数理音楽学2

前スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170631743/
http://en.wikipedia.org/wiki/Music_and_mathematics
http://scholar.google.com/scholar?q=music+and+mathematics

manko

無限音階って面白いけどなかなか上手に作るの難しいね

どうしても途中で下がったように聞こえちゃうんだな

http://www.youtube.com/watch?v=DfJa3IC1txI

この下降する無限音階は良くできている

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猫

二歩「テンプシー猫パンチ！」
ニャンポ「なお」

http://www.brl.ntt.co.jp/IllusionForum/index.html

一覧になってて分かり良い

平均律 12音階：基音との周波数の比
　　-> 純正律 17までの整数の比（平均律との差、閾値 1.0％）

1: 1.059463
　　-> 16/15 = 1.066667 (-0.68％),
　　-> 17/16 = 1.062500 (-0.29％),
2: 1.122462
　　-> 9/8 = 1.125000 (-0.23％),
　　-> 17/15 = 1.133333 (-0.97％),
3: 1.189207
　　-> 6/5 = 1.200000 (-0.91％),
　　-> 13/11 = 1.181818 (0.62％),
4: 1.259921
　　-> 5/4 = 1.250000 (0.79％),
5: 1.334840
　　-> 4/3 = 1.333333 (0.11％),
6: 1.414214
　　-> 17/12 = 1.416667 (-0.17％),
7: 1.498307
　　-> 3/2 = 1.500000 (-0.11％),
8: 1.587401
　　-> 8/5 = 1.600000 (-0.79％),
9: 1.681793
　　-> 5/3 = 1.666667 (0.90％),
10: 1.781797
　　-> 16/9 = 1.777778 (0.23％),
11: 1.887749
　　-> 15/8 = 1.875000 (0.68％),
　　-> 17/9 = 1.888889 (-0.06％),
12: 2.000000

5番（完全４度）と7番（完全５度）が完全協和音と呼ばれ
調和度が高いとされていますが、
確かに比の整数が小さく一致度も高くなっています。

しかしヨーロッパ音楽の発展の歴史を考えると
逆にこの比を見て協和と名付けたような気がしないでもない。

周波数は直感的じゃないですね
なんか対数みたいにうまく表せる方法はないでしょうか

猫

対数にしてみた。差の定義の仕方が迷う。
今回は diff は単に引き算しただけ。
もう少し改良が必要かも。

平均律 12音階：基音との周波数の比の対数
　　-> 純正律 17までの整数の比の対数（平均律との差、閾値 0.012）

1/12 = 0.083333 :
　　-> log(16) - log(15) = 4.000000 - 3.906891 = 0.093109 (diff -0.009776),
　　-> log(17) - log(16) = 4.087463 - 4.000000 = 0.087463 (diff -0.004130),
2/12 = 0.166667 :
　　-> log(9) - log(8) = 3.169925 - 3.000000 = 0.169925 (diff -0.003258),
3/12 = 0.250000 :
　　-> log(13) - log(11) = 3.700440 - 3.459432 = 0.241008 (diff 0.008992),
4/12 = 0.333333 :
　　-> log(5) - log(4) = 2.321928 - 2.000000 = 0.321928 (diff 0.011405),
5/12 = 0.416667 :
　　-> log(4) - log(3) = 2.000000 - 1.584963 = 0.415037 (diff 0.001629),
6/12 = 0.500000 :
　　-> log(17) - log(12) = 4.087463 - 3.584963 = 0.502500 (diff -0.002500),
7/12 = 0.583333 :
　　-> log(3) - log(2) = 1.584963 - 1.000000 = 0.584963 (diff -0.001629),
8/12 = 0.666667 :
　　-> log(8) - log(5) = 3.000000 - 2.321928 = 0.678072 (diff -0.011405),
9/12 = 0.750000 :
10/12 = 0.833333 :
　　-> log(16) - log(9) = 4.000000 - 3.169925 = 0.830075 (diff 0.003258),
11/12 = 0.916667 :
　　-> log(15) - log(8) = 3.906891 - 3.000000 = 0.906891 (diff 0.009776),
　　-> log(17) - log(9) = 4.087463 - 3.169925 = 0.917538 (diff -0.000871),
12/12 = 1.000000 :

