ルベーグ積分や測度論のスレ

癖のある教科書に引っかからないようにしましょう

僕が、柴垣がお薦めです！というとすごく非難されます。
でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。

関連スレ

関数解析（Functional Analysis）
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/

関連過去ログ

関数解析＆ルベーグ積分
http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/

Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/

Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/

R^1上のルベーグ可測な集合Aで
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか

>>5
存在する。


集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。

補題1：Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2：閉集合 K⊂R であって、K^i＝φかつm(K)＞0を満たすものが存在する。

>5への回答：
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して

K＝(O∪S1)∩S2^c

と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、

K ＝ K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O

が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、

φ ＝ K ^i ⊃ O^i ＝ O

となる。すなわちO＝φとなる。このとき K＝S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)＝0すなわちm(K)＝0となるが、これはm(K)＞0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK＝(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)

補足：K＝(O−S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。

x∈Rを中心とする半径rの開球をB_r(x)と書くことにする。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)＝(x−r, x＋r)である。

補題1の証明：
O＝φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、

「x∈Oならば『任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」

を示せばよい。
x∈Oとする。あるr＞0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)＝φ が成り立つとする。このとき

B_r(x)∩O ⊂ N　… (1)

が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1＞0が取れる。
よって、r_2＝min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から

B_{r_2}(x) ⊂ N

となる。よって 0 ＜ m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) ＝ 0 となって矛盾する。
よって、任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。

補題2の証明：
I＝[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q＝{p_k｜k＝1,2,3,…} と番号づけて表示できる。

O ＝ ∪[k＝1〜∞] B_{ 0.01^k }(p_k)

と置くと、明らかに

Q ⊂ O　…　(1)

である。また、Oは開集合であり、

m(O) ≦ Σ[k＝1〜∞] 2*0.01^k ＝ 2/99

が成り立つ。次に、K＝I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、

I＝(I∩O^c)∪(I∩O)＝K∪(I∩O)⊂K∪O

が成り立つ。よって

1＝m(I)≦m(K)＋m(O)≦m(K)＋2/99

すなわち m(K)≧1−2/99＞0 となる。さらに、K^i＝φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr＞0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと

K^i ⊂ K ＝ I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c

より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)＝(x−r, x＋r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i＝φである。(終)

>>6-8
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました！

sage

よくわからない問題があるので是非よろしくお願いします。
ｆ（ｘ）＝sin(2πｘ）　（0.1)＼Ｑ
　　　　　∞　　　　　（0.1)∩Ｑ
の||f||Ｌ∞（E)

と
g(x)=1/x (0.1)
の||g||Ｌ∞（E)


の二問です。
よろしくお願いします。

>>11
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞

１２番さん

ありがとうございます。

また質問するかもしれないです。

本当にありがとうございます。

pink

R上のルベーグ測度に関する絶対連続測度μを考える
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか？

f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)

わからない問題があります。

E∈ｍ　ｍ（Ｅ）＜∞
1≦p＜q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。

またｆ∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Ｃｏ||f||Lq(E)
となる　Ｃo(fによらない）があることを示せ。

お願いします。

q_n(n=1,2,…)を有理数の列ですべての有理数が一度ずつ入る列としよう.
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが,　本当にこれでいいのか.

n番目の区間のBorel測度は2^(-n+1)になるから,和集合のBorel測度は2以下になるはずだが,本当にこれでいいのか.

僭越ながら高校生の者です。ルベーグ積分を勉強したいのですがどの教科書がいいですか？

>>19
う〜ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分３０講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。

中野剛志先生がＴＰＰ賛成論者の詭弁を全滅させたようです
http://www.youtube.com/watch?v=9amjatPD_l4
http://www.youtube.com/watch?v=8G29qFqId2w


中野先生が敗北宣言、暗殺される？
日本が米国の植民地に。すでに９９％手遅れか？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm15973549


テレビ・新聞にだまされるな。
気づいたら、
「ｍｙ日本」で検索

TPP

経済学部で、測度論を勉強する必要があります。
数学は、高校数学と＋αで止まっています。
30講は読みましたが、あぁいう感じの本は読みにくかったです。

何をいいたいのかって言うと・・・

数学の知識が足りないくせに、なるべく論理的・厳密に測度論を理解したいというわがままな俺に、お薦めの本や、準備段階としてやるべきこと（集合位相は必須？）を教えてください。
目的は確率論です。

>>23
積分と関数解析
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4431711872/ref=_p0

>>24
難しそうなので別のをお願いします

change!

新井仁之のルベーグ積分講義は厳密だっけな

ルベーグ積分を厳密に書いてる本ってあまりないよ

すみません質問させてください。

整数Z上の測度mで、・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A:Z上の可測集合)m(A)=m(A+b)
(A={a_i}としたとき、A+b={a_i+b})
を満たすとする。

このとき、mのような測度が存在するZ上ののσ加法族で最大のものはなんですか？？

>>23
はっきりと言ってあげるね
君には測度論は二年早いよ
数学科ではまず微積分と線形代数を教養課程でみっちりやる
基礎がない君が背伸びしても何も身につかないよ

>>30
経済学部の測度論なので、確率、確率過程が展開できればいいと思うので、厳密にやらなくてもいいと思うよ。

分かった振りしとれば単位くらいはとれるよ。

せや。測度の採点厳しくしたら経済学部の連中の大方は単位取れないw

現代の解析は無限次元解析が主流
したがって、測度も無限次元位相ベクトル空間に値をとるものが重要

無限次元ベクトル値測度が重要なの？

とハッタリをかましておく。
ほんまかいな

>>36
こういう話はアルみたいですけどね：
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_measure
でも普通に使われるのは：
http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral
だと思います。但し主流かどうかは知りませんが。

猫

自由度が可算でも, いろいろな空間がある.
Nを自然数全体からなる集合とする.
写像f:N→R,でR-{0}のfによる逆像が有限集合になるもの全体からなる空間とf:N→R全体からなる空間がある.
有限個しか0以外にならないほうが扱いやすいこともある.

>>29
Z上のσ加法族Fが条件を満たすとするなら
(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F ……(1) という条件を満たさなければいけない
また A+b=A となるような正の整数bで最小の物をAの周期N(A)として
そのようなbがないならAは周期が無いとする
I_k={i∈Z | i/k ∈Z} とする。以下Fは条件(1)を満たすσ加法族とする。
このとき ( A∈F and N(A)=b ) → ( I_b∈F ) が成り立つことは何とか示せる

次に N(A_1)<N(A_2)<... となるような A_1,A_2,...∈Fがあるならば
{0}∈Fが成り立つこと、F=2^Zとなることも示せる
一方2^Zに対して>>29の測度は作れないので
ある自然数N>0があって F は周期がNより大きい元を持たないことになる

そして b>N として以下の F' を考えるとき、F' が I_b と F を含み(1) を満たす
σ加法族となること、また F' がそのようなσ加法族の中で最小となることを示せる
　F' = { A'⊂Z | ある A_1,...,A_b ∈ F があって
　　　　 A' = ((I_b + 1)∩A_1) ∪ ((I_b + 2)∩A_2) ∪...∪ ((I_b + b)∩A_b) となる }
Fに>>29のような測度が存在するとき、F'にもそんな測度があることを示せば
>>29を満たすσ加法族は常にそれより真に大きくてなおかつ条件を満たす
σ加法族を持つことになり最大どころか極大な物すら無いことになる

>>29
何気に面白いなこれ。
ZのかわりにQを使って、んで完全加法性すててジョルダン測度にしたらどうなるだろ？

>>29 を満たす測度空間が全て決定できたのだが、証明が長い(＾o＾)

