ガロア生誕200周年記念スレ part 2

2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

part 1
http://kamome.2ch.net/math/index.html#4

定義 360
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の最小分解体(part1の149)が K の正則(part1の585)な冪根拡大(part1の512)に含まれるとき
f(X) は正則に可解であるという。

>>1の修正

part 1
http://kamome.2ch.net/math/index.html#7

定義 361
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の最小分解体(part1の149)が K 上分離的(>>248)なとき f(X) を準分離的と言う。

命題 362
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) が準分離的(>>4)であるためには
f(X) のΩ(part1の82)における各根の K 上の最小多項式(part1の116)が
分離的(part1の193)であることが必要十分である。

証明
必要性：
f(X) は準分離的であるとする。
f(X) のΩ(part1の82)における根の全体を α_1、．．．、α_m とする。
仮定より、K(α_1、．．．、α_m) は K 上分離的(part1の248)である。
よって、各 α_i は K 上分離的(part1の247)である。
よって、各 α_i の K 上の最小多項式は分離的である。

十分性：
各 α_i の K 上の最小多項式が分離的であるとする。
part1の271より、K(α_1、．．．、α_m) は K 上分離的である。
よって、f(X) は準分離的ある。
証明終

命題 363
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) が準分離的(>>4)であるためには f(X) の K[X] における各既約因子が
分離的(part1の193)であることが必要十分である。

証明
Ω(part1の82)の元 α が f(X) の根であるためには α が
f(X) の K[X] における各既約因子のどれかの根であることと同値である。
よって、本命題は>>5から明らかである。
証明終

定義 364
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の K[X] における相異なる各既約因子を g_1(X)，．．．、g_r(X) とする。
これ等の積 g_1(X)．．．g_r(X)を f(X) の被約化多項式と言う。

定義 365
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の準分離的(>>4)な多項式とする。
このとき f(X) の最小分解体(part1の149) L はpart1の166より正規拡大(part1の163)である。
f(X) は準分離的だから L/K は分離的(part1の248)である。
よって、L/K はGalois拡大(part1の251)である。
このGalois群(part1の251)を f(X) のGalois群と言う。

K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の準分離的(>>4)な多項式とする。
f(X) の被約化多項式(>>7)を g(X) とする。
>>6より g(X) は分離的(part1の193)である。
f(X) と g(X) の最小分解体(part1の149)は一致する。
よって f(X) と g(X) のGalois群も一致する。
よって、準分離的な多項式の最小分解体やそのGalois群(>>8)を考察する場合、
分離的な多項式に限ってもよい。

定義 366
K を体(part1の82)とする。
f(X) を K 係数の準分離的(>>4)な多項式とする。
f(X) のGalois群(>>8)の位数がΩ(part1の82)の標数で割れないとき
f(X) を正則であるという。

定義 367
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)とする。
そのGalois群(part1の251)の位数がΩ(part1の82)の標数で割れないとき
L/K を正則なGalois拡大と言う。

定義 368
L/K を拡大(part1の82)とする。
正則(>>11)なGalois拡大(part1の251) E/K でそのGalois群(part1の251)が
可解(part1の550)なものがあり、L ⊂ E となるとき L/K を正則な準可解拡大と言う。

命題 369
L/K を正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)とする。
M/K をGalois拡大で M ⊂ L とする。
このとき、M/K は正則である。

証明
part1の488より G(M/K) (part1の251)は G(L/K)/G(L/M) に同型である。
よって、G(M/K) の位数は G(L/K) の位数の約数である。
よって、M/K は正則である。
証明終

命題 370
L/K を有限(part1の87)な分離的拡大(part1の248)とする。
L/K が正則な準可解拡大(>>12)であるためには L/K のGalois閉包(part1の569)が
正則(>>11)でそのGalois群(part1の251)が可解(part1の550)であることが必要十分である。

証明
part1の575と>>13より明らかである。

命題 371
L/K を正則な準可解拡大(>>12)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ正則な準可解拡大である。

証明
L ⊂ E となる正則(>>11)なGalois拡大 E/K で
G(E/K) (part1の251)が可解(part1の550)なものがある。
M/K が正則な準可解拡大であることは明らかである。

G(E/M) は G(E/K) の部分群であるからpart1の565より可解(part1の550)である。
G(E/K) の位数は Ω(part1の82)の標数で割れないから G(E/M) も同様である。
よって、L/M は正則な準可解拡大である。
証明終

命題 372
L/K を正則な準可解拡大(>>12)とする。
任意の拡大(part1の82) F/K に対して LF/F は正則な準可解拡大である。

証明
E を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>14より、E/K は正則(>>11)で G(E/K) (part1の251)は可解(part1の572)である。
part1の325より E/K は有限であるからpart1の505より G(EF/F) は G(E/(E∩F)) と同型である。
G(E/(E∩F)) は G(E/K) の部分群であるからpart1の565より可解(part1の550)である。
G(E/K) の位数は Ω(part1の82)の標数で割れないから G(E/(E∩F)) も同様である。
よって、EF/F は正則(>>11)で G(EF/F) は可解である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は正則な準可解拡大である。
証明終

命題 373
L_1/K、．．．、L_n/K を正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)とする。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(part1の291)とする。
このとき、E/K は正則(>>11)なGalois拡大である。

証明
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
part1の507より E/K はGalois拡大であり
G(E/K) は (G_1)×．．．×(G_n) の部分群に同型である。
各 G_i の位数は Ω(part1の82)の標数で割れないから (G_1)×．．．×(G_n) も同様である。
よって、G(E/K) も同様である。
よって、E/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明終

よー
失業者　クンマーw

>>18
失業者はワシや。

猫

命題 374
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。

証明
part1の306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (part1の262)} の合成体(part1の291)である。
part1の166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、part1の>570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、σ(L)/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
>>17より N/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
M/K はGalois拡大であるから>>473より G(N/M) は G の正規部分群である。
>>488より G(N/K)/G(N/M) は G(M/K) に同型であるから
|G(N/K)| = |G(M/K)||G(N/M)|
|G(M/K)| と |G(N/M)| は Ω(part1の82)の標数で割れないから |G(N/K)| も同様である。
よって、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
証明終

無職は下らんことでも続けられるね＞クマ

1 名前：増田芳雄 2011/10/30(日) 22:29:19.80
彼の数学に魅せられた人は多いはずです

存分に語りましょう

※過去スレその1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1314183322/
※過去スレその2
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1316501127/
※過去スレその3
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1318272826/

★相互リンク
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/life/1316361840/

命題 375
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。

証明
part1の306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (part1の262)} の合成体(part1の291)である。
part1の166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、part1の>570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、σ(L)/M は正則(>>11)なGalois拡大である。
>>17より N/M は正則(>>11)なGalois拡大である。

Hitoshi Moriyoshi is cited 14 times by 17 authors
Tohru Uzawa is cited 22 times by 23 authors
Yoshifumi Kimura is cited 30 times by 40 authors
Shin Nayatani is cited 69 times by 62 authors
Hiroshi Ohta4 is cited 71 times by 77 authors
Kazuhiro Fujiwara is cited 82 times by 70 authors
Hiroaki Kanno is cited 92 times by 109 authors
Ryoichi Kobayashi is cited 126 times by 104 authors
Soichi Okada is cited 132 times by 110 authors
Mitsuru Sugimoto is cited 145 times by 69 authors
Thomas Geisser is cited 146 times by 62 authors
Akihiko Gyōja is cited 158 times by 132 authors
Toshiaki Hishida is cited 161 times by 77 authors
Shigeyuki Kondō is cited 168 times by 94 authors
Taro Nagao is cited 187 times by 89 authors
Lars Hesselholt is cited 187 times by 70 authors

>>21
無職はワシや。そやからこの毒まみれの掲示板を焼き払うという下らん
作業を実行してるのや。判るわナ。

猫

命題 375
M/K と L/M はそれぞれ正則(>>11)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
さらに G(M/K) (part1の251)と G(L/M) は可解(part1の550)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は正則(>>11)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。

証明
>>20より、N/K は正則(>>11)なGalois拡大である。
part1の571より、G(N/K) は可解である。
証明終

橋下のどこがいいんですか？

命題 376
M/K と L/M はそれぞれ正則な準可解拡大(>>12)であるとする。
このとき、L/K は正則な準可解拡大である。

証明
F を M/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>14より、F/K は正則(>>11)なGalois拡大で G(F/K) (part1の251)は可解(part1の550)である。
L/M は正則な準可解拡大であるから、>>16より、FL/F は正則な準可解拡大である。
E/F を FL/F のGalois閉包(part1569)とする。
>>14より、E/F は正則(>>11)なGalois拡大で G(E/F) は可解(part1の550)である。
>>26より、E/K は正則な準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は正則な準可解拡大である。
証明終

命題 377
正則な準可解拡大(>>12)全体の集合は正則(part1の136)である。

証明
>>15と>>28と>>16より明らかである。

何故か深夜に絶対に目覚めてしまう・・・
深夜目覚めアゲ

　山梨大は２１日、学生に対するアカデミック・ハラスメント（嫌がらせ）行為があったとして、
医学部の５０歳代の男性教授を懲戒処分（減給）にしたと発表した。

　大学によると、教授は２００７年４月頃から０９年３月頃にかけて、指導を担当する修士課程の
女子大学院生に対し日常的に「ばか、そんな計算もできないのか」
「おはらいを受けたら」などと言い、精神的苦痛を与えたという。

　教授は、研究指導や助言を求められた際も、適切な対応をせず、修士論文の指導では、
半月前に受け取った原稿を締め切り前日になって添削指導をしたとしている。大学院生は、
精神科の治療を受け、自宅療養を余儀なくされたとしている。
大学側の調査に、教授は「大学に迷惑をかけた」などと話しているという。

フランス人の欠点を挙げよってゆったら猫は合理的に返答できんのかね？
日本人ならベラベラ出てくる。日本人の良さを活かすという観点では何も
語ってないよね？　いや、ホント残念なんだよね。欠点を分析で終わって欲しくないな。
まあ、俺の勝手な意見だけどもよ。

命題 377
正則な準可解拡大(>>12)全体の集合は正則(part1の136)である。

証明
>>15と>>28と>>16より明らかである。

定義 378
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か G(L/K) (part1の251)の位数の各素因数より大きいとき
L/K を強正則なGalois拡大と言う。

クマ　無職はいいのおw

アホめ

定義 379
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か G(L/K) (part1の251)の位数の各素因数より大きいとき
L/K を強正則なGalois拡大と言う。

定義 377
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の261)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か G(L/K) (part1の261)の位数の各素因数より大きいとき
L/K を強正則なGalois拡大と言う。

定義 379
L/K を拡大(part1の82)とする。
強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251) E/K でそのGalois群(part1の251)が
可解(part1の550)なものがあり、L ⊂ E となるとき L/K を強正則な準可解拡大と言う。

命題 380
L/K を強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)とする。
M/K をGalois拡大で M ⊂ L とする。
このとき、M/K は強正則である。

証明
part1の488より G(M/K) (part1の251)は G(L/K)/G(L/M) に同型である。
よって、G(M/K) の位数は G(L/K) の位数の約数である。
よって、M/K は強正則である。
証明終

命題 381
L/K を有限(part1の87)な分離的拡大(part1の248)とする。
L/K が強正則な準可解拡大(>>38)であるためには L/K のGalois閉包(part1の569)が
強正則(>>34)でそのGalois群(part1の251)が可解(part1の550)であることが必要十分である。

証明
必要性
L/K が強正則な準可解拡大であるとする。
L ⊂ E となる強正則(>>34)なGalois拡大 E/K でそのGalois群が可解なものがある。
L/K のGalois閉包を M とすると M ⊂ E である。
part1の488より G(M/K) は G(E/K)/G(E/M) に同型である。
よって、|G(M/K)| (part1の180)は |G(E/K)| の約数である。
よって、M/K は強正則(>>34)である。
またpart1の560より G(M/K) は可解である。

十分性：
自明である。
証明終

命題 382
L/K を強正則な準可解拡大(>>38)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ強正則な準可解拡大である。

証明
L ⊂ E となる強正則(>>34)なGalois拡大 E/K で
G(E/K) (part1の251)が可解(part1の550)なものがある。
M ⊂ E だから M/K は強正則な準可解拡大である。

G(E/M) は G(E/K) の部分群であるから E/M は強正則(>>34)である。
さらにpart1の565より G(E/M) は可解(part1の550)である。
よって、L/M は強正則な準可解拡大である。
証明終

命題 383
L/K を強正則な準可解拡大(>>38)とする。
任意の拡大(part1の82) F/K に対して LF/F は強正則な準可解拡大である。

証明
E を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>40より、E/K は強正則(>>34)で G(E/K) (part1の251)は可解(part1の572)である。
part1の325より E/K は有限であるからpart1の505より G(EF/F) は G(E/(E∩F)) と同型である。
G(E/(E∩F)) は G(E/K) の部分群であるからpart1の565より可解(part1の550)である。
Ω(part1の82)の標数は 0 か G(E/K) の位数の各素因数より大きいから
G(E/(E∩F)) に対しても同様である。
よって、EF/F は強正則(>>34)で G(EF/F) は可解である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は強正則な準可解拡大である。
証明終

くまさん、頑張るな。。。

命題 384
L_1/K、．．．、L_n/K を強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)とする。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(part1の291)とする。
このとき、E/K は強正則なGalois拡大である。

証明
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
part1の507より E/K はGalois拡大であり
G(E/K) は (G_1)×．．．×(G_n) の部分群に同型である。
Ω(part1の82)の標数は 0 か各 G_i の位数の各素因数より大きいから
(G_1)×．．．×(G_n) に対しても同様である。
よって、G(E/K) に対しても同様である。
よって、E/K は強正則なGalois拡大である。
証明終

命題 385
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は強正則なGalois拡大である。

証明
part1の306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (part1の262)} の合成体(part1の291)である。
part1の166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、part1の570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、σ(L)/M は強正則なGalois拡大である。
>>44より N/M は強正則なGalois拡大である。
M/K はGalois拡大であるからpart1の473より G(N/M) は G の正規部分群である。
part1の488より G(N/K)/G(N/M) は G(M/K) に同型であるから
|G(N/K)| = |G(M/K)||G(N/M)|
Ω(part1の82)の標数は 0 か |G(M/K)| の位数および |G(N/M)| の位数の各素因数より大きいから
|G(N/K)| に対しても同様である。
よって、N/K は強正則なGalois拡大である。
証明終

無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー

命題 386
M/K と L/M はそれぞれ強正則(>>34)なGalois拡大(part1の251)であるとする。
さらに G(M/K) (part1の251)と G(L/M) は可解(part1の550)であるとする。
part1の284より、L/K は分離代数的(part1の248)である。
N を L/K のGalois閉包(part1の569)とする。
このとき、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。

証明
>>45より、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大である。
part1の571より、G(N/K) は可解である。
証明終

命題 387
M/K と L/M はそれぞれ強正則な準可解拡大(>>38)であるとする。
このとき、L/K は正則な準可解拡大である。

証明
F を M/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>40より、F/K は強正則(>>34)なGalois拡大で G(F/K) (part1の251)は可解(part1の550)である。
L/M は強正則な準可解拡大であるから、>>42より、FL/F は強正則な準可解拡大である。
E/F を FL/F のGalois閉包(part1569)とする。
>>40より、E/F は強正則(>>34)なGalois拡大で G(E/F) は可解(part1の550)である。
N を E/K のGalois閉包(part1の569)とする。
F/K と E/F は>>47の条件を満たすから
>>47より、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。
よって、E/K は強正則な準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は強正則な準可解拡大である。
証明終

>>48の修正

命題 387
M/K と L/M はそれぞれ強正則な準可解拡大(>>38)であるとする。
このとき、L/K は強正則な準可解拡大である。

証明
F を M/K のGalois閉包(part1の569)とする。
>>40より、F/K は強正則(>>34)なGalois拡大で G(F/K) (part1の251)は可解(part1の550)である。
L/M は強正則な準可解拡大であるから、>>42より、FL/F は強正則な準可解拡大である。
E/F を FL/F のGalois閉包(part1569)とする。
>>40より、E/F は強正則(>>34)なGalois拡大で G(E/F) は可解(part1の550)である。
N を E/K のGalois閉包(part1の569)とする。
F/K と E/F は>>47の条件を満たすから
>>47より、N/K は強正則(>>34)なGalois拡大であり G(N/K) は可解である。
よって、E/K は強正則な準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は強正則な準可解拡大である。
証明終

命題 388
強正則な準可解拡大(>>38)全体の集合は正則(part1の136)である。

証明
>>41と>>49と>>42より明らかである。

定義 389
n ≧ 1 を整数とし、Ω(part1の82)の標数は 0 か n の各素因数より大きいとする。
L/K を拡大(part1の82)とする。
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L があるとき L/K を強正則な単冪根拡大(part1の512)と呼ぶ。

定義 390
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が強正則(>>51)な単冪根拡大(part1の512)であるとき
L/K を強正則な冪根拡大(>>513)と呼ぶ。

命題 391
Z を有理整数環とし、p を素数とする。
n ≧ 1 を整数とする。
剰余環 Z/(p^n)Z の可逆元全体のなす群を (Z/(p^n)Z)^* (part1の522)とする。
このとき |(Z/(p^n)Z)^*| (part1の180) = (p^(n-1))(p - 1) である。

証明
１、2、．．．、p^n は Z/(p^n)Z の完全代表系である。
１、2、．．．、p^n の中で p の倍数は p^(n-1) 個ある。
よって、この中で p で割れないものの個数は p^n - p^(n-1) = (p^(n-1))(p - 1)
よって、|(Z/(p^n)Z)^*| = (p^(n-1))(p - 1)
証明終

バカ＝クマ

無職＝クマ

>>54
無職の馬鹿は熊氏やのうてワシや。

猫

無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー


無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー


無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー


無職は最強だねｗ
低脳もｗ＞おまえのことだよクマー

ケケケ猫

無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 　無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 　無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e

無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e

コココ猫

ネコ氏はお昼たべないの？

今からインスタントラーメンを調理します。

猫

無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
クマは泣いているよ　言わないであげてね　ほんとのことをｗ

クマー　税金を払っていますか？

ワシは税金を払ってません。無収入なのでね。

猫

補題 392
A を可換環とする。
I と J を A のイデアルで、 I + J = A とする。
このとき、x ≡ 1 (mod I)、x ≡ 0 (mod J) となる元 x ∈ A がある。

証明
1 = a + b、a ∈ I、b ∈ J となる a、 b がある。
x = b が求めるものである。
証明終

深谷さんに嫉妬しているのでないか？
猫は海外脱出できないが
深谷さんはストーニーブロックの研究所が
永久ポストを用意して2013年に迎え入れようと
ホームページでも宣伝している

きっと豪邸も世話してもらえるだろう

ブルック

449 名前：１３２人目の素数さん ：2011/11/22(火) 12:40:36.97
>>448
>つまり『特別な予備知識が無くてもきちんと議論が出来る』という事実
>を「その特別な予備知識を身に付けた上で、その特別な予備知識を用い
>て申し述べる」という方法論が有効です。

猫さんに相談する事が出来て本当によかったと思います。
ありがとうございます。
猫さんの教養の深さが数学と対峙することによって生まれたのか、
数学以外の様々な文化に触れる事によって獲得したのかは
わかりませんが
猫さんの根底にある深い品格を尊敬します。
お世話になりました。

猫に品格を感じるのかｗ

904 名前：１３２人目の素数さん ：2011/11/22(火) 10:24:09.32
Bさんは若い頃複素解析で名をあげたが
その後生物学に転向した
１５年前に亡くなる前Berkeleyで評判を聞いた
生物学でも立派な業績をあげて成功したという話だった
しかし現在Bさんの名を憶えている数学者は
ほとんどいないだろう


905 名前：１３２人目の素数さん ：2011/11/22(火) 10:42:22.57
Ｍさんは若い頃非可換幾何で名をあげたが
その後性犯罪者に転向した
５年前に大学をクビになる前Berkeleyで評判を聞いた
性犯罪者でも立派な業績をあげて成功したという話だった
しかし現在Ｍさんの名を憶えている数学者は
ほとんどいないだろう

http://hageyutaka.dip.jp/cgi/view34/data/1292.jpg
kk(x,y)=0の緑の曲線がそれで、a=√2 のとき、 b≒0.932972
三角形の面積=(1/2)(2a)b=(定数)の曲線を描いていくと、
ab≒(√2)*0.932972≒1.319422で最大になった。
曲線同士が接するとかだったら面白かったんだけど。

>>70
猫には品格はありません。単なる獣なので。

猫

>>70
猫

猫は深谷さんに嫉妬しているのでないか？
猫は海外脱出できないが
深谷さんはストーニーブロックの研究所が
永久ポストを用意して2013年に迎え入れようと
ホームページでも宣伝している

きっと豪邸も世話してもらえるだろう

猫はいつになったら海外に行けるの？
もうあきらめた？

ｋ

虚偽申請の責任を説明してください

補題 393
A を可換環とする。
I、J_1、J_2 を A のイデアルで、 I + J_1 = A、I + J_2 = A とする。
このとき、I + (J_1)(J_2) = A

証明
A = (I + J_1)(I + J_2) = I^2 + I(J_2) + (J_1)I + (J_1)(J_2) ⊂ I + (J_1)(J_2)
よって、I + (J_1)(J_2) = A
証明終

>>77
虚偽院生の意義を説明してください。

猫

補題 394
A を可換環とする。
I、J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、 I + J_i = A、i = 1、．．．、n とする。
このとき、I + (J_1)．．．(J_n) = A

証明
n に関する帰納法を使えば n = 2 の場合(>>78)に帰着する。
証明終

>>75
自分より偉い人に嫉妬スルのは無意味ですね。深谷さん程の大数学者を
欲しがる場所がアルのは当然の事です。加えてそういう立派な研究者が
変な場所で毒まみれになるのは非常に勿体無い事ですから、だから数学
の進歩の為にもその結論は非常に喜ばしい事だと思います。

でもまあ国内・国外を問わずで、あの人もこの人もでは大変な事ですね。

猫

>>75
私はまだ国内に残って２ちゃんを焼き払うという役目が残っているので。

猫

命題 395(中国の剰余定理)
A を可換環とする。
J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、 i ≠ k のとき J_i + J_k = A とする。
a_1、．．．、a_n を A の任意の元の列とする。
このとき x ≡ a_i (mod J_i)、i = 1、．．．、n となる x ∈ A がある。

証明
>>80より、各 i に対して J_i + Π{J_k； k ≠ i} = A である。
よって、>>66より
e_i ≡ 1 (mod J_i)
e_i ≡ 0 (mod J_k)、k ≠ i
となる e_i ∈ A がある。
x = (a_1)(e_1) + ．．．+ (a_n)(e_n) とおけばよい。
証明終

>>75
外から攻撃をされるよりも、内部から焼き払われる方がキツいと思うので。

猫

補題 396
A を可換環とする。
I と J を A のイデアルで、 I + J = A とする。
このとき、I ∩ J = IJ である。

証明
IJ ⊂ I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ JI + IJ = IJ
よって、I ∩ J = IJ である。
証明終

補題 397
A を可換環とする。
J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、i ≠ k のとき J_i + J_k = A とする。
このとき、J_1∩．．．∩J_n = (J_1)．．．(J_n) である。

証明
n に関する帰納法を使えば n = 2 の場合(>>85)に帰着する。
証明終

命題 398
A を可換環とする。
J_1、．．．、J_n を A のイデアルで、 i ≠ k のとき J_i + J_k = A とする。
(A/J_1)×．．．×(A/J_n) を環の直積とする。
各 i に対して π_i：A → A/J_i を標準の準同型とする。
写像 f：A → (A/J_1)×．．．×(A/J_n) を f(x) = (π_1(x)、．．．、π_n(x)) で定義する。
このとき f は環の全射準同型であり、
同型：A/(J_1)．．．(J_n) → (A/J_1)×．．．×(A/J_n) を引き起こす。