対称性があるな。

k/12 ～ log(a) - log(b)

のとき

2^(k/12) ～ a/b

であるから 1 - (k/12) は

2^[1-(k/12)] = 2 * 2^[-(k/12)] ～ 2 * b/a

で

1 - (k/12) ～ log(2b) - log(a)

となる。

音階数の半分まで表示すれば十分ということですね。

一般的には１２音階が使われることが多いが
１３音階はどうなるか？

平均律 13音階、基音の周波数ν、周波数ω
log(ω／ν)
　　-> 純正律 17までの整数の比の対数（平均律との差、閾値 0.012）

1/13 = 0.076923 :
　　-> log(17/16) = 0.087463 (diff -0.010540),
2/13 = 0.153846 :
　　-> log(10/9) = 0.152003 (diff 0.001843),
3/13 = 0.230769 :
　　-> log(7/6) = 0.222392 (diff 0.008377),
　　-> log(13/11) = 0.241008 (diff -0.010239),
4/13 = 0.307692 :
　　-> log(16/13) = 0.299560 (diff 0.008132),
5/13 = 0.384615 :
　　-> log(13/10) = 0.378512 (diff 0.006104),
　　-> log(17/13) = 0.387023 (diff -0.002408),
6/13 = 0.461538 :
　　-> log(11/8) = 0.459432 (diff 0.002107),

3/2 とか 5/4 などの小さい数の比に近い音程が少ないようだ
やっぱり１２音階ほどにはハーモニーが無いのか？

純正律だとド＃とレ♭は違う音なんで12音じゃすまない

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%94%E6%AD%A3%E5%BE%8B [純正律]

見ると純正律の種類てたくさんあるんね。
音楽素人の私にはなかなか難しかった。

ド＃とレ♭のドに対する比って具体的にいくつなんでしょうか？

私は数学的に素朴に
周波数比が有理数の音階を純正律
周波数比が exp(k/n) の音階を平均律
有理数の分子と分母が大きくなると漸近的に違いが無くなる
と考えていました。

私の耳では１２音階 n=12 でも
平均律と純正律を聞き分けるのが難しい。

上記ページの「視聴」で平均律と純正律を聴き比べられます。
う～ん、同じだｗ

>>9 によれば周波数の違いは 1% もないということなので
中間的な高さの音でたった 5Hz 程度の違い…
ピーというサイン純音で鳴らされると聞き分けるのは困難だろうけど
複音でうなりやハモり具合が聴き取れる人は分かるのだろう。

一方、１２音階の演奏と１３音階の演奏では数％違うだろうから
私でも気付けるのではと思います。

平均律 13音階、基音の周波数ν、周波数ω
log(ω／ν)
　　-> 純正律 7までの整数の比の対数（平均律との差、閾値 0.05）

1/13 = 0.076923 :
2/13 = 0.153846 :
3/13 = 0.230769 :
　　-> log(6/5) = 0.263034 (diff -0.032265, -12.27％),
　　-> log(7/6) = 0.222392 (diff 0.008377, 3.77％),
4/13 = 0.307692 :
　　-> log(5/4) = 0.321928 (diff -0.014236, -4.42％),
　　-> log(6/5) = 0.263034 (diff 0.044658, 16.98％),
5/13 = 0.384615 :
　　-> log(4/3) = 0.415037 (diff -0.030422, -7.33％),
6/13 = 0.461538 :
　　-> log(4/3) = 0.415037 (diff 0.046501, 11.20％),
　　-> log(7/5) = 0.485427 (diff -0.023888, -4.92％),

これはさすがに気付けるはずｗ

どｘとれとみ♭♭ とかも全部違うみたいだけど１オクターブに何個音があるんだ？＞純正律

10分割するのが区切りいい（？！）
という話があるが、どうだろうか？

基本周波数ν、周波数ω、対数周波数 log (ω/ν)
平均律：n=10音階、k 番目の音 ω = ν 2^{k/n}
純正律：ω= ν* a/b (a,b ∈ 9までの整数)

