巨大数探索スレッド9

大きな実数を探索するスレッドです。

君の思いつく数に１をたすスレッドを創設する

簡単すぎwwwwwwww

10…(0が10兆個)…00^10…(0が10兆個)…00

ハンパなくでけえwwww

糞スレ終了

意味のある数ならグーゴル数でFA

age

>>3
3↑↑6よりちいせえ

アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
と言いたいが、前スレ張ってないなあ
ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが

>>8
> アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
> と言いたいが、前スレ張ってないなあ
> ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが

同意
前スレはちゃんとしたrecursion theory的な巨大数に関する内容だったからね
早く古いスレをHDから復旧してくれないかなあ
つうことで前スレ張っておく

前スレ　巨大数探索スレッド8
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1194777915/

sage

前スレみれねえよ。
↑記号より効率よく巨大化してしかもシンプルな定義が与えられている記号ある？

既に名前がついていてそれなりに知られてる記号だと、

クヌースの矢印表記 (↑)
ハイパー演算子 (�@ �A �B ....)
コンウェイのチェーン表記 (→)

くらいじゃないか？
この中だとチェーンが一番大きい数が作れるが、
クヌースの矢印表記よりは多少定義は複雑。

以下に示す多変数アッカーマン関数は
コンウェイのチェーンと同じくらいの複雑さの定義で
チェーンよりずっと大きな数が作れる。

-----------------
□ : 0個以上の0をカンマ区切りで並べた記述
Ｘ : 0個以上の0以上の整数をカンマ区切りで並べた記述
a, b : 0以上の整数

Ak(□, a) = a+1
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak( Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a) )
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a ) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)

>>12
正直そこくらいまでしか具体的によくわからん

巨大数研究室の現行スレはいつまで７のままなの

sage

sage

lim[x→0]{1/x}

> 大きな実数を探索するスレッドです。

intで括ればいいの？

sage

大きな実数を数値計算に応用する

猫に小判、まで読んだ。

猫に巨判、まで読んだ。

過去スレは結構ドラマティックで 2ch の中ではかなり優良スレだと思うんだが。
魅力が伝わってなさそうなのでリンク。

過去ログ
part１〜７: http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/
part８：http://desktop2ch.net/math/1194777915/
まとめサイト「巨大数研究室」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
http://gyafun.jp/ln/

Large numbers - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers

あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
http://mrob.com/pub/math/largenum.html

猫が寝転んだ。

エメラルド・ポテト数というものを考える
エメラルド・ポテト数は、グラハム数が、今までに数学史において証明に使われた最大の数であるならば、
逆に、今後何年かかろうが数学史において証明に使われることが絶対にないであろう最小の数をそう定義する。

数学史は人類の歴史と同じぐらい長く続くだろうが、
宇宙に寿命があるように、いずれ人類の歴史も終わりを迎える。
宇宙の法則を打ち破るほどの科学技術だかなんだか分からんものを
作れないかぎり、50億年後だか150億年後だか分からないが、いずれ終わりはくる。

それまでの数よりも大きな数を定義する方法として、人は足し算の次の掛け算という表現法を編み出した。
そしてべき乗を編み出し、その延長線上にあるのかどうかわからないが、グラハム数というものも編み出した。
しかし、人の思考はどんなものでも時間をかけて行われるものであり、
仮に宇宙最短の時間間隔でこれを為したとしても、大きな数を定義することを無限に行うことはできない。
つまり、どんな編み出しにも少しの時間はかかるということである。
科学技術は偉大であり、人は思考することなくコンピューターを用いて編み出しを行わせることにも成功しただろう。
しかし、コンピューターの制作にも当然時間はかかる。つまり、いかなる大きな数の編み出しにも相応の時間がかかるのである。

>>26
エメラルド・ポテト数の逆数は、グラハム数より大きいの？

そもそも実数を指示しなければならないんだから、操作回数は文字数で限られるに決っている。
一番効率が良い指数はなにかって話だよな。

たとえばここで、誰かがグラハム数：G_64(3)　よりも大きな数を編み出したとしよう。
この数はどのような数か分からないが、グラハム数を用いて
最短時間によって編み出したものだとする。これをグラハム数の”子供”と定義し、
編み出した手法を”継承”と呼ぶ。一方、グラハム数を用いないでグラハム数よりも大きな数を編み出したとする。
この数と、先に述べたグラハム数の"子供"との大小を比較し、より大きい方(等しい場合も含める)を、"第一世代数"と呼ぶ
ここでは、最短でも3つの手順が行われている。
"継承"による編み出し、それ以外の編み出し、比較による"第一世代数"の3手順である。
このうち、2つの編み出しは同時に行えるので、最短時間でまとめて行える。
しかし、比較して"第一世代数"を決定するのは編み出しが終わった後でなければ行えない
から、どうしてももう一度最短時間がかかる。この2回の最短時間による"第一世代数"を、先のグラハム数に置き換え、
同様の手順を実行して"第二世代数"を編み出す。つまり、最短時間が4回かかっている。最短時間をtとすれば、4tの時間が経過しているわけである。
同様に第三世代数・・・・第n世代数を編み出すことが可能である。第n世代数を編み出すには
2のn乗倍tの時間がかかる。 2のn乗倍t をこの先人類の歴史において数学史にかけられる時間とした場合の、nの値を決定し、
最後に編み出すことのできるものを最終世代数と呼び、最終世代数+1を、エメラルド・ポテト数と呼ぶ。
(別に+1でなくてもいいのではないかとも考えられるが、1を足す以外に、より大きな数を生み出すのに
もっとも短時間で済む手続きは存在しない。最小の自然数1を加えるのがもっとも最速だと判断した。)

言葉が足らなかった。

エメラルド・ポテト数は、
それは数学史上で使われることがあるであろう
最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。

最大の巨大数の上限+1がエメラルド・ポテト数

別に +1でなくてもいいが、理由は上で述べた。
つまり、数学史がどうしても辿りつけないであろう、謎のベールの最初の数。

あと一瞬、あと一瞬でも数学史が続いていれば知り得た数。

ビジービーバーじゃないの？

アキレスとカメが居る。
アキレスはカメの位置まで走るのを繰り返し、追い抜いたとする。
この繰り返しの回数をアキレス数と定義する。

>>31
長文でややこしくなってるけど、
例えばビジービーバーのBB(10)とか概数すら分かってないし、
急速な増大をすればいいってことじゃないって問題提起なんじゃない？

f(x)ではなく、f(x)/TIME[f(x)]を評価しようってことじゃ？
※TIME[f(x)]は、f(x)の時間計算量とでもしよう。

>>33
>>32みたいなのは？

そもそも止まらないアルゴリズムだっていうのは置いておいて、
アキレス数の計算中は、繰り返し回数との比は1じゃね？

>>35
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだよ。

最小時間が存在すれば、アキレス数は計算できるってことでいい？

そういえば量子論的には空間距離には解像度があるって聞いたけど、
だとしたらそのアキレス数は有限の値を取るのかな。

>>30
> エメラルド・ポテト数は、
> それは数学史上で使われることがあるであろう
> 最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。

エメラルド・ポテト数が数学史上で使われたら矛盾するじゃねえか。

巨大基数と巨大数ではどっちが大きいの？

比較すな

>>29の 2のn乗倍tの時間がかかるというのは誤りで、
実際は2n倍tの時間がかかる。

現時点ではエメラルド・ポテト数は確定していない。
数学史がいずれ終わることは、宇宙時間が無限でなければ間違いない
ことだから、エメラルド・ポテト数が存在すること自体は明らかだが、
存在することが明らかであることと、その数が確定的に分かっていることは違う。

最小時間を、およそ5.39×10^(-44)秒であるプランク時間Tpだと仮定すると、
宇宙の寿命を、たとえば10^(100)年後(1googo年後) だとすると、
この寿命のときまで何らかの理知的な手法により数学的編み出しが可能だと考え、
1年＝31 556 926秒≒3.2×10^7秒と考えれば、

3.2×10^107秒程度の時間が、数学史に残されている時間だと考えられるから、

(3.2×10^107) ÷ (5.39×10^(-44)) ≒6 ×10^150 回の編み出しが可能である。
第n-1世代数から第n世代数を編み出すには2回編み出しが必要だから、

実際にはおよそ第 310^150 世代数 が、数学史において最終最大の数ということになる。
したがって、(第3×10^150世代数)+1が、エメラルド・ポテト数ということになるが、
この数が確定するためには、第3×10^150世代数が確定しなければならない。
しかし、第3×10^150世代数の確定は、数学史の終わりの時に実現するから、
エメラルド・ポテト数は永遠に分からないままである。

エメラルド・ポテト数 ： およそ 第3×10^150世代数+1

宇宙の寿命（厳密には数学史の寿命)が伸びれば、もっと大きい可能性はある。
ここでは10^100年後を宇宙の終焉(数学史の終焉)と仮定している。

宇宙の終わりが約50億年後であれば、 第1.5×10^60世代数+1になる。

宇宙の終わりが1年後であれば、第3×10^50世代数+1

宇宙の終わりが1秒後であれば、第10^43世代数+1

宇宙の終わりが(プランク時間(秒)Tpの10倍)秒後であれば、第5世代数+1

アキレスがカメを追い抜くのは確実だけど、そもそも宇宙って発散するか収束するか決まった訳？

>>42
「エメラルド・ポテト数」は既に掲示板の数学板で語られている。
これは「エメラルド・ポテト数」の定義と矛盾する。
よって「エメラルド・ポテト数」を定義することは出来ない。

「数学史上で使われることがあるであろう巨大数」をもっと数学的に記述しないと、
「このスレで一番大きな数 +1」と同レベルの記述。

sage

で、巨大数は増加しているの？

ここ3年くらいまったく。

※初めてこのスレを覗いた人へ
以下の内容は、過去スレを読んでいることを前提としています。興味のある人は過去スレを読んで下さい。
計算可能な範囲では、おそらくこれまでのスレで最も巨大な数(を作り出せる関数)を定義しています。

8スレ目6レス目(以下、8-6のように表記)の関数の元となる、順序数としてのψの定義を見返してみると、問題がありました。

ψの定義は7-202を8-11で修正したもの
　ψ_α(β)は、0に対して加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても
　作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
　また、ψの添字としては上の条件を満たさない順序数を用いてもよいが、
　そのようにして作った順序数をψの引数として用いてはいけない。
これだと、例えばψ_1(1)=ψ_1(0)+ψ_0(1)になってしまいます。

7-202や8-11を書いた頃とは英語版Wikipediaの記述が変わっているので、
今の英語版Wikipediaの記述に沿ってψを定義しなおすと、
　ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して
　加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
のようになります。ただ、この定義に従うと、
ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_1(0))は成り立ちますが、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_1(ψ_1(0))は成り立ちません。
というのも、ψ_1(ψ_1(0))を考えるときにω_1=ψ_1(0)より小さい順序数を用いることができるので、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))＜ψ_1(ψ_1(0))となるからです。

古い定義では、ψ_1(ψ_1(0))=lim{ψ_1(0), ψ_1(ψ_0(0)), ψ_1(ψ_0(ψ_0(0))), …}
となっていたのが、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))に収束列は存在せず、
ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))=lim{0, ψ_0(ψ_1(0)), ψ_0(ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))), …}
のようになります。

新しい定義のψに比べると、古い定義のψの値はずっと小さくなると思われます。
というのも、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+Ω)となる所が
古い定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+ψ_0(Ω))というようになってしまい、
巨大な非可算順序数がうまく作れないからです。

8-696で、8-6のψ_0(Ψ)と同じ大きさの順序数をより簡潔に定義したという人がいましたが、
古い定義でVeblen関数を除いた8-696は、8-6より小さい可能性もあります。
もしかしたら、新しい定義に基づいた英語版Wikipediaのψ_0(ε_{Ω_ω+1})の方が
古い定義に基づいた8-6のψ_0(Ψ)より大きいかもしれません。
新しい定義ではψの定義からVeblen関数を除いても、ψ_0(Ψ)の大きさはおそらく変わらないと思われます。

新しい定義をきちんと書くためには収束列以外にも色々と書くべきことがあり、
それらを書くと非常に長くなるので、txtファイルにまとめてアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/177597.txt

txtファイルの中身の説明

■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
Veblen関数を用いたせいでやたらと複雑になっているので、読む必要はないと思います。
細かい所まであまりチェックしていないので、間違いがあるかもしれません。

■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
巨大数を計算するプログラムを書くために必要な情報はすべて書いてあります。

■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
Ordinal collapsing functionをもう一種類定義することで、より巨大な帰納的順序数を定義しています。

■三変数ψの定義
上のψ、Ωをψ_α(β)=ψ(0,α,β)、Ω_α(β)=ψ(1,α,β)として、三変数のψに拡張したもので、
上よりさらに巨大な帰納的順序数を定義しています。
間違いはできる限り見つけて直しましたが、それでも間違いはあるかもしれません。

以下、txtファイルの中身の補足

新しい定義と古い定義では、ψ_α(0)を入れ子にして置き換える方法が変わります。
古い定義では、ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))の形の順序数が出てきたら必ず
ψ_α(f(ψ_β(f(ψ_β(…)))))のように置き換えていたので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))は常に収束列の存在する極限順序数となります。
これは、ψ_β(f(ψ_{β+1}(0))以上でψ_{β+1}(0)より小さい数を用いることができないからです。
しかし新しい定義では、もしα≧β+1なら、ψ_α(0)未満の数が自由に使えるので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))自体は収束列の存在しない極限順序数となります。
そして、ψ_β(ψ_α(f(ψ_{β+1}(0))))のようになったときに、
ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(…)))))))と入れ子にすることになります。
結局、入れ子にするかどうかは、ψの添字の大小関係で決まることになります。

新しい定義では順序数の大小関係を考える必要があるので、
順序数の大小関係を判断する方法もきちんと書く必要があります。
そうすると、異なる表記が同じ順序数を表しているかも判断する必要があるので、
「正則な表記」というものを表記可能な各順序数に対して一つ定めるのが便利です。
正則な表記はできる限り簡潔な表記を選び、
和は大小関係の規則を単純にするためα+(β+(γ+δ))のように右結合で考えます。
ψの引数はψ_α(β)＜ψ_α(β+1)となるようなものを選んでいます。
もし、ψ_α(β+1)を考えるときにβを作ることができないと、ψ_α(β)=ψ_α(β+1)となってしまいます。
以前の定義では同じ順序数でも表記が異なると収束列の定義が異なったので、
順序数の関数としてきちんと定義されたものではありませんでしたが、
新しい定義では正則な表記が一つ定まるので順序数の関数としてもきちんと定義されます。

txtファイルの定義は、
　1.正則な表記の定義
　2.正則な表記への書き換え
　3.大小関係の定義
　4.収束列の定義
の順で書いてあります。
収束列の定義に単純に従うと、正則でない表記が出てきてしまうので、
正則な表記への書き換え規則も書く必要があります。
ψの引数がψ_α(β)=ψ_α(β+1)のようになってしまう表記が出てくる例としては、
ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))があります。
{ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))}_0=ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))
となりますが、ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))+1)=ψ_0(ψ_1(0))となります。

定義を変えて、収束列の存在しない極限順序数もきちんと大量に作れるようになったので、
定義がややこしくなるだけのVeblen関数は除いて考えることにします。
さらに巨大な順序数を作るにはどうすればいいかということを考えて、
ψと同じ考え方で新たな基数を次々と作り出せる関数Ωを定義しました。
ω_0, ω_1, ω_2…を使ってψを定義したのと同様に、
ω2_0, ω2_1, ω2_2…という順序数を考えてΩを定義することにします。
ω2_αは以下のような性質を持っているとします。
　ω_0＜ω_1＜ω_2＜…＜ω2_0=ω_{ω2_0}＜ω_{ω2_0+1}＜…＜ω2_1=ω_{ω2_1}＜ω_{ω2_1+1}＜…
　「α→ω2_αという写像を使わずにω2_α未満の数からω2_αを作り出すことはできない」
「…」の定義は曖昧ですが、ψやΩを規則で定義する分には問題ありません。
ψ_αがω_α以上ω_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すように、
Ω_αはω2_α以上ω2_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すようにします。

そのようなψ、Ωの定義を考えた結果、以下のようになりました。
　ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数(ただしα=0のときは0のみ)に対して
　加法、ψ、ψ_α、Ωを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。

　Ω_α(β)は、ω2_αより小さい順序数に対して加法、ψ、Ωを適用したり、
　γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得ることを繰り返しても
　作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。

ψ_α(β)の定義でψ_αを使えるようにしたのは、ω_α=αとなるようなαに対しても
ψ_α(0)＜ψ_α(1)＜ψ_α(2)＜…となるようにするためです。
例えば、ψ_{Ω_0(1)}(1)を考えるとき、Ω_0(1)はω_{Ω_0(1)}=Ω_0(1)未満ではなく、
1にΩ_0を適用することもできないので、ψ_{Ω_0(1)}を使えるようにしないとψ_{Ω_0(1)}(0)が作れず、
ψ_{Ω_0(1)}(0)=ψ_{Ω_0(1)}(1)となってしまいます。

Ω_α(β)の定義で「γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得る」という操作があるのは、
ψ_{Ω_α(0)}を用いたときよりも大きな順序数を作れるようにするためです。

ω2_0は十分大きな順序数でω_{ω2_0}=ω2_0を満たしていればどんな順序数でもいいのですが、
ψやΩの引数に入れたとき常にω_ω_ω_…ω_0の極限と同じ収束列になるので、
ω2_0をω_ω_ω_…ω_0の極限と定義します。

例えばψ_α(Ω_1(0))がどのような順序数となるかは、αの大きさによって異なります。
ψ_α(0)≧Ω_1(0)のときは、Ω_1(0)より小さい任意の順序数をψ_αの引数に使えるので、
ψ_α(Ω_1(0))に収束列は存在しません。
ψ_α(0)＜Ω_0(Ω_1(0))のときは、引数がΩ_1(0)を超えるまでΩ_0(Ω_1(0))を使えないので、
ψ_α(Ω_1(0))=ψ_α(Ω_0(Ω_1(0)))=lim ψ_α(Ω_0(Ω_0(…Ω_0(0)…)))となります。
Ω_0(Ω_1(0))≦ψ_α(0)＜Ω_1(0)のときは、
ψ_α(Ω_1(0))=lim ψ_α(ψ_{ψ_{…ψ_{ψ_α(0)+1}(0)…}(0)}(0))となります。

ψ、Ωの定義を参考にして、さらに大きな順序数が作れる三変数ψを定義しています。
三変数ψでも収束列でψ(α,β,γ)=ψ(α,β,γ+1)のようになってしまう表記が出てくることがあります。
例としては、{ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),ψ(0,ψ(ψ(0,1,0),0,0),1),0))}_0
=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))が正則な表記ではなく、
ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0))となります。

とりあえず、アキレス数はどの範囲にあるの？

新しい定義と古い定義で作れる順序数の大きさが違うという例を書いておきます。
Veblen関数も「加法も」用いずに新しい定義のψと古い定義のψ'を定義すると、
　ψ'_0(ψ'_{ψ'_1(0)}(0))=ψ_0(ψ_ω(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ε_0=φ_1(0)
　ψ'_0(ψ'_{ψ'_{ψ'_1(0)}(0)}(0))=ψ_0(ψ_{ω^2}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))}(0))=η_0=φ_2(0)
十分大きい順序数Ψに対し、
　ψ'_0(Ψ)=ψ_0(ψ_{ω^ω}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_2(0))}(0))=φ_ω(0)
となるようです。

ψ_0(Ψ)より大きな順序数で収束列まで定義されているものには、7-571のたろう氏の多変数C1があります。
http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt　7-850、7-858で補足、訂正あり
といっても、私には理解力不足で多変数C1はよく分からないのですが…。
(規則自体が分からないのではなく、それぞれの規則がどういう意味なのかがよく分からない)
あと、収束列は定義されていても、C1で表された順序数の大小関係の規則が明記されていないので、
プログラムで計算できるようにはなっていません。
ただ、7-389を参考にし、「帰納的定義で表現できない順序数」がψの新しい定義と同じくらい有効活用されていると考えると、
　C1(1,0,0)≒ω(0,1)=ψ(0,1,0)
　C1(2,0,0)≒ω(0,2)=ψ(0,2,0)
　C1(1,0,0,0)≒ω(1,1)=ψ(1,1,0)
　C1(1,1,0,0)≒ω(0,ω(1,1)+1)=ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
　C1(2,0,0,0)≒ω(1,2)=ψ(1,2,0)
　C1(1,0,0,0,0)≒ω(2,1)=ψ(2,1,0)
ということで、多変数C1ではψ(0,0,ψ(ω,0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,1),0,0))未満の
帰納的順序数を表せるのではないかと推測はできます。
(古い定義では「帰納的定義で表現できない順序数」が十分に活用されていないので、
C1(C1(1,0,0,0),0)はおそらく古いψ_0(Ψ)よりずっと大きいと思います)

wikipedia の ψ は、

昔が[ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義]
で
今が[ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義]
だから
今の方が小さいと思うんだけど、違うの？

それとも、新しい定義のψってのは、wikipedia のとは違うあなたの定義？

8-6 は昔の定義のψ、
8-696 は（実質）今の定義のψ、
だと思ってるんだけど。

古いψの限界のΨ、
新しいψの限界のΨ、
はどちらも同じ大きさだと思う。

今のwikipediaのψの定義は「べき」も含まれてるけど、
>>50 の [ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義] には含まれてない。
wikipedia の [Making the function less powerful] の定義の方？

>>57
古い定義と新しい定義で一番重要な違いは、
「0に対して……濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数」を
「ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して……最小の順序数」に変えたことです。

昔のwikipediaには方針だけで具体的な定義が書いてなかったので上のように解釈したのですが、
今のwikipediaでより詳しく書かれているのを読むと、下の方がおそらくずっと大きくなることが分かりました。

古い定義では、ψ_α(β)はβ＞0ならば常に収束列の存在する極限順序数となるので、
加法しか使えなければω^(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできませんし、
加法とVeblen関数しか使えなければΓ_(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできません。
しかし、新しい定義では収束列の存在しない極限順序数も作れるので、
使える演算が限られていてもω^(ω_1+ω_1)やΓ_(ω_1+ω_1)などを作ることができます。
なので、(Hardy functionのHとFの定義の違いがε_0以上でほとんど関係ないように)
おそらく新しい定義では使える演算の種類はほとんど関係ないと思います。

各定義でのψ_0(Ψ)の大きさはおそらく、
「旧定義Veblenなし(8-696)」＜「旧定義Veblenあり(8-6)」＜「新定義Veblenなし」=「新定義Veblenあり」
となるでしょう。

新定義では使える演算の種類はあまり重要ではないと思われるので、
できる限り定義が単純になるように加法のみを用いています。
(加法が無くとも大きさは同じだと思いますが、
定義は単純にならず分かりにくくなるだけなので加法は入れました)

"Making the function less powerful"ではψ_1などがないので、
使える演算の種類によって作れる順序数の大きさは大きく変わります。

