３項演算子を考えるスレ

加減乗除は全て
(a,b) |→ c
となる２項演算子です。
群環体もこの２項演算子をモデルに作られています。
横に文字を連ねるとどうしても a □ b = c と
２項演算子が考えやすいのか…。

３項演算子を考えればもっと計算の世界が広がるのでは？
このスレでは３つの数 (a, b, c) に対して数 d を割り当てる３項演算子
(a,b,c) |→ d
を考えます。

「三角乗法」を次のように書きます。

(a_t, a_l, a_r) |→ b

を

　　a_t
　　△　　＞→ b
a_l　　a_r

交換法則と結合法則はどうなるんだ

「三角乗法の展開」は

　　　　　　t_t
a_t →＜　△
　　　　　t_l　t_r

　　　　　　l_t
a_l →＜　△
　　　　　l_l　l_r

　　　　　　r_t
a_r →＜　△
　　　　　r_l　r_r

とするとき、

t_l = l_t かつ l_r = r_l かつ r_t = t_r

のときのみ定義され

　　　　　　　　　　　　t_t
　　a_t　　　　　　　　△
　　△　　＞→　t_l　△ r_t
a_l　　a_r　　　　△　　　△
　　　　　　　　l_l　　l_r　　　r_r

のように書きます。

>>3
結合法則は >>4 により定義します

何十年も前にコンピュータプログラムで解決済っぽいな これ

まず最も簡単な、
基数集合の位数が |S| = 1 の場合
つまり S = {e} の場合を考えます。

この場合

　e
　△　　＞→ e
e　　e

であり、拡張も


　　　　　　　　　　e
　e　　　　　　　　△
　△　→＜　　e △ e
e　　e　　　　△　　△
　　　　　　　e　　e　　e

となり矛盾なく定義されていることが分かります。

コンピュータや計算機がない手作業の時代のｳﾝ百年前に
理論自体は完結済

>>6
コンプータなんて人間様にはまだまだ及びませんよ。
簡単な有限群の計算だって、力ずくの解法では
少し大きくなれば |S_n| = n! の指数爆発で手に負えなくなりますし。

>>8
そうななのですか？ 参考資料はありますか？

ググレ

基数集合の位数が 2 の場合、 S = {e, 1} を考える。

まず単位元を自然な感じで >>7 と置くと

　　　　　　　　　　e
　e　　　　　　　　△
　△　→＜　　e △ e
e　　1　　　　△　　△
　　　　　　　e　　e　　*

であるから * = 1 でなければならない。
よって

　e
　△　　＞→ 1
e　　1

である。同様に

　e
　△　　＞→ 1
1　　e

　1
　△　　＞→ 1
e　　e

が言える。

カス

>>11
３項演算子で軽くググッタがプログラミング言語関連ばかりでした。

深くググレ

S = {e, 1} の場合、つづき

　　　　　　　　　　*
　e　　　　　　　　△
　△　→＜　　e △ 1
e　　1　　　　△　　△
　　　　　　　e　　e　　e

より、 * = 1 でなければならず、

　1
　△　　＞→ e
e　　1

が言える。同様に

　1
　△　　＞→ e
1　　e

　e
　△　　＞→ e
1　　1

である。

>>15
Wikipedia には書いてなかったでつ

完結済だからさ

最後に、

　　　　　　　　　　e
　e　　　　　　　　△
　△　→＜　　1 △ 1
e　　1　　　　△　　△
　　　　　　　e　　1　　*

より * = 1 でなければならず

　1
　△　　＞→ 1
1　　1

である。以上の定義は縮小 ＞→ について矛盾なく定義されている。

まとめて書くと、この三角乗法は、e := 0 とすると

　a
　△　　＞→ a+b+c (mod 2)
b　　c

である。

>>18
完結済みならなおさら Wikipedia に書いてありそうだけど…

書く価値や意味がないのだろ

この理論について知っているなら
研究した人の名前なり理論の名称なりを教えてくださいませんか？

ググレ

>>1
ジョルダン三項積などの例は知らない、ということか？
どちらにせよ、演算と演算子の区別くらいつけれ。

>>19 だが、縮小について矛盾なく定義されているのは当たり前かも。
展開についてだが、

　　　　　　　　　　*
　a　　　　　　　　△
　△　→＜　　d △ f
b　　c　　　　△　　△
　　　　　　　g　　h　　i

となる a, b, c, d, f, g, h, i があるとき
* に入る基数が存在する
という定義はどうだろう。

3項のみならず、4項〜5項…一般にn項になると
簡単な有限群の計算だって、もう人間の力ずくの解法では
手に負えなくなる から
電子計算機やコンピュータにぶち込む方法じゃなかったか？

（当時）電子計算機が世に出て
何十年も前に解決済らしいので、もう誰も気にも留めないそうだがな…

>>24
情報サンクス。
Jordan三項積についての話題も歓迎です。

どうやら島根県からの書き込みで島根県民であり
Google先生によれば島根県にはパソコンがないらしい。
だからパソコンやコンピュータといった
電子計算機という文明の利器も知らなかったのだろう。

>>26
コンピュータにぶち込むといったって、上手に処理しなければ
宇宙が終わるまで計算が終わらないということになる。

まず人間が効率のより理論・アルゴリズムを構築する必要がある。
ｎ項演算の理論は完成済みでしょうか？

>>28
どうして分かったの？ｗｗ
ってかコンピュータ無いのにどうやって書き込むｗｗｗ

島根県ってパソコンないのか？

ってググッたらほんとに出てきた！！！

自然数の集合に２項演算の和と積を定義するだけで
整数論の難しい未解決な問題が生じるのに、
３項演算が全て分かっているなんて言えるでしょうか

>>28
はるばるパソコンがある神戸などへ出かけて
ネットカフェから書き込む

by 40代男性 海＠保安官

>>32
>>24

>>34
Jordan三項積が３項演算子の全ての場合だということですか？

＃ ググったけど Jordan三項積 のめぼしいサイトが見つかってないのよ

書く価値や意味がないのだろ

ジョルダン３項代数とは k 上のベクトル空間 A で
演算 {-, -, -} : A × A × A → A

(1)

ってか島根県ってどこ？

鳥取県の隣

>>39
じゃあ鳥取県ってどこ？

島根県の隣

('A`)

http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_system

>>37

(1) {xyz} = {zyx}

(2) ４項関係 {xy{zuv}} + {z{yxu}v} = {{xyz}uv} + {zu{xyv}}

を満たすものを ternary Jordan algebra または Jordan triple system という。

>>43
ありがトン。

>>1
よってこのスレ終わっていいか？

Jordan triple system でも Lie triple system でも

２項の入れ替え

{xyz} = {zyx}

or

[u,v,w] = - [v,u,w]

だからどうした？

>>47

２項の入れ替えを要求している。
一方、三角乗法では今のところその要件は入れていない。
今後の発展によれば分からないが…

よって上記の三角乗法と triple systems とは異なる

可換環と非可換環では理論が異なってくる。
２項の入れ替えが必ずしも一致しないという条件で
対象が広がるかもしれない

だからどうした？

>>51
まあ進んでいけば分かるって！

基数集合 S = {e, 1, 2} の場合を少し考えたが

バージョン１の

>>2 >>4
で定義され
>>25
によって決定される

三角乗法では場合分けが多くなり考えにくい。
まあ後々コンプータさんにでも解かせるとして、いまは

(T1) 「頂点を保つ縮約」

　　　a
　　　△　　　　　　　　　a
　　* △ *　　＞→　　△
　△　　△　　　　　　b　　c
b　　*　　 c

を追加してみる。

>>40
じゃあ嵯峨県ってどこ？

3項って2項の組合せで表現できないの？

>>55
確かに任意の２項演算を使ってよいなら
３項演算を２項演算の組み合わせで表現できますね。

しかし和や積などの簡単な表現で表わされるかどうかは分かりません。

そうすると３項であつかうメリットを得るには
対称性などから２項のときよりスッキリ書ける
ような３項演算であるのが望ましいのか…

なるほどん

このスレでの私の目標は
数に対して加減乗除に次ぐ第５の演算で
加減乗除に類する素直な性質を持つものを見つけることです。

そのためにまず有限基数 S = {0, 1, ..., n-1} に対して
三角乗法△を定義し、それを N → Q → R と拡張する方針です。

ひとまず昨晩の探索の結果をまとめます。

[定義 １： 記法]

整数 n に対して基数集合を S = {0, 1, ..., n-1} ととる。
任意の３つ組 (a, b, c) ∈ S × S × S に対して
△(a, b, c) = d ∈ S を割り当てる写像 △ を三角乗法と呼び

　a
　△　　＞→ d
b　　c

と書く。
上記のように左辺を右辺に変えることを縮約と呼ぶ。
この逆を展開と呼び

　　　　　　　a
d →＜　　△
　　　　　b　　c

と書く。

縮約は一意に定まるが、d の展開は一般に
複数通りあっても良いものとする。

上記で定義される三角乗法系を (S, △) と書き
(S, △) の元 J ∈ (S, △) は

　　　a
J =　△　　＞→ d
　　b　　c

と書く。

[定義 ２： 結合法則]

三角乗法系 (S, △) に対し、J, P, B ∈ (S, △) が
互いに１つの頂点を共有するとき、つまり

　　　x
J =　△　　＞→ t
　　a　　b

　　　a
P =　△　　＞→ l
　　y　　c

　　　b
B =　△　　＞→ r
　　c　　z

となるとき、結合 △(J, P, B) が定義され

　　　　　　　　　　x
　J　　　　　　　　△　　　　　　　　t
　△　→＜　　a　　 b　　＞→　　△
P　　B　　　　△　　△　　　　　　l　　r
　　　　　　　y　　c　　z

とする。

[公理 １： 頂点を保存する縮約]

任意の x, y, z, a, b, c ∈ S に対して

　　x
　　△　　　　　　　　　x
　a　　 b　　＞→　　△
　△　　△　　　　　y　　z
y　　c　　z

とし、頂点を保存する縮約 (T1) と呼ぶ。

上記 >>58 >>59 の定義と公理 T1 をもって
三角乗法系のとりあえずの定義とする。

それではいくつかの定理を証明していきます。

任意に１つの s ∈ S を選んだとき

　s
　△　　＞→ t
s　　s

とすると

　　　　　　　　　　s
　t　　　　　　　　△　　　　　　　　　　　s
　△　→＜　　s　　 s　　＞(T1)→　　△　　＞→ t
t　　t　　　　　△　　△　　　　　　　　s　　s
　　　　　　　s　　s　　s

