでき
の悪さを棚に上げるのは，教えて頂いた先生に失礼なのは百も承知であるが，正直な気
持ちである．

>>351
>俺はあなたの言いたいことがよく理解できないが、ちょっと違う気がする。

ありがとう、ありがとう
君は親切だね

だけど、これは大丈夫だ
ガロア記法では、コーシーの記法との関係は、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>2で勉強したから

P108 「ガロア流のガロア群」のところ
中村先生はガロア記法という表現はしていないが、コーシーの記法と対比するためこう表現した

>>353
補足
実は、中村先生の説明は
>>348で書いた
>ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略されるから、H　s_1H　・・・　sk-1Hで、下の順列だけを取るとガロア記法が即
とは違う説明だ

でも>>351で書いていただいた

”　H　　　　　H*S1
−−−　−−−−
αβγ　　βαγ
βγα　　αγβ
γαβ　　γβα

となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。

βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。
βαγ→βαγ　は、ｅに等しい。”

ってこと

>>354
ここは、ガロアの原論文>>3を読むときのキモなのでもう少し書く

今日、置換は普通はコーシーの記法
（a b c d・・・・k）
（a b c d・・・・k）
（直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください）
（コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう）
http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf
（>>28より再録）

で
”βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。
βαγ→βαγ　は、ｅに等しい。”
をコーシーの記法で書くと下記


(βαγ)
(αγβ)

(βαγ)
(γβα)

(βαγ)
(βαγ)

となる
（つづく）

>>355
つづき

つまり
　H*S1
−−−−
βαγ
αγβ
γβα　>>354

を”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”>>348と考えることで

(βαγ)
(βαγ)

(βαγ)
(αγβ)

(βαγ)
(γβα)
（注：ここは、>>355のコーシーの記法の置換のｅを並び替えて、上のH*S1の順列に合わせた）
（つづく）

>>356
つづき

同様に
　H　　　
−−−
αβγ
βγα
γαβ

のガロア記法を、コーシーの記法で書き直すと

(αβγ)
(αβγ)

(αβγ)
(βγα)

(αβγ)
(γαβ)

となる
このガロア記法→コーシーの記法の解釈では、常に先頭は恒等置換ｅになる
（つづき）

>>375
つづき

ガロア記法の原論文に忠実な説明は、P108 「ガロア流のガロア群」>>353が正確だ
でも、簡略化して”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”>>348と考えることで、ガロア記法が直感的に把握できて、ガロアの原論文の記述は十分理解できる

えーと、いま中村先生の本を見ると、P110から111に殆ど同じ表現がある。
違いは、ガロアの原論文の記述
「一つの順列からそれぞれの順列に移る置換の集まりが、どの順列から始めても同じになる」（ここは、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>2ガロアの原論文のP27に少し違う表現で記されているが）
に中村先生は忠実に説明されている

でも、簡単に言えば

　H　　　
−−−
αβγ
βγα
γαβ

のガロア記法を、コーシーの記法で書き直すと

(αβγ)
(αβγ)

(αβγ)
(βγα)

(αβγ)
(γαβ)
ってことでOK

>>358
補足

ガロアが「一つの順列からそれぞれの順列に移る置換の集まりが、どの順列から始めても同じになる」としているのは、
つづく「それゆえ、置換S,Tが同じ群に属すれば、置換STも確かにその群に属さねばならない」を言いたいためだったのだろう（＝ガロア群のガロア流の定義）
ここ、置換の積STで閉じているという話は、中村先生の本でP211に詳しい説明がある

でも我々が、ガロアの現論文を読むときは、群論の知識を前提としてガロア群は確立されたものとして、
ガロア記法→コーシーの記法の解釈を上記のようにすることで、現論文を直感的にできるねと中村先生の本で学んだ

ここらは、>>59-60にも書いた。その応用編が>>53-58、>>75だ

で、中村先生の本とあなたのおかげで、原論文でもやっとしていたところが、かなりスッキリした。ありがとう

>>354
補足の補足

”　H　　　　　H*S1
−−−　−−−−
αβγ　　βαγ
βγα　　αγβ
γαβ　　γβα

となる。ここで、H*S1の順列の中でβαγをαγβやγβαに変換する置換を考えてごらん。

βαγ→αγβ　は、具体的に書くと、β→α、α→γ、γ→βとなるから、（αγβ）に等しい。同様に、
βαγ→γβα　は、（αβγ）に等しい。
βαγ→βαγ　は、ｅに等しい。”

これを”ガロア記法では、コーシーの記法の上の順列が省略される”との視点から見ると

”　H　　　　　H*S1
−−−　−−−−
(αβγ)　　(βαγ)
(αβγ)　　(βαγ)

(αβγ)　　(βαγ)
(βγα)　　(αγβ)

(αβγ)　　(βαγ)
(γαβ)　　(γβα)

つまり、置換S1は、コーシーの記法の上の順列にも作用して、同じように置き換えをしていると見ることができる
ここは置換群論の変換”S1*H*S1^{-1}”>>351を学ぶときの重要なポイントだ。S1の逆元が出てきてなにをやっていのか見えないが、コーシーの記法の上の順列もまとめて置き換えているんだと見る

ところで、>>29の”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”で少し補足をしておきたい
>>325辺りでも使っているが、

”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ”と

つまり、
Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４→式Ｖ４と（α,β）が対応しているという見方が重要だと

ここは、ガロア論文の元の記述>>29では見えてこない
現論文>>3のP31の記述だが、ガロアは
ガロア分解式（リゾルベント）
　V=Aa+Bb+Cc+・・・
　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる>>28
として、
ガロアは、根a,b,c・・・をVの有理式a=φV,b=φ1V,・・・・,am-1=φm-1V (am-1並べた最後の根でm番目の根、m-1は下付き添字)
として、

（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）>>29

とガロア群（＝根の置換の群）を表す
でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明
でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと

ここは原論文では詳しく説明されていないが、倉田>>4P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）を考えればそうなる
（つづく）

>>361
つづき

例えば、
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V=Aa+Bb+Cc+・・・　）
の左右に、同じ置換σ（例えば互換（a,b））を施すことを考える
これをV’と書いて
V’＝Ab+Ba+Cc+・・・になるが

φV,φ1V,・・・・,φm-1V,は、a,b,c・・・だが、これが互換（a,b）で, b,a,c・・・の並びに変わって、それは即ちφV',φ1V',・・・・,φm-1V',だと
それが、倉田>>4P119の命題２の意味だと
（我々凡人は、ここまで噛み砕いて言ってもらわないと、天才ガロアの論文は読みこなせない）

>>353
なるほど。了解。

>>363
ありがとう
君に了解と行ってもらえると安心だ

ネットサーフィンをしていると、こんなのが

http://www.mypress.jp/v2_writers/hirosan/story/?story_id=1850669
五次方程式とガロア群論を理解するための“単純な”たとえ話(サイエンス＋数学) / ヒロさん日記 ：2009/8/10
（抜粋）
数学の進歩を100年早めたといわれるガロアの群論は、ときどき気になっている。とりわけ「5次以上の方程式は代数的な一般解が存在しない」という話は、せめて大まかな流れぐらいは理解できないものか。

もっとも薄手の本は133頁からなる『ガロアと群論』（リリアン・リーバー）。冒頭はとてもわかりやすく読めるが、50頁の「不変部分群（正規部分群）」と55頁の「可解群」は頭にスッ〜と入ってこない。結局は、

１つの方程式は、その群が、その方程式の係数を含む体に対して、可解群であるとき、かつ、そのときに限って、ベキ根によって、解くことができる（81頁）
ということが理解できればいいらしいが、この１冊だけでは埒が開けそうにない。翻訳調でわかりにくいところもある。そこで次に求めたのが『群論への30講』（志賀浩二）。
これは実にわかりやすく読める。11講以降の記号だらけの証明は読み飛ばしたくなるが、各講の最後にあるTea Timeという休憩コラムがこれまた面白く、なんとか先に進める。

で、問題の5次以上方程式に関しては、

5次以上の方程式にはべき根による代数的解法は一般には存在しないことを示した根拠は、ｎ＞＝５のときに、交代群Ａnは単純群であるという事実であった。（129頁）
「可解群でない」＝「交代群が単純群になる」と因数分解してくれたので、１歩前進だ。

方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。

このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。
ガロアが証明したのは1820年なので、200周年の2020年までに何とかしよう（笑）。

>>365
つづき

http://www.mypress.jp/v2_writers/hirosan/story/?story_id=1850669
コメント抜粋

むむむ、侮れない 2009/8/10(月) 23:37 ピンちゃん
ヒロさんが数学好きなひとであるのは知っていたけど、ここまで
本格的な興味をもっているとはおどろきました。

ただいま下山の最中です 2009/8/11(火) 01:21 Hiro-san★ブログ主
いえいえ、侮れないのは数学のほうです。整数、群論、関数、位相、集合・・・という山脈にうっかり迷い込んだら生きて帰って来れません。
でも五次方程式の山ぐらいは、アマチュア登山家のささやかな楽しみとして、体力をつけた上で登ってみたいのです。
ピンちゃんを昔いじめたのは、整数の女王さま？　ベクトルの剣？　三角関数の恋の病？　それとも微積分の羽交い締め？

＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞（この[物理のかぎしっぽ]は、これ以外のページ（二十面体など）をかなり参考にさせてもらいました。）
http://hooktail.sub.jp/algebra/GaloisTheory/
ガロア理論と代数方程式

