面白い問題おしえて〜な 十八問目

コマル問題

[B.4341.]
　f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
を満たす実多項式の対 f(x), g(x) をすべて求めよ。 (P.Kutas)

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B4341&l=en

>>252
これって方程式でなく恒等式ってことでよいのですか？

>>253 
何を問うているのかがわからん。

あえて言うなら、
方程式が恒等式となるようにf(x)とg(x)を定める問題
全ての組みを見つける。 

＞方程式が恒等式となるように
用語を理解できてないんじゃね？

どのあたりが？

多項式は多項式。
xに何を代入するかとか、その時の式の値とか余計なことは考えずに、
多項式は多項式としてただ存在する。
その多項式がイコールで結ばれてるってのは、同じ多項式、つまり、全ての係数が等しいということ。

で、そのリンク先に書いてあるっぽい答えなんだけど、最後の
ad-bc=-1/2 は、ad-bc=1/2の間違いだよな？

＞全ての係数が等しいということ。
恒等式だね

とくに問題ないように思えるが。 なにが言いたいんだ？

方程式を持ち出したのがおかしいってことだろう
そして方程式が恒等式となるようにと言いだすから余計におかしくなる

まだ係数決定とか言えば意味が通じたのに

持ちだしたのは253だろ
それへの説明としてはそんなに的外れでもないと思うが

そもそも「方程式」って何？って話になっちゃうけど、
未知数ないし未知なるものを含む等式が方程式だとして、
>>252の式のうち未知なる要素はfとgであって、xじゃないよね。
xは多項式で使われるただの文字。別に変数とか定数とかいう意味づけはない。
ここで扱っている対象は「値」ではなく多項式なのだから、
この等式は値に着目した相等関係ではなく、
あくまでも多項式としての相等関係を表しているとみなすべきでは。

f(x+1)

＞未知数ないし未知なるものを含む等式が方程式だとして、
我流の定義でやってきたのか
数学に向いてないんじゃね？

方程式の英訳語はequationだけど、equationの日本語訳は実はただの「等式」なわけで、
「方程式」という切り口の概念って、実は日本だけの曖昧なものなんでないの？
等式という概念だけあれば、あとはそれが文脈のなかでどう使われるかだけでしょ。

言い訳積み重ねるより
中学なり高校なりの初歩の教科書でもあたってみればいいのに

ここにティッシュ置いときますね。

　　_,,..i'"':,
　 |＼`､:　i'､
　 .＼＼`_',..-i
　　　.＼|_,..-┘

>>265
>我流の定義でやってきたのか
意思疎通の問題はあるが、我流の定義が出来ない人の方が向いていない。
研究が出来る人は、すべてとは言わないがお受験数学の問題や演習問題をもモノにする。
お受験数学や試験なんて単なるお遊びで、場合によってはその続きがあったり、
更には凍て付く程難しい問題が生じることもある。

>>269
そんな水準の話じゃないだろ
屁理屈

その中であてはまるのは「意思疎通の問題はある」の部分だけ

>>252
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
任意のxに対して成り立つから、xをx+1、x-1に置換した
f(x)g(x-2) - g(x)f(x-2) = 1
g(x)f(x+2) - f(x)g(x+2) = 1
が成立する。両辺を引くと
f(x){g(x-2) + g(x+2)} - g(x){f(x-2) + f(x+2)} = 0
よって、任意の実数aに対して以下の式が成立する。
a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)
a*g(x) = g(x-2) + g(x+2)

×任意の実数aに対して
○ある実数aに対して

>>270
ここはお受験数学の話だから屁理屈なんだろうけど、こんな甘ったれた考えしてたら
ポントリャーギンの連続群論とかの古典的本は1人で読めないぜよ。
連続群論の中の記号や用語に限っても、標準的でない部分は多めにある。

>>252
f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0
a ≠ 2のとき
x^2 - ax + 1 = 0の2解をα、βとすると
f(x+2) - αf(x) = β{f(x) - αf(x-2)}
h(x) = f(x+2) - αf(x)とおくと
h(x) = C2β^(x/2)、C2は定数
h(x+2) - αh(x) = (β-α)h(x)
f(x+2) - αf(x) = {h(x+2) - αh(x)}/(β-α)
k(x) = f(x) - h(x)/(β-α)とおくと
k(x) = C0α^(x/2)、C0は定数
f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2)、C1は定数
a = 2のとき
f(x+2) - f(x) = C、Cは定数
f(x) = Cx/2 + D、Dは定数

×a ≠ 2のとき
○a ≠ 0かつa ≠ 2のとき

a = 0のとき
f(x) = C、Cは定数となり不適。
a = 2のとき
f(x) = ax + b、g(x) = cx + dとすると
ad - bc = 1/2を満たす場合に題意を満たす。
a ≠ 0かつa ≠ 2のとき
f(x+1) = f(x)/2、f(x-1) = 2f(x)より
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 0となり不適。

>>263
その定義をそのままつかったとしても

fとgに関する方程式が与えられていて
その未知なるfとgを、恒等式となるように決定する。

という問題であることになにか間違いがあるのか？

＞f(x+1) = f(x)/2、f(x-1) = 2f(x)より
は削除します。

>>273
なにも我流の定義すべてがいけないと言ってるんじゃなく
他の定義で話している中に何も断りもなく我流をしかも後出しで
押し付けに来るという行為を問題視しているのだが。

わりと難問です。
10両編成の電車を赤青黄の3色で塗り分ける。赤同士および青同士は、隣接してはならない（黄同士は隣接してかまわない）ものとして、塗り分け方は何通りあるか。

>>279
>他の定義で話している中に何も断りもなく我流をしかも後出しで
>押し付けに来るという行為を問題視しているのだが。
なるほど、確かにこれなら意思疎通の問題は生じ得るな。
だけど、定義が分かっていればと言うか読解力があれば、
>>252の「実多項式」は恒等式を指していると分かるだろう。
方程式ならそれを解けってなるだろ。
むしろ何で恒等式と方程式をごっちゃにしているのかがよく分からん。
まあ、方程式の厳密な定義は暗黙の了解となっていることが多いから、>>263の話も一理あると思う。

>>280
難問か？
DQN問題の間違いだろ？

だからさ、そういう話ではなくて
>>253が、方程式でなく恒等式ってことでよいのですか？ という
問題の文意を解ってんだか解ってないんだか微妙な質問があったところに
>>255が揶揄を含んで
（ｘについての）恒等式となるように（f,gについての）方程式を解けという意味だよ
と言っただけのことなんだよ。
その流れから言えば、方程式や恒等式の定義の話なんかに一理もクソもないんだ。

>>282
では華麗に解いてくれたまい

>>280　282ではないが、似た問題は、ここら辺に何度も出ている。
a,b,cの何れかを幾つか並べた列を考える。
この列を、最後の文字と、長さで区別する。
最後の文字がaで、文字の長さがnのものをA[n]、同様に、B[n]、C[n]と呼び、それに属する
列の数を値として持つこととする。
さて、ここで一つ、ルールを設ける。つまり、cだけは、連続して並べてはいけい。すると、
A[1]=B[1]=C[1]=1
A[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
B[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
C[n+1]=A[n]+B[n]
整理すると、A[n]=B[n]=2*(A[n-1]+A[n-2])、C[n]=2*A[n-1]等で、
A[10]=B[10]=9136、C[10]=6688で、合計24960

うわ、問題読み間違えてた。漸化式は
A[1]=B[1]=C[1]=1
A[n+1]=B[n]+C[n]
B[n+1]=A[n]+C[n]
C[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
で、8119が答えだ

>>280
途中まで
nを枝分かれをする階層の数として
青か赤を選択した場合にその後にくる組み合わせの総数をp(n)
黄色を選択した場合にその後に組み合わせの数をq(n)とする
p(1) = 2
q(1) = 3
p(n+1) = p(n) + q(n)
q(n+1) = 2p(n) + q(n)

>>273
地に足がついてない奴が背伸びして高校以上の数学の話をしようとしても
滑稽なだけだよ

>>283
揶揄にも知性が必要だからなあ
揶揄しようとしてかえって墓穴掘ったり恥かいてるんじゃ本末転倒では？

>>281
> むしろ何で恒等式と方程式をごっちゃにしているのかがよく分からん。 

ごっちゃにしているのは>>281だけのように見受けられる。

>>289
そういう台詞は、君なりに>>253に答えたあとで言わないと説得力がない。 
もちろん知性のある揶揄を含んだ答で。

とりあえず解けよ

言ってる単語の意味が数学界と違っても違わなくても
脳内修正して問題解け
本題解けないから横道の議論で誤魔化してるのそろそろバレてっからな

解けないのをごまかす必要など無いので（書かなければ十分だろう） それは何かの勘違い。

>>292
根っからの構って君体質が
他人を見る見方にもあらわれてるな

鏡も見てみるとよい

>>266

「方程」は中国の数学書「九章算術」の一章。多元一次方程式の解法を内容とする。〔大辞泉(小学館)〕

「方程」は中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。〔大辞林(三省堂)〕

>>266

「方程」は中国の数学書「九章算術」の一章。多元一次方程式の解法を内容とする。〔大辞泉(小学館)〕

「方程」は中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。〔大辞林(三省堂)〕

【九章算術】は中国古代の数学書。著者未詳。九章から成る。
　263 年に魏(ぎ)の劉徽(りゅうき)が注をつけて出版した。
　一説に紀元前 1000 年頃の著という。
　連立方程式の解法に、加減法が見られる。〔大辞林(三省堂)〕

　確かな証拠はないけれども、B.C.1105年に死んだ周公の命によって準備されたという伝承がある。
　前漢期の陵墓から出土した『算数書』発見までは、数学書としては中国最古のものであった。

九章に分かれており、延べ246問が収められている。 なお、九章算術の名前は九章からなる構成に由来する。

巻第一　方田章 - 主に田畑の(年貢のための)面積計算と分数の計算。
巻第二　粟米章 - 交換比率の異なる商品を物々交換するための計算。比例算。
巻第三　衰分章 - 商品とお金との分配。比例按分。利息計算。
巻第四　少広章 - 面積体積から辺の長さを求める。平方根や立方根。
巻第五　商功章 - 土石の量などを求める土木計算。体積。
巻第六　均輸章 - 租税の計算。複雑な比例問題。
巻第七　盈不足章 - 鶴亀算。復仮定法。
巻第八　方程章 - ガウスの消去法による連立一次方程式の解法。また、その為の負の数とその演算規則の導入。
巻第九　句股章 - ピタゴラスの定理に関する問題。測量など。
　http://www.weblio.jp/wkpja/content/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93_%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E6%A6%82%E8%A6%81

解いてみたい人は
　http://ctext.org/nine-chapters/zh

>>286 の続き
　(A[n] - B[n])/√2 = D[n],
　(1/2){A[n] + B[n] +(√2)C[n]} = E[n],
　(1/2){A[n] + B[n] -(√2)C[n]} = F[n],
とおくと
　D[n+1] = −D[n],
　E[n+1] = (1+√2)E[n],
　F[n+1｣ = (1-√2)F[n],
より等比数列で
　D[n] = (-1)^(n-1)･D[1],
　E[n] = (1+√2)^(n-1)･E[1],
　F[n] = (1-√2)^(n-1)･F[1],

本問では、D[1] = 0,　E[1] = (1 +√2)/√2,　F[1] = -(√2 - 1)/√2,
　|F[n]| = (1/√2)(√2 -1)^n < (1/√2)(1/2)^n,
　A[n] = B[n] = [ (1/√8)(1+√2)^n + 1/2 ],
　C[n] = [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ],

>>287
(続き)
[[p(n+1)], [q(n+1)]] = [[1, 1], [2, 1]][[p(n)], [q(n)]]
[[p(1)], [q(1)]] = [[2], [3]]
A = [[1, 1], [2, 1]]とおくと
[[p(n)], [q(n)]] = A^(n-1)[2, 3]
P = [[1, 1], [√2, -√2]]とおくと
P^(-1) = √2/4[[√2, 1], [√2, -1]]
P^(-1)AP = [[1+√2, 0], [0, 1-√2]]
となるから
A^(n-1) = P[[1+√2, 0], [0, 1-√2]]^(n-1)P^(-1)
= √2/4[[√2((1+√2)^(n-1)+(1-√2)^(n-1)), (1+√2)^(n-1)-(1-√2)^(n-1)],
[2((1+√2)^(n-1)-(1-√2)^(n-1)), √2((1+√2)^(n-1)+(1-√2)^(n-1))]]
p(n) = √2/4((3 + 2√2)(1+√2)^(n-1) + (-3 + 2√2)(1-√2)^(n-1))
q(n) = √2/4((4 + 3√2)(1+√2)^(n-1) + (-4 + 3√2)(1-√2)^(n-1))

>>298　「．．．の続き」とは．．．を書いた人間が使える言葉だと思うぞ
286本人による続き
対称性を考えると、A[n]=B[n]、つまり、A[n+1]=A[n]+C[n]、C[n+1]=2A[n]+C[n]=A[n+1]+A[n]なので、
A[n+2]=A[n+1]+C[n+1]=2A[n+1]+A[n]、A[1]=1、A[2]=2を解けばよい。
x^2=2x+1→x=1±√2なので、　A[n+2]-(1土√2)A[n+1]=(1干√2)(A[n+1]-(1土√2)A[n])
A[n+1]-(1土√2)A[n])=(2-(1土√2))(1干√2)^(n+1)=(1干√2)^n
差を取って　A[n]={(1+√2)^n-(1-√2)^n}/(2√2)　以下略

>>300
は？287 = 299。

>>301
>>286>>298>>300の流れに
>>287>>299は関係ない。

>>301
それはそうだが、299は自分のレスに対する(続き)であって、前のレスに対するものではない。

>>303
303=301?
「>>301」は「>>302」の間違い？
>>299が>>298の続きだと思ってる人はいないよ。

>>304
そう。301=303

今北。わけわからんｗ

>>300が>>299に対するレスかと勘違いした、失礼

>>286を解いてP[n]=A[n]+B[n]+C[n]とすると
P[1]=3
P[n+2]=2P[n+1]+P[n]
となるが、これはどう解釈できるのかな

>>288
>>290
実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。
高校と大学の数学は論理展開が全く違うんだよ。
地に足が付いていないのはそっちだと思われる。
こちらが地に足が付いていないというなら、(代数)方程式の厳密な定義を書いてほしい。
こちらも(代数)方程式の厳密な定義は知らない
(大学1年あたりでやる実数体R上の連立方程式も1つの(代数)方程式で
大抵ガロア理論はそれ以降でやるだろ)。

虚勢を張れば張る程滑稽
方程式と恒等式の違いの区別がつかないことは
論理展開の違いじゃ言い訳にならないわｗ
ｆ（x-1）の意味すらわかってるのかあやしいな

>>310
xが文字であることは既にご承知さ。

>>309
f(x)=x, g(x)=1 のとき f(x+1), f(x-1), g(x+1), g(x-1) が各々どうなるか書いてくれないか

そう言えば大学数学で恒等式と言う用語は出て来たっけ？
恒等式という概念は出て来るが、少し時代錯誤の本で勉強したこともあり
そのような用語は余り聞いた覚えはないな。
恒等式の厳密な定義はされていたけどな。
多分認識のギャップが生じるとしたらそのようなせいもあるだろう。
いきなり古本に主にタイムスリップしたからな。

>>312
こういうのは基本中の基本だと思うけど
f(x+1)=x+1、
f(x-1)=x-1、
g(x+1)=g(x-1)=1。

たぶん>>312は

＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
はどこから沸いてきたんだ？

って話をしてるんだと思うんだ

>>315
実係数多項式f、gはそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
の形で表されて実数体Rは乗法について可換だから
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
が示される。群や準同型による多項式の定義では
文字への代入についても定義されていたりして、
f(x+1)、g(x-1)が定義される前に或る文字Xを用いて
多項式f(X)、g(X)が定義されていないといけない。

>>316
>実係数多項式f、gはそれぞれ
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
>g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
>a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
>の形で表されて
で、f(x+1)、g(x-1)、g(x+1)、f(x-1) はそれぞれどう表されるの？

>>316 もはやどこから突っ込めばよいか（苦笑）

f(x+1)g(x-1)=(x+1)1=x+1
g(x+1)f(x-1)=1(x-1)=x-1

x+1=x-1

>>317
>>318
多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環で、
xにx+1やx-1をそのまま代入出来ることを示すことが出来ちゃうんだよ。
>>314もそこから来ているんだよ。
少し代数の話からはそれると思うけどな。

代入出来ることを示すには、多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環の部分環としなければならなかった。

>>316
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される。
詳しく示して。

>>322
丁寧に書くと少し複雑になったり長くなることもあり、ここではやらない方がよい話だと思う。

>>323
>>312→>>314→>>319 とは違うということだな？
ところで>>317の答は？これも「少し複雑で長い」のか？

f(x)＝x
g(x)＝1

と置くと、

f(x＋1)＝x＋1
f(x−1)＝x−1
g(x＋1)＝1
g(x−1)＝1

となり、

f(x＋1)g(x−1)＝x＋1
f(x−1)g(x＋1)＝x−1

となる。よって

f(x＋1)g(x−1) ≠ g(x＋1)f(x−1)

が成り立つ。

>>324
細かく言えば>>312→>>314→>>319となるが、
>>312が仮定された時点で>>314と>>319は
(機械的演算という観点からは)ほぼ同時に言える。そして>>317は、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
のf(x)やg(x)のxを文字と見なしてf(x)やg(x)のxをx+1やx-1で置き換えて計算すればよい。
このように多項式を定義するには何らかの1つの文字Xを持ち出して
f(X)=…、g(X)=…のように表さないと話が始まらない。
このように定義すれば、置き換えや代入が出来ることを示せるが、丁寧に書くとこれが意外に長い。

>>326
君は309で

＞実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。

と書き、316では

＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)が示される。

と書いているが、その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。
君は間違っている。

1=0 でも仮定してんじゃないの？そうすりゃ何でも証明できる

「 可換性から f(x＋1)g(x−1) ＝ g(x−1)f(x＋1) が成り立つ 」　(←これは正しい)

と言いたかったのを

「 可換性から f(x＋1)g(x−1) ＝ g(x＋1)f(x−1) が成り立つ 」　(←これは間違い)

とタイプミスしてしまった可能性もある。

>>327
>その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。
んじゃなくて、>>325のように置いたり出来る背景の1つには
(半)群や準同型などを用いた表現論的な多項式の定義がある。
このように定義すると、>>325で置き方ではfやgの説明がなければ
f(x)＝x、g(x)＝1と置いた時点でxへの数値が保障されて、
f(x)やg(x)を関数と捉えることも出来る。

訂正：xへの数値→xへの数値の代入

>>329
本当に言いたいのは、多項式環R[X]が可換環とかそんな生ぬるいことではない
(例えば、多くの場合多項式環R[X]をR[X*1]と表したりはしないだろう)。

>>332
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
と表されるとき、f(x+1) はどう表されるのか、結論だけでいいから書いてみて

>>333
そのままxの多項式と見なせば
f(x+1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
となるし、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えれば
f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
となる。こんな風に、表現論的に多項式を定義すると多くの解析的代数的演算が保障されて
解析的演算の観点からすると扱いが便利と言えるし代数的には少々面倒でもある。

>>334
書かなくても分かると思って省略したが、念のために省略せずに書くと
>そのままxの多項式と見なせば
は
(右辺自身を)そのまま(1つの)xの多項式と見なせば
だ。f(x+1)のx+1を多項式と考えた場合それは
文字xがあって定義されることは既にご承知済だよな？

>>335は>>334でなく>>333へのレスだったな。
少し飯食ってくるからじゃあな。

>>308
　P[n] = C[n+1],　と解釈できまする...

