面白い問題おしえて〜な 十八問目

>>415に もう1つ質問をしておこう。

問題：連続関数 f：R → R で、

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は(A)を満たすことが簡単に
　　　確認できる。しかもfは連続関数であり、fの値域はRだから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]


この解答について、>>415はどう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]〜[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」

と主張するのか？

>>417
＞つまり、君は「 Pが真であること 」を先に証明してしまったわけ。…★★
意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。

それを示さない限り★★の主張は誤り。

>>419
[3.1]は>>252の問題の場合は
3条件(R)の中から、1つの条件(Q)を導き出す過程に等しい。
「P => Q」と、「Pが真である。」ということは同時に証明されるので、どちらが先も後もない。
ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。

[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。

>>421
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
そこは抜けていていいんだよ。質問の意味分かってる？
もう少し丁寧に書くぞ。


問題：連続関数 f：R → R で、

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は、任意のx,y∈Rに対して f(y)^2＝2*f(x)−1 を満たすことが
　　　簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1−1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、
　　　この関数は(A)を満たす。しかもfは連続関数であり、fの値域はRに含まれるから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]


この解答について どう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]〜[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」

と主張するのか？

(続き)あるいは、この解答について

「 [3.1]〜[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない 」

などと主張するつもりか？


>>421
＞ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。
意味不明。君が言うように、本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、

"「 P ⇒ Q 」の証明が「Pが真」の証明を兼ねている"

ということは有り得ない。当然、

"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"

ということも有り得ない。
なぜか？もし本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、
その証明をSと置けば、Sという証明は「 Pが真だと仮定する 」という仮定を
最初に置いてしまっているので、Sの全ては「Pが真である」という仮定ありきでの
証明にすぎない。実際にその証明Sを機能させようとしたら、「Pが真である」という仮定が

"実は仮定ではなく、実際に成り立つ事実なのだ"

ということを追加で証明しなければ(すなわち「Pが真である」を追加で証明しなければ)、
証明Sは機能しないのだ。

"証明Sが得られた段階で、この証明Sは「Pが真」も同時に主張している"

などということは有り得ないのだ。

もし未だに

「 同時に証明される 」

などと思っているのなら、もう一度言うが、それは

・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。

ということに過ぎない。
本当に「 P ⇒ Q 」しか証明してないのであれば、

「その証明は、"Pが真" の証明を兼ねている」
「その証明によって、"Pが真"も同時に言える」

などということは有り得ない(理由は>>423に書いたとおり)。

>>422
＞「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]〜[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」
そんなことは一言もかいていない。想像で書くのをやめていだだきたい。

>>423
＞「 [3.1]〜[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない 」
>>421で
[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。

＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
そうであれば、>>420で書いた
＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
に対して答えてもらいたい。

>>425の訂正
＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
の下に
＞ということも有り得ない。
を追加

>>425
＞そうであれば、>>420で書いた
＞＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
＞に対して答えてもらいたい。
君の証明方法に こだわる限りは、

・(*)のチェックなしには「 P ⇒ Q 」は証明できない

のである。すなわち

・「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」という確認なしには、「 P ⇒ Q」は証明できない

のである。これは、「解になることのチェックが先」ということを意味する。
この時点より後に「 P ⇒ Q 」を証明する過程が続いている必要は無い。
君は「続いてなければおかしい」と言うが、おかしくない。
証明の優先順位として、「解になることのチェックが先」なのだから、
それは「Pが真」の証明が先だということ。
(ということを何度も言っているのだが、おそらく、この話は平行線のままだろうな。)

そして、君の証明方法に こだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
証明することは出来る。ただし、この場合、君が主張するような

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果によって、「Pが真」も言えている"

ということは起きない。

あるいは、「(*)のチェックが どうだこうだ」とかの話題とは関係なしに、
>>423の切り口で説明してもよい。

本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないのなら、その証明をSとすれば、
Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
証明しておかなければ、Sは全く機能しない。


つまり、本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないなら、

"「 P ⇒ Q 」の証明Sの結果として、「Pが真」も言えている"

ということは起きない。証明Sを活用するためには、
「Pが真」を追加で証明しておかなければならないからだ。

>>425
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
＞と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
＞x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。

残念だが、>>422は 完 全 に 正 し い 証 明 です。
どこにも誤りは無い。

[2.1]は "必要条件" についての言及なのであって、十分条件だとは一言も言ってない。
もし[2.1]が十分条件について言及しているのであれば、確かに全てのx,yについて
考慮しなければならない。一部のx,yしか考慮してないなら、それは「十分」では無いからだ。

しかし、[2.1]は必要条件についての言及しかしていないで、
一部のx,yだけしか考慮していなくても、何の問題も無い。

「必要条件を導くのに、全てのx,yについてを考慮する必要は無い」

ということさえ、君は分からないのかね？
じゃあ、十分条件はどうするのかと言うと、まさにそれを[3.1]で行っている。
すると、[3.1]により、f(x)＝1は十分条件だと分かるから、以上により、
f(x)＝1が "必要十分条件" だということが判明する。
つまり、[1.1]〜[2.1]は必要条件の話をしていて、[3.1]は十分条件の話をしているわけ。
そして、必要条件の部分では、全てのx,yについて考慮する必要は無いから、何も間違ってない。
一方で、[3.1]は十分条件の話だから、全てのx,yについて考慮しなければならないが、
実際、[3.1]では考慮しているから、ここも何も間違ってない。

結局、君は証明というものを何も理解してなかったということだ。
必要条件と十分条件の違いも分かってない。
それでもまだ「>422の証明は間違っている」と思うなら、コメントをどうぞ。

ついでに、もう1つ質問しておく。

問題：関数 f：R → R について、次の (あ) が真であることを示せ。

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つならば、関数fは定数関数である」… (あ)

解答その1：
(あ)の仮定をPと置き、(あ)の結論をQと置く。すなわち、
P「任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つ」
Q「関数fは定数関数である」
と置く。このとき、(あ)は「 P ⇒ Q 」を意味するから、これを証明すればよい。
まず、Pは偽であることに注意する。
実際、Pが真だとすると、x＝y＝0を代入してf(0)＝f(0)＋1となり、0＝1となって矛盾する。
よって、背理法により、Pは偽である。
以上により、「 P ⇒ Q 」は真である(「A ⇒ B」という形の論理式は、Aが偽のとき常に真であるから)。

解答その2：
[1.1] 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つと仮定する。
[1.2] このとき、y＝0を代入して整理すると f(x)＝f(0)−1 となる。
[1.3] 左辺のxは任意であり、右辺は「f(0)−1」という定数であるから、確かに関数fは定数関数である。
[2.1] よって、(あ)は真である。


この2種類の解答について、どう思うかね？
どちらも間違った証明だと思うかね？
「なんだ、Pを満たす解fは1つも存在しないのか。だったら、そもそも(あ)は真ではない。(あ)は偽である」
と思うかね？

>>427
＞そして、君の証明方法に こだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
＞証明することは出来る。
その証明方法がどのようなものかを示すべき。

このように述べておきながら
>>428では
＞Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
＞Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
＞証明しておかなければ、Sは全く機能しない。
としている。この2つの内容に矛盾があるのは明らか。

>>429
問題は
＞問題：連続関数 f：R → R で、

＞「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

＞を満たすものを全て求めよ。

はとなっているから、全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
間違っている。
つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
解答としては不適切だ。

全ての関数を求めよとなっているのにも関わらず、解くのに都合のいい条件のみしか
考えて、必要条件だけを求めればよいと解釈するのは間違い。
問題に(A)を満たす関数を1つ求めよとか、満たす関数が存在することを示せとなっているので
あれば、上記の証明でも問題はない。

>>432の訂正
×はとなっているから
○となっているから

×解くのに都合のいい条件のみしか考えて
○解くのに都合のいい条件のみしか考えずに

>>432
お話にならない。君は本当に証明というものを理解していない。
いや、「論理」を理解していない。


＞全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
＞間違っている。
そうだよ。だから、全ての関数を求めているでしょ。
f(x)＝1という関数しか無いんだよｗ

＞つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。
適切です。(A)をよく読みなさい。
「任意のx,yに対して成り立つ」と書いてあるだろ。(A)は

