★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問

理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/

>>1

受験板でやれ
落ちこぼれ

解かれてない問題は何処かね

２つの楕円体が交差するとき、断面の曲線の長さをパラメーター表示して。

|ap|+|bp|=|cp|+|dp|

>>933
> 933 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/12/05(月) 23:55:54.01
> xy平面上の任意の直線上に、ｘ、ｙ座標が共に有理数であるか、
> または共に無理数である点が、少なくとも１つ存在する事を示せ。

>>941
> 941 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/12/07(水) 23:45:27.95
> >>940
> では本題に入ろう...
>
> 両軸に平行でない xy平面上の直線上に、
> ｘ、ｙ座標が共に無理数である点が、たくさん存在する事を示せ。

>>960
> 960 名前：１３２人目の素数さん []： 2011/12/09(金) 21:43:56.91
> （1）f(x)=xを微分せよ。
> （2）f(x)がx軸となす角を求めよ。

最後以外は解決済み

前スレから

xyz空間において、x軸上の点P、 y軸上の点Q 、z軸上の点Rについて、△PQRの周の長さが1となるように動いている。このとき△PQRの通過しうる領域を求積せよ。

>>8
問題の設定からすでに破綻しているって言われただろ低脳

　問題
　ｎ個の連続する自然数があり、その和は３２３０である。
　ｎとしてありうるものを全て求めよ。

つまんね

>>11
そういうことは解いた上で言うべきでは？

まんまパクリ問題

　お前は、定職に就くのが、先決だろがあ！！！！！！！！

ある関数fは実数全体に対して定義され実数の値をとり、
任意の実数x,yに対して
　f(f(x)+y)=f(x-y)+2f(x)+6y-1
が成立する。
fを求めよ。

すれから出てくるな

>>10
5,17,19

>>10
3230

>>17,>>18 不正解

5,17,19 のほかにもう２つある

>>19
なんでや、sum[k=3230,3230]k=3230

ああ、85と95ね
結構いい数字選んだんだな

自演か

>>21 n=85,95のときは実際に条件に合う連続した整数がない

あと>>19を訂正。あと４つだった。

n(a+a+n-1)=6460の自然数解n、aを求めるだけ。

>>20 それは連続した整数の和じゃない

n=>2 と言っておくべきだったか

>>25
> >>20 それは連続した整数の和じゃない
w

>>24 正解

ひとりの10、ふたりの10、三人、四人、

>>15
与えられた等式にy=0を代入してf(f(x))=3f(x)-1
これのf(x)をtに置き換えればf(t)=3t-1
これは与えられた等式を満たす
よってf(x)=3x-1

>>29 f(x)が全ての実数をとることが示されてないから不十分

逆を考えれば明らか

>>13
元のは3230じゃなくて1000だったかな

>>31 逆が成り立つからといってもとの命題が成り立つとは限らない
例えば、「x>0ならば|x|>0」は真だが「|x|>0ならばx>0」は偽

f(f(x))=f(x)を満たすfはf(x)=x以外にf(x)=|x|とかf(x)=min(max(x,-1),1)とかf(x)=floor(x)とかいくらでもあるが。

>>33-34
低脳

(・∀・)ｲｲﾖｲｲﾖｰ

まともで面白い問題キボンヌ

pを7以上の任意の素数とする
このとき数列1,11,111,1111,11111,…の内少なくとも１つはpの倍数であることを示せ

※modを使えば一発だが、剰余計算は高校数学の範囲外なので使用してはならない。

有名問題すぎる

どうやろの？

引き算
鳩ノ巣

>>41 どういうことだ？

>>38
1/p は循環小数として表示できる
1/p がn桁の循環小数だとすると
(10^n -1)/p = x (xは整数)　と表せる　-①
一方で、1,11,111,…の一般項は(10^n -1)/9 である -②
①②より9とpは互いに素だから
(10^n -1)/9p は整数
よって1,11,111,…の第n項はpの倍数

下手な解き方だなw　クズめ>.43

>>42
pで割ったあまりが同じものが必ず出現する←ここで鳩ノ巣
その２つの数の差を考える←引き算

1がp個並ぶところまでの数列を考えるとね
これらのpで割った余りがすべて異なるとするじゃん
このときは証明べきことが成り立つのは明らかなんで
やっぱり余りが同じになるものがあるときを考えよう
そしたらその差ってpの倍数になるわけだから

>>44
では、あなたの解き方をどうぞ

４３はわざわざ難しくしているw
頭の悪さがにじみ出ているね

循環小数とか言っている時点で低脳君確定

こういうセンスのない解き方をしている人には数学は無理
数学科進学はあきらめなさい

僕はさらにもうひとつの解法を知っている

>>46 差を取った時点でその数は数列1,11,111,…に含まれないだろ

>>46
ここで、pが７以上の素数であることを使う。

こんなもん知っているとかそんな話ではないだろ
初見でスラスら証明できんとな

>>46
微妙によろしくない

>>43以外にまともな解答を提示してる奴がいない件

トリビアルだからな

ヒントは出ているのだから自分で考えなさい

>>53
使っても何も起こらないように思えるが。

>>59

アホなの？
１０を割らないところで使うやろw

10の倍数は2と7以外に素因数をもたない

七？

>>61 すげえ低脳　発見

やっぱこのスレレベル高いな

>>61
> 10の倍数は2と7以外に素因数をもたない
10のベキは2と5以外の因数をもたない

>>60
割り切る割り切らない以前の問題として、
数列1,11,111,…の中の２つの項の差を取ったら11…100…00という数になって、
これは数列1,11,111,…に含まれないから>>46の解き方はよろしくないと言っている。

>>66
問題はそこじゃねーよハゲ

>>67
では、どこ？

>>66
> >>60
> 割り切る割り切らない以前の問題として、
> 数列1,11,111,…の中の２つの項の差を取ったら11…100…00という数になって、
> これは数列1,11,111,…に含まれないから>>46の解き方はよろしくないと言っている。

え？
11…1100…00=11…1×100…00

>>66

11…100…00は111..と１０のベキの積だろw
pはこのどちらかを割るわけだがw
後者は割らないところに７以上を使っておるわけよw

なんで低脳が多いんだろw　数学科に進学なんて考えるなよw

>>66の人は問題を理解していないと思う。

>>69
すまん、書き方が悪かった。
11…1100…00 ってのは一の位からある位までは全部0で、
それより上の位が全部1である１つの数字を表してる。

もういいよw

それが何か？
あなたの書き方は十分に伝わっているが。

>>75
> それが何か？
> あなたの書き方は十分に伝わっているが。
これは>>73に対してね。

で、11・・・1の方がpの倍数、ということ。

次のカス問題プリーズ

>>15
与式にy=0 を代入して
f(f(x))=3f(x)-1
与式にy=x-f(x) を代入して
f(x)=f(f(x))+2f(x)+6x-6f(x)-1
f(x)=-f(x)+6x-2
∴f(x)=3x-1
これは条件を満たす。

>>15が未解決

と思ったら>>78が解いてた

今日はもう寝る
次来るときまでに問題たくさん用意しとけカス共

　問題
　(n!)^7/n^n が整数となる最大の整数nを求めよ

とりあえず7以下か

いっぱいあるだろ

>>43と>>46の解き方を比べると、
>>43のほうが記述が少なく済みそうだな

>>83
n=8でも整数になったぞ

東大入試問題厨がいないね

正の実数x,yについて、x＾ｙ＋ｙ＾ｘ＞１　を証明せよ

x+y+z=0のとき
(x^3-x^2)/(x^3+y^2+z^2) + (y^3-y^2)/(x^2+y^3+z^2) + (z^3-z^2)/(x^2+y^2+z^3) => 1
を証明せよ

周の長さが８、内接円の半径が(√3)/4である三角形がある。
この三角形のある辺の長さとしてありうる最大値と最小値を求めよ。

定規とコンパスを用いた作図において、
直線を１本引くまたは円を１つ描くことを１回の操作ということにする。

ここに中心の不明な円Cとその周上の点Aがある。
３回の操作で点Aにおける円Cの接線を書け。

n=270270も整数となるね

>>92
ならないだろ

６０４８０。

>>85 自演するなよw

>>88
・x≧1 または y≧1 の場合は、明らか。
・x<1, y<1 のとき
　　f(x) = b^x (b>0) はxについて下に凸だから
　　(x,b^x)－(1,b) の傾き > (0,1)－(1,b) の傾き、
　　(b-b^x)/(1-x) > b-1,
　　b^x < x +b -bx, (ベルヌーイ不等式)
b→1/y とおくと
　　y^x > y/(x+y-xy),
同様にして
　　x^y > x/(x+y^xy),
辺々たす。

>>96
　　b^x < 1-x +bx,　　(ベルヌーイ不等式)

f(x,y)=x^y+y^x>1
=e^ylogx+e^xlogy
x=rcost,y=rsint
f=e^rs(logr+logc)+e^rc(logr+logs)
=e^(rlogr)(s+c)e^r(slogc+clogs)
df=frdr+ftdt
fr=

fr=s((logr+logc)+1)e^rs(logr+logc)+(c(logr+logs)+1)e^rc(logr+logs)=0
(logr+logc)+1=0,r=e^(-1-logc)=1/ec=1/es->c=s
ft=r(c(logr+logc)-ss/c)e^rs(logr+logc)+r(-s(logr+logs)+cc/s)e^rc(logr+logs)=0
r(c(logr+logc)-ss/c)=0,rc(-logc-1+logc-1)=-2rc=0
r(-s(logr+logs)+cc/s)=0,rs(logs+1-logs+1)=2rs=0
r=0,f=0^0+0^0=2>1

2x^x>x^x=e^xlogx>e^0

>>97
確か、ベルヌーイ不等式は高校で習わないぞ

自然数nに対して
n^n と (n!)^2 の大小を比較せよ

xに関する4次方程式
　x^4-3x^2-6x-2=0
の複素数解を全て求めよ

1±√2、-1±i

n=1、2のとき等しくn≧3のとき(n!)^2のほうが大きい

>>103
　x^4 -3x^2 -6x -2
　　= {x^2 -2x -1}{x^2 +2x +2}
　　= {(x-1)^2 -2}{(x+1)^2 +1},

①連続関数f(x)について
∫_0＾(π/2)(f(sinx))dx=∫_0＾(π/4)(f(sinx)+f(cosx))dx
が成り立つことを証明せよ

②∫_0＾(π/2)(x/tanx)dx を計算せよ

>>107
むじゅいでちゅ！

広義積分だから、工房相手にそのままではちょっと

>>108
「乱暴な」計算なら難しくもない、(2)は部分積分で

>>106
この因数分解はどうやって発見するのでちゅか？

発見するだけなら、二つの2次式の積とおいて係数比較。

>>102

n = k(n+1-k) - (k-1)(n-k) ≦ k(n+1-k),
これを k=1,2,…,n について掛ける。
（k=1 または k=n のとき等号、2≦k≦n-1 のとき不等号）

>>107
①　x = π/2 - y とおく。
　∫(π/4～π/2) f(sin(x)) dx
　　= ∫(0～π/4) f(sin(π/2 -y)) dy
　　= ∫(0～π/4) f(cos(y)) dy,

>>110
　x^3 の項がないので
　(与式) = (x^2 +ax +b)(x^2 -ax +c) と桶

>>★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
東大入試作問者は先ず答えから作り、それから問題を考え、
更にそれが高校レベルで解答可能かどうかを考える。
このスレ、レベル低い。

マジレスしちゃだめ

そもそも東大の威光を傘にきてる時点でダメだっつーのwww

東大に入ってもゆとりはゆとりだし天才は天才★

そしてボクはいつでもどこでも１００点満点のド天才♪

>>115
友達がいないし、先生にも相手にされていないのか

このスレは勉強になるぜ

>>107 (2)

部分積分して　　>>109
　(与式) = [ x･log(sin(x)) ](0,π/2) - ∫[0,π/2] log(sin(x))dx
　　　　 = - ∫[0,π/2] log(sin(x)) dx
　　　　 = - I,
とおく。x → π/2 -θ として
　I = ∫[0,π/2] log(cosθ) dθ,
また、x→π-θ として
　I = (1/2)∫[0,π] log(sinθ) dθ
　　= ∫[0,π/2] log(sin(2φ)) dφ　　(θ=2φ)
　　= ∫[0,π/2] log(2･sinφ･cosφ) dφ　(倍角公式)
　　= ∫[0,π/2] {log(2) + log(sinφ) + log(cosφ)} dφ
　　= (π/2)log(2) + I + I,
∴　I = -(π/2)log(2),　　(Euler)

高木：「解析概論」改訂第3版、岩波書店 (1956)
　§34. p.113 [例3]

>>117
お前の勉強になってもしようがない

負にならないだろ

>>82
各正整数nに対して、
p^e|nを満たす最大の整数eをv_p(n)で表すとする。

[主張]
正整数nが与えられた条件を満たすならば、
nは60480=2^6*3^3*5*7 の約数である。
(逆については何も言っていません)

[証明]
任意に素数pを取る。
(n!)^7/n^n∈Z
⇒ v_p(n^n)≦{v_p(n!)^7}
⇔ nv_p(n)≦7v_p(n!)
⇒ v_p(n)＜7/(p-1)
(∵v_p(n!)＜n/(p-1))
証明ここまで。

あとは 60480の正の約数のうち、
条件を満たすものを探すだけですが。

>>120
努力は必ず報いられる

[問題]
4次元空間において、
1×2×3×4のブロックを6×6×6×6の中に
ぴったりと敷き詰めることは可能か。
(可能ならば方法を記し、不可能ならばそれを証明せよ)

54個のブロックを用意する
平面で切ってまずは三次元で考える

>>123
不可能。

i を虚数単位とし、6×6×6×6 マスのブロックのの第 (p, q, r, s) のマス目に i^(p + q + r + s - 4) を書き込む。
マス目に書き込まれた数の総和は -4.

一方、1×2×3×4 のブロックを何処にどの様に置いてもそのマス目に書かれた数の和は 0, 合計全体が 0 となり矛盾。

だからなんだ？死ねよカス

>>125
素晴らしいです

オリジナルの４兆倍は簡単と言われている
偽フェルマーの最終定理
　
①３以上の自然数nについて
n＾x+n＾y=n＾z となる自然数組x,y,zは存在しない事を証明せよ

②x＾x+y＾y=z＾z となる自然数組x,y,zは存在しない事を証明せよ

③x＾x+y＾y+z＾z=w＾w となる自然数組x,y,z,wは存在しない事を証明せよ

①おちんちん
②
z^x+z^y>z^z
x≦yとする
1>z^(z-x) -z^(y-x)
z^(z-x)とz^(y-z)は自然数でz^(z-x)>z^(y-z)なので
だめ

もっとエレガントなやりかたあるけどね

鳩ノ巣問題か。。

6^4=2^4*3^4
1×2×3×4=24=2^3*3
(3,4)=1
NG

[問題]
4次元空間において、
1×2×3×2のブロックを6×6×6×6の中に
ぴったりと敷き詰めることは可能か。
(可能ならば方法を記し、不可能ならばそれを証明せよ)

>>133
自明的に可能

頭が悪いから問題改変すらできない

>>133
> 4次元空間において、
指導要領違反

[問題]
n次元空間において、
1×2×3×2X1...のブロックを6×6×6×6X...の中に
ぴったりと敷き詰めることは可能か。そのとき最小のnは？
(可能ならば方法を記し、不可能ならばそれを証明せよ)

>>137
....... が意味不明、 n との関係も (n が何かも) 不明。大学入試には意味不明な問題・曖昧な問題・解釈が二通り以上ある問題は絶対出ない。
いずれにしても
>>123 >>133 >>137 は四次元は高校範囲外だから
面白い問題おしえて～な十九問目
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
へどうぞ。
他の多くの奴もな

>>137
可能

>>89はコーシーシュワルツで解けるが、これは高校の範囲だっけか？

tan1°は無理数か

ありがちな問題だが，計算練習程度にはなるだろう

n は自然数とする．縦 3 ，横 2n の長方形の床に，縦 2 ，横 1 の
長方形のタイル 3n 枚を隙間なく敷き詰める．ただし，タイルは
裏返さなければ90°回転してもよい．敷き詰め方は何通りあるか．
なお，床は決まった方向から見るものとする．

>床は決まった方向から見るものとする．
言わんとすることは分かるが、日本語としてセーフなの？
・床は決まった方向から（観測者により）見られるものとする．
・（観測者は）床を決まった方向から見るものとする．
なら、話はわかるが

>>143
ではそのように訂正してください

>>141
以前どこかの入試に有ったように思うが
http://search.yahoo.co.jp/search?p=tan1%C2%B0&ei=UTF-8&fr=mozff
東大レベルとは云えない

tan1°が有理数だと仮定するとtan30°も有理数となるから矛盾
加法定理を何度も使えばいいだけだ既出すぎる

>>142　3×2nの領域に敷き詰められたパターンの数をS(n)とする。
右端の3×2の領域のブロックのパターンは、下のどれか。それぞれの数をA(n)、B(n)、C(n)とする。
┏━━┓ 　　 ┏━━┓ 　　 ┼┼┏┓
┗━━┛ 　　 ┗━━┛ 　　 ┼┼┃┃
┏━━┓ 　　 ┼┼┏┓ 　　 ┼┼┃┃
┗━━┛ 　　 ┼┼┃┃ 　　 ┼┼┗┛
┏━━┓ 　　 ┼┼┃┃ 　　 ┏━━┓
┗━━┛ 　　 ┼┼┗┛ 　　 ┗━━┛
S(n)=A(n)+B(n)+C(n)で、A(1)=B(1)=C(1)=1
Bタイプで終了していたパターンにさらに、Bタイプが続く場合、境界線上の
二つの縦のタイルを横に置き換える事も可能であることに注意すると、
A(n+1)=A(n)+B(n)+C(n)
B(n+1)=A(n)+2B(n)+C(n)
C(n+1)=A(n)+B(n)+2C(n) が成立
...　(中略)　...　A(n+2)=4A(n+1)-A(n)　...　(中略)　...
S(n)={(3+√3)(2+√3)^n + (3-√3)(2-√3)^n}/6

>>147
正解

ほとんど同じことだが，俺の方針も提示しておく
左上から順に敷き詰めていくとして，最初の3枚or4枚のあとどう敷き詰めるかで場合分け

パタン①　縦3横2n の長方形領域
┏　 2n　 ┓
□□□…□
□□□…□
□□□…□
の並べ方の総数を　a[n]　とする

パタン②　縦3横2n の長方形の左下が欠けた形
┏　 2n　 ┓
□□□…□
　 □□…□
　 □□…□
　┗ 2n-1 ┛
の並べ方の総数を　b[n]　とする

パタン②の上下が逆になったものが出てくることにも注意して
a[n] ，b[n]　についての連立漸化式を立てると，
　　　a[n+1] ＝ 3a[n] ＋ 2b[n]
　　　b[n+1] ＝ a[n] ＋ b[n]
を得る
b[　] を消去すれば
　　　a[n+2] － 4a[n+1] ＋ a[n] ＝ 0
となるので，これを解けばよい

>>147 より
　B(n) - C(n) = D(n),
　( √3 -1)A(n) + B(n) + C(n) = E(n),
　(-√3 -1)A(n) + B(n) + C(n) = F(n),
とおくと
　D(n+1) = D(n) = ････ = D(1) = 0,
　E(n+1) = (2+√3)E(n) = ････ = (2+√3)^n･E(1),
　F(n+1) = (2-√3)F(n) = ････ = (2-√3)^n･F(1),
よって
　S(n) = {(3+√3)/4}E(n) - {(-1+√3)/4}F(n),