ところでこういう関数って、増加率のグラフ書いたらどんな形しているの？

>>60
普通に書いたらほぼ垂直に上がっていく
縦軸を1桁になるまでのlogの回数にしても

縦軸をコルモゴロフ複雑性にしたら
途中からほぼ真横に伸びていく

A. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
B. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
C. >50 ■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
D. >50 ■三変数ψの定義
E. wikipediaの古い定義の添え字付きψ
F. wikipediaの新しい定義の添え字付きψ
G. 7-202
H. 8-6
I. 8-696

D > C > A = B = F > E = G = H > I
これであってますか？

>>62
wikipediaには添え字付きψの定義自体はないので、E、Fというのはありません。
G(正確には7-203)とHは同じものです。
　D > C > A = B > G = H > I
なお、7-202、8-11の言葉での定義は間違っています。
>>50のtxtの言葉での定義には今のところ間違いを見つけてはいません。

7-202 はwikipediaに載ってたψの拡張法って書いてあるけど違うの？
今のwikipediaもψ1 とかの記述があって、その1を順序数に拡張したのかと思った。

添え字無しのψだと、
古いwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,φ,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
新しいwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,^,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
で、やっぱり古い方が大きいと思う。

>>64
古い定義で参考にしたのは、
　http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Large_countable_ordinal&oldid=98790666
です。新しい定義で参考にしたのは、
　http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_collapsing_function
です。どちらも、wikipediaの記述そのままではありません。

添え字なしなら、使える演算の種類が多いほど作れる順序数は大きくなります。
添え字が0と1に限られている場合や、Ω_ωまでの基数を用いる場合も同様です。
なので、wikipediaのψは使える演算の種類によって大きさは変わります。

添え字ありの場合、新定義では積や冪やVeblen関数が含まれていなかったとしても、
ψ_α, ψ_{α+1}, ψ_{α+2}, …を用いることで、
Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができます。
なので、使える演算の種類にほとんど関係なく、作れる順序数は同じになると思われます。
旧定義では、おそらく使える演算の種類に大きく影響されます。

>>65 の古い定義の方には
添え字付きψもΩ_nも書かれないけど、
古いwikipediaの定義では「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」
というのはどういうこと？
リンク先が間違ってる？

>>66
>>65で「旧定義」と言っているのはwikipediaの定義ではなく、7-203や8-6の定義のことです。
昔のwikipediaではψの拡張の方針だけが書かれていて、添え字付きψはありません。
wikipediaのψの拡張の方針に基づいて私が定義した添え字付きψが7-203や8-6です。
7-203や8-6の定義は私が自分で考えた事なので、定義に問題があって
「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」ということです。

>>67
了解しました。
ということは Ruby でプログラムを書いた人ですね？
新定義の3変数ψも Ruby 化お願い出来ませんか？

いくつか疑問点

121, 126行目 : maxargとは？
137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？

>>68
時間があったら書きます。

>>69
＞121, 126行目 : maxargとは？
＞137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
maxpsiargと書くべき所をmaxargと書いていました。
121, 126行目のmaxargはmaxpsiargの間違いです。

＞82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
そうです。αはψ_α(β)の濃度を表しているので、正則な表記に書き換えるときに変わることはありません。

＞493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
＞706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
これも上と同様です。

＞131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
131, 198, 327行目についてはそうです。
587行目のcardは、subst_type(γ)が0のときγの共終数の濃度がω_card(γ)となり、
subst_type(γ)が1のときγの共終数の濃度がω2_card(γ)となります。

＞784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
＞796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
subst_typeに対応するものがsubst_arg1で、cardに対応するものがsubst_arg2です。
γの共終数の濃度はω(subst_arg1(γ),subst_arg2(γ))となります。

＞2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
Ψ=Ω_0(0)です。

＞ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？
Ψ=ψ(2,0,0)です。

>>70
thx

>>50のtxtでの定義に、問題がありました。
言葉での定義に従うと、例えばΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))には収束列がないのに、
規則に従うとΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))は収束列を持つことになってしまいます。
それに関連して、例えばψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))の
収束列のn≧2を求めて正則な表記に書き直すと、
ψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))に戻ってしまうという問題も生じます。

言葉での定義に一致するように規則を訂正したものをアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/179316.txt

また、Rubyでのプログラムが完成したので、消えていた前のプログラムと一緒にアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/179317.lzh

8-696 が 8-6 より小さいってのが良くわからない。

ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_2n(0)} > ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_n(0)}
となって、
ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_ω(0)} ＝ ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_ω(0)}
で追いつくと思う。

>>72
規則とプログラムに誤りがあったので、修正したものをアップロードしました。
規則のtxtファイル
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180654.txt
プログラム
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180655.lzh

>>73
以下では、8-6のψをψと書き、8-696のψをψ'と書きます。
また、厳密な議論は困難なので、大雑把な話をしています。

もしも新定義の方針で定義されたならば、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))が収束列を持たず、共終数がΩ_1なので、
ψ_1(ψ_1(0))=Γ_{Ω_1+Ω_1}、ψ'_1(ψ'_1(0))=ε_{Ω_1+Ω_1}のようになります。
ψ'_1(Ω_2を用いた順序数)でΩ_1にVeblen関数を用いるより大きい順序数を作れるので、
ψ'_0(Ω_2を用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_1を用いた順序数)となり、
同様にしてψ'_0(Ω_2nを用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_nを用いた順序数)のようになり、Ω_ωで追いつくと思われます。

しかし、旧定義の方針(元々の8-6、8-696)だと、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))は収束列のある順序数で、
ψ_1(α)≒Γ_{Ω_1+ψ_0(α)}、ψ'_1(α)≒ε_{Ω_1+ψ'_0(α)}のようになってしまいます。
　ψ_0(f(ε_{Ω_1+Ω_1}))≒ψ_0(f(ε_{Ω_1+ψ_0(f(…))}))
　ψ'_0(f(Ω_2))≒ψ'_0(f(ψ'_1(f(…))))≒ψ'_0(f(ε_{Ω_1+ψ'_0(f(…))}))
となることから、8-696でのΩ_2は8-6でのε_{Ω_1+Ω_1}に相当する程度の働きしかしません。
同様にして、おそらく8-696でのΩ_αは8-6でのε_{Ω_1×α}に相当します。
なので、ψ'_0(Ψ)≒ψ_0(η_{Ω_1+1})≒ψ_0(φ_2(ψ_1(0)+1))となりそうです。

上での考察は大雑把なので間違いがあるかもしれませんが、8-696は8-6より小さいと思います。

>>74
ありがとうございます。
ちょっと考えてみます。

新定義のψと旧定義のψの違いは、
ψ(δ, γ) で、δ ≧ card(γ) の場合だけである
ψ(δ, γ) で、δ ＜ card(γ) の場合と、ψ(α, 0) の定義が異なっているのは単に記述方法の違いである
というところまで理解したつもりです。
あってますか？

Ω = ψ(1,0)
Ω2 = ψ(2,0)
とすると、
ψ(0, α) = ω^α    (0≦α＜ε_0)
ψ(0, α) = ε_0    (ε_0≦α≦Ω)
ψ(0, Ω*2) = ε_1
ψ(0, Ω*3) = ε_2
ψ(1, Ω) = Ω^2
ψ(1, Ω^2) = Ω^3
ψ(1, Ω^3) = Ω^4
ψ(1, Ω2) = Ω^ω
これで合ってますか？

アキレス数ってそれらに追いつく？　追いつかない？

これって記述量を分母として、その上で現れた数がどれだけでかいかだよね
記述量の定式化って過去スレのどっかにあった？

>>74
ψ以外で許す関数を、add(x,y) = x+y じゃなくて、successor(x) = x+1 だけでもψ(0,Ψ)の大きさは同じですかね？
もし同じなら定義がすごく簡単になると思うので。

ψ(0,α) = ω*(1+α)    (0≦α＜ω^ω)
ψ(0,Ω) = ω^ω
ψ(0,Ω*2) = ω^ω *2
ψ(0,Ω^2) = ω^ω^2
ψ(1,α) = Ω+ω^α
ψ(1,Ω) = Ω*2
ψ(1,Ω*2) = Ω*3
ψ(1,Ω*3) = Ω*4
ψ(1,Ω2) = Ω*ω
こうかな？
はじめはすごくゆっくり。

>>77
計算可能なものに限定すれば、

巨大数探索スレッド7 の >>260 や、

■■C++で大きな数を作るスレ■■
http://hibari.2ch.net/test/read.cgi/tech/1237894070/

>>75
新定義と旧定義の本質的な違いはδ≧card(γ)の場合のψ(δ,γ)で、
それ以外の違いは作れる順序数の大きさに影響しないと思います。

ψ(1,Ω)=Ω^2までは合ってますが、
ψ(1,Ω*2)=Ω^3
ψ(1,Ω*3)=Ω^4
ψ(1,Ω^2)=Ω^Ω
ψ(1,Ω^3)=Ω^Ω^2
ψ(1,α)=Ω*ω^α (0≦α≦ε_{Ω+1})
ψ(1,Ω2)=ε_{Ω+1}
となります。

>>78
単なる私の直感ですが、加法ありと加法なしの場合、二変数関数の有無という差が大きいのではないかと思います。
二変数関数である加法があれば、ψの引数にψ(ψ()+ψ()+ψ()+…)の形でψを複数入れることができますが、
二変数関数がないとψの引数にψ(ψ_{ψ_{ψ_{…}()}()}())の形でしかψを複数入れることができないので、
両者の差が埋まる前にψ_0(Ψ)に達してしまうと思います。

http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180654.txt

[An Ordinal Notation] vs [三変数ψ]
C(1,0,0)                    ψ(0,1,0)
C(1,0,C(1,0,0))           ψ(0,2,0)
C(1,1,0)                    ψ(0,ω,0)
C(1,α,0)                   ψ(0,ω^α,0)
C(2,0,0)                    ψ(1,0,0)
C(1,0,C(2,0,0))           ψ(1,1,0)
C(1,1,C(2,0,0))           ψ(1,ω,0)
C(1,α,C(2,0,0))          ψ(1,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,0))           ψ(2,0,0)
C(1,0,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(2,1,0)
C(1,1,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(2,ω,0)
C(1,α,C(2,0,C(2,0,0)))  ψ(2,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(3,0,0)
C(2,1,0)                    ψ(ω,0,0)
C(2,α,0)                   ψ(ω^α,0,0)
C(3,0,0)                    Ψ

>>81
Dmytro氏のページは読んでもよく理解できなくて挫折していましたが、
もしそれが正しければ、Dmytro氏のnotationは7-389でたろう氏が解釈していたよりも
ずっと大きいということになりますね。

Bachmann-Howard ordinalは、Dmytro氏によればC(0^{++},0)=C(C(1,0,C(1,0,0)),0)であり、
三変数ψで表すとψ(0,0,ψ(0,2,0))となるので、この二つを比較する分には、
たろう氏の言っていたC1(2,0,0)がψ_2(0)=ψ(0,2,0)に相当するというのは間違いで、
C(1,0,C(1,0,0))がψ(0,2,0)に相当するという方が正しいように思えます。

すると、たろう氏の定義した多変数C1で表せるのは、実のところC(2,1,0)未満の順序数ということになりそうです。

>>81
もっと小さかったかも。

C(1,C(2,0,0),0)                            ψ(1,0,0) 
C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))                   ψ(1,1,0) 
C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))                 ψ(1,ω^α,0) 
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))          ψ(2,0,0) 
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0)))       ψ(3,0,0) 
C(1,C(2,0,0)+1,0)                        ψ(ω,0,0) 
C(1,C(2,0,0)+α,0)                       ψ(ω^α,0,0) 
C(1,C(2,0,0)*2,0)                        Ψ

ψ(α+1,0,0)自体は共終数がωの順序数と定義しているので、
ψ(α+1,0,0)ではなくψ(α+1,1,0)の方が正しいと思います。
それは些細なことですが、さらなる拡張の方針として、
　ψ(0,α,β)=ψ2(0,ψ2(1,0)*α+β)
　ψ(1,1,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2)
　ψ(1,α,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2*α)
　ψ(α,β,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^(1+α)*β)
のようなものができないか考えていたのですが、
この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？

あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
のような基数が存在しますが、
　C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))　　　　　ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
　C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))　 　 　 ψ(0,ψ(1,1,0)+ω^α,0)
　C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))　ψ(1,1,1)
　C(1,C(2,0,0)+α,0)　　 　 　 　 ψ(1,1,ω^α)
　C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0)　　　 ψ(1,2,0)
　C(1,C(2,0,0)*α,0)　　 　 　 　 ψ(1,α,0)
　C(1,C(2,0,0)^2,0)　　　　　　　 ψ(2,1,0)
　C(1,C(2,0,0)^α,0)　　 　 　 　 ψ(α,0,0) (αは極限順序数)
　C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0)　　　 Ψ
となりませんか？
C(2,0,0)^C(2,0,0)=C(0,C(0,C(2,0,0),C(2,0,0)),C(2,0,0))だと思うので、
C(2,1,0)どころかC(1,0,C(2,0,0))にすら達していないみたいですが。

Zという値を定義してみた。

z=(十分に大きな自然数)
z以外の変数=(0以上の整数)

演算記号の結合法則(優先順位)
(a,b,c)=(a,(b,c))=((a,b),c)
(a+b,c)=((a+b),c)
(a,b+c)=(a,(b+c))
(a,b:0)=(a)
(a:0,b)=(b)
(a:b+1)=(a,a:b)
(a:b+c)=(a:(b+c))
(a+b:c)=((a+b):c)
(a,b:c)=(a,(b:c))
(a:b,c)=((a:b),c)
((a,b):c+1)=(a,b,(a,b):c)
(#a)=(a_{a},a_{a-1},a_{a-2},...,a_{3},a_{2},a_{1})
(a,#0)=(a)
(#0,a)=(a)

Zの定義

f(0)=z
f(a+1)=f(a)+z
f(0:n+2)=f(z:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(#c,b+1,0:n+1)=f(#c,b,z:n+1)
f(#c,b+1,0:n,a+1)=f(#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1)
f([0])=f(z:z)
f([a+1])=f(f([a]):f([a]))
f([0],0:n+1)=f([z:z],z:n)
f([a+1],0:n+1)=f([f([a],0:n+1):f([a],0:n+1)],f([a],0:n+1):n)
f([0],#d,b+1,0:n)=f([z:z],#d,b,z:n)
f([a+1],#d,b+1,0:n)=f([f([a],#d,b+1,0:n):f([a],#d,b+1,0:n)],#d,b,f([a],#d,b+1,0:n):n)
f(0:n+1,[0])=f(z:n,[z:z],z:z)
f(0:n+1,[a+1])=f(f(0:n+1,[a]):n,[f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a])],f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a]))
f(#e,b+1,0:n,[0])=f(#e,b,z:n,[z:z],z:z)
f(#e,b+1,0:n,[a+1])=f(#e,b,f(#e,b+1,0:n,[a]):n,[f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a])],f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a]))
f(#e,[0:n+2],#d)=f(#e,[z:n+1],#d)
f(#e,[0:n+1,a+1],#d)=f(#e,[f([0:n+1,a]):n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n+1],#d)=f(#e,[#c,b,z:n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n,a+1],#d)=f(#e,[#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1],#d)

Z=f(z:z,[z:z],z:z)

>>84
訂正します。やはり、ψ(α+1,1,0)ではなくψ(α+1,0,0)が正しいようです。
　C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))　　　　　ψ(0,ψ(1,0,0)+1,0)
　C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))　 　 　 ψ(0,ψ(1,0,0)+ω^α,0)
　C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))　ψ(1,0,1)
　C(1,C(2,0,0)+α,0)　　 　 　 　 ψ(1,0,ω^α)
　C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0)　　　 ψ(1,1,0)
　C(1,C(2,0,0)*α,0)　　 　 　 　 ψ(1,α,0)
　C(1,C(2,0,0)^2,0)　　　　　　　 ψ(2,0,0)
　C(1,C(2,0,0)^α,0)　　 　 　 　 ψ(α,0,0)
　C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0)　　　 Ψ
だと思います。
帰納的順序数で比較すると、
C(0,C(0,C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0),C(2,0,0)),0)=ψ(0,0,Ψ)
でしょうか。

二変数ψと比較すると、
ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
=C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
だと思います。

>>84
> あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
> ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
> のような基数が存在しますが、

あらすみません。
よく定義を見ずに書いてしまいました。

>>86
f(#(e+1), [a], #(d+1)) の定義が無いような。

>>84
> この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？
wikipediaにある普通の1変数のψは、突然Ωという順序数が現れます。
この順序数Ωは十分に大きく、十分にキリが良ければ絶対的な大きさはどうでもよく、
最小の帰納的でない順序数としても、
最小の非可算順序数としても、
もっとずっと大きな基数としても、
ψで作れる帰納的順序数の大きさに影響しません。

ψ(2,0,0) も、
{ 0, +, ψ(0,a,b), ψ(1,a,b) } で作れる順序数に比べて
十分大きく十分キリの良い順序数としておけば良いと思います。
たとえば、最小の到達不能基数であるとか。

C(a,b,c) の場合、実際には作れる順序数はすべて可算です。
絶対的な大きさで比べるならば、すべてψ(0,1,0)未満です。

C(a,b,c) は、admissibility degree が a である順序数と記述されています。
正確な定義は判りませんが、意味的には、
e の admissibility degree が a+1 である <====>
e は e未満の順序数有限個と関数fと帰納的定義では作れない順序数である
（ただし、f(x) = 『xを超える最小の (degree が a) の順序数』）
のようなものと思っています。

C(1,0,0) = ω_1^CK
C(1,0,C(1,0,0)) = ω_1^CK
C(1,0,a) = 『aを超える最小のadmissibleな順序数』= 『aと帰納的定義で作れない最小の順序数』
C(1,0,ω_a^CK) = ω_(a+1)^CK

実際のCの定義は以上のようなものですが、
e の degree が a+1 である <====> e が a-到達不能基数 である
e の degree が a+1 である <====> e が a-Mahlo基数 である
などとしてもまったくCが作れる帰納的順序数の大きさは変わりません。

>>87
訂正
> ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
> =C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
にβ_i≧ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m+1}(0)という条件を追加します。

>>89
帰納的でない順序数の大きさを直接比較するのに意味がないのは分かっているので、
表記上の役割としてψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するかどうかという意味で書きました。

ψ(0,0,α)は帰納的順序数でC(1,0,0)未満の数に相当し、
ψ(0,α,β)はある順序数から帰納的に定義される順序数を作るためにcollapseさせて用いる、
より大きい順序数でC(2,0,0)未満の数に相当すると考えています。

ただ、より大きい順序数を作るためにψ(α,β,γ)を定義したものの、
それは役割的にはC(2,0,0)未満の数に相当するものでしかなかったので、
どのような役割をすればC(2,0,0)に相当するか知るために聞きました。

ψ2(1,0)はcollapseさせることでψ(α,β,γ)など、
C(2,0,0)未満に相当する帰納的に定義されない順序数が作れる(という構想だった)ので、
役割的にC(2,0,0)に相当するだろうか、ということです。

ただ、Dmytro氏の記法はAn Ordinal Notationの時点でも、
今までこのスレに出てきた帰納的順序数よりずっと大きな帰納的順序数が表せるようだということが分かったので、
むやみにこれ以上ψの拡張を考える前に、Dmytro氏の表記を正しく理解すべく努力しようと思っています。
7-389の「ψ_a(0)がAn Ordinal NotationのC(a,0,0)に相当する」という意味の発言に
このスレの>>81まで誰も異を唱えなかったということは、
それまで誰もDmytro氏の表記を正しく理解していなかったということですし。

Dmytro氏のAn Ordinal Notationで表される順序数の収束列を定義しました。
ただし、細かくチェックをしていないので間違いがあるかもしれません。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/183328.txt

間違いさえなければ、今までこのスレで出てきた収束列の定義のある帰納的順序数の中では最も大きく、
これを用いて定義される関数は、今まで出てきた計算可能な関数の中で最も巨大なものになります。

>>91
さらに訂正
C(0,C(1,0,0),C(0,C(1,0,0),0))=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))ですが、
C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(0,C(1,0,C(1,0,0)),0))=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)))となり、
C(0,C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(1,0,C(1,0,0))),0)=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_2(0))となるようです。
なので、そう簡単にはψとCの書き換えはできないようです。

さすが。
数日で理解して収束列定義まで完成させてしまいましたか。

今後はΩの追加、Ω_n の追加と進んで行って、
最終目標は最後の章のC(a, b, c)の収束列定義でしょうか。


>>92 についていくつか疑問、質問があるのでお願いします。

○ 大小比較、
元のドキュメントでは、C(a, b, c) の a, b が最大であれば良いように書かれていますが、
>>92 では c, f が最小であるという条件が加わっています。
この条件は必要でしょうか？

○ standard representation
各収束列からは標準形でないものが生まれにくいような感じがするのですが、
H[C(0,X,0)](n) を求める上で標準形でない形が生まれる場合がありますか？

○ 誤植
subst_arg1(...,x) / subst_arg3(...,x)
x は不要ですよね？

>>92
案の定、問題点があったので訂正したものをアップしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/183811.txt

C(pred(subst_arg1(c)),subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),subst_arg3(c))と
C(d,subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),e)を比較して場合分けをしていましたが、
これだと例えばC(0,C(2,0,0),C(1,C(1,0,0),0))で問題が生じます。
C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))とC(d,c,e)で比較すればおそらく問題ないと思いますが、
きちんと確かめたわけではありません。

>>93
> ○ 大小比較
c,fは最小でなくとも大小比較には問題ないようです。
結局のところ、(aは常に最大なので)bさえ最大であれば、
standard representationであろうとなかろうと大小比較はできます。

> ○ standard representation
きちんと確かめたわけではありませんが、標準形でない形はおそらく出ないと思います。
標準形でない形が出る可能性のある箇所としては、
cの中にf(x)という形の順序数が出てきて、f(x)＞C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))かつx＞cだと、
{C(d,c,e)}'_{n+1}=subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c)))
のC(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c))が標準形でなくなることがあり得ます。
ただ、このときC(d,c,e)が標準形であるためにはf(x)＜C(d,c,e)となる必要があり、
C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))＜C(d,c,e)となります。
すると、C(d,c,e)＞C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))となり、
もう一つの規則の方が適用されるので問題は生じないかと思います。

> ○ 誤植
コピペした時に消し忘れただけなので、xは不要です。

比較の条件だけじゃなくて、
収束列が微妙に変わったのは、
こっちの方が値がきれいになるからですか？
前の方が定義が簡単そうですが。

>>95
C(d,c,e)=C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))のとき、
どちらでも収束列が同じになるようにしたかっただけです。
同じにする必要性はありませんが。

きちんと検証せずに類推で書いたので正しいか保証はできませんが、
A Stronger Ordinal Notationの収束列を定義しました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/184484.txt

