代数学総合スレッド Part6

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/
代数学総合スレッド Part5
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1233450000/

猫

猫が量子群について語りますだ

猫は量子群について語りませんだ。

猫

代数学について語り増田！

マスダはマスの申し子だす

ウィキに増田の項目できてるよ

マシュダさんの濃密な人生がたった4行で

ヤって出す増田哲也（回文）

生活保護って書いてあったけど、本当なの？

熟女のヒモだったら生活保護は無理でわ？

❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺センター
❻マセマ
❼バーチャ
❽ウイイレ

❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺センター❻マセマ
❼バーチャ❽ウイイレ

sage

自然数全体をＮ
g: Ｎ→Ｎとする。
∀n　　g(g(g(g(n)))) = 2n,
を満たす g(n) を挙げよ。

環論の質問です。
整域 A、A の素イデアル P、A のイデアル I で P を
含むもの、があるとします。
A の二元 a、b に対して
ab が IP の元、a が I の元だけど IP の元でないならば、
b は P の元になりますか？

no

・初学者に対して、「剰余環とはなにか」を説明せよ。
・集合論などの基本的知識や環の定義、イデアルの定義は既知としてよいが、
　ほかの概念は出来るだけ詳しく説明せよ。
・剰余環がどのような集合にどのような演算を定めたものなのかを
　はっきりと述べよ。
・剰余環の具体例をひとつ挙げ、計算例も説明せよ。

ご享受願えませんでしょうか。。。

A=Z[X], P=(X), I=(X, 2), IP=(X^2, 2X)
a=X, b=2

>>18
教育法に関する質問はご遠慮願います。

すみませんでした。
この内容でレポートが出て、手がつけられませんで・・・。

剰余環とは何か、簡単に説明してもらえませんかm(__)m

教科書嫁

>>18
同値関係と剰余類は分かってるのか？
それが分かれば終了。

教える立場に立つ目的で
> ・初学者に対して～説明せよ。
という課題に挑もうという人が、教え方を論じるどころか
逆に誰かに内容を教えてもらわないといけないってのは、
だめだろ、いろいろと。

玉川の通信教育学部の悪夢再来か？

>>24
> 玉川の通信教育学部の悪夢再来か？

何それ？

同値関係と剰余類は理解してます。
ヒントありがとうございました！！

では、失礼します。

整数全体をＺ
g:Ｚ→Ｚとする。
∀n;　　g(g(g(g(n)))) = 2n,
を満たす g(n) を挙げよ。

ぶっころすぞ

>>17
>>19
反例ありがとうございます！！

>>17
>>19
考えていた問題が一箇所間違えていました。
済みません。
I と P の包含関係が逆でした。
以下の主張の反例が欲しいです。

A：可換環
I ⊂ P ⊂ A：イデアル, P は素イデアル
a,b ∈ A
「ab ∈ IP, a ∈ I」だが「a ∈ IP ではない」
⇒ b ∈ P

A=k[X,Y,Z]/(XY-Z^2), I=P=(X,Z)
a=X, b=Y

>>31
素晴らしいです
どうもありがとうございます

体論の質問です
標数 0 の体 K の二つの線形無関連な
有限次巡回拡大 L,M があるとします。
それぞれ定義多項式 f,g ∈ Z[X] が与えられて
いるとします。
何でも良いので合成体 LM の定義多項式を一つ
(f,g の係数を使って)一般に与えたいのですが可能
でしょうか？
deg(f)=2 のときは αβ (f,g の根)の最小多項式
を基本対称式を用いて(係数に出てくる対称式を基本
対称式で表して)出来たのですが、一般に書くのは難
しそうでした。但し、ベキの基本対称式
e_i(α_1^d,…,α_n^d)
は Newton identities があるので既知とします。
α_i は f の根たち、e_i は i 次基本対称式です。

