高次元を観る

グラフや図がたくさん載っている数学書は比較的分かりやすい。
しかしそのグラフは２次元の紙面上で表現しなければならない。
そのため高次元の図形を無理やり２次元で書いている場合も多い。

もし高次元のグラフを互いに伝達できたら
数学はもっと分かりやすくなるはず。
そのためには
（１）まず高次元を頭の中で自由に把握できる能力
（２）高次元の図形を伝達するデバイス・方法の開発
が必要です。

能力開発（１）および
グラフ作成方法（２）
に関する研究を行うスレです。

（１）§１
２次元平面上の単位円を考えます。
この単位円の周りに重ならないように同じ半径の円を並べたとき
最大いくつまで単位円に接することができますか？

予備知識なしで正確な数を当てるには少し計算が必要ですが、
だいたいの数なら見た目で想像できるのではないでしょうか？

その直観は検算にも使えるし
数学的内容の把握に大いに役立っているでしょう。

もちろん数学の本質は、図形の性質や方程式から
６個という数を導き出すことですが
その過程で直観が効けば非常に助けになります。

（１）§２
ところで、次元を上げて、
４次元の球に同じ半径の球が重ならずに最大いくつくらい
接することができるか予備知識なしに想像できますか？

普通はなかなか難しいと思います。
そもそも私達は普段３次元までしか認識していません。
生物としても３次元を認識できれば十分です。
それでは我々の脳は４次元以上を認識する機能は持たないのでしょうか？

高次元を観ているように認識することは、誰でも可能であると私は考えます。
それは幼児の認識の発達過程から説明できます。
生まれたばかりの赤ん坊は、３次元空間の認識ができておらず、
物が物の影に隠れる等の空間の構造を後天的に学習します。
これは私達の脳が生まれつき３次元をハードワイヤされている
わけではないことを示しています。
したがって４次元空間の広がりも後天的に学習可能なはずです。

（２）§１
高次元のグラフを思い浮かべることができても
そのイメージを互いに伝達できなければ実用性は半減です。
そこでどのような手段で伝達可能か考えます。

まず、数式で図形を表現する方法があります。
例えば円の式なら x^2 + y^2 = r^2 ですが
変数を増やして高次元に拡張します。

数学者は数式を読んで頭の中にグラフを描くという方法で
現在も広く行われていると思います。

文字で伝えるので自由度は高いですが
その分読み取る数学者のスキルに大きく依存します。

もし高次元の広がりの想像力が高いほど
より直観的に数式を理解できます。

もちろん数学により重要な
言語的な式の操作の理解とは別の話です。

頭の中でn次元が見えない奴は数学に向いてない

普通の人は最初は見えないと思うのですが。
>>5 さんはどういう風に頭の中で見えていますか？
言葉にできるなら教えてください。興味あります。

>>6
興味あるので、頑張って説明を続けてほしい。
個人的には、３次元でさえ、頭の中ではハッキリわからないことが多い。

２つの物体Ｘ，Ｙの切り口がどうなってるとかは、
簡単な奴なら想像できるが、複雑な図形になると、
CGで外側から「目で見ても」、切断面をはっきりとは予想できない。

高次元が見えるという人は、どの程度までを、どのようなイメージで把握しているのか
知りたいところ。
（超平面、直線、超球、超立方体）とかならなんとかすれば想像できるのだろうことは予想つくが・・・。
他人がどうイメージしているのかは凄く気になるので、
是非最後まで説明してほしい。

見えるの意味が違うんだ

猫に小判、まで読んだ。

しかし、理解はできなかっだ。

モーザーのパラドクスとか見てわかればうれしい

頭の中のイメージは、たとえ平面図であっても、
いいかげんである場合が多そうです。
例えば、絵画を数分間だけ見た後、正確に模写するのは難しい。

図を見て分かりやすいのは、視覚からの情報のインプットがあり
頭の中のイメージと常時つきあわせて考えることができるから。

３次元でもイメージしづらいというのはきっと当然でしょう。
なぜなら視覚からは平面図＋奥行きとしてしか情報が入らないから。

高次元をイメージするためには、まず３次元を
平面を眺めるような感覚で全体的に把握することが
必要だと思います。
その感覚＋奥行きで４次元が見れるかも。

視覚で見る以外に立体を把握する能力が人にあるかどうか。
なんとなくですが、駅の立体交差を歩いているときに
視覚以外の立体認識が働いていそうです。
どちらに行けば何があるか分かるような感覚。
その感覚のためには慣れ親しんで良く知った
立体である必要があります。

それではどうやってある立体に慣れ親しんで
地図を頭の中に入れるのか。
立体イメージを立体図とじかにつきあわせるのは
現在のデバイスでは困難ですね。
やはり断面図を見て頭の中の
立体の断面図とつきあわせていくしかなさそう。

なんだか当たり前の結論かな。

３次元の認識は建築・設計・芸術の人が得意そうな気がする。
平面図を超えた認識ができる人はその中に居るだろうか？

>>9
猫

x^2+y^2+z^2+w^2=r^2(r∈Ｒ)のwを時間として考えると
どんな時間で切り取っても球が出てくるってことだよね？

w=0のとき
x^2+y^2+z^2=r^2
w=sのとき
x^2+y^2+z^2+=r^2-s^2=t^2とすると
時間が過ぎるごとにどんどん小さい急になって
w=rのとき球は消滅するんだね

独立なベクトルがｎ個ある空間がｎ次元空間
頭の中で座標軸(独立なベクトル)を増やしていく感じだけど、座標＝直交座標とゆう概念を捨てなきゃ3次元以上は無理

x^2+y^2=-z^2

>>15
虚球 http://web1.kcn.jp/hp28ah77/jp27c_infi.htm
という用語もあります．参考までに．

>>16
確かに高次元は線型代数で理解しやすくなると私も思います．

>>高次厨さん
ご一緒に何か初等幾何でもやりませんか？

4次元パンツは３次元から手を入れることができます。
メロメロにしてあげます。

メロンパンナ

>>18
虚球ですか
非常に面白い考えですね

>>Neetubot Sanshi Nanasi さん
参考になる情報ありがとうございます。

初等幾何いいですね。できれば３次元以上が良いです。
４次元の初等幾何とかイメージできなさすぎて面白そうです。

ただ、私は中学生のとき初等幾何が苦手でした。
それ以来やってませんので、どこまでできるか。

いまも問題つくろうとして挫折した。
１）４面体の内立体角の和は一定でしょうか？
２）４次元の５胞体の内超立体角の和は一定でしょうか？
３）球上に一点 P を取り、球の赤道上の各点から P に線分を引いて
　　(歪)円錐をつくる。この円錐の P の立体角は P の位置に依らず一定でしょうか？

出題者が答えを持っていない問題ですｗ

名前入れ忘れました >>21

n次元に一般化して（線型代数などを用いて）幾何を考えた人に
岩田至康さん（故）という先人がいます．
【和算もｵｯｻﾝも】▲初等幾何ｽﾚｯﾄﾞ2●【代数で解析】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284618538/
↑でも私個人としては一般的なn次元に拡張するのが好きでやっています．

という状況で以下に私見を書きますが，
>>21 の１）２）は考えたことあります．
定義にもよりますが，たぶんうまく和を一定にできませんでした．
n次元単体は思ったよりも高次元では細くなっていく印象で，
超体積の分母はn!で超球も似たようなものであり
（ http://oshiete.goo.ne.jp/qa/569499.html ）
どちらもn→∞で超体積は0に近づくらしいのが不思議です．

３）は非常にいい問題だと思います．点Pが赤道上に近づくにつれ
横が広がってどんどん大きくなるように思いましたが，ある線分を
見込む角度が一定になる点の軌跡と考えますと線対称な
正円弧だと思うので，その拡張として私も考えてみます．
（ちなみに射影幾何学からその(歪)円錐は楕円錐と言っていいと思います）

ところで，四面体のある頂点Aを頂点とし
その四面体の内接球に外接する円錐を，
その四面体の頂点Aを含まない面で切った切り口
の楕円の半径を求めよ（およびそれのn次元拡張），
という問題を私も考えてましたが，書いていてこれは
対象の面の三角形の Steiner Inellipse になると思いました．

似たような問題ですし，よかったらご一緒に

ノートに３次元平面描いて、そのノートの原点に棒立てればw軸になるんじゃないの

3次元、4次元、5次元が「見えない」で悩むのは素人。

プロならK3曲面や3次元双曲多様体が見えるし、達人は例外型リー群や
対称空間が包体分割まできれいに見えている。

見えるっていうと何か怖いのでイメージできるかで考えますが，
定義を理解して練習問題が解いていく中で身に付くものだと思います．
解析幾何の分野でも，線型代数の行列計算は式の上では手動かせば解けますが，
実際応用するには少なからずn次元のイメージが必要ということだと思います．

例えば，ノートのある原点からn本矢印出して，
この矢印n本は正規直交系を成しているとして，
ここにn次元ユークリッド空間があるとイメージ
できたとして，あれっ何の話だっけ

>>23
岩田先生の文献は論文でしょうか。
図書館にある『幾何学大辞典』 (持ち出し禁) を
今度ながめてみようと思います。
あまり時間はとれませんが、
ゆっくりついていくので宜しくです。

