高校生のための数学の質問スレPART271

まず>>1-3をよく読んでね

前スレ
高校生のための数学の質問スレPART270
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1281171263/

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

・マルチ（マルチポスト）は放置されます。

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで。
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除）
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算）
　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算）
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算）
　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算）
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください。
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分
　∫[0,1] x^2 dx
　∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]]）

主な公式と記載例

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)

√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]

ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]

sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)

log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]

f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

おつ

数学でできたおいしい饅頭の食べ方
という本を探していますがどなたかお持ちでないですか？

いきなりこんなのかよ

存在するなら持っている人はいると推定していいのではないか。

今数学の問題を自分で考えて解くシュミレーションプログラムの開発を模索しているところなのですが
迷ったときには御教示いただきたいです
よろしくお願いします

数学の力で瓦を割るスレはここですか？

∫は「インテグラル」ですよね？！
年配の先生とかが「インテグラ」と言うのは昔はそう習ったからですか？！

なぜっ　いまは　ぱそけん　とかあるのにっ　数学が　ひつよう　なのかっっ

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　/｀'''　 ､,,,___:ノ　＼::. :.....:.:ノ::..｀'ｰ::.....;;;＿;;:.-‐''....:...:::,＞'=､　　.::i　:.::}
. {:.:. .　　 _＿_＼ 　 ｀ ‐-=､:::.:.. ..::r　ｰ-=､.....:...::..::::／　 　 　 . .:::! :; ::|
　!ｰ: . ／　＿__;＞┐　　　 ＼:..　:! ,.-―:‐､:: ,,.:‐''´　　　　. . :__;ﾉ.ｲ
　';.:../　 /´、 　￣）ヽ. _,ｒ―‐亠- ､!　　　 |｢:　　　　 . . - '''´. : :.:/
　 ヽ!　 { :..　￣￣厂:く__,.-‐''　 　 ..|　　　 |!:. .　　 . .. ... - =_ヲ'

スマンごばk

すみません
なんか私のせいで変な流れになっちゃて…σ（￣▽￣；）

気にするな。これがこのスレでは普通のことだ。

>>5
amazonでは引っ掛らなかった。

>16
すみません何せ１０年以上も前の記憶で
多少タイトルが違うかもしれません
漫画形式のシリーズものだった気がします

ヌルポ

Lx^2+Mx+N/{(x+α)(x+β)^2}が
a/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+β)^2
と分解できるのは何ででしょうか？
両辺に(x+α)(x+β)^2をかける
もしくわ、分母を通分するというのは分かるのですが

a/(x+α) + b/(x+β)^2や
a/(x+α) + b/(x+α)(x+β)
a/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+β)^2
+ d/(x+α)(x+β)
これらはダメなのでしょうか？

単元としては積分計算のところなんですが、積分がやりやすい形なんでしょうかね？
でもそれなら
a/(x+α) + b/(x+β)^2のほうが良いわけだし…

＞分母を通分するというのは分かるのですが
これが分かってるなら疑問に思う形全てで計算してa,b,cなどが求められるか試してみればいいのに

×a/(x+α) + b/(x+α)(x+β)
○a/(x+β) + b/(x+α)(x+β)
訂正です

>>19
もちろんうまくいかないんですが、何でうまくいかないのかなと思いまして
通分して分母が同じ形になれば､a､bまたはcの値によって成立しそうなんですが

>>12
ごばくおつ

ふと起きたときしばらく数学の授業か英語の授業か分からくて
今だに数学を算数と言ってしまう自分はまず何をしたらいいでしょうか？

まず上履きと靴下を脱いで裸足になります

α≠βとして
1/((x+α)(x+β))=(1/(β-α))(1/(x+α)-1/(x+β))。

何度もごめんなさい
分子の次数が分母の次数と同じ以上な時点で分子の次数を下げるから
mx+n/(x+α)(x+β)^2 の分解ですね

その時に最低でもx^2の係数が２つの変数で設定される必要がある(∵ax^2のとき、a=0となってしまう
この場合分母が一次式となる項が２つは必要ってことかな
またa､b､c､dとか変数が多すぎてもダメなのかな
両辺のxを適当な数値で代入すると求められそうな気もしますが。

特定の形にすれば計算がうまくいくと割りきるものでしょうかね

迷想を聞かせられてもしょうがない。

0≦ｘ≦２の範囲において常に二次不等式x^2-2mx+1>0が成り立つような
定数ｍの値の範囲を求めよ。

さっぱりわかりません。お願いします！！

>>18
それはそうなんですが…
結局の所、僕が聞きたいのは

mx+n/(x+α)(x+β)^2がa/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+β)^2と分解される理由なんです

>>27
何が迷想なんですかね
何で？って思っただなんですが

これってナンセンスな質問なんでしょうか。。

ある蝸牛は茎を昼間に５ｃｍ上るが、夜の間に３ｃｍ落ちてしまう
この蝸牛が１５ｃｍ上るのには何日かかるか
この問題は少し考えれば６日と分かるのですが
このような問題はどのようにやれば一発で解けますでしょうか？

つまり、f(x)に対して複数の計算をxの増加を段階に分けて行い、ある数以上になるxを求めるといった感じでしょうか

for($x=0,$d=1;true;$d++){
$x+=3;
if($x>=15){break;}
$x-=2;
}
print $d;

こんな感じです

>>29
> >>27
> 何が迷想なんですかね
> 何で？って思っただなんですが

質問を整理して書けということだよ。
ああでもない、こうでもない、これでしょうかそれともあれかな、どうなんでしょう、それを迷想という。
2ch的にはチラウラともいうが。
ま、その程度の整理なら、後は自分で処理しなさい、ということになっちゃうね。既に>>20で言われているように。

for($x=0,$d=1;true;$d++){ は何の言語なの？

英語ですっ

perlじゃね

この時期からセンター数学�UBのプログラミング対策とは
結構なことだが…

変数宣言する言語ならソッコーでエラーだな

蝸牛
漢字が読めねぇ…orz

うずうし

>>29
> mx+n/(x+α)(x+β)^2がa/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+β)^2と分解される理由なんです
恒等式を成り立たせるための必要十分条件として得られる条件が、
α≠βならa,b,cの連立方程式として解をもつから。

うじむし

かぎゅう

　　　　　　　 　./ 　 　 ,.　'　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　'､　　　ﾉ
　か ム ぜ お |　　 ／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ',　　/ は こ
　た リ　っ 兄 :l.　 /　　　　,　　 i　:i､　 |､　　　　　　　　　　　ﾞ, ノ'　 っ う
　つ ム た ち　ヽ./ 　　　 /!　./l　 lヽ　:i ',　　　　　　　　　　　i｀）　 き な
　む リ .い .ゃ　./!　　　/|:! | ./ |　 ! ヽ　l ヽ　　　　　　　　　　 ! l　　り っ
　り ム ム ん　/ |　/!//''|l‐=/､ !　l　,ゝ- ‐‐ヽ､　　　　　　　　| |　　言 た
　よ リ .リ に （,　l, :l.|: /_ ｧﾃゝ、ヽ ! 　 ヽテ = ､ヽ　　　　　　　! l　　わ ら
　 !!.ム よ 東　l . :!|:!:|, i｀　.}{ iﾞ!　　`　　 ´ }.{; 'ｨヾ,.　 ∧　　　 :} /.　 せ
.　　 リ　.　大　,ゝ　!　! :i　 '' "´,　　　　　　‐'=''　´ |　i`:}　 　 / /　　て
　　　　　　は　(.　　　/　',　　　`　　　　　　　　　　i　ﾋ/　 /ｿ　ゝ.　　も
　　　　　　　　　＞　/人 | 、　　ﾔ‐ヽ　　　　　　 ,ｲ 　l /!/　　_ ゝ　　ら
＼　　　　　 _　/　　'　　 ':,　ヽ.　 ' ‐ '　　　　 ,／ /,r, |i' |'　　　｀ ）.　 う
　　'レ'⌒´　　　　　　　　 ゝ,　 `　､　　　 ,.　'　 _// ‐‐ ､　　 　 ム　 わ
　　　　　　　　　　　 　 ／／　　　　＞:t'　,.　'´ /'　　　_＞-‐- ､,_ヽ
　　　　　　　　　　　 ／／　／ﾉ,._'´　丿　iヽ　　　 ,　'´　　　　　　｀
　　　　　　　　　 ／ 　 -　' ／-)　_' i'　　ﾉ‐ ' ヽ､ '