証明
明らかに f は環の準同型である。
中国の剰余定理より f は全射である。
f の核は J_1∩．．．∩J_n であるが、>>86よりこれは (J_1)．．．(J_n) に等しい。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

命題 399
A_1、．．．、A_n を必ずしも可換とは限らない環とする。
B = (A_1)×．．．×(A_n) を環の直積とする。
このとき、B^* (part1の522)は群として (A_1)^*×．．．×(A_n)^* に同型である。

証明
自明である。

命題 400
Z を有理整数環とする。
n ≧ 2 を有理整数とし p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数の全体とする。
n = Π(p_i)^m_i、i = 1、．．．、r とする。
このとき剰余環 Z/nZ は ΠZ/((p_i)^m_i)Z に同型である。

証明
i ≠ k のとき (p_i)^(m_i) と (p_k)^(m_k) は互いに素であるから
((p_i)^m_i)Z + ((p_k)^m_k)Z = Z である。
よって、>>87より Z/nZ は ΠZ/((p_i)^m_i)Z に同型である。
証明終

命題 401
Z を有理整数環とする。
n ≧ 2 を有理整数とし p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数の全体とする。
n = Π(p_i)^m_i、i = 1、．．．、r とする。
このとき (Z/nZ)^* は Π(Z/((p_i)^m_i)Z)^* に同型である。

証明
>>89と>>88による。

命題 402
Z を有理整数環とする。
n ≧ 2 を有理整数とし p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数の全体とする。
n = Π(p_i)^m_i、i = 1、．．．、r とする。
このとき |(Z/nZ)^*| = Π((p_i)^(m_i - 1))(p_i - 1)

証明
>>90と>>53による。

虚偽申請で税金を詐取しようとした人の責任はどうなりましたか？

無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
クマは泣いているよ　言わないであげてね　ほんとのことをｗ

化け物に等しきβチョンとその飼い主仙石の努力にもかかわらず癩病を発して、今や腐肉と化した醜い総身から
血膿と汚臭を四周に放ちつつ、なおも歩き回っているという。
もともと悪臭紛々たる存在が更に一層堪えがたい肉塊の怪物と成り果てているとか。
ゆめゆめ傍には近寄ること無きように老婆心ながら御注意いたしおくもの也。
おぞましや　かったいチョンの　βチョン
以前から人前での尿漏れや脱糞、放屁はβチョンにとっては平常、当たり前の所業と
なっていたようだけれど・・・

1/l+1/m+1/n=1・・・�@, 　l≦m≦n・・・�A　(ｌｍｎは正の整数）

でl=1,2,3 というところまでわかっています。
で、

l=1のとき、
�@⇔1/m+1/n=0

これを満たすｍ、ｎはない。

となってるのですが、これを満たすｍ、ｎがないとわかるのはなぜですか？

f(x),g(x),h(x)を[a,b]で連続、（a,b）で微分可能な関数とする。
｜f(a) g(a) h(a)｜
｜f(b) g(b) h(b)｜を微分せよ
｜f(x) g(x) h(x)｜
また
｜f(a) g(a) h(a)｜
｜f(b) g(b) h(b)｜を満たすc(a<c<b）の存在をいえ
｜f(c) g(c) h(c)｜
前半は、あってるかはわかりませんが、出来ました。後半は何か、定理を使えばいいのはわかるのですが、何を使えばいいのかわかりません。

性犯罪者には、敗者復活戦の機会を与えるべきではないでしょう。
特に教育現場に、性犯罪者を復帰させるべきではない

１、2、．．．、p^n は Z/(p^n)Z の完全代表系である。
１、2、．．．、p^n の中で p の倍数は p^(n-1) 個ある。
よって、この中で p で割れないものの個数は p^n - p^(n-1) = (p^(n-1))(p - 1)
よって、|(Z/(p^n)Z)^*| = (p^(n-1))(p - 1)

虚偽申請で税金を詐取しようとした人の責任はどうなりましたか？

数学コンプは哀れだね。
Kummerが羨ましぃ〜んってかｗ

虚偽院生として数学を崩壊させた人達の責任はどうなりましたか？

猫

>>100

Kummer自演乙w

なんで数年前にリジェクトされた論文を、アクセプトと書いたのでしょうか？

これがチェックミスと言っていますが、５０本も論文があって
プレプリントも１０本もあるなら、その言い分のごく僅かですが
分かります。

数本しかない論文でチェックミスも糞もないですよね？＞猫

無職のクンマーは勤労と納税の義務を果たしていません。こんなところに
本を書き写すことをせず、道路に落ちた落ち葉を掃いて来るととか
少しは世のためになることをやったらどうでしょうか？

231 名前：猫と２ちゃんの品格 ◆MuKUnGPXAY ：2011/11/22(火) 15:37:49.72
>>230
いいや、サッサと自発的に消滅するという程度の責任ならば取れる筈です。
そして何よりも大切な事は『真面目に数学をしている人達の邪魔をしない』
という大原則を守る事です。

猫

そうですね＞猫

虚偽申請した教員は消滅するべきですね？　辞職はいつになりますか？

加藤和也さんに続いて深谷さんまでアメリカに行ってしまうと
若手を指導して育てるのに支障はないのでしょうか？

無職でアホなクンマーを２ちゃんねるから追放します。

>>103
どんな人にでもミステイクはあります。もしソレがミスではないという
主張を貴方がスルのであれば、ならば貴方が自分で『ソレがミスではな
いという証拠を提出すべき』ですね。

証拠が無い事に関して文句を言うのはルール違反ですね。

猫

>>108

故意ではないという証拠はあるんですか？

猫先生はコーネル大学のプレプリントサーバーにご自分の論文を
載せたことがありますか？

>>106
そういう事が心配にナルのは誰でも同じでしょう。でもソレは明らかに
『出て行かれた方の責任』だと私は思います。とても残念ですが。

猫

バカで無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
クマは泣いているよ　言わないであげてね　ほんとのことをｗ

>>111

アメリカの大学教授は、一流大学でしかも契約内容如何では
年棒が４０００万円弱くらいになるらしいです。

行かれた方の責任とまではいえないでしょう？
これだけを京大は出せませんから

>>109
そうではありません。故意であるという証拠が無ければ罰する事は出来ません。
疑わしきを全て罰したら無茶苦茶になります。

猫

おい　クマ　出てこいよw
見ているんだろw
涙ふけよw

>>114 故意ではないという証拠を提示して下さい。

リジェクトの文書は受け取っていなかったのですか？　数年前に

自称貴族の池沼クマー

>>113
そうですか。でも良い条件があれば移動するのは『その人の勝手』です。
もし私であれば給料が半分になっても脱出を選びますけどね。条件は必
ずしも給料の金額だけではないので。

猫

>>118

大学在職中に、年棒が半分とかでも申し込みを相手先に拒否されたんですか？

命題 403
n ≧ 1 を整数とし、Ω(part1の82)の標数が 0 か n の各素因数より大きいとする。
part1の516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を含む。
このとき、K(ζ)/K は強正則な準可解拡大(>>38)である。

証明
part1の523より、K(ζ)/K はGalois拡大であり、そのGalois群は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
>>91より |(Z/nZ)^*| の各素因数は n の最大の素因数以下である。
よって、K(ζ)/K は強正則(>>34)なGalois拡大である。
そのGalois群はAbel群だから可解群(part1の550)である。
よって、K(ζ)/K は強正則な準可解拡大である。
証明終

>>116
故意ではないという証拠の提出は不必要。

猫

おい　クマ　出てこいよw
見ているんだろw
涙ふけよw

クマは２ちゃんだけが生き甲斐だったのだ

俺は偉大な数学者だと・・・・
そしてひたすら本を移すことをやっているのだ
それは自尊心のだめだ

他の人がクマを数学者として評価してくれている　
そんなおとぎ話が彼の脳を支配していたw

>>121 状況証拠から故意ですね

命題 404
強正則(>>51)な単冪根拡大(part1の512)は強正則な準可解拡大(>>38)である。

証明
L/K を強正則な単冪根拡大拡大とする。
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L がある。
ここで、Ω(part1の82)の標数は 0 か n の各素因数より大きい。
α^n = a とし、X^n - a の K 上の最小分解体(part1の149) を E とする。
E は L/K のGalois閉包(part1の569)である。
part1の516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を持つ。
part1の542の証明で示したように E = K(α、ζ) である。
>>120より、K(ζ)/K は強正則な準可解拡大である。
一方、K(α、ζ)/K(ζ) はpart1の525より巡回拡大(part1の491)であり、
そのGalois群の位数は n の約数である。
よって、K(α、ζ)/K(ζ) は強正則な準可解拡大である。
よって、>>50より K(α、ζ)/K は強正則な準可解拡大である。
よって、L/K も強正則な準可解拡大である。
証明終

命題 405
強正則(>>52)な冪根拡大(part1の513)は強正則な準可解拡大(>>38)である。

証明
>>125と>>50により明らかである。
証明終

嫉妬深い奴やなｗ

>>127

自演乙　

おい　無職の低脳クマ　出てこいよw
見ているんだろw
涙ふけよw

>>129
コラ、叩くゾ。

猫

性犯罪者に用はない

>>131
でもコチラからは用があるから仕方が無い。諦めて下さいまし。

猫

おばかな無職　クマー　おいでよw

>>133
おばかな無職は熊氏ではなくてワシや。

猫

定義 406
L/K を拡大(part1の82)とする。
正則(part1の585)な冪根拡大(part1の513) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を正則に冪根可解と言う。

定義 407
L/K を拡大(part1の82)とする。
強正則(>>52)な冪根拡大(part1の513) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を強正則に冪根可解と言う。

池沼低脳無職のクマーの自己満足スレはここですかw？

おい　クマ　出てこいよw
見ているんだろw
涙ふけよw

無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e 無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e
クマは泣いているよ　言わないであげてね　ほんとのことをｗ

Kummer ◆SgHZJkrsn08e

おまえの自演、おもしろいから待ってるぜw
バカアホクマ

命題 408
L/K を正則な単冪根拡大(part1の582)とする。
F を任意の体(part1の82)とする。
このとき、FL/FK は正則な単冪根拡大である。

証明
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L がある。
ここで、n ≧ 1 は Ω(part1の82)の標数(で割れない整数である。
FL = FK(α) である。
α^n ∈ K ⊂ FK(α) であるから FL/FK は正則な単冪根拡大である。
証明終

Kummer ◆SgHZJkrsn08e 　低脳クマ、職探しをしてこい

低脳クマー　アホちんw

Kummer ◆SgHZJkrsn08e

おまえの自演、おもしろいから待ってるぜw

クマは２ちゃんだけが生き甲斐だったのだ

俺は偉大な数学者だと・・・・
そしてひたすら本を移すことをやっているのだ
それは自尊心のだめだ

他の人がクマを数学者として評価してくれている　
そんなおとぎ話が彼の脳を支配していたw

Kummer ◆SgHZJkrsn08e

命題 409
L/K を強正則な単冪根拡大(>>51)とする。
F を任意の体(part1の82)とする。
このとき、FL/FK は強正則な単冪根拡大である。

証明
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L がある。
ここで、n ≧ 1 は整数で Ω(part1の82)の標数は 0 か n の各素因数より大きい。
FL = FK(α) である。
α^n ∈ K ⊂ FK(α) であるから FL/FK は強正則な単冪根拡大である。
証明終

命題 410
L/K を正則に冪根可解(>>135)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ正則に冪根可解である。

証明
正則な冪根拡大(part1の585) E/K があり L ⊂ E となる。
M ⊂ E だから M/K は正則に冪根可解である。

E/K は正則な冪根拡大だから、
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = E となる体(part1の82)の増大列がある。
ここで、各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n は正則な単冪根拡大(>>582)である。
M = MK_0 ⊂ MK_1 ⊂ ．．．⊂ MK_n = E において
>>141より各 MK_i/MK_(i-1) は正則な単冪根拡大である。
よって、E/M は正則な冪根拡大である。
よって、L/M は正則に冪根可解である。
証明終

命題 411
M/K と L/M を正則に冪根可解(>>135)とする。
このとき、L/K は正則に冪根可解である。

証明
M/K は正則な冪根拡大だから、正則な冪根拡大(part1の585) F/K があり M ⊂ F となる。
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_m = F となる体(part1の82)の増大列がある。
ここで、各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、m は正則な単冪根拡大(>>582)である。

L/M は正則な冪根拡大だから、正則な冪根拡大 E/M があり L ⊂ E となる。
M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ．．．⊂ M_n = E となる体の増大列がある。
ここで、各 M_i/M_(i-1)、i = 1、．．．、n は正則な単冪根拡大である。

F = FM_0 ⊂ FM_1 ⊂ ．．．⊂ FM_n = FE となる体の増大列がある。
>>141より各 FM_i/FM_(i-1) は正則な単冪根拡大である。
よって、FE/F は正則な冪根拡大である。
F/K は正則な冪根拡大であるから FE/K は正則な冪根拡大である。
L ⊂ E ⊂ FE だから L/K は正則に冪根可解である。
証明終

命題 412
L/K を正則に冪根可解(>>135)とする。
任意の拡大(part1の82) F/K に対して FL/F は正則に冪根可解である。

証明
正則な冪根拡大(part1の585) E/K があり L ⊂ E となる。
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = E となる体(part1の82)の増大列がある。
ここで、各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n は正則な単冪根拡大(>>582)である。
F = FK_0 ⊂ FK_1 ⊂ ．．．⊂ FK_n = FE となる体の増大列がある。
>>141より各 FK_i/FK_(i-1)、i = 1、．．．、n は正則な単冪根拡大である。
よって、FE/F は正則な単冪根拡大である。
FL ⊂ FE だから FL/F は正則に冪根可解である。
証明終

命題 413
正則に冪根可解(>>135)な拡大全体の集合は正則(part1の136)である。

証明
>>147と>>148と>>149より明らかである。

命題 414
L/K を強正則に冪根可解(>>136)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ強正則に冪根可解である。

証明
>>141の代わりに>>146を使うことを除けば>>147の証明とまったく同じである。

命題 415
M/K と L/M を強正則に冪根可解(>>136)とする。
このとき、L/K は強正則に冪根可解である。

証明
>>141の代わりに>>146を使うことを除けば>>148の証明とまったく同じである。

命題 416
L/K を強正則に冪根可解(>>136)とする。
任意の拡大(part1の82) F/K に対して FL/F は強正則に冪根可解である。

証明
>>141の代わりに>>146を使うことを除けば>>149の証明とまったく同じである。

命題 417
強正則に冪根可解(>>136)な拡大全体の集合は正則(part1の136)である。

証明
>>151と>>152と>>153より明らかである。

命題 418(Galoisの主定理 version 1)
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。

1) L/K が正則に冪根可解(>>135)であれば G(L/K) (part1の251)は可解である。

2) L/K が正則な準可解拡大(>>12)であれば L/K は正則に冪根可解である。

証明
1) L/K が正則に冪根可解であるとする。
正則な冪根拡大(part1の585) E/K があり L ⊂ E となる。
part1の586より E/K は準可解拡大(part1の574)である。
>>581より L/K は準可解拡大である。
>>575より G(L/K) は可解である。

2) L/K が正則な準可解拡大であるとする。
>>14より L/K は正則(>>11)なGalois拡大で G(L/K) は可解である。
part1の804より L/K は正則に冪根可解である。
証明終

命題 419
L/K を強正則(>>34)なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解であるとする。
このとき、L/K は強正則に冪根可解(>>136)である。

証明
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_r = {1} を G の組成列とする。
G は可解群だから>>564より
各 G_(i-1)/G_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 G_i、i = 0、．．．、r の固定体(>>483)を K_i とする。
part1の451とpart1の473とpart1の475より
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L であり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大(part1の491)である。
その次数は n の素因数である。
p_1、．．．、p_s を n の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
part1の503より 各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) はGalois拡大であり、
part1の505より、そのGalois群は K_i/K_(i-1) のGalois群の部分群に同型である。
よって、各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は 0 次または素数次の巡回拡大である。
よって、part1の756より各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は強正則な単冪根拡大(>>51)である。
K ⊂ K(ζ) ⊂ K_1(ζ) ⊂ ．．．⊂ K_r(ζ) = L(ζ) であり、
K(ζ)/K は強正則な単冪根拡大である。
よって、L(ζ)/K は強正則な冪根拡大である。
L ⊂ L(ζ)/K だから L/K は強正則に冪根可解(>>136)である。
証明終

命題 420(Galoisの主定理 version 2)
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
L/K が強正則に冪根可解(>>136)であるためには
L/K が強正則な準可解拡大(>>38)であることが必要十分である。

証明
必要性：
L/K が強正則に冪根可解であるとする。
強正則な冪根拡大(>>52) E/K があり L ⊂ E となる。
>>126より E/K は強正則な準可解拡大である。
>>50より L/K は強正則な準可解拡大である。

十分性：
L/K が強正則な準可解拡大であるとする。
>>40より L/K は強正則(>>34)なGalois拡大で G(L/K) は可解である。
>>156より L/K は強正則に冪根可解である。
証明終

定義 421
p を素数とする。
K を体(part1の82)とし、a ∈ K を X^p - a が K[X] で既約となるような元とする。
α を X^p - a の Ω(part1の82) における根の一つとする。
このとき、K(α)/K を素冪根単純拡大(part1の512)と呼ぶ。

>>158の修正

定義 421
p を素数とする。
K を体(part1の82)とし、a ∈ K を X^p - a が K[X] で既約となるような元とする。
α を X^p - a の Ω(part1の82) における根の一つとする。
このとき、K(α)/K を素冪根単純拡大と呼ぶ。

定義 422
L/K を素冪根単純拡大(>>159)とする。
[L : K] (>>87)が Ω(part1の82)の標数と異なるとき、
L/K を正則な素冪根単純拡大と呼ぶ。

定義 423
L/K を素冪根単純拡大(>>159)とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 または [L : K] (>>87)より大きいとき、
L/K を強正則な素冪根単純拡大と呼ぶ。

定義 424
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が素冪根単純拡大(>>159)であるとき
L/K を素冪根拡大と呼ぶ。

定義 425
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が正則な素冪根単純拡大(>>160)であるとき
L/K を正則な素冪根拡大と呼ぶ。

定義 426
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が強正則な素冪根単純拡大(>>161)であるとき
L/K を強正則な素冪根拡大と呼ぶ。

強正則なんて初めて聞いた。
文献は？

命題 427
p を Ω(part1の82)の標数と異なる素数とする。
>>516より、Ω は 1 の原始 p 乗根(>>520) ζ を持つ。
K を体(>>82)とする。
α ∈ Ω を α^p ∈ K となる元とする。
α^p = a とおく。
このとき、以下のどれかが起きる。

1) X^p - a は K[X] で既約である。即ち K(α)/K は次数 p の正則な素冪根単純拡大(>>160)である。

2) K(α) = K(ζ)

3) K(α) = K

証明
X^p - a が K[X] で既約なら K(α)/K は次数が p の正則な素冪根単純拡大である。

X^p - a が K[X] で既約でないとする。
>>530より b^p = a となる b ∈ K がある。
このとき、X^p - a の Ω における根の全体は b、bζ、．．．、bζ^(p-1) である。
よって、α はこのどれかに等しい。
α = b のとき、K(α) = K である。
α = bζ^i、1 ≦ i ≦ p - 1 のとき ζ^i は 1 の原始 p 乗根(>>520)であるから
K(α) = K(bζ^i) = K(ζ^i) = K(ζ) である。
証明終

>>165
私が勝手に名付けた。
何かの文献を写してるわけじゃないので。

なるほど。
それは興味深い。

>>167
お前、ナメとん？しばくぞ

定義 428
n ≧ 1 を整数とする。
n がΩ(part1の82)の標数で割れないとき n をΩ-正則な整数と言う。
誤解の恐れがないとき n を正則な整数と言う。

定義 429
n ≧ 1 を整数とする。
Ω(part1の82)の標数が 0 か n の各素因数より大きいとき n をΩ-強正則な整数と言う。
誤解の恐れがないとき n を強正則な整数と言う。
1 は強正則な整数と見なす。

池沼で無職のクマは２ちゃんだけが生き甲斐だったのだ

俺は偉大な数学者だと・・・・
そしてひたすら本を移すことをやっているのだ
それは自尊心のだめだ

他の人がクマを数学者として評価してくれている　
そんなおとぎ話が彼の脳を支配していたw

命題 430
L/K を正則な単冪根拡大(part1の582)とする
このとき、体(part1の82)の増大列 K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ Kr = L があり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は次のどれかである。

1) 正則な素冪根単純拡大(>>160)
2) K_i は K_(i-1) 上の正則(>>170)な素数位数の円分体(part1の521)
3) K_i = K_(i-1)

証明
正則(>>170)な整数 n と L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L がある。
n = 1 のときは自明だから n ≧ 2 とする。
n = (p_1)．．．(p_r) とする。ここで、各 p_i は素数である。
p_1、．．．、p_r の中には同じ素数の重複があっても良い。
β_r = α
β_(r-i) = α^((p_1)．．．(p_i))、i = 1、．．．、r とおく。
このとき、(β_i)^(p_(r-i+1)) = β_(i-1)、i = 1、．．．、r である。
K_0 = K
K_i = K_(i-1)(β_i)、i = 1、．．．、r とおく。

L = K(α) だから各 β_i ∈ L、i = 0、．．．、r である。
よって、各 K_i ⊂ L、i = 0、．．．、r であり、
K_r = K_(r-1)(β_r) = K_(r-1)(α) = L である。

よって、体の増大列：K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L が得られる。
(β_i)^(p_(r-i+1)) = β_(i-1) ∈ K_(i-1)、i = 1、．．．、r であり、
各 p_(r-i+1)、i = 1、．．．、r は正則な素数である。
よって、>>166より各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は上記の 1)、2)、3) のどれかである。
証明終

お前は嫉妬に叩きに走ってるだけだろ。

命題 431
L/K を強正則な単冪根拡大(>>51)とする
このとき、体(part1の82)の増大列 K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ Kr = L があり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は次のどれかである。

1) 強正則な素冪根単純拡大(>>161)
2) K_i は K_(i-1) 上の強正則(>>171)な素数位数の円分体(part1の521)
3) K_i = K_(i-1)

証明
>>173と同様である。

定義 432
L/K を拡大(part1の82)とする。
正則な素冪根拡大(>>163) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を正則に素冪根可解と言う。

定義 433
L/K を拡大(part1の82)とする。
強正則な素冪根拡大(>>164) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を強正則に素冪根可解と言う。

定義 434
L/K を拡大(part1の82)とする。
L = K のとき L/K を自明な拡大と呼ぶ。

>>174

クマーの自演乙w

バカにつける薬はないねw

Kummer ◆SgHZJkrsn08e

おまえの自演、おもしろいから待ってるぜw

池沼で無職のKummer ◆SgHZJkrsn08e は２ちゃんだけが生き甲斐だったのだ

俺は偉大な数学者だと・・・・
そしてひたすら本を移すことをやっているのだ
それは自尊心のだめだ

他の人がクマを数学者として評価してくれている　
そんなおとぎ話が彼の脳を支配していたw

河野明（自称、森重文君の親友）の研究活動について

http://mathsci.doshisha.ac.jp/2008intro/geometry/index.html
趣味は海外旅行と料理です。Aberdeenに滞在中には多くのスコッチウイスキーの
蒸留所を訪れました。またその後もたびたびBarcelona、Aberdeenなどを研究の
ために訪問しています。最近はポーランド、チェコ、フィンランドにも共同研究者が
ありそこを訪問する機会も多いです。ANAマイレージサービスのゴールドメンバーです。

