【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
66 ：１３２人目の素数さん：
エレガントな仲間６ から
〔問題２〕
a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1), (nは正の整数)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを
證明せよ。（2011年秋の數學檢定１級2次[2]の一部）
a_n の増加については、古典的な二項展開による比較で証明でき、…
a_n = (1 + 1/n)^n
= 1 + Σ[k=1,n] Ｃ[n,k]/(n^k)
= 1 + Σ[k=1,n] (1-1/n)(1-2/n)･････{1-(k-1)/n}/k!
（∵ 各項がnについて単調増加で、新たな項も加わるから）
同じ方法を b_n に適用すると難しい。さて、どうするか...
〔問題２〕
a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1), (nは正の整数)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを
證明せよ。（2011年秋の數學檢定１級2次[2]の一部）
a_n の増加については、古典的な二項展開による比較で証明でき、…
a_n = (1 + 1/n)^n
= 1 + Σ[k=1,n] Ｃ[n,k]/(n^k)
= 1 + Σ[k=1,n] (1-1/n)(1-2/n)･････{1-(k-1)/n}/k!
（∵ 各項がnについて単調増加で、新たな項も加わるから）
同じ方法を b_n に適用すると難しい。さて、どうするか...
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67 ：１３２人目の素数さん：2011/11/20(日) 12:37:23.20
>>66
二項定理により
{(n^2)/(n^2 -1)}^(n+1) = {1 + 1/(n^2 -1)}^(n+1) > 1 + 1/(n-1) = n/(n-1),
∴ {n/(n-1)}^n > {(n+1)/n}^(n+1),
∴ b_(n-1) > b_n,
二項定理により
{(n^2)/(n^2 -1)}^(n+1) = {1 + 1/(n^2 -1)}^(n+1) > 1 + 1/(n-1) = n/(n-1),
∴ {n/(n-1)}^n > {(n+1)/n}^(n+1),
∴ b_(n-1) > b_n,