>>27
面白そうだから考えてみたけど、それで本業のレポート間に合わなくなったｗ
g^0(n)=n
g(g^k(n))=g^(k+1)(n)
と書くことにする。
以下が証明出来ればいい。
gが、g^4(n)=2nを満たすためには、gが次の形に書けることが必要十分である。すなわち、

数列a_n(０≦ｎ)を奇数のみからなり、すべての（正の）奇数が重複なく、一回ずつ現れるものとすると、
g(0)=0
(任意の0以外の自然数は自然数ｒ,mと3以下の自然数iによって一意的にa_(4r+i)(2^m)とかけるので）
g((a_(4r+i))2^m)=a_(4r+i+1))2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=a_(4r)2^(m+1) (r=3の時)

証明：
十分性：
n=0のときはg^4(n)=2nは明らか。
よってg^4(a_(4r+i)2^m)(ｒは自然数,iは３以下の自然数)について言えばいいが、
a_nが奇数だけからなることより、
g^4(a_(4r+i)2^m)
=g^3(a_(4r+i+1)2^m)
...
=g^(i+1)(a_(4r+3)2^m)
=g^i((a_4r)2^(m+1))
=g^(i-1)((a_(4r+1))2^(m+1))
...
=g^0((a_(4r+i))2^(m+1))
=(a_(4r+i))2^(m+1)
=2(a_(4r+i)2^m)

必要性：
gを任意の自然数nに対してg^4(n)=2nが成り立つものとする。

(i) g(n)は単射
g(n)=g(m)とすると、
g^4(n)=g^4(m)
条件より、2n=2mであるから、n=m.
(ii) g(0)=0
2g(0)=g^4(g(0))=g(g^4(0))=g(2*0)=g(0)
したがってg(0)=0

(iii) R={r;r=g(n)となるnが存在しない}とするとき、Rの元rに対して、
g^i(r)はiが３以下の自然数の時、奇数であり、iが３より大きい時は偶数。

i<4のとき、もし、g^i(r)＝2nだとすると、g^4(n)=g^i(r)であり、gは単射だから、
r=g^(4-i)(n)=g(g^(3-i)(n))であるからRの定義に反する。
また、i>3のとき、g^i(n)=g^4(g^(i-4)(n))=2g^(i-4)i(n)だから後半も成り立つ。

(iv)Rは奇数からなる無限集合（したがって加算）である。

Rの元が奇数であることは（iii）でi=0とすればいい。
Rが有限とする。
Rt={g^i(r);r∈R,i∈N}とするとき、（iii）より、Rtは有限個の奇数しか含まない。
そこで、これに含まれない奇数をnとする。
R⊂Rtだから、n=g(n_0)となるn_0がある。すると、n_0はRtに含まれない。
したがってn=g(n_1)=g^2(n_2)を満たす、Rtに属さないn_1がある。
これを繰り返して、
n=g^4(m)=2mを満たすmがある。しかしこれはnが奇数である事に反する。

（v）数列a_nをa_4r∈R,a_(4r+i)=g^i(a_4r)（0≦i<4）
と定義する。ただし、｛a_4r｝にはRのすべての元が一回ずつ重複なく現れるように取る。
この時、a_nは奇数だけからなり、すべての奇数が重複なく一回ずつ現れる。

奇数のみからなることはa_nの定義と（iii）から明らか。
すべての奇数が現れることは、(iii)より、Rtがすべての奇数を含むことを、
重複がないことを言うにはa_(4r_1+i)=a_(4r_2+j)のとき、
r_1＝r_2、i＝jを言えばいい。

前者はRtに含まれない奇数をnとすると、（iv）と同じ論法で矛盾をきたす。
後者は、i≧jとしてもよい。gは単射であり、a_(4r_1+i)=a_(4r_2+j)のとき、
g^i(a_(4r_1))=g^j(a_(4r_2))
a_(4r_2)=g^(i-j)(a_(4r_1))
もし、i≠jだとa_4rとRの定義に反するのでi=j.
つまり、a_(4r_1)＝a_(4r_2).　a_4rの定義より、r_1＝r_2。