　C[1] = 1, C[2] = 3, より、
　C[n] = (1/2){(1+√2)^n + (1-√2)^n}
　　　 = [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ],　　(← ガウス括弧)

>>298 の続き

DEF が求まったので
　A[n] = (1/2){ (√2)D[n] + E[n] + F[n]},
　B[n] = (1/2){-(√2)D[n] + E[n] + F[n]},
　C[n] = (1/√2)(E[n] - F[n]),
で ABC に戻す。

で、>>252の等式はどこへ行っちゃったの？

>>339
答えは、リンク先に全部書いてあるからなあｗ（１箇所ミスがあるように見えるけど）

f(x)もg(x)も１次以下の整式で
f(x)=ax+b，g(x)=cx+dとおくとad-bc=1/2となる場合が全て、ということのよう。
ハンガリー語だが、数式だけ追えば何をやってるかは大体分かる
（最後の1/2が-1/2になってるところだけが謎）

>>334
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される
のはどっちの考え方？

変な強がりから始まって
定義や表記法の確認からはじめなきゃならないスレになってしまったｗ

>>340
>>252と>>309の関係を知りたいだけなんだがｗ。

>>341
(右辺自身を)そのまま(1つの)の多項式と見なしても
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えても、結局は
f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)、g(x+1)、g(x-1)についても同様にg(x)=g(x+1)=g(x-1)
となって多項式環R[X](R[x])は可換環であることもあり、
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)自身はどちらの考え方でも示せる。

>>342
変な強がりと書いた時点で僕は頭悪いんですって言っている気がする。
>>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
ほぼ確実に×になるよ。
まあ、f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n の右辺自身の方だけを
そのまま(1つの)xの多項式と見なすなんてことは余りしないから
多項式と捉えるなら暗黙のうちに両辺をxの多項式と見ることが多いんだが。
余りおススメしないが別にやりたきゃそちらのその定義でやってもいいぞ。
厳密な定義とは決して言えないけどな。
数論とかに出て来る可換環Q[√s]が何故そのように書かれるのかとかも
説明出来るんだから表現論的定義は便利だよ。

そろそろこいつどうにかしろよ

>>345
変な強がりとか変なこと言い始めて来たから御返事しただけだろう。

>>297
算数書

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/j2.htm
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/jochi2001.pdf

引っ込みが付かなくなっちゃったみたいだね。
術語を並べて日本語のようには見えるけど実は意味不明な文字列を書くことで
偉そうに見せるだけだね。

> >>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
> ほぼ確実に×になるよ。
筋の悪い数学を学んだようだ。

足元おるすな中学生が借り物知識かきあつめて背伸びしてんじゃね？

>>348
今の時代に何十年も前の時代錯誤な(大学以降の)数学書を読んでたらそうなったんだろうなあ。
群作用や二次体なんて当然のように出て来たぜ。
正確って言うんだか筋がよいって言うんだか、そんな説明は後回しだ。
或る意味線型微積より複素解析や抽象代数の方が基本的だ。
というかやらざるを得ない。
筋がよいか悪いかにかかわらず、試験の答案に日本語の丁寧な説明を求める人がいたことは言っておく。
聞いたことないが、それ以前に(大学以降の)数学に筋の良し悪しなんてあるのか？
何か受験数学っぽい考え方だな。

話が合ったり合わなかったり、
数学科以降の厳密な数学の観点で書いたことが間違いだったか。
どういう数学やってる人がここに書いているんだ？

>>334
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えれば
> f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
> となる。

>>344
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えても、結局は
> f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、

つまり
a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
だと？

>>280
ａ[n]=ａ[n-1]+2ａ[n-2]+2ａ[n-3]+……+2ａ[2]+2ａ[1]+4
ａ[1]=3,ａ[2]=7
よってａ[3]=17,ａ[4]=41,……,ａ[10]=8119。

>>352
>a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
>= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
は勿論恒等的に成り立つ式ではないが、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)が実多項式である限り、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)の方を最初に定義されたと考えるか、
a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_nの方を最初に定義されたと考えるか、どちらにするかで扱いが変わる。
前者らの方を最初に定義すればf(x)、f(x+1)、f(x-1)についての取り扱いや具体的表し方はまだ不明で
この時点ではx自身の恒等式はまだ具体的に表されていないが、
x自身についての恒等式や方程式の問題を作ることが出来る。
後者を最初に定義されていると考えてそれをf(x)、g(x)=f(x+1)、h(x)=f(x-1)でそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n　、　g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n　、　h(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
と表せば、直ちにf、g、hについて恒等的に成り立つ式f(x)=g(x)=h(x)が生じる。
この時点では多項式g(x)、h(x)についての具体的表示はまだ不明で
f(x)、g(x)、h(x)について具体的に表示された多項式についての恒等式を作れる。
>>252を解くにはxの恒等式と見なさないと話が始まらないから、結局はどちらかの考え方をとることになる。

>>351
方程式の定義もあやふやな
数学科以前の部分がおろそかな子の負け惜しみの
脳内「数学化以降の厳密な数学」で書いたのが間違いだったんじゃね？

いいかい、問題を解き終わるまでは条件を満たす実多項式f(x)、g(x)の存在性はまだ正確には保障されていない。
もしかしたら存在しないのかも知れない。
解き終わって確認することで初めて条件を満たすf(x)やg(x)の存在性は本当に示される。
しかし、大抵は解くには或いは存在しなかったことを示すにはf(x)やg(x)の存在性を仮定しないといけない。
問題を解く過程では論理的にはf(x)やg(x)の存在性について矛盾した仮定をすることになる。
矛盾した仮定をしているんだから解く過程では何仮定してもよいという訳だ。

過程と仮定がややこしい

仮定と家庭と下底も混ぜて、文章を作ってください

方程式とか恒等式とかが
そんなに面白い問題なのか？

>>359
お前にとっての面白い問題って何だ？
言ってみろ？ あ？

確かになんか面白い要素があって投稿してる訳だし
そっちが趣旨なんだから揚げ足なら大目に見てやれよ

出された問題も解かずに
方程式だ恒等式だなんだかんだと言い合うのが趣旨なのか？

(・3・)

サイコロを振って出た目をそのまま得点とする。サイコロをn回振ったとき、得点の合計が10の倍数になる確率を求めよ。

>>364
さすがに、これを面白い問題スレに貼るのはないと思うよ
宿題は質問スレに書き込むべきだ！

カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

>>364を少し改変して

n回サイコロを振ったときの目の合計が10の倍数である確率を P(n)とする。

lim_[n->∞](P(n))を求めよ。

>>356
存在するという仮定それ自体に矛盾はないだろ。
その仮定により矛盾が生じるなら、仮定が誤りであることが分かるだけ。

>>367
結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。
そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
はてさて、答案を書くときどんな立場をとるか。
最終的に解があることと分かって書くか、こんなことはまだ分からないと考えるか。
必ず解があるとは限らないんだから、論理的に書くなら後者のようなスタンスで書くのが無難だろ。
そのようなスタンスで書くなら、最終的に解がある問題では多くの場合
求めんとする解の存在性の仮定で、論理的に少しあやふやにならざるを得なくなる。
このような場合、存在の論理的正当性は、求めた解が最後の条件を満たすことを確認することで確立される。
高校以下の数学では、そのような大事な作業を怠っていることが多い。
電光石火のようにいきなり条件を満たす解を見つけたとして書くなら話は別だがな。

あと、方程式の厳密な定義はもういいよ。
今さらながら多項式の厳密な表現論的な定義の続きの延長線上にあることが分かった。
多項式をなす単項式が文字に価を一切代入出来ず線型独立か
多項式をなす単項式が文字に値を代入することが許された上で線型従属か
が大きな違いであることに気付いた。
線型代数と表現論的定義強しだな。

>>368
>そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
全然。
それが仮定する、ということ。

>>370
そのように仮定した答案を論理的に前から順序立ててたどって考えてみろ。
解を求めんとする裏で、仮定したい解の存在性についての理論的背景があったり
一目で解の存在性が明らかな場合は問題ないかも知れないが、
そうでない場合はどうして解の存在性が確立されていて
解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
という問題が生じることになる。

>>371の
>解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
は
解を…とすることが出来ると言えるのか、
解の存在性は正確に立証されているのか、
本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
に変更。

＞本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
「解が存在するとして話を進めてはイケナイ」と言いたいのか？じゃあ、

「解は存在しないとして話を進めるべきである」

ということか？でも、この場合

「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」

という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。


結局、お前の立場では身動きが取れず、如何なる問題も解けなくなるわけだ。

>>368
＞結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
＞最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
＞答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。

解が存在すると仮定して、最後に待っているのが『矛盾』だった場合、
それは背理法と呼ばれる論法であり、お前が言うとおり、何も問題は起きない。


じゃあ、最後に待っているのが『矛盾』ではなく、
『何らかの条件』だった場合はどうなるのか？この場合、

「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」… (1)

という結果が得られたということである。
(1)は「 P ⇒ Q 」という形の論理式であるから、結局、

「 (1)に対応するP,Qについて、論理式『 P ⇒ Q 』は真であることが証明できた」

ということである。従って、この場合もやはり、何も問題は起きてない。
ただし、この場合、解が存在することを証明したわけでは無い。
ただ単に、ある種の「 P ⇒ Q 」という形の論理式について、
その論理式が真であることが証明できただけである。
しかし、そのことは「論理的におかしい」わけでは無い。

>>252 の問題で「解が存在する」と仮定して何が起きるかというと、

「 >252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 でなければならない 」

という結果が得られるということである。何もおかしくない。
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。


もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。
すなわち、「解が存在する」が真であることは まだ証明できていない。
しかし、何か論理的に おかしなことが起きているわけではない。

>>373
２ちゃん見てたらたまたまレスが書かれていたけど、
皆さ〜ん、…を求めて下さ〜い、なんて問題出されるのはお受験数学までだよ。
例えば、1つ根を見つけて因数定理使って2次方程式に還元する実係数の3次方程式の問題で、
その見つけなければならない根が456/11なんていう類の問題だったらどうするんだい？
殆ど身動きとれないだろう？だけど実係数の3次方程式だから根は確かに存在する。
これだと根456/11を見つけるまで答案が書けないぜ。456/11なんていう根見つけるのは難しいだろう？
お受験数学でもこんなのは作ろうと思えば作れてしまう。

>「解は存在しないとして話を進めるべきである」
>ということか？でも、この場合
>「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」
>という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。
むしろ勝手に決め付けて話を進めているのはアナタの方だと思う。

>>368
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
もう一度言うが、何もおかしくない。

「 P 」が真であることを証明することと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することを
混同してはならない。


「 P ⇒ Q 」が真であることを証明する際に、「 P 」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。特に、

「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」

という論理式を証明する際に、「解が存在する」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。


解の存在があやふやとか、そういう問題では無い。

>>375
>ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。
ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと或いは真であることが分かっていないといけない。
>>252の問題でPが真であることを示している部分は求め終わった部分だろう？
なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。

>>378
＞その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと
＞或いは真であることが分かっていないといけない。
もちろん、Pが真であることの証明は追加で行う。


＞なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
当たり前じゃないか。
「確認の作業が必要無い」なんて誰も言ってない。
俺は>>368 の
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
この部分に反論したまでだ。

>>378
＞ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
「証明した意味が無い」かどうかは、目的によって変わる。


「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。

しかし、「解を全て求めたい」場合には、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "とても意味がある" ことだ。
なぜなら、もし運よく

「条件Qを満たせば、それは解である」

ということが証明できたなら、
「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
ということになるから、全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。


オマケ：運悪く

「Qを満たすだけでは解とは限らない」

というケースもあるが、この場合は、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "あまり意味が無い" と言えるだろう。

>380の中央付近を訂正。というか書き足し。

＞なぜなら、もし運よく
＞
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになるから、全ての解が判明したことになり
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。

↓

なぜなら、もし運よく

「条件Qを満たせば、それは解である」

ということが証明できたなら、これと先に示しておいた「 P ⇒ Q 」により、

「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」

ということになるから、これで全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かる。

>>379
勝手な偏見に過ぎないが、…を求めよっていう類の問題の答案を論理的に見た場合
…を解とするとしてその解を求める過程と
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
…を求めよっていう類の問題の答案にそのような証明は書いたことないんでそのあたりはよく分からないが。
…を解とするとしてその解を求める過程を書いた大抵の答案って、ああいう書き方で証明になっているのか？

>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
同じ。たとえば次のような解答。


解答例：

>252に解f(x),g(x)が 存 在 す る と 仮 定 す る 。
〜〜(中略)〜〜
よって、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 でなければならない。
以上により、

「>252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 でなければならない」 …(1)

ということが言えた。
次に、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2のとき、このf(x),g(x)は解になることを示す。
〜〜(中略)〜〜
よって、このf(x),g(x)は確かに解になる。以上により、

「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 は>252の解である」 …(2)

ということが言えた。(1),(2)により、
f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2
だけが解である。

もう1つ、別の観点から。

>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？

Pを満たす元全体の集合をAと置き、Qを満たす元全体の集合をBと置くと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することは「 A⊂B 」を証明することと同値。
そして、「 A⊂B 」のテンプレ的な証明法は以下のようになる。

証明：「a∈Aならばa∈B」を示せばよい。a∈Aとする。
〜〜(中略)〜〜
よってa∈Bである。以上により、確かに「a∈Aならばa∈B」が
成り立つので、A⊂Bが成り立つ。


↑この証明において、「a∈Aとする。」という部分は
「解が存在すると仮定する」とか「…を解とする」という行為と全く同じ。
また、「〜〜(中略)〜〜」の部分は "…を解としてその解を求める過程"
そのものである。

従って、"…を解としてその解を求める過程" は、上のA⊂Bの証明と
全くことをしているわけで、つまりはA⊂Bの証明と全く同じ厳密さを
持っている。そして、A⊂BとP⇒Qは同値なのだから、結局、
"…を解としてその解を求める過程" は、P⇒Qを証明するのと
同じ厳密さを持っていると言える。

>>383
>>384
なるほど。
色々と基礎論的観点から教えてくれたり誤りの指摘どうもありがとう。

>>375
＞もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。
Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。

＞「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。
Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2」
であるとするならば、Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。

＞なぜなら、もし運よく
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになる
もし「条件Ｒを満たせば、それは解である」という場合であれば、Qを満たすことを証明した
だけでは、その条件Qのみが解であるとはいえない。

>>386
「・・ならば〜である」という命題に、普通の論理では説明できない意味を込めているようだ。

>>386
＞Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。
示されてないよ。「 P ⇒ Q 」を示した段階では、Pが真であることは
まだ言えてない。


＞Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2」であるとするならば、
＞Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。
その段階では、まだ言えてないよ。
「Qを満たせば解である」を示した段階で初めて「解が存在した」と言える。

もし運悪く「Qを満たすものが どれも解にならない」が示せてしまうなら、
これは『矛盾』が示せたことになり、実は解が全く存在しないことになる。
つまり、「 P ⇒ Q 」が示せた段階では、Pの真偽について何も言えない。
Qを満たすものが解になるか否かをチェックして初めてPの真偽が分かる。

386の主は、その人には仮定の話をしちゃいけない人。

日本語が不自由だ

今度は解の存在性の仮定を許すのかどうかが面白い問題になったのか？

その話はもう終わってるのだが

>>386またはそれ以外の人は
>>388またはそれに類するものにはもうレスをしない
という予言であると受け取ってよろしいか？

>>388
この問題を解いていく過程においては
Pを「f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1を満たす、関数f(x),g(x)が存在する」
f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0として
Qを「a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数)
a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数)
a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)」
とした場合に
P => Qが成立する。
このQの条件の中で、Pの条件式を満たすということを考慮してすると
「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2」・・・�@
が成立する。この条件�@は、Pが真であるということを示している。

訂正
×P => Qが成立する。
○PならばQが必要である。

よく聞こえんな。
何が終わってるんだって？

>>394
＞ a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数)
＞ a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数)
＞ a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)
これらの条件をまとめてRと置き、�@の条件をQとしよう。
すると、>394でやっていることは

・まずは「 P ⇒ R 」を証明した。
・Rでは必要十分条件にならないので、Rをさらに絞り込むことにした。
・すると、「a≠0かつa≠2の場合」「a＝0の場合」は解にならないことが分かった。
・残ったa＝2の場合は、さらに条件を絞って条件Qにした場合のみ、解になることが分かった。
・今の段階で、「Pは真である」ことが先に証明できてしまった。
・それと同時に、「 P ⇒ Q 」も実質的に証明できている。
・従って、この議論では、”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることは既に示せている”と言える。

ということになる。うむ、正しい。
しかし、この議論の仕方は、「 P ⇒ Q 」および「Pは真である」の証明を
同時進行で行っているのであり、この議論を

”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることも言えている” … (1)

と表現するのは、ちょっと語弊があるな。

”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した”

と表現するのが正しい。
俺が(1)で言いたかったのは

”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない”

ということだから。

>>397
＞”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した”
逆、条件Rの中で
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで
「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。

＞”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない”
一般的には正しいが、この問題の場合は、
Pを「条件を満たす関数が存在する」
とした場合には、条件Qがその関数自体であり、条件Qが成立するならば
条件Pも真となる。

これは、どのレスの問題の答えなのですか？

一応>>252の続き

>>398
＞「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。
君がやっていることは、

・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。

ということに過ぎない。それは

"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"

ということを　意　味　し　な　い　。

「 P ⇒ Q 」の証明は、「Pが真である」ことの証明に何ら関与していない。
あくまでも君は、「 P ⇒ Q 」の証明とは別個に、「Pが真である」ことの証明を
紛れ込ませているに過ぎない。

>>398
＞逆、条件Rの中で
＞f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
＞を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで

そこが問題。君は何かを勘違いしている。
気が言っている「条件Qが成立することが示せた」とはどういうことか？
どうやってソレを示したのか？俺から見れば、ソレを示す方法は2通りある。


方法その1：
「条件Qを満たすf(x),g(x)は、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たす」
ということを直接的に手計算でチェックした。


方法その2：
「 P ⇒ R 」の証明中において、
(すなわち、「Pが真だと仮定する」という仮定を未だに続けている最中において、)
条件Rで与えられている3つの条件のうち、[a≠0かつa≠2の場合]及び[a＝0の場合]だと
矛盾することを導いた。(自動的にQが成り立つしかないという論法)

方法その1は、「 P ⇒ Q 」の証明を全く活用せずにチェックできる方法なので、
この方法は「 P ⇒ Q 」の証明とは無関係。それでも、「 P ⇒ Q 」の証明の中において、
わざわざ この方法を紛れ込ませてチェックすることは可能であり、そのチェックで以って
「Pは真である」ことは証明できる。ただし、この場合、

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"

わけでは無い。あくまでも、「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、
「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませた、ということにすぎない。


方法その2の場合、これは「 Pが真である 」という仮定を引きずったままで
「自動的にQが成り立つしかない」と言っているので、この方法では
「Pが真である」ことは導けない。この場合の「Qが成り立つ」という主張は、
あくまでも「 Pが真である 」という仮定ありきで導かれた結果だからだ。
「 Pが真である 」ことを言いたければ、後で追加の証明が必要になる。
すなわち、「Qを満たせば解である」ということをチェックする証明が必要になる。


結局、どちらの方法でも、

"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"

ということは無い。

そろそろ別スレ立ててやれ

>>398
＞Pを「条件を満たす関数が存在する」
＞とした場合には、条件Qがその関数自体であり、

「条件Qがその関数自体である」という主張を、
一体どのようにして証明したのかが重要。


既に書いたとおり、方法その1のように直接的な手計算で
「条件Qがその関数自体である」ことを証明したのであれば、
それは「 P ⇒ Q 」の証明を全く活用していないから、

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"

とは言わない。「 P ⇒ Q 」の証明の中に、それとは別個に、
「Pは真である」の証明を紛れ込ませたに過ぎない。


方法その2のように、「Pが成り立つと仮定する」という条件を引きずった状態で、

"Q以外の条件をチェックしたらダメだったから、自動的にQしかない"

という形で「条件Qがその関数自体である」ことを証明したのであれば、
それは、「 Pが成り立つと仮定する 」という仮定ありきで得られた結論だから、
そのことから「 Pが真である 」ことを導くことは出来ない。

仮定の話が通じない奴なんだから、ほっておけよ。

なお、方法2における「Pが成り立つ」の仮定を
打ち切った場合の方法についても書いておく。


方法その2’：
「Pが成り立つと仮定する」という仮定を打ち切って、
何の仮定も置かない状態で[a≠0かつa≠2の場合]及び[a＝0の場合]の
場合をチェックし、これだと解にならないことを示す。


この方法2’の場合、「Rに含まれる3条件のうち、2条件がダメだった」
ということしか言ってない。これと「 P ⇒ R 」により、

「解があるとしたら、その解は条件Qを満たすしかない」

ということまでは即座に言える。しかし、この後が続かない。
「 Pが真である 」ことは言えてない。条件Qだと本当に
解になるのかは、この方法だけでは分からない。
結局、追加でチェックする証明が必要になり、やっぱり

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"

ということにはならない。

>>402
＞「条件Qが成立することが示せた」
「条件Qの存在が示せた」ということでもよい。

Rの条件を
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
にそれぞれ代入することで、Qを導き出している。

Pを満たすための条件としてRを導き、Rの中でPを満たす条件としてQを導出している。
この時点で、P=>Qが証明された。
Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は条件Qが存在するのであるから
Pが真であることが、
そ　の　結　果　と　し　て
示されている。

>>407
＞この方法2’の場合、「Rに含まれる3条件のうち、2条件がダメだった」
Rの3条件全てをチェックし、Pを満たす1つの条件をQとしている。
これは、
「P => Q」の証明に含まれている。

背　理　法　で　「P => Q」　を　証　明　し　て　い　る　訳　で　は　な　い。

＞結局、追加でチェックする証明が必要になり
追加のチェックとして、3条件の内Qである1つの条件だけを分けて考える意味はない。

＞Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は条件Qが存在するのであるから
＞Pが真であることが、
＞そ　の　結　果　と　し　て
＞示されている。

その主張において、条件Qにこだわる理由は何だね？
条件Qよりも先に、条件Rが得られていただろう。だったら、

Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は　条　件　R　が存在するのであるから、
Pが真であることが、その結果として示されている。

↑このように主張したっていいはずだ。なぜ、RではなくQなんだね？
それを突き詰めていけば、君が大きな勘違いをしていることが分かるはずだ。


まず、君に質問するまでもなく、Rではダメなのは明らかだ。

「条件だったら何でもいい」

わけでは無いからだ。最初に条件Rを見つけた段階では、
「 Rの3条件が、どれも実際には解にならない 」
という可能性がある。この場合、Pが真であることは示されない。
だから、Rではダメなのだ。

条件Rでは まだ不十分だから、Rをさらに精査して条件を絞り、
そして君は、条件Qを見つけ出し、「Qが存在する！」などと主張したのだろう？

でも、そうやって見つけたQでさえ、不十分である可能性がある。
Qをさらに精査して、さらに条件を絞らなければならない可能性がある。
それなのに、どうして君は、Qを見つけた時点で条件の精査を打ち切って、

「 Qこそが求める条件であり、Qこそが、存在する条件だ！」

などと思ったのか？……君は無意識のうちに、

「条件の精査を終了するための、何らかの判定基準」

を使ったはずだ。条件Qは、その判定基準を満たしたのだ。
だから君は、そこで条件の精査を打ち切ったのだ。


では、その判定基準とは何か？簡単だ。その基準とは

「 考えている条件が実際に f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たすか否か 」… (*)

である。この(*)を満たしたらこそ、君は そこで条件の精査を打ち切り、

「 Qこそが求める条件であり、Qこそが、存在する条件だ！」

などと思ったのだ。つまり、

"Qこそが、存在する条件である" と主張するための根拠は(*)であり、
Qが(*)を満たしたからこそ、そのように主張できた

ということだ。
一方で、「(*)を満たす」とは「Pが真であることを示す」ことに他ならない。
つまり、「Pが真であること」が先に証明されているのだｗ

上に書いたとおり、

「Qこそが、存在する条件である」

と主張するための根拠は(*)だったのだから、(*)をチェックしなければ、
そのような主張は出来ない。しかし、(*)をチェックした段階で、
「Pが真であること」が先に証明されてしまう。従って、

"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"

ということは絶対に無い。君の方法では、

「探している条件が(*)を満たすこと」(すなわち「 Pが真であること 」)

をチェックしなければ、条件Qは確定しないのだ。つまり、

「 Pが真であること 」

を先に言わなければ、条件Qは確定せず、
「Qこそが、存在する条件である」とは主張できないのだ。

だから、君の主張は間違っているのだ。

もう一度言っておくが、君は

「 Qこそが存在する条件であり、その結果として、Pが真であることが示されるのだ 」

などと主張しているが、

「 Qこそが存在する条件である 」

ことを証明するために、君は(*)をチェックしているので、つまりは

・「 Pが真であること 」をチェックすることで「Qこそが存在する条件だ」と主張している

ということになり、順番が逆なのだ。
君は「Pが真であること」を先に証明しているのだ。

>>410
＞Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は　条　件　R　が存在するのであるから、
＞Pが真であることが、その結果として示されている。
誰もそんな事は主張していない。このように書いていながら、