135 名前：１３２人目の素数さん ：2011/11/23(水) 13:16:37.39
>>134

公費出張でマイレージのゴールドメンバーw

税金が原資なのにそんなことを書くのは愚かだなw
国家公務員キャリアは出張の際にマイレージを入れられないことになっているのだが

140 名前：135 ：2011/11/23(水) 13:29:01.36
国家公務員は出張をマイレージに登録出来ないのに
京都大学の教員はみなし公務員だからマイルを貯めたw

で自分んがさも国際的に活躍しているという自慢話でゴールドメンバーだと
書いてしまったw　ほんとにアホだねw

同志社のポストは丸山さんのだよねw

池沼で無職のKummer ◆SgHZJkrsn08e は２ちゃんだけが生き甲斐だったのだ
Kummer ◆SgHZJkrsn08e

おまえの自演、おもしろいから待ってるぜw

命題 435
L/K を正則な素冪根単純拡大(>>160)とする。
p = [L : K] とする。
p は Ω(part1の82)の標数と異なるから、
part1の516より、Ω は 1 の原始 p 乗根(part1の520) ζ を持つ。
F を ζ を含む任意の体(part1の82)とする。
このとき、FL/FK は自明な拡大(>>178)または p 次の(従って正則)な素冪根単純拡大(>>159)である。

証明
L = K(α)、α^p ∈ K となる α ∈ K がある。
FL = FK(α) であり、α^p ∈ K ⊂ FK である。
part1の525より、FL/FK は巡回拡大(part1の491)であり、
[FL : FK] は p の約数である。
よって、FL/FK は自明な拡大であるか p 次の巡回拡大である。
FL/FK が p 次の巡回拡大であるとする。
α^p = a とすると X^p - a は α の FK 上の最小多項式(part1の116)である。
よって、X^p - a は K[X] において既約である。
よって、FL/FK は自明な拡大または p 次の素冪根単純拡大である。
証明終

元捜査一課長・田宮榮一氏のプロファイリング

・10代〜20代、もしくは30代〜40代、または50代?60代の人物。
・日本人あるいは外国人の男性もしくは女性。
・計画的な犯行でなければ突発的な犯行の可能性。
・精神病院への通院歴がある。ただし必ずしもそうとは言えない。
・無職である可能性が高いが学生もしくは何らかの職についている可能性もある。
・単独犯もしくは複数で犯行を行っている。
・怨恨もしくは突発的な犯行。

ずばりいえば、犯行時に一番近くにいた人間が犯人である

Kummer ◆SgHZJkrsn08e

おまえの自演、おもしろいから待ってるぜw

池沼で無職のKummer ◆SgHZJkrsn08e は２ちゃんだけが生き甲斐だったのだ

>>荒らし
何故数学板で数学の書き込みを邪魔する？

クマ　ここに来なさい

命題 436
G を位数 n の巡回群とする。
m を G の約数とすると G は位数 m の元を持つ。

証明
n = mk とする。
σ を G の生成元とする。
τ = σ^k とおく。
τ^m = (σ^k)^m = σ^(km) = σ^n = 1
よって、m は τ の位数の倍数である。

τ^r = 1 とする。
τ^r = (σ^k)^r = σ^(kr) = 1
よって、kr は n = km で割れる。
よって、r は m で割れる。
特に、τ の位数 は m の倍数である。
よって、m は τ の位数である。
証明終

>>190
どこの代数の教科書にでも書いてあることで
サーバーの負荷をかけるなよ　アホだなおまえ
迷惑も考えずにw

命題 437
L/K を正則な素冪根拡大(>>163)とする。
n = [L : K] とする。
p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_r) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
F を ζ を含む任意の体(part1の82)とする。
このとき、FL/FK は正則な素冪根拡大であり、[FL : FK] は n の約数である。

証明
体(part1の82)の増大列 K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L があり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n は正則な素冪根単純拡大(>>160)となる。
n = Π[K_i : K_(i-1)] であるから 各 [K_i : K_(i-1)] は p_1、．．．、p_r のどれかである。
よって、>>190より F は各 i = 1、．．．、n に対して 1 の原始 [K_i : K_(i-1)] 乗根を含む。
よって、>>184より FK_i/FK_(i-1)は自明な拡大(>>178)または
[K_i : K_(i-1)] 次の素冪根単純拡大(>>159)である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

命題 438
L/K を強正則な素冪根拡大(>>164)とする。
n = [L : K] とする。
p_1、．．．、p_r を n の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_r) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
F を ζ を含む任意の体(part1の82)とする。
このとき、FL/FK は強正則な素冪根拡大であり、[FL : FK] は n の約数である。

証明
>>192より FL/FK は正則(>>163)な素冪根拡大であり、[FL : FK] は n の約数である。
よって、FL/FK は強正則な素冪根拡大である。
証明終

>>156
>よって、各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は 0 次または素数次の巡回拡大である。

よって、各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は 1 次または素数次の巡回拡大である。

命題 439
K を体(part1の82)とする。
n を強正則(>>171)な整数とする。
このとき、K 上の位数 n の円分体(part1の521) L は強正則に素冪根可解(>>177)である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
part1の516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を持つ。
L = K(ζ) である。
part1の523より、L/K はGalois拡大であり、
そのGalois群 G(L/K) は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
よって、|G(L/K)| は |(Z/nZ)^*| の約数である。
>>91より |(Z/nZ)^*| の各素因数は n の最大の素因数以下である。
よって、|G(L/K)| は強正則(>>171)である。
G(L/K) はAbel群だから可解群(part1の550)である。
よって、>>156の証明と同様に、体の列 K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L があり
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大(part1の491)である。
各 [K_i : K_(i-1)] は |G(L/K)| の素因数である。
p_1、．．．、p_s 　を |G(L/K)| の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、η を 1 の原始 m 乗根とする。
各 K_i(η)/K_(i-1)(η) は 1 次または素数次の巡回拡大である。
よって、各 K_i(η)/K_(i-1)(η) は自明な拡大(>>178)か
part1の756より強正則な素冪根単純拡大(>>161)である。
よって、L(η)/K(η) は強正則な素冪根拡大(>>164)である。
一方、m ≦ |G(L/K)| ≦ |(Z/nZ)^*| ＜ n
よって帰納法の仮定より強正則な素冪根拡大(>>164) E/K があり K(η) ⊂ E となる。
>>193より EL(η)/EK(η) = EL/EK = EL/E は強正則な素冪根拡大である。
よって、EL/K は強正則な素冪根拡大である。
L ⊂ EL だから L/K は強正則に素冪根可解(>>177)である。
証明終

>>156
>その次数は n の素因数である。

その次数は n = [L : K] の素因数である。

>>Kummer
被災者の方に対して、何か言うことはありませんかね？

>>数学コンプ
虚しくないのですかね？

>>198
謝罪せよ

>>199
謝罪するのはオマエや。

猫

>>200
違います。謝罪するのはKummerです。
私は数学を愛しているから『こそ』、Kummerの数学的間違い（＝冒涜）を許すことができないゆえに、謝罪を要求しているのです。

命題 440
L/K を正則(>>170)な素数を次数とする巡回拡大(part1の491)とする。
p = [L : K] とする。
part1の516より、Ω は 1 の原始 p 乗根(part1の520) ζ を持つ。
このとき、L(ζ)/K(ζ) は自明な拡大(>>178)または
p 次の正則な素冪根単純拡大(>>160)である。

証明
part1の503より L(ζ)/K(ζ) はGalois拡大であり、
part1の505より、そのGalois群は L/K のGalois群の部分群に同型である。
よって、L(ζ)/K(ζ) は自明な拡大または p 次の巡回拡大である。
L(ζ)/K(ζ) が p 次の巡回拡大の場合は、
>>756より L(ζ) = K(ζ)(α) かつ α^p ∈ K(ζ) となる α が存在する。
[L(ζ) : K(ζ)] = p だから α^p = a ∈ K(ζ) とすると
X^p - a は α の K(ζ) 上の最小多項式(part1の116)である。
よって、X^p - a は K(ζ)[X] において既約である。
よって、L(ζ)/K(ζ) は p 次の素冪根単純拡大である。
証明終

>>202
この命題は正則な素冪根単純拡大の定義(>>160)とともに
>>156の前に持ってきた方が良かったかもしれない。

バカアホクマ
自演はまだ〜〜〜？

おまえの自演はおもろいでw

クマ

おまえ職をさがせよw
夜中も昼間もここで無駄なことを書き込んで時間つぶしかよw

勤労と納税の義務を果たしなさい

>>202は次のように拡張して述べたほうが良かった。

命題 441
L/K を正則(>>170)な素数を次数とする巡回拡大(part1の491)とする。
p = [L : K] とする。
part1の516より、Ω は 1 の原始 p 乗根(part1の520) ζ を持つ。
F/K を拡大(part1の82)とし、ζ ∈ F とする。
このとき、FL/F は自明な拡大(>>178)または
p 次の正則な素冪根単純拡大(>>160)である。

証明
part1の503より FL/F はGalois拡大であり、
part1の505より、そのGalois群は L/K のGalois群の部分群に同型である。
よって、FL/F は自明な拡大または p 次の巡回拡大である。
FL/F が p 次の巡回拡大の場合は、
part1の756より FL = F(α) かつ α^p ∈ F となる α が存在する。
[FL : F] = p だから α^p = a とすると
X^p - a は α の F 上の最小多項式(part1の116)である。
よって、X^p - a は F[X] において既約である。
よって、FL/F は p 次の素冪根単純拡大である。
証明終

>>198

自演乙w

無職低能Kummer ◆SgHZJkrsn08eが
顔真っ赤にして悔しがってるのを想像すると酒がうまい。

バカアホクマ
自演はまだ〜〜〜？
おまえの自演はおもろいでw

命題 442(>>156の強化)
L/K を強正則(>>34)なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解であるとする。
このとき、L/K は強正則に素冪根可解(>>177)である。

証明
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_r = {1} を G の組成列とする。
G は可解群だからpart1の564より
各 G_(i-1)/G_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 G_i、i = 0、．．．、r の固定体(part1の483)を K_i とする。
part1の451と473と475より
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L であり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大である。
その次数は n の素因数である。
p_1、．．．、p_s を [L : K] の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
>>195より K(ζ)/K は強正則に素冪根可解(>>177)である。
即ち、強正則な素冪根拡大(>>164) F/K があり K(ζ) ⊂ F となる。
>>190より F は 1 の原始 p_k 乗根(k = 1、．．．、s)を含む。

K ⊂ F = FK_0 ⊂ FK_1 ⊂ ．．．⊂ FK_r = FL を考える。

各 i = 1、．．．、r に対して (FK_(i-1))K_i = FK_i
よって、>>206を K_i/K_(i-1) と FK_(i-1)/K_(i-1) に適用すると
FK_i/FK_(i-1) は自明な拡大(>>178)または
次数が [K_i : K_(i-1)] の正則な素冪根単純拡大(>>160)である。
[K_i : K_(i-1)] は強正則(>>171)だから、
これは強正則な素冪根単純拡大(>>161)である。
よって、FL/F は強正則な素冪根拡大(>>164)である。
よって、FL/K は強正則な素冪根拡大である。
よって、L/K は強正則に素冪根可解である。
証明終

ガロクマ支援

ワシも徹底支援。

猫

無職には発言権ありません

>>213
いいでしょう。では貴方が責任を持って無職の私を排除しましょうね。
書き込みをお待ちして居りますのよ。オホホ〜ン。

猫

クマはサーバーに負荷をかけないようにしてください
自己満足のお勉強は自分のノートでね

クマともあろうお方がなぜに今更ガロワなのか？
類体論への布石としてなのか？

>>195と>>210の前に次の補題を用意したほうが良かった。

補題 443
L/K を正則(>>11)なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解であるとする。
p_1、．．．、p_s を |G| の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とする。
m は正則(>>170)であるから Ω(part1の82) は 1 の原始 m 乗根(part1の520) ζ を持つ。
F/K を拡大(part1の82)とし、ζ ∈ F とする。
このとき、[FL : F] は |G| の約数であり、FL/F は正則な素冪根拡大(>>163)である。

証明
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_r = {1} を G の組成列とする。
G は可解群だからpart1の564より
各 G_(i-1)/G_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 G_i、i = 0、．．．、r の固定体(part1の483)を K_i とする。
part1の451と473と475より
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L であり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大である。
part1の88より [L : K] = Π[K_i : K_(i-1)]、i = 1、．．．、r である。
仮定より、|G| = [L : K] は正則だから、各 [K_i : K_(i-1)] は正則(>>11)である。

F = FK_0 ⊂ FK_1 ⊂ ．．．⊂ FK_r = FL を考える。

各 i = 1、．．．、r に対して (FK_(i-1))K_i = FK_i
よって、FK_i/FK_(i-1) = (FK_(i-1))K_i/FK_(i-1)
よって、>>206を K_i/K_(i-1) と FK_(i-1)/K_(i-1) に適用すると
FK_i/FK_(i-1) は自明な拡大(>>178)または
次数が [K_i : K_(i-1)] の正則な素冪根単純拡大(>>160)である。
よって、[FL : F] は |G| = [L : K] の約数であり、FL/F は正則な素冪根拡大(>>164)である。
証明終

>>195の修正

命題 439
K を体(part1の82)とし、n を強正則(>>171)な整数とする。
このとき、K 上の位数 n の円分体(part1の521) L は強正則に素冪根可解(>>177)である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明であるから n ≧ 2 とする。
part1の516より、Ω(part1の82) は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を持つ。
L = K(ζ) である。
part1の523より、L/K はGalois拡大であり、
そのGalois群 G(L/K) は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
よって、|G(L/K)| は |(Z/nZ)^*| の約数である。
>>91より |(Z/nZ)^*| の各素因数は n の最大の素因数以下である。
よって、|G(L/K)| は強正則(>>171)である。
G(L/K) はAbel群だから可解群(part1の550)である。
p_1、．．．、p_s を |G(L/K)| の相異なる素因数全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、η を 1 の原始 m 乗根とする。
m ≦ |G(L/K)| ≦ |(Z/nZ)^*| ＜ n
よって帰納法の仮定より強正則な素冪根拡大(>>164) F/K があり K(η) ⊂ F となる。
>>217より、[FL : F] は G(L/K) の約数であり、FL/F は正則な素冪根拡大(>>163)である。
[FL : F] は G(L/K) の約数であるから強正則(>>171)である。
よって、FL/F は強正則な素冪根拡大(>>164)である。
よって、FL/K は強正則な素冪根拡大である。
よって、L/K は強正則に素冪根可解である。
証明終

命題 444(Galoisの主定理 version 3)
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
L/K が強正則に素冪根可解(>>177)であるためには
L/K が強正則な準可解拡大(>>38)であることが必要十分である。

証明
必要性：
L/K が強正則に素冪根可解(>>177)であるとする。
L/K は強正則に冪根可解(>>136)であるから>>157より、
L/K は強正則な準可解拡大(>>38)である。

十分性：
L/K が強正則な準可解拡大(>>38)であるとする。
>>40より L/K は強正則(>>34)なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解である。
よって、>>210より L/K は強正則に素冪根可解(>>177)である。
証明終

Galoisの主定理(>>219)の鍵はpart1の756である。
これは次に述べる Hilbertの定理 90 と密接に関係する。

L/K を n 次の巡回拡大(part1の491)とする。
σ を G の生成元とする。
β ∈ L のとき、T = βσ とおく。
即ち T：L → L は写像で、任意の x ∈ L に対して T(x) = βσ(x) である。
T は K-線型写像である。
T(α) = α となる α ≠ 0 が存在するための条件を考える。

任意の x ∈ L に対して T^2(x) = βσ(βσ(x)) = βσ(β)σ^2(x)
即ち T^2 = βσ(β)σ^2
任意の整数 k ≧ 1 に対して T^k = βσ(β)．．．σ^k(β)σ^k
よって、β を βσ(β)．．．σ^(n-1)(β) = 1 となる L の元とすると
T^n = 1 である。
よって、S = 1 + T + ．．．+ T^(n-1) とおくと TS = S
一方、part1の751より 1、σ、．．．、σ^(n-1) は L 上１次独立であるから
S ≠ 0 である。
よって、S(θ) ≠ 0 となる θ ∈ L がある。
TS(θ) = S(θ) であるから α = S(θ) とおくと T(α) = α

このとき、α ≠ 0 だから σ(α) ≠ 0
よって、β = α/σ(α)

>>220はpart1の802の真似である。

定義 445
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
G をそのGalois群とする。
α ∈ L に対して Πσ(α)、σ ∈ G を α の L/K に関するノルムと言い、
N(α、L/K) と書く。
誤解の恐れのないときは N(α、L/K) を N(α) とも書く。

命題 446
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
このとき以下が成り立つ。

1) 任意の α ∈ L に対して N(α) (>>222) は K の元である。

2) α、β ∈ L のとき N(αβ) = N(α)N(β)

証明
1) 任意の τ ∈ G に対して τ(N(α)) = Πτσ(α)、σ ∈ G = N(α)
よって、Galois理論の基本定理(part1の451)より N(α) ∈ K である。

2) N(αβ) = Πσ(αβ)、σ ∈ G = Πσ(α)σ(β) = Πσ(α))Πσ(β) = N(α)N(β)
証明終

命題 447
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とし、G をそのGalois群とする。
任意の α ∈ L と任意の σ ∈ G に対して N(σ(α)) = N(α) (>>222)である。

証明
自明である。

クマ
無駄なことはやめませんか？

>>225
低能
無駄なことはやめませんか？

猫

Kummerは数学力が低いね
価値のない数学　くだらない数学　だめだよそれじゃ

命題 448(Hilbertの定理 90)
L/K を n 次の巡回拡大(part1の491)とする。
σ を G の生成元とする。
β ∈ L とする。
このとき、N(β) (>>222) = 1 となるためには
β = α/σ(α) となる L の元 α ≠ 0 が存在することが必要十分である。

証明
必要性：
N(β) = 1 とする。
N(β) = βσ(β)．．．σ^(n-1)(β) = 1
よって、>>220より β = α/σ(α) となる L の元 α ≠ 0 が存在する。

十分性：
β = α/σ(α) となる L の元 α ≠ 0 が存在するとする。
>>223と>>224より N(β) = N(α)/N(σ(α)) = N(α)/N(α) = 1
証明終

1893年にドイツ数学会はHilbertに代数的整数論の現状についての報告書を書くように依頼した。
1896年にHilbertはその報告書「代数的整数の理論について」
(Die Theorie der algebraischen Zahlkoerper)を書き上げた。
それはドイツ数学会の期待を遥かに上回るものであった。
その報告書は通称 Zahlbericht(数論報告)と呼ばれ
それ以降の代数的整数論の発展に大きな役割を果たした。
>>228はその90番目の定理である。
因みにZahlberichtには全部で169個の定理がある。

>>229
>1896年にHilbertはその報告書「代数的整数の理論について」


1896年にHilbertはその報告書「代数的数体の理論について」

>>230
>1896年にHilbertはその報告書「代数的数体の理論について」

1896年にHilbertはその報告書「代数的数体の理論」

少し酔ってるｗ

>>231
あのな、「酔っている」で済む問題じゃねえんだよカス
どこまでお前は数学をナメ腐っとんねん。ほんまええかげんにしとけよ

WeilはKummer全集の前書でHilbertのZahlbericht(>>229)の半分以上は
Kummerの仕事の焼き直しに過ぎないと書いている。

いや、お前は黙ってろ

猫は公務出張の旅費を適性につかったと言えますか？

適性とは
（１）出張申請とおりに出張を行った（変更の場合には
届けなどを出し、清算した）。

（２）１００キロ大学から離れる場合には許可をもらったか？

などを含みます。

Kummer ◆SgHZJkrsn08eはZeitshriftsやAnnalenに論文を載せたことがありますか？
私は７報載せています。

ホレ、調べてミロや。

猫

Zeitshrift 訂正

猫さんは出張旅費を搾取したことがありますか？

猫やクマーに質問がある

　民主党厚生労働部門会議の生活保護作業チームは２４日、生活保護の受給者の医療費負担を全額公費で賄う「医療扶助」制度について、
自己負担の導入を検討することを決めた。

となっているがどう思う？
猫もクマも生活保護を受けているんだろ？

徳島で逮捕された時、猫は公務出張中だったんだろ？
牢屋にはいっていたのだから宿泊費は返還したの？

>>240
ノーコメントですワ。

猫

>>241
そういう事は自分で調べて下さいまし。

猫

藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。

虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。

猫

>>245
仮にそうだとして、何が問題なんですか？
一方で藤原さんは税金をだまし取ろうとしたわけです。

>>246
馬鹿の集まりは不必要。ソッチの方が遥かに税金の無駄やしナ。

猫

>>247
税金の無駄は10年間論文を書かない教員。
院生は学費をはらっている。また院生は
院試に合格したから院生なのであって、
不合格（リジェクト）された論文を合格（to appear）
と書く方が虚偽です。

>>248
そういう馬鹿院生を大学院に受け入れてしまう事自体が問題。そもそも
そういう無能な連中に対して税金を投入する事がそもそもの間違い。

猫

>>249
だから税金は投入されていない。
どうしても投入されているというなら根拠を示せ。

税金の無駄は10年間論文を書かない教員。
こいつらには一人1億の税金が払われたが、何の成果もなし。

院試に合格したから院生なのであって、
不合格（リジェクト）された論文を合格（to appear）
と書く方が虚偽です。

糞院生を受け入れたからという理由で受け取る交付金をアテにしてはな
らない。馬鹿が増えたら教室が崩壊するだけ。

猫

>>252
だから教員が合格させるから院生は入学してくる。
嫌ならアナルズみたいにリジェクトすればよい。

猫は完全に論破されたようだ。合掌。

>>253
そういう事です。つまり『教員達は自殺行為をしている』という事になります。

猫

>>255
君が尊敬している教官が、君がだめだと思うことをやっているというわけだね。
矛盾してないかい？

猫は終わりだよ

院生を大量にとって授業料を払ってもらうことで
１０年論文無し教授や准教授の
年棒の一部をまかなっているのだ
虚偽院生の親が支払う授業料で
虚偽申請教員が裕福な生活をしている
何が問題なのか？

１０年論文無し教授や准教授の毎年支払われる１０００万円から１４００万円の
年棒は大量に合格させた院生の授業料、学部生の受領料、そして
非常に多くの血税で支払われている

猫は完全に論破されました。

芳雄

芳雄に謝罪を求めます

性犯罪者猫を世に送り出し、それが２ちゃんねるで暴れていること
猫が２０年にわたり国民の血税で所得を得ていたことについて

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

芳雄

猫、もう終わりだよ

>>262

100回書きなさい

>>261
すみません。本当にうちの馬鹿猫といったら、、、
お詫びの言葉もございません。こらっ、猫、
お前も頭を下げんかい。

芳雄

>>256
全然矛盾してないよ。全員を尊敬してるなんて全く言ってないので。

猫

>>266
では誰を尊敬していないか？

>>264
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

芳雄

>>261
では武器を持って老人ホームに討伐に行って下さい。厳しい処罰を願います。

猫

>>268

芳雄に命じます。
１００回書いて反省しなさい。

>>267
尊敬どころか、ケシカラン人達が沢山居ますよ。

猫

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

芳雄

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

芳雄

>>271

たとえばだれですか？　けしからん多元の教員とは？

>>274
宇沢です。

芳雄

>>275 そこだけ名無しですか＞猫

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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芳雄

猫はセコい奴ですね？

多元の教官にごまをすり、職の世話をしてもらおうとしている。

猫は完全に論破されました。

芳雄

はようせんかい＞よしお

>>278
すみません。本当にうちの馬鹿猫といったら、、、
お詫びの言葉もございません。こらっ、猫、
お前も頭を下げんかい。

芳雄

すみません。私の精子から誕生した猫がみなさんに
ご迷惑をおかけしております。

芳雄

>>278
そういう事や。そやしオマエがワシに世話をシロや。エエ話を持って来る
までココを徹底的に焼き払うさかいナ。

猫

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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芳雄