>>41
まじで！スゴいな。

>>41
うpキボン

全て決定出来たってことは一次元準結晶を離散化したような
なんか扱いが難しそうな奴は>>29を満たす例にならなくて
周期的な集合のみからなる測度空間だけが>>29の例に該当するのかな

>29
その様なmは存在しない。

>>45
>29で書かれている「可測集合」は、ボレル可測集合全体とか
ルベーグ可測集合全体とかの意味ではないぞ。
σ集合体から自分で設定するんだ。

F＝{φ, Z} とすれば、Fはσ集合体。
m(φ)＝0, m(Z)＝1 と定義すれば、mはF上の測度。
そして、測度空間(Z,F,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F
・(∀b∈Z)(∀A∈F) m(A)＝m(A+b)

だから、>>29 が成り立つような測度空間は
少なくとも1つは存在している。

有限集合 Zn={0,1,2,...,n-1} 上の測度空間 {Zn,Fn,m_n} が与えられた時に
A∈F ⇔ ∃An∈Fn A = {a∈Z|∃b∈An a≡b (mod n)} となるZ上の集合族Fが作れて
m(A)をm_n(An)で定義した測度mとあわせて測度空間 {Z,F,m} を作れるよ
これ以外の F の例があるのか>>41に教えて欲しい

あ、そういうことか。
すると （Ｚ，Ｂ，Ｐ） を、
　　ａ∈Ｚ、Ａ∈Ｂ　⇒　Ａ＋ａ∈Ｂ
を満たす確率測度空間とする。

仮に、Ø≠Ａ≠Ｚ だとする。
ある ｎ∈Ｚ が存在し、
　　　ｎ∈Ａ、ｎ＋１∉Ａ
または
　　　ｎ∈Ａ、ｎ−１∉Ａ
である。
前者の場合、
　　　Ｃ＝Ａ∩（Ａ＋１）∩（Ａ＋２）∩…∈Ｂ
　　　ｎ∈Ｃ⊆｛…，ｎ−２，ｎ−１，ｎ｝
　　　Ｂ∋Ｃ∩（Ｃ＾ｃ−１）＝｛ｎ｝
後者も同様。

よって、Ｂ＝｛Ø，Ｚ｝ 以外にはあり得ない。

>>48
それも間違い。A＝{ 2x｜x∈Z } と置くと、B＝{φ, A, A^c, Z} はσ集合体である。
また、m(φ)＝0, m(A)＝1/2, m(A^c)＝1/2, m(Z)＝1と置くと、mはB上の測度になる。
そして、測度空間(Z,B,m)は次を満たす。

・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈B) A+b∈B
・(∀b∈Z)(∀A∈B) m(A)＝m(A+b)

ｎ∈Ｃ がどっから出てきたのか気になるわー

抜けてた。

つまり、何が言いたいかというと、>>49 により、
B＝{φ, Z }以外にも存在するということ。

何を言うてんの君
もう帰りや

阿保の雑記帳

なるほど、確かに48は駄目だね

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作

>>29
Zを整数の集合、FをZ上のσ集合族として測度空間(Z,F,m)が次を満たしたとする
(1)m(Z)=1
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) A+n∈F
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+n)

まず{0}∈FならF=2^Zとなることと(1)〜(3)を満たす(Z,2^Z,m)は存在しないことに注意する
A≠φとなるA∈Fをとってきて I_A=∩{a∈A}(A-a) とおくと(2)よりI_A∈Fである
0∈I_A より ∃i∈I_A(i≠0) が成り立つ。また i∈I_A, n∈Z → in∈I_A と i,j∈I_A → i+j∈I_A
となることを使えば、ある数n_Aがあって I_A={..., -2n_A, -n_A, 0, n_A, 2n_A, ...} だと示せる

次に I_F=∩{A∈F, A≠φ}I_A とおけば I_A の候補は可算個しかないので
右辺は実質は可算個の集合の共通部分になり I_F∈F となる
また 0∈I_F よりある数n_Fがあって I_F={..., -2n_F, -n_F, 0, n_F, 2n_F, ...} だと示せる

そして F' を I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族とすると(2)よりF'⊂Fである
A∈F, A≠φ ならば I_A は適当な数列 a_1,...,a_k があって I_A=∪_l (I_F + a_l) となるので
I_A ∈ F' である。また A = ∪{a∈A} (I_A + a) なので A∈F' である
よって F⊂F' より F=F' となる

以上より (Z,F,m) が(1)〜(3)を満たすσ集合族ならば、ある数n_Fがあって
Fは I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族となることが分かる

という風に Z をもっと一般の可算環（って言葉あるっけ？）に出来そうな証明が出来た

>>57
＞ i∈I_A, n∈Z → in∈I_A

n≧0のときは簡単だけど、n＜0のときはどうやって証明するの？

>>58
A∈F, i∈I_A とする
B≡A∩(A^c+i)=φならば∀a∈A (a-i∈A) となり -i∈I_A が示せるので
それを証明する。B∈FなのでBは可算集合か空集合になる
Bが可算集合だとすると a2=a1+ni , n∈N となる a1,a2∈B があり
a2-i=a1+(n-1)i∈A となるがこの時 a2∈A+i となってしまうので矛盾する
よって -i∈I_A となる。また一般の n<0 の場合も ni∈I_A となる、って感じで

>>59
サンクス。理解した。しかし凄いな。

E＝[0.2]とし　非負単関数列sn E=[0.∞）が次で与えられている。
sn(x)= n (f(x)≧nのとき）
　　　k/2^n(k/2^n≦f(x)≦k＋1/2^n) k=0.1.2・・・n2^n-1

のときf(x)=√x

(1)∫sn dxを求めよ　(2)(1)のlim

の二問お願いします。

>61意味不明

62
√xの面積をルベーグ積分の定義で計算したいのです。

いやそういうことじゃなくて、書いてあることが矛盾に満ちていて意味不明ということ

例えば、
> 非負単関数列sn E=[0.∞）が次
と、関数列と領域が何の脈絡もなく併記されているとか、

> E＝[0.2]とし
としておきながら、直後に
> E=[0.∞）
と矛盾したことを書く等

申し訳ないです。

E=[0.2）とし　非負単関列sn E→[0.∞）です。
申し訳ないです。

こりゃ駄目だ

問題文そのまま移してるんですけど・・

E=[0,2]として f(x): E→[0,∞) に対して
非負単関数列 s_n : E→[0,∞)が次で与えられているとする
s_n(x)= n (f(x)≧nのとき)
s_n(x)= k/2^n ( k/2^n≦f(x)≦(k+1)/2^n ( k=0,1,...,n*(2^n-1) ) )
f(x)=√x のとき
(1)∫_E s_n dx を求めよ (2)lim[n→∞]∫_E s_n dx を求めよ

が問題文だとして、(2)は∫_E √x dx だけど
(1)は計算するのめんどそうだ

そうなんです
2番は楽なんですけど
1番の計算ができないので1番だけでもいいのでよろしくお願いいたします。

やっぱり伊藤清三かなあ
吉田朋広ってどうなんだろ

ルベーグ積分なんて余程のハズレでない限りどの本読んだって同じよ
…という訳にはならないけど学部で必要な知識得るだけだったら同じよ

学部で必要な知識という事なら確かにそうだな

ルベーグ積分って、今でも研究されてるの？
単に、ルベーグ積分ですって言っておいて、
定理を利用すると、証明しやすいってだけじゃないの？

関数解析の問題なんですが

K⊂R^n　有界閉ならばC(K)がバナッハ空間になることを証明せよ

という問題なんですが
区間なら証明できるのですが一般の場合だと
どうすればいいのかわからないのでぜひよろしくお願いします。

>>74
C(K)の収束は関数列の一様収束と同値を使えばできると思う。

７５さん

ということは区間でも大丈夫っすね？

>>76
KがコンパクトであればOK。

>>73
例えば実数全体の集合の部分集合が必ず可測になるような公理の定め方には
どのような物があるか、みたいなのを数理論理学で考えてるのは73の例になるのかな
ならないならもっと別の例を用意せんとな