>>29
部分分数分解でググれば納得いく説明にヒットするはず

マジでわかんないんです。
誰か教えていただけませんか？

>>44
だって丸投げなんだもん。
ココ宿題代行スレじゃないよ。

sin^4(x)={sin^2(x)}^2=1/4 *{1-2cos2x+cos^2(2x)}
cos^2(2x)=(1+2cos4x)/2よりsin^4(x)=1/8 *{3-4cos2x+cos^2(2x)+2cos(4x)}
これホントは最後の{}内のcos(4x)の係数が1にならなるはずなんですが、
どこで間違えてます？

>>28
その範囲における最小値が正。
軸がその範囲にあるなら、軸での値が最小値。
軸が範囲外なら、両端のどちらかが最小値。

>>44
y=x^2-2mx+1のグラフの軸の位置で場合わけ
・m<0の場合
・0≦m<2の場合
・2≦mの場合
それぞれ0≦x≦2の範囲のどこで最小値をとるか考える

>>46
cos^2(2x)=(1+2cos4x)/2

>>46
cos^2(2x)=(1+cos(4x))/2
だろ

>>46　sin^4x=1/8･(3-4cos2x+cos4x)　じゃねーの

最後の{}のcos^2(2x)余計でした

>>49-51
サンキューです

なんだかしょぼいというか単純な質問が多いので
特定パターンの簡単な文章題を解いてくれるプログラムを作ろうと思うのですが
まずどれがいいですかね

>>54
解説読んでも分からないレベルだろ彼らは

質問です。確率についてなのですが

｢1〜7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、合計7枚ある。
その中から無作為に4枚選んだときの最大の数をM(4≦M≦7)とする。
M＝7となる確率を求めよ。｣

というのに対して

全ての場合の数は7C4＝35
選ぶ4枚は、1枚は7のカードを選び、残り6枚のうち3枚を選べばよいので6C3＝20
よって確率は20/35＝4/7

という風に答えは出せたのですが、直接確率を計算しようとするとうまくいきません
私は次のように考えました

M＝k(4≦k≦7)となる確率をPkとする。
1枚はkを選び、残り3枚はk-1枚から取ればよいので、取る順番を考慮して
　Pk＝4!×(1/7)×(k-1/6)×(k-2/5)×(k-3/4)＝(k-1)(k-2)(k-3)/35
であり、k=7を代入して…

とすると、Pkが1を超えます。4!をかけたのが間違いなのかとも思い、かけずに計算しても
　Pk＝(k-1)(k-2)(k-3)/7･6･5･4
k=7を代入して
　P7＝6･5･4/7･6･5･4＝1/7
と、4倍分違ってきます。後者の考えはどこに誤りがあるのでしょうか？

連スマソ
わかると思うけど
　Pk＝4!×(1/7)×(k-1/6)×(k-2/5)×(k-3/4)＝(k-1)(k-2)(k-3)/35
は
　Pk＝4!×(1/7)×{(k-1)/6}×{(k-2)/5}×{(k-3)/4}
の意味です。

>>56
なんで素直に
C[k-1，3]/C[7，4]と計算しないの？

>>56
その考えならkのカードを何番目にとるかだけの自由性があるので4倍する

>>56
全てk以下である確率-全てk-1以下である確率
{C[k,4]-C[k-1,4]}/C[7，4]

という考えもある

>>56
{k(k-1)(k-2(k-3)-(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)}/(7・6・5・4)　
という考えもある。

>>58
あまり確率を
　(場合の数)/(総数)
で計算するのが好きじゃないのと、最初に出てきた案がこっちだったからです。
その方法での計算が>>56の前者に当てはまるわけですが、これは最初の案が破綻して切り替えました。

>>59
言わんとしていることの8割ぐらいは感覚的にわかりました。
ただ、自由性が何故4!でなく4になるかが自分で説明出来る程には理解できていません。
恐らくあなたは私が疑問とするところがどのような点なのかわかっていると思いますが言わせてください。

例えば選ぶカードが(1.4.5.7)の場合、取る順番は4!です。
　(1/7)×{(k-1)/6}×{(k-2)/5}×{(k-3)/4}
だと、例えば7→1→4→5の｢順番｣で取ったときの確率となってしまう気がして、
4つのカードの並び替え順列として4!をかけているわけです。

数学が苦手というわけではありませんが、やはりおとなしく(場合の数)/(総数)で計算したほうがいいのでしょうか？
少し自信をなくしましたorz

かぶった。61は取り消す。

>>60、>>61
ぶっちゃけそれは気付いてました。すいません。

>>62
> >>59
> 言わんとしていることの8割ぐらいは感覚的にわかりました。
> ただ、自由性が何故4!でなく4になるかが自分で説明出来る程には理解できていません。

k-1、k-2、k-3　の中には、k-1以下のカードの任意の取り方が全て数えられている。（だから3!をかけたのでは数えすぎになる）
あとは、kのカードを何番目に引くかだけになるの4通りの4をかける。

>>62
順序を考えるなら全体の取り方も順序考えなきゃならないって考えないの？

>>62
本題とは違うが
例えば７を２番目に引く確率は1/6だから答案を書くときは注意してね。

>>65
ありがとうございます。納得しました。
その考えが次に同様の問題を解くときに発揮できるように頑張ります。

>>66
実は、それが>>56での4!をかけるのをやめた時の計算なんです。
全体の取り方も4!、確率を計算するときも4!だから結局相殺しちゃうんじゃないかなって。
あ、また疑問だ…。この考えは何が違うんだろう…orz

>>67
本当だ…　忠告ありがとうございます。

>>66
kのカードは1番目から4番目のどこかで引くことになっている。
今、例えば2番目にひくとすると、
1番目にはk-1のなかのどれかを引く確率だから　(k-1)/7
2番目にはkを引くのでその確率は　1/6
3番目には1番目に引かれなかったk-2のどれかを引く確率なので　(k-2)/5
4番目は同様にして　(k-3)/4
よってこの場合の確率は(k-1)/7・1/6・(k-2)/5・(k-3)/4　になる。
これはkのカードを１番目にひくときも、あるいは3番目、4番目に引くときも全く同じ考え。
だから全体の確率はそれらの和で、どれも分母は7・6・5・4、4つの分子はどれも(k-1)(k-2)(k-3)
だから4(k-1)(k-2)(k-3)/(7・6・5・4)

>>62
確率の本質が(場合の数)/総数なのにそれを避けたいとかどんだけ頭悪いの？

連続した4つの事象がある条件を満たす確率として求められるのだから、なんも異とするにはあたらない。

各面が異なる色の3×3のルービックキューブの配色のうち、
通常操作ではありえないような配色の個数を求めよ
どのようにして重複を消していくのか頭がこんがらがってできません…お願いします

>>69
4という自由性はそこから生じているわけですね。納得です。

>>70
定義に基づいて計算するだけが全てだとは私は思いませんし、私は数学を感覚でしか捉えられません。
簡単にいうと、好きなように、やりたいようにやってるってだけです。
まぁ定義に基づかずに計算して破綻してるようじゃ頭悪いと言われても仕方ありませんけどね。

>>71
そうですね。3!をかけるのが誤りだというのはよくわかりました。

よくくられた(1〜13)*4の52枚のトランプをいく束か用意する
１つの束から５人にカードを配り始めるとき次の問いに答えよ
(同じ数字かつ同じマークの場合は区別しない)

