高校生のための数学の質問スレPART273

>>941
実数係数三次方程式で、複素数を認めて複素数を経由しない限りその実根が求められないような方程式が存在するのはどうしてですか？

>>951
なるほどカルダノですか

そりゃ根の性質のせいというより
方程式の性質だろうな

>>946 すまん計算ミス
BQ:QC=1:3
CR:RD=3:2に訂正します。
>>950 の体積もそれぞれ
3/20*V、2/5*V、2/15*Vに訂正します。

R^3はゆがんだりねじれることもありますから

>>917 は、結局何が言いたかったんだ？
>>749 の問題みて、複素数の考えの導入が"自然には"
浮かばないと思うから、もっと自然な方法がある、
ってことでOK なのか？

結果論なのかもしれないが、
x=a+bi, y = c+di と置くと、x^3-y^3=1-i
と、とても単純に出来たのは、多分「問題を作った奴」が
この逆の操作したからだと俺は思うのであって、
>>749 を解くには、とても自然な方法に見える。

他の「もっと自然な方法」とやらの存在を積極的に信じる
理由の方が不自然に見える。

>>749
こんなんでいいんじゃね？

x = a + b i , y = c + d i と置くと、>>749は次のように言い換えられる。
x^3 - y^3 = 1 - i となる複素整数 x, y は存在するか？
ただし、Re(x), Im(x), Re(y), Im(y) は全て 0 でないとする。

まず、直ちに x≠y が解る。

|x^3 - y^3| ＝ |x - y| |x^2 + xy - y^2|
＞|x - y| { |(x-y)^2| + 3|xy| }
＞1 * (1+3√2)＞√2

|1-i| = √2 なので、そんな x,y は存在しない。

>>958
あ、途中間違ってる。
|x^3 - y^3| ＝ |x - y| |x^2 + xy - y^2|
＞|x - y| { |(x-y)^2| + 3|xy| }
＞1 * (1+3*1)＝4 ＞√2

>>958,959
|x|＋|y| ≧ |x + y| を使ってると思わしきところ、不等号逆に使ってないか？

>>909
＞(x-y)(x^2+xy+y^2)=1-i
＞|x-y||x^2+xy+y^2|=2

これは何故？
1-iの絶対値は√2では？

>>842
N(3)=3じゃないんですか？

>>960
アー、ゴメン。でも、一つ思いついたよ。スマートじゃないけど。

x = a + b i , y = c + d i と置くと、>>749は次のように言い換えられる。
x^3 - y^3 = 1 - i となる複素整数 x, y は存在するか？
ただし、Re(x), Im(x), Re(y), Im(y) は全て 0 でないとする。

そのような x, y が存在したとして、
まず、直ちに x≠y が解る。

|x-y||x^2+xy+y^2|=√2
が成り立ち、|x-y| ≧ 1 なので、| x^2 + xy + y^2 | ≦ √2
x^2+xy+y^2 もまた複素整数なので、

x^2+xy+y^2 は、0,±1, ±i, ±1±i の 9個のうち、どれか。

あとは、地道にそんなことがあり得ないこと示せばいいと思う。
±1±i になる時は、|x-y|=1 であることを使えば、そう難しくないと思う。

>>963の続き。
0 じゃないことも直ぐ分るから、
G = {±1, ±i } , H = {±1±i } として、

「x^2+xy+y^2 ∈G かつ、x-y ∈ H」
または、
「x^2+xy+y^2 ∈H かつ、x-y ∈G」
しかない。

x^2+xy+y^2 = (x-y)^2+3xy
に注意すると、全部あり得ないことが解るね。

よく読むと、>>909は完全に出鱈目だね

実数係数三次方程式で、複素数を認めて複素数を経由しない限りその実根が求められないような方程式が存在するのはどうしてですか？

>>962
N(3)=9で正しいです^^
NはA上のノルム関数で、具体的にはどう定義されるかというと、
各z=x+iy∈Aに対して、N(z)=x^2+y^2によりN:A→Zを定めるわけです^^

>>909 の人はA上のノルム関数がなにかを捉え間違えてますね^^;
ただ、分解して複素数の絶対値を考えるというアイデアだけは正しい方向ですね。
たしかにそうすれば高校数学だけの解答がつくれますね^^

私の解答ですがノルムをとるところでは代わりにmod3で見たほうが良かったかもです^^
そうすれば少し短縮になります^^
あとのほうですこし(より)短い解答を書いておきますね^^;

x=a+bi , y=c+di という置き換えが思いつくわけないと言っている人達がいるので、
私がどうやってこの置き換えを思いついたかを書いておきます^^
これは一言でいってしまうと (a+bi)^3を以前に(この問題とは別に)展開計算したことがあるかに尽きると思います^^
その計算結果をよく頭に焼き付けておけば これは見えるとおもいますです^^
私の解答が出る前に問題を挙げた人自身が ねじれ とか ( )^3=( )^3という形にできないとか、
そういう発言をされているのも間接的にヒントになってたのかもしれません(本人の意図は知らないですけど^^;)

