【野球】送りバントと盗塁と敬遠

〔類題〕
八匹の超アオムシA,B,C,D,E,F,G,Hが超立方体の８頂点にいて、AはBの方に、BはCの方に、CはDの方に、DはEの方に、EはFの方に、FはGの方に、GはHの方に、HはAの方に動こうとしています。
各時刻において、すべての超アオムシは、同じ速さで移動するものとします
（時刻が変われば、速さは変わるかもしれません）。

t=0 のとき　A(1,1,1,1)　B(-1,1,1,1)　C(-1,-1,1,1)　D(-1,-1,-1,1)　E(-1,-1,-1,-1)　F(1,-1,-1,-1)　G(1,1,-1,-1)　H(1,1,1,-1)
として超アオムシの軌跡を求む。

>>205

本問では時刻tは単なるパラメータで、軌跡に影響しないので、
　Aの速度 = ω･AB↑
　Bの速度 = ω･BC↑
　……
としてよい。ω>0

A（f(t), g(t), h(t), L(t)）とすると 対称性により B〜H も決まる。

　f '(t) = ω{-f(t) -L(t)},
　g '(t) = ω{-g(t) +f(t)},
　h '(t) = ω{-h(t) +g(t)},
　L '(t) = ω{-L(t) +h(t)},
これを解いて
　f(t) = exp(-ωt){f(0)ψ0(ωt) - g(0)ψ3(ωt) - h(0)ψ2(ωt) - L(0)ψ1(ωt)},
　g(t) = exp(-ωt){f(0)ψ1(ωt) + g(0)ψ0(ωt) - h(0)ψ3(ωt) - L(0)ψ2(ωt)},
　h(t) = exp(-ωt){f(0)ψ2(ωt) + g(0)ψ1(ωt) + h(0)ψ0(ωt) - L(0)ψ3(ωt)},
　L(t) = exp(-ωt){f(0)ψ3(ωt) + g(0)ψ2(ωt) + h(0)ψ1(ωt) + L(0)ψ0(ωt)},
ここに
　ψ0(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k)!} x^(4k) = cos(x/√2)cosh(x/√2),
　ψ1(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+1)!} x^(4k+1)
　　　　 = {sin(x/√2)cosh(x/√2) + cos(x/√2)sinh(x/√2)}/√2,
　ψ2(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+2)!} x^(4k+2) = sin(x/√2)sinh(x/√2),
　ψ3(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+3)!} x^(4k+3)
　　　　 = {sin(x/√2)cosh(x/√2) - cos(x/√2)sinh(x/√2)}/√2,
　　ψ3 ' = ψ2,　ψ2 ' = ψ1,　ψ1 ' = ψ0,　ψ0 ' = -ψ3,

>>206

初期条件　f(0) = g(0) = h(0) = L(0) = 1 より
　f(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 + 3π/8)/[2cos(3π/8)] + exp(-x/√2)cos(x/√2 + π/8)/[2cos(π/8)]},
　g(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 + π/8)/[2sin(π/8)] - exp(-x/√2)cos(x/√2 +3π/8)/[2sin(3π/8)]},
　h(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 - π/8)/[2sin(π/8)] - exp(-x/√2)cos(x/√2 -3π/8)/[2sin(3π/8)]},
　L(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 - 3π/8)/[2cos(3π/8)] + exp(-x/√2)cos(x/√2 - π/8)/[2cos(π/8)]},