＞「 Rの3条件が、どれも実際には解にならない 」
＞という可能性がある。この場合、Pが真であることは示されない。
＞だから、Rではダメなのだ。
とも記載していて、明らかに矛盾している。そのようなことは分かっているから、Rの条件の内
Pを満たす条件は、Qの条件のみだということを書いている。

＞「Qが存在する！」
に関しては、Qの条件でそのPで仮定していた、関数そのものが存在が確認されたということを
表しているが、案の定そのようには理解してもらえなかったようだ。

>>411
＞一方で、「(*)を満たす」とは「Pが真であることを示す」ことに他ならない。
＞つまり、「Pが真であること」が先に証明されているのだｗ
先も何もない。同時に示されている。後は>>408の後半をよく読んでもらうより他はない。

>>412
＞「探している条件が(*)を満たすこと」(すなわち「 Pが真であること 」)
(*)を満たすことを示すことは「P => Q」をしてしているのであって、関数の存在を示すためのものでは
ない。
例えば、先の例でa=0の場合をQとした場合にはQは(*)の条件を満たさないのであるから
「P => Q」とは言えない。a=2の場合をQとした場合にのみ、Qの条件が(*)を満たし
「P => Q」を示している。
条件Qが空集合となる場合には、条件Pを満たす関数は存在しないことになり。
関数の存在するというPの命題は偽となる。

>>413
＞「 Qこそが存在する条件である 」
＞ことを証明するために、君は(*)をチェックしている
そうではない、式を変更して
a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)
という式を導き出しているので、導出された条件Rがそもそも条件Pの(*)の式を満たすか
どうかの確認が必要になる。(*)の式を満たしていないのであれば、「Pならば」の部分を
表していないことになるからだ。Qが確定した段階で
「P => Q」が示せた。その後、Qという条件の関数が存在することから
「Pが真」 <=> 「(*)を満たす関数f(x)、g(x)が存在する」
ということがいえる。

>>415
＞Qが確定した段階で「P => Q」が示せた。
＞その後、Qという条件の関数が存在することから

その書き方だと、

・まずは「 P ⇒ Q 」を示しました。
・その後で、「Qという条件の関数が存在すること」を追加の証明で示しました。

と主張しているように読めるぞ。ここで言う"追加の証明" とは、

「 Qを満たすf(x),g(x)を考えたとき、これがf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を
　 満たすことを手計算で確認する 」

ということだ。

>>415
＞(*)を満たすことを示すことは「P => Q」をしてしているのであって、
＞関数の存在を示すためのものではない。

そこの感覚が、意味が分からない。君が(*)をチェックする目的が

「関数の存在を示すのが目的ではない！」

のだとしても、(*)を満たすことが言えた瞬間に、君の目的や意図とは無関係に

「 Pは真である 」

が証明されたことになるわけよ。
つまり、君は「 Pが真であること 」を先に証明してしまったわけ。

>>415
＞例えば、先の例でa=0の場合をQとした場合には
＞Qは(*)の条件を満たさないのであるから「P => Q」とは言えない。
そうだね、「(*)が満たされない」ということを根拠にして、
[a＝0の場合]にバツ印をつけてるんだよね。つまり、

「こんな条件では矛盾が起きて、解にならなかったぞ！！」

ということを根拠にして、[a＝0の場合]にバツ印をつけてるんだよね。


＞a=2の場合をQとした場合にのみ、Qの条件が(*)を満たし「P => Q」を示している。
そうだね、「(*)を満たす」ということを根拠にして、
[a＝2の場合]にマル印をつけてるんだよね。つまり、

「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」… ★

ということを根拠にして、[a＝2の場合]にマル印をつけてるんだよね。
ほらね、「 Pが真であること 」が先に証明されてるじゃないか。

★がどういうことを言ってるのか、分かるか？
「解が見つかりました！」と言ってるんだぞ？
「 Pは真であると判明しました！」と言ってるんだぞ？
そこで初めて、[a＝2の場合]にマル印がついたんだぞ？
つまり、「 Pが真であること 」の証明が先に終わってるんだぞ？

分かるか？

>>415に もう1つ質問をしておこう。

問題：連続関数 f：R → R で、

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は(A)を満たすことが簡単に
　　　確認できる。しかもfは連続関数であり、fの値域はRだから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]


この解答について、>>415はどう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]〜[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」

と主張するのか？

>>417
＞つまり、君は「 Pが真であること 」を先に証明してしまったわけ。…★★
意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。

それを示さない限り★★の主張は誤り。

>>419
[3.1]は>>252の問題の場合は
3条件(R)の中から、1つの条件(Q)を導き出す過程に等しい。
「P => Q」と、「Pが真である。」ということは同時に証明されるので、どちらが先も後もない。
ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。

[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。

>>421
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
そこは抜けていていいんだよ。質問の意味分かってる？
もう少し丁寧に書くぞ。


問題：連続関数 f：R → R で、

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は、任意のx,y∈Rに対して f(y)^2＝2*f(x)−1 を満たすことが
　　　簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1−1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、
　　　この関数は(A)を満たす。しかもfは連続関数であり、fの値域はRに含まれるから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]


この解答について どう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]〜[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」

と主張するのか？

(続き)あるいは、この解答について

「 [3.1]〜[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない 」

などと主張するつもりか？


>>421
＞ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。
意味不明。君が言うように、本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、

"「 P ⇒ Q 」の証明が「Pが真」の証明を兼ねている"

ということは有り得ない。当然、

"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"

ということも有り得ない。
なぜか？もし本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、
その証明をSと置けば、Sという証明は「 Pが真だと仮定する 」という仮定を
最初に置いてしまっているので、Sの全ては「Pが真である」という仮定ありきでの
証明にすぎない。実際にその証明Sを機能させようとしたら、「Pが真である」という仮定が

"実は仮定ではなく、実際に成り立つ事実なのだ"

ということを追加で証明しなければ(すなわち「Pが真である」を追加で証明しなければ)、
証明Sは機能しないのだ。

"証明Sが得られた段階で、この証明Sは「Pが真」も同時に主張している"

などということは有り得ないのだ。

もし未だに

「 同時に証明される 」

などと思っているのなら、もう一度言うが、それは

・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。

ということに過ぎない。
本当に「 P ⇒ Q 」しか証明してないのであれば、

「その証明は、"Pが真" の証明を兼ねている」
「その証明によって、"Pが真"も同時に言える」

などということは有り得ない(理由は>>423に書いたとおり)。

>>422
＞「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]〜[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」
そんなことは一言もかいていない。想像で書くのをやめていだだきたい。

>>423
＞「 [3.1]〜[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない 」
>>421で
[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。

＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
そうであれば、>>420で書いた
＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
に対して答えてもらいたい。

>>425の訂正
＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
の下に
＞ということも有り得ない。
を追加

>>425
＞そうであれば、>>420で書いた
＞＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
＞に対して答えてもらいたい。
君の証明方法に こだわる限りは、

・(*)のチェックなしには「 P ⇒ Q 」は証明できない

のである。すなわち

・「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」という確認なしには、「 P ⇒ Q」は証明できない

のである。これは、「解になることのチェックが先」ということを意味する。
この時点より後に「 P ⇒ Q 」を証明する過程が続いている必要は無い。
君は「続いてなければおかしい」と言うが、おかしくない。
証明の優先順位として、「解になることのチェックが先」なのだから、
それは「Pが真」の証明が先だということ。
(ということを何度も言っているのだが、おそらく、この話は平行線のままだろうな。)

そして、君の証明方法に こだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
証明することは出来る。ただし、この場合、君が主張するような

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果によって、「Pが真」も言えている"

ということは起きない。

あるいは、「(*)のチェックが どうだこうだ」とかの話題とは関係なしに、
>>423の切り口で説明してもよい。

本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないのなら、その証明をSとすれば、
Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
証明しておかなければ、Sは全く機能しない。


つまり、本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないなら、

"「 P ⇒ Q 」の証明Sの結果として、「Pが真」も言えている"

ということは起きない。証明Sを活用するためには、
「Pが真」を追加で証明しておかなければならないからだ。

>>425
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
＞と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
＞x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。

残念だが、>>422は 完 全 に 正 し い 証 明 です。
どこにも誤りは無い。

[2.1]は "必要条件" についての言及なのであって、十分条件だとは一言も言ってない。
もし[2.1]が十分条件について言及しているのであれば、確かに全てのx,yについて
考慮しなければならない。一部のx,yしか考慮してないなら、それは「十分」では無いからだ。

しかし、[2.1]は必要条件についての言及しかしていないで、
一部のx,yだけしか考慮していなくても、何の問題も無い。

「必要条件を導くのに、全てのx,yについてを考慮する必要は無い」

ということさえ、君は分からないのかね？
じゃあ、十分条件はどうするのかと言うと、まさにそれを[3.1]で行っている。
すると、[3.1]により、f(x)＝1は十分条件だと分かるから、以上により、
f(x)＝1が "必要十分条件" だということが判明する。
つまり、[1.1]〜[2.1]は必要条件の話をしていて、[3.1]は十分条件の話をしているわけ。
そして、必要条件の部分では、全てのx,yについて考慮する必要は無いから、何も間違ってない。
一方で、[3.1]は十分条件の話だから、全てのx,yについて考慮しなければならないが、
実際、[3.1]では考慮しているから、ここも何も間違ってない。

結局、君は証明というものを何も理解してなかったということだ。
必要条件と十分条件の違いも分かってない。
それでもまだ「>422の証明は間違っている」と思うなら、コメントをどうぞ。

ついでに、もう1つ質問しておく。

問題：関数 f：R → R について、次の (あ) が真であることを示せ。

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つならば、関数fは定数関数である」… (あ)

解答その1：
(あ)の仮定をPと置き、(あ)の結論をQと置く。すなわち、
P「任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つ」
Q「関数fは定数関数である」
と置く。このとき、(あ)は「 P ⇒ Q 」を意味するから、これを証明すればよい。
まず、Pは偽であることに注意する。
実際、Pが真だとすると、x＝y＝0を代入してf(0)＝f(0)＋1となり、0＝1となって矛盾する。
よって、背理法により、Pは偽である。
以上により、「 P ⇒ Q 」は真である(「A ⇒ B」という形の論理式は、Aが偽のとき常に真であるから)。

解答その2：
[1.1] 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つと仮定する。
[1.2] このとき、y＝0を代入して整理すると f(x)＝f(0)−1 となる。
[1.3] 左辺のxは任意であり、右辺は「f(0)−1」という定数であるから、確かに関数fは定数関数である。
[2.1] よって、(あ)は真である。


この2種類の解答について、どう思うかね？
どちらも間違った証明だと思うかね？
「なんだ、Pを満たす解fは1つも存在しないのか。だったら、そもそも(あ)は真ではない。(あ)は偽である」
と思うかね？

>>427
＞そして、君の証明方法に こだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
＞証明することは出来る。
その証明方法がどのようなものかを示すべき。

このように述べておきながら
>>428では
＞Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
＞Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
＞証明しておかなければ、Sは全く機能しない。
としている。この2つの内容に矛盾があるのは明らか。

>>429
問題は
＞問題：連続関数 f：R → R で、

＞「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

＞を満たすものを全て求めよ。

はとなっているから、全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
間違っている。
つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
解答としては不適切だ。

全ての関数を求めよとなっているのにも関わらず、解くのに都合のいい条件のみしか
考えて、必要条件だけを求めればよいと解釈するのは間違い。
問題に(A)を満たす関数を1つ求めよとか、満たす関数が存在することを示せとなっているので
あれば、上記の証明でも問題はない。

>>432の訂正
×はとなっているから
○となっているから

×解くのに都合のいい条件のみしか考えて
○解くのに都合のいい条件のみしか考えずに

>>432
お話にならない。君は本当に証明というものを理解していない。
いや、「論理」を理解していない。


＞全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
＞間違っている。
そうだよ。だから、全ての関数を求めているでしょ。
f(x)＝1という関数しか無いんだよｗ

＞つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。
適切です。(A)をよく読みなさい。
「任意のx,yに対して成り立つ」と書いてあるだろ。(A)は

「この関数は、x≠yとしても成り立ちます」
「なおかつ、この関数は、x＝yとしても成り立ちます」

と言っているのだ。2行目が見えないのかね？
x＝yとしても成り立つと言っているのだから、
わざわざ最初にx≠yを代入する必要は無い。
まずはx＝yを代入してチェックすればいい。
で、その時点でf(x)＝1しか出てこないから、そこで終わり。


自分で>>422の問題を解いてみろよ。
いかに自分がトンチンカンな発言してたかが分かるから。

>>431
行数が多いから書くのを控えていたが、要求されたなら書くしかあるまい。
2レスに渡って書く。

f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 … (A)

[1.01] (A)を満たす多項式f(x),g(x)が存在すると仮定する。
[1.02] f(x),g(x)は互いに素でなければならないことが簡単に言える。
[1.03] 特に、f(x)もg(x)も "恒等的に0という関数" では無い。
[1.04] 次に、(A)式でxをx±1に置き換えた式を考えると、
　　　 f(x){g(x-2) + g(x+2)} = g(x){f(x-2) + f(x+2)}が得られる。
[1.05] f(x)とg(x)は互いに素だったから、ある多項式p(x)が存在して
　　　 p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)，p(x)*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
　　　 が成り立つ。
[1.06] p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、両辺の次数を比較すれば、
　　　 p(x)は定数でなければならない。よって、p(x)≡aと表せる。
[1.07] 次に、a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、f(x)の最高次の係数をbとして、
　　　 両辺の最高次の係数を比較すれば、a*b = b + b すなわち「a＝2またはb＝0」となる。
　　　 f(x)は恒等的に0という関数ではなかったから、b≠0であり、よってa＝2である。
[1.08] 今の段階で、2*f(x) = f(x-2) + f(x+2), 2*g(x) = g(x-2) + g(x+2) が成り立っている。
　　　 これを解くと f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)となる。
[1.09] これを(A)に代入すると、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1となり、
　　　 C4*C7 - C5*C6 = 1/2 が得られる。

(ここで[1.01]の仮定は打ち切る。)

(>435の続き)

[2.01] 以上により、「(A)を満たすf(x),g(x)が存在するならば、
　　　 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2
　　　 でなければならない 」ということが言えた。

[3.01] 次に、 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2 と置く。
[3.02] このときf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1 となるから、このf(x), g(x)は(A)を満たす。

[4.01] 以上により、「f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、 C4*C7 - C5*C6 = 1/2」のみが求めるf(x),g(x)である。[終]

>>426
>>378だが、「条件Pを満たす関数fが存在すると仮定する」の意味が分からないみたいだな。
条件P自身から関数fを直接的に構成したり或いは同値性を保ったまま具体的に構成出来たなら確認の作業は必要ないが
条件Pを満たす関数fが存在するという仮定から、解になるfを例えば論理的に逆が言えないように、
間接的に構成出来た場合は、条件Pを満たす関数fの存在性は保障されていないから確認作業は必要だ。
で、>>252の解答の場合、f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1とf(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1から
f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))
を導いた時点で、f、gはもとの条件を満たすかどうかが怪しくなってて逆が言えない訳だ。
だから求めたf、gは本当に満たしているのかという確認作業が必要になる訳だ。

>>426
これで分かったろ？

>>434
x = yとして求めた関数がf(x) = 1であり、x、yに依存しない定数となるから
x≠yの場合もこれが(A)を満たすことは当然。
初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
それを検証しないのは、不適切。
しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。

>>435
[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
[1.09]を示した時点で
「P => Q」の証明は完了している。

>>432
＞つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。

もう一度言うが、(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立つ

という性質を持つ関数f のことを言うんだぞ。
二行目が読めないのかね？



君が言っていることは まるで、

「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
　x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が 成 り 立 た な い
　という性質を持つ関数fについて検証しろ」

というふうに聞こえるぞ。
もし君が このような主張をしているのなら、それはバカバカしすぎるぞ。
なぜなら、そのような関数は そもそも(A)を満たしてないから、
最初から考慮する必要が無いからだ。


君は何を勘違いしているのだね？

>>437
その確認作業が必要ではないなどということは書いていない。
そのことは>>415にも書いている。

>>439
＞[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
＞[1.09]を示した時点で
＞「P => Q」の証明は完了している。

「 P ⇒ Q 」の証明は、最初から[1.09]の時点で完了しているのだが？


で、もう1つ。君は "[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返している"
と言っているが、決して同じことではない。
なぜなら、[1.09]の議論は「Pが真ならば」という仮定のもとでの議論だからだ。

・[1.09]と[3.01]&[3.02]は、同じことではない
・[1.01]の仮定を取り除いたバージョンの[1.09]を考えると、それは[3.01]&[3.02]と同じ。

君はこの違いが分からないから、
トンチンカンな発言を繰り返しているのだろうな。

>>439
＞初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
＞それを検証しないのは、不適切。
＞しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。

>>440を参照のこと。君は何かを勘違いしている。君のそのレスは、まるで

「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立つが、
　x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が 成 り 立 つ の か 不 明　
　という性質を持つ関数fについて検証しろ」

と言っているように見えるぞ。だが、そんな関数は最初から
(A)を満たしていないのだから、考える必要が無い。

>>440
x = y、x ≠ y両方の場合に対して関数f(x) = 1が条件(A)を満たすことは自明。

問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。

>>440の後段は、全くそのような内容は主張していないので、意味不明な理解を
示すことは止めていただきたい。

バカの小競り合いはいつもこの調子だな
アスペ×２なのかな
専用スレでも立ててそこでやれ

>>444
＞問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。

(A)を満たす関数とは、

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立つ

という性質を持つ関数fのことを言う。言い換えれば、
(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)^2＝2*f(x)−1 が成り立つ (←左辺がf(x)^2になっていることに注意)

という性質を持つ関数fのことを言う。もっと言い換えれば、
(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ

という性質を持つ関数fのことを言う。
君はたぶん、最後の2つの条件について分かってない。

「 x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち、x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ 」

という性質を持つ関数は、f(x)＝1(∀x∈R)という関数以外には無い。
このことは理解しているか？

>>446
だから
＞x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)−1 が成り立ち
この条件を満たす関数にf(x) = 1が存在することは理解している。

これ以外にないということが何故言えるのかということを問題にしているのが理解できないの？

そもそもf(x) = 1を導き出すのにx = yの拘束条件を課しておきながら、
た　ま　た　ま
x ≠ yの場合にも条件(A)が満たされるからと言ってx ≠ yの場合に条件(A)を満たす関数が
f(x) = 1のみであるということは示すことはできない。

>>447
本当に理解してないんだな。
じゃあ、少し別の切り口で解説しよう。次の問題を考える。

問題：写像 f：{1,2,3} → R で、

「 任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

(注意：この写像fは、定義域が{1,2,3}だから、f(1),f(2),f(3)が決まれば、それで写像fは決まるのだ)


解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R が存在すると仮定する。
x＝y＝1を代入して、f(1)^2＝2*f(1)−1となる。よってf(1)＝1となる。
x＝y＝2を代入して、f(2)^2＝2*f(2)−1となる。よってf(2)＝1となる。
x＝y＝3を代入して、f(3)^2＝2*f(3)−1となる。よってf(3)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1という写像f：{1,2,3} → Rについて考える。
任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝1, 2*f(x)−1＝1 だから、
f(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。

以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R は
f(1)＝f(2)＝f(3)＝1 という写像のみである。[終]


これを見ても、まだ君の勘違いに気づかないか？

>>448
理解できていないから>>447の問いに答えられない。

>>422
残念ながら
>[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
>[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
の部分が間違っている。
[1.2]で行ったのは(A)を満たす関数fの存在性であり、この時点では(A)を満たすfの一意性はまだ示していない。

>>449
君が誰なのかわからない。君は>>447なのか？
もしそうだったら、俺はちゃんと>>447に答えてるよ。
なぜなら、>>448自体が答えだからだ。もっと簡単な例を出そうか？


問題：写像 f：{1,2} → R で、

「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

(注意：この写像fは、定義域が{1,2}だから、f(1),f(2)が決まれば、それで写像fは決まる)


解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝2*f(1)−1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝2*f(1)−1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝2*f(2)−1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝2*f(2)−1

特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、f(1)＝f(2)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)−1＝1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)−1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)−1＝1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)−1＝1

だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]

もっともっと簡単にしてもいいぞ。

問題：写像 f：{1,2} → R で、

「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。


解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。
f(1)＝a, f(2)＝bと置く。a,bを求めたい。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。

(x,y)＝(1,1)を代入して a^2＝2*a−1，　(x,y)＝(1,2)を代入して b^2＝2*a−1
(x,y)＝(2,1)を代入して a^2＝2*b−1，　(x,y)＝(2,2)を代入して b^2＝2*b−1

こうして、a,bに関する連立方程式が4つ得られたわけだが、
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、a＝b＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)−1＝1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)−1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)−1＝1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)−1＝1

だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]

さて、>>451や>>452 では、せっかく4パターンの等式を並べたにも関わらず、
結局のところx＝yの場合の等式しかチェックしていない。つまり、

「x＝yの拘束条件を課して議論しているのと全く同じこと」

である。しかし、証明はこれで正しい。特に、>>452の証明は正しい。
さすがの君にも分かるだろ？

>452の前半部分では、a,bに関する4つの連立方程式が出てきたわけだが、
その中の2つの式だけで、もうaとbが求まってしまったわけ。
じゃあ、そのようにして求めたa,bは、残りの2つの式を満たすのか？
……それを確認してるのが後半部分だ。実際に4つの式を全て満たす。
だから、解はf(1)＝f(2)＝1という写像しかない。


ここで、もし君が言うように、

「都合よくx＝yの拘束条件を課して議論するだけではダメだ」

ということであれば、まさしくそのように議論している>>452は
ダメダメのはずだが、しかし、実際には、>452は正しい証明なわけだ。

つまり、君は何かを勘違いしているわけ。お分かり？
以上。

おかわり！

おわかり！

>>451
くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
君の証明は
y = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
f(y)^2＝2*f(x)−1
は
f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。

>>447に対する答えが>>448であるはずがない。
間違っていることに対して、まともな理由もなく強行に正当性を主張しても、それを他人が
理解することはできない。

>>456
＞くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
物凄い示唆を与えてるよ。


君は俺の証明方法を「間違ってる」と思ってるわけだ。
で、俺は定義域を制限した場合の問題について、
全く同じ証明方法を使ったわけだ(>>452)。

もし君の言っていることが正しいなら、
>>452の証明は間違っていることになるだろ？

では質問しよう。

「>>452の証明の、一体どこが間違いなの？」

答えてくれ。

そうだそうだ！

>>456
＞君の証明はy = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
そうです。
特に、>>452の問題において、y＝xという
拘束条件を課した上で、f(1),f(2)を決定してます。


＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。
>>452では、x＝yという拘束を課した場合の等式しかチェックしていない。
「より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についてのチェック」は、
当然ながら行ってない。じゃあ、>>452は間違ってるのかな？


ほら、言ってごらん。>>452のどこが間違ってるの？

それでそれで？

>>456
＞それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
＞f(y)^2＝2*f(x)−1
＞は
＞f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
＞として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。

この主張を >>452 に当てはめると、次のようになる。

『 それではこの拘束条件を一般化して、写像 g：{1,2} → {1,2} を任意に
　 持ってきて y = g(x)を満たしているとした場合にf(y)^2＝2*f(x)−1は
　 f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2として表される。この式が成立する。
　 f(x)が存在するかを検証しなければならない。』

君は>>452に対して、このような主張をしているわけだ。


で？どうしてそんな検証が必要なの？
>452の問題は、>452の証明だけで完結してるでしょ？
それとも、やっぱり>452の証明は間違ってると？

じゃあ、>>452の証明のどこが間違ってるの？言ってごらん。

そうきたか！ｶﾞﾀｯ

>>459
だから>>452は違う問題。いいように>>419の問題の定義域を変更したものであって同じ
問題ではない。

つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。

もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
証明としては不適切だと述べている。

それも一理あるな

>>463
＞つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。
そうか、>452は正しいのか。
では、Xを一般的な集合として、次の問題を考えよう。


問題：写像 f：X → Rについて、

「 任意のx,y∈Xに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす写像 f：X → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす写像 f：X → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈X) とする。この関数は、任意のx,y∈Xに対して f(y)^2＝2*f(x)−1 を満たすことが
　　　簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1−1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、この関数は(A)を満たす。
[4.1] 以上により、(A)を満たす写像 f：X → R は「f(x)＝1 (∀x∈X)」のみである。[終]



↑この証明方法は、「 X＝{1,2} という集合の場合には正しい 」わけだ。
　君自身が認めたからな。で、君によれば、「 X＝Rの場合には正しくない 」わけだ。


　どうして？

>>463
＞ もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
＞ x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
＞ がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
＞ x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
＞ それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
＞ 証明としては不適切だと述べている。

そんなこと言ったら、>>452だって、
x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、

『 そこで出来た「f(1)＝f(2)＝1」という写像が、がx ≠ yの場合でも
　(A)を満たすことを証明しただけでは、x ≠ yの場合に(A)を満たす
　関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
　それ以外のf(1),f(2)が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
　証明としては不適切だ』


と言えてしまうはずだぞ。でも、>>452は正しいんでしょ？
これはどういうことかな？


このように、君が>>419に対して投げかけている疑問は、
そのまま>>452にトレースできちゃうんだよ。もっと一般化すれば>>456だけどな。
君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。

たしかにそうかもしれない

繰り返しになってしまうが、もう一度書く。

>>465のXについて、X＝{1,2}とした場合の問題文・解答文が>>452である。
また、X＝Rとした場合の問題文・解答文が>>419である。

>465の文章は、Xを与えるごとに「問題文」「解答文」を
統一的にポンと生成する、文章生成機械のようなものである。


さて、>>419でも>>452でも、x＝yの束縛条件下での計算しかしていない。
というか、「f(x)＝1だけが解である」という結論を導き出すための
理屈は、どちらでも全く一緒である。
同じ理屈で「f(x)＝1だけが解である」と言っているのに、君は
「>>452は正しくて、>>419はダメ」と言う。なぜ>>419はダメなのか？君は

「x＝yの束縛下の計算しかやってないからダメなんだ」

と言っているが、それなら>>452も同様の理由でダメのはずである。そこで君は

「 >419と>452は別の問題だ 」

と言うが、たとえ問題が違っても、その解答に使われている「理屈」が
全く同じなのだから、そのような言い分は通用しない。

「違う問題だ」

などと思考停止しないで、両者の証明で使われている「理屈」が
全く同じであることを理解することに努め、そして、
君が大きな勘違いをしていることに早く気づくべきである。

>>466
＞そんなこと言ったら、>>452だって、
＞x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、
>>452の場合は
(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。

＞君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。
私は全く勘違いしていないし、書いたことに何の誤りもない。
勘違いはそちら。

だから、>>456で指摘したことを考慮せずに、つまり初めからx ≠ ｙの場合に対しての
条件(A)を満たすものが存在するかを考えなければ、関数f(x) = 1のみしか存在しえない
ことをいえない。
他人の主張内容は理解できないのですね。分かりました。

おっとー？おっとおっとー？

>>468
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)
これに対してx = yの場合には
f(x)^2 = 2*f(x) - 1
となりf(x) = 1でなくてはならない。

つまり
「 x = yを満たす任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(B)
として
(B) => f(x) = 1
が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
(A) => f(x) = 1
が示せた訳ではない。

x = yとx ≠ yの場合に
f(x) = 1 => (A)
が示せただけ。

か〜ら〜の〜？

>>469
＞>>452の場合は
＞(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。

考慮してないよｗ

>>452では、x,y全ての場合についての等式(全部で4つある)を
丁寧にリストアップしている。しかし、リストアップしたはいいが、
その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は　使　っ　て　な　い　。

a＝b＝1を導くのに使ったのは、 a^2＝2*a−1, b^2＝2*b−1 という2つの等式のみ。
これらの等式は(x,y)＝(1,1), (2,2)すなわちx＝yの場合の等式だから、
結局、>>452 では「x＝yの束縛下の条件しか考慮してない」ことになる。

それとも、

「たとえ等式を使わなくても、>>452のように丁寧にリストアップさえすれば、それで考慮したと見なす」

ということかね？もしそうなら、>>419だって、

「 f(y)^2＝2*f(x)−1 (∀x,y∈R) 」…　★

という一文を書くだけで、「全ての等式を>>452のようにリストアップしたことになる」でしょ。
つまり、「全てのx,yを考慮したことになる」でしょ。
(x,yは無限にあるから、>>452の形式で紙面上にリストアップすることは出来ない。
　しかし、★のような形で表記すれば、それは全てのx,yについてリストアップしたのと同じである)

うんうん

>>473
＞その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は　使　っ　て　な　い　。
使っているんだよ。(x,y)＝(1,1)、(2,2)の等式からa=b=1が示せて
このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
4条件は使っている。

これで君の数学的能力に問題があることがわかった。
全く間違っている内容を世界中に拡散するのをこれ以上止めたらどうか？

>>471
君のその言い分を、>>452に使ってごらん。


[00] >>452の証明において、
[01] 「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)
[02] これに対してx = yの場合には
[03] f(x)^2 = 2*f(x) - 1
[04] となりf(x) = 1でなくてはならない。

[05] つまり
[06] 「 x = yを満たす任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(B)
[07] として
[08] (B) => f(x) = 1
[09] が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
[10] (A) => f(x) = 1
[11] が示せた訳ではない。

[12] x = yとx ≠ yの場合に
[13] f(x) = 1 => (A)
[14] が示せただけ。


さて、君は「 >452は正しい」と言っていた。
ならば、上の疑問の [00]〜[14] において、いずれかの番号の主張は
"間違っていなければならない" 。


で？ [00]〜[14]のうち、どの番号が間違ってるの？

ほぉー！

＞このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
＞4条件は使っている。

つまり、こういうことだな？

『　>>452では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈{1,2})という条件を出したに過ぎない。
　　ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』

と。そうです。x≠yのときも成立しています。
ただし、その事実について、>>452の証明では　言　及　し　て　い　ま　せ　ん　。
君が勝手に、証明を補完してしまっただけです。

「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」

という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。

そして、そのような補完が出来る能力が 君にあるのなら、
>>419だって、全く同じ補完が可能になる。

つまり、こういうことだ。

『　>>419では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈R)という条件を出したに過ぎない。
　　ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』


なぜ君は、>>419の場合はこのように考えないのだね？

盛り上がってまいりました

>>478
脳内で補完している訳ではない。>>452は定義域をそちらが勝手に都合よく
狭めているため、全ての定義域で条件を確認しているから正しいことになる。

＞「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」
＞という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。
4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。

苦しい主張の繰り返しでお疲れ様です。

>>471で
＞x = yとx ≠ yの場合に
＞f(x) = 1 => (A)
＞が示せただけ。
と書いているが、f(x) = 1以外にもx ≠ yを満たす関数が存在するかどうかの検証が
行われていない。
懇切丁寧に言いかえれば、
x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。

>>480
よし、もういい。いったん、証明の表現方法を変える。
(本質的に同じことをやっているのだが)


問題：写像 f：R → R で、

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。


解答：まず、

「 (A)を満たす写像fは "必ずf(0)＝1である" 」 … B[0]

ということを示す。
写像fは(A)を満たすとする。どんなx,yに対しても(A)の式が
成り立つのだから、特に、x＝0, y＝0を代入しても(A)の式が成り立つ。
実際に代入するとf(0)^2＝2*f(0)−1 となるから、ここからf(0)＝1が出る。
よって、確かにB[0]が成り立つ。


↑証明の途中で申し訳ないがが、この証明について、君はどう思うかね？
　「正しい」と思うかね？
　「x≠yのときにもf(0)＝1が言えているわけではないから、間違い」
　などと思うかね？

どうなんだい？

>>419
誰が誰だか分からないが[2.1]は、「(A)を満たす連続関数 f：R → R は確かに存在する」だぞ。
そしてfの一意性は[3.1]で示そうとしている訳だが[3.1]のままでは一意性を示したことにはならない。
暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
これも別個に示さないといけない。

>>483
＞暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
＞これも別個に示さないといけない。

それを示しているのが[2.1]でしょ。よく読むべし。

うむ。

>>483
その[2.1]は「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実の厳密な証明になってないんだよ。

「x＝yと置くと〜」じゃなくて、
「どんな実数tを選択しても、そのtに対して、x＝t, y＝tを代入すれば〜」
と表現すれば、誤解が起きないようになるかな？


問題：写像 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)
を満たすものを全て求めよ。

解答：
(A)を満たす写像 f：R → R が存在すると仮定する。このとき、どんなx,yに対しても
(A)式が成り立つのだから、特にx＝0, y＝0を代入して、f(0)^2＝2*f(0)−1となるから、必ず

f(0)＝1

となる。今度は、x＝√2, y＝√2を代入してみると、f(√2)^2＝2*f(√2)−1となり、必ず
f(√2)＝1
となる。じゃあ、x＝3.14, y＝3.14 を代入したらどうか？f(3.14)^2＝2*f(3.14)−1となり、必ず
f(3.14)＝1
となる。……このような計算から容易に分かるように、どんな実数tを選択しても、
そのtに対して、x＝t, y＝tを(A)式に代入して整理すれば、必ず

f(t)＝1

となることが分かる。「どんな実数tを選択しても必ずf(t)＝1である」とはすなわち、
fは定数関数であって、その値は1であるということである。以上より、

「 (A)を満たす写像 f：R → R が存在するならば、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数でなければならない 」

ということが言えた。次に、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数を持ってくる。このfは(A)を
満たすことが容易に確認できる。以上により、(A)を満たすfはf(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数だけである。

特殊化による必要性の証明が理解できないようだ。
数学初心者にある、
命題「AならばB」の証明における、
「Ａが成り立っているならば、特にA'のとき云々、よってB」　　・・・（１）
という証明の流れに対して、A'でないときはどうするのか、と悩み始める。
そんな人には(1)の対偶を考えてみることをお勧めしたい。

>>488
肝心の（１）の文法が良くわかんないんだが。
正確に書き直しといてくれる？

>>488
>A'でないときはどうするのか
論理的に言うと厳密にはA'でないときも考えないといけないぞ。
「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」の1つの厳密な証明は
(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数yを任意に取る。すると任意の実数z、xに対して
f(y)^2＝2*f(z)−1＝2*f(x)−1
が成り立ちf(z)=f(x)が得られる。
よってfは定数関数である。
だ。

あくまでの(1)は流れだから、直接には該当する証明にあたってくれ。
上の方に一杯あるからさ。>>419とか。

>>490
いらない。

一般的に必要条件としてあり得る解を求める場合は、
つまり、「Aならば「？」」　の「？」の中を詰めるときは、
それは「ＡならばＢ」の証明ではないのだから、特殊化だけで済む話ではない。

>>486
この証明は？

(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数tを任意に取る。x＝t, y＝tを代入して
f(t)^2＝2f(t)−1
(f(t)−1)^2＝0
f(t)＝1
tは任意だったから、「任意のtでf(t)＝1」すなわちfは定数関数で、
その値は1となる。よって、
「(A)を満たす連続関数 f：R → R があるなら、それは定数関数であり、f(t)＝1(∀t∈R) 」
である。

>487と全く同じだが。

>>419
分かりにくい解答だから整理するな。
[1.2]「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示す。
[1.3] (A)でy＝xと置くと(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
本来はこうするべきだ。

>>492
理解出来たよ。
最初>>419を読んだとき分かりにくかった。

>>494
論理的には最初にfは定数関数であることを示した方がいい。

せやな

>>496
レスの意味がよく分からない。

「議論がすっきりするから、定数関数であることを最初に言った方がよい」という意味？
「>>494は厳密ではないから、定数関数であることを最初に言った方がよい」という意味？

>>498
>>419は論理的に混乱を招きかねなくて議論がスッキリしていない。
>>419の書き方だと[1.1]から[1.2]に移る部分で混乱しかねないんだよ。
論理的に考えるなら、定数関数であることを最初に言った方がよい。

>>499
俺が聞いてるのは、>419じゃなくて>494なんだが。
>419の表現方法は さておき、>494 「も」混乱を招きかねないの？


「fが定数関数である」ことを示すには、2通りの方法がある。

その1：「任意のx,yに対してf(x)＝f(y)」を示す。
その2：「あるcが存在して、任意のxに対してf(x)＝c」を示す。


>490はその1の手段を取り、>494はその2の手段を取った。
「その2に比べれば、その1の方がスッキリしている」というのは分かるが、
そんな気になるほど大差は無いように見えるのだが。
あと、その2の方針でやってる>494だと、
何をどのように混乱してしまうのか、よく分からん。

寝ます

>>500
>>494だと
>(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
から
>実数tを任意に取る。x＝t, y＝tを代入して
に移行した際これから何をしようとしているのかが分からない。
その後になって「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示した。
それなら論理的には最初に「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示すべきだ。
>>494ではいわゆる手順前後をしている。

x=yの特殊化だけでは求まらない、多分。

任意の実数x,yに対して実数値連続関数fは、等式
f(x+y)-f(y)=f((x+y)/2))(f(x+y)-f(x))
を満たしている。
このような関数f(x)を全て求めよ。

>>502
ああ、そうか。目的が不明瞭に見えちゃうんだな。これは失礼。
「最初に目的を明示しておけ」っていうだけの話ね。

y=0

f(x)-f(0)=f(x/2)(f(x)-f(x))=0

f(x)=f(0)

（（Ｙ⊂Ｘ）∧（（（∀ａ∈Ｙ）Ｐ（ａ））→Ｂ））→（（（∀ａ∈Ｘ）Ｐ（ａ））→Ｂ）。

生兵法はケガの元
キチガイに刃物

だな、全く。

知識は適切に運用できなければ持ってる意味がないというのに。

何言ってんだこいつら
必要条件と十分条件の話題が延々ループしてるってことでおｋ？

論理的な積み重ねとは異なる部分についての
異なる見解を、互いに自分の主張のほうが論理的だと言い合っている途中。

双方のどこが論理的でないかを指摘しなければ、>>509も論理的でない

>>509は議論家さんが論理的ではないとは言っていないと思うのだが

>>480の訂正
＞4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
＞他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。

(x, y) = (1,1), (2,2)のときだけでなく、(x, y) = (1,2), (2,1)の場合であっても
a = b = 1となることから、全定義域において条件(A)が成立することから
>>452の証明は正しいことになる。

>>511  
その通り。

>>510 
>>496や>>499 あたりがわかりやすいと思う。

>>511
>>513
＞論理的な積み重ねとは異なる部分についての異なる見解を、
＞（互いに自分の主張のほうが論理的だと）
＞言い合っている途中
論理的な積み重ねとは異なる部分(=論理的でない部分)に対して
言い合っている(=論理的でない議論をしている)と取れるけど。

>>496と>>499は論理的だと思う。

f(y)^2 = 2f(x)-1…�@
x = yのとき、(f(x)-1)^2 = 0からf(x) = 1
x ≠ yのときxとyを交換した
f(x)^2 = 2f(y)-1…�A
が成立する((場合がある))。�@,�Aから
f(y)^2-f(x)^2 + 2(f(y)-f(x)) = 0
(f(y)-f(x))(f(y)+f(x)+2) = 0
f(x) = f(y)のとき�@からf(x) = 1
f(y) = -f(x)-2のとき�@から
f(x)^2 = -2f(x)-4-1、∴f(x) = -1±2i
f：R → Rであるからこの場合は題意を満たさない。

>>515の訂正
「((場合がある))」を削除

y=x^3-x^2-2x+3をy=2xに関して対称に移動した関数を求めよ。

>>480
＞懇切丁寧に言いかえれば、
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。
以下の解答を読んでほしい。
x≠yの場合の考慮が、実際には全く必要ないことが分かると思う。

準備：次の4つの条件をそれぞれA,B,C,Qと置く。

「 どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (A)
「 x＝y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (B)
「 x≠y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (C)
「 fは定数関数で、その値は1 」… (Q)

「fは(A)を満たす」ことと「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす」ことは同値であることに注意する。

(1レスに収まらないので、解答は次のレスに書く。)

解答：
[1.1] まず、「 (A)を満たすfが存在するなら、fは定数関数で、その値は1である 」を示す。
[1.2] fは(A)を満たすとする。
[1.3] 以下、
　　　(i) fが(B)を満たす場合
　　　(ii) (i)以外の場合
　　　で場合分けする。

[1.4] (i)の場合は、(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)となる。
[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。

[1.6] 次に、(ii)の場合を考える。つまり、「fは(B)を満たさない」場合を考える。
[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たすのだから、「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」…(★)
　　　ということになる。
[1.8] よって、ここからは(C)の条件だけを使って、fについて議論していくことになる。
[1.7] しかし、よく見てほしい。[1.2]の仮定により、「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)も満たす」のだから、
　　　これは(★)に矛盾している。
[1.8] よって、(ii)はそもそも起こり得ないと分かる。[場合分け終了]

[2.1] 以上により、確かに[1.1]の主張は示せた。
[3.1] 次に、「『fは定数関数で、その値は1』ならば、fは(A)を満たす」ことを示す。
[3.2] が、このことは簡単に示せるので省略する。
[4.1] 以上により、(A)を満たす関数は「fは定数関数で、その値は1」という関数のみである。[終]

>>519
その証明はそもそも[1.2] が正しいとして証明しているので、論理的におかしい。
「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」が
[1.2]の仮定に反するからといって、条件(C)が満たされるとはいえない。

>>515
x≠yのときの計算は必要ない。最初の2行で終わってる。


>515では

・fが(B)を満たす場合
・fが(C)を満たす場合

という場合分けで計算しているわけだが、
そんな不器用な場合分けを使わずとも

・fが(B)を満たす場合
・fが(B)を満たさない場合

と場合分けすれば済む話。

>>520
おかしくないだろ。まず最初に[1.2]の仮定を置き、
その文脈の中において、ある種の場合分けを展開したに過ぎない。

最初に置いた仮定によって、その後で展開できる場合分けの手法に制限が生じるなど、
論理的に有り得ない。


君はよっぽど「x≠yの場合のfの計算も不可欠だ」と思ってるようなので、
ちょっと別の表現方法を使って、>419の解答を書いてみるぞ。
もちろん、今から書く解答も「x＝yの場合の計算しかやってない」証明である。

準備：
(A)が成り立つfの集合をαと置き、
(B)が成り立つfの集合をβと置き、
(C)が成り立つfの集合をγと置き、
(Q)が成り立つfの集合をθと置く。
ただし、ここに書いたA,B,C,Qとは、>>518に書いたA,B,C,Qのこととする。

(1レスに収まらないので、解答は次のレスに書く。)

解答：
[1.1] 集合α,θについて。α＝θが成り立つことを示そう。
[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
[3.2] が、これは本当に明らかである。
[4.1] 次に、β⊂θ が成り立つことを示す。
[4.2] f∈βとする。
[4.3] このとき、fは(B)を満たすから、(f(x)−1)^2＝0となり、f(x)＝1(∀x)となり、f∈θとなる。
[4.4] よってβ⊂θである。
[5.1] 次に、θ⊂αを示す。
[5.2] が、これは簡単に計算できるので省略する。

[6.1] 以上より、「α＝β∩γ」「β∩γ ⊂ β」「β⊂θ」「θ⊂α」が得られた。
　　　これらをこの順番に使えば　α ＝ β∩γ ⊂ β ⊂ θ ⊂ α　となる。
　　　つまりα⊂θ⊂αとなるから、これでα＝θが得られた。
[6.2] 以上より、[1.1]が示された。
[7.1] 最後に、
　　 「(A)を満たす関数は、『fは定数関数で、その値は1』 という関数のみ」
　　　であることを示す。
[7.2] が、これはα＝θから明らか。[終]

>>523の証明において、[4.1]を示すときに、x＝yの場合のfの計算を使っている。
では、>>523の証明において、x≠yの場合のfの計算を使っている箇所はあるか？

無い。

にも関わらず、>>523は ちゃんと証明になっている。

>>517
求める曲線上の点をP(x, y)とし、y=x^3-x^2-2x+3上の点をQ(x', y')とすると
線分PQの中点がy = 2x上に存在することから
(y+y')/2 = x+x' …�@
直線PQが直線y=2xと直交することから
(y'-y)/(x'-x) = -1/2 …�A
�@、�Aから
x' = -3/5*x+4/5*y、y' = 4/5*x+3/5*y
が成立する。これをy=x^3-x^2-2x+3に代入し整理すると
27x^3-108x^2y+144xy^2-64y^3+45x^2-120xy+80y^2-50x+275y-375 = 0

>>525
丁寧にありがとうございます！

>>523
＞[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
＞[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
何故？α＝β∪γであれば普通だが。

＞[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
＞[3.2] が、これは本当に明らかである。
何故？

