面白い問題おしえて～な十九問目

2get

おついち

どんとこい

将棋盤の上にワンセットすべての駒をとることができないように置くことは可能か？
全て同じ向き、成る前

□歩□歩←これはいい

歩□□飛←これはダメ

>>5
味方の駒は取れない

>>5
１一香とか二歩とか、通常の将棋で禁じ手となるような置き方も駄目なの？

>>7

この問題においては、二歩や行き所のない駒の配置は認められている。

http://ja.wikipedia.org/wiki/将棋パズル

>>8
あれ？40枚全部置けたはず何だが

とりあえず改題
全ての駒を成った状態なら何枚置けるか？

ここら辺で休憩...

反則例（2005、2006）
　http://www.youtube.com/watch?v=qSTSCIi0C1Q
　http://www.youtube.com/watch?v=aRZZ8m2umpE

連続する3つの整数の二乗の和で表現できる整数の数列の一般式を見つけなさい。

n^2+(n+1)^2+(n+2)^3

ミスった

1+1を計算しなさい。
ただし、どのような条件の計算であるかも
あわせて説明しなさい。

(多分全部で7個くらいかな？)

記号"1"、"+"、それから"計算"の定義をどうぞ。

1+1=0（2を法とする剰余体）
1+1=1（ブーリアン）
1+1=2（実数）
1+1=10（2進法）
1+1=11（文字列結合）

5個しかみつかんねえ

1+1=0(2を法とする剰余体・合同式)
1+1=1(ブーリアン・論理演算)
1+1=2(実数)
1+1=10(二進法)
1+1=11(文字列結合)

1+1=101(単位の相違。答えはいくらでもある)
↑流石にこれはなぞなぞみてーだな

適当な２変数関数 f(x,y) を x+y と書くことにする
変数の適当な値 a を 1 と書くことにする
と記号を再定義すれば、好みの f と a について f(a,a) を 1+1 と表せる。
>>15が言ってるのはそういうことではないか？

田んぼの田はダメなの？

それが数学だと自信を持って言えるならＯＫ

>>18を踏まえれば>>14はパズルだな。

最初に、1番からn番までの箱にそれぞれa(n)個の石が入っている。

k番目の箱からk-1番目の箱に1個以上の石を移す
または、1番目の箱から1個以上の石を出す

この操作を先手後手交互に繰り返し、手が無くなったほうが負けとする。
後手必勝となる条件を求めよ。

Σ[k=1,n]ka(k)=2N？

あ、1個ずつだと思いましたすいません

まず「奇数箱に石がない」状態を考える。
先手は偶数箱から奇数箱に動かす動作しかできない。
もちろん勝つ瞬間には a(1) に石がないといけないから即座に勝つこともできない。

後手は先手が何をしたとしても
先手が動かした石を自分も動かすだけで
さっきと同じ状態にもって行くことができる。
よってこの状態が後手必勝の特殊解。

あとは、奇数箱に石があるときを含めた一般解だが、
これは普通に奇数箱だけで nim をやっていると考えればよい

>>9

四通八達図式（目黒哲作）
http://www2.ginzado.ne.jp/jyun/713sug/4tu-8.htm

「駒の利きがぶつからない配置」
http://d.hatena.ne.jp/mozuyama/20050710/P20050710KIKI
http://d.hatena.ne.jp/mozuyama/20050704/P20050704KIKI

将棋パズル(1)利かずの駒並べ：詰め将棋メモ
http://toybox.tea-nifty.com/memo/2005/07/post_1a14.html

一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

面白いの？

２＾ｎ以下の正の整数でトーナメントをする。
対戦は小さい数が必ず勝つとする。
１の対戦相手が昇順である確率を求めよ。

求まらない

C(m,n)=m!/{n!(m-n)!
Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,c-k)=Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,2a+b-c-k)

ミスったorz

C(m,n)=m!/{n!(m-n)!}, ただしn<0またはm<nならばC(m,n)=0
として、
Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,c-k)=Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,2a+b-c-k) (a,b≧0, cは整数)
を証明せよ。

つまらない

10をいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値を求めよ。

625/16

(10/e)^e

>>36
?
e^(10/e)?

>>37
あれっミスってた？
自分で言うのもなんだけどe等分って微妙だなと思った

nが自然数、xが正の実数
n→+∞のときに(x/n)^n={x/(n+1)}^(n+1)なるx/nがどうなるか、か
…まあ簡単か

>>27
48 ：名無しなのに合格：2011/11/07(月) 22:41:28.52 ID:kyrtGgTq0
一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。
52 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/17(木) 22:30:22.93 ID:gMSxECja0
一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

>>27
878 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/11/16(水) 01:31:01.78
一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

>>34
43 ：名無しなのに合格：2011/10/26(水) 00:07:30.48 ID:7ak22CNp0
10をいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値を求めよ。

>>35--38
非均等分割の総積より均等分割の総積が大きくなることの証明は？

>>43
中学生ですか？
成長期のうちは夜はしっかり寝ましょう

10の10/e等分の図形的意味を教えて！

10を1:1:1:10/e-3の比率で分割

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作

x²

あんま面白くないしちょっと考えればすぐわかるけど
1×11×111×1111×…の無限積は全ての素数を因数に持つ
（……という表現で合ってますように）

2は？

5は？

すまん、2と5だけは例外だった

>>50
フェルマの小定理

>>50

　p=3 のとき　111 = 3*37

　p:素数、p>5 とすると　gcd(p,10) = 1,
>>54 から
　10^(p-1) -1 ≡ 0　(mod p)
　{10^(p-1) -1}/9 ≡ 0　(mod p)

>>43
　n個の正数に分割するとき
　相加平均 = 10/n,
　相乗平均 ≦ 10/n,　等号成立は均等分割のとき。
　積 ≦ (10/n)^n,　　〃

　次に (10/x)^x の増減を考える。自然対数をとって微分すると
　(d/dx){x･log(10/x)} = log(10/x) - 1
∴　x < 10/e = 3.6788 で増加し、 x > 10/e = 3.6788 で減少する。
∴　n=3 と n=4 の大きい方が最大値。

>>50

　自然数nが2,5以外の素因数を含むなら、1/n は循環する無限小数になる。
　循環の周期がa桁ならば、これに m = (10^a - 1)*(2^b)(5^c) を掛ければ整数になる。
　つまり m = (11…1)(2^b)(3^2)(5^c) は nで割り切れる。

今週のいぬまるだしっよりｗ
http://nagamochi.info/src/up94474.jpg

放物線y=x^2上の点P(t,t^2)から直線y=xへ垂線を引き、交点をHとする。
このときPを通りy軸に平行な直線と、直線y=xの交点をRとするとき、
三角形PRHの面積をtを使って表せ。

かな？ｗ

>>58

　P(x0,y0)　H((x0+y0)/2,(x0+y0)/2)　R(x0,x0)
は直角二等辺三角形。
　PR = |x0-y0|

　△PRH = (1/4)PR^2 = (1/4)(x0-y0)^2,

高校(数学オリンピック)レベルならいくらでもある。
例えば S^1 = { (x, y) ∈ R^2 ：平面 | x^2 + y^2 = 1 }
の (S^1 における) 稠密な部分集合 X で、　X のどの二点の距離も有理数なる物が存在する。

S^2 = { (x, y, z) ∈ R^3 ：平面 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 }
の場合は大学レベルとなるが。

半径rを有理数にとってスキャンすれば有理数の稠密性から何次元でもおk

スキャンした一つの中からペアを取ればそうだろうけど、別々のスキャンから取った点で
ペアを取るとそんなに明らかでもないような

>>61
誤答
距離が有理数である事が示されていない。
それに dense である事も。

ある競技の競技会があります　参加者は毎年同人数で、彼らの競技レベルは不変です（上手にも下手にもならない）
この競技会を1年ごとに限りなく何度も行うことができる場合、大会新記録が出る回数も限りなく大きくなるといえるでしょうか
ただし全ての記録同士には優劣がつき、同着はないものとします　数式も併せてどうぞ

条件不足すぎ

有理数の距離でペアから３点目をとれば垂直に稠密な有理直線がとれるから
デスクを稠密にカバーできる。同じ操作を何次元でもできるからQEDね。

>>66
意味不明

これは一見難しいようだが、気がつけば簡単な問題。
解法は複数有り、どれも行数は少ない。
面白いと思うかどうか?

>>11
> 連続する3つの整数の二乗の和で表現できる整数の数列の一般式を見つけなさい。
>
>>12
> n^2+(n+1)^2+(n+2)^3

バロス…
中学生の宿題だったのか？
晒し上げておこう

a_(n+1)={1/a_nの小数部分}, 0<a_1<1とする。
a_nの極限を求めよ

>>70
右辺は 1/(a_nの小数部分) か (1/a_n)の小数部分か

>>70
有理数だと必ず0になるが、その先はどうするんだ？

>>70
x＝1/x－n , n＝[1/x] とすると、x＝(－n＋√(n^2＋4))/2
0 < n：整数であれば、この x が全部不動点になるから一意の極限などない。

f()=f(f())が収束するって|a-ff|<r|a-f|,r<1

問題を誤解した奴が居るかも知れないのでもう一度書こう。

S^1 = { (x, y) ∈ R^2 ：平面 | x^2 + y^2 = 1 }
の (S^1 における) 稠密な部分集合 X で、　
X のどの二点の距離も有理数なる物が存在する。

この距離はあくまで R^2 における距離なので誤解無きよう。

一週間以上正解者が出なかったら解答を書く

>>75
たとえば、sinθ=1/3となるような角θをとると、
整数nに対してsin(nθ)は有理数。
2π/θは無理数であることから、
集合X={(cos(2nθ),sin(2nθ)) | nは整数}は、S^1の稠密な部分集合で、
Xの任意の２点P(cos(2nθ),sin(2nθ)), Q(cos(2mθ),sin(2mθ))をとると、
|↑PQ|^2=|↑OQ-↑OP|^2=2-2cos(2(m-n)θ)=4sin^2((m-n)θ)となり
PQ=|2sin((m-n)θ)|となる。
これは明らかに有理数。

>>76
訂正
誤：たとえば、sinθ=1/3となるような角θをとると、
正：たとえば、sinθ=3/5となるような角θをとると、

補足：
sinα，cosα，sinβ，cosβがいずれも有理数なら
sin(α+β)，cos(α+β)も有理数となることから，
sinθ=3/5，cosθ=4/5なら
帰納法によりsin(nθ)，cos(nθ)も有理数。

>>76-78
ご名答

>>76-78
＞2π/θは無理数であることから
ここは一寸不明確
(これは ±(4/5) + (3/5)*i が 1 の冪根で無い事と同値になるが。)

>>80
たしかにそれは証明が必要な内容ですね
例えばこんなの

sinθ，cosθが共に有理数であり，それらを分母が正の既約分数で表すと
sinθ=b/a，cosθ=c/aとなって，なおかつaが奇数であると仮定する。
そのとき，
sin(2θ)=2bc/(a^2)，cos(2θ)=(2c^2-a^2)/(a^2)　…(*)
であり，aとb，aとcが互いに素であることから
2bcとa^2，2c^2-a^2とa^2も互いに素。
よって，(*)はsin(2θ)，cos(2θ)を分母が正の既約分数で表したものとなる。

これを利用すると，sinθ=3/5のとき，
sin((2^k)θ)（k=0,1,2,…）を分母が正の既約分数で表した時の分母は
5^(2^k)となるため，数列{sin(nθ)}（n=1,2,…）の中には，
可算無限個の異なる数が出現することになる。

もし，2π/θが有理数なら，上記と矛盾するので，2π/θは無理数。

自己レス。細かいことだけど2π/θではなく「θ/(2π)は無理数」と書いた方が素直でした。
あと、「sinθ=3/5となるような角θ」よりも、「sinθ=3/5，cosθ=4/5となるような角θ」と
最初で言ってしまった方がすっきり。

ふりだしとあがりの間に１０のマス目（ふりだしとあがりを含めると１２のマス目）が並んでいるすごろくがある。
ただし、どのマス目にも何のイベント（何マス進むとか一回休みとか）も書かれていない。
そこで１マスだけ選んでそこに「ふりだしにもどる」というイベントを書き加えたいのだが、
できるだけ”あがりにくく”するためにはどのマス目に書き加えたらいいだろうか。
当然、ふりだしやあがりにイベントを書き加えることはできない。

あがりの1マス前で2が出たらどうなるの

>>83
ピッタリじゃないと上がりにならないルール？

いや、ピッタリじゃなくてもよい。
あと、１０マスじゃなくて９マスの間違いだった、訂正。

>>83
＞できるだけ”あがりにくく”
の定義が書いてない。定義も込めて解答せよというのか？
これは出題と云うより質問だな。

仲々伸びないな。
http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/MathNori.com/pdf/
に有る問題をかったっぱしから解いて行くと云うのはどうだ?
既に何度も２ちゃんで採り上げられた有名問題も沢山あるが。

Bipper

ohkawaは鬱になった

>>83
ゴールのひとます前だろ。
一番損失が大きい

10マスだとゴール直前がサイを振る平均回数が最大になるけど、
9マスとかだとゴール直前が最大ではない

>>92
それは六面体サイコロ使う前提の話？

6面体のを１個振るときの話

2つの立方体から1つの立方体を作ったよ
http://www.nicovideo.jp/watch/sm16680839

>>95
体積の同じ平行６面体同士は必ず有限個への分割と並べ替えで等積変換できる
って話だけど、実際に積み木パズルにするというのはよいね。

>>96
高次元の平行六面体に相当する物についても、
有限個の多面体によって分解合同になる事が知られている。

逆に四面体や高次元単体についてはそうでは無い事が知られている。

>>97
前半はそりゃそうだろうなという感じだけど、
後半の証明は難しそう

>>98
＞後半の証明は難しそう
そりゃそうだろうな。 Hilbert の問題だから。

それ故前半も一概に trivial とは云い難い。むしろ極めて高度に non-trivial だ。

過去スレに有った問題の改作。

f (m, n) ： Z^2 → R を関数とする。f が不等式

f (m, n) ≧ (1/4){ f (m + 1, n) + f (m - 1, n) + f (m, n + 1) + f(m, n - 1) }

を満たすとする。更に f が下に有界ならば f は定数である。

問いになってねぇ

であることを示せ。日本語も分からんのかこのボケが

黙れ日本人！

となる m, n の範囲を求めよ
の可能性だってあるわけだから
やっぱり問いの形にすべきだろ
ハイ謝るまで放置決定

「さて、このとき…」と続ければどんな問題にもできるな

過去スレを調べれば解答の方針も分かってくる。
君らは頭が悪くて問題は解けない上に、調べることすらしない連中なんだな。

過去問傾向調べて解答するほど解答側の敷居高くないだろこのスレは
解いて欲しかったらはやく土下座AA貼れよ（笑）

>>107
　　　　　　r;ｧ'N;:::::::::::::,ｨ／　　　　　 >::::::::::ヽ
.　　　　〃　　ヽﾙ1'´　　　　　 ∠:::::::::::::::::i
　　　　 i′　　___,　-　,. = -一　￣ｌ:::::::::::::::ｌ
.　　　　　 ! , -＝=､´r'　　　　　　　　 l::::::/,ﾆ.ヽ
　　　　　　ｌ　　　　　　　　_,, -‐''二ゝ　ｌ::::l fﾞヽ |、もしよかったら貼ってくれないか
　　　　　ﾚー-- ､ヽヾﾆ-ｧ,ﾆ;＝、_　　 !:::l ） } ト
　　　　　　ヾ¨'７"ry､｀　ｰﾞ='ニ,,,｀　　 }::ヽ(ノ　いい問題だとおもうからさ
:ｰゝヽ､　　 !´ "￣ 'l,;;;;,,,.、　　　　　　　,i:::::::ﾐ
::::::::::::::::ヽ.-‐ ﾄ、　r'_{　　 __)｀ニゝ、　 ,,iﾘ::::::::ﾐ
::::::::::::::::::::Vi／l:::V'´;ｯ`ﾆ´ｰ-ｯ-,､:::::`"::::::::::::::;ﾞ　, 　な！
:::::::::::::::::::::::::N. ﾞ､::::ヾ,.｀二ﾆ´∠,,.i::::::::::::::::::::/／／
:::::::::::::::::::::::::::::l　ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／　／
::::::::::::::::::::::::::::::!　:|.＼;::::::::::::::::::::::::::::::／　／

もうやめてあげて！
きっと過去スレを調べて解答の方針を掴む事自体が
面白い問題なんだよきっと！！

中心Oを決めてフリーハンドで一筆で円Cを描く。
始点と終点が一致する時、Oをを通る直線とCの2つの交点の中点がOに一致する点が存在する事を証明せよ。
実際にやってみるとちょっと楽しい。

>>111
>中心Oを決めてフリーハンドで一筆で円Cを描く。
この定義は？

ジョルダン閉曲線C内に任意の１点Oをとったとき、
Oを通る直線であってCとの2つの交点の中点がOと一致するようなものが存在することを示せ

と読むんだろうな。

>>113
こういう事です

ヨルダンまたはジョーダンと読んで欲しい

ジョーダンか？

あれっ？ sage で書いたのに

>>111
円Cを書く時に中心Oに関して点対称になる図形C'を書いていく。
CとC'は重なってはいけないが、そんなのは嫌だ□

>>111
螺旋の部分の両端ABを結ぶ線分の延長上にOがあるような場合。
Oを通る直線が線分ABと重なる部分は交点と言えるだろうか？

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>111
問題の文句ばかりで誰も解かないのかよ
解答書くよ？

点対称にC'を描いたら必ずCと交点を持つってことだろ？

じゃあその証明は？

はいりはいりふれはいりほー

　　　　　　　　./ 　　 ,.　'　　　　　　　　　　　　　　　　　'､　　　ﾉ
　かムぜお |　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ',　　/ はこ
　たリ　っ兄 :l.　 /　　　　,　　 i　:i､　 |､　　　　　　　　　　　ﾞ, ノ'　っう
　つムたち　ヽ./ 　　　 /!　./l　 lヽ　:i ',　　　　　　　　　　　i｀）　きな
　むリ .い .ゃ　./!　　　/|:! | ./ |　 ! ヽ　l ヽ　　　　　　　　　　 ! l　　りっ
　りムムん　/ |　/!//''|l‐=/､ !　l　,ゝ- ‐‐ヽ､　　　　　　　　| |　　言た
　よリ .リに（,　l, :l.|: /_ ｧﾃゝ、ヽ ! 　ヽテ = ､ヽ　　　　　　　! l　　わら
　 !!.ムよ東　l . :!|:!:|, i｀　.}{ iﾞ!　　`　　 ´ }.{; 'ｨヾ,.　 ∧　　　 :} /.　せ
.　　リ　.　大　,ゝ　!　! :i　 '' "´,　　　　　　‐'=''　´ |　i`:}　　 / /　　て
　　　　　　は　(.　　　/　',　　　`　　　　　　　　　　i　ﾋ/　 /ｿ　ゝ.　　も
　　　　　　　　　＞　/人 | 、　　ﾔ‐ヽ　　　　　　 ,ｲ　l /!/　　_ ゝ　　ら
＼　　　　　 _　/　　'　　 ':,　ヽ.　 ' ‐ '　　　　 ,／ /,r, |i' |'　　　｀）.　う
　　'レ'⌒´　　　　　　　　ゝ,　 `　､　　　 ,.　'　 _// ‐‐ ､　　　ム　わ
　　　　　　　　　　　　／／　　　　＞:t'　,.　'´ /'　　　_＞-‐- ､,_ヽ
　　　　　　　　　　　／／　／ﾉ,._'´　丿　iヽ　　　 ,　'´　　　　　　｀
　　　　　　　　　／　 -　' ／-)　_' i'　　ﾉ‐ ' ヽ､ '

極座標で行くぞ。
中点がOになる２点がＣ上に存在しないと仮定する。
Ｃ上の点(r0,θ0)をスタートとする。
(r0,θ0+π)は通れないので、θ0+πを通るときには
r0<rかr0>rかどちらかを通らないといけないが、そんなのは嫌だ□

r=f(θ)とするとf(θ)の周期は2π
g(a)=f(a)-f(a-π)=b(≧0)なるaをとるとg(a+π)=-b
g(θ)は連続だから、中間値の定理より、a≦c≦a+πに-b≦g(c)=0≦bとなるcが存在する」