>>283
おまいは卑しい男だ
だから虚偽申請を擁護していたんだろw
本音が出たなw

>>284
他所のスレや数学以外の板にもコピペせえや。

猫

>>286
やだ

芳雄

>>286

おまえをアク禁に追い込む

>>285
そうや。ワシは卑しい男や。今頃判っても遅いワ。

猫

こりゃあ、出てこいクマー

おまえの下らん自演をみたいんやw

>>286
私をパタリロ呼ばわりするのは慎んでいただきたい。

ガマガエル

>>288
やってミロや。

猫

>>292
お前はすでに包囲されている。

芳雄

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

猫

>>294
自分で書いてどうすんの？

芳雄

>>294
私をパタリロ呼ばわりするのは慎んでいただきたい。

ガマガエル

まだ息子の反省が足りません＞よしお

責任を感じて下さい

すみません。私の精子から誕生した猫がみなさんに
ご迷惑をおかけしております。私の精子がふがいないばっかりに。

芳雄

こら、猫、みなさんにあやまらんかい

芳雄

出てこいクマー

おまえの下らん自演をみたいんやw

多元の誰を批判しているのですか？＞猫

猫は完全に論破されたようです。

芳雄

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

芳雄

こっちで勝負しろ＞猫

もっとやれ

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫

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猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。

芳雄

虚偽の中身を見ても，個人的には“相当悪質”と思う．問題の３本の
論文のうちの１本は，米・プリンストン大の数学誌に「掲載予定」と
したが、実際には申請前の９７年に不採用になっていた，のだそうだ．
この「米・プリンストン大の数学誌」というのは，数学者なら誰でも
知っている，そして自分の論文を一度は掲載したいと思っている
トップクラスの学術誌と思われる．この雑誌に掲載されていると
いうだけでその論文の価値はとてつもなく高くなるのである．
したがって，論文がこの雑誌に掲載されているか否かは，
申請書全体の評価において天と地ほどの差がある．
さらに「京大の研究所が発刊する雑誌」（これも数学者なら，
それとわかる雑誌）に「掲載予定」とした論文も，この雑誌に
出したと勘違いしていた。仲間内の数学者のグループで開いた
シンポジウムの報告集に掲載している，という．これもとんでもない
言い草だ．一般に評価されるべき論文というのは，きちんとした学術
雑誌に投稿し，その雑誌の査読（専門家による精査）を経て掲載される
必要がある．したがって，「仲間内の数学者のグループで開いた
シンポジウムの報告集に掲載」された論文は，COEの申請書の
研究論文リストにはのせるようなたぐいのものではないし，たとえ
記載しても全く評価の対象にならないようなものなのだ．このことは
F教授クラスの人間なら当然わかっていたはずだ．また，「この雑誌に
出したと勘違いしていた。」というが，これも普通に考えてあり得ない．
上にも述べたように，きちんとした学術雑誌に掲載されるためには
厳しい審査がある．時には何度も書き直しを要求される場合もある．
他方，シンポジウムの報告集にはそのようなものはないか，
あっても形式的な場合が多い．したがって，この両者を勘違いすることは
「実際的」にも「心理的」にもあり得ない．

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫

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芳雄

猫

虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。

猫

まだ足りません、反省が

奴は幾ら反省しても反省し切れるという事は無い。なので老人ホームで
死ぬまでじっくりと反省するべし。ワシは絶対に許さないので。

猫

>>315
俺は許すよ、芳雄を。

>>316
ワシは永遠に許さん。

猫

>>317
君も許しなよ。

>>318
奴を絶対に許さないという事から私の哲学が始まっています。だから私
が奴を許すという事は原理的に不可能ですね。奴を否定する事から私の
基本姿勢が定まっているので。

猫

>>319
芳雄を許せ。

>>320
騒いだら老人ホームに電話して罵倒するゾ。エエな。

猫

>>321
シロや。

>>322
また計画的にヤッタルがな。まあ奴かてワシとの戦闘用に録音してるさか
い、ワシかて注意をして行動せなアカンしやね。

猫

ひどい親子だなw

そういう事です。録音してるから注意して喋れと脅しますからね。恐喝
は昔から奴の得意技なのでね。

猫

Hilbertの定理 90(>>228) はKummerに起源がある。
Kummerは n が素数で K が有理数体上の位数 n の円分体(part1の521)のとき>>228を証明した。

もうわけがわからんなココは

part1の756を真似して、Hilbertの定理 90(>>228)の別証をしよう。

命題 448(Hilbertの定理 90)
L/K を n 次の巡回拡大(part1の491)とする。
σ を G の生成元とする。
β ∈ L を、N(β) (>>222) = 1 となる元とする。
このとき、β = α/σ(α) となる L の元 α ≠ 0 が存在する。

証明
T = βσ とおく。
即ち T：L → L は写像で、任意の x ∈ L に対して T(x) = βσ(x) である。
任意の x ∈ L に対して T^2(x) = βσ(βσ(x)) = βσ(β)σ^2(x)
即ち T^2 = βσ(β)σ^2
任意の整数 k ≧ 1 に対して T^k = βσ(β)．．．σ^k(β)σ^k
N(β) = 1 だから T^n = 1 である。
一方、part1の751より、1、σ、．．．、σ^(n-1) は Hom(L、L) (part1の749)の元として
L 上１次独立である。
β ≠ 0 だから 1、βσ、βσ(β)σ^2、．．、βσ(β)．．．σ^(n-1)(β)σ^(n-1)
即ち、1、T、、．．．、T^(n-1) は L 上１次独立である。
よって、g(X) ≠ 0 を n - 1 次以下の K[X] の多項式としたとき g(T) = 0 とはならない。
一方、T^n = 1 であるから X^n - 1 は K-線型写像として T の最小多項式である。
よって、part1の745より T の固有多項式は X^n - 1 である。
1 は X^n - 1 の根であるから 1 は T の固有値である。
よって、T(α) = α となる L の元 α ≠ 0 が存在する。
即ち、βσ(α) = α
α ≠ 0 だから σ(α) ≠ 0
よって、β = α/σ(α)
証明終

今までとまったく異なるアイデアによるHilbertの定理 90(>>228)の別証がある。
それを紹介しよう。

L/K を n 次のGalois拡大とする。
原始要素の定理(part1の335)より L = K(θ) となる θ ∈ L がある。
θ の K 上の最小多項式(part1の116)を f(X) とする。
part1の118とpart1の119より、K(θ) は K[X]/f(X)K[X] と同型である。

K を体(part1の82)とする。
K-加群 V と W の K 上のテンソル積を V※W と書くことにする。

K-加群の完全系列
0 → f(X)K[X] → K[X] → K[X]/f(X)K[X] → 0
より、
L-加群の完全系列
(f(X)K[X])※L → K[X]※L → (K[X]/f(X)K[X])※L → 0
が得られる。

K[X]※L は L[X] と同一視されるから (K[X]/f(X)K[X])※L は L[X]/f(X)L[X] に同型である。

よって、L※L は L[X]/f(X)L[X] に同型である。

f(X) は L において相異なる n 個の根 θ = θ_1、．．．、θ_n を持つ。
よって、f(X) = (X - θ_1)．．．(X - θ_n)
>>87より
L[X]/f(X)L[X] は (L[X]/(X - θ_1)L[X])×．．．×(L[X]/(X - θ_n)L[X]) に環として同型である。
各 L[X]/(X - θ_i)L[X] は L に同型である。

よって、L※L は L の n 重の直積 L×．．．×L に環として同型である。

この同型により g(X) ∈ K[X]、α ∈ L のとき
g(θ)※α ∈ L※L は (g(θ_1)α、．．．、g(θ_n)α) ∈ L×．．．×L に対応する。

猫は石原慎太郎を評価しますか？

よしお氏へ

貴兄の反省を求める

>>330
主張の全てに賛成ではアリマセンが、でも基本的にはその考え方を支持
したいと考えています。非常に支持します。

猫

中央教育審議会大学分科会大学院部会（部会長、有信睦弘・東京大監事）は２４日、
大学院前期博士課程の修了要件に筆記試験などを導入する方針を決めた。
博士号取得者に幅広い専門知識を身につけさせるのが狙いで、現行の修士論文などに
代替できるようにする。文部科学省は大学院設置基準などを改正し来年度から導入を図る。

大学院の博士課程には５年の一貫制と前後期の区分制があるが、大半は区分制を採用。
修了要件には修士論文などが課されているが、研究テーマが早くから専攻分野に限られる
弊害が指摘されてきた。試験は（１）専攻分野と幅広い関連分野の筆記試験
（２）博士論文に向けた研究報告・口頭試問−−の２段階で構成。
導入は各大学の判断とし、修士課程だけの専攻には適用しない。

http://mainichi.jp/life/today/news/20111125k0000m040068000c.html

わざわざ高い金払って大学院なんかに
行かなくても就職してから
自宅で数学やればいいよ。

数学科の大学院は東大と京大だけで充分ですワ。ソレも充分に厳しくしてナ。

猫

じゃあおまえは駄目だったな

俺は文型大学だから関係ないな

>>329において、L/K を n 次の巡回拡大(part1の491)とする。
σ を G の生成元とする。
σ：L → L は K-線型写像と見なされる。
よって、σ：L → L は L-線型写像 σ~ = σ※(1_L)：L※L → L※L を引き起こす。
ここで 1_L は L の恒等写像である。
x、y ∈ L のとき σ~(x※y) = σ(x)※y である。

θ = θ_1
σ(θ) = θ_2
．
．
．
σ^(n-1)(θ) = θ_n
とする。
>>329より L※L は L の n 重の直積 L×．．．×L に同型である。
L-線型写像 σ~：L※L → L※L は L×．．．×L ではどのような写像になるかを調べてみよう。
この同型により g(X) ∈ K[X]、α ∈ L のとき
g(θ)※α ∈ L※L は (g(θ)α、σ(g(θ))α．．．、σ^(n-1)(g(θ))α) ∈ L×．．．×L に対応する。
即ち、x、y ∈ L のとき x※y ∈ L※L は
(xy、σ(x)y、．．．、σ^(n-1)(x)y) ∈ L×．．．×L に対応する。
よって、σ(x)※y は (σ(x)y、σ^2(x)y、．．．、σ^(n-1)(x)y、xy) に対応する。

L※L = L[X]/f(X)L[X] の任意の元は g(θ)※y、g(X) ∈ K[X]、y ∈ L と書ける.
即ち、x※y ∈ L※L、x、y ∈ L と書ける。
よって、上記の同型より L×．．．×L の任意の元は (xy、σ(x)y、．．．、σ^(n-1)(x)y) と書ける。
これを (z_1、．．．、z_n) と書くと、
σ~(x※y) = σ(x)※y は
(σ(x)y、σ^2(x)y、．．．、σ^(n-1)(x)y、xy) = (z_2、．．．、z_n、z_1) に対応する。
即ち σ~：L※L → L※L は巡回置換 (z_1、．．．、z_n) → (z_2、．．．、z_n、z_1) に対応する。

x、y、w ∈ L のとき σ~(wx※y) = σ(wx)※y は
(wxy、σ(wx)y、．．．、σ^(n-1)(wx)y) = (wxy、σ(w)σ(x)y、．．．、σ^(n-1)(w)σ^(n-1)(x)y)
に対応する。
β ∈ L のとき、写像 T：L → L を T = βσ で定義する。
即ち、任意の x ∈ L に対して T(x) = βσ(x) である。
T は K-線型写像である。
よって、T：L → L は L-線型写像 T~ = T※(1_L)：L※L → L※L を引き起こす。
x、y ∈ L のとき T~(x※y) = βσ(x)※y である。
>>338より T~：L※L → L※L は
写像 (z_1、．．．、z_n) → (βz_2、σ(β)z_3、．．．、σ^(n-2)(β)z_n、σ^(n-1)(β)z_1)
に対応する。
この写像の不変元を求めてみよう。
(z_1、．．．、z_n) = (βz_2、σ(β)z_3、．．．、σ^(n-2)(β)z_n、σ^(n-1)(β)z_1) とする。
z_1 = βz_2 より z_2 = z_1/β
z_2 = σ(β)z_3 より z_3 = z_2/σ(β) = z_1/βσ(β)
．．．
．．．
z_(n-1) = σ^(n-2)(β)z_n より z_n = z_(n-1)/σ^(n-2)(β) = z_1/βσ(β)．．．σ^(n-2)(β)
z_n = σ^(n-1)(β)z_1

よって、z_1/βσ(β)．．．σ^(n-2)(β) = σ^(n-1)(β)z_1
よって、z_1 = βσ(β)．．．σ^(n-2)(β)σ^(n-1)(β)z_1 = N(β)z_1
よって、z_1 ≠ 0 なら N(β) = 1 でなければならない。
逆に N(β) = 1 なら T~：L※L → L※L は 0 でない不変元をもつ。
即ち 1 は T~ の固有値である。
L の K 上の基底 e_1、．．．e_n に対して (e_1)※1、．．．、(e_n)※1 は
L※L の L 上の基底である。
よって、T の e_1、．．．e_n に関する行列は T~ の (e_1)※1、．．．、(e_n)※1 に関する行列である。
よって、1 は T の固有値でもある。
よって、T(α) = α となる α ≠ 0 がある。
よって、β = α/σ(α)
これでHilbertの定理 90(>>228)が得られた。

Galoisの主定理(>>219)の鍵であるpart1の756はHilbertの定理 90(>>228)から直ちに得られる。
n ≧ 1 を Ω(part1の82)の標数で割れない整数とする。
L/K を n 次の巡回拡大(part1の491)とする。
K は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を含むとする。
このとき、N(ζ) = βσ(ζ)．．．σ^(n-1)(ζ) = ζ^n = 1 である。
よって、Hilbertの定理 90(>>228)より
ζ = α/σ(α) となる L の元 α ≠ 0 が存在する。
即ち σ(α) = α/ζ である。
よって、σ(α^n) = (σ(α))^n = α^n
よって、Galois理論の基本定理(part1の451)より α^n ∈ K である。
一方、σ(α) = α/ζ より、
σ^i(α) = α/ζ^i、i = 0、1、．．．、n(-1)
よって、α は n 個の相異なる共役元(part1の295)を持つ。
よって、L = K(α) である。
即ち、part1の756が証明された。

猫、おまえはこのスレッドにくるな
嵐が集まって来て迷惑だ

>>220において
N(β) = βσ(β)．．．σ^(n-1)(β) = 1 のとき、
β = α/σ(α) となる α は次の式で求められる。
(1 + T + ．．．+ T^(n-1))(θ) ≠ 0 となる θ ∈ L に対して
α = (1 + T + ．．．+ T^(n-1))(θ)
= θ + βσ(θ) + βσ(β)σ^2(θ) + ．．． + βσ(β)．．．σ^(n-2)(β)σ^(n-1)(θ)

これの加法版を考えてみよう。
即ち β + σ(β) + ．．． + σ^(n-1)(β) = 0 となるとき
β = α - σ(α) となる α の存在を問題にしよう。

α = βσ(θ) + (β + σ(β))σ^2(θ) + ．．． + (β + σ(β) + ．．．+ σ^(n-2)(β))σ^(n-1)(θ)
とおく。
σ(α) = σ(β)σ^2(θ) + ．．． + (σ(β) + ．．．+ σ^(n-1)(β))θ
よって、
α - σ(α) = βσ(θ) + βσ^2(θ) + ．．． + βσ^(n-1)(θ) + βθ
= β(θ + σ(θ) + σ^2(θ) + ．．． + σ^(n-1)(θ))

一方、part1の751より 1、σ、．．．、σ^(n-1) は L 上１次独立であるから
a = θ + σ(θ) + σ^2(θ) + ．．． + σ^(n-1)(θ) ≠ 0 となる θ ∈ L がある。
σ(a) = a だから a ∈ K である。
よって、α - σ(α) = βa
よって、α’= α/a とおけば β = α’- σ(α’)

定義 449
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
G をそのGalois群とする。
α ∈ L に対して Σσ(α)、σ ∈ G を α の L/K に関するトレースと言い、
Tr(α、L/K) と書く。
誤解の恐れのないときは Tr(α、L/K) を Tr(α) とも書く。

命題 450
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
このとき以下が成り立つ。

1) 任意の α ∈ L に対して Tr(α) (>>343) は K の元である。

2) α、β ∈ L のとき Tr(α + β) = Tr(α) + Tr(β)

3) a ∈ K、α ∈ L のとき Tr(aα) = aTr(α)

証明
1) 任意の τ ∈ G に対して τ(Tr(α)) = Στσ(α)、σ ∈ G = Tr(α)
よって、Galois理論の基本定理(part1の451)より Tr(α) ∈ K である。

2) と 3) は自明である。
証明終

>>344より α ∈ L に Tr(α) ∈ K を対応させる写像 Tr：L → K は K-線型写像である。

命題 451
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とする。
このとき Tr(α) ≠ 0 となる α ∈ L が存在する。

証明
G = {σ_1、．．．、σ_n} を L/K のGalois群とする。
part1の751より σ_1、．．．、σ_n は L 上１次独立(>>707)である。
よって、σ_1 + ．．．+ σ_n ≠ 0 である。
よって、Tr(α) = σ_1(α) + ．．．+ σ_n(α) ≠ 0 となる α ∈ L が存在する。
証明終

無職の低脳クマw
あきもせずにやっとるなあw

命題 452(Hilbertの定理 90の加法版)
L/K を n 次の巡回拡大(part1の491)とする。
σ を G の生成元とする。
β ∈ L とする。
このとき、Tr(β) (>>343) = 0 となるためには
β = α - σ(α) となる L の元 α が存在することが必要十分である。

証明
必要性：
>>342で証明されている。

十分性：
β = α - σ(α) となる L の元 α が存在するとする。
Tr(β) = Tr(α) - Tr(σ(α)) = Tr(α) - Tr(α) = 0
証明終

無職は最強だねｗ 低脳もｗ＞おまえのことだよKummer ◆SgHZJkrsn08e

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。

よしおへ

謝罪を求めます

Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
L/K を p 次の巡回拡大(part1の491)とする。
Tr(-1) = -p = 0 である。
よって、Hilbertの定理 90の加法版(>>348)より -1 = α - σ(α) となる L の元 α が存在する。
即ち σ(α) = α + 1 である。
よって、part1の219より、σ(α^p) = (σ(α))^p = (α + 1)^p = α^p + 1
よって、σ(α^p - α) = α^p + 1 - (α + 1) = α^p - α
よって、Galois理論の基本定理(part1の451)より α^p - α ∈ K である。
a = α^p - α とおくと α は X^p - X - a の根である。

一方、σ^2(α) = σ(α) + 1 = α + 2
σ^i(α) = α + i、i = 0、1、．．．n -1
よって、α の p 個の共役 α、α + 1、．．．、α + p - 1 は相異なる。
よって、L = K(α) である。
よって、次の定理が得られる。

命題 453(Artin-Schreier)
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
L/K を p 次の巡回拡大(part1の491)とする。
このとき L = K(α) となる α ∈ L で多項式 X^p - X - a の根であるものが存在する。
ここで a は K のある元である。

猫は俺のスレッドを荒らすな

猫さん

橋下が大阪市長になれば、大阪市大数学科はつぶされますよね？

能力もないくせに大学にしがみついている奴はとっとと働けってことだｗ

>>355
さあねえ、どうなるんですかね。でもその危惧はアルでしょうね。かつ
ての都立大の事例もアリマスからね。でも大阪市大の数学科は外から見
ると結構良さそうに見えたんですけどね。だからもしそうなったらちょ
っと勿体無いですよね。

猫

ええ、潰されんの？

いや、だから「その意味」が問題になりますよね。でも現実問題として
日本には大学の数が多過ぎますからね。だから潰すんだったら大阪市大
とか都立大とかではなくて『もっと別の大学』であるべきなんだと思い
ますけどね。

猫

都立大も名前を戻してくれ。

橋下は大阪府立大の数学科を実質潰しましたよね？＞猫

だから大阪市大は間違いなく、橋下によって潰されますよ

だって二重行政廃止でしょ、彼は

数学が大阪大学、大阪市大、大阪府立にあるのを認めるわけないでしょう？

猫って右翼なの？
独裁者が好き？

数学科なんてあちこちにある必要ねーわな。
阪大にあれば十分。

そう

Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、a を K の元とする。
多項式 f(X) = X^p - X - a ∈ K[X] を考える。
f(X) の導多項式(part1の182)は pX^(p-1) - 1 = -1 ≠ 0 である。
よって、part1の194より X^p - X - a は Ω において相異なる p 個の根を持つ。
X^p - X - a の根の一つを α とする。
Fermatの小定理より i = 0、1、．．．n - 1 のとき i^p ≡ i (mod p) である。
よって、Ω において i^p = i である。
よって、(α + i)^p = α^p + i^p = α^p + i
よって、(α + i)^p - (α + i) - a = α^p - α - a = 0
よって、α + i、i = 0、1、．．．n - 1 は X^p - X - a の根である。
α ∈ K なら X^p - X - a のすべての根は K に属す。

α ∈ K でないとする。
L を X^p - X - a の K 上の最小分解体(part1の149)とする。
part1の322より L/K は有限(part1の87)なGalois拡大(part1の251)である。
G をそのGalois群(part1の251)とする。
α の K 上の最小多項式(part1の116)を g(X) とする。
L/K は分離的(part1の248)だから g(X) は分離的(part1の193)である。
α ∈ K でないから g(X) は α 以外の根 β をもつ。
上記から β = α + k、1 ≦ k ≦ p - 1 である。
g(X) は K[X] で既約だから σ(α) = α + k となる σ ∈ G がある。
σ^m(α) = α + mk = α とすると mk = 0
よって、m は p の倍数である。
よって、α、σ(α) = α + k、σ^2(α) = α + 2k、．．．、σ^(p-1)(α) = α + (p-1)k は
全て異なる。
これ等は全て g(X) の根だから X^p - X - a = g(X) である。
よって、 G は位数 p の巡回群である。
よって、次の命題が得られた。

命題 454
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、a を K の元とする。
多項式 X^p - X - a ∈ K[X] の根の一つを α とする。
このとき、α + i、i = 0、1、．．．p - 1 は X^p - X - a の根である。
L = K(α) とおく。
このとき L = K または L/K は p 次の巡回拡大(part1の491)である。

>>365
>Fermatの小定理より i = 0、1、．．．n - 1 のとき i^p ≡ i (mod p) である。

Fermatの小定理より i = 0、1、．．．p - 1 のとき i^p ≡ i (mod p) である。

>>365
>よって、α + i、i = 0、1、．．．n - 1 は X^p - X - a の根である。

よって、α + i、i = 0、1、．．．p - 1 は X^p - X - a の根である。

定義 455
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
p 次の巡回拡大(part1の491) L/K をArtin-Schreier拡大と呼ぶ。

クマのアホ
うるせえな

定義 456
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が正則な単冪根拡大(part1の582)
またはArtin-Schreier拡大(>>369)のとき L/K を広義の冪根拡大と呼ぶ。

妄想書くなw

定義 457
L/K を拡大(part1の82)とする。
広義の冪根拡大(>>371) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を広義に冪根可解と言う。

命題 458
広義の冪根拡大(>>371)は準可解拡大(part1の574)である。

証明
part1の584より正則な単冪根拡大(part1の582)は準可解拡大である。
他方、Artin-Schreier拡大(>>369)は巡回拡大(part1の491)であるから準可解拡大である。
よって、part1の581より広義の冪根拡大は準可解拡大である。
証明終