>>25
ユークリッド空間以外にももっと多様で
面白い空間があるという話でしょうか？
それは確かに同感に思います。

それらのイメージを得る過程としては、
>>26 のように具体的に問題を考えながら、
２次元３次元のイメージを援用して
身につけるのかなと思います。

すると、基礎になるユークリッド空間のイメージが
４次元５次元へと拡張できれば
より到達点が伸びるのかなと考えます。

全ては妄想ですがｗ

>>27
岩田先生の論文的には無料で見れるものが，
岩田至康，「n次元單體の幾何學1. Euclidean space」，数学，Vol.2，No.3(1950)，pp.248-252．
http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugaku1947&cdvol=2&noissue=3&startpage=248&lang=ja&from=jnltoc
岩田至康，「n次元單體の幾何學II. Euclidean space」，数学，Vol.5，No.3(1953)，pp.156-159．
http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugaku1947&cdvol=5&noissue=3&startpage=156&lang=ja&from=jnltoc
とこれ以降旧字体じゃなくなって数学史研究ダウンロード http://www.wasan.jp/math_indexj.html
ぐらいであとは有料な「初等数学」 http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/shoto.html
とかっすかねーこの「初等数学」第34号1998年6月紫陽花号に岩田先生の全論文の名称と投稿先が載ってます．
幾何学大辞典は私の手元に１と３がありますがn次元についてはなかった．補巻にはあったかも

で今，n次元ユークリッド幾何学があるとすれば日本では上記「初等数学」の会が主流と思い，
海外では http://scholar.google.co.jp/scholar?q=%22Modern+Pure+Solid+Geometry%22&hl=ja
で出てくる論文がその分野っぽいです．↑の名前の本が四面体幾何学の草分けであった
ようなことを岩田先生も幾何学大辞典３で書いてました．

まぁ私は，和算の幾何学の分類とn次元拡張を生涯のテーマとしてまして，
いろいろ文献持ってる気がしますので，neetubot(at)gmail.com ぐらいまで
メールでこんな問題ありますかとかポンチ絵とか質問頂ければ秘密裏に
処理致しますヨ．公開ならここででもヨロシクっすー

ちなみに，私のホームページ http://www7.atwiki.jp/neetubot/
でもまったりと進行中です．現代和算と高次元解析幾何学やろうぜ！的な

>>28
一番わかり易いのが，原点から互いに直交する
n本の単位ベクトル出して，その終点の凸包によって
得られる(n-1)次元正単体（n=3本のとき正三角形）だと思います．
この正三角形もどき単体の垂心・内心・重心・外心は同一点になります．

次にわかり易いのが，上記(n-1)次元正単体と原点の凸包によって
得られるn次元単体（n=2本のとき直角二等辺三角形）だと思います．
この直角二等辺三角形もどき単体の垂心・内心・重心・外心は，
この順に原点から上記(n-1)次元正単体の4心同一点までの線分上にあります．

という感じのイメージからどうですか？
俺もまだ無限次元単体とか全然イメージできないけどなー

ごめん嘘言った．直角二等辺三角形もどき単体の外心は
普通は上記(n-1)次元正単体の4心同一点より外側になるわ

まったりがんばれー

昔考えたことがあるんですが
四次元とは情報が4つに区別されてる状態ですよね
では(X,Y,Z)を空間内の座標でWをその点でのエネルギーとしたとき
(X,Y,Z,W)は四次元ということになるんでしょうか？

うん，単位というか計量が違うとかで計算するとき
トリッキーなこと必要になると思うけどね．
時間軸入れた相対性理論の4次元とかも
何かミンコフスキー空間のような名前で変な計算だったような．

たぶん，リサ・ランドール博士の5次元とかも
超弦理論とかの10次元（？）とかも等方均質な空間じゃ
ないんじゃないかと俺は思った．全然知らんけどｗ

M理論
http://ja.wikipedia.org/wiki/M%E7%90%86%E8%AB%96
11次元大介
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q109995655
寝ていいかい？って許可無くても寝るわーzzz

>>34
tamuro00605さん
の意見が一番納得できるような…

>>23
問題３）ですが、３次元の場合は証明できたかも。

単位球の赤道以外の一点を P とする。
赤道上の各点から P へ線分を引いて楕円錐を作る。
このとき、P の立体角は P の位置に依らず π^2 / 2 である。

[証明]
P と原点 O を含む任意の平面 H で単位球を切ると
O を含むことより半径１の円が得られ、
赤道と H の２つの交点 A, B を結ぶと O を通る直径となる。
H と楕円錐との交わりは線分 AP および BP なので、
H による断面で見た楕円錐の角度は常に ∠APB = π / 2 である。

つぎに P を中心とする半径 ε の小さい球 s をとる。
s の球面と円錐との任意の交点を C とすると、距離 PC は
どの交点 C でも等しく ε であるため、 s は正円錐を切り取る。
正円錐の角度は上記の ∠APB であるので、P の立体角は

2 π × (π / 4) = π^2 / 2

である。
//

あってるかな？４次元以上はどうなるだろう…

まず，立体角の定義は
http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle
で，>>36 さんがイメージした半頂角 π / 4
の円錐の立体角なら
2 π (1 - cos(π / 4)) = (2 - √2) π
となると思います．

しかし，>>23 で私も言葉足らずだったのですが，
>>21の (歪)円錐は正確に言えば，ある楕円錐を立てて
切り口が正円になるように斜めに切れたときの上の方の部分であり，
>>36 の証明後半で立体角を出すのに必要な面積は
「単位球面の内その中心を頂点とする上記楕円錐を伸ばしたら
内部にあるような部分の面積」となるのでけっこう大変だと思います．

私は簡略化して，「半径rの球面上（緯度(π/2)-θとする）で
その赤道大円を像面距離zの理想ピンホールカメラで撮影した
ときのその楕円（ただし，0≦θ＜π/2 とする）の面積を求めよ」
という問題で考えてみます．これは，lim_{θ→π/2}で発散してしまう
ので値が一定とはなりえません．このことから立体角でも無理と考えております．

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　 i:! :: :::::::::::.:::::::::::::::::::::::!::;へ:/!:::!::::://. i::::.:::!:::::::i .::/::/i:::/ﾍ::!::::!::::::::::::::::!:::::::!::::! !:i
　ﾉ'i::i!:::!i::::::::::::::::::::::::::::::!=＝/=!:ミ:;;ii::!　ヽ:::i:::::::i.::/!:/;;:!:ィ＝!=!i::::::::::::/:!:::::::i::/　!:!
　　i::!i:::!i::::::::::::::::::: :: :::::i. ゝ!ゝ::!ノヽi !ﾞ=､､.ヽ!ヽ:::!/'ﾅ<::::::ﾉ.ノ　!:!::::::::!/::!:::::::::!'.　ﾉ'
. 　ﾘﾉ'i:!!:::::::::::::::::　:: :ヽ!　　￣￣.`: : :　..　i : !:::!: ﾘ: . ￣　.: : !::::::,::::i:::i!::;:::::::!　'
　,. - '　!.!::::::!::::: :　 : 　ヽ　　　　　　　　　　　 !/. 　　　 .: : /::::/:!:/::::::/::::/
　　　　　: !:::i::::　　　　　　',　　　　　　　　　　　: : :.　　　.: : :/::／:/':::::::/::::/　サイトオオオオォォォォォォッｯ！！
　　　　　 : !::!:::　　　　　　 i　　　　　　　　　　 !: : :.　 .: : :./::!'::::::::::/::/ i::/
　　. : : : : : !:!::::　　　　　　 !　　　　　　　　 !: : : .: : : :/::::::::::/::/::/　i,'　書くものをよこせぇぇぇぇぇぇぇぇぇっｯｯ！！
. : : : : : : : : i:!i::::.:.:　　　　 !i　　　　　　　　　 ' ´: : : : : :／::::::::::/::/.!/.　/
: : : : : : : : : :i!: !::::!　 !　　 !!､　　　　, '~＝=＝7: : : :.／::::::::::i::::ii:/ /
: : : : : : : : : : : : !:::!:　!　　 !､:ヽ. 　〈' ､______,ﾉ': : :／:::::::::::::::::!::i !
　　: : : : : : : : : :i::::!:::.i　 ! !: : : : ヽ　､ｰ‐‐‐ ': ／:::::::::::::::::::::::!/
by 草薙素数子

>>37 Neetubotさん
レスさんくす。
間違っていたか >>36 orz

PO で切ったら斜めの断面だもんなー。

その観るというのは、理解することではない。

ここで理解すると捉えている厨房がいるが、勘違いしているから
高次元を観ることができないのよ。

――――――――――――――――――――――――――――――
↑ここまでで「高次元を観る」具体的なイメージの仕方を提示した人はゼロ

↓ここからは、具体的なイメージの仕方についてキチンと説明すること。
――――――――――――――――――――――――――――――

高みに立つ方が降臨されないかな

猫が寝転んだ。

4次元空間の回転SO(4)だと
地球を自転の方向に沿って90度回転させるのと同時に
北極と南極の二点を入れ替えるような回転が可能ですよね。

xy平面、zw平面それぞれで2次元の90度回転になってるようなやつ。
SO(2)の90度回転に相当する行列を対角に二つ並べた形。

もうひとつ4次元ネタ。

4次元の球の表面（3次元球面）ってのは、一定方向に（その球面に沿って）
しばらくまっすぐ進むとまた元の位置に戻ってくるような空間ですよね。

これは2次元の円周→3次元の球の表面→と考えていくと自然に出てくる発想ですが、
「3次元球面に沿って移動する」というのがイメージしづらいので、分かったような
分からないような感じ。

移動してる本人が3次元空間をまっすぐ進んでるつもりだったらいいのかな。

S^3 球面は z = 0 を赤道だとしても
赤道が２次元で “道” というイメージじゃないな

赤面ｗ

ｎ次元ユークリッド空間の広がりは
連結性が基礎になっている気がする。

つまり２つのものが
繋がっているか離れているか
が重要では？

２次元は４色で塗り分けられる
３次元の塗り分けは一般に無限色が必要
ということより
２次元上に３次元の連結性を表現するのは一般には無理
だが
３次元あれば４次元以上の連結性は全て表わすことができる
のか？

