高校生のための数学の質問スレPART305

そうか、、書いてあるのがミスってるってことか

このままとくことは可能？

4^x+2^x+1=0が異なる２つの実数解を持つとき2^x=tとおいた式、すなわちt^2+t+1=0もなぜ異なる２つの実数解を持つのですか？

>t^2+t+1=0もなぜ異なる２つの実数解を持つのですか
どう見ても実数解持たないが。

>4^x+2^x+1=0が異なる２つの実数解を持つとき
こっちも実数解なし。

それらの式に至るまでの間で、何かミスをしていると思う。
(論理の問題で、「〜のとき」を「〜ならば」と同じ意味だと考えるのじゃないなら、という条件で。)

式の変形を練習させる目的で、解なしの式をそのまま出題する場合もあるからなあ
まあ一応問題と式の導出を確認した方がいい

質問の答えとしては、単調増加の関数で置き換えを行っても解の個数や式の大小関係は変わらない
ただし定義域と値域に注意。2^x=tとおく場合は 0＜t

テスト

点(x,y)が、原点を中心とする単位円上を動く時、x^2+4xyｰ2y^2の最大値を求める問題を教えて下さい。お願いします。

>>958
三角関数使え

>>954ですが
問題を間違えました、すみません

f(x)=4^x-a*2^(x+1)+a^2+a-6とおく。f(x)=0をみたす実数xが２つあるときxの範囲を求めよという問題で、2^x=tとおくとf(x)=0を満たす実数xが２つあるための条件は、
tの二次方程式がt>0の範囲で異なる２つの実数解を持つことであると書かれているのですがなぜtの式までもが異なる２つの実数解を持つのか分かりません

>>960
tが正の範囲で異なる2つの解を持てば、それらのtに対してt=2^xを満たす実数xがそれぞれ存在しそれらは異なるし、
f(x)=0を満たす実数xが2つ存在すれば、それらのxに対してt=2^xを満たす正の実数tがそれぞれ存在しそれらは異なる。
つまり、両者は同値。

d/dx(�刀m2x.x］sinxt/t dt)を求めよという問題です。 どなたかお願いします。

>>962
�唐ﾌ意味わかって使ってるのかな。通常の積分と違うんで、次からは普通の記号∫を使ってちょ。
(しかも�唐ﾍ環境依存文字だし)

被積分関数をf(x)、その不定関数をF(x)とすると
与式=(d/dx)(F(2x)-F(x))
F(x)をxで微分すればf(x)に戻るから、あとは合成関数の微分法。

>>963
すいません。気をつけます。普通のインテグラルのつもりです。数3の問題集に出てきたんですが、答えしかなく式変形がわかりません。

∫dx/cosx　の不定積分を求めよ
sinx=t とおくと、cosxdx=dtであるから
∫dx/cosx=∫(cosx/cos^2x)dx=∫(1/1-t^2)dt=1/2∫{1/(1-t)+1/(1+t)}dt
=1/2(-log|1-t|+log|1+t|)+C
=1/2 log|1+t/1-t|+C
=1/2 log(1+sinx/1-sinx)+C

４行目の一つ目のlogが、なぜ負になっているのかがわからないです
どなたかよろしくお願いします

2x+√1-x~2+1=0
のような式は一次式ですか？二次式ですか？
極値はいくつになりますか？

これが
2x~2+√1-x~4+1=0
2x~3+√1-x~9+1=0
となるとどうなりますか？

>>966
教科書読んでちょ。
用語の使い方自体がおかしくて回答しようがない。

>>964
F(x)がどんな式になるか、実際に求める必要はないのよ。
f(x)=x^2 として　(d/dx)∫[2x,x](f(x))dx
を実際に積分実行した結果が、((2x)^2)・（2x)' - x^2 になることを確認してみればいい
(第1項の(2x)' が合成関数の微分法で出てくる部分)

>>288

>>966
・チルダ〜は何なのか。もしかしてサーカムフレックスでｎ乗を表しているつもりなら、直せ。
・「2x+√1-x~2+1=0」、この式の括弧をもっと正確につけろ。

以上二点を直すのなら直して、全文正確に書き直せ。

>>965
1-t=sと置換して置換積分、と考えてみて。
2番目の積分は1+t=s

>>971　途中で送っちゃった。
…1+t=s としても、 dt/ds=1 だからそのまま積分しているように見えるだけ。

(1-t)'=-1だから
∫1/(1-t)dt = -∫(1-t)'/(1-t)dt = -log|1-t|

>>941
すいません、ちょっとわかりません
AとC足したら180°ですよね？
なので180-Ａもしくは180-Cとして加法定理使おうかおもってたんですが

>>974
加法定理ってことは数IIやってるはずでしょ。弧度法は知らないの?

180°-θってのは単位円(数Iなら原点中心の半円)のどこの点と原点を結んだ角に対応する?
cosだからx座標で、↑の点のx座標はcosθに対してどういう値になる?