命題 459
L/K を有限なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解(part1の550)であるとする。
このとき、L/K は広義に冪根可解(>>373)である。

証明
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_r = {1} を G の組成列とする。
G は可解群だからpart1の564より
各 G_(i-1)/G_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 G_i、i = 0、．．．、r の固定体(part1の483)を K_i とする。
part1の451とpart1の473とpart1の475より
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L であり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大(part1の491)である。
その次数は G の位数 n の素因数である。
p_1、．．．、p_s を n の素因数でΩの標数と異なるもの全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
part1の503より 各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) はGalois拡大であり、
part1の505より、そのGalois群は K_i/K_(i-1) のGalois群の部分群に同型である。
よって、各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は自明な拡大(>>178)または素数次の巡回拡大である。
よって、[K_i : K_(i-1)] がΩの標数と異なるときは
part1の756より K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は正則な単冪根拡大である。
[K_i : K_(i-1)] がΩの標数と一致する場合は
K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は自明な拡大(>>178)またはArtin-Schreier拡大(>>369)である。
K ⊂ K(ζ) ⊂ K_1(ζ) ⊂ ．．．⊂ K_r(ζ) = L(ζ) であり、
K(ζ)/K は正則な単冪根拡大であるから L(ζ)/K は広義の冪根拡大である。
L ⊂ L(ζ) だから L/K は広義に冪根可解である。
証明終

命題 460(Galoisの主定理 version 4)
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とし、G をそのGalois群(part1の251)とする。
L/K が広義に冪根可解(>>373)であるためには
G が可解(part1の550)であることが必要十分である。

証明
必要性：
L/K が広義に冪根可解(>>373)であるとする。
広義の冪根拡大(>>371) E/K があり L ⊂ E となる。
>>374より E/Kは準可解拡大(part1の574)である。
part1の581より L/K も準可解拡大である。
part1の575より G は可解である。

十分性：
>>375で証明されている。
証明終

定義 461
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(part1の82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が正則な素冪根単純拡大(>>160)または
Artin-Schreier拡大(>>369)のとき L/K を広義の素冪根拡大と呼ぶ。

定義 462
L/K を拡大(part1の82)とする。
広義の素冪根拡大(>>377) E/K があり L ⊂ E となるとき
L/K を広義に素冪根可解と言う。

定理を作る為に定義を作るw

補題 463
L/K をGalois拡大とし、そのGalois群 G は可解であるとする。
p_1、．．．、p_s を |G| の素因数でΩの標数と異なるもの全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とする。
m は正則(>>170)であるからpart1の516より
Ω(part1の82) は 1 の原始 m 乗根(part1の520) ζ を持つ。
F/K を拡大(part1の82)とし、ζ ∈ F とする。
このとき、FL/F は広義の素冪根拡大(>>377)である。

証明
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_r = {1} を G の組成列とする。
G は可解群だからpart1の564より
各 G_(i-1)/G_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 G_i、i = 0、．．．、r の固定体(part1の483)を K_i とする。
part1の451と473と475より
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L であり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大である。
part1の88より [L : K] = Π[K_i : K_(i-1)]、i = 1、．．．、r である。

F = FK_0 ⊂ FK_1 ⊂ ．．．⊂ FK_r = FL を考える。
各 i = 1、．．．、r に対して (FK_(i-1))K_i = FK_i
よって、FK_i/FK_(i-1) = (FK_(i-1))K_i/FK_(i-1)
part1の503より 各 FK_i/FK_(i-1) はGalois拡大であり、
part1の505より、そのGalois群は K_i/K_(i-1) のGalois群の部分群に同型である。
よって、[K_i : K_(i-1)] がΩの標数と異なるときは
>>206より K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は自明な拡大(>>178)または正則な素冪根単純拡大である。
[K_i : K_(i-1)] がΩの標数と一致する場合は
K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は自明な拡大(>>178)またはArtin-Schreier拡大(>>369)である。
よって、FL/F は広義の素冪根拡大(>>377)である。
証明終

命題 464
K を体(part1の82)とする。
n を正則(>>170)な整数とする。
このとき、K 上の位数 n の円分体(part1の521) L は広義に素冪根可解(>>378)である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明であるから n ≧ 2 とする。
part1の516より、Ω(part1の82) は 1 の原始 n 乗根(part1の520) ζ を持つ。
L = K(ζ) である。
part1の523より、L/K はGalois拡大であり、
そのGalois群 G(L/K) は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
よって、|G(L/K)| は |(Z/nZ)^*| の約数である。
よって、|G(L/K)| は正則(>>170)である。
G(L/K) はAbel群だから可解群(part1の550)である。
p_1、．．．、p_s を |G(L/K)| の素因数でΩの標数と異なるもの全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、η を 1 の原始 m 乗根とする。
m ≦ |G(L/K)| ≦ |(Z/nZ)^*| ＜ n
m は正則であるから帰納法の仮定より広義の素冪根拡大(>>377) F/K があり K(η) ⊂ F となる。
>>380より、FL/F は広義の素冪根拡大である。
よって、FL/K は広義の素冪根拡大である。
よって、L/K は広義に素冪根可解である。
証明終

命題 465
L/K を有限なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解(part1の550)であるとする。
このとき、L/K は広義に素冪根可解(>>378)である。

証明
>>380の証明と同様に体の増大列
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L があり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大であり、
[K_i : K_(i-1)] は |G| の素因数である。
p_1、．．．、p_s を |G| の素因数でΩの標数と異なるもの全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
m は正則(>>170)であるからpart1の516より
Ω(part1の82) は 1 の原始 m 乗根(part1の520) ζ を持つ。
>>381より K(ζ) は広義に素冪根可解(>>378)である。
よって、広義の素冪根拡大(>>377) F/K があり K(η) ⊂ F となる。
>>380より FL/F は広義の素冪根拡大(>>377)である。
よって、FL/K は広義の素冪根拡大(>>377)である。
よって、L/K は広義に素冪根可解(>>378)である。
証明終

命題 466(Galoisの主定理 version 5)
L/K を有限(part1の89)なGalois拡大(part1の251)とし、G をそのGalois群(part1の251)とする。
このとき、L/K が広義に素冪根可解(>>378)であるためには
G が可解(part1の550)であることが必要十分である。

証明
必要性：
L/K が広義に素冪根可解であるとする。
L/K は広義に冪根可解(>>373)であるから>>376より G は可解である。

十分性：
>>382で証明されている。
証明終

>>380は次のように証明したほうがすっきりするかもしれない。

補題 463
L/K をGalois拡大とし、そのGalois群 G は可解であるとする。
p_1、．．．、p_s を |G| の素因数でΩの標数と異なるもの全体とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とする。
m は正則(>>170)であるからpart1の516より
Ω(part1の82) は 1 の原始 m 乗根(part1の520) ζ を持つ。
F/K を拡大(part1の82)とし、ζ ∈ F とする。
このとき、FL/F は広義の素冪根拡大(>>377)である。

証明
part1の503より FL/F はGalois拡大であり、
part1の505より、H = G(FL/F) は G の部分群に同型である。
よって、part1の565より H は可解である。
H = H_0 ⊃ H_1 ⊃ ．．． ⊃ H_r = {1} を H の組成列とする。
H は可解群だからpart1の564より
各 H_(i-1)/H_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 H_i、i = 0、．．．、r の固定体(part1の483)を F_i とする。
part1の451と473と475より
F = F_0 ⊂ F_1 ⊂ ．．．⊂ F_r = FL であり、
各 F_i/F_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大である。
part1の88より [FL : F] = Π[F_i : F_(i-1)]、i = 1、．．．、r である。
[FL : F] = |H| は |G| の約数であるから 各 [F_i : F_(i-1)] は |G| の素因数である。
よって、>>190より [F_i : F_(i-1)] がΩの標数と異なるときは
F は 1 の原始 [F_i : F_(i-1)] 乗根をもつ。
よって、part1の756より F_i/F_(i-1) は正則な素冪根単純拡大(>>160)である。
[F_i : F_(i-1)] がΩの標数と一致する場合は
F_i/F_(i-1) はArtin-Schreier拡大(>>369)である。
以上から FL/F は広義の素冪根拡大(>>377)である。
証明終

今までは主に分離代数的拡大(part1の248)を扱ってきたがGalois理論は分離的でない代数的拡大にも
ある程度拡張されることを示そう。

示す必要なし
おまえのノートにやっとけw

まあ、基地外だな。
勝手にガロアと言うキーワードにエキサイト。
他人を無視して独演会。

年金で大学に再入学して教員にノート読んで貰え。

無職だから一日中２ちゃんねるに張り付いて、ノートを写す
迷惑な奴だな

ちゃんと働けよ

>>386
>>387
>>388
騒いで熊氏を邪魔したらワシが叩くゾ。ソレでエエんやナ。

猫

芳雄は猫について謝罪が不十分です
謝罪を求めます

叩けるものなら叩けよw　ほらどうした？

猫さん、大阪市大はつぶすべきですか？

>>391
もはや謝罪の必要なんてアラヘン。サッサと消えてくれたらソレで充分や。
もう実害がアル程の影響力なんてないさかいナ。

猫

虚偽申請について責任ととりましたか

このスレに数学コンプの猫は来るな

涙ふけよ＞クマ

まあここは隔離スレ確定だ。
諦めてスレタイはニート熊にくれてやれ。

定義 467
B を可換環とし、A をその部分環とする。
S を B の部分集合とする。
A と S を含む B の部分環全体を Ψ とする。
B ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。
Ψ に属す B の部分環全体の共通集合を A[S] と書き、A に S を添加した B の部分環と言う。
A[S] は A と S を含む B の部分環の中で最小のものである。

記法
B を可換環とし、A をその部分環とする。
I を集合とし、(x_i)、i ∈ I を B の元の族とする。
A に B の部分集合 S = {x_i； i ∈ I} を添加した B の部分環(>>399) A[S] を
A[x_i； i ∈ I] とも書き、A に (x_i)、i ∈ I を添加した B の部分環と言う。
I が有限集合 {1、．．．、n} のとき A[x_i； i ∈ I] を A[x_1、．．．、x_n] とも書く。

S = {x_1、．．．、x_n} を B の部分集合としたとき A[S] を A[x_1、．．．、x_n] とも書く。
特に x ∈ B のとき A[{x}] を A[x] とも書く。

>>396
ソレは無理っちゅうモンや。馬鹿が熊氏の数学を邪魔をせえへん様に
ちゃんと監視して見てなアカンさかいナ。

猫

記法
B を可換環とし、A をその部分環とする。
x_1、．．．、x_n を B の元の列とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 係数の n 変数の多項式環とする。
f(X_1、．．．、X_n) ∈ A[X_1、．．．、X_n] のとき
f(X_1、．．．、X_n) の各 X_i に x_i を代入して得られる B の元を f(x_1、．．．、x_n) と書く。

図表＝「バツなし未婚男」の年収分布
http://president.jp.reuters.com/uploads/2010/09/30/or_100830_celeb_zuhan.jpg
野村総研　2009年調査

※未婚男性の9割は「平均所得以下」の低所得です

例）ここに40〜45歳の男性が100人います

70人は【既婚男性】で、現在、妻と子供（いないケースもあり）をもっています
22人は【未婚男性】で、一度も結婚したことすらありません
残りは【離別・死別男性】です

また、この22人の【未婚男性】のうち、
年収500万以下の「平均所得以下」の男性は18人です
年収500〜700万の「平均所得程度」の男性は2人です
年収700〜999万の「平均所得より少し高所得」の男性は2人です
年収1000万以上の「世間一般的に言われる高所得者」は0人です。

ここは雑談スレとなりました。

命題 468
B を可換環とし、A をその部分環とする。
x_1、．．．、x_n を B の元の列とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 係数の n 変数の多項式環とする。
このとき、
A[x_1、．．．、x_n] = {f(x_1、．．．、x_n)；f(X_1、．．．、X_n) ∈ A[X_1、．．．、X_n]}
である。

証明
C = {f(x_1、．．．、x_n)；f(X_1、．．．、X_n) ∈ A[X_1、．．．、X_n]} とおく。
C は A と {x_1、．．．、x_n} を含む B の部分環である。
逆に D を A と {x_1、．．．、x_n} を含む B の任意の部分環とする。
明らかに C ⊂ D である。
よって、C は A と {x_1、．．．、x_n} を含む B の部分環の中で最小のものである。
即ち C = A[x_1、．．．、x_n] である。
証明終

２年生の教科書に出ているのだがw

Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、f(X) ∈ K[X] をモニック(part1の115)な既約多項式とする。
f(X) が分離的(part1の193)でないとする。
f’(X) を f(X) の導多項式(part1の182)とする。
f’(X) ≠ 0 なら f(X) と f’(X) は K[X] において互いに素である。
よって、part1の194より f(X) は分離的となって仮定に反する。
よって、f’(X) = 0 である。
よって、part1の228 より f(X) = g(X^p) となるモニックな g(X) ∈ K[X] がある。
即ち、f(X) ∈ K[X^p] (>>400)である。
r ≧ 1 を f(X) ∈ K[X^(p^r)] となる最大の整数とする。
p^r ≦ deg f(X) であるからこのような整数は必ず存在する。
このとき、f(X) = h(X^(p^r)) となるモニックな h(X) ∈ K[X] がある。
h(X) は K[X^p] に含まれないから part1の228 より h’(X) ≠ 0 である。
一方、h(X) が K[X] において可約なら f(X) が K[X] において可約となり仮定に反する。
よって、h(X) は K[X] において既約である。
よって、h(X) と h’(X) は K[X] において互いに素である。
よって、part1の194より h(X) は分離的(part1の193)である。
h(X) の根の全体を β_1、．．．、β_m とする。
h(X) = (X - β_1)．．．(X - β_m) である。
よって、f(X) = h(X^(p^r)) = (X^(p^r) - β_1)．．．(X^(p^r) - β_m)
X^(p^r) - β_1 の根の一つを γ_1 とすると
part1の219より X^(p^r) - β_1 = (X - γ_1)^(p^r) である。
同様に X^(p^r) - β_i、i = 2、．．．、m の根の一つを γ_i とすると
X^(p^r) - β_i = (X - γ_i)^(p^r) である。
即ち、f(X) = ((X - γ_1)．．．(X - γ_m))^(p^r)
即ち、f(X) の各根の重複度は p^r である。
deg f(X) = (p^r)m である。

まあ、理解しつつ書き写す、書き直すのも勉強だ。
何でココでやるのって疑問は残るがw
露出狂か。

いや普通の教科書に書かれてないこと結構あるでしょ

毎回説明するのが面倒なんだが、目的は主にノート代わり。
しかし、興味を持ってる人もいるから公開する意味はある。
フィードバックも期待してる。

数学的興味を持っている人はいないよ
バカがアホ丸出しでナルシシズムにひたっているのを
たまに見るだけ

時々、自演するからそれがオモロイくらいw

俺は興味あるよ。主に移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。

こんなところに書き込むのは時間の無駄だろ？
ノートに書いて、覚えて、穴をチェックして
先に進むのがずっと早い
それとも自分だけでは数学の勉強が出来ないのか？
やはり露出と自己満？

>>412 自演乙w

クマーはなぜ自演がすぐにバレるのか、驚いている

俺は興味あるよ。主に移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。

俺は興味あるよ。主に移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。


俺は興味あるよ。主に移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。

おっと二度打ってしまったw

猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ
猫もロンダ

俺もアメリカに渡仏する移動の際にここを見ている

俺は興味あるよ。主にアメリカに渡仏する移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。

きっと夢破れて数学を逆恨みしてるんだろうな。

俺は興味あるよ。主に京都に渡仏する移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。

>>422 くまー　自演乙

俺は興味あるよ。主に歌舞伎町に渡仏する移動中に読んでる。
まあ、自演と思いたいなら思えばいいさ。

無職のクンマーは勤労と納税の義務を果たしていません。こんなところに
本を書き写すことをせず、道路に落ちた落ち葉を掃いて来るととか
少しは世のためになることをやったらどうでしょうか？

猫って右翼みたいだね？　橋下を支持するんだから

日教組は嫌い？＞猫

馬鹿の撲滅を目的としてカキコをするのは重大な国家の利益。何故ならば
馬鹿は国家を滅ぼすからである。

ロンダ猫

猫に質問

バカの撲滅を目的しての書き込みとは？
バカが２ちゃんねるに書かなくなるようにしたところで
バカは存在しているのであって、撲滅したことにならないでしょ？

>>427
日教組も文科省も、どちらも邪悪な存在だと考えています。どちらも現
場を徹底管理する事しか考えてない様に見えるので。

私は橋下氏の考え方を徹底支援します。

猫

>>413
意味不明。
時間は自分のパソコンに打ち込むのもここに書くのもほとんど同じ。

>>429
そんな事は最初から当然に知っています。でもこういう場所は「その存
在と増加を助長スル」というのが私の認識ですね。だから今後も徹底し
て戦います。

そもそもこの匿名という考え方が無責任を助長しています。

猫

>>431

バカはウセロ　低脳の無職め

>>432 つまりバカはもとからバカなのではないってことですね？

>>430
邪悪なものを追い出すためにさらに邪悪なものを支持するとは、愚かだな。
時代が違えばヒトラーを支持したんだろうな。

でもガロア理論は興味持ってる人多いと思うけど。
俺も全然知らないし、暇なとき読んでる。

ナウシカもバカだからな

>>434
もし「未だ馬鹿にはなり切ってない馬鹿予備軍」がこういう場所に出入
りしたら、そういう人はその大半が「完全な馬鹿になってしまう」とい
う極めて深刻な問題点がアルと思います。

猫

>>Kummer
頭の悪さの秘訣を教えて下さい。
教科書に書かれていないので気になります。

>>439
ソレは『アンタが自分の頭の悪さの秘訣を説明してから』やろナ。そやし
アンタがその説明をスルまでワシがアンタに貼り付くさかいナ。

猫

>>439
コラ、自分の低脳の理由を早よ説明せえや。ワシが読んだるさかいナ。

猫

>>Kummer
頭の悪さの「実演講義」を期待しています。
どうぞよろしくお願いいたします。これはKummerさんにしか出来ないことなのでね。

>>442
いや、ソレは『オマエの方が得意』なんとちゃうんかァ？

猫

クマー
はよう自演を見せてくれw

>>Kummer
早く頭の悪さの実演講義を実施しなさい。
その程度の取り柄しかあなたにはないのだから。

大阪市長と大阪府知事って
これじゃあ、まるで、ロシアのプーチンとメドジェーエフのコンビだなw

大阪市民のアホが出ているわ

橋下＝プーチンが府知事を降りて、市長になり
手下＝メドジェーエフがかわりに府知事になるw

クマー　はよう自演せよw

涙ふけよ＞クマ

蔑まれても、ナルシストの池沼クマなら
立ち直れるよねw

>>445
オマエが先に実演をシロや。その取り柄はオマエの専売特許やろからナ。

猫

４日午後４時２０分ごろから約５０分にわたり、ＪＲ牟岐線の列車内で、
県内の専門学校生の女性（２１）の胸や太ももなどを触った疑い。調べに対し、「夏休み期間に、
講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」と話しているという。

「夏休み期間に、
講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」

「夏休み期間に、
講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」

「夏休み期間に、
講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」

「夏休み期間に、
講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」

「夏休み期間に、
講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」

村々

>>451
>>452
ソレでは話が判らんのや。そやしもっと詳しく記述をせえや。ほんで他所
のスレや他所の板にもコピペせえや。

猫

質問

好みの女性だったのでムラムラしたからといって、触ってもいいんですか＞猫

猫さん、どんな女性が好みですか？

柏原さんの最終講義の時に、教室の後ろから入って来た際
つれていた女性は好みなんでしょうか＞猫

>>455
ソレは絶対にイケマセン。

猫

絶対にいけないことをなぜやったのですか？

>>456
自分よりも頭が良い人ならば誰でも。

猫

>>459
そういう事です。

猫

北大のK氏の訪問時に猫が来たけど、函館にまだ住んでいる？

猫さん　フランスでは痴漢をしたことがありますか？

父上は猫を恥じていますか？

>>464
ソコが『奴に対する私の報復』という考え方も出来ますよね。非常に効
果的な復讐になりましたね、あくまでも結果論ですが。従ってコレ以上
恥じさせる必要は無いでしょう。

猫

>>462
>>463
そういう事は自分で調べて下さい。

猫

橋下氏が当選確実だそうですね。今後も保守的な考え方を撲滅する方向
で今後も思いっきり頑張って欲しいと思います。どうもおめでとう御座
います。こういう考え方が霞が関にも波及する事を切に願っています。

猫

ですよねー。

大学潰しを名目に上げれば
点数につながるからな。

橋下の出自叩きは酷いが、
逆にそれを知って応援する気になった。
潰すべきは糞マスゴミ。

今のマスコミは正しい事をきちんと伝えるのではなくて『潰れない様に
と購買層の顔色を窺う』という考え方ですからね。選挙対策で世間様の
顔色ばかりを必死で窺う政治家も同じですけど。

猫

Fラン潰されるんすか！？
じゃあ僕はどうなるんですか！？

>>472
そもそも「自分からFラン」とか言ってる時点で、その存在の意義はナシ。
だからアンタみたいな人はサッサと消えて下さい。アンタみたいな人は
大学に行く意味は無いと思うので。

猫

>>472
実力があればFランとかそんな事はどうでも良い。
潰されたくなければ実力勝負有るのみ。

　　　　　＼ヽ 　 　 　/: : : : : V: : : : : :ヽ,.　/l
　　　　 　　 ヽ　l:i,　 l: : : : : : : : : : : : : : :V: : l ヽ丶
　　　　　　　 　 l: :ヽ,l: : : :ハ: ::/`'-、: : : : : : l　 ＼ヽ　　／￣ヽ,
.　　　　　　 ＋　l : : : :/V　　Y　　　ヽ/l: : : : l　 __|__　 /　あ　│
　　　　　　　　 　l:: : :i',-‐ﾍ　　 '二￣　l: : : : l 　 │　│　 l. 　│
　　 　 　 　 　 　 i:: : l　三/　　 ￣　　 .l: : : :ﾚ'l 　 　 │ 　|. 　│
　　　　　　 　　 ,__i;: ::l , , ,ヽ　 　' ' '　　 ﾚ`i: : :l 　 　 <.　　|.　　|
　　　　＼＼.　 ヽ; : : :l　　、--‐r　　 　　ｿl: :/ 　 　 　 l,　　　　l
　　　　　 ＼ヽ 　 丶、l, 　 `' ‐'゛　 　　 ,i-'／　　　　　　ヽ,＿／
　　　　　　　ヽ丶　　　 ヽ,　　　　　_, -ｦ|:_:ﾌ
-‐‐- 、　　　　 ＼　　 　 ヾ,. ‐-‐'　／　|
　　 　 ヽ　　　　　　　　　　|ヽ 　 　_______|、
チ楽生│　┼　　　　　 ,-┴‐`'二;;:::::::::::::`l　 　＿ ,,,.--‐- 、
ク.し.き. |＼　　　　　 　,l:::;;;:::::::::::::＿;; --‐' ゛￣
シい.る　ゝ ヽ　　　 , -'` ‐-‐ ' ￣, -‐　　　　　　 　　 : :..
ョ.な の |　　 丶,-‐'　　　　　　　.,　　 　 N　/l
.l. あ 　./　　 ,-'　　./i ,-, 　　　.::l　　.,- ,i _Y /--、
、　　 ./　 　 l　 .,-┤ﾚ /ァ　　.:::i　　＞-(___)_‐＜:.　　 ,-‐
.`‐-‐ﾍ　　　 |　 .>-(゛`i 二>　　　　　￣/λヽ;￣:. .::,-'ヽ、
　　　　ヽ 　 │　!イ`l'"ト-'　　.:: :.... . .　.ﾚ'.:: ヽl. ...;-' :. :::.l:ヽ
　 　 　 ┼ 　 | 　..:l,λ/　　　　　　.:　　　　　　　　　　　::l
　　　　　　　 |　　:::|　　　　　　　　　　　　　　 :　 ::　　　 l
　　　　　　　 l　　::::l　　　　　　　　　　　　　 ..::　　:..:　　 l