つまり、われわれに生得的に備わっている３次元の認識を
フル活用すれば任意の次元をイメージできる！

数学的無能と屑哲系であることが滲み出る文章だなw

>>45-46
第四の空間成分を時間で代用する、つまり z=t の平面で切るということを
考えるのは万能じゃないが割と便利な手法のひとつ。

この場合、普通の二次元球面でなら、時間とともに緯度が変化する
という状況を考えるということになるので、そうやって赤道を捉えることで
「赤道」＝「z=t との交円で半径が極大なもの」とイメージを切り替えられる。

同様に考えれば三次元球面 S^3 は
二次元球面が小さくなって大きくなってまた小さくなるものとして
（連続的に移り合う同心球面の集まりとして）捉えられる。
赤道は極大になったときだね。
そうすると「一定の方向」は、あるとり方では二次元球面の大きさが一定かつ
二次元球面上では等角航路をとるというような風になるし、
別のとり方では二次元球面上の一点が、それと同心球面の共通中心を出る
半直線で結んだ交点に連続的に移る状況としても捉えられるだろう。

ふむ。
やはり断面を見るというのは有効なアプローチでつね。
とくに４次元の場合は有効そう。

>>47 で言いたかったのは
任意の（グラフ理論における）有限グラフは
３次元空間に埋め込むことができる
という定理があること。

つまり、ｎ次元空間の図形上を歩きまわったとき
その道の繋がり方を３次元の地図として表示できる。
さらに、立体交差を上手に書けば紙面上にも表示できる。

球面の (±1, 0, ... ) の点をグラフで結ぶとこんな感じ。

S^1 :
　　　　 N
　　,. '　　｀ヽ
　/　　　　　　 ',
W　　　　　 E
　、　　　　 ,'
　　ヽ . 　 ..　'
　　　　 S

S^2 :

表　　　　　　　　　　　　裏
　　　　 N　　　　　　　　　　　　 N
　　,. '　 |　｀ヽ　　　　　　　,. '　 |　｀ヽ
　/　　　|　　　 ',　　　　　/　　　|　　　 ',
W---- F ----E　　　　E---- B ----W
　、　　| 　　 ,'　　　　　、　　| 　　 ,'
　　ヽ .　|　 ..　'　　　　　　ヽ .　|　 ..　'
　　　　 S　　　　　　　　　　　　 S

では S^3 は？

{ ＮＳＥＷＦＢ } ― L
{ ＮＳＥＷＦＢ } ― R

が線で結ばれているのを想像してね。
逆に言うと、対角が線で結ばれていない：

N -×- S
E -×- W
F -×- B
L -×- R

これ以外の組は全て結ばれている。

>>44 さんの回転は

F E B W N L S R

　　　　↓

E B W F S R N L

みたいに群論的にとらえてみる。

あ、今見たら間違ってた。

90度回転じゃなくて180度回転ね。
でないと北極南極の交換になってなかった。

SO(4)の部分群であるxy,zw平面それぞれにおける
独立した回転の群はSO(2)×SO(2)と同型でアーベル群だね
R-{0×Rと同型とも言えるかな。

zw平面だけ180度回転すると、地球の上下が逆さまになるけど

途中で書き込んじゃった。
R-{0}×R-{0}と同型とも言えるかなと思ったけど。

zw平面だけ180度回転すると、地球の上下は逆さまになるけど
xy平面は不変だから、鏡写しの世界みたいになるのかな。

地球が４次元の zw 平面で 180 度回転したらどうなるか。

N L S R
　　↓
L S R N
　　↓
S R N L

なので、NEF の三角形の内部に居る人は
NEF → LEF → SEF
という移動を経験する。
まず回転し始めると異次元に飛ばされ
しばらくすると北極が L 極という訳のわからない極になる。
そのあとしばらくすると北極が南極になり現世に戻ってくる。
ただし地球の赤道上に居るひとは異次元には行かない。

たしかに鏡移しの世界になりそう

単純に考えれば、zw平面の180度回転はwを無視すれば
z→-zの変換だから、xy平面に関する鏡映変換だね。

ここらでいくつかネタをあげていきます。

ネットでみつけた4次元コラム。微分構造の話はよく知らない。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/4jigen.htm

これは有名だけど、4次元トレーニングに最適な動画。
http://www.dimensions-math.org/Dim_JP.htm
7章で急に難しくなるけどね…。

4次元じゃないけどメビウス変換の解説動画
http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY
高い次元で考えた方が現象がわかりやすくなる良い例ってことで。

そういえば、より高い次元にうつして考えた方が
問題が簡単になるってのは、色んな分野でよくあることですね。

>>59
ふつくしい・・・

微分構造って簡単に言うと
微分の値がいくつに定まるか
つまり接線の傾きがいくつになるか
ということですよね。

４次元空間のみ微分の取り方が無限通りある
しかもそれが宇宙の時空が４次元であることと
関係しているというのは不思議。

>>11 で挙がったモーサーのパラドクスについて考察中。
平面では四角形の辺に到達する道がピッタリ閉じられているのに対し
立体では空洞ができて道が開いている
というところに傾向が見えているかななんて

ホップファイブレーションが見えない

結局高次にある形而上の意味不明な解釈を形而下で説明してみろって話に
なるんだろう、先天的盲目者に色の鮮やかさを教えるのと同じてこと。
人間が理解するとは、体感し経験した知識に対して比喩表現で説明しなければ
全ての意味が抽象的（高次元）なら具体性（低次元）の欠片もないわけで、
無い概念を説明しても幽霊を説明しているようなものだろう。
仮に京極堂がいたとして、世界に「不思議などはない」、それはXXXXという
現象にすぎない。と言霊（詐欺まがいの論理思考誘導）で高次元を説明したと
しても証明にはなっていないしオカルト的な計りで意味の距離感に名前付け
して関係を明らか（妖怪の名前を新設）して意味（妖怪界）を具現化させるのと
なんの違いがあるのか？
たとえ納得できてもよくできた具体性（思い込み）を積み上げた詭弁にすぎないだろう。
そんな空論でいいのか？納得できればそれが正解でいいの？

世の中の具体性のは計れる類と計れない類がある、科学万能主義の厨房は
すべては科学の進歩で計れると主張する。
では未来を計ってみせよ。未来を確定させれば決定論の大勝利ではないか。
決定論が正しいから未来はビックバン宇宙が生まれた時点で既に確定済で
それは確率で決まるわけではない不確定要素などないなどと云うのか？

現実として計ることは常に誤差を含み、カオスを知っていればその誤差が
無視できないものだと理解できるだろう。測ったものがどれだけ近似して
いるかすら捉えていない要素に対して（例えば宇宙全体の観測）、どうして
宇宙の全てわかったような表現をする？
何もわかっていないし観測できたのは極わずか、それは０に等しいほどである。

科学的捉え方では、対象を捉えて不確定要素を排除したモデルに対してには
有効な仕掛けやら仕組みの説明方法を解明して反復利用な技術として提供して
いる。この不確定要素が全体のほとんどなのに一部の兆しを取り込み予測を
すれば過去の地震予知の技術とどこが違うんだろう。地震計？ナマズ？
地震雲？犬が夜泣きしている？まず観るには科学的考察ではあまりにも滑稽な
捉え方の側面しか観察できないことに気づくべき。
現状のそれは多くの天才科学者が口を揃えていうインスピレーションの重要性
それは直感のこと、そういう側面で判断するしかないと現状を理解するのが
第一歩ではないのか？
次元も時空間もテンソル積で時間という力の因果律が行列式で表し
平均化すると時間の流れのように表現されるとでも説明するか？

良く分かりませんが…

高次元を観ると言っても
この宇宙空間を超えた異次元や
時間の流れが見えるわけではないですよねｗ

４変数なり５変数の間の関係が
少なくとも代数方程式や微分方程式で表現されているとき
高次元のイメージを持てれば直観も働きやすくなるねテコト。

量子力学が受け入れられた現代では
ほとんどの科学者はたぶん厳密な決定論は支持しない。
未来も過去も不確定でしょう。

>>65
原子や分子の空間も見えないよ。見えているのは錯覚ってやつ。
物の動きも見えない、それも「時間の流れが見えるわけではないですよねｗ」
と同じ。

見えてるものは全て錯覚！という訳じゃないですよね？

私は少なくとも２次元（物質の平面）は確実に見えます。

ていうか、高次元になるにつれて、解ることは少なくなるわけだから、
n 次元という一括りの抽象化してイメージするしかないことは解る。

一番みんなが理解する手段が欲しいと思っているのは、
とりあえず四次元であって、そのイメージ手段を教えて欲しい。

とりあえず有用な情報は >>59 くらい。

明石家サンタでも見るかな。

でもアンタ達が名誉棄損とか誹謗中傷をスル場として利用しました。だからその
報いをアンタ達は受けなければなりません。なので：

★★第一の論点★★
> アホだのバカだの
> 面と向かって言えない言葉で相手を愚弄するのは良くないな！
コレは正に２ちゃんの住人達がコレまで散々やって来た事であって、だから私
の行為は：
★★★『唯単に数学板で起こっている事から学んで全く同じ事を真似てやってるだけ』★★★
という認識なんですね。だから私がこういう指摘をうけるのであれば、その行
為を元々やってはった人達に対しては何もご注意が無いのかという疑問ですね。

★★第二の論点★★
> 賢いのか知らんが、
> 人間性を疑うぜ！
という事なんですけどね、でもコレも第一の論点と全く同じで、私がやった事
はですね、２ちゃんで皆さんが頻繁にやってる事を唯単に真似ただけなんです
よね。だからもし私の人間性を疑うのであれば、昔からそういう事を好き放題
にやって、無記名で名誉棄損とか誹謗中傷をやりまくってる人達の人間性って
何なのかなぁ～ってな疑問ですね。そもそも人間性って何なんですかねぇ～