>>92 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/184531.lzh

>>97 の C(Ω*a+b, c) が >>94 の C(a,b,c) に対応するので、
C(X,0) は帰納的じゃない、もっとずっと大きな順序数だと思う。

C(C(X,0),0)
こうしなきゃいけないんじゃ？

>>99
確かにそうですね。C(C(X,0),0)じゃないと帰納的になりません。

どれが私の書き込みか他の人に分かるようにまとめておきます。
>49-54, >56, >59, >63, >65, >67, >70, >72, >74, >80, >82, >84, >87, >91, >92, >94, >96, >97
>>98は私ではありません。

>>100
このスレで順序数に関する記述を行っているのは、
あなたと私の二人だけだと思います。

正しさの保証はできませんが、
A Step towards Second Order Arithmetic (C+Ω_n)の収束列を定義しました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/185091.txt
ただ、根本的に間違っている可能性もあるかもしれません。

今、いるのはお二人だけですか？

素数とか使うのはどうなの？

>>102
ついに correctness が出てきましたか。
これって、degree より大きな単位といった感じでしょうか？
degree が α-到達不能基数で、
correctness が α-マーロ基数
という感じの。
それとも、全然概念が違うものでしょうか？


その前に、まだ [A Stronger Ordinal Notation] が理解できてない。

[An Ordinal Notation] では
収束列のない極限順序数aに対し
cf(a) = C( subst_arg1(a), 0, subst_arg3(a) ) とした時、
a = sup { subst(a, x) | x < cf(a) }
という感じでしたが、
[A Stronger Ordinal Notation] だと、subst が3種類も存在します。
もうちょっと subst, subst_arg について説明していただけると非常にうれしいです。

>>105
到達不能基数やマーロ基数を知らないのでその例えが正しいかはわかりませんが、
私の理解としても、correctnessはdegreeより大きな単位というような認識です。
An Ordinal Notationでは、C(1,0,0)のような大きな順序数(correctness 1)を用いて、
帰納的順序数(correctness 0)を表していました。
A Stronger Ordinal Notationになると、さらに大きな順序数Ω(correctness 2)を用いて、
correctness 1の順序数を表しています。
A Step towards Second Order Arithmeticでは、同様にして
correctness n+1の順序数を用いてcorrectness nの順序数を表すものだと思っています。

substの意味をAn Ordinal Notationとの対応関係で説明します。
C(a,b,c)をC(Ω*a+b,c)のように表して拡張したのがA Stronger Ordinal Notationなので、
bを得たり置き換えたりするのにも関数を定義する必要があります。
C(a,b,c)のbに相当するのが、C(a,b)のsubst_arg1(a)です。
これを別のものに置き換えるのがsubst1です。
C(a,b,c)のC(subst_arg1(b),0,subst_arg3(b))に相当するのが、C(a,b)のsubst_arg2(C(a,b))です。
これを別のものに置き換えるのがsubst2で、An Ordinal Notationのsubstに相当します。
C(a+1,0,c)はC(Ω*a+Ω,c)になるので、C(a,x,c)に相当するのはC(Ω*a+x,c)になります。
同様にして、Ωを置き換えればいいと推測できるので、Ωを別のものに置き換えるのがsubst3です。

>>97
subst2(Ω), subst_arg2(Ω) の定義はいらない？

たとえば、
C(C(C(Ω,Ω),Ω),0) つまり、C(Ω^2, 0) に対して subst_arg2 を求めようとすると、
subst_arg2( C(Ω^2, 0) ) = subst_arg2( subst_arg1(Ω^2) ) = subst_arg2(Ω) となります。

subst_arg2(Ω) = Ω, subst2(Ω, x) = x
ですか？

[An Ordinal Notation] の範囲から外れる C(Ω^2, 0) を調べようとして
いきなりつまづきました。

>>106
b = sup { subst1( C(Ω*a+b, c), x ) | x < subst_arg1( C(Ω*a+b, c) ) }
z = sup { subst2(z, x) | x < subst_arg2(z) }
z = sup { subst3(z, x) | x < Ω }
これで合ってますか？

>>107
subst_arg2(C(C(C(Ω,Ω),Ω),0))を求めるときには、
subst_arg1(C(C(Ω,Ω),Ω))=subst_arg1(C(Ω,Ω))=subst_arg1(Ω)=Ωなので、
「subst_arg2(C(c,d))=subst_arg2(subst_arg1(c))」ではなく、
「subst_arg2(C(c,d))=C(c,d)」となります。
なので、subst_arg2(C(Ω^2,0))=C(Ω^2,0)、subst2(C(Ω^2,0),x)=xです。

> b = sup { subst1( C(Ω*a+b, c), x ) | x < subst_arg1( C(Ω*a+b, c) ) }
Ω*a+b = sup { subst1( Ω*a+b, x ) | x < subst_arg1( Ω*a+b ) }
となります。
subst_arg3(z)=Ωと定義すれば、i=1, 2, 3に対して、
z = sup { substi(z, x) | x < subst_argi(z) }
となります。
Ω*a+bは例として挙げただけなので、Ω^2*a+Ω*bやΩ^Ω*a+Ω^bのような形の場合に
bを得たり置き換えたりするのにもsubst1やsubst_arg1を用います。
表記の関係上、subst_arg1(…)=bではなくω^bやω^ω^bになったりという程度の違いはありますが。

>>108
訂正
> z = sup { subst3(z, x) | x < Ω }
となるのは、subst_arg1(c)=Ωを満たすようなz=C(c,d)に対してのみです。
そうでないzに対してもsubst3は定義されますが、
定義の中でsubst3が用いられているときは上の条件を満たしています。

久しぶりに来たので前スレ置いておきますね
http://unkar.org/r/math/1194777915/

前スレより

Q.これは初心者は最初何を勉強すればいいの？
A.以下の順に理解していくと良い。

クヌースの矢印表記
コンウェイのチェーン表記
多変数アッカーマン関数
ハーディー関数
カントールの標準形
ベブレン関数
ビジービーバー関数

コンウェイのチェーン表記は飛ばしても良いし、
ハーディー関数の前にふぃっしゅ数V5を入れてもいい。
ビジービーバー関数はもっとずっと前でもいい。

暫近線とこれらの関数が交差するのってどこ？

>>97 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/186651.lzh

明石家サンタでも見るかな。

でもアンタ達が名誉棄損とか誹謗中傷をスル場として利用しました。だからその
報いをアンタ達は受けなければなりません。なので：

★★第一の論点★★
> アホだのバカだの
> 面と向かって言えない言葉で相手を愚弄するのは良くないな！
コレは正に２ちゃんの住人達がコレまで散々やって来た事であって、だから私
の行為は：
★★★『唯単に数学板で起こっている事から学んで全く同じ事を真似てやってるだけ』★★★
という認識なんですね。だから私がこういう指摘をうけるのであれば、その行
為を元々やってはった人達に対しては何もご注意が無いのかという疑問ですね。

★★第二の論点★★
> 賢いのか知らんが、
> 人間性を疑うぜ！
という事なんですけどね、でもコレも第一の論点と全く同じで、私がやった事
はですね、２ちゃんで皆さんが頻繁にやってる事を唯単に真似ただけなんです
よね。だからもし私の人間性を疑うのであれば、昔からそういう事を好き放題
にやって、無記名で名誉棄損とか誹謗中傷をやりまくってる人達の人間性って
何なのかなぁ〜ってな疑問ですね。そもそも人間性って何なんですかねぇ〜

私は頭が悪いので判らなくなってしまいましてねぇ〜

猫

やっと >>97 の３つの subst, subst_arg の意味が理解できました。
ちょっとずつ理解を進めてますが、全部を理解するにはまだ時間がかかりそうです。

>>97 で作れない最小の帰納的順序数 C(C(ε_(Ω+1), 0), 0) を
>>102 で表すと何になりますか？

>>102 の Ω_nを、一番最後の章のC(a,b,c)で表すとどうなりますか？
大小関係から考えると、
Ω_1 = C(1,0,0)
Ω_2 = C(1,0,Ω_1)
Ω_3 = C(1,0,Ω_2)
....
こうはならなそうですね。

[Bachmann-Howard Ordinal] のΩがΩ_1
[A Stronger Ordinal Notation] のΩがΩ_2
このような拡張をn回繰り返したのがΩ_n
という感じですか。
なんかすごく大きい気がしてきました。

>>116
C(C(ε_(Ω+1), 0), 0)=C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)となります。
Dmytro氏の文章の例で、
　aがcorrectness n＞0で、bがaより大きいcorrectness nの最小の順序数で、c＜aのとき、
　C(ε_(a+1),c)=C(b,c)
というのがありますが、a=Ω_2, n=2とするとb=C(Ω_3,Ω_2)なので、
C(ε_(Ω_2+1),0)=C(C(Ω_3,Ω_2),0)となります。
また、>>102の定義に従ってもそうなります。

最後の章のC(a,b,c)はcorrectnessがaで、そのcorrectnessに対するdegreeがbで、
cより大きい最小の順序数という定義なので、n＞0に対してΩ_n=C(n,0,0)となると思います。
C(1,0,Ω_n)はΩ_nより大きいcorrectness 1の最小の順序数なので、
C(1,0,Ω_1)=C(Ω_2,Ω_1)
C(1,0,Ω_2)=C(C(Ω_3,Ω_2),Ω_2)
C(1,0,Ω_3)=C(C(C(Ω_4,Ω_3),Ω_3),Ω_3)
のようになると思います。

>>118
(Ω_3,0) = Ω_2, Ω_n = C(n,0,0)とすると、
C(0,C(3,0,0),0) = C(2,0,0) となって
Cの一般的な大小比較の法則とは異なってしまいます。
[A Step towards Second Order Arithmetic]では、
C(a,b,c) はCの一般的な法則を満たすと書いてあります。

[A Step towards Second Order Arithmetic] と
[Second Order Arithmetic and Beyond] と
でcorrectness の定義が微妙に異なるようですが、
[Second Order Arithmetic and Beyond] の定義だと
>>102 とは異なってくるんでしょうか？

>>119
C(a,b)=C(0,a,b)ではなく、C(a,b)のcorrectnessをnとして、C(a,b)=C(n,d,b) (dはある順序数)だと思います。
dがどのように定まるかは一般には簡単に表せないと思います。
C(a,b)のcorrectnessがn＞0となるのは、b＜c≦aを満たすcorrectness n+1の順序数cが存在するときです。

ただ、このままではcorrectnessを順序数に拡張したとき、例えばC(Ω_ω,0)のcorrectnessがうまく定義できません。
0とΩ_ωの間にはΩ_n (0＜n＜ω)があるので、correctnessが自然数とするわけにはいきません。
また、C(Ω_(ω+1),0)でcorrectnessがωとなるので、correctnessがω以上というわけにもいきません。
なので、C(a,b)のaとbの大きさからcorrectnessが決まるという定義では、correctnessを順序数に拡張できません。
だから、correctnessを指定する表記に変えてcorrectnessを順序数に拡張しようという方針だと思います。

C(0,C(3,0,0),0)=C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)＜C(Ω_3,0)=Ω_2となると思います。
C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)は、Ω_3以上の数を用いないと表せないcorrectness 0の最小の順序数です。

correctnessの定義は、私の知識では理解できないので飛ばしていますが、
その違いは帰納的順序数の定義にはおそらく影響しないだろうと勝手に思っています。
ただ、"by tweaking the notion of maximality in the previous section"というのが気になりますが。

ふぃっしゅ数の大きさに感動している俺に
>>111のハーディー関数を日本語で解説しているサイトがあれば有り難いんだが

ビジービーバー面白いな。
Σ(5)（候補）まではシミュレート出来るけど、Σ(6)以降はどうしようもなくて笑えるけど。

で Σ(5)（候補）の最初の10万ステップ画像作ってみた。
348KBだけど画像サイズはデカい（12289x100000）んで、しょぼいソフトだと表示できないが。
http://harakiri.run.buttobi.net/up/img/3735.png

ビューアでもブラウザでもエラー吐いて落ちるなぁ。
面倒だし諦めよう。

じゃ1/10サイズの1万ステップで。
http://harakiri.run.buttobi.net/up/img/3736.png

これは Firefox でも普通に表示できる。

おう、見れた。サンクス。
序盤だからか、全然停止するところが想像できないなー。

ラスト1万はこうなる。
http://harakiri.run.buttobi.net/up/img/3737.png

真っ白（1づくし）だった領域を縞々にしていって、唐突に左端（から一つ右）で終わる。
結果は、1 0 (1 0 0 が4095回ループ)1 1.

Σ(2k+4) > 3 ↑^k 3
だそうだ。

ということは、比較的少ないステート数で
アッカーマン関数相当の処理ができるってこと。

1ステートは非常に低レベルな処理であって、
普通のコンピューター言語のような命令を作るには非常に多くのステートを消費するが、
チューリングマシン語で考えられれば
実はそれなりに効率的なのではないだろうか。

　　 　　　　　　　　　　　　　　(￣￣<　 　　　／￣＞
　　 　　　　　　　　　　　　　　　＼　 ヽ　 　／ ／ｿ
　　 　　　 　プ　ロ　ジ　ェ　ク　ト＼　 ヽ P r o j e c t　X
　　 ─────────────────────
　　 　　　　　　挑戦者たち　／|_／ ／＼Challengers
　　 　　　　　　　　　　　　　　|　 　／　　　＼ 　　丶
　　 　　　　　　　　　　　　　　＼／　　　 　　 ＼__ノ

エーックス・・・
語り：トモロヲ
　2011年、経済大国　日本。
その名は、過去のものになろうとしていた。日本は成長著しい２大国　中国とインドに追い上げられ、
アジアの盟主からまさに落日の時を迎えようとしていた。
便所の落書き‥‥‥ そう蔑まれた世界最大の匿名掲示板２ちゃんねるも、ネット上の新たな波の
うねり呑まれ、かつての輝きを失おうとしていた。
　巨大数スレッド、知る人ぞ知る８年以上続いているスレッドが過疎化が進む数学板に依然として
存在していた。プロジェクトはもはやスレッド参加者達の人生をかけた挑戦になっていた。
この８年間に、それぞれの人生があった。それぞれのドラマがあった。しかし
このスレが存在していることを密かに心の支えにして　みんな歯を食いしばって生きた。

アカデミー賞のように注目もされない。オリンピックのようなヒーローもいない、
ましてやノーベル賞やフィールズ賞など、学問の表舞台とも無縁だったが、
プロジェクトは確かに存在しメンバーは「名も無き栄光」を目指した。
これはそんな男達の生涯をかけた静かだが熱き物語である。

♪風のなかのすーばるー　　『グラハム数を超えて』
♪砂の中の銀河−　　　　　『ふぃっしゅ数　誕生　』
♪みんなどこへ行った−　　『チェーン関数の衝撃』
♪見守られることも無く−　『消えたバード数と矢印回転』
♪草原のペガサス−　　　　『３重帰納から多重帰納へ』
♪街角のビ−ナス−　　　　『順序数とHardy関数』
♪みんなどこへ行った−　　『巨大順序数への道』
♪見守られる事もなく−　　『新たな世代の咆吼』
♪地上にある星を　　　　　『２重リスト？多重リスト？』
♪誰も覚えていない−　　　『拡張！Vebelen関数』
♪人は空ばかり見てる〜　　『Ｖer3.からＶer6への道』
♪つばめよ〜高い空から〜　『百花斉放　百家争鳴』
♪教えてよ〜地上の星を〜　『そびえるＢＢの壁』
♪つばめよ〜地上の星は〜 　『人生は短し　数学は長し』
♪今どこに〜あるのだろう〜『　旅　は　ま　だ　　終　わ　ら　な　い　』

　　　『　長　き　旅　路　の　果　て　』　　〜はるかなる巨大数〜

国井アナ「みなさん前回より約５年間のご無沙汰でした。いや〜時間がたちましたね」
善場アナ「私はNHK時代がもうはるか昔に感じます。今ではＴＢＳの番組の印象が
　　　　　みなさんにとっても印象に強いんじゃないかと」
久保ジュン「私も、フジTVでのお仕事が多くて、この前　渋谷に行ったらすっかり
　　　　　　変わっていて驚いちゃいました」
住吉アナ「今日は、先輩達に独立してからのノウハウを聞こうと思って楽しみにしてたん
　　　　　です。」

国井アナ（‥‥‥‥‥）

そろそろ　ふぃっしゅ数Ver.7的なものを一発作っておいてはどうでしょう？？
計算可能関数で一番おおきいものを。

かくいう私は、Ver.5までしか理解しておりませんが…。

パラドックスだな。

ふぃっしゅ氏が理解できる範囲だとΓ_0もいかない気がする。

なんかこのスレは初心者の侵入を拒んでる感じなんだよね
初心者の俺は入りにくいんだよな

初心者大歓迎

で、アキレス数は亀にどの位近づいた時に、それらの関数を追い越すの？
それとも永遠に追い越せないの？

アキレス数ってこれのこと？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%AD%E3%83%AC%E3%82%B9%E6%95%B0
亀に近づくとは？
それらの関数とは？

わかるように書いてね！

小学生が大きな数を競う時に書きそうな大きな数

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1の後ろに0が100個つらなった数。
こんな数でも名前が付いている。
グーゴル(googol)
命名したのは小学生。
検索サイトのgoogleの元になったとも言われている。

観測可能な宇宙の範囲にある原子の数より大きいと言われているが、
こんな大きな数でも、べき乗表現を使うと
   100
10
と簡単に表わせてしまう。

じゃあ次はべき乗表現を使って大きな数を作ってみよう。
    10
  10
10

ちょっと記述が面倒なんで、^をつかって
10^10^10 と表わすことにする。（※ a^b^c = a^(b^c) とする）
これは 1 の後ろに 0 が 10^10 = 10000000000 個もついた巨大な数。

さらに 10^10^10, 10^10^10^10 と大きくすることができる。
ここまで来ると、確率論や組み合わせ論でしか出てこないくらいに大きい。

>>136
ここで言ってるのは>>32

数直線上の0から1の間には無限個の点がある
というのを説明してほしいの?

追い抜いているんだから無限とは言えない。
級数のNの値がふぃっしゅ数その他をとることができるかって話だろ？

馬鹿かお前は。

馬鹿というなら証明してみなよ。

V_a > V_b.
A_0 = 0.
B_0 = 1.
A_{n+1} = B_n.
B_{n+1} = B_n + (B_n - A_n)/V_a * V_b.

n → +∞ の時、B_n - A_n → 0

0と1がどうしたの？

馬鹿かお前は。

他人が問題だと言うことに対して馬鹿だと言うなら、それを解かなければならない。
数直線の話をしているのはあなただけだから、そんな話をしても馬鹿の一つ覚え。

そ、そうだね。
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだねw

順序数って何ですか？

>>138
有限回繰り返しても抜けない。
だからアキレス数は実数じゃない。

>>149
カメが止まれば抜けるんだよ。

追い抜いたという事実は、カメの動作にムラがあったということを示している。まあノロマな奴なんだから当然だろう。
微視的に見ればカメにも止まっている期間がある。寝ているウサギに追いつくのは遅いカメでもできた話だ。

で、それではカメがウサギになってしまって面白くないので、できるだけなめらかに動く特訓をしたクマを用意する。
それをシカが同様に追い抜く場合、アキレス数、いや被っているらしいのでチデジカ数か？これはどこまで増加させられるだろうか？

馬鹿かお前は。

馬なんて出てないだろ、変な奴だな。

冪乗とか階乗の計算できるサイトってありませんか？

http://www.google.com/

>>155
2^{1180591620734591303680}
とかできないじゃん

>>155じゃないけど>>156

第一に条件を後付けするな。
第二にその式が計算できたとして、どういう出力を望んでるんだ?

>>155 でも >>157 でもないけど >>156

2^2^70
＝ 10^( 2^70 * log_10(2) )
＝ 10^355393490465494856465.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
＝ 10^( 2^70 + 355393490465494856465) * 10^0.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
＝ 8.75115884874047610417106853456142033180020093019414..... * 10^1535985111182906159889

階乗はスターリングの近似を使え

なんか間違った。

2^2^70
= 10^( 2^70 * log_10(2) )
= 10^355393490465494856465.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
= (10^0.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....) * 10^355393490465494856465
= 8.75115884874047610417106853456142033180020093019414..... * 10^355393490465494856465

2^70 かとおもったら微妙に違うのか。

2^1180591620734591303680
= 10^( 1180591620734591303680 * log_10(2) )
= 10^355393490470666551868.512941390863707073748263583672433578549457107429727...
= 10^0.512941390863707073748263583672433578549457107429727... * 10^355393490470666551868
= 3.25792731483911607440672655117361363927155523220250236505899263846061278..... * 10^355393490470666551868

2^70+2^34+2^17 か
何の計算？

10文字部門　9を99!回階乗する
20文字部門　f(n):=nに階乗をn回
.　　　　　　　　f^9!(9)

この「nに階乗をn回」って「nをn回階乗」とは違うの？

>>162
その記録いろいろとおかしいのであまり深く考えない方が良いかと。
なんでこんなのが長年記録として掲げられてるのかまったくわからない。

20文字部門では f^9!(9) なのに、30文字部門では f^(99!)(9) とカッコでくくってたり、
「9に階乗を999!回」がなぜか許されず、「nに階乗をn回」はなぜか許されてたり、
20文字/30文字部門の改行が数えられて無かったり、
:= という記号を突然使ったり、
「****に」 がどこまで含んでるか不明だったり、

記録の洗練もされていないし、
OK/NGの判断も曖昧すぎる。
まったくゲームになってない。

巨大数論ってのを読んでるけど
順序数以降が全く分かりません

どうすればいいですか…

大丈夫俺も良く分からん。

PDF読み直して、今更分かった気がする。
2重帰納(アッカーマン)、3重帰納(フィッシュ1)、n重帰納、まで作って、

∀n { n重帰納関数 < F } となるようなFが出来ちゃったので、
極限順序数から借りて、「ω帰納」みたいに呼ぼうっていうのが、
ハーディ関数ってことか？

巨大数を作るために、巨大関数(急激に増大する関数)を作っていく。
それには、「既に作った巨大関数から、それらより大きい巨大関数を作る」ということをする。
巨大関数を新たに作る度に表記を考える(名前を付ける)必要があるが、それに順序数が使える。

順序数には、「順序数の任意の集合に対して、集合のどの要素よりも大きい最小の順序数が存在する」という性質がある。
例えば、空集合に対しては0、{0}に対しては1、{α}(αは順序数)に対してはα+1、{0,1,2,3,…}に対してはω、のように。
これを利用して、順序数に対応した巨大関数を作ることで、
大きい順序数に対応した大きい巨大関数を作ることができる、というのがHardy関数。
大きい順序数を表記する方法は既に色々と考案されているので、それを使うだけでも簡単に大きい巨大関数が作れる。

順序数αに対応する関数をH[α]と書くことにして、α＜βならばH[α]＜H[β]となるようにH[α]を作る。
（自然数の関数f, gに対して、f＜g ⇔ ∃N, ∀n≧N, f(n)＜g(n)とする）

上の「　」で括った二つの部分が対応している。
既に作った巨大関数には、それに対応する順序数が存在している。
それらの順序数の集合を考えると、どの要素よりも大きい最小の順序数が存在して、
それに対応する巨大関数は既に作った巨大関数よりも大きくなる。