>>527
＞＞[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
＞＞[3.2] が、これは本当に明らかである。
＞何故？
ベン図でも書けよ。ベン図くらい知ってるだろ？
というか、

・一般に、どんな集合S, T に対しても、S∩T ⊂ S が成り立つ

だろ。集合のことを何も知らないのか？
あるいは、直接証明してもいいぞ。ベン図を書くのと
ほとんど同じことだけどな。

・f∈β∩γとする。
・このとき、f∈βかつf∈γであるから、特にf∈βである。
・よって、β∩γ ⊂ βである。[終]


＞何故？α＝β∪γであれば普通だが。
これが君の誤解の原因か？

β∪γ ＝ "fは(B)を満たす、または、fは(C)を満たす" というfの集合
β∩γ ＝ "fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす" というfの集合
α ＝ "fは(A)を満たす" というfの集合

また、「fは(A)を満たす」ことと「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす」ことは
同値である。
これらを踏まえて比較すると、α＝β∩γしか無いだろ。

>>528
＞・一般に、どんな集合S, T に対しても、S∩T ⊂ S が成り立つ
その部分の問いについては、勘違いしたので取り消す。集合論の基礎は理解している。

>>523が正しいことが>>528から理解できた。
証明としては長々とした>>523よりも、>>515の方がシンプルで分かりやすい。

>>529
＞>>523が正しいことが>>528から理解できた。
じゃあ、君は>>524のレスを理解したんだな？

「 >523の証明では、x≠yのときのfの計算をしていないが、それでも正しい証明だ 」

ということを、君は理解したんだな？

問題の取り方の違いで双方の隔たりがあったことが分かった。
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」・・・(A)
「 x＝y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (B)
「 x≠y のとき f(y)^2＝2*f(x)−1 」… (C)
として
条件(A)が満たされる関数fの集合をα
条件(B)が満たされる関数fの集合をβ
条件(C)が満たされる関数fの集合をγ
このとき
α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
α = β∩γ(全てのx, yに対して、f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
と取るかの違いがあった。
この問題の場合は、>>515からβ=γであるからあまり違いが現れていない。

以後、集合Sに対して、「xはSの元でない」ということを「 x !∈ S 」と表記する。
(「∈」にナナメ線が入った記号が無いので、「!∈」で代用するということ)


＞証明としては長々とした>>523よりも、>>515の方がシンプルで分かりやすい。
君は もはや>>523を理解したわけだから、
>>521のレスも理解できるはずだ。

521と内容が被るが、ここにもう一度書く。
君は「 515の方がシンプルだ 」と言うが、515では

・fが(B)を満たす場合 (すなわち、f∈βの場合)
・fが(C)を満たす場合 (すなわち、f∈γの場合)

という場合分けで計算しているので、まだ無駄が多いのである。
そんな不器用な場合分けを使わずとも、

・fが(B)を満たす場合 (すなわち、f∈βの場合)
・fが(B)を満たさない場合 (すなわち、f!∈βの場合)

と場合分けすれば済む話。
そして、f!∈βの場合は、最初から考える必要が無いから、結局、
fが(B)を満たす場合のみ計算すれば終わり。
すなわち、x＝yの場合だけ計算すれば終わり。

>515で言えば、最初の2行の計算を終えた時点で、もう終わり。
その後の9行は必要無い(だから、515は まだ無駄が多い)。

>>530
α = β∩γとして考えれば、>>523の証明は正しい。

(>>515)と(>>518+>>519)の文字数を比較すれば、どちらが無駄が少ないかは火を見るより明らか

>>531
＞問題の取り方の違いで双方の隔たりがあったことが分かった。
そういうことだな。
もしα＝β∪γが成り立つのであれば、確かに君が言うとおり、
x≠yの場合も考えなければならない。
しかし、実際にはα＝β∩γなのであり、x≠yの場合は考える必要が無い。


＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
＞α = β∩γ(全てのx, yに対して、f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)

>>419の問題は、前者のようには解釈できないぞ。
というか、前者のように解釈してるのは君だけだぞ。

>>533
とりあえず、

「α＝β∩γとして考えれば、>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない 」

ということは理解しているかね？
つまり、君が勝手に「α＝β∪γ」などと誤解していただけ
だったという話。>419の問題は「α＝β∩γ」のようにしか
解釈できないのだから。

>>535
＞>>419の問題は、前者のようには解釈できないぞ。
＞というか、前者のように解釈してるのは君だけだぞ。
「関数の一意性」と「定数関数であるということを先に示さなければならない」
と書いているレスはおそらく、α = β∪γと解釈していると思う

>>537
それは違うな。
「何をしたいのか目的が不明瞭だから、最初に目的を明示しておきなさい」
というだけの話でしょ。

実際、>>495氏 は>419を勝手に訂正してしまっているが、
じゃあ>495は>419と何が違うのかと言うと、冒頭に

＞「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示す。

この一文を入れただけ。つまり、目的を明示しただけ。
もし>495氏が君と同じ解釈をしていたのなら、
こんな一文を追加するよりも、「x≠yの場合の計算」を
追加していたはずだろう？

>>537
それとね、>419のような問題は「関数方程式」と仰々しい名前が
ついていて、ググると いくつか問題が見つかる。

ここのページの[2003杏林大・医]の問題とか。
ttp://izu-mix.com/math/exam/jikeiika/2009_1.html

これも関数方程式。
ttp://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html

どの問題も、「(x,y)に依存して関数fが決まる」などという解釈では解かず、
"α＝β∩γ" 流の解釈で問題を解いていることが分かるだろう。

>>537
だいたいね、「(x,y)に依存して関数fが決まる」という解釈をするなら、
そのfは「f」と表記すべきではなく、「 f_{x,y} 」のように表記し、
"fはx,yに依存してます" ということが明確に伝わるようにしなければいけない。

このことを踏まえて、君のような解釈が可能になるように
>>419の問題を書き直すと、次のようになるんだぞ。


問題：x,yに依存して決まる写像 f_{x,y}：R → R は、

「 任意のx,yに対して f_{x,y}(y)^2 ＝ 2*f_{x,y}(x)−1 」

を満たすとする。このような写像 f_{x,y} (x,y∈R) を全て求めよ。

>419をこのように変更しないと、君のような解釈は可能にならない。
で、この問題を解こうとしたら、今度こそ君の解釈で解くことになるのだが、
その場合、>>515は解答になっておらず、どのみち君は間違ってる。

>>252

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

>>538
先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。

>>540
fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。

>>542
＞fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。
依存するとも記述されてない。そして、そういう記述が
無い場合、「依存しない」と解釈するのが通例。

実際、>>539で挙げたリンク先の問題でも、写像fが
x,yに依存するか否かについては 問題文に書かれていないにも
関わらず、どれも「依存しない」という解釈で解かれている。

＞先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
＞その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。
既に>>540で「 f_{x,y} 」と書いたのだから、この表記法を使いなさい。

で、「依存する」という解釈で問題を解く場合、君のその主張はデタラメである。
なぜか？x＝yを代入すると

f_{x,x}(x)^2＝2*f_{x,x}(x)−1

となるから、f_{x,x}(x)＝1 (∀x∈R)となる。例えば、f_{0,0}(0)＝1だし、
f_{1,1}(1)＝1だし、f_{-1,-1}(-1)＝1である。でも、これでは

「f_{0,0}(3)の値は？f_{1,1}(2011)の値は？f_{-1,-1}(-3/7)の値は？」

といったことは分からない。x＝yの場合の計算だけでは、これらの値は判明しない。
つまり、x＝yの条件下では

「x＝y＝tのとき、f_{x,y}(t)＝1である」

ということが言えるだけであり、

「x＝yのとき、全てのtでf_{x,y}(t)＝1なのか？」

ということについては何も言えない。
つまり、x＝yの場合のf_{x,y}は、「全領域で1である」とは
言い切れない。よって

＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
君のこの主張はデタラメ。

>>544
>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

>>542で書いた内容は>>540で書いた内容
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合
を全く踏まえたものではないので>>544は全く私の考えるところではない。

α = β∪γを考える場合には
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合
のように考えている可能性があるのではないかと言っているまで。

>>545
＞>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
＞α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

それはデタラメ。「fはx,yに依存しない」と解釈しつつ「α＝β∪γ」を
成り立たせることは出来ない。

「fはx,yに依存しない」と解釈するのなら、自動的にα＝β∩γ
となってしまい、α＝β∪γとなることは有り得ない。

＞>>544は全く私の考えるところではない。

「 "fはx,yに依存する" と考えた場合の問題については、私の考えるところではない」

ということだな。つまり、君も やはり

「fはx,yに依存しない」

と解釈していたわけだな。だったら、自動的にα＝β∩γが成り立つ。
α＝β∪γにはならない。君は間違ってる。

最近の高校では論理と集合について詳しく授業しないのだろうか？
だとするとこれは忌々しき事態だな

>>547
それは違う。だから>>515でも
＞x ≠ yのときxとyを交換した
＞f(x)^2 = 2f(y)-1…�A
＞が成立する((場合がある))
と言っている。
全ての領域で関数fが成立しなければならないと考えた場合に
>>516の訂正をした。

α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

>>549
＞α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

うん、確かにね、「α＝β∪γ」という等式が "成り立つのであれば"、
君の言うとおりなんだよ。x≠yの場合も考慮しなくちゃいけないんだよ。


でもね、「α＝β∪γ」という等式は　成　り　立　た　な　い　のだよ。
特に、「fはx,yに依存しない」と解釈した場合は、自動的に

α＝β∩γ

になってしまうんだよ。だからね、君が言ってることはピントが
ずれてるわけ。

俺が言っていること、分かるかな？

俺「fがx,yに依存しないと解釈するなら、自動的にα＝β∩γが成り立つから、
　　α＝β∪γなんて考える必要がない」

君「α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も考慮しなくちゃいけない」


↑君の言ってることは正しい。α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も
　考慮しなくちゃいけない。そのとおりだ。
　だがね、君が心配している「α＝β∪γ」という等式は、
　そもそも　成　り　立　た　な　い　ので、最初から考える必要が無いんだよ。

>>550
>>551
で書かれた内容は全て理解している。分かりきったことを再三再四繰り返されてもね。
fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
答えが最後まで出る問題の取り方でないと、おかしいと考えるのは短絡的。

>>552
＞fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
意味不明。その書き方では、何が言いたいのか分からない。

「fがx,yの値によって複数存在する」

とはどういうことか？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という意味か？それとも、

「f(x)は複数の値を取り得る。つまり、f(x)＝1であり、かつf(x)＝2であるようなケースがある」

という意味か？それとも、全く別の意味か？詳しく解説してくれ。

>>552
とりあえず、

「 α＝β∩γとして考えれば、>>523 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない 」
「 α＝β∩γとして考えれば、>>419 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない 」

ということは理解してるんだよな？


＞で書かれた内容は全て理解している。
そうか。理解しているのか。つまりは

「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」

ということを理解しているというわけだな。
だったら、>>419の証明において、「x≠yの場合の計算が必要ない」ことも
理解しているというわけだな。

君、何がしたいの？

今北産業

>>555
>>419を
理解できない
馬鹿がいる

ある連続関数fに対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1」が成立するなら
任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
そして関数f(x)=1に対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1」が成立して、
f(x)=1は連続関数である。

必要性も十分性も説明できてると思うが、何を議論してるんだ？

>>553
＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
の方に決まっている。
＞f(x)＝1であり、かつf(x)＝2
なんていう関数が存在するわけない。

＞「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」
だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
他人の文章を把握するのに大変に問題があると考えられる。
こちらが、言っていないないようを勝手に解釈して批判するのを止めていただきたい。

>>519の証明が奇妙なのは、(C) => (Q)の条件が現れないこと。
また>>519では
＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
ならないのか？

＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。

なお>>522+>>523については理解しているので繰り返さないようにお願いしたい。

>>557
＞任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
これを示す方法について、普通は

・(A)でx＝yとすると(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x)

と議論して、それでメデタシメデタシだと思うんだ。
>>419では、まさに このやり方を使ってる。

で、ワケの分からん人が1人いて、その人は

「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
　x≠yの場合の計算も必要だ」

などと意味不明な供述を繰り返していた(例：>>432, >>439, >>447, >>480等々)。
で、>>531のレスを読む限りでは、実はこの人は、>>419の問題を

「標準的では無い解釈の仕方で解釈している」

可能性が強いことが分かった。では、どんな解釈の仕方をしているのか？
それが、話を聞いてもよく分からない。……というのが今のところ。

>>559
＞「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
＞　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
＞　x≠yの場合の計算も必要だ」
x ≠ yのときに
f(y)^2＝2*f(x)−1 => f(x) = 1
というのがないから奇妙と考えられる。その点>>515はそれが明示されているから
分かりやすい。

>>558
＞だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
つまり、次のように言いたいのだな？

・問題の捉え方によって、α＝β∪γが成り立つこともあるし、
　α＝β∩γが成り立つこともある。

・α＝β∩γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は必要ない。

・α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明ではダメで、x≠yの場合の計算も必要である。


では、君に質問する。少なくとも 419 〜 480 においては、君は

「 >419の証明ではダメだ。x≠yの場合の計算が足りない 」

と言っていた。つまり、少なくとも 419 〜 480 においては、君は

「α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方」

を採用していたことになる。
では、君が採用していた解釈の仕方を教えてほしい。
どういう解釈をしていたのだね？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という解釈の仕方を採用していたのかね？それとも、別の解釈の仕方かね？

>>561
>>531の
＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数fが存在すると考える場合)
であり、

＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
というふうに解釈していた。

＞fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる
よう分からんがその解釈だと

そのfは「あるx,yが存在してf(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数」であって
「任意のx,yについてf(y)^2＝2*f(x)−1を満たす関数」ではないのでは？

>>563
>>540のような問題を想定していたのだろう。

>>560
＞x ≠ yのときにf(y)^2＝2*f(x)−1 => f(x) = 1
＞というのがないから奇妙と考えられる。

α＝β∩γが成り立つような解釈を採用していた場合、
そこは ちっとも奇妙ではないし、正しい証明になっている。

α＝β∩γが成り立つ解釈を採用しつつも、その部分が

「釈然としない」「やはり奇妙である」

と感じられてしまうのなら、それは、
君の理解が追いついてない ということ。

というか、そこが奇妙に感じられるなら、
>>522+>>523 も奇妙に感じて然るべきである(実際、君は
奇妙に感じているのかもしれないが)。

君は、もう少し論理とか集合とか勉強するべきではないか。

>>562
理解した。

ということは、君は今まで、こういう「関数方程式」の問題を
1問も解いたことが無かったわけだ。
>>539のリンク先を見れば分かるように、こういう問題では
「依存しない」と解釈するのが通例だから、一回でも
こういう問題を解いたことがあれば、それ以降、「依存する」
という解釈を採用することは無いはずである。
従って、君はこういう問題を解いたことが無い。あるいは、
こういう問題に触れたことはあるが、問題の趣旨を
ちゃんと理解していなかった。


ならば、君が今回のような解釈をしてしまったのは、もう仕方が無い。
俺は そこを責めないし、むしろ君は責められる筋合いは無い。

ただし、君が今後こういう問題に遭遇したら、
「依存する」という解釈は使わず、通例どおりに
「依存しない」方の解釈を採用することをお勧めする。

>>564
ふ〜ん。
でもそれだとR^3からRへの3引数関数だと思うがな
まあ、そう解釈してましたと言われればそれまでだけど

ここから先は解釈の違いが生まれないような問題文の作り方について議論することにして
その上で>>562に質問なのだが

>>419の問題文を次のように書き換えた場合、それでも>>562のような解釈をしますか？


問題：次の条件（A）を満たすような連続関数 f：R → R を全て求めよ。

「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」　…　(A)

いい加減バカ同士の言葉遊びスレじゃないことに気付かないかなぁ

>>514
解釈の違いについて、どちらがより論理的なのかを語るのは
論理の積み重ねの外の話だと思うが。
スッキリするかどうか（見通しが良くなるかどうか）なども
論理的な構築が正しいかどうかの外の話だろうし
よりエレガントな解答というのも、論理的に正しいかどうかとは別の話。

>>569
スマン。俺の方は そろそろ自重しておく(俺は>>566である)。

>>568
そういう話は、根本的な解決策は無いように思う。
今回のようなケースは滅多に無いはずだから、
あまり気にしなくてもいいのでは。

x,yを実数として、X=x+y+xy, Y=(x+y)xy　とするとき、(X , Y)の存在する領域をxy平面上に図示せよ。

>>566
実はそれだけの解釈ではなく
(x, y)の範囲に依存して、fが複数存在する場合もあるのではないかと、考えた。
例えば
x < 0の場合にはf1
x = 0の場合にはf2
x > 0の場合にはf3
など。
この問題のような問題を解いたことは遠い昔にあってそのときの解答は>>515の
ようなものだった。

>>558の
＞＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
＞となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
＞ならないのか？

＞＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
＞となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。
という２点については答えられていない。

また、α＝β∩γを仮定しているからといって、γを検証しないのは納得がいかない。
γが存在しない場合もあり得るかもしれないわけで、その場合はα=φ(空集合)
となり得る場合もある。
αが存在するかは、問題では設定されていない。

必要性の証明の中で
十分性の証明の中の結果＝αは空集合ではない。
を紛れ込ませている。

>>573-574
君はこれからは「依存しない」という解釈で解くのだから、
それらの疑問点については、もう君が自力で納得できるはずだが。

俺は「そろそろ自重する」と書いたので、あまり君とレスを続けてはならない。

どうしても>>558が気になるなら、そのレスについては、
もう俺の方から撤回する。また やり取りが長くなってしまう。
少なくとも君は>>522+>>523の方は理解しているらしいから、
とりあえずは それで十分である。

あと、君はどうも、「 S → T 」という形の命題について
よく理解していないようだから、少しコメントしておく。
「 S → T 」という形の命題は、Sが偽のとき常に真である。たとえば、

「 0＝1ならば、5は素数である 」は真であるし、
「 0＝1ならば、5は素数でない 」もまた真である。

(「仮定が偽　命題」でググるとよい)


また、「 S → T 」の証明方法は、2通りあることを知ってほしい。

(1) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、Tを導く。
(2) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、矛盾を導く。

(1)は問題ないだろう。(2)はどうか？
これは、「Sが偽」を証明しようとしているのだ。
もしこれが証明できたら、自動的に「 S → T 」は真となる。
なぜなら、Sが偽のとき、「 S → T 」という形の命題は常に真だからだ。
まあ、(2)の方法は、普通は使わないが、別に間違ってはいないのだ。

最後に、君向けの問題を出しておく。

問題1：写像 f：R → Rで、
(A)「 任意のx,y∈Rに対して f(x)^7−3*f(x)^5*f(y)^2＋f(x)^4*f(y)^3＋f(x)^3*f(y)^4−3*f(x)^2*f(y)^5＋f(y)^7 ＝0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、fはx,yに "依存しない" として解くべし)

問題2：nは自然数とする。実数a_1,a_2,…,a_nは Σ[i＝1〜n]a_i ≠ 0 を満たすとする。写像 f：R → Rで、
(A)「 任意のx,y∈Rに対して Σ[i＝1〜n] a_i*f(x)^i*f(y)^{n+1-i} ＝ 0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、「依存しない」の解釈で解くべし)


答えだけ言ってしまうと、どちらも「f(t)＝0 (∀t)」すなわち
「fは定数関数で、その値は0」という関数のみが答えになる。


これらの問題は、おそらく>>515のやり方では解けない。
x≠yの場合を計算しようとしても、事実上、計算できないはず。
特に問題1では、(A)式はxとyについて対称なので、xとyを入れ替えても全く同じ式が出現してしまい、
何の進展も無い。また、(A)式自体をf(x),f(y)について分離して解くようなことも、まず無理だろう。

従って、これらの問題を解こうとしたら、>>419のように解くか、
あるいは、>>522+>>>523のように解くしかないはずである。
あまり>515のような方法に こだわるのは、やめた方がよいと思う。

では、さようならﾉｼ

追記。

問題3：写像 G：R^2 → R が与えられていて、Gは
・a＝0のとき G(a, a)＝0
・a≠0のとき G(a, a)≠0
を満たすとする。次の(A)を満たす写像 f：R → R を全て求めよ。
(A)「 任意のx,y∈Rに対して G(f(x), f(y))＝0 」


これが究極かもしれん。やはり「f(t)＝0(∀t)」しか解は無いが、
>515の方針だと完全に詰まる。>419あるいは>522+>523 の方法だと解ける。


他の皆さんには、暇つぶしの問題を。

問題1：実数列 { a_n }_{n∈N} は、各項が全て正だとする。S_n＝Σ[i＝1〜n]a_i (n∈N)と置く。
lim[n→∞]S_n＝＋∞ のとき、Σ[i＝1〜∞]a_i/S_i ＝ ＋∞ となることを示せ。

問題2：実数列 { a_n }_{n∈N} は、各項が全て正だとする。S_n＝Σ[i＝1〜n]a_i (n∈N)と置く。
lim[n→∞]S_n＝＋∞ かつ Σ[i＝1〜∞]a_{i-1}/S_i ＜ ＋∞ となるような{ a_n }_{n∈N}の
具体例を1つ求めよ。

(a_iかa_{i−1}かで状況が大きく違うという問題。わりと有名かも)

では、今度こそ さようならﾉｼ

>>575
そんな事は全く関係ない。>>573と>>574対してにまともに答えられないらしいな。

>>522+>>523を理解したと言ったことを撤回する。

β∩γ=φの場合にはα=φとなり
「 どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)−1 」を満たす関数は存在しない。
この命題が矛盾している偽であると言えるのは、
f(1) = 1 => 「 どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)−1 」
という十分性を確認したことによって言えるのではないのか？
だから>>574と言っている。

循環論法

>>579
では、君の言い分に基づいて、>>522+>>523を修正してみよう。
(先に結果を言っておくが、実はどこにも修正の必要が無い)

>>523は、次の4つの証明から成っている。
・「α＝β∩γ」という等式を証明する
・「β∩γ ⊂ β」 という包含を証明する
・「β⊂θ」 という包含を証明する
・「θ⊂α」 という包含を証明する
従って、これらの証明について修正の必要が無ければ、
何の修正も要らないということである。

＞β∩γ=φの場合にはα=φとなり
その場合にも「α＝β∩γ」という等式は依然として成り立っているから、
>>523において、少なくと[2.1][2.2]については修正の必要がない。
[2.1][2.2]で言いたいことは、「α＝β∩γという等式が成り立つ」
ということだけなのだから、"イコールが言えさえすればよい" のである。