が用意していた答えでした

ミスg(a)=f(a)-f(a+π)だった

このスレ的には>>122のほうがマシじゃねえか？

>>129
>>122は自明ってことですか？

>>130
自明でいいような気もするが、交点を持たないとするとどちらかがどちらかを内包することになり、
両者は合同であるのに面積が違うことになって矛盾とか。

>>127
θが戻るタイプはどうするの

>>132
中間値の定理適用できるんじゃね？多分

>>131
それいいね。じゃあ正解はこっちってことで。

正解は一つとは限らないｷﾘｯ
でも>>131の方がいいですね

>>127
＞r=f(θ)とすると
ここからしてなりたたん。
>>127ではr=f(θ)であるような一部の図形についてしか証明になってない。

一辺の長さがsの正方形の4つの頂点全てを紐で繋ぐとき、少なくとも紐の長さはいくら必要か
紐は全体の長さを変えずに自由に切ったり繋げたりでき、枝分かれも可能である

理由と概形も合わせて答えてね

シャボン玉の膜を張れば最短距離が分かるってのは聞いたことある

プラトーの問題

>-< の形とは想像つくし
その形の中での最適解は計算できるけど
あらゆる形の中でその形が最適である証明が難しい

縦３マス×横４マスの長方形の左下の頂点をＡ、右上の頂点をＢとする。
Ａを出発した動点Ｐは線上を任意に選んだ最短コースでＢに到達し、Ｂを出発した動点Ｑも線上を任意に選んだ最短コースでＡに到達する。
ＰとＱの速度が一定で等しい時、ＰとＱが出会う確率を求めよ。

もちろんＰとＱは同時にスタートするものとする。

>>139
それだとローカルミニマムに落ちる気がする

どういう確率で移動するのかわからないから出会う確率を求められるわけない。

┌──┬──┬──┬──┐
├──┼──┼──┼──┤
├──┼──┼──┼──┤
└──┴──┴──┴──┘

分かれ道のときは1/2だろ多分

┌┬┬┬┐
├┼┼┼┤
├┼┼┼┤
Р││││
││││Ｑ
│││││
│││││
└┴┴┴┘　難しい…

ＰとＱは、スタート時に、どの最短コースを辿るか自ら意思決定した上で、動くものとします。

>>148
じゃあ一つの経路につき1/35ってこと？

>>148
じゃあ263/1225ってこと？

>>149そうです
>>150正解

簡単でしたね。すみません。

結局>>137の正方形のプラトーの問題はどうやって解くんだっけ？
頭の体操か何かの本に答え乗ってた気もするけど

分かれ道に来るたびに、どちらの道を行くのか（もちろん最短になる方の中から）
等確率に選ぶようなモデルの場合は、出会う確率が変わるだろうか？

変わるけどおもんないから

では>>142で、交差点で進める方向がひとつの場合は当然その方向に進み、
進める方向がふたつの場合は、どっちに進むのも1/2の確率である時、ＰとＱが出会う確率は？

monkey walk probabilityプログラムを動作させようとする活動ですね

>>156
そんなのなしでいけるでしょ

32個のドミノを一列に並べてドミノ倒しを完成させたい。
ひとつを立てるのにかかる時間はいつも一定だ。
しかし、いつも一定の確率で、ひとつ立てる時にそれがどちらかに倒れてしまう。
倒れたら倒れた分はまた立て直しだ。
ドミノ倒し完成までの平均時間が一番短くなる立てかたの順番を考えてほしい。
ちなみにドミノはひとつ分空いていれば倒れた時に隣に連鎖しない。

トーナメント表のように並べる
　　　　　　　 ┌───────┴───────┐
　　　 ┌───┴───┐　　　　　　　 ┌───┴───┐
　 ┌─┴─┐　　　 ┌─┴─┐　　　 ┌─┴─┐　　　 ┌─┴─┐
┌┴┐　 ┌┴┐　 ┌┴┐　 ┌┴┐　 ┌┴┐　 ┌┴┐　 ┌┴┐　 ┌┴┐
│　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 │　 ├┐
.１２１３１２１４１２１３１２１６１２１３１２１５１２１４１３１２

サイコロをn回投げて1から6まで全ての目が出る確率は？

めんどくせ

>>160
クーポンコレクター問題

マンデルブロ集合の面積は？

>>163
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1156773181

(1+2+3+4+5+6)^n
nC6*6!/6^n=n!/(n-6)!6!6^n

>>160
(Σ[k=0,5](-1)^k*C[6,k]*(6-k)^n)/6^n
= (15*2^n-20*3^n+15*4^n-6*5^n+6^n-6)/6^n

なんで(Σ[k=0,5](-1)^k*C[6,k]*(6-k)^n)/6^n になるの？

勘違いしているのだろうよ

>>167
mが出ない目の集合をA(m)とおくと、n回投げたときに全ての目が出る場合の数は
6^n-Σ[i=1,6]A(i)+Σ[i=1,6, j=1,6∧i≠j]A(i)∩A(j)-．．．

>>166
俺、出題者だけど、滅茶苦茶めんどくさい計算して、(15*2^n-20*3^n+15*4^n-6*5^n+6^n-6)/6^nという結果になったんだけど、
それを、そういう風にあっさり求められたらショックだわあｗ

(1+2+3+4+5+6)^n
nC6*6!6^(n-6)/6^n=n!/(n-6)!6^6
n=6
6!/0!6^6=6!/6^6
n=7
7!/1!6^6=7!/6^6=7*6!/6^7

n=7
7!/1!6^6=7*6!/6^6=7*6!6/6^7

>>171 >>172
n=7の場合は間違い！考えが浅いな。
>>166で合ってるよ。俺は>>166みたいにあっさりとは求められなくて、ひたすらめんどくさい計算で求めたけど。

1-6*5^n/6^n+6C2(4^n/6^n)-6C3(3^n/6^n)+6C4(2^n/6^n)-6C5(1/6^n)

Ｐ{Ａ(m)} = (5/6)^n,
Ｐ{Ａ(i)∩Ａ(j)} = (4/6)^n,　　(i≠j)
Ｐ{Ａ(i)∩Ａ(j)∩Ａ(k)} = (3/6)^n,　(i,j,kは相異なる)
Ｐ{Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩Ａ(4)} = (2/6)^n,
Ｐ{Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩Ａ(4)∩Ａ(5)} = (1/6)^n,

これを確率の加法定理　　>>169
http://mathworld.wolfram.com/Probability.html

式(17)に入れれば >>166 >>174

平面上に五点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，ＥをＡ≠Ｂ≠Ｃ≠Ｄ≠Ｅ≠Ａと取る。
ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）＝ｍａｘ（∠ＥＡＢ，∠ＡＢＣ，∠ＢＣＤ，∠ＣＤＥ，∠ＤＥＡ）とするとき
ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）の最小値を求めよ。

>>176

n辺形の周上を１周するとき、各点Pで方向が π－∠P だけ変わる。
1周では、Σ(π－∠P) = 2mπ, (mは整数)
∴　　nπ - Σ∠P = 2mπ,
nは奇数だから、n=2m+1 とする。Σ∠P = π,
　各点で ∠P = π/n とすれば、
　max{∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E} ≧ max{π/n, π/n, …, π/n} = π/n (星型)

なお、nが偶数のときは n=2m とする。∠P = 0,
　max{∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E} ≧ max{0, 0, …, 0} = 0 (線分)

>>155 Pは７つの合流点候補に上から2:3:3:3:3:1:1の振り分け
Qはその反対で1:1:3:3:3:3:2 よって37/256

>>142の点Ｐと点Ｑが各交差点でのルートを同一のアルゴリズムで選択する
・お互い自分と相手とどちらがＰかＱかの区別は付かない
・初手以外は現在の相手の相対位置(a,b))に加えて直前の自分の手[縦or横]と相手の手を情報として使用してよい
・確率を用いる場合は両者同じ確率分布で抽選する（結果が異なるのは構わないし望ましいことである）
・各格子点で "a=0 or b=0 で成功"　その前に "a<0 or b<0" で失敗

このとき最初の相対距離が　奇数×偶数の場合「a>bなら横、でなければ縦」で成功確定
偶数×偶数なら「初手適当、以下ずっと自分の初手と同じ」で成功確定
では奇数×奇数スタートでの最良のアルゴリズムとその成功率は？
※両者が違う手を出せば偶数×偶数になるので成功確定である

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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6桁の自然数の中で、次の条件をみたすものはいくつかあるか。
（条件）k=1，…，9のそれぞれに対し、各位の数字の中にkの倍数であるものが少なくとも1つ存在する。

373239.

0があれば他はなんでもいい
0がない場合を考えよう

このとき 5,6,7,8,9が含まれていることが
条件を満たすための必要十分条件である

以上より求める個数は
5*9*10^4＋4*6!＋5*6!/2! = 454680

あ、0が含まれている場合の計算間違っている

ここはこう計算すべきだった
(999999-99999)-9^6 = 368559　(これが0がある場合)

これに4*6!＋5*6!/2!を加えて 373239

だから答えは >>182 と同じですな

ひらめけば簡単だけど考え方が面白い問題プリーズ

京大の電波塔の過去問

>>185
最近見たので面白いと思ったやつ。

n x n のチェッカーボードのマスの間で伝染病が広がっている。
感染するのは、隣の2つ以上が既に感染しているマスである。
ここで「隣」というのは、縦横だけで、斜めは数えない。
1マスに隣り合っているのは最高4マスである。

例えば、チェッカー版の左上から右下にかけての対角線上にあるnマスが感染源だとする。
すると次には対角線の隣が感染し、最終的には盤全体が感染する。

最初に感染しているマスがnマスよりも少ない場合、チェッカー全体を感染させることは「できない」ことを示せ。

ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」より。
解答書くのはどうかと思うので控えておく。

>>187
証明になっているのかどうかいまいち自信が無いが。

最終的に感染したマスは長方形の集まりになる。

最初に感染しているマスが2マスの時、感染させられる最大マス数は2*2マス。

最初に感染しているマスがkマスの時、感染させられる最大マス数がa*bマスであるとする。
最初に感染しているマスがk+1マスの時、感染させられる最大マス数は(a+1)*(b+1)。

従って、最初に感染しているマスがnマスの時、感染させられる最大マスはn*nマス。
よって、最初に感染しているマスがn-1マス以下の時、n*nのチェッカーボード全体を感染させることは出来ない。

途中、細かいところは端折ってあるというか、自明のように思えてどう表現すればいいのかよくわからない。

>>188
> 最初に感染しているマスが2マスの時、感染させられる最大マス数は2*2マス。

なんでやねん

>>189
それ以上ってあり得る？

>>188
> 最初に感染しているマスがkマスの時、感染させられる最大マス数がa*bマスであるとする。
> 最初に感染しているマスがk+1マスの時、感染させられる最大マス数は(a+1)*(b+1)。
このあたりの厳密性がないなぁ。
もし a + 1 < b だったら、k+1個目の配置次第で感染領域を (a + 2) * b に広げられるけど、
(a + 2) * b = ab + 2b > ab + b + a + 1 = (a + 1)(b + 1) だよ。

>>191
ほんとだなあ。
じゃあ、「最大正方マスがa*aとすると」ってのじゃダメかな？

>>192
できる長方形の大きさに言及がないと、長方形を横にならべて
もっと大きな正方形が作れる可能性が残るなぁ。

ちなみに、本に解答として乗ってるアプローチはぜんぜん違うよ。

>>193
最初に感染しているマスがない列、行があることになるから云々ってアプローチ？

>>194
そういう泥臭い議論はなかった。

俺も最初はそんなふうに解こうと挑戦してみたよ。
でも感染してない行・列があっても関係ないんだよね。
下のは感染してない行があるけど全部感染するし。

□■□
□□□
■□■

懐かしのライフゲームか

2

>>186
kwsk

>>194
ある不変量に着目すると……

感染領域の境界の長さは減ることはあっても増えることはない、ってことですな

>>199
これ、自力で閃くもんなのかなぁ。

1966年京大

平地に 3 本のテレビ塔がある．
ひとりの男がこの平地の異なる 3 地点 A，B，C に立って，その先端を眺めたところ，どの地点でもそのうち2本の先端が重なって見えた．
このとき A，B，C は一直線上になければならない．
この理由を述べよ．

>>201
3つの先端を含む平面は一意に決まる。
A, B, C はこの平面内にある。また地上面内にもある。
ニ平面の交わった部分は直線をなすので、一直線上。

テレビ塔の高さと観測点の高さが全て同じ場合には
テレビ塔は一直線上になくてもよい。

「とっておきの数学パズル」の問題を改変して…

「Q」の字を平面にたがいに重ならないように非可算個描くことは可能だろうか？

>>204
すまん。意味がわからん。

これ以上説明のしようがないんだが…どこがどうわからんの？

>>203
？

>>207
反例

へ？
テレビ塔が？

テレビ塔＝人間と比べ物にならないくらい高いっていうのは暗黙の了解なのか

高さが指定されていないのだから、そういう場合もあり得るし
2平面が並行の場合も有り得る

そもそも平野は曲面だし

人間の視野の広さは地球の表面に比べると非常に狭いので曲率は０とかんがえていいというのは暗黙の了解なのか

曲面であろうが、電波塔がなす平面に並行な平面上の3点に人間がいればいい

証明するのは「テレビ塔」が一直線上にあるかどうかじゃないという突っ込みはしちゃ駄目？

題意が成立しない場合があるということ

>>214
それって観測点がテレビ塔の高さ（正確には並行な平面の距離）と同じってこと？
観測点は平地上じゃないの？

>>217
同じ場合も含まれるが、テレビ塔の先端3点と人間の観測点3点からなる
2平面間の距離が一定という場合。

>>204
せめて『「Ｑ」の字』をちゃんと定義してくんないとな

「Ｏ」の字（＝円周）だったら、
ある点を中心とした半径rの同心円(r>0)は非可算無限個あって、
そのうちどの２つをとっても互いに重なることはない。

では「Ｑ」の字の場合はどうか

ということなんだろうけどさ。

Ｑの字の形状もフォントによっていろいろだし、
そもそも「字」である以上線に太さがあるだろって話になってもアレだし

>>216
出題者もテレビ塔が一直線上にあるとは思ってないということ

>>219
（トポロジカルに）一つの円周と一つの線分が一点で交わった図形
これでいいかな？

なんで数学の試験問題で平地とかテレビ塔とか曖昧な表現をするかね
数学的に厳密に考えられる学生ほど無駄に時間を費やしてかわいそうだ

と思ったが面白い問題スレだから別にいいのか

>>202
で、色々問題の「不備」が指摘されたところで、この解もどきの不備を指摘してくれ。

a^-1/2*a^2/3.

a^-1/2*a^2/3=a^-1*a^2/2/3=a^1/6.

a^-1/2*a^2/3=a^(-1/2)*a^(2/3)=a^(-1/2+2/3)=a^(1/6)=a^1/6.

>>223
＞また地上面内にもある。

なにがあるんだ？

>>223
1.二平面の交わりが直線とは限らない
2.地上面が平面とは限らない

ルアー？

あるー

>>223
A,B,Cは地上面の点で、その上に男が立ってテレビ塔を眺める設定になっている。
従って、先ず、男の目の位置が一直線上にあることを示し(>>202が示しているA,B,Cは
男の目の位置のこと）
しかる後A,B,Cが一直線上にあることを示すという段階を踏む必要がある。

できない：ABEFGHPQRST
できる：CDIJLMNOUVWZ
面白いなこれ。
見つけた法則は、
・三叉路を含むとダメー
ただ、Sがだめな理由を正確に言い表すことが出来ない…

※ちなみにフォントについてはアルファベットのイデアを都合よく想像してくれw

>>230
I は三叉路を含むからできないんじゃないか？ｗ
S は先端が少し内側に曲がってるのがやっかいだな

KXYもできないですね

シェルピンスキーのカーペットにおいて空白部分にアルファベットを書く、じゃだめなのか？

ああダメじゃん、すまんぼけてた

>>226
> 1.二平面の交わりが直線とは限らない
交わるとすれば必ず直線だろ。

>>235
二つの平面が重なるときのことをいっているんだろ。

その場合は「交わり」とは言わない

へえ～

Ａ∩Ｂ。
ＡとＢの交わり。

>>230
アドホックな考え方としては、
文字が曲がらない鋼鉄で出来ていると考えて、
その鋼鉄を２枚ピッタリと重ね合わせた状態からスタートし、
その２枚の鋼鉄を少しでもずらせれば十分。
「ずらす」には現実的に可能な並進運動と回転運動の他に、
拡大縮小運動も加えて良い、そんな感じだ。
つまり、アフィン変換の範疇で微小にでも運動出来たら十分。

a!+b!+c!=d! をみたす自然数の組(a,b,c,d)を全て求めよ

2!+2!+2!=3!.

>>242
０点

>>241
(a,b,c,d)=(2,2,2,3)

∵d!=d(d-1)(d-2)...(d-(d-1))
a!+b!+c!=d!...① を満たすためには　d>a,d>b,d>cが成り立つ必要がある
a,b,cにdに最も近い数d-1を代入したとき、
(d-1)!+(d-1)!+(d-1)!
=3(d-1)!　となる
d>3のとき、3(d-1)!<d!は明らかなため①をみたす自然数の組(a,b,c,d)は存在しない

あとはd=3 d=2 d=1の場合をそれぞれ考えて終了

>>244
天才！

白菜！

八宝菜！

青梗菜

棒棒菜！　

　｛搾菜（ザーサイ）のことか？｝

野良棒菜！（のらぼうな）
トウ立ち菜！
茎立ち菜！
芯摘み菜！

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俺のせいでちょっと荒れてる

ああそうだな
どう責任を取るつもりだ？

f(x)をn次関数とする。ただしnは非負整数である。
1≦k≦n+1なる整数kに対して
kが偶数ならばf(k)=0
kが奇数ならばf(k)=1
を満たすときf(0)を求めよ。

>>254

2^nになりそうだけどいい解法が思いつかない

ｄｅｇ（ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ））≦ｄｅｇ（ｆ（ｘ））－１。

>>254
問題ではf(x)はn次関数となっているが、ここでは仮にn次以下の整数次関数とし、
n次のf(x)をF(n,x)と書くものとする。
F(n,x)は、グラフがn+1個の固定点を通るようなn次以下の関数なので、
F(n,x)は一意に決まる。
F(1,1)=1、F(1,2)=0より、F(1,x)=-x+2であり、F(1,0)=2　…(1)

ここで、nを2以上の整数とし、g(x)=(F(n,x)-F(n,x+1)+1)/2とおくと、
g(x)はn-1次以下の関数であり、（参考： >>256 ）
1≦k≦nとなる整数kに対して
kが偶数ならばg(k)=0，kが奇数ならばg(k)=1が成立するので、
g(x)=F(n-1,x)である。
F(n-1,0)=g(0)=(F(n,0)-F(n,1)+1)/2=F(n,0)/2
∴ F(n,0)=2・F(n-1,0)　…(2)

(1)(2)より、任意のnに対してF(n,0)=2^nが成立。

また、2以上の整数nに対し、F(n,0)≠F(n-1,0)なので、
関数F(n,x)はn-1次以下の関数ではありえないこととなり、
F(n,x)は必ずn次関数となるので、f(x)をn次関数とした元の問題においても
上記結果は成立する。

f(x)をn次以下の関数とする。ただしnは2以上の偶数である。
f(0)=0
f(1)=1
2≦k≦nなる整数kに対して
f(k)=f(k-1)+f(k-2)
を満たすときf(0)を求めよ。

最後の行でミスったので訂正。

f(x)をn次以下の関数とする。ただしnは2以上の偶数である。
f(0)=0
f(1)=1
2≦k≦nなる整数kに対して
f(k)=f(k-1)+f(k-2)
を満たすときf(n+1)を求めよ。

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>>204
本にYの字のときの解答も載ってるな。

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辺の長さが整数で面積が完全平方である直角三角形が存在しない
ことを示せ

これの[4]の(1)について
http://www.mie-c.ed.jp/koukou/boshu/h24/sugaku-m.pdf
解答
http://www.eisu.co.jp/pdf/H24miekenritsu_5.pdf
文字の係数がパスカルの三角形の6段目になる
文字の数を増やしたり減らしたりしても必ずパスカルの三角形の行が出てくる
これどういうこと？？？？

