円周率について語り合おう【π】

lim_[n→∞]n*cos(90-180/n)=π

ｵｯ

π

大

>>1
といって出してる例が一番しょぼいっていう（悲）
それって、度数法の定義に依存してるだけじゃん…

はいはい、3

π

乙

π/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)
y=x^2/(1+x^2)として
arctanx=(y/x)(1+(2/3)y*(1+(4/5)y*(1+(6/7)y*(1+...
を使えば手計算でもπを1時間で20桁は求められるらしいな
どんなに精密な物作りでもπの小数点以下十数桁くらい分かってれば十分らしいし
手計算で必要な分を求められてしまうのか

> どんなに精密な物作りでもπの小数点以下十数桁くらい分かってれば十分らしいし
それは１０年以上前の話

現在は、ある種の問題(逆問題、ある微分方程式、etc)で数百桁から数千桁の計算を
しないと実用的に意味のある結果が出ないケースが知られているらしい。
海外の応用数学ではそういった多い桁数の研究が盛んに行われているという話を
聞いたことがある。

今後、ある物作りでπの値が１億桁必要になるというケースが出てくるかもしれない。

ホンマカイナ。

あのアポロ計画でも、アポロ１３という映画では技術者は計算尺で計算していた。
つまり、おおよその計算では有効桁３桁で充分ということだ。

円周率ってなにを作る時に使うんですか？

0ではない任意の代数的数a、bに対してae+bπは超越数です。
ついでに、e/π、eπも超越数です。
ほ〜ら、超越数が作れちゃいました。
あとは証明するだけですが、これだけでは公表に値しないのでやめます。
証明は、長くて恐らく正しいでしょうが、書く気がしません。
書くのは本当に萎えます。
byコーン

e/π＝０．８９５２５５９７９４…
eπ＝８．５３９７９３４２２３…

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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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宇宙人は本当はいる、富士山は本当はない
よしっ、予想してみよう



円周率を使った公式で正解な円の面積は求められる

しかしシンプソンの公式を使えば円の正解な面積は求められない

P=log(640320^3+744)/√163　とすると
Pはπと30桁一致するがπとは異なる超越数である

N=�納n=1,∞] int[n e^(π√(163)/3)]/5^n, int[x]はxを超えない整数とすると
Nは10億桁以上の精度で整数200100と一致するが整数ではない

Q=log(10){(1/10^10)�納n=-∞,∞] 10^(-(n/10^10)^2)}^2　とすると
Qはπと1垓8615京2283兆桁一致するがπとは異なる

> しかしシンプソンの公式を使えば円の正解な面積は求められない
反例を示す

π=2∫[0,∞] sin(x)/x dx　を台形公式で近似したもの
S=1+2�納n=1,∞] sin(n)/n
は近似ではなく等式S=πである（複素積分と留数定理より示せる）
同様に π=4�納n=0,∞] sin(2n+1)/(2n+1) である

したがって、この積分のシンプソン公式での近似は近似ではなく等式
π=2/3+(4/3)�納n=1,∞] sin(2n)/(2n) + (8/3)�納n=0,∞] sin(2n+1)/(2n+1)
となる

>>18
証明されたように見えているだけ。

sage

>>18
πをπ以外で割り切れる証明ができるってこと？

>>21
有限和ではπの近似になるが、無限和ではπが表せるという例

種を明かすと π=2∫[0,∞] sin(x)/x dx　をステップ幅Δx=π/2で和に直すと
π=Δx+2Δx�納n=1,∞]sin(nΔx)/(nΔx)
↓
π=4(1+1/3+1/5+1/7+1/9+...)
のようのグレゴリーライプニッツの級数が得られるので、
>>18 はその一般化を行っただけ

>>22
π=4(1+1/3+1/5+1/7+1/9+...)
↓
π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-...)