１）２０枚配り終えたとき、配られたカードの合計が１３になる人数が２人の確率を求めよ

２）ルールＡを１０順繰り返すとき、除外されたカードに１のカードを含まない確率

ルールＡ：配られたカードの合計が１３以上になる人が現れたとき、既に配ったカードは除外し、残りのカードにもう一束加えよくくる

こういう問題って解かせる気ないですよね
意地悪問題というか
考え始めたとたん頭がショートしちゃいます

トランプは(1〜12)*4でした
これは担任からの半分遊びの宿題です
夏休み終わるまでに１は必ず解かないといけませんが検討がつかないので考え出してもボーとしちゃいます

>>74
出題者が解けなくても驚かない。

>74
これこそプログラムで解くべき

導関数のを求める計算で詰まったので教えてください
関数y=(2)/(x^(2)+1)の導関数を求めたいわけです。
私が考えたときかたではまず
y=(2)/(x^(2)+1)=(2)(x^(2)+1)^(-1)になるから
y'=(2)'((x^(2)+1)^(-1))+(2)((x^(2)+1)^(-1))'
=(0)+(2)(-1)(x^(2)+1)^(-2)=(-2)(x^(2)+1)^(-2)
=(-2)/((x^(2)+1)^2)
になりました。「’」は微分の記号です。
でもプリントの解答では
y'=(-4x)/((x^(2)+1)^2)でした。
括弧多くて読みづらいかもしれませんが紙に書けば早くわかるかとおもいます。
解答から私の計算にどこか間違えてたみたいです。どこか間違えてますか？

>>78
(x^2+1)の微分をし忘れてるから

y=(2)/(x^(2)+1)
=(2)(x^(2)+1)^(-1)
y'=(2)'((x^(2)+1)^(-1))+(2)((x^(2)+1)^(-1))'
=(0)+(2)(-1)(x^(2)+1)^(-2)
↑ここだよん
=(-2)(x^(2)+1)^(-2)
=(-2)/((x^(2)+1)^2)

　(x^(2)＋1)^(-1)'
＝(−１)×{(x^(2)＋1)^(-2)}×(x^(2)＋1)'
＝−2x{(x^(2)＋1)^(-2)}

合成関数の微分参照

>>78
見るのが面倒くさいが
{1/g(x)}'=-g'(x)/{g(x)}^2
そのままで正しい答えはすぐ出るだろ

ゆうやってβと同レベルだったけど大学通ったんだっけ

>>80
なるほどー！
中の微分を忘れてたんですね。
でも思うんですがその(x^(2)＋1)^(-2)といった式でx^(2)＋1の微分も必要だとわかりましたが
そのx^(2)＋1っていうつまり（）の中の微分をしなければならない条件ってどんなときなんですか？

>>84
？
常にだが

>>84
常にしなければなりません
d/dx((x)^3) = 3*(x)^2*(dx/dx) = 3*x^2

>>84が何を言いたいのか大体わかるがエスパーしてやんない

たとえ(x^(2)+6)^1でもxについて微分するとき
(1)(x^(2)+6)*(x^(2)+6)'=(x^(2)+6)*(2x)=2x(x^(2)+6)と考えますか？

>>88
馬鹿か
{(x^2+1)^1}'=1*(x^2+1)^0*(x^2+1)'
=1*1*(2x)
=2xだろ

x^(2)＋1って括弧の意味がまるっきりないんじゃないのか？

n≧5を満たす自然数nに対してn^2＜2^nが成り立つことを示せ

お願いします。

>>91
まるちすんな

>>89
わかりました！
（x^(2)+1)といった多数項の式でそれ全体は１乗だった場合
指数を係数にコピーして指数は1へらすやり方でもいいんですね。
でも（x^(2)+1)＾aでa≠1の場合は中の微分も必要、と考えておｋですか？

>>93
そりゃそうなるだろ。
それに、無理に考えるなら、a=1の場合、中の微分だけが必要ってことだろ、>>89さんのレスの通り。

>>93
(x^2＋1)^(-1)を微分するなら
　f(x)＝x^(-1)
　g(x)＝x^2＋1
とすると
　f(g(x))＝(x^2＋1)^(-1)
となる。これ微分するとf'(g(x))×g'(x)
わかんないなら参考書の合成関数の微分を熟読。

関数y=(x+1)^2/(x)の極地を求める問題で
導関数y'=(x+1)(x-1)/x^2
y'=0のときx=-1,1
x=-1,y=0
x=1,y=4
座標で表すと
(-1,0),(1,4)まで求められました。
それでここからわかりません。
解答では極小値4、極大値0って載ってました。
グラフも書いて確認してみましたが、極小値が極大値より大きいっておかしくないですか？
極大値＝y'=0のときそれに当てはまるxの値がでてもっとも数が大きいyの値ですよね？
yが極地で最も大きくなる値、それが極大値って学校では習ったんですが
そののってた解答は間違いと考えてもいいですか？

>>96
極値の定義を見直しましょう
極値は最大値最小値とは違います

>>96
増減表書いてみりゃわかるだろ
y軸を漸近線の一方にする双曲線になる

x　x<-1　-1 -1<x<0　0　0<x<1　1　x>1
y'　　+　　0　　　-　　×　　-　　0　　+
y　　↗　極大　 ↘　　×　　↘　極小 ↗

×は定義できず

非連続関数や連続関数でもこういった現象は起こるんですか？

関数に現象などない

f(x) = ∫[1,x] f(t) dt + 2
両辺をxで微分して、
f'(x) = f(x)
f(x) = y とすると、y = 0は等式を満たさないから…

みたいな問題があったのですが、どうしてy=0でないと言えるのかよくわかりません
0は微分出来ないんでしたっけ

>>102
f(1)=2だから

x,y表面上に不等式A:x^2+(y-7)^2≦4と不等式B:y＜0がある
このときある点PとAとの間の最短距離がPとBとの最短距離より小さい時
√(x^2+<y-7>^2)-2＜yだそうなんですがこうなる理由が分からないので詳しく教えて下さい

>>104
点PとAとの間の最短距離がPとBとの最短距離より小さい

√(x^2+<y-7>^2)-2＜y

>>105
PとBとの距離がyなのは分かります
PとAの距離、√(x^2+<y-7>^2)-2の部分をもう少し詳しく教えてくれませんか

>>106
領域AでPとの距離が最短になる点はPと円Aの中心を結ぶ直線と円Aとの交点のうちPに近い方
円A:領域Aの境界円

>>106
図を描いてみそ

>>107,108
分かりました！どうもありがとうございます

eが無理数であることの証明です。

a[n]=(1+1/n)^n (nは自然数）としてlim[n→∞]a[n]=eですが、
a[n]を展開すると、a[n]=Σ[k=0,n]nCk(1/n)^k=1+.....+(1/n)^n=1+.....+1/n^n
n→∞の時、これを通分してp/qなる既約分数で表そうにも、qをどんなに大きな自然数としてもn^n>qなので、
qとして適する自然数がない。∴eは無理数

でいいですか?

lim[n→∞]（1+1/n）の場合、これも適するqが無いが、値は有理数――ということが起きるので不安です。

>>110
>n^n>qなので
ここがよーわからん　n^n < q　なるqを採っちゃいけない理由なんて
どこにもないと思うが

背理法でできないか？

>>111
n→∞なので

>>112
その論法だと　a[n] = 1 + 1/n で　lim[n→∞]a[n] = 1
で　a[n]を展開すると a[n] = 1 + 1/n
n→∞のときこれを通分してp/qなる既約分数で表そうにも
qをどんなに大きな自然数としても n > q なので
qとして適する自然数がない．　よって1は無理数
ってことにならない？

>>110
有理数の列a[n]が整数p[n],q[n]（互いに素）を用いて
a[n]=q[n]/p[n]　と表されlim[n→∞]a[n]が収束するとき
lim[n→∞]p[n]=∞ならばlim[n→∞]a[n]は無理数である。
･･･ということを主張しているわけだ。　(

どなたか>>72お願いします

>>115
そういう一般的質問は別の質問スレへどうぞ。
その際はココのは取り下げてな。

>>116
一般的質問だと判断した理由を書かないと
意味ないよ。

e = Σ[k=0,∞](1/k! ) 　と　e = q / p　　p,qは互いに素な自然数
からいけないかなぁ・・・
p * e = p * Σ[k=0,∞](1/k! ) = p/0! + p/1! + ・・・ + p/n! + ・・・・
だとうまくいかないか・・・・
k!とpを合わせることが出来ないか

>>113,114
やっぱそうですか
でも、1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....なんかは明らかに、p/qで表せるわけ無いから無理数ですよね。
大きさは無限ですけど。

この違いは何ですか。それともこの場合の「明らか」は気のせいですか?