私は頭が悪いので判らなくなってしまいましてねぇ～

猫

私たちの三次元では、『直交する』座標系はx,y,z軸の三軸が最大ですが
『直交しない』軸ならば、四軸にできないでしょうか？つまりは斜交座標系です
斜交座標で図形は本来の形より歪み、また象限の数も変わってしまいそう
ではありますが何より可視化できるので十分参考になるのでは
四次元の斜交座標系なら、メタンの結合角109°で軸を四本組めば
それぞれの軸の対称性なんかは保存されるような気がします。

>>71
一次独立なものは3個しかないから、そこで線型構造や一次変換を論じられず、
したがってそれでまかなえる構造は貧弱。

>>72
なるほど…確かに図示したものでは線型構造なんかは論じられない
かもしれませんがあくまで可視化の手段なので
実際に定式化して議論する際は直交しているつもりで議論すれば問題ないのでは

角ばった図形、例えば建築物などを図示する手段として有効かも

平面に３本の座標軸を引き
立体図形を描き込む

これは断面図・射影図などの一般化にあたるだろうか

>>74
遠近法を用いない（消失点・水平線を設けない場合）は確か等角投影法
といって設計図なんかに使われていたはず
これは三次元を二次元で表しているけども
次数をひとつ上げて、四次元を三次元で表すことはできるだろうか…

＞次数をひとつ上げて、四次元を三次元で表すことはできるだろうか…
まず3次元を2次元に落とす(紙を用意して3本の軸を書き込む)
紙の上にエンピツを立てて4つ目の軸と見なす

>>76
確かにそういうことだけど…
三次元グラフが描画できるソフトを無理やりさっき言ったように四次元にして
射影平面やクラインの壷見てみたいなぁ
三次元ではやむなく貫通して穴開いているところはどう見えるんだろうか

>>77
見るとは二次元化の視覚化ってことだろ。
たとえ三次元が見えると体感しても視覚情報は二次元のまま。
それは脳内で三次元化されているだけで、四次元も五次元も
脳内で捉えられないなら見えるわけがない。

>>78
とはいっても視覚を含む五感以外に現実的な入力装置はないわけだから
また視覚はそのデバイスの特性上、二次元の入力情報に頼るほかない
すでに人間は、その二次元の情報を含む五感から三次元を理解し脳で捉えている
高次元でもそのプロセスをたどる必要があると思う、ただ五感のうち有効に働きうるのは
その多くが高次元の場合は視覚に違いない
そうするとまず可視化が最優先事項であり、高次元をあらゆる観点から多面的に二次元に変換し
脳内に入力して高次元を理解、認識して観るといった高みに到達するのではなかろうか
つまり高次元の性質を多面的に二次元を投影し、脳に入力するほかないといいたいのです

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

>>67 ：高次厨：2010/12/09(木) 20:01:48
> 見えてるものは全て錯覚！という訳じゃないですよね？
錯覚だよ、脳は錯覚する装置。これが測定器なら錯覚しないので
高次現象を計れない。より高度な高次な対象を見るには錯覚の度合いの
認知力が高くないと捉えることすらできない。
高度に抽象化された類は現実には無数にある、それが理解という手法で
捉えられないのは要因となる秩序やら高次に抽象化された因数を知らない
だけにすぎない。初めてみた未知なるものを捉えられるとかありえないだろ。

> 私は少なくとも２次元（物質の平面）は確実に見えます。
それはどうかな？混沌にしか意味かできないノイズ成分の静止画をみて
古いテレビの砂の嵐のようなもの。ノイズ以外の意味を捉えられるか？
経験則から既出の意味に類似するものだけを見ているにすぎない。
見えていると思っても意味として記憶に一切残らないのでは見ていないのと
どこが違う？まさか動画を見て１ドットのノイズのざらつきまで特定してい
るとか言い出さないよな？

人は錯覚する生き物であってそれゆえに妄想や幻想を抱き、夢や希望として
具現化する為の想念としての目標にできる。これは機械にはできないこと。
計算やら数学の数式で明日への夢やら想念を数式化して定義してみたら？

>>67
世の中に不思議とか無い、不思議だと思うから不思議になる。
脳とか不思議でもなんでもない。
そもそも脳の仕組みはネットワークであって計算機ではない。
脳の原理は神経細胞やら遺伝子でできる形ではあるが、培養された神経細胞
には人間の大人の脳の機能などない。
生まれた時点で人が植物状態ならば脳内の神経網はカオスしている、
そこに秩序的な情報網はない、なぜなら脳は後天的に情報を処理する
ネットワークだからだ、先天的に情報を処理するならば前世の記憶とか
言い出す奴がでてくる。オマエもその手のタイプか？
脳細胞だけあっても相互接続がなければ情報処理は行えない。
コンピュータシステムで重要なのは情報であって計算（演算）ではない。
その性能でも重要となるのは意味のあるデータの流れの有効度性能である。
無意味なデータではどんなに高性能で処理できても、無意味でしかない。
その本質は計算部分ではなく記憶と記憶に繋がる経路である。
その経路の有効情報を通す帯域が充分に無いならば計算部分が一兆倍
早くなるCPUが存在していても、一兆分の１しかない意味のある記憶を
蓄えネットワークする為の部分の性能の速度に落ちてしまう。
1990年代にIBMがジョセフソンコンピュータで従来の1000倍の速度のCPUを
試作したがこれは研究を続けても無意味だということを自ら悟り
研究を中止した、何故か？、外部とその性能を分かち合う通信やら
問題解決の系を保持できる記憶やらがその手法では実現不可能からだ。
存在というものは単独で存在しても意味など成立しない。意味とは他との
関係で成立するもので存在が架空の無限性能であっても無意味だってことだ。

>>67
高次を扱うのは抽象化された秩序を錯覚することで高次の現象を低次元へ
写像することで扱う、そこで重要なのは写像することでノイズのような部分は
切捨てられるということだ。形而上のことを形而下に落とす情報処理には
錯覚という原理が必ず介在する。
全体の流れを計るのに、人間の図形をみて人間と判断するのに原子やら
分子を測るか？それを見るか？細胞を見て判断するか？
それは全体としての秩序を計る意味において熱を測るのに１個単位の熱電子を
特定するようなもの。全体としての秩序を計るならば低次の計りで捉えたもの
に拘らない。そこには低次元での意味を考えないという錯覚の論理が介在する。
Windowsアプリケーションを作るのに、トランジスタやらゲート回路の動きを
捉えるか、その低次元の部分は無視され錯覚した全体像だけで構築すれば
それはアプリケーションとしての秩序を表せる。人の社会で経済現象を
人（人は共通の確定した固体、部品ではない）の単位未満の要素に分解し
それで捉えるか？高次なものは高次の要因となる分解しては意味が成立たない
要素で組み立てれる、これが低次元との決別で低次元からみると錯覚にすぎない。
高次元が見えないのは低次元の観念の経験と常識的なイメージができないからだ
統合失調症のように錯覚をせずに緻密な情報処理を行ってしまうのは
100人に1人はいるし※、症状が診断されない（＝生活に問題はない）人ならば
※統計では1000人に7人
概算で10人に1人はいる筈だ、微妙にその雰囲気がある人ともなればもっと多い。
その統合失調症は30歳ぐらいになってからストレスで発病するなどと後天的に
なるわけで、、、、

簡単にいえば、一部の消防が分数が理解できないというのと同じ。
それは難解なのではなく高次な秩序になると低次元の秩序から錯覚の領域へ
たどり着けない故に、分数の新たなる秩序を受け入れられない。

高次になれば高次の計りで捉えなくてはいけないものを錯覚できずに
低次元の計りで認知するからこそ分かりえない、錯覚とは細かい部分の
思考放棄にも類似する。新たなる秩序を受け入れられないとは、
新しい物への対応力が薄い頑固者ってことじゃないのか？

>>81-84
長文乙！やっぱ数学と言えば長文だよね～
２次元の認識も錯覚ということであれば
高次元も等しく錯覚として認識できると言えそうだね

確かに砂嵐の情報量に比べたら
高次曲面の情報量はかなり少ないだろうから
認識できないわけがない

錯覚で思ったが、
催眠にかけてさああなたは高次元が見えます
とやったらどんな映像が見れるだろう…

>催眠にかけてさああなたは高次元が見えます
>とやったらどんな映像が見れるだろう…
そこで見えるのは幻覚です。
観測系の主体との関係で過去に経験してきた意味に類似するものを
仕掛けとは逆順の関係で成立する嘘の映像のことです。
感じたイメージとは、明確なイメージではありません。
イメージを表現したときに具現化する段階で主観的な意味が、客観的に
置き換わる為に誇張や比喩が混ざるのは当たり前なのでそれが抽象的
な感覚であるほど意味が特定できないような表現となる。
幽霊を見た人が微妙に似ていても全部違う表現をするのと同じ、
何かの霊的な感覚（直感）が現実に秩序とならないものを表現すると
主観的な表現はトンデモ的な理解困難な説明になるだけです。
割り切れない類を割り切って、仕掛けを説明するようなものです。
その存在は理解する為に分解しては元の意味が失われるってこと。
存在との関係で成立するほうの意味は相性のようなものであって
第三者が客観的に観測して同じ相性になるわけがないです。

>催眠にかけてさああなたは高次元が見えます
>とやったらどんな映像が見れるだろう…
それ連想ゲームと同じ。赤い色を見て何が思い浮かべる？
そういう類と同じ。
砂の嵐でも一瞬みただけでは何も浮かばないが、長時間みているうちに
疲れてきて脳内活動の意味を識別する部分が曖昧になってくれば、
適度に記憶の一部から思い出などを抽出してきてそれがイメージに
なって現れる、まあレム睡眠時の夢みたいなもの。

つづきを頼む

4個目のベクトルを色スペクトルにすればいい

>>89
ＳＦの表現手法だとその技巧は存在しています。

立体として見るのが無理なだけで、
4個のベクトルの関係を見るのは難しくないよね
ネットワークだって多次元だし
普通の紙媒体も4色印刷
星座だって何年も前の光を同時に見てる

