ちょっと考えてわかったことをまとめてみる.
なお,大半は
>>722 で king が説明しておられたことの焼き直しである.
king のアドバイスに感謝する.
簡単のため,放物線 C : y = (x^2)/2 で考える.その焦点は F( 0 ,1/2 ).
C が x 軸に沿って転がるときの F の軌跡を考える.
C 上の点 P( t ,(t^2)/2 )における接線 L と x 軸との交点を T としたとき,
T( t/2 ,0 )で,L と FT が直交することは簡単に確かめられる.
さて,P が x 軸に接するまで転がったときの焦点の座標を( X ,Y )としよう.
弧長の変化率は P での接線の傾きから ((t^2)+1)^(1/2) となる(これを s とおく).すると,
X = ( 弧 OP ) - PT = ∫[t=0 → t=t] s dt − PT = ∫[t=0 → t=t] s dt − (ts)/2 ,
Y = FT = (((t^2)+1)^(1/2))/2 = s/2 .
それぞれ t で微分して
dY/dt = (1/2)(ds/dt) = … = t/(2s) ,
dX/dt = t -(1/2){ s + (ds/dt) } = … = 1/(2s) .
∴ dY/dX = t . ∴ (d^2 Y)/dX^2 = (d/dX)(dY/dX) = 1・dt/dX = 2s .
したがって,例えば微分方程式 Y" = Y * 定数 などが成り立つ.
弧長を定積分で具体的に計算しないで済むことは確かであるが,十分面倒
もっとうまいやり方があるのだろうか