「α＜βならばH[α]＜H[β]」が成り立つには、適切な収束列の選び方をする必要がある。
そのような収束列の選び方の十分条件（必要条件ではない）は、以下のようになる。
　順序数αに対し、集合A(α)を次のように定義する。
　　・α∈A(α)
　　・β+1∈A(α)ならば、β∈A(α)
　　・βが極限順序数かつβ∈A(α)ならば、β_0, β_1∈A(α)（β_0, β_1はβの収束列の0,1番目の要素）
　　上の性質を満たす、最も小さい集合をA(α)とする。
　収束列が単調増加であり、任意のα, nに対してα_n∈A(α_{n+1})ならば、「α＜βならばH[α]＜H[β]」が成り立つ。

上の条件を満たさない収束列の例
　ω*(n+1)の収束列を{0,1,…,n,n+1,ω*n+n+2,ω*n+n+3,…}とすると、
　H[ω^2](n)=H[ω*n](n)=H[(ω*n)_n](n)=H[n](n)=2n＜4n=H[ω*2](n)となる。
変な収束列の選び方をしなければ、問題ないと思われる。

1E18=10^18

この「E」の使い方教えてくれないか？

指数表記だろ？　なんかの工業規格にでもあるんじゃないの？

>>169
浮動小数点記法、とか、科学的表記法ってやつ。
丸め誤差を含むことを明示する意味があると思う。
Eは指数(exponent)とかの頭文字じゃないかな。

コンピュータの浮動小数点数の表記でよく使われる。

[a]E[b] で a * 10^b を表す

1.2345E67 = 1.2345 * 10^67
1.2345E+67 = 1.2345 * 10^67
1.2345E-67 = 1.2345 * 10^(-67)

こんな表記は無い
1E1E10

科学では普通に
              23
6.022 * 10
と表記する方が多いと思う。

>>168
十分条件である説明と、
ε_0 未満のすべての極限順序数に対し、
カントール標準形の普通の収束列を選んだ場合
Aがどのようになるか
をご教示願いたい。

ところで、一番微細な数の定義ってどうなってるの？

ε

>>174
巨大数の逆数で良いから本質的に巨大数の検索と同等。

計算可能性とかってどうなるんだろう？

ある単一の小数の値が計算可能であることは、
その小数の小数第n位の値を返す関数が計算可能であること
と同値

>>173
証明は、任意の順序数αに対して、
　(1)H[α]は単調増加である
　(2)∀β∈A(α)-{α}に対し、H[β](1)≦H[α](1)かつ∀n≧2, H[β](n)＜H[α](n)
　(3a)α=α'+1のとき、H[α']＜H[α]
　(3b)αが極限順序数のとき、∀n, H[α_n]＜H[α]
を帰納的順序数についての帰納法で示せばよい。
細かいところは省略して書くと、

　α=0のとき、H[0](n)=nは単調増加、A(0)-{0}=φであるから、(1)(2)が成り立つ。

　α=α'+1のとき、H[α']が単調増加であるから、H[α'+1]も単調増加で∀n, H[α'](n)＜H[α'+1](n)である。
　よって(1)(3a)が成り立つ。α'について(2)が成り立つので、∀n, H[α'](n)＜H[α](n)から(2)が成り立つ。

　αが極限順序数のとき、仮定よりα_n∈A(α_{n+1})であるから、
　H[α_0](1)≦H[α_1](1)かつ∀n, ∀m≧2, H[α_n](m)＜H[α_{n+1}](m)である。
　H[α_n]は単調増加なのでH[α_n](n)＜H[α_n](n+1)となるから、H[α]は単調増加で(1)が成り立つ。
　α_0, α_1について(2)が成り立つので、H[α_0](1)≦H[α_1](1)=H[α](1)かつ
　∀n≧2, H[α_0](n)＜H[α_1](n)＜H[α_n](n)=H[α](n)より(2)が成り立つ。
　∀n, ∀m≧max(n+1,2), H[α_n](m)＜H[α_m](m)=H[α](m)より(3b)が成り立つ。

あとは、(3a)(3b)を用いれば「α＜βならばH[α]＜H[β]」が示せる。

Aの例としては、
　A(ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+3)
　={0,1,ω,ω^ω,ω^ω^ω,ω^(ω^ω+1),ω^(ω^ω+ω),
　ω^(ω^ω+ω^2),ω^(ω^ω+ω^2)+1,ω^(ω^ω+ω^2)+ω,ω^(ω^ω+ω^2)+ω^ω,
　ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1),ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+1,
　ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+2,ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+3}
のようになる。

書いた後で気づいたが、>>168の「β_0, β_1∈A(α)」は「β_1∈A(α)」に変えても問題ない。

>>167
> 既に作った巨大関数には、それに対応する順序数が存在している。

関数と順序数を厳密に対応づけることは非常に難しい。
Hardy関数が3種類あることや、
複数の順序数に対応するHardy関数にまたがって無限回振幅するような関数の存在、
順序数に複数の表記が存在しその表記ごとに収束列が定義されるような収束列の定義、
......
などいろいろがるが、
一番の問題はやはり収束列の定義方法によって大きく増大度が変わってしまう点である。

幸い、今まで出てきた収束列の定義では、
Hardy関数の大きさは大差ない。
普通に収束列を定義するならば、
収束列によらずに、同じ順序数であればほとんど同じ増大度の関数になるのだ。

ところが、この「普通」の定義が難しい。

>>168 の 「α＜β⇒H[α]＜H[β]」という条件は普通であることの必要条件の１個と思われるが、
これだけでは「普通」を定義する条件としてはまだまだ足りない。
実際、H[ω](n) > BB(n) というようにすることもできてしまう。

ここで言う「普通」と正規な (canonical) は同じことなの？

> H[ω](n) > BB(n) というようにすることもできてしまう

これって何か問題なのか？

関数の増加度と順序数を対応付ける為には
そういう不自然な収束列では都合が悪いってことよ

アキレスとカメって、実は観測問題なんだよね。
アキレスとカメの距離が小さくなるというのは、亀の位置が正確に判るということだから、
不確定性原理により、その時の亀の動く速さはわからない。
亀の速さがわからない時はアキレスの速さもわからないので、アキレスは亀に追いつけるかわからない。

>>151の場合は、クマが止まれば追いつけるんだけど、クマが止まった時のシカの位置がわからないんだよな。

>>184
「アキレスが亀に追いつくとき、
　それ以前に亀がいた位置を全て通過している」
というのは、自明だと思うが、何が気に入らないのか？

>>185
上で言ってるアキレスとカメは、亀の速さはアキレスの何分の1だが、アキレスは亀に追いつけない。って定義の奴の事だろ。

うさぎがいくら速くたって、ゴール寸前のカメに勝てないのは自明だよね。

で、問題の巨大数は観測した回数の事だから、寝てたうさぎは論外だな。

アキレスとカメやウサギと亀やクマとシカの話が
大きな実数に結びつくとはとても思えないのだが

つまり、スレ違い（もしくは板違い）

>>188
では、不等号をつけてくれ。
どの数より小さいことは言えるんだ？

無限ループを持ち出して、このループ回数は巨大数だ、と言う馬鹿↑。

どうして無限ループになるんだよ。
少なくとも先にいる方が休んでいれば追いつくことは幼稚園児にでも自明だろ。

無限数列を持ち出して、無限数列の和が収束するから有限数列だ、と言う馬鹿↑。

>>192
無限を証明しろよ

ユークリッド空間、ニュートン力学の世界、
双方が同じ直線上を同じ方向に異なる速さで等速直線運動、
スタート時には速い方が遅い方より後ろにいる、
ゴールする前に速い方は遅い方を抜いた、
という条件であれば答えは無限、
それ以外であれば定義をちゃんと書け

>>194
ありえない。

>>195
証明してみろよｗ

できるだけなめらかにと指定されているので等速直線運動ではない。
微細距離を扱うのにニュートン力学はちょっと、、、

「なめらか」とか意味不明、定義してみろ。

まあ証明も定義も無理だろうけど。

覚えたてのゼノンのパラドックスが不思議でしょうがないんですね＾＾

なめらかはなめらかだろう。
そもそも、できるだけと言っているんだから正確な所はなめらかではない。
可能な範囲でということだろう。

小学生みたいだな。

まあ、ニュートン力学とか言ってるんだからそうなんだろうな。

定義すら出来ないゴミの話題はもう止めよう。

定義はされてるだろ。解釈できる範囲は決まっている。

┐(´ー｀)┌

なめらかって日本語を知らないの？

┐(´ー｀)┌

初音ミクを定義しろと言われたら音声合成式を公開しなければならないのだろうか？

正確な動きが不明であれば
アキレス数の値（もしくは存在）は不明である

>>209
定義の範囲で自由に動いていいんじゃないか？

>>188
結局の所、ビジービーバーの一種って事に落ち着くのだろうか？

妄想乙

なにを言っているんだ？
巨大数なんてどう考えても妄想そのものだろ？
実在させる方法はあるのか？

せいぜい指数関数

せいぜい対数関数だろ。

こんなのはどう？
A f nをfをn回適用する関数とし
pを1足す関数とする←増加のための基本関数はこれに限ることにする

A p n = +n
A (A p n) n = *n
A (A (A p n) n) n = ^n
ここで、A (A (A (A f n) n) n) nと考えていけばさらに大きい数は作れるが
A' f n = A (A f) nとすれば、その考え方自体はAを使って表現出来るため
このアイデアはAの範囲で閉じている
同様にB f nを(f f)をn回適用する関数とすれば
B p n = 2^n
などが考えられ、それらが閉じているかなどを調べる
多分パターンは多数作れるが
どんなパターンもある種の基本的増加パターンの組み合わせで表すことが出来るのか？
などの疑問が出てくる
このやり方は、直接的に構成出来る関数のみで
「〜の性質を満たす最小の数」といった宣言的？な関数は表現出来無いのが弱点

上のAを仮に増加関数Aと呼ぶことにすると
Knuthのタワー表記はAのみの範囲で閉じてるので
Knuthタワー∈Aとなる
コンウェイのチェーンはAに収まっているかわからないが、
(何らかの変形でAに収まるかもしれない)
冪やAckermannはAの範囲に収まっていないので
別の増加関数を加えて考える必要がある
それと上のB f nはfn+1=(fn fn)という合成をn回繰り返す関数、の誤り

>>216
p(x) = x +1
(A p n) x = p^n (x) = x +n
{A (A p n) n} x = (A p n)^n (x) = x +n^2
[A {A (A p n) n}] x = {A (A p n) n}^n (x) = x +n^3

間抜け関数と名付けよう。

表記が怪しいのはともかく
言いたいことは何となく伝わらないだろうか
変な所は218とか詳しそうな人に任せるとしてλ式で。

fをn回適用するもの自体を整数に対応させる。チャーチ数=間抜け関数
1=λf x.f x
2=λf x.f (f x)
3=λf x.f (f (f x))
+1=λnfx.f(nfx)
a+b=λabfx.b f (a f x)
a*b=λabfx.b (a f) x
b↑a=b^a==λabfx.a b f x = λab.a b = 1
b↑↑=λab.b (b a) = 2
b↑↑↑a=λab.b (b (b a)) = 3
このようにタワー表記はfをn回適用する関数Aそのものと自然に対応する
2↑↑2
=(λab.b (b a)) 2 2
=(λab.b (b a)) (λab.b (b a)) (λab.b (b a))
=λfx.f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f x)))))))))))))))
=16

算法騎士団はミミズ何匹の夢を見るか？

1>x>0 の時の 1/x のうちの最大の数。

>>220
> 言いたいことは何となく伝わらないだろうか
ムリ
わかんない

>>222
そんなものは存在しない。

わからないのに偉そうな奴が居るな。

もうちょっと整理。
ある高階関数Xをfに繰り返し適用して作られる関数全体をClosure(X,f)とし
これによる同値類で巨大数を生成する関数(のうち、帰納的に作れるもの)を分類しようとしている
p(x)=x+1、A f n=fをn回合成として
+,*,^,Knuthのタワーなどは全て同じクラスClosure(A,p)に含まれる
>>220ではX=チャーチ数の一種、pは後者関数と呼ばれているもので
このチャーチ数の作り方に対してはλnfx.f(nfx)

pは好きに選べるので、例えば
Ack(n)=Ack(n,n)とすると、Ack(Ack(n))やAck(Ack...(Ack(n)))みたいな作り方の高階関数は
上のAを使ってClosure(A,Ack)としてまとめて表せる
pはp(x)=x+1に固定し、Closure(X,p)を単にClosure(X)と表すことにして
既存の巨大数を生成可能なXの種類について調べる、みたいなアイデア

その閉包はちゃんと"閉じる"のかねぇ。

Closureが生成する関数がちゃんと定義されるかということなら
特に何も制限してないのでXとfの性質を受け継ぐとしかいえない
fがtotal functionであれば
Aは自己適用するだけなので
Closure(A,f)が含む関数が全てtotal functionなのは明らかだが
それはXの性質次第
既存の関数を分類するのには問題ないんじゃないかと思ってるけど。

>>223
逆数が零ではない最大の実数　は存在しないってこと？

> ある高階関数Xをfに繰り返し適用して作られる関数全体をClosure(X,f)とし
f : [整数たちから整数への関数]、
X : 『[整数たちから整数への関数]たちから[整数たちから整数への関数]への写像』
でいい？
f : [非負整数から非負整数への関数]
X : 『[非負整数から非負整数への関数]から[非負整数から非負整数への関数]への写像』
に限定しても実質同じ？
『繰り返し適用』ってのは定数回数適用で良い？

たとえば、
X(f) = f^2 とすると、
Closure(X) = { f(x) = x + 1, f(x) = x + 2, f(x) = x + 4, f(x) = x + 8, ..... }
で良い？

X(F[ある順序数]) で F[ある順序数 + α] 相当の関数ができるとすると、
F[0] に X を定数回数用いても F[α*ω] には到達しないから、
Closure(X) の上限は F[α*ω]
で良い？

>>228
当たり前だ。
実数の逆数は（存在すれば）零じゃないから
単に「最大の実数が存在しない」と同じ意味になる
すべての実数a に対し a+1という実数が存在し a < a+1 となる
だから最大の実数は存在しない

>>230
>>1
＞大きな実数を探索するスレッドです。

>>229
f:a -> a
X:(a -> a) -> (a -> a)
が頭にあったので最初2つにYesと答えようとしたのだけど
そうすると既存のAがうまく扱えない(既存のAは(a -> a) -> 自然数 -> (a -> a)であるので　)
ので、また整理して書く

整理したものには、別名を付けるので
既存のClosure(X,p)については229さんの理解した内容でOK
そして、定数回の繰り返しかどうかについては、
順序数を取り扱いやすいように好きに決めてもらってOK
(順序数は勉強中なのでむしろ教えてほしい)

とりあえず今日は寝る

近代の情報が知りたいな
今一番でかいのはF4？F5？F6？BB？

>>229
つづき

+,*,...は2入力の関数なので閉包に与えるfも2入力である必要があったため
2入力の関数に対する閉包を同様にClosure2(χ,f)とし
最初の版のpに相当するものを通常の足し算として同様にClosure2(χ)=Closure2(χ,+)とする
X∈χは(a->a->a)な関数を受け取り、(a->a->a)な関数を返す高階関数となる

220で考えたものは自然数nでパラメータ化されているので
X: (a->a->a)->自然数->(a->a->a)な関数で
この考えをHaskellで書くと
xa f n = if n==1 then f else xa (\x y -> foldl1 (\acc x -> f x acc) $ replicate y x) (n-1)
closure = map (xa (+)) [1..]
first5 = map (\f->f 2 3) $ take 5 closure

この結果は
[5,6,8,16,65536]
これはClosure({xa},(+)))の最初の5つに2と3を渡した場合の結果で
それぞれ2+3/2*3/2^3/2↑↑3/2↑↑↑3に対応する
6番目は計算が終わらなかった

(2^2)^2=16なのでコードはfoldl1→foldr1の誤りかな
質問への回答は帰ってきてからまた

>>234
それ止まりだと単なるハイパー演算子なので、
さらに大きな数を作れるようなXの具体例を考えなくては。

>>233
●厳密に定義出来ている（もしくは簡単に出来る）ものの中での最大は、
計算不可能次数が0^[大きな帰納的順序数]であるオラクルを持つマシンによるビジービーバー関数

●厳密に定義するのは難しいが頑張れば定義できるであろうものの最大は、
計算不可能次数が0^[大きな可算順序数]であるオラクルを持つマシンによるビジービーバー関数
もしくは、
F[大きな可算順序数], H[大きな可算順序数], G[大きな可算順序数]

●アルゴリズムが具体的に示されているものの最大は、
F[大きな帰納的順序数], H[大きな帰納的順序数], G[大きな帰納的順序数]

--------
大きな帰納的順序数（収束列の定義やそれを求めるアルゴリズムまで示されている物）は
>>102 が最大

大きな可算順序数も >>102 に示されているものが使える
帰納的ではない可算順序数の収束列の作り方は、
>>7-267 で示されているような方法が使えるはず

>>229
最初2つはYes。
順序数でもいいので、比較関数を含めてClosure(X,f,<)などとしてOK
3つめはNo。↓にあるように無限リスト。加算個
4つめはYes.↓の実装にサンプル
5つめはまだわからないが
計算機ではω自体は扱えないような気がする
http://en.wikipedia.org/wiki/Domain_theory
このあたりがプログラム言語と数学の接点
半順序と、再帰関数をうまく扱うために最小不動点なるものを使うらしい

コードを再度整理
--Xに相当
--fを2回合成
f2 f = f.f
--2引数関数fをy個のxに(y-1)回適用
x1 f x y =foldl1 (flip f) $ replicate y x

closure x f = scanl (\acc i -> x acc) f [1..]
c1 = closure f2 ((+)1) --Closure({f^2},p)
c2 = closure x1 (+) --Closure({x1},+)
test f cl= map f $ take 5 cl
result = [test ($0) c1,test (\x->x 2 3) c2]
--結果[[1,2,4,8,16],[5,6,8,16,65536]]
--[1,2,4,8,16]はClosure(f^2,p)の先頭5つに0を適用した結果

しばらくは、過去スレの成果に追いつくことを目標に。
>>234
次はコンウェイのチェーンをやってみる

アンカーミスった、>>236
その前に、ハイパー演算子ってのもあるのか

>>237が言っていることはほとんど理解出来無い・・
ビジービーバーまでは理解したい

成果物の型のアノテーション
f2 :: (c -> c) -> c -> c
x1 :: (Int -> Int -> Int) -> (Int -> Int -> Int)
closure :: (a -> a) -> a -> [a]
--fが1引数::((a->a)->(a->a))->((a->a)->[(a->a)])
--fが2引数::((a->a->a)->(a->a->a))->((a->a->a)->[(a->a->a)])
--fがn引数ならn個の->を使ってa:=a->a->..->aと置き換え

コンウェイのチェーンで作れる関数は結局タワーの繰り返しになるので
Closure2(x1,+)に既に含まれていた
ハイパー演算子は含まれない(後者関数を含んでないため)

元のClosureはあまり役に立たないので
色々な関数を入れたり演算子を折りたたんだものを入れたりして
それらの合成を考える
A,BをClosure,Xを2つの関数を合成する高階関数とし
Mix(A,B,X)={ X(f,g) | f∈A,g∈B}とする

mix f a b = aux a b 1
where aux a b c =
f (zip (take c a) (reverse $ take c b)) ++ aux a b (c+1)

ところで、人工的に作られたのでない最も巨大な数って
有限単純群のモンスターかな？

＞すべての実数a に対し a+1という実数が存在し a < a+1 となる
これってどこで保証されているの？

>>238で作ったx1について
+を繰り返して演算子を作ると、冪から演算が非可換(2^3≠3^2)になるため
どちら側からたたみ込むか、というのが巨大数を作るのに影響してくる((3^3)^3<3^(3^3))

x1の作り方を細分化すると4パターン(A/B)個の(B/A)を(左/右)から合成)
x1lr f x y =foldl1 (flip f) $ replicate y x
x1ln f x y =foldl1 (flip f) $ replicate x y
x1rr f x y =foldr1 (flip f) $ replicate y x
x1rn f x y =foldr1 (flip f) $ replicate x y
うち2パターンは2入力の大小に対し対称

closure x f = scanl (\acc i -> x acc) f [1..]
xlist = [x1lr,x1ln,x1rr,x1rn]
pclosure = flip closure (+)
--[[5,6,8,16,65536],[5,6,9,27,19683],[5,6,8,16,256],[5,6,9,27,?]]
result23 = map (map(\x->x 2 3).(take 5).pclosure) xlist
--[[5,6,9,27,?],[5,6,8,16,256],[5,6,9,27,19683],[5,6,8,16,65536]]
result32 = map (map(\x->x 3 2).(take 5).pclosure) xlist

19683=3^(3^2)
65536=2^(2^(2^2))
?=7625597484987=3^(3^3)
冪は天下り的に右結合とするのが多いと思うが
冪に相当する演算の結合性はx1の作り方で決まり
作り方によっては左結合よりも右結合のほうが大きくなるとは
限らない模様

>>241
順序体の公理と0≠1から導ける

最大の有限体は存在するの？

>>244 素数pに対しZpが作れるんだから最大が存在したらおかしい

λの世界のモンスター
K(λab.a)とS(λabc.ac(bc))の2つは
ヒルベルト流の命題論理と対応している
k :: a -> b -> a
s :: (a -> b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)
関数適用(Apply)はModus Ponensに相当する

これをSのみに制限して研究した人がいて
その中でも正規形に到達するのに巨大なリダクション列を持つものを
モンスターと呼ぶそう
ttp://www.imn.htwk-leipzig.de/~waldmann/
Part II: The Combinator Sの部分のpsファイル
一例として、T=SSとしてSTSTSは少なくとも10^6回はReductionが必要らしい
出来上がった関数を使ってClosure(CL(S),p)とかを考えてもあまり意味はないと思うが
psに載ってるCL(S)の漸化式のnに対するReduction回数は結構な増加速度の関数を生成しそうな予感
ただ、元が全て関数なので計算が難しい→評価が難しい

比較できるのに最大が無いってどういうことなんだろう？

単に終わりがないってことじゃん。

リンゴが入った袋が沢山あります。
でもこの中にリンゴが一番多く入っている袋はありません。

…おかしくね？

一番多く入っている袋を取ったら、もっと多く入っている袋を補充すればいいじゃん．

その袋はどこに隠していたの？

リンゴの袋一つに人間を一人付けます。
笛を鳴らして一斉に一つ取り出させます。
リンゴが無くなればそれ以降の笛で一歩ずつ歩かせます。
横に居た人が歩いたら手前につめます。
元の位置に居る人間が居なくなった時、一歩進んでいる手前の人に、何個だったか聞きます。