よって

[定理 １]

　t
　△　　＞→ t
t　　t

を満たす t が存在する。

t ∈ S を >>61 定理１の t とする。

　　　　　　　　　　t
　t　　　　　　　　△　　　　　　　　　　　　　t
　△　→＜　　t　　 t　　　　＞(T1)→　　△　　＞→ i
t　　i　　　　　△　　△　　　　　　　　　　t　　k_i
　　　　　　　t　　　t　　k_i

よって

[定理 ２]
定理１の t と任意の i に対し

　t
　△　　＞→ i
t　　i

が成り立つ。

[定理２ つづき]

同様にして

　t
　△　　＞→ i
i　　t

　i
　△　　＞→ i
t　　t

が成立する。

定理 １の t をとる。

　　　　　　　　　　　　　　　k'_i
　　　　　　t　　　　　　　　△　　　　　　　　k'_i
i　→＜　△　→＜　　　t　　 i　　＞→　　△　　＞→ k'_i
　　　　　t　　i　　　　　△　　△　　　　　　t　　t
　　　　　　　　　　　　t　　　t　　t

より k'_i = i であり、２つ目の等式より
　　　　　　　i
t →＜　　△
　　　　　t　　i
である。よって

[定理 ３]
定理 １の t と任意の i に対して

　i
　△　　＞→ t
t　　i

同様に

　i
　△　　＞→ t
i　　t

　t
　△　　＞→ t
i　　i

が成り立つ。

定理 １ の t をとる。

　　　　　　　　　　t
　　i　　　　　　　△　　　　　　　　t
　△　→＜　　t　　 i　　＞→　　△　　＞→ i
i　　i　　　　　△　　△　　　　　i　　　t
　　　　　　　i　　　t　　t

したがって

[定理 ４]

任意の i ∈ S に対して

　i
　△　　＞→ i
i　　i

が成り立つ。

定理 ４ より、定理 １ の t はどの i ∈ S に選んでもよいことが分かる。

以上の

定理 １ >>61
定理 ２ >>62 >>63
定理 ３ >>64
定理 ４ >>65

をまとめて書くと

[等項定理]

任意の a, b ∈ S に対して

　a
　△　　＞→ b
a　　b

　a
　△　　＞→ b
b　　a

　b
　△　　＞→ b
a　　a

が成立する。

[例 ５: S = {0} の場合]

この trivial な場合は

　0
　△　　＞→ 0
0　　0

で、結合の定義による縮約と
頂点を保つ縮約が等しくなるのもほぼ自明でしょう。

[例 ６]

等項定理 >>66 を使えば S = {0, 1} の場合が容易に構成できる。

任意の a, b, c ∈ S をとると a, b, c のうち少なくとも２つは
等しい基数となるので、等項定理で場合は尽くされている。
そして容易に

　a
　△　　＞→ d = a + b + c (mod 2)
b　　c

が分かる。
結合の定理と頂点を保存する縮約の無矛盾性は次のように示せる。
まず結合による縮約は上記 (mod 2) を使って

　　　x
　 　△　　　　　　　　
　a　　 b　　＞＞→ d' = (x+a+b) + (y+c+a) + (z+b+c) = x + y + z (mod 2)
　△　　△
y　　c　　z

であるがこれは頂点を保存する縮約

　　　x
　　　△　　　　　　　　　x
　　a　　 b　　＞→　　△　　＞→ x + y + z (mod 2)
　△　　△　　　　　　y　　z
y　　c　　z

と一致する。よって S = {0, 1} の基数集合に対して
三角乗法系がただ１つ矛盾なく定義された。

S = {0, 1, 2} 上には上記の三角乗法△は存在しません。
それを示すにはもう少し定理の充実が必要なので進めます。

任意の 0 <= i < j < k <= n-1 に対して

　i
　△　　＞→ l
j　　k

とする。そのとき

　　　　　　　　　　i
　　i　　　　　　　△　　　　　　　　i
　△　→＜　　i　　 i　　＞→　　△　　＞→ s
j　　k　　　　　△　　△　　　　　i　　s
　　　　　　　i　　　j　　　s

より s = l で

　i
　△　　＞→ k
j　　l

が成り立つ。つまり、左辺左項と右辺の入れ替えができる。
同様の証明で、左辺の三角形の任意の頂点と、右辺の入れ替えができる。
よって互換の積により、４つの数 (i, j, k, l) の任意の置換ができる。
これらの４つの数 i, j, k, l について、２つが等しいなら
等項定理 >>66 により残りの２つも等しくなるので、
i < j < k に対しては l は {i, j, k} に含まれない数である。

関係

　i
　△　　＞→ l
j　　k

⇒

　i
　△　　＞→ k
j　　l

は i, j, k, l の数字が異ならない場合にも同様に成り立つことが
等項定理 >>66 より確かめられる。

よって

[移項定理]

任意の (i, j, k) に対して

　i
　△　　＞→ l
j　　k

が成り立つことを □(i, j, k, l) と書くとすると
(i, j, k, l) の任意の置換 (σ(i), σ(j), σ(k), σ(l)) に対して
□(σ(i), σ(j), σ(k), σ(l)) が成り立つ。

i, j, k, l は
1) 全て異なる、 2) 異なる２数が２つづつ、3) 全て同じ
のいずれかである。

[Remark ７]

>>71 で定義された４項関係 □(a, b, c, d) により
プリミティブの縮約

　a
　△　　＞→ d
b　　c

は a, b, c の並びに依存しないことが分かります。
よって三角形を △(abc) のように書いても混乱はないと思います。
そこで今後はスペースを節約する場合は△(abc)と書き、
ビジュアル的にイケてる場合は平面図形の記法を使います。

[例 ８: |S|=3 ]

ここまで来ると >>69 を示すのは簡単です。

S = {0, 1, 2} に対して

　0
　△　　＞→ s
1　　2

と取ると、s ∈ {0, 1, 2} のどれを選んでも
>>71 の終わりの分類に矛盾するので
|S| = 3 の場合は S 上に三角乗法を定義することはできません。

[例 ９: |S| = 4]

S = {0, 1, 2, 3} 上においては
等項定理の他には
□(0123) が唯一のプリミティブの定義です。

この定義が矛盾しないことは
コンピュータにより確かめましたが
今後の展開のためには矛盾しないことを
数式で示す方法が望ましいです。

どうやったら無矛盾性を示せるでしょうか？

[例 １０: 4 < |S|]

4 < |S| においても、S の数字のラベルを適切に貼り替えれば
□(0123) が言えます。

よって 4 < |S| なる S は T = {0, 1, 2, 3} 上の三角乗法系を
部分系として含みます。

いま {0, 1, 2, 3} 以外の数 4 をとり
△(04a) ＞→ b を考えると、a = {1, 2, 3} の３つの選び方それぞれに
対して {0, 1, 2, 3, 4} と異なる数 b_a が必要です。
それらを b = {5, 6, 7} とすると S の基数は最低でも 8 <= |S| 必要なことが分かります。

実際は |S| = 8 に三角乗法が定義できます。
上の考察から □(0145)、□(0246)、□(0347) と定義し
△(124) ＞→ 7、△(134) ＞→ 6、△(234) ＞→ 5 を導きます。
さらに □(0167)、□(0257)、□(0356)、□(1256)、□(1357)、□(2367) が導けます。
最後に □(4567) を追加して定義を完成します。

この定義が結合法則 >>59 および頂点を保つ縮約公理 >>60 と
矛盾しないことはコンピュータにより確かめました。

コンピュータさんは |S| = 8 だとしばし考え込む感じです。
まあ私のプログラムが効率等あまり考えないヘボなのも原因ですが。
しかし結合法則 >>59 より (a, b, c, x, y, z) 〜 n^6 の
６重ループを本質的には回さなければならない（と思う）ので
これは時間がかかっても仕方ないと思われます。

とくに次の |S| = 16 だと 64 倍以上も時間がかかってしまうので
より効率の良い無矛盾性チェックのアルゴリズムがあるといいなあ。

l の展開が l →＜ △(ijk)、l →＜ △(i' jk) と１文字違いであったとすると
i →＜ △(ljk) ＞→ i' より i = i' でなければなりません。
よって１文字違いの展開は存在しません。

それでは２文字違いの展開はどうでしょうか？
(*) l →＜ △(ijk) かつ l →＜ △(i' j' k) ⇒ {i, j} = {i', j'}
が成り立つとすると
□(ijkl) かつ □(i' j' kl) ⇒ {i, j} = {i', j'}
つまり
△(jkl) ＞→ i のとき △(akl) ＞→ b ならば {a, b} = {i, j}
となります。
よって k, l を定めると組

>>76 つづき

よって k, l を定めると {i, j} が一意に定まるので
２文字違いの展開が互いに等しいとすれば
△は本質的には２項演算子となるかもしれない。

しかし実際には {i, j, i', j'} が全て異なる
□(ijkl) と □(i' j' kl) が存在する >>75

よって △(jkl) は j, k, l を３つとも定めないと
値は確定しない。ヨカッタヨカッタ

>>75 の構成を見ると何となくだが
クライン４元群という音楽グループと
関連がありそうな気配がしている。

明日は２項の群演算の観点から少し探索する予定。

はたして△は２項の群演算で完全に統制されているのか。

今日はまもなく就寝です…

猫に小判、まで読んだ。

>>79
ご愛読感謝します
一日で猫に小判まで読むとはさすが読むの早いですね

もしかしたら >>8 かもしれない。
しかし自然数に対する和と積だけでも
まだ理論が完結とは言えないのだから…

>>26 の言うように確かに
簡単な有限群の計算だって
人間の計算スピードでは手に負えなくなるから
コンピュータに投入して計算させるでしょう。

例えばモンスター群なんかはそういうのじゅないか？

しかしそのような計算が可能なのも
群の指標の理論や生成基底による一意表現などの
理論や公式が発達してきたからでしょうね。
そのような理論を駆使して効率のよい
プログラムを書いたのだと思います。

単にコンピュータのスピードにまかせて力ずく計算するのでは
位数が大きくなると手に負えません。

整数論に未解決な問題がたくさんあるのも
きっとそのためでしょう。

さて

△(abc) ＞→ d

という式から始めます。

ある a、b について c に d を対応させる写像

f_{ab} : c → d

を考えます。この写像は単射であることが分かります。
なぜなら

f_{ab} : c' → d

も成り立つとすると

c →＜ △(abd) ＞→ c'