ネットサーフィンで、こんなのも
Wolfram|Alphaってページは初めてだけど、無料登録もあるそうだ
一度は覗いてみる価値ありだね

http://blog.livedoor.jp/dankogai/archives/51507410.html
2010年08月23日 22:30 群の叡智 - ガロア理論を知るための三作
（抜粋）
四次までなら、Wolfram|Alphaも知っている。次数が一つ上がるごとにとてつもなく難しくなっていくことがここからも伺えるだろう。
a_0x+a_1=0 - Wolfram|Alpha　http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%2Ba_1%3D0
a_0x^2+a_1x+a_2=0 - Wolfram|Alpha　http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E2%2Ba_1x%2Ba_2%3D0
a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0 - Wolfram|Alpha　http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E3%2Ba_1x%5E2%2Ba_2x%2Ba_3%3D0
a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha　http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E4%2Ba_1x%5E3%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%2Ba_4%3D0

ところが、五次ともなるとお手上げなのだ。
a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0 - Wolfram|Alpha　http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E5%2Ba_1x%5E4%2Ba_2x%5E3%2Ba_3x%5E2%2Ba_4x%2Ba_5%3D0

「天才ガロアの発想力」、「ガロアの群論」と読み継いだ人であれば、本書も落ちついて読めるはずだ。「決して難しくはない」という「ガロアの群論」の紹介は間違っていない。問題に回答集が付いているのも親切だ。

刊行の順番がこうだったらどれほどよかったか。しかし現実は逆である。ガロア理論に限らず。後にかかれた本ほど、難しかったことがやさしく書かれている。

天才とは、それを逆に進めることなのだ。坂を上るのは大変だが、下るのは楽なのに似て。

そして一旦坂を上り切ってしまえば、そこから同じ道を下る必要はない。裾野は四方八方に広がっている。
その裾野が広ければひろいほどすごいということになるが、群論の裾野の広さは群を抜いている。ルービックキューブから宇宙論まで、およそ対称性があるところには必ず顔を出す。
ルフィニもアーベルもこの点では頂上に一歩およばず、そしてガロアも眺望を楽しむ前につまらぬ、実につまらぬことで絶命してしまった。

こんなのも

http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/253.html
ガロア理論　なぜこの方程式は解けないか？ （さくら教育研究所）

■ガロア理論への旅　その１
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。

ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生）

■ガロア、わが青春の砕けた夢

　いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。
確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。

これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。
今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。

「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。
カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。

だが抽象代数学は本当に難しい。
ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん）

こんなのも。海城ね

http://www.kaijo-academy.jp/press/2011/08/post_311.html
第二回数学科リレー講座「ガロア生誕２００年記念講習会」第六日目　2011.08.28. (海城PRESS)
抜粋
最終日の今日（２７日）は網谷先生が担当（写真１）。ガロア理論のアプローチの方法はいくつか考えられますが、昨日の授業を聞き、その「バトン」を受けて、アンカーはスタートされました。

中間地点にさしかかり、いよいよガロア理論の本題である，体の拡大とガロア群の縮小の関係が登場しました。
「解けていない」方程式を「解けた」方程式にするために，係数体にべき乗根を添加して拡大体の列をつくること。そのとき，各拡大体上のガロア群が縮小して部分群の列が対応すること。
そして，方程式の可解性がガロア群の可解条件で表せることが，見事に示されました。

ともあれ、偉大なガロア先生生誕200年に際し、このような試みができたことに担当者一同、感謝で一杯です。熱心に聴講してくれた受講生の皆さん、有難うございました。皆さんの今夏の思い出のひとつにしてもらえれば、こんな嬉しいことはありません。

【講義を終えて】（網谷先生）
最終日は、ガロアの定理の説明がテーマです。
この定理は、有理数体の拡大体と方程式のガロア群の部分群が対応するということをいうものですが、非常に難解な定理として知られています。
中高生に伝えるとなったとき、全く分からなかったとなると残念なことになるので、「数」の視点から、ガロア理論の意義のなるべく分かりやすい説明を最初に行いました。
結構真剣に聞いてくれている様子でうれしかったです。
そのあとの話の流れは、「方程式のガロア群」→「ガロアの定理」→「3次方程式」
となりました。「5次方程式」は、時間の関係で説明できませんでした。
3次方程式がなぜ平方根と3乗根を1回ずつ使って解けるのかということを伝えたかったのですが、途中でタイムアップ。
ガロア群を見れば、方程式が解けるかどうか、また解ける場合どういう風にべき根を取ればよいかが分かる。
このことが、定理の醍醐味で、ガロアの天才ぶりを表すものです。
プリントなどの準備には、いろいろ悩んだところもあったのですが、数学の奥深さや美しさ、何でもよいので興味をもって皆さんが勉強を進めてくれたら、これ以上の喜びはありません。

>>369
網谷先生って、次の早稲田理工の網谷泰治先生かな？
名前が珍しいから、検索してみた

http://www.wnp7.waseda.jp/cgi-bin/kadai/KadaiShowDetails.cgi?LANG=JPN&ENV=REAL&DATA=5100&HS=&QS=LANG%3DJPN%26ENV%3DREAL%26END_YEAR%3D%26KADAI_NUMBER%3D%26KYOUIN_S%26next%3D5000
課題番号: 2007A-874
研究課題 高次数 Castelnuovo 多様体の構造に関する研究
研究者所属 資格 氏名
(代表者) 理工学術院 助手 網谷　泰治

>>365-370
ネットサーフィンはこれくらいにして
なかなかガロア理論を全体的かつ直感的に理解するのはむつかしいという声が多いので、ここまでのスレをまとめてみよう

>方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。
>このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。

このマップは、現代ガロア理論のものなんだよね
ガロアは体論はもって居なかった。持っていたのは、>>361-362の体論の代用となるV=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）>>28と、Vと置換との同型対応（例えば（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',）
それを通して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がどうなるかを見る>>33

これが、ガロア理論の足場>>198-200
そして、ラグランジュの定理というのが、ガロア理論の一つの補助線なんだ>>330

ラグランジュの定理は、>>314の定理3.3にあるが
定理3-3 有理式f(x1,x2,・・・,xn)を変えない置換で，有理式g(x1,x2,・・・,xn)を変え
ないならば，有理式gはfの有理式になる。係数はx1,x2,・・・,xnの対称式である．
（つづく）

>>371
つづき

１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ
２．ここで代数的可解性の原則を認めて、元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解くことを考えてみよう
３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）
４．で、>>343
　・ある根の有理式を持ってくる
　・その有理式で根a,b,c・・・の置換を行なって、値の異なるものを集める
　・そうして、最小定義多項式（＝補助方程式）を作る（補助方程式は根と係数の関係から、元の体の数になる）
　・最小定義多項式には、有理式の置換で異なる値（補助方程式の共役な根）が含まれる
　・補助方程式を全部添加して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）の因数分解（可約性）を見ると、因数分解できるときは補助方程式のガロア群をHとしてHがもとの方程式のガロア群Gの正規部分群になってしまうんだと
　ここは、上記の>>345-348だ

つづく

>>372
つづき

５．繰り返しになるが、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっている
　　で、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている
　　つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない
６．そして、根の有理式から補助方程式を作ってF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*の因数分解（可約性）を見るとガロア群Gの正規部分群になるように分解するしかない
　　つまり、ガロア群Gが正規部分群を持つという良い群としての性質を持っていないと、いくら補助方程式を作ろうと思っても、それは元々無理だと
７．これを具体例で見ると、>>323-342だ
　　>>280のように３次方程式の根の有理式(α-β)^2 を考える。根の置換を考えると、
　　補助方程式 g(x)={ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0ができる
　　ここで、有理式(α-β)^2 だけなら２次式で簡単だけど、置換をすると、共役な(β-γ)^2、 (γ-α)^2達が出現する
　　で、補助方程式は３次式で根は３つになる
　　この補助方程式の根全てを添加するとは、>>328補助方程式 g(x)のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作って（係数A、B、Cは置換で値が異なるように取る）
　　V’を添加することと同じ
　　ところが、ガロア分解式V’は、根α、β、γの置換全てで異なる値を取り、６つの異なる値を取ることに
８．上記７を要約すると、簡単な有理式をとってきても、そこから補助方程式を作るときに、共役な仲間達が出てきて次数が上がる。
　　そして、ガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作ってその取る値を見ると、また次数が上がる場合がある。
　　この場合は、結局６次まで次数が上がってしまって、VとV’は同じ分解能力を持つってことになってしまった（つまり、方程式を解く視点からは役に立たないと）
つづく

>>373
つづき

９．ここで、一般の５次方程式のガロア群は、５つの根の全ての置換120個からなるS5（5次の対称群）で、S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみで、A5は単純群で非可解だということを認めよう
１０．となると、上で述べたように、どんな有理式を作って補助方程式を作っても、元々の群がいい性質を持っていないから無理だよと
１１．この事情を、上記にならってお話風に言えば、一般の５次方程式のガロア群は、置換の組み合わせが120、交代群で60もあって、根の有理式をよってたかって沢山値を作ってしまう
　　　沢山値を作ってしまう仕組みは、根の有利式の共役な仲間達と、その仲間達と作る補助方程式のガロア分解式V’の組み合わせの作用
　　　一口で言えば、置換の組み合わせが多すぎて、次数は下げられないよと