「この関数は、x≠yとしても成り立ちます」
「なおかつ、この関数は、x＝yとしても成り立ちます」

と言っているのだ。2行目が見えないのかね？
x＝yとしても成り立つと言っているのだから、
わざわざ最初にx≠yを代入する必要は無い。
まずはx＝yを代入してチェックすればいい。
で、その時点でf(x)＝1しか出てこないから、そこで終わり。


自分で>>422の問題を解いてみろよ。
いかに自分がトンチンカンな発言してたかが分かるから。

>>431
行数が多いから書くのを控えていたが、要求されたなら書くしかあるまい。
2レスに渡って書く。

f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 … (A)

[1.01] (A)を満たす多項式f(x),g(x)が存在すると仮定する。
[1.02] f(x),g(x)は互いに素でなければならないことが簡単に言える。
[1.03] 特に、f(x)もg(x)も "恒等的に0という関数" では無い。
[1.04] 次に、(A)式でxをx±1に置き換えた式を考えると、
　　　 f(x){g(x-2) + g(x+2)} = g(x){f(x-2) + f(x+2)}が得られる。
[1.05] f(x)とg(x)は互いに素だったから、ある多項式p(x)が存在して
　　　 p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)，p(x)*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
　　　 が成り立つ。
[1.06] p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、両辺の次数を比較すれば、
　　　 p(x)は定数でなければならない。よって、p(x)≡aと表せる。
[1.07] 次に、a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、f(x)の最高次の係数をbとして、
　　　 両辺の最高次の係数を比較すれば、a*b = b + b すなわち「a＝2またはb＝0」となる。
　　　 f(x)は恒等的に0という関数ではなかったから、b≠0であり、よってa＝2である。
[1.08] 今の段階で、2*f(x) = f(x-2) + f(x+2), 2*g(x) = g(x-2) + g(x+2) が成り立っている。
　　　 これを解くと f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)となる。
[1.09] これを(A)に代入すると、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1となり、
　　　 C4*C7 - C5*C6 = 1/2 が得られる。

(ここで[1.01]の仮定は打ち切る。)

(>435の続き)

[2.01] 以上により、「(A)を満たすf(x),g(x)が存在するならば、
　　　 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2
　　　 でなければならない 」ということが言えた。

[3.01] 次に、 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2 と置く。
[3.02] このときf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1 となるから、このf(x), g(x)は(A)を満たす。

[4.01] 以上により、「f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、 C4*C7 - C5*C6 = 1/2」のみが求めるf(x),g(x)である。[終]

>>426
>>378だが、「条件Pを満たす関数fが存在すると仮定する」の意味が分からないみたいだな。
条件P自身から関数fを直接的に構成したり或いは同値性を保ったまま具体的に構成出来たなら確認の作業は必要ないが
条件Pを満たす関数fが存在するという仮定から、解になるfを例えば論理的に逆が言えないように、
間接的に構成出来た場合は、条件Pを満たす関数fの存在性は保障されていないから確認作業は必要だ。
で、>>252の解答の場合、f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1とf(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1から
f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))
を導いた時点で、f、gはもとの条件を満たすかどうかが怪しくなってて逆が言えない訳だ。
だから求めたf、gは本当に満たしているのかという確認作業が必要になる訳だ。

>>426
これで分かったろ？

>>434
x = yとして求めた関数がf(x) = 1であり、x、yに依存しない定数となるから
x≠yの場合もこれが(A)を満たすことは当然。
初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
それを検証しないのは、不適切。
しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。

>>435
[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
[1.09]を示した時点で
「P => Q」の証明は完了している。

>>432
＞つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。

もう一度言うが、(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立つ

という性質を持つ関数f のことを言うんだぞ。
二行目が読めないのかね？



君が言っていることは まるで、

「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
　x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が 成 り 立 た な い
　という性質を持つ関数fについて検証しろ」

というふうに聞こえるぞ。
もし君が このような主張をしているのなら、それはバカバカしすぎるぞ。
なぜなら、そのような関数は そもそも(A)を満たしてないから、
最初から考慮する必要が無いからだ。


君は何を勘違いしているのだね？

>>437
その確認作業が必要ではないなどということは書いていない。
そのことは>>415にも書いている。

>>439
＞[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
＞[1.09]を示した時点で
＞「P => Q」の証明は完了している。

「 P ⇒ Q 」の証明は、最初から[1.09]の時点で完了しているのだが？


で、もう1つ。君は "[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返している"
と言っているが、決して同じことではない。
なぜなら、[1.09]の議論は「Pが真ならば」という仮定のもとでの議論だからだ。

・[1.09]と[3.01]&[3.02]は、同じことではない
・[1.01]の仮定を取り除いたバージョンの[1.09]を考えると、それは[3.01]&[3.02]と同じ。

君はこの違いが分からないから、
トンチンカンな発言を繰り返しているのだろうな。

>>439
＞初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
＞それを検証しないのは、不適切。
＞しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。

>>440を参照のこと。君は何かを勘違いしている。君のそのレスは、まるで

「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立つが、
　x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が 成 り 立 つ の か 不 明　
　という性質を持つ関数fについて検証しろ」

と言っているように見えるぞ。だが、そんな関数は最初から
(A)を満たしていないのだから、考える必要が無い。

>>440
x = y、x ≠ y両方の場合に対して関数f(x) = 1が条件(A)を満たすことは自明。

問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。

>>440の後段は、全くそのような内容は主張していないので、意味不明な理解を
示すことは止めていただきたい。

バカの小競り合いはいつもこの調子だな
アスペ×２なのかな
専用スレでも立ててそこでやれ

>>444
＞問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。

(A)を満たす関数とは、

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立つ

という性質を持つ関数fのことを言う。言い換えれば、
(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)^2＝2*f(x)−1 が成り立つ (←左辺がf(x)^2になっていることに注意)

という性質を持つ関数fのことを言う。もっと言い換えれば、
(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ

という性質を持つ関数fのことを言う。
君はたぶん、最後の2つの条件について分かってない。

「 x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ 」

という性質を持つ関数は、f(x)＝1(∀x∈R)という関数以外には無い。
このことは理解しているか？

>>446
だから
＞x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち
この条件を満たす関数にf(x) = 1が存在することは理解している。

これ以外にないということが何故言えるのかということを問題にしているのが理解できないの？

そもそもf(x) = 1を導き出すのにx = yの拘束条件を課しておきながら、
た　ま　た　ま
x ≠ yの場合にも条件(A)が満たされるからと言ってx ≠ yの場合に条件(A)を満たす関数が
f(x) = 1のみであるということは示すことはできない。

>>447
本当に理解してないんだな。
じゃあ、少し別の切り口で解説しよう。次の問題を考える。

問題：写像 f：{1,2,3} → R で、

「 任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

(注意：この写像fは、定義域が{1,2,3}だから、f(1),f(2),f(3)が決まれば、それで写像fは決まるのだ)


解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R が存在すると仮定する。
x＝y＝1を代入して、f(1)^2＝2*f(1)−1となる。よってf(1)＝1となる。
x＝y＝2を代入して、f(2)^2＝2*f(2)−1となる。よってf(2)＝1となる。
x＝y＝3を代入して、f(3)^2＝2*f(3)−1となる。よってf(3)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1という写像f：{1,2,3} → Rについて考える。
任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝1, 2*f(x)−1＝1 だから、
f(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。

以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R は
f(1)＝f(2)＝f(3)＝1 という写像のみである。[終]


これを見ても、まだ君の勘違いに気づかないか？

>>448
理解できていないから>>447の問いに答えられない。

>>422
残念ながら
>[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
>[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
の部分が間違っている。
[1.2]で行ったのは(A)を満たす関数fの存在性であり、この時点では(A)を満たすfの一意性はまだ示していない。

>>449
君が誰なのかわからない。君は>>447なのか？
もしそうだったら、俺はちゃんと>>447に答えてるよ。
なぜなら、>>448自体が答えだからだ。もっと簡単な例を出そうか？


問題：写像 f：{1,2} → R で、

「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

(注意：この写像fは、定義域が{1,2}だから、f(1),f(2)が決まれば、それで写像fは決まる)


解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝2*f(1)−1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝2*f(1)−1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝2*f(2)−1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝2*f(2)−1

特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、f(1)＝f(2)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)−1＝1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)−1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)−1＝1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)−1＝1

だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]

もっともっと簡単にしてもいいぞ。

問題：写像 f：{1,2} → R で、

「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。


解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。
f(1)＝a, f(2)＝bと置く。a,bを求めたい。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。

