【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
44 ：１３２人目の素数さん：
HIMAだったから、
>>4のリンクにあるサンプル問題1級2次の解答をつくってみた。
あまりにもルーチンワークだと思われる問題の解答は省かせてもらった。
問題の冒頭に感想つけておきます^^
(問題1) ゴミ問題。これ選択しないと損です。
d=gcd(15n+2,14n+3) とおく。
d|14(15n+2)-15(14n+3)=17 であるから、
問題の分数が可約であることと、d=17であることは同値である。
15n+2≡0, 14n+3≡0(mod.17) ⇔ n≡1 (mod.17) であるから、
求めるnの一般形はkを正整数として、n=17k+1 となるものである。
(問題の後半はこれから容易にわかるので略)
(問題2) 全体的に簡単すぎる。(1)の解答の作り方だけが問題か。
(2)は簡単すぎるので、(1)だけ解答を書く。
(ⅰ)dが3で割り切れることを示す。以下、Z/3Z上で考える。
d≠0 であると仮定する。これから矛盾を導きたい。
d≠0より、a^2≠b^2, b^2≠c^2 はすぐにわかる。
また、a^2≠c^2であることは次のようにしてわかる。
もし、a^2=c^2であるとすると、d=b^2-c^2=c^2-b^2 =a^2-b^2=-d
となり、2d=0 となり、Z/3Zの標数に関して矛盾が生じる。
以上より、a^2,b^2,c^2のどの2つも互いに異なることがいえたが、
Z/3Z上では平方数が0,1の2つしか存在しないのでこれは矛盾である。
(ⅱ)dが8で割り切れることを示す。以下、Z/8Z上で考える。
Z/8Z上において、平方数は0,1,4の3つで全てである。
a^2+c^2=2b^2 をZ/8Z上で解いてみると、解を与える全ての組は
(a^2,b^2,c^2)=(1,1,1),(4,4,4),(0,4,0),(4,0,4),(0,0,0) である。
どの組に対しても、d=0 であることが確認できる。
>>4のリンクにあるサンプル問題1級2次の解答をつくってみた。
あまりにもルーチンワークだと思われる問題の解答は省かせてもらった。
問題の冒頭に感想つけておきます^^
(問題1) ゴミ問題。これ選択しないと損です。
d=gcd(15n+2,14n+3) とおく。
d|14(15n+2)-15(14n+3)=17 であるから、
問題の分数が可約であることと、d=17であることは同値である。
15n+2≡0, 14n+3≡0(mod.17) ⇔ n≡1 (mod.17) であるから、
求めるnの一般形はkを正整数として、n=17k+1 となるものである。
(問題の後半はこれから容易にわかるので略)
(問題2) 全体的に簡単すぎる。(1)の解答の作り方だけが問題か。
(2)は簡単すぎるので、(1)だけ解答を書く。
(ⅰ)dが3で割り切れることを示す。以下、Z/3Z上で考える。
d≠0 であると仮定する。これから矛盾を導きたい。
d≠0より、a^2≠b^2, b^2≠c^2 はすぐにわかる。
また、a^2≠c^2であることは次のようにしてわかる。
もし、a^2=c^2であるとすると、d=b^2-c^2=c^2-b^2 =a^2-b^2=-d
となり、2d=0 となり、Z/3Zの標数に関して矛盾が生じる。
以上より、a^2,b^2,c^2のどの2つも互いに異なることがいえたが、
Z/3Z上では平方数が0,1の2つしか存在しないのでこれは矛盾である。
(ⅱ)dが8で割り切れることを示す。以下、Z/8Z上で考える。
Z/8Z上において、平方数は0,1,4の3つで全てである。
a^2+c^2=2b^2 をZ/8Z上で解いてみると、解を与える全ての組は
(a^2,b^2,c^2)=(1,1,1),(4,4,4),(0,4,0),(4,0,4),(0,0,0) である。
どの組に対しても、d=0 であることが確認できる。