>>73
研究対象かどうかはしらん。
ルベーグ積分は積分順序の交換ができようにつくられたもの。

>>79
そりゃ見方が狭すぎる．　各種収束定理をお忘れか

今のような形の測度論はコルモゴロフが（ひとまず）完成させた、という認識でいいんでしょうか

>>80
だれかの受け売りです。
ルベーグ、単調、ファトーでしたっけ。

>>82
ですね。　要するに何かの関数を少し抽象的な方法で構成しようというとき，
例えば身近な例だと常微分方程式の解の存在定理をPicardの反復法
で作る証明がありますね。目的とする関数へ収束するであろう関数列を
なんとかこしらえて，その収束先が確かに存在して目的関数が
満たすべき条件を満たしてるということが言いたい場面があるわけです。

Picardの反復法なんかは普通の微積分の範囲で済むんだけどさ。
コンパクト集合上で一様収束する関数列になってくれますからね。
もう少し面倒な，例えば偏微分方程式なんかでは考えてる台が
たとえコンパクトであっても一様収束性を言うのは厳しいなんてことが
よくあるわけです。そういうこところでルベーグ積分の理論が役に立つわけです。

ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
とにかく目的関数に収束する関数を，まあ適当な部分列を取ることにしても
とにかく一様収束になるようにしないといけなかったから。

測度さえ与えられれば積分は大抵は難しさもなく定義出来る
ルベーグ積分はルベーグ測度から与えられるもの
ルベーグ測度自体はR^n上の測度で殆ど固定化された定義がある

そう考えればルベーグ積分自体を研究してる人はいないと思うが
ある図形がルベーグ可測か研究してる人や一般的な測度を研究してる人や
ルベーグ可積分な関数全体のなす集合について研究してる人は今も普通にいる

具体的に

選択公理じゃなくてハーンバナッハの定理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい

Matthew Foreman and Friedriich Wehrung: The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set, Fund. Math., vol.138 (1999), pp.13-19

ばかあげ

選択公理じゃなくて決定性公理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい

ばかが質問してるぞ

決定性公理はね

公理あげ

>>89
作れません

>>93
決定性公理からは、作れないことが証明できるんですか？
それなら選択公理なんて捨てて、決定性公理をデフォルトの公理にしちゃえば丸く収まりますね。

>>94
君みたいなバカがいなくなれば丸くおさまるよ

>>ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。

フーン、そうだったのですネ。
一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。

>>96
> 一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。
haa

>97
faa

pfaah

pu〜

面倒くさいから世の中の関数は全部、可測でいい。

>>101
選択公理（＝ツォルンの補題）を諦めればそれでもいいらしいからな。

背理法を諦めれば、世の中の関数は全部連続でいい。

厨房

選択公理のなにが嬉しいのか，さっぱり分からん。

ルベーグ積分や測度論の教科書を読めば、
選択公理の有りがたさが分かるでしょう

選択公理使うと，ルベーグ積分できなくなるじゃん？

ルベーグ非可測集合の存在　…ダネッ！！

>>106
それだけだろ

選択公理はむしろ代数で、Zornの補題の形でしょっちゅう使われるわな

ベクトル空間の基底の存在

すれち

>>106
どこら辺でありがたくなる？
ベールの範疇定理は解析で必須だし、この証明で可算従属選択公理は必要になるけど、
可算従属選択公理だけなら非可測関数の非存在と両立するよ。

exp(-x)を０→∞でルベーグ積分した値とexp(-x)をリーマン積分した値は一致しますか？

>>114の補足ですがリーマン積分の範囲も０→∞です

>>115
僕はどうしてそういう疑問をもったのかなー

>>116
ルベーグ積分とリーマン積分の違いについて少し興味を持ったので調べてみたところ、
狭義でリーマン可積分⇒ルベーグ可積分で積分値一致
ですが広義なら常にそうではないとあったので具体的な関数でいうとどうなるのかなと

>>117
> 狭義
> 広義
正確にいってごらん

広義の積分
積分範囲が無限
狭義の積分
通常の定積分

じゃーちがうわね
もういいかな

眠い。

洗濯小売りが一つ
洗濯小売りが二つ
洗濯小売りが三つ
…
洗濯小売りがアレフ0
洗濯小売りがアレフ0+1
…
洗濯小売りがアレフ1
…
洗濯小売りがアレフ2
…
洗濯小売りが(アレフ)^2
…

例えばZFに「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加しただけで
「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」を証明する方法も見つかっていない

軽々と公理変えればいいと言えばいいってもんでもない

「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したらいいんでね？

>>124
このばあい、「R^nで定義された関数は全部ルベーグ可測関数である」
となりませんか？

同値なように思われるけれども

>>126
それで､それで､どうなる??

決定性公理から「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って導かれるの？

ばかあげ

マーティンの公理ってルベーグ測度や積分に何か関係あるのでしょうか？

吉田洋一のルベグ積分入門ってのを読んでみたけどサッパリわからなかった

>>131
同感。結局，ルベグ積分てなんなんだぁ！！（魂の叫び）

>>131
>>132
私は文系なので、数学�TＡ�UＢまでしか知りませんでした。
金融論では確率、微分方程式と測度論が必須ですから、
ルベーグ積分を勉強しはじめました。
しかし、当初、さっぱりわかりませんでした。

それは今から考えると、高校数学と異なる考え方に
全くついていけてなかったことが原因だと思っています。
当初は、何がわからないのかさえ自分ではわかりませんでした。

結局、地道に努力するしかないのです。
いきなりルベーグ積分や測度論の本を読んでも、
１行ずつはなんとかわかっても、全体像は、わからないと思います。

大学で使用する位相、集合、解析学の入門書をよく読んで、
ひとつずつ自分の頭でよく考えて、大学数学というものの
考え方に十分慣れていく必要があります。
がんばってください。

>>131
>>132
追伸：
もし、あなた方が文系なら、まずは数�Vを
丁寧にやりなおすことをお薦めします。

>>128
集合論では R も R^n も同相。集合論では R = 2^ω だからね。
よって ZF+DC に「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したら
自動的に「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」となる。
当然これらは決定性公理から導かれる。

同相って言うなよ……

RとR^nが同相になるってどんな集合論だよ

同型の間違いだろ。

あぼーん

等濃のまちがいじゃねーの？

おいおい、数オタのくせにどいつもこいつも定義が変わると思考停止かよｗｗ
「R = 2^ω」と書いてあるだろうが！(2^ω)^n と 2^ω が同相なんて教養レベルの演習問題。

>>141
その「同相」の英訳は？仏訳でもいいや

homeomorphic

集合論では離散位相辺りを入れるのが常識なの？

ωには離散位相が入っているのが普通。一般に順序数には順序位相が入っているかな、ωの場合はたまたま離散移送になるってだけ。

それは知らなかった。
知っていれば、確かに教養レベルの練習問題だな。

補足すると集合論でも R＝2^ω とは限らず R=ω^ω の場合もある。
要するに集合論では、R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
結論が同じになるような話ばかり扱っているので、扱いやすい定義を使っている。
「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。