（vi）
0以外の任意の自然数n=(a_(4r+i))2^m(0≦i<4)に対して、g(n)は上で定義したa_nによって

g((a_(4r+i))2^m)=a_(4r+i+1))2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=a_(4r)2^(m+1) (i=3の時)
とかける。

g((a_(4r+i))2^m)
=g^(4m+1)(a_(4r+i))
=g^4m(g(a_(4r+i)))　　--☆
ここでi≠3なら、g(a_(4r+i))=a_(4r+i+1)より、
=g^4m(a_(4r+i+1))
=a_(4r+i+1))2^m

また、i＝3なら、
g(a_(4r+3))
=g(g^3(a_4r))
=g^4(a_4r)=2*(a_4r)
よって
☆＝g^4m(2*(a_4r))
=a_(4r)2^(m+1)

[証明終]

具体例を作りたければ、例えばa_n = 2n+1とすればいい。

つまり以下のようになる。
0≦i<4のとき、
g(0)=0
g((8r+2i+1)2^m)=(8r+2(i+1)+1)2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=(8r+1)2^(m+1) (i=3の時)

>>27
a_nを負の添え字まで拡張して負の奇偶まで考えれば上と同様。
特に最後の具体例はそのまま適応できる。
どや？
もしかしたら、群論とか半群論の言葉をつかってもっと綺麗に言い表せるのかもしれないが。
わからん。誰か頼む。いい方法ないの？

ミス。負の添字はいらない。

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313

[S]
東大
弁護士
Bパート

>>331
いいなぁー

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
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3313

[S]
東大
弁護士
Bパート

ノート
やさい
歯ブラシ
牛乳
やよい

[S]
東大
弁護士
Bパート

[A]
TS10
SBR
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EMPC
MPE
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3313
145
53A3
6236

Aを有限集合とする。
Aの元がｎ個のとき写像ｇ：A→Aに対して
ｇ^ｎ(A)＝ｇ^(ｎ+１)(A)であることを示せ.

がわかりません。
どなたか分かる方いたら教えてください(＞＜;

ｇ^ｎはｎ個のｇの合成写像です。

>>49
それは、互換 (12) の2乗と3乗が等しいことを主張しているね。

ノート
牛乳

[S]
東大
弁護士
Bパート

>>50
どういうことですか（？。？

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
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SINX
VF1M4
VF1L2
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EMPC
MPE
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53A3
6236

>>53
>>50じゃないが、どういうこともなにもそのままの意味だろ、
n=2のときg=(1 2)だったらどうだってこと。

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左

ミクロ
息抜き

流す

[S]
東大
弁護士
Bパート

口に出す

ドルとシャルケー戦

でそう出てなかったゲップが出た

さっきの地震怖かった

>>53
あら済まない．
g^n(A) を g^n(x) と読み違えていた．

g^k(A)⊇g^{k+1}(A) であることと
k で等号が成立すれば m≧k で g^m(A)=g^{m+1}(A) となることを使う．

[S]
東大
弁護士
Bパート

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除

[A]
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SBR
VFK10
TKK
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LCCR
SINX
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145
53A3
6236

[S]
東大
弁護士
Bパート

[A]
TS10
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[S]
東大
弁護士
Bパート

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除

[A]
TS10
SBR
VFK10
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EMPCB
EMJ

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除
左翼右翼

[A]
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SBR
VFK10
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SINX
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EMJ

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除
左翼右翼

[A]
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ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
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左翼右翼

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TS10
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LP
CJ
F4

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除
左翼右翼

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東大
弁護士
Bパート

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SBR
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[S]
東大
弁護士
Bパート

[A]
TS10
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53A3
6236
EMPCB
EMJ
LP
CJ
F4
LC

デビル

[A]
TS10
SBR
VFK10
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EMPC
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145
53A3
6236
EMPCB
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F4
LC