1 音階の大きさ：2^{1/n} = 1.0718、7.1773％

対数周波数の比較
　平均律 X=k/n :
　　　-> 純正律 Y=log (a/b) （差Δ=X-Y、ずれ割合 2^{Δ}-1) (閾値 3.00％)

1/10 = 0.100000 :
2/10 = 0.200000 :
　　-> log(7/6) = 0.222392 (差 -0.022392, -1.54％),
　　-> log(8/7) = 0.192645 (差 0.007355, 0.51％),
　　-> log(9/8) = 0.169925 (差 0.030075, 2.11％),
3/10 = 0.300000 :
　　-> log(5/4) = 0.321928 (差 -0.021928, -1.51％),
　　-> log(6/5) = 0.263034 (差 0.036966, 2.60％),
4/10 = 0.400000 :
　　-> log(4/3) = 0.415037 (差 -0.015037, -1.04％),
　　-> log(9/7) = 0.362570 (差 0.037430, 2.63％),
5/10 = 0.500000 :
　　-> log(7/5) = 0.485427 (差 0.014573, 1.02％),

３／２波長の音階が無いのが気になる。
他の音階も純正律と１％以上ずれているし
やはり１２分割のほうがハーモニーがよさそう。

１１分割の場合

基本周波数ν、周波数ω、対数周波数 log (ω/ν)
平均律：n=11音階、k 番目の音 ω = ν 2^{k/n}
純正律：ω= ν* a/b (a,b ∈ 14までの整数)

1 音階の大きさ：2^{1/n} = 1.0650、6.5041％

対数周波数の比較
　平均律 X=k/n :
　　　-> 純正律 Y=log (a/b) （差Δ=X-Y、ずれ割合 2^{Δ}-1) (閾値 2.00％)

1/11 = 0.090909 :
　　-> log(13/12) = 0.115477 (差 -0.024568, -1.69％),
　　-> log(14/13) = 0.106915 (差 -0.016006, -1.10％),
2/11 = 0.181818 :
　　-> log(8/7) = 0.192645 (差 -0.010827, -0.75％),
　　-> log(9/8) = 0.169925 (差 0.011893, 0.83％),
3/11 = 0.272727 :
　　-> log(6/5) = 0.263034 (差 0.009693, 0.67％),
　　-> log(11/9) = 0.289507 (差 -0.016779, -1.16％),
4/11 = 0.363636 :
　　-> log(9/7) = 0.362570 (差 0.001066, 0.07％),
　　-> log(13/10) = 0.378512 (差 -0.014875, -1.03％),
　　-> log(14/11) = 0.347923 (差 0.015713, 1.10％),
5/11 = 0.454545 :
　　-> log(11/8) = 0.459432 (差 -0.004886, -0.34％),

やはり３／２とか５／４に近い音がない
１２音階てよくできてるのかな？

Musimathics, Volume 1: The Mathematical Foundations of Music [ハードカバー]
Gareth Loy (著)
# ISBN-13: 978-0262122825
# 発売日： 2006/6/23
# 商品の寸法: 23 x 18.2 x 3 cm