あと、eとπの無理数であることはどうやって証明すればいいですか?
注文多くてすみません

>>118
e = Σ[k=0,∞](1/k! )はテイラー展開で示すしか無いですよね?
まあ僕がちゃんとそっちも勉強すればいいだけのことではありますが。

>>103
f(1)=2で、どうしてy≠0とわかるのか知りたいです

>>119
発散するものに有理数も無理数もない。
証明を知りたいならググればいい。
理解できるかどうかは知らんが。

eの定義式がたしかそうだった・・・・ような・・・・
lim[n→∞](1+1/n)^n も極限の練習問題ではよく出てきたけど
表し方ってたくさんあるのかな
わからなくなってきた

>>121
f(1)=2 でしょ？　f(x) = y って置いたんだから
y(x) = f(x) なわけで y(1) = f(1) = 2
だから y(x) = 0 はこれを満たさないでしょ？

>>121
y≠0は定数の関数y=0でないという意味。

数学でもうそれ以上証明出来ないものを公理と言う。等式の両辺に同じ数を
加減乗除してもその等式が成り立つ。これは物理的制約が根本になっている。
同じように１＋１が２になるのは、りんご1個とりんご1個を合わせるとりんご
2個になるからである。りんごを足している間にりんごが忍者のように数を増や
したり、減らしたり、消えたりしないしないからである。だから、数学は物理
的制約からはずれては成り立たない。負の数、０、∞はその制約からはずれて
いる。真空はエーテルが充満している。それが物質化するのである。目に見え
ていなくても潜在的に物質は存在する。だから、０は存在しない。０(無)から
有は生まれない。有は無にならない。神は神の中に宇宙を創り賜った。里芋の
葉に乗っている雨の水滴は表面張力が働いて１＋１は１になる。１と言う規定
があいまいだからである。１を素粒子よりもはるかに小さいエーテル1個に規
定すると小数等の存在が消える。しかし、人間の科学ではエーテルを捉える事
が出来ないから、便宜的に仮に、物の数、長さ等を規定しているのである。
　神学では、水には龍神の精霊が宿っていると解明している。井戸には龍神を
祀っている。この精霊が合霊したり、分霊したりする。１＋１が１となったり、
１が無数になる。水が表面張力で１つになったり、蒸発して水蒸気になるので
ある。霊界では数学も科学も通用しない。霊は物質をすり抜け抜ける。現界は
霊界の写しであり、神の心の動きが現界に働く。狂牛病、口蹄疫等の騒動も神
の働きである。天変地異も同じである。人間の超能力もこの原理で働く。人間
には言霊の神通力も与えられている。言葉通りの現象が実現する。それは神の
働きである。
　愈々、神の鬼退治が始まる。肉食を絶つ等、神の教えに沿う様改心出来なけ
れば草木に換えられる。第3次世界大戦、想像を絶する天変地異に生き残れるも
のは少ない。神の刻印を押された者だけが弥勒の住人となれる。悪魔の刻印を
押されたものは草木である。そうしないと地上は何時まで経っても平和な天国
とはならない。家畜を殺してその肉を食っている奴が生き残れば殺し合いは無
くならない。そんな奴が暴力反対、戦争反対など唱えているのはお笑い種である。

にーとおつ

>>122
はい、有難う御座います。

>>124-125
う〜んと、あぁ、f(x)=0とすると∫[1,x] f(t) dtも0になって、0 = 0 + 2 となってしまうからf(x)≠0 ってことでいいんでしょうか？

>>129
そういうこと。
yで両辺割って解きたいけどy=0の時は別に対処しなければならない。
で、その対処はいらないことを示した。

積分の問題なんですが
∫[0→1]xcos(πx^(2)/2)
ってどうやって計算すれば良いんですか？
cosの中身が二次式になっているんですが

学校の宿題で出た三角比の問題です
aを0<a<πを満たす角とする。0≦θ≦πの範囲で関数ｆ(θ)＝sin(θ-a)-sinθを考える
(1)方程式f(θ)=0の解θはaを用いて、θ=（　　　）と表わされる。

sin(θ-a)＝sinθとしてsin消そうとしたり、加法定理でばらばらにしてみたりしても
出来ませんでした
説明と答えお願いします

>>19　亀だが。
(mx+n）/(x+α)(x+β)^2 でも、(lx^2+mx+n）/(x+α)(x+β)^2 でもいいけど、

これらは次数に関して真分数だから、まず
a/(x+α) + (dx+e)/(x+β)^2と変形されることは明らか。
(x+αの分子が1次式だったり、(x+β)^2が2次式だったりすれば
定数項が発生してしまう。これは次数に関して、分子≧分母でなければ
起きないこと）

で、dx+e=b(x+β)+ｃ となるb,cがかならずひとつ見つかるから
(どちらか、またはもとの分子がlx^2+…0なら両方が0である場合を含む)
(dx+e)/(x+β)^2 = b/(x+β)+c/(x+β)^2
の形にかならず分解される。

>>132
和積公式

>>130
ありがとうございます
レスしてくれた他の方もありがとうございました

>>131
フレネル積分なので直接手計算じゃ無理です。
数値計算ソフトでやるか台形公式でも使ってください。

>>131
置換積分する。てか、cosの中身が2次式だから置換でできるんで、
1次だったら部分積分が必要。

>>132
孤度法で書いてし加法定理にも言及しているんだから、単位円、または単位円の
上半分を使った形での三角比の定義はやってると思う。だったら図を描くべし。

f(θ)=0 ⇔ sin(θ-a)=sinθで、
これは原点から動径がθ回ったところと、そこからa戻ったところのｙ座標が等しい、
ということを主張している。θ>π/2としてこれを図に描けばわかる。

>>136
頭にxついてた。すまん忘れてくれ。

>>116
いや数Aの問題ですけど…

中学の宿題なんだけど、
-40r*-58r+3>0の不等式が、0.05>rにいたるまでの計算を教えてください。
*＝２乗です。

>>140
小・中学生のためのスレ　Part 38
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1279066071/

>>140
40r^2 + 58r -3 ＜ 0
(20r - 1)(2r + 3) ＜ 0
-2/3 ＜ r ＜ 1/20

>>142
-3/2 ＜ r ＜ 1/20 だったわ。

>>137
ありがとうございます！
前のxがうまく消えるんですね

>>142
ありがとうございます！

>>137
ご親切にどうもありがとうございました
なんとか答えは出せました

質問です
0≦θ≦πのとき、関数y=sinθ-cosθの最大値 最小値を求めよ
という問題で
y=√2sin(θ-π/4)と合成した後の
-π/4≦θ-π/4≦3/4πより-1/√2≦sin(θ-π/4)≦1
というところが理解できず、困っています
1はどのように導かれたのでしょうか？
-π/4が-1/√2に、θ-π/4がsin(θ-π/4) になってい るので
3/4πは1/√2になるのかと思ったのですが、
考え方が間違っているみたいで・・・

>>147
こういうのはグラフ描いてみればすぐ分かると思う。
θ-π/4=π/2で極大になってる。

あと、a≦x≦bのときf(a)≦f(x)≦f(b)となるのはf(x)がこの区間で単調増加の時だけ。

わからないながらも円を描いて、
ここからここまで…としていたらわかりました！
たしかに極大ですね
今日一日悩み続けてしまうところでした
感謝します
本当にありがとうございました

