高校生のための数学の質問スレPART272

>>926,928
特定の一人を決めて、などという小細工は好かんというときは、
「nを自然数とするとき、3n人の人間を3人ずつn組に分ける分け方の総数」
を一挙に求める求め方の例

3n人を一列に並べ、端から3人ずつ区切りを入れると、3人の組がn組できる。
ここで、各3人組の順列は任意でよいので、3人の組毎に3!通りの並べ方を無視することができる。
また、出来上がっているn組の順も任意でよいので、n!通りのn組の並べ方を無視することができる。
よって、3n人を3人ずつのn組に分ける分け方の総数は
(3n)!/{((3!)^n)(n!)}

だから、
重複度で割る、っていう考え方は初心者にとっては難しいor気持ち悪いので回避したいんだよ。

　9人を３人３組に分ける方法は C[7,2]×C[5,2] 通り

の考え方は、それを回避できてるので感心した。

>>951
?

>>953
わがままだな
重複度で割るのが嫌ならCは使えないだろ

9人を３人３組に分ける方法は C[7,2]×C[5,2] 通り
にしてもあとで重複度で割らなきゃだめだ

>>953
重複度で割ることを回避したら、組み合わせの公式そのものはどう導入するの?

>>953
C[8,2]×C[5,2]

>>955
C[8,2]×C[5,2]=280
>>952(n=3)=9!/{(3!^3)(3!)}=280
重複度って何

初心者ならではのご愛嬌ｗ

すまんタイポだった C[8,2]×C[5,2]

>>953
> 　9人を３人３組に分ける方法は C[7,2]×C[5,2] 通り
ただしくない。
7C2・5C2の考え方を聞きたい。

>>950
理解しました。
わかりやすくありがとうございました。

はじめまして
今、問題を解いていて詰まったので教えてください。

a:b=b:cの時
(ａ+ｂ+ｃ)(a-b+c)=(a^2+b^2+c^2)が成り立つことをを証明せよ。

よろしくお願いします。

>>982
パッと見た感じ
比を内項と外項の積に変形してからｂの２乗を消すのが早いんじゃないかな？

アンカーミス
>>962へのレス

>>962
a:b=b:c　即ち　a/b=b/c=k　とおけば、　b=ck、a=bk=ck^2
これを左辺に代入すると
左辺=c^2(ｋ^2+k+1)(k^2-k+1)=c^2((k^2+1)^2-k^2)=c^2(k^4+k^2+1)=右辺

>>964

ど、どういうことですか？

>>966

>>963では本来は「>>962」というアンカーをつけるべきところを
間違えて「>>982」と書いてしまった

ということです。

>>956
>左辺=c^2(ｋ^2+k+1)(k^2-k+1)

ここになるまでがわからないです。
頭悪くてすいません。

(ａ+ｂ+ｃ)(a-b+c) に  b=ck、a=bk=ck^2  を 代入したら 
(ck^2+ck+c)(ck^2-ck+c) だよ。
c(k^2+k+1) c(k^2-k+1) ← それをcでくくって
c^2 (k^2+k+1)(k^2-k+1) ← さらに整理

>>968
とにかく代入してみろ。

どなたか教えて下さい。縦３本、横３本の最短経路問題です。
【問題】
Ｂ―　―　―Ａ
｜　｜　｜　｜
　―　―　―　
｜　｜　｜　｜
　―　―　―　
｜　｜　｜　｜
Ｐ―　―　―Ｑ
上図のような道路が交差する街路がある。
今Ｐ地点にいる人がＡ地点まで最短経路で移動すると同時に、Ｑ地点にいる人はＢ地点まで最短経路で移動する。
同時に出発し、同じ速度で移動する時、両者が出くわすのは何通りあるか。

【何処まで解いたか】
力技で解きました。6C3＝20通り全てのパターンを書き出し、それぞれの辺に名前をつけ、移動する辺を比較して数え上げました。
　―　δ　―　
｜　｜　｜　｜
　―　γ　―　
｜　｜　｜　｜
　―　β　―　
｜　｜　｜　｜
　―　α　―　
２手目にαで交差する：4*4=16通り
３手目にβで交差する：6*6=36通り
４手目にγで交差する：7*7=49通り
５手目にδで交差する：3*3=9通り
全部で16+36+49+9=110通り
となりました。（正しいかは不明）
とにかく20通り全て書き出すのが難儀でした。もっとスマートな解き方は無いでしょうか。よろしくお願いします。

>>969
なるほど。
ありがとうございます。

できれば
>c^2(k^4+k^2+1)
上記のkにはなにをいれればいいんですか？

A=Bを証明したいときは、A-B=0を証明すればOK

(a+b+c)(a-b+c)-(a^2+b^2+c^2)
={(a+c)+b}{(a+c)-b}-(a^2+b^2+c^2)
=(a+c)^2-b^2-(a^2+b^2+c^2)
=(a^2+2ac+c^2)-b^2-(a^2+b^2+c^2)
=2ac-2b^2…�@

ここで、a:b=b:cよりb^2=ac

よって、�@=0

計算するだけでどうにかなるもんだ

＞ 両者が出くわすのは何通りあるか。

「何」が何通りあるのかをきいているのかがわかりにくい問題文だな。

「の」って何を指してる？

>>973
>=2ac-2b^2…�@
>ここで、a:b=b:cよりb^2=ac

ここがわからないです

>>971
同時に同速度でスタートなら、出くわしたときには等距離移動している。
だから、真ん中でしか出会わない。
あとは、それぞれそこを通る経路を計算して掛け合わせて（対称性から同じなので2乗することになるけど）、
足し合わせる。