>>374
補足

１．S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみは、５次以上ではそうなると証明できるそうだ
　　A5は、偶置換全体の成す群だと。残りが奇置換全体。
　　この事情は、根の全ての差積からなるΔ（＝判別式Dを√で開いたもの。というか、Δの自乗がDという方が正しいかも）を添加することで、ガロア分解方程式が120次から60次に下げられるということにつながる
２．根の全ての差積からなるΔは、全ての奇置換で値を変える（正負の符号が変わるだけ）。しかし、偶置換では値を変えないという性質がある。で、Δの自乗Dは、偶置換でも奇置換でも値は変わらないと

>>372
代数的可解性の原則は、下記のP26などをご参照。倉田>>4なら、P154など
http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf　>>321
方程式論の歴史（平成１４年）

>>376
訂正

>>321
　↓
>>317

俺の８６を賭けて決闘だーーーーーーーーーーーー！

>>375
> １．S5の正規部分群はA5（位数60の5次の交代群）のみは、５次以上ではそうなると証明できるそうだ

えーと、この件は下記、URLの定理をご参照
定理4.15. n ? 5 ならば，交代群An は単純群である．すなわち，An 自身と{1} のほかに正規部分群をもたない．
定理7.3. n ? 5 のとき，交代群An は可解群ではない．また，対称群Sn も可解群ではない．
http://mathematics-pdf.com/pdf/
PDF形式の数学ノート : MATHEMATICS.PDF
http://mathematics-pdf.com/pdf/symmetric_grp.pdf
対称群(154KB)

>>379
補足

お話風には、対称群や交代群は、次数が上がると、置換の絡み合いが増えて、正規部分群が減るってことなのだが
次の正多面体との関係も参考になる
交代群A5が、正２０面体群と同型で、楕円関数を使えば解けると（それくらい根の絡み合いが複雑になっていると）

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/450_20.htm
５次方程式・再訪 (07/02/07)

クラインの見た正２０面体（正２０面体方程式）

集合を分解して細かくしていく、という一つの過程の中で、
なかには特殊な性質の集合もありました。そして偶然にも
ワレワレが昔から知っていたのはその特殊なモノだけだったのです。

初学者を騙くらかすような表現が多くて怒りを覚える。
定性的な言い回しは禁欲的に。

>>381
乙す
まあ、そういう見方もあるね
低次元と高次元では性質が違うという見方もできるかも

>>382
乙
そういうなら自分でも何か書いてみな
批判はそれからにしてくれ！

>>143-144
>さて、今日の本題は、「数学史 (数と方程式)」小杉肇
>このP118にLagrangeの方程式論が詳しく書かれている
>日本語の文献としては、Lagrangeの方程式論がもっとも詳しく書かれていると思う

最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い

というか、ガロアは完全にラグランジュを下敷きにしていると思う
その痕跡をかなり消しているが
ただし、方程式のガロア群とその分解を明確に意識して理論を展開したという点では、やはり天才ではあるのだが

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html
代数方程式のガロアの理論
（ISBN4-320-01770-6）
Jean-Pierre Tignol　著
新妻　弘　訳
A5，360頁，3200円

第10章　ラグランジュ
10.1　方程式の理論の成熟
10.2　既知の方法に対するラグランジュの考察
10.3　群論とガロア理論の最初の成果

>>385
ガロアは、ラグランジュの理論も、ガウス理論（円分論）もアーベル理論（５次方程式の非可解とアーベル方程式）も見ていたのだろう
そして、
ガロアリゾルベント
V=Aa+Bb+Cc+・・・

置換群のガロア記法>>28
a b c d・・・・k
b c d・・・・k a
・・・・・・・・・・・

ガロアリゾルベントと置換群のガロア記法との対応>>29
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・

ガロア（分解）方程式
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）

を道具として、元の方程式の根の有理式を添加したときのガロア（分解）方程式の変化を、群論（正規部分群）として捉えた
それは、やはりラグランジュや、ガウスやアーベルよりも高い地点に到達したということだろう
補助方程式の根を全て添加して、ガロア（分解）方程式が可約になるためには正規部分群の存在が必要なのだと
そこから、べき根添加の場合にどうなるかをガロアは正しく把握した

ラグランジュとガロアの差は、パラダイムシフトと見ることができるかも・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%80%E3%82%A4%E3%83%A0%E3%82%B7%E3%83%95%E3%83%88
パラダイムシフト（英: paradigm shift）とは、その時代や分野において当然のことと考えられていた認識や思想、社会全体の価値観などが革命的にもしくは劇的に変化することを言う。

まあ、アインシュタインが特殊相対論を提唱したことに例えられるかも
ポアンカレも「ローレンツ収縮」には到達したが、アインシュタインのように空間と時間が相対的に変化するというところへは、到達できなかった

「空間と時間が相対的」ということは、一種の物理における補助線だった
この補助線で、物理の世界の見え方がすっかり変わってしまったのだった

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
ローレンツは1900年に「マクスウェルの方程式から導かれる電磁気学の法則はローレンツ変換に対して不変である」（ローレンツ不変）ことを発見した。

力学の法則はガリレイ不変であるが、電磁気学の法則はローレンツ不変であるという矛盾に対し、数学者のアンリ・ポアンカレはローレンツ変換に対して不変とした力学の法則を提示した。
この力学では、光速に近い速度では物体の長さが減少するという「ローレンツ収縮」が導入されている

>>384
これらの文章を自分の責任で書き直すならば、書き足しはしない。ただただ大量に削る。

>>384
補足

ここは２ちゃんねる。大学の講義と同じ内容を期待しているなら、期待はずれ
というか、大学の講義と同じ内容なら、このスレの存在意義はないよ

初学者を騙くらかすだ？　初学者はいつまでも初学者じゃないだろうよ
入手可能な書籍およびネット上の情報は提示している。このスレをきっかけに自分で勉強するんだよ。このスレだけで完結すると考える方がなんだかへん

定性的な言い回しが良いんだよ。ここは、２ちゃんねる
難しい厳密な表現と証明は、世の中の数学書にあふれている

それと同じ内容なら、このスレの存在意義はないよ
定性から厳密な定量へ（それは主に本の該当箇所の提示になるだろうが）、厳密な定量から定性へ

この行ったり来たりがこのスレの存在意義だよ
定理の積み重ねで数学が出来上がっているというのは、数学の一面に過ぎない

もっと自由に、もっと直感的に！>>199-203
>>76
”「数学に直感を取り戻そう！」>>25
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26
複雑なことを図式化し、見える化する>>27
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）”ということ

それがこのスレの存在意義

>>388
評論家は世の中に沢山いるんだ
巷の野球評論家は、プロ野球選手と同じプレーはできなくとも、口先だけは一人前さ

ここは2chだと分かっているのにスルースキルは無し

>>391
乙！
スマソ。荒らしをあおった、おいらがバカだったorz

>>361
>でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明
>でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと
>
>ここは原論文では詳しく説明されていないが、倉田>>4P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）を考えればそうなる

これ少し考えて見たが
倉田>>4の７節「ラグランジュの定理」の証明に使う分母に微分が来る式があるんだが、その筋で直接照明できるね
時間があるときに書く

>>386
>ラグランジュとガロアの差は、パラダイムシフトと見ることができるかも・・

ガロア第一論文の最後は、素数次数の既約方程式への応用で、位数n(n-1)の線形群のときに、累乗根で解けるとしている
これも、ガロアリゾルベントを使って考えた方が、見やすいかも
後日、時間のあるときに

↓のレスを見て思い当たった。このスレはお節介が過ぎるのだ。

141: 猫は馬鹿が憎い ◆MuKUnGPXAY [age] 2012/02/23(木) 00:19:38.13

>>139
ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。

>>395
乙

「お節介」の定理かね？
その定理を自分に当てはめてみたら？
自分が余計な３行（正確には４行か）を書いたとは思わないのかね？

なに？
おいらのレスがお節介だと天の声！
失礼しましたorz

>>395
吉田輝義さんのガロア理論というのが落ちていた
これでも読んで、感想文でも書いてくれ

http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/2010_Galois_M24/2010_Galois_M24.pdf
GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010
(M.W.F. 11AM, MR3)
TERUYOSHI YOSHIDA

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/algebra/GaloisbySH.htm

Maximaを使っているこんなページもあった

http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/perm/glgrp.htm
Galois 理論の数値実験

最後に
多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。人間の抽象化能力は具体的事実とのペアで働きます。具体例を伴わない抽象化は無意味です。論理だけでは抜けが入り込むからです。

こんなのがあった
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003

>>398
＞多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。

細菌の教科書はバカ丁寧なほど実例が挙げられていると思うけど、
具体的にどのような本のことを言ってる？

そういや昔クマーがガロア理論に方程式論は必ずしも必要はないっていうようなことを
言ってたと思うんだけど、俺もそれには同意だな。かなり叩かれてたけどｗ
方程式論までしか知らない人にはガロア理論はそれがすべてなんだろうけど、
いまはもっと広い意味で使われてるんですよ。

昔なら読めるもんなら読んでみろって感じだったんでしょうか
今は読んでください丁寧に説明します、ですかね

初学者にとってのモチベーションが失われるような意味もある
もっと上のレベルの事を勉強してたら広い応用があることがわかるはずだ、
とか言ってたら、数学を既に知っている人しか教科書を読めなくなる
実際そういう本は多いけどね

398の意図を読み損なったと思ったので、401のレスをしました。
今の教科書が不親切云々ではなく、体論に基づいたガロア理論が抽象的だという
話だったのかなと思ったので。

ガロア理論は多くの人が関心をもっているだけに、具体的でていねいな教科書が多いと思うけどね。
当然そうでないのもある。そういうのがだるいという人もいるので。
自分にあったのを選べば良いわけで、少なくともガロア理論はそれが可能なだけの数はあるんじゃない？