[S]
東大
弁護士
Bパート

　|>､＿_ ／|ﾌ
　〉｡,　o　く　/＼
　 b ～　O ヽ〉 /
　（>　＜ノ ∨
　　（､＿（、ノ
　　￣　￣

有限体とかそんな面倒臭そうなものよく考えられるねキミ達

「へべ屁＝包茎割礼豚へ」ことアホベタがあばれまくっているのねええ
こいつらも退治してくだされ　仙石殿！！

http://img57.imageshack.us/img57/4061/99036737ha9.jpg

台数に限らず、有限はめんど臭いのが多い。

これを話題豊富という人もいれば、美しくないという人もいる。

線形代数で出てくる商集合とか商空間というのがイマイチ良く分かりません。

先生に「商集合の考え方が分からんと、数学科の学生としては厳しいよ・・・」とか言われるんですが
そうでしょうか。

>>105
俺が学生の頃も、商集合（同値関係で割る）とツォルンの補題

おっと、途中で送ってしまった orz

>>105
俺が学生の頃も、商集合（同値関係で割る）とツォルンの補題と
後何かひとつ（ジョルダン標準形だったか、ガロア理論だったか）を
それなりにこなせるようになったら、数学科卒って言っていいよ
みたいな事を言ってた先生がいたよ。
難易度がどうっていうことじゃなくて、ほかの学部学科では馴染みのない
数学科の特色みたいなものだから、というような理由だったと思う。

「商集合がわからないと数学科卒業できないよ」は正しいが、
「商集合（など）がわかれば数学科卒と言っていいよ」はハードル低すぎだろｗ

ん？「（大学卒業後に）胸張って言っていいよ」って忌み名。
別に単位全然なのに卒業させてやるよみたいな変な意味ではないよ。

商集合は数学ならでは、って感じだな。
アレも商集合、コレも商集合で、商集合なしで数学は出来ないけど他の分野じゃ出てこない。
ツォルンの補題はいかにも基礎っぽいが、使ったのは線形空間の基底の存在だけだった。

ツォルンの補題なんて、代数の本見たらあちこちで使ってるけど。

>>110
なんちゃって数学科ｗ

>>111
まともな代数の本なんて読んだことないが、どんなので使ってるんだろ？
出席しなかった群論の単位を取る試験のため、人から借りた教科書で勉強したときは無かったなー。
(出席しなくても先生の書いた教科書を買って読めば試験で単位が取れるやつだったが、買わなかった)

行列 A のルート A^{1/2} の計算について
A^{1/2} = {I + (A-I)}^{1/2}
= I + (1/2)*(A-I) - (1/8)*(A-I)^2 + (1/16)*(A-I)^3 - ・・・
自分はこれで収束する場合に近似(数値)計算するくらいしか考えつかないのですが、
Mathematicaだと MatrixPower[A,1/2] で、なにやら厳密解らしき値がでてきます。
一体どういう計算を行っているのでしょうか？ Mathematicaで採用されている方法でなくてもいいので教えてください。

>>113
掘田良之さんの代数入門とか？
わりと使われてるかんじだが。

>>114

対角化、ないしジョルダン標準化ではないか？

>>115 ありがとうございます
一般のジョルダン標準形については難しそうかと思いきや
J = {{a,1,0},{0,a,1},{0,0,1}} みたいな時の
J^{1/2} = a^{1/2}*{I + (J-I)/a}^{1/2} の冪展開は有限で終わるので結構単純でしたね
a = 0 の時は不定のように思いますが Mathematicaではゼロ行列を返してきました。

問題
K を標数 p ＞ 0 の体とする。
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
m ≧ 0 を任意の整数とする。
このとき f(X^(p^m)) は常に既約か？

age

>>117
バカw

>>119
貴方様のその類稀なる優秀さを存分に生かして『現代数学の意義とその
将来の展望』をこの場にてご披露して下さいませ。貴方様の高い能力、
深い見識、豊富な知識、深い理解と、そのどれを取っても我々凡俗には
とても及びません。その溢れんばかりの知力をこの場にてお示し下さい。