(x,y)＝(1,1)を代入して a^2＝2*a−1，　(x,y)＝(1,2)を代入して b^2＝2*a−1
(x,y)＝(2,1)を代入して a^2＝2*b−1，　(x,y)＝(2,2)を代入して b^2＝2*b−1

こうして、a,bに関する連立方程式が4つ得られたわけだが、
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、a＝b＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)−1＝1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)−1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)−1＝1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)−1＝1

だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]

さて、>>451や>>452 では、せっかく4パターンの等式を並べたにも関わらず、
結局のところx＝yの場合の等式しかチェックしていない。つまり、

「x＝yの拘束条件を課して議論しているのと全く同じこと」

である。しかし、証明はこれで正しい。特に、>>452の証明は正しい。
さすがの君にも分かるだろ？

>452の前半部分では、a,bに関する4つの連立方程式が出てきたわけだが、
その中の2つの式だけで、もうaとbが求まってしまったわけ。
じゃあ、そのようにして求めたa,bは、残りの2つの式を満たすのか？
……それを確認してるのが後半部分だ。実際に4つの式を全て満たす。
だから、解はf(1)＝f(2)＝1という写像しかない。


ここで、もし君が言うように、

「都合よくx＝yの拘束条件を課して議論するだけではダメだ」

ということであれば、まさしくそのように議論している>>452は
ダメダメのはずだが、しかし、実際には、>452は正しい証明なわけだ。

つまり、君は何かを勘違いしているわけ。お分かり？
以上。

おかわり！

おわかり！

>>451
くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
君の証明は
y = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
f(y)^2＝2*f(x)−1
は
f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。

>>447に対する答えが>>448であるはずがない。
間違っていることに対して、まともな理由もなく強行に正当性を主張しても、それを他人が
理解することはできない。

>>456
＞くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
物凄い示唆を与えてるよ。


君は俺の証明方法を「間違ってる」と思ってるわけだ。
で、俺は定義域を制限した場合の問題について、
全く同じ証明方法を使ったわけだ(>>452)。

もし君の言っていることが正しいなら、
>>452の証明は間違っていることになるだろ？

では質問しよう。

「>>452の証明の、一体どこが間違いなの？」

答えてくれ。

そうだそうだ！

>>456
＞君の証明はy = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
そうです。
特に、>>452の問題において、y＝xという
拘束条件を課した上で、f(1),f(2)を決定してます。


＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。
>>452では、x＝yという拘束を課した場合の等式しかチェックしていない。
「より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についてのチェック」は、
当然ながら行ってない。じゃあ、>>452は間違ってるのかな？


ほら、言ってごらん。>>452のどこが間違ってるの？

それでそれで？

>>456
＞それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
＞f(y)^2＝2*f(x)−1
＞は
＞f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
＞として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。

この主張を >>452 に当てはめると、次のようになる。

『 それではこの拘束条件を一般化して、写像 g：{1,2} → {1,2} を任意に
　 持ってきて y = g(x)を満たしているとした場合にf(y)^2＝2*f(x)−1は
　 f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2として表される。この式が成立する。
　 f(x)が存在するかを検証しなければならない。』

君は>>452に対して、このような主張をしているわけだ。


で？どうしてそんな検証が必要なの？
>452の問題は、>452の証明だけで完結してるでしょ？
それとも、やっぱり>452の証明は間違ってると？

じゃあ、>>452の証明のどこが間違ってるの？言ってごらん。

そうきたか！ｶﾞﾀｯ

>>459
だから>>452は違う問題。いいように>>419の問題の定義域を変更したものであって同じ
問題ではない。

つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。

もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
証明としては不適切だと述べている。

それも一理あるな

>>463
＞つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。
そうか、>452は正しいのか。
では、Xを一般的な集合として、次の問題を考えよう。


問題：写像 f：X → Rについて、

「 任意のx,y∈Xに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす写像 f：X → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす写像 f：X → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈X) とする。この関数は、任意のx,y∈Xに対して f(y)^2＝2*f(x)−1 を満たすことが
　　　簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1−1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、この関数は(A)を満たす。
[4.1] 以上により、(A)を満たす写像 f：X → R は「f(x)＝1 (∀x∈X)」のみである。[終]



↑この証明方法は、「 X＝{1,2} という集合の場合には正しい 」わけだ。
　君自身が認めたからな。で、君によれば、「 X＝Rの場合には正しくない 」わけだ。


　どうして？

>>463
＞ もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
＞ x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
＞ がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
＞ x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
＞ それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
＞ 証明としては不適切だと述べている。

そんなこと言ったら、>>452だって、
x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、

『 そこで出来た「f(1)＝f(2)＝1」という写像が、がx ≠ yの場合でも
　(A)を満たすことを証明しただけでは、x ≠ yの場合に(A)を満たす
　関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
　それ以外のf(1),f(2)が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
　証明としては不適切だ』


と言えてしまうはずだぞ。でも、>>452は正しいんでしょ？
これはどういうことかな？


このように、君が>>419に対して投げかけている疑問は、
そのまま>>452にトレースできちゃうんだよ。もっと一般化すれば>>456だけどな。
君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。

たしかにそうかもしれない

繰り返しになってしまうが、もう一度書く。

>>465のXについて、X＝{1,2}とした場合の問題文・解答文が>>452である。
また、X＝Rとした場合の問題文・解答文が>>419である。

>465の文章は、Xを与えるごとに「問題文」「解答文」を
統一的にポンと生成する、文章生成機械のようなものである。


さて、>>419でも>>452でも、x＝yの束縛条件下での計算しかしていない。
というか、「f(x)＝1だけが解である」という結論を導き出すための
理屈は、どちらでも全く一緒である。
同じ理屈で「f(x)＝1だけが解である」と言っているのに、君は
「>>452は正しくて、>>419はダメ」と言う。なぜ>>419はダメなのか？君は

「x＝yの束縛下の計算しかやってないからダメなんだ」

と言っているが、それなら>>452も同様の理由でダメのはずである。そこで君は

「 >419と>452は別の問題だ 」

と言うが、たとえ問題が違っても、その解答に使われている「理屈」が
全く同じなのだから、そのような言い分は通用しない。

「違う問題だ」

などと思考停止しないで、両者の証明で使われている「理屈」が
全く同じであることを理解することに努め、そして、
君が大きな勘違いをしていることに早く気づくべきである。

>>466
＞そんなこと言ったら、>>452だって、
＞x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、
>>452の場合は
(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。

＞君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。
私は全く勘違いしていないし、書いたことに何の誤りもない。
勘違いはそちら。

だから、>>456で指摘したことを考慮せずに、つまり初めからx ≠ ｙの場合に対しての
条件(A)を満たすものが存在するかを考えなければ、関数f(x) = 1のみしか存在しえない
ことをいえない。
他人の主張内容は理解できないのですね。分かりました。

おっとー？おっとおっとー？

>>468
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)
これに対してx = yの場合には
f(x)^2 = 2*f(x) - 1
となりf(x) = 1でなくてはならない。

つまり
「 x = yを満たす任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(B)
として
(B) => f(x) = 1
が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
(A) => f(x) = 1
が示せた訳ではない。

x = yとx ≠ yの場合に
f(x) = 1 => (A)
が示せただけ。

か〜ら〜の〜？

>>469
＞>>452の場合は
＞(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。

考慮してないよｗ

>>452では、x,y全ての場合についての等式(全部で4つある)を
丁寧にリストアップしている。しかし、リストアップしたはいいが、
その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は　使　っ　て　な　い　。

a＝b＝1を導くのに使ったのは、 a^2＝2*a−1, b^2＝2*b−1 という2つの等式のみ。
これらの等式は(x,y)＝(1,1), (2,2)すなわちx＝yの場合の等式だから、
結局、>>452 では「x＝yの束縛下の条件しか考慮してない」ことになる。

それとも、

「たとえ等式を使わなくても、>>452のように丁寧にリストアップさえすれば、それで考慮したと見なす」

ということかね？もしそうなら、>>419だって、

「 f(y)^2＝2*f(x)−1 (∀x,y∈R) 」…　★

という一文を書くだけで、「全ての等式を>>452のようにリストアップしたことになる」でしょ。
つまり、「全てのx,yを考慮したことになる」でしょ。
(x,yは無限にあるから、>>452の形式で紙面上にリストアップすることは出来ない。
　しかし、★のような形で表記すれば、それは全てのx,yについてリストアップしたのと同じである)