より c = c' となり、d に対して一意な c が対応しているからです。

よって f_{ab} は１対１対応であり
基数集合に作用する置換であることが分かります。

f_{ab} は |S| = n 文字の置換なので、巡回置換を使って

f_{ab} = (x_1 ... x_k) (x_{k+1} ... x_l) ... (x_m ... x_n)

と書けます。

いま a, b を異なる S の元とし、任意の c_i ∈ S に対して

△(ab c_i) = d_i

とします。 a と b が異なるので、c_i と d_i も S の異なる元です。
また

△(ab d_i) = c_i

も成り立つので f_{ab} は c_i と d_i を入れ替えます。
よって、f_{ab} は文字の被らない n'個の互換の積

f_{ab} = (c_1 d_1) (c_2 d_2) ... (c_n', d_n')

であることが分かります。

とくに基数 n は偶数で n = 2n' です。

一方、a = b の場合を考えます。
すると等項定理より

△(aa c_i) = c_i

であるので、f_{aa} は恒等置換です。

ここで

G_a ∋ b_a = f_{ab} と置いて G_a が群になることを期待します。

まず

a_a = e

つまり b = a のとき G_a の単位元です。

また

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

であったので、(b_a)^2 = e より

b_a の逆元は b_a 自身です。

最後に b_a b'_a が G_a の元であれば G_a は群を成すことを示せます。

なしのつぶて

G_a が群を成すことを示したい。
いま G_a ∋ b_a に対し

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

とする。b_a でない b'_a ∈ G_a をとると
1 以外の i が存在して b'_a は c_1 を c_i または d_i に移す。
仮に c_i に移すとすると

b'_a = (c_1 c_i) (d_i x) ...

と書かれる。
このとき、b_a の置換より
□(ab c_1 d_1)、□(ab c_i d_i)
が成り立ち、b'_a の置換より
□(ab c_1 c_i)、□(ab d_i x)
が成り立つ。これを三角図で書くと

　　　　　　　　　　　　　　　　d_1
　　　　　　a　　　　　　　　　△　　　　　　　　d_1
x →＜　△　　　→＜　c_1　　b　　＞→　　△　　＞→ d_1
　　　　　b　d_i　　　　　△　　　△　　　　　a　　a
　　　　　　　　　　　　a　　　c_i　　a

より x = d_1 が言える。
よって b'_a が c_1 を c_i にうつすならば

b'_a = (c_1 c_i) (d_i d_1) ...

となる。

>>86
シクシク (TдT) ﾀﾞﾚｶｶﾏｯﾃｰ

一方、b'_a が c_1 を d_i に移す場合は

b'_a = (c_1 d_i) (c_i x) ...

となる。このとき
このとき、b_a の置換より

□(ab c_1 d_1)、□(ab c_i d_i)
□(ab c_1 d_i)、□(ab c_i x)

が成り立つ。三角図で書くと

　　　　　　　　　　　　　　　　d_1
　　　　　　a　　　　　　　　　△　　　　　　　　d_1
x →＜　△　　　→＜　c_1　　b　　＞→　　△　　＞→ d_1
　　　　　b　c_i　　　　　△　　　△　　　　　a　　a
　　　　　　　　　　　　a　　　d_i　　a

となり、同様に x = d_1 が言える。
よって

b'_a = (c_1 d_i) (c_i d_1) ...

となる。
まとめて b'_a が c_1 を {c_i, d_i} に移すなら

b'_a = (c_1 {c_i, d_i}) ({d_i, c_i}, d_1) ： 左右同順

である。ここで {c_i, d_i} は c_i または d_i のどちらかを選ぶことを意味する。

G_a が群を成すことを示そうとしている。

b_a ∈ G_a は独立な n' = |S| / 2 個の互換の積で

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と書ける。
b_a と異なる b'_a ∈ G_a をとる。
上の議論より、適当な c_i に対して
b'_a (c_i) = {c_j, d_j} であるとき

b'_a = (c_i, {c_j, d_j}) ({d_j, c_j}, d_i) ... ：左右同順

となる。まだ出てきていない c_k を選んで同様に行う、
ということを繰り返すと

b'_a = Π^{n''} (c_i, {c_j, d_j}) ({d_j, c_j}, d_i) ： 左右同順

となる。

b_a ∈ G_a を

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と表示したとき、任意の b'_a ∈ G_a は

b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']

となる。ここで

[i, j] は (c_i d_j) (c_j d_i) または (c_i c_j) (d_i d_j) を意味し
i1, j_1, ..., i_n', j_n' は n 個の異なる数字である。

このとき b_a と b'_a の積は

b_a b'_a = Π^{n''} (c_i d_i) (c_j d_j) [i, j]

となる。ここで 2n'' = n' である。
因子を計算すると

(c_i d_i) (c_j d_j) (c_i d_j) (c_j d_i) = (c_i c_j) (d_i d_j)

または

(c_i d_i) (c_j d_j) (c_i c_j) (d_i d_j) = (c_i d_j) (c_j d_i)

である。

これまでで b_a ∈ G_a を

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と表示し、b_a と異なる元 b'_a ∈ を取り積

b_a b'_a

をつくったとき

(*)　b_a b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']

となることを示した。ここで
[i, j] は (c_i d_j) (c_j d_i) または (c_i c_j) (d_i d_j) を意味し
i1, j_1, ..., i_n', j_n' は n 個の異なる数字である。

最後に (*) の形の表示がどのような i_1, j_1, ..., i_n', j_n' の
並びでも G_a の元であることを示せれば、G_a が群であることが言える。

それには n 個の b ∈

ちょっと混乱。

積を

(*)　b_a b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']

のする。
２つの任意の数の組 (i, j) の選び方は n(n-1)/2 通りあり、
b'_a の数は n 通りしかないので任意の (i, j) が (*) に入る可能性があるなら
必ずしも群を成さないことになる。

i と j ってパソコンで見分けにくいね。私はジェイに似ています。

把握。

b = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と表示したとき b と異なる b' に対して２つの数 s, t が選べて

b' = b_1 = (c_s c_t) (d_s d_t) ...
または
b' = b_2 = (c_s d_t) (c_t d_s) ...

となる。このとき表示されていない ... の部分は {c_s, c_t, d_s, d_t} を含まない。
積を X = bb' と置くと、>>91 の証明より
b' = b_1 のとき X = b_2 で、b' = b_2 のとき X = b_1 である。
前者を考えると
□(a b' c_s c_t)、□(a b' d_s d_t)
を仮定して
□(a b'' c_s d_t) かつ □(a b'' c_t d_s)
を満たす b'' が存在することを証明すれば X = b'' となり
G_a が群演算で閉じていることが示せる。
ところが △(a c_s d_t) ＞→ y および △(a c_t d_s) ＞→ z
を満たす y と z は常に存在するので、あとは y = z が言えればよい。
　　　　　　　　　　　　　　　　a
　　　　　　a　　　　　　　　　△　　　　　　　　a
y →＜　△　　　→＜　　a　　a　　＞→　　△　　＞→ z
　　　　c_s　d_t　　　　　△　　△　　　　　c_t　d_s
　　　　　　　　　　　　c_t　　b'　　d_s

より示せた。

最初クソスレかと思ったけど、段々おもしろくなってきた
ガンバレ

以上より

|S| = n の基数集合 S 上に三角乗法
△ : S × S × S → S を定めたとき、
任意の a ∈ S に対して G_a ∋ b を
b(c) = d ⇔ △(a, b, c) → d
なるものとおけば、G_a は位数 n の群となる

ことが示せました。とくに、単位元と異なる b ∈ G_a は位数２をもち

b = Π (c_i d_i)

と表示できます。

>>95
ありがとう。感激。
まったりとガンバリます

ろくに考えもせずに無駄にレス数嵩んでるだけにしか見えないが。

G_a ∋ b は位数２の元であるため、自分自身が逆元です。
任意の２元の積を

b_s b_t = b_k

とすると

b_k = (b_k)^{-1} = (b_t)^{-1} (b_s)^{-1} = b_t b_s

となります。つまり G_a は可換群です。

いま３つの元 {e, b_1, b_2} をとると
b_3 = b_1 b_2
は {e, b_1, b_2} とは異なり、この４つの元
V = {e, b_1, b_2, b_3}
は部分群を成します。この群はクライン４元群です。
もうひとつ元 b_4 を加えると
V と b_4 V は部分群 {e, b_4} による G_a の類別の
異なる剰余類に属するので、V ∩ b_4 V = φ (空集合) です。
よって V に生成元 b_4 を加えると８元群となり、その元は

b = b_1^{e_0} b_2^{e_1} b_4^{e_2}

と表示できます。ここで指数は e_i = {0, 1} をとるバイナリ表示です。
つぎつぎと生成元を付け加えていくと、16元群、32元群、…となり
最終的に G_a の位数は自然数 k が存在して n = 2^k となります。

＃ この群って何か名前がついているのでしょうか？

ひと息。

G_a が群であることが分かり有限群論の
豊富なツールを使う道筋が開けました。

しかしもし群による統制が強すぎるならば
有限群論で全て説明がついてしまい群論からの
新たな進展はないことになるでしょう。

△に群論を超える何かは含まれるのか？

その答えは有限群論のツールをどんどん適用していけば
明らかになるでしょう。

＃といってもまだ見通しは立っていません
＃カキコみながら考えています

>>100
ねえ、質問なんだけど
昔、Emil Postが群の演算を多項演算に拡張したpolyadic groupとかいうのを研究してた（その内容は知らないから質問しないでね）と思うんだけど
そのPostのpolyadic groupとか言うのとの関連はあるのかな？

n-群ってどんなもんかと思ったら
http://en.wikipedia.org/wiki/N-ary_group
ぜんぜん分かりますん

>>101

Wikipedia >>102 によれば polyadic group の
3-ary operation は

(@): (abc)de = a(bcd)e = ab(cde)

という結合則をもつらしい。
これを三角乗法に適用すると
△(abc) ＞→ x 、△(bcd) ＞→ y
のとき
(*) △(xde) ＞→ z →＜ △(aye)
を満たす必要があるが a と d は任意に選べるので
一般には (*) は成り立たない。