明日はセンター入試
もう皆さん寝てるかな？

2Bの難化が凄いな
1Aで喜ばせて2Bで叩きのめす
今年の作成者はドSに違いない

周の長さが一定の三角形において、
内接円と外接円の半径の積が最大となるのは正三角形であることを証明せよ。

>>152

3辺の長さをa,b,c 面積をS とする。

内接円の半径　r = 2S/(a+b+c),
外接円の半径　R = abc/(4S),
辺々掛けて
　r･R = abc/{2(a+b+c)} ≦ (1/54)(a+b+c)^2,　(相乗･相加平均)
等号成立は a=b=c (正△) のとき。

>>153
まったく同じ方針だった。
外接円の半径の公式は証明無しで使っていいもんかね

上手いな

a,bを自然数とする。C1：y=acosx、C2：y=bsinx (ともに0≦x≦π/2)
C1,C2とy軸で囲まれる領域の面積をS、 C1,C2とx軸で囲まれる領域の面積をTとおく。
S:Tが整数比となるための(a,b)の条件を述べよ。また、そのような(a,b)の組は無数にあることを説明せよ。

ナベアツが1から1000まで数えたときに何回アホになるか。
ただしナベアツは3の倍数または3のつく数字を数えるときにアホになるものとする。

いろんな解法あるんでなるべくエレガントに解いてください。

一様である円周上に2点A,Bをおく、
このとき(短い方の弧ABの長さ)/(線分ABの長さ)の期待値を求めよ

高校の内容を越えるやつを出しているやつは
脳みそに障害があるの？

>>158

　弧AB = Rθ
　線分AB = 2Rsin(θ/2)
　(1/π)∫[0,π] θ/{2sin(θ/2)} dθ = 4C/π = 1.16624
　C はカタラン数：0.915966

>>156
有名じゃね？
a, b, cはcを最大とするピタゴラス数になっている
当然無数にある

>>159
>>1

表の状態で2枚、裏の状態で1枚、計3枚のコインが机の上に置かれている
机を1回叩くと、それぞれのコインについて
1/3の確率で反対に引っくり返り、2/3の確率でそのままの状態となる
机をn回叩いた時、表の状態になっているコインの枚数が1枚となる確率を求めよ

x^2+3^x=y^2を満たす正整数(x,y)の組を求めよ

正整数x,yがx^2+3^x=y^2⇔3^x=(y+x)(y-x)
を満たしているとしよう
y-x,y+xはともに3の累乗だから
y+x=3^a,y-x=3^b(a＞b,a+b=x)を満たすような
非負整数a,bの組が取れる
よってとくに 2x=3^a-3^b となる
a+b=xより 2a+2b=3^a-3^b
ここで 2*3^(a-1)=3^a-3^(a-1)≦3^a-3^b=2a+2b≦4a だから
あわせて 2*3^(a-1)≦4a
よって a≦2 が得られる
(a,b)の候補は(a,b)=(2,1),(2,0),(1,0) の3つであり,
これから(x,y)の候補(3,6),(4,5),(1,2)が得られる
(4,5)は不適なので全ての解は(x,y)=(3,6),(1,2)

>>91
不可能

すべての実数で定義される関数f(x)があり、
任意の異なる実数a, bに対し f(a)-f(b)＜(a-b)*f(a) が成り立つ。

(1) f(a)-f(b) と (a-b)*f(b) の大小関係を調べよ。
(2) f(x)は任意の実数aについて微分可能であり、かつf'(a)=f(a)が成り立つことを示せ。

たまねぎつめ放題の稠密充填問題を解きなさい。
袋は半径r高さhの円柱、玉ねぎの半径はaとする。

こっちにも書こう

A>0,B>0の場合、

A^s+B^(2-s)を縦軸、sを横軸にした場合

A^s+B^(2-s)の描く曲線はなんという曲線か調べよ。

また、
A^s+B^t＝A+B
となる時の、sとtを求めよ。

>>159
高校の内容を越えるやつを出しているやつは
脳みそ・・・があるの？

あるよ

>>169
>>1

94 ：スロッタ－ニ－ ◆MtqSLOTANI ：2011/11/29(火) 22:45:38.59 ID:NBEh0Yqx
昔ベル川崎でルパン打ってた時に、設定6だと2分の1で引ける要素(SH中のREGバトルetc...)を3連続でスルーしたから捨てたら後任者が5000枚抜いて・・・設定5-6発表台だったんだわ。
※設定5以上という発表で、設定6発表ではない。

その話をDICE(>>62-64)に
「2分の1を3連続でスカる確率は8分の1じゃん。S-BIGとバケでの滑りプラムもｸｿだったし、まぁ6じゃないべーーー」
って話をしたら・・・・

DICE「ルパンの設定6って初期投資あんまかからないらしいじゃん」

いやさｗｗｗｗ勝ったとか負けたとかいくらで当たるとかそういう話をしてるんじゃないんだよｗｗｗｗ
マーチ(笑)じゃ2分の1の3乗が8分の1ってことがわからないからごまかしたんか？ｗ

とかいう確率的な話をし始めると彼は決まって
「スロットで稼ごうとは思わない。」

話ずれまくってんすよｗｗ

そらマーチ(笑)は低学歴って扱いするわ。

P.S 「勝とうと思ってない」のは自由なんだけど、じゃあ何でわかった風に語ってるかっていう。
論理的思考力が欠如している奴に限ってスロに限らず「～できない」とか決め付けるけど、単純に自分が馬鹿だってことに気づいてないんだよっと♪

http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/slotj/1321424162/310-312

角の三等分割が作図不能なことをさらっと説明しなさい。

直角の3等分はできると思うが

>>173
角の三等分割はできません

紙を折る
目盛りの入った定規を使う
3等分線を引くいろいろな方法はあるけど？

Σ(k=1,45)(log_{2}(tan(k°)+1))を計算せよ

a+b=pi/4.
1=tan(pi/4)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)).
(1+tan(a))(1+tan(b))=2.

>>178
ちくしょう

高校生の、に出ていた質問を利用して

n、ｐは2以上の自然数で、p＜nとする。
∑_[k=0～n]x^kを(x-1)^pでわった余りを求めよ。

問題

(1) (大数難度 D**)

任意の正の整数 n に対して

1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)!

を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．

(2) (大数難度 D♯)

p^2 が無理数であることを示せ．

(1)で成り立ってないじゃん

反例よろしく

3 が見えてないとかｗ

>>183
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>185
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

>>183
微積の本買って実数論のところでも読めば？

>>181
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．

おまいが読めよｗｗｗ

　　　　　　　　　　＿＿＿_
　 .ｎi 7　　　　／ノ　　　ヽ＼　　まだだ、まだ笑うな、こらえるんだ・・・
l^l | | ｌ ,/) 　／／ﾟヽ　／ﾟヾ＼　　　　　 .ｎ
', U ! ﾚ' / ／　　　⌒　　　⌒　　＼　　 l^l.| | /）
/　　　〈　|　　（＿＿__人＿＿）　　| 　 | U ﾚ'/／)
　　　　　ヽ＼　　　　|lr┬-l|　　　／　　ﾉ　　　／
　／´￣￣ノ　　　　ﾞ=ニ二"　　　＼ｒニ　　　　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　`ヽ　　　l

>>181
e-pを計算汁
e = Σ1/r! だから
-2/(n+1)!+1/(n+2)!+...＜e-p＜1/(n+1)!+1/(n+2)!+...
はさんでいる左側と右側はn→∞で0にいく
はさみうちの原理より e=p がいえた

>>191
高校範囲だから e = Σ1/r! は使えない

真性かどうか判断に困るから止めなさい

>>192
突っ込みどころはそこじゃないけど

まだだ、まだ笑うな、こらえるんだ・・・

日本語のことを言ってるのらどっちにでも取れるだろｗ
善意に解釈して解けよｗ

解かないとかwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

まだ二人しかいないから我慢、我慢

揚げ足取りの池沼乙ｗｗｗｗ

盛り上がらないな

池沼だけだとなwww

e = Σ1/r! を使う必要性はない
代わりに Σ1/r! が収束することを示せばいいだけ
そしたら1つの実数を意味しているわけだから問題なし

e^2が無理数であることの証明は
eが超越数であることを使って良いならほとんど明らか。

>>201
そんなもん使っていい訳ないじゃんｗｗｗ
馬鹿？

>>201
Σ1/r! の収束性を高校範囲でどうやって証明するんだよ

池沼は逃げ足が速いｗｗｗ

池沼だけにｗｗｗ

落ちてないｗｗｗ

>>203
上に有界な単調増加数列は収束するを使えばいい
だから Σ1/r! が上に有界であることをいえばいい
でもそれはほとんど明らか(たとえば比較判定法)

笑えよ

>>205
だから、それは高校の範囲外だろう？

e^2が無理数であることを自力で証明出来る高校生なんておらんやろ

>>208
(1)が誘導になってるんだがな

真性だったのか

e^2=a/b (a,bは互いに素で,a,bは自然数)と仮定するとき
当然 be = a/e が成立する
1/e=1-1/1+1/2-1/6+...
だから,これと e=1+1/1+1/2+1/6+...
を代入したあと十分大きい整数mに対して
m!を両辺に掛け算する。
整数部分をみて極限を考えれば矛盾がみえる

> 任意の正の整数 n に対して

>>211
おまいはいつも e = Σ1/r! が前提じゃん。

>>212
だから反例かけよ

>>214
まじで言ってんの？

　　　　　　　　　　＿＿＿_
　 .ｎi 7　　　　／ノ　　　ヽ＼　　ぷぷぷぷぷぷぷぷぷぷぷぷ
l^l | | ｌ ,/) 　／／ﾟヽ　／ﾟヾ＼　　　　　 .ｎ
', U ! ﾚ' / ／　　　⌒　　　⌒　　＼　　 l^l.| | /）
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どうやら実数は完備じゃなかったらしい

本気と書いてマジと読みます

>>217
お前の頭もスカスカだなｗ

>>181
> 任意の正の整数 n に対して
>
> 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)!
>
> を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．

キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！ー

>>217
4年前からな

つまんねえの

あああのときか

助さん、格さん、もういいでしょう

なにも新しいものがない
おちんちんの皮にたまる白いカスみたいな
問題によってこのスレはおまんこ化した

そっとしておこう

だから、誰か留め刺せよ。

池沼の矜持とかｗｗｗ

地産池沼ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

次の方どうぞー

解けないって言えよｗｗｗｗｗ

たぶん、何をつっこまれているのか気づいていないんだろうと思うよ

　　　　＿＿＿_
　　　　／　　　　＼
　　　／　 _ノ　ヽ､_　＼
　／　oﾟ⌒　　　⌒ﾟo　＼　なにもないからおちんちんしごくお
　 |　　　　（__人__）　　　　|
　＼　　　｀ ⌒´ 　　／

ageて援軍待つなんて卑怯だな。
池沼に援軍とかwww

>>232
だからはっきり言えよwww
ほとんどお前のコメントだろwww

誰かハッキリ言ってやれよ

池沼が言えよｗｗｗ

　　　　＿＿＿_
　　　　／⌒　　⌒＼　　　ﾝｸﾞﾝｸﾞ
　　　／（●）　（●）＼
　／::::::⌒（__人__）⌒:::: ＼　　ﾁｭﾊﾟﾁｭﾊﾟ
　 |　　　　（　　　＼　　　 |
　＼＿　　ヽυ 　::＼／
　　　　　　　　＼　　.:::＼

朝起きて今日一日、さあオナニーをするぞなんて思っているようじゃとても
ものにならない。オナニーをしながらいつの間にか眠り、朝起きた時に自然
にオナニーの世界にひたっている。どのくらいひたれるかが勝負の分かれ目だ

自分が自信ないんでageてばかりのチキンｗｗｗ

>>181
　　　　　　r;ｧ'N;:::::::::::::,ｨ／　　　　　 >::::::::::ヽ
.　　　　〃　　ヽﾙ1'´　　　　　 ∠:::::::::::::::::i
　　　　 i′　　___,　-　,. = -一　￣ｌ:::::::::::::::ｌ
.　　　　　 ! , -＝=､´r'　　　　　　　　 l::::::/,ﾆ.ヽ
　　　　　　ｌ　　　　　　　　_,, -‐''二ゝ　ｌ::::l fﾞヽ |、ここはお前の日記帳じゃねえんだ
　　　　　ﾚー-- ､ヽヾﾆ-ｧ,ﾆ;＝、_　　 !:::l ） } ト
　　　　　　ヾ¨'７"ry､｀　ｰﾞ='ニ,,,｀　　 }::ヽ(ノ　チラシの裏にでも書いてろ
:ｰゝヽ､　　 !´ "￣ 'l,;;;;,,,.、　　　　　　　,i:::::::ﾐ
::::::::::::::::ヽ.-‐ ﾄ、　r'_{　　 __)｀ニゝ、　 ,,iﾘ::::::::ﾐ
::::::::::::::::::::Vi／l:::V'´;ｯ`ﾆ´ｰ-ｯ-,､:::::`"::::::::::::::;ﾞ　, 　な！
:::::::::::::::::::::::::N. ﾞ､::::ヾ,.｀二ﾆ´∠,,.i::::::::::::::::::::/／／
:::::::::::::::::::::::::::::l　ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／　／
::::::::::::::::::::::::::::::!　:|.＼;::::::::::::::::::::::::::::::／　／

朝まで池沼の援軍待ってろｗｗｗ
俺は寝るわｗｗｗ

オナニーなんて遠まわしな言い方はやめろ
射精するといえ　射精する
セックスもオナニーも射精するという1点で同じだ
孕ませないセックスはオナニーと同じということ

結局誰も解けないか．．．
数学板も落ちたな．．．

無理だろ常考

もっと煽ったら誰かがまじめに教えてくれんじゃね？
がんばれよ

と、池沼がびくついて書いています

昔ほど盛り上がらんな

じゃあ俺が勝利宣言して終わるわｗｗｗ
雑魚がｗｗｗ

n=1のとき
1＋1/1! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋3/2!
これを満たすpは一つではない

∃1p ∀n : 不等式
でしょ
君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ

まだまだ続くよ

はーい、そろそろ巣に返る時間ですよ

>>250
さすが、池沼。
期待を裏切らないｗ

任意の正の整数 n に対して

np=1

を満たす実数 p が唯１つ存在することを示せ．

諸葛亮ｲﾜｸ「他ﾆｽﾙｺﾄﾊﾅｲﾉﾃﾞｽｶ」

>>251
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ
> 君のは ∀n ∃1p:不等式になっているよ

>>255
ピントズレまくり、流石池沼ｗｗｗ

そろそろ謝れよ、おばかさん

ブラフ手で勝とうなんて虫が良すぎますぜ

>>257
そこしか砦がないんだろ？

e^π＜π+20 を証明せよ

>>262
東大でもっときつい評価の奴が出てただろ

xにどんな自然数を入れても素数となるxに関する式を求めよ

f(x)=2

4+(-1)^x

正解です

どっちが？

どっちでも

>>265-266
吹いた！私は頭が固いようだ…

>>265なんかどんな複素数を入れても素数だぜ

拝啓
寒さがひとしお身にしみるころとなりましたが如何お過ごしでせうか。
遅ればせながら、的確なる御指摘に慎んで感謝致しまつ。
風邪など召されませぬやう、くれぐれもお気をつけてお過ごしくださいませ。
急ぎ用件のみにて失礼いたしまつ。
敬具

成りすまし乙ｗｗｗ
よっぽど都合が悪いんだなｗｗｗ

>>272
多忙に付きせんだっての件挨拶が遅れてたいへんもうしわけなく思っていました

>>273
涙拭けよ

　　　　　　　　　　＿＿＿_
　 .ｎi 7　　　　／ノ　　　ヽ＼　　
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領域y≧x^2上の点Aは放物線y=x^2に異なる法線を3本引ける。
Aの存在しうる領域を求積せよ

>>277
ほんまかいな

ぷぷぷ・・・

∞

すいませんでした
訂正:3本引ける→3本引く事が出来ない
どうか許して下さい

>>281
高校生が解けますかね
計算ソフトを使って
-2*(sqrt(3*2^(5/3)*(sqrt(5)+3)^(1/3)+(2592-864*sqrt(5))^(1/3)+12)*
(15*2^(7/3)*(sqrt(5)+3)^(1/3)+5*2^(2/3)*(2592-864*sqrt(5))^(1/3)-15*2^(11/3))-108*
(3*2^(5/3)*(sqrt(5)+3)^(1/3)+(2592-864*sqrt(5))^(1/3)+12)^(5/6))/(45*2^(14/3)*sqrt(6))

と思ったら途中の係数違ってた
(22/15)*√2

京大のがいいもんだすだろ

京大はだいたい10年周期程度で難化易化を繰り返している
そろそろ難しくなるかもしれないが後期試験を廃止したので
あまり無茶はしないだろう

放物線y=x^2上に点Pをとる。
放物線y=-2x^2に点Qをとる。
点P,点Qの長さをlとおく。
0≦l≦1のとき、点P,点Qの動く軌跡を図示せよ。

放物線y=x^2とy=-(x-1)^2の最短距離を求めよ

とても東大レベルとは思えんが…

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'＊ｼ無しさん

1

問題

(1) 任意の正の整数 n に対して

1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ e ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)!

