高校生のための数学の質問スレPART272

1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2=(1/a + 1/b + 1/c)^2　…�@　が成り立つとき
P = a(1/b + 1/c) + b(1/a + 1/c) + c(1/a + 1/c)　を簡単にせよ

という求値問題なんですが、
�@を展開して、a + b + c = 0 …�A　を出して、
Pの a(1/b + 1/c)　などを a(1/b + 1/c) =a(b+c)/bc このように展開して
�Aの式を変形させて、それぞれ展開した式に当てはめていくと

P=(a^2/bc + b^2/ca + c^2/ab)=（省略）=-3

となることはわかりました。
しかし、別解で、

P=(b + c)/a + (c + a)/b + (a + b)/c = -a/a + -b/b + -c/c = -3

という方法で値を求めることもできると書いてありました。
コレはなんと簡潔な式なんだろう！と思ってこの式をどうやって導き出せるか考えてみたのですが、
数学の経験も浅く、非常に頭が固いもので、この別解の解法がどうしても理解出来ないのです・・・。
どなたかこの別解の式を導き出せる強者はいないでしょうか？