★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問

>>171を出題した者だけど、体積は積分を使うけど、
表面積は、積分で求まった体積を利用して、中学生でも求められる方法があるんだけど。
表面積を積分で求めさせる問題が有りなら、
いっそ、2π∫[a→b]f(x)√〜という回転体の側面積の公式を自力で導け、みたいな問題も有り、だと思うんだけど、
そんな問題、時間内にできる受験生はそうそういないような気がするけどねえ。

中学生でもという言葉から想像するに、高さが４、底面の半径３の円錐を持ってきて、
例の物体と結合させたものの体積は、曲面の部分の面積をＳとすると、
Ｓ×（球の半径）×（１／３）に等しいという式から導かせようとしているようだな。

ところで、かたくなに表面積の扱いについて否定的な意見を出しているようだが、
球の表面積を求めようとする行為をデカルト座標下で行おうとすると、「積分の応用」
の中の「表面積」と一分野として設けても良いような内容になるかも知れないが、極座
標下において行おうとすると、y=f(x)、y=0、x=a、x=bで囲まれた領域の面積を求める
「定積分」の問題に毛が生えたものに帰している事実を無視してないか？

結果的には「曲面の表面積を求めた」かもしれないが、使ったテクニックは「定積分」レベルだぞ。

反応が無くなったので、参考問題を一つ。

球面　x^2+y^2+z^2=r^2　が　二つの平面　z=α　とz=β　(-r≦α＜β≦r)
によって切り取られる部分の面積は　2π(β-α)r　で与えられる事を示せ。