が成り立つことを示せ．

(2) e^2 が無理数であることを示せ

まだ続けるの？

>>291
つっこまれまくって、問題文を訂正したか？あん？

こわれたすれ

一辺の長さ1の立方体の辺上に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

なめてんの？

　　　　,ィ´￣￣￣｀`ヽ
　　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　厶 -…ー─‐--､:::::::::::|
∠＿__,ィ´￣￣￣｀ヽ､＼＿}
　　　|　<●） /、（●>、 |||| 　　　また糞問か…
　　　|　　,,　<、_,> ヽ、, 　 |
. 　　 | 　　ｍj |＝‐ｧ'　 .::::|
　　　＼,〈＿_ﾉﾆﾆ´　.:::／
　　　／ノ　　ﾉ |||/一´＼

一発でABCDの位置を答えてみて。

x^3＝4y^3＋1 を満たす整数の組(x,y)を全て答えよ。
ただし、x^3＋y^3＝z^3 を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない。

　:||:: ＼おい、隠れても無駄だｺﾞﾙｧ！　　　　　ドッカン　　ゴガギーン
　:|| :: 　￣￣￣￣￣￣￣￣￣∨￣￣_ｍ　ドッカン　　　　 ☆
　:||:: 　＿＿＿　　　　＝＝＝＝＝＝）　）)＿＿＿＿＿　／　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　:||　　|　　　　 |　　　　　　|￣.ﾐ∧_∧　|　| ────┐||:: 　　∧＿∧　＜おらっ！出てこい>>295
　:||　　|＿＿＿|　　　　　　|＿..（　　　） |　|　.＿＿＿ │||::　　（｀Д´　）　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　:||　　|＿＿＿|　　　　　　|＿「　⌒￣　　,|.. |´；ω；`| :| ||::　　/ 「　　＼ ::.
　:||　　|＿＿＿|　　　　　　|＿|　　　 ,/ ￣ .　￣￣￣ │||::　　| | 　　/＼＼
　:||:　　￣￣￣　　　　　　￣|　　　 .| :||│ 　　 ;, 　 │||; へ//|　　｜　|. |
　:||::　　　:;　　;　,, 　　　　　:|　　　 :.| ||│ 　　　 (＼／,.へ＼|　　|　::（　.）
　:||::　　　:;　　冫、.　.　　　　| 　 .i　 .|:||◎ニニニニ＼／　　＼　　 | 　￣
　:||.:,,'';　　　 `　.. 　.　::　　.　| 　∧.　|:||│::::/　　　　│||::.:.　　 .Y　./　..:: ;;
　:||:;;;:　　　;;.. :::::　冫、　: .::　.| 　|　|　|.||│　冫、　;;;,,│||:;;;.　　　|　.| 　........
　:||:;;;:　　.....　　　.. `　　　　　/ / 　/ /::||│　`　　.,;;;,,.│||:;;;.　　　|　.|　　...:L
　:||;:::　#　　　..:　　　　　　./ /　./ ./　||│|三三三|. │||;;:..::　　|　.| . #.. :: ;;
　:||;:::　　　　　#. ..:　　::::::　(＿） .（＿）.ﾐ||│ 　　　　│||;;;ｋ､,,,|,（＿）.. ,,, :::
　　￣￣￣￣￣:￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　　　　ﾄ､　　　　　　　　　　　　　　　　　　______）
　　　　「::::＼┐　 _,,.　--──- ､..,,_　　　　｀ヽ.　で　泣　　も
　　 r-‐'へ::::::::!_'´　__,,,,......,,,,,__　　　｀ヽ､　　　　',　す　い　　う
　　＞:､:;::::::＞''"´　　　　　　　｀"'' ､　　　':,　　　i. よ　て　や
　　└─ｧ''"　 /　　　　　　　　　　　｀':.,　　',.　　 !！　る　　め
　　　 ,:' / 　 / ,' /　 ,' i.　 ',　':,　　i 　　 ',! 　i.　　|.　　子　て
　　　/　,' 　.,'`メ､!,_,/ ./!　､i__,,!イ .|.　 i　,ゝ　|　　|.　　も　　.下
　　 ,'　 i 　 ,!/,.-ｧｰ;' /　!/ｧ;ｰ'-r'､ !　/__」　　| 　 | 　　い　　さ
　　 i 　 !　ﾊ!ｲ　i `ﾊ　　　 i　`'ﾊ　Y/ i/ 　;　|　　|.　　　る　い
　　└'^iー! ,iﾍ　':,_ﾝ　　　　':,__ンノ!' 　|　 i.　i　 ,' 　　　ん　　 ! !
　　　 ,:' 　.!.7,.,., 　　　'　　　　 .,.,., ,'! 　.!　 |　|∠,_　　　　________
　o ゜/ 　,:'. ﾄ､　　 r‐,-‐ ''"´｀ヽ.　/ ; 　 |　 !　!　　｀Y´￣
　　 ,' .／/　i. ｀i:.､.,!/　　　　,.ｲ,:'　,' 　 |　,'i .|
　　ﾚﾍ_/ヽ. !ｧ''"´ ｀ヾi､ｰ=''"/ﾖ___,/､___!へr┘
　　　　　　 / 　　　　　ヾ!二へ/:::::ﾄ,.-'‐'^ヽ,
　　　　　 ,'　　　　　　　',l＞く}:::７　　　 rﾉ　　　,. '"´￣｀ヽ.　　っ
　　　　　K_ 　　　_,r-イYﾝ/ﾑi:::::/　　 ,ノ´　　／　　　　　　',　っ
　　　　 /Y＞ﾍﾞ´　　'';:::::io:／　　 ,ｲ　　　/　　　　　　　 !
　　　 ,.:':::::ヽ､ン':,　　　ヽ／　　　,ｲ /ﾞ,ｰ､,'　　　､　　 ,.-‐､,'
　　／:::/:::::::::::::::::ヽ.　　'　　　,.;'ヾ/､/_/ﾉ　　ヽ. ヽ,／,.-‐'/
　,く:::::::/::::::::::::::::::::::::`ヽ､___,.,.イi `'ｰ'^''‐'/ 　　　ヽ.,／ (___)
'´::ヽ｀'::､::::::::::::::::::::::::::::::::/!::::::::::!　　　　,'　　　　　　 ,.:'"´
::::::::/｀7::::｀''r-::､:;_______/ｒL_,.イヽ.　　　i　　　_,. -‐''"´｀ヽ　　/
::::::;'::::::!::::::::::';:::::::::::＼:::::::::::::::::!:::::::':, 　ヽ､　　　　　　　ノ　ノi

>>287

A (a, a^2)
B (b, -(b-1)^2)
とおく。
解1.
　(AB)^2 = (a-b)^2 + {a^2 + (b-1)^2}^2,
より
　(∂/∂a)(AB)^2 = 2(a-b) + 2a{a^2 + (b-1)^2} = 0,
　(∂/∂b)(AB)^2 = 2(b-a) + 2(b-1){a^2 + (b-1)^2} = 0,
辺々たして
　a+b-1 = 0,
また
　a = {[√(43/27) + 1]/4}^(1/3) - {[√(43/27) - 1]/4}^(1/3)
　　= 0.423853799069783
　b = 1 - a,

解2.
　Aにおける法線　y = a^2 - (x-a)/(2a),
　Bにおける法線　y = -(b-1)^2 + (x-b)/{2(b-1)},
が一致することから
　a + b = 1,
以下同様

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

2^πに最も近い整数は何か
ただし
10^0.3010=2,10^0.4771=3,π=3.14
とする

2^3.14
=
8.81524093

コラッツのステップ数と初期値の関係を定式化しなさい。

>>291

(1)　マクローリン展開
　e^x = 1 + x/1! + (x^2)/2! + …… + (x^n)/n! + e^(θx)/(n+1)!,　(0<θ<1)
で x=1 とおく。

(2)　
背理法による。
e^2 = m/n,　(m,nは自然数）n≧2 と仮定する。
n!･e^2 は自然数。
(1)の式で x=2 とおくと N < n!･e^2 < N + 3/(n+1) ≦ N + 1
ここに N = Σ[k=0,n] (2^k)(n!/k!) は自然数。
∴　n!･e^2 は自然数でない。（矛盾）

ζ（３）が無理数
ζ（３）は超越数？
ζ（５），ζ（７），・・・は有理数、無理数？

テイラーの定理じゃ？

>>307
間違い。

1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ e ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)!
->e<e<e+0

eが超越数だからe^2も超越数

>>307
致命的な欠陥が２箇所ある

>>311
範囲外

x＞-2において
e^x＞log(x+2) を証明せよ

①1辺が1の正六角形ABCDEFがある
辺AB,CD,EF上(頂点を含む)に
AP=CQ=ER=t (0≦t≦1)
となるように点P,Q,Rをとるとき、△PQRの重心はtによらないことを示せ

②平面上に距離が1km離れた高さ21.5m、11.5mの二つの塔がある
人が視点の高さ1.5mからこれら塔の頂上を見上げたときに仰角が等しくなるように平面上を動く
このとき、人は平面上をどのような軌跡を描いて動くか求めよ

③次の条件を同時に満たす整数(x,y,z)の組を全て求めよ.
条件:(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/3,x≦y≦z,x<0

④2次関数f(x)=ax^2+bxが
|f'(x)|≦1 (|x|≦1)
を満たすとき
|f(x)|≦1 (|x|≦1)
を満たすことを示せ

⑤表の状態で2枚、裏の状態で1枚、計3枚のコインが机の上に置かれている
机を1回叩くと、それぞれのコインについて
1/3の確率で反対に引っくり返り、2/3の確率でそのままの状態となる
机をn回叩いた時、表の状態になっているコインの枚数が1枚となる確率を求めよ

>>314
宿題か？
簡単すぎ。
脳内で30秒で解けた。

x＞-2において
e^x＞log(x+2) を証明せよ
e^-2>log0

>>317

>>318
3行目で何がしたかったの？

知らんよ、>>317に聞け

f(x)=e^(e^x)-xとおく、
f'(x)=e^(e^x+x)-1
f'(x)=0⇔e^x+x=0
e^x+x=0を満たすxをαとおく
e^α+α=0より e^α=-α
∴f(α)=e^(-α)+e^α
また相加相乗平均よりe^(-α)+e^α＞2
∴f(x)＞2 ⇔ e^(e^x)-x＞2 ⇔e^x＞log(x+2)

もっとスマートに行こうぜ．

e^x ≧ ｘ+１ ≧ log(x+2)

http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/slotj/1321424162/945
この問題解ける猛者はいるのか？あ？

>>323
もう答え書いてあるじゃん

>>324
答えを見て違和感なかったとかなんで東大入試スレにいるんだよｗｗｗ

>>325
向こうのスレでやれよ

レス番号がバグってる？

>>290のせいか

>>328
悪いのは>>289だよ。

a, b, c, p, q, r を実数の定数とするとき，次の x に関する
３次方程式の解はすべて実数である事を示せ．

(x-a) (x-b) (x-c) = 2pqr + p^2 (x-c ) + q^2 (x-b) + q^2 (x-a)

ａ＝０。
ｂ＝０。
ｃ＝０。
ｐ＝１。
ｑ＝１。
ｒ＝９。

a=b=c=0
p=q=1
r=2

ミスった．．．

a, b, c, p, q, r を実数の定数とするとき，次の x に関する
３次方程式の解はすべて実数である事を示せ．

(x-a) (x-b) (x-c) = 2pqr + p^2 (x-c) + q^2 (x-b) + r^2 (x-a)

一辺の長さが1の立方体がある。
その相異なる頂点を3つ選び、その3点を通る平面が立方体を切った断面積をSとおく。なお、立方体を切っていない場合はS=0とする。
S≧1となる確率を求めよ。

３点を通る球をベクトル表示して、半径をパラメータで表示して

>>335

　3点A,B,Cを通る円（△ABCの外接円）の中心（外心）は
　O↑ = sin(2α)A↑ + sin(2β)B↑ + sin(2γ)C↑}/{sin(2α)+sin(2β)+sin(2γ)},
ここに
　α： ABとACがなす角
　β： BCとBAがなす角
　γ： CAとCBがなす角

>>326
お前が解けないのはわかったよ。

1523:トモくん ◆TOMOyMvKc.
12/01/13(金) 18:00:54 ID:???
なんでお前が評論してるんだ？
どうせ東大にはかすりもしないレベルだろうに。

1602:トモくん ◆TOMOyMvKc.
12/01/14(土) 21:35:29 ID:???
オレよりレベル低い奴が偉そうなこというなよ

5825:トモくん首席 ◆TOMOyMvKc.
12/02/07(火) 00:26:15 ID:???
文Ⅰ嫌い。
オレはお前ら愚民に対する印籠として東大法学部を利用しようとしてるだけ。

2064 ：トモくん ◆TOMOyMvKc.：2012/01/17(火) 23:49:14 ID:???
どっちにしろ灘で理Ⅲいけないレベルの奴らは全部ゴミ。現時点で。

18. トモくん2011年12月18日 01:11
桜陰が全員勉強できるって・・・ｗ東大受かる奴は半分かそれ以下だし、東大といっても理２や文３みたいなバカ学部ばっかだろ（笑）
しょせん女だ、下手に男の領域を荒らす奴より女の生き方を心得てる奴の方がいい。

アメブロ『２８歳の春』
ttp://ameblo.jp/saionji-kaoru/image-11159710440-11783424203.html
ttp://tapo.xii.jp/ascii2d/src/1327611299657.jpg したらば
ttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/school/21000/1323825592/
ttp://www.youtube.com/user/ikemenTomokun

PA=PB=PC
pp-2ap+aa=r^2
pp-2bp+bb=r^2
pp-2cp+cc=r^2
-2(a-b)p+aa-bb=0
-2(b-c)p+bb-cc=0
-2Mp=K
p=-.5M^K

一辺の長さ1の立方体の辺上に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

底面積x高さ/３だからね

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岡本平蔵、徳田慎太郎、元DJ得真、清水惣一、橋木だいわ、山鉄、郷田隆二、田中大助、久米幸一、
松下四郎、山田鉄は同一人物

半径の長さ1の球の面に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

楕円体の面に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

トーラスの面に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

円柱の面に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

円錐の面に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの体積の最大値を求めよ

1523:トモくん ◆TOMOyMvKc.
12/01/13(金) 18:00:54 ID:???
なんでお前が評論してるんだ？
どうせ東大にはかすりもしないレベルだろうに。

1602:トモくん ◆TOMOyMvKc.
12/01/14(土) 21:35:29 ID:???
オレよりレベル低い奴が偉そうなこというなよ

5825:トモくん首席 ◆TOMOyMvKc.
12/02/07(火) 00:26:15 ID:???
文Ⅰ嫌い。
オレはお前ら愚民に対する印籠として東大法学部を利用しようとしてるだけ。

2064 ：トモくん ◆TOMOyMvKc.：2012/01/17(火) 23:49:14 ID:???
どっちにしろ灘で理Ⅲいけないレベルの奴らは全部ゴミ。現時点で。

18. トモくん2011年12月18日 01:11
桜陰が全員勉強できるって・・・ｗ東大受かる奴は半分かそれ以下だし、東大といっても理２や文３みたいなバカ学部ばっかだろ（笑）
しょせん女だ、下手に男の領域を荒らす奴より女の生き方を心得てる奴の方がいい。

アメブロ『２８歳の春』
ttp://ameblo.jp/saionji-kaoru/image-11159710440-11783424203.html
ttp://tapo.xii.jp/ascii2d/src/1327611299657.jpg したらば
ttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/school/21000/1323825592/
ttp://www.youtube.com/user/ikemenTomokun

6辺の長さの和が一定である四面体の体積の最大値を求めよ。

>>336

　OB↑ の OA↑に垂直方向の成分 (OB)｣ = R･sin(2γ),
　OC↑ の OA↑に垂直方向の成分 (OC)｣ = -R･sin(2β),
ここに、R = OA = OB = OC,
∴　sin(2α)OA↑ + sin(2β)OB↑ + sin(2γ)OC↑
は OA↑ に平行である。
同様にして、OB↑、OC↑ にも平行だから、０.

>>349

中心角は円周角の２倍なので
　∠AOB = 2∠ACB = 2γ,
　∠COA = 2∠CBA = 2β,
　∠BOC = 2∠BAC = 2α,

G=axb*c/6-s(a+b+c-d)
Ga=Gb=Gc=Gs=0

G=absintccosp/6-s(a+b+c-d)
Ga=bscc/6-s=0
Gb=ascc/6-s=0
Gc=absc/6-s=0
Gs=a+b+c-d=0
bc=ac=ab
a=b=c=d/3

V=(d^3/27)sintcosp/6<d^3/27*6

G=axb*c/6-s(a+b+c+ab+bc+ca-d)
Ga=Gb=Gc=Gs=0

G=abcstcp/6-s(a+b+c+(a^2+b^2-2abct)^.5+(c^2+b^2-2cbcp)^.5+(a^2+c^2-2acck)^.5)
Ga=bcsc/6-s(1+aMab^-.5+aMac^-.5)=0
Gb=casc/6-s(1+bMab^-.5+bMbc^-.5)=0
Gc=absc/6-s(1+cMac^-.5+cMbc^-.5)=0
Gs=a+b+c+(a^2+b^2-2abct)^.5+(c^2+b^2-2cbcp)^.5+(a^2+c^2-2acck)^.5)=0

2^.5(d/3)3+d=L
d=L/(1+2^.5)
V<(L/(1+2^.5))^3/27*6

最大体積は問題はバルーン問題
対称性から球に内接する正4面体になる。
d＝L/６

　お前は、定職に就くのが、先決だろがああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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>>342

3点A,B,Cがなす平面から中心Oまでの距離をh、点Dまでの距離をdとすると、
　d ≦ 1+h,　　(半径1)
△ABCの外接円の半径Rは
　R = √(1-h^2),
このとき、△ABCの面積 ≦ {(3√3)/4}R^2 だから, (*)
∴　V = (1/3)△ABC･d
　　　≦ (√3)(R^2)(1+h)/4
　　　= (√3)(1-h^2)(1+h)/4
　　　= (√3)(1-h)[(1+h)/2]^2
　　　= (√3){(2/3)^3 - (1/4)(5/3 +h)(1/3 -h)^2}
　　　≦ (√3)(2/3)^3,　　　　　　　　　　　　(**)
　　　等号成立は正４面体のとき。
*)
　△ABC = (AB･BC･CA)/4R
　　　　= 2R^2･sin(A)･sin(B)･sin(C)
　　　　≦ 2R^2･{[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3　(相乗･相加平均)
　　　　≦ 2R^2･{sin((A+B+C)/3)}^3　　(上に凸)
　　　　=　2R^2･{sin(π/3)}^3　　　　(A+B+C=π)
　　　　=　2R^2･{(√3)/2}^3
　　　　= {(3√3)/4}R^2,
　　　　等号成立は正△のとき。
**)
　{1-h, (1+h)/2, (1+h)/2} の相加平均は 2/3 なので、
　　　(1-h)[(1+h)/2]^2 ≦ (2/3)^3,

>>345　(予想)

円柱（円筒）の長さは有限として、
A～Dを
底面の南端と北端、天面の東端と西端　
に置くと、
円筒の体積の 2/3π

xyz空間上に二点 A(1,0,0),B(0,1,0)をとる、
点Pが線分AB上を、点Qがz軸上のz≧0の部分をPQ=1を満たしてそれぞれ動くとき、線分PQの軌跡とxy平面が囲む部分の体積を求めよ

同じ奴が同じような問題ばっかり

>>346 (予想)

A,B,Cが底円周上、Dが頂点にあるとする。

底円の半径をRとすると、△ABCの面積 ≦ {(3√3)/4}R^2,　　>>360

∴　円錐の体積の (3√3)/(4π) 倍。

u＋v＋w＋x＋y＋z＝1 を満たす６つの変数について、
u^2＋2v^2＋3w^2＋4x^2＋5y^2＋6z^2 の値の最大値を求めよ。

>>365間違えた最小値を求めよ

(u,v,w,x,y,z)=(20/49)(1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6)の時20/49

>>362
簡単すぎ脳内で解けた

>>368
零点。

>>365-366

コーシー
　(1 +1/2 +1/3 +1/4 +1/5 +1/6)(u^2 +2v^2 +3w^2 +4x^2 +5y^2 +6z^2) ≧ (u+v+z+x+y+z)^2

>>342
　球　　2/(3√3･π) ～ 0.1225
>>343
　楕円体　主軸方向にscalingすれば球面になるから、上と同じ。

>>345
　円柱（円筒）　2/(3π) ～ 0.2122

>>346
　円錐　　(3√3)/(4π) ～ 0.4135

任意の自然数を m を選んでおき，次の試行を繰り返す．

【試行】1から9までの数字が書かれたカードが1枚ずつ合計9枚ある．
その中から無作為に1枚取り出して元に戻す．

n回の試行後のすべての数の合計を a_n とする．
数列 a_1，a_2，a_3，．．．に対して，自然数 m が表れる確率を p_m
とするとき，p_10 を求めよ．

>>370 まじすか

>>372
f(n):1から9までの自然数n個の和で10を表す方法の数
f(2)=9、f(3)=36、f(4)=84、以下順に126,126,84,36,9,1

p_10=Σ[n,2,10]f(n)/9^n = 37*199*271*307/9^10 = 612579511/3486784401

>>370
右辺がまちごうとる！
やり直して再提出せよ！

>>374
＞f(n):1から9までの自然数n個の和で10を表す方法の数
の計算方法は？

1から9までの自然数n個の和で10を表す方法の数
=0以上の整数n個で、和が10-nとなる足し算の数
=10-n個ならんだ"○"に　n-1個の仕切り"|"を入れる方法
=C((10-n)+(n-1),n-1) = C(9,n-1)

>>375
　すまそ。再提出しまつ。

　u = t_1,　v = t_2,　････,　z = t_6, n=6
とおくと、
　(1 + 1/2 + ････ + 1/n){(t_1)^2 + 2(t_2)^2 + ････ + 6(t_6)^2}

　- {1･t_1 + 2･t_2 + ･････ + 6･t_6)^2

　= (Σ[i=1,n] 1/i){Σ[j=1,n] j･(t_j)^2} - (Σ[k=1,n] t_k)^2

　= Σ[1≦i<j≦n] (i･t_i - j･t_j)^2 /(i･j) ≧ 0,

ラグランジュの恒等式

>>377
なるほど。
ちなみに p_39 って数値的にどのくらいになるんでしょうね？

p_39は
Σ[k=4,k=39]{(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9)/9}^k
のx^39の係数で与えられる。

p_39
=2^8*5^9*104827*308813*202966570708561783/3^78
=3285210860112292922137102916500000000/9^39
=0.200034719564195084...