うんうん

>>473
＞その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は　使　っ　て　な　い　。
使っているんだよ。(x,y)＝(1,1)、(2,2)の等式からa=b=1が示せて
このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
4条件は使っている。

これで君の数学的能力に問題があることがわかった。
全く間違っている内容を世界中に拡散するのをこれ以上止めたらどうか？

>>471
君のその言い分を、>>452に使ってごらん。


[00] >>452の証明において、
[01] 「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)
[02] これに対してx = yの場合には
[03] f(x)^2 = 2*f(x) - 1
[04] となりf(x) = 1でなくてはならない。

[05] つまり
[06] 「 x = yを満たす任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(B)
[07] として
[08] (B) => f(x) = 1
[09] が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
[10] (A) => f(x) = 1
[11] が示せた訳ではない。

[12] x = yとx ≠ yの場合に
[13] f(x) = 1 => (A)
[14] が示せただけ。


さて、君は「 >452は正しい」と言っていた。
ならば、上の疑問の [00]〜[14] において、いずれかの番号の主張は
"間違っていなければならない" 。


で？ [00]〜[14]のうち、どの番号が間違ってるの？

ほぉー！

＞このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
＞4条件は使っている。

つまり、こういうことだな？

『　>>452では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈{1,2})という条件を出したに過ぎない。
　　ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』

と。そうです。x≠yのときも成立しています。
ただし、その事実について、>>452の証明では　言　及　し　て　い　ま　せ　ん　。
君が勝手に、証明を補完してしまっただけです。

「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」

という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。

そして、そのような補完が出来る能力が 君にあるのなら、
>>419だって、全く同じ補完が可能になる。

つまり、こういうことだ。

『　>>419では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈R)という条件を出したに過ぎない。
　　ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』


なぜ君は、>>419の場合はこのように考えないのだね？

盛り上がってまいりました

>>478
脳内で補完している訳ではない。>>452は定義域をそちらが勝手に都合よく
狭めているため、全ての定義域で条件を確認しているから正しいことになる。

＞「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」
＞という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。
4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。

苦しい主張の繰り返しでお疲れ様です。

>>471で
＞x = yとx ≠ yの場合に
＞f(x) = 1 => (A)
＞が示せただけ。
と書いているが、f(x) = 1以外にもx ≠ yを満たす関数が存在するかどうかの検証が
行われていない。
懇切丁寧に言いかえれば、
x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。

>>480
よし、もういい。いったん、証明の表現方法を変える。
(本質的に同じことをやっているのだが)


問題：写像 f：R → R で、

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。


解答：まず、

「 (A)を満たす写像fは "必ずf(0)＝1である" 」 … B[0]

ということを示す。
写像fは(A)を満たすとする。どんなx,yに対しても(A)の式が
成り立つのだから、特に、x＝0, y＝0を代入しても(A)の式が成り立つ。
実際に代入するとf(0)^2＝2*f(0)−1 となるから、ここからf(0)＝1が出る。
よって、確かにB[0]が成り立つ。


↑証明の途中で申し訳ないがが、この証明について、君はどう思うかね？
　「正しい」と思うかね？
　「x≠yのときにもf(0)＝1が言えているわけではないから、間違い」
　などと思うかね？

どうなんだい？

>>419
誰が誰だか分からないが[2.1]は、「(A)を満たす連続関数 f：R → R は確かに存在する」だぞ。
そしてfの一意性は[3.1]で示そうとしている訳だが[3.1]のままでは一意性を示したことにはならない。
暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
これも別個に示さないといけない。

>>483
＞暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
＞これも別個に示さないといけない。

それを示しているのが[2.1]でしょ。よく読むべし。

うむ。

>>483
その[2.1]は「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実の厳密な証明になってないんだよ。

「x＝yと置くと〜」じゃなくて、
「どんな実数tを選択しても、そのtに対して、x＝t, y＝tを代入すれば〜」
と表現すれば、誤解が起きないようになるかな？


問題：写像 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)
を満たすものを全て求めよ。

解答：
(A)を満たす写像 f：R → R が存在すると仮定する。このとき、どんなx,yに対しても
(A)式が成り立つのだから、特にx＝0, y＝0を代入して、f(0)^2＝2*f(0)−1となるから、必ず

f(0)＝1

となる。今度は、x＝√2, y＝√2を代入してみると、f(√2)^2＝2*f(√2)−1となり、必ず
f(√2)＝1
となる。じゃあ、x＝3.14, y＝3.14 を代入したらどうか？f(3.14)^2＝2*f(3.14)−1となり、必ず
f(3.14)＝1
となる。……このような計算から容易に分かるように、どんな実数tを選択しても、
そのtに対して、x＝t, y＝tを(A)式に代入して整理すれば、必ず

f(t)＝1

となることが分かる。「どんな実数tを選択しても必ずf(t)＝1である」とはすなわち、
fは定数関数であって、その値は1であるということである。以上より、

「 (A)を満たす写像 f：R → R が存在するならば、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数でなければならない 」

ということが言えた。次に、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数を持ってくる。このfは(A)を
満たすことが容易に確認できる。以上により、(A)を満たすfはf(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数だけである。

特殊化による必要性の証明が理解できないようだ。
数学初心者にある、
命題「AならばB」の証明における、
「Ａが成り立っているならば、特にA'のとき云々、よってB」　　・・・（１）
という証明の流れに対して、A'でないときはどうするのか、と悩み始める。
そんな人には(1)の対偶を考えてみることをお勧めしたい。

>>488
肝心の（１）の文法が良くわかんないんだが。
正確に書き直しといてくれる？

>>488
>A'でないときはどうするのか
論理的に言うと厳密にはA'でないときも考えないといけないぞ。
「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」の1つの厳密な証明は
(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数yを任意に取る。すると任意の実数z、xに対して
f(y)^2＝2*f(z)−1＝2*f(x)−1
が成り立ちf(z)=f(x)が得られる。
よってfは定数関数である。
だ。

あくまでの(1)は流れだから、直接には該当する証明にあたってくれ。
上の方に一杯あるからさ。>>419とか。

>>490
いらない。

一般的に必要条件としてあり得る解を求める場合は、
つまり、「Aならば「？」」　の「？」の中を詰めるときは、
それは「ＡならばＢ」の証明ではないのだから、特殊化だけで済む話ではない。

>>486
この証明は？

(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数tを任意に取る。x＝t, y＝tを代入して
f(t)^2＝2f(t)−1
(f(t)−1)^2＝0
f(t)＝1
tは任意だったから、「任意のtでf(t)＝1」すなわちfは定数関数で、
その値は1となる。よって、
「(A)を満たす連続関数 f：R → R があるなら、それは定数関数であり、f(t)＝1(∀t∈R) 」
である。

>487と全く同じだが。

>>419
分かりにくい解答だから整理するな。
[1.2]「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示す。
[1.3] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
本来はこうするべきだ。

>>492
理解出来たよ。
最初>>419を読んだとき分かりにくかった。

>>494
論理的には最初にfは定数関数であることを示した方がいい。

せやな

>>496
レスの意味がよく分からない。

「議論がすっきりするから、定数関数であることを最初に言った方がよい」という意味？
「>>494は厳密ではないから、定数関数であることを最初に言った方がよい」という意味？

>>498
>>419は論理的に混乱を招きかねなくて議論がスッキリしていない。
>>419の書き方だと[1.1]から[1.2]に移る部分で混乱しかねないんだよ。
論理的に考えるなら、定数関数であることを最初に言った方がよい。

>>499
俺が聞いてるのは、>419じゃなくて>494なんだが。
>419の表現方法は さておき、>494 「も」混乱を招きかねないの？


「fが定数関数である」ことを示すには、2通りの方法がある。

その1：「任意のx,yに対してf(x)＝f(y)」を示す。
その2：「あるcが存在して、任意のxに対してf(x)＝c」を示す。


>490はその1の手段を取り、>494はその2の手段を取った。
「その2に比べれば、その1の方がスッキリしている」というのは分かるが、
そんな気になるほど大差は無いように見えるのだが。
あと、その2の方針でやってる>494だと、
何をどのように混乱してしまうのか、よく分からん。