これでどうなの？

訂正、元の位置というか、手前につめているからゼロ歩目の位置だね。
つめなければそのままでいいけど。

数論では実体を考えるとパラドキシーなことが多いよ。
無限に部屋数のあるホテルの話とか聞いたことない？

比較可能ってことは選択公理が使えるって事じゃないの？

リンゴ袋の数は知らないけど、袋にはいっているリンゴは有限である場合、いつかはリンゴは無くなる訳だよね？
笛はいくらでも鳴らせるけど、リンゴは数えられる。

ふぃっしゅ数は「63」って数字がよく使われてるけど
何で「63」なんだ？
初代ボスのグラハム数は「64」なのに

結局、このスレで言う巨大数って、逆数はリシャール数だよね？

結局>>251-252のリンゴの数って最大なの？　それともどこかで間違っているの？

前スレで散々順序数って何だYOって言ってた輩です。
口調が汚いのにも関わらず優しく教えていただいて感謝しています。

ですが一向に解る気配がないのです。
順序数はグラハム数、バード数、ふぃっしゅ数1、2、3とは違う次元にあるようですね。
数学が得意だと図に乗っていたのが恥ずかしいです。

無限小数同士の比較は、有効数字だけ見ればいいんだよ。

>>259
Wikipediaなんかの説明では、俺も分からなかった。

自然数が(ペアノの公理によって)ゼロと後者関数の定義で構成されてるなら、
順序数は、ゼロと後者関数と、上限によって定義されてるって印象。

上限をとる操作によって自然数の枠から飛び出せる感じ。
印象だからたぶん間違ってるけど。

超限順序数だなんだと言ったって、頭に小数点を付けたら単なる無限小数なんだぜ。

Wikipediaの順序数の説明なんか読んだら余計わからなくなるぞ。
英語版なら多少はマシだが。

ω, ω+1, ω+2, ...
ω*2, ω*2+1, ω*2+2, ....
ω*3, ω*3+1, ω*3+2, ....
ω*4, ω*4+1, ω*4+2, ....
ω*5,
ω*6,
ω*7,
.....
ω^2
ω^2 + ω
ω^2 + ω*2
ω^2 + ω*3
.....
ω^2 *2
ω^2 *3
ω^2 *4
.....
ω^3
.....
ω^ω

と順番に理解していけばいい。
とりあえずの目標はカントール標準形
とりあえずはそこまででいい

自然数であって実数ではない超限順序数は成立しうるか？

>>257
自然数の逆数はすべてリシャール数

>>264
超限順序数は自然数ではない

整数であって実数ではない数は成立しうるか？

結局、ω-1って何なんだ？

可算無限集合はクリスプ集合だろうか？

虚数部が空である複素数は不自然な数である。

戦争なんかやめて
どの国が一番大きな数を作るか競えばいいのにね

>>266
整数⊂実数

>>267
ω-1 は存在しない

>>268
クリスプ集合じゃない可算無限集合もあるかもしれない

>>269
意味不明

>>270
負けたら日本の国土がなくなっても良い？

自然数というのがそもそもおかしいんだよ。
揃った数は自然には存在しない。

国敗れて山河あり。算法破れて無限あり。

>整数⊂実数
ちゃんと定義から導いてよ。
っていうか成立しうるかという話なんだから、整数は広義、実数は狭義の定義を持ってきてね。

>>274
なんでそんなに偉そうなんだよw
教えてほしいならyahoo知恵袋でお願いしてみろよ
なんにしてもスレ違いだ

>>275
じゃあ成立するってことね。　別に否定したくなければいいのよ。

結果だけ書いた275を否定してるのはどう見ても274のほう

>>277
ん？否定できなくていいの？　だとすれば巨大数を定義する時にいちいち実数か調べる必要がでてくるね。

>>272
言葉がおかしいものは世の中にたくさんある。
が、数学会に広まっているごく一般的な用語だ。
あきらめろ。

>>273
?

>>274
実数の部分集合 {....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....} と実数の演算(+,×)、順序(<)は整数の公理を満たす。

もちろん、実数と整数の元を別のものと考えて直和をとれば 0_実数 ≠ 0_整数 とも出来る。
この場合、この直和は実数の公理も整数の公理も満たさない。

>>276
> じゃあ成立するってことね。
この理論がわからない。

>>278
実数と整数の元は別のものと考えたとしても、
整数から実数への対応が簡単なので無問題。

2<1.0という主張かい？

280は>>278宛

>>279
その実数の部分集合が全ての整数を含むかわからない。
否定されなければ仮説は成立したままだ。

>>282
整数の公理を満たす集合は同型を除いて一意に定まるから、
部分集合が公理を満たすなら整数と同型。
つまりモレが無い。

任意の正整数は1+1+....+1 の形であらわせる。
これはこのまま実数の1+1+....+1 に対応する。

0は整数であり実数でもある。
nが整数であり実数でもあれば、
n+1も整数であり実数でもある。
数学的帰納法によりすべての非負整数は実数である。

0は整数であり実数でもある。
正整数の空でない任意の部分集合には最小元が存在する。
実数ではない正整数が存在すると仮定し、その最小元をaとする。
この時a-1は0であるかaより小さい。つまりa-1は実数である。
任意の実数に1を加えたものは実数なので、(a-1)+1=aも実数である。
これはaの条件に矛盾する。

>>283
公理は、既知の数において否定された事がないというだけの話であるから、未知の数に対しては神話に対応する。

つまり、1+1が整数と実数で同じ数と言えても、未知のnに対しn+1が同じ数というのは予想。

帰納的に全て証明されるだろ。

>>285
最大がわからないから無理。

なんだ、こないだからずっと最大最大いってるヤツか。お前に理解は無理。

>>287
理解が無理であれば、実在性は否定できる。

>>284
> 公理は、既知の数において否定された事がないというだけの話であるから、
君は巨大数に手をだす前に公理の意味を理解した方が良い。

>>288
君が理解することが出来ないという理由で実在性を否定出来るのは
君の頭の中での実在性だけ。
理解出来ている人の頭の中の実在性を否定出来ない。

>>290
頭の中にしかなければ数ではない。

>>289
公理の公は広く知られているということ、知らないものは扱えない。

123の世界では最大値というのは誰でもわかる値なのに、
n+1,n+1+1,n+1+1の世界ではそれが存在したらおかしいと言われる。

つまりこの二つの世界は違う。

訂正
＞n+1,n+1+1,n+1+1の世界ではそれが存在したらおかしいと言われる。
n,n+1,n+1+1の世界ではそれが存在したらおかしいと言われる。

ふぃっしゅ数V1もV3理解できたのにV2が理解出来ない
V2(　ﾟДﾟ)ﾂﾖｽｷﾞ

>>291
数の定義と
頭の中にしかなければ数ではないという証明をよろしく。
もちろんたくさんの人が理解できる物を。

>>292
整数の公理、実数の公理は広く知られているし、
公理が広く知られている必要もない。
実際マイナーな公理もたくさんある。
数学以外の公理の話をしたいなら板違い。

>>294
実数や整数の世界では
n, n+1, n+1+1 の中ではn+1+1が最大値。

有限個の全順序集合の中では最大値が存在する。
無限個の全順序集合では最大値が存在しないかもしれない。

>>296
頭の中のものをどうやって数えるんだ？
数えられないものは数ではないのは自明。

広く知られていると言う割に、このスレに出てこないのは不思議だね。
n+1を扱う公理はともかく、n+1+1を直接扱う公理は知らないな。

>>297
> 頭の中のものをどうやって数えるんだ？
> 数えられないものは数ではないのは自明。

数えられないと言うことの証明をよろしく。

>>297
> 数えられないものは数ではないのは自明。
私には理解できない。
証明おねがい。
君の頭の中だけで理解しても証明じゃない。

> n+1を扱う公理はともかく、n+1+1を直接扱う公理は知らないな。
君が無知なだけ。

一兆もルート２も数えられない。

>>298
数えられるという証明をよろしく。

>>299
理解できないという証明をよろしく。

あと、無知というなら、その公理の名前をよろしく。

>>301
> 数えられないものは数ではないのは自明。
これを証明したら教えてやる。

>>302
数という漢字がその性質を意味するから。
もし数えられなかったら数のことを非数とか言わなければならないから。

>>301
お前の言う「頭の中にしかない数」の定義をよろしく。

>>304
>>290の定義を教えて。

>>303
ポエムじゃなくて証明を聞いてるんだが。

アスペ君は自殺でもしてろよ。

自明の証明だろ？
数という文字自身が数えられると主張しているじゃないか。

まったく証明になってない件

自明の意味を知らないってこと？
数は数を知っているから自明、あなたが数を知らないなら自明じゃない。

>>305
「>>290の定義」？　意味不明。

>>311
「頭の中の実在性」の対象は無数にあるだろうけど、>>290が話題にしているのは数なんだよね？

>>310
１兆は数なのか数じゃないのか？
１無量大数は数なのか数じゃないのか？
ルート２は数なのか数じゃないのか？
複素数は？
４元数は？
順序数は？
基数は？

>>313
そこが問題なんじゃないの？
数に何かを加えたモノが数がどうか。

数えられるもののみが数であったのは遥か昔の話。

0、負の数、虚数、
いずれも数と認めない方が多数派であった時代もあった。

>>315
一枚足りないって四谷怪談の幽霊だって数えているじゃないか。

>>310
証明の意味を知らないってこと？

>>317
漢字の意味ってこと？

>>315
今話題にあるのは自然数だろ。

>>319
なんだよ、
「ぼくちんの数えられる範囲の自然数以外は数じゃない」
くらい言い切れよ。
煮え切らんやつだなあ。

つまり3まで？

表現できれば、頭の中だけとは言えなくなるんじゃないか？

>>288 は、
自分が理解できないものは数じゃない
と主張してる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0

>>323は>>288ではないと主張してみる。
内容が等価であるかはとりあえず言及しない。

適度にスルーしたらいいと思う
さて置き、体をどう考えるかってのはあると思う
複素数は順序集合にならないとあるが(wikipediaの順序集合)
順序数の定義域には複素数は持って来れないという理解でいいのかな
一つのωでは、複素数の極限の発散方向が
無限にあることを表現できないように思うし

それとも、辞書式順序etcを入れれば
直感的な順序とはならなくともそれでOKという感じなのだろうか

>>321
日本語的には単数（私、あなた）以外はファジイな集合的なもの（我々、貴方達）として表現するんだよな。
その代わりなのか、一本でもにんじん、二足でもサンダル、とタイプが沢山ある。

俺もこのスレ見て関数を作ってみようと思ったんだけど
洗練に洗練を重ねて結局多変数アッカーマン関数になったでござる
何が言いたいかというとアッカーマン氏は偉大

そういえば年表にするとどうなるんだろ？

>>328 うろ覚えだから自身ないが、クリーネが
多変数のものは2変数に変形出来るっていう定理を証明してたような

巨大数論には
N = ↑G(3,3,4)

巨大数研究室には
N = ↑G+1(3,3,4)

と書いてあるんだけど
N = ↑G+1(3,3,4)
が正しいよね？

そりゃ順序数なら可能なんじゃないの？
立方体の面積を表す3変数の関数の中身が乗算みたいなもので、
結局巨大数の関数なんて分数を小数にする関数とどう違うんだ？

ただ実数の順序ってのもよくわからないんだよな。
0.99..と1と1.00.. って見た目では順序が決まってるけど、分数にすれば同じになるなら同値なんだよな？
だったら順序集合にはどれか一つしか存在できない筈
でもそれじゃ単射にならないからもともと一つだったのか、そもそも単射が無理なのか、どっちなんだ？

順序数じゃなくても多項式とかでも良いし、
エンコーディングすれば1変数自然数でも可。
変数を減らすことが目的じゃなく、
どれだけ単純に大きな数を作れるかを目的にしないと。

結局、複雑な構造の数が大きな数とはわからないのが巨大数の問題なんだよな。

今まで出てきた数は大きさの比較が出来てると思うけど。
まともに定義できてない数や未解決問題に絡むのは除いて。

>>335
同値の数の順序はどうするの？

同値って必要十分条件のことだぞ

同じ値という意味なら、
同じ値ということが分かるってことは比較出来てるってこと

じゃあ複素数は比較できるね。

は？
なんで突然複素数？
実数の巨大数の話だぞ。
複素数は全順序集合じゃない。

全順序集合：
任意の２つの値の大小比較が出来る
a<b, a=b, a>b のどれか1個になる。

半順序集合：
大小比較が出来るかもしれないし、出来ないかもしれない
a<b, a=b, a>b のどれか1個になるか、またはどれにもならない

自然数、整数、有理数、実数、順序数、基数は全順序集合
複素数は通常は全順序集合じゃない
（暗黙の全順序関係は定められていない。）
複素数に対して順序を定義して全順序集合にすることはできる

順序数、基数が全順序集合と書いたのはまずかったか。
順序数全体、基数全体は集合じゃない。

マイナスのべき乗をどう扱うかだな

>>327 >>334 >>336 >>338 >>342

この辺の書き込みって
数えられないものは数ではない人と同一人物？
釣りなのか真性なのかわからない。

同一の定義をしないとな。

ただのかまってちゃんか

名前欄をみれば？

>>344,>>346 ぐぐって

巨大数をぐぐるスレはこちらですか？

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/213044.pdf

まとまった定義になってるものでは
今までで一番大きい数だと思います。
（概念だけのものをのぞいて）
関数fの増大度ももちろん最大。（ただし瞬発力は無い）

>> 349
なんでか、ダウンロードできん。
再アップおねがい。

>>350
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1416067.pdf.html

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/index.html
パート6、7は整理してないし
パート7はOperaじゃないと見れないから
こっち使ってる
http://mimizun.com/log/2ch/math/1163947441/

前スレで順序数、Hardy関数を勉強しろと言われたんだけど
このスレにいる理解出来てる人たちは
どのサイトで勉強したの？

>>353
過去の巨大数スレで
わからないことはこのスレで聞いて教えてもらった

まずは >>263 を理解
それの延長を自分で考えてみる
カントール標準形
ベブレン標準形
と進む

カントール標準形は a+b, ω^a
の2個の演算だけで作れるので、順序数の演算の理解もこの2個だけで良い。
ベブレンも演算の知識はほとんどいらない。

知っているべきことは、
「どんな順序数の集合に対しても、それらより大きい最小の順序数が存在する」
「順序数は、0、a+1の形、極限順序数 の3つに分類できる」
「ハーディーに入れられるような極限順序数は、それより小さい順序数の列の極限（または上限）と表わせる」
「順序数の無限下降列は存在しない（より小さい順序数をとって行けばからなず有限回で0になる）」

順序数を集合論的に扱ったものを最初に見てしまうとワケワカランになるので注意。

濃度、基数、共終数、....
などの単語はいずれ必要になるが、しばらくは知らなくてもなんとかなる。

自分の中のラスボス・ふぃっしゅ数v2を撃破するのも時間の問題です

F2
SS:[m,f,S]→[n,g,S2]
ただし
S2=S^f(m)
nはS2:[m,f]→[n,p]のときのn
gはS2^x:[m,f]→[q,g]のときのg

↓これを用いて

SS:[3,x+1,S]→[n,g,S2]
ただし
S2=S^4
nは[3,x+1]にS変換を4回行ってできた自然数
gは[3,x+1]にS変換を4回をx回行ってできた関数

この「4回をx回」がよく分かりません
g(x)のxが
x=1　S変換を4回行ってできた関数にx=1を代入
x=2　S変換を8回行ってできた関数にx=2を代入
x=3　S変換を12回行ってできた関数にx=3を代入
というふうになるのですか？

俺のせいでレス止まるとか
勘弁して

gは【『[3,x+1]にS変換を4回』をx回行ってできた関数】

ちがった。
ふぃっしゅ氏の定義は数学的に書かれてないから良く分からない。
まあでもバージョン２は発展途上で無理して理解する価値は無い。
ふぃっしゅ数はバージョン５だけ理解すれば良い。

＞ふぃっしゅ数はバージョン５だけ理解すれば良い。

つーか、グッドシュタイン関数を理解しとけばいい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

参考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Fast-growing_hierarchy
http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy_hierarchy
http://en.wikipedia.org/wiki/Slow-growing_hierarchy

>>359
それが理解できるんなら、
あとは >>94 >>97 >>102 と進めば
このスレに出てくる計算可能関数は制覇。

>>111 の順で良いと思う。

このスレで総力上げて
順序数を解説するサイトつくってください

ゆとり特有の他力本願w

(a,b,c)=((a,b),c)=(a,(b,c))
(a,b+c)=(a,(b+c))
(a+b,c)=((a+b),c)
(a:b:c)=((a:b):c)
(a:b+c)=(a:(b+c))
(a+b:c)=((a+b):c)
(a:b,c)=((a:b),c)
(a,b:c)=(a,(b:c))
(a@b+c)=(a@(b+c))
(a+b@c)=((a+b)@c)
(a@b,c)=((a@b),c)
(a,b@c)=(a,(b@c))
(a@b:c)=((a@b):c)
(0@a)=(a:0)=(,)=()={0個の0以上の整数}
(,a)=(a,)=(a)
(a:b+1)=(a,a:b)=(a:b,a)
((a,b):c+1)=(a,b,(a,b):c)
(a+1@b)=(a@b,(a,a@b):b)
#={0個以上の0以上の整数}
N={自然数}
F(a)={a:自然数, F(a):自然数, F(a+1)＞F(a)}

f()=N
f(0:a+1)=F(f(0:a))

if ( #＝() ∧ d＝() ) ∨ ( #≠() ∧ d＞c+1 )
　　f(#,d,c+1:b+1)=f(#,d,c+1@f(#,d,c+1:b),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
　　f(#,d,c+1:b+1,0:a+1)=f(#,d,c+1@f(#,d,c+1:b+1,0:a),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b+1,0:a)):b)

if ( #≠() ∧ d＜c+1 )
　　f(#,d,c+1:b+1)=f(#,d@f(#,d,c+1:b),c+1@f(#,d,c+1:b),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b+1)
　　f(#,d,c+1:b+1,0:a+1)=f(#,d@f(#,d,c+1:b+1,0:a),c+1@f(#,d,c+1:b+1,0:a),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b+1,0:a)):b+1)

たとえば、N=1、F(a)=a+1　の場合

f()=1
f(0)=f()+1
f(0,0)=f(0)+1
f(0,0,0)=f(0,0)+1
f(0:n+1)=f(0:n)+1

f(1)=f(0:f())
f(1,0)=f(0:f(1))
f(1,0,0)=f(0:f(1,0))
f(1,0,0,0)=f(0:f(1,0,0))
f(1,0:n+1)=f(0:f(1,0:n))

f(0,1)=f(1,0:f(1))
f(0,1,0)=f(1,0:f(0,1))
f(0,1,0,0)=f(1,0:f(0,1,0))
f(0,1,0,0,0)=f(1,0:f(0,1,0,0))
f(0,1,0:n+1)=f(1,0:f(0,1,0:n))

f(0,0,1)=f(0,1,0:f(0,1))
f(0,0,1,0)=f(0,1,0:f(0,0,1))
f(0,0,1,0,0)=f(0,1,0:f(0,0,1,0))
f(0,0,1,0,0,0)=f(0,1,0:f(0,0,1,0,0))
f(0,0,1,0:n+1)=f(0,1,0:f(0,0,1,0:n))

f(0,0,0,1)=f(0,0,1,0:f(0,0,1))
f(0,0,0,1,0)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1))
f(0,0,0,1,0,0)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1,0))
f(0,0,0,1,0,0,0)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1,0,0))
f(0,0,0,1,0:n+1)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1,0:n))

f(0:m+1,1)=f(0:m,1,0:f(0:m,1))
f(0:m+1,1,0:n+1)=f(0:m,1,0:f(0:m+1,1,0:n))

f(1,1)=f(0:f(1),1,0:f(1))
f(1,1,0:n+1)=f(0:f(1,1,0:n),1,0:f(1,1,0:n))
f(1,0:m+1,1)=f(1,0:m,1,0:f(1,0:m,1))
f(1,0:m+1,1,0:n+1)=f(1,0:m,1,0:f(1,0:m+1,1,0:n))

という具合になっていきます

N=10
F(a)=Ack(a,a)

とかすればまた凄いことに

とにかくNとF(a)を決定したあと

f(1:n)
f(2:n)
f(3:n)
f(4:n)
.......

と計算していけば多重リストアッカーマンよりは大きい関数にはなっているかと

>>363-366

> f(#,d,c+1:b+1)=f(#,d,c+1@f(#,d,c+1:b),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
この式を使うと、

f(1,1)=f(0:f(1),1,1:f(1))
になりそうだけど、
f(1,1)=f(0:f(1),1,0:f(1))
こうなの？

(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
この部分、
(c+1,c:f(#,d,c+1:b)):b)
これの間違い？

(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
だと
c+1: (f(#,d,c+1:b)*b+b)
これと同じだよね？

定義が長すぎ
1レスに納めろ

定義は >>363 の1レスだけであとは解説だと思う。
ちゃんとした定義になっているかどうかは別として。

＞ゆとり特有の他力本願w

頭の善し悪しは世代とは無関係。
いつの世でも世間の連中の９割９分９厘９毛は無知無能

さあ、リコウな奴は何人に一人か？ｗ

＞数えられないものは数ではない

クロネッカー？

>>363-365
対称性を考えると、4つある『c+1:f(』の部分は『c:f(』じゃなくて『c+1@f(』が正しい？
#＝() の場合の定義が無いけど、#≠() の条件は不要じゃない？
d＜c+1の場合の定義、c+1の数は変わらないで、一番左のc+1より左のcの数が増えるけど、ちゃんと有限回の展開で整数になる？
（たとえば、f(1,2,3)だと3より左に2が複数出てくるけど....）

>>349 からさらに大きくしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/223750.pdf

大きさ的にはおそらく、
>>349 が H[C(1,C(2,0,0),0)]相当、
>>373 が H[C(ω,0,0)]相当、
になると思います。
（CはDmytro氏のAn Ordinal NotationのC）

>>349 で用いていた順序数の概念は使わなくなりましたが、
>>349 の帰納的でない順序数の収束列の定義は今後何かに使えると思います。
>>373 はどちらかというと力技で特記すべき新しい発想は無いです。

>>24のRobert Munafo氏、どこかで見たことがある名前だと思っていたら
「Orion」って20年以上前にあったMacのプログラムの作者だった

あげときます

では、私も。

あんでぃ

>>373
キモいから自己レスするときは「>>」付けないで。

hage

てすと。

結局ふぃっしゅ数バージョン6って有限なの？

有限

ネタ切れ乙

高2ですがやはり順序数が理解出来ません
どなたがご享受頂けないでしょうか

グラハム数
ふぃっしゅ数v1
ふぃっしゅ数v3
バード数
は理解できています

>>383
高校の集合は習っている前提で。
（わかり易いように一般に使われるの定義を少しいじってる。）

順序数とは、全順序と推移的という2つの性質をもつ集合。

・集合Xが全順序とは、A,B∊Xのとき、必ずA＝B、A∊B、B∊Aの3つのどれかになること。
・集合Xが推移的とは、A∊B、B∊Xのとき、必ずA∊Xとなること。

例えば順序数を
0＝{}、1＝0∪{0}＝{}∪{{}}、2＝1∪{1}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}、
3＝2∪{2}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}∪{{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}}、....
と定義する。（他にもあり、それらは結局同じになるがとりあえず略）
これは全順序で推移的な集合になってる。（要確認）

このとき、0∊1∊2∊3∊4.....で、
0∊1、0,1∊2、0,1,2∊3、0,1,2,3∊4、.....となっている。
どんなにデカい数、例えば894511110003だとしても、
有限個である限り、大変だろうが{}だけで書けるはず。
ところでこう考えると、自然数の集合Nに該当するものがあって、
0∊1∊2∊3∊4....∊Nで、0,1,2,3,....∊Nとなっているものがあるはず。
ところが、自然数は無限個あるので永久に到達できない....。
それでもNは全順序で推移的なので順序数にはなる。
つまりNは{}を使って具体的に書けない最初の順序数となる。

次にNから3だけ抜いたN-{3}や、N-{3,9}、...などもNと同じで書けない。
しかし明らかにN-{3,9}∊N-{3}∊Nだから、
N2＝{N,N-{1},N-{2},N-{1,2}...}のようなものを考えられる。
するとさらにN∊N2∊N3∊N4∊.....のようにはるかに巨大な順序数を考えることができる。
これらは最早{}などで具体的な内容を記述することは不可能。
書けない者は極限順序数と言われる。

上の補足です。
上では順序数を自然数で書いていますが、
厳密には
{}、{}∪{{}}、{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}、
{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}∪{{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}}、....
といった全順序で推移的な集合に自然数の番号を振っていると考えてください。
つまり、
A0＝{}、A1＝A0∪{A0}＝{}∪{{}}、A2＝A1∪{A1}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}、
A3＝A2∪{A2}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}∪{{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}}、....
....、AN＝{A0,A1,...}、AN2、....といったイメージです。
ちなみにANは通常ωと書かれます。

巨大って言うか、それ自然数超えてるよね。

もちろん。
A2に該当するのが実数やベール空間。
自然数の計算に対して、相対的に計算するしかない。
例えばアッカーマン関数の引数の数がアッカーマン関数で決まるようなものなど。

訂正：
→NA2に該当するのが実数やベール空間。

→例えば多変数アッカーマン関数の引数の数がアッカーマン関数で決まるようなものなど。

>>386
順序数の大きさを直接競っているわけじゃない。
大きな自然数を作る為に大きな順序数を利用してるだけ。

>>383
どこまで理解できてどこが理解出来てないかがわからない。

順序数を小さい順に書いていくと、

0, 1, 2, 3, 4, ...
ω, ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ...
....