では、次の[3.1][3.2]はどうか？これも修正の必要が無い。
なぜなら、集合の一般論として「 どんな集合S,Tに対しても S∩T ⊂ S 」だから。

では、次の[4.1]〜[4.4]はどうか？全く修正の必要が無い。
なぜなら、[4.1]〜[4.4]によって、確かに「β⊂θ」が言えているから。

では、[5.1]〜[5.2]はどうか？ここは明らかに修正の必要が無い。
計算すれば確かにそうなっている。

[6.1]以降は、それまでの結果を使ってるだけだから、これも修正の必要がない。

つまり、>>522+>>523は、何1つとして修正の必要がない。

>>581の
＞その場合にも「α＝β∩γ」という等式は依然として成り立っているから、
＞>>523において、少なくと[2.1][2.2]については修正の必要がない。
この部分について補足する。

β∩γ＝φ，α＝φ であるならば、つまりは両方ともφという
集合なのであるから、その場合も依然として

α＝β∩γ　(今の場合はφ＝φと言っているのと同じこと)

という等式は成り立っている。よって、[2.1][2.2]は修正の必要が無い。
(単に "イコールが言いたい" のが[2.1][2.2]である。)


それと、もしかしたら君は知らないかもしれないので、1つコメントする。
集合の一般論として、次が成り立つ。
「どんな集合Sに対しても φ ⊂ S が成り立つ」
もしこれを知らないようであったら、覚えておいてほしい。


>>579
＞そんな事は全く関係ない。
いや、君にも関係がある。
スレ違いだと何度も指摘されているのだぞ。
基本的に俺はそういう指摘は無視する性分だが、
既に200レスほど消費してしまったのだ。
さすがに そろそろやめるべきだ＾＾

>>519
初めに(A)を満たす関数fが存在するかは分からないから
(1)(A)を満たす関数fが存在する => fは定数関数で、その値は1である。
(2)(A)を満たす関数fが存在しない => fは定数関数で、その値は1である。
のように2つに分けて考えなければならないと考えられる。
何故(1)の場合だけしか考慮しないのか？
何故(A)を満たす関数fが存在するを真であるとすることができるのか？

>>582
β∩γ＝φの場合はα＝φとなるから(2)の
(A)を満たす関数fが存在しない
という条件が成立する。
問題は、何故この(2)の場合が偽であるといえるかということ。

これ以上長引くようならこちらのスレに移行してくれませんか？
誘導お願いします。

算数＆数学が全くできない人のスレ
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295102135/

結構

>>584
スマンな。では俺も移動するﾉｼ

>>578
問題1
b_k = Σ[i=1,k]a_i/S_i とする

任意の m (∈N) に対して
b_n - b_m ≧ 1/2
となる n (∈N) が存在することを示す

n を S_n≧2S_m となるように取れば
b_n - b_m
= a_(m+1)/S_(m+1) + a_(m+2)/S_(m+2) + … + a_n/S_n
≧ (1/S_n)(a_(m+1)+ a_(m+2) + ... + a_n)
= (1/S_n)(S_n - S_m)
≧ 1/2


問題2
a_n = 2^(n^2)

数列ａ[n]について、ａ[1]=1,ａ[2]=2+3,ａ[3]=4+5+6,ａ[4]=7+8+9+10のとき、ａ[n]はどうなるか。

n(n^2+1)/2

>>588
　n≧5 に対しては a[n]は任意だが何か。

>>589
a[n] の最後の項を b[n] とおくと、

b[n] = 1 + 2 + …… + n = (1/2)n(n+1),

a[n] = {b[n] -(n-1)} + {b[n] -(n-2)} + …… + {b[n] -1} + b[n]
　　 = n*b[n] - {(n-1) + (n-2) + …… + 1}
　　 = n*b[n] - b[n] + n
　　 = (n-1)b[n] + n,

次の命題は正しいか否か

任意の自然数 n について、(n に応じた)自然数の集合 S が存在して
1/n = �納k∈S] 1/k^2

当然同じ元を二回以上足しちゃいけないのね

1/1=1/1.
1/2=1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/121…うーん、このへんから微調整の世界に入るが…
収束とかでもおk？
おkだったとしても足を踏み外さないか不安な数列だな…

>>591 を訂正(「有限」が抜けてた)

任意の自然数 n について、(n に応じた)自然数の有限集合 S が存在して
1/n = �納k∈S] 1/k^2


別の言い方をすると

任意の自然数 n は、相異なる有限個の平方数の逆数の和で表せる

例えば n=3 のときは
1/3 = 1/2^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/10^2 + 1/15^2 + 1/30^2
こういうことが任意の n について可能かということ

1+2^x+3^x+....+n^x=S(x)
ただし0<x<1とする。

S(x)の最小値を求めよ。

× 任意の自然数 n は
○ 任意の自然数 n の逆数は

>>594
n=3 できるんだ。
なんか具体的解見つけるだけでたいへんなんだけど…

具体的な構成方法の可否を示すよりも
可否のどちらかを仮定して矛盾を引き出す方向のほうが
現実的な気もする

清水校長は NOTE に何か数学の記事を投稿しようと考へてゐた。
そこで数学のビュットナー先生にそれを頼んだ。

ビュットナー先生の回答

それは Σ[k=1,n] k^2 を簡単に計算する方法に関するものだった。
正３角形をn段に分ける。
k段目には k個の「k」を置く。
その総和が求める Σ[k=1,n] k^2 である。
ところでこの正３角形を転がすと３とおりの配置が可能。
同じ位置にある３数を加えると、どこでも 2n+1 となる。 （x,yの1次式の重ね合わせ)
したがって
　Σ[k=1,n] k^2 = {(2n+1)/3}Σ[k=1,n] k,

ここまではいいのだが、右辺の難しい和を計算しなければ････と挫折しかかったとき…
そうだ！ガウス君に尋ねてみよう！

数セミ, Vol.50, No.10, p.70 NOTE (2011/10)

完全に停止した状態から
何次導関数も無限大になることなく
滑らかに動き出すことは可能か？

動き出すだけでよくて、動き続ける必要はないのか？

じゃあ離れた別の点まで移動することにしますね。

書き直し:
x<=0 において f(x)=0, かつ f(1)=1.
これを満たしつつ、全ての N (N>=0) 次導関数が
あらゆる実数 x において連続的になる関数 f(x) を求めよ。

>>602
x>0 で f(x)=e^(-(1/x)+1)

正解。以上。

□巨＝

同じ目が連続するまでサイコロを投げ続ける時、サイコロを投げる回数の期待値はいくらか。

７

n回目で目が連続した確率をp(n)として
p(2) = 1/6
p(n+1) = (1-p(n))/6
から
p(n) = (-1/6)^(n-2)/42 + 1/7
よってnまでの期待値の総和をE(n)とすると
E(n) = Σ[k=2, n]p(k)*k
= 36/343*((-1/6)^n - 1) + 1/49*(-1)^n*6^(1 - n)*n + 1/14*n*(n+1)
E = lim[n->∞]E(n) = ∞

+ 1/7の項がどうして出現したのか気になる

つ特性方程式

>>608
＞ p(n+1) = (1-p(n))/6 
これだと 、p(n)は 「n回目で」ではなく「n回目までで」目が連続した、だろ。

p(n)は(1/6)*(5/6)^(n-2) ｛n>=2｝

言葉が足りなくて誤解されかねんな。

＞ p(n+1) = (1-p(n))/6 

p(n) は「n回目まで」ではないので
Σ_{k=2〜n} (p(k)) にしないといかん。

ということ

n回目で連続する確率は
n-1回目まで連続しない確率×1/6

1+2^x+3^x+....+n^x=S(x)
ただし0<x<1とする。

S(x)の最小値を求めよ。

>>614
ない

>>607正解

二回目を一回目と考えて
前回出た目を毎回１に置換して考えると
「１の目が初めて出る回数の期待値」＋１
にまで帰着するな

S(x)がxの開区間で定義されてるから最小値を持つとは限らない
そんでこの場合0<x<1区間で狭義単調増加だから最小値は存在しない

>>606

n≧2 とする。
2回目〜n回目まで連続しない確率は (5/6)^(n-1),
ちょうどn回目に連続する確率は p(n) = (5/6)^(n-2) * (1/6),

k/6 = (k+5) - (5/6)(k+6) を利用して
E(n)= Σ[k=2,n] p(k) * k
　　= Σ[k=2,n] (5/6)^(k-2) * k/6
　　= Σ[k=2,n] {(5/6)^(k-2)･(k+5) - (5/6)^(k-1)･(k+6)}
　　= 7 - (5/6)^(n-1)･(n+6),
　　→ 7　　(n→∞)　　　　　>>607

n個の異なるボールをn種類の箱に入れる。ただし、1つもボールが入らない箱が存在してもいいものとする。
また、この分け方の総数をS(n)とする。

Q1.S(n)をnを用いて表せ。ただし、n≧2とする。

Q2.Q1のときS(n)の最小値を求めよ。

Q3.aを定数として、2≦a≦n≦a+1におけるS(n)の最大値をM、最小値をmとする。
2≦M-m≦5となるnを全ての求めよ。

>>620
Q3はaを求めるんじゃないのか？
ついでにaは整数か？

>>621
aでした
はいaは整数ですね。

>>620
n種類の箱ってことは箱は区別するんだよね
S(n)=nHn=(n+n-1)Cn=(2n-1)!/(n!(n-1)!)
S(n+1)/S(n)=((2n+1)!/((n+1)!n!))/((2n-1)!/(n!(n-1)!))
　　　　　　　 =((2n+1)!n!(n-1)!)/((2n-1)!(n+1)!n!)
　　　　　　　 =(2n+1)*2n/(n+1)n
　　　　　　　 =2(2n+1)/(n+1)
　　　　　　　 =4-2/(n+1)
　　　　　　　 ＞1　(∵n＞2)
すなわち
S(n+1)＞S(n)　(∵S(n)＞0)
S(n)の最小値はn=2においてS(2)=3

Q3の題意は判然としないな

M=S(a+1)、m=S(a)
簡単すぎないか？

>>623
箱もボールも区別するんだったら、例えばn=2で、箱をX,Y、ボールをa,bとしたとき、
X[a,b],Y[]
X[a],Y[b]
X[b],Y[a]
X[],Y[a,b]
の様な四通りある。つまり、S(n)=n^nじゃないのか？

出題します。既出かもですが。

n次の実多項式 f(x) = x^n + ax^(n-1) + ････ + cx + d,
の根がすべて実根のとき、
　|f(i)| = |f(-i)| > 1,
を示せ。(ろぐもど)

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1165998931/227-232
　casphy - 高校数学 - ﾁｬﾚﾝｼﾞ問題 - 227〜232

>>608 訂正
p(n) = (1 - Σ[k=2, n-1]p(k))/6

関数f(x)=2x^3-ax^2-1・・・�@、g(x)=(a^2+1)x-3・・・�A
ただし、aは正の定数がある。

Q1.�@が異なる3この実数解を持つとき、aの値の範囲を求めよ。

Q2.Q1のとき�@の任意の点における接線が�Aであるとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。

Q3.�@、�Aの交点を通り、x軸に並行な直線の方程式h(x)のうち、h(0)の最小値を求めよ。

>>628
このままだと、色々言われるだろうなあ。
エスパーして助けておこうか
Q1 「(1)が」ではなく「方程式f(x)=0が」　とする。
Q2 「(1)の任意の点」ではなく「y=f(x)上の任意の点」とし、「接線が(2)」ではなく「接線がy=g(x)」とする。
Q3 「(1)、(2)の交点」ではなく「y=f(x)、y=g(x)の交点」とする。

>>629
神がかり的なエスパーありがとう。
全くその通りだ。

今日はカルダーノが自らの予言に従って自殺した日

4x^3+3x^2+2x+1=0
x=?

π-e^π

>>631
　左辺の多項式をP(x) とおくと
　P '(x) = 12x^2 + 6x + 2 = 12(x + 1/4)^2 + 5/4 ≧ 5/4,
ゆえ y=P(x) は単調増加。
P(x)=0 は実根を1つもつ。

　4x+1=t とおくと
　P(x) = (1/16)(t^3 +5t +10),
カルガモの公式より
　t = -(√a + 5)^(1/3) + (√a - 5)^(1/3),
上の式にこれをを代入すると
　3(a-25)^(1/3) = 5,
　27(a-25) = 125,
　a = 25 + 125/27 = 800/27 = 6*(20/9)^2,
　t = -{(20/9)√6 + 5}^(1/3) + {(20/9)√6 - 5}^(1/3)
　　= -1.42331834475307
　x = (t-1)/4 = -0.60582958618827

カルガモの公式ってなんだよｗｗ

4次方程式のフェラーリの公式とあわせてフェラガモの公式とも呼ばれる

ヴァルファーの公式

一辺の長さ５�pの正四面体に内接する球の体積を求めよ。

125√2*π/192

>>638
違うような…

{([ア]^3)(√[イ])}π/([ウ]^3)

1辺の長さがaの四面体の高さは√6/3a
1つの面の面積Sは、√3a^2/4
この四面体の体積Vは、√2a^3/12
内接球の半径をrとすると
1/3*S*r = V/4となるから、r = √6a/12
内接球の体積は、√6πa^3/216
求める体積は、125√6π/216

>>641
正解

正四面体ABCDの座標をA(1, 1, 1)、B(1, -1, -1), C(-1, 1, -1), D(-1, -1, 1)とする
辺の長さは、2√2
平面BCDは、x + y + z = -1
Aを通り平面BCDに垂直な直線lは、x = y = z
平面BCDと直線lの交点Eは(-1/3, -1/3, -1/3)
原点から点Eまでの距離が正四面体の内接球の半径となり、半径は√3/3
正四面体の辺の長さをa、内接球の半径をrとすると
2√2*x = √3/3*a ∴r = √6*a/12

>>633

　{P(x2) - P(x1)}/(x2-x1) = 4(x1^2 +x1･x2 +x2^2) + 3(x2 +x1) +2
　　　　　　　 = (x2-x1)^2 +3(x2 +x1)^2 +3(x2 +x1) +2
　　　　　　　　= (x2-x1)^2 +3(x2 +x1 + 1/2)^2 + 5/4
　　　　　　　　≧ 5/4,
でもいいが。

>>637 A(12a,0,0,0),B(0,12a,0,0),C(0,0,12a,0),D(0,0,0,12a)は一辺が12a√2の正四面体(a>0としている)
正四面体の中心O、面ABCの中心Gはそれぞれ、O(3a,3a,3a,3a)、G(4a,4a,4a,0)で、OGの長さが内接円の半径r
r=√{3(4a-3a)^2+(3a)^2}=a√12。一辺が1ならば、√12/(12a√2)=1/√24=√6/12　以下略

>>637
なんとなくベクトルで
四面体OABCで球の中心(四面体の重心)G,三角形ABCの重心H,ベクトルOA=a…とすると、
ベクトルOG=(a+b+c)/4
ベクトルOH=(a+b+c)/3より
ベクトルHG=(a+b+c)/12
|a|=|b|=|c|=t,a•b=b•c=c•a=t*t*sin60°=t^2/2とすれば
|HG|=(1/12)√6t^2=√6t^2/12
以下略

cosでした…

オートマトンの中にある野菜はトマト

ほう
なかなか興味深い

ブレードランナーが彷彿

なんかないの

だいたいあるよ

じゃあ素朴な疑問で。
平面上に無向グラフをある規則に従ってズラッーと無限に並べる。
グラフの中から頂点を２つ選び
グラフ上での最短距離（到達までに経由する辺の数の最小値）と
平面上での二点間の最短距離との相関が
最大になるような
グラフの配置はどんな形？
(ただし、単位面積当たりの頂点数には上限があるとする)

つまりユークリッド空間をよく近似するグラフは何？ってことです。
例えば碁盤の目と蜂の巣では蜂の巣の方がよい近似になってる
(碁盤の目は斜め４５度方向の距離の誤差がデカくて41.421356% も誤差がある)

ランダム？

普通に考えたら正三角形？

角度も問題になるから純粋なグラフではなくね？

＞(ただし、単位面積当たりの頂点数には上限があるとする)
この部分もかなり曖昧だと思う

曖昧だけど想像はつくはず

この条件だけでは頂点同士を結べば結ぶほど近似が良くなるな…
言いたいことは分かるけど、どうやって条件を明確にすればいいのだろうか
多角形の充填を考えるべきか

一日1題お願いします

一組52枚のトランプにジョーカーを1枚加えてポーカーをする。
ジョーカーはどのカードにもすることができ、5枚配られた後に任意の枚数を交換する。
この時、最初と二回目でロイヤルストレートフラッシュになる確率を求めよ。

>>661
交換するカードを選ぶルールを全部決めてくれ

そりゃあ確率を最大化するような交換をするんだろうよ

＞ 最初と二回目でロイヤルストレートフラッシュになる

ここが曖昧

自然数n^2-nが10000で割り切れるものを全部求めよ

>>664
そりゃあどちらかでだろうよ

なぜ在日韓国民団、ネトウジや朝鮮総連、民主党、ピットクルーなどの構成員は
日本人のことをネトウヨと名付け見下し嫌うのか？
それは在日韓国人・朝鮮人が隠しておきたい都合の悪い事実を
彼らに暴露されてしまったからである。

１、ネトウヨに強制連行のウソをバラされた。
２、ネトウヨに従軍慰安婦のウソをバラされた。
３、ネトウヨに終戦直後日本において朝鮮人が残虐的テロ（朝鮮進駐軍で検索）をやりまくったことをバラされた。
４、ネトウヨに朝鮮人がレイプ大好き民族であることをバラされた。
５、ネトウヨに日教組と北朝鮮の関係をバラされた。
６、ネトウヨにパチンコ業者とサラ金業者のほとんどが朝鮮人であることをバラされた。
７、ネトウヨにマスコミ（特にテレビ局）に多くの朝鮮人が入り込み支配していることをバラされた。
８、ネトウヨに日韓併合の事実（朝鮮人が望んで日本と併合した）をバラされた。
９、ネトウヨに韓国が反日国家であることや「親日罪」のことをバラされた。
１０、ネトウヨに外国人参政権や人権擁護法案の危険性をバラされた。
１１、ネトウヨに民主党が帰化韓国朝鮮人だらけの反日スパイ政党であることをバラされた。
１２、ネトウヨに在日特権（日本人の税金から支払われる月１７万円の特別生活保護費等）の存在をバラされた。
１３、ネトウヨに韓国人がトンスル（人糞酒）やホンタク（エイの人糞漬け）が大好きであることをバラされた。
１４、ネトウヨに民団や総連、ピットクルーが組織ぐるみでネット上で情報工作していることをバラされた。
１５、ネトウヨに韓国人男性の平均勃起サイズが9cmしかない事をバラされた。
１6、ネトウヨに朝鮮人の多数が精神病（火病）であることをバラされた。

これら朝鮮人がついてきたウソとか気になるキーワードは
「強制連行　ウソ」とか「従軍慰安婦　新聞広告」 とかで検索してみよう！色々出てくるぞ。 画像検索もおk！

>>666
どちらかで → 「最初か二回目で」
どちらともで → 「最初と二回目で」

と書くような気もするんだがどうだろう？

>>666
ゲームの１回目と２回目の結果という意味ならそれらは独立だろう。
 わざわざ問題にする意味がわからない。

１回目２回目というのは、もしかしたら
５枚組の揃う、交換前と交換後の２回のことという可能性はないか？

>>661の補足
最初 = 5枚配られたカードでロイヤルストレートフラッシュになる場合
2回目 = 配られた5枚では、ロイヤルストレートフラッシュにならずに、任意の枚数交換後にそうなる場合

>>668
「どちらかで」の意味

Σ[k=0, n](a^k*k^2)を求めよ

i)a≠1のとき
Σ[k=0, n]x^k=(1-x^(n+1))/(1-x)
両辺微分
Σ[k=0, n]kx^(k-1)=(1-(n+1)x^n+nx^(n+1))/(1-x)^2
両辺x倍
Σ[k=0, n]kx^k=(1-(n+1)x^n+nx^(n+1))x/(1-x)^2
両辺微分
Σ[k=0, n](k^2)x^(k-1)=((n^2)x^(n+2)-(2n^2+2n-1)x^(n+1)+((n+1)^2)x^n-x-1)/(x-1)^3
両辺x倍
Σ[k=0, n](k^2)x^k=((n^2)x^(n+2)-(2n^2+2n-1)x^(n+1)+((n+1)^2)x^n-x-1)x/(x-1)^3
∴Σ[k=0, n](a^k*k^2)=((n^2)a^(n+2)-(2n^2+2n-1)a^(n+1)+((n+1)^2)a^n-a-1)a/(a-1)^3

ii)a=1のとき
Σ[k=0, n](a^k*k^2)
=Σ[k=0, n]k^2
=n(n+1)(2n+1)/6

検算めんどいから間違ってたら言って

6が一回目または5が二回目に出るまでサイコロを投げ続ける時
サイコロを投げる回数の期待値はいくらか。

>>673
∞

k回で投げ終る確率はP(k)=(2k+2)4^(k-2)/6^k　(k≧1)
母関数は
Σ[k=1,∞]P(k)x^k=x(3-x)/(2(3-2x)^2)
Σ[k=1,∞]P(k)kx^k=(9x/2(3-2x)^3)
x=1を代入して、
Σ[k=1,∞]P(k)k=9/2
∴9/2回

>>591,594
用意しておいた解答

有理数 q が (0,π^2/6-1)∩[1,π^2/6) に含まれるとき、
相異なる有限個の平方数の逆数の和で表されることを証明する

(1) q から 平方数の逆数(1, 1/4, 1/9, …) を欲張り法で引いていく
　十分小さなものまで引けば、引いた残りを q1、引いた最小の元を x として、
　q1 ＜ min(1/8, x) とできる(証明略)

(2) q1 から 7以上の素因数を持つ平方数の逆数をいくつか引く
　引いた残りを q2 とし、q2 を既約分数で表したとき、分母が 7以上の素因数を持たないようにできる(証明略)