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3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196
　 44288109756659334461284756482337867831652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273
72458700660631558817488152092096282925409171536436
78925903600113305305488204665213841469519415116094
33057270365759591953092186117381932611793105118548
07446237996274956735188575272489122793818301194912
98336733624406566430860213949463952247371907021798
60943702770539217176293176752384674818467669405132
00056812714526356082778577134275778960917363717872
14684409012249534301465495853710507922796892589235
42019956112129021960864034418159813629774771309960
51870721134999999837297804995105973173281609631859
50244594553469083026425223082533446850352619311881
71010003137838752886587533208381420617177669147303
59825349042875546873115956286388235378759375195778
18577805321712268066130019278766111959092164201989
38095257201065485863278865936153381827968230301952
03530185296899577362259941389124972177528347913151
55748572424541506959508295331168617278558890750983
81754637464939319255060400927701671139009848824012
85836160356370766010471018194295559619894676783744
94482553797747268471040475346462080466842590694912
93313677028989152104752162056966024058038150193511
25338243003558764024749647326391419927260426992279
フリーの電卓ソフトで計算させたけど、これ合ってる？

円周率が定数、つまり値が一つだけの数であることを証明するのって高校レベルを超えるって知らなかった。
一定値なのは当たり前だと思っていたがそれは勘違いだった。

高校までの数学では「相似な図形の各部の比は同じ」で証明終了。

厨房が挑戦

円周率は小数点以下３０桁くらいにならないと０が出てこない！

3月14日　age

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536 名前：１３２人目の素数さん []： 2012/03/17(土) 10:38:32.55
わいが数学嫌いになった理由が正論すぎる
http://hayabusa.2ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1331947088/

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πをスペクトル分析してみたら？

sage

>>7
πスレを林立させて、どげんしよるばいね？
πって本当に無理数なの？
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/
円周率について語り合おう【π】
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/
πは何でも知っているって本当？
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1310565460/

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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∫[0,1]x^4(1-x)^4/(1+x^2)dx = 22/7 - π と計算できる。
被積分関数は正なので 22/7 > π
この程度の誤差(+0.0012)での下からの評価はないだろうか?

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>>48
∫[0,1]x^4(1-x)^8/4(1+x^2)dx = π- 2419/770 になるので
π > 2419/770 = 3.141558442 となって
誤差は0.000034だ。

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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πの10進表示はよくあるので、10のπ進表示。
3.0121201110022130011....
10=3π + 0/π + 1/π^2 + 2/π^2 + 1/π^3 + 2/π^4 + 0/π^5 + 1/π^6 + 1/π^7 + 1/π^8 ....

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何年か前の某評論社雑誌の｢円周率はおよそ3.14である｣特集は笑った
高校数学も円周率は3.14にすべきとかいってcos1.57=0とかcos3.14=-1とかcos6.28=1とか書いていた

>>11
はやぶさの時は、３．１４１５９２６５３５８９７９３まで必要だった

>>71
「使った」というのではなくて「必要だった」のか？
つまり「３．１４１５９２６５３５８９７９」だとうまく行かなかったのか？

>>72
おいおい、ちょっとは頭使えｗｗ

イトカワから帰還する精度として、1桁減らすと最後に地球に
戻るときに大気圏に撥ねられる可能性が出てくるだろ。

>>７３
おい。ちょっとじゃなくて、もう少し頭を使え。

可能性というのは 必要とは別の話。
１桁減らすとかならずうまくいかないのならば その桁数必要。
１桁減らしてももしうまくいったのならその桁数は必要でなかったということになる。

さらに言うなら、 この桁数ならその撥ねられる可能性とやらは０だったのか？

>>71のいう「必要」は数学用語の「必要条件」とは異なる多分に文学的な言葉と予想

>>75
ほんとアホだな、お前。

精度の問題だから、仮に3.14であっても撥ねられない可能性は
ゼロじゃないよ。3.14の場合、そもそも地球に戻る確率がそれこそ
天文学的に小さくなるだろうけどさｗ

なるほど>>76なのだな。 数学板以外でやれ。

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>77
>天文学的に小さくなるだろうけどさｗ 

できれば 天文学的は 大きい時に使ってくれ。

円周率が無理数だとすると、円を表す線を無限小の細さにしたら
つながり合わないってことなの？

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πって、円周率を値に持つ変数？

円周率という定まった数を値に持つ定数

米国の人口が3.14159265億人に、円周率と同じ並び
http://jp.reuters.com/article/oddlyEnoughNews/idJPTYE87E01T20120815