つうか０の話題ちょくちょくでてるけど答えは簡単だろ
０は全ての数と等しい、終わり

こんにちは。いつもお世話になっています。
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>>133
> (mx+n）/(x+α)(x+β)^2 でも、(lx^2+mx+n）/(x+α)(x+β)^2 でもいいけど、
>
> これらは次数に関して真分数だから、まず
> a/(x+α) + (dx+e)/(x+β)^2と変形されることは明らか。
チャチャのようなものだが、これがホントに明らかなら>>19の人はあんなに悩んでいないんじゃないかな。

部分分数分解　互除法 でググればわかるけどね。

>>43の人？

>>154
違うよ。これを読めば彼の悩みも解消される･･･かな？
ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/quotef3.pdf

関数の定義域ってなんですか？

f(θ)=sinθの変域は［-1,1］　ですか？
f(x)=x^2の変域は［0、∞）ですか？

(−8k−7)/(2k＋11)はなぜ−4＋(37)/(2k＋11)になりますか？

>>157
-8*k - 7 = -4*( 2*k + 11 ) + 37　だから

関数の変域は f(x) の取りうる値の範囲のこと
関数の定義域は xの取り得る値の範囲のこと

それだとどんな関数でも（−∞、∞）となってしまいませんか？

>>158
すいません何故それが−4＋(37)/(2k＋11)になりますでしょうか？

>>160
y=log[2]x
って関数知ってる？

>>161
(a* x + b ) / x = a + b/x　は分かるよね？
今xが 2*k+1 なだけ

>>156
定義域はその関数あるいは問題作った人が設定するもの
特に記述がなければ考えられるすべてのxが定義域になるだけ
f(x) = x^2
なら定義域は(-∞, ∞)で値域は[0, ∞)
g(x) = x^2 (-1 ≦ x ≦ 1/2)
なら定義域は[-1, 1/2]で値域は[0, 1]

>>163わかりましたどうも

交代級数(ﾒﾙｶﾄｰﾙ級数と言ったかしら)
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - …

これはπ/4に収束しますが
級数の第n項目までの和
1 - 1/2 + 1/3 - … + (-1)^(n-1)/n
の4倍をS[n]とおいて
手計算でS[10]くらいまで書き並べると
なんかこれがπには収束しない気がしてきます
どうしてでしょう？

π/4　に収束するのは分母が奇数の級数じゃね

まともに積分も出来ないとは(失笑
言われてみれば確かにこいつはlog2ですね…
なんか変な勘違いをしてました、

お邪魔しましたm(__)m

ラジアンの簡単な覚えかたありますか？

30度→π/6
45度→π/4
60度→π/3
90度→π/2
120度→2π/3
135度→3π/4
150度→5/6π
180度→π

ここまでは感覚的に覚えられるのですが
第3,4象限が覚えられません

それぞれにπ加えればいい

>>169
x度はxπ/180[rad]

半周を1として分割した後お尻にπをくっつければ良い

なんか法則性みたいなものがほしいのです


たとえばπ/nだったら反対側は(n-1)π/nみたいに

反対側はそれにπ足すだけだよ

>>172
お尻にパイをくっつけるなんて……そんな……////

xyz空間において、中心(a,b,c),半径rの球の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
というのが教科書には載ってなかったのですが
これは断りなく使っても良いのですか?

「中心が点（-1,2）で、直線4ｘ+3ｙ-12=0に接する円の方程式を求めよ。」
という問題で、解答では（-1,2）と直線4ｘ+3ｙ-12=0との距離が半径r=2で、(x+1)^2+(y-2)^2=4、として終わりです。

この問題ですが、以下のように考えました。
円の式を(x+1)^2+(y-2)^2=Rとおいて、その円上の点(p,q)における接線を、接線の公式から(p+1)(x+1)+(q-2)(y-2)=Rとする。
これをx,yについて整理すると(p+1)x+(q-2)y+(p-2q+5-R)=0
この式を4x+3y-12=0と比較し、p=3,q=5,R=10
ゆえに、(x+1)^2+(y-2)^2=10

この答えに(p,q)=(3,5)を代入しても合わないことから、間違っていることは分かるのですが、どこでどのように間違えたのか分かりません。
一人で考えていたものの、行き詰ってしまいました。
どうか教えてください。宜しくお願いします。

接線の方程式が間違ってないか？

接線の式適用間違い。
係数の直接比較不可。

>>177
>これをx,yについて整理すると(p+1)x+(q-2)y+(p-2q+5-R)=0
>この式を4x+3y-12=0と比較し、p=3,q=5,R=10

ここが違う。4x+3y-12=0と等価な式は8x+6y-24=0とか、
-2x-(3/2)y+6=0とかいろいろあるんで、p=3,q=5と断じられない。
結局この式から導けるのは(p+1):(q-2):(p-2q+5-R)=4:3:(-12)というところまで。
このp,q,Rが円の式を満たすとして確定させなきゃいけない。

で、その線で考えるなら構図全体を（1,-2)平行移動して
「中心が原点で直線4（x-1)+3(y+2)-12=0に接する円の方程式」を考えるのが楽。
直線は4x+3y-10=0、px+qy-R=0をこれと比較しp:q:R=4:3:10、
1文字ｋにまとめて16k^2+9k^2=10kよりp,q,Rが解ける（k=2/5、R=4)。
Rが出れば平行移動しても半径は同じなのでこれでおしまい。

>>177
直線　(p+1)x+(q-2)y+(p-2q+5-R)=0　が　4x+3y=12　に一致するための条件は
(p+1)：(q-2)：(p-2q+5-R)=4：3：12　が成り立つことだ。
これから
p+1=4k、q-2=3k　p-2q+5-R=12k　とおくことができる。　
(p,q)が4x+3y=12上の点であることから　4p+3q=12。
よって4(4k-1)+3(3k+2)=12　から、　k=2/5　が求まる。

>>176
それよりも高校だとベクトル方程式でしかやらなくないか？
というよりも基本的にベクトル方程式しか使わなくないか？

使う必要があるなら使ってもいいっちゃあいいんだが…

接線の方程式間違ってないよ。p=3/5,q=16/5だよ。180の比例式を見て解け。

(o, q) 接点である以上、= 4でなｋればならない。だから間違い。
その場合も直接比較不可。

比例比較のみでよいように感じるのは、接線が存在するからに過ぎない。

>>184
タイポを修正してもう一度pls

x>0を満たすすべてのxについてf(x)>2　というのは
∀x>0(f(x)>2)
と書けるそうなのですが、このx>0の部分が0<x<1であったり、5/x>3であったり、2^x<9であったり、(x+A)^2+B<Cであったりする場合（A,B,Cは定数です）、
上のような記号を用いた書き方はできますか？できるのであれば教えていただきたいです

質問です
xの三次方程式x^3+x^2+kx-6=0...(*) は、x=2を解にもつ｡
　　　　　
(1)kの値を求めよ
(2)(*)のx=2以外の解をα,βとするとき,α+β,α^2+β^2,α^3+β^3の値をそれぞれ求めよ
(3)xの整式f(x)=px^3+qx^2+rx (p,q,rは実数の定数)　は(2)のα,βの値に対して
f(α)=β^3、f(β)=α^3 を満たしている
　　　　　　　
(�@)q,rをそれぞれpを用いて表せ
(�A)方程式f(x)=0の相異なる解がちょうど2個の実数になるようなpの値を全て求めよ

(1)、(2)の答えはそれぞれ-3、α+β=-3,α^2+β^2=3,α^3+β^3=0
で自力でいけるんですが(3)の答えが
(3) (�@) q=3p-2,r=3p-3
(�A)　p=0,1,±2√3/3 となってるんですが自力じゃさっぱりでした・・・。
どなたか解説お願いしますorz