>>975
数2は範囲外なので数1しかできないこと前提にお願いします。

>>968
よくわからないんですが、できれば答えまで書いて頂いてもいいですか、置換しなければいけないタイプの問題として載っていたのですが、よくわかりません。

>>976
今、加法定理は数�U＊三角関数
の分野では？

977に補足ですが、恐らく微分積分の定理を使用するためにxtを別の変数に置換するんですが、その先の式変形がわかりません。

>>977、979
d/dx( (sin(2x^2))/2x - (sin(x^2))/x) の計算結果が答えじゃないの?
　差を取っている二つの部分は、(sin(xt))/t にそれぞれ2x,xを代入した結果。

これでいいんだよ、というのがまさに、微分積分学の基本定理を使って考えた方針で、
それを>>963で示したんだけど。この定理は、言葉で表現すれば、
「不定積分して微分したら元の関数に戻る」っていうことで、だったらこの問題で
積分実行するなんて手は遠回り。

>>968は、同じ形で関数部分の積分計算が平易な場合に対して、実際に積分計算しても
ちゃんと同じになりますよ、という具体例を示したんだが、試してもらってますか。
文字変数をxのままにしてしまって、(d/dx)∫[2x,x](f(t))dt と書かなかったのは
こちらのミスだけど、元のf(t)=(sin(xt))/tを f(t)=t^2に置き換えただけで問題としては同形。
(変数をｔとして見る限り(sin(xt))/tのxはただの定数だから、積分操作には影響しない)

>>980　ごめん、混乱してた。>>980の2・3行目は取り消し。

f(t)=(sin(xt))/t、その原始関数を(ｔを変数として)F(t)とすると、F(x)の形が具体的に求められなくても、

与式=(d/dx)(F(2x)-F(x))　(積分結果がともかくF(x)と書けたとすれば、
　代入して差を取ったものを微分するんだからこの形)
ところが、(d/dx)F(x)=f(x)、(d/dx)(F(2x))=2f(2x)なんだから、
与式=2(sin(x*2x)/2x)-sin(x*x)/x
これを整理すれば終了。

置換積分を実行する必要はないし、やっちゃいけない、というのは変わらない話。

↑また変数であわててる。言葉ももうちょっと補うと、

与式=(d/dx)(F(2x)-F(x))　(積分結果がともかくｔの関数としてF(ｔ)と書けたとすれば、
　そのｔに2xとxを代入して差を取ったものが与式の定積分部分まで、
　それをxでを微分するんだからこの形)

ところが、(d/dx)F(x)=f(x)、(d/dx)(F(2x))=2*f(2x)なんだから、
　↑ここで、前の式は微分積分学の基本定理をそのまま=積分して微分すればもとの関数
　後ろの式は2xの関数だから合成関数の微分法も使ってf(2x)の2倍

与式=2(sin(x*2x)/2x)-sin(x*x)/x
　これは考えた結果の通り、f(t)=(sin(xt))/t に対して、2*f(2x)-f(x)を計算している。

>>978
基本的には加法定理は咲いたコスモスしかわかってません。

よくわかってない上に教え方も下手
最悪の回答者ですね

>>984　混乱したこと、最初からまとめて書け(か)なかったことはお詫びするけど、
本来>>963の下3行で完結してた話だよ。

366 名前：ご冗談でしょう？名無しさん[sage] 投稿日：2011/08/02(火) 09:04:50.11 ID:???
頭の悪い人間て、概念や自分の主張を他人に理解できるように言語化できないよね。
理系・文系問わずにさ。

よくわかってないどころか全然わかってないみたいだね

>>959
ありがとうございます。

>>983
加法定理必要なの？

>>989
数1にはsin(180-Θ)=sinΘなどという捕獲の公式があります。
こんなの丸暗記してたらすぐ忘れます。
そこで出てくるのが加法定理とゆうわけです。
コスモスさえわかっとけば捕獲の公式は忘れることありません。
だから必要なのはここだけです。

単位円から導いた方がはやくね

うん、>>990普通にそれは覚えるよりかは単位円の方がはやい
わざわざ加法定理ってww

>>980
今外にいるので帰り次第答えを書きます。色々すみません。
気になっているのは微分積分の定理がこの問題ではsinxtのxを置換しないと使えないはずではないでしょうか？
与式のsinxtのxをなんとかしないと全てが破綻するのではないでしょうか？つまり微分するわけですから代入するしないではなくΔxが生じてその分ずれますから、それを防ぐためにxを消す、つまり置換が必須と考えました。

単位円から導くって日本語でおｋ

単位円はただの図形的な理解であって定理ではないのだが

>>994
>単位円はただの図形的な理解であって
高校での三角関数(または0°〜180°の範囲で考える三角比)は単位円を使って
「定義」されるんで、「ただの図形的な理解」というのは不適切。まあ、確かに
定理じゃないのだけど。

複素数やったうえで大学流に定義してると話は違うけど、ここは高校数学スレだし。

>>992
例えば単位円をどうゆうふうにですか？

何を捕獲するのでしょうか。

>>966
座標の原点O、単位円を(1,0)から出発して反時計回りに動く動点Pとすると、
OPがx軸正方向となす角をθであるときのPのx座標がcosθ。
(半径ｒの円でやって、ｘ座標/rをθとする場合も多いけど、相似を考えれば
最初から半径1に固定して問題ない)。これは数Iの教科書に書いてある定義。

じゃあ、cos(180°-θ)ってのは動点がどこにいるときのｘ座標で、
それは動点がθだけ回った時の値(cosθ)とどんな関係にあるのかってこと。
ｙ軸対称なのは見えるでしょ?　それを>>975で(度数法にして)言ってある。

>>997　「補角」の誤変換でしょ。

>>996の誤変換

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