>>270
係数は、カードが置かれている場所から「結果」のところに至るまでの最短経路の場合の数と同じだから。
最短経路の場合の数はパスカルの三角形そのもの。

>>270
ちょっとわかりにくい言い方だったかも知れない。
カードの数字は、最短経路1本に付き1個が結果のところにやってくる。
従って、係数は最短経路の本数に等しくなる。
最短経路の本数は、1列目から結果までで考えても結果から1列目までで考えても当然同じ。
結果から1列目までの最短経路の本数はパスカルの三角形そのもの。

1+5*2+10*3+10*4+5*5+1*6

1*1+5*2+10*3+10*4+5*5+1*6
1*5+5*4+10*2+10*1+5*3+1*6

1*1+5*2+10*3+10*4+5*5+1*6
1*6+5*2+10*3+10*4+5*5+1*1
...
2x2x2

この角を曲がれる棒の長さ(l)の最大値を求めよ。
-----------------
| ↑
| b
| ↓
| / ---------
| / |
| / l |
| / |
| |
| |
| |
| |
|← a →|

ダメだ崩れちゃったｗ。要は幅aの路と幅bの路の角。

「／」があったり「｜」が２つあったりして、角の様子がどうなっているのかよくわからない。

単純にa+bかなあ
もっとよく考えて見る

何も考えていないけれど、上限はあっても最大値はない気がする。

内側の角を通る直線が外側の壁によって切り取られる長さの最小値ってことになるんじゃないか？

-----------------
| 　　　　　　　 ↑
| 　　　　　　　 b
| 　　　　　　　 ↓
|　　 /　 ---------
| 　 / 　　|
| 　/ l 　 |
| /　　　|
| 　　　 |
| 　　　 |
| 　　　 |
| 　　　 |
| ← a →|

>>276

>>282
直してくれてありがとうorz
因みに遙か昔の大学入試の問題です。答えがとても美しかったんで。

>>280
そうっすね、最大値じゃなくて〇〇未満って事です。

>>276
((a*b^2)^(1/3)+a)^2/a

>>285 追加
=(a^(2/3)+b^(2/3))^2/a^(1/3)

http://i.imgur.com/VxlwG.jpg
こうか？

(a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2) かと思った

>>288
〇

なんでー？

長さlの線分をx軸・y軸に沿わせて動かすと、包絡線はx^(2/3) + y^(2/3) = l^(2/3)

で、
http://s1.gazo.cc/up/s1_17738.jpg
この図の左下の領域と右上の領域とが重ならない最大のlを求めればよい。

x^(2/3) + y^(2/3) = l^(2/3) が点(a, b)を通るときにlは最大となって、
このとき l = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2)

>>291
包絡線なんつう、そんな便利な式があったんですね・・。
受験生当時、煩雑な計算の最後に出てきた答えが凄く綺麗だったんで、未だに覚えてたんですが・・。

この人たち何者なんだ？

b/aの３乗根のうち正の実数のものをqとして
√（(q^2+1)^3）

あ、288と同じだなこれ。すまん。

tをt>aの実数とし3点A,C,Pの座標を
A(a,0)、C(0,b)、P(t,b)
とする。直線PAとy軸との交点をBとするとBの座標はB(0,ab/(a-t))
|BC|=b-ab/(a-t)=bt/(t-a)
l^2=t^+(bt/(t-a))^2=((t-a)^2+b^2)/(t-a)^2*t^2
f(x)=l^2、t-a=xとおくと
f(x)=(x^2+b^2)/x^2*(x+a)^2
f'(x)=2(x+a)(x^3-ab^2)/x^3
t>a x>0の範囲でx=(a*b^2)^(1/3)において最小値f(x)=(a^(2/3)+b^(2/3))^3をとる

||
| |半
| |半半
| |半半半
| |半半半半
|　|全
|　　|全全
|　　　|全全全
|　　　　|全全全全
|　 |全半
|　　 |全半全半
|　　　 |全半全半全半
|　　　　 |全半全半全半全半

┌──┐
│ │半半半半
│　　│全全
│　　 │全半全半
└──┘

>>297

>>297
これなに。

半角空白と全角空白の並べ方実験？

分からない問題はここに書いてね367
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331655841/

105 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/03/20(火) 11:32:55.55
任意の自然数a,bに対して以下の恒等式が成立する非定数関数f(x)は存在するんでしょうか？
f(2ab/(a+b))=(1/(b-a)) *∫[a,b]f(x)dx

109 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/03/20(火) 12:01:39.06
>>105　の問題は
f((ab)^(1/2))=(1/(b-a)) *∫[a,b]f(x)dx →　f(x)=k/x^2
f((a+b)/2)=(1/(b-a)) *∫[a,b]f(x)dx　　→ f(x)=kx
なので調和平均はどんな関数かな？っていう疑問からです。

>>283
どこの大学の何年度の問題ですか？

トイレの中で振り回すことの出来る最長の槍の長さは？

(1/π)+(2/π)+(3/π)+...+(n/π)+.....

Q.この無限級数の値を求めよ。

∞

>>302
掛谷の問題。超有名。

>>301
自分が受験生だった30年前に既に過去問でしたｗ
当時の『大学への数学』の微積分増刊か何かに載ってました。

1辺の長さが1の正方形と同じ面積の円の半径を求めなさい。

半径の長さがrの球と同じ体積の立方体の1辺の長さを求めなさい。

>>307
(1/π)^(1/2)
(4/3πr^3)^(1/3)

どの辺が面白い問題なの？

>>300
b=x,a=1,dF(x)/dx=f(x),F(1)=0として微分方程式を作った。計算ミスがなければ
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+-%281%2F2%29%28%28x%2B1%29%2F%28x-1%29%29%5E2%28%28x-1%29+y%27+-y%29+%3D+0
このyがF(x)なのでf(x)はこれを微分したものが一例。

>>308
その問題で、友愛とセットなら面白いかもね♪

任意の正の実数ａ，ｂに対して
（ｂ－ａ）ｆ（２ａｂ／（ａ＋ｂ））＝∫＿［ａ，ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ
が成り立つとする。
ｃをａ＜ｃ＜２ａを満たす正の実数としてｂ＝ａｃ／（２ａ－ｃ）を代入して
ｆ（ｃ）＝（（２ａ－ｃ）／２ａ（ｃ－ａ））＝∫＿［ａ，ａｃ／（２ａ－ｃ）］ｆ（ｘ）ｄｘ。
右辺はｃについて連続だからｆは連続。
右辺はｃについて微分可能だからｆは微分可能。
（ｂ－ａ）ｆ（２ａｂ／（ａ＋ｂ））＝∫＿［ａ，ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ
をｂで微分して
ｆ（２ａｂ／（ａ＋ｂ））＋（２ａ＾２（ｂ－ａ）／（ａ＋ｂ）＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（２ａｂ／（ａ＋ｂ））＝ｆ（ｂ）。
ｃ／２＜ｂとしてａ＝ｂｃ／（２ｂ－ｃ）を代入して
ｆ（ｃ）＋（ｃ＾２（ｂ－ｃ）／ｂ（２ｂ－ｃ））（ｄｆ／ｄｘ）（ｃ）＝ｆ（ｂ）。
（ｄｆ／ｄｘ）（ｃ）≠０とするとｌｉｍ＿｛ｂ－＞ｃ／２｝（ｆ（ｂ））＝±∞なので（ｄｆ／ｄｘ）（ｃ）＝０。
ｆは定数。

任意の正の実数ａ，ｂに対して
（ｂ－ａ）ｆ（（ａｂ）＾（１／２））＝∫＿［ａ，ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ
のとき
ｆ（ｘ）＝ｐ／ｘ＾２＋ｑ。

任意の正の実数ａ，ｂに対して
（ｂ－ａ）ｆ（（（ａ＾（１／２）＋ｂ＾（１／２））／２）＾２）＝∫＿［ａ，ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ
のとき
ｆ（ｘ）＝ｐ／ｘ＾（１／２）＋ｑ。

任意の正の実数ａ，ｂに対して
（ｂ－ａ）ｆ（（ａ＋ｂ）／２）＝∫＿［ａ，ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ
のとき
ｆ（ｘ）＝ｐｘ＋ｑ。

＞ｆ（ｃ）＝（（２ａ－ｃ）／２ａ（ｃ－ａ））＝∫＿［ａ，ａｃ／（２ａ－ｃ）］ｆ（ｘ）ｄｘ。

ｆ（ｃ）＝（（２ａ－ｃ）／２ａ（ｃ－ａ））∫＿［ａ，ａｃ／（２ａ－ｃ）］ｆ（ｘ）ｄｘ。

この感じ、昔の大文字さん登場？

昔の？

683

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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A星とB星では異なる穀物が穫れる。
それぞれの粒子は形が異なるが、
同じ穀物の粒子ならどれも完全に同じ形をしていて
大きさも同じであり、粒子は硬く完全な３次元剛体である。

ところが不思議なことにこの二つの星の穀物は、
１合と１合を混ぜるとひょんなことに２合より多くなるという。
さて、それぞれはどんな形をしているのだろうか。（２０点）

（ここで水野良太郎イラストのＡＡ待ち）

ここでは峰不二子のヌードのＡＡ（アスキーアート）を詳細表示をしています。

　　　　　　/ /　　／-‐''"_, -‐' _ ,,,,,,,,,,,,,､-‐'　ﾉ ) | ヽ.
　　　　　 / /　|/　　／　, -‐'　, ' ,-‐''''''""´／ﾉ　ヽ
　　　　　/ /　|| /　　　／ ,､-‐''(／ _,,, -‐''"´ ／ l　 |
　　　　／ /　|| /　　 /／''ｆ'‐'r､ヽ（ r‐‐‐-ｒ' ´ , ´/　ﾉ
　　　/　 /　　| |　　 //　｀-_'´ノ `~~,;┬r7 ／/ / 　/
　　/　 /　　 λ |　､（ｌ )).　　　　　f'ヾ-_ﾉ／/　/　/
　 /　 / /　　|. i　| ヽ,f´　　　　　,!　　/r'　 |　/／
　 |.　 |　|　　|　 | ヽ | ヽ　　t=,,､ ´　,.ｲ |　 / ／　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 |　 |　|　　| 　 |　ﾉ　＼　“"´ .ィ / ./　, '　　＜ごほうびよ。
　＼　　レ''　｀ヽ!‐<　　　ヽr'"´ノ / ./ | （､　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　＼ヽ/　　　　　　　　　　 |_／／／ .| 　ヽヽ
　　　　i′　　　　　　　　- ､rヽ'''''''''‐- ､　　}. ヽ
　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヽ　｝　｝
　　　　|　　　　　|　　　　　　　　　　　　｀Ｙ　ﾉ
.　　　　|　(＼　　|　　　　　　　　　　　　　　＼/
　　　　|　＼＼　|　　　　　　　　　 Y　　　　　＼
.　　　　 |　　＼＼i　　　　　　　　　　|　　　　　　ヽ
　　　　　|／二二　｀､　　　　(○) 　 /　　　　　　(○
　　　　 ι, ', ‐‐==‐ヽヽ　　　　　／＼　　　　　ﾉ

http://www.aadayo.com/aa/asciiart169.html より

>>317
星型と球

でもその答えだと
わざわざA星とB星なんて設定にする必要なくね？

「面白い問題」スレに張られるぐらいなんだし、その設定を使いそうな気がする

もしかしたらあまり面白くない問題なのかもしれないじゃないか

1合の量り方を考える問題かも知れん

正味の体積でいうなら形状には依存しないはずだし
同じ形状でも詰め方しだいで見た目の体積は変わるからな

大豆１合と胡麻１合を混ぜても２合には満たないってやつの逆を考えるわけでしょ？

混ぜずに１合に収めた穀物同士をパックしたら
２合に収まる…
うーん…

アルコールと水の混合とかね。

最密充填時の平均密度で計算した180ml中の粒の数で数学的に定義できる

鍋と蓋を組み合わせたら中空の構造ができて体積が増えるとか
そういう回答が求められている気がしないでもない

わかったわかった。もういいよ
別におまえらに解いて貰わなくてもいいし

>>328
Vとlみたいな？

>>320とか>>330が正解か不正解かだけでも教えてほしい　気になって仕方がない

長さ 1m で太さ 1mm の針を1000本持つウニと
半径 1m のビーチボールを混ぜると
ウニが重ならない分だけ体積増えるな

重なるように入れりゃいいだけじゃんか。
>>325のいうように体積を増やさない入れ方は常に可能。
入れ方を変えるというなら、2種を混ぜるとか関係なく1種だけでも体積の変動はあり得るし。

純粋部分は効率いいけど
境目部分は絶対増えるから
全体ではチョイ増しになるのでは。

増えねえだろｗ

強力な磁力を持つものならどうだろう？

数学？

実数列｛ａ（ｎ）｝，｛ｂ（ｎ）｝がａ（ｎ）＋ｂ（ｎ）≦ａ（ｎ＋１）を満たし
｛ａ（ｎ）｝が上に有界でΣ（ｂ（ｎ））が収束するとき
｛ａ（ｎ）｝が収束することを示せ。

a_n = -n
b_n = -1

ごめん間違えた

>>338
ε-δで証明するだけ

a(1)=1
a(2)=2
a(n)=2a(n-1)+a(n-2) (n≧3)
で定まる数列{a(n)}について
a(n)^4-1はa(n+1)で割り切れることを示せ。

a(n)=((1+√2)^n-(1-√2)^n)/(2√2)
b(n)=(a(n)^4-1)/a(n+1)とすると
b(1)=0 b(2)=3 b(3)=52...

a(n+1)＊a(n)=2^n
a(1)=2
となる数列a(n)の一般項a(n)を求めよ。

>>344
両辺に2を底とする対数をとれば、あっという間だろ！
宿題は質問スレに行け、糞蟲め！

>>343
これ証明にはなってないよね？

もちろん！

４の倍数個の正方形のタイルがつながってできた図形のうち、
テトリミノではみ出さないように埋めることができるものの条件を求めよ。
ただしテトリミノは、
L,J,S,Z,O,I,T
の７種類であり、図形の集合の中に、

□□
　　　□
　　　□
のようにタイルが４の倍数個でない図形が繋がらないように設置されて４の倍数個になっているものは含まない。

とりあえず図形にTをいくつか適用させて取り除いた図形が
４の倍数個タイルで繋がった図形の和であり
各集合が市松模様に塗り分けた時
白黒同数個になる場合がなければならない
という必要条件の一つはわかる

それ以上はパッとはわからん

4つのタイルを組み合わせて作れる図形は
L,J,S,Z,O,I,Tのテトリミノのいずれかと同じものである
よって下図のようなT字路や十字路が存在しない限り、図形はテトリミノで埋めることができる

□□□□□□
　　　□
　　　□

T字路や十字路が存在する場合はしらね

　 □
　 □□
□□□□
　 □

　 ■
　 ☆■
○●☆■　　ふむ…
　 ○

What's テトリミノ

テトリスのブロック

なるほどわからん

テトロミノじゃないの？

ggr

いやこの問題が分からないってこと

>>356
テトリスで言えばテトラミノともテトリミノともテトロミノともいうことがある
ピースの形だけで言えばテトロミノが一般的かもしれん

俺に今年彼女ができる確率は1%だとする。（あくまでも仮定）
ある年に俺に彼女ができる確率は、
前の年に俺に彼女ができる確率の k 倍になっていくとする。
一生のうちで俺に一人でも彼女ができる確率が50%を越えるための最低のkはいくつか。
ちなみに俺は死なないとする

>>360
0.997くらいじゃない？

>>360
死なない仮定では、kが1よりも大きければ確率は100％を超える

>>360
(1-k/100)*(1-k^2/100)*(1-k^3/100)…=0.5
となるkの値を求めればいいのかな

>>362
超えません

>>364
指数関数

もう一個テトリス系の問題を
１０個のテトリミノが落ちてくるとき、
１０個目で初めてオールクリア（全消し）出来る確率を求めよ。ホールドはないものとする。
ただしルールは現行の以下のものである。
・最初の７つのミノは７つのテトリミノを重複なしでランダムに並び替えたもの。
・次の７つも同様。その次も。…
・T-Spin、S-Spin等は可能である。

T-virus

とりあえず、８～１０個目にTが出現しない場合は不可能とはいえる

10個目はIだよ

テトリミノを9個(うち重複は2個でI以外)使って9×4の長方形を作るパターンを考えて、
そこから更に、どの順番なら積んでいく事が可能かを考えなきゃいけないんだと思う

あ、4列消しじゃなくて全消しだからTでも良いのか

あ、ちなみにテトリスの積みあげるステージは横幅は１０ブロック分です。

>>342
{a_(n+2)}^4-1 ≡ {a_(n)}^4-1 ( mod a_(n+1) )

分からない問題はここに書いてね367
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331655841/814
814 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/04/11(水) 17:51:51.07
fをXからYへの写像、gをYからXへの写像とすると
f(A)=B、g(B^c)=A^c となるA⊂X、B⊂Yが存在する。
（A^cはAの補集合）

このことの証明がわかる方はいらっしゃいませんか？
Xのベキ集合からXのベキ集合への写像 A → g( f(A)^c )^c
の不動点を考えるのかもと思いましたが、そこから先に進めません。

そういえばテトリスは親必勝か子必勝かどっちかっていう問題ここだったっけ

twitterで見つけた問題

あんまん8個と肉まん1個があります。
見かけは全て同じなのですが、あんまんは全て重さが同じで、肉まんだけが重さが違います。
天秤量りを3回だけ使って肉まんを見つけるには、どうやって量ればいいでしょうか？

天秤量り3回で、あんまん１２個と肉まん１個でも肉まんを特定できるな。

3回ならあんまん14個肉まん1個までいける

嗅ぐ

全部で n 個あるとすると，可能性は
　　1が軽い，1が重い，2が軽い，2が重い，…，nが軽い，nが重い
の 2n 通り
天秤の状態は「つり合う」「左が下がる」「右が下がる」の3通りなので
2n ≦ 3^3 なら区別が付くから，計13個なら特定できるというのはわかる
もっとうまいやり方があるのか

どちらが重いのかわかってれば総数27個までいける

>>379
12は可能、13は不能じゃないのか？

>>379
> 2n ≦ 3^3 なら区別が付くから，計13個なら特定できる
は正しくない。14個以上が無理であることを示しているだけで、
13個で可能であることを示しているわけではない。
実際、13個は不可能。
天秤の左右に違う個数を載せてもなんの情報も得られないので、同数載せるのは確定。
3^2=9から、1回目を終えた段階で残る可能性が9通り以下になっていないといけないので、
1回目に載せないものは4個以下。つまり、1回目は6個ずつ、5個ずつのいずれか。
しかし、そうすると釣り合わなかったときにそれぞれ12通り、10通りの可能性が残ってしまう。

わかってねえなあ

>>372
それがどうかしたの？

具体例を構成するのが面倒なので
VIPの出題スレの解答例に補足することにした

番┃一│二│三┃一│二│三
　┃回│回│回┃回│回│回
号┃目│目│目┃目│目│目
━╋━┿━┿━╋━┿━┿━
①┃左│左│×┃右│右│×
②┃左│×│左┃右│×│右
③┃左│×│×┃右│×│×
④┃左│×│右┃右│×│左
⑤┃右│左│左┃左│右│右
⑥┃右│左│×┃左│右│×
⑦┃右│左│右┃左│右│左
⑧┃右│右│左┃左│左│右
⑨┃×│×│右┃×│×│左
⑩┃×│右│左┃×│左│右
⑪┃×│右│×┃×│左│×
⑫┃×│右│右┃×│左│左

この表の左半分に従って，各回ごとに左右の天秤に4つずつ乗せる（×は乗せない）
1つだけ違うものが
重かった場合は，この表の左半分のように書いてあるほうが下がる（×はつり合う）
軽かった場合は，この表の右半分のように書いてあるほうが下がる
表に出てくる24の天秤の状態は重複していないので，12個の場合は確実に区別できる

で，13個目を「3回とも乗せない」とすれば，やはり区別が付く
ただし，このやり方では13個目が重いか軽いかまでは判断できないが

>>385
1回目に4-4乗せて釣り合った場合、2回で5個から1つの区別をしないと
いけないんだよ。

その表、3回とも天秤に乗せている物が有るから、左左左とか右右右が
起こりえるのに表には無い。まさか、左左左だったら表に無いから
残った１つのものの重さが違うとは言わないよなｗ

1,2,3,4<=>5,6,7,8.
1,5,6,7<=>8,10,11,12.
2,5,8,10<=>4,7,9,12.