したがって (@) を要求する n-ary group とは同じではない。

しかし研究途中なので何か関連があるのかどうかまでは分かりません
むしろ誰か教えてほしい…

ともかく、情報さんくす

スレ読んでないけど要するに3変数関数のスレだよね？

>>104
ちゃうちゃう、>>1が三角ビキニでオナるスレだよ。

第１章の結論：
>>58 >>59 >>60 で定義されるような三角乗法は
適切な数の割り当てをすると

△(a, b, c) = a (+) b (+) c

で計算される。
ここで (+) は２進数に対するビットごとの排他的理論和 XOR である。

証明は気が向いたら書きます。

…

結局 >>8 >>55 だったか…先見の明

しかしやってみなければ私は分からなかったし
面白かったからまあ良いとします

ところで、定義 >>58 >>59 >>60 を少し変更した
バリエーションはいくつも考えられるけど
それも全て trivial なのでしょうか？

>>104
とりあえず当初の計画が頓挫して
スレはちょうど今から漂流中となりました

　　　　　　　　　 J　　　　　　　P　　　 　　　 B
　　　　　　　　　△　　　　　　 △　　　 　　　△
　　　　　　　　J　 J　　　　　P　 P　　 　　B　 B

　　　　　　　　jean　　　　　　paul　　　　　bell


左からジャン・ポール・ベル。３人でスリーポリンキーズだよ！

　　　　　　ジャンへのメールは[email protected]
　　　 　 　ポールへのメールは[email protected]
　　　　　　　ベルへのメールは[email protected]

　　　　　　メールアドレスは、まちがえないでね！


　　　　　　　　　　　・ ３人からひとこと

　　『ジャンで〜す。スイカ→か、からす→すごいでしょ！
　　　　　　メールで僕と”しりとり”しようよ！』

『やあ、ポールだよ☆　ねえねえ、そこの三角ビキニの君！
僕とメールでデートしようよ！キミのメールを待ってるよ〜♪』

　『ベルだよ〜ん！ねぇ、これから僕のことベルって呼んでね！
　　　　ねえ、僕の”えかきうた”もうおぼえてくれた？！』

ポリンキー♪ ポンリキー♪ 三角形の　秘密はね

ポリンキー♪ ポリンキー♪ 美味しさの　秘密はね


























教えてあげないよ

ちゃん

さんかくけいのひみつ

を並べ替えると…

どうりであのマークに似ていると思ったら！

>>110
ポリンキー♪
ポリンキー♪
三角形の秘密はね
ポリンキー♪
ポリンキー♪
おいしさの秘密はね
教えてあげないよ。ジャン！

秘密を教えてもらえないという状況ほど
知識欲を煽り立てるものは他に無い。

論文が落とせないときの気になり具合といったら…


数学的自然が恥ずかしがり屋さんなので
みんな追求しようと思うんだろう

三角乗法、第２章スタート！

ジョルダン三項積・三変数関数の話題も歓迎です。

前章では、三角乗法を

定義１： >>58
定義２： >>59
公理１： >>60

を満たす系としたとき

|S| = 2^k であり、S の元に２進数を割り当てると

　 a
　△　　＞→ a (+) b (+) c
b　　c

とできることが導けました。
ここで (+) は bitwise xor を表わします。

三角乗法を考えはじめた目的は
四則演算に次ぐ簡易な性質を持つ新規の演算を見つける
ことでした。

前章の結果は既知の２項演算 bitwise xor ということでした。
新規な演算を見つけることはできませんでしたが
三角乗法が簡易な性質を持つ可能性は示せたと考えます。

>>114 の３つの条件のうち、
定義１
だけならば、最も一般的な３項演算を表わします。
そこに定義２、公理１を付け加えることで
演算の集合が制限され、一意な bitwise xor が残った
ということです。

そこで今後は、定義２、公理１の条件を緩める・変更することで
新規な演算が得られるか探索していきます。

なぜ xor なのか？という点に関して
イメージをつかむには次のように考えます。

まず三角乗法が可換で結合律を満たす
２項演算子 @ で表現されると仮定します：

　 a
　△　　＞→ a @ b @ c
b　　c

すると条件１は

　　　　　　　　　　　a
　　　　　　　 　　　△
a@b@c →＜　　z　　y　　＞→　a@b@c @2(x@y@z)
　　　　　　　　　△　 △
　　　　　　　　b　　x　　c

ですので、x、y、zを任意に選べると考えると
x@x = 単位元
ということなので演算 @ は mod 2 、
つまり bitwise xor ということになります。

この証明では２項演算子という仮定を
先に置いてしまっているので１章のようには
厳密ではありませんが、
イメージはつかめるのではと思います。

条件１の縮約を２次の縮約と呼ぶことにすると、
代わりに次の３次の縮約という条件も考えられます。

　　　　 a
　　　　△
　　　* 　 *
　　 △　 △　　　＞＞→ △(abc)
　 *　　*　　*
　△　 △　 △
b　　*　　 *　　c

２次の代わりに３次の縮約を条件とした場合は
どうなるでしょうか？

また一般にｎ次の縮約を条件とした場合はどうなるでしょうか？

２次の縮約は

　　　a
　　 △
　 z　　y
　△　 △
b　　x　　c

　　 ↓

　　　　 a
　　　　△
　　　z 　 y

　 z　　　　　 y　　
　△　 　 　 △
b　　x　　 x　　c

と振り分けられるため、x、y、z の重複度が２だと考えられる。
重複度 n を (n) で表わすとすると２次の縮約は

　　　 (1)
　　 　△
　 (2)　(2)
　　△　 △
(1)　 (2)　 (1)

のようになる。
３次の縮約の重複度はどうだろうか？

２次→３次でどの頂点が重なるかと考えると

　　　　　▽
　 　　　(1)
　　　 ▽　▽
　　　(2)　(2)
　　▽　▽　▽
　 (1)　 (2)　 (1)
▽ 　 ▽　 ▽　 ▽

のそれぞれの逆三角形を整数の和として縮約して

　　　　　(1)
　　　　　△
　　　 (3)　(3)
　　　 △　 △
　　(3)　(6)　(3)
　　△　 △　 △
(1)　 (3)　 (3)　(1)

となります。よって内部の重複度 (3) の位置に x が入るならば
x @ x @ x = 単位元
です。
条件１の代わりに３次の頂点を保存する縮約を公理とした場合には
３進数の各桁和 mod 3
が条件を満たす演算となります。
それ以外の演算も可能であるかどうかはまだ不明です。

もったいぶってもこんなにワクワクしないスレって……

ふむ。

定義を作っているほうは楽しい。
新しい分野になるんじゃないかと
それなりにワクワクしています。

２次→３次と同様に３次→４次をつくると

　　　　　　 (1)
　　　　　　 △
　　　　　(4)　(4)
　　　　　△　 △
　　　 (6)　(12) (6)
　　　 △　 △　 △
　　(4)　(12) (12) (6)
　　△　 △　 △　 △
(1)　 (4)　 (6)　(4)　(1)

となります。
gcd(4,6,12) = 2 であることより
４次の縮約を公理とした場合は mod 4 ではなく mod 2
つまり２次の場合の xor が条件を満たす演算となります。

もちろんそれ以外の演算が条件を満たす可能性はあります。

２次の頂点を保存する縮約： mod 2 各桁和
３次の頂点を保存する縮約： mod 3 各桁和
４次の頂点を保存する縮約： mod 2 各桁和

ということでしたが、
一般の n 次の頂点を保存する縮約
を公理とした場合はどうなるでしょうか？
次のような座標系を考えます：

　　　　　i
　　　　 ↑
　　　　 △
　　　 .
　　 △　　 △
　／　　　　　 ＼
j　　　　　　　　　 k

n 次の大三角形の場合、
一番上の頂点が (i, j, k) = (n, 0, 0) で
右下に 1 歩進むと i が 1 減り j が 1 増える
左下に 1 歩進むと i が 1 減り k が 1 増える
という座標です。

誤：
右下に 1 歩進むと i が 1 減り j が 1 増える
左下に 1 歩進むと i が 1 減り k が 1 増える

正：
左下に 1 歩進むと i が 1 減り j が 1 増える
右下に 1 歩進むと i が 1 減り k が 1 増える

n 次三角形の (i, j, k) 座標の重複度を (D^{n}_{i, j, k}) とします。
n 次から n+1 次への展開を考えると

(D^{n+1}_{i, j, k}) = (D^{n}_{i-1, j, k} + D^{n}_{i, j-1, k} + D^{n}_{i, j, k-1})

であることが分かります。
この D は

(x + y + z)^{n} = Σ D^{n}_|i, j, k} x^i y^j z^k

であり i + j + k = n に対して

D^{n}_{i, j, k} = n! / (i! j! k!)

であることが分かります。

n 次の頂点を保存する縮約を公理とした場合
４次の場合と同様に考えて

m = gcd( n ! / (i ! j ! k !), i+j+k=n, i ne n, j ne n, k ne n )

の mod m 各桁和が条件を満たす演算となります。
とくに n が素数 p の場合は mod p 各桁和が
条件を満たす演算となります。

この mod m 各桁和は公理を満たす演算のうちの１つですが、
公理を満たす演算がこれ以外にあるか？というのは興味深い問題です。

n = 2 の場合には１章の議論により
mod 2 各桁和のみが公理を満たす演算
だと示されています。

猫の手は借りない。

当然の事です。私は貴方達には一切の手は貸しません。なのでご心配なく。

猫

>>126
いや、何か気付いたことがあったら
ぜひとも手を借りたいです。

いまは三角乗法の表現論が
どこかにないか探しています。

群があれほど力を持つのは
表現を通じて数学分野の各所に働いている
ことが大きいと思うので、
三角乗法でも対応する現象は無いかということです。

いくつかの行列からなる空間 M に通常の行列の積で演算 M×M → M が
定まるにはMに属する行列は正方行列でないといけないが、これを三項にして
M×M×M → M を (A,B,C) → AB^*C で定めれば正方行列でなくてもいける。