猫

>>117
X は既約だが X^(p^m)、m ≧ 1 は可約

>>119
お前の知性とやらを見せてみろよ。

痴性に溢れるβ

★★★お返事が無いので再掲します。★★★
>>119
貴方様のその類稀なる優秀さを存分に生かして『現代数学の意義とその
将来の展望』をこの場にてご披露して下さいませ。貴方様の高い能力、
深い見識、豊富な知識、深い理解と、そのどれを取っても我々凡俗には
とても及びません。その溢れんばかりの知力をこの場にてお示し下さい。

猫

もう許してやれよ、ただの釣りか煽りだろ＞猫

>>125
いいや、出て来なくなるまで徹底して叩きます。攻撃は永遠に続きます。

猫

★★★お返事が無いので再掲します。★★★
>>119
貴方様のその類稀なる優秀さを存分に生かして『現代数学の意義とその
将来の展望』をこの場にてご披露して下さいませ。貴方様の高い能力、
深い見識、豊富な知識、深い理解と、そのどれを取っても我々凡俗には
とても及びません。その溢れんばかりの知力をこの場にてお示し下さい。

猫

かくして良スレが壊されるのであった。
良スレを壊すのって簡単だね。

どうせやるなら、一分置きに書け続けろや、根性無しが。

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
失敗作

テロ資料忘れずに

分からない問題はここに書いてね362
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1321363629/685-694

685 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/12/04(日) 18:19:35.00
Z を整数環として、P ⊂ Z[X_1 , … , X_n] を整数係数 n 変数多項式環の素イデアルとする。
このとき、Z ∩ P = {0} ならば P は極大イデアルではないことを示せ。

多分成り立つはずなのですが示せません。どなたかお願いします。

686 名前：682[sage] 投稿日：2011/12/04(日) 18:28:20.84
>>684
スレ違いだったようです　誘導ありがとうございます

687 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/12/04(日) 19:10:18.09
>>685
例えば P に 2 を添加してみる P'=<P,2>
{2,4,6,...} ⊂ P'- P
{1,3,5,...} ⊂ Z[X_1 , … , X_n] - P'
よって
P ≠ P' ≠ Z[X_1 , … , X_n]
P は極大イデアルではない
素イデアルの条件を何も使ってないからどこか間違ってるかも‥‥

688 名前：685[sage] 投稿日：2011/12/04(日) 20:45:05.29
>>687
回答して下さりありがとうございます。
ただし、4行目の包含関係は間違っていると思います。3行目から4行目は出ません。

なお、「任意の素数 p に対して P + (p) ≠ Z[X_1 , … , X_n] 」とはできません。
例えば、n = 1 で P = ( p X + 1 ) とすると、P + (p) = Z[X] となってしまいます。
おそらく、P の生成元の全係数を割らない素数を持ってくればできるのではと考えていまが、
示せません。或いは、もっとスマートな方法があるかもしれませんが。

689 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/12/04(日) 22:02:46.43
これ見かけによらず相当難しいよ(n≧2のとき)

690 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/05(月) 05:27:49.54
>>688
>P = ( p X + 1 ) とすると、P + (p) = Z[X]
ここ詳しく教えてほしい。
P + (p) を両サイドを含む最小イデアルと解釈すると、これて例えば 1 は含まないよね？

691 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/12/05(月) 09:04:28.01
何言うてんの君

692 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/05(月) 09:18:27.43
俺もよく分かんないだが 1 は含まないんじゃね？

693 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/12/05(月) 09:26:34.25
それは全然分かっとらんわな

694 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/05(月) 10:01:28.79
あ、理解した
-2X + 2X+1 = 1
1 含むね。

>>107
ガロア理論でないか？
さすがにジョルダンは‥‥‥

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　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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簡単な質問だと思いますが、
(x^n)^-1=(x^-1)^n を代数学的に説明すると、どう