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45 ：１３２人目の素数さん：2010/09/24(金) 20:26:33
(問題3) 事実上(1)だけが問題といえる。ありがち。
(1) a_n = (1/4)(6n-3+(-1)^(n-1))
(2) ルーチンワークすぎる。
(1)はどうやって見出すかというと、雑にいうならば、
(a_n)の階差数列が 1,2の繰り返しであることから、
(-1)^n が -1, +1 の繰り返しになることを発想すると、
(-1)^n を加工することで、(a_n)の一般項が得られる。
(問題4) 多分このサンプル問題の中では一番難しい。しかしやや簡単。
見掛け倒し。注意深くやれば、10分もいらない。
"展開"による思考節約的な解答を与えるので、方法だけ書くことにする。
対称性より、a≧b≧cであると仮定して一般性を失わない。
(a^3+b^3+c^3)^4-(a^4+b^4+c^4)^3 を展開し、整理する。
正の項の部分と負の項の部分をわけて考える。
(a-b),(b-c),(a-c)≧0 を意識して、変形する。
たとえば、負の項の部分には -3b^4c^8があるが、
これに対して、正の項の部分にある 6b^6c^6の半分を対応させると、
(注意: 半分というのは 3b^6c^6 のことです)
その和は 3b^4c^6(b^2-c^2)≧0 というふうに評価できます。
このように、-3b^4*c^8などに対してはうまく対応できるわけです。
一番の問題は負の項の部分にある -6a^4b^4c^4 のところです。
これに対しては 正の部分にある 12a^3b^3c^6,12a^3b^6c^3,12a^6b^3c^3
の3項の和の1/6倍を対応させれば十分うまくいきます。
このように 展開→(a-b),(b-c),(a-c)≧0を意識して変形
というパターンで不等式を証明する方法は常套手段といえます。
ちなみに問題の等号成立の条件はa,b,cの少なくとも2つが0であること。
(問題5)～(問題7)
はげしくルーチンワーク。人を馬鹿にしているのかとｗ
これらは1次の問題にまわせばいいのにね。以上でした^^
(1) a_n = (1/4)(6n-3+(-1)^(n-1))
(2) ルーチンワークすぎる。
(1)はどうやって見出すかというと、雑にいうならば、
(a_n)の階差数列が 1,2の繰り返しであることから、
(-1)^n が -1, +1 の繰り返しになることを発想すると、
(-1)^n を加工することで、(a_n)の一般項が得られる。
(問題4) 多分このサンプル問題の中では一番難しい。しかしやや簡単。
見掛け倒し。注意深くやれば、10分もいらない。
"展開"による思考節約的な解答を与えるので、方法だけ書くことにする。
対称性より、a≧b≧cであると仮定して一般性を失わない。
(a^3+b^3+c^3)^4-(a^4+b^4+c^4)^3 を展開し、整理する。
正の項の部分と負の項の部分をわけて考える。
(a-b),(b-c),(a-c)≧0 を意識して、変形する。
たとえば、負の項の部分には -3b^4c^8があるが、
これに対して、正の項の部分にある 6b^6c^6の半分を対応させると、
(注意: 半分というのは 3b^6c^6 のことです)
その和は 3b^4c^6(b^2-c^2)≧0 というふうに評価できます。
このように、-3b^4*c^8などに対してはうまく対応できるわけです。
一番の問題は負の項の部分にある -6a^4b^4c^4 のところです。
これに対しては 正の部分にある 12a^3b^3c^6,12a^3b^6c^3,12a^6b^3c^3
の3項の和の1/6倍を対応させれば十分うまくいきます。
このように 展開→(a-b),(b-c),(a-c)≧0を意識して変形
というパターンで不等式を証明する方法は常套手段といえます。
ちなみに問題の等号成立の条件はa,b,cの少なくとも2つが0であること。
(問題5)～(問題7)
はげしくルーチンワーク。人を馬鹿にしているのかとｗ
これらは1次の問題にまわせばいいのにね。以上でした^^