猫

>>129
レスありがとう。
なるほど転置させるというのは面白い。
ランクが保存されるのかが気になった。

>>129 をヒントに３次元行列の３角積を考えてみた。

Σ_{xyz} A_{ayz} B_{xbz} C_{xyc}

三角乗法の忠実な表現になっているかな？
対角化とかどうやるんだろう？
固有値・固有ベクトルはあるのかな？

やはり表現と言えば行列だが
図形や関数への作用があるとより面白そう

二項演算子を重ねて三項演算子にするのとどう違うの？
(a, (b, (c, {}))) |-> d

例えば群 G が与えられたとき G ∋ a, b, c に対して

△(abc) = d ⇔ a b c = d

と群演算による積で定義することができます。

このような３角乗法系は本質的に群 G 以上の情報を含まないでしょうから
２項演算を重ねて３項演算子したのと変わりないと言えそうです。

そこで、 >>129 や >>131 のような３項演算が
本質的に２項演算と等しいかどうか、というのが
>>132 の問題ですね。

私は３項演算のほうが広くてシンプルな場合があると考えますが
証明はこれからです。

基数 n = |S| の３角乗法系 △(abc) = d において
△(*bc) = *、△(a*c) = *、△(ab*) = * が３つとも全単射であるとき
△を非退化な３角乗法系と呼ぶことにします。

全単射であることより a, b ∈ S に対して
△(abc) = g(c) なる写像 g は置換群 S_n の元と見なせます。
したがって n 文字の並べ替えで
g = (i_1 i_2 ... i_n)
と表記できます。

ここで b を動かし、b=b1 のとき g_{b1} 、b=b2 のとき g_{b2} を考えると
全単射性より b1 ≠ b2 ⇒ g_{b1}(c) ≠ g_{b2}(c) が言えます。
したがって
g_b = [i]_{bc}
なる２次元マトリックスで書け、各行、各列には同じ数字はありません。
イメージとしては魔方陣、または最近の例だと「数独」のような感じです。

さらに a を動かすと、どうように a1 ≠ a2 ⇒ g_{a1,b}(c) != g_{a2,b}(c) が
言えますので１つの非退化３角乗法系は

　　　　　　c
　　　　／
△ = ＋―――→ a
　　　｜
　　　｜　d_{abc}
　　　↓
　　　 b

という演算表にまとめることができます。
ここで３つの軸の各列には 1 から n までの文字が１回づつ現れます。

S = {0, 1} の非退化３角乗法系で簡単な具体例を示します。

△(000)=0 の場合：

a=0｜0　1 =b
――――――
c=0｜0　1
c=1｜1　0

a=1｜0　1 =b
――――――
c=0｜1　0
c=1｜0　1

これは移項定理が成り立ち、
２次の縮約が成り立つ
第１章の xor の系です。

△(000)=1 の場合：

a=0｜0　1 =b
――――――
c=0｜1　0
c=1｜0　1

a=1｜0　1 =b
――――――
c=0｜0　1
c=1｜1　0

２次の縮約を仮定しなければこういう系もあるんですね。

３角乗法の物理への応用を考察します。
よくあるファインマン・ダイアグラム

b　　　　　　d
　＼　　 ／
　／~~~~＼
a　　　　　　c

の意味はおおまかに言うと
運動量 c を持った粒子に
運動量 a を持った粒子が衝突し、その結果
運動量 d を持った粒子と
運動量 b を持った粒子が生成する
というような意味です。
粒子間の ~~~~ が相互作用（運動量の交換）を表します。

ここで、文字を abcd と置いたことからも分かるように
３角乗法 △(abc)=d であるとき
粒子 c に 粒子 b が衝突して 粒子 a として反射したとき
系は粒子 d である
ということを表すとします。

具体的な実験結果と一致する
ファインマンダイアグラムの例を挙げます。

>>135 の △(000)=0 の例で
0 → スピン -
1 → スピン +
と置くと
衝突によるスピンの交換が

+　　　　　　-
　＼　　 ／
　／~~~~＼
+　　　　　　-

-　　　　　　+
　＼　　 ／
　／~~~~＼
+　　　　　　-

のように正しく表されます。

>>134 により、基数 n = |S| の非退化な３角乗法系は
１つの３次元マトリクスにより全ての情報を含めることができる
ことが分かりました。そしてその３次元マトリクスはどの列にも
１からｎまでの数字が並んだ魔方陣ぽい配置になります。

その３次元マトリクスの１断面を >>135 にならって

i ｜ 1 .. n
―＋――――
1 ｜
| ｜ ＊＊＊
n ｜

と書くことにします。
ここで ＊＊＊ の部分はｎ×ｎ行列で、
各行・各列に 1 〜 n の数字が入ります。

この断面図に、奥行きを付加して３次元行列とみなしてみます。
それは、奥行きに 1 〜 n までの座標を与え、
＊＊＊ の行列で 1 と書いてある部分は
１番手前に数字の１が入り、その奥の 2 〜 n はゼロが入る
という具合です。また、＊＊＊ の行列で k となっているところは
手前から k 番目のセルに 1 が入りそれ以外の奥行きのセルは
ゼロとおきます。

このゼロとイチの３次元行列は、有限群の行列表現をモデルに考えてました。
この３次元行列が、>>131 の意味で３角乗法系の表現になっているかなどの
性質を調べていこうと思います。

まず S = { 1, 2, 3 } の場合で数え上げてみたいと思います。
最初に、可能な２次元断面がいくつあるかを考えます。
各行に 1 は必ずあるので、各行の 1 が何列目に来るかに
したがって 3! 通りの組み合わせがあります。
そのそれぞれに対して、余った 2 つの余白のどりらに 2 を
入れるかの選択が可能です。
したがって、可能な２次元断面の個数は 2 * 3! = 12 通りです。

(123)　　　　(132)　　　　　(213)
021　012　　012　021　　102
102　201　　120　210　　0
210　120　　201　102

可能な２次元断面の１２種類

A：(123)　　　B：(132)　　C：(213)
132　123　　123　132　　213　312
213　312　　231　321　　132　123
321　231　　312　213　　321　231

D：(231)　　　E：(312)　　　F：(321)
213　312　　231　321　　321　231
321　231　　123　132　　213　312
132　123　　312　213　　132　123

さらに、上記の３つづつを組み合わせて
３次元マトリックスを作る際に、同じ位置に同じ数字が来れない
という条件があります。それで組み合わせると

(I) A左-D左-E右
(II) A右-D右-F右
(III) B左-C右-E左
(IV) B右-C左-F左

ときれいに４組に分かれる事が分かります。

間違いです(；・∀・)

(I) A左-D左-E右
(II) A右-D右-E左
(III) B左-C右-F右
(IV) B右-C左-F左

ここで３つ組に 1 の断面、2 の断面、3 の断面を割り当てる訳ですが、
その割り当て方が任意だということは、{ 1, 2, 3 } の３つの数字の並べ替えが
自由だということになります。
そこで、(I) と (II)、および (III) と (IV) は 2 と 3 の入れ替えで
等しいため、それぞれ片方でよいことが分かります。

そこで Diagonal を
(D) = (I)
132　213　321
213　321　132
321　132　213

Symmetric を
(S) = (III)
123　312　231
231　123　312
312　231　123

としてこの２つを考えれば良いです。

便宜的にそれぞれの断面行列を

(D)
Da｜123　　Db｜123　　Dc｜123
―＋――　 ―＋――　　―＋――
　1｜132　　　1｜213　　　1｜321
　2｜213　　　2｜321　　　2｜132
　3｜321　　　3｜132　　　3｜213

(S)
Sa｜123　　Sb｜123　　Sc｜123
―＋――　 ―＋――　　―＋――
　1｜123　　　1｜312　　　1｜231
　2｜231　　　2｜123　　　2｜312
　3｜312　　　3｜231　　　3｜123

と置きます。

>>143 に断面行列を書きましたが、これは１つの方向から見たときの断面です。
他の方向から見た場合も考えておいたほうが分かりやすそうです。

いま

　 a
　△　　＞→ d
b　　c

をマトリックスで表したときに >>143 のようになったとして
Da - Db - Dc の軸を a 軸
横方向を b 軸
縦方向を c 軸
奥行き方向を d 軸
とします。

そうすると >>143 は d 軸方向から見た a 軸の断面と言えます。
次に他の軸方向から見た a 軸の断面を見てみます。

(D)-d
Da｜123　 　Db｜123　 　Dc｜123
―＋――b　 ―＋――　　―＋――
　1｜132　 　　1｜213　　　 1｜321
　2｜213　　 　2｜321　　 　2｜132
　3｜321　　　 3｜132　　 　3｜213
　　c

(D)-b
Da｜123　　 Db｜123　　 Dc｜123
―＋――d　 ―＋――　　―＋――
　1｜132　　 　1｜213　　 　1｜321
　2｜213　　　 2｜321　　　 2｜132
　3｜321　　　 3｜132　　　 3｜213
　　c

(D)-c
Da｜123　　 Db｜123　　 Dc｜123
―＋――b　 ―＋――　　―＋――
　1｜123　　 　1｜312　　 　1｜231
　2｜231　　　 2｜123　　　 2｜312
　3｜312　　　 3｜231　　　 3｜123
　　d

となります。
なぜか d 軸方向と b 軸方向の断面が同じになり、
c 軸方向は >>143 の (S) と同じになります。
マトリックスは Da Db Dc の３つの断面を指定すれば
一意に決まっているので、
diagonal (D) と symmetric (S) は実は見る方向が
異なるだけで同じものだったということになります。

さて、以上の結果より、
b 軸方向から見たマトリックスと
d 軸方向から見たマトリックスは同じ
ということが言えました。
これは |S| = 3 の非退化３角乗法において
b と d を入れ替えても同じ、ということを意味します。

>>136 のファインマン・ダイアグラムの表現を見ると、
b と d は反応後の２つの粒子となっています。
量子力学では、同種粒子が衝突した後、
どちらがどちらの粒子か区別がつかない
という定理がありますが、上の結果はそれとうまく符合しています。

そう考えると、 a 軸と c 軸の区別も付かないのか？
ということが気になります。

a 軸ですが、まだ 1, 2, 3 の割り当てをしていません。
割り当て方は６通りあります。

>>145 において
E0 : Da=1, Db=2, Dc=3
O1 : Da=1, Db=3, Dc=2

EX : Da=2, Db=3, Dc=1
O3 : Da=2, Db=1, Dc=3

EY : Da=3, Db=1, Dc=2
O2 : Da=3, Db=2, Dc=1

E (Even) のものは、b-d 軸が同じで a-c 軸が同じです
O (Odd) のものは、b-d-a 軸が３つ同じで c 軸が異なります

>>148
あれれ？ばー！

以前出た mod 3 和が >>147 の中にあるはずと
思っていたのですが、見つからないですね。
なにかしくじったかな…？

アッー！
>>142 の
> そこで、(I) と (II)、および (III) と (IV) は 2 と 3 の入れ替えで
> 等しいため、それぞれ片方でよいことが分かります。
が間違いだった。
断面行列の成分の 2 と 3 を入れ替えれば同じ行列にはなるが、
文字 1, 2, 3 を置換するなら行と列の並びも置換しなければならなかった。
よって (I) ≠ (II)、(III) ≠ (IV) だから、