同相じゃないんじゃん。

何言ってんだ？ R＝2^ω や R=ω^ω の定義の下では、R^n は R と厳密に同相だよ。

くそ論スレへ

測度論なんてくそ論の一部だろｗ

R と R^n は集合論だと同相だけど
位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス

単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
そういえば良い

R=2^ωなんて定義見たこと無いけど
文献挙げてもらえるかな

>単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
測度論勉強したことある？
ルベーグ可測性は濃度にしか依存しないなんて、御バカのいうことだｗ

同じ濃度（連続濃度）でも、測度は無限にも有限にも零にも、あるいは非可測にもなりますものね。

それは間違った氷系を採用するからだ

>>135
R^nルベーグ測度はn次元単位立方体に対して1を与え
直交するn方向の並進に対して不変な測度だから
濃度が等しいという理由だけでn=1からn>1が自動的というのは
書き過ぎだと思いますが？

濃度にしか依存しない話というのは測度論じゃなくて
集合論のつもりだったんだが……

ここは数学板だよな？その住人が、数学ではすべてが定義次第ってことを理解できていないのか？
通常とは定義が違うよと２度も注意があったにもかかわらず（しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ）、
いまだに自分の定義で話しているバカと、数学なのに「定義がおかしい」と言ってるバカばかり。
「定義がおかしい」が数学的な批判になりうるのは ill-defined っていう批判だけだろ。
どいつもこいつも数学のリテラシーがなさすぎ。

矛盾してないだけで意味の無い話なんて腐るほどあるよ

>>160
「しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ」

>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。

つまり同相ではない。

だから同型だって

バカばっかｗｗ

>>162
通常の定義と違う時点で興味を失う人が大半じゃねえの？

>>166
最終的なステートメントはどちらの定義でも同値だと>>147が説明しているだろ。

言い方が悪かったね。以下のように直せばいいかな？

>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか（ただしRは実直線）？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。

>>167
でもその理由を説明しているなぜなら〜以下が意味不明だよね

頭悪いんじゃね？測度論勉強しなおした方がいいよ。

ていうかωって何？

＞「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
＞なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。

これがちょっと意味わからないよね
2^ωとω^ωと通常のRはどれも同相じゃないし

同相じゃないからわざわざ「ルベーグ零集合を除いて」とついているんだろ。

ていうかそもそも2^ωやω^ωのルベーグ測度はどうやって定義するんだ

だからωって何なんだ？
R=2^ωって意味不明なんで教えろ

標準的な2^ωやω^ω上のルベーグ測度、と言ってもいいが、
「ルベーグ零集合を除いて同相」から induce される測度と言ってもいい。
（この場合、2^ωやω^ω側に測度がまだ定義されていないので
「ルベーグ零集合」も定義されていないが、同相から外れた部分は零集合という意味。）

ωはキンタマにきまっとるやろ

スレたたてたよ、移動してね
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/

ここの住人には、測度論の基本的な知識もないのかね？
「ルベーグ零集合の任意の部分集合はルベーグ可測」という基本的知識があれば
>>147の解説で十分分かると思うんだがね。

つまりその「ルベーグ零集合を除いて同相」をどうやって構成するかが
議論の肝なわけだ。決定性公理が必要になるのもここなのかな？

すれちだ

>>168のステートメントを示すのに決定性公理は全く関係ない。
決定性公理は「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」を導くというだけ。

Cantor空間が[0,1]の測度１の部分空間として埋め込める、って有名な定理でないの？
(0,1)と通常のRが同相なんだからそれで終わりじゃんｗ

あ、失礼、Cantor空間2^ωじゃなくて、Baire空間ω^ωね。
Cantor空間はコンパクトだから無理。

ω^ωが無理数全体と同相なのは知ってる

>>185
有理数全体はルベーグ零集合なんだから、それで終ってないか？

2^ωにもω^ωにもちゃんと名前があるのに
なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！

>なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！
私がそう名付けたわけじゃない。
記述集合論（測度論その他の研究）では、
そういう言い回しが定着してるんだから仕方ない。

だからωは一体何を指してるのかと聞いてる
どうして誰も答えてくれないの？
2＾ωって冪集合なの？

Cantor空間とBaire空間でぐぐれ

>>190でググったらただの自然数じゃねえかよ
ωが何かを聞いてんだから自然数だと言えばいいだろうがハゲが

うるせえ！

普通の数学的知識があれば>>141-146あたりでωが何かは推測付くだろ。
教えてクンかよ、おまえは。

>>193
は？
そうに決まってんだろハゲが

てか、ルベーグとか測度論は勉強したけどこんな話知らんかったがな
基礎論とかが出てくるし
ただの2＾ωとかω^ωとかをカントールだとか偉そうな名前付けてるしｗｗｗ

「ルベーグ零集合を除いて同相」っていうか「可算個の点を除いて同相」だな。

確かに>>147のどこに説明不足があったのかわからんな。

>R と R^n は集合論だと同相だけど
>位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
>どう好意的に見てもナンセンス
これって
「(N,+) は高校までは単位元がないけど、
大学じゃ単位元がある、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス」
というのと同じだね。

>>176
殆ど全てが例外だから、同相なんだとか馬鹿な主張してるわけか。

記述集合論は測度論その他の研究とは違うので
誤解を呼ぶ書き方は止めてちょ

代数的整数論（可換環の研究）と書くよりもっと酷いくらい

記述集合論と測度論の関係についてkwsk

まあ、あれだ、数オタなんて「数学は定義が・・・」と偉そうに言ってるが
所詮は人間、見慣れない定義がでてきた途端に簡単なことも意味不明になってしまう、
そういう良い例だｗ

>>202
小平先生も、人の証明を読んで間違いがないことは確認できても、わかったといえないことがある、みたいなことを書いてるし。

慣れてないと、わけわからんことはあるさ。

RとR^nが同相かどうかは
＞R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
＞結論が同じになるような話
だと言っているという理解で良いですか？

一点付け加えて拡大したら任意の位相空間はコンパクトになる事くらい知ってるでしょう？
（ルベーグ零集合を除いて）全ての位相空間はコンパクト空間だということで良いんですか？

同相かどうかは一点取り除いたり付け加えたりしただけで保たれない性質なんだから
測度論的に意味のある違いが無くても、位相空間としても同じだとか言っちゃダメだと思うよ。

>>204
あほ。スレの流れから「結論」がどれだか読み取れないアスペだなｗ

いや単純に>>172がルベーグ測度の完備性を知らなかっただけじゃない？
見たことあっても、身についていないっていうか。

2^ωとR^nはどういう風に同一視するんですか？
普通の全単射取るともう滅茶苦茶になって
並進不変（平行移動しても測度は同じ）じゃなくなるからまずいと思う

まだ分かっていない者もおるようだからオジサンが解説してあげよう。

１、「非可測集合が存在するか否か」という問題は、
(※)空以外の開集合が正測度を持つ完備な測度空間
については「零集合を除いた同相」によって不変。
（ここで「零集合を除いた同相」では、測度自体は変わるが
零集合は零集合にうつることに注意。）

２、従って「非可測集合が存在するか否か」という問題の対象は、
測度空間というより、
(※)の「零集合を除いた同相」という同値関係による同値類と考えるべきである。

３、すると目的の結論は「R と R^n が同じ同値類である」となる。
（R と R^n と、それらの同値類を以下混同する。）

４、これを示す為に、R と R^n の代表元として、
ω^ω と (ω^ω)^n を（2^ω と (2^ω)^n でもいいが）取ろう。
するとこれらは同相だから当然ながら同値である。