>>380

２大有名超越数の π，e の各位の数字を足していくと、
両方とも 39 になり得る。
たまたまだけど、ミクさんの神秘を感じる。
また，奇素数を足していっても 39 になり得る。

>>381
意味不明

x^y=y^xを満たす自然数x,yの組を全て求めよ。

東大入試ってこういうのもあるよね

>>383
ねえよ。

===

今年の東大は期待外れだったなあ。
京大もまたおなじ。
もう面白い問題は期待できないのかもな。

3^x=x^3を満たす正の有理数は、3以外には存在しない事を示せ

東京大学 1991年後期

>>383
x^y=y^x　を変形して
logx / x = logy / y を得る
f(x)=logx / x とおくと
x>eで単調減少かつ、x>1で常にf(x)>0
よってf(3)>f(2)=f(4)>f(5)>f(6)>...>f(1)=0　だから
(x,y)=(2,4)(4,2)

ああx≠yにしてなかった
まあいいや

サイコロをｎ回振って、目の最大が５または最小が２となる確率を求めよ。
「かつ」ではなく「または」です。

max-min=5.
(6/6)^n-2(5/6)^n+(4/6)^n.
max-min=4.
(5/6)^n-2(4/6)^n+(3/6)^n.
max-min=3.
(4/6)^n-2(3/6)^n+(2/6)^n.
max-min=2.
(3/6)^n-2(2/6)^n+(1/6)^n.
max-min=1.
(2/6)^n-2(1/6)^n+(0/6)^n.
max-min=0.
(1/6)^n-(0/6)^n.
max-min<0.
(0/6)^n.

2(5/6)^n-3(4/6)^n+2(3/6)^n-(2/6)^n.

>>388
タイトル読めよ！
ＤＱＮの宿題は…

極限lim(n→∞){2-(3)^(1/n)}^nを求めよ

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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>>390
結構な難問じゃん

えっ？！！！！

>>333

　(左辺) - (右辺) = (x-a)(x-b)(x-c) -pqr -(pqr)~ - |p|^2･(x-c) -|q|^2･(x-b) -|r|^2･(x-a)

　　| x-a, -p~, -q |
　= | -p , x-b, -r~ |
　　| -q~, -r , x-c |

　= |xＩ - Ｈ|,

Ｉは単位行列、~は複素共役。
これは、行列Ｈの固有多項式である。

　Ｈ = [ a , p~, q ]
　　　 [ p , b , r~]
　　　 [ q~, r , c ]
はエルミート行列だから、その固有値はすべて実数。(終)

〔類題〕
http://www.mns.kyutech.ac.jp/~okamoto/education/math_for_phys/herimite-matrix-eigenvalue(2dim)080420.pdf

このスレ面白い奴がいっぱいいるんだな

>>395
元ねたが、実対称行列の固有値が実数ってのはみんな分かってるよ。
それを高校範囲でどう解くかなんだよ。

>>393
小学生は寝る時間だよ

>>398
お前一度に何日寝てんだ？

>>391

⊿ = 3^(1/n) + 3^(-1/n) -2 = O(1/n^2),

{2 - 3^(1/n)}^n = {3^(-1/n) + ⊿]}^n
　　　　　　　　= (1/3){1 + 3^(1/n)O(1/n^2)}^n
　　　　　　　　= (1/3){1 + O(1/n^2)}^n
　　　　　　　　→ 1/3,　　　(n→∞)

>>388

最大が５の確率は
　P(A) = (5/6)^n - (4/6)^n,
最小が２の確率は
　P(B) = (5/6)^n - (4/6)^n,
最大が５「かつ」最小が２の確率は max-min=3　>>389 から
　P(A∩B) = (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n,
最大が５「または」最小が２の確率は加法公式から
　P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),

・・・

sin(11)＞-1 を証明せよ

ヒソヒソ…

サイコロを目の和がn以上になるまで振り続けて目の和がnになる確率は、nを限りなく大きくすると、ある値に収束する。その値を求めよ。

わからん

2/7

>>405
1回振って増加が平均7/2だから収束値があるならその値は逆数の2/7である、じゃ厳密性にかけるかな

和がnになる確率をP(n)とする(nは整数)
n<0のときP(n)=0,P(0)=1,
n>0のとき6P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)+P(n-5)+P(n-6)でP(n)は与えられる
この両辺に5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5)を加えることによって
6P(n)+5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5)
=6P(n-1)+5P(n-2)+4P(n-3)+3P(n-4)+2P(n-5)+P(n-6)
であるから、すべての非負整数nに対して
6P(n)+5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5)は一定
n=0で6P(n)+5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5)=6
であるからすなわちすべての非負整数nについて
6P(n)+5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5)=6が成立
P(n)は収束するためその値をpとおき、上の式のn→∞の極限をとると、
6p+5p+4p+3p+2p+p=6となるのでp=2/7

厨房より　正八面体から表面積scm^2の正四角錐を切り取った立体の体積を
vcm^3とするときvをsを用いた最も簡単な式で表せ

>>409追記正四角錐の高さと底面の一辺の長さをそれぞれa,bとしてもよい

上記削除

厨房より　正八面体(一辺の長さlcm)から
表面積scm^2の正四角錐(高さをa,底面の一辺をh)を切り取った立体の体積を
vcm^3とするときvとsを最も簡単な式で表せ

>>411

頂点から底辺の中点に下ろした垂線の長さは √{(h/2)^2 + a^2},
よって表面積sと体積V 'は
　s = h^2 + 2h√{(h/2)^2 + a^2}
　　= 2(1+√3)a^2,　　　　(← h=a√2)

　V ' = (1/3)a･h^2
　　　= (2/3)a^3,　　　　(← h=a√2)

正八面体の頂点を　(±l/√2,0,0)　(0,±l/√2,0)　(0,0,±l/√2)　とおく。
a < l/√2 のとき、
　v = {(√2)/3}l^3 - V '
　　= {(√2)/3}l^3 - (2/3)a^3,

>>412

>　h=a√2

は、中心と頂点を結ぶ線に垂直な平面で切った場合でつ。

東大の整数問題っていかにも難しそうで
みんなが難問だよっていうんで見てみました。
えっ本当？ていうくらいシンプルじゃないですか。
なんかダマサれてる気分です。
正直驚きました。

　　　　　東大数学の研究

１２点のうちどの３点を選んでもそのうちの２点の距離が１であるようにせよ

finite な問題は難しかったりする
が、試験として正解がある前提だと難易度激減
ただの暗記問題と言った方が正しい

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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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サイコロを
目の和がn以上になるまで振り続けて
目の和がnになる確率は、
nを限りなく大きくすると、
ある値に収束する。
その値を求めよ。

L(n)=lim(m->∞)d^n(e^0+e^1+e^2+e^3+e^4+e^5+e^6)^m(0)
=d^n(e^7-e^0)^m/(e-1)^m(0)
P(n)=L(n)/(L(n)+L(n+1)+...+L(n+5))
L(n)=L(n+1)=...
P(n)=1/6

円錐が2個ありそれぞれ底面と平行な平面で円錐を切り取る
切り取られた立体をそれぞれA,Bとする
Aを切った円錐の底面の直径を4,高さを1/2,Aのもとの円錐の高さをhと置く
Bを切った円錐の底面の直径を6,高さを2/3,Bのもとの円錐の高さを3-hと置く
(ただし-3≦h≦4と定める)　このときに次の問いに答えよ
(1)AとBの和をVとするときVをhを用いた最も簡単な式で表せ
(2)Vの最大値と最小値を求めよ。
(3)体積がVと等しくなる円錐の高さ,底面積の半径を全て答えなさい

>>419訂正
(3)体積がVと等しくなる円錐の高さ,底面積の半径の変域をそれぞれ
j,rとして示せ

まず、テーブル上で、サイコロを適当に振る。そして、そのサイコロをテーブルに一辺が接した状態で一回倒すという試行をn回行う。
n回目に出た目が、最初に適当に振った際に出た目と同じである確率を求めよ。

>>421
1/6

>>422
ノー。極限値ならそうだけどね。

>>421
(1/6){1-(-1/2)^(n-1)}　(n=1,2,3,…)

>>424
正解

東大の入試問題は、サイコロではなくて正四面体だったような希ガス

>>426
似たようなもんだ。

このスレにいる人たちはみんな>>421みたいな問題がスラスラ解けるの？
頭いいなあ。

>>427
本スレの趣旨に合わない問題だな

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>>428
たぶん、このスレの半分くらいの人間しか解けない。東大理系現役生なら8割くらいの人間が解けるかな。

(1/6)(1+2(-1/2)^n+3(0^n)).

>>408
収束することの証明は？

自己満足のアホ共ばかりが集まってるな

>>421
pn=(1/4)(1-2pn-1)
pn-(1/6)=(-1/2)(pn-1-1/6)=(-1/2)^(n-1)(p1-1/6)=-1/6(-1/2)^(n-1)
pn=(1/6)(1-(-1/2)^(n-1))

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>>431
それは、このスレに居るのが、君以外に後一人（>>435）しか居ないからだろｗ

辺の長さが整数で面積が完全平方である直角三角形が存在しない
ことを示せ

>>439
三角形の辺をa,b,cとすると
ピタゴラス数として
a=st
b=(s+t)(s-t)/2
c=(s~2+t^2)/2
s>t>=1 は共通因子をもたないすべての奇数

面積　S=ab/2=st(s-t)(s+t)
ここでpを素数　p|s とする。
{ｐ｜ｓ－ｔ　OR p|s+t}-> p|t

これはまずい
ゆえにSは平方数でない。

仙石はしね！

f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ．．．+ a_1 x + a_0 ( n は非負整数，a_k ( 0≦k≦n ) は複素数の定数 )

とおく．任意の実数 x に対して f(x) が実数となるとき，a_k ( 0≦k≦n )
はすべて実数であることを示せ．

直円柱を軸と交わる平面で切った時切り口の曲線は楕円であることを
示せ
こんなのでも試験になるかな？

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自然数から自然数への関数f(n)がf(1)=1　f(2n)=f(n) f(2n+1)=f(n)+1
を満たす。
1≦n≦1000の時f(n)=5となるnの個数を求めよ

>>444
n=ak…a1a0(2)
f(n)=ak+…a1+a0
1000=1111101000(2)
0xxxxxxxxx:9C5=126
10xxxxxxxx:8C4=70
110xxxxxxx:7C3=35
1110xxxxxx:6C2=15
11110xxxxx:5C1=5
111110000:1
252

>>442
(cosθ,sinθ,cosθtanα)
tcosα=cosθ,y=sinθ
t^2cos^2α+y^2=1
楕円

>>441
an=bn+icn
f(x)=(bnx^n+…+b0)+i(cnx^n+…+c0)=g(x)+ih(x)
h(x)=0 for all x implies cn=0 for all n

>>444 f(n)はnを２進法表示したときの各位の数字の和に等しいので５個の１と５個の０の順列を考えて10C5=252
このときできる数は11111（31）から1111100000（992）までで1000以下、よって252個

>>441
>>447 さんの解答の3行目の証明も要求しているのなら次のようにする
h(x) は特に　x ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ， n　のときに 0 となるので
　　　h(x) = H(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n)　　H は実数の定数
と表せる
また，h(x) は x = n+1 のときにも 0 となるが，
　　　(n+1)-k ≠ 0　(k=1 ， 2 ， 3 ， … ， n)
なので，　H ＝ 0　となる
したがって，h(x) は恒等的に 0 となる
つまり，すべての n で　cn ＝ 0

全ての頂点が格子点である正多角形は正方形にかぎることを示せ

m^n=4n^m(m,nは正の整数)を満たすものをすべて求めよ

実数が有理数で近似できることの証明

4128.

>>450
3次元で直方体を適当に切ればアウト
全員満点のサービス問題ですねｗ

正整数全体で定義され正整数の値をとる関数fについて
fが次の条件をみたしている。
条件:f(a)-f(b)はa-bで割り切れる
この時、次を満たす素数pが無数に存在する事を示せ。
ある自然数cが存在してf(c)がpで割り切れる

>>454
kwsk

>>455
f(n)=1

>>457
すいません
fが定数関数でないことを加えて下さい

p|0

>>455
f(n)=p1^e1(n)…pk^ek(n)
p≠pi
f(p+1)-f(1)=p1^e1(p+1)…pk^ek(p+1)-p1^e1(1)…pk^ek(1)≠l(p+1-1)=lp

>>452
an(x)=[2^nx]-2[2^(n-1)x]
x=[x]+Σan(x)/2^n

2^2-1=3.

nを自然数とする　１から２nまでの自然数の中からどのように
n+1個選んでもその中に一方が他方を割り切るような２つの数
の組が存在することを示せ

15日間で16人の力士で総当たり戦を行う、この時の取り組表を１つ作成せよ。（力士はAからPで表すとする）

16x15/15=16

素数をn+1個選ぶと２n個の半分以上が素数だってこと。
１ー６
2,3,5,7

>>463
条件を満たす自然数の約数のうち最大の奇数は１，3，5・・・2n-1のいずれか（n個）
n+1個の自然数が存在するため約数としてもつ最大の奇数が一致する2数が存在し、一方が他方をわり切る

７５６１１４５７６４３０２３２。

（Ｚ／２Ｚ）＾４。

3辺がそれぞれ座標軸上にありO（0,0,0)A(1,1,2)を対角線の両端と
する直方体Vがある。点Q（0,0,t)を通り直線OAに垂直な平面でVを
切った時の切り口の面積をtで表せ

>>460
それはpで割り切れることもありますよ

実数全体で定義され実数の値をとる関数fについて
f(x^2+y^2+2f(xy))=(f(x+y))^2
を満たすもの全て求めよ

x^n+y^n=p^mを満たす自然数x、y、m、nと素数p
の組を全て求めよ。
ただし、n>1とする。

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正の実数xについて
x^x^x^••••が収束するxの値の範囲を求めよ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを証明せよ。

>>475
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/towerp.pdf

>>476
http://d.hatena.ne.jp/gould2007/20070806

x^2+y^2=y^3+1を満たす実数(x,y)の組みの個数を求めよ。

（ｘ、(y＾３－ｙ＾２＋１）＾（１/２））

で無限個あります。

2^nの最上桁が１である確率を求めよ

>>481
ピーターフランクルの本で見たことある問題だな

>>482
対数がらみで面白いかと思ったけど有名なのか・・ならだめだな

455、470、472、473は未解決ですね

2,4,8,16,32,64,128,256,...
2^n=10^m+r
2=10-2^3
2^n=(10-2^3)^n
=nCr10^r(-2^3)^n-r
=10^n-n10^n-1*2^3+...

2^4=10+6
2^4n=(10+6)^n
2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...
n/(3n+1)->1/3

10=2^3+2=1010
10^n=(1010)^n=1010000+10100=1010*(1000+10)^n

ax8=a(10-2)=10a-2a
16x8=160-32=128
128x8=1280-256=1024
1024x8=10240-2048=8192
1024x16=10240+6144=16384
16384x8

東大歴代史上№1の難問って何？

ああ、眠い。私にとって思い入れのある問題を出そう。
「連続する３６５個の自然数で、その全てが合成数（素数でない数）となる
例を一つ挙げよ」

これはパズル。これができたから受験で役立つという事はない。この問題は
誰に対しても奉仕などしない。役にたたない。
だが俗な問題ではない、それゆえに孤独で格調高い。
まさに数学の女王。

log２

箱入りのキャラメルを買うとおまけでサッカー選手のイラス
トつきのトランプカードがついてくる　52枚の完全な一組を
手にいれるのに必要なキャラメルの箱の個数の期待値を求め
なさい

箱入りの馬鹿者が大学院に入ると、おまけで自分の名前が入った修士論文
が参加賞としてついてくる。博士論文の完全な完成と共にアカポスを手に
入れるのに必要な学費の金額の期待値を求めなさい。

ケケケ猫

>>490
366!+k (k=2 to 366)

0<a<1 に対して単位円上の点PnをPn=（cos(π*na),sin(π*na))ととる（nは自然数）
a=q/p（p,qは互いに素）のときPn=(1,0)となる最小のnの値を求め、このときP1、P2
・・・Pnは異なる点であることを示しなさい

直線x=5上の点P（5,t）から楕円(x^2）/5+y^2=1に引いた二接線の
なす鋭角をθとするときθの最大値とそれを与えるtの値を求めなさい

1辺の長さが１の立方体ABCD-EFGHの頂点Aを出発して折れ線ABC上をこの順番に動く点をPとし、Pから
EGに引いた垂線の足をQとする。折れ線EABCGが線分EGの周りを一回転してできる曲面によって囲まれ
た立体の体積を求めなさい

東大は「シロアリ養成大学」だからなぁ

シロアリになるために勉強するの、虚しくないか？

昆虫分類学的にはシロアリはアリではなくゴキブリの仲間。
これ雑学。

円に内接する六角形の相対する三辺がいずれも交わる時三つの交点は1直線上にあることを示せ

y=-x^2との距離が7√2/2である放物線の方程式を求めよ。

>>489
まぁ、このスレの住人なら知っている人も多いだろうけど、98年後期の3の(2)だろうね
大学受験数学史上最強の難問と言われてる
詳しくはぐぐってくれ

http://bit.ly/ghJLe1

>>484
415

宛先を書いた封筒が43通あり手紙が43通ある。目が見えない状況で無作為に一つの手紙を
一つの封筒に入れていくときにただ一つの封筒にしか正しい手紙が入らない確率を求めよ

xy平面上に相異なる2点P,Qが存在している。線分PQは直線y=xと1点で交わり、放物線y=x^2と異なる2点で交わっている。また、線分PQはx軸に並行であり、三角形OPQの面積が1である。
このとき、2点P,Qの軌跡をそれぞれ求めよ。

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああああ！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>505
n!(1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^n/n!)

>>506
>線分PQは直線y=xと1点で交わり
自明？
>2点P,Qの軌跡
存在範囲？

>>509
一つも一致しない場合の数

>>510
その通りです。すみません。

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>>505
1/2!-1/3!+1/4!-…+1/42!

