数3できるひと証明手伝ってくれ　　　

↓これ証明したいけどできない
http://iup.2ch-library.com/i/i0471622-1320831584.jpg

lim[n→∞]{�納r=0→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}/n^n}=1


http://iup.2ch-library.com/i/i0471624-1320832007.jpg

lim[n→∞]{�納r=1→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}/n^n}=(e-1)/e


ヒントだけでもいいから教えて！

あと、自作問題だから、どっかの入試問題ではない

嘘ついて宿題やってもらおうってか

本当に自作したのなら、この証明の要点がわからないはずないからな

上�納r=0→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}=(1+n-1)^n=n^n

下lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e

>>2
まず、1/nの確率で起こる事象をn回やったときに最低１回は起こる確率Pnを
lim[n→∞]Pnのときで調べるとき、1-(1度も起こらない確率)だからこれを求めたら
P[∞]=(e-1)/e
でも、Pn=1回起こる確率＋2回起こる確率＋・・・n回起こる確率　でもでるはずだから、
このときのP[∞]が
http://iup.2ch-library.com/i/i0471624-1320832007.jpg
lim[n→∞]{�納r=1→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}/n^n}=(e-1)/e
となったカンジ
=1のはすべての確率の合計だから1のはず

lim_{n→∞}((1-1/n)^n)=1/e が成り立つ,これの証明が意外に難しい.
exp(x)=�農{n=0}^{∞}x^n/n! で定義されるものとする.
明らかにexp(0)=1, また,この級数は冪級数で各点収束する(二項間の比が限りなく小さくなるのでそうなる)ので特に絶対値収束する.
exp(x+y)=�農{n=0}^{∞}(x+y)^n/n!=�農{n=0}^{∞}�農{m=0}^{n}x^(n-m)y^m/(n-m)!/m!=�農{n=0}^{∞}x^n/n!�農{m=0}^{∞}y^m/m!=exp(x)exp(y).
ゆえにexp(-1)=exp(-1+1)/exp(1)=1/e, ここでe=exp(1).
lim_{n→∞}(1+x/n)^n=lim_{n→∞}�農{m=0}^{n}x^m*n!/m!/(n-m)!/n^m=?exp(x).
あとはこの?をつけた部分を証明すればよい.

>>3>>5
上のは普通の区分求積？
もう少し詳しく知りたい

下のその式を使って>>4のP[∞]=(e-1)/eを出したから分かるんだが、Σの解消方法がわからん

>>6
ただの二項定理

>>7
詳しく
いまググったけど、今回のとどう組み合わせればいいかわかんない
ってかこれって高校レベル？

詳しくも何も>>3で書いたことはずばり二項定理そのままなんだが
n^nはΣの外に出す

何単発質問でスレ立ててんだよ
削除依頼出してこい

>>8
難しい定理だけど一年生で習うよ

xを実数としnを|x|より大きい自然数とする.
lim_{n→∞}(1+x/n)^n=lim_{n→∞}�農{m=0}^{n}x^m*n!/m!/(n-m)!/n^m=lim_{n→∞}�農{m=0}^{n}x^m/m!*Π_{k=1}^{m}(1-(k-1)/n).
�農{m=0}^{n}x^m/m!*Π_{k=1}^{m}(1-(k-1)/n) はnに関して単調増加であり,exp(x)より大きくはならず,exp(x)のどの部分和に対してもnが十分大きいときそれより大きくなる.
ゆえにlim_{n→∞}((1+x/n)^n)=exp(x).

問題とは関係ないが誰か次は複素数zに対してlim_{n→∞}((1+z/n)^n)=exp(z)を証明してみないか.

>>9
×　n^nはΣの外に出す
○ 1/n^nはΣの外に出す
だった

どうやらxが負の数についてはexp(x)の部分和は奇数次のものを選ばなくてはならないようだ.

lim_{n→∞}((1+x/n)^n)の性質はexpの性質を調べることとは特に関係ないので,(1+x/n)^xの極限を調べるのはexpの性質を十分調べてからでも遅くはない.
(1+x/n)^n=exp(nln(1+x/n))=exp(ln(1+x(1/n))/(1/n))→exp(x)

ローカルルールを守っていたいスレで回答はやめなさい

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