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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>>88
あと0.3人ちょっとはどうすればいいのか。

>>87
>定まった数を値に持つ定数

頭悪い表現だな

では頭いい表現でどうぞ

　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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π=3.14159…とπ=180°
前者は、円の直径に対する、円周の長さの比率なので
半円の半径に対する、半円周の長さの比率。
後者は、扇形が半径=弧の長さであるときの角度を1[rad]としたとき
半径のπ倍の長さを持つ半円の角度も、1[rad]のπ倍になるということですか？

なんでπばっかりちやほやされているの？

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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勉強し始めたばっかりの学生です。
C言語を勉強しているのですが、
円周率はint型に代入すれば大丈夫ですか

何百桁、何千桁とかならintでいいとおもうよ

int型に代入すると暗黙の型変換がおこなわれ精度が幾分落ちてしまいます。
もっとも落ちるといってもたかだか５％も変わりませんから実用上は問題ないことも多いでしょう。

>>94
＞ 後者は、扇形が半径=弧の長さであるときの角度を1[rad]としたとき 
＞ 半径のπ倍の長さを持つ半円の角度も、1[rad]のπ倍になるということですか？ 

まあそういうことでもあるんだが
通常は半径が１の扇形について、その中心角を弧の長さで表現したものと考える。
（扇形の中心角と弧の長さは正比例するので、弧の長さが決まれば角度も決まる）

>>99
int PI=3;

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

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　ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ 　　( 　・ω・）　ブーブー
　 しー し─Ｊ

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π=180°
2π=360°

円周率を図る方法

直径１の円を水にして量をはかればいい

幅１�pの直径１の円の水の量引く幅１cmの直線３ｃｍの水の量を図ればいいん
じゃないかな？
　
円を二重に書く感じで
でもそれだと４．５ｃｍ以上の直線ができるから
正しくは幅１ｃｍ直径１の円引く幅１�p４．５ｃｍの直線の結果と
その結果の３分の１を引いた数　
イコール3.以下の円周率の割合になると思うよ

ついに円周率が割り切れたらしい

>>108
＞π=180°

下乳さえあれば、残りは要らない
という思想ですね。賛同します。

π進数って奴がある。
123(π進数)って書いたら 1*π^2 + 2*π + 3 っての。←これを順演算とする。

逆演算ってどうするんだろう。
例えば、 20(10進数)をπ進数に変換するには？
非整数進数は常にこの問題をはらんでる気がする。

自己解決したわけじゃないけど、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E9%80%B2%E6%B3%95
なんてのを見つけた。

>>75なんかが典型的だけど、数学専攻の人って案外、数字音痴が多いよな
記号とイデアの世界しか見えてないというか…

良スレ

　　　　　　　　 ,、,, ,、,, ,,　,,
　　　　　　　_,,;' '" '' ゛''" ゛' ';;,,
　　　　　　（rヽ,;''"""''゛゛゛'';, ﾉｒ）
　　　　　　,;'゛ i ＿　　、＿ iヽ゛';,　　　　お前それサバンナでも同じ事言えんの？
　　　　　 ,;'" ''| ヽ・〉　〈・ノ |ﾞ゛ `';,
　　　　　 ,;''　"|　　 ▼　　 |ﾞ゛　`';,
　　　　　 ,;''　　ヽ＿人＿ /　　,;'_
　　　　 ／ｼ、　 ヽ⌒⌒ /　　 ﾘ　＼
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　　　　（ヽ　 ＿＿＿＿＿＿ ,, ＿´）
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　　　　　　丁　　　　　　　　　　 |
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確率分布の正規化で円周率が現れるのはなんでですか
直交基底の正規化で円周率が現れるのはなんでですか

>>112
何進数でも同じ
[20/π^2]＝2, [(20−2π^2)/π^(-2)]＝2, [(20−2π^2−2π^(-2))/π^(-3)]＝1, …
∴　20＝2π^2＋2π^(-2)＋π^(-3)＋2π^(-4)＋…