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円に外接する四角形の対角線の中点A,Bと円の中心Oは一直線上にあることを示せ

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結局今年の理系第6問の問題背景ってなんだったの？？
なんか物理っぽい感じな気がしたのだけれど

教えてかしこい人

http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/12/t01-21p.pdf

>>518
背景？

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>>518
背景も何も・・・

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>>490
{1,2,････,366} の最小公倍数を L として、L+2, L+3, ････, L+366

>>495
　na = 偶数　を満たす。
qが奇数のとき n=2p,　qが偶数のとき n=p,

>>496
点Pから楕円に曳いた接線を
　y = m(x-5) + t = mx + (t-5m),
とし、これを楕円の式に入れると
　(1/5)(1+5m^2)x^2 + 2m(t-5m)･x + (t-5m)^2 -1 = 0,
接線　⇔　重根をもつ　⇔　判別式 D=0.
　D = m^2･(t-5m)^2 - (1/5)(1+5m^2){(t-5m)^2 - 1}
　　= -4{(m - t/4)^2 - (4+t^2)/80},
　m = (1/4){t±√[(4+t^2)/5]},
　tanθ = (m2-m1)/(1+m1･m2)　　{tanの加法公式}
　　　　= (2√5){√(4+t^2)}/(19+t^2)
　　　　= (2√5)T/(15+T^2)　　{T=√(4+t^2)}
　　　　≦ 1/√3　　　　{T=√15 のとき}
　θ ≦ π/6,
　等号成立は T=√15,　t=√11 のとき。

〔補題〕
A>0 とする。
　2T/(A^2 + T^2) = 1/A - (T-A)^2 /{A(A^2 + T^2)} ≦ 1/A,
　等号成立は |T| = A のとき。

>>500
>>516
　パスカルの定理。

>>506
　b>0 として　P(a,b)　Q(a±2/b, b)　△OPQ = (1/2)b･PQ,

>>509
>>514
　限りなく n!/e　または　1/e,

>>524
516kwsk
>>514
正解

>>490
{1,2,････,366} の最小公倍数を L として、L-2, L-3, ････, L-366
もあった。

ああ、そうだな

>>518
おいらも背景が知りたい。
どうやって作ったんだろう？

>>516

ニュートンの定理
http://yosshy.sansu.org/theorem/newton.htm

>>516

四角形CDEFに対して、
　f(X) = △CFX + △DEX
とおく。あるいは
　g(X) = △CDX + △EFX
でもよい。

点Oから４辺に垂線を下ろす。
　△OAH1 = △OAH2,　etc.
∴　f(O) = S/2,
ここに、S = ◇CDEF
AはCEの中点だから
　f(A) = S/2,
BはDFの中点だから
　f(B) = S/2,

点Xが◇CDEFの内部にある限り、
　f(X)、g(X) は各辺からXまでの距離（Xの高さ）の1次式の和。
∴　f(X)、g(X) はXの座標の1次関数。
∴　f(X)、g(X) が等しい点は一直線上にある（共線）。

※ 平行4辺形の場合は、f、gが定数となるが、A=B=O なので成立。

>>501

P(a,-a^2) での傾きは -2a,
・a≠0 に対して
Pから高さ (7√2)/2 の法線を立てると、Q(c, d)
ここに、c = a{1 + (7√2)/√[1+(2a)^2]},
　　　　d = -a^2 + (c-a)/(2a),
したがって、
　y = d -2a(x-c) +p(x-c)^2,　　(p>0)

・a=0 に対しては
　y = (7√2)/2 + px^2,　　(p>0)

>>531
正解です。

>>532
不正解です。

>>533
不正解です。

ｘ－ｙ＾２＋（１５／２）ｙ－２８５／１６＝０。

（１／１１）ｘ＾２＋ｙ－７／√（２）＝０。

>>535
正解です。

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x,yが実数値をとりながら動くとき
(3x+4y)/√(x^2+y^2)の最大値と最小値を求めよ。

無限級数(n=1→∞)Σ1/n^2 = π^2/6を既知とする
自然数nに対してπ^2/6 - (k=1→n)Σ1/n^2 をnについて近似せよ

π^2/6-1/n

>>538
x^2+y^2≠0のとき、正の実数rと実数tを用いて
x=rcost、y=rsintとしても一般性は失われない。
(3x+4y)/√(x^2+y^2)=3cost+4sint=5sos(t-α)　但しcosα=3/5、sinα=4/5
よって-5≦(与式)≦5であり、確かにそれぞれ(x,y)=(-3,-4),(3,4)とすれば等号が成立する。
以上より最大値は5、最小値は-5

x^2+y^2=0のときは除外するべきじゃないのか？

>>541
正解。
そうだったな。

>>538

　(ax+by)^2 + (bx-ay)^2 = (a^2 +b^2)(x^2 +y^2) = (c^2)(x^2 +y^2),

∴　(ax+by)^2 ≦ (c^2)(x^2 +y^2),
平方根をとる。
　|ax+by| ≦ c√(x^2 +y^2),
等号成立は bx-ay=0 のとき。

>>539

　(与式) = Σ(k=n+1→∞) 1/k^2
　　<　Σ(k=n+1→∞) 1/(k^2 -1/4)
　　= Σ(k=n+1→∞) {1/(k -1/2) - 1/(k +1/2)}
　　= 1/(n + 1/2),　　　　>>540

>>501　

(x,y)=(4,13/4) を通り、そこの傾きが -1 の例
　y = 3 + (x -9/2)^2,　　　　　>>531
　x = 15/4 + (y -15/4)^2,　　　>>535
　| √(x-4 +d^2) ± √(y -13/4 +d^2) | = d = (1/2)^(1/4),
（以上は、合同)
　| √(x -3/4) ± √y | = √13,
　| √x ± √(y +3/4) | = 4,

(x,y)=(-4,13/4) を通り、そこの傾きが 1 の例
　y = 3 + (-x -9/2)^2,　　　　　>>531
　x = -15/4 -(y -15/4)^2,
　| √(-x-4 +d^2) ± √(y -13/4 +d^2) | = d = (1/2)^(1/4),
（以上は、合同）
　| √(-x -3/4) ± √y | = √13,
　| √(-x) ± √(y +3/4) | = 4,

aを0＜a＜1を満たす実数とし、半径がaの球に概説する円錐を考える。
円錐の体積を限りなく1に近づけるとき、半径aはどのような値に近づくか。

一辺の長さ1の正四面体OABCの辺OAを1:2に内分する点をP、辺BCを1:2に内分する点をQとする。
直線PQを軸として正四面体OABCを一回転させるとき、正四面体の表面および内部の通過する領域の体積を求めよ。

>>546
急に概説する円錐ちゅうは一意に定まらんがなもし。

>>548
わざと誤変換するのがかっこいいと思っているのか知らないが、漢字をきちんと書いてくれないか？

概説させてるのは>>546だよ

>>539

1/k^2 = 1/(k^2 -1/4) - 1/{4k^2･(k^2 -1/4)}
　　　= 1/(k-1/2) - 1/(k+1/2) - 1/{4k^2･(k-1/2)} + 1/{4k^2･(k+1/2)}
　　　> 1/(k-1/2) - 1/(k+1/2) - 1/{4k^2･(k-1/2)} + 1/{4(k+1)^2･(k+1/2)},
より
　(与式) = Σ(k=n+1→∞) 1/k^2 > 1/(n+1/2) - 1/{4(n+1)^2･(n+1/2)},

>>539

　1/k^2 = 1/(k^2 -1/4) - 1/{4k^2･(k^2 -1/4)}
　　　　> 1/(k^2 -1/4) - 1/{4k^2･(k^2 -1)}
　　　　= 1/(k^2 -1/4) - 1/{4(k^2 -1)} + 1/(4k^2),
　誤差～ 3/(16k^6),

　1/k^2 > (4/3)/(k^2 -1/4) -(1/6){1/(k-1) - 1/(k+1)}
　　　　= (4/3){1/(k -1/2) - 1/(k +1/2)} -(1/6){1/(k-1) - 1/(k+1)},

　(与式) = Σ(k=n+1,∞) 1/k^2 = (4/3)/(n +1/2) - (1/6){1/n + 1/(n+1)}
　　　　= 1/(n +1/2) - (1/6){1/n -2/(n+1/2) +1/(n+1)},
　誤差～ 1/(20n^5),

赤1白1青2黄2緑2の計8個の玉に糸を通して数珠を作る時、赤と白が隣り合わない数珠は何通り作れるか。

>>553
重複数珠順列だけでもややこしいのに、あれとこれが隣り合わないとか条件付けたら時間内に解けんだろ。

>>554
いや>553は暗算だろ常考

>>553
青，黄，緑を先に並べておいて，その隙間に赤，白を入れることにする
青，黄，緑の3種のうち何種隣り合うかで大まかに分類する
　　・ 0種： 1+3 タイプ　この各々に赤白の位置の決め方が15通り
　　・ 1種： 3 タイプ　この各々に赤白の位置の決め方が30通り
　　・ 2種： 3 タイプ　この各々に赤白の位置の決め方が16通り
　　・ 3種： 1 タイプ　この各々に赤白の位置の決め方が30通り
計 228 通り

>>553の改題
どの色についても、同色の玉は隣り合わない場合はどうか？

>>553
数珠順列の総数－黒白が隣合せの数珠順列 = 318-90 = 228 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

>>558
ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ乙！

実数からなる数列(an)は　a(n+1)=√(a(n)^2+a(n)-1) を満たしている。
このときa(1)の取りうる範囲を求めよ。

>>560
根号内条件で瞬殺だが何か？
東大入試レベルじゃないが、それとも俺が何か見落としているのか？

全てのa(n)についてa(n)^2+a(n)-1≧0を満たすようなa(1)だよね？

a(1)=sqrt(a(0)^2+a(0)-1)>=0

実数からな無限数列と訂正します。

存在しない。

>>562 yes
>>565 a(n)=1、 for all n (自然数）という数列は条件を満たします。

連続する2つの自然数の積として表される自然数の集合をS
連続する4つの自然数の積として表される自然数の集合をT とする。

S と T の両方に属する自然数は存在しないことを示せ。

連続するn(n>1)個の自然数の和で表される自然数の集合をSとする
S = N - {2^k| k∈N}
であることを示せ。

>>568
その問題文の書き方だと
nが前もって与えられた自然数で、「S」は「S_n」と表すべきものと解釈される危険性が。

　2個以上の連続する自然数の和として表される自然数の集合をSとする。

とでも書く方が紛れがないかと。

●Sの元sは奇数因子を持つ。

なぜなら、sがN+1からMまでの和だとすると
s = M(M+1)/2 - N(N+1)/2 = (M-N)(M+N+1)/2 で
(M-N)、(M+N+1)の少なくとも一方は奇数だから。

●奇数因子を持つ数tはSの元である。

t=aM (aは奇数) としたとき、Mを中心として連続するa個をとってくると、
その和はtに等しい（計算略、M-(a-1)/2 から M+(a-1)/2 までの和）。

ここで、もし先頭が負の数-bとなった場合は、
-bからbまでの和が0なので、b+1から末尾までの和が
やはりtに等しくなっている。

例： t=52=13*4のとき、4を中心とする13個の和は52に等しい。
(-2, -1, 0, 1, 2,) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
-2から2までの和が0なので、結局3～10で52となっている。

>>560
a(1)≧1
こういう問題は y＝a(n+1), x＝a(n) と置いた y=√(x^2+x-1) のグラフと y=x のグラフを描いて
x の初期値からの縦線で y=√(x^2+x-1) の値を取り、そこから y=x のグラフに横線ひいて交点から再び y=√(x^2+x-1) に縦移動するのを繰り返せば数列の変化が分かる。

0x1=0x1x2x3.

a(1)≦-2
は駄目なの？

>>572
大学入試で「自然数」つったら「正整数」を意味する。日本では。少なくとも東大では。

×　自然数
○　自然数（１以上の整数）

567教えろ

０＜ｘのとき
（ｘ＾２＋３ｘ）（ｘ＾２＋３ｘ＋１）＜ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＜（ｘ＾２＋３ｘ＋１）（ｘ＾２＋３ｘ＋２）。

なんでこんな不等式を思いつけるの？

x(x+3)=x^2+3x.
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2.

なんだ、たたの神か…

>>577
この式から、SとTに共通する要素はないってことでＯＫ？

>>567は今年の東大理系4番の劣化版
簡単すぎ

簡単か？
577の不等式なんて普通の受験生にはそう簡単に思いつけないだろ

m＝x^2+3x とおいたら

x(x+3)・(x+1)(x+2).＝m（m+2）

なんだから，

m(m+1)＜m（m+2）＜(m+1)（m+2）

は割と簡単に思いつく。

答を見てるからだろ。

自分のものさしで計るなよｗ

>>586
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/338
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/342

こっちも解いて

あるパーティが開催された。
パーティのどの参加者についても、参加者の中にいる知り合いが高々3人であるとする。
このとき、参加者を二つのグループに分けて、どの参加者についてもグループ内にいる知り合いが高々1人になるように
することが可能であることを示せ。

表の出る確率がp(1/2≦p≦1)のコインを奇数枚投げたとき
表の出たコインの枚数が,裏の出たコインの枚数より多い確率は
p以上であることを示せ

xについての2次方程式
x^2+x+1=0の異なる2つの解をα、β(α<β)とする。
このとき、tについての3次方程式
αt^3+βt^2+(α+β)t+(α-β)=0は異なる3つの解を持つことを示せ。

>>590
虚数の大小はどうやって決めるのですか？

失礼

xについての2次方程式
x^2+x-1=0の異なる2つの解をα、β(α<β)とする。
このとき、tについての3次方程式
αt^3+βt^2+(α+β)t+(α-β)=0は異なる3つの解を持つことを示せ。

αt^3+βt^2+(α+β)t+(α-β)=
1/2 }-(1+5^(1/2))t^3+(-1+5^(1/2))t^2-2t-2x5^(1/2)}

より明らか
なお実根１、キョコン２

-3.24t~3+1.24t^2-2t-4.47=0

2を除く任意の素数pに対して、aを実数の定数とするxについての2次不等式
px^2+px+a^2＞0が常に成り立つとする。
p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaをk,pを適当に用いて表せ。

>>595
ha?

>>596
任意のx,pについて二次不等式が成り立つって事？

>>595
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを
> p＜a＜p+1を満たすaのうち小さい方からk番目のaを

xについての3次方程式
x^3+αx^2+βx+αβ=0・・・①について、
α、βがα≧0かつβ≧0かつα+β=1を満たしながら動くとき、①の異なる解の個数を調べよ。

おい、>>595はどこに行ったんだ？

0<=α<=1の範囲でどう動かしても解1個しか出なくない？

このスレに問題を書き込んでいる奴は、自分で解答を作っているのだろうか？

>>600
整数aだ

>>603
おせーんだよ、マヌケ！

>>603
そんなものはない

てか、問題ミスだな

cos8θを展開したとき、cosθの係数を求めよ。

展開って何

pが素数の時、p<a<p+1を満たす整数aは存在しない

>>603様の涙目を拝見してもよろしいでしょうか？
'`,､(´∀`)'`,､ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ＼ / ＼/ ＼

>>610

第一問

半径r(r>0)の円に内接し、∠A=π/3である△ABCについて、3辺の長さの和AB+BC+CAの最大値をrを用いて表せ。

AB+BC+CA=L
2√3*r<L<3√3*r

第二問

正八面体の辺上に動点Pがある。
このとき、異なる2頂点A,Bとのなす角(点PがAまたはBに一致するときは0°と定める)∠APBのとり得る値の範囲を求めよ。

第三問

xy平面上に半径が√2の円がある。
この円の位置に依らず、円内部(円周上を含む)に少なくとも1つの格子点を含むことを示せ。

第四問

nを自然数とする。
袋の中に(n^2+1)個の赤玉と1個の白玉が入っている。
この中から玉を1個取り出し色を確認して袋の中に戻すという試行を(n+1)回繰り返す。
このとき、少なくとも1回白玉を取り出す確率をp(n)とすると
limp(n)=0を示せ。
n→∞

第五問

7を20乗する。
このとき、上から2桁目の数字を答えよ。

第六問

√2が無理数であることを示せ。

第七問

時計の長針と短針が1日で一致する回数を求めよ。

第八問

13日の金曜日は1年に少なくとも1回存在することを示せ。

第九問

人の一生は儚いことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

第十問

放物線y=x^2との距離が1/2である放物線の方程式を求めよ。

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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弧度法は直角がπ/2,度数法は直角が90であるが、直角が10のとき、∫tanxdxを求めよ。

これは酷い

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>>632
これ、本質を理解してる人間には簡単すぎるほど簡単。
本質を理解していない公式丸暗記脳なら、死ぬまで解けない問題だよ。

>本質を理解してる人間

笑わせるじゃないかwww

>>632
まるっきりわからん俺は本質を理解してないってことか？

第一問

sinθ=cos4θを満たすθを求めよ。
ただし、0≦θ<2πとする。

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度数法では(sinx)'=(π/180)cosxになるなあ

いや、マジで(sinx)'=cosxとかは、弧度法限定であることを知らない東大生もいるんでないかい？

平らな地面の上に、一辺の長さ1の薄い正方形の板OPQRを置く。
Oを地面につけたままQを持ち上げたところ、P,Rと地面との距離は
それぞれa,bとなった。
板と地面のなす角をθ（0≦θ≦π/2）とするとき、sinθをa,bで表せ。

で、まだ誰も>>632をわからないの？
大したことないな、２チャンネルはｗ

ｔａｎは∫ｄｘ／（１＋ｘ＾２）の逆函数。

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>>632のヒント
弧度法において、sinxの導関数はcosxであるが、なぜcosxなのか。
弧度法において、lim[x→0]sinx/x=1だからである。

int(tan(x),x)=-log(cos(x)).