寝ます

>>500
>>494だと
>(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
から
>実数tを任意に取る。x＝t, y＝tを代入して
に移行した際これから何をしようとしているのかが分からない。
その後になって「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示した。
それなら論理的には最初に「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示すべきだ。
>>494ではいわゆる手順前後をしている。

x=yの特殊化だけでは求まらない、多分。

任意の実数x,yに対して実数値連続関数fは、等式
f(x+y)-f(y)=f((x+y)/2))(f(x+y)-f(x))
を満たしている。
このような関数f(x)を全て求めよ。

>>502
ああ、そうか。目的が不明瞭に見えちゃうんだな。これは失礼。
「最初に目的を明示しておけ」っていうだけの話ね。

y=0

f(x)-f(0)=f(x/2)(f(x)-f(x))=0

f(x)=f(0)

（（Ｙ⊂Ｘ）∧（（（∀ａ∈Ｙ）Ｐ（ａ））→Ｂ））→（（（∀ａ∈Ｘ）Ｐ（ａ））→Ｂ）。

生兵法はケガの元
キチガイに刃物

だな、全く。

知識は適切に運用できなければ持ってる意味がないというのに。

何言ってんだこいつら
必要条件と十分条件の話題が延々ループしてるってことでおｋ？

論理的な積み重ねとは異なる部分についての
異なる見解を、互いに自分の主張のほうが論理的だと言い合っている途中。

双方のどこが論理的でないかを指摘しなければ、>>509も論理的でない

>>509は議論家さんが論理的ではないとは言っていないと思うのだが

>>480の訂正
＞4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
＞他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。

(x, y) = (1,1), (2,2)のときだけでなく、(x, y) = (1,2), (2,1)の場合であっても
a = b = 1となることから、全定義域において条件(A)が成立することから
>>452の証明は正しいことになる。

>>511  
その通り。

>>510 
>>496や>>499 あたりがわかりやすいと思う。

>>511
>>513
＞論理的な積み重ねとは異なる部分についての異なる見解を、
＞（互いに自分の主張のほうが論理的だと）
＞言い合っている途中
論理的な積み重ねとは異なる部分(=論理的でない部分)に対して
言い合っている(=論理的でない議論をしている)と取れるけど。

>>496と>>499は論理的だと思う。

f(y)^2 = 2f(x)-1…�@
x = yのとき、(f(x)-1)^2 = 0からf(x) = 1
x ≠ yのときxとyを交換した
f(x)^2 = 2f(y)-1…�A
が成立する((場合がある))。�@,�Aから
f(y)^2-f(x)^2 + 2(f(y)-f(x)) = 0
(f(y)-f(x))(f(y)+f(x)+2) = 0
f(x) = f(y)のとき�@からf(x) = 1
f(y) = -f(x)-2のとき�@から
f(x)^2 = -2f(x)-4-1、∴f(x) = -1±2i
f：R → Rであるからこの場合は題意を満たさない。

>>515の訂正
「((場合がある))」を削除

y=x^3-x^2-2x+3をy=2xに関して対称に移動した関数を求めよ。

>>480
＞懇切丁寧に言いかえれば、
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。
以下の解答を読んでほしい。
x≠yの場合の考慮が、実際には全く必要ないことが分かると思う。

準備：次の4つの条件をそれぞれA,B,C,Qと置く。

「 どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (A)
「 x＝y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (B)
「 x≠y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (C)
「 fは定数関数で、その値は1 」… (Q)

「fは(A)を満たす」ことと「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす」ことは同値であることに注意する。

(1レスに収まらないので、解答は次のレスに書く。)

解答：
[1.1] まず、「 (A)を満たすfが存在するなら、fは定数関数で、その値は1である 」を示す。
[1.2] fは(A)を満たすとする。
[1.3] 以下、
　　　(i) fが(B)を満たす場合
　　　(ii) (i)以外の場合
　　　で場合分けする。

[1.4] (i)の場合は、(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)となる。
[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。

[1.6] 次に、(ii)の場合を考える。つまり、「fは(B)を満たさない」場合を考える。
[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たすのだから、「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」…(★)
　　　ということになる。
[1.8] よって、ここからは(C)の条件だけを使って、fについて議論していくことになる。
[1.7] しかし、よく見てほしい。[1.2]の仮定により、「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)も満たす」のだから、
　　　これは(★)に矛盾している。
[1.8] よって、(ii)はそもそも起こり得ないと分かる。[場合分け終了]

[2.1] 以上により、確かに[1.1]の主張は示せた。
[3.1] 次に、「『fは定数関数で、その値は1』ならば、fは(A)を満たす」ことを示す。
[3.2] が、このことは簡単に示せるので省略する。
[4.1] 以上により、(A)を満たす関数は「fは定数関数で、その値は1」という関数のみである。[終]

>>519
その証明はそもそも[1.2] が正しいとして証明しているので、論理的におかしい。
「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」が
[1.2]の仮定に反するからといって、条件(C)が満たされるとはいえない。

>>515
x≠yのときの計算は必要ない。最初の2行で終わってる。


>515では

・fが(B)を満たす場合
・fが(C)を満たす場合

という場合分けで計算しているわけだが、
そんな不器用な場合分けを使わずとも

・fが(B)を満たす場合
・fが(B)を満たさない場合

と場合分けすれば済む話。

>>520
おかしくないだろ。まず最初に[1.2]の仮定を置き、
その文脈の中において、ある種の場合分けを展開したに過ぎない。

最初に置いた仮定によって、その後で展開できる場合分けの手法に制限が生じるなど、
論理的に有り得ない。


君はよっぽど「x≠yの場合のfの計算も不可欠だ」と思ってるようなので、
ちょっと別の表現方法を使って、>419の解答を書いてみるぞ。
もちろん、今から書く解答も「x＝yの場合の計算しかやってない」証明である。

準備：
(A)が成り立つfの集合をαと置き、
(B)が成り立つfの集合をβと置き、
(C)が成り立つfの集合をγと置き、
(Q)が成り立つfの集合をθと置く。
ただし、ここに書いたA,B,C,Qとは、>>518に書いたA,B,C,Qのこととする。

(1レスに収まらないので、解答は次のレスに書く。)

解答：
[1.1] 集合α,θについて。α＝θが成り立つことを示そう。
[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
[3.2] が、これは本当に明らかである。
[4.1] 次に、β⊂θ が成り立つことを示す。
[4.2] f∈βとする。
[4.3] このとき、fは(B)を満たすから、(f(x)−1)^2＝0となり、f(x)＝1(∀x)となり、f∈θとなる。
[4.4] よってβ⊂θである。
[5.1] 次に、θ⊂αを示す。
[5.2] が、これは簡単に計算できるので省略する。

[6.1] 以上より、「α＝β∩γ」「β∩γ ⊂ β」「β⊂θ」「θ⊂α」が得られた。
　　　これらをこの順番に使えば　α ＝ β∩γ ⊂ β ⊂ θ ⊂ α　となる。
　　　つまりα⊂θ⊂αとなるから、これでα＝θが得られた。
[6.2] 以上より、[1.1]が示された。
[7.1] 最後に、
　　 「(A)を満たす関数は、『fは定数関数で、その値は1』 という関数のみ」
　　　であることを示す。
[7.2] が、これはα＝θから明らか。[終]

>>523の証明において、[4.1]を示すときに、x＝yの場合のfの計算を使っている。
では、>>523の証明において、x≠yの場合のfの計算を使っている箇所はあるか？

無い。

にも関わらず、>>523は ちゃんと証明になっている。

>>517
求める曲線上の点をP(x, y)とし、y=x^3-x^2-2x+3上の点をQ(x', y')とすると
線分PQの中点がy = 2x上に存在することから
(y+y')/2 = x+x' …�@
直線PQが直線y=2xと直交することから
(y'-y)/(x'-x) = -1/2 …�A
�@、�Aから
x' = -3/5*x+4/5*y、y' = 4/5*x+3/5*y
が成立する。これをy=x^3-x^2-2x+3に代入し整理すると
27x^3-108x^2y+144xy^2-64y^3+45x^2-120xy+80y^2-50x+275y-375 = 0

>>525
丁寧にありがとうございます！

>>523
＞[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
＞[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
何故？α＝β∪γであれば普通だが。

＞[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
＞[3.2] が、これは本当に明らかである。
何故？

>>527
＞＞[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
＞＞[3.2] が、これは本当に明らかである。
＞何故？
ベン図でも書けよ。ベン図くらい知ってるだろ？
というか、