>>957
カルダノだったら
conj[x^3-y^3] = conj[1-I]

>>967
ノルムは普通はrmsで考えるから定義としてはsqrt[x x+ y y]だけど、しかし定義次第だからx x+y yもありえる。
つまりノルムという概念を(正値の)距離とみるか別のインデシーズとみるか君次第。

>>841　を少し短縮してみました^^
(�@) x-y=ε かつ x^2+xy+y^2=ζ(1-i) (εは単数で ζはεの共役)
(�A) x-y=ε(1-i) かつ x^2+xy+y^2=ζ (εは単数で ζはεの共役)
を得たあとはつぎのように短くできます^^
(以下~は複素共役の記号だとおもってください^^)

一般にp≡-1(mod.4)なる素数pとx∈Aに対して x^p≡x~ (mod.p)
の成立がいえます。これ自体が問題にみえる人がいるかもしれませんが、
これは易しいので確認したい人は自力で確認してみてください^^

上のことから、x^3-y^3=1-i の両辺を mod.3でみることで、
x~-y~≡1-i(mod.3) ⇔ (x-y)~≡1-i (mod.3)・・・☆ の成立が得られます^^

(�@)の場合は次のようにすればすぐに矛盾がみえます^^
x-y=ε より (x-y)~=ε~ であるから ☆とあわせることで、
ε~≡1-i (mod.3) の成立が得られます^^
これが矛盾であることをみるのは易しいです^^

(�A)の場合も同様で、次のようにすぐに単数の候補が1つに絞られます^^
x-y=ε(1-i) より (x-y)~=ε~(1+i) であるから、☆とあわせて、
ε~(1+i)≡1-i (mod.3) の成立が得られます^^
これからε=i が得られることをみるのは易しいです^^

>>969
^^ さんじゃないが、整数環で考えるときは、ノルムも整数であってほしいので、
普通は x^2+y^2 で考えるよ。

複素数が数学界で市民権を得るにはまだまだ遠いようだ

よそでやれよ

高校生向けの>>749 の解答例(>>963,964をまとめただけ)
――――
x=a+bi, y=c+di と置くと、問題の2式は x^3-y^3=1-i で表される。
両辺の絶対値をとって、比較すると、
| x-y | | (x-y)^2+3xy | = √2
であり、x-y, (x-y)^2+3xy も複素整数であることを考えると、
A) | x-y | = 1 ∧ | (x-y)^2 + 3xy| = √2
B) | x-y | = √2 ∧| (x-y)^2 + 3xy | = 1
の 2 通りしかあり得ない。
A)の時、(x-y)^2 = ±1 であることに注意して、
(±1 + 3xy) ∈{ ±1±i }
となるが、これは左辺の虚数部に因子3 があるので、あり得ない。
B)の時、(x-y)^2 = ±2i であることに注意して、
(±2i + 3xy) ∈{±1, ±i}
となるが、（±2i + 3xy)∈{±1} の時は、
左辺の実数部に因子3 があるので、あり得ない。よって、xy = ±i
しかし、x,y の実部か虚部が0 でないと、こんなことは起こらない。
これは、abcd=0 を意味するので、不可能。
――――
なんか間違ってるところがある気もするが、これでどうか？

>>974
すごくいいと思うよ。
でも最後から数えて3行目から2行目にわたる議論はどうだろうか。

>>975
xy = ±i の複素整数の解(x,y) を
x,y が実部か虚部が 0 でないとあり得ない、としちゃったところ？

確かに適当な気もする・・・

>>976
いやいや、ちがう、不味い所を了解した。

xy = ±i　の両辺に絶対値をとればいいんじゃね？

>>977
多分説明が不足してるってことやね。
＞よって、xy＝±i　の所から。
――――
よって、(±2i + 3xy) ∈{±i }
この時、xy = ±i でしかあり得ない。絶対値を取って比較すれば、
|x|=|y|=1 としかならないので、これはx,y の実部か虚部が0 であること、
つまり、abcd=0 を意味するので、不可能。
――――
こんな感じか。

今日のわんこ
�@x=a+bi,y=c+diと置き換えてみよう！
�@s+ti(s,tは整数)の形の和差及び積は再び同じ形になるよ！
�A複素数の絶対値をとることを考えてみよう！

それじゃあ複素数の性質そのままじゃないか！

>>980
完璧に要点捉えてるなｗｗｗ

ここまで俺の自演

>>980
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) と分解することが抜けているぞ。
この分解がないと絶対値をとっても議論が進展しないよっと。

ここから俺の自演

わんこ埋め

次スレ用意されてないのに埋めんなカス

〇んこ
〇んこ
わ〇こ
わん〇

次スレ立てます

次スレ立てました
高校生のための数学の質問スレPART274
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1285818616/

梅

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>>987

十日。

>>993
あれか？
時系列とか理解出来ないバカ？

1.0*10^3

うえ

お〇ん〇

999

111+222+333+334

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