ってとこまでは理解出来てる？

わっっかりませ〜〜〜ん

>>391
学校では自然数は 1,2,3,.... と習うと思いますが、
一般的には数学のジャンルや時と場合によって0を含んだり含まなかったりします。
ここでは
自然数を 0,1,2,.... とします。

順序数は自然数を拡張したものです。
自然数全体の集合⊂順序数全体の集合 と思ってください。
（とりあえず高々加算の順序数のみ考えます）
自然数同士での演算はとりあえず忘れてください。

順序数の特徴として、
○ 順序数α、βに対し、α＜β、α＝β、α＞β のいずれか１個が成り立つ
○ どんな順序数αに対して、その次の順序数 α' が存在する
（αとα' の間に順序数が存在せず、α＜α' となる）
○ 順序数の集合に対し、その集合のどの元よりも大きな順序数が存在する
○ 順序数の集合に対し、その集合の最小の元が存在する

などがあります。

○ 順序数αに対し、次の順序数α'を作る
○ 順序数の集合に対し、これらのどの要素よりも大きい最小の順序数を作る

という２種類の方法を使って、
どんどん大きな順序数を作っていくことにします。

まず自然数の範囲、
最小の順序数は0
0 の次の順序数0' は 1
1 の次の順序数1' は 2
2 の次の順序数2' は 3
....
です。
これで自然数すべての範囲を構成出来ました。

>>393 によると、
どの自然数よりも大きな最小の順序数が存在します。
この順序数にωという名前を付けます。

ωはどんな自然数よりも大きい、無限の一種です。

nを自然数とすると、
n'は自然数ですので、
n' = ω となることはありません。
また、ωより小さい順序数はすべて自然数です。
よって、α' = ω となる順序数αは存在しません。

α' = β となるα、つまり1個前の順序数が存在しないような順序数βは
極限順序数と言います。（ただし0は極限順序数とは言わない）

これに対して、1個前の順序数が存在するような順序数は
後続順序数と言います。

ここまでOK？

BF言語を使って巨大数を記述するっていうのは鬼畜すぎるかな

使える命令は下の６つとする。
1.> ポインタをインクリメントし、次の命令へ
2.< ポインタをデクリメントし、次の命令へ
3.+ ポインタが指す値をインクリメントし、次の命令へ
4.- ポインタが指す値をデクリメントし、次の命令へ
5.[ ポインタが指す値が0なら、対応する ] の直後の命令までジャンプ
6.] ポインタが指す値が0でないなら、対応する [ にジャンプ
これら６つの命令を有限個、順番に並べたものをプログラムという。
参加者はプログラムPと、そのプログラムが終了するまでの
ステップ数の上限T（0以上の整数）を指定する。
メモリ番号は0以上T以下の整数、ポインタの初期値は0とする。
各メモリの値は0以上T以下の整数、初期値はすべて0とする。
プログラム終了後、ポインタが指す値を出力する。
（プログラム途中でポインタやポインタがさす値がマイナスになったり
　対応する括弧がなかっり、ステップ数がTを超えた場合は0を出力する。）
（出力値）÷（プログラムの長さ）をそのプログラムの評価値とする。
（ただし、プログラムの長さが0のときは、その評価値は0）
評価値のより高いプログラムを作成することを目標とする。

＜長さがそれぞれ10,20,30のプログラムの中でおそらく最良と思われるもの＞
長さ=10：プログラム=+10　出力値=10　評価値=1　ステップ数=10
長さ=20：プログラム=+7[>+7<-]>　出力値=49(=7*7)　評価値=2.45　ステップ数=92
長さ=30：プログラム=+5>+<[>[>+4<-]<-[>+<-]>]>　出力値=1024(=4^5)　評価値=34.133...　ステップ数=3169
※ここで+nは+をn個並べたものを表す。

よく分からんけど
順序数を使わずに順序数を超えることはできないのかな

>>397
評価値なんか使わずに素直に出力値で競えば良いと思う。
プログラム長が増えれば出力値はビジービーバー関数的に増加する訳で。
プログラムを用いた巨大数の記述は>>79参照

>>398
まとまった定義では >>373 が今のところ最大と思うが、
これは順序数の概念は用いていない。

計算可能な巨大関数の話だけど、

f(n):=max{ Xの停止時間 | Xは入力を持たないプログラムで、停止性がn文字以下でZFCで証明できる }
とすると、（ZFCで証明できることは全て正しいと仮定すれば）fは最強の増大度を持つ計算可能関数になる。
正確に言うと、ZFCで停止性が証明できるどんな計算可能な関数よりもfは増大度が大きくなる。
もちろんこのスレに出てきたどんな計算可能関数より大きいと思う。

結局のところ、（構成的な定義にこだわらず）巨大な計算可能関数を作ることは、
どれだけ公理系を信用するかって話に帰着されると思う。

>>400
f(n)は計算可能ではないと思う。

超越的な方法アリなら
普通の数学の関数が使える形式体系を算術化させて、
値をゲーデル数として取り出せるような計算可能関数が作れるだろう。
この関数の中でなら無限個の計算機を同時に動かすことが出来るだろう。
具体的に記述可能なのか不明ではあるが。

とてつもなく大きな数をどれだけ短く記述できるかを見たい
例えば9^9の方が999よりはるかに大きい　使ってるバイト数は同じなのに

>>403
こちらのサイトが役に立つかも

字数制限つき最大数作成ゲーム
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/game.html
記数法に関する議論
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/notation.html

あと個人的には>>397のような鬼畜プログラムを使って長さn以内でどれだけ大きな数を出力できるか興味がある

>>402
具体的に計算するアルゴリズムがわからなくて良いなら
大きな計算可能関数が定義出来るが、
計算可能関数は具体的なアルゴリズムがわかって初めて価値があると思う。

たとえば、
「BF言語グラハム数文字で作れる最大の増加度の関数」
は比較的簡単に厳密に定義出来るが、
こんなのを許すくらいなら素直に計算可能な範囲から外れて競った方が
よほど意味があるのでは？

>>403 >>404
ルールを厳密に決められない自然言語はそういう競争に向いていない。

リンク先も記録はめちゃくちゃ。

f(n):=nに階乗をn回f^9!(9)
f(n):=nに階乗をn回f^(f^(99!)(9))(9)

これがまともな記述とは到底思えない。
この二つが許されるなら当然これも許されるはず
f(n):=nに階乗をn回f^(f^9999!(9))(9)

> あと個人的には>>397のような鬼畜プログラムを使って長さn以内でどれだけ大きな数を出力できるか興味がある
暇がある時に考えてみる。
長さが短いうちはほとんどパズルだが、
長くなって行くと数学的知識が非常に効いてくるはず。

評価値はあまり役に立たないみたいだからプログラムで競うとしたらこんな感じになるかな

長さnを固定して優勝者を次のように決める
１．出力値が一番大きいプログラムを投稿した人
２．それで決まらない場合はその中でステップ数（の上限）Tを一番低く申告した人
３．それでも決まらない場合はその中で一番先に投稿した人


十進BASICで>>397のインタプリタっぽいのを実装してみました（はっきり言って遅いです…）
本文をそのままコピペしてお使いください
http://www5.puny.jp/uploader2/download/1315484404　パスはbasic

100文字までざっと考えてみました。
あまり検証などを行っていない為
間違い等あるかも知れませんが、
たたき台にはなるかと思います。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/272858.txt
（ダウンロードキーワード BF）

>>407
Tの意味がわからないんですが。
これ必要ですか？

長さnを固定して優勝者を次のように決める
１．出力値が一番大きいプログラムを投稿した人
３．それでも決まらない場合はその中で一番先に投稿した人

これで良いんでは？

最終的に >>408 の表をみんなで洗練させて行きましょう。

>>408
おお、すごい！
とりあえず30文字の奴だけ>>407で調べてみたら合ってた
ほかの奴も暇があったら調べてみるよ

↓出力結果ウインドウ
プログラムを入力してね +++++[->+[->+++<]>[-<+++>]<<]>
ステップ数の上限は 1000000
開始時刻:23:36:11
【結果】出力＝ 66429
プログラム↓
+++++[->+[->+++<]>[-<+++>]<<]>

プログラムの長さ: 30
ステップ数: 265742
メモリの状況↓
0 [ 66429 ] 0
終了時刻:23:42:41


>>409
一応、審査員がプログラムが正しく動くか判定ができるようにということです
なので出力値の大きさを競うのに直接は関係ありません

27〜29まで合ってました

【結果】出力＝ 340
プログラム↓
++++[->+[->++<]>[-<++>]<<]>

プログラムの長さ: 27
ステップ数: 2389
メモリの状況↓
0 [ 340 ] 0

【結果】出力＝ 1554
プログラム↓
++++[->+[->++<]>[-<+++>]<<]>

プログラムの長さ: 28
ステップ数: 7167
メモリの状況↓
0 [ 1554 ] 0

【結果】出力＝ 9330
プログラム↓
+++++[->+[->++<]>[-<+++>]<<]>

プログラムの長さ: 29
ステップ数: 42941
メモリの状況↓
0 [ 9330 ] 0

ということでとりあえず30まではプログラムが正しく動いているということで
のこりは明日やります

>>410
> 一応、審査員がプログラムが正しく動くか判定ができるようにということです
せいぜい35文字くらいまでしかシミュレーション出来ないでしょ？

>>412
まあそうだが例え理論上ではあっても審査可能であることを保障しておく必要があると思ったので

アッカーマン相当の関数が作れました。
一部大小関係がわからないところがあるので両方書きました

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273186.txt

キーワードはbrainfuckです。

>>414
ありがとうございます
31以降は十進BASICではとてもじゃないけど無理ですね

とりあえずこれまでのプログラムの構文解析してみました

長さ: プログラム =出力値
1-13: +n =n
14-26: +a[->+b<]> =a*b
27-39: +a[->+[->+b<]>[-<+c>]<<]> =Σ_{i=1,...,a}b^i*c^i =b*c*(b^a*c^a-1)/(b*c-1)
40-62: +b([->+)n[->+a<](>[-<+>]<<])n> =a^{n}(b+1)-a
※ここで　(文字列)n　は文字列をn回並べたもの
※x^{0}(y):=x*y,x^{n+1}(0):=1,x^{n+1}(y+1):=x^{n}(x^{n+1}(y))

アッカーマン相当の関数についても考察してみます

>>414
すみません

60: >>+++>>+>>+>>+>>+<<[->+<[[>>]]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>>

[[>>]] は [>>] では駄目なのでしょうか？

>>417のおかげで2文字の最適化が出来ました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273280.txt
キーワードはbrainfuck

ざっと大きさを見積もってみました
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273290.txt
キーワードはbrainfuck

72文字でF[ω+1]相当が作れました。

72: >+++[>++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> ≒ Ak(15,13)
73: >++++[>++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> ≒ Ak(Ak(15,13),*)
74: >+++++[>++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> ≒ Ak(Ak(Ak(15,13),*),*)
....

>>420はちょっとバグってましたね。
ループカウンターをデクリメントしてなくて無限ループでした。

>>420を反映させました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273302.txt&key=brainfuck

ここまで大きくなるとステップ数の上限Tを考えるのは非常に困難（かつ本質的でない）ですね
>>397+407からTの記述を削除してルールをテンプレ化しようと思います

その際、このゲームに名前を付けたいと思いますが
「BF言語で最大数作成ゲーム」でよろしいでしょうか？
他に何かいいネーミングがあればお教えください

とりあえずゲーム名は仮名としてテンプレ作ってみました

「BF言語で最大数作成ゲーム」（仮）

【ルール】
使える命令は下の６つとする。
1.> ポインタをインクリメントし、次の命令へ
2.< ポインタをデクリメントし、次の命令へ
3.+ ポインタが指す値をインクリメントし、次の命令へ
4.- ポインタが指す値をデクリメントし、次の命令へ
5.[ ポインタが指す値が0なら、対応する ] の直後の命令までジャンプ、そうでなければ何もせずに次の命令へ
6.] ポインタが指す値が0でないなら、対応する [ にジャンプ、そうでなければ何もせずに次の命令へ

これら６つの命令を有限個並べたものをプログラムといい、その文字数をそのプログラムの長さという。
メモリ番号は0以上の整数（上限なし）、ポインタの初期値は0とする。
各メモリの値は0以上の整数（上限なし）、初期値はすべて0とする。
プログラムの最初の命令から順次処理していき、処理する命令がなくなった時点で
プログラムを終了し、その時点でポインタが指している値を出力する。
ただし、ポインタやポインタが指す値がマイナスになったり、対応する括弧がない場合は
その時点でエラーを出力してプログラムを終了する。
エラーを出力せずに有限ステップ内に終了するプログラムを有効なプログラムという。

各nに対して、参加者は長さnのプログラムを投稿していく。
それらの中から最終的に、次のように優勝者を決める。
１．有効なプログラムの中で出力値が一番大きいものを投稿した人を優勝者とする
２．それで決まらない場合はその中で一番先に投稿した人を優勝者とする

初心者のために練習問題を作ってみました。

【練習問題】
次の関数を記述するプログラムを作りましょう。
問１．xの3乗　x^3
問２．xとyの差　|x-y|
問３．xをyで割った余り　x%y
問４．異なるx個の中から同時にy個取り出す組み合わせの総数　xCy
問５．x番目の素数　p1=2, p2=3, p3=5,...

※プログラムEがn変数関数f(x[0],x[1],...,x[n-1])を記述しているとは
　fの定義域内の任意のn個からなる自然数の組(x[0],x[1],...,x[n-1])に対して、
　0番目のメモリにx[0]、1番目のメモリにx[1]、…、(n-1)番目のメモリにx[n-1]を代入し、
　n番目以降のメモリを0とし、ポインタがnの位置にある状態からプログラムEを実行したとき、
　f(x[0],x[1],...,x[n-1])を出力して終了することをいう。

※自然数xを、0変数関数 f()=x と同一視することにすると、このゲームは
　各nに対して、長さnのプログラムの中から、それによって記述される0変数関数の値を
　最大にするものをいち早く見つけ出すゲームといえる。

順番を入れ替えただけで1文字縮まりました。
89: +++[->>+[->++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>[-<+>]<<<]>>

>>423
個人的には「brainfuckによる巨大数の記述ゲーム」かな。
まったく一般的でない省略型を使う必要も無いし、
最大数というとBB的最大値と勘違いしそう。

さすがに練習問題は板違いと思います。
それよりゲームに参加してください。

>>424 のために練習問題を作ってみました。

【練習問題】
以下で定義される2変数関数の値を返すプログラムを作りましょう。

f(0,y) = y+1
f(x+1,0) = f(x,1)
f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))

>>425
ありがとうございます！
ではゲーム名はそれにしたいと思います。

>>426
その問題文だと
+f(x,y) （+をf(xy)個並べたもの）とかも正解になっちゃいますよね。
ということで※にあるような定義をしました。

>>427
屁理屈書いてる暇があったら練習問題やれ

ここの住民とは思えん発言だな

すみません、質問です
証明可能帰納関数の定義がいまいちよくわからなくて
　f(x)が証明可能帰納関数⇔あるペアノ論理式A(x,y)が存在して
　f(x)=y⇒├A(x,y)　かつ　¬(f(x)=y)⇒├¬A(x,y)
という解釈でいいのでしょうか？

>>426は出来たが>>426はむずい

「brainfuckによる巨大数の記述ゲーム」
もうちょっと大きなものも作ってみました。
前回より多少縮まったものもあります。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/275333.txt&key=brainfuck

抜粋
55: >>++>>+>>+>>+>>+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>> . . . . F[ω]
70: >+++[->+[[->+<]>[-<+>>+<]>-]<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> . . . . F[ω+1]
86: F[ω+2]
102: F[ω+3]
115: F[ω+4]
128: F[ω+5]
135: F[ω*2]
150: F[ω*2+1]
161: F[ω^2]
293: F[ω^ω]
323: F[ω^ω+1]

とてもプログラミングしにくい言語で、
定義が簡単なものでも作るのに非常に時間がかかってしまいます。

「brainfuckによる巨大数の記述ゲーム」 記録更新

54: >>++++>>+>>+>>+[-<+>[>>]>[>>>+[-<++>]<[-<+>>+<]]<<<]>>
61: >++++++[[->+>+<<]>>-]<[-<+>[>>]>[>>>+[-<++>]<[-<+>>+<]]<<<]>>
69: >++++[->[[->+<]>[-<+>>+<]>-]+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>
84: +++[->>+[->[[->+<]>[-<+>>+<]>-]+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>[-<+>]<<<]>>
101: +++[->+[->>+[->[[->+<]>[-<+>>+<]>-]+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>[-<+>]<<<]>>[-<<+>>]<<<]>

順序数を使わずに一番でかい数はどれなの

a↑b　が　べき乗

a↑↑b　が　テトレーション

a↑↑↑b　が　ペンテーション

すると　a↑↑↑↑b　は　ヘクセーションなのかｗ

>>434
>>373

ダウンロードできない……
誰か再うｐきぼんぬ

誰か>>430お願いします

証明可能帰納関数なんて初めて聞いた
証明可能な帰納関数ってこと？

あげ

1234567890987654321234567898765432345678909876543234561789876543456789876543234567898765436789876543212345678909876543212345678998765432123456789098765432123456789098765432123456789098765432123456789098765432123456789

探索完了！

　　　　　　　　　　　　　　このスレ終了！

≒10^(217)

お前も暇人だなー
おつかれ

>>442
巨大数を（１つだけでも）探索したからこれで終了だって意味だろｗ
本人は面白いと思ってやってるんだろうからそっとしておいてやろうぜ

>>441
え？あれ？あ！
ごめん小さすぎて見えなかった

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学


誰か(アメリカ)気づいた ソウルコピー機器

無差別で猥褻、日本は危険

A,...,Zは全て整数
Nil={0個の整数（ラテン語で無を表すnullusより）}
(,)=(())=()=Nil
(,A)=(A,)=(A)
(A,B+C)=(A,(B+C))
(A+B,C)=((A+B),C)
(A,(B,C))=((A,B),C)=(A,B,C)
(A:B+C)=(A:(B+C))
(A+B:C)=((A+B):C)
(A:B,C)=((A:B),C)
(A,B:C)=(A,(B:C))
(A:B:C)=((A:B):C)
(A;B+C)=(A;(B+C))
(A+B;C)=((A+B);C)
(A;B+C)=(A;(B+C))
(A;B,C)=((A;B),C)
(A,B;C)=(A,(B;C))
(A;B:C)=((A;B):C)
(A:0)=()
(A:n+1)=(A:n,A)
((A,...,Z):0)=()
((A,...,Z):n+1)=((A,...,Z):n,A,...,Z)
(0;n)=(0:n)
(A+1;n)=((A;n,A+1):n,A;n)

>>448の続き

Con={1個の十分に大きな自然数定数（英語で定数を表すconstantより）}
Li(N)={最初の定義で与える既知の増加関数（大きな入力を表す造語のlarge inputより）}
N≧0,　Li(N)＞N,　Li(N+1)＞Li(N)
Lo(N)={定義によって最終的に得られる関数（大きな出力を表す造語のlarge outputより）}
#={0個以上の0以上の整数}
a,b,c,m,nは全て整数
n≧0,　m≧0,　b≧0,　0≦a＜b,　c＞b+1

[]=Li(Con)
[0:n+1]=Li([0:n])
[b+1:m+1]=[(b;[b+1:m,b],b+1):m,b;[b+1:m,b]]
[0:n+1,b+1:m+1]=[(b;[0:n,b+1:m+1],a+1):m,b;[0:n,b+1:m+1]]
[b+1:m+1,0,#]=[(b;[b+1:m+1,#],b+1):m+1,#]
[0:n+1,b+1:m+1,0,#]=[(b;[0:n,b+1:m+1,0,#],b+1):m+1,#]
[b+1:m+1,a+1,#]=[(b;[b+1:m+1,a,#],b+1):m+1,a;[b+1:m+1,a,#],#]
[0:n+1,b+1:m+1,a+1,#]=[(b;[0:n,b+1:m+1,a+1,#],b+1):m+1,a;[0:n,b+1:m+1,a+1,#],#]
[b+1:m+1,c,#]=[(b;[b+1:m,b,c,#],b+1):m,b;[b+1:m,b,c,#],c,#]
[0:n+1,b+1:m+1,c,#]=[(b;[0:n,b+1:m+1,c,#],b+1):m,b;[0:n,b+1:m+1,c,#],c,#]
Lo(0)=[[];[]:[]]
Lo(b+1)=[Lo(b);Lo(b):Lo(b)]

>>449の続き

Con=G^64(4)　　　　Conがグラハム数で
Li(b)=Ack(b,b)　　 　Li()がアッカーマン関数の時
I=Lo(Li(Con))　　　　Iは何？