(3) 数列 a_k を以下のように定める
　　　a_0,…,a_14 はそれぞれ
　　　1/4^2, 1/5^2, 1/6^2, 1/8^2, 1/9^2, 1/12^2, 1/15^2, 1/18^2,
　　　1/24^2, 1/30^2, 1/36^2, 1/45^2, 1/60^2, 1/72^2, 1/90^2
　　　とし、k≧15 については　a_k = a_(k-15)/30^2 とする

　q2 を既約分数で表したときの分母を d とする
　(2) より d は 7以上の素因数を持たないので　d | (12*30^M)^2 となる正整数 M が存在する
　M のうち最小のものを m として、q2 から a_0, a1, …, a_(15m) を欲張り法で引いていく
　(1) から q2 ＜ 1/8 = 2a_0、a_k の定義から 1/2 ＜ a_(k+1)/a_k ＜ 1 が言えるので、
　引いた残りを q3 とすると
　q3 ＜ a_(15m) = 1/(4*30^m)^2 = 9/(12*30^m)^2
　0≦k≦15m のとき a_k は (12*30^m)^2 の約数の逆数なので、
　q3 を既約分数で表すと、分母は (12*30^m)^2 の約数
　以上より、b を 0≦b＜9 の整数として、q3 = b/(12*30^m)^2 と書ける

(4) q3 から 1/(6*30^m)^2, 1/(12*30^m)^2 を適当に引いて、引いた残り q4 が
　q4 = c/(12*30^m)^2　(c∈{0,1,3})
　となるようにできる(証明略)

(5) (4)で c=1 のときは
　q4 = 1/(12*30^m)^2 = 1/(15*30^m)^2 + 1/(20*30^m)^2
　c=3 のときは
　q4 = 3/(12*30^m)^2
　= 1/(9*30^m)^2 + 1/(15*27*30^(m-1))^2 + 1/(24*27*30^(m-1))^2 + 1/(36*30^m)^2 + 1/(108*30^m)^2
　と平方数の逆数の和で表せる

各項が相異なることの証明は省略


例) q = 1/7
(1) 1/7 - 1/3^2 = 2/63 = q1
(2) 2/63 - 1/21^2 - 1/28^2 - 1/63^2 - 1/70^2 = 899/180^2 = q2
(3) 899/180^2 - 1/8^2 - 1/12^2 - 1/15^2 - 1/45^2 - 1/72^2 = 6/360^2 = q3
(4) 6/360^2 - 1/180^2 - 1/360^2 = 1/360^2 = q4
(5) 1/360^2 = 1/450^2 + 1/600^2
以上から
1/7 = 1/3^2 + 1/21^2 + 1/28^2 + 1/63^2 + 1/70^2
　　+ 1/8^2 + 1/12^2 + 1/15^2 + 1/45^2 + 1/72^2 + 1/180^2 + 1/360^2 + 1/450^2 + 1/600^2

>>676
×有理数 q が (0,π^2/6-1)∩[1,π^2/6) に含まれるとき、
○有理数 q が (0,π^2/6-1)∪[1,π^2/6) に含まれるとき、


問題と解答を考えてから↓を見つけた

R.L.Graham "On finite sums of reciprocals of distinct nth powers"
http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/64_07_reciprocals.pdf

横1列に並んだ34個のマス目が紙に書かれている。
ここに2人が交互に1つずつ矢印を書いていく。
ただし右向きか左向きのどちらかしか書けず、1マスに1つしか書いてはいけない。
また、隣同士の矢印が互いに向き合うように書いてはいけない。
さて、先手後手どちらが必勝か？
先手必勝ならば、必勝となる初手を示せ。

追記。勝利条件は相手が矢印を書けなくなった時。

ヘマしなければ後手勝ちじゃね？

あと、一応確認しておくと
仮に全部埋まった場合は次に書き込むマスがない先手が負け？

>>681
後半の質問に関してはyes

じゃあ後手勝ちだな

>>681,683
先手が左から9マス目に左向き矢印を書いたらどうする？

後手が左から26マス目に←

>>685ひょっとして自分が間違ってるのかも知れないけど
先手、左端に←

1　　　　　　　 　　　　　10 　　　　　　　　　　　　 20　　　　　　　　　　　　　30
←□□□□□□□←□□□□□□□□□□□□□□□□←□□□□□□□□

>>686
一手一手やるつもりかｗ

だから要するに模写矢倉みたいなね、

左端っての間違ってたっぽいな
真似碁戦略だと、>>686 のあと例えば

後手34←
←□□□□□□□←□□□□□□□□□□□□□□□□←□□□□□□□←
先手19→
←□□□□□□□←□□□□□□□□□→□□□□□□←□□□□□□□←
後手16→
←□□□□□□□←□□□□□□→□□→□□□□□□←□□□□□□□←
先手20→
←□□□□□□□←□□□□□□→□□→→□□□□□←□□□□□□□←
後手15→
←□□□□□□□←□□□□□→→□□→→□□□□□←□□□□□□□←
先手22←
←□□□□□□□←□□□□□→→□□→→□←□□□←□□□□□□□←
後手13←
←□□□□□□□←□□□←□→→□□→→□←□□□←□□□□□□□←
先手17→
←□□□□□□□←□□□←□→→→□→→□←□□□←□□□□□□□←

ってなって、両端の
←□□□□□□□←□□□←　と　←□□□←□□□□□□□←　が等価
中央の
←□→→→□→→□←
は先手、後手1手ずつになるから、先手の勝ちになってないか？

10マスぐらいでリアルで何回か勝負しようぜ

方針が見えないなあ
２マス、４マスだと後手必勝
６マスだと、左２→で先手必勝かな（後手に関わらず →□← か →□□← が作れる）
再帰的にやるなら奇数マスの場合も検証が必要か…

矢印の背の部分で完全に２分されるから、
□□□…□　のパターンと　→□□…□　のパターンについて１マスから順に検証していくしか方法が浮かばない

なんか別の問題に変形できないかなーとずっと悩んでるんだけどダメだな
プログラム回すか

>>688
先手17の次は当然後手18だよな

←□□□□□□□←□□□←□→→→→→→□←□□□←□□□□□□□←

こっから先手後手１手ずつだから先手の方がすることなくなるだろ

>>690
６マスでも線対称な位置で真似れば後手必勝
先手が置ける状況にあったということは、後手の対応する場所も置けるわけだから。
唯一それを防ぎうるのは直前の先手が打った手が後手を妨げる場合だが
先手と同じ向きに置く原則でいけば先手は妨げにならない

>>692
（１）
←□□□□□□□←□□□←→→→→→→→□←□□□←□□□□□□□←
（２）
□→□←→□
（３）
□→□←←□

どうする？

>>693
問題が不備だらけですなあ

（１）
←→　は発生しない

（２）
←→　は発生しない

（３）
後手が真似戦術をしているなら
□←□←←□
のはず。

この問題って、そもそも出題者が自分で決めたルールを把握できてない気がするなぁ
＞先手必勝ならば、必勝となる初手を示せ

>>694
> ←→　は発生しない
これを「矢印が互いに向き合う」とは言わないんじゃないか？

出題者だけど、→←は不可、←→は可ということで。

>>690
長さ3のときは先手必勝だな

>>697
そりゃあ長さ n で後手必勝の場合、
長さ n+1 の時は初手１←で先手必勝だからな
3, 5 は先手必勝

一番最初にどこにおけばいいっていうのあるんかな？

>>698
じゃあ帰納的に後手必勝じゃね？

>>700
なんで？

□がk個あるとき、1≦k≦nでkが奇数なら先手が、kが偶数なら後手が勝つと仮定する。

このとき矢印が始めから
→□□□…□
こうなっている#とすると、仮定より#に先に置く人は自分の勝敗をきめられる。(→←、→□←で偶奇を調整できる)

□がn+1個のとき
⑴n+1が奇数の時、先手は右端に→をおくと仮定より先手が勝つ。
⑵n+1が偶数のとき、先手の一手によって□は(偶#,奇)または(奇#,偶)に分けられる。
いずれの場合も後手は#での勝敗を調整して勝つことができる。よって後手が勝つ。

n=1,2で仮定が成り立つので全てのnについて仮定が成り立つ。

よって34個のとき後手が勝つ。

循環論法な気もするけど…

>>702
6マスは初手 2→ で先手必勝
□→□□□□

後手の着手に応じて、3手目に先手は次のいずれかの状態にすればよい
→→□□□←
←→□←□□
□→→□←□
□→□→□←
□→□□←→
□→□←→□

Oh...#がそもそもミスってた死にたい…

4だと後が勝つし端っこ抜いた数が関係ありそう

>>690
→□□…□□←　もあるから結構パターン多いよ

プログラムった http://uproda.2ch-library.com/439390VfX/lib439390.cpp
f(マス数)={0:先手必勝, 1:後手必勝}
f(1)=0 f(2)=1 f(3)=0 f(4)=1 f(5)=0 f(6)=0 f(7)=1 f(8)=0 f(9)=0 f(10)=1 f(11)=0 f(12)=1 f(13)=0 f(14)=1 f(15)=0 f(>=16)=未計算
検算よろ

>>707
こっちの計算だと、30マスまでで後手必勝なのは
2,4,7,10,12,14,17,19,21,27,29
の11とおり

>>708
まだ根拠はわからんの？

さすがに綺麗な解はなさそうじゃないか

Grundy数を使うのじゃ
どうせ周期的になるのじゃ

ニム数？うおーなんだそれ

正六面体を赤青黄緑黒白のうちから選んで塗り分ける。隣接する面が異なる色になるように塗り分ける方法は何通りか。

ネックレスのカラリング問題

>>679はある狙いがあって出題したんだけど、その核心をついた答えがまだ出てないようだ。
ヒントになりそうなキーワードは>>691あたりにあるかも。

かまって君乙ｗ

？

「おしえて〜な」スレなのにかまって君乙とはいかがなものか

>>691がヒントと言われても抽象的すぎてなあ…

「おしえて〜な」スレなのに相手にされなくなって必死に気をひいているさま＝かまって君

しょうもな

どうしようもないな

別にかまって君扱いしてくれても構わないことにする。相手するだけ無駄。

ずばり言うと、別のゲームに変形することによって、問題を解くのが少し楽になる。
ちなみに、そのような変形の仕方は少なくとも2通りある。
どっちにしてもグランディー数を使って計算するのだが・・・。
各マスに対して右向きと左向きと2通りの選択がある、ということに注意。

小出しにしても釣れないから焦れちゃったｗ

→と←が置けるマスが1個か2個減るのか

どういうこと？

ああ、グランディー数ね

これってノットハンドレッドやんなー

1つか2つ数字を言って34言っちゃダメみたいな。35か・・・

ノットサーティファイブ。

誰も構ってくれないもんだから
とうとう自演に走ったか……

確かに自演くさいけどよくわからん！

出題者が、回答に誘導したい気持ちはわかるが
回答者にもっと考える時間を

出題がお粗末だったのは仕方ないが
それに執着すればするほど醜態をさらすといういい例だな

ヒント出しすぎたかな。もう黙っとくよ。
別に自演言われるのはいいけど、理由がよう分からん。
無用な混乱を避けるために言っておくが、自分が書いたのは
>>679,>>680,>>682,>>696,>>715,>>717,>>722だけ。

未練がましいなぁｗ
自演といわれる理由もわかってないらしい

>>713
320通り

数学がとくいな奴がよく言うことに、面白い問題教えて・・・がある。
面白い問題さえ探せない奴が数学なんかするなよ！！才能がないことがはっきり
してんだから

そんないわなくても(´・ω・`)

6回投げれば必ず1の目が1回以上出るサイコロがある。
このサイコロを60回投げるとき、出る目の期待値を求めよ。

意味不明

>>737
条件不足

12回投げて、1**********1、の様な出方も可能？
それとも、直前5回が非1なら、次は必ず1がでるようにでも細工されている訳？
設定が不確かである以上、解答も問題の解釈次第になる問題

>>740可能

細工されている

>>741　おい、言っている先から矛盾しているぞ
(*は、非1を意味している)

START
○
○
○
○
○
○
↑6回投げ終わり。
この時点で既に1が1回以上出てる。

>>743
6n回目から6n+5回目の出目の中には、必ず1が一回以上含まれているという設定なのか
それとも、m回目から、m+5回目の出目の中には、必ず1が一回以上含まれているという設定なのか
こう書けば、違いが分かってもらえるか？

前者○
後者×

>>745　じゃ、741の回答は不適当。少なくとも配慮不足だな
「細工されている」だけでは、後者の説明文の引用と取られかねない
しかも、その場合、振る回数６０回の意味あるのか？６回の場合と同じじゃないか？

出る目の期待値って60回の合計ってこと？
1回あたりの期待値だったら別に6回でも変わらんよね

１の目が出る確率をｐとすると６回投げたとき１の目が出ない確率は（１−ｐ）＾６でこれが０なのでｐ＝１

>>735
数学は人がするもの。
人毎の問題意識の違いのでる問題を愛でるんだよ。
面白い問題教えて、というのはそういう意味だよ。

744の表式では、初回の振りが「０回目」という事になり、ちょっと違和感があるので、
「6n+1回目から6n+6回目の間には、必ず１が一回以上出るように細工されている」と解釈するが、
この「細工」とは、例えば、6n+1から6n+5回目までの５回の振りで、一度も1が出なければ、
次の振り(6n+6回目)ではかならず1が出るようになっているが、それ以外では全く普通のサイコロとして
振る舞うような細工なのか、それとも、別の方法によって、上の「」内を実現するようになっているのか、
きちんと問題で説明される必要があるな

＞それ以外は全く普通のサイコロ

です。

37/12

1554835/46656=3.33255...じゃないか

37/12=3.083333...やな

非１である場合の出目期待値＝(2+3+4+5+6)/5=4
通常の出目期待値＝(1+2+3+4+5+6)/6=3.5
１回目で１が出た場合の出目合計の期待値　4*0 + 1 + 3.5*5 =18.5
２回目で１が出た場合の出目合計の期待値　4*1 + 1 + 3.5*4 =19.0
３回目で１が出た場合の出目合計の期待値　4*2 + 1 + 3.5*3 =19.5
４回目で１が出た場合の出目合計の期待値　4*3 + 1 + 3.5*2 =20.0
５回目で１が出た場合の出目合計の期待値　4*4 + 1 + 3.5*1 =20.5
５回目まで１が出ない場合のそれの期待値　4*5 + 1 + 3.5*0 =21.0
(5/6)^0*(1/6)*18.5+
(5/6)^1*(1/6)*19.0+
(5/6)^2*(1/6)*19.5+
(5/6)^3*(1/6)*20.0+
(5/6)^4*(1/6)*20.5+
(5/6)^5*21.0=1554835/7776

一回あたりに直すと1554835/46656=3.33255...

>>751とあるから6回に一回は1しかないサイコロ、それ以外は普通のサイコロを投げる感じじゃないか？

>>756



はい？

>>756
751では、こうこうこの様な細工のサイコロか、それとも別の方法によって、
「」内を実現しているサイコロなのかと問うて、前者だと回答されたと思うのだが

>>758
その通りで御座います

で、出題者さん、あなたの答えは37/12なのか？

体積の同一な立方体と正四面体は、
その一方をどの様な有限個の多面体に分割しても、
それらを組み替えて他方にすることができない。

超有名問題だけど、面白いし証明も分かり易い。

>>761
バナッハタルスキの論でも不可能なの？

バナッハタルスキの分割は、多面体への分割でなく、非可測領域への分割だから、ダメだよ

sinθ+cosθ+tanθ=0は0≦θ<2πの範囲で解をもたないことを示せ。

これぐらいなら俺でもできるぞーー

　　ｆ（θ）＝ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＋ｔａｎθ　（０≦θ＜２π）
とおくと、
　　ｆ（７π/６）＝−１/２−√３/２＋１/√３＜０
　　ｆ（８π/６）＝−√３/２−１/２＋√３＞０
だから、ｆ（θ）＝０ は、７π/６＜θ＜８π/６ に少なくとも一つの解を有する。

>>732
答えには興味ある(それが存在するなら)
しょうもない言い争いには興味が無い大多数のために
せめて書いて行ってくれ

俺も同意。

...
...
...

連続する直線で上記の図の全ての点を通るようにする場合、
最低でも4本の直線が必要って言われてるけど、
4本以下で通る方法がわかったんだが…

既出だったらスマンコマンコ

「最低でも４本」と「４本以下」は排反じゃないからなｗ

間違えた、4本未満｡
スマンコマンコ

いや、4本未満という表現も不適切だった｡
3本以下に修正します｡
スマンコマンコ

>>767>>768
じゃあ書いてみる。
答え自体には辿り着いてる人もいるっぽいし。

1つ目の方法。
各マスに白石を1個ずつ置く。
マスの仕切り線と両端の線上に黒石を1個ずつ置く。
これで白石34個と黒石35個が交互に置かれた状態になる。
矢印を書く代わりに、隣接する白石と黒石のペアを取ることにする。
右向きの矢印なら、そのマスの白石と右隣の黒石を取る。(左なら逆）
このルールでも、全く同等のゲームが成立することが分かる。
石の色は分かりやすくするために決めただけで、
実は全て同じ色の石でも問題ない。
すなわち、最初に69個の石が並べられているとして、
隣接する2個の石を取っていき、取れなくなったほうが負け。
この変形によって、←□…(n個)…□→ と →□…(n+1個)…□← が
同一視される（すなわち2n+1個の連続した石となる)ので、
そのぶん計算が省略できる。
グランディーの理論の説明は省略するが、
n個の連続した石のグランディー数をg(n)として、
g(1)から順に書きならべると
0,1,1,2,0,3,1,1,0,3,3,2,2,4,0,5,2,2,3,3,0,1,1,3,0,2,1,1,0,4,5,2,7,4,
0,1,1,2,0,3,1,1,0,3,3,2,2,4,4,5,5,2,3,3,0,1,1,3,0,2,1,1,0,4,5,3,7,4,
8(=g(69))
となる。（ちなみにg(53)からループになる。周期の長さは34）
これにより、初手は端から17,18番目の石を取るのが唯一の正解と分かる。
元のゲームで言えば、「左から9番目のマスに左向きの矢印を書く」、
あるいは「右から9番目のマスに右向きの矢印を書く」が正解。

2つ目の方法。
各マスに石を2個ずつ横並びに置く。
さらに、両端のマスの外側に1個ずつ置く。
右向きの矢印を書く代わりに、そのマスの中の右側の石を取る。
すなわち、連続した石の両端以外の石を1個取るというルールになる。
以下省略するが、1つ目の方法と同様に解くことができる。

3つ目の方法。
1つ目と同じく、各マスと各線上に石を1個ずつ置く。
さらに、両端のマスの外側に1個ずつ置く。
右向きの矢印を書く代わりに、そのマスの石と右側の線上の石の間を切り離す。
すなわち、連続した石を2つに切り離し、それぞれ2個以上の石を含むようにする。
以下略。

言いたくてたまらんのなら最初からもったいぶらなければいいのに
元々興味引く力の乏しい問題なんだから

いやなにも見張っていて毎回ケチ付ける必要があるほどの愚問でもないだろ。

問題自体は良かったと思う
おそらく>>715の言い方がまずかったんだな

n人でじゃんけんをする。n≧3の整数。
ただし、ある1人の人物は同じ手しか出せない。そいつをXとする。
Xが勝つ確率の最小値を求めよ。

>>778
0

>>779
理由

問題がおかしかったな

確率の最小値を答えるってことは
戦略の選び方で確率が変わるということ

ｘは同じ手しか出せないのだから
戦略を選ぶのはｘ以外のn-1人てことか

こういう場合戦略なんて考えないだろ

残りのn-1人が協力して同じ手を出す。
Xは同じ手を出すから...

Xの出す手はみんな知ってるの？
誰がXかみんなわからない状態？

>>785
誰がXかは分からないよ
Xはじゃんけんが始まる前に言われたんだ
「お前は同じ手を出せ」と
ぐー,ちょき,ぱーのいずれかをだし続ける

Xが何を出し続けるのかは分からない
Xが誰かも分からない。

ただ全て知っているのはX、ただ一人だ。

n>3なら0だろうが
n=3のときには１/3までしか下げられないのでは？

>>778
最小値の定義域は？

確率なんだから０以上に決まってんじゃんwwwww

>>788

>>789
f:A->B
minf(x)

A?