>>400
乙
>＞多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。

これは、引用元の人が言っていることだよ、おいらじゃなく
だが、”自分で具体例を手を動かして計算しなさい”という意図だよ
まあ、教科書はページ数の制約もあるから（それは出版社からの営業上の要請（ページ数と値段がほぼ比例）もあり）、ある程度ページ数は削らざるを得ない。だが、ネット上はそういう制約はなしだ

>>401-405
視点が違う
スレタイ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”だ
現代ガロア理論ではなく、古典としてのガロア論文を読むことを主眼とするスレだよ、ここは！

>>393
>でも、この表現だと、例えばV'に対応する置換φV',φ1V',・・・・,φm-1V',が具体的にどういう根の並びになっているか不明
>でも、直感的には例えば、V1=Ab+Ba+Cc+・・・（互換(a,b)）なら、根の並びも b, a, c ・・・（互換(a,b)）が対応するんじゃないかと。それが自然な対応で、そういう自然な対応になっていないと、群の積を考えたときに困るだろうと
>倉田>>4の７節「ラグランジュの定理」の証明に使う分母に微分が来る式があるんだが、その筋で直接照明できるね

今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より
（ラグランジュの定理）
体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。
α１、・・・、αｎのｋ上の有理式
β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において
βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、
γはβのｋ上の有理式で表される。

証明は、
デデキント、ラグランジュの論法を使う
βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、
Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H
とする。
β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、
β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。
γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。
このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。
但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。
F(ｘ)＝（ｘ−β）（ｘ−β1）・・・（ｘ−βk-1）
を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。
F(ｘ)（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））＝G(ｘ)
を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。

これから、
γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式
F’(β)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

>>407
このデデキント、ラグランジュの論法は、すこぶるエレガントなんだ

>>407
補足

（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））の式で、分母と分子が同じ置換で生じた値でペアになるようにしている
これがミソ

つまり、ある置換で分母分子がくっついて同じように動くから、式（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））は置換で項の順序が入れ替わるだけで、和として値は同じ
だから、式（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））は、ｋ上の有理式だと

このやり方は、「数III方式ガロアの理論」矢ケ部 巌>>198の P210-211にもある。
最初これを読んだとき、なにをしているのか、さっぱり分からなかった印象がある
でも、今見るとエレガントだなと

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　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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>>407 訂正
F’(β)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)
　↓
F’( x )＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

>>409　つづき

>>372
「１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ」
「３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）」

V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで、>>407にならって、Snの置換によって生じる量の全部
V、V1、V2、・・・、Vk-1　（k=n!）
で、元の方程式の一つの根aがa＝φ(V)という有理式で表されたとして、上記同様Snの置換によって生じる量の全部を考え
φ(V)、φ(V)1、φ(V)2、・・・、φ(V)k-1　（k=n!）
ここで、この中には同じ値のものが存在する。例えば、一般５次方程式なら根は５つ(例 a,b,c,d,e)であるから、異なる値は５で２４づつ同じ値が存在する。

F(ｘ)＝（ｘ−V）（ｘ−V1）・・・（ｘ−Vk-1）として
F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ)
φ(V)＝G(V)／F’(V)
F’(x)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

>>411　つづき
で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。

１．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする
そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう
Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項）

F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ)　（k=5!）
で、この式の両辺に置換σを施す
この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ
ただ、（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））の並びが変わる

φ(V)／（ｘ−V）は、φ(Vb)／（ｘ−Vb）に変わる
φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)

２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま
３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している
４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ

>>412
なので、>>325でしたように
”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ”

と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる
そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

ここは、前述>>361のように
倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている
>>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう

>>412
補足

>ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
>つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)

ここは、
φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ−V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409
分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると
そういう見方もできる

>そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し
この順列と下記の置換が対応する
（a,b,c,・・・）
（a',b',c',・・・）
（ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください）

V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント
　↓
（a',b',c',・・・）順列
　↓
（a,b,c,・・・）置換
（a',b',c',・・・）

という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った
これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか

>>414
ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある
例えば、ガロア論文の最後の定理
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と

つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった

>>415
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった

補足
ガロア群Gの位数がn(n-1)として、nは素数
とすると、シローの定理(下記)により、ガロア群Gは素数n次の巡回群を部分群として含むことになり、Gは線形群が出るのだろう

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
シローの定理

これだけ古典的数学に造詣をお持ちの方というとＴ氏なんでしょうか？

>>417
乙です
Ｔ氏がどなたか存じ上げませんが、別人です

test

>>415
補足

ガロア論文>>3の第VII節は、原文ままでは分かりにくい
倉田>>4 P164の解説がお勧め
ガロアは、素数P次の既約方程式に対し
G=H1＞H2＞・・・＞Hμ-1＞Hμ＝（e） （ここで＞などは、群論の含む記号のアスキー代用。また、Gは方程式のガロア群、（e）は単位元のみからなる群）
という、べき根添加による正規拡大列を見ていた

そして、（e）の直前のHμが素数P次の巡回群であることを述べ、Hμ-1が線形群になることを述べる
倉田P166（エドワーズ）の証明では、Hμ-1が素数P次の巡回群の正規拡大であることを使って、線形性を導いている
直感的でわかりやすい

ガロアは時間が無かったのか、あるいは現在のように群論を表現する記法が十分発達していなかったのもあると思うが、お話し風に書いてあるので分かりにくい
一度、解説を読んで、それから原文を読むのが良い
ガロアは間違いなく、倉田（エドワーズ）が示すような風景を見ていたことは確かだろう。だが、見ている風景を表現する記法は当時十分発達していなかったのだった

なお、第VII節のP39の最後のラグランジュの分解式（正確にはそのn乗）を使う解法は、ラグランジュがすでに得ていたことは、
「数学史 (数と方程式)」小杉肇や「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385に記されている

倉田>>4は、P206「22. ラグランジュとガロア」で、両者の関係について詳しく述べている
２説あるという。一つは、ガロアがラグランジュ理論の完成者だと
上記の小杉肇やJean-Pierre Tignolを読むと、この説に近いかなと個人的には思う
（倉田は、P208で当時ガロアが逮捕されていたときの釈放要求の新聞記事でガロア論文は
「ラグランジュの解釈できなかった困難を取り除くもの・・・」を引用している）

”記者がこれらのことに通じているとは考えられないから、これはガロア自身が語ったことだろう”と

>>420
（さらに補足）

しかし、そうだとしても、群論の創設は革命的であり、パラダイムシフトと見ることが出来る>>386
まあ、アインシュタインが特殊相対論を提唱したことに例えられるかも>>387
（特殊相対論によって物理学は、単なる数式でしかなかった「ローレンツ収縮」>>387 を大きく超えて発展したのだった）

>>421
群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。

>>422
>群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。

なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな
「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385 P146 「10.3 群論とガロア理論の最初の成果」に、
「・・・ラグランジュ・・・。実際、彼は根の置換に関する計算に着手しており、群論とガロア理論における最初の成果を得ている。」と認定している

ところで、有名なペレルマンが、「ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとして」ミレニアム賞の受賞を断ったとか
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3
2010年3月18日に、クレイ数学研究所は、ペレルマンがポアンカレ予想を解決したと認定して、ミレニアム賞（副賞として100万ドル）授賞を発表した。
彼は2010年6月8日の授賞式に姿を見せなかったが、クレイ数学研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。
同年7月1日にロシアのインテルファクス通信がペレルマンの話として伝えたところによると、受賞を断った理由は複数あるが、ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとしてあげたという。
（引用おわり）

つまり、「数学界では、大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、証明を完成した者が評価される」という性癖があると言われる
ペレルマンは、「自分はハミルトンという巨人の肩の上に登って、仕事をしたのだ」と言いたかったのかも

さてガロアの例で言えば、ラグランジュは置換群論の始祖であって、彼が最初の成果を得たことは、Jean-Pierre Tignol>>385認定の通りだろう
そして、おいらも「ガロアがラグランジュ理論の完成者だと」思う>>420
だが、数学界一般では、ガロアを群論の創始者とする人たちも多いみたい。それは、ガロアが大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、目覚しい成果を数学界の人々に見せたからだろう

ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う
だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ

>>423
>ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う
>だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ

現代では、誰もが先達の巨人の肩の上にいる
それを否定しては、何事も成り立たない
巨人の肩の上に乗っていいが、礼儀がある
先達のオリジナリティーを尊重し、きちんと引用を明確にすること
この点、ガロアはラグランジュの引用が少なすぎると思う
だが、彼は若かったし、時間がなかったのだろう。この点はスルーとしたい

>>424
補足

巨人の肩という言い方は、ニュートンの言葉として有名だ（下記）
http://ja.wikiquote.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3
私がさらに遠くを見ることができたとしたら、それはたんに私が巨人の肩に乗っていたからです。--ロバート・フック宛書簡、1675年2月5日（ユリウス暦、グレゴリオ暦では1676年2月15日）
If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of giants.　

http://q.hatena.ne.jp/1209546713
ニュートンの有名な言葉「巨人の肩の上に〜」について、その典拠を調べています。

ライバルであるロバート・フックあての1676年2月5日付けの手紙だそうです。

ただし、この言葉はニュートンの独創というわけではなく、1159年にすでに引用の形で残っているとのこと。

>>423

単純に、有名な問題を解いたというだけで賞金を出す
クレイの売名行為が嫌いだったんだろう。

グロタンディクが、軍から研究所への資金援助を嫌って
隠遁生活に入ったようなもんだ。

>>423
>なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな
もっと遡ると、いわゆる対称式の対称性を初めて認識した人ではないだろうか？
つまり、対称式ではどんな置換をしても式の形が違わないということに気付いた人だね。