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>>647
そりゃ、弧度法の場合。弧度法は、sin'=cos、cos'=-sinのようなスッキリした体系を作るために生まれたものに過ぎないのであって、普遍性はない。

そういうのは普遍性だよ

根本的なことをわかっているなら>>632なんかいとも簡単に解けるはず。
解けないということは、根本的なことが全くわかっていないということだ。

直角が褌だろうが独楽だろうが関係ない

相手にされていないということに気付けよ

>>654
答えを書いてから言えよｗ

n個の赤玉とn^2個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。
この中から2n個数の玉を取り出す。
このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。

(1) Pnをnを用いて表せ。
(2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。

>>655
>>647

>>657
だからそりゃ間違いだってｗ
弧度法の場合と同じだと思ってんの？
根本的にわかっていない証拠。
たとえば度数法の場合もsinxの導関数はcosxだと思ってんの？
ならば、y=sinx上の(45ﾟ,sin45ﾟ)における接線の傾きはcos45ﾟか？ｗ
cos45ﾟ=√2/2=0.707…
度数法だとy=sinxのグラフは、x=90でy=1
明らかに、y=sinx上の(45ﾟ,sin45ﾟ)における接線の傾きはcos45ﾟ=√2/2=0.707…ではないわなあｗ
公式丸暗記だと、君らのような思考停止に陥ってしまうんだよな。

弧度法なんて関係ないが

>>658
1/(45ﾟ)って何？

三角関数の定義も知らない馬鹿が本質とは・・・

はい、これでも読んで目を覚ませ。度数法でもなんでも、微積分は弧度法と同じだと思っているおバカさんたち
http://voyage-log.seesaa.net/article/114932301.html

三角関数は度数法に対して定義されるものではない

以上

>>662
1/(1ﾟ)^2=1/(1ﾟ)^3は真か偽か

弧度法で測ろうが、度数法で測ろうが、sinxの値は変わらないのだが・・・

>>665
もし変わったらwell-definedされていないことになりますね

>>662
馬鹿はお前
三角関数の定義を教科書で100回読み直せ

>>665
度数法では(sinx)'=(π/180)cosx
これをどーーしても理解できないの？
(sinx)'=cosxは弧度法だけ。
これが理解できないの？もうどんだけ思考停止なの？

>>667
んんｗｗｗ日本語分からないのかなあ？ｗ
直・角・を・10・と・し・た・と・き・の ∫tanxdxの値を聞いてんだけど？

>>668
いいえ
弧度法で測ろうが、度数法で測ろうが、sinxの値は変わりません

f:X→Yを写像（関数）とする
あるx∈Xに対して、xをものさしAで測ったときと、ものさしBで測ったときとで、対応するf(x)の値が変わるとすると、
fは写像として定義されていないことになる。

x軸の変数が変わるとxの値が変わって傾きも変わるのか

もうなんでもいいわｗ
直角が10でなくても、たとえば度数法におけるtanの導関数および原始関数、はい、求めてごらんｗ
弧度法では、それぞれsec^2x、-log|cosx|+cだけど度数法なら、どうなるの？
基本的な問題だよ。

>>658
0ﾟから90ﾟまでの平均変化率は(sin90ﾟ-sin0ﾟ)/(90ﾟ-0ﾟ)=1/(90ﾟ)で
二回とか微分したりすると1/(1ﾟ)^2とか出てくるけど定義はどうなってるの？

弧度法だろうが度数法だろうが、tanxもその導関数も原始関数も変わらない
それが関数が定義されているということ
そんなことも分からん人が本質とか言ってるのが滑稽なだけ

>>673
まずﾟ^2 とかを定義して

まあ百歩譲って、何らかの尺度で測られた値xに、弧度法で測った値g(x)が対応するとして、tan{g(x)}の積分を求める問題だと好意的に解釈してやろう
それでも、この問題は解けない
g(x)の条件が、g(10)=π/2しか与えられていないので、こういう条件を満たす関数gはいくらでも考えられる
当然、gが変われば一般的にtang(x)の値も、その原始関数も変わってくる

さらに好意的にgが連続な全単射だと解釈しても
２つの目盛の値が比例するとは限らないので
まだ解けない。対数目盛みたいなのかも知れん

携帯のヤフー知恵袋の誰かの回答
http://chie.mobile.yahoo.co.jp/p/chie/qa/view?qid=1029266155&ySiD=R.KbT2Ev_JGVb0IQixz9

よくわかってるな、この回答者さんも。

>>679
http://chiebukuro.yahoo.co.jp/?qid=1029266155&ySiD=R.KbT2Ev_JGVb0IQixz9&ySiD=Y.WbT4hWD1G1Eb.6Qq1d

?

n個の赤玉とn^2個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。
この中から2n個数の玉を取り出す。
このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。

(1) Pnをnを用いて表せ。
(2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。

>>681
(2)が意味不明なんだが

いやあ、すごいな、このスレの人たちｗ
度数法のグラフと弧度法のグラフを比較してみるということを知らないのだろうか。
弧度法のy=sinxのグラフはx=π/2でy=1だが、
度数法ではx=90でy=1となり、ほとんど平坦なグラフになるわなあ。
弧度法なら、(sinx)'=cosxだから、x=π/4における接線の傾きはcos(π/4)=0.707…
度数法でも(sinx)'=cosxならば、x=45ﾟにおける接線の傾きは、cos45ﾟになるはずだわなあ、度数法でも同じだというバカの論理だとｗ
cos45ﾟ=0.707…
あれ？
ほとんど平坦なグラフのはずなのに、なんだこれ？ｗ
ここまで説明してわからないなら、もうどうしようもないなｗ

>>683
君は関数という概念をまず理解した方がいいよ
弧度法で測ろうが、度数法で測ろうが、sinxの値は変わらない
変わったら、このsinは関数として定義されていないということだ

>>683
90=90ﾟでいいの？

度数法で測っても、sin90≠1だ
なぜならば、90は(π/2)(2k+1) (k∈Z)の形で表されないからだ

>>684
は？ｗ
弧度法のsin(π/4)も度数法のsin45ﾟも同じ値だよ。当たり前だろ、そんなもんｗ
で、微分の話だ。
弧度法のグラフでx=π/4のときの接線の傾きと、度数法のグラフでx=45ﾟのときの接線の傾きを比較してみなさい、と言ってんだよ。わかるかい？

>>685
当たり前だろ。

>>687
うん
だから弧度法で測ろうが、度数法で測ろうがsinxの値は同じ

sin(1/(90ﾟ))=

グラフwwwwwwwwwwwwwwwwwww
本質wwwwwwwwwwwwww
某数学本を完全否定wwwwwwwwww

1°×1°ってなに？
1°÷1°は？

sin(π)=sin(π°)=sin(°π°)

>>689
キミはマジでx=90でy=1となる、度数法のy=sinxの導関数もcosxだと思ってんの？

1:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[]
2012/04/28(土) 22:14:35.99 ID:yQweW8Md0

xを度数法で測ったとき（つまり直角は90°）、導関数

(sinx)'

を求めよ

数学の問題出します【本質が分かってる人には簡単】
http://hayabusa.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1335618875/

噛み砕いて言えば、右に90センチ進んで上に1センチ進む。これが度数法のy=sinx
こんな超平坦なグラフの導関数が、弧度法と同じくcosxだと信じる人たちｗｗｗｗｗ

>>695
俺じゃないよ、それｗ

>>696
>>692に答えなよ

>>697
俺でもないぞ

あ、このサイトもよくわかってる。度数法ではsinxの導関数は(π/180)cosx

貼り忘れてた
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-12.html

π/2=直角=90
π=180
ζ(2)=π^2/6=5400

だからｘ°ってつけろよ

度数法で表した角度をx、弧度法で表した角度をyとする
このとき y=(π/180)x であるが、d(sin(x))/dx はどうなるか？
なお d(sin(y))/dy=cos(y) は既知とする

d(sin(x))/dx
=d(sin(x))/dy * dy/dx
=d(sin((180/π)y))/dy * d((π/180)x)/dx
=(180/π)cos((180/π)y) * (π/180)
=cos(x)

>>704
当たり前のことを小難しくかくとこうなるんだけどね

>>705
いや、弧度法だろうが度数法だろうがsinxが変わらないのは、「関数の定義」
sinが関数として定義されているってことを使っているから、>>704は循環論法

実数xと度数法x°を同一に考える方が間違い。
なぜならば、x°に対する加減乗除の演算を定義していないからである。
これまでのレスにもあったが、1/(x°)などの解釈をどうするのか。

しかし、弧度法xに対し、度数法x°が対応するならば、sinx=sinx°となる。
°は弧度法と度数法の間の写像とみて、きちんと定義すれば計算もできようが。

>>701
間抜けだなw

笠原の微分積分学を読むと微積のエスプリが分かるかもしれない

>>707
> 弧度法xに対し、度数法x°が対応するならば
1ラジアン≠1° だが、「対応する」とは？

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π＝180°＝180
π＝4ですら負けるな

>>710
°を写像としてみてるから、1°=1ではないよ。
x°=2πx/360
なら全単射でwell-definedになるかな？

連続する2つの自然数において、それぞれ2乗の間に必ず素数が1つは存在することを示せ。

>>713
>>707には
>弧度法xに対し、度数法x°が対応するならば、sinx=sinx°となる。
と書いてあるけど、その定義だと sin(x°)=sin(2πx/360)≠sin(x) じゃないか？

>>715
そうだな、すまん。
落ち着いて写像の定義を確認たらミスってた。
°が写像であるから、度数法による角度の集合Θにたいして
°:Θ→Ｒ、x°=y
sin(x°)=sin y
で考えないといけなかったな。

それのどこがノントリビアルなんですか？

まずlim[x→0]sinx/xを考える。
これ、一周をaとすると(たとえばsin(a/4)=1、a=2πは弧度法)、
lim[x→0]sinx/x=2π/aであるから(計算してみるとよい)、sinxの導関数は(2π/a)cosx
よって、a=2πの場合、sinxの導関数はcosx。スッキリしてますね。
a=360の度数法ならば、sinxの導関数は(π/180)cosxとなる。
余計な係数が付きますね。
このように、一周を2πとすると、実にスッキリした三角関数の微積分体系が出来上がる。余計な係数が付かない。
で、これがたまたま、単位円における、その角に対応する弧の長さとなるから弧度法と呼ばれ、数学では頻用される。
微積分において、余計な係数が付かないから、弧度法は重宝されているわけである。
ちなみに、弧度法だろうが度数法だろうが、加法定理、和積公式、積和公式などは当然、共通である。
ただし、微積分公式は、全く異なる。
sinxの導関数は、度数法の場合は(π/180)cosxであり、たとえば、直角が10、一周が40の場合は、(π/20)cosxとなる。
これがどーしても理解できないなら、一生理解しなくて結構ｗ
いかなる場合でも、サインの微分はコサインだあ、と思いこんでおればよろしい。

勘違いって誰にでもあるよね

度数法で90度だからとsinxのxに90を入れるアホはおらん

704って循環論法になるからおかしい結論なんだな、ああいうのの
理論はマスターしていなかった

というか、単位の違うものを
y=(π/180)x
とイコールで結ぶのがやばいのか、なるほど

>>718
お前の扱ってるのがsinとは別の函数ってだけだな

度数法で測ろうが、弧度法で測ろうが、sinxの導関数はcosxなんだが

関数の定義が分からんとは…

測るって何？

はか・る 2 【計る/測る/量る】
（動ラ五［四］）

〔名詞「はか」の動詞化〕
(1)物差し・枡(ます)・秤(はかり)などを用いて、物の長さ・量・重さなどを調べる。測定する。計測する。
「物差しで寸法を―・る」「枡でお米を―・る」「ストップウオッチでタイムを―・る」

>>677-678で終わってるじゃん
馬鹿じゃないの？

632を区間0°～10°の積分と補って考えると
度数法の区間0°～10°で∫tanxdxを求めよ
↓
弧度法の区間0～π/18で∫tanxdxを求めよ

でファイナルアンサーってだけの問題じゃないの？

で、大半の受験生は度数法の区間0°～10°というのを
積分記号に書きながら解答手順は弧度法の成果を使って
まずいっていう問題では？

>>729
まずくないよ
弧度法で測ろうが、度数法で測ろうが、tanxは変わらない
微積分の基本定理より、tanxを積分してその原始関数に0とπ/18を代入して引くだけ

だから、>>677のtang(x)を積分しろって言いたいんだろ？>>632は
ただ、g(x)の正体が分からないから、結果は分からんがｗ
そもそも積分可能かどうかも分からんし

>>700のように「度数法ではsinxの導関数は(π/180)cosx 」と考えているとすれば、
>>632の意図するところは ∫tan(πx/20)dx だろう

>度数法ではsinxの導関数は(π/180)cosx
いや、彼がどう考えようが、sinxは関数なんだから、弧度法だろうが度数法だろうが、実数xに対応するsinxの値は変わらない
したがって、その導関数も原始関数も変わらない

弧度法・・・変数xが1変わると値sinxは大きく変化
度数法・・・変数xが1変わると値sinxはほんの少しだけ変化
「変数1に対する関数の値の定義」が弧度法と度数法では
全く違う、つまり変数と関数の値の対応が両者で違うって事で

変数と関数の値の対応が違えば、それは「違う関数」
後者は、通常使われるsinxではない

>>734
sin(x°)=sin(πx/180)≠sin(x)
君は違う関数に同じ名前を付けてるの

弧度三角関数
度数三角関数

なる名称でもネット世界的に提案するのもいいな

度数三角関数degsinを提唱しよう
degsin(x)=sin(πx/180)

物理で長さを測るときはAsinxと三角関数の前に長さの単位を
持つAがついていて、A=1ならsinxと表記
単純に数学ではsinxというものがあったら単位は無しか

単位って何？
radはメートルとかキログラムみたいな物理的な次元はないが、それは単位がないっていうことでいいの？
俺詳しくないから教えて

それに関しては俺は解説出来るほどのレベルではないな

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>>736
θが度数法でも弧度法でも sinθって書くじゃん

θ（実数）が度数法であるとは、数学的にどういう意味？

度数法で秒の下は何？

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第一問

半径rの円(r＞0)に内接している1辺の長さが1の正三角形ABCがある。
円の中心をOとし、OA=a,OB=b,OC=cとし、∠ABC=θとする。

(1) aのとり得る値の範囲を求めよ。
(2) a^2+b^2=c^2が成り立つとき正三角形ABCの面積Sの最大値を求めよ。
(3) (2)のとき、
limS(θ)を求めよ。
θ→0

第一問

半径rの円(r＞0)に内接している1辺の長さが1の三角形ABCがある。
円の中心をOとし、OA=a,OB=b,OC=cとし、∠BAC=θとする。

(1) aのとり得る値の範囲を求めよ。
(2) a^2+b^2=c^2が成り立つとき三角形ABCの面積Sの最大値を求めよ。
(3) (2)のとき、
limS(θ)を求めよ。
θ→0

r=a=b=c=1/(3)^(1/2)
a^2+b^2≠c^2
θ=π/3

って書こうとしたら訂正された

でもまだa=b=c=rだよね？

>>749
すまん、いろいろミスが...

>>723
当たり前だろｗ
弧度法のsinと度数法のsinは違う関数。よって導関数も原始関数も異なると言ってんだよ。
度数法ではy=sinxﾟと書け、とか言いたいのか？
なんで弧度法ではsinxで度数法ではsinxﾟとしなきゃなんないんだよ。
それは弧度法を特別扱いしていることになる。弧度法は、三角関数の微積分を、余計な係数が入らずスムーズにできるようにするために考えだされたものに過ぎない。
弧度法に普遍性などない。普遍性のないものを特別扱いする必要はない。
そもそもあれだけ>>662 >>679 >>701に、いいリンクを貼ってるのに、なんで気付かないｗ

だからその「別の関数」を定義しろって

いいえ、そんな規定はありませんし、>>632の文章からも読み取ることは不可能です。
sinは関数ですから、直角がいくつであろうが、各々のxに対応するsin(x)の値は一意的に定まります。

>>751
> 度数法ではy=sinxﾟと書け、とか言いたいのか？
はい

> なんで弧度法ではsinxで度数法ではsinxﾟとしなきゃなんないんだよ。
区別が付かないからです

> それは弧度法を特別扱いしていることになる。弧度法は、三角関数の微積分を、
> 余計な係数が入らずスムーズにできるようにするために考えだされたものに過ぎない。
スムーズに計算できるような表記を特別扱い、というか表記の基本にしちゃ駄目なんですか

というかsinxの定義って、お前の貼ったリンクにもあるように
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…
だから。特別扱いもクソもなく、弧度法で考えるのが必然

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半径rの円(r>0)に内接する鋭角三角形ABCがある。
辺AB,AC,BCをそれぞれx,y,zとし、∠BAC=θとおく。ただし0＜θ＜π/2とする。

(1) xyのとり得る値の範囲を求めよ。

(2) △ABCの面積をS(θ)とおく。
このとき、lim[θ→π/2]S(θ)を求
めよ。

(1)
0<xy<4r^2

△ABCがBを頂点とする二等辺三角形の時、
∠ABC→0でAC→0、(∠BAC<π/2、∠ACB<π/2で△ABCが鋭角三角形である事も満たす)

△ABCがAを頂点とする二等辺三角形の時、
∠BAC→0でAC=AB→2r、(∠ABC<π/2、∠ACB<π/2で△ABCが鋭角三角形である事も満たす)

(2)
θ=π/2の時、0<S(θ)≦r^2

∠ABC→π/2で、S→0
∠ACB=π/4で、S=r^2

【第二問】

xについての2次方程式
ax^2+bx^2+(a+b)=0を考える。
この2次方程式は異なる2つの解α,βをもち、以下の条件を満たす。

・α+β=αβ
・α＜1＜β

このとき、条件を満たす実数a,bの存在する領域を図示せよ。

>>758
θが固定としてなんじゃないのかな。

bx^2→bx

たとえば∫[0→2]√(4-x^2)dxを計算する場合、x=2sinθとおいて、
∫[0→π/2]4cos^2θdθ=4∫[0→π/2]{(1+cos2θ)/2}dθ=πとなるわけだが、
これ、∫[0→90]4cos^2θdθという風に度数法で代入するとダメなんだよな。俺は高校生のとき、なんで度数法で代入するとダメなんだ？とマジで考えたわけだ。
なんで弧度法で[0→π/2]と代入しなきゃダメなのか、不思議でしょうがなかった。
で、教科書を遡って気付いたわけだ。弧度法の体系を使っているから、弧度法で代入するしかないのだ、と。
では、度数法で代入すると絶対無理なのか。
そんなことはないんだな。∫[0→90]4cos^2θdθとすると間違い。
度数法の場合、(sinθ)'=(π/180)cosθであるから、∫[0→90](π/45)cos^2θdθとやれば、ちゃんと度数法でも、=πと正解を出せるんだな。
度数法では(sinθ)'=(π/180)cosθであることを理解していれば。
こういうふうに∫[0→2]√(4-x^2)dxを、x=2sinθと置く置換積分により、「度数法」で数値を代入して計算せよ、という問題を出されたら、解けなかったんじゃないかな？
度数法でも(sinx)'=cosxだあ、と叫んでいた人たちは。

度数法でも(sinx)'=cosxこれは事実

（そんな瑣末な問題は出ないだろうが）少なくとも、弧度法と度数法の違いを見るのあれば、「sinx°を微分せよ」などと書くだろう

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>>763
うん、じゃあ、(tanxﾟ)'および∫(tanxﾟ)dxを求めよ。また直角を10~とするとき、∫(tanx~)dxを求めよ。
はい、これなら文句ないよな？やってみて下さい。

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根本的につまらないんだって

なんか訳のわからぬのが沸いているね。春だなぁｗ
以前の1/6公式に恨みを持つ奴と同一人物臭がする。

春だなぁwとか調子乗るな～

>>765
x~という関数をしっかり定義しろ
直角が10だけじゃ、10以外の値の取り方は無数にある
自分の表記が、数学的に厳密に定義されているのかどうかも判定できない人間が本質って（笑）

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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誰にも解けない問題を作るのと、それを解くのでは、どちらが難しいか
ただし答えは必ず存在するものとする

>>772
容疑者xの献身乙

誰にも解けないって作った奴は解けるよな
で、それを解くんだったら解ける訳だから
そんなことはありえない。

「証明または反証せよ」っていう問題ならありうるそうだよ

へえ

>>772
もし誰かが解いたら「誰にも解けない問題」ではなかったことになるのでは。

【第二問】

xについての2次方程式
ax^2+bx+(a+b)=0を考える。
この2次方程式は異なる2つの解α,βをもち、以下の条件を満たす。

・α+β=αβ
・α＜1＜β

このとき、条件を満たす実数a,bの存在する領域の面積を求めよ。

ある整数を二乗してできる数を平方数という.
0でない平方数を小さい順に並べてできる数列sとする.(s(1)=1,s(2)=4,…)
mを1以上の整数とする.
s(L+m)-s(L) が平方数となるような1以上の整数Lを小さい順にひとつずつすべて並べてできる数列の第n項の式を示せ.
(mを場合わけして答えよ.)

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場合分けしなくちゃいけないmの値が素数を元に無限に出てくるから解答不能

xを3乗して得られるx^3をSとおく.
(S=x^3)
また,(x-1)を3乗して得られる(x-1)^3をTとおく.
(T=(x-1)^3))
このとき,S+Tを最小にするxは-4＜x＜4の区間に存在することを示せ.

>>782
低脳乙

>>783
ほっとけアホ

Re:>>781 素因数分解したときの平方部分を除いた数を入れれば解けるだろう.