これだけのことだ。

ここの住人は初学者が多いんだから、
★★時と場合によって（考えている問題によって）同一視の仕方を替える★★
っていう抽象的な議論になれていないんじゃなかな。

>>207
並進不変とかってこの場合何も関係ないでしょ？
「並進」の構造はいまは無視していい。

同相がhomeomorphicって上で出てたが
どう考えてもRとR^nは同相=homeomorphicではない
card(R)=card(R^n)と間違えてる初心者君なんだろうな
しっかり勉強するまでROMってろよ

>>210
それネタのつもり？つまんない

分かってないのに自信満々でズレまくりのレスが沢山って、
いいねこういうの、２ｃｈらしくて素晴らしい。

>>212
じゃあ分かるように説明してくれ
あと参考文献もあげてくれ
勉強するから

>>208の説明で分からんのなら無理だろうね。
抽象的な数学的議論にもっと慣れてきてから出直してね。

>>214
だから分かんないから参考文献挙げてって頼んでるんだよ
どの本のどの章あたりとかでいいから
俺の方で勝手に勉強しとくから
無理かどうかはそのあとで決める
取り敢えず目は通してみたい
これお願いしてるんだよ

>>215
そもそも君がどの程度、測度論を知っているかが分からないと。
それに、色々な結果を使ってるのだから、一つの文献にまとまって書いてあるとも限らない。
せめてどこが分からないから（例えば>>208の１〜４の内のどれ、とか）
その部分の参考文献を教えて、と聞くべき。

同型類が分かったとしても、それに属する個々の元がわかるわけではない。

>>216
Rと2＾ωが同相のところ
同相が「連続全単射かつ逆写像も連続」ではなさそうだし
その同相の定義とRと2＾ωが同相ってのを確認できる文献
測度論は伊藤清三全部読んだからいいよ
以上よろしくおねがいします

>>216
間違った
RとR^nが同相、つまり4のところ

同相は「連続全単射かつ逆写像も連続」以外の意味はないだろｗ
(2ω)^n と 2^ω が同相っていうのが分からんのか？

>>220
そうならRとR^nは同相じゃないじゃないか
？？

あー、零集合を除いた同相という同一視を同相と表現していたんだな

R=2^ω とか R=ω^ω という（通常とは違う）定義の下で R と R^n が同相って書いてはあるけど、
通常の実数直線の意味で R と R^n が同相だなんて誰も言っていないんだけどね。分かってる？

>>223
Rと2＾ω、ω＾ωが零集合を除いて同相ってことじゃなかったの？

>>224
別にそれがメインの主張ではない。が、勿論、その主張は正しい。

つまり、誰も言ってないというのは間違いだと認めたわけだ。

>>226
下手くそ、釣りならもっとうまくやれよ。

釣りではなく、負け惜しみに見えるが。

集合論で R を 2^ω や ω^ω と同一視するのは、
零集合を除いて同相だからというより、
もっと強いことがいえて可算集合を除いて同相だからだと思う。
別に測度だけ扱っているわけじゃない、Baireの範疇とかも考えるし。
だからと言って位相幾何みたいに位相空間として扱っているわけでもない。
可算個を除いて同相、で定義されるような構造として R を見ているのだと思う。

-200％意味不明

>>-200％意味不明
意味不明

「とってもよく意味が分かる」とか
「意味が分かりすぎて面白くない」とか、
そういうことを言いたいのでは？

「集合論では等濃でしかものを見ない」というのは、
「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものである。

こちらでどうぞ

俺様の測度と積分論
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/

「集合論ではR^1のすべての部分集合が可測となる話しかない」という234の前提も
「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものであるｗｗ

測度論を道具ではなく研究の対象にしているのは、
いまどき集合論くらいのものなのだから、
このスレが集合論スレの一つになるのは自然なことだな。

age

集合論ではルベーグ積分も研究されていますか？

教科書は何がおすすめ？

とりあえず伊藤清三買っとけ

測度論では外測度から可測集合を定義しますよね？
その時に可測集合族は「外測度がその集合族上で測度となるようなσ加法族」の中で最大のものと言えるのでしょうか？

>>241
それはたとえば有限加法的測度から測度を構成するときですね
（有限加法的測度のような「元ネタ」がないと外測度が定義できない）

Γ可測集合の定義　Γ(A∩E)+Γ(A∩E^c)≦Γ(A) for all A
だから　Γ(B∩D)+Γ(B∩D^c)＞Γ(B) for some B
なる D を追加できるるかという問題とすると
外測度の定義に基づいてΓ(B)をΓ(I_n)で近似 したとき
加法性が十分大きなnで破れる（から追加不可能よって最大）

ということでどうでしょう？

>>242
ご回答をありがとうございます。
確かにジョルダン測度から構成された外測度なら可測集合族が｢最大｣と言えます。
それで一般の外測度ではどうかと思って質問させて頂いたのです。

x∈(-1,2)ならA(x)=x^2 , x∈R-(-1,2)ならA(x)=0 とする
f(x)∈L^1(R) かつ ∫_R f=1 とする
このとき lim[t→∞] ∫_R f(x)A(tx)dx はどう求めればいいですか

A=x^2 (-1/t,2/t)
Σf(x)(2/t-(-1/t))((-1/t)^2)=3Σ(1/t)^3f(x)<SfAdx<3Σ(1/t)(2/t)^2->0

SfAdx<3Σf(x)(1/t)(2/t)^2->0

∫_R f(x)A(tx)dx=∫ f(x)x^2dx (-1/t,2/t)->Sf(0)0^2

あぼーん

ガロアがツイートすれば。。。

アーベルとかいうイケメンを見たお（ ＾ω＾）

>>94 釣りですか？

>>241,243
それは両方あると思います

X={1,2,3} 上の外測度Γで
Γ可測集合族がΓを測度にする最大の定義域になる場合と
広げられる場合が作れる
と思います

>>243 の疑問を最初から持っていたならば
ご自身で検討できると思いますのでお任せします

忙しくてすっかり２ｃｈに来ることが無くなりました
この件ではこれで立ち去ります

すみません >>252 を取り消します
あらためて >>241,243 さんに
「Xが有限集合のときはどうか？」という問題を提出します

私が次に戻ってくるまでこのスレがあるかどうか分かりませんが

>>252、>>253
お答え頂きありがとうございます。最大とならない場合をつくることまではしていなかったので考えてみようと思います。
ただ、この問いは基本的なものだと思うのですが、
測度論の本をいくつか読んでみても書いてないのは不思議です…

ほとんど定義から明らかだと思うのだが

というわけでRとR^nは同相なのね

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

吉田って奴の本読んでるけど問題も難しいし自分で生めるところも多くてかなり地獄なんですけど
伊藤もそうですか？

あぼーん

>>279
吉田耕作？　「測度と積分」だっけか。　その本は読んでないなぁ。
伊藤清三はかなり丁寧だと思うよ。丁寧すぎて読みづらい場合は
志賀さんの「ルベーグ積分30講」とかがオススメ。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

質問なんですが、測度論の教科書ではリーマン積分とルベーグ積分の関係は
よく記述されているのですが、コーシーの主値積分のルベーグ積分の中での
扱い・関係に関する結果ってありますか？

主値積分って広義積分の一種だろ
Lebesgue積分に広義積分の概念は無い。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