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>>426
乙。そうかも

>>427
対称式ね。そうなのか。根と係数の関係（基本対称式）はいつから意識されていたんだろうか？
そういえば、有名なニュートンも対称式を研究していたようだが？

>>428
乙！　いつもご苦労さまです！　できれば、”age”にしてもらえるとありがたい！

正20 面体について検索していたら、こんなのが。メモ代わりに貼っておく

http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
ENCOUNTERwithMATHEMATICS

第51回 正 20 面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日(金), 3日(土)

物理学や天文学の発展がなければ
数学上の重要な発見もどうなっていたか？

同じく

しかし、数学展望 IIの講義資料は、だれかタイプアップしてやれよ、おい＞学生、手分けして　（シラバスは同感）
http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=55&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)

http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)

http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus
シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)

歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。
20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。
本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。

>>431
うん、ちょうど>>432をアップしたところだ
”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。”（粟田英資 准教授）だと

>>433
おお、ありがとう！！
解析力学とかベクトル解析も数学として学ぶことも
出来るが矢張り、数学科でも物理的観点を教えるべき。

>>430-432
A5（５次交代群）が、正20面体群に同型というのは有名だが、詳しい説明を探していたんだ
下記が良いね
図があるので、それを見ながら読んでください

http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
正多面体群２ [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十二面体と正二十面体
正十二面体や正二十面体でも，(正四面体で先に示したように)頂点の動きに着目すれば，5次の交代群に同型だということが分かります．
P(20)〜P(12)〜A5
（つづく）

>>435　つづき

http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
正多面体群２ [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十二面体が 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します．

正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．

この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．

正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．

さて，上の図のうちの一つだけに注目しましょう．正十二面体群の元のうち，内接する正六面体を正六面体自身に移す変換は，もちろん正十二面体も正十二面体自身に移します．
そこで，正十二面体群の元で，内接する正六面体をも保つものをまず考えます．左から四番目のものが見やすいと思います．

まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
P(6)と違うのは，正六面体の各辺の中点を結んだ線を中心に回す変換が無いことです．このような回転は正十二面体の対称性を崩してしまうことがわかるでしょう．

結局，上記の二種類に恒等置換を加えて，正十二面体群のうち，正十二面体も内接する立方体も両方不変に保つものには8+3+1=12種類あることが分かりました．
24のちょうど半分ですから，位数からだけでもこれが交代群であることが証明できそうですが，念のため，頂点に番号を振って，ここで求めた変換が偶置換であることを示しましょう．

正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には 種類ありましたから，次式が成り立ちます．

P(12)〜5xA4=A5

>>434
乙です
そうそう

でも、粟田英資 准教授 講義資料 | 数学展望 II http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials
で、初回にもう少し全体像を話す時間を取った方が良いだろう
シラバス http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus
”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。
20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。
本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。”
の時間を、そしてそのレジュメを
初回で、数学と物理の関係の全体像をレビューする

たとえば
ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた
それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン）
分数関数の積分の要請から、分母の因数分解が強く求められ、方程式論から群論に発展した
電磁気学が出てきた
その刺激で、数学はベクトル解析やテンソル解析が発展した
微分方程式を解くための演算子法が出てきた （これは工学から）
熱伝導方程式を解くためにフーリエ変換が出てきた
その下で、相対論が出た
量子論もハミルトニアンをベースに発展した
数学が多次元空間や無限次元空間を扱えるように発展した
ディラックがデルタ関数の有用性を示した
シュワルツが超関数を考えた
佐藤幹雄がhyperfuctionを考えた
ワインバーグサラム理論（非可換ゲージ理論）が出た
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96#.E9.87.8F.E5.AD.90.E8.89.B2.E5.8A.9B.E5.AD.A6.E3.83.BB.E3.83.AF.E3.82.A4.E3.83.B3.E3.83.90.E3.83.BC.E3.82.B0.E3.82.B5.E3.83.A9.E3.83.A0.E7.90.86.E8.AB.96
南部 陽一郎がstring theoryを考えた http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96
ウィッテンがこれを発展させて、どういうわけかフィールズ賞をもらった
（つづく）

>>437
つづき

アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった
それが、ウィッテンのM理論に
ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ

量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係

ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%AC%A6%E5%8F%B7
ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_Golay_code
http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice

ソリトンも落とせないかな
フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、
計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。
http://en.wikipedia.org/wiki/Soliton
In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach.
They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3]
（つづく）

>>438
つづき

ヴィラソロ代数→頂点作用素代数　みたいな流れもあると思うんだけど
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%82%BD%E3%83%AD%E4%BB%A3%E6%95%B0
数学・物理学においてヴィラソロ代数（ヴィラソロだいすう、英語: Virasoro algebra）は円周上定義される複素多項式ベクトル場の中心拡大として与えられる無限次元複素リー環で、弦理論において広く用いられる。名称は物理学者のミグエル・ヴィラソロen に由来する。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0867-09.pdf
頂点作用素代数入門

最近では、ペレルマンのポアンカレ予想の解決に、熱力学のエントロピーや熱浴の概念が用いられたという
http://www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/HtmlDoc/materilist.html
Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 http://www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/PDF/gp1.pdf

で、話はてんこ盛りになるけれど、全部は話せないので、話題を絞って話すと
つまり、全体像→部分像という流れを押さえておくことが要点
それから、物理から数学、数学から物理の行ったり来たりの歴史も入れて
毎回読み切り：今日の講義を聞いて、まとまったなにか「なるほど」と思う要素を入れる

こんなことに気をつけると面白いと思うよ

>>436
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと

>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)〜5xA4=A5

P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！　これかなと

まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと

これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ

>>440　訂正スマソ

５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
　↓
・・・組み合わせから成る群だと


しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、
　↓
・・・、それはA5に落とせるが、

>>440
補足
>５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と・・

A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で
シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが）

ここらの事情は、エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)に詳しいが
（エム・ポストニコフで、検索してたら、下記が・・・
http://d.hatena.ne.jp/nankai/20110805　
2011-08-05 ガロア理論
雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した．
（抜粋）
ガロア理論については思い出がある．
エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った．
大学に入ったらこの本を読もうと，それを励みに受験勉強した．

・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．
そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．

今回，吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで，若いころの自分の思いを整理することが出来た．また論考の中の基本定理の証明にも，あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに，心を動かされた．

今から思えば，あのとき，19歳の夏にガロア理論を読んであのように思ったのなら，ガロア理論がどのような公理的前提のもとに示されるのかとか，5次方程式の根の公式の不存在の証明に何が用いられるのかとか，その根幹の定理は何かとか，
自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．
それをしなかった，あるいはそのような問題意識は持ちえなかった．これらのことをいろいろ思い起こし考える機会となった若い吉田氏の論考に感謝する．）
（つづく）

>>442
横道にそれたが、雑誌『現代思想』4月号 吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動ですか
しかし、おそらく大半の人はそこまで行くまいが、読んでみたい気はする

で、エム・ポストニコフは
>>72
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01
で、元吉文男も引用している

なぜか、これ書棚のこやしになっていたんだ
いま読むと、なかなかいい本です

ポストニコフP145から、５次の推移群として
位数５　C5巡回群
位数10 B5 半メタ巡回群
位数20 B'5 メタ巡回群

これらが、べき根で解かれる群だと

>>399
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003

大迎規宏くんは、ポストニコフを引用していないが、内容重複している部分があるよ
それと、元吉文男も引用していないが、元吉文男を読んでいれば、ポストニコフには気付いたろう

それはおいておくとして、我々はありがたく大迎規宏「可解な5次方程式について」を読ませていただければ
なお、大迎規宏はジラードの標準型まで落としているが
元吉文男は４次項を落とすだけに止めて係数が有理数体から拡大することなく、可解性が高速判定できるように工夫しているのだった
（これは、大迎規宏も4.2節で扱っているかな？）

>>442
>雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している

これだね
http://www.seidosha.co.jp/index.php?back-pensee10-19
back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」
2011/04　ガロアの思考　若き数学者の革命

http://www.seidosha.co.jp/index.php?%A5%AC%A5%ED%A5%A2%A4%CE%BB%D7%B9%CD
特集＝ガロアの思考　　若き数学者の革命
【ガロアの思考】
ガロアの考えたこと　／　上野健爾
ガロア理論体験記　／　砂田利一
ガロア理論の基本定理　／　吉田輝義
数学における抽象化とは何か　アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの　／　高瀬正仁

【現代数学へ】
絶対ガロア理論　／　黒川信重
謎をもって謎に答える、或いは問題の解消　／　高瀬幸一
空間の 「形」 を知るための武器　位相空間のガロア理論　／　小島寛之
リーの理論と可積分性　解析学におけるガロアの影響　／　竹縄知之

【現代物理学へ】
存在から関係へ　現実の軽さ　／　佐藤文隆
ガロアは現代物理学の源流だ！　／　竹内薫

【現代哲学へ】
問い・身体・真理　カヴァイエスとドゥルーズの問題論　／　近藤和敬
ヴュイユマン 『代数学の哲学』 における哲学的方法論の探究
　フィヒテの哲学とラグランジュからガロアに至る代数方程式論の変遷　／　原田雅樹

>>444

「現代思想」のパックナンバーにこんなのが。年に１回くらい理系の特集かな
「現代思想」は現代哲学系の雑誌だな。理系の読者もいるんだろうね

http://www.seidosha.co.jp/index.php?back-pensee10-19
back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」