>>785
キングソたんキタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！

>>785
ゴメン寝ぼけてた
ちゃんとやってみる

無理＾＾A
とりあえず途中までやった

1)mの値によらず常に成り立つのが、
L=2a(a+1)m　(aは1以上の整数)

2)加えて、m=2b*c^2の時、(b,cは1以上の整数)
L=b(2c+1)

確認
m=144の時
L={26,56,90,216,576,1728,3456,5760.........}

26～216は2)から算出、576以降は1)から算出。電卓でいくつか検算して一応OK

ここでアタリをつけて、
m=2b*c^2の時、
(1)で求まるLの最小値)＞(2)で求まるLの最大値)
2*1(1+1)*2b*c^2>b(2c+1)
→8c^2-2c-1>0
cは1以上の整数なので常に成り立つ

よって、m=2b*c^2の時、(b,cは1以上の整数)
L={2c+1,2(2c+1),3(2c+1),..............,4(2b*c^2),12(2b*c^2),24(2b*c^2),................}
m≠2b*c^2の時、(b,cは正の整数)
L={4m,12m,24m,40m,............2n(n+1)m..................}

ここまでやってギブ
m=2b*c^2の時はn個目が2)で求まるLなのか1)で求まるLなのかで式が変わるよね？
どうやって出すのかわからん

一辺の長さが1cmの立方体の形をした透明なブロックを、すきまなく並べて直方体を作ります。
この直方体の1つの頂点から、残り7つの頂点の中で最も遠い頂点に向かって光線を発射します。
光線はまっすぐ進み、ブロックによって反射したり方向が変化したりすることはありません。
この光線が貫いているブロックの個数を数えます。
ただし、光線がブロックの頂点のみを通っている場合や辺のみを通っている場合には、光線がブロックを貫いているとは考えられません。
ブロック202500個をたて75cm、横90cm、高さ30cmの直方体に並べたとき、貫かれたブロックは何個ですか。

s(L+m)-s(L)=m^2+2mL. 第L項がこれになる数列について,
mが奇数のときはmの倍数がm^2+2mからはじまりひとつおきに現れ,mが偶数のときは2mの倍数がm^2+2mからはじまり全て現れる.

>>789
(6+5+2-1)*15=180

>>791 訂正
150

一般に直方体の辺の長さをa,b,c、a>b, a>cとした場合に
求めるブロックの数は
a+b+c-gcd(a,b)-gcd(a,c)

一般にというなら、 a+b+c-(a,b)-(b,c)-(a,c)+(a,b,c) が正しい。
任意の次元で同じ問題を考えても、こういう交代的な和になる.
ただし、(a,b)などは最大公約数.

任意のxについて、
x^2+y^2+k＞0が成り立つとき、最小のkの値を求めよ。ただし、kは自然数とする。

せこい問題
東大では出ません

ﾆﾔﾆﾔ・・・

y=x^4-6x^2+4x+6の最小値は
-ア√イcos(ウエ゜）

アイウエに当てはまる数字
答えはトリップ

え？

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お？

たまたまgcd(b,c)=gcd(a,b,c)となっていた．．．

コインをn回投げて表も裏も3回以上連続しない確率を求めよ。

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>>802は簡単過ぎますか？自分では、割と、いい問題を作ったつもりだったんですが。

P(n+2)=3*P(n)/4 P(1)=1 P(2)=2

×P(2)=2
○P(2)=1

>>805
間違い。P(4)=5/8,P(5)=1/2になる。

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>>802
ほんとに解ける問題なんだろうな？

>>809
間違いなく、鮮やかな解法で解けます。検算して確認しましたから間違いありません。

よくある問題

>>802
P(n+1)=P(n)-1/8 (n≧3)
P(1)=1 P(2)=1 P(n)=(-n+9)/8 (n≧3)

>>812間違い。n=9で0になるか？
n=9だと、表裏表表裏裏表裏裏とか110通りある。
P(9)=110/2^9=55/256

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>>813
n=5までしか考えていなかった．．．

>>802
n回コインを投げた時、3回白と黒が連続する場合の数をa(n)とすると
a(3)=6, a(4)=10, a(5)=16, a(6)=26…となり
a(n+2)=a(n+1)+a(n)
が成り立つからa(n)は
a(n)=(15+7√5)/5*((1+√5)/2)^(n-3)+(15-7√5)/5*((1-√5)/2)^(n-3) (n≧3)
となるから、求める解P(n)は
P(1)=1, P(2)=1, P(n)=((15+7√5)/5*((1+√5)/2)^(n-3)+(15-7√5)/5*((1-√5)/2)^(n-3))/2^n (n≧3)

a(n)は
a(0)=2, a(1)=2, a(n+2)=a(n+1)+a(n)
であり、フィボナッチ数
f(0)=0, f(1)=1, f(n+2)=f(n+1)+f(n)
リュカ数
l(0)=2, l(1)=1, l(n+2)=l(n+1)+l(n)
の和となる

β=(1+√5)/2, α=(1-√5)/2
f(n)=(β^n-α^n)/√5
l(n)=β^n+α^n
a(n)=(5+√5)/5*β^n+(5-√5)/5*α^n

(4/r5)(((1+r5)/4)^(n+1)-((1-r5)/4)^(n+1)).

ダメだギブアップ∩( ・ω・)∩

n回目で初めて3連続同じ面になる確率をa[n]とすると、
a[3] = 1/4
a[4] = 1/8
a[5] = 1/8
a[6] = (3回目までに3連続しない確率)*1/8 = (1-1/4)/8 = 3/32
a[7] = (4回目までに3連続しない確率)*1/8 = (1-(1/4+1/8)/8 = 5/64
a[8] = (5回目までに3連続しない確率)*1/8 = (1-(1/4+1/8+1/8) = 1/16
a[9] = (6回目までに3連続しない確率)*1/8 = (1-(1/4+1/8+3/32) = 13/256
a[n] = (n-3回目までに3連続しない確率)*1/8
　　 = (1-(a[3]+a[4]+......+a[n-4]+a[n-3])*1/8

n回目までに同じ面が3連続以上する確率をb[n]とすると、
b[n] = a[3]+a[4]+......+a[n-1]+a[n]

n回投げて表も裏も3回以上連続しない確率をP[n]とすると
P[n] = 1-b[n]

一応これでゴリゴリ計算するとP[4]=5/8、P[5]=1/2、P[9]=55/256になるんだけど、
P[n]をnで表す事が出来なかった。

他にまだやってる人がいないようであれば解答お願いします。

>>802
ttp://iup.2ch-library.com/r/i0628460-1336362813.jpg

表も裏も3回以上連続しないのだから、要するに、表1回か2回の後、裏1回か2回、その後また表1回か2回の後、裏1回か2回…
これの繰り返しだから、表裏表裏表裏表裏…
１２２１１２１２…みたいな感じで合計n回になる。これは、n段の階段を一歩1段か2段で昇る場合の数に等しい。
この場合の数をa[n]とする。
最初が裏の場合の
裏表裏表裏表裏表…
２２１１２１２１…などのパターンもまた同じ。これもa[n]だから、表も裏も3回以上連続しない場合の数は2a[n]となる。
a[n]はわざわざ特性方程式を使わずとも、本来のフィボナッチ数列F[n]をひとつずらしただけだから、F[n+1]である。
∴求める確率は2{(1+√5)^(n+1)-(1-√5)^(n+1)}/√5･2^(n+1)/2^n
={(1+√5)^(n+1)-(1-√5)^(n+1)}/√5･4^n

F[n+1]≠F[n]+L[n]

>>822は間違い

>>821で間違いありません。検算しても完璧。

>>802
この手の隣接三項間漸化式の問題、京大に多いな。

l,m,nをn≧m≧l≧1を満たす整数として、n個の玉を無作為に
m個の箱に入れるときl個の箱が空になる確率を求めよ。

玉系。

n個の玉が袋の中に入っている。
その袋の中には3種類の色の違う玉が入っており、赤玉,白玉,青玉である。
この袋の中から2個玉を取り出し、取り出した2個の玉が同じ色であれば、何の色かに問わず一回目で終了とし、
取り出した2個の玉の色が異なる場合は、もう一度袋の中に戻し、また2個取り出す。こうして、同じ色の玉を取り出すまで繰り返し行う。取り出した回数が最初も含め5回になったところで終了とする。ただし、5回目までに必ず同じ色の玉を取り出すとする。nを4以上の整数として、
5回目までに終了する確率を求めよ。

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>>827
色ごとの数が与えられていないから無理

>>827
>取り出した回数が最初も含め5回になったところで終了とする。
>5回目までに必ず同じ色の玉を取り出すとする。
なら
>5回目までに終了する確率
は１じゃないの？

>>830
正解です。
これは色ごとの個数が分からなくても問題文から分かってしまうという問題。
数学が苦手な人はこういうのも解けなくなる。

＞5回目までに必ず同じ色の玉を取り出すとする。
という試行はできないから、数学の確率の問題として不適。

>>831
糞問出すなよ糞蟲！

糞虫乙

>>802 >>821
コインをn回投げて表も裏も3回以上連続する確率は、どうなんの？これは相当難しそうだけど。

1-表も裏も2回までしか連続しない確率

コインをn回投げて、表が裏より2回以上多くでる確率は？
ただし、nは3以上の1桁の整数とする。

Σ[i=[(n+3)/2], n]C[n, i]/2^n

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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>>835コインをn回投げて表が3回以上連続しない場合の数をa[n]とすると、a[n+3]=a[n+2]+a[n+1]+a[n]となる。隣接四項間漸化式になるわけで、a[n]を求めるのは難しい。
a[n]が求まれば、表が3回以上連続する場合の数は、その余事象だから簡単に求まり、表も裏も3回以上連続する場合の数も求まるんだけど、a[n]が簡単には求まらないからねえ。

ｘｙｚ空間内の点で下記の不等式を満たす部分の立体の体積を求めよ。
ただし、対数は自然対数とする。

| log x | + | log y | + | log z | ≦ 1

pを正の定数とする。
周の長さがpである三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。
このとき、L=1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)のとり得る値の最小値をpを用いて表せ。

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>>841
暗算で 8e^3

違うだろ

⌠
|　　　　　　 [{exp(2x)+exp(2y)+exp(2z)}/(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)dxdydz
⌡|x|+|y|+|z|≤1

を計算してくれませんか。

⌠
｜　　　　　　 [{exp(2x)+exp(2y)+exp(2z)}/(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)dxdydz
⌡|x|+|y|+|z|≤1

を計算してくれませんか。

⌠|　　　　　　 [{exp(2x)+exp(2y)+exp(2z)}/(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)dxdydz⌡|x|+|y|+|z|≤1
とはなんですか？

n を自然数とするとき、
　　p^n＋q^n＝1　　
を満たす正の有理数の組 (p,q) が存在するための必要かつ十分な条件は
　　n＝1 or 2　　
である、ということを証明し、それを解説してください。

むるち

p、qは正の有理数なので
p=a1/b1
q=a2/b2
(a1,a2,b1,b2は1以上の整数)　・・・(A)
とおける

p^n+q^n=1
→(a1/b1)^n+(a2/b2)^n=1
両辺に(b1･b2)^nをかけると、
(b2･a1)^n+(b1･a2)^n=(b1･b2)^n
(A)より(b2･a1)、(b1･a2)、(b1･b2)は自然数となる

あとはフェルマー･ワイルズなんだろうけど
解説要求されたら死ぬ

大したことではないのだが、これの証明がいまひとつうまくできないんだ。

f：X→Y を局所Noetherスキームの間の固有射であるとし、
X , Y の構造層 G , H の間には f*(G)＝H が成り立つと仮定する。
このとき、任意の y∈Y に対し、 f^-1(y) は、空でなく、連結である。

>>841
結構な計算量だなこれ。答えって　(1/2)(e-1/e) であってるかな？

原点をOとしたxy平面上にxを正の実数として
直線y=xを動く点Pに対し、
放物線y=x^2を動く点Qとの距離PQを考える。
PQが1以下を満たしながら動くとき、△OPQの最大値を求めよ。

>>841
結構な計算量だなこれ。答えって　(1/2)(e-1/e) であってるかな？

絶対解いてやるからな
ちくしょおおおお

角度かと思って計算してしまった．．．
θ=arccos(-sin(x+π/4)) ただし、tan(x)-cos(x)=2

>>854
1/4

>>855
俺は 2e になった．．．

>>858
正解

>>854
> △OPQの最大値
三角形の最大値って何だ？面積？

>>861
そう

>>855
俺は 3-e/4-1/4e になったわ
全然分かんねえ

出題者出てこいやー！こいやー！

図のような△ABCにおいて、辺AC上(端点Cは含めない)に適当な点Pをとる。
ここで∠BPCを2等分する直線と辺BCとの交点をQとする。ただし、点PがAのとき、∠BPCを∠BACとする。
∠AQC=θとおくとき、cosθの最大値を求めよ。
http://beebee2see.appspot.com/i/azuYsr63Bgw.jpg

aを0<a<1/2を満たす定数とする。A(a,0)とする。
円x^2+y^2=1の周上に点Pが、直線x=a上に点Qがあり、PQ＝aを満たしながら動くものとする。
このとき、AQの長さのとりうる値の範囲を求めよ。

50枚中当たりが30枚のくじを10回当たるまで引き続ける。
この時に引いたくじの枚数の期待値を求めよ。

2人で勝負をする．1回の勝負で甲が勝つ確率はp,乙のそれはq，0<q<p<1,p+q=1
甲が先にn勝する確率はnの増加関数であることを証明せよ．

関数f(x)は，次の性質をもっている．
a≠bのときf(a)-f(b)<(a-b)f(a)
このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)　f(a)-f(b)と(a-b)f(b)
はどちらが大きいか．
(2)　a>bのとき，f(a)とf(b)はどちらが大きいか．
(3)　つねにf(x)>0が成り立つことを示せ．

1から4までの数字が書かれたカードが1枚ずつ,計4枚ある
無作為に同時に2枚引いて,印をつけて元に戻すという試行をn回繰り返したとき,
印のついているカードの枚数の期待値を求めよ.

(1)
t=x+√(x^2+1)とおくことにより
不定積分∫√(x^2+1)dxを求めよ
(2)
一辺が1の正三角形OABがある
辺ABをn等分して点Aから近い順にP[0](=A),P[1],P[2],,,P[n](=B)とする
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0→n]OP[k]を求めよ

>>870
理系新作問題演習から剽窃おつ

>>865お願い

パクリ問題ばっか出しているやつウザい

>>873
0？

>>875
正解です答えはね

(√3)/6
になった

>>877
どうやりました？？？

>>871
4-1/2^(n-2)

(1)
(x+√(x^2+1))^2/8+log(x+√(x^2+1))/2-(x+√(x^2+1))^(-2)/8+C
(2)
(3n+5)/4

Ｓ[0](n)=1
Ｓ[i+1](n)=ΣＳ[i](k)
(k=1→n)

Ｓ[i](n)を求めよ

>>878
ごめん間違い。
∠PQCをθとして計算しちゃった
その場合もPはCに重ならないから「最大値」は無しになるし

それ最小値じゃね

∠PQCをθと置くと「最大値無し」になる事にも気付かなかった(つまり2重に間違えていた)という話す
スレ汚しごめん

ああなるほど

>>868
1

>>871
(2)
lim[n→∞](1/n)(3n+5)/4=3/4

△ABCの各辺をx,y,z(0＜x＜y＜z)とし、xy=yz=zx=1を満たすものとする。
このとき、角θを∠ABC,∠ACB,∠BACのいずれとし、sinθcosθの最大値を求めよ。

1/2

理由は？

xy=yz=zx=1だとx=y=z=1の正三角形にならない？

0＜x＜y＜z満たしてないんじゃないか？

ってかこれそもそも解けるか？

>>887
失せろカス！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

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>>802

　a[n] = {n回投げたとき、m+1回以上連続しない場合の数}
とすると、
　P_m[n] = a[n]／(2^n)

①　(n+1)回目がn回目と異なる場合････ a[n] とおり
②　(n+1)回目がn回目と同じで(n-1)回目と異なる場合････ a[n-1] とおり
　　･････
　　･････
(m) (n+1)回目がn回目～(n-m+2)回目と同じで (n-m+1)回目と異なる場合････ a[n-m+1] とおり

∴　a[n+1] = a[n] + a[n-1] + ･･････ + a[n-m+1],

　a[n] = 2F_m[n+1]　　（mステップのフィボナッチ数）

特性多項式は
　t^m - t^(m-1) - t^(m-2) - ･････ - t - 1,

t>0 にある根は1つで、
　2 - 2/{2^(m+1) - m} > t > 2 - 2/{2^m + √[(2^m)(2^m -2m)]},

>>880

Ｓ[i](n) = n(n+1)････(n+i-1)/i! = Ｃ[n+i-1,i]

(略証)
iについての帰納法で。
　Ｓ[i+1](n) = Σ[k=1,n] Ｓ[i](k)
　　　　　　 = Σ[k=1,n] k(k+1)････(k+i-1)/i!
　　　　　　 = Σ[k=1,n] {k(k+1)････(k+i) - (k-1)k････(k+i-1)}/(i+1)!
　　　　　　 = n(n+1)････(n+i)/(i+1)!

>>841

　X = log(x),
　Y = log(y),
　Z = log(z),
とおく。
　|X| + |Y| + |Z| ≦ 1
は原点を中心とする正八面体。
重み exp(X+Y+Z)

　I_1(a) = ∫[0,a] 2cosh(X) dX = 2sinh(a),
　I_2(b) = ∫[0,b] I1(b-Y) 2cosh(Y) dY = 2b･sinh(b),
　I_3(c) = ∫[0,c] I2(c-Z) 2cosh(Z) dZ = (c^2 -1)sinh(c) + c･cosh(c),

答えは下の三行なの？

>>897

本問の答えは
　I_3(1) = cosh(1),

どうもありがとう
高校生の知識じゃ解けないってこと？

ああいやなんでもないすまん

>>841
z＝t (1/e≦t≦e) での断面積を S(t) とすると

1/e≦t≦1 ⇒ S(t)=(1+log t) {et+1/(et)}
1≦t≦e ⇒ S(t)=(1-log t) (t/e+e/t)

となったんだけど、違ってるぽいな。
どこがおかしいんだろ？

>>901

　1/e ≦ z ≦ 1　⇒　S(z) = (1+log z)(ez -1/ez),
　1 ≦ z ≦ e　⇒　S(z) = (1-log z)(e/z - z/e),
つまり
　S(z) = S(1/z) = I_2（1-|log(z)|）,
ぢゃね？

>>896 の続き

I_4(d) = {(1/3)d^3 -d}sinh(d) + (d^2)cosh(d),
I_5(e) = (1/4){(1/3)e^4 -d^2 +3)sinh(e) + (1/4)(2e^3 -3e)cosh(e),

I_n(α) = ∫[0,α] I_{n-1}(α-ξ) 2coshξ dξ
　　　　= ∫[0,α] I_{n-1}(η) 2coshη dη
　　　　～ (1/n!)(2α)^n,　　　　|α| <<1
　　　　（超八面体の超体積）

>>903 の訂正

　　= ∫[0,α] I_{n-1}(η) 2cosh（αーη）dη

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>>895

Ｃ[n+i-1,i] を重複組合せ（multichoose）と云い、Ｈ[n,i]と書くらしい。。。

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xyz空間において、点A(3,0,6)から中心(3,4,4),半径2の球に接線を引いたとき、接線とxy平面との交点の軌跡を求めよ

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x=3を軸にした放物線になる？

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点O(3,4,4)、xy平面上の座標をP(x,y,0)、球面上の1点の座標をQ(a,b,c)とする
↑AP=(x-3,y,-6)　↑AQ=(a-3,b,c-6)　↑OQ(a-3,b-4,c-4)
点Qは球面上の点だから
(a-3)^2+(b-4)^2+(c-4)^2=4　…①
AP⊥OQから
↑AP・↑OQ=(x-3)(a-3)+y(b-4)-6(c-4)=0　…②
AP∥AQからkを任意の実数として
a-3=k(x-3)　b=ky　c-6=-6k　…③
②,③から
k=(4y+12)/(x^2-6x+y^2+45)　…④
①,④から
y=(x^2-6x+36)/6