命題 469
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、f(X) ∈ K[X] をモニック(part1の115)な既約多項式とする。
このとき、f(X) = g(X^(p^r)) となる整数 r ≧ 0 と
分離的(part1の193)かつ既約な g(X) ∈ K[X] が存在する。
このような r と g(X) は f(X) により一意に決まる。

証明
このような r と g(X) が存在することは>>407で示した。
整数 r は f(X) の任意の根の重複度が p^r となることから f(X) により一意に決まる。
g(X^(p^r)) = h(X^(p^r)) となる h(X) ∈ K[X] があるとすると、(g - h)(X^(p^r)) = 0 となる。
よって、g(X) = h(X) である。
証明終

>>Kummer
謝罪しろ

定義 470
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、f(X) ∈ K[X] をモニック(part1の115)な既約多項式とする。
>>476より f(X) = g(X^(p^r)) となる整数 r ≧ 0 と
分離的(part1の193)かつ既約な g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
このとき、g(X) の次数を f(X) の分離次数と呼び deg_s f(X) と書く。
p^r を f(X) の非分離次数と呼び deg_i f(X) と書く。
このとき deg f(X) = (deg_i f(X))(deg_s f(X)) である。

定義 471
K を体(part1の82)ととする。
L/K を拡大(part1の82)とする。
K~ を K の代数的閉包(part1の128)とする。
L ∩ K~ は L/K の中間体(part1の309)である。
これを K の L における相対的代数的閉包と呼ぶ。

定義 472
K を体(part1の82)とする。
part1の271より、Ω(part1の82)の元で K 上分離的(part1の247)なもの全体は体(part1の82)である。
この体を K_sep と書き K の分離代数的閉包と呼ぶ。

定義 473
K を体(part1の82)とし、L/K を拡大(part1の82)とする。
K_sep を K の分離代数的閉包(>>480)とする。
L ∩ K_sep は L/K の中間体(part1の309)である。
これを K の L における相対的分離代数的閉包と呼ぶ。

Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を代数的拡大(part1の90)とする。
L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
α を L の任意の元とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(part1の116)とする。
>>476より f(X) = g(X^(p^r)) となる整数 r ≧ 0 と
分離的(part1の193)かつ既約な g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
f(α) = g(α^(p^r)) = 0 であるから α^(p^r) は g(X) の根である。
g(X) は分離的かつ既約であるから α^(p^r) ∈ L_s である。

定義 474
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
α を Ω の任意の元とする。
α^(p^r) ∈ K となる整数 r ≧ 0 が存在するとき
α は K 上純非分離(purely inseparable over K)であると言う。
このような r の最小値を α の K 上の指数と呼ぶ。

定義 475
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を拡大(part1の82)とする。
L の任意の元が K 上純非分離(>>483)なとき L は K 上純非分離である、
または L/K は純非分離であると言う。

命題 476
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を代数的拡大(part1の90)とする。
L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
このとき、L/L_s は純非分離(>>484)である。

証明
>>482で証明されている。

記法
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
ψ：Ω → Ω をFrobenius自己準同型(part1の220)とする。
即ち、任意の x ∈ Ω に対して ψ(x) = x^p である。
任意の y ∈ Ω に対して多項式 X^p - y は Ω において根を持つから ψ は全射である。
ψ は単射であるから ψ は Ω の自己同型(part1の435)である。
ψ^(-1) を ψ の逆写像とする。
整数 n ≧ 0 に対して (ψ^(-1))^n を ψ^(-n) と書く。
このとき、任意の整数(負の整数も含む) n に対して ψ^n は Ω の自己同型である。
任意の α ∈ Ω に対して ψ^n(α) を α^(p^n) と書く。
n ≧ 1 のとき α^(p^(-n)) は多項式 X^(p^n) - α の唯一の根である。

K を体(part1の82)としたとき、ψ^n(K) を K^(p^n) と書く。
n ≧ 0 のとき K^(p^(-n)) = {α ∈ Ω； α^(p^n) ∈ K} である。

まあ、今の大学生なんか大して勉強しないし
下から七割の私立大は潰しても何ら問題ない
その代わり国立大学の学費をタダにして給料を与えればよい
ただし業績の挙げれない学生は絶対卒業させてはならない

命題 477
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
任意の整数 n に対して K^(p^n) (>>486)は体(part1の82)である。
n ≦ m のとき K^(p^n) ⊃ K^(p^m) である。
即ち、
．．．⊃ K^(p^(-2)) ⊃ K^p^(-1) ⊃ K ⊃ K^p ⊃ K^(p^2) ⊃ ．．．

n ≧ 0 のとき K^(p^(-n)) は K の純非分離拡大(>>484)である。

証明
自明である。

命題 478
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
α と β が K 上純非分離(>>483)であれば K(α、β) は K 上純非分離(>>484)である。

証明
α ∈ K^(p^(-n))、β ∈ K^(p^(-m)) となる整数 n、m ≧ 0 が存在する。
r = max(n、m) とする。
>>488より α、β ∈ K^(p^(-r)) である。
よって、K(α、β) ⊂ K^(p^(-r)) である。
K^(p^(-r)) は K 上純非分離であるから K(α、β) は K 上純非分離(>>484)である。
証明終

命題 479
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L = ∪{K^(p^(-n))； n = 0、1、2、．．．} は K を含む最小の完全体(part1の222)であり、
K の最大の純非分離拡大(>>484)である。

証明
>>488より各 K^(p^(-n)) は体であり、
包含関係 K = K^(p^0) ⊂ K^(p^(-1)) ⊂ K^(p^(-2)) ⊂ ．．．が成り立つ。
よって、L は体である。

α ∈ K^(p^(-n))、n ≧ 0 のとき α^(p^(-1)) ∈ K^(p^(-(n+1)))
よって、L^(p^(-1)) ⊂ L
よって、L = L^(p^(-1))
よって、L = L^p である。
よって、part1の238より L は完全体である。

M を K を含む完全体とする。
M = M^(p^(-1)) より、M = M^(p^(-n))、n = 0、1、2、．．．
よって、K^(p^(-n)) ⊂ M、n = 0、1、2、．．．
よって、L ⊂ M
即ち、L は K を含む最小の完全体である。

L が K の最大の純非分離拡大であることは明らかである。
証明終

定義 480
>>490の L を K の完全閉包(perfect closure)と言い、K^(p^(-∞)) と書く。

Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
K が完全体(part1の222)であればpart1の238より K = K^p である。
よって、K = K^(p^(-n))、n = 1、2、．．．

K が完全体でなければ K ≠ K^p である。
よって、K^(p^(-n)) ≠ K^(p^(-(n+1)))、n = 0、1、2、．．．
よって、K^(p^(-∞)) (>>491) は K 上無限次である。

命題 481
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を拡大(part1の82)とする。
L が K の完全閉包(>>491)であるためには
L が完全体(part1の222)で L/K が純非分離(>>484)であることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
L が完全体で L/K が純非分離であるとする。
>>490より K^(p^(-∞)) は K を含む最小の完全体であり、また K の最大の純非分離拡大である。
よって、K^(p^(-∞)) ⊂ L であり L ⊂ K^(p^(-∞)) である。
即ち、L = K^(p^(-∞)) である。
証明終

命題 482
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
α ∈ Ω を K 上純非分離(>>483)とし、その指数(>>483)を e とする。
a = α^(p^e) とおく。
このとき α の K 上の最小多項式(part1の116)は X^(p^e) - a である。

証明
e は α^(p^e) ∈ K となる最小の整数 e ≧ 0 である。
よって、a は K^p に属さない。
よって、part1の233より X^(p^e) - a は K[X] で既約である。
よって、X^(p^e) - a は α の K 上の最小多項式である。
証明終

命題 483
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
α ∈ Ω を K 上純非分離(>>483)とし、その指数(>>483)を e とする。
このとき [K(α) ： K] = p^e である。

証明
>>494より明らかである。

命題 484
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限(part1の89)かつ純非分離(>>484)とする。
このとき [L ： K] は p の冪である。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) とする。
K_0 = K とし、K_i = K(α_1、．．．、α_i)、i = 1、．．．、n とおく。

K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L

K_i = K_(i-1)(α_i)、i = 1、．．．、n であり、α_i は K 上純非分離(>>483)である。
よって、α_i は K_(i-1) 上純非分離でもある。
よって、>>495より [K_i ： K_(i-1)] は p の冪である。
よって、part1の88より [L ： K] は p の冪である。
証明終

命題 485
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
F を完全体(part1の222)とする。
σ：K → F を埋め込み(part1の121)とする。
L/K を純非分離(>>484)とする。
このとき、埋め込み τ：L → F で σ の拡張であるものが一意に存在する。

証明
part1の148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
任意の α ∈ L に対して α^(p^e) ∈ K となる整数 e ≧ 0 がある。
a = α^(p^e) とおく。
σ(a) = τ(α^(p^e)) = τ(α)^(p^e) ∈ F
よって、τ(α) ∈ F^(p(-e)) = F である。
よって、τ(L) ⊂ F
よって、埋め込み τ：L → F は σ の拡張である。

part1の219より F[X] において X^(p^e) - σ(a) = (X - τ(α))^(p^e) であるから
τ(α) は X^(p^e) - σ(a) の唯一の根である。
よって、τ は σ により一意に決まる。
証明終

命題 486
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
α を Ω の元で K 上代数的(part1の89)とする。
α の K 上の最小多項式を f(X) とする。
このとき、α が K 上純非分離(>>483)であるためには
f(X) が Ω において α 以外の根を持たないことが必要十分である。

証明
必要性：
α が K 上純非分離であるとする。
α^(p^e) ∈ K となる整数 e ≧ 0 がある。
a = α^(p^e) とおく。
part1の219より Ω[X] において X^(p^e) - a = (X - α)^(p^e) であるから
α は X^(p^e) - a の唯一の根である。
f(X) は X^(p^e) - a の因子であるから α は f(X) の唯一の根である。

十分性：
f(X) が Ω において α 以外の根を持たないとする。
>>407より、f(X) = (X - α)^(p^e) となる整数 e ≧ 0 がある。
このとき、α^(p^e) ∈ K だから α は K 上純非分離である。
証明終

くまん

無職のアホ＝クマ

猫

命題 487
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を代数的拡大(part1の90)とする。
L/K が純非分離(>>484)であるためには
任意の埋め込み(part1の121) σ：K → Ω に対して、
埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張であるものが一意に存在することである。

証明
必要性：
L/K が純非分離(>>484)であるとする。
σ：K → Ω を埋め込みとする。
Ω[X] における任意の既約多項式は１次式であるから分離的(part1の193)である。
よって、Ω は完全体(part1の222)である。
よって、>>497より埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張であるものが一意に存在する。

十分性：
任意の埋め込み σ：K → Ω に対して、
埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張であるものが一意に存在するとする。
このとき、K-埋め込み(part1の122) τ：L → Ω は L の元を全て固定するもの以外にない。

K 上純非分離(>>483)でない α ∈ L があるとする。
α の K 上の最小多項式(part1の116)を f(X) とする。
>>498より f(X) は α 以外の根 β を持つ。
part1の165より、K-同型(part1の122) σ：K(α) → K(β) で
σ(α) = β となるものが一意に存在する。
part1の148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
τ(α) ≠ β であるから矛盾である。
証明終

命題 488
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
L/K が純非分離(>>484)であるためには
L/K の分離次数(part1の267) [L : K]_s = 1 であることが必要十分である。

証明
part1の124より L/K は代数的であるから本命題は>>502から直ちに従う。

命題 489
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
このとき、[L_s : K] = [L : K]_s (part1の267)である。

証明
>>268より、[L : K]_s = [L : L_s]_s[L_s : K]_s である。

>>485より L/L_s は純非分離(>>484)であるから>>503より [L : L_s]_s = 1 である。
L_s/K は分離代数的であるからpart1の269より [L_s : K] = [L_s : K]_s である。

よって、[L : K]_s = [L_s : K] である。
証明終

定義 490
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
[L : L_s] を L/K の非分離次数(inseparable degree)と言い [L : K]_i と書く。

>>504
> >>268より、[L : K]_s = [L : L_s]_s[L_s : K]_s である。

part1の268より、[L : K]_s = [L : L_s]_s[L_s : K]_s である。

命題 491
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
L/K が分離的(part1の248)であるためには [L : K]_i = 1 が必要十分である。

証明
自明である。

命題 492
Ω(part1の82)の標数を p とする。
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
p = 0 のとき [L : K]_i (>>505)は 1 であり、
p ＞ 0 のとき [L : K]_i は p の冪(1 = p^0 も含む)である。

証明
p = 0 のときpart1の225より K は完全体(part1の222)である。
よって、L/K は分離的(part1の248)である。
よって、>>507より [L : K]_i = 1 である。

p ＞ 0 のとき L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
>>485より L/L_s は純非分離(>>484)である。
よって、>>496より [L : K]_i = [L ： L_s] は p の冪である。
証明終

命題 493
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
このとき、[L : K] = [L : K]_i[L : K]_s である。

証明
Ω(part1の82)の標数を p とする。
p = 0 の場合：
part1の225より K は完全体(part1の222)である。
よって、L/K は分離的(part1の248)である。
よって、>>507より [L : K]_i = 1 である。
一方、part1の269より [L : K] = [L : K]_s である。
よって、[L : K] = [L : K]_i[L : K]_s である。

p ＞ 0 の場合：
L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
part1の88より [L : K] = [L : L_s][L_s : K] = [L : K]_i[L_s : K]
>>504より [L_s : K] = [L : K]_s である。
よって、[L : K] = [L : K]_i[L : K]_s である。
証明終

命題 494
K を体(part1の82)とし、L/K を有限拡大(part1の87)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、[L : K]_i = [L : M]_i[M : K]_i である。

証明
part1の88より [L : K] = [L : M][M : K]
part1の268より [L : K]_s = [L : M]_s[M : K]_s

他方、>>509より
[L : K]_i = [L : K]/[L : K]_s
[L : M]_i = [L : M]/[L : M]_s
[M : K]_i = [M : K]/[M : K]_s

よって、[L : K]_i = [L : M]_i[M : K]_i である。
証明終

命題 495
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
S を K 上純非分離(>>483)な Ω の元からなる集合とする。
このとき、K(S) (part1の91)は K 上純非分離である。

証明
K^(p^(-∞)) を K の完全閉包(>>491)とする。
S ⊂ K^(p^(-∞)) であるから K(S) ⊂ K^(p^(-∞)) である。
よって、K(S) の各元は K 上純非分離(>>483)である。
よって、K(S) は K 上純非分離(>>484)である。
証明終

命題 496
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
L/K を純非分離(>>484)とする。
M を L/K の中間体(part1の309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ純非分離である。

証明
自明である。

命題 497
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K ⊂ M ⊂ L を体(part1の82)の増大列とし、
M/K と L/M はそれぞれ純非分離(>>484)であるとする。
このとき、L/K も純非分離である。

証明
α を L の任意の元とする。
L/M は純非分離だから α^(p^n) ∈ M となる整数 n ≧ 0 が存在する。
M/K は純非分離だから (α^(p^n))^(p^m) = α^(p^(n+m)) ∈ K となる整数 m ≧ 0 が存在する。
よって、α は K 上純非分離である。
よって、L/K は純非分離である。
証明終

命題 498
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を純非分離(>>484)とし、F/K を任意の拡大(part1の82)とする。
このとき、LF/F は純非分離である。

証明
L の任意の元は K 上純非分離(>>483)であるから F 上純非分離でもある。
LF = F(L) であるから>>511より LF/F は純非分離である。
証明終

命題 499
純非分離(>>484)な拡大(part1の82)全体の集合は正則(part1の136)である。

証明
>>512と>>513と>>514より明らかである。

命題 500
K を体(part1の82)とする。
K が完全体(part1の222)であるためには
K の任意の代数的拡大(part1の90)が分離代数的(part1の248)であることが必要十分である。

証明
必要性：
K が完全体であるとする。
L/K を代数的拡大とする。
任意の α ∈ L の L 上の最小多項式(part1の116)を f(X) とする。
f(X) は K[X] において既約であり、K は完全体だから f(X) は分離的(part1の193)である。
よって、α は K 上分離的(part1の247)である。
よって、L/K は分離代数的である。

十分性：
K の任意の代数的拡大が分離代数的であるとする。
f(X) を K[X] の任意の既約多項式とする。
α を f(X) の Ω(part1の82) における根の一つとする。
仮定より K(α)/K は分離代数的である。
f(X) は α の K 上の最小多項式の定数倍であるから分離的(part1の193)である。
よって、K は完全体である。
証明終

定義 501
K を体(part1の82)とする。
K の任意の代数的拡大(part1の90)が自明(>>178)とき K を代数的閉体と言う。

命題 502
K を体(part1の82)とする。
以下の条件は全て同値である。

1) K は代数的閉体である。

2) K の代数的閉包(part1の128)は K である。

3) K[X] の定数でない多項式は K において少なくとも一つの根を持つ。

4) K[X] の定数でない多項式は K において分解(part1の162)する。

5) K[X] の全ての既約多項式の次数は１である。

証明
ほとんど自明である。

命題 503
K を体(part1の82)とする。
K の代数的閉包(part1の128) K~ は代数的閉体(>>517)である。

証明
L/K~ を代数的拡大(part1の90)とする。
part1の142より L/K は代数的である。
よって、L ⊂ K~、即ち L = K~ である。
よって、K~ は代数的閉体である。
証明終

定義 504
K を体(part1の82)とする。
K の任意の分離代数的拡大(part1の248)が自明(>>178)とき K を分離代数的閉体と言う。

命題 505
K を体(part1の82)とする。
以下の条件は全て同値である。

1) K は分離代数的閉体(>>520)である。

2) K の分離代数的閉包(>>480)は K である。

3) K[X] の分離的多項式(part1の193)は K において少なくとも一つの根を持つ。

4) K[X] の分離的多項式は K において分解(part1の162)する。

5) K[X] の全ての分離的既約多項式の次数は１である。

証明
ほとんど自明である。

命題 506
K を体(part1の82)とする。
K の分離代数的閉包(>>480) K_sep は分離代数的閉体(>>520)である。

証明
L/K_sep を分離代数的拡大(part1の248)とする。
part1の284より L/K は分離代数的である。
よって、L ⊂ K_sep、即ち L = K_sep である。
よって、K_sep は分離代数的閉体である。
証明終

命題 507
K を体(part1の82)とする。
σ：K → F を同型(part1の121)とする。
F_sep を F の分離代数的閉包(>>480)とする。
L/K を分離代数的拡大(part1の248)とする。
このとき、埋め込み τ：L → F_sep で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
part1の148より埋め込み τ：L → Ω(part1の82) で σ の拡張となっているものが存在する。
τ(L) は F 上分離代数的であるから τ(L) ⊂ F_sep である。
証明終

命題 508
K を体(part1の82)とする。
σ：K → F を同型(part1の121)とする。
K_sep と F_sep をそれぞれ K と F の分離代数的閉包(>>480)とする。
このとき、同型 τ：K_sep → F_sep で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
>>523より埋め込み τ：K_sep → F_sep で σ の拡張となっているものが存在する。
F_sep/F は分離代数的(part1の248)であるから
part1の284より F_sep/τ(K_sep) は分離代数的である。

一方、>>522より K_sep は分離代数的閉体(>>520)である。
よって、τ(K_sep) も分離代数的閉体である。
よって、τ(K_sep) = F_sep である。
証明終

熊

命題 509
K を体(part1の82)とする。
L/K を拡大(part1の82)で L は分離代数的閉体(>>520)とする。
K_sep を K の分離代数的閉包(>>480)とする。
このとき、K_sep ⊂ L である。

証明
任意の α ∈ K_sep に対して α の K 上の最小多項式(part1の116)を f(X) とする。
f(X) は分離的(part1の193)であるから>>521より L で分解する。
よって、α ∈ L である。
よって、、K_sep ⊂ L である。
証明終

命題 510
K を体(part1の82)とする。
σ：K → F を同型(part1の121)とする。
E/F を拡大(part1の82)で E は分離代数的閉体(>>520)とする。
L/K を分離代数的拡大(part1の248)とする。
このとき、埋め込み τ：L → E で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
F_sep を F の分離代数的閉包(>>480)とする。
>>523より埋め込み τ：L → F_sep で σ の拡張となっているものが存在する。
一方、>>526より F_sep ⊂ E である。
証明終

命題 511
K を体(part1の82)とする。
σ：K → F を同型(part1の121)とする。
F~ を F の代数的閉包(part1の128)とする。
L/K を代数的拡大(part1の89)とする。
このとき、埋め込み τ：L → F~ で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
part1の148より埋め込み τ：L → Ω(part1の82) で σ の拡張となっているものが存在する。
τ(L) は F 上代数的であるから τ(L) ⊂ F~ である。
証明終

命題 512
K を体(part1の82)とする。
σ：K → F を同型(part1の121)とする。
K~ と F~ をそれぞれ K と F の代数的閉包(part1の128)とする。
このとき、同型 τ：K~ → F~ で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
>>528より埋め込み τ：K~ → F~ で σ の拡張となっているものが存在する。
F~/F は代数的(part1の89)であり、F ⊂ τ(K~) ⊂ F~ である。
よって、part1の142より F~/τ(K~) は代数的である。

一方、>>519より K~ は代数的閉体(>>520)である。
よって、τ(K~) も代数的閉体である。
よって、τ(K~) = F~ である。
証明終

命題 513
K を体(part1の82)とする。
L/K を拡大(part1の82)で L は代数的閉体(>>517)とする。
K~ を K の代数的閉包(part1の128)とする。
このとき、K~ ⊂ L である。

証明
任意の α ∈ K~ に対して α の K 上の最小多項式(part1の116)を f(X) とする。
>>518より f(X) は L で分解する。
よって、α ∈ L である。
よって、、K~ ⊂ L である。
証明終

命題 514
K を体(part1の82)とする。
σ：K → F を同型(part1の121)とする。
E/F を拡大(part1の82)で E は代数的閉体(>>517)とする。
L/K を代数的拡大(part1の89)とする。
このとき、埋め込み τ：L → E で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
F~ を F の代数的閉包(part1の128)とする。
>>528より埋め込み τ：L → F~ で σ の拡張となっているものが存在する。
一方、>>530より F~ ⊂ E である。
証明終

熊支援アゲ

命題 515
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K と F を体(part1の82)とし、σ：K → F を同型(part1の121)とする。
K^(p^(-∞)) と F^(p^(-∞)) をそれぞれ K と F の完全閉包(>>491)とする。
このとき、同型 τ：K^(p^(-∞)) → F^(p^(-∞)) で
σ の拡張となっているものが一意に存在する。

証明
K^(p^(-∞))/K は純非分離(>>484)であり、F^(p^(-∞)) は完全体(part1の222)であるから
>>497より埋め込み τ：K^(p^(-∞)) → F^(p^(-∞)) で
σ の拡張となっているものが一意に存在する。

>>490より F^(p^(-∞)) は F を含む最小の完全体である。
τ(K^(p^(-∞))) は完全体で F を含むから τ(K^(p^(-∞))) = F^(p^(-∞)) である。
証明終

命題 516
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を拡大(part1の82)で L は完全体(part1の222)とする。
K^(p^(-∞)) を K の完全閉包(>>491)とする。
このとき、K^(p^(-∞)) ⊂ L である。

