高校生のための数学の質問スレPART286

問
一辺の長さ2の立方体の全ての辺上を点Pが動く時、点Pを中心とする半径1の球の通過範囲の体積Vを求めよ
立方体の各辺と平行に座標軸を取って
z＝tでの断面積をtで表し
tで積分
でなんとか答えは出ましたが３０分以上かかってしまいました
何か効率的な解法はないでしょうか
ちなみに答えはV=76π/3-16-8√2です
解説はついていませんでした