>>91
では４０個のベクトルの関係は？
高次元を見れる人はベクトルの数はあまり関係ないんだけどね。

東大にドイツ生まれトルコ共和国国籍で11カ国語を話す
アニリール・セルカンさんという人がいるんです。
彼は、この分野にとても詳しく月に1回くらい会ってお話ししています。
トルコ始まって以来の宇宙飛行士で、ジャンボジェットも操縦出来る面白い人です。
彼がタイムマシンという考え方がある事とか、
宇宙に行くのにロケットを飛ばす必要がなく、
宇宙までエレベーターを作ればいいんだという話をしてくれました。
そのような中で、僕がデザインしているモニターは、
一度も数式で考えたことがなかったので、
三次元の世界に時間軸である映画やDVDを置いて考えてみたんです。
でもそれをそのまま見るわけにはいかないから
二次元の世界で見るにはどうすれば良いのかを考え、
三次元の世界をそこから外していかないといけないということに気が付きました。
そこで、三次元の世界を外すためにはどういう計算方法があるのか、
ずっと計算している時期がありました。
今、五次元を研究しているリサ・ランドールさんの考え方が
正しいのかどうかというのを、デザイナーとして取り組んでみようと思っています。
そういった話が出来る相手がセルカンさんぐらいなんですよ。
http://www.bookclubkai.jp/interview/contents/0071.html
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1290297849/

Fomenkoの該当部分うｐ
http://kissho.xii.jp/1/src/1jyou123288.pdf.html
passはsokal

「詳細を説明」と言っちゃったけど、わざわざ説明しなくても、
PDFのp164の図169を見てもらえれば分かると思う。
クラインの壺について触れたページすら無視して
このページを引用した理由は、これしか考えられない。

この図、クラインの壺（2次元多様体）と違って4次元多様体だから、
人工心臓のアナロジーになりようがないんだけどなぁ・・・
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1290297849/
9 ：Nanashi_et_al. ：2010/11/21(日) 09:37:45

>>92
まず、俺はその四次元以上を見ることができるという人を
見てみたい。誤解するなよ、これは馬鹿にしてるとか疑っているとか
そういうことではなくて、実在したとしたらすごいなっていう
純粋な好奇心から出発している問いだ。

>>93
確か学界至上最悪級の詐欺師かもしれないと騒がれている香具師じゃ…

>>95の付け足し
個人攻撃するつもりは無いよ。
ただ、市井から見れば少し疑惑が多すぎる。

これは私自身が、
どなたか知恵のある方に
助言して欲しいことなのですが、

RGB3つのベクトルで出来た色平面を
640x480平面に並べて見るということは
640x480x3の次元を俯瞰しているってこと
ですかね？

ついでに、サッカーの試合とか11x11x審判xラインズマンx監督2のベクトルのやりとりを見ていると言うのは、
おかしいかな？

342 ：Nanashi_et_al. ：2010/10/07(木) 20:55:34

で、言えるのは、ここで使われているトポロジーは
心臓の形状のトポロジーではなく、微分方程式の変数のなす空間のトポロジー。
違いがあることを理解してるのかしてないのかよくわからんけど、
川崎は"phase geometry"という単語を使っている。
（それでも文章の意味が通じてないが・・・）

そこからクラインの壺に至る論理が全く書いていないので、完全に意味不明。
以下の文章から判断すると、クラインの壺は心臓の形状のことを言ってて、
どう考えてもカタストロフィなんて関係ないのにな。

http://www.audiosharing.com/people/dialogue/2002_07/honbun/honbun.htm
＞でまかせで、アーティフィシャルオーガン（Artificial Organ）だと言ったんです、人工臓器だと。
＞さらに「来年くらいにそれが見られるのか」と聞かれて、「たぶん来年には原型を見せられる」と
＞言っちゃったんですね（笑）。言ってしまったあと、帰りの飛行機の中で、どうしようと思って本当に考え込んで……。
＞帰ってきて、親しい医学部の助教授にそれをもっていって、「ねえねえ、これ、人工心臓にならないか」と言ったら、
＞彼が手にとって、「どこが？」という話なんで、「ここが心房で、ここが心室」みたいな話をしていたら、
＞「すごいよ、なるよ」と。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1290297849/

プラズマクラスター効果なしｗｗｗｗｗｗｗｗ
http://twitter.com/DreamCatchers37/status/8029006699958272　　

130 ：Nanashi_et_al. ：2010/07/05(月) 20:25:07
川崎がD論に参考文献として挙げている
> 6. Fomenko AT. Defential Geometry and Topology. Moscow State University 1993; 162-168.
の日本語訳「微分幾何学とトポロジー（共立出版、1996年）」が今手元にあるんだけど、
この本を引用しているD論の該当部分
> In the physical interpretation, they indicate the cyclic change in phase such as beating,
> vibration, or oscilation of current and voltage (6).
なんてどこにも書いてないなｗ予想通りだが。

本の内容自体は、symplectic geometry, Hamilton力学系についても書かれていて、
"phase"という単語に関しては「位相空間（≒シンプレクティック幾何学）についてのことだ！」と
強弁することも可能なのかもしれないんだが、やっぱりクラインの壺とか人工心臓とか関係ないｗ

川崎レベルのシッタカじゃ、幾何学の扱う対象がリアル時空にとどまらない
（ファイバーバンドルとかモジュライ空間とか）ことは理解不能だろうから、
ある意味目に見えるクラインの壺とか作って悦に入るのが限界だろうな。

「位」という文字のあるなしに関わらずリアル時空のイメージから脱却できない川崎ｗ
http://logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/rikei/1277100717/

阪大は医学部教授が詐欺罪で捕まるくらいだし、
実はかなり胡散臭いのが探せば他にいくらでも出てくるだろう.

「論文」の本文には
「トポロジー空間論の何を使ったのか」
「クラインの壷の、どういう性質を使ったのか」
に関する記述が一行も無いのである。

応用の、（目的、方法、効果、等）　その詳細に関する実質的な記述が一行も無い。
「クラインの壷」の本質的な性質というものは以下の点である：
表面に表裏の区別がない。　さらに、壷の「内部」「外部」が混同されて一緒になっている。
（クラインの壺は３次元のチューブをひねり内部をたどると外部に行き着くようにしたものである。）
ところが、
川崎の「論文」本文には、
「表裏の区別がない」
「内部・外部が混同」というような事に関する言及が全く存在しない。
その他、トポロジーに関する記述も一行も無い。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1290297849/

宇宙の法則が乱れる！
http://www.youtube.com/watch?v=0v2xnl6LwJE&feature=player_embedded

見えないものを見る

見えないものって何だ？

例えば、マンションを建てるときに、更地にした最初の１歩。
マンションが見えた？みえないよね？だから見えないものを見るには

初動となる第一歩が重要になる。
未来への礎、希望の類、

小さい１歩でもそこから続く果てしなく広がる高次の世界は
そういう心構えで心に写像しなければ見えてこないんだよ。

君が大人になりその僅かな１歩を合理的な上っ面な側面だけでみるから
見えてこない。僅かな１歩を大事にするからこそ見えてくるものもあるんだ。

>>59
w軸無視したら4次元な意味ないだろ
(x,y,z,w)でzwを90度づつ回転させたとしたら
(x,y,z,w)→(x,y,w,-z)→(x,y,-z,-w)→(x,y,-w,z)ってなるんだから
z方向が反転してるだけじゃなく原点に対してwも真反対の位置になる

何年前かC++＆DirectXで四次元の超立方体見たことある
http://jp.alpha-lab.info/forum-1.html

http://www.google.com/search?hl=ja&q=%E8%B6%85%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93&lr=lang_ja&rlz=1I7GGLL_ja
http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract （←ここの中ほどに4次元超立方体を3次元で動かした2次元画像あり）
http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube　… Don't look, feel！（謎

これだこれ，下のやつ天才！
http://www.youtube.com/watch?v=cbprfcSVcyQ&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=4howOe1BX1I

高次な存在とか計らない限り存在しないのと同じだろう。
計らなくても存在するという考え方は、次元の飛躍が成されていることに
気が付いていないだけ。
その次元では計ることは不可能なわけです。

高次になれば高次の計りでのみ計れるものであって、
原子数や長さや働きで人間の社会活動を計ることはできないのと同じ。
物理学で精神世界の幽霊やら神を計れないのと同じ。

このスレなんか文系が多くね

>>107
Hypercube の 12-cube の図はすごいことなってるね。
超立方体の頂点の数が 2^n だから少し次元 n が大きくなると
人間の認識力を超えてしまうんだね。

そう考えると >>109 の言いたいことは分かる気がする

福井県出身。福井県立高志高等学校、金沢美術工芸大学卒。
専門は3D-CAD/CAMとメディアインテグレーションによるプロダクトデザイン開発、
トポロジー空間論をベースとしたラピッドプロトタイピング手法の研究。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%9D%E5%B4%8E%E5%92%8C%E7%94%B7
名古屋市立大学学内誌「Nagoya medical journal（外部査読は無し）」
に博士論文を提出し、医学博士号を取得。

>>1
>もし高次元のグラフを互いに伝達できたら
>数学はもっと分かりやすくなるはず。

実際には、そうはならない。
「見ればわかるはず」というのは、シロウトの願望に過ぎない。

>>3
＞４次元の球に同じ半径の球が重ならずに最大いくつくらい
＞接することができるか予備知識なしに想像できますか？

４なんて小さい。２４くらいにしとけ。
でも多分見てもわかんないぞ。196560個なんてｗ

>>59
>http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/4jigen.htm
>微分構造って簡単に言うと
>微分の値がいくつに定まるか
>つまり接線の傾きがいくつになるか
>ということですよね。