2012/01　ニュートリノ／相対性理論　観測がひらく新世界
2010/09　現代数学の思考法　数学はいかにして世界を変えるか

>>442
>雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した．

ネット検索でこんなのが・・
http://sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html
びっくり数学島 日記
（抜粋）
解説記事の紹介『現代数学のめざすもの』
2012-01-22 Sun

以前のブログで吉田輝義さんという方（と言いつつ実は，吉田さんは僕の大学院時代の同級生で，今もお付き合いをさせてもらっているのですが）の論説を紹介しました．
吉田さんが『現代数学のめざすもの』というタイトルで再び現代数学の解説を書いておられます．それを案内しようと思います．前回は雑誌の記事でしたが，今回は吉田さんのwebsiteから直接取ってこれます：

ご本人のwebsite → 『現代数学のめざすもの』(PDFファイル, 12ページ)　http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/Yoshida_2011_Tsukukoma.pdf

ご本人の高校での講演が基になっていて，高２ぐらいまでの数学（＝文系・理系共通範囲の数学）に慣れ親しんだ記憶のある方なら読み通せると思います．

目玉の一つは，２次・３次・４次方程式の解法を基にした，ガロア理論（と現代数学）の考え方の説明で，ここまでシンプルにまとまった解説はなかなか見たことがありません．
大学数学科の花形とも言われるガロア理論ですが，『ガロア理論は，方程式のもっている「形」，その本来の姿を人類史上初めて「見た」理論だった』（文中より）ということが，実にうまく説明されていると思います．

習うときはタンタンと
2011-09-26 Mon

しばらく前に仲間に言われたこと．

できあがった理論や，他人が研究で新しく編み出したテクニックを習得するときは，何てすごいアイディアなんだ！と驚嘆したり感動したりせず，
「フーン，そうやればいいのか．」と冷静に，当たり前のように受け止めたほうがよいらしい．
なぜなら，それをスゴイ理論だと思うほど，自分には難しくて使いこなせないのでは，という心理的な壁ができてしまうから．うーんなるほど，そうだなぁと思った．
（つづく）

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>446　つづき

http://sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html
びっくり数学島 日記
論説の紹介『ガロア理論の基本定理』
2011-06-04 Sat

分数の話の途中ですが，雑誌『現代思想』の４月号に掲載されている，吉田輝義さんの『ガロア理論の基本定理』という論説が読んで興味深かったので，簡単に紹介したいと思います．

ガロア（Galois,1811-1832）というフランスの天才数学少年によって生み出された，ガロア理論という理論があります．
これはその後の数学の流れを変えたほどの重要な"革命的"理論だったのですが，ガロア理論の抽象的な性格もあって，その意味を実感することは数学科の学生にとっても簡単でない（200年近くも経つというのに）のが現状です．
アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり，テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる--それと比べると数学者としてはちょっとクヤシイ．
そんな中この論説は，ガロア理論の本質を損ねることなしに，ガロア理論とその意義を一般の読者向けに描き出そうと試みた野心作です．
（引用おわり）

>>250
”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html
Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業

わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)
これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。

問題を見てすぐに解答、解説を読みます。
英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。
最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。

1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。
3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
…こんな感じで7周ぐらいやってみてください。
これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。

拾えるものだけ拾うって言うのは
○こういう意味だから、こうなのか
○これとあれは似てる
○こういう計算になるから、こうなる
○語呂合わせ などです。

目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒
大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20〜40秒 数学の専門書なら1ページで10〜30秒

最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。
ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。
繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。

>>449
補足

昔、糸川英夫先生が「数学は暗記科目」みたいなことを言ったが、それに似ているかも
（因みに、小惑星が「イトカワ」（日本の探査機はやぶさは、この関連）の名前の由来。また、”はやぶさ”も、彼の設計した戦闘機にちなんだものかも）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B3%B8%E5%B7%9D%E8%8B%B1%E5%A4%AB

しかし、両方要ると思うんだよね
じっくり理解するところと、暗記してでも覚えることを優先するところと

>>395
>ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。

なにが、余計なお節介なのかどうか、人によると思うんだよね
その人の置かれている事情にも

それから、ブルバキのスタイルは結構だが、ブルバキで必要十分なら、世の中他の教科書は売れないか消えているわけで
世間一般の事情は、そうじゃないという証明なのではないかな

ブルバキはそれなりに意義はあると思うが
一時ほど、ヨイショされなくなったような気がする

じっくり理解するというところに戻ると、>>442
”・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．
そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．”
これ、結構共感できる。ガロアの理論あって、それぞれ立派。そして、書いていることは一つ一つは理解できるが、全体像が自分の中で細部まですっきり形成できなかった（自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．>>442）

”群盲象をなでる”という。個々の定理は、象の部分だ。うちわのような耳、ホースのような鼻、柱のような足・・・、それらの部分の記述を元に自らの心象風景として、象の姿を描くことができるか

現代ガロア理論（拡大体と群の対応）は、なんとなく出来た。しかし、ガロア原論文は理解できなかった
A5が単純群で、べき根拡大では到達できないということはアタマでは分かった。しかし、なんとか目に見えるような形で納得できないかと考えていた
（つづく）

>>450
つづき

>>1を見て、ベストアンサー：
”ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。”

ベストアンサー氏は、おそらく数学科の出身者だろう
ならば、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>3で、なんとなくガロア理論が見えた気がしたので、いっちょうスレを立ててみるかと

>>450
ブルバキの整理されたスタイルは、結局理論が出来上がった後の知恵なんだよね
理論が出来上がる進行形のときは、そうじゃない
だから、ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、そいつは使えないだろう
よって両方あって良いんじゃないか

そして、このスレで重視しているのは、全体的な理解、直感的な理解だ
全体から部分へ、部分から全体へ
直感から精密な論理へ、精密な論理から直感的理解へ
数式からお話へ、お話から数式へ

この行ったり来たりが自由自在にできる
それがベストだろう

>>405
＞ガロア理論は多くの人が関心をもっている

が、大抵は「なんで根の公式がないのか」という程度の関心だから
結局「なんかわからんが、根の公式があるとすると矛盾するらしい」
で終わる。素人は、公式は理解できても、公式がない理由は
理解できないし、ないならないで仕方ないと思うだけ。

ガロア理論の面白さを知るには、一度
「５次以上の方程式の解の公式は存在しない」
とかいうのを忘れる必要がある。
そこは今や本筋でもなんでもないから。

>>452
＞ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、

数学の論文を一度でも書いたことがあるなら、
ブルバキのスタイルでなんて書けないことは
当然わかるがな。

何度追い詰められても復活する
探査機はやぶさの執念は凄いわ。

>アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり，
>テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる

双曲幾何はエッシャーの版画作品にもなったがね。

ガロア理論より双曲幾何のほうが分かりやすい。
理屈ぬきに、ポアンカレモデルで、２本の平行線も図示できる。
合同変換もＣＧで示せる。要するに計算できる。
素人に分かるのは計算の方法とその結果。
計算できないという結果を示す論理なんて理解しようがない。

>>455
そりゃサボってるだけだろ
書こうと思えば書けるけどプロ相手だからあえて書かないというだけで。
それがアダになって間違いとか平気で書いてるがｗ

>>458
サボってるわけじゃないな。
同業者に「ああ、確かに正しいね」と
確認させるために書くんで、
別にアホ学生向けの教科書を
書くわけじゃないからな。

そもそも研究に間違いはつきものだ。
一度も間違った結果の論文を書いたことがない
数学者なんてのは皆無ではないが稀少。

>>459
だからそれが落とし穴なんだって
トリビアルと思ってたのが実はトリビアルでなかったというのはよくある。
というかそれがほとんどの間違いの原因

明確に定義されたものから論理的に命題を導くというのがブルバキの整理されたスタイルというのなら
そうでないスタイルは常識的には現代数学とは認められない。

>>460
学生？そんな重箱の隅つついてるようじゃ
クソ論文しか書けねぇぞ。

間違いを怖れてちゃいい結果は出せねぇよ。

>>461
現代数学という言葉が、数学書の記述を指すなら
論文の記述は、そのようなものとは程遠い。
数学業界の常識。知らない奴はモグリ。

>>463
数学書だろうと論文だろうと論理的に証明されてなければ駄目だろ
エッセーならいいが

>>462
誰も間違いを恐れろと言ってない
間違いは自分のノートで思い切りやればいい
ただし、それを論文でやるのは大馬鹿

>>459
誤植、ミスプリ、計算ミスの類は多々やらかしてるが
主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。

>>463
ブルバキの「数学原論」の文体で論文を書くことは、昔も
ほとんどなかったし、今もまずない、という意味では正しい。

が、ブルバキ以前の数学の論文のスタイルは、今より
もう少し雑然としており、現代では定義や主定理とその証明を
明確に書くようになっている。その意味で、現代の論文の
大半は、ブルバキの影響の下にある。

