★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問

>>941
　中点でなくても、整数比に内分・外分する点でもいいから、
たくさんあるな。

>>951
ド・モアブルと等比数列の和、実部比較
ものすごくつまらない....

>>953
スレ違い。

>>954
お前早くしねよ

>>951

積和公式
　cos(kπ/180) = {sin((k+1/2)π/180) - sin((k-1/2)π/180)}/{2sin(π/360)},
を使うと
　(与式) = {sin(π/2 +π/360) - sin(π/360)}/{2sin(π/360)}
　　　= {cos(π/360) - sin(π/360)}/{2sin(π/360)}
　　　= {1 + cos(π/180) - sin(π/180)}/{2sin(π/180)}　{←分母・分子 × 2cos(π/360)}
　　　= (1+s-t)/(2t),

>>953
おまい、自分が解ける簡単な奴だけｺﾒﾝﾄして解けない奴はｽﾙｰかよｗ
おまいが一番つまらないｗ

>>940
早く解けよ、ｶｽ

どれを？

（1）f(x)=xを微分せよ。
（2）f(x)がx軸となす角を求めよ。

>>960
難しすぎる
ヒントをください

すて

>>960なにこれやばい難すぎる

>>950
では本題に入ろう...

1 = Σ[k=1,n] r^k　… ☆　(nは自然数, rは実数)について
nについての 0以上1未満の☆の解を r_n とする。
r_n を求めよ。

>>964
できますた。

　r_1 = 1,
　r_2 = 1/φ = (√5 -1)/2 = 0.618033988749895
　r_3 = {(3√33 +17)^(1/3) - (3√33 -17)^(1/3) -1}／3 = 0.543689012692076
　r_4 = {-1 -2v +√(5/v -5 +4v^2)}／4 = 0.518790063675885
ここに
　v^2 = -(5/12) + (1/3){[3√(3･563) + 65]/2}^(1/3) - (1/3){[3√(3･563) - 65]/2}^(1/3)
　　　= 0.0739071732479746
　　v = 0.271858737670825

　n≧5 のとき、代数的には解けないが、

　r + r^2 + … + r^n ≧ (1/2) + (1/2)^2 + … (1/2)^n
　　　　　　　　　　　+{1 + 1 + (3/4) + (1/2)}(r - 1/2)　(←2項展開)
　　　　　　　　　　　= 1 - (1/2)^n + (13/4)(r - 1/2)
　よって ☆ より
　r < (1/2) + (4/13)(1/2)^n,

>>964

r_4 の求め方

　r = X + (1/4) とおくと
　r^4 + r^3 + r^2 + r -1 = X^4 + (5/8)X^2 + (5/8)X - (307/256)
　　　= X^4 + P･X^2 + Q･X + R
　　　= {X^2 + (P+v^2)/2}^2 - (v･X - Q/2v)^2
　　　= {X^2 +v･X +(P+v^2)/2 -Q/(2v)}{X^2 -v･X +(P+v^2)/2 +Q/(2v)},
これより
　X = {-v + √(2Q/v -2P -v^2)}/2,
　r = -1/4 + {-v + √(2Q/v -2P -v^2)}/2,

ただし v^2 は
　v^6 + 2Pv^4 + (P^2 -4R)v^2 - Q^2 = 0,
から求まる。

nについての解？

>>945は誰も解けない？

高校の範囲じゃ無理

無理じゃないよ。
無理だと思う理由が知りたい。

>>945=>>970
死ね

高校数学で「連続な曲線」は定義されているか？

高校の範囲ってのが曖昧すぎてよくわからん

取り合えず連続関数でいいんじゃね？

>>941

両軸に平行でないから、y=f(x) と x=g(y) が存在する。
q, q 'を無理数とすると、直線上に2点
　(q, f(q))　(g(q '), q ')
がある。
　f(q) が無理数　⇒　(q, f(q)) が無理点。
　g(q ') が無理数　⇒　(g(q '), q ') が無理点。
　f(q)、g(q ') とも有理数　⇒　この2点を整数比に内分・外分する点がすべて無理点。 >>943

