高校生のための数学の質問スレPART315

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788132人目の素数さん
ちょっと考えてわかったことをまとめてみる.
なお,大半は >>722 で king が説明しておられたことの焼き直しである.
king のアドバイスに感謝する.

簡単のため,放物線 C : y = (x^2)/2 で考える.その焦点は F( 0 ,1/2 ).
C が x 軸に沿って転がるときの F の軌跡を考える.
C 上の点 P( t ,(t^2)/2 )における接線 L と x 軸との交点を T としたとき,
T( t/2 ,0 )で,L と FT が直交することは簡単に確かめられる.
さて,P が x 軸に接するまで転がったときの焦点の座標を( X ,Y )としよう.
弧長の変化率は P での接線の傾きから ((t^2)+1)^(1/2) となる(これを s とおく).すると,
  X = ( 弧 OP ) - PT = ∫[t=0 → t=t] s dt − PT = ∫[t=0 → t=t] s dt − (ts)/2 ,
  Y = FT = (((t^2)+1)^(1/2))/2 = s/2 .
それぞれ t で微分して
  dY/dt = (1/2)(ds/dt) = … = t/(2s) ,
  dX/dt = t -(1/2){ s + (ds/dt) } = … = 1/(2s) .
  ∴ dY/dX = t .  ∴ (d^2 Y)/dX^2 = (d/dX)(dY/dX) = 1・dt/dX = 2s .
したがって,例えば微分方程式  Y" = Y * 定数  などが成り立つ.

弧長を定積分で具体的に計算しないで済むことは確かであるが,十分面倒
もっとうまいやり方があるのだろうか