>>461
別にそれはブルバキスタイルではないな。ユークリッドの原論からそのスタイルじゃん。

ブルバキスタイルってよく言うけど、どういうものかわからずに言ってる人多いよねｗ

>>468
でブルバキスタイルとはどういうもの？

>>466
それはあんたが無知なだけｗ

>>470
無知のあんたに、勝手に決めつけられてもなあｗ

集合論を基礎におき、集合にある数学的構造を定め、それによって数学的現象を説明しようとする態度。

>>468
ユークリッドの原論のスタイルも、また独特だから
比較に使っても仕方ないでしょう。

19世紀から20世紀前半の、数学の論文のスタイルは、
ユークリッド原論とも、ブルバキ以降の近年の論文の
スタイルとも異なり、現代になれた人には読みにくい。

やっぱり、今の論文のスタイルは読みやすくなってるね。

>>471
>主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。

Wiles知らないの？

>>472
それは現代数学そのものじゃん
圏論もブルバキは表立って使ってないが裏では使ってる

大体、空集合の記号φとか Z、Q、R、C はブルバキの考案だからね。
現代数学はブルバキの強い影響下にある。
別にそれを知らなくてもいいが思いっきり否定するのはアホ

定義や公理から出発して論理的に、演繹的に数学を構築していくやり方をもって
ブルバキスタイルって言ってるのが、形式だけ見て中身を見ていないって言ってるんだよ。

>>474
だから、稀なんだろ。
アホですか、あんたｗｗ

>>477
集合論を基礎においてるのはそのとうりだが、
それ以前にあんたの言う定義や公理から出発して論理的に、演繹的に
というのがブルバキを特徴付けてるだろ。
Elementsという名前からしてユークリッド原論を意識してるのは明らか。
GrothendieckのEGAも同様

>>478
意味不明
悔し紛れに何言ってるんだかｗ

>>479
ブルバキが原論を意識してるのは有名な話ですね。
なら、そのような体系を話題にするなら原論スタイルとでも言うべきですね。

>>474
ワイルズの論文は、査読を経て修正された正しい形で
Ann. Math.に掲載されている。

今の多くの雑誌は、査読がなされているので、
掲載された論文が深刻な誤りを含んでいることは少ない。
名古屋の藤原氏の論文も不掲載となった。
が、査読をスルーして出版されてしまうケースは皆無ではない。


もちろん、不注意によるくだらないミスは山ほどあるｗ

要するにブルバキは公理主義ということ
これに収まらない数学があることは確かだがそれはその数学がまだ成熟していないと見ることも出来る

>>482
甘いな
査読されてるからってｗ

>>483
成熟すればすべてを収めることのできる体系ができるとでも？

非線型の偏微分方程式とかは、ずっと収まらんだろｗ
テレンス・タオを収めるには、20世紀のブルバキじゃあ
古くさくて枠が狭いんだろね。

ポアンカレ予想とかもあんまりブルバキっぽくないが、
リッチフローとか、多様体の崩壊とか、別に数学として
成熟してる、してないとかじゃないだろ。

>>485
その分野が成熟すれば体系化されるというほぼ当然のことを言ってる

>>486
代数幾何も昔は体系化は望み薄と思われていたがGrothendieckが現れて（略

>>488
でも、結局、今の代数幾何って、体系的というより
具体的な対象の研究に戻ったような。

>>483
公理主義は別にブルバキに限らないってことを言いたかったわけです。

>>489
Grothendieckが去ったから

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！

　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！

>>492
キチガイは病院行け

>>491
結局、ブルバキもメンバーが替わってしまい、
全ての数学を体系化するとか、もう言わなくなった。

代数幾何で、Grothendieckがやったことが例外的
だったんでしょうね。今世紀に、第2、第3のGrothendieckが
現れて、微分幾何や非線型PDEを体系化する！なんて
ことはないと思いますよ。

あれは元気者で気の合うものどうしが集まって
気炎を上げた弾みでできたものだから
そう深い意味はないものと思う

>>453-478
みなさん、乙です！

>>442
>A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で
>シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが）

分かりました
”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）は、クラインの四元群ですね（下記）
http://hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/
(抜粋)
具体的にはクラインの四元群は x,y,z各軸回りに180度回転させる回転操作の群として表現されます．
クラインの四元群の元 はどれも二乗すると になりますから位数は だと言えます．クラインの四元群は，巡回群ではない群としては最小のものです．
（引用おわり）

下記P2によれば、A4の部分群で（位数４）は、二つあるが巡回群でない方だから、{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}で、これはクラインの四元群そのもの。で、位数２の部分群は、{ e , (12)(34) }となる
http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類

>>479-495
みなさん、乙です。スレが進む日だな

>>496
繰り返しになるが、べき根拡大で解けるのは、ガロア群G=C5xV （V:クラインの四元群 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 ）
（C5は、５次巡回群）
の場合のみ

一般の５次方程式では、ガロア群G=S5=C2xA5　（A5は位数60の交代群で、これは単純群で、非可解。C2は、２次の巡回群）
となってしまうので、解けないと

>>494
詳しくないけど代数解析は佐藤とか柏原により少しは体系化されてるでしょ。
数論の一部（類体論その他）も数論幾何が発展することによりLanglands programの下に
体系化されるのではと夢想してる。

>>498
代数解析でも、非線型はまだまだ妄想の範囲ｗ
ソリトンとパンルヴェの一部くらい。

>>497
つづき

位数119 までの群の分類が下記にある
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf
位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日

>>372-380
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）
一般５次方程式では、Vは120の値を取る。この120個の値を集めて
ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている
つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない

そして、元の方程式を解くことは、ガロア（分解）方程式F(x)が解けることと同じ
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、根の置換と対応している>>414
そして、方程式のガロア群の構造は、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に反映されている

元の方程式がべき根で解けるとは、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解けること
つまり、”ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解ける”→”ガロア群Gが、巡回群の拡大で構成される構造を持っているべき”だと

しかし、上記”位数119 までの群の分類”にあるように、一般に群には巡回群以外のいろいろな群があり、巡回群の拡大で構成される構造を持っている群ばかりではない
その一つが、位数60の５次の交代群A5で、これは巡回群の拡大になっていない。つまり、非可解であり、単純群でもあった
５次の既約方程式で解ける最大の群は、位数20 B'5 メタ巡回群の場合で、それならべき根で解ける>>443（ガロア原論文では線形群とされている）
これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな

5次方程式の可解性の高速判定法は>>443
また、可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003>>443では、根の公式が導かれている

>>500　訂正
これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな
　↓
これが、一般の５次方程式が解けず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな

>>497
G=S5=C2xA5　
とはならないよ

下記は随分参考にさせてもらいました

http://hooktail.sub.jp/
物理のかぎしっぽ
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8
代数学 - [物理のかぎしっぽ]

>>502
おお、ありがとう
しっかりチェックしてくれる人がいて、安心だ

対称群S5 位数120に対し、交代群A5 位数60は正規部分群なので、商群Hが定まり
S5/A5＝Hとして、Hの位数は２。位数２の群は巡回群C2に同型なので
G=S5=C2xA5　と書いたんだが

直積ではなく半直積だ

>>505
なるほど、納得
半直積ね
掲示板では、あまり数学記号が文字化けのため書けないので手抜きしたのもある

ところで、半直積の参考資料を検索したら、こんなのがあった
http://homepage2.nifty.com/narukawa/bicrossed.pdf
群と群から群を作る話 成川淳（なるかわあつし）
（抜粋）
数学の世界ではしばしば、2 つの群から1 つの群を作る場面があります。方法としては、
「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい
う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は2 つの群それぞれの役割が非対称で、
気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包
括する概念として、群のBicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心
した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省
略して、作用という概念の紹介から話を進めます。

5 最後に
私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度Bicrossed Product という概
念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件(11)-(14) を考えると、逆に半直積の有
用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した(5) が「準同型」という
扱いやすい性質だからです。逆に(5) を仮定するためには、H のK への右作用が自明でな
ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす
い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群のBicrossed Product で
すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。

http://homepage2.nifty.com/narukawa/jindex.html
成川淳の文書集へようこそ！

>>506
補足

ご指摘ありがとう
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2004_zenki/2/group07.pdf
抜粋
群G の部分群H とK が与えられたとする。
K がさらにG の正規部分群ならば、HK はG の部分群になる。
・・・がなりたつとき、G はH とK の半直積であると呼び、G = H △ Kと書かれる。（△は、半直積の記号）
H とK の両方がG の正規部分群のときはどうだろうか。
H も正規部分群のときにG はH とK の直積であると呼ばれる。
（引用おわり）
（この資料はちょっと読みにくいが）

なので、直積はH とKの両方が正規部分群になる場合、半直積はKが正規部分群になる場合の群の構造ってことでしょうか
だからG=S5=C2xA5と書いたとき、正規部分群は両方ではなく、A5のみが正規部分群だから、半直積だと

>>507
補足の補足

半直積は、下記にも解説がある
シューア・ザッセンハウスの定理が、半直積理解の要点だろうな
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.BE.A4.E3.81.AE.E7.9B.B4.E7.A9.8D.E3.81.A8.E5.8D.8A.E7.9B.B4.E7.A9.8D
群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に

で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積 (semi-direct product) といい、

で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。

シューア・ザッセンハウスの定理： Nを有限群Gの正規部分群とし、|N|と|G:N|が互いに素であるとき、Gの部分群Cが存在して、GはNとCの半直積となる。

>>440
>で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
>そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
>しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とせるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
>これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ

ガロア論文>>3p38第VII節
ここが、おそらく普通の人はなにが書いてあるか、なかなか読めないだろう
守屋の解説もなかなか難しい
ところが、おいらの本で守屋の解説のところに、”アルティンP102”とメモしてあった。うんうん、なるほど・・・

アルティンといえばこれしかないよね・・・？？？
http://na-inet.jp/weblog/archives/001482.html
上野健爾「数学の視点」東京図書，E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫
http://www.kishimo.com/math/Galois.html
アルティン「ガロア理論入門」を読む
文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。