修正すると、>>145 の (D) のほかに
成分の 2 と 3 を入れ替えた (D') がある：

(D)-d
Da｜123　 　Db｜123　 　Dc｜123
―＋――b　 ―＋――　　―＋――
　1｜132　 　　1｜213　　　 1｜321
　2｜213　　 　2｜321　　 　2｜132
　3｜321　　　 3｜132　　 　3｜213
　　c

(D')-d
Da｜123　 　Db｜123　 　Dc｜123
―＋――b　 ―＋――　　―＋――
　1｜123　 　　1｜312　　　 1｜231
　2｜312　　 　2｜231　　 　2｜123
　3｜231　　　 3｜123　　 　3｜312
　　c

ほしゅ

島根県、まだ頑張ってるようだな

チョット間があいてしまったので復習（思い出し）ながら…

３角乗法に、「非退化」という１対１条件を付け加えることで
演算子△を、４次元の01成分を持つマトリックスで同定
できることが分かりました [>>134 >>138]
これは有限群において、表を作るのと同じような操作です。

次に、このマトリックスを使って S = {1, 2, 3} の場合に
可能な非退化３角乗法系を全て数え上げることを目指しました。

マトリックスの魔方陣的性質より、断面図は >>140 の
１２通りだと数え上げられます。
もう１度、魔方陣的性質を使うと、断面図のつなぎ合わせは
>>141 に限ることが分かります。

Diagonal を (D) = >>141 の (I)
Symmetric を (S) = >>141 の (III)
とし、断面図の 2 と 3 が入れ替わったものを
(D') = >>141 の (II)
(S') = >>141 の (IV)
とします。

マトリックス自体は (D), (S), (D'), (S') で全て尽くされますが、
マトリックスのどの軸に a b c d 軸を割り当てるかによって

　 a
　△　　＞→ d
b　　c

の表示の仕方が変わってきます。

いま便宜的に >>140 で表示された２次元断面を
横に b' 軸、縦に c' 軸、奥行きに d' 軸
をとった
a' 軸の断面 a' = N1, N2, N3
と考えて軸をつけます。
また、
b' 軸 - d' 軸の向き替えをして b' 軸を奥行きと見た断面 (D)-b'
c' 軸 - d' 軸の向き替えをして c' 軸を奥行きと見た断面 (D)-c'
を並べて表示します。

(D)-d'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D')-d'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　 　　　1｜123 　 　1｜312 　 　1｜231 　
　2｜213 　 　2｜321 　 　2｜132 　 　　　2｜312 　 　2｜231 　 　2｜123 　
　3│321 　 　3｜132 　 　3｜213 　 　　　3│231 　 　3｜123 　 　3｜312 　
　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　

(D)-b'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D')-b'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' 　　─┼――d' ─┼――d' ─┼――d'
　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　 　　　1｜123 　 　1｜231 　 　1｜312 　
　2｜213 　 　2｜321 　 　2｜132 　 　　　2｜231 　 　2｜312 　 　2｜123 　
　3│321 　 　3｜132 　 　3｜213 　 　　　3│312 　 　3｜123 　 　3｜231 　
　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.

(D)-c'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(D')-c'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜123 　 　1｜312 　 　1｜231 　 　　　1｜123 　 　1｜312 　 　1｜231 　
　2｜231 　 　2｜123 　 　2｜312 　 　　　2｜312 　 　2｜231 　 　2｜123 　
　3│312 　 　3｜231 　 　3｜123 　 　　　3│231 　 　3｜123 　 　3｜312 　
　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　d'　　　　.

バイト数オーバー（泣

つづき

(S)-d'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S')-d'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜123 　 　1｜312 　 　1｜231 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　
　2｜231 　 　2｜123 　 　2｜312 　 　　　2｜321 　 　2｜132 　 　2｜213 　
　3│312 　 　3｜231 　 　3｜123 　 　　　3│213 　 　3｜321 　 　3｜132 　
　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　

>>154
>>155

(S)-b'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S')-b'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' 　　─┼――d' ─┼――d' ─┼――d'
　1｜123 　 　1｜231 　 　1｜312 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　
　2｜312 　 　2｜123 　 　2｜231 　 　　　2｜321 　 　2｜132 　 　2｜213 　
　3│231 　 　3｜312 　 　3｜123 　 　　　3│213 　 　3｜321 　 　3｜132 　
　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.

(S)-c'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S')-c'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　
　2｜213 　 　2｜321 　 　2｜132 　 　　　2｜321 　 　2｜132 　 　2｜213 　
　3│321 　 　3｜132 　 　3｜213 　 　　　3│213 　 　3｜321 　 　3｜132 　
　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　d'　　　　.

考察：

(D) に関しては、d' 軸と b' 軸の入れ替えに関して対称
(S) に関しては、c' 軸と b' 軸の入れ替えに関して対称
(D) と (S) は c' 軸と d' 軸の入れ替えに関して互いに移り合い同型

一方
(D') に関しては、c' 軸と d' 軸の入れ替えに関して対称
なのに対し
(S') に関しては、b' 軸、c' 軸、d' 軸、どの入れ替えに関しても対称
となっている。

以下、(D)、(D')、(S') について a 軸も交えて観賞します。

気のせいだか左から右へ斜めに上がってるように見える

>>158
kwsk 教えてちょ

^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321

がフォントの関係でずれてるから

なるほど

a 軸の (N1, N2, N3) に 1, 2, 3 を割り当てます。
(D) に関しては >>147 の通りに

D-E0 : (123), D-O1 : (132)
D-EX : (231), D-O3 : (213)
D-EY : (312), D-O2 : (321)

E (Even) のものは、b'-d' 軸が同じで a'-c' 軸が同じです
O (Odd) のものは、b'-d'-a' 軸が３つ同じで c' 軸が異なります

そして O (Odd) のものが mod 3 和になっていました！
ただし、軸の割り当ては a = a', b = b', c = d', d = c' として

D-O1: a + b + c + 1 = d (mod 3)
D-O2: a + b + c + 2 = d (mod 3)
D-O3: a + b + c = d (mod 3)

です。

せっかく公開するんだから、そのうち数学日記としてブログにでもまとめられるようにしておくといいんじゃないか。

(D') の a 軸への割り当て

D'-O1 : (123)
D'-E0 : (132)
D'-EX : (213)
D'-O3 : (231)
D'-O2 : (312)
D'-EY : (321)

O (Odd) のものは、d' 軸、c' 軸、a' 軸が等しく、b' 軸が異なる
E (Even) のものは、d' 軸と c' 軸が等しく、b' 軸と a' 軸が等しい

O (Odd) のものは、d = b' の割り当てでまたまた mod 3 和になる

D'-O1 : a + b + c + 1 = d (mod 3)
D'-O2 : a + b + c + 2 = d (mod 3)
D'-O3 : a + b + c = d (mod 3)

よく見ると、(D') は N2, N3 の入れ替えと b' 軸、c' 軸の入れ替え
を行うと同じになります。したがって

D-E0 = D'-E0
D-EX = D'-EX
D-EY = D'-EY

は適当な軸をとれば等しくなります。
あとは (S') を考えれば数え上げが終わります。

>>163
サンクス！反応あってウレシ
まだ 165 レスなのでまとめはこれからの発展しだいかな〜

(S') の a 軸に 1, 2, 3 を代入：

S'-O1 : (123)
S'-A1 : (132)
S'-A2 : (213)
S'-O2 : (231)
S'-O3 : (312)
S'-A3 : (321)

O (Odd) は b' 軸、c' 軸、d' 軸が等しく、a' 軸が異なる
A (All) は全ての軸が等価

ここで O (Odd) に関しては、d = a' 軸の同定で mod 3 和になる。

O1 = S'-O1 = D-O1 = D'-O1 : a + b + c + 1 = d (mod 3)
O2 = S'-O2 = D-O2 = D'-O2 : a + b + c + 2 = d (mod 3)
O3 = S'-O3 = D-O3 = D'-O3 : a + b + c = d (mod 3)

以上より、数え上げると Odd, Even, S'-All があることが分かりました。

D-Even と S'-All に関して詳しく見ていきます。断面図再掲

(D)-d'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S')-d'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　
　2｜213 　 　2｜321 　 　2｜132 　 　　　2｜321 　 　2｜132 　 　2｜213 　
　3│321 　 　3｜132 　 　3｜213 　 　　　3│213 　 　3｜321 　 　3｜132 　
　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　

(D)-b'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S')-b'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――d' ─┼――d' ─┼――d' 　　─┼――d' ─┼――d' ─┼――d'
　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　
　2｜213 　 　2｜321 　 　2｜132 　 　　　2｜321 　 　2｜132 　 　2｜213 　
　3│321 　 　3｜132 　 　3｜213 　 　　　3│213 　 　3｜321 　 　3｜132 　
　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　　　c'　　　　.　　c'　　　　.　　c'　　　　

(D)-c'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(S')-c'
^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　　　^N1| 123　　^N2| 123　　^N3| 123　　
'─┼――b' ─┼――b' ─┼――b' 　　─┼――b' ─┼――b' ─┼――b'
　1｜123 　 　1｜312 　 　1｜231 　 　　　1｜132 　 　1｜213 　 　1｜321 　
　2｜231 　 　2｜123 　 　2｜312 　 　　　2｜321 　 　2｜132 　 　2｜213 　
　3│312 　 　3｜231 　 　3｜123 　 　　　3│213 　 　3｜321 　 　3｜132 　
　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　　　d'　　　　.　　d'　　　　.　　d'　　　　

(N1,N2,N3) 割り当て：

D-E0 : (123)、D-EX : (231)、D-EY : (312)
S'-A1 : (132)、 S'-A2 : (213)、 S'-A3 : (321)