>>387
あれ、13は可能なのか・・・。

>>385 の左半分だけを見てほしい
それに従って左右の天秤に4つずつ載せて測ったとき，
①から⑫の中に重さが異なるものが存在するなら
どの番号が異なるかによって天秤は次表のように傾くことになる
上表に従う限り，左左左，右右右という可能性はない

　　　重いとき　　　　軽いとき
番┃一│二│三┃一│二│三
　 ┃回│回│回┃回│回│回
号┃目│目│目┃目│目│目
━╋━┿━┿━╋━┿━┿━
①┃／│／│─┃＼│＼│─
②┃／│─│／┃＼│─│＼
③┃／│─│─┃＼│─│─
④┃／│─│＼┃＼│─│／
⑤┃＼│／│／┃／│＼│＼
⑥┃＼│／│─┃／│＼│─
⑦┃＼│／│＼┃／│＼│／
⑧┃＼│＼│／┃／│／│＼
⑨┃─│─│＼┃─│─│／
⑩┃─│＼│／┃─│／│＼
⑪┃─│＼│─┃─│／│─
⑫┃─│＼│＼┃─│／│／

記憶では、12可能、13不能なんだが、>>387から穴が見つけられない。
>>385,389 は分かり難い、>>387だと分かるんだけど、ずっと13不能と
思っていたから、どこかに穴が有る気がしてならないｗ

ある意味ソートされた方法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)
1, 2, 3, 4 <=> 5, 6, 7, 8
1, 2, 3, 5 <=> 4, 9, 10, 11
1, 4, 6, 9 <=> 2, 7, 10, 12

>>384
馬鹿？
後は帰納法

今回は贋物を見つけるだけでいいので13個でおｋ

「贋物の軽重まで調べなければならない」等となっている時は、
全て必ず１回以上天秤に掛ける必要があるので
判別可能な個数の最大値は12個だけど
贋物を見つけるだけでいい場合には
"１回も天秤に掛けられない個体"が１つまで存在できるので
判別可能な個数の最大値は、前者＋１で、13個

一般に、天秤をk回用いて
１つの贋物(軽重不明)を見つける時
判別可能個数の最大値は、{(3^k)-1}/2個
贋物の軽重まで調べる必要があるなら
判別可能個数の最大値は、{(3^k)-3}/2個

前のスレで少し話題に出たことがあったけど
「天秤の掛け方を予め決めておかねばならない」
(1回目の天秤の結果から、2回目に何を掛けるか決める等の方法がとれない)
という制限を加えても、制限がない場合と判別可能な個数は同じになるっぽい

>>393
肉まんは餡饅の偽物というわけではないぞ。他の問題の解説をコピペしたか？

>>392
馬鹿です。
も少し詳しく教えてください。

真ん中に入る実数の値は？
http://i.imgur.com/5bX5E.png

黄金比

当ったり～☆
てへぺろ

54 名前:あんでぃ [sage] :2012/04/14(土) 10:55:07.41
52 名前:あんでぃ [sage] :2012/04/14(土) 10:52:54.08
>>33
古典Aと古典Ｂならどっちが好きですか？

>>373
p(X) : Xのベキ集合
Q＝{a∈p(p(X)) ; ∀b∈a[ g(f(X)^c)∈b ∧ ∀x∈b[g(f(x^c)^c)∈b] ]}
とすると
{ b∈p(X) ; g(f(X)^c) ⊂ b } ∈ Q
だから Q≠φで ∀a',a"∈Q[ a'∩a"∈Q ]
A＝(∪(∩Q))^c, B＝f(A)^c となるけど、∩Q≠φの証明が困るな。
AB 逆にして挟み撃ちする方法でも考えてくれ。

>>291の画像再うｐお願いします。

>>342
a(n)^4-1=a(n+1)*a(n-1)*{a(n)^2+(-1)^(n-1)}

>>494
そう…お願い…
ここから

タイトル
ちんこ定規くん
内容
[T？X]
[G？M]
[O？H]
[VF？SC]
残り8組
ここまで

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>>403
ゴリゴリやると確かに成り立つけど、スッキリした解答を見てみたいものだ。

>>342,405
a(n+1)*a(n-1)
={2*a(n)+a(n-1)}*a(n-1)
=2*a(n)*a(n-1)+a(n-1)^2
=2*a(n)*{a(n)-a(n-2)}/2+a(n-1)^2
=a(n)^2-a(n)*a(n-2)+a(n-1)^2　より
a(n+1)*a(n-1)-a(n)^2=-{a(n)*a(n-2)-a(n-1)^2}
以上から a(n+1)*a(n-1)-a(n)^2=(-1)^n　
よって a(n+1)*a(n-1)=a(n)^2+(-1)^n
両辺に a(n)^2-(-1)^n をかけて
a(n)^4-1
=a(n+1)*a(n-1)*{a(n)^2+(-1)^(n-1)}

>>406
なぜa(n+1)*a(n-1)を計算しようと思ったのか、飛躍しているんだよな
そこに至る考えこそ知りたい

どこかの問題と解答を転写しただけだろ．
自分で解いてはなさそうだ．

手を動かさない者の発想だな

>>406の計算から分かることだが、係数が2以外の任意の数の場合でも、同じ結果が成り立つね。
特に1の場合すなわちフィボナッチ数列でも成り立つ。

>>410
勘違いだった。恥ずかしー

>>411
晒し首だな

>>411
何言ってんだ

>>411の人気に嫉妬

>>411
鼻糞でも食ってろ！

>>411
k≠0
a_1=1、a_2=k　
a_n=k*a_(n-1)+a_(n-2)
でいいんじゃないの？

数学を勉強する意義について議論するスレ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334923127/

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

[TS/VX]
[GF/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

>>27
>>29
>>32
>>338

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キミの名前教えて

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>>341
ε-δで証明して

以下で改行をはずしてコピペ

http://wrs.search.yahoo.co.jp/FOR=HfJGU_FV3ihTJgy5mUHbtUf6A46FNG_bTp9rM16CapE4sxE8a5g3f0BGHubMvWH.lOnN4Zo0cJ_5jDP8tWH9P9vUyKAwr5GReU8l2
QfISKIO4Rd1JVFtNyoHVzrbivVr88wmEpIEjzTa_ZI2qQIuzxsCT90jBFji77RVG1PG.Xd5BeKKPSL.I0OFkyAyZRynG588OXQ1m9IWMV0qMzEtxSwazWAqEIUTejkwb7xFQZUc
bkxGN8fhT9.LftzWG_tuk7eWkMl7Ordz6uuwm4o.C4pPB.qJEJDPumjuILIz4cak8vYzAz05sm1XAZrJIgqoaGeu.oHGUxhaYqASSjL4/_ylt=A8vY8pGmGZVPuuIAqeCDTwx.;
_ylu=X3oDMTEzZHE4dDRhBHBvcwM3NwRzZWMDc3IEc2xrA3RpdGxlBHZ0aWQDanAwMDE3/SIG=14f7pvs5r/EXP=1335272294/**http%
3A//rihiga.freeweb.pk/2012/03/24/%25E4%25B8%2583%25E5%25A4%25952011-in-%25E6%2595%25B0%25E5%25AD%25A6%25E6%259D%25BF-25/

>>426
?

>>426
何か張りたいならちゃんと張れ

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>>425
Σb(n) 収束なら b(n)→0
a(n)＋b(n)≦a(n＋1) は b(n)≦a(n＋1)－a(n) だから a(n) はほとんど単調増加。
あとはε-δと背理法で、収束しなけりゃ有界でない。

すっげえ。俺よりロマンスあるんだ。

誤爆ｽﾏｿ

>>431
Σb(n)が収束しなくてもb(n)→0であればいいってこと？

正の整数a,b,c…がn=a+b+c+d…を満たす時
S=max(abc…)を求めよ

>>435
どこが面白いん？

相加平均≧相乗平均がおもしろいんでないかな？

一目で分かってしまう問題に何の面白みがあるのだろう？

相加相乗を初めて知った厨房なのだと納得して忘れよう

>>434
Yes.

a(n)=-log(n).
b(n)=-1/n.

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>>431
a(n)が収束ならb(n)=a(n+1)-a(n)とすれば条件は全て満たすから
収束する数列は全て「ほとんど単調増加」になるから
＞a(n)＋b(n)≦a(n＋1) は b(n)≦a(n＋1)－a(n) だから a(n) はほとんど単調増加。
この行意味なし

442で上がってるのにもう146まで落ちてる

>>435
(イ)n=3mの時
S=3^m
(ロ)n=3m+1の時
S=3^(m-1)*4
(ハ)n=3m+2の時
S=3^m*2

>>436-439は頭悪すぎ
相加相乗平均の要素は全くないし、そもそも相加相乗でどうやって最大値求めるんだ

正の整数a,b,c,d,eがn=a+b+c+d+eを満たす時
S=max(abcde)を求めよ

a=S+1,b=1,c=1,d=1とすればS<abcdになるから最大値はない

n個の赤玉とn^2個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。
この中から2n個数の玉を取り出す。
このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。

(1) Pnをnを用いて表せ。
(2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。

解説して

>>449
Pn=1

どうやっても取り出した半分以上は白玉になる
東大作問スレでも最近こういう問題が多い

n^2個の赤玉と2^n個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。
この中から2n個数の玉を取り出す。
このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。

(1) Pnをnを用いて表せ。
(2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。

解脱して

>>453
Pn=1

どうやっても取り出した半分以上は白玉になる
東大作問スレでも最近こういう問題が多い

>>455-456
>>449と>>453は違うぞ？

n→αの意味不明さは変わらず

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>>448
これは酷い。

>>435
n=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o… であるということは
両辺からnを引くと 0=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+o…
このような正の整数abcdefghijklmoは存在しない。

>>446
「要素は全くない」についてはここでは問題にしないので
ぜひ相加相乗を使わない解答を教えてください。

>>460
酷いのは>>435 >>460。
>>435はnと分割する個数が固定なのか不定なのか書いてない。

>>338
c(1)=a(1), c(n)=a(n)-Σ[k=1,n-1] b(k) (n≧2) とおくと {c(n)}は上に有界、かつ
c(n+1)-c(n)=a(n+1)-a(n)-b(n)≧0 だから {c(n)}は単調増加、ゆえに{c(n)}は収束する。
よって{a(n)}も収束する。
>>431
b(n)→0だが{a(n)}が収束しない例：
a(n)=-log(n), b(n)=a(n+1)-a(n) (n≧1) とおくと{a(n)}は上に有界で
b(n)=-log(1+(1/n))→0 (n→∞) だが a(n)→-∞

>>461
SUGEEEEEEEEEEEEEEEE

ほとんど単調増加っていう言葉を初めて聞いた。
ほとんど至るところで連続みたいな感じか。

逆から読んでも同じ数式を、回文と呼ぶことにする。
任意の有理数は回文で表せることを示せ。

(a-0)*(0-b)+(1÷b+b÷1)*a=a*(1÷b+b÷1)+(b-0)*(0-a)=a÷b

>>468
説明不足でしたが等号を含まない式でお願いします。
それと、文字式は数字を当てはめたときに回文にならない場合があるので駄目。

あ、>>467で言ってる「逆から読んでも同じ」というのは、同じ値って意味じゃなくて同じ表記の式ってことです。

…まだなんか説明不足あるんじゃないかという気がするな
例えば"3"ってのは逆から読むと"3"なのかそれとも"ε"なのか…

>>471
それは気付かなかった。
3は逆から読んでも3。
36は逆から読むと63です。

あと、1行で書けないような式は不可。

まあどっちみち>>468の発展系でいける
「aを整数、bを非0の整数とするとき、以下の式の値は a÷bになる
2*(-a)*b+(1÷2b+2b÷1)*a+a*(1÷2b+2b÷1)+b*(-a)*2
ただし実際に表すときは
a,(-a),b,2bを、正なら(1+1+…+1)、負なら(1-1-…-1)で記す」

あっと少し訂正、単独の2についてはいってなかった
2*(-a)*b+(1÷2b+2b÷1)*a+a*(1÷2b+2b÷1)+b*(-a)*2を
(-a)*(2b)+(1÷(2b)+(2b)÷1)*a+a*(1÷(2b)+(2b)÷1)+(2b)*(-a)に

>>474
正解です。

ここまで来たらもう簡単かもしれないけど、さらに問題。
1 - ÷ ( ) の5種類の記号のみでも可能であることを示せ。

例えば
x*y　→　(x÷1)÷(1÷y)　ただしx,yに0が含まれる場合は0に置き換える
x+y　→　(x-1)-(1-1-1-1)-(1-y)
正の整数n　→　(1-(1-1-1-…-1)-1)
の変形を用いて先ほどの式から*と+を排除し正の整数表記を変更する

ああああ、重要な問題に気付いてしまった。
3を逆から読んでも3だというなら、 (1-1) という式は逆から読むと )1-1( になるじゃないか。
括弧は例外として逆向きにする、というのはちょっと苦しいか・・・。
とりあえず、左括弧と右括弧は逆から読むと入れ替わるということでお願いします。

さすがに括弧()が)(に変化するなら
式に現れる最後の閉じ括弧)が逆から読むと
式の先頭に来てしまう。つまり括弧の対応は必ず崩れるので使えない

括弧が使えないと除算は常に最優先となってしまうので
どう頑張っても式全体の分母は1にしかならない
つまり有理数は作れなくなってしまう

エラー出まくりで返事遅れてすいませぬ。

>>476
なるほど、それでいけますね。

↓想定していた解答。

表したい有理数をa/bとする。
ただしa,bは整数、a+b≧0となるように表しておく。
a>bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1)
a<bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1))
で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。

>>479
なんかいろいろ間違ってるけど適当に脳内補正お願いします。

>>479
一応ちゃんと訂正しときます。

表したい有理数をa/bとする。
ただしa,bは整数、a+b<0となるように表しておく。
a<bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1)
a>bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1))
で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。

m個の玉を無作為にn個の箱に入れるとき箱が1つだけ空になる確率を求めよ
ただし、mとnをm≧n≧1を満たす整数とする

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　＼　 `＝′ ::／
　／｀ー――-´＼はぁ？…)

>>482
エレガントな解答か解放があれば息してよし

>>484を解放せよ

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + 1 を満たす素数a、b、c、d、eの組をすべて求めよ

e=5.

>>487
それ以外にないのかね？

x^y = y^(x^3) をみたす自然数x、yの組をすべて求めよ

2^x + 3^y + 5^z = n! （x、y、zは整数、nは自然数）をみたす整数x、y、z、nの組をすべて求めよ

>>489
(x, y) = (1, 1)

実質2^2+2^2+3^2+3^2=5^2+1しかないな

それ以外にないことは、どうやって証明できるん？

しかもどれほどエレガントに？？

そーだそーだ！
解を一つ書いて解けたつもりなのか？
小学生かよ！

なんか面白いからこのまま小学生呼ばわりさせてみよう

0,0.
1,1.
4,256.

1,1,0,3.
2,0,0,3.
4,1,1,4.

まあmod 12で調べていけば素数の二乗は1,4(2のみ),9(3のみ)
左辺4つ足しあわせて右辺に可能性があるのは、全て試すと
4+4+9+9 ≡ 2 mod 12のタイプしか残らない

>>482
誰も答えないから、解答www

1からnまでの目があるサイコロをm回投げた場合に
nが出ない目の集合をA(n)とおくと、、全ての目が出る場合の数は
n^m-Σ[i=1,n]A(i)+Σ[i=1,n]Σ[j=1,n∧i≠j]A(i)∩A(j)-．．．
=Σ[i=0,n-1](-1)^i*C[n,i]*(n-i)^m)
となることを用いると、求める確率の場合の数は空箱を1つ選択してから
1からn-1までの目があるサイコロm回投げて全ての目が出る場合の数
Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m
に等しいから、求める確率は
Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m/n^(m-1)

>>489
うひょっ！どうやって解くのですか

>>501
k = x^3/y とおくと、y = k^{1/(3k-1)} という式が出てくる。
y = 1 と y ≧ 2 で場合分け。

自然数 n、整数 x、y、z のとき、n！= 2^x + 3^y + 5^z をみたす x、y、z、n をすべて求めよ

lim[n→∞] {(n!)^(1/n)}/n を求めよ

>>504
1/e

>>503
mod 3 で考える。

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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>>507のタイーホまだ？

>>503
mod 3, mod 5, mod 8で考えると、
n≧5、x≧3、y≧1、z≧1には解が存在しないことがすぐわかる
（x,y,zの偶奇の組合せがどれも不可）

さらにいろいろ場合分けして検討すると、
結局n≧5は全てダメだということがわかるので、
あとは有限な範囲の探索のみ。

n=3のとき、2^x+3^y+5^z=6で不適
n≧3のとき
n! mod 3 = 2^x+5^z mod 3 = 0
n=4のとき、2^x+3^y+5^z=24 x=4,y=1,z=1で題意を満たす
n≧4のとき
n! mod 8 = 2^x+3^y+5^z mod 8 = 0
n≧5のとき
n! mod 5 = 2^x+3^y mod 5 = 0
a,b,cを整数として、2^x+5^z=3a 2^x+3^y+5^z=8b 2^x+3^y=5c
3^y=8b-3a 5^z=8b-5c bは15の倍数で、dを整数として
2^x+3^y+5^z=120d

>>510 先頭に以下を追加
x≠0, y≠0, z≠0のとき

なんか勝手に条件追加してるし、結局何言ってるかわからんしｗ

プログラムを組むと確かに、n≧5の場合に解は存在しなかった。
2^x+5^z=3a 3^y+5^z=2b 2^x+3^y=5c から
2^x=(3a-2b+5c)/2, 3^y=(-3a+2b+5c)/2, 5^z=(3a+2b-5c)/2で意味不明w

n≧5の場合に解は存在しないことを
高校生にも分かるように証明お願いします

>>514
Andrew John Wilesにでも会ってこい

あ、すまんフェルマーの最終定理の話じゃなかったのか
515は忘れてくれ

それもまた好々

>>513 追加
(3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5
を満たす整数a,b,cの組み合わせは7個、その全てでx=log[2]((3a-2b+5c)/2)が整数に
ならずに不適。

>>518　はx>0,y>0,z>0の場合

>>514
kは非負整数とする
mod 8において、3^2≡1，5^2≡1より
　3^(2k)≡1，3^(2k+1)≡3
　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡5
mod 3において、2^2≡1，5^2≡1より
　2^(2k)≡1，2^(2k+1)≡2
　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡2
mod 5において、2^4≡1，3^4≡1より
　2^(4k)≡1，2^(4k+1)≡2，2^(4k+2)≡4，2^(4k+3)≡3
　3^(4k)≡1，3^(4k+1)≡3，3^(4k+2)≡4，3^(4k+3)≡2

n≧5とすると
n!≡0 (mod 8)，n!≡0 (mod 3)，n!≡0 (mod 5)

x,y,zがいずれも負の整数とならないことの証明はここでは省略して
以下いずれも非負整数とする

(i) x≧3のとき
2^x≡0 (mod 8)より、3^y+5^z≡0 (mod 8)
この条件を満たすのはyもzも奇数の場合のみ
yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)、zは奇数なので5^z≡2 (mod 3)より、
2^x≡1 (mod 3)となり、xは偶数
zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より、2^x+3^y≡0 (mod 5)
しかし、xが偶数、yが奇数だと、この条件を満たすことができない
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない
（続く）

（続き）
(ii) x=2のとき
2^x≡4 (mod 8)より、3^y+5^z≡4 (mod 8)
この条件を満たすのはyが奇数、zが偶数の場合のみ
2^x≡1 (mod 3)、yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)より
5^z≡2 (mod 3)となるが、これはzが偶数であることと矛盾
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない

(iii) x=1のとき
2^x≡2 (mod 8)より、3^y+5^z≡6 (mod 8)
この条件を満たすのはyが偶数、zが奇数の場合のみ
2^x≡2 (mod 5)、zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より
3^y≡3 (mod 5)となるが、これはyが偶数であることと矛盾
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない

(iv) x=0のとき
2^x+3^y+5^zは奇数、n!は偶数なので矛盾
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない

結局答えは
(n,x,y,z)=(3,2,0,0),(3,1,1,0),(4,4,1,1)
の３通りのみ

>>518
＞　(3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5
＞　を満たす整数a,b,cの組み合わせ
(a,b,c)が１組でも見つかれば、
(ka,kb,kc)（kは自然数）も不等式を満たすはずなので、
７個だけというのは意味不明

>>523
3つ不等式を満たす整数の点は、3平面がなす四面体の内部の点であり
(a,b,c)=(454, 543, 334),(454,542,334),(453,546,335),
(453,544,334),(453,547,335),(453,545,334),(453,543,333)

四面体ではなく無限に続く三角柱だから、>>518と>>524は間違だった。

×無限に続く三角柱
○3つの平面により区分けれた領域

(・3・)

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>>435
　Sが最大のとき、　a,b,c････の差は高々1

(略証)
背理法による。
a,b,････の中に差が2以上のものがあると仮定する。たとえば
　b-a-1 > 0,
とすると
　(a+1)(b-1) = ab + (b-a-1) > ab,
これは、Sが最大であることと矛盾する。（終）

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ふむ

平面R^2をジョルダン閉曲線で過不足無く覆うことは可能か？
ただし「過不足無く」とは、R^2上の任意の点に対しその点を通るものがただ1つある場合をいう。

>>533の補足。
1個の閉曲線で覆うのではなく、閉曲線の集合を考え、その全体で覆うものとする。

{x^2+y^2=r^2 | r∈R}

{y=(x^3-x+a | a∈R}

>>536は馬鹿

>>536は閉曲線ではなかったので
{x^2/a^2+y^2/(ca)^2=1 | a,c∈R, cは一定}

{x^(2n)+y^(2n)=r^(2n) | n∈N, r∈R, nはn≧1で一定}

点は閉曲線と認めるか

え、これって、どうやっても少なくとも１点は残ってしまうことを
いかにうまく証明するかという話じゃないの？

蚊取り線香とか見たこと無いのか

─┐┌─
┌┘└┐＜呼ばれた気がした
│┌┐│
└┘└┘

（ペアノ君には用はありません）

(用がないのに来ないでくださいね) ＞多くの人々

せめて、Wikipediaでもいいから、ジョルダン曲線の定義と、
ジョルダン曲線定理の内容ぐらい見てから書き込めばいいのに…

>>541
ああ、そういう意味か
一点が残ってしまうどころか
ミスると可算無限個の穴ができて
消せなくなったりもするな

二次元の平面上の原点に蛙がいる。
この蛙、ひょんなことに、有理数度の角度に
有理数 cm の距離を飛ぶことしか出来ない。
この蛙が到達出来ない点の集合は？

>>547
まあ、１点だけ残る例なら >>535 でr>0とすれば構成できるけど、
必ず１点は残ることをきちんと証明しようとすると、
非可算無限を扱うのでいろいろ工夫がいりそう

自明に思えることがなかなかうまく証明できないという

>>548
その平面をガウス平面とみなすと、
いかなる円分体にも含まれない点の集合が求める点の集合であろうことはわかるが
それ以上はわからん

が、蛙には大きさがあるので、たぶんどこにでも行けるだろう

「蛙」という名前のついた「点」、というのが落ちだろうな。

根性根性 de 根性 ♪

>>549
背理法だろ

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ハイリハイリフレハイリホーハッハッハハイレハイレフレーホーホー

低次元に落としてみれば？

>>533
不可能であることが言えた( ＾o＾)

解答のイメージ：
p∈R^2を1つ取る。
このpを通るジョルダン閉曲線が1つだけ存在する。
この閉曲線の内部から別の点pを1つ取る。
このpを通るジョルダン閉曲線が1つだけ存在する。
この閉曲線の内部から別の点pを1つ取る。
このpを通るジョルダン閉曲線が1つだけ存在する。
……これを繰り返すことで、ジョルダン閉曲線が
内部にどんどん作られていき、「切り株の年輪」のような
模様が作られる。ジョルダン閉曲線を "十分多く作れば" 、
区間縮小法のような感じで、年輪は一点に収束する(本当は
一点とは限らないが、一点の方がイメージしやすいので)。
その点を再びpと書くと、この点を通るジョルダン閉曲線が
存在するはずだが、この閉曲線は他の閉曲線と交わって矛盾する。

年輪を帰納的に構成しようとしたが、可算無限回では終わらず、
超限帰納法が必要になりそうだった。自分のスキルでは超限帰納法が
うまく使えないので、かわりにツォルンの補題を使うことにした。
従って、証明が冗長な感じになった( ＾o＾)

(続く)

(続き)

記法：
A⊂R^2に対して、Aの内部をA^iと書くことにする。
R^2内のジョルダン閉曲線γに対して、
「γの内部またはγ上の点」全体の集合をF(γ)と表すことにする。
明らかに、F(γ)はコンパクトである。また、F(γ)^i≠φが成り立つ。

実際の解答：
>>533が不可能であることを背理法で示す。
題意を満たすジョルダン閉曲線の族があったとして、その集合をΓと置く。
集合族Mを次のように定める。

M＝{ F(γ)｜γ∈Γ}

Γの定義から、任意のF1, F2∈Mに対して、

・F1＝F2
・F1⊂F2, F1≠F2
・F1⊃F2, F1≠F2
・F1∩F2＝φ

のいずれかが成り立つことが分かる。
このMに、次のようにして半順序≦を定義する(包含が逆向きになっているが、それでいい)。

F1≦F2 ⇔ F1⊃F2

(続く)

(続き)

まず、上記の半順序集合(M,≦)には極大元が存在しないことを示す。

もし極大元が存在するならば、F1∈Mが極大元だとすると、
Mの定義から、F1＝F(γ1)なるγ1∈Γが取れる。
F(γ1)^i≠φだから、p∈F(γ1)^i を1つ取る。Γの定義から、このpを通る
γ∈Γが存在する。再びΓの定義から、F(γ)⊂F(γ1)^iが成り立つことが分かる。
特にF(γ)≧F(γ1)かつF(γ)≠F(γ1)となる。すると、

F(γ)∈M, F(γ)≧F(γ1), F(γ)≠F(γ1)

ということになるので、F1＝F(γ1)がMの極大元であることに矛盾する。
以上より、(M,≦)には極大元が存在しない。

よって特に、(M,≦)は帰納的でない。なぜなら、もし(M,≦)が帰納的ならば、
ツォルンの補題が使えて、(M,≦)には極大元が存在することになってしまうので。

(続く)

(続き)

さて、(M,≦)は帰納的でないのだから、ある空でない全順序部分集合A⊂Mが存在して、
(A,≦)は(M,≦)の中に上界を持たないことになる。このようなAを1つ取っておく。

Aは全順序部分集合だったから、任意のF1, F2∈Aに対して、
F1⊂F2 または F1⊃F2 が成り立つ。
特に、集合族Aは有限交叉性を持つ。… (*)

任意のF∈Aはコンパクトだから、これと(*)より、∩[F∈A] F ≠φ
が成り立つことになる。そこで、p∈∩[F∈A] F …(**) を1つ取る。
Γの定義から、このpを通るγ1∈Γが存在する。
F1＝F(γ1)と置いておく。明らかに、p∈F1 かつ F1∈M である。
(A,≦)は(M,≦)の中に上界を持たなかったから、あるF∈Aが存在して、
F≦F1が成り立たない。すなわち、F⊃F1が成り立たない。これと>>559から、
・F1⊃F, F1≠F
・F1∩F＝φ
のいずれかが成り立つ。(**)に注意して、p∈Fだから、これとp∈F1より、
後者は成り立たない。よって、前者が成り立つしかない。
F＝F(γ)なるγ∈Γを取っておく。このとき

F(γ1)⊃F(γ), F(γ1)≠F(γ), p∈F(γ1), p∈F(γ), p∈Im(γ1)

ということだから、Γの定義から矛盾する(γとγ1の図を描くと分かりやすい)。
以上より、>>533は不可能である。

……ジョルダン閉曲線の性質を証明せずに、"Γの定義より" で
済ませている部分が多々あるので、厳密性に欠けるような( ＾o＾)

ジョルダン閉曲線の内側の面積は0より大きい。
内側の面積が最小であるジョルダン閉曲線の内側には
別のジョルダン閉曲線は存在しえない。
故にジョルダン閉曲線で覆われていない領域が存在する。

>>562
ジョルダン閉曲線が交わる場合は、その限りじゃないんじゃない？

ジョルダン閉曲線の族が与えられたとき、
それらのジョルダン閉曲線における、

内側の面積が「最小である」ジョルダン閉曲線

は必ずしも存在しない。下限はいつでも存在するが、
それは0である可能性があり、その場合、
>>562の論法は破綻する。

>>563
＞内側には
交わってるものは内側とは言わんだろ。

>>565
「内側」と言っている時点で、内包するものだけに
限定してしまっていて、互いに交わる場合が考慮されていない、
と言いたいのだ。

なんか、アレフ１のR^2と、ジョルダン曲線とジョルダン曲線上の一周を[0,2π)とした位相の直積が一対一対応しないのが不思議。連続体仮説が崩れてる気が。

>>567
連続と限らなければ一対一対応が作れる。

http://www.astroarts.co.jp/shop/showcase/pzl_great/index-j.shtml
こういう感じの5x5の真っ白なジグソーパズルがあるとする。
ピースの繋ぎ目は全てユニークで間違った並べ方をすると必ず噛み合わず、
また実際に合わせてみないと隣り合うか分からない。
ピースの照合一回を一手とすると、
最善手の最長手数はいくらか。

縁は直線？

面積に注目するのイイですね。
その方針でも証明できた( ＾o＾)
今度はツォルンの補題が必要なくなった。

でも>>558-561より長い証明になってしまった。
構成的に議論するから、当たり前か。

まあ、書かなくてもいいよね(＾o＾)

裏返しも区別がつかないの？

よくわからんときは問題を簡略化して考えてみようと思った

・表裏の区別はつく、というか裏返せない
・縁と縁でないものの区別はつく
・凹と凸の区別などはつかない
・ジグゾーパズルの大きさは２ｘ２

すると最善最悪は３回の照合で配置解明、＋４回の連結で完成か
…これかなり難しそうだなあ、２ｘ２でこれか

３ｘ３…すでに投げ出したい

３ｘ３は中央が固定。
その上下左右は最悪４＋３＋２回
角も最悪４＋３＋２回

ある場所にある向きで必ず入るとわかっているピースを差し込むのは
照合というのか？照合でないとしたら、１手に数えないのか？

とりあえず確定済みの連結作業については
照合回数に含めない方向で考えてみないか？

まあ>>569など不満があるなら反対してくれると期待

３×３の場合
（１）各辺のピースを中央のピースに合わせる　最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回
（２）角のピースを合わせる　最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回
よって６＋６＝１２回

４×４の場合
（１）各辺のピースに対して対応する中央のピースを見つける
最悪で（４×４－１）＋（４×３＋２×１－１）＋（４×２＋２×２－１）＋（４×１＋２×３－１）＋（２×４－１）＋（２×３－１）＋（２×２－１）＋（２×１－１）＝６４回
（２）角のピースを合わせる　最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回
（３）２×２の場合に帰着　最悪で３回
よって６４＋６＋３＝７３回

これが最善手かどうかはわからんが

実際に配置する話と情報を獲得する話がごっちゃに議論されるとわかりにくいので
「照合」とはあくまでも１つの辺と１つの辺がかみ合うかどうかをチェックする
作業を指すものだという設定にしたほうがよいかもしれない。

たとえば既に判明しているかみ合わせから部分的な配置が確定したところに存在する
１ピース分の穴に実際にピースを置いて確認する操作をすると、それは
同時に４組の辺と辺のかみ合わせをチェックしていることになるが、
上記考え方ではそのように実際に配置した所でチェックするのではなく
あくもでも個々の辺と辺のかみ合わせだけをチェックするのであって、
今回の例では、穴の周囲４辺のうちのどこかと別のピースのある辺がマッチした
時点で、他の３辺についてもマッチすることは推論による帰結として判明する
と考える。

N×N の場合でも、次の方針でできるんじゃないの？

(1) 外枠を作る
(2) Pを残りのピースとする
(3) 以下の処理をして内側を埋める
for(c=2; c<N; c++){
＿for(r=2; r<N; r++){
＿＿r-1行c列目のピースとPのピースを照合し、
＿＿マッチしたピースpをPから取り出してr行c列目にはめる。
＿}
}

この場合の照合回数もすぐ出るでしょ。

最善である証明どうやりゃいいんだか

外枠を作るのに何回かかるか公式化できる？
ちなみに３×３だとある角のピースから時計回りにつなげると３＋２＋２＋１＋１回
それに中央のピースの回転を合わせるのに３回で計１２回、>>577と同じになる

>>577のやり方も一般化できるよ。しかも公式化できる。
n×n (n≧4)の場合、求める回数をP(n)とする
（１）各辺のピースに対して対応する中央のピースを見つける
最悪で(4*n-1)+(4*n-3)+...+3+1=4*n^2回
（２）角のピースを合わせる　最悪で3+2+1+0=6回
（３）(n-2)×(n-2)の場合に帰着　最悪でP(n-2)回
よってP(n)=4*n^2+6+P(n-2)

>>581
ごめん、（１）の回数が間違ってるわ。スルーして

>>581
n×n (n≧4)の場合
辺のピースの個数e:=4*(n-2)
中央のピースの個数c:=(n-2)*(n-2)
だから（１）の回数は
(4*c-1)+(4*c-3)+...+(4*c-2*(e-1)-1)回に訂正
これでいけるはず

ある場所にピースが置けるかどうかは
隣のピースとの合致を総当りで見るしかない

順番に埋めていく限りはどの順番で当てはめても
1辺ずつの照合になるから最悪手はおよそ4*N!だろう

ちょっと問題を変えて、4つのピースを十字型に
並べてから真ん中に5つ目を当てはめると言う手順で
同時に4辺の合致判定をしたと認めるならば
4乗根くらい探索効率があがるはずだがどうかね

>>584
自己レスだが計算が適当すぎた

意外に厳密なルール設定が必要だったな。
照合に関しては >>578 がいいかな。
安楽椅子探偵が別部屋のパズルを
「◯番のピースの{左, 右, 上, 下} 辺に△番のピースはマッチするか？」の形式の
質問に対する「Yes/No」だけで解いてるイメージで。
>>584 はピースの照合が目的なら４手。

SAT充足判定問題を反復深化させると解けるかな。

話がズレるが実際のジグソーパズルのユニークな切り口ってどうやって作ってるんだろうね。
多分凸の部分の大きさが線形に並んでるんだろう。
ってことはリアルジグソーも凸の大きさであらかじめソートしてやれば
二分探索が出来て早くなるのかもね

Flashのジグソーパズルなら
ピースをほとんど重ねてしまって照合作業をCPUに任せるという
卑怯な手がある

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「◯番のピースの{左, 右, 上, 下} 辺に△番のピースの{左, 右, 上, 下}はマッチするか？」

だった

ジグソーパズルを NxM とすると、
4個のコーナーピースは (位置の組み合わせ)=4!=24通り、
2(N+M)-8個のエッジピースは (位置の組み合わせ)=(2(N+M)-8)! 通り、
(N-2)(M-2)個のセンターピースは (位置の組み合わせ)×(向きの組み合わせ)
=(((N-2)(M-2))!)(4^((N-2)(M-2))) 通りの組み合わせがある。
全体の正解の組み合わせは、
N≠Mのとき、これらの積の1/2（180度回転対称はどちらも正解なので）
N=Mのとき、これらの積の1/4（90度回転対称はどちらも正解なので）
となる。

2x2のとき、6 通り。
3x3のとき、576 通り。
4x4のとき、1486356480 通り。
4x5のとき、128421199872000 通り。
5x5のとき、273395378722701312000 通り。

2x2 を minimax の全探索で行ってみよう。
ピースを a,b,c,d として a を左上に置く。
答えは abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb のどれかだ。
（左上、右上、右下、左下の順で表現した）
「a の右隣りは b か」を問うとする。
__ 答 YES → 候補 abcd, abdc より２手詰み。
__ 答 NO → 候補 acbd, acdb, adbc, adcb。
____「a の右隣りは c か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 acbd, acdb より３手詰み。
______ 答 NO → 候補 adcb, adbc より３手詰み。
____「b の右隣りは a か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 acdb, adcb より３手詰み。
______ 答 NO → 候補 acbd, adbc より３手詰み。
____「c の右隣りは a か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 adbc より２手詰み。
______ 答 NO → 候補 acbd, acdb, adcb より３手以上必要。
____「c の右隣りは d か」を問うとする
______ 答 YES → 候補 acdb より２手詰み。
______ 答 NO → 候補 acbd, adbc, adcb より３手以上必要。

よって2x2に対する「最悪手を最小にする最善手」の
最悪手は３手。最良手は２手。確率平均的には、8/3=2.666手。
これ以上はちょっと計算機の力が必要か。

01 02 04 07 11
03 05 08 12 16
06 09 13 17 20
10 14 18 21 23
15 19 22 24 25
の順番で照合するとする。
01を置いた後、残りの
2辺が直線のピースは3個
1辺が直線のピースは12個
0辺が直線のピースは9個
よって照合回数の最大数は
(2+1)+(11+10+...+2+1)+(8+7+...+2+1)=120回
各順番で高々残りピースの数-1と同じ回数だけ照合すればいいという訳だから、単純に足してみた

同じ方法で
1*1は0回
2*2は1回
3*3は9回
4*4は36回
n*nは3+(4n-7)(4n-6)/2+((n-2)^2-1)((n-2)^2)/2

n>1が抜けてた

>>593
細かいが、各()の中で最後に1を足す必要は無いぞ

すまんミスりまくりだ

同じ方法で
1*1は0回
2*2は3回
3*3は9回
4*4は37回
n*nは3+(4n-9)(4n-8)/2+((n-2)^2-1)((n-2)^2)/2回

>>596
+1の項は残りピース2個の時だから要ると思う
わかりにくくてすまん

>>587
普通のジグソーパズルなら凸の位置や形状、
辺の曲がり方なんかも変えてある
大きなパズルを解くときは事前にピースの色と
形状パラメータで分類してから始めるというのは
慣れてる人ならみんなやってると思う

>>599で思い出したけど、普通のジグソーパズルなら
凸と凸のマッチングとか絶対見ないし、4辺凸型とか
周りの情報で探索を絞れる形もあるな

今の全探索型の解は実際の2倍くらいの見積もりか

>>600
そっかじゃあ例えば左と上が凹、右と下が凸になってたら、上下がわかるのか
そうなると4つの角は自動的に決まるし、枠だってすぐ決まるな

と思って>>569見たら上下と左右が対称だった

>>601
ばらけたピースの左端のやつは3辺が凸の形に見える

>>593
中央のピースは回転も考慮に入れないといけないのでは？

今日東急ハンズで実物見てきたけど
・９×１１と１２×１７の２タイプ
・表裏の区別はおそらく可能
・中央のピースはすべて上下凸左右凹（上下凹左右凸）型
・辺のピースは上凸左右凹型か上凹左右凸型のどちらか
だった

>>603
ちゃんと買ってこいよ、乞食が！

>>603
確かにそうだ

ていうか>>569を改めて見る限り、目視も照合回数に含まれると考えていいんじゃね？

とすると中央ピースは×3して192回か？

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>>605
中央ピースは{(4*9-1)+(4*8-1)+...+(4*2-1)+(4*1-1)}になるんじゃね？

端から１個ずつやるのは損では？

残ってるピースがすべてバラバラの１個だと、
残ってるもの全部候補になっちゃうから全部試さないといけない。
あらかじめ２個以上のをくっつけてピースを大きくしとくと、
明らかにぶつかって試しても意味ないところがもっと枝刈りできる気がするが。
たとえば３ｘ２のすでにくっ付いたピースと２ｘ２の隙間があるとすると、
そのピースはその隙間には入らないことは照合しなくてもわかるわけで。

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>>609
求める手数はピースの照合の仕方によらない

>>611
どうして？

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>>612
バラバラにやろうとすると4辺を調べなきゃいけないけど、端(角)からやると1回で済む

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n人のＪＫを、3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？

>>620
すまん、数ヲタ的にはこうか？「n人のＪＫを」 → 「n人のょぅι゛ょを」

n人のロリコンを、3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
だろ

いやいや

n人のロリータを、3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
だろ

じゃあ
n人のロリコンが、m人のJCを3人以上のいくつかのグループに分けて、それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？
か

