初等整数論の問題�A

１２．ｎを２以上の整数とする。非負実数a1,…,aｎが　a1＋…＋aｎ＝１　をみたすとき、
　　　
　　　　{Σ(i=1〜n)(i*ai)}*{Σ(i=1〜n)(ai/i)}^2

　　　としてありうる最大の値を求めよ。


数オリスレでは１２が誰も解けないみたいだから、おまえら助けてやれや

現役離れたおっさんには無理だにゃ〜

＾＾の人に期待か

>>285
1

a1=1
a2=…=aｎ=0

＞12番が１とかいう噂が漂っているが証明でもないくせにそんな自明解だったら財団に切れるぞ

>>290
勝手に切れてろ

>>288
an ＝ (1−1/n)*(1/3)
a1 ＝ 1−an
a2 ＝ … ＝ a_{n-1} ＝ 0

とすると、nが十分大きいとき与式は1を超える。

>>285
全展開後の相加→相乗平均から、
a1= …= aｎのとき最大値 n {Σ(i=1〜n)(i)}*{Σ(i=1〜n)(1/i)}^2 を取る？

368 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/01/11(火) 07:11:40
＜さらに転載＞

12
4(n+1)^3/27n^2
a_2~a_n-1を0として3次関数の増減調べただけ。
たしかa_1=(2n-1)/3(n-1)　a_n=(n-2)/3(n-1)。
でも（僕のあてにならない感覚ですが）感覚的にこれは正しそう。証明が無理・・・
これ以上の式が答えであることは確実です。

上から目線の例の人もお手上げか

というかまだ今年はあらわれてないな

>>271が例の人だろｗ

最大値が存在することは簡単に証明できるけど、(ほぼ明らかだが)
具体的にそれがなにかはあの問題の場合は難しいきがする。

スレチ-不等式スレ池

>>297
^^じゃないだろ

＾＾の人と上から目線の例の人は違うよ

>>284

1.　1≦b-a, 2≦c-b, 3≦d-c,
　辺々たすと、 6≦d-a,
　d-a=6:　(1,2,4,7)　(2,3,5,8)　(3,4,6,9)
　d-a=7:　(1,2,4,8)　(2,3,5,9)
　d-a=8:　(1,2,4,9)　(1,2,5,9)

2.
　A = 1 + 4 + 7 + ･････ + 2011,
　A = 　　1 + 4 + ･････ + 2008 + 2011,
　A =　　 1 + 4 + ･････ + 2008 + 2011,
相加平均して
A = 1/3 + 2 + 5 + ･････ + 2009 + 2011*(2/3)
　= 1/3 + B + 2011*(2/3)
　= B + 1341,

3.
　題意により、abcd と efg は互いに素。
　∴　6を含む項はまた2,3,4も含むはずだから、
　{a,b,c,d} = {2,3,4,6},　{e,f,g} = {1,5,7}　p=144+35=179,

5.
　(10a+3)(10a+7) = 100a(a+1) + 21 ≡ 21 (mod 200)
　(100b+21)(100c+21)(100d+21)(100e+21)(100f+21) ≡ 1 (mod 100),
　∴ 50ごとに１に戻るので 2000以上の因数を考えればよく、
　2003ｘ2007 = 4020021 ≡ 21 (mod 100) より 2

8.
　P = 3154 = 38 * 83

>>301
5の無駄を省いたバージョン

φ(100)=40, 任意の非負整数nに対して、(10n+3)(10n+7)≡21 (mod 100)
したがって、問題の積≡21^(201)≡21^(40*5+1)≡21 (mod 100)

任意に a+b=10^k を満たす正整数a,b,kの組を固定する。(a,bはk桁とする)
3k+1桁以下の正整数のうち下k桁がaまたはbであるような数の総積をPとする。
このとき、P-1は10^(2k)で割り切れることを証明せよ。

(10,ab)=1 を条件に追加しておく。 これでＯＫ

>>285
4(n+1)^3/27n^2

>>285

つまり、与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分だから
　(与式) ≦ {x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2
　= {x + n(1-x)}{[1 +(n-1)x]/2}^2･(2/n)^2
　≦ {(n+1)/3}^3･(2/n)^2　　　(← 相乗･相加平均)
　= 4(n+1)^3／(27n^2),　　　　　>>305
等号成立は x = (2n-1)/(3(n-1)) のとき

>>305
>>306
どうしてa1, an以外は0なの？

>>306
『与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分だから』

なぜ？ それはかなり非自明な匂いがしますが・・・

そのレベルですか
まずはn=3の場合はやってみてはいかがですかな

>>305>>306
>>294で既に出てるよ。

>>285 >>294 >>307-308

〔補題〕与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分。

(略証)
　(与式) = F(a_1,a_2,････,a_n)･G(a_1,a_2,････,a_n)^2,
と書ける。ここに
　F(t_1,t_2,････,t_n) = Σ(i=1〜n) i･t_i,
　G(t_1,t_2,････,t_n) = Σ(i=1〜n) t_i／i,
いま
　x = {1/(n-1)}Σ(j=1〜n-1) (n-j)･a_j,
　1-x = {1/(n-1)}Σ(j=2〜n) (j-1)･a_j,
とおけば
　�僥 = F(x,0,････,0,1-x) - F(a_1,a_2,････,a_n) = 0,
　�僭 = G(x,0,････,0,1-x) - G(a_1,a_2,････,a_n)
　　　= (1/n)Σ(j=2〜n-1) {(n-j)(j-1)/j}･a_j > 0,
また
　y = {1/(n-1)}Σ(j=1〜n-1) (n-j)･a_j／j,
　1-y = {n/(n-1)}Σ(j=2〜n) (j-1)･a_j／j,
とおけば
　�僥 = F(y,0,････,0,1-y) - F(a_1,a_2,････,a_n)
　　　= Σ(j=2〜n-1) (n-j)(j-1)･a_j > 0,
　�僭 = G(y,0,････,0,1-y) - G(a_1,a_2,････,a_n) = 0,
いずれの場合も F･G^2 は増加する。
よって頭書の結論を得る。(終)