177です
言われてから直線の係数比が比例式になることを思い出しました。
比例式でおいたらきちんと解くことが出来ました！
助かりました。皆さんありがとうございました。

>>188
f(α)=β^3、f(β)=α^3　が成立するための必要十分条件は
f(α)+f(β)=β^3+α^3、f(α)-f(β)=β^3-α^3　だ。

>>188
f(x)の式か(3)の答のどちらか、写し間違ってないか？

>>191
通りすがりだが、よかった、俺もなんか変だとは思ってた

>>190、>>191、>>192
レスありがとうございます。
今見たところ写し間違えはないみたいですがこの問題自体写してもちかえったものなので
もしかしたらその時点で間違ってたのかもしれません自分が・・。
お騒がせしてすみませんでした。

空間Q上に、あるベクトルq*が存在し、写像fは任意のq∈Qをq*に移す。また、任意のqについてφ(q)≧φ(q*)が成り立つ。
これを数式でビシッと書いてくださいませぬか

>>194
f(q)=q*
φ(q)≧φ(q*)

>>187
∀x(x>0⇒(f(x)>2))とか

ｆ（α）＝β＾２。
ｆ（β）＝α＾２。

ｆ（ｘ）＋ｘ＾２−３＝（ｘ＾２＋３ｘ＋３）（ｐｘ−１）。

∃q*∈Q,φ(q)≧φ(q*),f(q)=q* for ∀q∈Q

微分するだけなのですがわかりません．．．

f(x)=2n(1-x)[x(2-x)]^(n-1)


できるだけ間の式を詳しくお願いします

>>199　数III前提、n≠1として。
積の微分法 (uv)'=u'v+uｖ'
合成関数の微分法 t=g(x)で (d/dx){f(g(x))} = (df/dt)(dt/dx)

2nは全体の係数なんで全体にかければいいから、
u=1-x 、v=(2x-x^2)^(n-1)と考えて、
(2nuv)'=2n(u'v+uｖ')
このときv' は2x-x^2=tと考えて合成関数の微分法で出せばよい。
最後に、適宜整理・因数分解して終了。

以上に沿ってやってみて、合わなかったら経過を書くべし。

書くべしじゃねえよ…こんなもん教科書嫁の4文字だけでいいだろ

2nを無視して積の微分でやったら
y=-(2x-x^2)^(n-1)+(1-x)(1-x)[x(2-x)]^(n-1)

となったですが
これに2nをかければよいのでしょうか

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)(2n(1-x)(x(2-x))^(n-1))
Show steps

>>202
後半、uv'の部分（というか、v'の部分）が全然できてない。
(2x-x^2)を微分したらどうなんの? t^(n-1)をｔで微分してｔのままなの?

>>201も言ってる通り、教科書の合成関数の微分法のところを徹底的に読み直して、
そこについてる例題追っかけて、練習問題やってから再挑戦だ。

いつもお世話になってます
また分からない問題があったので教えてください
2問です

(1)座標空間に2つの球、1つは点P(a,2b,2a)を中心としyz平面に接する球、もう1つは点Q(b,2a,2b)を中心とし同じくyz平面に接する球である。ただし0＜a＜bとする。
このとき、2つの球が共有点をもち、かつ共有点全体が円をなすためのa,bの条件を求めよ。
またその円の中心の座標を求めよ。
(2)次の条件で定義される数列{a[n]}の一般項a[n] を求めよ。
a[1]=1,a[1]a[2]+a[2]a[3]+・・・+a[n]a[n-1]=2(a[1]a[n]+a[2]a[n-1]+・・・+a[n]a[1])

よろしくお願いします

>>205
自分で解いたところまで書きなさい

>>205
まづこれを取り消して、一問づつ問ひ直すがよい。

>>205
センターレベルだな。そんな問題すらできないなら数学やめたほうがいい。

>>208
スレタイも読めないバカ乙

>>209
>>205レベルの問題が解けないの？ｗｗｗ恥ずかしすぎるｗｗｗｗｗｗｗｗ

ほんの少しだけ出来る高校生が出来ない高校生を蔑むスレPART271

センターレベルってか
センターと他の数学の試験って単純に比較出来ないと思うんだが
基本的に誘導された通りにやるだけだし
その反面、誘導無しだったら割と難しい問題も出るし

(1)は中心間距離と半径の和と差。平面と同じ。
(2)は第二項以下を求めてみると、あーらびっくり。

＞第二項以下を求めてみる
そんな汚い解法が認められるとでも思ってるのか？

それでいいんだ。
あとは数学的帰納法だ。

問題
点（３，１）を通り、傾きｍの直線Ｌと円Ｃ：x^2+y^2=5が異なる２点で交わるとき、
定数ｍの値の範囲を求めよ。

解法
直線Ｌの方程式はy-1=m(x-3)すなわちmx-y-3m+1=0
円Ｃの半径は√5であるから、
求める条件は

点と直線の距離を使って　点（x,y)　直線ax+by+c=0　のとき
lax+by+cl/√(a^2+b^2)

を使ったのですが、答えの記述が
l-3m+1l/(√m^2+1) ＜√5 という結果になりません。
x=3,y=1,a=m,b=-1,c=-3m+1を代入して計算するのですが、
計算すると分子が０になってしまいます。
答えに途中式がないため
どこが間違ってるかわかりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

>>216
円Cの中心からの距離を求めないと。
x=3,y=1は直線L上の点だから0になるのは当たり前。

高校生でもわかるように誰か教えてもらえればと思います。
外角の和が３６０度になることの証明がうまくできません・・・
内角の和は、外角の和が３６０度になることから証明できてスッキリできたのですが・・・

誰かスッキリするような、スマートな証明してもらえませんか？

辺の上をなぞって進むことを考える
図形の周りを一周すると、進行方向もちょうど一回転する
一回転は360度

>>218
凸多角形の話だよね？
仮にn角形があるとして一つの頂点に注目
α(i)：i番目の頂点の内角
β(i)：i番目の頂点の外角　とすると
(内角)+(外角)=180度　だから
α(i)+β(i) =180°
(外角の総和) = Σ[k=1,n]β(i) = Σ[k=1,n](180° - α(i))
= 180°*n - Σ[k=1,n]α(i)
Σ[k=1,n]α(i)　は内角の総和の事だから　180°*(n-2)　に等しいよね
だから (外角の総和) = 180°*n - 180°(n-2) = 2*180° = 360°
じゃだめ？

>>219
そうだと思うんです。ですが、方向とかを考えるのがいいのかなぁ？と。一番それがいいとは思うんですが・・・
進行方向というのがこう・・数学的でないような気がして・・・。
一番納得行く説明なのですが・・・

>>220
Σ[k=1,n]α(i)　は内角の総和の事だから　180°*(n-2)　に等しいよね
ここの部分がそもそも外角から出てきてるのでは？と思うので、その部分をはっきりとさせたいんです。
内角の和を出すために、外角の和を使おうと思っているので、内角の和を既知としてしまいたくありません。

age申し訳ありません、以降気をつけます。

内角の総和って別に外角使わなくてもよくね？
n≧3のn角形なら(n-2)個の三角形に分割出来るんだから
分割出来ないときはそれは凸多角形じゃないんだから

個人的には凹多角形も使いたいです。
そもそも(n-2)*180は凹多角形にも使えるはずですし・・・
外角も、凹多角形の場合負の値も考えれば
内角が２７０度のときは、外角が−９０度であるとみなせば大丈夫なので
できればそちらにも対応できるように証明したいです。