ほしゅ

おひさです。
現状、表は書いたけどチョット分からなくなっています。

とりあえず具体性と今後の再利用性のために、
三角乗法の記号△、□を使って数え上げた系を明記していきます。

まず S'-All に関してですが、全ての軸が等価であるという性質より
４項関係 □(abcd) を使って書きます。

【S'-A1】

□(1111)
□(1123)
□(1222)
□(1333)
□(2233)

たったこれだけで全て尽くされている、かな？

【S'-A2】

□(1112)
□(1133)
□(1223)
□(2222)
□(2333)


【S'-A3】

□(1113)
□(1122)
□(1233)
□(2223)
□(3333)


これで全て？

S'-All に関しては５つの４項関係でできていることが分かりました。

また、
(12) の入れ替えで【S'-A1】から【S'-A2】に移り、
(13) の入れ替えで【S'-A1】から【S'-A3】に移ります。
(23) の入れ替えで【S'-A1】は不変です。

D-Even に関しては軸の等価性より
(ac)-(bd)
という書き方をすることにします。

【D-E0】
(11)-(11)
(11)-(23)
(12)-(12)
(12)-(33)
(13)-(13)
(13)-(22)
(22)-(13)
(22)-(22)
(23)-(11)
(23)-(23)
(33)-(12)
(33)-(33)

これを見ると、右と左を入れ替えても同じになっています
(ac)-(bd)
(bd)-(ac)

【D-EX】
(11)-(13)
(11)-(22)
(12)-(11)
(12)-(23)
(13)-(12)
(13)-(33)
(22)-(12)
(22)-(33)
(23)-(13)
(23)-(22)
(33)-(11)
(33)-(23)

こんどは左右非対称になっています。

【D-EY】

(11)-(12)
(11)-(33)
(12)-(13)
(12)-(22)
(13)-(11)
(13)-(23)
(22)-(11)
(22)-(23)
(23)-(12)
(23)-(33)
(33)-(13)
(33)-(22)

今度も左右非対称です。
【D-E0】、【D-EX】、【D-EY】を定義する割り当ての個数は
どれも１２個になっています。

まとめ： >>167 を具体的に展開すると

【S'-A1】　　　 【S'-A2】　　　 【S'-A3】

□(1111)　　　□(2222)　　　□(3333)
□(1123)　　　□(1223)　　　□(1233)
□(1222)　　　□(1112)　　　□(1113)
□(1333)　　　□(2333)　　　□(2223)
□(2233)　　　□(1133)　　　□(1122)

　　　　　　　　　　(12)　　　　　　(13)


【D-E0】　　　　【D-EX】　　　　【D-EY】

(11)-(11)　　　(11)-(13)　　　(11)-(12)
(11)-(23)　　　(11)-(22)　　　(11)-(33)
(12)-(12)　　　(12)-(11)　　　(12)-(13)
(12)-(33)　　　(12)-(23)　　　(12)-(22)
(13)-(13)　　　(13)-(12)　　　(13)-(11)
(13)-(22)　　　(13)-(33)　　　(13)-(23)
(22)-(13)　　　(22)-(12)　　　(22)-(11)
(22)-(22)　　　(22)-(33)　　　(22)-(23)
(23)-(11)　　　(23)-(13)　　　(23)-(12)
(23)-(23)　　　(23)-(22)　　　(23)-(33)
(33)-(12)　　　(33)-(11)　　　(33)-(13)
(33)-(33)　　　(33)-(23)　　　(33)-(22)

左右対称　　　　　　左右非対称

さてこの６系統（実質的には３系統くらいか？）の中に
四則演算に次ぐような第五の演算の萌芽が見られるだろうか…？

まったくわからーんｗ

今>>1から読んでて気になったんだけど、
「任意のa,b,c∈Sに対して△(abx)=cを満たすx∈Sが一意的に存在する」と仮定してるの？
そうでないと>>12あたりからあやしいんだけど。

>>178に追記
もし>>178のような仮定をしなければ、e∈Sを適当に固定し、任意のa,b,c∈Sに対し△(a,b,c)=eと定めれば、
この演算は>>58-60を満たし、|S|=2^nの反例となる。

>>178, >>179 さん

確かにその通り。ご指摘ありがとうございます。

確かに 58-60 の定義では不完全なので、
定義 >>25 を追加します。

当時、書いたときは 58-60 に 25 が含まれているような気がしていたが思い違いをしたようだ

>>62 の証明で k_i が存在することを使ってるね

>>25より
任意のa,b,c∈Sに対して
△(xab)=c、△(ayb)=c、△(zab)=c
を満たすx,y,z∈Sが一意的に存在する。
の方がシンプルでよくないか？
この仮定から>>25も従うし。

というかそもそも>>25を追加しただけでは>>12も>>62もまだ正しいとは言えない。
どちらも△(abc)=△(a'bc)⇒a=a'という単射性を利用している。

>>62 の最初の等式

　　　　　　　　　　t
　t　　　　　　　　△
　△　→＜　　t　　 t
t　　i　　　　　△　　△
　　　　　　　t　　　t　　k_i

は >>59 の定義より

△(t, t, k_i) = i
△(t, t, t) = t
△(t, t, t) = t

の３つをまとめて書いた式という意味

この場合、>>25 の代わりに
△(t, t, x) = i を満たす x が存在する、でも確かに OK
一意的な x が存在する、の方がシンプルかもしれないが、
より弱い >>25 の仮定から同じものが導けると考え >>25 を採用したよ

一意性・単射性はとくに使っていないと思うけどどうかな

　　　　　　　　　　t
　t　　　　　　　　△
　△　→＜　　t　　 t
t　　i　　　　　△　　△
　　　　　　　t　　　t　　k_i
というのは、
△(t,t,i)=△(△(t,t,t),△(t,t,t),△(t,t,k_i))
ってだけじゃないのか？

もしこの式が
△(t,t,t)=tかつ△(t,t,t)=tかつ△(t,t,k_i)=i
と同値だというのなら、
>>60から任意のa,b,c,x,y,z∈Sに対して
△(x,a,b)=x、△(a,y,c)=y、△(b,c,z)=z
が成り立ち、したがって
△(x,y,z)=x=y=z
というおかしなことになるぞ。

t →＜ △(t,t,t) なので

　　　　　　　　　　t
　t　　　　　　　　△
　△　→＜　　t　　 t
t　　i　　　　　△　　△
　　　　　　　t　　　t　　*

と展開される。 * に入る値が t 以外に何かなければならず、
それを k_i とすると △(t, t, k_i) ＞→ i となっているはず
というように考えた。

>>60 に関しては、三角形を縮約して
△(x,a,b) が x になるわけではないので、別扱いで

つまり、→＜と←＜は同値ではないのか。
　　x
　　△　　　　　　　　　x
　a　　 b　　＞→　　△
　△　　△　　　　　y　　z
y　　c　　z
は常に成り立つけど、
　　x
　　△　　　　　　　　　x
　a　　 b　　＞←　　△
　△　　△　　　　　y　　z
y　　c　　z
は成り立つとは限らないってわけだな。
それって演算としてどうなんだろう？

>>185
△(x,a,b) が x になるわけではないので、
普通の三角形の縮約の意味では、
上側の式も成り立っていないかな

普通の縮約の記号 ＞→ と
２次の縮約 >>60 の記号を分けた方が良かったかもしれない
２次の縮約を ≫→ と書くなら
≫→ と →≪ は同値で良いと思う
＃ >>183 で指摘されたように
＃ △(△(x,a,b),△(y,c,a),△(z,b,c)) として同値

一方、普通の縮約では、>>182 のように
各三角形を縮約したと考える

>>186
大体分かった。つまり>>25は、
「任意のa,b,c∈Sと、△(d,e,f)=a,△(e,g,h)=bを満たすような任意のd,e,f,g,h∈Sに対して、あるx∈Sが存在して△(f,h,x)=cを満たす」
ってわけだな。

改めて>>100あたりまで読んでみて思ったこと
・>>74の|S|=4の場合の演算は△(a,b,c)=6-(a+b+c)と表せる。
・>>75の|S|=8の場合も、5と7を入れ替えればそれっぽくなりそうだけど思いつかない。
・>>83で全射性を示していない。Sが有限集合ならいいけど、無限集合の場合も全射性は容易に示せる。
・>>89で'を書き忘れてる。
・>>94でb''はs,tに依存している。

> ・>>74の|S|=4の場合の演算は△(a,b,c)=6-(a+b+c)と表せる。

□(0,1,2,3)の組に関しては確かにそうなってる。

>・>>89で'を書き忘れてる。

ありゃりゃ、すいません。

・>>94でb''はs,tに依存している。

これは問題アリかもしれませんね。考えてみます。

じゃんけんみたくすればいいんじゃネ？

・74の|S|=4の場合の演算は△(a,b,c)=6-(a+b+c)と表せる。
は違ったな

あと、
　　　　 a
　　　　△
　　　* 　 *
　　 △　 △
　 *　　*　　*
　△　 △　 △
b　　*　　 *　　c
みたいな10個以上の場合の厳密な定義をしといたほうがいいと思う。

>>189 あんでぃさん
|S| = 3 の場合かな？
手の数が |S| = n 通りある場合のじゃんけんはどう定義すればよいだろう？

>>190
> みたいな10個以上の場合の厳密な定義をしといたほうがいいと思う。

第１章の mod 2 和の場合には、
10個の縮約を consistent に定義するのが難しかった記憶があります。
なので１章では２次の連合までかな。
そうすると、associative になりにくいから、
あまりうれしくないかもしれないけど。

それは、１次縮約するとして、
重みで考えると >>119 のように奇数の重み (3) になってしまい、
mod 2 と整合しないから。

豊かな公理系を作るには
連合をうまく定義することが重要だという気がしているので、
確かに３次、…、ｎ次の連合をうまく定義できたらよいと思う。

平面上に三角形を次々と展開していけたら面白いと考えているが
うまくいく定義があるかどうか模索している。

３人 a, b, c のじゃんけんで考えると

>>176 【S'-A1】 はあいこの場合 △(abc) = 1
>>176 【S'-A2】 はあいこの場合 △(abc) = 2
>>176 【S'-A3】 はあいこの場合 △(abc) = 3

に確かになっている。おもしろいかも。

ポリンキーさんヘ
3ということで1番に思いついたのが
じゃんけんでした
記号の意味を教えてもらえませんか？
またこの分野の基礎体力を養うために読んだ方がいい本はありますか？