・一般に、どんな集合S, T に対しても、S∩T ⊂ S が成り立つ

だろ。集合のことを何も知らないのか？
あるいは、直接証明してもいいぞ。ベン図を書くのと
ほとんど同じことだけどな。

・f∈β∩γとする。
・このとき、f∈βかつf∈γであるから、特にf∈βである。
・よって、β∩γ ⊂ βである。[終]


＞何故？α＝β∪γであれば普通だが。
これが君の誤解の原因か？

β∪γ ＝ "fは(B)を満たす、または、fは(C)を満たす" というfの集合
β∩γ ＝ "fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす" というfの集合
α ＝ "fは(A)を満たす" というfの集合

また、「fは(A)を満たす」ことと「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす」ことは
同値である。
これらを踏まえて比較すると、α＝β∩γしか無いだろ。

>>528
＞・一般に、どんな集合S, T に対しても、S∩T ⊂ S が成り立つ
その部分の問いについては、勘違いしたので取り消す。集合論の基礎は理解している。

>>523が正しいことが>>528から理解できた。
証明としては長々とした>>523よりも、>>515の方がシンプルで分かりやすい。

>>529
＞>>523が正しいことが>>528から理解できた。
じゃあ、君は>>524のレスを理解したんだな？

「 >523の証明では、x≠yのときのfの計算をしていないが、それでも正しい証明だ 」

ということを、君は理解したんだな？

問題の取り方の違いで双方の隔たりがあったことが分かった。
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」・・・(A)
「 x＝y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (B)
「 x≠y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (C)
として
条件(A)が満たされる関数fの集合をα
条件(B)が満たされる関数fの集合をβ
条件(C)が満たされる関数fの集合をγ
このとき
α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
α = β∩γ(全てのx, yに対して、f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
と取るかの違いがあった。
この問題の場合は、>>515からβ=γであるからあまり違いが現れていない。

以後、集合Sに対して、「xはSの元でない」ということを「 x !∈ S 」と表記する。
(「∈」にナナメ線が入った記号が無いので、「!∈」で代用するということ)


＞証明としては長々とした>>523よりも、>>515の方がシンプルで分かりやすい。
君は もはや>>523を理解したわけだから、
>>521のレスも理解できるはずだ。

521と内容が被るが、ここにもう一度書く。
君は「 515の方がシンプルだ 」と言うが、515では

・fが(B)を満たす場合 (すなわち、f∈βの場合)
・fが(C)を満たす場合 (すなわち、f∈γの場合)

という場合分けで計算しているので、まだ無駄が多いのである。
そんな不器用な場合分けを使わずとも、

・fが(B)を満たす場合 (すなわち、f∈βの場合)
・fが(B)を満たさない場合 (すなわち、f!∈βの場合)

と場合分けすれば済む話。
そして、f!∈βの場合は、最初から考える必要が無いから、結局、
fが(B)を満たす場合のみ計算すれば終わり。
すなわち、x＝yの場合だけ計算すれば終わり。

>515で言えば、最初の2行の計算を終えた時点で、もう終わり。
その後の9行は必要無い(だから、515は まだ無駄が多い)。

>>530
α = β∩γとして考えれば、>>523の証明は正しい。

(>>515)と(>>518+>>519)の文字数を比較すれば、どちらが無駄が少ないかは火を見るより明らか

>>531
＞問題の取り方の違いで双方の隔たりがあったことが分かった。
そういうことだな。
もしα＝β∪γが成り立つのであれば、確かに君が言うとおり、
x≠yの場合も考えなければならない。
しかし、実際にはα＝β∩γなのであり、x≠yの場合は考える必要が無い。


＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
＞α = β∩γ(全てのx, yに対して、f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)

>>419の問題は、前者のようには解釈できないぞ。
というか、前者のように解釈してるのは君だけだぞ。

>>533
とりあえず、

「α＝β∩γとして考えれば、>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない 」

ということは理解しているかね？
つまり、君が勝手に「α＝β∪γ」などと誤解していただけ
だったという話。>419の問題は「α＝β∩γ」のようにしか
解釈できないのだから。

>>535
＞>>419の問題は、前者のようには解釈できないぞ。
＞というか、前者のように解釈してるのは君だけだぞ。
「関数の一意性」と「定数関数であるということを先に示さなければならない」
と書いているレスはおそらく、α = β∪γと解釈していると思う

>>537
それは違うな。
「何をしたいのか目的が不明瞭だから、最初に目的を明示しておきなさい」
というだけの話でしょ。

実際、>>495氏 は>419を勝手に訂正してしまっているが、
じゃあ>495は>419と何が違うのかと言うと、冒頭に

＞「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示す。

この一文を入れただけ。つまり、目的を明示しただけ。
もし>495氏が君と同じ解釈をしていたのなら、
こんな一文を追加するよりも、「x≠yの場合の計算」を
追加していたはずだろう？

>>537
それとね、>419のような問題は「関数方程式」と仰々しい名前が
ついていて、ググると いくつか問題が見つかる。

ここのページの[2003杏林大・医]の問題とか。
ttp://izu-mix.com/math/exam/jikeiika/2009_1.html

これも関数方程式。
ttp://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html

どの問題も、「(x,y)に依存して関数fが決まる」などという解釈では解かず、
"α＝β∩γ" 流の解釈で問題を解いていることが分かるだろう。

>>537
だいたいね、「(x,y)に依存して関数fが決まる」という解釈をするなら、
そのfは「f」と表記すべきではなく、「 f_{x,y} 」のように表記し、
"fはx,yに依存してます" ということが明確に伝わるようにしなければいけない。

このことを踏まえて、君のような解釈が可能になるように
>>419の問題を書き直すと、次のようになるんだぞ。


問題：x,yに依存して決まる写像 f_{x,y}：R → R は、

「 任意のx,yに対して f_{x,y}(y)^2 ＝ 2*f_{x,y}(x)−1 」

を満たすとする。このような写像 f_{x,y} (x,y∈R) を全て求めよ。

>419をこのように変更しないと、君のような解釈は可能にならない。
で、この問題を解こうとしたら、今度こそ君の解釈で解くことになるのだが、
その場合、>>515は解答になっておらず、どのみち君は間違ってる。

>>252

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

>>538
先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。

>>540
fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。

>>542
＞fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。
依存するとも記述されてない。そして、そういう記述が
無い場合、「依存しない」と解釈するのが通例。

実際、>>539で挙げたリンク先の問題でも、写像fが
x,yに依存するか否かについては 問題文に書かれていないにも
関わらず、どれも「依存しない」という解釈で解かれている。

＞先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
＞その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。
既に>>540で「 f_{x,y} 」と書いたのだから、この表記法を使いなさい。

で、「依存する」という解釈で問題を解く場合、君のその主張はデタラメである。
なぜか？x＝yを代入すると

f_{x,x}(x)^2＝2*f_{x,x}(x)−1

となるから、f_{x,x}(x)＝1 (∀x∈R)となる。例えば、f_{0,0}(0)＝1だし、
f_{1,1}(1)＝1だし、f_{-1,-1}(-1)＝1である。でも、これでは

「f_{0,0}(3)の値は？f_{1,1}(2011)の値は？f_{-1,-1}(-3/7)の値は？」

といったことは分からない。x＝yの場合の計算だけでは、これらの値は判明しない。
つまり、x＝yの条件下では

「x＝y＝tのとき、f_{x,y}(t)＝1である」

ということが言えるだけであり、

「x＝yのとき、全てのtでf_{x,y}(t)＝1なのか？」

ということについては何も言えない。
つまり、x＝yの場合のf_{x,y}は、「全領域で1である」とは
言い切れない。よって

＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
君のこの主張はデタラメ。

>>544
>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

>>542で書いた内容は>>540で書いた内容
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合
を全く踏まえたものではないので>>544は全く私の考えるところではない。

α = β∪γを考える場合には
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合
のように考えている可能性があるのではないかと言っているまで。

>>545
＞>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
＞α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