半径２ｒの円Ａに接している半径ｒの円Ｂが、円Ａの周上（外側）を転がり、最初の位置に戻った時、Ｂ上のＡとの最初の接点Ｐの軌跡の長さを求めよ。
自分で作って全くわからない高校生でつ。

>>791
A=起こりうるすべての事象の集合
B=[0,1]

f(a)=事象a(∈A)においてXが勝つ確率

カードをn回連続で引く。(nは自然数)
カードには1から100までの数字が書かれている。
n回目に引いた数字をXnとする。
ただし、以下の条件を必ず満たす。
�@) X(n-1)=Xn-1
�A) Xn=X(n-2)-X(n-3)
このとき、次の問に答えよ。

(1) n=3で10を引いた。
2回目に引いた数字を求めよ。

(2) lim[n→100]Xnを求めよ。

すみません。問題だれか作ってください。

�@)よりX(n-3)=X(n-2)-1
�A)よりXn=X(n-2)-(X(n-2)-1)=1

(1) ありえん
(2) lim[n→100]Xn=lim[n→100]1=1

よく考えたら
1=X(n-1)=Xn-1=1-1=0より矛盾だな

カードをn回連続で引く。(nは自然数)
カードには1から100までの数字が書かれている。
n回目に引いた数字をXnとする。
ただし、以下の条件を必ず満たす。
＜X(n-1)=Xn-1＞

(1) n=3で10を引いた。
2回目に引いた数字を求めよ。

群Gの元x,yが次の関係式を満たすとする。
このとき、xもyもGの単位元であることを示せ。

(1)xy^2=y^3x
(2)yx^2=x^3y

>>793
a=全員が常にグーを出す
minf(x)<=f(a)=0
minf(x)=0

＞＞７９８
　　　ｘ＾２ｙ＾２ｘ＝ｘ（ｘｙ＾２）ｘ＝ｘ（ｙ＾３ｘ）ｘ
　　　＝（ｘｙ＾２）（ｙｘ＾２）＝（ｙ＾３ｘ）（ｘ＾３ｙ）＝ｙ＾２（ｙｘ＾２）ｘ＾２ｙ
　　　＝ｙ＾２（ｘ＾３ｙ）ｘ＾２ｙ＝ｙ＾２ｘ＾３（ｙｘ＾２）ｙ＝ｙ＾２ｘ＾３（ｘ＾３ｙ）ｙ
　　　＝ｙ＾２ｘ＾５（ｘｙ＾２）＝ｙ＾２ｘ＾５（ｙ＾３ｘ）＝ｙ＾２ｘ＾２（ｘ＾３ｙ）ｙ＾２ｘ
　　　＝ｙ＾２ｘ＾２（ｙｘ＾２）ｙ＾２ｘ
両辺の右側から （ｘ＾２ｙ＾２ｘ）＾（−１） を掛けて、
　　　ｙ＾２ｘ＾２ｙ＝ｅ
両辺の左側から ｙ を、右側から ｙ＾（−１） を掛けて、
　　　ｙ＾３ｘ＾２＝ｅ
　　　ｅ＝ｙ＾３ｘ＾２＝（ｙ＾３ｘ）ｘ＝（ｘｙ＾２）ｘ
両辺の左側から ｘ＾（−１） を、右側から ｘ を掛けて、
　　　ｙ＾２ｘ＾２＝ｅ
よって、
　　　ｙ＝ｙ（ｙ＾２＾ｘ２）＝ｙ＾３ｘ＾２＝ｅ
対称性により、
　　　ｘ＝ｅ

(1)内接円の半径r、外接円の半径Rである直角三角形の三辺をrとRを用いて表せ。
(2)三辺がa,b,c(斜辺はc)である直角三角形がある。u=c-a、v=c-bとする。内接円の半径をuとvで表せ。

2*(√2*(√2*(√2*√(…))))の極限値は？
わかりにくいけど無限マトリョーシカみたいになってる

>>802
∞

2√2≒2.82842712474619
2√(2√2)≒3.36358566101486
2√(2√(2√2))≒3.66801617281868
2√(2√(2√(2√2)))≒3.83041312279429
2√(2√(2√((2√(2√2))))≒3.9142882483508
同様に次の項≒3.9569120527759
同様に次の項≒3.97839769393453
同様に次の項≒3.98918422434188
同様に次の項≒3.99458845156388
…
極限値は4
2√4 = 4

数学的にやるとどういう式？
a[n+1]=2√a[n]？

2^（2-（1/2）^n）　の極限が　2^2　というだけのことだからな

2*√(2*√(2*√(2*√(…)))) の半分 √(2*√(2*(√(2*√(…)))) の２乗は 
また 2*√(2*√(2*√(2*√(…)))) になるんじゃないかと。

だから x= 2*(√2*(√2*(√2*√(…)))) と置くと、 (x/2)^2 ＝ x てことかな。

(x/2)^2 ＝ x
x^2 -4x ＝ 0
x(x-4) ＝ 0 
x= 0 , 4

2*√(2*√(2*√(2*√(…)))) が値を持つと仮定したら ０ または４
０でない証明は考えたがわからんかった。

>>807
対数とれよｗ

対数はまだ習ってないのでわからない。すまん。

>>809
じゃあ２の何乗なのかを考えると

２　　…２の１乗
√２　…２の1/2乗
２√２　…２の（１+　1/2）乗　つまり　２の3/2乗
√（２√２）　…　２の　「3/2の半分」乗　つまり　２の3/4乗
２√（２√２）　…２の（１+　3/4）乗　つまり　２の7/4乗

というふうに見ていけば
>>804の指数部分（何乗か）が
3/2、7/4、15/8、31/16、63/32と
どんどん２に近づいていくことが分かるはず

それで２に近づいていくっぽいのは解るんだけど
その先が寸分違わずぴったり２だという自信がない。
極限を習わなければ、それはわからないものなのかな？

0.99999…＝１ってのが納得できるなら分かるだろうし
納得いかなければ極限なり、等比数列の一般項なりをかじってくるといいんじゃないかな

>>811
>>810の２の乗数に注目すると、
最初は１で、その後「半分にして１を足す」の繰り返しになっている。
「半分にして１を足す」を１回する毎に、２との差は半分になっている。

何度も繰り返すことで、２との差はいくらでも小さく出来る。
（つまり、２よりも小さなどんな数よりも、大きくすることができる。）
何度繰り返しても２を超えることはできない。

これを、２に収束する（極限は２）と言うんだよ。

>>802には
> 2*√(2*√(2*√(2*√(…))))
ではなく
> 2*(√2*(√2*(√2*√(…))))
と書いてあるんだけど、この式はどう読むの？

2*√(2*√(2*√(2*√(…)))) の意味で書いたんだと思うよ

でなきゃ ２*（√２）^n のときのｎ→∞と等価で、そんなもん無限大に発散にきまっとるし。

一意に読み取れないけど、
>>わかりにくいけど無限マトリョーシカみたいになってる
を酌んでやれよ

そして>>813の言ってることを式で表すと
>>806の2-（1/2）^n　になるわけ。

出題者ですが括弧がずれてましたｻｰｾﾝ

マトリョーシカ数その�A
2+√(2+√(2+√(2+√(2+√(2+…))))) =?

>>812,813,817
なるほどおもしろい。わかったような気がする。
極限とか、数列とか読んでみます。

>>813
何度繰り返しても、絶対２以上にはならない。
この「何度繰り返しても」というのは、有限回ではという解釈でOK？
無限回やれば（実際にはできないけど）ぴったり２ということ？

nを自然数とし
1+n^2+n^3+...+n^nの和をSとする。
Sは素数ではないことを示せ。

1+n+n^2+n^3+...+n^nでした。

誤爆(^3^)

>>820
n=2 のとき S=1+2^2=5

nを2以外の素数とし
n^2+n^3+n^5+...n^nの和Sを考える。
指数は素数を順に辿る。
Sは素数ではないことを示せ。

>>824
Ｓ＞nでありnを素因数にもつから。

>>820-821
n=1のとき
S=1+1=2

>>823>>826
>>822

サイコロをA,Bの2人が交互に投げる。
出た目×1000円が獲得賞金。
ただし、1の目が2回連続で出た場合
1回目の1の目は1000円貰えるが、2回目の1の目は持ってる賞金の半分を失う。
どちらかの獲得賞金が15,000円を超えれば、ゲーム終了となる。

このとき、Aが勝つ確率を求めよ。

何がどうなったらAの勝ちなんだよ。

獲得賞金が先に15,000円を先に超えた方を勝者とする。

1の目が3回連続で出たらどうなるの

賞金半額条件としている「1の目が2回連続で出た場合」というのは、
Bが１を出し、次のAが１を出した場合か？
それともAが１を出し、次Bが何を出そうとも関係なく、次のAが１を出した場合か？

「15000を超える」というのは、普通は15000丁度は含まない。この認識で間違いないな？
それと、Aからサイコロを投げ出すと言うことでおｋ？

>>819
そう。
0.99999…（無限に続く）が「およそ１」ではなく「ぴったり１」なのと同じ。


そうならない定義の数学もあるらしいけど。

みんなが与えてる >>802 の答えは
…2√(2√(2√(2√2)))…
と外側を拡張して行く形の話じゃない？
2√(2√(2√(2√…)))
って中を拡張して行く書き方だと
また別の何かになる気がするんだが。

>>835
同一視できる

>>835
それぞれを lim[n→∞]a_n の形で書いてくれ。

内側は>>805で与えられる気がするけど、外側はどうなんだろう
交換法則が成り立つからといえばそれでおしまいだけど

拡張していくっていう考えが間違ってる気がする
無限に連なってるからどっちも同じ式じゃない？
漸化式立てるときに外に拡張していくっていう考えをするだけ

ミスった外側が>>805か

a1=2√2
a2=2√(2√2)
a3=2√(2√(2√2))
a4=2√(2√(2√(2√2)))
a5=2√(2√(2√(2√(2√2))))
…
内側か外側のどちらに拡張しているでしょう？

どっちにも見える！

>>805の漸化式って解ける？
対数とっても上手くいかない

f=2√
…2√(2√(2√(2√2)))… = lim [n→∞] (f^n)(2) = 4
2√(2√(2√(2√…))) = lim [n→∞] f^n = 4+0*
とかね

>>818
マンデルブロに近くなってきたな

>>843
a[n+1] = 2√a[n]
log2(a[n+1]) = log2(2√a[n])
log2(a[n+1]) = 1 + 0.5log2(a[n])
(log2(a[n+1])-2) = 0.5(log2(a[n])-2)
lim[n→+∞](log2(a[n+1])-2) = 0
lim[n→+∞]log2(a[n+1]) = 2
lim[n→+∞]a[n+1] = 2^2 = 4

>>845
ありがとう

>>835の主観の問題なんじゃないの？

マンデルブロすげえ
なんか現実の綺麗な模様は全部数学的な背景ある気がしてきた

人口６０億で相手が同じ誕生日の確率は？

誰の？

俺と特定の誰かが同じ誕生日の確率は
人口が何人いようと関係無いだろ （人口２人未満を除く）

誕生日が平均的に分布しているなら、自分の誕生日と同じ人間が存在する確率は
自分以外の人間が何人いるかに当然依存する

「相手」って一人抽出するんじゃないのか

>>852
「同じ誕生日の確率」と「同じ誕生日の人がいる確率」は違う。
>>849で問われているのは、どう読んでも前者

揚げ足取り乙

365/60億
うるう年とかその他細かいことは全部無視

相手が一人の場合と、複数の場合で結果は異なる
同じ誕生日の人間がいる確率と
同じ誕生日の人間がn人いる確率も異なる

赤玉が5個
それぞれに1〜5の番号が書いてある。
青玉がn個(n≧1の整数)
それぞれに6〜6+nの番号が書いてある。
玉をn-2個とる。
奇数の数字の玉を取る確率を求めよ。

n-2個とるからn >= 3とする
6+n個のうち偶数の玉の数は3+[n/2]となるから
1-C[3+[n/2], 6+n]/C[n-2, 6+n]

>>858
>>859
何を言ってるんだ？

>>858　色は意味があるのか？
奇数の数字の球を取るとは、一個でも奇数の数字の玉が含まれているという意味か？
>> 青玉がn個(n≧1の整数)
>>それぞれに6〜6+nの番号が書いてある。
6〜6+nまでの番号を書くには、n+1個の玉が必要だが、どうなっている？

半分は奇数なのに、半分以上の球を取ったら、必ず奇数の玉が含まれる。それを考えると、
ｎとして面白みがあるのは、７（あたり）まで。この事実をきちんと踏まえているのか？
出題者はきちんと答えを用意したのか？

365/60億という答えが上にあったが、確率は、必然的に無次元量になる。
一見[日/人]という次元を持つように見えてしまう。そのようなことはあるわけがないから、
（365日／１日)／（１人／60億人）か、そのような物が途中にあるはずだ。
しかし、これは、どのような意味の量なのか？　全く意味不明。６０億人というのは、地球全体の人数
だろうがが、それをもし、クラス一つ分の人数４０人あたりにすると、答えは、365/40なのだろうか？

最近ここで出題されている問題は、まともな内容のものではない。
内容不明、設定不備、多解釈可能など、数学の問題としては相応しくないものばかり。
数学音痴が、もっともらしい問題を作って、クラスの数学が得意なヤツに出題して
困らせようと画策しているが、その本番の前に、ここでテストしている様に見える。

>>861
最後やっちゃったな

>>859 訂正
1-C[3+[n/2], n-2]/C[n+6, n-2]
3+[n/2] >= n-2からn <= 10

有効となるnの範囲も求める必要のある問題

間違ってもそういう問題は人に出題しないでね

面白い問題って言ってるけど確率ばっかだね
確率以外にはなんかないのかな？

>>866 >>801

>>861
最後二行はなんとなく同意だな
そのくらい残念な人間の浅はかさを感じる

数学的なセンスがないというか
変なところを無駄にいじくりまわして、出題者自身が問題点も解答も把握できてなさそうな
投げっぱなし問題が時折見られる

もしおれが、その数学音痴だという高校生だったとしたら
クラスの数学得意そうなやつを困らせるためなら
ムリな問題を自作するよりも、ここや他のスレで難しげな
問題を拾うほうがよっぽど早いと考えるよ。

俺は英語は壊滅的に近い音痴だが、自作の英作文を
英語の得意な奴に訳させようなどとは絶対に考えない。
どこか難しそうなサイトからコピペをする方がだいぶ気がきいている。

問題を作ってはみたものの、自分では模範解答を作れず、
自分は解答を用意しているよと、暗に、あるいは伏せて出題し、
解答が貼られるのを最も心待ちにしているヤツもいるようだな。
ｳﾋｮｰｰｰｯ！

「暗に、あるいは伏せて」て、同じ事じゃなイカ？

んだんだ、アホだ俺

その「暗に」には修飾される語がないんじゃないか？
日本語としておかしくない？
「暗に出題し」だと、出題の形式をとっていないが実質的に出題しているような意味にならないか？

脳内では、
「解答を用意しているよと、暗に『ほのめかし』、あるいは、『解答を持っているかどうかを』伏せて出題し」
だったはず。この時点ではニュアンスは異なる。
それの括弧内が省略され、読み直すと、違いがあったはずが、重複表現に変質してしまった、っていうことでは？

＞ 、暗に『ほのめかし』、あるいは、『解答を持っているかどうかを』伏せて

暗にほのめかすてのは、実際は言ってないんだから実質は伏せてるのと変わらん。
ニュアンスは違うが、そのあたりになると個々の解釈の範疇だわ

国語板でやれ

>>874
エスパー検定１級の免状を与える！

えー、そんなくらいで１級？

日本語スレになってた(´･_･`)

rを0<r<1なる実数、nを非負整数とするとき、
Σ{k=0,∞}r^k･(k+n)!/(n!k!)の値をrとnで表せ。
エレガントな解答を求む。

>>880
= (1/n!)Σ{k=0,∞} r^k (k+n)(k+n-1)...(k+1)
= (1/n!) + (1/n!) Σ{k=1,∞} (rk)^k (1+n/k)(1+(n-1)/k)...(1+1/k)

a[k] = (rk)^k (1+n/k)(1+(n-1)/k)...(1+1/k) と置けば、
a[k] ＞ (rk)^k　＞ 10^k (k＞10/r の時)
発散することがわかる。 その和も同じく発散する。

何か見落としてるかも‥‥

F(n,r)=Σ{k=0,∞}r^k*(k+n)!/(n!k!)　とする。
rF(n,r)
=Σ{k=0,∞}r^(k+1)*(k+n)!/(n!k!)
=Σ{k=1,∞}r^k*(k+n-1)!/(n!(k-1)!)
F(n,r)-rF(n,r)
=r^0*(0+n)!/(n!0!)+Σ{k=1,∞}r^k*((k+n)!/(n!k!)-(k+n-1)!/(n!(k-1)!))
=1+Σ{k=1,∞}r^k*(k+n-1)!/((n-1)!k!)
=1+(F(n-1,r)-1)　（但し、n≧1)
=F(n-1,r)
r≠0より、
F(n,r)=F(n-1,r)/(1-r)
F(0,r)
=Σ{k=0,∞}r^k*k!/k!
=Σ{k=0,∞}r^k
=1/(1-r)より、
F(n,r)=1/(1-r)^(n+1)

>>881
なにこれ発散すんの？

知っていたはずだろ。僕がくだらないジョークが嫌いだってことを

コンビネーション記号使えってことじゃね？

ああ、わかったぞ
答えをeにしようとしてミスったんだろ？

どうでもe

eから聞け

とりあえず答えｷﾎﾞﾝﾇ

エスパー合戦w

(1+r+r^2+…)^(n+1)を展開すれば問題の式が得られる

座標平面上の原点(0,0)に駒が1個置かれている。
(a,b)に置かれている駒を取り除き、(a,b+1)と(a+1,b)に駒を1個ずつ置くという操作を考える。
ただし、(a,b+1)と(a+1,b)のどちらにも駒が置かれていない場合のみ可能とする。
この操作を繰り返し行ったところ、(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態になった。
この時、(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の4点全てに駒が置かれていることを証明せよ。

>>891
(0, 0)
↓
(0, 1), (1, 0)
↓
(0, 2), (1, 1), (0, 2)

(1, 1)のみを遷移させて
(0, 2), (1, 2), (2, 1), (0, 2)

>>892
浴嫁

>>893
ちょっとしたミス
(0, 0)
↓
(0, 1), (1, 0)
↓
(0, 2), (1, 1), (2, 0)

(1, 1)のみを遷移させて
(0, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 0)

>>894
よく読んだ上でそれか？
何がしたいんだ？

>>895
証明を書いただけだが、何か問題でも

>>896
問題文読もうよ

>>897
真面目に考えた
(0, 0)→(0, 1)→(1, 1)→(1, 0)→(1, 2)→(2, 2)→(2, 1)
の駒を移動させると、最終的に以下の位置に駒が移る
(0, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

なんか場当たり的だから解答にはならなくない？
駒移動する順番によって動かせる時と動かせないときあるから
もっと考えないとダメじゃないかな？

>>899
ちゃんと考えて、>>898の手順なんだけど

その動かし方の時は証明できてるけど
他の動かし方の時が考慮されていない解答になってると思う
まあ出題者に良し悪しは任せます

つまり何の解答にもなってないってことだ

>>898
そこからさらに駒を動かしていっても、
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の駒はそこから先には動かすことができない
ってことを証明しないと、何も言ってないのと同じだろう。

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態に初めてなった時に
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒があることを証明するのではなく、
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態であればいつでも
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒があることを証明する問題だと思うぞ。

考え方として
座標(x,y)に駒が存在しているとき、その駒には(1/2)^(x+y)の重み値を持つとして、
この操作を繰り返しても盤面の駒全部の重み値の合計は常に１で変わらないことと、
x軸上やy軸上にある駒は常に１個だけであること、
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)に駒がなくて(0,2)に駒がある状態では
x=1,y≧2にある駒はちょうど２個であること、
等を利用して順次追い詰めていけば、いずれは証明できると思うけど、
もっと簡単に評価する方法はないものかな．．．

ちなみに、上記方法のポイントは、仮にx≧0，y≧0，x+y≧4の全ての格子点に
駒があったとしても、それらの駒の重み値の合計は3/4にしかならないということ。
その時点で、必ずx+y≦3の領域に駒が残ることは判明するのだけど、
さらに上記のような制約をつかうと、もっと強い結論が得られる。

>>902
＞この操作を繰り返し行ったところ、(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態になった。
＞この時、(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の4点全てに駒が置かれていることを証明せよ。
となっているから、
A「(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態になる」
B「(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の4点全てに駒が置かれている」
A ⇒ B
を示せということだから、Aのうちの一つの場合を示したことになる
他の場合にAが満たされていても、Bとならない場合が存在する場合には
この命題は成り立たない。
Aとなる全てのパターンを検証しなければならないが、それは面倒であり、プログラムを
作らないと完全なものは得られないと考えたため、その一例を示したまで

>>905
つまり、何も言ってないってことだよねｗ
（証明を書いたと言い張ってたのはどこのだれ？）

明日はガロアバースデーですね

>>906
不真面目に書いた>>892, >>894ではそう書いたが>>898は証明を書いたとは
言い張ってはいない。つまらん事にケチつけんな

>>906
Aが存在することがあり、その一例では題意が満たされることを示した
無論、完全な証明とは言っていない

そういう生き方って、辛くないですか？

>>903
「この時」と書かれているから、そういう問題ではないと思う

>>903
> (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態に初めてなった時に
> (0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒があることを証明するのではなく、
それを示すんだろ。

> (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無い状態であればいつでも
> (0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒があることを証明する問題だと思うぞ。
「いつでも」なんて言える訳がない。
実際、(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無く
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒がある状態から、さらに手をすすめれば、
（例えば、(2,1)の駒を取り除いて(3,1)と(2,2)に駒をおくと）
もはや、
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒は無いけど
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒がある状態ではない。

>>912
本当に題意がわかってないみたいね。

＞実際、(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)のどの点にも駒が無く
＞(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)に駒がある状態から、さらに手をすすめれば、
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)だけに駒がある状態なんかないわけで、
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)に駒がないときは、
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の全てに駒があって、
なおかつ、他の駒の配置により、これらの駒を取り除いて手を進めることができない状態にあるんだよ。
それを示すのが問題。

超越的読解力が必要

>>913
> >>912
> 本当に題意がわかってないみたいね。

お返しするよ

そういう生き方って、辛くないですか？


ちなみに、 >>913 は出題者じゃないよ。

座標平面上に点(α、β)をとる。
α＞0を満たす全ての実数αについて、直線y=αx+α・・・�@を考える。
α^2+β^2=1となるとき、�@と点(α、β)までの距離の最小値を求めよ。
また、そのときのα、βの価を求めよ。

価→値

>>916
なににちなむのか意味不明だが、
>>913が出題者なら二重人格者、これに過ぎるもの無しだな。

問題が可哀想

自重しろ數

>>920
うむ、たしかに
問題文は >>891 ですね
面白い問題だとおもいます

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)に駒が状態になった直後という解釈でも、
あるいは、その後いくら操作しても…という解釈でも、どちらでもおｋです。
実は913の言ってることが成立します。

もしかしたら891の人はあえて912と913のどっちが題意なのかを
悩ませることも意図したのではないかと思い始めてきた

×駒が状態になった
○駒が無い状態になった

いや、そういう意図はないですｗ
「〜状態になった」を「〜状態になっていた」にすればよかったと今さらながら後悔。

>>891
よくある問題なので、よくある解き方で。

座標平面の格子点 (x,y) (x,y は非負整数) に、2^(-x-y) なる値を
与え、ある局面の「エネルギー」を、駒の存在する格子点の値の総
和とする。すると、(a,b)に置かれている駒を取り除き、(a,b+1)と
(a+1,b)に駒を1個ずつ置くという操作で、エネルギーは保存される
から、問題の設定ではエネルギーは常に1である。

(A) 直線 x=0 上には、駒は必ずちょうど1つあり、それが
(x,y)=(0,n) にあるならば、直線 x=1 上には高々n個の駒しかない。
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) いずれにも駒のない場合、x=0 と
x=1 の上の駒のエネルギーは、最大でも 7/16 である。(計算すれば、
n=2 かつ、駒が (0,2),(1,2),(1,3) の場合とわかる)

(B) 同様に y=0 と y=1 上の駒のエネルギーは、最大でも 7/16 である。

(C) xもyも2以上の範囲にすべて駒を置けたとしても、そのエネルギーは
1/4 である。

(A)(B)(C)の総和は 9/8 であるが、(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の4点
は、エネルギーが 1/4 か 1/8 だから、どれが欠けても (無限個の
駒による) エネルギーの和が1以下になる。従って、有限回の操作後、
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) いずれにも駒のない場合、
(0,2),(1,2),(2,0),(2,1)の4点いずれにも駒がある。