自分で大きさを見積もれないなら大して大きく無いよ。
まぐれで優れた表記など出来る物では無い。

藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
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[]=Li(Con)　......　ω
[0]=Li(Li(Con))　......　ω+1
[0,0]=Li(Li(Li(Con)))　......　ω+2
[0,0,0]=Li(Li(Li(Li(Con))))　......　ω+3
[0:n]=Li(Li(...Li(Con)...)))　......　ω+n
[1]=[0:[]]　......　ω*2
[0,1]=[0:[1]]　......　ω*3
[0,0,1]=[0:[0,1]]　......　ω*4
[0,0,0,1]=[0:[0,0,1]]　......　ω*5
[0:n,1]=[0:[0,...,0,1]]　......　ω*(n+2)
[1,0]=[0:[1],1]　......　ω↑2
[0,1,0]=[0:[1,0],1]　......　ω↑3
[0,0,1,0]=[0:[0,1,0],1]　......　ω↑4
[0,0,0,1,0]=[0:[0,0,1,0],1]　......　ω↑5
[0:n,1,0]=[0:[0,...,0,1,0],1]　......　ω↑(n+2)
[1,0,0]=[0:[1,0],1,0]　......　ω↑↑2
[0,1,0,0]=[0:[0,1,0],1,0]　......　ω↑↑3
[0,0,1,0,0]=[0:[0,0,1,0],1,0]　......　ω↑↑4
[0,0,0,1,0,0]=[0:[0,0,0,1,0],1,0]　......　ω↑↑5
[0:n,1,0,0]=[0:[0,...,0,1,0],1,0]　......　ω↑↑(n+2)
[1,0,0,0]=[0:[1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑2
[0,1,0,0,0]=[0:[0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑3
[0,0,1,0,0,0]=[0:[0,0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑4
[0,0,0,1,0,0,0]=[0:[0,0,0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑5
[0:n,1,0,0,0]=[0:[0,...,0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑(n+2)
[0:n,1,0:m]=[0:[0,...,0,1,0,...,0],1,0,...,0]　......　ω↑[m](n+2)　←アッカーマン関数相当

[1,1]=[0:[1,0],1,0:[1,0]]　......　ω↑[ω↑2](ω↑2)
[0,1,1]=[0:[1,1],1,0:[1,1]]　......　ω↑[ω↑[ω↑2](ω↑2)](ω↑[ω↑2](ω↑2))

[0:n_1,1,0:n_2,1,0:n_3]　......　3変数アッカーマン関数相当
[0:n_1,1,0:n_2,1,0:n_3,1,0:n_4]　......　4変数アッカーマン関数相当
[(0:m_1,1):(n-1),0:m_n]　......　n変数アッカーマン関数相当

[2]=[(0:[1],1):[1],0:[1]]　......　ω*2個変数のアッカーマン関数相当
[0,2]=[(0:[2],1):[2],0:[2]]　......　ω↑(ω*2)個変数のアッカーマン関数相当
[0,0,2]=[(0:[0,2],1):[0,2],0:[0,2]]　......　ω↑↑(ω↑(ω*2))個変数のアッカーマン関数相当
[0,0,0,2]=[(0:[0,0,2],1):[0,0,2],0:[0,0,2]]　......　ω↑↑↑(ω↑↑(ω↑(ω*2)))個変数のアッカーマン関数相当
[0:n,2]=[(0:[0,...,0,2],1):[0,...,0,2],0:[0,...,0,2]]　......　ω↑[n+2]ω個変数のアッカーマン関数相当

>>451
評価関数の書き方教えてください

>>453-452
>>449の定義はとりあえずこんな感じに大きさが増加していきます
まだまでさっきっぽだけですが

虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
虚偽院生が大学院の質を下げ、教室を馬鹿の集まりに変えてしまいました。
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猫

猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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芳雄

>>455
アンカー間違い
>>453-454

>>451
評価関数を教えてと言いましたがpdfがありましたんで
これで評価用のHardy関数を勉強してみます
http://gyafun.jp/ln/largenumber.pdf

>>453
アッカーマンよりずっと大きな関数が出来るなら、
初期値がアッカーマンである必要もグラハム数を使う必要も無いのでは？

それから
ω↑↑↑2
の定義は？

種の増加に比して増大速度がより速いって以外に、なんか指針ないのん

>>459
アッカーマンやグラハム数の記述の部分はミスリードというかネタ的な意味で使っただけなんで>>450は気にしないでください
てか外したネタは恥ずかしいので説明させないでください

ω↑〜↑2は大きさの雰囲気をざっくり掴んでもらおうとしただけなんで厳密な表記じゃないです

>>460
引数の増大や階層構造を帰納的に数値化することに専念して見ました
あと物理的に記述できる範囲で大きな値を記述できるようにして
逆に定義の途中経過は物理的に記述不可能になるのを許容しました
たとえば10^100に相当する値を「[]」と「,」と「0」だけで記述しようと思うと1+2*10^100バイト必要になります

なので>>459が指摘された通りアッカーマン関数やグラハム数を使わずConとLi()を次のように定義しても構いません

Con=1
Li(0)=Con
Li(n+1)=Li(n)+Con

出力はLo()に0以上の任意の整数を引数を1個渡すだけです

引数１個だけでも発散速度が大きくなっているのが味噌です
もちろん同じ値であれば多く並べる方が大きくなります
最大値の引数の個数が同じであれば最大値より１ランクさがる引数を右寄りの多く並べる方が大きくなります
という風に引数の取りうる状態において全てのパターンで徹底的に帰納的に組み上げて見ました
リストを発生させるための補助演算子「:」と「;」を使えば更に大きな値を作ることができます

従いましてこの定義の根幹は「[]」演算子であってLo()は「[]」演算子を使って定義した一例にしか過ぎません

[]=2

[0]=[]+1=3

[1]=[0;[0]]=[0:[0]]=[0:3]=[0,0,0]=5

[2]=[1;[1]]=[(0:[1],1)[1],0:[1]]=[(0:5,1):5,0:5]=[0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5]
=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0]
＞Ack(5,5,5,5,5)

[3]=[2;[2]]=[(1;[2],2):[2],1;[2]]=[((0:[2],1):[2],0:[2],2):[2],(0:[2],1):[2],0:[2]]
ふぇぇ

[2]=[1;[1]]=[(0:[1],1)[1],0:[1]]=[(0:5,1):5,0:5]=[0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5]
=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0]
＞Ack(5,5,5,5,5,5)

>>463で主語が抜けていました

×　引数１個だけでも発散速度が大きくなっているのが味噌です
○　「[]」演算子は、引数１個だけでも発散速度が大きくなっているのが味噌です

[]の増大の仕方ははこんな感じですね

[0;n]　1変数(0D)
[1;n]　多変数アッカーマン（多重0D）
[2;n]　多重リスト・アッカーマン(多重1D)
[3;n]　多重テーブル・アッカーマン（多重2D）
[4;n]　多重シート・アッカーマン(多重3D)
[5;n]　多重ブック・アッカーマン(多重4D)
[6;n]　多重ボックス・アッカーマン(多重5D)
[7;n]　多重ラック・アッカーマン(多重6D)
[8;n]　多重エリア・アッカーマン(多重7D)
[9;n]　多重ルーム・アッカーマン(多重8D)
[10;n]　多重ハウス・アッカーマン(多重9D)
[11;n]　多重10Dアッカーマン
[12;n]　多重11Dアッカーマン
[13;n]　多重12Dアッカーマン
.
.
.
.

意味がわからない言葉じゃなくて
ハーディー関数＋順序数で見積もってください。

こんな感じ

[1;n]　　→　F[ω＾ω]
[2;n]　　→　F[ε_0]
[3;n]　　→　F[Γ_0]
[4;n]　　→　F[ψ (Ω^3)]
[5;n]　　→　F[ψ (Ω^4)]
[6;n]　　→　F[ψ (Ω^5)]
[7;n]　　→　F[ψ (Ω^6)]
[8;n]　　→　F[ψ (Ω^7)]
[9;n]　　→　F[ψ (Ω^8)]
[10;n]　 →　F[ψ (Ω^9)]
[11;n]　 →　F[ψ (Ω^10)]
[12;n]　 →　F[ψ (Ω^11)]
[13;n] 　→　F[ψ (Ω^12)]
.
.
.
.

>>469
こんな感じ？

[0:n, 2] ≒ F[ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 0] ≒ F[ω^ω *2 +1](n)
[0:n, 2, 0, 0] ≒ F[ω^ω *3 +1](n)
[0:n, 2, 1] ≒ F[ω^(ω+1) +1](n)
[0:n, 2, 0, 1] ≒ F[ω^(ω+1) +ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 0, 0, 1] ≒ F[ω^(ω+1) +ω^ω *2 +1](n)
[0:n, 2, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *2 +1](n)
[0:n, 2, 0, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *2 +ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 0, 0, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *2 +ω^ω *2 +1](n)
[0:n, 2, 1, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *3 +1](n)
[0:n, 2, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +1](n)
[0:n, 2, 0, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 1, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +ω^(ω+1) +1](n)
[0:n, 2, 1, 1, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +ω^(ω+1)*2 +1](n)
[0:n, 2, 2, 2] ≒ F[ω^(ω+2) *2 +1](n)

F[ε_0]どころかF[ω^ω^ω](n)も遠い気がする。

>>453の右の順序数の意味がまったくわからない。
解説よろしく。

私はロリコンと言っている時点で相手にしているだけ無駄

>>448
2以上が出てくると効率が一気に落ちる。
おそらくLoでF[ω^(ω*2)+1]程度。
微妙に修正すると効率を保てるが、
それでもF[ω^ω^ω]止まり。

多変数アッカーマン相当を0と1だけで表したように、
>>448 の多変数[ ] を0と1だけで表わして
さらに2,3,4,...と（上手く）定義していくことで
F[ω^ω^ω^ω]に到達する。
（その代わりに定義が非常に複雑になる）

これを繰り返していってやっと F[ε_0]

効率が低下している部分を修正し、
無駄に複雑な部分を簡略化。
これで [n] ≒ F[ω^ω^ω](n)

n    0以上の整数
i    1以上の整数
a1, a2, ..., a_i    i個の整数で a_i ≧ .... ≧ a2 ≧ a1＞ 0 を満たす
b    a1 より大きい整数
a    0以上の整数

[0:n] = n+1
[a+1, #] = [0, a, #]
[0:n+1, a_i, ..., a2, a1] = [0:n+1, a_i, ..., a2, a1-1:[0:n, a_i, ..., a2, a1] ]
[0:n+1, a_i, ..., a2, a1, b, #] = [0:n+1, a_i, ..., a2, a1-1:[0:n, a_i, ..., a2, a1, b, #], b, #]
[0:n+1, a_i, ..., a2, a1, 0, #] = [0:n+1, a_i, ..., a2, a1-1:[0:n, a_i, ..., a2, a1, 0, #], a1, #]

nを外に出してちょっと変えればすっきりする。
ほとんどハーディー関数だから
大きさの見積もりも簡単。

0 ＜ a1 ≦ a2 ≦ ... ≦ a_i
b ＞ a1

[ ](n) = n+1
[#, 0](n) = [#]^n (n)
[ a1, a2, ..., a_i](n) = [ a1-1:n, a2, ..., a_i](n)
[#, b, a1, a2, ..., a_i](n) = [#, b, a1-1:n, a2, ..., a_i](n)
[#, 0, a1, a2, ..., a_i](n) = [#, a1, a1-1:n, a2, ..., a_i](n)

大きさは [n](n) ≒ F[ω^ω^ω](n)

2個の記号と簡単な定義でF[ε_0](n)まで表わせるヒドラゲームの方が
優れてると思う。

f(0,0)=1
f(0,x)=x^x
f(x,0)=f(x-1,x)^x
f(x,y)=f(x,y-1)^(x^y)

しょぼっ

>>476
f(x,y) = 0

>>478
おい

今日このスレ初めて覗いて面白そうだなと思って読んでたら、
途中から変なのが来てごちゃごちゃにされてるのな。
数学板のスレってなんでこういちいち哲学めいたことを喚いて荒らすやつが現れるんだろう。

>>480
> 数学板のスレってなんでこういちいち哲学めいたことを喚いて荒らすやつが現れるんだろう。

そうだね。不思議だね。
でもその疑問について考えるには板違いだから、
適切な板に移動するか、自分のブログでやればいいんじゃないかな。

順序数がよく分かりません
もっと噛み砕いて説明して頂けませんか

物を数えるときに使う数が順序数だよ。日本語だと
　ひとつ、ふたつ、みっつ、・・・
は順序数。それに対して、
　いち、にい、さん、・・・
は基数だな。

>>483
わかんねー。
それだと、「巨大順序数」と「巨大基数」は同義？
なぜ、巨大数の定義に「基数」でなく「順序数」を使うのかわかんねーだよ。

小さい順序数から順に理解していきなさい

丁寧な説明は過去ログにもあったと思うので、軽く説明を。(軽くというには長くなってしまったが)
>>483は言語学的な意味での順序数、基数であって、
数学的な順序数、基数はそれを拡張した概念。

最小の順序数0があって、その次の数1があり、2、3、4、5、…と続く。
{0,1,2,3,…}のどの数よりも大きい数(のうち最小のもの)を考えて、ωと名付ける。
ωの次の数ω+1、その次の数ω+2、…と続けて、
{ω,ω+1,ω+2,…}よりも大きい数(もちろん{0,1,2,3,…}より大きい)をω+ω=ω×2と名付ける。
同様にω×3, ω×4, …を考え、それらよりも大きい数ω×ω=ω^2を考えて…、とやっていくことで大きな順序数が作れる。

この順序数を関数に対応付ける規則を考えると、巨大な順序数に対応する巨大な関数を作ることができる。
(関数の増加の速さを、関数の大きさとして考える)
巨大な関数の引数に、そこそこ大きな数(10とか100とか)を入れることで、巨大な数が作れる。

基数は個数に相当する概念で、集合の大きさを考えるのに用いる。
{0,1,2,3,…}という集合の大きさを考えると、いかなる自然数よりも大きいということで、この集合の大きさもωと書く。
ならばこの集合に一つ要素を足すと集合が大きくなるかというと、大きくはならない。
{0,1,2,3,…,ω}という集合を考えても、{0,1,2,3,…}の要素と一対一対応させることができて、同じ大きさとなる。
(例えば、ω⇔0、0⇔1、1⇔2、2⇔3、…)
なので、大きさがω+1になる集合を考えようとしても、その大きさはωとなってしまう。
だから、ωは基数だけど、ω+1は基数ではない。
一般に、全ての基数は順序数であるが、順序数は必ずしも基数ではない。
ωよりも大きな基数には、実数の集合に対応する基数などがある。

基数も順序数なのだから、巨大基数を用いて巨大な関数を作れないかと思うかもしれないが、それはできない。
巨大基数に対応するような関数を定義することが難しいからだ。
実際には、順序数の中でも関数との対応付けがうまく定義できる程度の大きさのもの(帰納的順序数)を中心に考える。
ωよりも大きな基数は、帰納的順序数ではないので関数にうまく対応させることができない。
このスレで帰納的順序数より大きな順序数の話が出てくることはあるが、
それは巨大な帰納的順序数を定義するのに用いているだけ。

結局は、帰納的でない巨大な順序数を用いて巨大な帰納的順序数を定義し、
巨大な帰納的順序数を用いて巨大な関数を定義し、巨大な関数を用いて巨大な数を定義するという流れになる。

> 巨大な関数の引数に、そこそこ大きな数(10とか100とか)を入れることで、巨大な数が作れる。

その「巨大な関数」の例を挙げてくれると喜ぶ

数学板覗いてるくらいだから
皆少なからず数学に興味があるんだろうね
それでも順序数で躓いてる人俺以外にも多いだろうな

証明可能帰納関数ってググってもよくわからん
関数がペアノ算術で証明可能ってどういうことなの？
ある命題が証明可能っていうならわかるんだが

>>488
なんで躓くんだろうね
やっぱりグラハム数とかアッカーマンより一歩抽象的になるからだろうか？

>>487
具体的に定義された例は過去ログを漁れば色々出てくるので、
他の表記と比較できるくらいの大きさの例について、厳密性は重視せずに説明してみる。

順序数に関数を対応させる規則は、
　αは任意の順序数、βは収束列が{β_n}である極限順序数として、
　H[0](n)=n
　H[α+1](n)=H[α](n+1)
　H[β](n)=H[β_n](n)
のように定義される。ただ、初めてこれを見ても理解できないだろうからきちんと説明する。

新たな順序数を作る方法としては、>>486でも述べたように
・ある順序数αに対して、その次の数α+1を考える
・{β_0,β_1,β_2,…}という(可算無限)数列に対して、そのどれよりも大きい最小の数βを考える
などがある。(これ以外の方法もある)
例えば、{0,1,2,3,…}という数列は普通は発散すると考えるが、
これを順序数ωに収束すると考えて、{0,1,2,3,…}をωへの収束列と考える。
同様に、ω×2の収束列は{ω+n}、ω^2の収束列は{ω×n}、のようになる。
βの収束列が{β_n}のときにα+βの収束列を{α+β_n}としておくと、
H[α+β](n)=H[α](H[β](n))のように、順序数の和が関数の合成になる。
(同じ順序数への収束列は無数にあるので、各順序数に対し一つ収束列を定めておく)

H[0](n)=nで、H[0]はただの恒等関数である。
H[1](n)=H[0](n+1)=n+1で、H[1]は引数に+1するだけの関数である。
定義に従えば、H[2](n)=n+2、H[3](n)=n+3、…、H[m](n)=n+m、となる。
これは、H[m]がH[1]をm回繰り返す関数だから、H[m]が引数に+mする関数になるとも考えられる。
ωへの収束列は{n}={0,1,2,…}なので、H[ω](n)=H[n](n)=n*2となり、H[ω]は引数を2倍する関数となる。
H[ω*2]=H[ω+ω]で、H[ω*2]はH[ω]を2回繰り返す関数、つまり引数を4倍する関数となる。
H[ω^2]=H[ω*ω]で、H[ω^2]はH[ω]を引数の回数だけ繰り返す関数になる。
具体的には、H[ω^2](n)=n*2^nとなる。大雑把に比べると、H[ω^2]はべき乗に対応する。
H[ω^3]はH[ω^2](べき乗)の引数回繰り返しで、タワー表記の↑↑に対応する。
H[ω^4]は↑↑↑に対応し、同様にしてH[ω^(n+1)]は↑^nに対応する。
H[ω^ω]はグラハム数の定義に用いるG(n)=3→3→nに匹敵する大きさになるので、
H[ω^ω](100)はグラハム数並みの巨大数になる。

これ以上大きい数についてはhttp://gyafun.jp/ln/あたりを参照してほしい。

なぜ順序数が便利なのかを軽く説明しておくと、
巨大関数を作るための操作は(計算可能関数の範囲では)ひたすら「繰り返し」になる。
(帰納的)順序数を用いると、この「繰り返し」操作を簡潔に表すことができる。
例えば、1に対応する「ある操作」を考えると、ωはある操作の引数回繰り返し、
ω*2はある操作の引数回繰り返しの引数回繰り返し、
ω*ωは「ある操作を引数回繰り返した操作を作る」操作の引数回繰り返し、
のように、言葉で書くとわけが分からなくなるような操作を順序数で表せる。
しかも、"1"に対応する操作を変えることで、様々な操作の繰り返しを順序数を用いて統一的に表せる。
「巨大な順序数を作る操作」を繰り返すのにも順序数を用いることができるので、
順序数を使わない表記に比べてはるかに巨大な関数を作ることができる。

分かりやすい解説ありがとう

>>489についても回答よろしくお願いします！

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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誰か証明可能帰納関数について教えて下さい…お願いします

証明可能帰納関数のことはよく知らないから間違ってるかもしれないが、
多分、関数が全域的であることが証明できればいいのだと思う。

>>349のf(x)の定義が帰納的になる理由が分かりません
[σ,e](x)↓って一般的には帰納的でない気がするのですが

なんで帰納的だと思ったの？

>>499
>>373でH[C(1,C(2,0,0),0)]相当と書いてあるから

>>500
C(1,C(2,0,0),0)は帰納的順序数じゃない。

なんか根本的なところをわかってなかったみたい…
・ハーディー関数は帰納的順序数でなくても収束列さえ定義できれば作れるのでしょうか
・f(x)は帰納的でないビジービーバーやふぃっしゅ数６よりも大きな関数なのでしょうか

↑訂正：ふぃっしゅ数６じゃなくてふぃっしゅ数４でした

>>502
> ・ハーディー関数は帰納的順序数でなくても収束列さえ定義できれば作れるのでしょうか
YES.

> ・f(x)は帰納的でないビジービーバーやふぃっしゅ数６よりも大きな関数なのでしょうか
YES.