それはデタラメ。「fはx,yに依存しない」と解釈しつつ「α＝β∪γ」を
成り立たせることは出来ない。

「fはx,yに依存しない」と解釈するのなら、自動的にα＝β∩γ
となってしまい、α＝β∪γとなることは有り得ない。

＞>>544は全く私の考えるところではない。

「 "fはx,yに依存する" と考えた場合の問題については、私の考えるところではない」

ということだな。つまり、君も やはり

「fはx,yに依存しない」

と解釈していたわけだな。だったら、自動的にα＝β∩γが成り立つ。
α＝β∪γにはならない。君は間違ってる。

最近の高校では論理と集合について詳しく授業しないのだろうか？
だとするとこれは忌々しき事態だな

>>547
それは違う。だから>>515でも
＞x ≠ yのときxとyを交換した
＞f(x)^2 = 2f(y)-1…�A
＞が成立する((場合がある))
と言っている。
全ての領域で関数fが成立しなければならないと考えた場合に
>>516の訂正をした。

α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

>>549
＞α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

うん、確かにね、「α＝β∪γ」という等式が "成り立つのであれば"、
君の言うとおりなんだよ。x≠yの場合も考慮しなくちゃいけないんだよ。


でもね、「α＝β∪γ」という等式は　成　り　立　た　な　い　のだよ。
特に、「fはx,yに依存しない」と解釈した場合は、自動的に

α＝β∩γ

になってしまうんだよ。だからね、君が言ってることはピントが
ずれてるわけ。

俺が言っていること、分かるかな？

俺「fがx,yに依存しないと解釈するなら、自動的にα＝β∩γが成り立つから、
　　α＝β∪γなんて考える必要がない」

君「α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も考慮しなくちゃいけない」


↑君の言ってることは正しい。α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も
　考慮しなくちゃいけない。そのとおりだ。
　だがね、君が心配している「α＝β∪γ」という等式は、
　そもそも　成　り　立　た　な　い　ので、最初から考える必要が無いんだよ。

>>550
>>551
で書かれた内容は全て理解している。分かりきったことを再三再四繰り返されてもね。
fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
答えが最後まで出る問題の取り方でないと、おかしいと考えるのは短絡的。

>>552
＞fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
意味不明。その書き方では、何が言いたいのか分からない。

「fがx,yの値によって複数存在する」

とはどういうことか？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という意味か？それとも、

「f(x)は複数の値を取り得る。つまり、f(x)＝1であり、かつf(x)＝2であるようなケースがある」

という意味か？それとも、全く別の意味か？詳しく解説してくれ。

>>552
とりあえず、

「 α＝β∩γとして考えれば、>>523 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない 」
「 α＝β∩γとして考えれば、>>419 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない 」

ということは理解してるんだよな？


＞で書かれた内容は全て理解している。
そうか。理解しているのか。つまりは

「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」

ということを理解しているというわけだな。
だったら、>>419の証明において、「x≠yの場合の計算が必要ない」ことも
理解しているというわけだな。

君、何がしたいの？

今北産業

>>555
>>419を
理解できない
馬鹿がいる

ある連続関数fに対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1」が成立するなら
任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
そして関数f(x)=1に対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1」が成立して、
f(x)=1は連続関数である。

必要性も十分性も説明できてると思うが、何を議論してるんだ？

>>553
＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
の方に決まっている。
＞f(x)＝1であり、かつf(x)＝2
なんていう関数が存在するわけない。

＞「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」
だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
他人の文章を把握するのに大変に問題があると考えられる。
こちらが、言っていないないようを勝手に解釈して批判するのを止めていただきたい。

>>519の証明が奇妙なのは、(C) => (Q)の条件が現れないこと。
また>>519では
＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
ならないのか？

＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。

なお>>522+>>523については理解しているので繰り返さないようにお願いしたい。

>>557
＞任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
これを示す方法について、普通は

・(A)でx＝yとすると(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x)

と議論して、それでメデタシメデタシだと思うんだ。
>>419では、まさに このやり方を使ってる。

で、ワケの分からん人が1人いて、その人は

「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
　x≠yの場合の計算も必要だ」

などと意味不明な供述を繰り返していた(例：>>432, >>439, >>447, >>480等々)。
で、>>531のレスを読む限りでは、実はこの人は、>>419の問題を

「標準的では無い解釈の仕方で解釈している」

可能性が強いことが分かった。では、どんな解釈の仕方をしているのか？
それが、話を聞いてもよく分からない。……というのが今のところ。

>>559
＞「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
＞　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
＞　x≠yの場合の計算も必要だ」
x ≠ yのときに
f(y)^2＝2*f(x)−1 => f(x) = 1
というのがないから奇妙と考えられる。その点>>515はそれが明示されているから
分かりやすい。

>>558
＞だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
つまり、次のように言いたいのだな？

・問題の捉え方によって、α＝β∪γが成り立つこともあるし、
　α＝β∩γが成り立つこともある。

・α＝β∩γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は必要ない。

・α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明ではダメで、x≠yの場合の計算も必要である。


では、君に質問する。少なくとも 419 〜 480 においては、君は

「 >419の証明ではダメだ。x≠yの場合の計算が足りない 」

と言っていた。つまり、少なくとも 419 〜 480 においては、君は

「α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方」

を採用していたことになる。
では、君が採用していた解釈の仕方を教えてほしい。
どういう解釈をしていたのだね？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という解釈の仕方を採用していたのかね？それとも、別の解釈の仕方かね？

>>561
>>531の
＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
であり、

＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
というふうに解釈していた。

＞fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる
よう分からんがその解釈だと

そのfは「あるx,yが存在してf(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数」であって
「任意のx,yについてf(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数」ではないのでは？

>>563
>>540のような問題を想定していたのだろう。

>>560
＞x ≠ yのときにf(y)^2＝2*f(x)−1 => f(x) = 1
＞というのがないから奇妙と考えられる。

α＝β∩γが成り立つような解釈を採用していた場合、
そこは ちっとも奇妙ではないし、正しい証明になっている。

α＝β∩γが成り立つ解釈を採用しつつも、その部分が

「釈然としない」「やはり奇妙である」

と感じられてしまうのなら、それは、
君の理解が追いついてない ということ。

というか、そこが奇妙に感じられるなら、
>>522+>>523 も奇妙に感じて然るべきである(実際、君は
奇妙に感じているのかもしれないが)。

君は、もう少し論理とか集合とか勉強するべきではないか。

>>562
理解した。

ということは、君は今まで、こういう「関数方程式」の問題を
1問も解いたことが無かったわけだ。
>>539のリンク先を見れば分かるように、こういう問題では
「依存しない」と解釈するのが通例だから、一回でも
こういう問題を解いたことがあれば、それ以降、「依存する」
という解釈を採用することは無いはずである。
従って、君はこういう問題を解いたことが無い。あるいは、
こういう問題に触れたことはあるが、問題の趣旨を
ちゃんと理解していなかった。


ならば、君が今回のような解釈をしてしまったのは、もう仕方が無い。
俺は そこを責めないし、むしろ君は責められる筋合いは無い。

ただし、君が今後こういう問題に遭遇したら、
「依存する」という解釈は使わず、通例どおりに
「依存しない」方の解釈を採用することをお勧めする。

>>564
ふ〜ん。
でもそれだとR^3からRへの3引数関数だと思うがな
まあ、そう解釈してましたと言われればそれまでだけど

ここから先は解釈の違いが生まれないような問題文の作り方について議論することにして
その上で>>562に質問なのだが

>>419の問題文を次のように書き換えた場合、それでも>>562のような解釈をしますか？


問題：次の条件（A）を満たすような連続関数 f：R → R を全て求めよ。

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

いい加減バカ同士の言葉遊びスレじゃないことに気付かないかなぁ

>>514
解釈の違いについて、どちらがより論理的なのかを語るのは
論理の積み重ねの外の話だと思うが。
スッキリするかどうか（見通しが良くなるかどうか）なども
論理的な構築が正しいかどうかの外の話だろうし
よりエレガントな解答というのも、論理的に正しいかどうかとは別の話。

>>569
スマン。俺の方は そろそろ自重しておく(俺は>>566である)。

>>568
そういう話は、根本的な解決策は無いように思う。
今回のようなケースは滅多に無いはずだから、
あまり気にしなくてもいいのでは。

x,yを実数として、X=x+y+xy, Y=(x+y)xy　とするとき、(X , Y)の存在する領域をxy平面上に図示せよ。

>>566
実はそれだけの解釈ではなく
(x, y)の範囲に依存して、fが複数存在する場合もあるのではないかと、考えた。
例えば
x < 0の場合にはf1
x = 0の場合にはf2
x > 0の場合にはf3
など。
この問題のような問題を解いたことは遠い昔にあってそのときの解答は>>515の
ようなものだった。