実はこの方向の証明は、三角形を作らずに証明したくて考えたので
そういう意味でも外角の和を証明したいんです

質問スレだからsage推奨とか必須ではない。
科学カテゴリーの他の質問スレではageデフォのところもある。

あ、そうでしたか、ほとんどsage推奨の所にいるので勝手にsage推奨かと思っていました
ありがとうございます

じゃあ複素数で各頂点をz(1),z(2),・・・,z(n)として
π[k=1,n](z(k+1)/z(k)) = (z(2)/z(1))*(z(3)/z(2))*・・・*(z(n)/z(n-1))*(z(n+1)/z(n))
を考える　z(n+1) = z(1) とすると　上の総積の値は１となる
今 z(k+1)/z(k) = r(k)*e^(i*α(k))とすると
π[k=1,n](z(k+1)/z(k)) = π[k=1,n]r(k)*e^(i*α(k))
= (π[k=1,n]r(k) ) * (cos(Σ[k=1,n](α(k))) + i * sin(Σ[k=1,n](α(k)) )
この値が1になるのであるから虚数部は0
⇒ sin(Σ[k=1,n](α(k)) ) = 0 ⇒ Σ[k=1,n](α(k)) = 2*Π*m　(m∈Z)
α(k)は頂点kにおける外角であるから
Σ[k=1,n](α(k)) は外角の総和を表す　ゆえに外角の総和は　2*Π*m　(m∈Z)　となる
じゃだめかなぁ・・・

じゃあ複素数で各頂点をz(1),z(2),・・・,z(n)として
π[k=1,n](z(k+1)/z(k)) = (z(2)/z(1))*(z(3)/z(2))*・・・*(z(n)/z(n-1))*(z(n+1)/z(n))

このあたりの式がまずよくわかりません・・・俺がゆとりか・・・
z(n)が頂点の何を表すのか・・・座標でしょうか？それともある位置からのベクトルでしょうか？

>>227
訂正　全然だめだこれは
z(k+1)/z(k) を (z(k+1) - z(k))/(z(k) - z(k-1))　に変えないとだめだわ
でπ[k=1,n]からπ[k=2,n]に変更
(z(k+1) - z(k))/(z(k) - z(k-1)) = r(k)*e^(i*α(k)) でお願い
ごめんなさい・・・・

頂点の座標を表すなら>>229の訂正で
k番目の頂点からk+1番目の頂点へのベクトルに対応する複素数を
z(k)とすると>>227のままでいいかも

>>72に回答出来る方いらっしゃいませんか？
数Aの問題なんですが

>>231
その根拠は？

>>231
8!*12!*3^8*2^12/(1-2*2*3)だったかな

まあ、有名な問題ですので、ぐぐればわかりますよぉ〜〜

>>233
8!*12!*3^8*2^12*(1-1/2*2*3)のまちがいです（汗

出張依頼

夏の甲子園で任意の2校が勝ち進んだら決勝で当たる確率は？
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1282556445/l50

>>234
で、高校レベルでの証明は？説明じゃないよ。

>>235
ここは教科書程度の問題がわかる高校生が回答者です。
まず無理です。

>>235
kotowaru

>>236
がんばって考えたのにorz
たぶん、高校生レベルの問題だよぉ

でも、なんだが、すまんの
消えます・・・

高校レベルの問題だけど出来ないのに回答してる奴が喚いてるだけ、早く失せてくれ

袋に青色，赤色，白色の形の同じ玉がそれぞれ 3 個ずつ入っている． 各色の 3 個の玉にはそれぞれ 1 , 2 , 3 の番号がついている．
これらの 9 個の玉をよくかきまぜて袋から同時に 3 個の玉を取り出す．取り出した 3 個のうちに同 色のものが他になく，
同番号のものも他にない玉の個数を得点とする． たとえば，青1番，赤1番，白3番を取り出したときの得点は 1 で，
青2番，赤2番，赤3番を 取り出したときの得点は 0 である。このとき得点がnになるような取り出し方の数をn=0,1,2,3について求めろ

青赤白/123の時間割みたいな表を作ります。
[n=3]――全て互いに異なる行and列にある3つを選べばいい
例えば青2を選ぶと、同行同列の玉が以降の選択肢から外れ、2つ目以降の選択肢は4つ。
次に白3を選ぶと、残り3つ中2つが外れ、ラストの選択肢はただ1つ
∴選択肢は9通り→4通り→1通り
∴9*4*1/6=6(通り）　（←この選び方だと、選ぶ順番しか異ならない組み合わせが3!=6つづつ得られるから6で割る）
[n=2]――0通り
[n=1]――最初に独立の玉1つを選び（9通り）、残り4つのエリアで同行or同列の2つを選ぶ（4通り）
∴9*4=36（通り）
[n=0]――まず1つ選び（9通り）、次に同行or同列の4球中から1つ（4通り）、これら2つのうちどちらかと同行or同列なのは5つあるから、
9*4*5/6=30（通り）

6＋36＋30＝72
9つから3つ選ぶので9C3=84（通り）ないといけないのに足りません。何処で間違ってますか。

[n=0]――まず1つ選び（9通り）、次に同行or同列の4球中から1つ（4通り）、これら2つのうちどちらかと同行or同列なのは5つあるから、
9*4*5/6=30（通り）

のほかに

[n=0]――まず1つ選び（9通り）、次に同行でも同列でもない4球中から1つ（4通り）、これら2つのうち片方と同行、もう片方と同列なのは2つあるから、
9*4*2/6=12（通り）

30+12=42(通り)

原価２０００円の品物にいくらかの利益を見込んで定価をつけたが売れなかったので、
大売出しの日に定価を割引して売った。
このとき利益の半分の割合で、定価から割引をして売ったところ利益が２４０円あった。
当初見込んだ利益は何％だったか。

>>243
小学生向けスレへGO

>>244
設問は小学生っぽいけど、ちょっと計算してみてくれ。
お願いだ。

>>242
ああ!有難う御座います!

別スレで聞きます。お邪魔しました。

>>240
回答をどうぞｗ

>>235
って抽選とかがどんなふうに行われるのかにもよるし、シード校がどう置かれるのかとかも知ってないと答えようが無いような・・・

闘って勝つ確率は1/2なのかどうかもわからんしな

それは１００％勝つって書いてあるよ

３回戦まで当たらんのなら両校が準決勝まで進む確率は１だから
抽選のことだけ考えればいいんじゃないかな？

基本的にはその通りだと思う
だから結局抽選がどんな形で行われるのかってのがはっきりしないと・・・

任意のって表現もどうか？

勝ち進んだらってとこも条件付き確率という捉え方もあるし‥

>>249
高校野球の全国大会はシードとか無いよ。
春はいきなり隣県が当たらないようにブロックを分けてたと思うけど、夏はそういうのもない。

でもあれって６４校みたいな２の累乗の数じゃなかったと思うので、どこかで試合数が増えたり減ったりすると思うんですよねー
そういったところをどこでふるいにかけるのかとかもわからないので・・・

>216です。
>>217さん 解決しました。ありがとうございます。

追記質問なのですが、どなたかよければお願いします。
問題
sin2θ-2（sinθ＋cosθ）＝ａ　　（ａは定数）
ｔ＝sinθ＋ｃｏｓθとする。左辺をｔの式で表せ。

解法
sin(2a)=2sin(a)cos(b)より
2sin(θ)cos(θ)−2(sin(θ)+cos(θ))=a
。。。えっと、どうすれば？という状態です。
...sin(θ)＝cos(θ)-tとおいて代入して解法していったけどうまくいかず。
...(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1を使うのか？
...積→和、和→積を使用して解いていくのか？

解法手段がよくわかりません。第一歩、第２歩でよろしいので教えてください。
解答が手元にないので、解答はきれいな形になるかどうかだけでよいので、
教えてもらえるとなおうれしいです。

お手数ですが、よろしくお願いします。

>>257
ヒント　(sinθ＋cosθ)^2を計算してみよう

意図的にやるシード方式と、参加校数の都合で二回戦から参加するのは
意味合いが違うんだがな。

生物Ａ細胞内ミトコンドリアの増殖様子の数学的特徴を答えよ
的な問いには
フィボナッチ数列的に増えてる
みたいに答えればいいんですかね

>>257です。
>>258さんのヒントにより解いてみました。
t=±√a+1
という解答になりましたが、あっていますでしょうか？
ご指導よろしくお願いします。

１回戦組が34校
２回戦組が15校　だから
１回戦終わった時点で残ってるのは 34/2 + 15 = 32校
2回戦終わったら16　３回戦で８
準々決勝はこの８校だから別にOKだと思う