証明
>>490より F^(p^(-∞)) は K を含む最小の完全体である。
よって、K^(p^(-∞)) ⊂ L である。
証明終

命題 517
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を拡大(part1の82)で分離代数的(part1の248)かつ純非分離(>>484)とする。
このとき L = K である。

証明
α を L の任意の元とする。
K(α)/K は有限(part1の89)である。
K(α)/K は分離代数的であるからpart1の269より [K(α) : K] = [K(α) : K]_s
K(α)/K は純非分離であるから>>503より [K(α) : K]_s = 1 である。
よって、[K(α) : K] = 1 である。
よって、K(α) = K である。
即ち α ∈ K である。
よって、L = K である。
証明終

記法
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
S を Ω の部分集合とする。
任意の整数(0 および負の整数も含む) n に対して
Ω の部分集合 {α^(p^n) (>>486)； α ∈ S} を S^(p^n) と書く。

芳雄はいますか？

いたら返事して下さい

命題 518
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
S を Ω の部分集合とする。
n ≧ 1 を整数とする。
このとき、>>536の記法で以下が成り立つ。

1) (K[S])^(p^n) = K^(p^n)[S^(p^n)]
2) (K(S))^(p^n) = K^(p^n)(S^(p^n))

証明
1)
ψ：Ω → Ω をFrobenius自己準同型(part1の220)とする。
(K[S])^(p^n) = ψ^(p^n)(K[S]) = ψ^(p^n)(K)[ψ^(p^n)(S)] = K^(p^n)[S^(p^n)]

2) も同様である。
証明終

命題 519
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を分離代数的拡大(part1の248)とする。
このとき、L = KL^(p^n)、n = 1、2、．．．
ここで、KL^(p^n) は K と L^(p^n) (>>536) の合成体(part1の291)である。

証明
n ≧ 1 を任意の整数とする。
L の任意の元 α に対して α^(p^n) ∈ L^(p^n) ⊂ KL^(p^n)
よって、L/KL^(p^n) は純非分離(>>484)である。
一方、K ⊂ KL^(p^n) ⊂ L で L/K は分離代数的だから
part1の284より L/KL^(p^n) は分離代数的である。
よって、>>535より L = KL^(p^n) である。
証明終

命題 520
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限拡大(part1の87)で L = KL^p とする。
このとき、L/K は分離代数的(part1の248)であり、
L = KL^(p^n)、n = 1、2、．．．となる。

証明
L = KL^p と>>538より L = K(KL^p)^p = K(K^p(L^(p^2))) = KL^(p^2)
よって、L = KL^(p^n)、n = 1、2、．．．となる。

L = K(α_1、．．．、α_n) とする。
L_s を K の L における相対的分離代数的閉包(>>481)とする。
>>485より L/L_s は純非分離(>>484)である。
よって、(α_i)^(p^n) ∈ L_s、i = 1、．．．、n となる整数 n ≧ 1 がある。
よって、L^(p^n) ⊂ L_s となる。
よって、KL^(p^n) ⊂ L_s となる。
一方、上で示したように L = KL^(p^n) である。
よって、L = L_s となり、L/K は分離代数的である。
証明終

命題 521
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限拡大(part1の87)で L = KL^p とする。
ω_1、．．．、ω_n を L/K の線型基底とする。
このとき、(ω_1)^p、．．．、(ω_n)^p も L/K の線型基底である。

証明
L = Kω_1 + ．．． + Kω_n
よって、L^p = (K^p)(ω_1)^p + ．．． + (K^p)(ω_n)^p

一方、part1の289より KL^p = K[L^p]
よって、L = K[L^p] = K(ω_1)^p + ．．． + K(ω_n)^p
よって、(ω_1)^p、．．．、(ω_n)^p は L/K の線型基底である。
証明終

>>541から>>540の別証が得られる。

命題 520
Ω(part1の82)の標数を p ＞ 0 とする。
K を体(part1の82)とする。
L/K を有限拡大(part1の87)で L = KL^p とする。
このとき、L/K は分離代数的(part1の248)である。

証明(Zariski-Samuel)
α ∈ L が K 上分離的(part1の247)でないとする。
α の K 上の最小多項式(part1の116)を f(X) とする。
>>476より f(X) = g(X^(p^e)) となる整数 e ≧ 1 と
分離的(part1の193)かつ既約な g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
f(X) の次数を n とし、g(X) の次数を m とする。
m ＜ n である。
1、α、．．．、α^(n-1) は K 上一次独立であるから
1、α、．．．、α^m は K 上一次独立である。
よって、1、α、．．．、α^m は L の K 上の基底に拡張される。
よって、>>541より 1、α^(p^e)、α^(2p^e)．．．、α^(mp^e) は K 上一次独立である。

一方、g(α^(p^e)) = 0 だから
1、α^(p^e)、α^(2p^e)．．．、α^(mp^e) は K 上一次従属となり矛盾である。
よって、α ∈ L は K 上分離的(part1の247)である。
証明終

ふむ

あへ、あへ。

あほ、あほ。

猫

あほはねこ

命題 522
K を完全体(part1の222)とする。
L/K を代数的拡大(part1の89)とする。
このとき L は完全体である。

証明
E/L を任意の代数的拡大とする。
part1の142より E/K は代数的拡大である。
>>516より E/K は分離代数的(part1の248)である。
part1の284より E/L は分離代数的である。
よって、>>516より L は完全体である。
証明終

よしおの息子　みてるか？

>>539より>>547の別証が得られる。

命題 522
K を完全体(part1の222)とする。
L/K を代数的拡大(part1の89)とする。
このとき L は完全体である。

証明
Ω(part1の82)の標数を p とする。
p = 0 のときはpart1の225より L は完全体である。
よって、p ＞ 0 とする。
>>516より L/K は分離代数的(part1の248)である。
よって、>>539より L = KL^p である。
一方、part1の238より K = K^p である。
よって、K ⊂ L^p
よって、L = KL^p = L^p
よって、part1の238より L は完全体である。
証明終

記法
A を可換環とする。
A-加群 M と N の A 上のテンソル積を (M※N)_A または誤解の恐れがない場合は M※N と書く。
x ∈ M、y ∈ N のとき x と y のテンソル積を x※y と書く。
x※y ∈ M※N である。

テンソル積が毒グモの目に見える。

命題 523
A を可換環とする。
B と C を A-線型環(part1の97)とする。
D = B※C (>>550)とおく。
このとき A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(b※c、b’※c’) = bb’※cc’となるものが一意に存在する。

証明
写像 f：B×C×B×C → D を f(b、c、b’、c’) = bb’※cc’で定義する。
f は各変数に関して A-線型であるから
A-線型写像 λ：B※C※B※C → D があり、fλ(b※c※b’※c’) = bb’※cc’となる。
テンソル積の結合律から B※C※B※C は D※D と同一視できる。
よって、A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(b※c、b’※c’) = λ(b※c※b’※c’) = bb’※cc’となるものが存在する。
μ の一意性は D の元が b※c の形の元の和として表されることから明らかである。
証明終

>>552
>A-線型写像 λ：B※C※B※C → D があり、fλ(b※c※b’※c’) = bb’※cc’となる。

A-線型写像 λ：B※C※B※C → D があり、λ(b※c※b’※c’) = bb’※cc’となる。

命題 524
A を可換環とする。
B と C を A-線型環(part1の97)とする。
D = B※C (>>550)とおく。
>>552より A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(b※c、b’※c’) = bb’※cc’となるものが一意に存在する。
このとき、μ を乗法とすることにより D は A-線型環となる。

証明
D は μ により A-代数(part1の97)となる。
μ は明らかに結合律を満たす。
D は 1※1 を乗法の単位元としてもつ。
よって、D は A-線型環となる。
証明終

　 ,∩ ∩ 　　｜　で、その保形関数をちょこちょこって弄くってやると、ゼータ関数様がその
　 ﾐ ﾞミﾞ ﾐ 　 ｜お姿をお現しになるわけでつ。なんで保形関数なのか？ゼータ関数には
　 ﾐ　　〜 　 ｜　関数等式ってのが成り立って欲しいわけでつ。これはある軸を境に、
　 ﾐ∧,,∧　　｜ ゼータ関数の値が大体対称になっていると言う感じでつかね。
　 ミ,,ﾟДﾟﾐつ＜　このゼータ関数の値の対称性が、保形関数が群の作用によってあんまし変
　　　ﾞＵ　 ﾞﾞ　 |　わんないという対称性とマッチングしていることによるわけでつ。
　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

いちばん簡単な例で説明いたしまふ。
実数の作る空間Rに整数全体Zをx→x+nというふうに作用させまふ。
この作用は実数上の関数ｆ（ｘ）にｆ（ｘ）→ｆ（ｘ+ｎ）てな感じで作用しまふ。
つまり整数ｎごとに、一次変換(x)→f(x+n)ができるわけでつ。
f(x)=exp(2πix)　（ただしi=√-1）　とすると、どんなｎに対してもｆ（ｘ+ｎ）=f(x)
となるので、f(x)は固有ベクトルになってまふ。

￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ∧,,∧　
　ミ,,ﾟДﾟ彡 　　　　　　　　　　　　　　　
　 ﾐつ　つ 　 　　　同時固有ベクトルの「同時」はどんなｎに対しても
〜ﾐ　　ﾐ.　　　 　　 固有ベクトルになってるということね。 　　　
　　Ｕ Ｕ 　　　　　　

命題 525
A を可換環とする。
E を A-線型環(part1の97)とし、B と C をその A-線型部分環(part1の108)とする。
各 b ∈ B と各 c ∈ C に対して bc = cb とする。
D を B と C を含む E の最小の A-線型部分環とする。
このとき D は (b_1)(c_1) + ．．．+ (b_n)(c_n) の形の元全体からなる。
ここで、b_i ∈ B、c_i ∈ C、i = 1、．．．、n である(n の値は D の元による)。

証明
ほぼ自明である。

記法
A を可換環とする。
E を A-線型環(part1の97)とし、B と C をその A-線型部分環(part1の108)とする。
各 b ∈ B と各 c ∈ C に対して bc = cb とする。
このとき、B と C を含む E の最小の A-線型部分環を BC と書く。

命題 526
A を可換環とする。
B と C を A-線型環(part1の97)とする。
D = B※C (>>550)とおく。
>>554より D は A-線型環である。
写像 u：B → D を u(b) = b※1 で定義する。
写像 v：C → D を v(c) = 1※c で定義する。

1) u と v は A-線型環の準同型である。

2) b ∈ B、c ∈ C のとき u(b)v(c) = v(c)u(b)

3) D = u(B)v(C) (>>558)である。

4) E を A-線型環とし、f：B → E と g：C → E を A-線型環の準同型で
b ∈ B、c ∈ C のとき f(b)g(c) = g(c)f(b) とする。
このとき、A-線型環の準同型 λ：D → E で λu = f、λv = g となるものが
一意に存在する。

証明
1) と 2) は自明である。
3) は>>557から明らかである。
4) 写像 h：B×C → E を h(b、c) = f(b)g(c) で定義する。
h は A-双線型であるから A-線型写像 λ：D → E で λ(b※c) = f(b)g(c) となるものが
一意に存在する。
λ が A-線型環の準同型で λu = f、λv = g となることは容易に確かめることが出来る。
λ の一意性は λ(b※c) = λ((b※1)(1※c)) = λ(b※1)λ(1※c) = f(b)g(c) より分かる。
証明終

A を可換環とし、可換な A-線型環(part1の97)と A-線型環の準同型からなる圏を A-CommAlg とする。
>>559より B、C ∈ A-CommAlg のとき B※C (>>554)は
B と C の余積(coproduct)(代数的整数論017の837)である。

いよいよ、群スキームの話か？

定義 527
A を可換環とする。
B と C を A-線型環(part1の97)とする。
>>559の u：B → B※C と v：C → B※C をそれぞれ標準的な準同型と言う。

定義 528
A を可換環とし、E を A-線型環(part1の97)とする。
B を可換な A-線型環とする。
f：B → E※B を標準的な準同型(>>562)とする。
f(B) は E※B の中心に含まれるから、part1の100より E※B は B-線型環と見なされる。
このとき E※B は E の B による係数拡大と言う。

定義 529
K を体(part1の82)とする。
E/K と F/K を拡大(part1の82)とする。
>>559より K-線型環の準同型 λ：E※F → Ω(part1の82) で λ(x※y) = xy となるものが存在する。
λ が単射のとき E と F は K 上線型無関連(linearly disjoint over K)であると言う。

命題 530
A を可換環とする。
(E_i)、i ∈ I と (F_j)、j ∈ J をそれぞれ A-加群の族とする。
E を (E_i)、i ∈ I の直和加群とし、F を (F_j)、i ∈ J の直和加群とする。
このとき E※F (>>550)は標準的に (E_i)※(F_j)、(i, J) ∈ I×J の直和に同型である。

証明
f_i：E_i → E を標準的な単射とし、p_i：E → E_i を標準的な全射とする。
g_i：F_i → F を標準的な単射とし、q_j：F → F_j を標準的な全射とする。
このとき準同型 (f_i)※(g_j)：(E_i)※(F_j) → E※F と
(p_i)※(q_j)：E※F → (E_i)※(F_j) が得られる。

x ∈ E とし、x = Σf_i(x_i) とする。
y ∈ F とし、y = Σg_j(y_j) とする。
このとき、x※y = Σf_i(x_i)※g_j(y_j) = Σ(f_i)※(g_j)(x_i※y_j)
よって、E※F は (f_i)※(g_j)((E_i)※(F_j))、(i, J) ∈ I×J で生成される。

(p_i)※(q_j)((f_i)※(g_j)) = (E_i)※(F_j) 上の恒等写像
よって、(f_i)※(g_j) は単射である。

(k, m) ≠ (i, j) のとき (p_k)※(q_m)((f_i)※(g_j)) = 0、

よって、E※F は (f_i)※(g_j)((E_i)※(F_j))、(i, J) ∈ I×J の直和である。
証明終

命題 531
A を可換環とする。
E を A-加群とする。
このとき x ∈ E に 1※x ∈ A※E (>>550) を対応させる写像は A-加群の同型である。
さらに、この同型は自然同型(代数的整数論018の144)である。
即ち、f：E → F を A-加群の準同型とすると、1※f：A※E → A※F とこれ等の同型は
次の図式を可換にする。

E　→　A※E
↓　　　↓
F　→　A※F

証明
写像 λ:E → A※E を λ(x) = 1※x で定義する。
λ は A-加群の準同型である。

写像 g：A×E → E を g(a, x) = ax で定義する。
g は A-双線型である。
よって、A-加群の準同型 μ：A※E → E で μ(a※x) = ax となるものがある。

このとき、λ と μ は互いに逆写像である。
よって、λ は同型である。
λ が自然変換(代数的整数論017の370)であることは明らかである。
よって、λ は自然同型である。
証明終

>>Kummer
謝罪しろ

>>567
謝罪スルのはオマエや。また出たら叩くゾ。エエな。

猫

>>Kummer
知ったかをするな。

>>569
そういう低能行為をすんなや。

猫

>>Kunner
賠償しなさい

>>571
なるほど。では：
１．その賠償の理由。
２．その根拠となる法律。
３．賠償金額。
を明示した訴状を作成して裁判所に提出するべきでしょうね。

もし何も行動が無い場合は、私が貴方を徹底して叩きます。

猫

>>Kummer
うるさい

>>573
ホウ、サヨカ。ほんでソレがどないしたんや？

猫

>>Kummer
あのな、オマエだけは許せないんだよ。

>>575
あのな、低能だけは許せないんだよ。

猫

>>Kummer
いつでも見ているのでね。そのつもりで。

熊アゲ

猫サゲ

>>577
ワシかて何時も馬鹿を監視してるさかいナ。

猫

クマ

働いて税金を払え

>>Kummer
交渉に応じましょう。

Yasuo Morita is cited 74 times by 75 authors

今年の物故者は

岩堀長慶
卜部東介
森毅
Vieweg

Quillenは？

残念ながら、もう亡くなられました。もう一度お会いしたかったので、
とても残念です。

猫

訂正：

亡くなられました。　→　お亡くなりになられました。

猫

命題 532
A を可換環とする。
E と F をそれぞれ A-加群とする。
(e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底(part1の712)とする。
このとき、E※F (>>550) の任意の元は Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、(x_i)、i ∈ I は F の元の族で有限個の i を除いて 0 である。
よって、E※F は A-加群として F^(I) (part1の709)と同型である。

証明
E※F の任意の元は x※y、x ∈ E、y ∈ F の形の元の和で表される。
よって、E※F の任意の元は Σe_i※x_i と書ける。
この表記が一意であることを証明すればよい。
即ち、Σe_i※x_i = 0 なら各 x_i = 0 となることを示せばよい。

>>565より E※F は (Ae_i※F)、i ∈ I の直和(part1の709)と標準的に同型である。
よって、各 e_i※x_i = 0 である。

一方、各 Ae_i は A と同型である。
よって、>>566より各 Ae_i※F は F に同型である。
この同型は x ∈ F に e_i※x を対応させることにより得られる。
よって、各 x_i = 0 となる。
証明終

命題 533
A を可換環とする。
E と F をそれぞれ A-加群とする。
(e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底(part1の712)とする。
(f_j)、j ∈ J を F の A 上の基底とする。
このとき、(e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J は E※F (>>550) の基底である。

証明
>>587より明らかである。

C を圏とする。
任意の X ∈ C に対して Hom(X, X) を End(X) と書いた(代数的整数論017の453)。
End(X) はモノイド(代数的整数論017の299)である。

任意の X, Y ∈ C に対して Hom(X, Y) がアーベル群の構造を持ち、
射の合成が双線型であるとき C を前加法圏(preadditive category)と呼んだ(代数的整数論019の504)。
このとき、任意の X ∈ C に対して End(X) は環の構造を持つ。

C と D を前加法圏とする。
F：C → D を関手とする。
C の任意の対象 X、Y に対して F：Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が
アーベル群の準同型であるとき F を加法的関手と呼んだ(代数的整数論019の635)。
このとき、F は環の準同型 F：End(X) → End(F(X)) を引き起こす。

C を前加法圏(>>589)とする。
A を環とする。
X ∈ C に対して準同型 ρ：A → End(X) (>>589)が与えられているとする。
このとき X を C の A-対象と呼ぶ。
a ∈ A のとき ρ(a) を記法の濫用で a と書く場合がある。

X と Y を C の A-対象とする。
射 f：X → Y は任意の a ∈ A に対して fa = af となるとき A-射と呼ぶ。

C の A-対象全体と A-射の全体は圏をなす。
これを前加法圏 C における A-対象の圏と呼び C/A と書く。

A を環とする。
A の各元を射とみなすことにより一個の対象 A からなる前加法圏(>>589) C が得られる。
逆に C を一個の対象 X からなる前加法圏とする。
>>589より C の射の全体 End(X) は環の構造を持つ。
よって、環は一個の対象からなる前加法圏とみなすことが出来る。

定義 534
A を環とする。
>>591より A は前加法圏(>>589)とみなせる。
このとき A の双対圏(代数的整数論017の352)を A の双対環または逆環と呼び A^o と書く。
即ち A^o は集合として A と同じで A^o の加法は A の加法と同じとし、
A^o の元 a、b の乗法 ab を A における乗法 ba と定義して得られる環である。

>>Kummer
黙ってろ、カス

>>593
黙ってなアカンのはオマエや。このカスめ。

猫

例
Ab をアーベル群全体のなす圏とする。
Ab は前加法圏(>>589)である。
A を環とする。
C における A-対象の圏 C/A (>>590)とは A-左加群の圏に他ならない。
C における (A^o)-対象の圏 C/A^o とは A-右加群の圏に他ならない。

>>595の修正

例
Ab をアーベル群全体のなす圏とする。
Ab は前加法圏(>>589)である。
A を環とする。
Ab/A (>>590)は A-左加群の圏に他ならない。
A^o を A の双対環(>>592)とする。
Ab/A^o は A-右加群の圏に他ならない。

C と D を圏とする。
C から D への関手を Func(C, D) または Hom(C, D) または D^C と書いた(代数的整数論017の372)。
D^C は自然変換(代数的整数論017の370)を射とすることにより圏となる。
C が小さい圏(代数的整数論017の322)のとき D^C は大きい圏(代数的整数論017の324)である。

>>Kummer
数学を侮辱するんじゃない。

C を一個の対象 X からなる圏とする。
C の射の全体 End(X) (>>589)はモノイドである。
逆にモノイドはその元を射とすることにより圏となる。
従って、圏とはモノイドを拡張した概念と考えることが出来る。
もし圏を数学において基本的な概念とするならモノイドはさらに基本的な概念である。

同様に、>>591より環は一個の対象からなる前加法圏とみなすことが出来る。
よって、前加法圏は環を拡張した概念と考えることが出来る。

>>Kummer
出来ない。阿呆が。

無職のクマ　働け

まんこ

>>Kummer
絶対に許さない。

>>597
>C から D への関手を Func(C, D) または Hom(C, D) または D^C と書いた(代数的整数論017の372)。

C から D への関手全体を Func(C, D) または Hom(C, D) または D^C と書いた(代数的整数論017の372)。

C と D を前加法圏(>>589)とする。
C から D への加法的関手(>>589)全体を Add(C, D) と書いた(代数的整数論020の413)。
Add(C, D) は自然変換(代数的整数論017の370)を射とすることにより圏となる。
Add(C, D) は D^C(>>597)の充満部分圏(過去スレ017の362)である。

>>Kummer
謝罪すべき。

税金をはらえ

前加法圏の定義(>>589)において C は局所的に小さい圏(代数的整数論017の343)であることを
仮定している。
即ち、任意の X, Y ∈ C に対して Hom(X, Y) は小さい集合(代数的整数論017の321)である。

C を前加法圏(>>589)とし、I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
このとき代数的整数論019の724より C^I(>>604)は前加法圏(>>589)である。
C と D を前加法圏するとき>>605より Add(C, D) は D^C の充満部分圏(過去スレ017の362)である。
よって、C が小さい圏であれば Add(C, D) は前加法圏である。

>>Kummer
うるせぇんだよ、お前

>>610
うるせぇのはお前や。サッサと失せろや。そやないと憎しみで叩くゾ。

猫

A を環とする。
>>591より A は前加法圏(>>589)とみなせる。
C を前加法圏とし、F：A → C を加法的関手(>>589)とする。
X = F(A) とおく。
F は A → End(X) (>>589) への準同型と見なすことが出来る。
即ち、X は C の A-対象(>>590)である。

F：A → C と G：A → C を加法的関手とする。
τ：F → G を自然変換(代数的整数論017の370)とする。
a を A の元とする。
これは射 a：A → A と見なされる。
このとき射 F(a)：F(A) → F(A) と射 G(a)：G(A) → G(A) が引き起こされる。
このとき、次の可換図式が得られる。

F(A)　→　G(A)
↓　　　　↓
F(A)　→　G(A)

即ち、自然変換 τ：F → G とは A-射(>>590)に他ならない。
よって、Add(A, C) (>>605)は C/A (>>590)に他ならない。

Ab をアーベル群全体のなす圏とする。
A を環とする。
>>596と>>612より Add(A, Ab) (>>605)は A-左加群の圏に他ならない。

定義を記号ばかりw
内容のない形式のみw

ばかのきわみ＝クマ

>>614
馬鹿の極みはアンタや。

猫

>>Kummer
いい加減間違いだらけの数学を冒涜する記述はやめてもらいたい。
さもなくば…　分かるね？

>>616
いい加減アホを晒すのはやめてもらいたい。
さもなくば焼け野が原にスルだけや。分かるね？

猫

猫もクマも下らん

猫

猫は詭弁の塊ｗ

>>620
馬鹿という敵を撲滅スル為ならば、どんな方法でも用いるという考え方。
加えて詭弁はそもそもはアンタ等の専売特許や。ワシはソレをアンタ等
から学んだだけや。そやし文句言うなや。