>>558の
＞＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
＞となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
＞ならないのか？

＞＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
＞となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。
という２点については答えられていない。

また、α＝β∩γを仮定しているからといって、γを検証しないのは納得がいかない。
γが存在しない場合もあり得るかもしれないわけで、その場合はα=φ(空集合)
となり得る場合もある。
αが存在するかは、問題では設定されていない。

必要性の証明の中で
十分性の証明の中の結果＝αは空集合ではない。
を紛れ込ませている。

>>573-574
君はこれからは「依存しない」という解釈で解くのだから、
それらの疑問点については、もう君が自力で納得できるはずだが。

俺は「そろそろ自重する」と書いたので、あまり君とレスを続けてはならない。

どうしても>>558が気になるなら、そのレスについては、
もう俺の方から撤回する。また やり取りが長くなってしまう。
少なくとも君は>>522+>>523の方は理解しているらしいから、
とりあえずは それで十分である。

あと、君はどうも、「 S → T 」という形の命題について
よく理解していないようだから、少しコメントしておく。
「 S → T 」という形の命題は、Sが偽のとき常に真である。たとえば、

「 0＝1ならば、5は素数である 」は真であるし、
「 0＝1ならば、5は素数でない 」もまた真である。

(「仮定が偽　命題」でググるとよい)


また、「 S → T 」の証明方法は、2通りあることを知ってほしい。

(1) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、Tを導く。
(2) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、矛盾を導く。

(1)は問題ないだろう。(2)はどうか？
これは、「Sが偽」を証明しようとしているのだ。
もしこれが証明できたら、自動的に「 S → T 」は真となる。
なぜなら、Sが偽のとき、「 S → T 」という形の命題は常に真だからだ。
まあ、(2)の方法は、普通は使わないが、別に間違ってはいないのだ。

最後に、君向けの問題を出しておく。

問題1：写像 f：R → Rで、
(A)「 任意のx,y∈Rに対して f(x)^7−3*f(x)^5*f(y)^2＋f(x)^4*f(y)^3＋f(x)^3*f(y)^4−3*f(x)^2*f(y)^5＋f(y)^7 ＝0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、fはx,yに "依存しない" として解くべし)

問題2：nは自然数とする。実数a_1,a_2,…,a_nは Σ[i＝1〜n]a_i ≠ 0 を満たすとする。写像 f：R → Rで、
(A)「 任意のx,y∈Rに対して Σ[i＝1〜n] a_i*f(x)^i*f(y)^{n+1-i} ＝ 0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、「依存しない」の解釈で解くべし)


答えだけ言ってしまうと、どちらも「f(t)＝0 (∀t)」すなわち
「fは定数関数で、その値は0」という関数のみが答えになる。


これらの問題は、おそらく>>515のやり方では解けない。
x≠yの場合を計算しようとしても、事実上、計算できないはず。
特に問題1では、(A)式はxとyについて対称なので、xとyを入れ替えても全く同じ式が出現してしまい、
何の進展も無い。また、(A)式自体をf(x),f(y)について分離して解くようなことも、まず無理だろう。

従って、これらの問題を解こうとしたら、>>419のように解くか、
あるいは、>>522+>>>523のように解くしかないはずである。
あまり>515のような方法に こだわるのは、やめた方がよいと思う。

では、さようならﾉｼ

追記。

問題3：写像 G：R^2 → R が与えられていて、Gは
・a＝0のとき G(a, a)＝0
・a≠0のとき G(a, a)≠0
を満たすとする。次の(A)を満たす写像 f：R → R を全て求めよ。
(A)「 任意のx,y∈Rに対して G(f(x), f(y))＝0 」


これが究極かもしれん。やはり「f(t)＝0(∀t)」しか解は無いが、
>515の方針だと完全に詰まる。>419あるいは>522+>523 の方法だと解ける。


他の皆さんには、暇つぶしの問題を。

問題1：実数列 { a_n }_{n∈N} は、各項が全て正だとする。S_n＝Σ[i＝1〜n]a_i (n∈N)と置く。
lim[n→∞]S_n＝＋∞ のとき、Σ[i＝1〜∞]a_i/S_i ＝ ＋∞ となることを示せ。

問題2：実数列 { a_n }_{n∈N} は、各項が全て正だとする。S_n＝Σ[i＝1〜n]a_i (n∈N)と置く。
lim[n→∞]S_n＝＋∞ かつ Σ[i＝1〜∞]a_{i-1}/S_i ＜ ＋∞ となるような{ a_n }_{n∈N}の
具体例を1つ求めよ。

(a_iかa_{i−1}かで状況が大きく違うという問題。わりと有名かも)

では、今度こそ さようならﾉｼ

>>575
そんな事は全く関係ない。>>573と>>574対してにまともに答えられないらしいな。

>>522+>>523を理解したと言ったことを撤回する。

β∩γ=φの場合にはα=φとなり
「 どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)−1 」を満たす関数は存在しない。
この命題が矛盾している偽であると言えるのは、
f(1) = 1 => 「 どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)−1 」
という十分性を確認したことによって言えるのではないのか？
だから>>574と言っている。

循環論法

>>579
では、君の言い分に基づいて、>>522+>>523を修正してみよう。
(先に結果を言っておくが、実はどこにも修正の必要が無い)

>>523は、次の4つの証明から成っている。
・「α＝β∩γ」という等式を証明する
・「β∩γ ⊂ β」 という包含を証明する
・「β⊂θ」 という包含を証明する
・「θ⊂α」 という包含を証明する
従って、これらの証明について修正の必要が無ければ、
何の修正も要らないということである。

＞β∩γ=φの場合にはα=φとなり
その場合にも「α＝β∩γ」という等式は依然として成り立っているから、
>>523において、少なくと[2.1][2.2]については修正の必要がない。
[2.1][2.2]で言いたいことは、「α＝β∩γという等式が成り立つ」
ということだけなのだから、"イコールが言えさえすればよい" のである。

では、次の[3.1][3.2]はどうか？これも修正の必要が無い。
なぜなら、集合の一般論として「 どんな集合S,Tに対しても S∩T ⊂ S 」だから。

では、次の[4.1]〜[4.4]はどうか？全く修正の必要が無い。
なぜなら、[4.1]〜[4.4]によって、確かに「β⊂θ」が言えているから。

では、[5.1]〜[5.2]はどうか？ここは明らかに修正の必要が無い。
計算すれば確かにそうなっている。

[6.1]以降は、それまでの結果を使ってるだけだから、これも修正の必要がない。

つまり、>>522+>>523は、何1つとして修正の必要がない。

>>581の
＞その場合にも「α＝β∩γ」という等式は依然として成り立っているから、
＞>>523において、少なくと[2.1][2.2]については修正の必要がない。
この部分について補足する。

β∩γ＝φ，α＝φ であるならば、つまりは両方ともφという
集合なのであるから、その場合も依然として

α＝β∩γ　(今の場合はφ＝φと言っているのと同じこと)

という等式は成り立っている。よって、[2.1][2.2]は修正の必要が無い。
(単に "イコールが言いたい" のが[2.1][2.2]である。)


それと、もしかしたら君は知らないかもしれないので、1つコメントする。
集合の一般論として、次が成り立つ。
「どんな集合Sに対しても φ ⊂ S が成り立つ」
もしこれを知らないようであったら、覚えておいてほしい。


>>579
＞そんな事は全く関係ない。
いや、君にも関係がある。
スレ違いだと何度も指摘されているのだぞ。
基本的に俺はそういう指摘は無視する性分だが、
既に200レスほど消費してしまったのだ。
さすがに そろそろやめるべきだ＾＾

>>519
初めに(A)を満たす関数fが存在するかは分からないから
(1)(A)を満たす関数fが存在する => fは定数関数で、その値は1である。
(2)(A)を満たす関数fが存在しない => fは定数関数で、その値は1である。
のように2つに分けて考えなければならないと考えられる。
何故(1)の場合だけしか考慮しないのか？
何故(A)を満たす関数fが存在するを真であるとすることができるのか？

>>582
β∩γ＝φの場合はα＝φとなるから(2)の
(A)を満たす関数fが存在しない
という条件が成立する。
問題は、何故この(2)の場合が偽であるといえるかということ。

これ以上長引くようならこちらのスレに移行してくれませんか？
誘導お願いします。

算数＆数学が全くできない人のスレ
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295102135/