ドヴォルザーク

Dvorakというスペルをどう読めば
ドヴォルザークと発音できるのかいまいちつかめない

r と書いてルザと読むのだろうか？

その発音は相当難しいことで評判らしい。

ドリアン
フジリアン
ふじりんご

>>24
　「r」の上に〈ハーチェク〉という記号が付いて、それで「ルジュ」に近い発音をする。
　ギネス認定の、世界一難しい発音。

ネイティブでも、発音を習う位らしいｗ

問：
コンパクトディスクのサンプリング周波数 44100 Hz を素因数分解してみよう。

すげぇなぜこうしたのかは知らんがロマンがあるな俺音楽はよくわからんが数学だな

ドヴォルザーク

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猫

yes

あ

数学と音楽は大変お！　by レヴィ＝ストロース

おへんたいはがくおんとがくすう

１２音あるんだから時計みたいに円の形にした鍵盤楽器とか作ればいいのに。

１２音と１２時間以外になにか共通の要素があるか？

オクターブで一回りというアイディアは面白そう
でも演奏しにくくね？
人が真ん中に入って周囲を鍵盤が取り囲む
演奏してて目が回りそう

鍵盤の方を回るようにしておけば手の形を変えないでいろいろなコードが弾ける

iphone app
Ring Pipe Organ

http://www.youtube.com/watch?v=PB9SDkKe6_0&sns=em

こんなスレがあったのか

>>20
１７音階というのはあるらしい

そもそも、１２音階というのも
ド-ソ-レ…と５度ずつ上げて行き適当なところでオクターブ下げると、だいたい同じ音に戻ってきたのが発端
つまり531441と524288を等しいとみなしている

>>43
その数字はどういう意味かい？

>>44
3^12と2^19

ああ、３／２波長の１２乗と７オクターブが近いということか

これ地味に良いスレ

>>43
>そもそも、１２音階というのも
>ド-ソ-レ…と５度ずつ上げて行き適当なところでオクターブ下げると、だいたい同じ音に戻ってきたのが発端
厳密にはちょっと違うような
純正律は３のn乗倍音だけを扱ってるわけじゃなくて、５倍音とかも使ってる。

>>48
３だけで構成するのはピタゴラス音律だな
５も考慮した純正律
逆に、４：５の比率を重視したのがミーントーン
ミーントーンとピタゴラスの中庸を取ったウェルテンペラメント
そして、平均律と進化してきた

>>32
？？？

１７４

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面白そう

ちょっと計算の解釈を間違えていた
半分しか表示しないようにしていたので
存在していた比の値を見過ごしてしまった

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音楽は結局人間の認識に依拠しているから神経科学から攻めてそこから数理に持っていく方が
いいのでは？今の音楽に認められる法則を考察するのも面白いけど、後付感が拭えなくて演繹的じゃ
ない気がする。

Ｃ→Ｆ→Ｇ→Ｃ
どんな理由でこのコード進行だと終結感がでるのか分かる人いる？

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>>67
導音や半音上行進行などを理由にあげることもできるが、
結局は経験からそう感じるようになった（学習した）ものだと言える。

伝統的な西洋音楽以外では終止に関するパターンやルールが異なるものも多い。

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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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>>67
別に
TDT でも良い

ＴＤＴてなに？

トニカ、ドミナント、トニカ

ちなみに S はサブドミナント

そのぐらい知ってるよな

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良くないのもあるの？

D→Sは禁止。

>>84

>>69 によるとそれも学習したもので、
育った環境によっては D→S が良い音と感じて
TDT がいやな音と感じたりするのかな？

>>85
S→Dは系統の違う音楽では普通に使われる。

いやな音の範疇かどうかは微妙かもしれないが
アーメン終止（S→T）が心地良い人はD→Tは仰々しすぎると
感じる人がいるという話は聞いたことがある。

いずれも聴いている（聴いてきた）音の環境の差
つまり学習によるものだと思う。

そもそもオクターブに１２音しかないのも
和音がⅠからⅦまでなのも、おそらくは環境のせい。

>>86 訂正
× S→Dは系統の違う音楽では普通に使われる。
○ D→Sは系統の違う音楽では普通に使われる。

仰々しすぎるという表現ならば、解決感は強い訳ですよね
解決感はＳＤ＜ＴＤＴで共通だけど、解決感が過剰過ぎて仰々しく感じる、と言えないかな？

IV→I も V→I も古典的西洋音楽の中での話だからな

IIb→I と V→I のどちらが終止感が強いかなんてのとはまた別の話かな

明らかな不協和音は人類共通で普遍的に不協和でしょうか？
それは、なぜ？

不協和の定義による。

周波数比がを単純な整数比で表すことができる音程を協和
整数が大きくなると不協和（その境界は曖昧だとしても）というなら
協和・不協和は人類共通。

「協和≒気持ちいい響き」というような定義なら、環境や経験によって変わる。
V7以外の４和音は古典的西洋音楽では通常不協和音としてしか用いられないが
他の系統の音楽では、I7やIV７なども安定した和音として積極的に用いる。