帰納法

ああ、証明じゃなくて説明か
代数学的な意味？そんなものあるのか？

ある操作をn回やった後逆向きの操作をn回するともとにもどる

というのはどうですかね

【x^nの逆元はxの逆元のn乗に等しい】とか？
意味というか式を文章で言い換えただけだけど

代数の教科書、一冊目は何がいいの？
桂？松阪？

上野

宮西
代数幾何と似た丁寧だがしっかりしたノリ

>>142
桂はしらね、
松坂のいいところ、予備知識不要、問題付き
但し同著者の解析入門、集合・位相に比べると難しい

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sage

> 685

雪江代数3巻の演習問題2.4.3(p.108)と巻末のヒントがある。要するに体上の正規化
定理をZの局所化上で考えるようにすればよい。

え？

>>137
冪乗が可換。

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可換環Ｒ上のＲ加群の双対とテンソル積について誰か教えて
２つのＲ加群ＭとＮに対して「Ｍの双対加群とＮの双対加群とのテンソル積」と「ＭとＮとのテンソル積の双対加群」は常に同型？それとも同型にならない場合がある？
双対加群のテンソル積からテンソル積の双対加群への自然なＲ準同型は作れるんだが、これが同型かどうかサッパリ判らんのよ

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>>170
Z^2⊗Z^2 の双対で (n1,n2)⊗(m1,m2)→n1m1＋n2m2 を考えると
これは双対加群のテンソル積に対応しない。

有限生成自由加群なら双対のテンソル積とテンソル積の双対は同型。
n1m1 と n2m2 が双対のテンソル積から来ていれば加群なので、その
和も当然双対のテンソル積から来る。有限生成でない場合は成り立たない。
雪江明彦「代数学３代数学のひろがり」の４章の演習問題に反例が
ある。巻末もヒントも一緒に読めばわかるはず。このシリーズは３巻
まで読んだが、こういったことの反例とか、演習問題のレベルは高い。

有限生成自由加群より一般に、有限生成射影加群でも良い

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>174
ありがとう
射影的で有限生成なら確かに成り立ちそうな気がする,頑張って証明してみる
ちょうどついさっき,今考えてる対象は有限生成で射影的なものだけを
考えればいいいうことが判ったばかりなので非常に助かった
今まで常に同型が成り立っていたのはやはりこういう必然性があったんだな
>173
無条件では成り立たないんだね
その反例気になるので教えて貰った本探してみる

>172
反例ありがとう
しかし、双対加群の元
　f1：(n1,n2)→n1　　　f2：(n1,n2)→n2
　g1：(m1,m2)→m1　　　g2：(m1,m2)→m2
のテンソル積
　f1⊗g1+f2⊗g2
がその写像に対応するのではなかろうか
俺の読み間違いならツッコミたのむ

それよりテンソル積の記号「⊗」はどうやってタイプしたの？

コピペ

ていうか>>173が成り立つから>>172は反例にならないのでは？

わりぃー、思いつきを書いて失敗した。
「⊗」はMacだから文字パレットから簡単に出せる。
また反例を思いついたが、checkしてないから又まちがいかも。
環として多項式環から0以外の定数を除いたのを考えて変数の次数を1下げる写像ってのを考えたが、どうかな？
R⊗R→R なら下げれるが R→R では下げれない。

(V⊗V)^* の元が V^*⊗V^* からきているかどうかを問題
にしているのに (V⊗V)^* の元も与えていない。反例に
なっているか以前に論理を勉強しなおしたほうがよい
ですよ。