”文庫本が出た”？ おいらの持っているのは東京図書のハードカバーだ
P102は、定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ
これは、なかなかわかり易いよ

だから、ガロア論文>>3p38第VII節を読む前に、アルティンの該当箇所を読んで、それからこれを読めば、多少ガロアの言いたいことが分かるだろう
ガロアは、アルティンと同じものを見ていたことは間違いない
が、見ているものを表現する方法がまだ未熟だったのだろう

>>509
補足

ガロア論文>>3p38第VII節は、訳文もこなれていないのか
あるいは、ガロアも決闘が迫っていて時間が無かったのか

結論は正しいが、途中あまり証明らしくない・・・というか、分かる説明になっていない
メモを書いたのは、おいらが守屋先生の解説が理解できなかったので、別の本を漁ったのだろう

>>509
>定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ
>これは、なかなかわかり易いよ

アルティンは、
「Kを任意の体とし、f(x)を素数次数qのK内の既約多項式で、そのガロア群は可解とする。
このときのGの構造は非常に簡単である。
まず、Gは可解であることから正規部分群列
G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1　（注：>は集合の包含記号のアスキー代用）
が存在して、相続く２つの群による商群はアーベルである。」
と、始める

実に明快。これをスタートとして、アルティンは線形群を導く（これはさすがにガロアには難しいだろう。群論の用語や記法が当時未整備だったから）
ところで、このアルティンの記述が、べき根で解かれる群の構造と、なぜ５次既約方程式が一般の解かれないかの説明になっている

つまり、５次既約方程式が可解であるとき、Gの構造は非常に簡単でなければならない
即ち、正規部分群列が存在して、G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1で、相続く２つの群による商群はアーベルであるという

しかし、一般の５次既約方程式のガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで、A5の構造は複雑でとてもべき根添加で解けるほど簡単ではないと
（ここらの事情は、>>496>>442>>440辺りをご参照）
これも、５次方程式がべき根による根の公式を有しない大衆向けの一つの説明だろう

>>511
訂正スマソ

ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで
　↓
ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の交代群A5のみで

>>437
>ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた
>それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン）

（思い出したときに追加しておく）
天体力学から摂動計算が出て、後の量子力学へつながった
量子力学のハイゼンベルグの行列力学から固有値によるシュレージンガー方程式との同等性証明
天体力学の三体問題などから、ポアンカレの位相幾何学へ

>>385
>最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
>というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
>一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
>ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い

繰り返しになるが
ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗と、補助方程式の次数が(n-2)!になること（５次方程式の場合(n-2)!＝６次）、この方程式が有理敵に解ければ、５次方程式は代数的に解けること（十分条件）
ここまでは、ラグランジュがすでに確率していた

５次方程式の可解性とこの６次方程式が有理敵に解けることが必要十分であることは、ガロアが初めて示したが
ラグランジュはもう一歩というところまで行っていた
ガロアは、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたんだと思う

守屋>>3がP76で
「ガロア時代の数学者に難解と思われても無理とはいえない。当時の科学学士院がこの論文を受理しなかったのも、論文の内容を十分理解しえなかったためだと思う。
この点について、当時の科学学士院の無力を攻めるよりは、むしろはるかに遠く時代に先行していたガロアの天才を讃えるべき・・」と書いているが
書き方が雑ということも大きいように思う
おそらく時間が無かったのと、ガロアは若かった
論文が革新的であれば、よけい丁寧に書かなければ理解は得られない

ただ、ガロアがあと１０年存命であれば、ガロア理論はもっと早く理解を得られたと思う
「科学学士院がこの論文を受理しなかった」のではなく、書き直しを命じたのだった。決闘で若くして命を無くすとは思わず

また、ガロアの時代は現代のようにワープロやコピー機はなく、手書き原稿を紛失されると痛い（がっくりするよね）
それは手書き原稿時代に、原稿を紛失され書き直しを言われるとは、なんとも腹立たしいことだったろうとは思う

>>80
>近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
http://www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910

「ガロアの方程式論は彼が期待したように四十年後にジョルダンが「判読」してぼう然たる置換論（1870）の述作をなした」と高木は書いている
”ラグランジュはもう一歩”>>514と書いたけれども、ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった
ガロアの遺稿がなければ、もっと遅れていただろうか
だが、もし遺稿がなくとも、いずれガロア理論はだれかが書いたろうと思う、ジョルダンよりずっと後になったかも知れないが・・

>>515
>ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった

置換群論はCauchyが1844年にやっている。
そこで有名なCauchyの定理（有限群の位数が素数 p で割れればその群は位数 p の元を持つ）を証明している。

群という概念自体はガロア以前にあったんじゃなかったっけ？
ガロアの評価されるべきところは正規部分群という概念を発見したところ
っていうのをどっかで見たようなキガス。２ちゃんソースかもしれんがｗ

>>516
自分のスレでは相手にされないから、ちょっかい出しに来たのか？ｗ

>>516
Kummerさん、乙です

なるほど
そういえば、倉田>>4がデデキントについて書いていたね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88
デデキントは1855年にゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義を行ったことでも知られている[1]。
[1]^ 佐武一郎「解説「ガロア理論」について」、エミール・アルティン 『ガロア理論入門』 寺田文行訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2010年4月、p. 215。ISBN 978-4-480-09283-0。
（引用おわり）

近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば
いわゆる第一論文は「1846年にリウーヴィルの手で発表された」とあるので、発表後９年でデデキントが最初の講義を行ったんだ

>>517
乙
その見方も正しい

ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い

例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない

>>519
補足

これがまとまっているね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
歴史
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。
その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。
早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。

ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。
その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。
アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。

>>519
>近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば

近世数学史談で面白い記述を見つけた
”１８．パリ便り”というアーベルの手紙に関する節だ。1826年10月24日付け
・・次の一般的の問題を解く手掛かりが見つかったようだ。
それは「代数的に解きえる凡ての方程式の形を決定すること」というのだ。
僕は、五次、六次、七次等々のそれらを無数に見出した。
今までそれを嗅ぎつけたものはあるまいと思う。
同時に僕は最初の四つの次数の方程式の最も直接的なる解法を得た。
それに由れば、何故にこれらだけが解けて、他のものは解けないかが甚だ明白に理会されるのである。
特に、五次方程式に関しては、若しもそれが代数的に解かれるならば、根の形は次のようでなければならないことが分かった。
ｘ=A+(R)^(1/5)+(R')^(1/5)+(R'')^(1/5)+(R''')^(1/5)
ここで、R、R'、R''、R'''は一つの四方程式の四つの根で、それらは平方根ばかりで表されるのだ。
（注：(R)^(1/5)などの項は、原文ではRの五乗根（ルート記号）を用いて表されているが、掲示板の制約でエクセル記法を用いた。）
（引用おわり）

>>440-441、>>443、>>496に書いたが
五次の既約な方程式で、解ける場合はガロア群は位数20 B'5 メタ巡回群であって
位数20 B'5 メタ巡回群（＝線形群（アルティン>>511））は、一つの５次巡回群C5とクラインの４元群Vとの積（直積でいいのかな？）からなるので
アーベルの述べた上記の根の形は、位数20 B'5 メタ巡回群の姿を確かに捉えているのではないだろうか
アーベルは、1829年4月6日は亡くなったが、生きていれば、ガロアより先に五次方程式に関してなにか書いたかも知れない（それはおそらく上記を発展させたものだろう）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB
ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、1802年8月5日 - 1829年4月6日）はノルウェーの数学者である。

楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。
もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、１変数代数関数体
この三つを総合して考える必要がある。
これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。
いわば三位一体

スレを間違えたｗ
まったく無関係というわけじゃないが

GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。
Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。
楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。
Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。

>>521
補足

ラグランジュは、素数ｎ次の既約方程式について、補助方程式で次数が(n-2)!のものが解ければ、５次方程式などは代数的に解けること（十分条件）を示していた>>514
だから、これが必要十分条件であることを示せば、ガロアの得た結果と同じになる

そして、５次方程式の一般の代数的解法が不可能（べき根による根の公式がない）なことはアーベル自身が証明している
だから、アーベルはラグランジュよりさらに半歩、ガロア理論に近づいていたのだ
あるいは、手が届いていたのかも

ラグランジュも、５次の根の公式があると思い込んでいるから、記載ぶりや結論があやふやになった
５次の根の公式の存在を否定してしまえば、ラグランジュ自身が示した６次の補助方程式が有理解を持つことが必要十分という方向へ行ったろう

まあ、一般５次方程式の代数的解法がないことを証明したアーベルだから、
それがガロアのような群論を用いたものになったかどうか不明だが、少なくとも>>521の手紙に記したようなことは、存命ならいずれ発表したろう

ガロア論文の出版が遅れたから、おそらくガロア論文が世に出る前にアーベルの理論が出版されたのではないか
となると、アーベル存命でアーベルの方程式論が発表されそれが発展すれば、ガロア論文に対する評価も現在とは違った形になったかもしれない

>>522-524
Kummerさま、投稿乙です！

>>367
>a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha　http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E4%2Ba_1x%5E3%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%2Ba_4%3D0

Maxima>>283で同じ問題を解かせると

a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+c=0は、” << Expression too long to display! >>”となる
３次の項を落として
a*x^4+c*x^2+d*x+c=0は解けるが、かなり長い結果表示で、上記のWolfram|Alphaの方が見やすいね。さすがに、こっちの方が上で、使いやすいか

>>524
人が言ったことをさも自分の考えのように言っちゃってｗ
さすが、コピペスレのスレ主は違う。

>>524
失せろくんまー

通報するぞ