１、測度と積分の本で
２、演習問題が沢山のってて（全体で３００問とか）
３、ハール測度の解説（存在証明）までのってる

そんな素敵な本はありませんでしょうか。

　２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

あぼーん

内測度も外測度も∞になるような非可測集合なんてあるんですかね？

あぼーん

>>294
簡単に作れるから、やってみ

phase

>>996
その通り。性犯罪者は何を言っても無駄だから安心して意見を書き込ん
でるのや。ワシの言う事を鵜呑みにされたら困るさかいナ。性犯罪者や
から『こそ』、自由に自分の意見が言えるのや。ソレは誰も信用せえへ
んからなんやワ。そやし意見を言うにはとても便利な立場やね。他人の
意見を鵜呑みにする奴は馬鹿。

そやし今後もガンガンと意見を書き込みまっさー

狢

>996 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/25(火) 13:28:35.52
> >>994
> 数学と無縁な性犯罪者が何言っても無駄だろう。
> それは日本に限らないよ。
> むしろ欧米の方がそういうゴミに厳しいぜ？
>

あぼーん

あぼーん

・∃p,q>0 ∀a<b(a,b∈R) p*(b-a)≦m(E∩(a,b))≦q*(b-a)
を満たすルベーグ可測集合Eは存在しますか？

p=q=1なら余裕で存在しますね
すいませんでした

あぼーん

int(x)をxを超えない最大の整数として
{ x∈[1,∞) | x^n-int(x^n) → 0 (n→∞)}
のルベーグ測度は0になりますよね？

どうやって証明するんだ？

>>304
a.e.x∈[1,∞) に対して x^n−int(x^n) は[0,1)内で一様分布するらしい(証明は知らない)ので、
{ x∈[1,∞) | x^n-int(x^n) → 0 (n→∞)} のルベーグ測度は0になる

直接的に測度0を証明してみたら一応できたけど、面倒くさい

あぼーん

測度空間(Ω,Σ,μ)に於いて,
a.e.有限可測関数の定義を教えてください。どうしても見つけれないもので。
すいません。

「a.e.有限」に意味があるとは思えんな

ttp://books.google.com/books?id=vOXig1V7nyYC&pg=PA362&lpg=PA362&dq=%22L0(X%22+%22norm%22
&source=bl&ots=PVMgF2i3Xo&sig=7s4fWH6LnHtlAR5kJwbGM-ZgXfk&hl=en&sa=X&ei=j7i4Uc6KA8LK0gGTl
oGQCw&ved=0CFAQ6AEwBjgK#v=onepage&q=%22L0(X%22%20%22norm%22&f=false
にてL^0(X,μ)はX上のa.e.finite measurable functionsのspaceとなっていて,
初めてa.e.finite measurable functionという言葉を見かけたのですが,,,
どう解釈したらいいのでしょうか?

あぼーん

無意味だから無視して差し支えない
単にX上の可測関数と思えば良い

あぼーん

お

も

ら

し

おもらし上げ

ルベーグ積分

非可測集合がない世界と引き換えに
R/Qの濃度がRの濃度より大きい
のを受け入れる気にはならないな。選択公理を使わないとバナッハタルスキどころじゃなく病理的な世界が待っている。

非可測集合が無いと必然的にそうなるんだっけ？

そうだよ。だから従属選択や可算選択程度では気持ち悪くなる。

R→R/Qな単射は簡単に作れるが、逆向きには選択公理のような強力な武器が必要。

「κからλへの単射がなければλからκへの単射が存在する」
「任意のκ、λに対してκ≧λまたはκ＜λ」
は選択公理とたしか同値だからこれも使っちゃいけないと思うけど。

どっちかというと、
選択公理がないと濃度の大小が全順序じゃなくなる、
という言い方の方が適切だと思う。

>>324
>>323では使ってないね。既に片側の単射が存在するから。
card(R/Q)≧card(R)
の方は成り立っている。

>>325
たぶん >>324 は >>323 へではなく >>320 へのレスと思う

>>320でも関係ないような。

>>320
>R/Qの濃度がRの濃度より大きい
意外と、そうかも知れない。

Rって案外ドロドロしているよな。

Nだって簡単じゃないぞ

Nの部分集合が複雑なのは当たり前

Nの部分集合全体≒実数体
だからそれは当たり前だけど、自然数のみに言及する命題でも
やたら超越性の高いものがある

んだんだ

測度論で(A+B)×C=A×C+B×C
って幾何学的に図形を見れば明らかだからどの本も
証明もなにものってないじゃないですか。
A×Cが四角形なんて決まり無いのに勝手にしてますよね。
幾何学なしで証明って出来るんですか？

幾何学無しもなにも、集合一般に対する主張なんだから幾何学なんて使っちゃ駄目でしょ

R^2のルベーグ速度からR^1のルベーグ速度は定まる？

A×Cってそもそも何のこと言ってるの？
直積集合のこと？

AとCに含まれる全ての元に対する順序対の集合だろ。

だとしたら証明に幾何学なんて必要ないじゃん

じゃあ　＋　は合併か直和を表してるの？
>>334がそのつもりで書いているようには思えんのだが

宜しくお願い致します。

Tを位相としますと,
T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}はσ集合体の定義を満たすのでこれはTを含む最小のσ集合体になると思うのですがいかがでしょうか?

A∪補B は？

ええと,

A,B∈Tの時でしょうか?
B^c∈{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}なので,
A∪B^c∈T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}でうまくいっていると思います。

>>343
横レスだが、A, B ∈ T に限定したら証明にならんぞ。
T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} がσ集合体ならば、

A, B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} のとき
A∪補B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}

が成り立つはずだが、これをどうやって証明するのか？

補集合について閉じてない

一般には可算個の開集合達の共通部分は開にはならないので
そのような例をとってきてTをその位相、
{U_k}k∈Nを、∩U_kが開にならないような開集合続とする。
このときG_k=(U_k)^c、B=∪G_kとするとBは含まれてもB^cが含まれない

>>345
B^c＝∩G_k^c＝∩U_k であるから、もし∩U_k が
可算無限個の閉集合の和で表し直せるなら、B^c も含まれてしまう。
従って、今のままでは反例になってない。

正しい反例は、たとえば次のようにすればよい。

Rの通常の位相をTとして、有理数全体の集合をQとすれば、
Q ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} が成り立つ(簡単に言える)。しかし、
Q^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} は成り立たない(ベールのカテゴリ定理を使う)。

>>346 の前半について補足。
たとえば、Rの通常の位相をTとして、U_k＝(‐1/k, 1/k)∈T とすると、
∩U_k＝{ 0 } であり、これは開でないので、もし >>345 が正しいなら、
G_k＝(U_k)^c、B＝∪G_k としたとき、B は含まれるが B^c は含まれないはず。
確かに B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} は成り立つ(明らか)ものの、
一方で B^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} もまた成り立ってしまう(よって>>345は正しくない)。
実際、B^c＝∩U_k＝{ 0 } であるから、G'_k＝{ 0 } (k＝1), φ (k≧2)
として閉集合の列 { G'_k }_k を作れば B^c＝∪G'_k と表せるので、
B^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} が成り立ってしまう。

結局、>>345 の説明では反例になってない。


正しい反例の一例は >>346 の後半で既に挙げたが、
>>345 の方針で反例を記述するなら、開集合の列 { U_k }_k であって

(1) ∩U_k は開集合でなく、高々可算無限個の閉集合の和にもならない

という条件を満たすものを持ってくればよい。このとき、
G_k＝(U_k)^c、B＝∪G_k とすれば、「 B は含まれるが B^c は含まれない 」
となって反例になる。しかし、上記の(1)が満たされるように開集合の列
{ U_k }_k を作るのが非常に大変で、「高々可算無限個の閉集合の和にならない」
の場所で結局ベールのカテゴリ定理に相当する定理が必要そうに見える。