>>193
> 3ということで1番に思いついたのが
> じゃんけんでした

さすがあんでぃさんです。
数学は科学の女王と呼ばれるだけのことはあります。


> 記号の意味を教えてもらえませんか？

記号はこのスレ内で定義したもので、まだ発展途中ですが、
重要かもしれないレスをいくつか、 >>195-196 くらいでピックアップします。


> またこの分野の基礎体力を養うために読んだ方がいい本はありますか？

当面は「有限群」論の結果を多く使うかも。
現在模索中でどう発展するか（あるいはしないか）分かりませんが、
もしかしたら将来的には「リー代数」などの方向に発展するかもしれません。

また、関連あるかもしれない分野は
* Jordan triple system (ジョルダン３項積)
* Lie triple system
* Steiner triple system
* polyadic group by Emil Post
などです。

これまでのまとめ

[まず目的]
>>57

[第１章：三角乗法バージョン１（２次の縮約をもつ三角乗法）]
定義： >>58 >>59 >>60 >>178-180 >>181-182 >>183-184 >>185-186 >>187
定理（等項定理と移項定理）： >>66 >>70 >>71 >>72
証明（群論的性質、途中まで）： >>83 >>84 >>85 >>87 >>89 >>90 >>91
結論： >>114 >>116 (ただし証明の過程にミスがありそう >>188 なので暫定的)

[第２章：ｎ次の縮約]
>>115 >>117 >>118 >>119 >>123 >>124 >>125

[第２章：三角乗法バージョン２]
定義： >>134 >>138
|S|=3 の場合の数え上げ： >>152 >>153 >>156-157 >>162 >>164 >>166 >>169 >>173 >>176

[発展]
>>128-129 >>131 >>132-133 >>136-137 >>191

以上です

ほしゆ

干湯

これは良スレ

なんかすごいことやってるな。

ageてまで何か言うほどの内容は無い。むしろトンデモ一直線。

力強く復興するぞ！！！

>>202
おう。

あんでぃ

おれ10年以上前に似たようなこと考えたことある

テンソルとか使って法則を探しに片端から計算しまくってみたけど
結局何も見つからなくて今はやってない

物理とかで応用があるといいんだけどな

正確に言うと「何も」ってことはなかったんだけど
トートロジーみたいなことか、2変数が3変数になった
程度のことしか見つからなかった

3変数といっても実際は3の3乗=27変数だったけどね
不等式をいくつか証明したけど、それで何かを発展
させるところまでは行かなかった

上のほうで群の構造について触れてるけど、群自体が
2項演算をベースにしている関係でそのきまりごとに
拘束されてしまうから、何か見つかるとしたら全然違う
概念を使った構造を用いる必要があると思う

>>204-205
おお、先達の方がいらっしゃいましたか。
よろしくっす。

テンソルで３＾３ということは
３つ添え字があってそれぞれの次元が３という感じ？

テンソルの間の演算とかはどのように入れました？

群とは異なる構造かあ。なるほど。
２変数だとでたらめに見えるような構造で
３変数になると意味を持つようなものがあるといいのかな

これ大昔ｎ項演算での考察を読んだことがあるけど
パターニングで結局２項に縮約されるって結論だった覚えがある。

バラモンの塔の解法と同じで解（塔の具体的な移動法）を全てをいちいち記述するの
計算量が莫大で不可能だけどある繰り返しのパターンで移動はできることが照明できる
ってイメージだった記憶。

アーメン。

でた
>>208
こいつ規制解除されたバカオツだからみんな無視するように
特徴は規制前のバカオツと一緒で
・自分で「かえるさん、○○」と書き込み自分で答える自演をしている
・朝6:10に書き込み開始、24:10に就寝
・相変わらず意味のない短文ばかり

お、クソキチガイきたw
引用
反応すんなよキチガイwww
バカオツケー（＾∇＾）
いつから名前がバカオツなんだかw
規制されてねぇwwww
本当にアホだなw
クソキチガイ帰れよw
悔しくて反応か？w

スレの行く末をワクワクして見守る猫。

猫

キチガイがたくさんw

147 名前：１３２人目の素数さん ：2011/07/30(土) 17:14:54.97

いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応

148 名前： ◆osMsTqWzXY ：2011/07/30(土) 17:16:45.20
>>147
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？

>>213
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応




さっきから必死に頑張ってます！

ｂｙ>>213

>>211
ワクワク☆

とりあえず、上がったついでに
>>195 >>196
どうぞ

［２３４８］
ＡＢ
ＳＢＲ
ＥＭＰＣ
ＳＰＥＣＩＵＭ
ＡＰＬＷＪＫＳＪ
基本２
スポ３
受験４
標準５
回答7
キャラ８
［２３４８］
生物
弁護士
教育費
増税10%
背筋を伸ばすジャケット
幅広
センター試験
二次試験
実教出版センター倫理

［２３４８］
ＡＢ
ＳＢＲ
ＥＭＰＣ
ＳＰＥＣＩＵＭ
ＡＰＬＷＪＫＳＪ
基本２
スポ３
受験４
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回答7
キャラ８
［２３４８］
生物
弁護士
教育費
増税10%
背筋を伸ばすジャケット
幅広
センター試験
二次試験
実教出版センター倫理

あんでぃ終わりかよwwwwww

俺たちのあんでぃはまだまだこれからだぜ

あんでぃ終わり？

never ending aaandyyyyy ♪

チューリングの計算可能の定義からすれば、
演算命令は1個でも全ての計算可能な関数が実現できるらしい。

トンテンカンカントンテンカン

>>223
くるまのとんてんかん
http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Hanamizuki/5064/file/game/kurumano.htm

>>222
そですね。
NAND演算だけで任意のビット演算が行えますね。

新しい演算を見つけると言っても、
四則演算は２変数関数の一種と考えられるので
四則演算を特別だと見なす理由をはっきりしないと
問題設定があいまいになると思た

２変数関数には指数関数とかもあるし
特殊関数にも面白い性質のものがたくさんある

整数の間の写像でも
組み合わせ論的で豊富な計算例があるもんな

どうしようかな

もうネタ切れかい？

ほかにやることが山積みというのもあるが

３変数特殊関数を３項演算と見なせるので
すでに豊富な実例があるなあ
という気がしてきたというのが大きい

四則演算がなぜ特別なのか理由は特に見当たらないし
そのため、どのような３項演算が第５の演算になるか不明だ

なぜ２変数でなく３変数を考えたかと言うと
リー代数の対称性から２変数の素直な実数演算は
おおむね抽出されていると思ったから

あと３角形のような図形を平面に並べることで
文字列からでは思いつきにくい何らかのインスピレーションが
あると期待したから

何か思いついたことがあったらそのうちまた書きます

>>226
まさか3元数を探してるわけではないよね？

最初からネタなんかなかったじゃないか。

ポリンスキーって　ノニ　なんですか？

もしノニが出たら私が執拗かつ徹底的に撲滅します。絶対に許さないので。

猫

ノニさんへ、

ちょっと出て来ませんかね？　真っ二つに割って差し上げますのでね。
アンタみたいな屑を潰すのはストレス解消には最適なのでナ。

猫

>>229
ノニって何だよ！

>>229
オラァ、ちゃんと説明したれや。ワシかて『その説明』っちゅうんを見た
いしやね。ほんで「もしソレがアカン」っちゅうんなら本人が出て来て自
分で説明してもエエのや。本人が出たらワシかて作業をスルさかいナ。

猫

猫さんには私は用なぞありません

>>234
そやけどワシはアンタに用がアルのや。撲滅の対象としてナ。

猫

>>234
感情的に逆上して、ほんでもっとアホなカキコをせえや。

猫

>>234
おノニ様や、

そろそろ返事をしたらどないや。但し細心の注意を払ってカキコしろや。
そやないとワシが足元を思いっきりすくうさかいナ。エエな。

猫

ポランスキー

低脳なノニはバカンスキー。

猫

無能なノニはクズンスキー。

猫

馬鹿なノニはアホンスキー。

猫

白痴なノニはボケンスキー

猫

これはヒドイ

【XTM】
[X]
？個人単位？あとからできるから◯◯？冷静さが大事？他人に見せびらかさない？言葉に惑わされない
[T]
TS10漆原慎太郎小倉弘英数物化センター国語模試奨学金6236ためちかうるし大宮週間石川福間家計鉄製大数系カンビアッソ
[M]
文2シラバス小幡道昭柴田孝之伊藤真ハイエクマルクスフリードマン塾講師のバイト司法試験心理学社会心理学マネーゲームマセマ東京大学経済学部卒JEL分類コード弁護士
[]
東京捨便苦痛研究経済思想四季分類春夏秋冬防犯道具実戦家事旅行荷物
[]
イイものに触れ続けろ！！母親介護英数物化女の子に付ける名前経済学部必修七科目
[]

?:

臭いものにお札

コレハ

レハコ

ハコレ

チビタ

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険失敗例作


テロ資料忘れずに

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

とりあえず、三項演算が、二項演算の組合せで
△(a,b,c) = (a□b)◇c と表現されない条件を
しるぶぷれ。

[a|b|c]=a^をb回繰り返し、そのあとcがくる
例:[2|3|4]=2^2^2^4=2^2^16=2^65536=約2万桁

>>246
△(a,b,c) は n^(n^3) ,
(a□b)◇c, a□(b◇c) は高々 4*n^(n^2)
もっとも (a□b)◇(b☆c) 等があるから、はっきりした事は云えないが、
三項演算の方が多いっぽい。Hilbert の問題とも関連がある。
馬鹿猫には分からんだろうが。

[O]
[TGXE]
[RS4332]
[HK531]
[OH]
[GRKN]
[BB]
[294B]
[996A]

全くカビほど怖いモノは無い、焼き払うしかなかろう。

カビにも意志があるのか？？
全く分からん。ただ無意味に広がる様じゃ。

オレンジ色だったみかんが
ふと見てみたら緑色になっていた

すみません、質問です
約数は割り算で出るものなのにそれを足し合わせることに何の意味がありますか

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

3

良スレ

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█░░　　　　　　｀ヽ_つ ⊂ノ


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　　　　　　　　█▓█▒░█▓＾ω＾)　＜غثڷسئ
　　　　　　　　▒░██▓つ ⊂ノ


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　　　　　　　∩ 　_, ,_
　　　　　⊂⌒（☉ ౪ ☉）　＜ 乜勹〰ｽㄜㄝㄋ　乜勹〰ｽㄜㄝㄋ　乜勹〰ｽㄜㄝㄋ
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