悪いが全然違う。
定義を調べずに、手前勝手に憶測するのは
シロウトが必ずやらかす間違いのパターン。

二つの多様体（空間）の微分構造が同じというのは、
滑らかな１対１写像で、写しあえる、ということ。

同相（連続な１対１写像で写しあえる）でも
微分構造が違えば、写像のどこかに滑らかでない点が
できるということ。

>>67
>私は少なくとも２次元（物質の平面）は確実に見えます。

静止状態を見るだけでは、幾何学は分からない。

例えば、ユークリッド平面と双曲平面は見ても区別できない。

しかし、その中での直線を動かすと、違いが分かる。

なぜなら、双曲平面上での合同変換は、
ユークリッド平面の中のものとは
全く異なるからだ。

よく、
「双曲平面をユークリッド空間に埋め込めば、
　ユークリッド平面とは形が違うからわかる」
という人がいる。

ごもっともだが、埋め込んだところで、双曲平面上の合同変換を、
ユークリッド空間の合同変換で実現できるわけではないから、
そのやり方では、双曲幾何学を理解することはできない。

>>113-117
返信ありがとうさんです。

>>113
３次元・４次元のグラフを平面を見るように見渡せるなら
見渡せないときに比べてより分かりやすくなる
という弱めの主張です

>>114
確かに次元が増えると指数関数的に複雑さが増す場合が
あるので難しい面はあると思う。
196560個という厳密な値は分からなくても
もし見えているなら視点を移動して概算できるはず。
まあ実際は見るのが難しいと思います。

人間の視覚の画素数を６００万画素として
２４次元に割り当てると１辺当たり２画素に満たない…
これでは超球の両反対側に超球があるのを視覚的に認識するのは
いまの人間の認知性能では難しそうです。

まあ５次元なら２２画素使えるので
ぼんやり見えるかな

>>115
これは完全に私の誤りでした
訂正サンクスです

>>116 >>117
次元をふんだんに使って良いなら
双曲平面×合同変換のパラメータ×変換後の双曲平面
をユークリッド空間に埋め込むというのはどうでしょう？

>>118
自分の思いつきにいつまでも固執すんなよ。イタイ奴だな。

>>119
スレ主に噛み付くなよ。おまえがsageない時点で
その態度は自己紹介にすぎないだろ。

このスレ結構面白い↓

四次元ゲーム作らないか？？
http://hibari.2ch.net/test/read.cgi/gamedev/1151809341/

>>120
噛み付く？いや、貪り食ってるんだ。

>>120 thanks!

>>121
時代は４次元ゲーム
人類が進化するとしたら遊びからかな

>>122
おいしいでつか？急いで食べるとのどに詰まらせるわよ

>>123
＞おいしいでつか？
不味いね。
＞急いで食べるとのどに詰まらせるわよ
よく噛み砕いてグチャグチャになってから飲み込むさｗ

>>121のスレにこんなのあった
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/206194

おまいらもちろん5^iを算出するくらい演算できるよな？

四次元が測れないだの何だの行ってるヤツ居るから1辺の長さが1の超立方体の対角線の長さ測ったった
http://up3.viploader.net/jiko/src/vljiko042214.gif

「うん合ってるね」
「ほんとに？良かったー！……ていうか。合ってるって解っちゃうんですね……」
「……これはテトラちゃんの粘り勝ちだね。凄いよ」
「はい、テトラにはくしゅーー」

ぱちぱちぱちぱち

私は歴史史実・編年体的な遡及によって、虚構が現実に転換するのは、
あたかもメビウスリングやクラインボトルの視覚的なパターン認識することができます。
このことを明確化したのはハイデッカーでした。
私は、トポロジーという本来、数学術語は三つのアプローチがあると考えてきました。
まず、概念としては、数学的な視覚性と哲学的なレトリック性です。
さらに観念としては、問題解決手法の手続き用語です。
現在は、コンピューターによって、
虚構性・虚構的な観念を現実的・現実性として視覚化可能であり、
なおかつ、トポロジーのような存在を見つめることすら可能になっています。
http://www.ouzak.co.jp/blog/?cat=7277

多次元視認能力の無い儂にこのスレはちと緊い…｡

>>130
昔の私の質問にお答え願えますかね？
１．リセット願望の意味。
２．外国人参政権。

お返事をお待ちしています。

猫

>>130
お返事はどないしましたんや？　ワシはアンタの返事を待ってるのや。

猫

お主に説明した所で概念移動されるから無駄

>>131-132
そんなレスしか書かんなら自スレ帰れや

>>133
お前も猫に粘着されとるんやったらコテハン辞めろ

>>130
粋蕎さんいらっしゃいませ！（気づくの遅れてすいません
震災のあとのご無事を祈ります

２以上が複数なのでこのスレでは２次元が認識できればＯＫです。

　　　||匸l匸l匸l匸l匸l匸l匸l|
　　　||匸l匸l匸(,,ﾟДﾟ)匸ｌ匸l|　　ﾁｮｺｯﾄﾅﾗｵﾚｦｸｯﾃﾓｲｲｿﾞ。
　　　||匸l匸l匸l匸l匸l匸l匸l|
　　｀"""""ﾞ～O,, ,,⊃""""

ぽしゅー

アホが

>>135
この『２ちゃんという場所』は他人を狙い撃ちにしてもエエ場所なんで
すよね。暫く観察していてソレが許される事、及びソレを粘着という呼
び名である事を『私は貴方達から学んだ』という経緯ですね。

猫

高次元凸多面体の理論にはユニークな命題が多いよ

>>141
そうですか。ではどんな命題がアルのか、実例を教えて下さいませ。

猫

>>138
いつも面倒見てもらってありがとさんです。

以前の問題
円があったとき見込む立体角の一定になる曲面を求める
でしたっけ
建築などに応用がありそう
などと思ったり
私はまだ解けていないケドネ

>>141-142
良かったら私にも教えてほしいです

映画館の席の配置とか

＃別に端っこの席でもいいよ、見える面積は同じだから
＃でも極限的な位置だったら低次元過ぎて私の目には認識できないかも

あんでぃ

>>143
いえいえ，最近私はmixiでKingさんに
お世話になり，よろしかったらmixi是非．

さて，「円があったとき見込む立体角の一定になる曲面を求める」
という問題，私も忘れてましたが，n次元ユークリッド空間内で
(n-1)次元超球体を見込む(n-1)次元超立体角が一定になる超曲面
をGeneralized Superellipse http://en.wikipedia.org/wiki/Superellipse#Generalizations
で近似するいう問題がとても面白そうなので下記でちょっと考えてみます．

>>144
賛同します
>>145
賛同します
>>146
賛同します

まず，xyz空間内で，xy平面に原点を中心とする半径Rの円板（1次元超球体）
をおいて，(X,0,Z)からこの円板を見込む立体角Ωは下式①で表されます．

Ω(X,Z)=∫_[x=-R～R] 2atan(sqrt{(R^2 - x^2) / ((X - x)^2 + Z^2)}) dx =Ω …①

ここで，Z=0となる場合，つぶれてしまうため立体角としては出ませんが，
便宜上 lim_[Z→0] Ω = Ω_X とし，又，lim_[X→0] Ω = Ω_Z と置きます．

このとき，式①を (X / Ω_X)^a + (Z / Ω_Z)^b = 1 で近似すると
すれば，aとbはどんな値が適しているか，またそのときのΩ(X,Z)の
近似解析解はどんな風になるか．というように考えました．

>>148
すげぇ変なコト書いてたOTL…
Ωをある一定値としたときの，Z→0での
Xの値をX_Ω，X→0での値をZ_Ωとして，
(X / X_Ω)^a + (Z / Z_Ω)^b = 1 で近似
と書いた方が良かった．

でこれは普通に計算して出る気が全然しないので，
EXCELもといOpenOfficeCalcあたりで0.01刻みとかで
実際に計算してみたところ，aもbも楕円となる2より
ちょっと小さい感じと見受けました．

Ω_Xの近似解析解は，半径R以上はΩ_X≒πR/X（なん…だと…！），
半径R以下は Ω_X≒ 4 - (4-π) (X/R)^2（？なぜか最大値が2πでなく4），
Ω_Zの近似解析解は，Z≧3あたりからΩ_Z≒π/Z（うそ…だろ…！），
0≦Z≦1でΩ_Z≒4-(4-2.395)*Z，1≦Z≦3で緩やかに接続というような感じ．

つまり，XとZが結構大きい時（小さい時でも結構いける）は
純粋に Ω(X,Z)≒π/√(X^2 + Z^2) とかで近似できて，
X≦RやZ≦3Rくらいで謎のΩ頭打ち空間がある．

等高線的な曲面 (X / X_Ω)^a + (Z / Z_Ω)^b = 1
の曲がり方がちょっとずつ違うとか？こえーって感じですた．

上ではR=1として計算してる弊害が随所に見られますが，
そこは心の大目でみるとして，でこれを(n-1)次元
超立体角に拡張するとか，(n-1)次元超球体から
等しい中心力が掛かるn次元空間内の場所とかに
拡張して考察すると，新規性のあるネタ論文が
書けるのではないか．

ということで，初等数学の会の定期刊行誌「初等数学」に投稿しませんか？
次回65号の締切りは9月30日(木)ということですので，何卒よしなに

>>148-151 いやまて，見込む角度によらず距離離れたら同心球状
どこも一緒の立体角はオカシイ．dxにも立体角特有のちょろまかし
が必要で，これ加味したら中心では立体角2πになるんじゃないか．

あとところで，高次元じゃないけど，面白そうな問題として，
正m角形に内接する最小の正n角形とかどうすか？

内接正三角形とか内接正方形ネタは最大でとか
かもだったけど定期的によく見る気はしますが，
最近何かの都合で正三角形に内接する最小の
正n角形を実測してみたのですが，n=3kでがっちり
はまるとき以外で整数問題特有の摂動が見れて
けっこう面白かったです．