341 の T∪{なんたら} を W と置こう。
A,B∈T のとき、A,補B∈W だが、
A∪補B∈W ではない。

集合Xの部分集合系としてsemi-albegra of setsを定義したとき、
そのunitは常にXと考えてしまっても良いですか。
それとも、Xよりも小さな集合がunitであるようなsemi-algebra of setsも
構成し得るのでしょうか。

semi-algebra of setsをググっても出んな

unitてなんじゃらほい？

>>351
共通部分∩に関する単位元のことです。
つまり、semi-algebraに含まれる集合Eがunitであるとは、やはり
semi-algebraに含まれる任意の集合Aに対して、
E∩A=A
が成り立つことと定義されるのだと思います。

>>352
そんなもんsemi-algebraの定義になんの関係がある？考えるのはかってだが

>>353

測度について勉強しています。

集合Xの部分集合系であるsemi-algebra上に定義されたσ-加法的測度を用いて
外測度を定義する段において､"semi-algebra with unit E"と指定されていた
ので､unitがXではないsemi-algebraがありえるのか？という疑問を抱きました。
些末な疑問でしたらすいません。

>>354
Xをunitと呼ぶと書いてあるので定義だろう

んだんだ

3.14159263538979323846264338327950188419716939937520582097494459

π＝3.1415926「5」 のところで違ってるのは何かなー

πは、９桁じゃねーぞ。

やっちゃったなー

>>359
違ってる所から先を書く必要ねーだろ

保守

呆守

すべての実数からなる集合R=(-∞,+∞)が､可算個の有界区間
　[a,b)　(-∞<a≦b<+∞)
で覆える理由が分かりません。また､仮に覆える場合､上の有界区間の長さを､
b-a
で定義するとき､Rを覆う可算個の有界区間の和が+∞になるのはなぜなんでしょうか？

具体的に[a,b)の族を与えてみりゃわかるだろ

364の人とは別なんですけど
開集合を半開区間の直和で覆える（証明をみる限り加算個で）っていうのは
ある種の近似の感覚ですよね？　無限に精度を上げていけるみたいな

364
a≦b ？
a＜b となるものが有限個
だったら覆えない。
アルキメデス性の話を
したいんだろうけど。

366
それは、[1/n,1) n∈自然数が
(0,1) を覆うような話を
しているのか？
覆うだけなら、[0,1) だけで
覆ってもいいはずだが。

引用のしかたも低レベル

ここまで低レベルだとわざとやったとしか思えない

367
これは失礼
当方の引用が間違っておりました
-----------------------------------------------------------------------
「開集合は交わらない半開開区間の列の結び（直和）として表すことができる．」

例えばR上の開集合Gの場合、
Ap＝∪｛ [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z， [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{p=1}^{\infty} Ai ｝
による列、A1，A2，…，Ap，…、により
G=∪_{p=1}^{\infty} Ai
が成り立つ．
-----------------------------------------------------------------------

（善意でここに集われ、無用のフラストレーションを抱えられた皆様に深くお詫びします）

あっ

Ap＝∪｛ [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z， [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{p=1}^{\infty} Ai ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　~~~~~~~~
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ココ　　　↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＾{p-1}　　　の間違いっす
さーせん　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Ap＝∪｛ [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z， [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{i=1}^{p-1} Ai ｝

レスは">>371"のように

わざとやった奴に言っても無駄

こんなレベルで悩む奴がルベーグ積分やるのは早過ぎなんじゃねーの？
見栄張らずにに松坂の集合・位相入門とかその類の入門書でお勉強しなさい。

だね

まあ、もうちょっと位相の勉強した方が良いとは思うが
あまり一般位相の細かい知識ってルベーグ積分に役立たんよね

図書館で借りて読んでる年季の入った旧い本には
不謹慎にも各時代の学徒がずいぶん書き込みをしている

その内容の凡夫レベルさに
わが身と照らして親しみを感じるやら励まされるやら

基本がわかってさえいれば、細かいことは知らなくても自分で考えられるからな。

これは酷い
帰って来て開けたら私のことぼろ糞である
位相は勉強したんだけど演習とかこなしてないの見抜かれてんだなぁ

位相がどうとかそんな超高レベル（）な話じゃない

>>380
何読んでんの？

有限Σ可測関数とa.eΣ可測関数の定義を確認したいのですが下記のとおりで大丈夫でしょうか?


可測空間(Ω,Σ),E∈Σにおいて,Map(E,[-∞,+∞])∋fがE上の有限Σ可測関数であるとは
(i) fはE上のΣ可測関数, (ii) f(E)は有界.
の時のことを言う。


測度空間(Ω,Σ,μ),E∈Σにおいて,Map(E,[-∞,+∞])∋fがE上のa.e.Σ可測関数であるとは
(i) fはE上のΣ可測関数, (ii) μ({x∈E;x∈f^-1({±∞})})=0.
の時のことを言う。

>>383
教科書に書いてあるとおり

>> 384

正解ということでしょうか?

用語自体が変

>> 386

といいますと?

他人の本の流儀など知らん

次の質問は6月頃か

そろそろルーディンでも読むか

>>388

ご自身の本の流儀はどのようになっているのでしょうか?

>>の後にスペース入れないとなりすましに見えるよ

>ご自身の本の流儀
日本語を勉強しないと馬鹿に見えるよ、松坂君

>>391
本屋行け

そこを何とかお願い致します。m(_ _)m

無駄に他人の時間を浪費してよいという奴か

松坂君だから

test

ルベーグ積分

はぁ〜〜〜ぁ
糞ツマランのに
あと100ページもある
10月までに終えれる自信がない・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

なに読んでんの？

geometric measure theoryの教科書です

>>402
誰だよオマエｗ

詰まらないと言うのは、理論自体に価値が無いと言うより
理論のmotivationを理解していなかったり
個人的に好みが合わなかったりすることの方が多いと思う

思うように進まんからクサクサシテンダヨ！　（この杓子定規馬鹿、ナニ小難しいこと言ってやがんだ？）

運営乙

http://www.youtube.com/watch?v=70Alqd1f0FM

ラララー♪　ララ　ラーララ　ラーララ♪
ラララー　ララ　ラー　ラララー♪

（板に八つ当たりｗ）

これは分かりやすい！っていうルベーグ積分の入門書はありませんか
あったら教えてください

吉田耕作

自分で探せ

運営乙

分かり難いルベーグ積分なんて知らんがな

http://www.kinokuniya.co.jp/images/goods/ar2/web/imgdata2/large/43200/4320017781.jpg

ルベーグ積分超入門―関数解析や数理ファイナンス理解のために

森 真【著】

関数の絶対連続性について質問

wikiや溝畑、伊藤清三では

『I のたがいに交わらないような部分区間 [xk, yk] で』

のように、どの二つも交わらない区間　（区間は閉区間、開区間、半開区間いずれでもよい）
の有限列としています。


一方、吉田洋一などは

a≦ a1 < b1 ≦ a2 < b2 ≦…≦ an < bn ≦b

のように区間の境界がたかだか有限個交わることを許して絶対連続性を定義しています。


区間のどの二つも交わらない、はクリティカルな条件として今後勉強が進むと効いてくるのでしょうか？
（あと出来たら論理記号での定義、かっこよくメモしときたいから教えてちょーだい）