例えば、βを通るのは、2C1*3C1=6通りだから、βで出会うのは6^2=36通り。

>>972
k　は　仮定に与えられている比　a:b=b:c　の値だから、回答者が勝手に値を決めることはできない。
a/b=b/c=k とおいて、a、bをcとkを使って表すための作業用変数と思ってくれ。

>>977
>c^2(k^4+k^2+1)=右辺

ここが理解できないです

>>975
a:b=b:cならa/b=b/cだから、ac=b^2。
p:q=r:sだったら、外側の積psと内側の積qrが等しくなる。

>>978
右辺にも代入してみろ。
とにかく手を動かせ。
自分で出来るようにならんぞ。

>>975
外項と内項の積って知ってる？

>>977
等しい比が与えられたときの証明問題では比を文字で置くのはセオリーだし
もちろんその使い方を慣れる必要はあるわけだけど、
この場合はb^2しか出てこないから　Kが出ない形でした方がいいんじゃない？

>>981
中一で習うよね。今の学習指導要領でもさ。
高校以前ｗｗ

>>976

＞例えば、βを通るのは、2C1*3C1=6通りだから、βで出会うのは6^2=36通り。
この計算が出来ませんでした。詳しくお願いします。


>>974
私も混乱したのですが、恐らく両者が交差するのは何通りかと言う意味だと解釈しています。

>>971
ｎ段目ででくわす経路は、ｎ段目にたどり着くまでの経路^2 × ｎ段目からゴールまでの経路^2 通りある。
（ｎ段目にたどり着く経路はｎ通り ｎ段目からゴールまでの経路は5-n通り）
つまり n^2(5-n)^2 を n=１〜４まで 足せばいい。 

ｎ段目にたどり着くまでの経路^2 × ｎ段目からゴールまでの経路^2  と それぞれ２乗になるのは
ふたりがそれぞれ独立に道を選ぶからだよ。

x^3+y^3-3xy=nを満たす整数の組（ｘ、ｙ）が無限個存在するのはｎ=-1のときに限ることを示せ

背理法でやることはわかるのですがそれからがわかりません
おしえていただけないでしょうか

みなさんの丁寧な説明のおかげで理解することができました。
中学の時に遊びすぎたのでなんとか取り戻そうとしているのですが、
理解力がないためになかなかうまくいきません。

またみなさまのお力を借りるかもしれませんので、そのときはどうかこの馬鹿に力を貸してやってください。

みなさん本当にありがとうございました。

>>984
（Pからβへ行く経路）*（βからAへ行く経路）ってだけだよ。

>>987
> 背理法でやることはわかるのですがそれからがわかりません
わかるところまで書いてみな。

>>987
それは高校生向けの問題なのか？

>>987
(x+y+1)(x+ωy+ω²)(x+ω²y+ω)=x³+y³+1³-3xy･1=n+1

有名因数分解を使うことに気付けば、高校生でも解ける。

>>985-986　>>989

ありがとうございます、ようやく理解出来ました。

αを通る：(1C1*4C1)^2=4^2=16
βを通る：(2C1*3C1)^2=6^2=36
γを通る：(3C1*2C1)^2=6^2=36
δを通る：(4C1*1C1)^2=4^2=16
16+36+36+16=104通り
ですね。
苦労して書き出したのに間違ってて少し凹みました。

皆さん本当にありがとうございました。

>>994
どういう数え間違いをしたのかを確かめるといいと思うぞ

間違い方の検証は
場合の数では重要だね

>>987
まず、n=-1のとき整数解が無限個あることを示す。
x^3+y^3-3xy=-1　から移項して　x^3+y^3+1-3xy=0。
左辺=(x+y+1)(ｘ^2+y^2+1-xy-x-y)　であるから
x+y+1=0　となる整数x,yの組をとれば、それは与えられた方程式の解である。
具体的には、各整数m(m=0、±1、±2、・・・)　ごとに　x=m　y=-m-1　などとおけばよい。
mとして無限個の整数をとることができるから、方程式の解は無限個ある。

次に、n≠-1のときは、整数解は有限個しかないことを示す。
与えられた方程式を、ｘ^3+y^3+1-3xy=n+1　と変形すれば
(x+y+1)(ｘ^2+y^2+1-xy-x-y)=n+1 である。
仮定により、n+1≠0　である。
x,y,nは整数であるから上の式の左辺の二つの括弧の中の数は、整数n+1の約数である。
即ち、x,yに対して、ab=n+1　なる　整数a,bがあって、　
x+y+1=a　・・・(1)
ｘ^2+y^2+1-xy-x-y=b　・・・(2)
となっているが、このようなa,bの組は有限個であり、
また、連立方程式(1)(2)の解は（複素数の範囲まで考えても有限個である。
　(1)から得られる　y=a-x-1　を(2)に代入したものは2次方程式であり、解は精々2個）
よって、解の個数は有限個である。
(有限個の整数の組a,bのそれぞれに、(1)(2)を満たすx,yの組も有限個だから)

みなさんありがとうこざいまじた

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