>>624
その n は、当社で働く上で何の役に立つのですか？

>>620
> 数ヲタはロリコンなの？
> ロリコン達が、n人のＪCを、3人以上のいくつかのグループに分けて、
> それぞれのグループで円順列をつくる場合の数は何通りか？

答えは簡単な形にならなんだ
しかもGFを使って解いたし… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

ＪＣって？

ちょっとだけだぞ！
つ http://stat.ameba.jp/user_images/20091226/12/glamdays/20/3a/j/o0400064910353859185.jpg

>>628
ＪＣキタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！

>>627

常識的にカンガルー
　http://dic.nicovideo.jp/a/jc
　http://dic.nicovideo.jp/a/jk

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>>27
出題者がいるか謎だが解いてみた
答えは(315π-284√2)/140
どうだろう

　テメ～ら、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職・無能の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！！！！！！

　ブッ殺してやっから、覚悟しとけ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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2^nを3で割ると2余ることを証明せよ。
ただし、nは自然数とする。

>>635
4=2^2はそうなってないよ。

>>635
2^n-2
=2(2^(n-1)-1)
=6(1+2+2^2+…+2^(n-2))

mod 3として
2^n-2≡0
∴2^n≡2

何が面白いのか分からん

>>637補足
n-2>0
つまりn>2のとき

16=2^4はそうなってないよ。

意外と面白かったな

滑稽で仕方ない

マイナスとマイナスの積はプラスになることを式変形によって証明してつかあさい

2^n = (3-1)^n ≡ (-1)^n (mod 3)
なので、nが偶数なら1余り、奇数なら2余る。

>>637
> >>635
> 2^n-2
> =2(2^(n-1)-1)
> =6(1+2+2^2+…+2^(n-2))
何が凄いといって、ここほど凄いところはない。

> 何が面白いのか分からん
君が面白がられている。

>>642
あってる？
(-1) * (-1) = 1 + (-1) + (-1) * (-1) = 1 + 1 * (-1) + (-1) * (-1) = 1 + (1 - 1) * (-1) = 1 + 0 * (-1) = 1

x<0&y<0→xy=|x|e^πi|y|e^πi=|x||y|e^2πi=|x||y|>0

>>645
マジレスするとそれは一例を示しただけのような。

>>647
そだね。これでどうかな。

x, y > 0 のとき
(-x) * (-y) = x * 0 + (-x) * (-y) = x * (y - y) + (-x) * (-y) = x * y + x * (-y) + (-x) * (-y) = x * y + (x - x) * (-y) = x * y

つきつめるとこうなるかな
(-x)(-y)=(0-x)(0-y)=00-0x-0y+xy=0-0-0+xy=xy

>>649

> (-x)(-y)=(0-x)(0-y)=00-0x-0y+xy=0-0-0+xy=xy
.................................................................................↑

>>649
ズレてしまった
> > (-x)(-y)=(0-x)(0-y)=00-0x-0y+xy=0-0-0+xy=xy
> .................................................................................↑
↑は　+xyのところを指したつもり

半径1の円周上(この円をC1)に異なる2点P,Qをとる。C1の中心をOとする。
また2点P,Qを直径とする円(この円をC2)をかく。
線分P,Qを1:2に外分する点をRとするとき、RからC1,C2に2本の接戦が引ける。
この接線のなす角をθとするとき、cosθの最大値を求めよ。

>>651
xyの項で(-x)(-y)=xyつかってるじゃん

7/9になった

>>653
>>649に言ってくれ

>>649
君には、まず
-x=(-1)・x　を証明することをお勧めする。

ちょっとまって。俺めっちゃ突っ込まれてる

つきつめた責任は取ってもらう。

1x1 の実数２次元平面上に
等間隔に５つ自分の石を並べると勝ちになる実数五目並べを考える。
石の大きさはゼロで、すでに置いてある点の上ぴったりに置くことはできない。
禁じ手はない。
先手必勝パターンはあるか？

>>624
これの解き方は？

>>659
等間隔なら間に相手の石があってもいいの？

>>659
1.とりあえず2点を置く
21の2点を通る.直線と異なる点に点Bを置く
3.1と2で作った3角形の辺Bを伸ばして4点を等間隔に置く
4.辺Bの延長と異なる点に1点Cを置く
4.辺Bの延長上の4点と点Cとの中点に4点を置く

4の4点目をおいた時点で4点と3点の
等間隔の点列ができるから勝ちが確定する
途中で邪魔されなければ適当に勝てる

これができなきゃ算数やり直し問題

円周が15cmの円柱があり、下の面の円を0とし、上の面の円を0`とする。
そして、0X//0`Yとなるような点Xを円0上に、点Yを円0`上にとる。
点Xから時計周りに点aが毎秒3cmで移動し、
点Yから反時計周りに点bが毎秒ncmで移動している
点bが点Yを出発してから3秒後に点aが点Xから出発をすると、
それから6秒後に三回目の0a//0bとなるときnの値を求めよ。

日本語はおかしいかもしれませんがご了承ください

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>>663
まんどくさい、ご了承くさい

>>662
3のあたりが何を言ってるのかよくわからんが、
2で同一直線上以外に置いた時点で、
先手とは関係なく後手が黙々と等間隔に並べた方が先行してしまうだろうよ

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黒先手とする。
黒白の１手目はどこに置いても話は同じ。
黒の２手目はそこまでの２点と同一直線上に並ばないように置く。
以降黒は全て、黒の１手目と２手目を結ぶ直線上に置くようにすれば、
その直線上では常に白に対して数的優位を保てるので
まあよっぽどヘマをやらない限り勝てる。
場合分けがちょっと面倒くさいのでやらないけど
白側の手を、黒を阻止するために有効ないくつかの場所と「その他」で場合分けして
それぞれの場合の黒側の手を用意しておけば、さほど分岐も発散せずに
必勝法は構成できると予想。

>>663
なんでOじゃなくて0を使うの

>>620
誰も解いてくれないので、答えだけ置いておく
(2n-3)!!

方程式2^x=x^2の異なる2つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

>>670
すまん、間違い

>>671の間違いを指摘せよ。

>>671
グラフ書けば終わり

>>673
実数解は３つある

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる2つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

「よろしくお願いします」がない

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

おながいします

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方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

おながいします

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方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

おながいします

方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

①でm→∞のとき、α→-1を示せ。

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方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

①でm→∞のとき、α→-1を示せ。

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0=1

カップラーメンが食べ頃になるまでの時間(s)とお湯の温度(℃)の積は一定(=180*100[s*℃])であると仮定する。
1000℃のお湯を注いだとき、食べ頃になると同時にお湯の温度が100℃になった。
お湯は1秒あたり何℃冷めたか。またカップラーメンが食べ頃になるまでの時間は何秒であったか。
但し、お湯の冷め方は常に一定で、お湯を注いだ瞬間から冷め始める。お湯を注ぐのに要する時間は無視する。

αβ=2,α+β=-8であるとする。

α^n+β^nをnを用いて表せ。

>>692
どういう答を期待してるんだろうね。

αとβは具体的に数値として書き表されるんだからそれを代入して終り。

方程式2^x=x^2の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

mを自然数とし、
方程式(2m)^x=x^(2m)・・・①の異なる3つの実数解のうち、x＜0である解xをαとする。
-1＜α＜-1/2を示せ。

①でm→∞のとき、α→-1を示せ。

基本対称式で表せってことだろ
アルファとベータ求めたほうが早そうだけど

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a_0=2、a_1=-8、a_[n]=-8a_[n-1]-2a_[n-2]（n≧2）を満たす数列a_[n]をnで表せ。
の答えがα^n+β^n　だな。

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>>694

　α = -4 -√14 = -7.741657
　β = -4 +√14 =　0.258343

　|β|^n < 0.258343

　α^n + β^n = [ α^n + 1/2 ]

で計算する方が速い？

半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある。
四面体ABCDの各辺の長さは、AB=√3,AB=AC=AD=BC=BD=CD=2を満たしている。
このとき、rの値を求めよ。

xy平面の放物線y=x^2上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
三角形PQRは1辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。

T大の過去問か

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>>702
どっかで見たこある
それも非常に最近の高校生の問題
家庭教師先だったか…

>>702
AB=√3=2?

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>>703
AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2 なら暗算で r=1 が出るから、これだな。

>>702 だった

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半径1の球の中に長さ2の直線を入れて正三角形を作るのは無理くない？

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>>712
そういやそうだ、どこで間違ったかな？

暗算あきらめて r=(√13)/3
まだ間違ってるんじゃないだろうな

CD の中点を H とすると ACD, BCD は正三角形だから AH＝BH＝√3
これで ABH も正三角形になり、対称性から球の中心 O は ABH 面内にあり、AB の中点を M とすると O は MH 上にある。
ACD は頂点が球面にある正三角形だから ACD の重心 G の垂線上に O がある。
G は AH＝√3 上にある重心だから GH＝(√3)/3, AG＝(2√3)/3
ABH は正三角形だから∠AHM＝∠GHO＝30°
GH と GO は垂直だから GO＝1/3
AG と GO は垂直だから r＝AO＝√( AG^2＋GO^2 )=(√13)/3

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　単位m^2のことを平方メートルと呼ぶからおかしいんです。メートル平方と呼びたいものですね
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　単位km^2のことを平方キロメートルと呼ぶからおかしいんです。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　キロメートル平方と呼びたいものですね
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　しかし100m^2は100メートル平方になっちゃって混乱のもとですね
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　100mX100mの土地を100メートル平方だっていいますからね
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　 m^2は平方メートル。km^2は平方キロメートル
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　と呼ぶ姑息なやり方でなんとかしのいでるんですね
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>>715-716
正解です。
問題文ミスすみません。

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立体Vの表面上の任意の点Pについて、
Pから一番遠い点までの距離が常にKとなる立体Vは
球以外にあるだろうか。

ある。たとえば、マイスナーの四面体。

(x+1)/y + (y+1)/x = 4 の整数解(x、y)をすべて求め、それ以外にないことを示せ

>>724

　(x, y) = (1, 1) は解である。
　対称性から、x≧y としてもよい。
　(x, y) が解ならば、(x, 4x-y-1)　(4y-x-1, y) も解。

　(x, y) = (a_(n-1), a_n)　(a_n, a_(n-1))　を解とすると、
漸化式
　a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1) -1,
　a_0 = 1
　a_1 = 2
より
　a_k = 1/2 + {(2+√3)^(n+0.5) + (2-√3)^(n+0.5)}/(2√6),

これ以外にもある鴨

>>725
たぶん、そこからは(x,y)=(-5,-1)から派生する系列が出てこない。

厳密な議論をするには、
問題の条件を、x(x+1)+y(y+1)=4xy (x≠0，y≠0)
と読み替えた上で、a=x+yとおくと、
x,yがともに整数⇔a,xがともに整数　となり、
条件式を6x^2-6ax+a(a+1)=0と変形してxについて解くと
x=(3a±√(3a(a-2)))/6となることから
3a(a-2)が平方数　…というような議論をすることになりそう。

ちなみに、aが奇数となる場合に限ると、aとa-2が互いに素となることから，
(a,a-2)=(p^2,3q^2)or(3q^2,p^2)or(-p^2,-3q^2)or(-3q^2,-p^2) (ただし、p,qは奇数)
となり、p^2-3q^2=±2となるが、mod3における議論よりp^2-3q^2=-2
これは、２次体k(√3)における整数p+q√3のノルムが-2となることを意味するので、
k(√3)の単数が±(2+√3)^n (nは任意の整数) だけであることを利用すると
p+q√3=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）となり、
ここからp,qの一般項 → aの一般項 → x,yの一般項が求まる。

aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。

>>726 に自己レス訂正。

＞aが奇数となる場合に限ると、
とか
＞aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
とか書いたが、よく考えてみるとaの偶奇で場合分けをしているのではない
ことに気付いた。
実際は、aとa-2が同じ奇素数を因数として持たないことから、
p,qを整数として、
(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
　　　or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
と考え、最初の４ケースだけをまず検討した所。
（その際の２次体での議論は問題ないはず）

>>727 さらに訂正。寝ぼけてた。

＞(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
＞　　　or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
＞　　　or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
＞　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
これって、真ん中２行は間違いで、

(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)

だけが正解でした。すんません。

さらに、mod 3で検討して
(a,a-2) = (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (2p^2,6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
だけが残る。

答えの流れを整理

a=x+yとおくと、x=(3a±√(3a(a-2)))/6が整数より
i) (a,a-2)=(3q^2,p^2)
ii) (a,a-2)=(-p^2,-3q^2)
iii) (a,a-2)=(2p^2,6q^2)
iv) (a,a-2)=(-6q^2,-2p^2)
のいずれかとなる（p,qは整数）

i),ii)のとき，p^2-3q^2=-2より、k(√3)におけるノルム-2の整数を考え
　p+√3q=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）
iii),iv)のとき，p^2-3q^2=1より、k(√3)における単数を考え
　p+√3q=±(2+√3)^n，p-q√3=±(2-√3)^n（複号同順）

ここからp,q→a→x,yの順に計算した結果をまとめると
A(k)=((3-√3)(2+√3)^k+(3+√3)(2-√3)^k)/12 と置いて
i),iii)より
　(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)),(1/2+A(n+1),1/2+A(n)) （nは任意の整数）
ii),iv)より
　(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)),(1/2-A(n+1),1/2-A(n)) （nは整数、n≠-1,0,1）
となる。

（なお、最後でn≠-1,0,1としたのは、x,y≠0より）

>>729 補足
A(1-k)=A(k)なので、重複を除外すると、結論部分は

　(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)) （nは任意の整数）　または
　(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)) （nは整数、n≠-1,0,1）

だけ言えばよかった。

>>725 の補足

与式は　
(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 + 1/2 = 4(x - 1/2)(y - 1/2),　（60ﾟ双曲線）
と表わせるから、
　(x, y) が解ならば (1-x, 1-y) (1-y, 1-x) も解。
ここから、(-5, -1) の系列が出てくる。

(1)
3辺の長さが全て整数で、周長が n であるような互いに合同でない三角形の個数を f(n) とおくとき、
数列 {f(n)} から生成される母関数 F(x) = Σ[n=0 to ∞] f(n) x^n を閉じた式で表せ！

(2)
S(x、y) = Σ[2m≧n≧0、2n≧m≧0] x^m y^n （|x|<1、|y|<1）の閉じた式を求めよ！

母関数たん (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

(1)
f(n)は1≦a≦b≦c…(i)、a+b＞c…(ii)、a+b+c=nの整数解(a,b,c)の個数に等しい
(i),(ii)より、b≦c≦a+b-1]
Σ[k=0,∞]f(k)x^k
=Σ[1≦a≦b≦c , a+b＞c]x^(a+b+c)
=Σ[b≦c≦a+b-1 , 1≦a≦b]x^c*x^(a+b)
=Σ[1≦a≦b](x^(a+b)(Σ[c=b,a+b-1]x^c))
=Σ[1≦a≦b]x^(a+b)(1-x^a)x^b/(1-x)
=1/(1-x)Σ[1≦a≦b]x^(2b)(x^a-x^(2b))
=1/(1-x)Σ[1≦b](x^(2b)(Σ[a=1,b]x^a-x^(2a)))
=1/(1-x)Σ[1≦b]x^(2b)((1-x^b)x/(1-x)-(1-x^(2b)x^2/(1-x^2))
=x/((1-x)(1-x^2))Σ[1≦b](x^(2b)-x^(3b)-x^(3b+1)+x^(4b+1))
=…
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))
=x^3/((1-x)^3*(1+x)^2*(1+x^2)*(1+x+x^2))

(2)
0≦m≦2n , 0≦n≦2m
⇔m/2≦n≦2m , 0≦m
mが偶数のとき、m=2k(k≧0)とおけて、これを満たすnはk～4k
mが奇数のとき、m=2k+1(k≧0)とおけて、これを満たすnはk+1～4k+2
S(x,y)
=Σ[0≦m≦2n , 0≦n≦2m]x^m*y^n
=Σ[k=0,∞](x^(2k)Σ[n=k,4k]y^n)+Σ[k=0,∞](x^(2k+1)Σ[n=k+1,4k+2]y^n)
=…
=(x^2*y^2+xy+1)/((1-x^2*y)(1-x*y^2))

>>733
正解です。神すぐる…。周長を2nに変えると…

(1)’
3辺の長さが全て整数で、周長が 2n であるような互いに合同でない三角形の個数を g(n) とおくとき、
数列 {g(n)} から生成される母関数 G(x) = Σ[n=0 to ∞] g(n) x^n を閉じた式で表せ！

F(x)の式から{f(k)}が9階回帰数列であることや
f(k)が2p+3q+4r+3=kの非負整数解の個数であることが分かるな。
(∵(a,b,c)=(q+r+1,p+q+r+1,p+q+2r+1)とするとa,b,cは周長kの三角形の3辺になり,
逆に周長nの三角形の3辺a,b,cから(p,q,r)=(-a+b,a+b-c-1,-b+c)によって1組の解が定まる)

>>734
F(-x)=Σ[k=0,∞]f(k)(-x)^k より、
F(x)+F(-x)
=Σ[k=0,∞]f(k)(x^k+(-x)^k)
=Σ[k≧0,k:偶数]2f(k)x^k
=Σ[i=0,∞]2f(2i)x^(2i)
一方、
F(x)+F(-x)
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1^x^4))+(-x^3/((1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)))
=2x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
以上より、
Σ[i=0,∞]f(2i)(x^2)^i = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
f(2i)=g(i)、更にx^2を改めてxと置き換えて
Σ[i=0,∞]g(i)x^i=x^3/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))

>>735
正解でござる

(1)’ a+b+c=n、a≧b≧c>0、b+c>a、をみたす整数の組(a、b、c)の個数

⇔ x=(b+c-a)/2=n-a、y=(c+a-b)/2、z=(a+b-c)/2 とおくと、
　 x+y+z=n、0<x≦y≦z<n をみたす整数の組(x、y、z)の個数

⇔ 自然数ｎの３分割数（＝ nの３分割以下ーnの２分割以下）
　母関数は 1/{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} - 1/{(1-x)(1-x^2} = x^3/{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}

なるほど分割数とな。(2)は何か元ネタとかあったりする？

(2)の一般化。kは自然数。
Σ[km≧n≧0、kn≧m≧0] x^m*y^n
={1-x-y+2xy-x^k*y-x*y^k+x^k*y^2+x^2*y^k-x^(k+1)*y^2-x^2*y^(k+1)+x^(k+1)*y^(k+1)}/{(1-x)(1-y)(1-x^k*y)(1-x*y^k)}
={1-x^k*y-x*y^k+(Σ[1≦i,j≦k]x^i*y^j)}/{(1-x^k*y)(1-x*y^k)}

k→∞のとき(1-x-y+2xy)/{(1-x)(1-y)}=1+Σ[1≦i,j]x^i*y^j
m,n座標平面で直線m=kn,n=kmを引いて、条件を満たす領域を考えると見通しが良くなる。

>>737
(1)(2)は、「整数の分割、P.160 から
http://www.sugakushobo.co.jp/903342_61_mae.html
条件を入れたら母関数を自動生成するOmegaの紹介もある

(2)は 1999年 Putnum B3 の本質部分らしい
http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/putn99.html

(1)’は(1)の証明が分からずに色々考えていたときに出てきた副産物

木が２本ある。
木と木の間は約 100m。
同じ高さ(標高)のところに印をつけたいのだが、
どうすればいいだろうか。

望遠鏡や水準器など、好きな道具を使ってもいいが、
より安い道具でできた方が勝ち。

>>739
地面は水平？

高さ0のとこに印を付けるのはダメなのね？

傍に立って自分の腰の位置に印をつけて終わり

>>742
木が生えてるのが斜面だったら標高は違うでしょ

>>740
んな簡単な問題を出すハゲがいるかをずっと考えるの刑

　　　,　ﾉ）
　　ﾉ)ノ,(ノi
　 (　　　　(ノし
┐)　∧,∧ 　ﾉ　←>>740
..|(　( ....:::::::) (
￣⊂/￣￣7 )　ヽ lヽ,,lヽ
　（/ 川口 /ﾉ　　(　　　）お父さん、2chばっかしてないで働いて！
　　￣TT￣　　　と、　　ﾞi