これの拡張については，面積比・外周比を比べたり
（上記例では円のとき最大），正多角形の角の数を
実数で拡張してみるとか，高次元なら一般的な単体
に内接する最小正単体というA級の問題とか，まぁ難しいっすけど．
とりあえずこのくらいで，長文スマソ

> Nanasi, N.S. さん
ご丁寧な返信ありがとうございます。

>>151
＞ということで，初等数学の会の定期刊行誌「初等数学」に投稿しませんか？
＞次回65号の締切りは9月30日(木)ということですので，何卒よしなに

勧めて下さってありがたいですが、ネット上での名前バレが怖いので、
残念ですが、記名投稿は辞退させてください。
いろいろエキセントリックな書き込みもしてますし
いまは名無しのままでいたいです。

>>153
いや，たぶん初等数学ならハンドルネールで通るんじゃね？
査読あるのか不明ですが松田さん次第かとも思います．
ダメだったら英語版も作ってarXivの承認が必要ない
ComputerScienceカテゴリとかにUpしようぜ，的な
ことは1年前くらいから思ってて私個人やろうとしてるんですが
何分私は遅筆なものでまだ試したこと無くて逆にすいません…

ちなみに， http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle
の定義からZ軸切片 Ω_Z = 2π(1-Z/√[R^2+Z^2]) なのは確実で
（ちなみに Z = R (2π - Ω_Z) / √[Ω_Z (4π - Ω_Z)] ），
X軸切片は定義できないけど円周角を思い出すともしかして
Generalized Superellipseにオフセット付くのかなもしかしてとか．

あと何か思い付いた気がしたけど忘れた！またー

>理由があるかどうかはともかく、痴漢で懲戒免職後に受け入れてくれる大学などないだろう。
>未練があろうが、日本の大学への復活は無理。
>最近の研究業績はいまいちなので、海外の大学で給料をもらうのも無理。

猫

貼り付けただけで逃げようとする猫はウジ虫。
現実を直視できない悲しさ。

あんでぃ

猫

あんでぃ

>理由があるかどうかはともかく、痴漢で懲戒免職後に受け入れてくれる大学などないだろう。
>未練があろうが、日本の大学への復活は無理。
>最近の研究業績はいまいちなので、海外の大学で給料をもらうのも無理。

猫

あんでぃ

>>148
う～む、立体角がまだよく理解できていないのか、良く分かりません。
①式は Ω_k =∫r^{-3} (r・n) dS を解いて出ますか？
r = (X-x, -y, Z) なので
Ω_k = Z ∫ r^{-3} dS
これを y で積分すれば良いのでしょうか？

>>162
うん，>>148 の①式は全然違いました！

視点(X,0,Z)から位置(x,y,0)の微小面(dx,dy,0)（法線ベクトル(0,0,-1)）
を見込む微小立体角の円板内(x^2+y^2≦R)の積分となり，
Ω=∫_[x=-R～R] ∫_[y=-√(R^2-X^2)～√(R^2-X^2)]
　Z / ||(x,y,0)-(X,0,Z)||^3 dx dy
… Ω_k = Z ∫ r^{-3} dS っすね！

変なコト書いてゴメンナサイ．
っていうか円板での先人を見つけました
立体角（ステラジアン）に関する円周角の定理？
　http://okwave.jp/qa/q4543853.html

数値計算では z=0 の平面に近づくにつれて
値が求まらなくなりましたが，同じ立体角で
z軸から一番離れる点の軌跡が重要と思いました．

>>163
複葉線というのがあるのか、なるほどん。

一番離れる点
→
どういうふうに重要そうですか？
一番遠くてどこまで作用するか、という点で重要かなとおもた

>>163
Ω= Z∫_[x=-R～R] ∫_[y=-√(R^2-x^2)～√(R^2-x^2)]
　{ (x-X)^2 + y^2 + Z^2 }^{-3/2} dx dy

A = √(R^2-x^2)
B = √{(x-X)^2 + Z^2}
y = B tanφ
ψ = atan(A/B)
y: -A ～ A → φ: -ψ ～ ψ

Ω= Z∫_[x=-R～R] ∫_[φ=-ψ～ψ]
　{ B^2 tan^2 φ + B^2 }^{-3/2} B cos^{-2} φ dφ dx
　= Z∫_[x=-R～R] B^{-2} ∫_[φ=-ψ～ψ]　cos φ dφ dx
　= Z∫_[x=-R～R] B^{-2} [-sinφ]_{-ψ}^{ψ} dx
　= Z∫_[x=-R～R] B^{-2} (-2) sin ψ dx

tan^2 ψ = A^2/B^2 = sin^2 ψ / (1 - sin^2 ψ)
sin ψ = √{ (A^2/B^2) / [1+(A^2/B^2)] } = √{ A^2 / (A^2 + B^2) }

Ω= -2 Z∫_[x=-R～R] B^{-2} √{ A^2 / (A^2 + B^2) } dx

A^2 + B^2 から x^2 がキャンセルされて一瞬解けそうかな？と思ったが難しそう

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28integrate+Z%2F%28%28X-x%29%5E2%2By%5E2%2BZ%5E2%29%5E%283%2F2%29+dy+from+y%3D-%5Csqrt%281-x%5E2%29+to+%5Csqrt%281-x%5E2%29%29+dx+from+x%3D-1+to+1
はベッセル関数とラプラス変換とか言われてたし完全に諦めてたのですが，
>>165 のような形までいくのですね！すごい！！

今回，1次元の場合の円周角が一定となる解の軌跡の円の端点から
軌跡の円の解析解が求まるように，
これを中心力と高次元超球体Dで一般化した∫_D G/r^s dDとかで
副葉線r^2=(π/Ω)sinθで近似されないDに近い部分を含めて，
部分部分を実測値から Generalized Superellipse で近似する
というネタで新規性を狙えると思ったのと，

円周角のようにどんな立体角でもZ=0でX=R,-Rとかに漸近しそうで，
Z>0とZ<0の部分でひょうたん型から扁平型になる間で
立体角Ω一定の曲面がちょうどぴったり楕円面のようなもの
になるときの解析解とかが面白そうだと思ってます．

また，既出論文など見つけたら報告しますー

＞一般化した∫_D G/r^s dDとか

モンテカルロ法かなあと思ってやって見ましたが
１次元で値が√2に合わない！
ううむ、何かまずいのか…？

R 言語：
mtest <- function(N) {
tot <- 0
for(i in 1:N) {
x <- runif(1,-1,1)
tot <- tot + (1/(1+x^2))
}
return (2*tot/N)
}

mtest(10000)

∫_[x=-1,1] (1/(1+x^2)) dx = π/2 != √2 だった

> mtest(10000)
[1] 1.570291
> pi / 2
[1] 1.570796

数値計算が合ってて手計算の方を間違えるとは…！

精度は３ケタくらいか。
このステップ数でもたくさんの (X, Z) 点をとるとなると結構きつい。

とりあえず明日以降に走らせてみる

>>166
４次元空間上で３次元球体を見込む超立体角の式は
極座標表示で書いて積分していくと
初等関数で解けるような気がしてきましたが
いかがでしょうか？

>>169

とりあえず求まった式を使って等高線プロットしてみました

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/244597

n = 1, 3 の場合が可積分みたいだから n = 5 はどうだろう
とやってみたら、また解けそうな感じになっています

Σ( ﾟДﾟ) ｽｯ､ｽｹﾞｰ!!今まで変なミスリードしてスマソm(_ _)m
これはすごいことになりますよ！俺もちょっとやってみた↓

n次元Euclid空間内で，原点を中心とした半径Rのn次元超球体をDとする．
そのn次元Euclid空間に直交するz軸方向の値がZ(>0)の点から
Dを見込むn次元超立体角をΩ_nとしたとき，Ω_nが一定値となる
点全体が作る超曲面を表す式を求めよ．

(x_1,x_2,…,x_n,z)=(X,0,0,…,0,Z)の点での超立体角は
Ω_n=∬_D {Z/(√[(x_1-X)^2+x_2^2+…+x_n^2+Z^2])^(n+1)} dx_n dx_(n-1) … dx_1
と表せて，ここで，√[(x_1-X)^2+x_2^2+…+x_n^2]=Ztanφと考えることを用いて，
中心(X,0,…)半径Ztanφのn次元超球面の一部を
中心(0,0,…)半径Rのn次元超球面で切り取った超表面積をS[φ]とすれば，
Ω_n=∫[全てのφ] {S[φ] / (Z/cosφ)^(n-1)} ｄφ という式に帰着できる．

例えば，Ω_1の場合で計算すると，Ω_1/2=Arctan[(X-R)/Z]-Arctan[(-X-R)/Z]
となり，X^2 + (Z - R/tan[Ω_1/2])^2 = (R/sin[Ω_1/2])^2 が出る．
n≧3の場合も，半頂角ψ=Arccos[X^2+(Ztanφ)^2-R^2)/(2XZtanφ)]で
半径Ztanφのn次元超球面の一部である超表面積S[φ]が，n=3のときの
2π(1-cosψ)(Ztanφ)^2 のように表せるとすれば解けそうです．

n=2の円板に対する立体角の場合に限りArccosが残るので，前述の
ベッセル関数のラプラス変換のように大変になるんすかねー

ちなみに，私は違う号を見てて勘違いしてましたが，「初等数学」の
次回67号の締切りは7月16日(土)ということですので，あとちょうど1ヶ月でした！
僕も何かしら匿名ハンドルネームで出したいぉ…何卒よしなに

>>173
ハンドルネームできるといいですね。
Neetubot さん第一著者＆ corresponding auther にしますか？

>>172

＞中心(0,0,…)半径Rのn次元超球面で切り取った超表面積をS[φ]とすれば，
＞ Ω_n=∫[全てのφ] {S[φ] / (Z/cosφ)^(n-1)} ｄφ という式に帰着できる．

n次元超球面ということは (n+1) 次元超球の表面という意味ですか？
S[φ] の意味が良く分かりません。
あと n 変数の積分 dx_1 … dx_n を 1 変数の積分 dφ にしているのが良く分かりません。
以上、教えて下さい。