見た目が汚ねえテンソル積だな。

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ウザイ
誰かこいつを書込禁止にしてくれ

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>>186
だったら忍法帖入れろ

>>172
Macだと簡単に出せるんですか。自分はコピペするしかないのか～
反例の方ですが、環が単位元を持たないので>>174の条件は成り立たないですが
結局 (R⊗R)^* = R と (R^*)⊗(R^*) = {定数項と1次の項が0の多項式全体} となって
次数を1下げる写像でR同型になるんじゃないかと思います。
どうも有難うございました～

windowsでもlinuxでも出せる

>>190
空振り続きでネタ切れ～
失礼しました。

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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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互いに素って
　relatively prime
　coprime

どっち使います？自分は下のほうを使うけど、書物なんかは上が多い気が

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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４ and 9 are relatively prime.
4 is coprime with (to?) 9.
同じ意味だろ

mutually disjoint

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aとbが互いに素であることを a⊥b と表記してる本があったけど
この表記使う人結構いる？

いない

生まれて初めて見た
死ぬまで次は見ないかもしれない

互いに素という言葉を頻繁に使う必要があれば、それを表す記号があったほうが便利だろ。
一般に使われている記号がないときにその本の中で一時的に記号を定義して使うぶんには問題ない。

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>>200
最大公約数を使って
GCD(a,b)＝1
なら見た事ある。

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適当な意味で内積っぽい二変数函数FがあってF(x,y)=0（乗法的なやつとかだとF(x,y)=1）なのを
x⊥yって書くのはそんなに珍しいこともないと思うがなあ。

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test

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基本的な事ですが質問させてください。
primitiveな多項式は次数に飛びがあってはいけませんよね？
例えば(1)は係数が全て素数で次数がちゃんと並んでいるので普通のprimitiveな多項式ですが
(2)だとx^3, x^5, x^7の係数が0即ち最大公約数が1ではなくなってしまいます。

(1) f = 8209x^5 + 8219x^4 + 8221x^3 + 8231x^2 + 8233x
(2) g = 8161x^8 + 8167x^6 + 8171x^4 + 8179x^2 + 8191x

以下のアルゴリズムを参考に多項式の最大公約数を計算するプログラムを書いてみたんですが
次数に飛びがあると正常な結果が返ってきませんでした。
ttp://books.google.co.jp/books?id=NuEHj0wPwgIC&lpg=PA205&hl=ja&pg=PA168#v=onepage&q&f=false

どなたかご教示お願いします。

一覧の下の方にあるようなのでage

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有限生成で射影的なR加群Mが双対加群M^*とR同型にならない例ってありますか？

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R=Z/2Z x Z/2Z, M=Z/2Z なら M は射影的
M^* = Z/2Z x Z/2Z

今のは間違い。

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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>218
あるよ
ヒント：類数 3 の整数環を取る。

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V=V(XW-YZ)、O(V)=k[X,Y,Z,W]とする
X,YのO(V)についての剰余類をx,yとする
x/yの極を求めよ

答えがV(Y,W)なのは分かってるんですが、証明がわかりません…
x/y=z/wだから、y=w=0の点全体、というのでは足りないらしく、x/y=f/g
(f,g∈O(V))とおいて、f/gの極がV(Y,W)になればいいと言われたんですが…どなたか分かる人いませんか…お願いします…。

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>>225
ありがとう。
しかし類数3の整数環・・・何のことだかサッパリだ。
ともかく成り立たない場合があるということで有難う。

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質問させて下さい。
テンソル積を'*'で表すことにします。

A,BをC-代数とします。
A*B上の双線形写像
　φ:(A*B)×(A*B)→(A*B)
を各(a*b,a'*b')∈(A*B)×(A*B)に対し
　φ(a*b,a'*b')=(aa')*(bb')
となるように定めたいのですが、
これが well-defined であることは
どうやって示せばいいのでしょうか？