>>733

(2)
境界線上（2m=n or 2n=m）では、3|(m+n)

そこで、3|(m+n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1), (m+2,n+2)} を１組と考える。
　Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0] A_(m,n) = Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0, 3|(m+n)] {A_(m,n)+A_(m+1,n+1)+A_(m+2,n+2)}
また、
　Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0, 3|(m+n) ] B_(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B_(2i+j,i+2j),
でつね。

本問では A_(m,n) = x^m･y^n,
　　　　B_(m,n) = A_(m,n) + A_(m+1,n+1) + A_(m+2,n+2) = {1+xy+(xy)^2} A_(m,n),

木は垂直に生えているの？

http://amazon.jp/dp/B003T4C2XW タコ糸 \120
Amazon 配送料・手数料 \200
計 \320 でなんとかいきたいところ

>>748
仕様・ 80cm

テラワロス、ペタワロス、エクサワロス！

>>737

k≧2 を固定する。
境界線上（km=n or kn=m）では、(k+1)|(m+n)

そこで、(k+1)|(m+n) を満たす (m,n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1), ･････, (m+k,n+k)} の(k+1)個を１組と考える。
　Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0] A(m,n) = Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0, (k+1)|(m+n)] {A(m,n)+A(m+1,n+1)+････+A(m+k,n+k)}
また、
　Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0, (k+1)|(m+n) ] B(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B(ki+j,i+kj),

>>739
・木の間には障害物がない
・十分に等質とみなせる100m以上はゆうにある丈夫な紐がある
・紐に印を付ける油性ペンと水
と仮定して

・まず紐を二つ折りにして、折り返し点と、そこから等距離な目盛りをつける
・次に２つの木を、目盛りを使って、折り返し点が中央になるように結ぶ
・そして紐全体に水をぶっかける
・紐についた水滴が折り返し点付近に集まっていくなら木に結んだ２点はほぼ同じ標高

……なんかめんどうだし強風の日は使えんな。もっといい方法ないかな…

ゴルゴに頼んで水平に撃ち抜いてもらう
費用は交渉次第

>>747
木っていうもんがどのように生えるか、
それを考えて利用するのは自由

棒の真ん中に紐を付けたもの(水平を測るやつ)+レーザーポインタ

水準器とレーザポインタかオペラグラスを使えば2000円くらいでできるな
工事現場とかで三脚使って測量してるあれと同じ原理

較正が無料で目が十分によければ
適当な紐と錘と筒で500円もかからないで同じ装置が作れそう

>>739
雑談スレに書くレベル

>>755
紐=糸くず
錘=石ころ
筒=トイレットペーパの芯

これで良ければ10円もかからないから
道具を使わないで解くのでもなければ
これ以上安くはならないね

>>739
1000年も待ってりゃそのうち津波が印を付ける

>>737

k=3 の場合。
境界線上（3m=n or 3n=m）では、4|(m+n), ････

平行四辺形 {(m,n)　(m+1,n+3)　(m+3,n+1)　(m+4,n+4)} を基本周期と考える。

4|(m+n), (3m-n)/8∈N', (3n-m)/8∈N' を満たす (m,n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1)}, {(m+1,n+2), (m+2,n+3)}, {(m+2,n+1), (m+3,n+2)}, {(m+2,n+2), (m+3,n+3)} の８個を１組と考える。
　Σ[3m≧n≧0, 3n≧m≧0] A(m,n) = Σ[3m≧n≧0, 3n≧m≧0, 4|(m+n), ･･･ ] {A~(m,n) + A~(m+1,n+2) + A~(m+2,n+1) + A~(m+2,n+2)}
ここに　A~(m,n) = A(m,n) + A(m+1,n+1),

また、
　Σ[3m≧n≧0, 3n≧m≧0, 4|(m+n), ･･･ ] B(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B(3i+j,i+3j),

>>758
それは水平にはならない

>>758
家賃も1000年分いるし
子供の養育費から厚生年金とか
物売るってレベルじゃねえぞ
水準器1000個買ってくる方が安い

>>761
印がつけばそれでいいんだから人が見張る必要はないだろ
…とまじめに反論してみる

>>759

平行四辺形 {(m,n)　(m+1,n+k)　(m+k,n+1)　(m+k+1,n+k+1)}
のタイルを敷き詰めるんでつね。

xとyを対等に扱えるってことか

a^b （a、bは自然数）で表される数の集合を S とするとき、Σ[n∈S] 1/(n-1) = ？

S_n = Σ[k=0 to n] (-4)^k・C(n+k、2k) を計算せよ。ただし、二項係数を C(n、r) で表した。

S=NよりΣ[n∈S] 1/(n-1)=Σ[n=1,∞] 1/(n-1)=∞

間違えた。1/(1-1) =1/0 じゃないか

>>766

　Ｓ_n = (-1)^n・(2n+1),

(略証)
　Ｓ(x) = Σ[n=0,∞) Ｓ_n (-x)^n
　　= Σ[n=0,∞) (-x)^n Σ[k=0,n] (-4)^k･Ｃ(n+k,2k)
ここで n+k=M とおく。
　　= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-k) (-4)^k Ｃ(M,2k)
　　= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-2k) (4x)^k Ｃ(M,2k)
　　= Σ[M=0,∞) {(-x+2√x)^M + (-x-2√x)^M}/2
　　= {1/(1+x-2√x) + 1/(1+x+2√x)}/2
　　= {1/(1-√x)^2 + 1/(1+√x)^2}/2
　　= (1+x)/(1-x)^2
　　= Σ[n=0,∞) (2n+1)・x^n,

>>769
正解！

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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数学も面白いが、数学者の奇妙奇天烈な人生は、もっと面白い。
人気サイエンスライターが、古今東西の数学者の人生を楽しく紹介。

「天才数学者列伝　～数奇な人生を歩んだ数学者たち～」
　アミール・D・アクゼル著
　水谷淳訳
　ISBN　978-4-7973-7013-3
　判型　四六判
　頁数　392p
　発行　ソフトバンク・クリエイティブ
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　http://www.sbcr.jp/products/4797370133.html

>>772
甚だしくスレ違い。宣伝か。

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ある確率で当たりが出るくじがある。
なかなか当たりが少ないようで、
今まで連続して1000人がくじを引いたが当たりはでなかった。
1001人目があたる確率は？
なお、ひいたくじは毎回もとに戻され、
客は誰もが同じ条件で引くことになる。

>>775
条件不足で不明。

不明までいかないだろ
少なくとも100%や90%や50%とはならず
0.1%以下の可能性が高いくらいのことは
言えるだろう

確率の確率分布が一様という仮定があるなら最初から出せ

>>775
ある確率をpとすると
p*(1-p)^1000

条件不足だということをわかれっていう問題じゃないんか？

ベイズ推定を意味も分からず聞きかじった者が陥りがちなバカ出題の例を示しましたってか

正五角形と（平方数で無い整数の平方根）との関係を何か言え

描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　>>783 たまには違った事書いたら？
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>>739
紐に重りを滑車で掛けて中央まで転がるように高さを調節

描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>739
適当に印をつけて出来たと言い張る。
正しいかどうか調べに来たやつの道具で正しい印をつける。

描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

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>>787
merara鱗太郎

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>>782
俺の彼女もそうなんだけど、「」じゃなくて()でくくりたがるのは何なんだろう。

ろくに勉強もしたこともないカスだからです
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

>>782
正五角形の面積を13倍にすると一辺が√13倍になる

>>794

　うまい！　文枝師匠？

三枝師匠が√三枝師匠になるのはいつか？
簡潔に答えよ。

>>787
残念ながら正しいか確かめるための道具は
敢えて正しいか確かめる機能しかもたないようにできてるから
無理でした

そいつが正しいというまで何度もしるしをつければおｋ

>>782

正五角形の頂点Ａ、中心Ｏを通る直線が対辺と交わる点をＨとする。
　AH / OH = √5

正五角形の対角線が別の対角線によって３分割され、長さが a:b:a のとき
　(2a-b)/b = (a+2b)/a = √5,

>>796

　√三途の川を渡るとき（10字）

　そうなると、（七代目）文枝は誰が継ぐのだろう？

√四十九日に相談

節子、それ初七日や

√初七日（初願忌）
√二七日（以芳忌）
√三七日（酒水忌）
√四七日（阿経忌）
√五七日（小練忌）
√六七日（壇弘忌）
√七七日（√四十九日、満中陰、尽七日）忌明け
√百ヵ日（卒哭忌)
√一周忌
√三回忌

ついでに....

つ『周忌律表　in　数学板』

√一周忌
√二周忌（√三回忌）
√六周忌（√七回忌）
√十二周忌（√十三回忌）
√十六周忌（√十七回忌）
√二十二周忌（√二十三回忌）
√二十四周忌（√二十五回忌）
√二十六周忌（√二十七回忌）
√三十二周忌（√三十三回忌）
√三十六周忌（√三十七回忌）
√四十九周忌（√五十回(遠)忌）
√九十九周忌（√百回遠忌）
√百四十九周忌（√百五十回遠忌）
　　↑
マジックナンバー

AB＝5 BC＝6 CA＝7である△ABCの面積を求めよ。

宿題は自分でやれ

厨房じゃあるまいし

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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>>805
こりゃヘロヘロだ

>>805
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 45
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1336793762/509
に帰れ

帰ってくんな

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>>805-807　（厨房向け）

頂点Aから辺BCに垂線AHを下ろし
　AH = h,
　BH = x,
　CH = BC - x,
とおく。三平方の定理より
　x^2 + h^2 = AB^2,
　(BC-x)^2 + h^2 = AC^2,
これらから h^2 を消すと
　x = 1,
が出るので、それを代入して
　h = 2√6,
よって
　△ABC = (1/2)BC･h

そこはテヘペロの公式で

>>809
　ヘロン氏ね

あーあ、同一問題に対して回答のあるスレがバラバラだよ
馬鹿らしい

以下の前提の下ではぐれメタルが逃げる前に倒せる確率を求めてください。

【前提】
ドラクエ３のようなターン制の戦闘で、はぐれメタルが1匹出現したとします。（先制や襲いかかりは無しとします。）
味方のパーティーは毎ターン全員はぐれメタルに対して通常攻撃を行います。
はぐれメタルの攻撃によるダメージは無視します。（つまり味方は死なないものとします。）

はぐれメタルのHP：H
はぐれメタルが各ターンで逃げる確率：q
味方のパーティーの人数：n人
味方の攻撃でダメージ1を与える確率：p
味方の攻撃で会心の一撃を与え即死させる確率：r　（p+r≦1）
毎ターンの行動順は完全にランダムとする。

理論値求めるよりシミュレータ作ってぶん回したほうが理解早い気がする

良問だな。
即値のシミュレーターじゃパラメータどうしの関係がわかりにくいからやっぱりといた方がいいな

メタル切りを繰り出す確率は？

>>817
はぐれメタルは逃げることができなければ確実に倒されるから
求める確率は
1-(はぐれメタルが逃げおおせる確率)

>>817
ざっくりこんなもんか

はぐれメタルを倒す確率ｚ
z=x*(1+y+y^2+...+y^(H-1))+y^H

x=r/(p+q+r)
y=p/(p+q+r)

>>822
パーティの人数を入れ忘れてた

はぐれメタルを倒す確率ｚ
z=x*(1+y+y^2+...+y^(H-1))+y^H

x=nr/(p+nq+nr)
y=np/(p+nq+nr)

>>822
すまん再修正だ
寝ぼけてるな

はぐれメタルを倒す確率ｚ
z=x*(1+y+y^2+...+y^(H-1))+y^H

x=nr/(np+q+nr)
y=np/(np+q+nr)

エスパーすると、はぐメタ超つええな過大評価誤読

バナッハタルスキーのあれが理解できない

この説明が分かり易い
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20091021/p1

【政治経済】平成床屋談義町の噂その493
http://anago.2ch.net/test/read.cgi/asia/1345811892/162,334,699,859,862

全６球団ある野球で勝率６割のＡチームと勝率４割のＢチームが対戦したとき、
Ａチームが勝つ確率は？
ただし、引き分けは考えないものとする。
ただし、チームとの相性（どのチーム相手が苦手とか）は考えないものとする。

答えは自分でもわかりませんが、答え一定値に定まるのでしょうか？

チームiとjの実力をri,rjとして、iとjが対戦した時の勝率をri/(ri+rj),rj/(ri+rj)とすると
n-1チームを相手にしたiの総合勝率は Σ_[j≠i] ri/(ri+rj) /(n-1)
このような単純なモデルでも1チーム相手の勝率ri/(ri+rj)と総合勝率との関係は他チームの実力分布に依存する

>チームとの相性（どのチーム相手が苦手とか）は考えないものとする。

この仮定が抜けているような気がするのだが

実力だけで勝率が決まるのは相性か？
相性を考えないてのは全部五分五分の意味か？
そういうことなら、どの試合も確率5割で、勝率は単なるランダム試行の結果ということか

勝率６割のＡチームって書いてある時点でどの試合も確率５割てのじゃないことは想像付きそうだが

「相性のない」の定義というか条件を書きだしてみる

チームに勝率の高い順に１，２，３，４，５，６と番号を付ける。

・任意の２チーム間の勝率は、常に番号の若いチームのほうが高い。

・任意のチームについて、相手５チームとのチーム間の対戦成績（勝率）を
良い順に並べると、相手チーム番号は降順に並ぶ。

・もし勝率の同じチームが複数あったら、そのチーム同士の勝率は５割
他チームとの生成器も全く同じ。

こんなものでいいのかな？

ありゃ

×他チームとの生成器も全く同じ。
○他チームとの成績も全く同じ。

感覚的にはＡが勝つ確率は0.75くらいありそうな気がする。

6割超10割以下ということしかわからん気がする。

自軍の勝ち星の配分が対戦相手の勝率の比に等しくなるとか

>>838でやったら勝率2/3だな

勝率=1-(1-n)*(1-p)*q/(n/2-p)
p:Aの勝率、q:Bの勝率、n:チーム数

>>838のような配分て実現可能なのか？

試しに３チーム９割５割１割でやったら無理そうなんだが
俺の勘違い？

6割4割9割9割1割1割だと、A対BのAの勝率は10割だよ。

>>838
全チーム5割しかあり得なくなったりしないかな？

上位から順に勝率10割、8割、6割のA、4割のB、2割、0割という
上位が下位に必ず勝つ場合って成立するのだろうか
するとA対BはAの常勝ということに

A：全勝
B：Aに全敗A以外に全勝
C：ABに全敗DEF以外に全勝
D：ABCに全敗EFに全勝
E：F以外に全敗Fに全勝
F：全敗

構成はできる

レーティングを導入して十分な回数試合をこなさないと確率はわからないんじゃないかな。

わからないよ。で？

×　C：ABに全敗DEF以外に全勝
○　C：ABに全敗DEFに全勝

このスレも終わったな

ベッセル函数をガンマ函数で表現する式を計算しなさい。５点

母関数が 1/(1 - x - x^2 - x^3 - x^4 - x^5 - x^6) であるような数列 a_n を求めよ

1+2+3+4+5+6+…を求めよ

A=1+2+3+4+5+6+...
B=1-2+3-4+5-6+-... と置くと、
B=(1+2+3+4+5+6+...)-2(2+4+6+8+...)=(1+2+3+4+5+6+...)-4(1+2+3+4+...)=-3Aなので
A=(-1/3)B=(-1/3)(1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+-...)|_[x=1]=(-1/3)/(1+x)^2|_[x=1]=-1/12

n枚一列に繋がった切手のシートを折りたたむことを考える
全ての繋ぎ目を山折か谷折したとき一枚目の表面が一番上にくる折り方は何通りか、nの式で表せ

n=2の時は1通り
n=3の時は2通り
n=4の時は4通り
n=5の時は10通り
n=6の時は24通り
n=7の時は64通り

見た目に反してかなり難しい……
誰かお願いします

／ ←
＼
／ ←
＼
／ ←
＼／←これをどこに入れるかで変わってくる難しい

ごめんなさい未解決問題でした

分からない問題はここに書いてね374
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1345158785/389
2012/09/03(月) 01:11:48.05

急いでいる問題はここに書いてね 1
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328355932/435
2012/09/03(月) 01:12:48.95

面白い問題おしえて～な十九問目
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/853
2012/09/03(月) 01:13:25.38

やーれやれ

>>853 >>855

n=7の時は66通り
n=8の時は174通り
n=9の時は504通り
n=10の時は1406通り

http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1062880030/

http://space.geocities.jp/fantsy10/study1.html

n≦45
http://www.ms.unimelb.edu.au/~iwan/meanders/series/semi.meanders.ser

山本幸一「郵便切手の問題」
　数セミ増刊「数学100の問題」p.48-50, (1984) 日本評論社

答えまでマルチすんじゃねえ
議論が分散するだろうが

>>850

　a_k = 2^(k-1)　　(k=1～6)
漸化式は
　a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4} + a_{n-5} + a_{n-6},
　(n≧7)

>>850

漸化式は
　a_n = 2a_{n-1} - a_{n-7},　(n≧8)

特性多項式:　t^7 -2t^6 +1,

実根は3つ
　α = -0.840309098340532･･･
　β =　1
　γ =　1.983582843424330･･･
2組の共役複素根はいずれも絶対値 <1,

　a_n = [ 0.5217724942866γ^n + 0.5]

私めには考え方がサッパリ分かりませんぬ

>>861

特性多項式の根は　　>>859-860
　|α| < 1
　|δ| = 0.854720 < 1,　　　δ = -0.461929 + 0.719144*i
　|ε| = 0.906215 < 1,　　　ε =　0.390292 + 0.817862*i

∴　a_n - c γ^n = a α^n + d δ^n + d~(δ~)^n + e ε^n + e~(ε~)^n,

　　→　0,　　(n→∞)

*　a, c; d, e は初期値によって決まる係数。

次の数列のxを求めよ
1,4,27,256,3125,46656,x,・・・

>>863

　x = 7^7 = 823543

>>863
下らん問題書き込むな
第一数学の問題じゃ無い

>>863
罰として、x=πとなるように一般項を作ってみろ！

n=7 のとき π、n≠7のとき n^n

その程度か、カスがカーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

>>5
■１２３４５６７８９
１銀香角香角香香□□
２桂■桂■桂■桂□□
３■□□□■□■□飛
４金□金□金■金■□
５□□□□□□■飛■
６銀銀銀歩歩歩歩□□
７□□□□□□□□□

無理みたい。

>>870
超亀レスの上、間違っているorz

>>870
検索してみろ！
バカはバカなりに、わかるだろ？

>>870
9*7...?

無ww理wwみwwたwwいwwwww

>>863

〔類題〕
その各項の逆数の和が

　∫[1,∞)　1/(x^x) dx

に等しいことを示せ（ベルヌーイ）

ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!