一応、私のとった方法を：
Ω_3=∬_D {Z/(√[(x-X)^2+y^2+z^2+Z^2])^4)} dx dy dz
　= 2πZ ∫_[r=0～R] dr ∫_[θ=0～π] r^2 sinθ(r^2 - 2Xr cosθ + X^2 + Z^2)^{-2}
　= 2πZ ∫_[r=0～R] dr [ -(r/2X) (r^2 - 2Xr cosθ + X^2 + Z^2)^{-1} ]_[θ=0～π]
　= 2πZ ∫_[r=0～R] dr (r/2X) { (r^2 + 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} - (r^2 - 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} }
　= π (Z/X) ∫_[r=0～R] dr r { (r^2 + 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} - (r^2 - 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} }
以下略、で、

Ω_3= (π/2) (Z/X) { log [(R-X)^2 + Z^2] - log [(R+X)^2 + Z^2] }
　+ π { atan [(R-X)/Z] + atan [(R+X)/Z] }

でした。

n = 5 は同様に部分積分で出来そうでした。
n = 4 だと r^{-(n+1)/2} でルートが出てきてしまいやっかいでした。

>>173
あと１ヶ月か…できるかな

これだけすっきり解けてしまうと
既に研究されていないか、広く知られているのではないか
と疑ってしまいます。

トリップつけ忘れました >176

この辺
http://scholar.google.co.jp/scholar?q=solid+angle+subtended+by+a+circular+disk
の論文が読みたいが、購入していないと読めない…

これ
http://arxiv.org/abs/math-ph/0211061
とか参考になりそう
Ω_circ が Ω_2 に相当するのかな？

>>174
私は今回全く役に立っておりませんし，
余因子総和行列とか違うネタで出したい
気もしてるので，高次厨さんのお好きな名前でヨロシク( ｀・∀・´)ﾉ
LaTeXとかお手伝いできることは是非したいです．

>>178
自炊は任せてくんろー
投稿要領とかいろいろお送りしたいものありますので
neetubot(at)gmail.com までメール頂けるとありがたいです．

>>175
(n-1)次元超球面だったスマソ．
この積分のキモが最後のオフセットの所以外
は超球面の積分と酷似していると考え，
一般化してヤコビアンやn回積分やるのは嫌だったので，
答えから逆算して Z tanφ= x-X の置換より前の
(n-1)回の積分ではφに対する(n-1)次元超球面S[φ]
を出している計算だと見切って，式出してみました．

高次厨さんのΩ_3=(π/2)(Ω_1 + (Z/X) log([(R-X)^2 + Z^2]/[(R+X)^2 + Z^2]))
どころか私の式ではΩ_3が積分できなかったOTZ僕の事は忘れてください…

とりあえず，Ω_3とΩ_5がモンテカルロ法や逐次計算での
数値計算と整合すれば神ですな！

とりあえず，半径Rの http://en.wikipedia.org/wiki/Hypersphere
を(0,0,…,Z)から見込むHypersphere Angleの理論値は
Ω_n=(1-Z/√[Z^2+R^2]) π^((n+1)/2) / Γ((n+1)/2) っすか？

とりあえずこちらでは

lim_{X→0} Ω_3 = 2π[arctan(R/Z) - RZ/(R^2 + Z^2)]

となっています。
モンテカルロ法との比較では合っていると思います。

> a <- 0.2*1:10
> angle3_top(a)
[1] 7.4210267 5.3121967 3.7020550 2.5651136 1.7932095 1.2750782 0.9253656
[8] 0.6858795 0.5188039 0.3999097
> monte(10000, 3, 1, 0, a)
[1] 7.5700444 5.3408415 3.7121183 2.5693985 1.7952156 1.2760887 0.9259085
[8] 0.6861881 0.5189882 0.4000246

示された Hypersphere Angle の式と違っていますが、良く分かりません。

猫は規制

http://dl7.getuploader.com/g/1|mouse/748/tenkai-roll.gif

3次元ユークリッド空間内の凸多面体で、任意の2頂点が隣り合うのは四面体のみだけど、
4次元以上だと豊富にあるらしい。

>>12 は面白いと思いました。

>視覚で見る以外に立体を把握する能力が人にあるかどうか。
>なんとなくですが、駅の立体交差を歩いているときに
>視覚以外の立体認識が働いていそうです。
>どちらに行けば何があるか分かるような感覚。

３次元の宇宙空間（４次元球体に貼りついている）と
地球儀の平面上の人（３次元球体に貼りついている）を比べたら、
空間の内部にいる人からの高次元の歪み（曲率R）の目に見えない影響
が感覚的に感じれるように思います。

例えば、
「この３次元の宇宙空間をどんどん進んで、（４次元球から見て）
一番遠い所（地点ｚとする。１３７億光年くらい？決して無限ではなく、
有限の距離）に行ったら、自分がひっくり返って、その先に自分の背中を
見ている。」

は、

「地球儀の北極にいる人が一番遠い地点（南極）まで行ったら、
ひっくり返ってその先に自分の背中を見ている。」

と同じ。

「この３次元の宇宙空間を上下左右、どの方向に進んでも、地点ｘに
たどり着く」

は、

「北極の人はどの方向に進んでも南極点にたどり着く」

で、さらに５次元球に貼りついた４次元空間、
６次元球に張りついた５次元空間、と拡張していっても、
「端まで行ったらひっくり返って自分の背中を見ている」というのは
同じと言える。

スレタイの「高次元を観る」について、
「ｎ次元空間は（n+１）次元球に張り付いている」、とした場合
　・ｎ次元空間内の人は端まで行ったらひっくり返って自分の背中を見ている
　　ということを、
　（１）ｎ次元空間内の人には分からない
　（２）（ｎ＋１）次元空間の人からはよく見える

>>185-186
１次元ホモトピーは３次元に埋め込こめるから考えやすいけれど
２次元ホモトピーは体感できるだろうか

>>184
任意の２頂点が隣り合うというのは
任意の２頂点が辺で結ばれている
ということかな
そうすると、ｎ頂点の完全グラフということかな
４次元で、ｎがいくつのとき
完全グラフを凸多面体にうつせるか
うん、分からない

４次元横丁のカレー屋までいく道順は何通り？

4次元の地図が欲しい。

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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いい加減黙れよ。

日本は滅びれば良いと思う

>>198
おまえが逝けば

凋落国家ジャップ

IMFがみてるぞ

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猫

sage

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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猿にも失礼な猿真似

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2*3=6

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　ネコも大して変わらない　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
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モーザーのパラドックスってよくわかんねえな
隙間の球は、最初に入れた単位球に触れずに立方体に触れるような気がするんだけど
だから隙間の球の半径は9次元以上では等しいのでは

その解釈でもかまわんだろ

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　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　でも最近一寸太ったかしら。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　Windows ver.10 で　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　
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根性＋

イメージしやすい4次元の見方を考えました。
・四次元物体の形状を想像するのではなく三次元空間の曲がりを想像する
例えば我々のいるこの宇宙を閉じた空間と考える。
うまく表現できないけど自己完結の世界というのだろうか。
例えば宇宙船に乗って地球の北極から真上に出発し、そのまま真っ直ぐ宇宙を進む。
すると宇宙の反対側から戻ってきて地球の南極に辿り着くような空間の曲がり方。
これは三次元空間の中を移動したものだが、実際は四次元空間を移動したのと同じことになる。
しつこいかも知れないが二次元の場合で考えてみよう。
日本を出発して地球表面を北へ向かって進んでいく。
すると戻ってくるのは南からだ。
移動しているのは二次元球面上だが、実際には三次元空間を移動している。
二次元球面を一周してもどってくることを、三次元空間に拡張したらいいのではないかと。
そしてそのような幾何を持つ空間の中に、全ての点が等距離等角度となるような点をプロットし、その点を繋げて立方体を形成してみる。
そしてこの立方体がどのように見えるかを考える。
これは四次元超立方体の可視化といえるかもしれない。
次にプロットした点の一つを地球と捉える。
この地球に見立てた点を動かしてみる。
この時の立方体の挙動は四次元超立方体の回転に相当するかもしれない。

単なる脳内イメージなので分かる人には分かるかも知れないけど分からない人には全く分からない説明かも知れないが・・・w

>>249のプロットする点は多いほうがイメージしやすいので実際には曲がった三次元直方体の集まりが全体として四次元的な動きをするイメージに訂正。
プロットする点が16個ならツベに上がってる4Dcubeそのものになる。
自分がイメージしたのは宇宙の中心からたくさんの直方体を四方に積み重ねていって端にいくにしたがってどんな形になるかというもの。
端にいくにしたがって大きくなって形も潰れていくように見えるけど、実際は中心付近にある直方体と同じ形同じ大きさ、端の直方体の大きさと形は空間の曲がりにそったもの。
直方体が丁度端にくると、こんどは一つの直方体が全天を覆うように見える。宇宙の中心に地球を置いて端(最大距離地点)にある直方体を見た時の話。
この宇宙全体を覆う巨大な直方体と地球付近の直方体の大きさと形は同じ。
まっすぐ行って反対側からもどってくるような空間幾何構造を考えるとこうなるのかもしれない。(たぶん)

それで曲がった空間を考えはじめたそもそもの理由は「宇宙の端」がどうなってるのか疑問だったから。
ユークリッド的な平坦な宇宙で無限に空間が続くというのは頭が受け付けなかったし、開いた宇宙も想像できなかった。
実際はどうあれ一番しっくりきたのが閉じた宇宙だったというわけで。
でも考えてみると有限の体積で果てのない閉じた三次元構造は実は全体として四次元の構造と同じじゃないかと最近気が付いた。

あげ

馬鹿の独り言をageてどうする

>>250-251 4次元球面の話かな？