ビジービーバー関数はH[C(1,0,0)]相当、
ふぃっしゅ数4はH[C(1,ω+1,0)]とH[C(1,ω+2,0)]の間だと思います。

なるほど、わかりました。ありがとうございました

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グラハム数だのフィッシュ数だの無量大数桁＾無量大数桁乗には敵わんだろう

( ´・ω・`)

>>507
顔洗って出直して来い

無量大数桁の無量大数桁乗って結構でかくね？

そうだね。すごく大きいね。よかったね。

無量大数桁の自然数は無量大数桁の自然数個あるね。
１個選んで。

0から1の間に存在する実数の個数はこのスレで上がったどんな数より大きい

> 大きな実数を探索するスレッドです。

つまり順序数は実数でないので対象外なわけか

もちろん。

このスレの順序数は巨大数を定義するための手段に過ぎない。

どれだけ巨大な順序数が定義できるかもみてみたい

それはすなわち巨大基数探しということになる。
専門家がいるから素人がいくら考えても勝ち目は無い。

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
http://www.amazon.co.jp/gp/offer-listing/4431707697/

test

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そのAAの元ネタは？

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浮上

あげんな馬鹿

>>522
昔コテハンだった頃改作したネタなんだが。

>>522
ブス村詩織

>>531
氏ね

0;f(x)=f(x)
n+1;f(x)=f(n;f(x))
[f(x)]=f(x);f(x)
[0:n+1,f(x)]=[f(x):n+1];[f(x):n+1]
[#,a+1,f(x)]=[#,a,f(x)];[#,a,f(x)]
[#,a+1,0:n+1,f(x)]=[#,a,f(x):n+2];[#,a,f(x):n+2]

A:B　 A個のB
*　　　0個以上の0以上の整数
a　　　0以上の整数
n　　　0以上の整数
f(x)　 xを変数として持つ任意の式

0#f(x) = f(x)
n+1#f(x) = f(n#f(x))
[f(x)] = f(x)#f(x)
[0:n+1,f(x)] = [f(x):n+1]#[f(x):n+1]
[*,a+1,f(x)] = [*,a,f(x)]#[*,a,f(x)]
[*,a+1,0:n+1,f(x)] = [*,a,f(x):n+2]#[*,a,f(x):n+2]

534,535は無視

A:B　 A個のB
*　　　0個以上の0以上の整数
a　　　0以上の整数
n　　　0以上の整数
f(x)　 xを変数として持つ任意の式

0 # f(x) = f(x)
(n+1) # f(x) = f( n # f(x) )
@[ f(x) ] = f(x) # f(x)
@[ 0:(n+1), f(x) ] = @[ f(x):(n+1) ] # @[ f(x):(n+1) ]
@[ *, a+1, f(x) ] = @[ *, a, f(x) ] # @[ *, a, f(x) ]
@[ *, a+1, 0:(n+1), f(x) ] = @[ *, a, f(x):(n+2) ] # @[ *, a, f(x):(n+2) ]

>>536
f(x)　 xを変数として持つ0以上の整数を返す任意の式

A:B B個のAか？

g(x) = x # x とすると
@[9:9] = g^111111111 (9)

普通のアッカーマンより小さいぞ

>>538
＞A:B B個のAか？

はいその通りです。記述まだ間違っていました。すみません。

＞g(x) = x # x とすると

f(x)　 xを変数として持つ自然数を返す任意の式

でした。すみません。

f(x)　に x を適用すると x にしかなりません。

お試しは x+1 でお願いします。

修正しました

A:B　 B個のA
*　　　0個以上の0以上の整数
a　　　0以上の整数
n　　　0以上の整数
f(x)　 0以上の整数xを変数として持つ自然数を返す任意の式

0 # f(x) = f(x)
(n+1) # f(x) = f( n # f(x) )
@[ f(x) ] = f(x) # f(x)
@[ 0:(n+1), f(x) ] = @[ f(x):(n+1) ] # @[ f(x):(n+1) ]
@[ *, a+1, f(x) ] = @[ *, a, f(x) ] # @[ *, a, f(x) ]
@[ *, a+1, 0:(n+1), f(x) ] = @[ *, a, f(x):(n+2) ] # @[ *, a, f(x):(n+2) ]

@[9:9] = g^111111111 (9)

f(x) = x+1 とすると
g(x) = 2x だから
@[9:9] = 9*2^111111111

>>541
じゃあしかたがない
忘れてください

C++で巨大数を定義してみました。
intがオーバーフローしないとして、メモリも無限にあるとしてmainの返り値はどれくらいの大きさでしょうか。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.list=(T *)(a*sizeof(T));return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.list>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &t,int rank){if(rank==0)a<<=a<<a;else{ T s=max(a); f(s,rank-1);}if(!next(t))return;for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(t);f(x,rank);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);f(t,a);}return a;}

葉が数値の多進木ですね。

大きさはF[ε_0+1](9e999)くらいだと思います。
変数や関数名を全て１文字にして余分なスペースを消すと628文字です。

厳密にはポインターに数値をキャストして保持するのは無理ですので、
struct T に int num; というメンバーを追加して使うべきと思います。
    T*list = (T*)(a*sizeof(T));
    while (--list>0);
これがa-1回ループして抜ける保証はありません。

評価ありがとうございます。
多重リストアッカーマン位の大きさでしょうか。

間違えました。
F[ω^ω^ω*ω+1](9e999) くらいでした。

2重リストアッカーマンよりちょっと大きいくらい、
2重リスト＆1変数のアッカーマンをループした感じです。

149文字でF[φ_ω(0)](9)相当の数を返す私の作品を紹介します。

struct A{A*B,*C;int D;A*E(int F){A*G=F?E(F-1):B,E={C?C->E(F):G,G,D-!C};return C||D?new A(E):B;}}B,*C=&B;int main(){for(;C=C->E(B.D+=9););return B.D;}

どうも大きさの見積もり方がわからない。
ちょっと変形してみました。今度はどれくらいでしょうか。
>>547のコードは私には理解不能でした。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;int num;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.num=a;return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;x.num=t.num;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.num>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &s,T &t,T &u){if(!next(s)){s=max(a){if(!next(t)){t=max(a);if(!next(u))return;}}}return;for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(s);T y=dup(t);T z=dup(u);f(x,y,z);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);T s=max(a);T u=max(a);f(s,t,u);}return a;}

すいません間違えました。aを増やす操作を抜かしていました。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;int num;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.num=a;return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;x.num=t.num;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.num>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &s,T &t,T &u){a<<=a<<a;if(!next(s)){s=max(a){if(!next(t)){t=max(a);if(!next(u))return;}}}return;for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(s);T y=dup(t);T z=dup(u);f(x,y,z);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);T s=max(a);T u=max(a);f(s,t,u);}return a;}

たびたびすいません。今度は余計なreturnが入っていました。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;int num;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.num=a;return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;x.num=t.num;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.num>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &s,T &t,T &u){a<<=a<<a;if(!next(s)){s=max(a){if(!next(t)){t=max(a);if(!next(u))return;}}};for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(s);T y=dup(t);T z=dup(u);f(x,y,z);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);T s=max(a);T u=max(a);f(s,t,u);}return a;}

>>550
たぶんF[ω^(ω^ω*3)+1](9e999)くらいです。
fの引数をTの配列にすればF[ω^ω^(ω+1)+1](9e999)に、
fの引数をTをさらにTのような構造にしたものにするとF[ω^ω^ω^ω+1](9e999)になります。
（もちろん上手く定義した場合ですが）

テスト

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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この荒らしは誰の意図なのか

SAC さんが一人でやってます

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保守

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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保守

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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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f(0,0)=2
f(0,x)=x^x
f(x,y)=f(x,y-1)^f(x,y-1)^・・・(y回)・・・f(x,y-1)

>>582　訂正
function f(x,y){
int a=1;
for(i=1;i<x^y;i++){
a=a^(i^j);
}
}

わざわざ猫の古いコテを使って書き込んでる奴ってなんなの？
キチガイ？

ちなみにこれがトリップ
#etale-sheaf

描

勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。

描

>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>

>>583
何語？

^ がべき乗で、
fの値がforループを抜けた後のaの値と仮定すると、
f(x,y) は常に1

j は何？ある定数？

もう１回訂正しないと意味不明。

保守＆まとめ

このスレの中で定義された一番大きい数＝>>373
大きさ的にはおそらくH[C(ω,0,0)]相当らしい
（CはDmytro氏のAn Ordinal NotationのC）

過去ログ
part１〜７: http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/
part８：http://desktop2ch.net/math/1194777915/
まとめサイト「巨大数研究室」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
http://gyafun.jp/ln/

Large numbers - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers

あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
http://mrob.com/pub/math/largenum.html

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

A(0,x)=x+1
A(y+1,0)=A(y.1)
A(y+1,x+1)=A(y,A(y+1,x))

A(0,x)[]=A(x,x)
A(y+1,0)[]=A(y.1)[]
A(y+1,x+1)[]=A(y,A(y+1,x)[])[]

A(0,x)[][]=A(x,x)[]
A(y+1,0)[][]=A(y.1)[][]
A(y+1,x+1)[][]=A(y,A(y+1,x)[][])[][]

A(0,x)[][][]=A(x,x)[][]
A(y+1,0)[][][]=A(y,1)[][][]
A(y+1,x+1)[][][]=A(y,A(y+1,x)[][][])[][][]

A(0,x)[]n+1|=A(x,x)[]n|
A(y+1,0)[]n+1|=A(y,1)[]n+1|
A(y+1,x+1)[]n+1|=A(y,A(y+1,x)[]n+1|)[]n+1|

A(0,x)[0]=A(x,x)[]x|
A(y+1,0)[0]=A(y,1)[0]
A(y+1,x+1)[0]=A(y,A(y+1,x)[0])[0]

A(0,x)[]n+1|[0]=A(x,x)[]n|[0]
A(y+1,0)[]n+1|[0]=A(y,1)[]n+1|[0]
A(y+1,x+1)[]n+1|[0]=A(y,A(y+1,x)[]n+1|[0])[]n+1|[0]

A(0,x)[0][]m+1|=A(x,x)[]x|[0][]m|
A(y+1,0)[0][]m+1|=A(y,1)[0][]m+1|
A(y+1,x+1)[0][]m+1|=A(y,A(y+1,x)[0][]m+1|)[0][]m+1|

A(0,x)[]n+1|[0][]m+1|=A(x,x)[]n|[0][]m+1|
A(y+1,0)[]n+1|[0][]m+1|=A(y,1)[]n+1|[0][]m+1|
A(y+1,x+1)[]n+1|[0][]m+1|=A(y,A(y+1,x)[]n+1|[0][]m+1|)[]n+1|[0][]m+1|

A(0,x)[0]m+1|=A(x,x)([]x|[0][])m|[]x|
A(y+1,0)[0]m+1|=A(y,1)[0]m+1|
A(y+1,x+1)[0]m+1|=A(y,A(y+1,x)[0]m+1|)[0]m+1|

だめだ修行が足りないアクセス制限で挫折
あきらめた

式だけじゃなくなんか言葉を書けよ
おまえの計算ノートじゃねえ

6^0=1

よく2chで不等号を三つも四つも重ねて違いをアピールするレス見かけるんで
その度にそれ不等号二個で十分じゃんって思ってたんだけど
このスレに出てくるような巨大数なら>>>とか>>>>もありかもって気がしてきた

一<一兆<<無料大数<<<不可説不可説転<<<<グーゴルプレックス<<<<<グラハム数

こんな感じでしょうかｗ

ほしゅ

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f(a)=1/(1-1/a)
a=f(a)

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x,　y,　n　は　任意の非負整数　である
x:n　と記述した場合　n個　の　x　である
#　は　0個以上　の　任意の非負整数　である

上記を踏まえると多変数アッカーマン関数　Ak(a_1,a_2,a_3,......,a_(n-1),a_n)　は次の３行で定義できる

Ak( x, 0:n ) = x+1
Ak( 0:(n+1), y+1, # ) = Ak( 1:(n+1), y, # )
Ak( x+1, 0:n, y+1, # ) = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # ):(n+1), y, # )

うむ、美しい

次は 関数Ak を 規定関数使って 拡張関数Ak(#)| を定義する

Ak( x, 0:n )| = Ak( x:x )
Ak( 0:(n+1), y+1, # )| = Ak( 1:(n+1), y, # )|
Ak( x+1, 0:n, y+1, # )| = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # )|:(n+1), y, # )|

そこで次の定義を行えば

m は 任意の非負整数
Ak( # )|0 = Ak( # )
Ak( # )|(m+1) = Ak( # )|m|

拡張用記号の　|　を用いた関数が次の定義で完成

Ak( x, 0:n )|(m+1) = Ak( x:x )|m
Ak( 0:(n+1), y+1, # )|m = Ak( 1:(n+1), y, # )|m
Ak( x+1, 0:n, y+1, # )|m = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # )|:(n+1), y, # )|m

規定関数に使う関数を Ak(#)@ とし
拡張関数を Ak(#)@@とすると
つねに次の関係が成立する

Ak( x, 0:n )@@ = Ak( x:x )@
Ak( 0:(n+1), y+1, # )@@ = Ak( 1:(n+1), y, # )@@
Ak( x+1, 0:n, y+1, # )@@ = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # )@@:(n+1), y, # )@@

したがって以後下２行は省略して１行目の規定関数と拡張関数の定義だけで
拡張関数の定義とみなす

@@ と @ の対応は次通り

[]　→　|x

|(n+1)[]　→　|n[]

[]|(m+1)　→　|x[]|m

|(n+1)[]|m　→　|n[]|m

[][]　→　|x[]|x

[](m+1) 　→　(|x[])m|x

[]m|(n+1) 　→　(|x[])m|n

イメージとしてはこんあ感じで拡張していくんだけど人に説明するための定義になってないんでただ今断念中

||||[]||||
|||||[]|||||[]||||[]|||[]||||
[0]
|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||
|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||
[0,0]
|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]||||[0,0]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]||||
[0,0,0]
[0,0,0,0,0]
[1]
[0,1]
[0,0,1]
[1,0]
[0,1,0]
[0,0,1,0]
[0,0,1,0,0]
[1,1]
[0,1,1]
[0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,00,0]
[2]
[0,0,2,0,0,0]
[0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0]
[3]
[4]
[5]
[10,10,10]
[|]

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何でスキューズ数が出てないんだよ
お前ら本当に数ヲタか？

小さすぎて気がつかなかった

せめてグラハム数くらいの大きさはないとなあ

あげ

さげてるやん

保守

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

ハイパー演算子ってなんすか？

アッパー演算子
ベリー演算子
ウルトラ演算子
スーパー演算子
エクストリーム演算子
メタ演算子
トランス演算子
プリター演算子
グレート演算子
ミラクル演算子
ゴージャス演算子
マイティー演算子
パーフェクト演算子
ローリング演算子
ワンダー演算子
ドリーム演算子
アメージング演算子
スペシャル演算子
サバイブ演算子
バスター演算子
アルティメット演算子
ハイパー演算子

Wikiみれ

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f(0,0)=1
f(0,x)=x
f(x,0)=f(x-1,f(x-1,x))
f(x,y)=(f(x,y-1),f(x-1,y))

そういう考え方が日本では極めて支配的ですよね。そしてその結果とし
て日本では研究目的や研究業績を徹底的に無視し、尚且つ対人関係や組
織人としてのバランスだけが針小棒大に強調されて問題にされるという、
およそ学問を執り行う集団にはあるまじき不見識な無茶苦茶がまかり通
る訳でしょ。そんな事をしてるから大学の現場が崩壊スルんだよね。

まあ政治の現場である各政党や国会が大混乱するのと全く同じ仕掛けで
すよね。皆が下らない周囲の対人関係や自分が所属する組織の無意味な
維持（要は単なる保身）しか考えず、そして本来の目的である政治家の
仕事をないがしろにするから、こういう大混乱が国家レベルで生じてし
まうんですよね。組織の目的や各人の役割を徹底して無視し、組織の維
持と各人の保身しか考えないという超馬鹿者集団。大学も全く一緒です。

対人関係と組織しか考えない馬鹿な日本人は全世界の笑い者ですワ。こ
んな国はサッサと崩壊して沈んでしまえ。大学とは本来は学問を行う場
所であり、馬鹿が群れて遊ぶ場所じゃない。いい加減にしろ。研究者に
は感情なんて不必要。こんな低脳の国は滅びるしかない。無意味な存在。

狢

>501 名前：名無しゲノムのクローンさん ：2012/12/20(木) 07:24:55.21
> 芥川賞受賞の中年ニートの中二病丸出し会見の人がいたけど
> 才能や作品で勝負する覚悟があってああしてるわけで
> 大学教員には業績や研究能力に加えて諸々の対人関係なり、組織人としてのバランスと教歴が人事選考で必要
>
> そこを取り違えてるポスドクが大杉
>

>>996
その通り。性犯罪者は何を言っても無駄だから安心して意見を書き込ん
でるのや。ワシの言う事を鵜呑みにされたら困るさかいナ。性犯罪者や
から『こそ』、自由に自分の意見が言えるのや。ソレは誰も信用せえへ
んからなんやワ。そやし意見を言うにはとても便利な立場やね。他人の
意見を鵜呑みにする奴は馬鹿。

そやし今後もガンガンと意見を書き込みまっさー

狢

>>996
その通り。性犯罪者は何を言っても無駄だから安心して意見を書き込ん
でるのや。ワシの言う事を鵜呑みにされたら困るさかいナ。性犯罪者や
から『こそ』、自由に自分の意見が言えるのや。ソレは誰も信用せえへ
んからなんやワ。そやし意見を言うにはとても便利な立場やね。他人の
意見を鵜呑みにする奴は馬鹿。

そやし今後もガンガンと意見を書き込みまっさー

狢

>996 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/25(火) 13:28:35.52
> >>994
> 数学と無縁な性犯罪者が何言っても無駄だろう。
> それは日本に限らないよ。
> むしろ欧米の方がそういうゴミに厳しいぜ？
>

f(0,0)=1
f(0,x)=x+1
f(x,0)=f(x-1,f(x-1,x))
f(x,y)=(f(x,y-1),f(x-1,y))

>>620
少しいじくってみた
f(0,0)=0
f(0,x)=x^2+1
f(x,0)=f(x-1,f(x-1,x)^2)
f(x,y)=f(x-1,f(x,y-1)^2)

>>996
その通り。性犯罪者は何を言っても無駄だから安心して意見を書き込ん
でるのや。ワシの言う事を鵜呑みにされたら困るさかいナ。性犯罪者や
から『こそ』、自由に自分の意見が言えるのや。ソレは誰も信用せえへ
んからなんやワ。そやし意見を言うにはとても便利な立場やね。他人の
意見を鵜呑みにする奴は馬鹿。

そやし今後もガンガンと意見を書き込みまっさー

狢

>996 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/25(火) 13:28:35.52
> >>994
> 数学と無縁な性犯罪者が何言っても無駄だろう。
> それは日本に限らないよ。
> むしろ欧米の方がそういうゴミに厳しいぜ？
>

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z[a]()=a+1
z[a](0)=z[z[a]()]()
z[a](b+1)=z[z[a](b)](b)
z[a](0,0:n+1)=z[z[a](a:n+1)](z[a](a:n+1):n+1)
z[a](b+1,0:n+1)=z[z[a](b,0:n+1)](z[a](b,0:n+1):n+1)
z[a](0,0:n,c+1,#)=z[z[a](a:n+1,c,#)](z[a](a:n+1,c,#):n+1,c,#)
z[a](b+1,0:n,c+1,#)=z[z[a](b+1,0:n,c,#)](z[a](b+1,0:n,c,#):n+1,c,#)

#は0個以上の0以上の整数
x:yはy固のx（ただしyとxは0以上の整数）
a,b,c,nは0以上の整数

z[a]()=a+1
z[a](0)=z[z[a]()]()
z[a](b+1)=z[z[a](b)](b)
z[a](0,0:n+1)=z[z[a](a:n+1)](z[a](a:n+1):n+1)
z[a](b+1,0:n+1)=z[z[a](b,0:n+1)](z[a](b,0:n+1):n+1)
z[a](0,0:n,c+1,#)=z[z[a](a:n+1,c,#)](z[a](a:n+1,c,#):n+1,c,#)
z[a](b+1,0:n,c+1,#)=z[z[a](b,0:n,c+1,#)](z[a](b,0:n,c+1,#):n+1,c,#)

ふぃっしゅ数の論文読んできたけどここ見てるやつの何割が理解出来てんだかこれ
バージョン5辺りから読むの投げた

あぼーん

超天才と呼ばれるほどの数学者が本気でこのスレの課題に取り組んだら、
どんな解答を導きだすのか興味あるわ

あぼーん

x,y,nは0以上の整数
x:nはn個のx
x:0はヌル
#は0個以上の0以上の整数

f()=1+1
f(0)=f()+f()
f(x+1)=f(x)+f(x)
f(0,0:n+1)=f(f(0:n+1):n+1)
f(x+1,0:n+1)=f(f(x,0:n+1):n+1)
f(0,0:n,y+1,#)=f(f(0,0:n,y,#):n+1,y,#)
f(x+1,0:n,y+1,#)=f(f(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

g()=f(f():f())
g(0)=f(g():g())
g(x+1)=f(g(x):g(x))
g(0,0:n+1)=g(g(0:n+1):n+1)
g(x+1,0:n+1)=g(g(x,0:n+1):n+1)
g(0,0:n,y+1,#)=g(g(0,0:n,y,#):n+1,y,#)
g(x+1,0:n,y+1,#)=g(g(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

>>639
小さいよ

f()=2
f(0)=4
f(0,0)=f(4)=16
f(0,0,0)=f(16,16)
f(0,0,0,0)=f(f(16,16),f(16,16),f(16,16))
f(0,0,0,0,0)=f(f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)))

f(n)=2^(n+2)

f(1,0)=2^18
f(2,0)=2^(2^18)
f(3,0)=2^(2^(2^18))
f(4,0)=2^(2^(2^(2^18)))

f(0,1)=f(f(0,0),0)=f(16,0)=2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^18)))))))))))))))
f(1,1)=f(f(0,1),0)=f(f(16,0),0)
f(2,1)=f(f(1,1),0)=f(f(f(16,0),0),0)
f(3,1)=f(f(2,1),0)=f(f(f(f(16,0),0),0),0)

f(0,2)=f(f(0,1),1)=f(f(16,0),1)
f(1,2)=f(f(0,2),1)=f(f(f(16,0),1),1)
f(2,2)=f(f(1,2),1)=f(f(f(f(16,0),1),1),1)
f(3,2)=f(f(2,2),1)=f(f(f(f(f(16,0),1),1),1),1)

f(0,3)=f(f(0,2),2)=f(f(f(16,0),1),2)
f(1,3)=f(f(0,3),2)=f(f(f(f(16,0),1),2),2)
f(2,3)=f(f(1,3),2)=f(f(f(f(f(16,0),1),2),2),2)
f(3,3)=f(f(2,3),2)=f(f(f(f(f(f(16,0),1),2),2),2),2)

f(1,0,0)=f(f(0,0,0),f(0,0,0))=f(f(16,16),f(16,16))
f(2,0,0)=f(f(1,0,0),f(1,0,0))=f(f(f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16)))
f(3,0,0)=f(f(2,0,0),f(2,0,0))=f(f(f(f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16))),f(f(f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16))))

f(0,1,0)=f(f(0,0,0),0,0)=f(f(16,16),0,0)
f(1,1,0)=f(f(0,1,0),0,0)=f(f(f(16,16),0,0),0,0)
f(2,1,0)=f(f(1,1,0),0,0)=f(f(f(f(16,16),0,0),0,0),0,0)
f(3,1,0)=f(f(2,1,0),0,0)=f(f(f(f(f(16,16),0,0),0,0),0,0),0,0)

f(0,2,0)=f(f(0,1,0),1,0)=f(f(f(16,16),0,0),1,0)
f(1,2,0)=f(f(0,2,0),1,0)=f(f(f(f(16,16),0,0),1,0),1,0)
f(2,2,0)=f(f(1,2,0),1,0)=f(f(f(f(f(16,16),0,0),1,0),1,0),1,0)
f(3,2,0)=f(f(2,2,0),1,0)=f(f(f(f(f(f(16,16),0,0),1,0),1,0),1,0),1,0)

f(0,0,1)=f(f(0,0,0),f(0,0,0),0)=f(f(16,16),f(16,16),0)
f(1,0,1)=f(f(0,0,1),f(0,0,1),0)=f(f(f(16,16),f(16,16),0),f(f(16,16),f(16,16),0),0)
f(2,0,1)=f(f(1,0,1),f(1,0,1),0)=f(f(f(f(16,16),f(16,16),0),f(f(16,16),f(16,16),0),0),f(f(f(16,16),f(16,16),0),f(f(16,16),f(16,16),0),0),0)

g()=f(2,2)=f(f(f(f(16,0),1),1),1)
g(0)=f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1))
g(1)=f(f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)))
g(2)=f(f(f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1))):f(f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1))))

ある関数の解が値が有限数として
数を有限であると数数回検証した場合に失敗する確率

ワシかてそう願ってるがな。

ケケケ狢

>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>

このコテはNGすればいいの？

ワシかてそう願ってるがな。

ケケケ狢

>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>