猫

猫

定義 535
C を前加法圏(>>589)とする。
A と B をそれぞれ環とする。
X ∈ C を A-対象(>>590)かつ B-対象(>>590)であるとする。
a ∈ A は射 a：X → X を引き起こす(記法の濫用>>590)。
同様に b ∈ B は射 b：X → X を引き起こす。
任意の a ∈ A と b ∈ B に対して End(X) (>>589)において ab = ba となるとき
X を C の (A、B)-対象と言う。

>>613
モノイドや環ばかりでなく体やホップ代数
なども圏で表現することは可能なんですか？

A と B をそれぞれ環とする。
A と B はそれぞれ有理整数環 Z 上の線型環(part1の97)と見なされる。
A※B を Z 上のテンソル積とする。
A※B は Z 上の線型環と見なされる(>>554)。
即ち A※B は環になる。

μ：A → A※B を μ(x) = x※1 で定義される写像とする。
ν：B → A※B を ν(y) = 1※y で定義される写像とする。
μ と ν はそれぞれ環準同型である。

C を前加法圏(>>589)とする。
X を C の (A、B)-対象(>>623)とする。
ρ：A → End(X) を A-対象としての X を定義する準同型とする。
同様に、σ：B → End(X) を B-対象としての X を定義する準同型とする。
ρ(A) の元と ρ(B) の元は End(X) において可換である。
よって、>>559より環の準同型 λ：A※B → End(X) で λμ = ρ、λν = σ となるものが
一意に存在する。
よって、X は (A※B)-対象となる。

逆に X を C の (A※B)-対象とする。
このとき μ：A → A※B により X は A-対象になる。
同様に ν：B → A※B により X は B-対象になる。
このとき X は (A、B)-対象(>>623)である。

以上から (A、B)-対象は (A※B)-対象と同一視される。

>>624
可換環上の線型環(part1の97)のなす圏はテンソル積(>>554)により単子圏(monoidal category)となる。
Hopf代数はこの単子圏における一般化された余群対象(cogroup object)として特徴付けられる。

>>626
貴重な情報をありがとうございます。今後も楽しみにしております。

>>626
単子圏(monoidal category)

この訳語はぴったりだな。

kummerさん応援してます！

と見せかけて、謝罪と賠償を要求します

>>625
>ρ(A) の元と ρ(B) の元は End(X) において可換である。

ρ(A) の元と σ(B) の元は End(X) において可換である。

定義 536
C を前加法圏(>>589)とする。
A と B をそれぞれ環とする。
X と Y を C の (A、B)-対象(>>623)とする。
>>625より X と Y はそれぞれ (A※B)-対象と同一視される。
(A※B)-射(>>590) f：X → Y のことを (A, B)-射という。
C の (A、B)-対象全体と (A、B)-射の全体は圏をなす。
これを前加法圏 C における (A、B)-対象の圏と呼び C/(A、B) と書く。
即ち、C/(A、B) は C における (A※B)-対象の圏 C/A※B (>>590)に他ならない。

A と B をそれぞれ環とする。
A※B を Z 上のテンソル積とする。
A※B は Z 上の線型環と見なされる(>>554)。
即ち A※B は環になる。
μ：A → A※B を μ(x) = x※1 で定義される写像とする。
ν：B → A※B を ν(y) = 1※y で定義される写像とする。
μ と ν はそれぞれ環準同型である。

C を前加法圏(>>589)とする。
X と Y を C の (A、B)-対象(>>623)とする。
f：X → Y を (A、B)-射(>>632)とする。
ρ：A → End(X) を A-対象としての X を定義する準同型とする。
σ：B → End(X) を B-対象としての X を定義する準同型とする。
ρ’：A → End(Y) を A-対象としての Y を定義する準同型とする。
σ’：B → End(Y) を B-対象としての Y を定義する準同型とする。
>>559より環の準同型 λ：A※B → End(X) で λμ = ρ、λν = σ となるものが
一意に存在する。
同様に環の準同型 λ’：A※B → End(Y) で λ’μ = ρ’、λ’ν = σ’ となるものが
一意に存在する。

f は (A※B)-射(>>590)であるから任意の a ∈ A と任意の b ∈ B に対して
fλ(a※b) = λ’(a※b) となる。
λ(a※b) = λ(μ(a)ν(b)) = λ(μ(a))λ(ν(b)) = ρ(a)σ(b)
同様に λ’(a※b) = ρ’(a)σ’(b)
よって、f(ρ(a)σ(b)) = (ρ’(a)σ’(b))f
即ち、記法の濫用(>>590)で f(ab) = (ab)f である。
これが C の射 f：X → Y が (A、B)-射(>>632)となるための条件である。

>>633
>A※B を Z 上のテンソル積とする。

A※B を有理整数環 Z 上のテンソル積とする。

>>633の続き

b = 1 とすると f(ρ(a)σ(1)) = (ρ’(a)σ’(1))f
よって、fρ(a) = ρ’(a)f
よって、(A、B)-射 f は A-射(>>590)でもある。
同様に f は B-射(>>590)でもある。

逆に C の射 f：X → Y が A-射でもあり B-射でもあるとする。
任意の a ∈ A と任意の b ∈ B に対して
記法の濫用(>>590)で
f(ab) = (fa)b = (af)b = a(fb) = a(bf) = (ab)f
よって、f は (A、B)-射(>>632)である。

A と B をそれぞれ環とする。
C を前加法圏(>>589)とする。
X ∈ C を A-対象(>>590)とする。
ρ：A → End(X) (>>589)を A-対象としての X を定義する準同型とする。
>>612より C/A (>>590)は Add(A, C) (>>605)と同一視されるから>>609より前加法圏である。
このとき、X は C/A の B-対象でもあるとする。
A-射(>>590) X → X 全体の集合を (End_A)(X) と書くことにする。
C/A は前加法圏であるから (End_A)(X) は環である。
σ：B → (End_A)(X) を C/A の B-対象としての X を定義する準同型とする。
任意の b ∈ B に対して σ(b)：X → X は A-射であるから
任意の a ∈ A に対して σ(b)ρ(a) = ρ(a)σ(b) である。
よって、X は C の (A、B)-対象(>>623)である。
逆に C の (A、B)-対象は C/A の B-対象と見なされる。
よって、Add(B, Add(A, C)) (>>605)は Add(A※B, C) = C/(A, B) (>>632) と同一視される。
同様に、Add(A, Add(B, C)) は C/(A、B) と同一視される。

記法
A と B をそれぞれ環とする。
A^o と B^o をそれぞれ A と B の双対環(>>592)とする。
Ab をアーベル群全体のなす圏とする。
Ab/A (>>590)、即ち A-左加群の圏を A-Mod と書く。
Ab/A^o、即ち A-右加群の圏を Mod-A と書く。
Ab/(A, B) (>>632)を (A, B)-左加群の圏と言い、(A, B)-Mod と書く。
Ab/(A, B^o) を (A, B)-両側加群の圏と言い、A-Mod-B と書く。
即ち、A-Mod-B = (A, B^o)-Mod である。
３個以上の環に対しても同様の記法を用いる。

C と D をそれぞれ前加法圏(>>589)とする。
F：C → D を加法的関手(>>589)とする。
A を環とし、X と Y をそれぞれ C の A-対象(>>590)とする。
ρ：A → End(X) を A-対象としての X を定義する準同型とする。
σ：A → End(Y) を A-対象としての Y を定義する準同型とする。
F：End(X) → End(F(X)) は環準同型であるから
F(X) は Fρ：A → End(F(X)) により D の A-対象となる。
同様に F(Y) は Fσ：A → End(F(Y)) により D の A-対象となる。
f：X → Y を A-射(>>590)とする。
任意の a ∈ A に対して fρ(a) = σ(a)f である。
よって、F(f)(Fρ(a)) = (Fσ(a))F(f)
よって、F(f)：F(X) → F(Y) は A-射である。

以上から F は C/A (>>590)から D/A への加法的関手を引き起こす。
この関手は F と同じ記号で表す。

記法
C を圏とする。
C の双対圏(代数的整数論017の304)を C^o と書く。

C と D を圏とする。
C^o (>>639)から D への関手を
C から D への反変関手(contravariant functor)と呼んだ(代数的整数論017の305)。
C と D をそれぞれ前加法圏(>>589)とする。
F：C^o → D を加法的関手(>>589)とする。
このとき F を C から D への加法的反変関手と呼ぶ。

C と D をそれぞれ前加法圏(>>589)とする。
F：C → D を加法的反変関手(>>640)とする。
A を環とし、X と Y をそれぞれ C の A-対象(>>590)とする。
ρ：A → End(X) を A-対象としての X を定義する準同型とする。
σ：A → End(Y) を A-対象としての Y を定義する準同型とする。
F：End(X)^o → End(F(X)) は環準同型であるから
F(X) は Fρ：A^o → End(F(X)) により D の (A^o)-対象となる。
同様に F(Y) は Fσ：A^o → End(F(Y)) により D の (A^o)-対象となる。
f：X → Y を A-射(>>590)とする。
任意の a ∈ A に対して fρ(a) = σ(a)f である。
よって、(Fρ(a))F(f) = F(f)(Fσ(a))
よって、F(f)：F(Y) → F(X) は (A^o)-射である。

以上から F は C/A (>>590)から D/A^o への加法的反変関手を引き起こす。
この関手は F と同じ記号で表す。

A を可換環とし、M を A-加群とする。
E ∈ A-Mod (>>637)に対して E※M ∈ A-Mod を A 上のテンソル積(>>550)とする。
E に E※M を対応させることにより関手 A-Mod → A-Mod が得られる。
この関手を -※M と書く。

B を A 上の線型環(part1の97)とする。
B は B-左加群と見なせる。
A の元の B への作用と B の元の B の左からの作用は可換である。
よって、B ∈ (A, B)-Mod (>>637)である。
よって、>>636より B は A-Mod における B-対象(>>590)と見なされる。
よって、>>638より B※M は A-Mod における B-対象、即ち (A, B)-Mod の対象となる。
b、c ∈ B、x ∈ M のとき b(c※x) = (bc)※x である。

B-左加群 B※M を A-加群 の B による係数環拡大と呼ぶ。

>>642
>B-左加群 B※M を A-加群 の B による係数環拡大と呼ぶ。

B-左加群 B※M を A-加群 M の B による係数環拡大と呼ぶ。

話は変わるがこのスレのpart1とpart2は代数的整数論のスレでも参照するので
後で見たい人は見れなくなる前に退避しておくことをお勧めする。

A を環とし、M を A-加群とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ A-Mod (>>637)に対して Hom(M, E) ∈ Z-Mod である。
E に Hom(M, E) を対応させることにより加法的関手(>>589) A-Mod → Z-Mod が得られる。
この関手を Hom(M, -) と書く。

E ∈ A-Mod に対して Hom(E, M) ∈ Z-Mod である。
E に Hom(E, M) を対応させることにより加法的反変関手(>>640) A-Mod → Z-Mod が得られる。
この反変関手を Hom(-, M) と書く。

B を環とし、E ∈ (A, B)-Mod (>>637)とする。
このとき、>>638より Hom(M, E) ∈ B-Mod であり、
>>641より Hom(E, M) ∈ Mod-B (>>637)である。

記法
A を環とする。
E、F ∈ A-Mod (>>637) のとき Hom(E, F) を Hom_A(E, F) とも書く。

A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)
F ∈ A-Mod
G ∈ Z-Mod = Ab (>>637)
のとき Hom_Z(E, G) (>>646) は>>645より A-Mod の対象である。
よって、Hom_A(F, Hom_Z(E, G)) が意味を持つ。
ψ ∈ Hom_A(F, Hom_Z(E, G)) とする。
x ∈ E、y ∈ F のとき ψ(y)(x) ∈ G を f(x, y) と書く。
任意の x, x’∈ E と
任意の y, y’∈ F と
任意の a ∈ A に対して以下が成り立つことは容易にわかる。

(�@) f(x + x’, y) = f(x, y) + f(ｘ’, y)
(�A) f(x, y + y’) = f(x, y) + f(ｘ, y’)
(�B) f(xa, y) = f(x, ay)

一般に E ∈ Mod-A と F ∈ A-Mod と G ∈ Ab に対して
写像 f: E×F → G で上の条件(�@)、(�A)、(�B) を満たすものを平衡写像と言った(代数的整数論017の600)。

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クマｗ　無職ははいっとらんぞｗ

A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)と F ∈ A-Mod と G ∈ Ab (>>637)に対して
f: E×F → G を平衡写像(>>647)とする。
写像 ψ：F → Hom_Z(E, G) (>>646)を ψ(y)(x) = f(x, y) により定義する。
>>645より Hom_Z(E, G) ∈ A-Mod である。
y、y’∈ F、x ∈ E、a ∈ A のとき
ψ(y + y’)(x) = f(x, y + y’) = f(x, y) + f(x, y’) = ψ(y)(x) + ψ(y’)(x)
よって、ψ(y + y’) = ψ(y) + ψ(y’)

ψ(ay)(x) = f(x, ay) = f(xa, y) = ψ(y)(xa) = aψ(y)(x)
よって ψ(ay) = aψ(y)
よって、ψ ∈ Hom_A(F, Hom_Z(E, G)) である。

平衡写像 f: E×F → G の全体を B(E×F、G) と書く。
上記と>>647より B(E×F、G) の各元と Hom_A(F, Hom_Z(E, G)) の各元は１対１に対応する。

>>Kummer
踊れ。ここでな。

定義 537
A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)、F ∈ A-Mod とする。

直積集合 E×F に対して自由加群 Z^(E×F) (part1の709)を考える。
Z^(E×F) の部分群で次の形の元全体で生成されるものを H とする。
x, x’∈ E、y, y’∈ F、a ∈ A に対して

(�@) (x + x’, y) - (x, y) - (ｘ’, y)
(�A) (x, y + y’) - (x, y) - (ｘ, y’)
(�B) (xa, y) - (x, ay)

Z^(E×F)/H を (E※F)_A または誤解の恐れがない場合は E※F と書き、
E と F の A 上のテンソル積と言う。
x ∈ E、y∈ F のとき (x, y) ∈ Z^(E×F) の mod H の像を x※y と書く。

命題 538
A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)、F ∈ A-Mod とする。
G ∈ Ab (>>637)と平衡写像(>>647) f: E×F → G の組 (f、G) 全体 Ψ を考える。
(f、G)、(g、H) ∈ Ψ のとき射 λ：(f、G) → (g、H) を準同型 λ：G → H で
λf = g となるものと定義する。
明らかに Ψ は圏となる。
(x, y) ∈ E×F に x※y ∈ E※F (>>651)を対応させる写像を h とする。
このとき (h、E※F) は Ψ の始対象(代数的整数論017の288)である。
即ち、(h、E※F) ∈ Ψ であり、任意の (f、G) ∈ Ψ に対して
射 λ：(h、E※F) → (f、G) が一意に存在する。

証明
明らかに (h、E※F) ∈ Ψ である。
(x、y) ∈ E×F に対して ψ((x、y)) = f(x、y) となる準同型 ψ：Z^(E×F) → G が
一意に定まる。
>>651で定義した Z^(E×F) の部分群 H に対して ψ(H) = 0 である。
よって、ψ は準同型 λ：E※F → G を引き起こす。
λ(x※y) = f(x、y) であるから λh = f である。
即ち λ：(h、E※F) → (f、G) は Ψ における射である。
E※F は x※y の形の元で生成されるから射 λ：(h、E※F) → (f、G) は一意に定まる。
証明終

kuma age

命題 539
A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)、F ∈ A-Mod とする。
このときアーベル群の同型 φ：Hom(E※F、G) → Hom_A(F, Hom_Z(E, G)) が存在する。

証明
平衡写像 f: E×F → G の全体を B(E×F、G) と書く。
B(E×F、G) は自明な算法でアーベル群となる。
>>652より B(E×F、G) の元 f に対して λh = f となる λ ∈ Hom(E※F、G) が一意に定まる。
この対応により B(E×F、G) はアーベル群として Hom(E※F、G) に同型である。
他方、>>647と>>649より B(E×F、G) は Hom_A(F, Hom_Z(E, G)) と同型である。
証明終

>>654
>E ∈ Mod-A (>>637)、F ∈ A-Mod とする。

E ∈ Mod-A (>>637)、F ∈ A-Mod、G ∈ Ab (>>637)とする。

命題 540
A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637) とする。
G ∈ Ab (>>637)に対して T(G) = Hom_Z(E, G) とおく。
T は加法的関手 T：Ab → A-Mod を定める。
F ∈ A-Mod に対して S(F) = E※F とおく。
S は加法的関手 S：A-Mod → Ab を定める。
>>654よりアーベル群の同型 φ(F、G)：Hom(S(F)、G) → Hom_A(F, T(G)) が存在する。
このとき、φ(F、G) は２変数 (F、G) の関手 Hom(S(F)、G) から Hom_A(F, T(G)) への
自然同型(代数的整数論018の144)である。
即ち、S は T の左随伴関手(代数的整数論019の362)である。

証明
代数的整数論019の363より以下を証明すればよい。
A-Mod における任意の射 f：D → F と Ab における任意の射 u：G → H に対して
次の二つの図式が可換になる。

Hom(S(F), G) → Hom(F, T(G))
　　　↓　　　　　　　↓
Hom(S(D), G) → Hom(D, T(G))

Hom(S(F), G) → Hom(X, T(G))
　　　↓　　　　　　　↓
Hom(S(F), H) → Hom(X, T(H))

上記を確かめるのは読者に任す。
証明終

あたまのおかしい奴だな
しばらく消えていたかと思えば
ガロアのスレをみて
ガロア理論を書き込もうと思い立つなんてw

A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)、F ∈ A-Mod、G ∈ Ab (>>637) とする。
>>645より Hom_Z(F, G) (>>646) ∈ Mod-A である。
よって、Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) が意味を持つ。
ψ ∈ Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) とする。
x ∈ E、y ∈ F のとき ψ(x)(y) ∈ G を f(x, y) と書く。
任意の x, x’∈ E と
任意の y, y’∈ F と
任意の a ∈ A に対して以下が成り立つことは容易にわかる。

(�@) f(x + x’, y) = f(x, y) + f(ｘ’, y)
(�A) f(x, y + y’) = f(x, y) + f(ｘ, y’)
(�B) f(xa, y) = f(x, ay)

即ち、写像 f: E×F → G は平衡写像(>>647)である。

A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)と F ∈ A-Mod と G ∈ Ab (>>637)に対して
f: E×F → G を平衡写像(>>647)とする。
写像 ψ：E → Hom_Z(F, G) (>>646)を ψ(x)(y) = f(x, y) により定義する。
>>645より Hom_Z(F, G) ∈ Mod-A である。

x、x’∈ E、y ∈ E、a ∈ A のとき
ψ(x + x’)(y) = f(x + x’, y) = f(x, y) + f(x’, y) = ψ(x)(y) + ψ(x’)(y)
よって、ψ(x + x’) = ψ(x) + ψ(x’)

ψ(xa)(y) = f(xa, y) = f(x, ay) = ψ(x)(ay) = ψ(x)a(y)
よって ψ(xa) = ψ(x)a

よって、ψ ∈ Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) である。

平衡写像 f: E×F → G の全体を B(E×F、G) と書いた(>>649)。
上記と>>658より B(E×F、G) の各元と Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) の各元は１対１に対応する。

f、g ∈ B(E×F、G) のとき (f + g)(x、y) = f(x, y) + g(x, y) により
写像 f + g：E×F → G を定義すれば f + g ∈ B(E×F、G) である。
B(E×F、G) はこの算法によりアーベル群となる。
このとき、B(E×F、G) と Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) は上記の対応でアーベル群として同型である。

命題 541
A を環とする。
Z を有理整数環とする。
E ∈ Mod-A (>>637)と F ∈ A-Mod と G ∈ Ab (>>637)とする。
このときアーベル群の同型 ρ：Hom(E※F、G) → Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) が存在する。

証明
平衡写像 f: E×F → G の全体を B(E×F、G) と書く。
B(E×F、G) は自明な算法でアーベル群となる。
>>652より B(E×F、G) の元 f に対して λh = f となる λ ∈ Hom(E※F、G) が一意に定まる。
この対応により B(E×F、G) はアーベル群として Hom(E※F、G) に同型である。
他方、>>659より B(E×F、G) はアーベル群として Hom_A(E, Hom_Z(F, G)) と同型である。
証明終

命題 542
A を環とする。
Z を有理整数環とする。
F ∈ A-Mod (>>637) とする。
G ∈ Ab (>>637)に対して T(G) = Hom_Z(F, G) とおく。
>>645より T(G) ∈ Mod-A である。
T は加法的関手 T：Ab → Mod-A を定める。
E ∈ Mod-A に対して S(E) = E※F とおく。
S は加法的関手 S：Mod-A → Ab を定める。
>>660よりアーベル群の同型 ρ(E、G)：Hom(S(E)、G) → Hom_A(E, T(G)) が存在する。
このとき、ρ(F、G) は２変数 (E、G) の関手 Hom(S(E)、G) から Hom_A(E, T(G)) への
自然同型(代数的整数論018の144)である。
即ち、S は T の左随伴関手(代数的整数論019の362)である。

証明
>>656と同様である。

次の定義は周知だが論理的には>>656の前に持ってくるべきだった。

定義 543
E、E’∈ Mod-A (>>637)、F、F’∈ A-Mod とする。
f：E → E’と g：F → F’をそれぞれ A-準同型とする。
(x、y) ∈ E×F に f(x)※g(y) ∈ E’※F’を対応させる写像は平衡写像(>>647)である。
よって、>>652よりアーベル群の準同型 λ：E※F → E’※F’で
任意の (x、y) ∈ E×F に対して λ(x※y) = f(x)※g(y) となるものが一意に存在する。
この λ を f と g のテンソル積と言い f※g と書く。

クマ―

謝罪と賠償を請求するニダ

>>Kummer
この糞野郎、謝罪しやがれ

>>664
謝罪せなアカン糞野郎はオマエや。静かにせえへんとワシが叩くゾ。

猫

>>663
ちゃんと書類を纏めてソレを裁判所へ提出して戦えや。ワシは徹底して
熊氏の味方をスルさかいナ。このド阿呆め。

猫

クマ―

謝罪と賠償を請求するニダ
精神的苦痛を許さないニダ

>>667
こういう事でオマエ等が精神的苦痛を味わってるのをワシは良く知って
るのや。そやからこうやってオマエ等に対して徹底的な嫌がらせをして
るっちゅう訳やね。そやしもっともっと苦しめや。

ほんで文句があったら裁判所へ訴えて出ろや。ワシが返り討ちにしたる。

猫

謝罪と賠償を請求するニダ

猫に賠償を請求するニダ

>>669
もっと苦しめ。そして馬鹿は消滅せよ。馬鹿の遊び場は不必要。

猫

>>669
苦しんで血反吐を吐けや。ワシが見てるさかいナ。

猫

>>Kummer
罪を自覚せよ

>>672
罪を自覚スルのはオマエや。徹底して叩くさかいナ。

猫

>>Kummer
罪を償いなさい

>>674
オマエはその罪は償わんでもエエ。唯単に消えるだけでエエのやからナ。

猫

>>Kummer
現在監視中。注意するように。

>>676
ワシかて監視中や。そやけど注意せえへんでもエエよ。アホを晒したら
ソコをテコにして攻撃スルだけやさかいナ。そやし気楽にカキコせえや。

猫

>>Kummer
継続中です。

謝罪と賠償を請求するニダ

猫に賠償を請求するニダ

>>679
ほんなら金額を言うてミロや。憎しみを以て馬鹿にしたるさかいナ。

猫

>>679
コラ、金額はナンボや。嘲笑ったるさかい、言うてミロや。

猫

>>Kummer
謝罪はよ！