これを訊いてくること自体がクリティカル

座布団一枚

リプシッツ連続な写像が絶対連続になることの証明ってどうすればいいんですか？
Σ(bp-ap)<δ⇒Σ( f(bp) - f(ap) )
の区間列の保証のところがどうやっていいか分からん

リプシッツ連続な写像が一様連続なことの証明は
δ=ε{ K/(K+1) } とおけばよいし
絶対連続な写像が一様連続である証明も
任意のx,y∈[a,b]に対して
x,y∈I ⊂ [a,b] である都合のいい区間を含む区間列 {In} ⊂ [a,b] を考えれば
その区間 I に対して n=1 の場合の絶対連続の定義は
一様連続の定義を意味するから、それでいいと思うんだけど…

それは自明じゃないか？

こんな自明な部分でつまずくということは
微積分の初歩が全然分かってない証明だから、
キャンパスゼミとかで勉強しなさい。

リプシッツ連続において
| ak - bk | ＜δk とおいて
任意の区間列を作っていくことに決めました
多分これで上手くいくでしょう

>>418
＞こんな自明な部分でつまずくということは
＞微積分の初歩が全然分かってない証明だから、

国語力が怪しいうちは、数学は無理ですよ
イチビリさん

馬鹿丸出し

具体的にどこが怪しいと思ったのか訊いてみたい

絶対連続の定義って有界変動じゃないのか？

馬鹿は余計なこと吐く前に死ねよ

にわかはあげんなよ

にわかあげ

小谷『測度と確率』っていい本ですか？

どっかで見た質問だな

>>422
関数の条件として
リプシッツ連続、絶対連続、有界変動
は同値ですね

同値なら別な名前いっぱいつけるなよ

>>428
ぜんぜん同値じゃない件

リプ⇒有界
有界⇒リプ
絶対⇒有界
リプ⇒絶対

>>431
有界⇒リプ は必ずしも成り立たない。
反例は簡単に作れるから自分でやれ。

その他にも、絶対⇒リプ, 有界⇒絶対 は必ずしも成り立たない。

有界は二つの増加関数の差で表される
「この場合の増加関数は、傾きは有限、almost anywhere 微分可能、よってリプ」
と考えたのですが、反例はどっちの条件を破ってるんだろう？

楽したいから教えてもらえませんか？
情けはヒトのためならず、ですよ

おゆとり様

>>433コイツの頭の中やべえな

釣りだろ

まあ答えても、それは「情け」ではないから、身には回ってこない。

hi hi , everywhere, everywhere

ルベーグ積分入門
よさげ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E6%9D%A1%E4%BB%B6
「カラテオドリの条件」がどうやってこの形になったのか，なんでこのような条件を考えるのか，よく分かりません．
ど素人ですみませんが，どなたか分かりやすい説明をお願いします．

空手踊り

>>440
志賀浩二「ルベーグ積分30講」は読んだかな。

それにも発見の詳しい道筋までは載ってなかったけど
なんか納得感のある説明だった。


それとは別の話になるけど、発見的考察としては開集合系から
和差や補集合演算をどんどん取って得られた極限集合族が
可測集合族だと思ったとき、ああいう条件がでてくるのかなー
ぐらいまでは考えたことある。

（すんません、結論なし）

>>440
λ(A)＝λ(A∩E)＋λ(A∩(X−E))　, X:全集合, λ:外測度, A⊂X
Eの境界がボケてなけりゃ可測集合という意味さ
λ(X)が有限なら　λ(X)＝λ(E)＋λ(X−E)　で片付いてこれが本質だけど、そうでない場合でも使えるようにAで制限して有限にしたわけだ

>>442-443
解説をどうもありがとうございます．

>>443
さらに質問させてください．
「境界がボケる」とはどういう意味ですか？

カラテオドリ条件は
集合Eについて、B⊆E、C⊆E^c、のとき
λ*(B∪C)=λ*(B)+λ*(C)
が成り立つことを言ってるんだよ。
この定義を変形して
Eが式の中に現れるようにしたのが
カラテオドリ条件だよ

（こういうのは、なにも志賀の詩集に頼らずとも
普通の専門入門書に載ってると思うよ）

B=A∩Eみたいに置き換えてごらん
上の式とカラテオドリ条件とが
⇔であることが確かめられるから

>>445
いや〜　なかなか載ってへんて

age

>>444
＞境界がボケる
λ(E)＋λ(X−E)−λ(X) は境界の外測度と見なせるでしょ
つまりカラテオドリ条件は「境界の外測度＝0」なわけだ
条件を満たさない場合は「境界の外測度＞0」だから面積の場合をイメージすると
境界が幅0の線でなくペアノ曲線みたいに広がってる

>>449
おおおおお！

生成するσ加法族ってなんなんですか？
最小の〜とか舐めてんのかワレ

なんやわれ、けんかうっとんのか

最大にして下さい

自分のは最大時のチンコサイズ凄いぜ
膨張率を外人の彼女に褒められた

チンコを直方体で囲め

確率論の運用上の未確認事項を精緻化したくて位相とか測度とかルベーグ積分とかひと通り理解してみたけど
ハッキリ言って全くの無駄だった。各論のそれぞれの学問的価値が無駄というつもりは全くないけど。

素人乙

経済専攻じゃないの

玄人乙

確率の各定義の本質を知るだけでも必要だろ E(X)=∫XdP とか
本質どうでもいいなら知らんが

経験上大方の物理屋さんにとって位相も測度も理解不能。
原因は彼等がまともに取り組まないから。
学習のコストが高すぎると思われている。

まあ、実際そうでしょ。

彼らが欲しいのは、
〜〜であることが知られている（証明は長いので省略する。
アイディアとしては〜〜を構成して〜〜であることを示す）

みたいな全体の本質的骨格で、細かい論理的チェックはどうでも良いと思っている。

物理屋さんは計算してそれらしい答えが出てくれればいいだけ
経済の連中はどうなんだろう

物理の本、かなり難しい計算してるみたいよ
すごいと思うわ

測度抜き、涙無しの確率微分方程式

涙無しの」
何かの本でみたよｗ
こういう他人様が考えたフレーズ朴ってくるのダサいと思うぜ

マジレスすると without tears っていう慣用句があるんやで

慣用句の使用を朴り認定ね
DQNだな

「朴ってくる」なんて書くあたり、数学板で毎日暴れてるネトウヨかしら

>>461
お前が付き合ってる物理屋がバカなだけだろｗ
兆弦とか場の理論関係の物理屋はそんなレベルじゃねえわ

だから「大方の物理屋さんにとって」なんでしょ

超弦なんて数学寄りの物理は主流じゃ無いし頭数少ないから

まぁー、このスレ住民にあっても
ルベーグ積分や測度の基本的なあたりを
普通に正確に理解してるのって
俺を含めて極少数派やろね‥

上の方のたよんない書き込み眺めてても
それはよく分かる
お前らは無理して書き込みせんほうがいい

いくらなんでもその実力ではルベーグ積分にしろ
測度にしろ知ったかするるのは早すぎる

空手踊りは歴史の遺物みたいなもんだ
理解しなくても測度論はできる
具体的にはリース表現定理を使う
Rudinを読んですっきり理解しなさい
ていうか２つか３つの代表的な定理が使えればたいていの場合じゅうぶんだろ

負け犬ばっかかよ

狗鍋にしてやろう

ポシンタンは精が付く

ワオーン

何読もうかな、伊藤、RudinかFollandかな

>>477
新大久保名物

ジングルベーグ、ジングルベーグ、鈴がー鳴るー

いまごろと思ったら、そのネタのためか

ワロタ