×①,④
○①,③,④

tan16°>0.28を示してください

>>921

　tan(16ﾟ) > tan(15ﾟ) + tan(1ﾟ),

　tan(15ﾟ) = 2 - √3,
　tan(1ﾟ) = tan(π/180) > π/180,

∴　tan(16ﾟ) > 2 - √3 + π/180
　　　　　　 > 2 - 26/15 + 1/60
　　　　　　 = 17/60
　　　　　　 = 0.2833333

　3*15^2 = 675 < 676 = 26^2,
　15√3 < 26,

>>922
> 　tan(16ﾟ) > tan(15ﾟ) + tan(1ﾟ),

これは自明なん？

>>923
tanの加法定理知らんの？

0<x<π/4のときπsinx > 2√2・xsin(x+π/4)を証明しなさい

>>925
　π･sin(x) > 2√2･x > 2√2･x･sin(x + π/4),

を示す。各辺とも (0,0) と (π/4, π/√2) を通る。

　左辺は上に凸だから、割線の上側にある。あるいは sin(x)/x が単調減少より
　π･sin(x) > 4sin(π/4)x = (2√2)x,

　また、sin(x + π/4) は単調増加だから、右辺は下に凸、割線の下側にある。

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>>921
y = tan(x) は原点を通り下に凸。
∴　割線の傾き tan(x)/x は単調増加。

　tan(16ﾟ) > (16/15)tan(15ﾟ)
　　　　= (16/15)(2 - √3)
　　　　> (16/15)(2 - 26/15)
　　　　= (16/15)(4/15)
　　　　= (8/15)^2
　　　　= 0.28444444

>>921

　tan(16ﾟ) = √{[1-cos(32ﾟ)]/[1+cos(32ﾟ)]},

　cos(32ﾟ) = cos(30ﾟ)cos(2ﾟ) - sin(30ﾟ)sin(2ﾟ)　　加法公式
　　　　　= (1/2)(√3)cos(2ﾟ) - (1/2)sin(π/90)
　　　　　< (1/2)(√3) - (π/180)
　　　　　< 13/15 - 1/60
　　　　　= 17/20,

　tan(16ﾟ) > √{[1-(17/20)]/[1+(17/20)]}
　　　　　= √(3/37)
　　　　　> (√2)/5
　　　　　= 0.28284

　3*5^2 = 75 > 74 = 2*37,

xy平面上にy=x^2+1/4 とy=axがあり、それぞれC、Lとする。
Lの傾きaはLとCが2つ以上の点で交わらないような範囲をとるものとする。
C上に点A、L上に点Bをとり、点Aと点Bの距離が最も短くなるように線分ABを定める。
Lの傾きaが定められた範囲を変化していくとき、線分AB の通過する領域の面積を求めなさい。

>>929　訂正

y=cos(x) は上に凸だから、接線の下側にある。
cos(x) < cos(30ﾟ) - sin(30ﾟ)(x-30ﾟ)
　　　 = (1/2)(√3) - (1/2)(x-30ﾟ),
を使った。。。

>>931

　な、なんと、ビブンのことはビブンでしたのか。。。

それぢゃぁ生姜ねぇ。。。

　tan(x) > tan(15ﾟ) + {1/cos(15ﾟ)^2}(x-15ﾟ)
　　　　 = tan(15ﾟ) + {1 + tan(15ﾟ)^2}(x-15ﾟ)
　　　　 = (2-√3) + 4(2-√3)(x-15ﾟ)
　　　　 = (2-√3){1 + 4(x-15ﾟ)}
　　　　 > (4/15){1 + 4(x-15ﾟ)}
から
　tan(16ﾟ) > (4/15){1 + (π/45)}
　　　　　 = (4/15){1 + (1/15)}
　　　　　 = (8/15)^2
　　　　　 = 0.28444444

a、b、c、d　をあいことなる正の整数とする｡

s=（1/a）+（1/b）+（1/c）+（1/d）

とおくとき、s＜1　を満たす　s　の最大値を求めよ。

「あいことなる正の整数」って何？

あ、わかった「相異なる」か
ジャンケンのあいこを連想した

>>933
1805/1806

　問題
1を足すと立方数になる平方数を全て求めよ

>>936
解き方お願いします

>>933 >>938

s は有理数なので、s = p/q とおける。
　1/(pa) + 1/(pb) + 1/(pc) + 1/(pd) = 1/q,

そこで次を使う。
　超新星が爆発するとき、ニュートリノが飛来する。
をっと、勘違い。

[小柴予想]
m,n を自然数とする。方程式
　Σ[i=1,m] 1/(x_i) = 1/n,
　（1 ≦ x_1 ≦ x_2 ≦ ････ ≦ x_m）,
の自然数解ｘ = (x_1,x_2,･････,x_m) はいくつもあるが、
x_m の最大値をｋ_(m,n) とおくと
　k_(m,n) = k_(m-1,n)･{k_(m-1,n) + 1},
が成り立つ。（熊野氏による）

数セミ、Vol.50、No.3、通巻594、NOTE、p.67-69 (2011/3)

>>938
1<a<b<c, m>1, d=m+1のとき以下を満たす整数mの最大値から
(ab+bc+ca)/abc=(m-1)/m

>>939
予想という事は>>933の一般化は証明されていないって事ですか？

計算アルゴリズム
e=1/a+1/b+1/c,f=e+1/d、f<1のfの最大値をmとし、a=2とする。
1. b=a+1とする
2. c=b+1とする
3. e<1となるようにcをインクリメントする
4. d=c+1として、dをインクリメントしf<1となるときにその組み合わせを出力
5. この組み合わせが以前のものと比較して最大の場合にはその値をmとする
6. cをインクリメントする、1/a+1/b+1/c+1/(c+1)がmより小さい場合は7.へ、それ以外の場合は3.へ
7. bをインクリメントする、1/a+1/b+1/(b+1)+1/(b+2)がmより小さい場合は8.へ、それ以外の場合は2.へ
8. aをインクリメントする、1/a+1/(a+1)+1/(a+2)+1/(a+3)がmより小さい場合は終了、それ以外の場合は1.へ
計算結果
1/2+1/3+1/7+1/43=1805/1806
1/2+1/3+1/8+1/25=599/600
1/2+1/3+1/9+1/19=341/342
1/2+1/3+1/10+1/16=239/240
1/2+1/3+1/11+1/14=230/231
1/2+1/4+1/5+1/21=419/420
1/2+1/4+1/6+1/13=155/156
1/2+1/4+1/7+1/10=139/140
1/2+1/5+1/6+1/8=119/120
m=1805/1806

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>>930

題意より、|a| ≦ 1.
直線L: y=ax に最も近いC上の点は、傾きがaの点すなわち (a/2, (a^2 +1)/4)
対応するL上の点は（x(a), y(a)) とパラメータで表示される。
ここに、x(a) = a(a^2 +3)/(a^2 +1),　y(a) = (a^2)(a^2 +3)/(a^2 +1),
　x(0)=0,　y(0)=0,　x(±1) = ±1/2,　y(±1) = 1/2,

　dx/da = (1/4)(a^4 +3)/(a^2 +1)^2,
　dy/da = (1/2)a(a^4 +2a^2 +3)/(a^2 +1)^2,

左右対称なので、x>0 の面積を2倍すればよい。
まづ、放物線の上の面積(1/6)も含めた面積S'は
　S' = 2∫[0,1/2] x･dy
　　= 2∫[0,1] x(a) (dy/da) da
　　= (1/8)∫[0,1] (2a^2)(a^2 +1)(a^4 +2a^2 +3)/(a^2 +1)^3 da
　　= (1/8)[ (1/3)a(2a^6 +16a^4 +23a^2 +3)/(a^2 +1)^2 - arctan(a) ](a=0,1)
　　= 11/24 - π/32
或いは
　S' = 1/2 -2∫[0,1/2] y･dx
　　= 1/2 - 2∫[0,1/2] (1/2)∫y･dx
　　= 1/2 - 2∫[0,1] y(a) (dx/da) da
　　= 1/2 - (1/8)∫[0,1] (a^2)(a^2 +3)(a^4 +3)/(a^2 +1)^3 da
　　= 1/2 - (1/8)[ (1/3)a^3 +a/(a^2 +1) -2a/(a^2 +1)^2 + arctan(a) ](a=0,1)
　　= 1/2 - 1/24 - π/32
　　= 11/24 - π/32,
よって求める面積Sは
　S = S' - 1/6
　　= 7/24 - π/32
　　= 0.19349189624198562796470906093918

>>930
つまり
　A = (a/2, (a^2 +1)/4)　　∈ C
　B =（x(a), y(a)) 　　　　∈ L
と置いた。

2つの素数の二乗の和が平方数となることはあるか。

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>>946
　ない。

(2, 2) のとき
　2^2 + 2^2 = 8 ≠ n^2,

(2, 奇素数) のとき
　(2+p)^2 > 2^2 + p^2 = n^2,
　2+p > n,

(奇素数,奇素数) のとき
　nは偶数。
　n^2 = 4N,
　p^2 + q^2 = 4M +2,

p,qは素数，m,nは整数
(p^(2n)-1)/((p-1)(q^(2m)))…①は整数
(q^(2m+1)-1)/(2(q-1)p^(2n-1))が①の逆数となることはあるか.

領域 y≧x^2 内に１辺の長さ t の正三角形ABCがある。
この正三角形の重心のy座標の最小値を t を用いて表せ。

>>950
こんなの30分で余裕だろう…あれ？
見かけよりめんどいな

①f(x)=logx (x＞2)について
x=kにおけるf(x)の接線と、
x軸,直線x=k-(1/2),直線x=k+(1/2)
とで囲まれた台形の面積を求めよ

②1000!の桁数を求めよ
ただし、
ln2=0.693,ln3=1.099,ln5=1.609
とする

>>952
(2)
　ln(10) = ln(2) + ln(5) = 2.302
スターリングから
　ln(1000!) ≒ 1000.5ln(1000) - 1000 + (1/2)ln(2π)
　　　　　　= 1000.5*3*ln(10) - 1000 + 0.919
　ln(1000!)/ln(10) = 1000.5*3 - (1000 - 0.919)/log(10)
　　　　　　= 3001.5 - 999.081/2.302
　　　　　　= 2567.5
2568桁。

>>953
正解だけどln(π)の値は与えられていないので
スターリング以外のやり方もお願いします

>>954
(1)を使って log(1000!)=Σ[n=2,1000]log(n) を評価するんでないか？

>>955
そうです
あと挟むためにもう一つ不等式が必要です

>>956
Σ[k=2,n]log{k} < ∫[1,n]log(x)dx + (log(2)+log(n))/2 は如何

>>957
正解です
内接する台形と外接する台形で挟みます

わざわざ自然対数値を与える理由が分からん

>>959
積分したときに自然対数のほうがいいと思って

>>959
自然対数値を使わない解法よろ

2012!を十進数表記するとき、一の位から数えて、初めて現れる0でない数字はなにか。

xの初めて現れる0でない数をn(x)とすると
n(10!)=n(3*4*6*7*8*9)=n(2*2*2)=8
n(100!)=n(8^10)=n(2*2*2*8)=6
n(1000!)=n(6^10)=6
n(2012!)=n(6*6*8*1*2)=6

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>>963
説明不足すぎではないか？

なるほど！

>>965
その解答は間違えました。

>>955
　(1) から
　Σ[k=2,n] log{k} > ∫[3/2, n + 1/2] log(x)dx
　　　= (n + 1/2)log(n + 1/2) -(n + 1/2) -(3/2)log(3/2) +(3/2)
　　　> (n + 1/2)log(n) -n -(3/2)log(3/2) +(3/2)
　　　= (n + 1/2)log(n) -n + 0.891　　{log(3/2)=0.406}

　log(1 + 1/2n) = ∫[0, 1/2n] 1/(1+t) dt ≧ (1/2n)/(1 + 1/2n) = 1/(2n+1),

>>957 から
　Σ[k=2,n] log{k} < n･log(n) -n -2log(2) +2 + {log(2)+log(n)}/2
　　　= (n + 1/2)log(n) -n +2 -(3/2)log(2)
　　　= (n + 1/2)log(n) -n + 0.9605 　　{log(2)=0.693}

なお、スターリングの定数項は (1/2)log(2π) = 0.9189

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　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>968 の改良｡｡｡

下限
　Σ[k=2,n] ln{k} = Σ[k=5,n] ln{k} + Σ[k=2,4] ln{k}
　　　> ∫[9/2, n + 1/2] ln(x)dx + ln(4!)
　　　= (n + 1/2)ln(n +1/2) -(n +1/2) -(9/2)ln(9/2) +(9/2) +ln(4!)
　　　> (n + 1/2)ln(n) -n -(9/2)ln(9/2) + (9/2) + ln(4!)
　　　= (n + 1/2)ln(n) -n + 0.9055　　　{ln(9/2)=1.505}

　log(1 + 1/2n) = ∫[0, 1/2n] 1/(1+t) dt ≧ (1/2n)/(1 + 1/2n) = 1/(2n+1),
　ln(4!) = ln(24) = ln(2^3･3) = 3ln(2) + ln(3) = 3*0.693 + 1.099 = 3.178

上限
　Σ[k=2,n] ln{k} = Σ[k=6,n] ln{k} + Σ[k=2,5] ln{k}
　　　< n･ln(n) -n -6ln(6) +6 + {ln(6)+ln(n)}/2 + ln(5!)
　　　= (n + 1/2)ln(n) -n +6 -(11/2)ln(6) + ln(5!)
　　　= (n + 1/2)ln(n) -n + 0.931 　　　{ln(6)=1.792}

　ln(5!) = ln(120) = ln(2^3･3･5) = 3*0.693 + 1.099 + 1.609 = 4.787

自然数l,m,nが
(1/l)+(1/m)+(1/n)＜1を満たしながら自由に動く。
このとき(1/l)+(1/m)+(1/n)の最大値を求めよ。

>>962
i,j,kを0以上の整数として
iの階乗からの0でない最小の数をn(i)で表すことにする
f(i)=(10i+2)(10i+4)(10i+5)(10i+6)(10i+8)
とすると
n(f(i))=n(10000i^5+25000i^4+24000i^3+11000i^2+2384i+192)

mを整数として
2384i+192=1000m
となるのは、0<=i<=200の範囲でi=62, 187
n(f(62))=n(9536499024000)=4
n(f(187))=n(2317421997072000)=2

i≠62かつi≠187のとき
n(f(i))=n(2384i+192)
n(f(5j+0))=n(2384(5j+0)+192)=n(11920j+ 192)=2
n(f(5j+1))=n(2384(5j+1)+192)=n(11920j+2576)=6
n(f(5j+3))=n(2384(5j+3)+192)=n(11920j+7344)=4
n(f(5j+4))=n(2384(5j+4)+192)=n(11920j+9728)=8

i=5j+2、0<=j<=40のとき、g(j)=f(5j+2)とすると
g(j)=(50j+22)(50j+24)(50j+25)(50j+26)(50j+28)
n(g(j))=n(2384(5j+2)+192)=n(1192j+496)
n(g(5k+0))=n(1192(5k+0)+496)=n(5960k+ 496)=6
n(g(5k+1))=n(1192(5k+1)+496)=n(5960k+1688)=8
n(g(5k+3))=n(1192(5k+3)+496)=n(5960k+4072)=2
n(g(5k+4))=n(1192(5k+4)+496)=n(5960k+5264)=4

j=5k+2、i=25k+12、0<=k<=7のとき、h(k)=g(5k+2)とすると
i≠62かつi≠187からk≠2かつk≠7
n(h(k))=n(1192(5k+2)+496)=n(596k+288)

(続き)
n(h(0))=n(288)=8
n(h(1))=n(884)=4
n(h(3))=n(2076)=6
n(h(4))=n(2672)=2
n(h(5))=n(3268)=8
n(h(6))=n(3864)=4

p(i)=(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)とすると
n(p(i))=10000i^4+20000i^3+13000i^2+3000i+189=9

n(20!)=n(Π[i=0,1]f(i)*Π[i=0,1]p(i)*10*20)=n(2*6*9^2*1*2)=4

n(200!)=n(Π[i=0,19]f(i)*Π[i=0,19]p(i)*Π[i=1,20](10i))
=n(2*6*6*4*8*2*6*8*4*8*2*6*8*4*8*2*6*2*4*8*9^20*20!*10^20)
=n(8*1*n(20!))=n(8*4)=2

n(201!)=n(n(200!)*201)=n(2*201)=2

n(Π[i=0,200]f(i))
=n(Π[j=0,39]f(5j+0)*Π[j=0,39]f(5j+1)*Π[j=0,39]f(5j+3)*Π[j=0,39]f(5j+4)*Π[k=0,7]g(5k+0)*Π[k=0,7]g(5k+1)*Π[k=0,7]g(5k+3)*Π[k=0,7]g(5k+4)*Π[k=0,6,k≠2]h(k)*f(62)*f(187)*200)
=n(n((6*4*8*2)^40)*n((6*8*2*4)^40)*n(8*4*6*2*8*4*4*2)*2)
=n(n(4^40)^2*8)=n(6^2*8)=8

n(2010!)
=n(Π[i=0,200]f(i)*Π[i=0,200]p(i)*Π[i=1,201](10i))
=n(8*9^201*n(201!)*10^201)=n(8*9*2)=4

n(2012!)=n(n(2010!)*2011*2012)=8

×iの階乗からの0でない最小の数をn(i)で表すことにする
○iの階乗の0でない最小の桁の数をn(i)で表すことにする

自然数m,nと2以上の整数Cについて、
m>n(C-1) であることは m(C^n -1)>n*C^n(C-1) であるための何条件か。

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　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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>>935
　ノダ「始め！」
　プーチン「引き分け」

あいこふぁんのおれおよろしく。

正多面体が五種類しか存在しないことを示せ。
オイラーの多面体定理「(面の数)＋(頂点の数)－(辺の数)＝２」を用いても良い。

>>978
　愛甲？
　このスレにロッテ/中日のファンがいたのか....

あげ

>>979

各面はn角形で、各頂点にm枚の面が集まるとする。
　(面の数) = f,
とする。
　(頂点の数) = v = nf/m,
　(辺の数) = e = nf/2,
これをオイラの定理に入れて
　f + v - e = 2 > 0,
両辺をnfで割って
　1/n + 1/m > 1/2,
よって
　(m,n) = (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (5,3)

正多面体、９つ
http://mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html

凸多面体（Platon）５つ
http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html

凹多面体（Kepler-Poinsot）４つ
http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html

一辺が１の四種類の正多角形型のタイルを一定の割合で混合して使用し、
平面を周期的な構造で埋め尽くすことが出来る。
その４種類とは、正何多角形か示し、埋め尽くし方の概略を述べよ。

>>982
美しい

>>982

　{n,m} を Schla"fli の記号とか云うらしい。。。

>>979
各面は正ｎ角形(n≧3)で、各頂点にｍ枚(m≧3)の面が集まるとする。
一つの頂点に集まる角の合計は2πより小さくなければならないので
m(π-2π/n)<2π　→　(m-2)(n-2)<4
(m,n)= (3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)のみが可能性を有すが、
実はこれら全てが正多面体を構成できる

百九十四日。

>>982
　はどんなn角形についても成り立ち、面ごとに形が異なる場合も成立する。

百九十五日。

あげ

(訂正)
正多面体が五種類しか存在しないことを示せ。

なお、示す上で以下の(＊)を用いても良い。
(＊)多面体⇔オイラーの多面体定理「(面の数)＋(頂点の数)－(辺の数)＝２」が成立

勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。

描

>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>

ume

1000! の桁数を求めよ
必要なら次の値を用いよ（ lg は底10の対数を表す e は自然対数の底である）
　　lg 2 = 0.301　　lg e = 0.434

あれ？

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。