>>863 (訂正)

〔類題〕
その各項の逆数の和が

　∫[0,1]　1/(x^x) dx

に等しいことを示せ（ベルヌーイ）

>>877

x = e^(-t)　とおくと、
　1/(x^x) = e^{t･e^(-t)} = Σ[k=1,∞) {1/(k-1)!} {t･e^(-t)}^(k-1),
　dx = e^(-t)dt,
よって
　(与式) = Σ[k=1,∞) {1/(k-1)!} ∫[0,∞) t^(k-1) e^(-kt) dt
　　　　 = Σ[k=1,∞) {1/(k-1)!} {1/(k^k)} ∫[0,∞) τ^(k-1) e^(-τ) dτ
　　　　 = Σ[k=1,∞) {1/(k-1)!} {1/(k^k)} Γ(k)
　　　　 = Σ[k=1,∞) {1/(k-1)!} {1/(k^k)} (k-1)!　　　　(部分積分)
　　　　 = Σ[k=1,∞) 1/(k^k),

8 つの独立した eight queens の組で 8x8 盤面を全て埋めることはできるか？

3^a + 4^b = 5^c をみたす自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよん

(a,b,c)=(2,2,2)のみ

a≧1, b≧1より3^a+4^b≧7
(3^a,4^b,5^c)=1だから
5^c<rad(3^a*4^b)^2=(3*2)^2=36
7≦5^c<36よりc=2
3^a+4^b=25をみたすa,bはa=2,b=2のときに限る。

ABC予想パネエ

晒しあげ

>>881
radって何？

根基　radical

>>883間違ってるじゃん
5^c<(rad(3^a*4^b*5^c))^2=(3*2*5)^2=900<5^5だからc=2,3,4だよ

アンカーミスか？

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ちょっと背伸びして使ってみたかっただけなんだ…許してください

結局>>880はABC予想無しで解けるの？

aが整数のとき Σ[k|n]φ(n/k)/n*a^k が整数となることを示せ
ただしφ(k)はオイラーの関数

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>>632だけど誰か>>27解いてないか？
せっかく答え出したのに正しいのかどうか確認できないのは少し悲しい

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　ネコも大して変わらない　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
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>>892
アステロイドで切りまくった形か？

>>894
そんな形なはず

側面と平行な平面で切ると、正方形から正方形をくりぬいた形（回形？）で
こたえは 2π-8/3 になったけど

出題者は、このスレのことなど忘れているに違いない

おっと間違い、中心近辺のスライスは回形じゃないや
回と四隅アステロイドの合併みたいなの、計算めんどくさい…

立方体の中心を頂点として、各面を底面とする正四角錐を考えると
これは全体の1/6になるので、
そのうちの１つのみに着目してスライスを考えると
「回」形しか出てこないような

>>899
◎にはならないの？

>>899
なるほど賢い
一番中心に近い空でない正四角錐のスライスが、丁度スライス平面内アステロイドと
交わるから、確かに回形になる
で、計算してみたら
((1-s^3)^2-(1-c^3)^2)*s^2*c (c=cosx, s=sinx) の [0, π/4] での定積分の72倍となって9/16+9*π/4-319*√2/140 ≒ 4.1...
あんまり自信ないし>>632とも違うｗ

計算しなおしたら 9*π/4-71*√2/35
wolfram先生とも>>632とも一致した、めでたし

皆さんには面白いかどうか分からんが、中学生の家庭教師で解説した学校の宿題より。

OA=2、OB=4、OC=6、∠AOB=∠BOC=∠COA=90°の四面体の外接球の半径Rを求めよ。

1. (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2にOABCの座標を代入
2. 2つの面の外接円の中心を通る面に垂直な直線の交点から外接球の中心の座標を得る

90度と円周角を利用すればもすこしイメージがしやすくなるかもな

上と同じようなことだが、外接球の半径は、一辺の長さがOA,OB,OCの直方体の
中心と頂点との距離として求まることがわかるから
√(OA^2+OB^2+OC^2)/2 = √14

違うと思う

外接球だった……

>>905
中学生に球の方程式を持ち出すのは酷じゃね？

>>906
直角じゃないときに同じことをすると平行六面体になるから、そのやり方じゃ解けんよね？

>>907
合ってるんじゃないの？

>>909
>>905 でなくて >>904 か？

四面体の任意の2頂点を2等分する平面を考慮し、3平面から交点(中心)を得る

頂点をうまく選ばないと３平面の交差で１点が定まらない。

頂点を等分するとは？

辺の方向ベクトルと等しい法線ベクトルを持ち、線分の中点を含む平面で線分を等分

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)・・・(x-z)=？

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。馬鹿蕎麦が思いっきり晒す低脳。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

∫(x^3e^x^4)dxを積分しなさい

>>917
e^x^4を誤解のないように書き直せ！糞蟲ちゃんよぉ

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。馬鹿蕎麦が思いっきり晒す低脳。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

円に内接する五角形ABCDEがある。
ACとBDの交点をP、AB=BC=6、CD=DE=EA=4のとき、
PA、PB、PC、PD、ADを求めよ

ABを直径とする半円があり、直径AB上に点PをAP<BPとなるようにとる。
さらに、弧AB上に２点CDを∠APC=∠BPD (<90°)となるようにとる。
AP=5、PC=6、CA=4のとき、CDの長さを求めよ。

>>921
最後の行ミス。
CDじゃなくて、BDの長さを求めよ。

半径3の円内に直交する２つの弦AB、CDがあり、その交点をPとする。
CP=2、PD=3のとき、APの長さを求めよ。

>>920
∠CBD=∠CBE=θ、BD=xとし、△BCDと△BDEに余弦定理を用いると
4^2=6^2+x^2-2*6*x*cosθ
4^2=x^2+x^2-2*x*x*cosθ
2式からcosθを消去して
x(x+2)(x-6)(x-8)=0 ∴x=8、cosθ=7/8
△PAB∽△PDCからAP:DP=BP:CP=AB:CD=3:2
ACとBEの交点をQとすると、△BPQ∽△BDEからBP:PQ=BD:DE=2:1
CP=yとすると
BP=3y/2、PQ=3y/4、AP=CP+PQ=7y/4、DP=2/3*AP=7y/6
BD=BP+DP=3y/2+7y/6=8y/3=8 ∴y=3、AP=21/4、BP=9/2、CP=3、DP=7/2
AD=zとし、△ABDに余弦定理を用いると
cos(2θ)=2(cosθ)^2-1=17/32
z^2=6^2+8^2-2*6*8*17/32=49 ∴z=7、AD=7

>>921
直径ABに関してCと対称な点をC' とおき Dと対称な点をD' とおく。
題意から、CPD' DPC' は各々一直線上にある。
円周角定理より、
　∠C'DB = ∠CD'B = ∠CAB,
　∠ABD = ABD' = ACD',
∴　△PBD ∽ △PCA
　PB = AB -AP = 32 - 5 = 27,
∴　BD = 18

>>923
　弦ＡＢをx軸、弦ＣＤをy軸とする。
　Ｐ(0,0)　Ｃ(0,-2)　Ｄ(0,3)
　円の中心からCDまでの距離は√{3^2 - (5/2)^2} = (1/2)√11,
　Ｏ((1/2)√11, 1/2)
　ＡＢ = 2√{3^2 - (1/2)^2} = √(6^2 -1^2) = √35,
　ＡＰ = {√35±√11}/2,

〔問題２〕
　a,b,c は複素数とする。
　a+b+c = Re{ab~+ bc~+ca~} = 3 ならば、a,b,c はすべて１であることを證明せよ。（林檎）
　ここに ~ は共軛複素数を表わす。

　casphy - 高校数学 - ガイドライン

>>925 に補足
　>>921
　cos(∠CAP) = (4^2 +5^2 -6^2)/(2･4･5) = 1/8,
　AB = CA/cos(∠CAB) = 4*8 = 32,

>>927
ちなみに、どこぞの中学生対象の塾の広告だったらしいから、余弦定理なしで解けるんだろうけど、私には分からなかったです

点C、点Dから直線ABに下ろした垂線の交点を点E、Fとし
BP=6x、BD=4x、DP=5x、CE=yとすると、△CEP∽△DFPから
DF=5xy/6となり、BF、FPが計算され、△BFDに三平方の定理で
計算できるはず。

と思ったらできない

>>925
AB=32ってどこから出てくるの？

>>921=>>924でOK?

>>932
> >>921=>>924でOK?
>>921　=　>>925　だった

>>920
これも余弦定理なしでいけるのかな？

>>920
余弦定理を使わずに縛りプレイしてみた。ｳﾋｮｯ！
ACとBEの交点をQとおく。

△CPD∽△BPAより、CP=2a、BP=3a、DP=2b、AP=3bとおく。
△BCQ∽△BDAより、6:3a=(3a+2b):6 …①
△BPQ∽△BDEより、3a:(3b-2a)=(3a+2b):4 …②

これ解いて、a=3/2。以下略 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

私は某女子短大で教えているが、女子学生はキャンパス内では全員例外なく全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。

等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。

>>929の訂正
CE=3√7/2、△CEP∽△DFPからDF=5√7*x/4
AD^2=AF^2+DF^2=(5+15x/4)^2+(5√7*x/4)^2
AB^2=AD^2+BD^2から
(6x+5)^2=(5+15x/4)^2+(5√7*x/4)^2+(4x)^2 ∴x=9/2

>>937
なるほど～

△ABCの辺BC上にDがあり、AB=6、AD=2、AC=3、∠BAD=2∠CAD のとき、CDの長さを求めよ。

AD=x、BD=y、∠CAD=θとし△ADCと△ABDに正弦定理で
x/sinθ=y/sin(2θ)
△ADC、△ABDに余弦定理で
cosθ=(13-x^2)/12
cos(2θ)=(40-y^2)/24
∴x=√((17+3√73)/2)

正弦定理は使えなかったので、上記はキャンセル

△ABCに余弦定理
cos(3θ)=(45-(x+y)^2)/36
∴x=5、で全然面白くない

再訂正
x=√(11-2√13)

余弦定理で連立方程式たてて解くのって大変なんじゃない？

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*%28%2813-x%5E2%29%2F12%29%5E2-1%3D%2840-y%5E2%29%2F24%2C+4*%28%2813-x%5E2%29%2F12%29%5E3-3*%2813-x%5E2%29%2F12%3D%2845-%28x%2By%29%5E2%29%2F36

>>945
拝啓
寒さがひとしお身にしみるころとなりましたが如何お過ごしでせうか。
遅ればせながら、的確なる御指摘に慎んで感謝致しまつ。
風邪など召されませぬやう、くれぐれもお気をつけてお過ごしくださいませ。
急ぎ用件のみにて失礼いたしまつ。
敬具

正方形ABCDの内部に点Pをとる。
PA=2、PB=3、PC=4のとき、この正方形の一辺の長さを求めよ。

√(10+3√7)

俺もっと汚い式になったぞ

直線ABに関してPと対称な点をP1、同様にBC->P2、CD->P3、DA->P4とする
(P1,B,P2), (P2,C,P3), (P3,D,P4), (P4,A,P1) の各トリオはそれぞれ一直線上
元の正方形の一辺をaとすると、P1P3=P2P4=2a, P1P3⊥P2P4
P1P3とP2P4の交点をQとして、三角形P(i)P(i+1)Q (i:mod4)に三平方の式4つ
PD=√11 となり、a>min{2,3,4,PD}=2　なので、答えは>>948と同じ
うまい手は思い浮かばないな

答えがみんなと違うなと思ったら、PD=4で計算していた…

>>947
2つの三角形⊿PBAと⊿PBCに関する頂角Bについての第二余弦定理を使って
さしたる手間もなく出てくるAB=BCに関する複2次方程式を解くのが簡明か。

閏年を4年に一度、但し100年毎にそうでない年があり、さらに400年ごとに閏年がくるものとしたら、月火水木金土日で定義される7日間、1週間の繰り返しは最低何年周期で繰り返されるか。

((365*4+1)*100/4-1)*400/100+1
≡((1*4+1)*4-1)*4+1
≡(-2*4-1)*4+1
≡(-2)*4+1
≡-1+1
≡0 mod 7

それはそれとして1週間は400/20871平均年周期で繰り返される

次式からα、βを消して、xとyだけの式を作れ。
　(x・sinα)/3 + (y・cosα)/4 = 1
　(x・sinβ)/3 + (y・cosβ)/4 = 1
　(sinα・sinβ)/9 + (cosα・cosβ)/16 = 1

３問あるんじゃなくて、３式の連立方程式なのか？

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1354320198/257
直角に曲がる幅1の廊下を通れる最大面積の三角形を求めてください。
調べたら底辺2√2で高さ(3/4)√((17-12√(2))^(1/3)+(17+12√(2))^(1/3)-2)の二等辺三角形らしいんですが過程が解りません。

>>957
なんで堂々とマルチするん？

>>958
いやいやいやいや、スレ見て来いよ。

見てるけど？
向こうでも堂々とマルチ宣言してるだけじゃんｗ

ってか、古い問題でスレチだし。

回答放置してるしなあ。マルチと言わずして何と言う。
そもそも既出だな。

マルチでは無いが、面白い問題というわけではないからスレチ

ここスレにもあった気がするな。
だが予想に反してただ面倒くさい問題のような結論になって、
面白くねえじゃんってことになった気がする。

>>956
連立方程式です

>>955
こんなゴチャゴチャした式がスッキリ消えるのか？

>>955
とりあえずsinθ/3などを置き換えてみやすくして、sin^2+cos^2=1などを使ったら、
未知数６個、式５本できるので、理屈では解決済みだけど、計算力が足りないので、うまくいかん

>>955
変数は複素数でいいのかな？
p:=1/3, q:=1/4, r:=√((px)^2+(qy)^2)（≠0 はすぐわかる), (cos(t),sin(t)):=(1/r)*(qy,px),
θ:=(α+β)/2, φ:=(α-β)/2 とおくと、元の式は次と同値
cos((t-θ)cosφ=1/r
sin((t-θ)sinφ=0
(-p^2+q^2)(cosθ)^2+(p^2+q^2)(cosφ)^2=q^2+1

2つめの式を眺めて
・case sin((t-θ)=0
(1+1/(q^2))x^2+(1+1/(p^2))y^2-(1/(p^2)+1/(q^2))=0 つまり、10x^2+17y^2-25=0
・case sinφ=0
±√(1-1/(q^2))x±√(-(1-(1/(p^2)))y-√(1/(q^2)-1/(p^2))=0
つまり、±√15x±2√(-2)y-√7=0 複号任意（※実変数なら捨て）

結局答えは、a:=√15, b:=2√(-2), c:=√7 として
(10x^2+17y^2-25)(ax+by+c)(-ax+by+c)(ax-by+c)(ax+by-c)=0

めんどくさかった

ちょいミス
実変数なら問題ないが、複素変数だと r=0 になる時があるな
除外点は case sinφ=0 の直線にのっかているので答えは同じ

> 次式からα、βを消して、xとyだけの式を作れ。
> 　(x・sinα)/3 + (y・cosα)/4 = 1
> 　(x・sinβ)/3 + (y・cosβ)/4 = 1
> 　(sinα・sinβ)/9 + (cosα・cosβ)/16 = 1

ネットで拾った問題なので、正解は知りませんが、

(sinα)/3 = a、 (cosα)/4 = b、 (sinβ)/3 = c、 (cosβ)/4 = d とおくと、問題の式と、sin^2+cos^2=1 から

① ax + by = 1
② cx + dy = 1
③ ac + bd = 1
④ 9a^2 + 16b^2 = 1
⑤ 9c^2 + 16d^2 = 1

①×d - ②×b、②×a - ①×c を計算してから記号を三角関数に戻して整理して、
ゴチャゴチャ計算して、17x^2 + 10y^2 = 25 を出しましたが、合ってるか自信がありませんぬ。
どなたか検証おながいします ( ﾟ∀ﾟ)

最後にスッキリした答えになったので、達成感はありました。
面白い問題というよりも、達成感を味わえる問題なのかなと…

>>968はｇｄｇｄだなｗ、やりなおし

p:=1/3,q:=1/4,A:=px,B:=qy,θ:=(α+β)/2,φ:=(α-β)/2,
u:=exp(√(-1)θ),v:=exp(√(-1)φ)とおくと u,v≠0
オイラーの公式使って、元の式は次と同値
(A+B)uv+(-A+B)(1/(uv))=2 …(あ)
(A+B)(u/v)+(-A+B)(v/u)=2 …(い)
(p^2+q^2)(u^2+1/(u^2))+(-p^2+q^2)(v^2+1/(v^2))=4 …(う)
(あ)-(い)から
(v^2-1)((A+B)u^2-(-A+B))=0

・case1: v^2-1=0
(u+1/u)^2=4(1+p^2)/(p^2+q^2), (u-1/u)^2=4(1-q^2)/(p^2+q^2),
A(u-1/u)+B(u+1/u)=4 から
±√(1/(q^2)-1)x±√(1/(p^2)+1)y=√(1/(p^2)+1/(q^2))
つまり、±√15x±√10y=5 （以上複号任意）

・case2: (A+B)u^2-(-A+B)=0
このとき A+B,A-B≠0 で、(あ),(い)から u^2=(-A+B)/(A+B), v+1/v=2u/(-A+B)
(う)から(q^2+1)A^2+(p^2-1)B^2=p^2-q^2 が得られ
(1+1/(q^2))x^2+(1-1/(p^2))y^2=-1/(p^2)+1/(q^2)、つまり 17x^2-8y^2=7

結局、答えは a=√15,b=√10,c=5 として
(ax+by+c)(-ax+by+c)(ax+by+c)(ax+by+c)(17x^2-8y^2-7)=0
…だと思う、疲れた、しかも何か>>955と違うｗ

元式の最初の2つの定数項が等しいおかげで、都合良く分解できた（でないとさらに面倒）
ちなみにA±B=0となる点はcase1の直線上にあって、case2のA±B=0となる点は、(あ),(い)を
A,Bについて解いて、(う)内でてきとーに極限を取ると得られる

× (ax+by+c)(-ax+by+c)(ax+by+c)(ax+by+c)(17x^2-8y^2-7)=0
○ (ax+by+c)(-ax+by+c)(ax-by+c)(ax+by-c)(17x^2-8y^2-7)=0
はぁ…

> どなたか検証おながいします ( ﾟ∀ﾟ)

貴様、不等式ヲタだなｗ

>>971 でまたやっちまった、sinx=(exp(√(-1)*x)-exp(-√(-1)x))/2 （大うそ）
p：=1/(3√(-1)) とすれば一応直って、答えは
a:=√15, b:=2√(-2), c:=√7 として
(ax+by+c)(-ax+by+c)(ax-by+c)(ax+by-c)(17x^2+10y^2-25)=0
実変数なら最初の4つの因数を捨てて>>970と一致、少し安心

>・case1: v^2-1=0
>(u+1/u)^2=4(1+p^2)/(p^2+q^2), (u-1/u)^2=4(1-q^2)/(p^2+q^2),
>A(u-1/u)+B(u+1/u)=4 から

えーと、A(u-1/u)+B(u+1/u)=2v=±2かな？
間違ってたらすまん

>>975
それで正しいよ、写し間違った
たまたま最終的に複号に吸収されるから、答えヘの影響はないけど

>>976
ありがとう。>>955みて自力でやってみたけど
すぐ詰まって悩んでたんだ。これで>>971の解の式までは理解がつながった

αとβが実数という条件がついてる引っかけ問題じゃあるまいな

α，βを実数とみる方が自然だと思うが
まぁ複素数で処理しも差し支えはないし

>>979
> 　(sinα・sinβ)/9 + (cosα・cosβ)/16 = 1
を満たす実数α，βはあるか？

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|

最後のページの問題67-2ですな。
http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf

そろそろ次を

ほ

ほむほむ？

ふむ

　　　ｌ:::|::::::::::::::::::::::::::::::::::、::::::::::::}::::::|:ｌ|::::::::::::::::::::::::::ﾄ.
　　　 |:::|:::::::::::::|::::::::ﾊ:::::::Ｎ:::::::::::ハ:斗七::アヽ:|ｌ:::::::::|:l　　　　
　　　 |:::|:::::::::::::|_l::斗ﾁ::升ヽ::::/　 ∨-‐∨　　Y:::::::::|:|　　　　　　　　
　　　 |:::|:::::::::::::|∧/　|/-l- ､∨　　　 rf爪笊刈l:::::::::|:ｌ呼んだかしら？
　　　　∨:::::::::::::ｌ　rf芥笊圷　　　　　弋廴ｿ　||:::::::::ﾘ　　　　
　　　 ‘,:::::::::::::ﾄ､　Ｖ廴ツ　　　　　　　/／/ヽ|ｌ:::::::::|　　　　　　　　　　　
　　　　､:::::::::|ﾋﾍ　/／/ヽ　　 '　　　　　　ﾉ|:::::::::|
　　　　　ｌ::::::::|｀ｰ'､　　　　　　 ,　-　　　....:::::::|:::::::::|　　　　　　
　　　　　 |::::::::|:::::::::＞-　＿＿　　　イ__:::::::::|:::::::::|　　　　　　　　　　　
　　　　　　 l::::::::|::::::::::::::::::::rf_」＿￣　＿}ノﾉ}::::::ｌ:::::::∧
　　　　　　∧::::‘,::::::::::::::::::::〉￣￣｀Y´￣￣ (__::/::::::∧:ヽ、　　　
　　　　　 /::∧::::＜工工二 --　､_人_　-─‐-/::::::/ー─- 、　　　　　　
　　　　 /::/　}:::::::〔::.::.::.::.::.::.::.::.::.{::.::.::.}:-:､:::.::/::::::/.::.:〕　　ハ

do.ob

保守

0

次スレ立てて～な二十問目

次

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/

一年五十日。

994Get

一年五十一日。

一年五十二日。

998

一年五十三日。

スレの寿命なんかより問題を書いてよ

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。