普遍性を手を動かして具体的に書けば終了

too many, aborn

てｓ

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代数的閉体

NをGの正規部分群、PをGの一つのｐシロー群とすると、
NP／NはG／Nのｐシロー群であることを示せ。

という問題が解けなくて本当に困っています。
助けてください。

すでにシロー群の定義さえ忘れたー、勉強し直さんと答えられん問題だわ

>>241
シローの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

俺のパンツうｐするからお願いします。

240は釣りか？

>>240

ｐシロー群であることを示すには

Na*NbについてNa*Nb=N(a*b)　及び　(Na)の逆元がN(a^(-1)）
であることを示すんだよ。
あとはわかんね

アホすぎ

>>244
ありがとうございます。でも、わかりません

|NP/N|=|P/P∩N|よりNP/Nはp-群
[G/N：NP/N]=[G：NP]は[G：P]=[G：NP][NP：P]を割り切るからpと互いに素
よって明らか

直線状の組合せ
って何でしょう

もしかして：linear combination の俺訳

おもれー

保守

直線状のなら
lineal

代数

代数学の問題です。

①次を満たす整数ｘを求めよ。

x≡1(mod37)
x≡8(mod31)
0≦x≦1146

②-1 73を法とした10の位数を求めよ。②-2 73を法とした2の位数を求めよ。

解答よろしくお願いします。

ゴルチ

運営乙

指数2の部分群って正規部分群になる証明教えてください！！！！！！

そろそろロシアの堪忍袋の緒が切れて
アメリカとNATO軍との核戦争に突入かな。
人類最後の戦争になるかもね？

群Gの部分群Hの指数[G:H]=2とする。g∈G、h∈H とする。
g∈H なら、gh∈H と h=gg^(-1)h∈gH より、gH=H
g∈/H なら、gh∈G かつ gh∈/H より gH⊂G\H
左剰余類はGの元を類別し、かつ、[G:H]=2 であるから、g∈/H なら、gH=G\H が従う。
右剰余類についても同様にして、g∈H なら、Hg=H、g∈/H なら、Hg=G\H が言えるから、
結局、任意のg∈G について、gH=Hg が成り立つ。

>>259
２行２列の表を書いてみたらすぐわかること

>>261
あざっす
>>262
どゆこと？

>>262
どんな表？

場合分けをそんな風に言ってみただけ

いみふ
どんな場合分けが可能かは、場合わけ結果である表からは出てこない

What are ideals in a field (F,・,+)?

という問題です。どんなのがイデアルになるんでしょうか?

{0},F

非自明なイデアルが無い事はどうしてわかるんでしょうか?

Fの0でない元は単元だから

逆も真
環Fのイデアルが自明イデアルだけなら、{0}はFの極大イデアルだから、F/{0}=Fは体

さすがに教科書読め以前の問題な気がする

>>267
>(F,・,+)

意味は分かるが、なかなかクソ真面目な表現だなw

質問です．

A, Bを単位元を持つ可換環としてf:A→Bを環準同型，mをBの極大イデアルとします
fによるmの逆像nはAの素イデアルですが，
fが全射のとき，nはAの極大イデアルになると言えるでしょうか？
証明しようとするとなかなかうまくいきません

>>274
A のイデアル I が n ⊂ I ⊂ A を満たすとする。
n ≠ I として I=A を示す。
a ∈ I-n をとると、f(a) は m に属さない。
m は B の極大イデアルであるから、ある b_1∈B,b_2∈m で
　b_1 f(a) + b_2 = 1
とできる。f は全射だから f(a_1)=b_1,f(a_2)=b_2 となる a_1∈A,a_2∈n がとれる。
すると、
　f(a_1 a + a_2)=1
　f(a_1 a + a_2 - 1)=0
　a_1 a + a_2 - 1∈Kerf⊂n⊂I　…(*)
a∈I,a_2∈n⊂I と(*)より 1∈I が得られ、I=A を得る。
したがって n は極大イデアル。□

別解
準同型定理により、A の Kerf を含むイデアルと B のイデアルは
像、逆像をとることにより1対1に対応する。
この対応は包含関係を保つから、極大イデアルの逆像は極大イデアル。

別解
準同型定理の系から、A/n と B/m は同型。
B/m は体だから A/n も体。
よって n は極大イデアル。