>>945
反例がある。

2つの連続関数x(t),y(t)に対して、f(t)＝(x(t),y(t))で定義される写像fのことを
連続曲線と呼ぶ。あるいは、fの像のことを連続曲線と呼ぶ。

特に、f(t)＝(1, √2) と定義された写像fは連続曲線である(定値写像)。
この曲線に対して、明らかに>>945は成り立たない。


……というのは野暮なので、「定値でない連続曲線に対して」と問題を読み替えて解答する。

解答の方針：
R^2内の、定値でない連続曲線fを任意にとる。
R^2内の直線 y＝ax＋b であって、a,bがともに有理数であるもの全体を考える。
このような直線は、R^2において "稠密に分布する" から、ある直線 L はfと交点を持つ。
交点の1つをPと置けば、このPが求める点である。
実際、PはLの上にあるから、Pのx座標とy座標は「ともに有理数」または「ともに無理数」である。
一方で、PはAの上にもあるのだから、このPは明らかに>>945の題意を満たす。

a = 0 は除かナイト

実際の解答：
R^2内の、定置でない連続曲線fを任意に取る。
このとき、あるa≠bが存在して、f(a)≠f(b)が成り立つ。
R^2内の2点f(a), f(b)を結ぶ線分をTと置く。Tと交点を持つ直線 y＝ax＋b であって、
a,bがともに有理数であり、かつ、Tとの交点がf(a)でもf(b)でも無いものをとる。
簡単のため、この直線をLと置く。
なお、このような直線 L が存在することを言うには、Rにおける有理数の稠密性が必要になる。
これが "高校の範囲内で" 証明できるかは知らない。

以下では、このLの存在を認めて議論する。

直感的には、2点f(a),f(b)は "Lに関して互いに反対側にある" のだから、
中間値の定理のようなものが使えて、Lとfは交点を持つことが予想される。
そして、これは実際に正しい。
以下で、Lとfは交点を持つことを示す(これが言えれば、証明は終わる)。

Lの上に点Aを1つ取って固定する。また、Lの上には無い点Bであって、線分ABが
Lと直交するものを1つ取って固定する。ベクトルAf(t)とベクトルABの内積を考え、
g(t)＝Af(t)・AB と置く。Lの取り方から、g(a)g(b)＜0であることが高校の範囲内で言える。
また、gは連続関数であることが高校の範囲内で言える。よって、中間値の定理が使えて、
g(t)＝0を満たすtが存在する。このtに対して、点f(t)はLの上にあることが言える。
以上より、Lとfは交点を持つ。

>>977
そうだった(・д・)



>978の訂正。

×：
Tと交点を持つ直線 y＝ax＋b であって、a,bがともに有理数であり、
かつ、Tとの交点がf(a)でもf(b)でも無いものをとる。

○：
Tと交点を持つ直線 y＝ax＋b であって、a,bがともに有理数であり、
a≠0であり、かつ、Tとの交点がf(a)でもf(b)でも無いものをとる。

というか、f(a),f(b)とy＝ax＋bで
文字が重複しているというタコミスが(＾o＾)ｽﾏﾝ

再び>>978の訂正。

×：
Tと交点を持つ直線 y＝ax＋b であって、a,bがともに有理数であり、
かつ、Tとの交点がf(a)でもf(b)でも無いものをとる。

○：
Tと交点を持つ直線 y＝cx＋d であって、c,dがともに有理数であり、
c≠0であり、かつ、Tとの交点がf(a)でもf(b)でも無いものをとる。

>>978
> Rにおける有理数の稠密性
無理
連続の概念もいい加減
そこが941にわかっていない

やっぱり頭硬いなあ。
自分の物差しでしか計れないのかい？
高校でも中間値の定理は認めている。

>>982
じゃー
関数の連続性の定義を述べよ

まだそんな事いってんの？
連続性の定義なんか使わなくてもいいんだよ。

>>984
実数の中で有理数が稠密であること示せ

稠密性なんか使わないよ

>>941
しかしセンスねーな

一年六十一日。

>>941=>>982=>>984

俺の精液の中で精子は稠密です。

有限個しかないのにか？

私の脳内では可算無限個あります。

>>981みたいな無能な基地外に粘着されてこのスレも終了だなｗ

あー東大おちるー

>>978
間違ってんぞハゲ

> 系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
だからスレチ

２０分もかからないだろ．

>>995
その部分を指摘しろよ、カス

うめ

うめこ

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。