協和感≒気持ちいい響き、ということで言うと、
I7 や IV7 もどちらかと言うと協和感の良いほうの和音ではないでしょうか？
もっと生理的に受け付けにくい不協和もあると思うのですが

IIdimとかV7b913とかも気持ちいいよ
と感じるのは経験じゃないかな？
そもそも和声の響きを感じるというのからして経験くさい。

生理的に受け付け難い不協和ってなんだろう？

そうかあ。やっぱ経験なのかな？

逆に、V7 が不安定で禁止されている音楽、というのもある？
V7 は一般的で普遍的なコードとは言えない？

慣れてくれば親しみを感じるから、だんだん心地よくなっていく、＜
はあっても、心地よい音がだんだん不快になっていく＞というのは少ないような気がするが

積極的に禁止している音楽を探すのは難しいかもしれない
禁止するということは、その存在を意識しているということなので。

西洋音楽以外の音楽は、あまりきちんと理論付けや体系付けされていないことと
具体的な不協和音の存在を意識するくらいに高度に発展する段階では、禁止はされにくいという理由。
つまり、音楽には積極的な禁じ手がある事のほうが珍しいということ。

消極的な禁じ手としてなら、以下のようなものがある。
たとえば、２和音までしかない音楽がある。４和音は世界の外なので使われることはない。
そもそも和声という考え方のない音楽もある。複数の旋律が重なったところで、
たまたまV7の音になることがあるかもしれないが、そのような意識では捉えられていない。

なるほど。けっこう自由なのですね

でも、ジャンジャンジャンジャーン↓だと終結感がして
最後の音が外れると続きがあるように確かに感じる。
これも学習の結果なのかちょっと信じがたい。

それで、イントネーションに関してはどうですか？
日本語で

そうなの？↑、と、そうなの。↓、だと、後者に終結感がある

英語でも

understand?↑、だと、分かったあ？、で疑問形で、
understand!↓、だと、うん分かった。、で終結感がある

この語尾の上げ下げが人類共通の音楽的萌芽といえない？

V→ I の終止感は導音(vii音)からの半音上昇と言われている
下がると終止感というの相反するがどうか？

>>96
「そうなの？↑」という疑問型は英語などからの学習では？
古来の疑問形、「如何か」は下がるよ。

和音だと上がる音も下がる音も混ざっているので難しい。

言語は確かに日本語と英語だと影響しあってるかも。
もっと民族言語とかサンプルが必要だけど、
ぜんぜん知らないので何か言うのは難しいか…

音楽理論の本を見たら

「古典西洋音楽の協和音が普遍的で音楽の一番基礎になる音で
そこから不協和の音をだんだん取り入れていって
使える音の範囲を拡大していくと、他の音楽のかたちになる。」

みたいに書いてあったので、信じ込んでしまってました。

それはおそらく

「西洋古典音楽の理論付けを基礎とし
　それに不協和音を取り入れることで
　他の音楽の理論付けが可能である。」

というような、西洋音楽理論の他の音楽への応用の可能性の話で
他の音楽がそのような経緯を持って派生されたと主張しているわけではないと思う。

西洋音楽理論を基礎として
他の音楽を理論付けすることは可能でしょうか？

その場合、やっぱりその理論が普遍的な、
人間に共通の音楽的特性を
表現できていることになるのでは

音楽理論て、普遍性を言えるほど厳密なものなのかな？

西洋音楽で言う不協和音て結局はオクターブ１２音から出られないんでないの？
インド音楽とかそれで体系化できるのか？
ハーフトーンとかも入れていくのかな？

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>>37　とすれば対称的でいいかも

π/６　　＝　ド
π/２　　＝　レ
５π/６　＝　ミ
π　　　　＝ファ
４π/３　＝ソ
５π/３　＝ラ
２π　　　＝シ

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
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