>>261
t = sinθ + cosθ だよね
t^2 = (sinθ + cosθ)^2 = sin^2(θ) + 2*sinθ*cosθ + cos^2(θ) = 1 + sin2θ
だから sin2θ = t^2 - 1
sin2θ-2（sinθ＋cosθ）＝ａ は
t^2 - 1 -2*t = a
t^2 -2*t -(a+1) = 0
t = -(-1) ± √((-1)^2 - 1*(-(a + 1))) = 1 ± √(a + 2)
になったが

>>261,263
問題は
> 左辺をｔの式で表せ。
なのでは？

(1) t = sinθ + cosθ として左辺をtの式で表せ．
(2) tについて(1)の方程式を解け．
(3) tが解を持つような実数aの値の範囲を求めよ．

という流れだと予想した

>>216です。
>>263さん、ありがとうございます。
どうやら
間違えてt^2-2t+1=aで計算していました。
1→-1にして計算したら>>263さんのようになりました。
ありがとうございます。

>>264さん、なるほど。
ということは、t^2-2t-1=aでよろしいのでしょうか・・・？

返信ありがとうございます。
もしよろしければ、続きをよろしくお願いします。

>>216です。
>>265さん、コメントありがとうございます。
そうなんですよ、１問ではないのですが、
ひとまず最初の１問は解けるレベルになっておこうと思いまして。
実際の流れの全文を記述しますね。

0≦θ<2πとする。θの方程式
sin2θ-2(sinθ+cosθ)=a,,,�@
について考える。ただし、aは定数。
（１）　t=sinθ＋cosθとする。�@の左辺をｔの式で表せ。
（２）　ｔが取り得る値の範囲を求めよ。
（３）　�@の解の個数を、定数ａによって場合分けし、求めよ。

以上が全文です。
ちなみに私は、
（２）は　1/4<θ<7/4　ですかね？
（３）は　ば、、、場合分け？判別式？？
という感じですね。

a(n+1)＝1/2an
こういうタイプの漸化式ってどうやって解くんですか？
これと似た逆数取るやつはよく見るんですが
こんな形の漸化式は初めてでどうしようもなくなってて…

>>268
a(n+2)=1/2a(n+1)

あ、途中で送信しちゃった
まあいいか、察しろ

cos(a＋h)-cos (a)=-2sin(a＋h/2)×sin(h/2)

と変形できるのはなぜですか？
使用している公式なども教えていただけると嬉しいです

>>271
和積公式

たすかったサンクス

子引く負け獅子

>>243
別件で、回答して叱られたのだが、今日、会社でちょこっとだけ調べたら、回答そのものはあっていたので
気分良くしてこたえちゃおう

2000円で100%だから、240円の利益は12%
これで、当初の利益がわかります。

導関数を求める計算でわからなくなったんで質問させてください
一次導関数y'=(x-1)(x-3)/(x-2)^2までわかりました。
二次導関数を求める問題で私自身３時間近くかけて計算しましたが未だに答えが出せません。
途中式をあわせてどなたか教えてください。

>>270
a(n+2)＝1/anって事は分かったんですが、これをどう使えば繰り返しの形に辿り着くかが…
そもそも代入してゴチャゴチャやること自体的外れなのかもしれませんが

>>276
眠いんだろう。今日は早く寝て明日またやってみ

>>276
なんでyを示してないか不可解だが、それはおいても
分子を分母で割って整理すれば楽勝。

>>276
その計算の仕方がわかりません

>>276
y'=(x-1)(x-3)/(x-2)^2
= (x^2-4x+3)/(x^2-4x+4)
= (x^2-4x+4-1)/(x^2-4x+4)
= 1-1/(x-2)^2
だから
y'' = 2/(x-2)^3

なんていかが

全部やってあげちゃタメにならないと思ったんだけどなあ。

対数微分法って知らないの？

そんな便利なものは許さん

>>282
自己満足の意味もあるんだって

逆関数の微分の問題です。

f(x)=x^3＋xの逆関数 f^-1(x)のx=0における微分係数を求めよ

この問題がよくわかりません。
数学得意な方、わかりやすい解説よろしくお願いします

そういえば、そんな便利な方法もあったねぇ（笑

オレ、ほんとうに、物理専攻だったのかしら・・・かなしいのう

>>286
解決したんじゃなかったのか？
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1277488248/659,661

>>281
おおおお！実際に計算して理解してみましたが解決できました。
これ３時間かけても解けない私ってアホでしたｗ
ありがとうございます。

>>288
しませんでしたｗ

命題｢a=b｣がある。
両辺にaをかけると
a^2＝ab となる。
次に、両辺にa^−2abを加える。
a^2＋a^2−2ab＝ab＋a^2−2ab
これを簡略化すると
2(a^2−ab)＝a^2−abとなる。
両辺をa^2−abで割ると、
2＝1を得る。

なぜこのような不合理な結果が導かれるのでしょうか？

そのエセ証明を試す前に不合理ではないかと考えるアタマがないから

>>291
0で割ったから。
2*0=3*0は成り立っているが、両辺を0で割って2=3としたら成り立たなくなってしまう。

>>291
もう、ねむねむなので、ねぼけながら・・・

最後の
両辺をa^2−abで割ると、
とありますが、割れません。

だってa=b ですから、a^2-ab = a^2 - a^2 = 0なので
０でわっているのと同じ

そりゃ、強引にわれば２＝１とかになっちゃいますってばあ

>>293さんありがとうございます！

log〔10〕2=0.3010, log〔10〕3=0.4771

(1)　45^10の桁数
(2)　(8/15)^nを少数であらわしたとき、小数点以下第5位までは0､第6位に
初めて0以外の数字が現れるような正の整数ｎを求めよ。

(2)が全く分からないです・・・

>>286
y=f(x)としてx=0のときy=0
x=f_inv(y)としてdx/dyのy=0のときの値を求めろってことだけど、
逆関数の導関数に関する公式より、これはdy/dxのx=0のときの値の逆数に等しい。
dy/dx=3x+1だから1/（3*0+1)=1

>>286
y=f(x)としてx=0のときy=0
x=f_inv(y)としてdx/dyのy=0のときの値を求めろってことだけど、
逆関数の導関数に関する公式より、これはdy/dxのx=0のときの値の逆数に等しい。
dy/dx=3x+1だから1/（3*0+1)=1

>>296
超典型問題なんで、大抵の参考書や傍用問題集(の詳解)に乗ってるよ。
チャートはリファレンス用として役立つのは無条件に間違いないんで、
解法を探す必要があるなら持っとくのが吉。

>>267
tの取り得る範囲は t = sinθ + cosθ = √2*sin(θ+π/4)　だから
-√2 ≦ t ≦ √2
方程式の解は t = 1 ±√(a+2) だからaの値で決まるtが
-√2 ≦ t ≦ √2　の範囲に何個入るかってのが問題
数直線上で考えるとわかりやすいけど方程式の解tは1を中心として
正側と負側にそれぞれ√(a+2) だけ移動した点なのだから
正側の 1+√(a+2) が解になるためには √2 - 1 ≧ √(a+2)
負側の 1-√(a+2) が解になるためには √2 + 1 ≧ √(a+2)
正側から 3 - 2*√2 ≧ |a+2|
a≧-2　のとき a + 2 ≦ 3 - 2*√2 　　　a ≦ 1 -2*√2　　　-2≦a≦1-2*√2
a<-2　のときは　√(a+2)　が虚数となるため不適(t=sinθ+cosθは実数であるから)
よって t = 1 + √(a+2) が[-√2,√2]に存在する条件は　-2 ≦ a ≦ 1 - 2*√2
同様に負側の解では　-2 ≦ a ≦ 1 + 2*√2
だから　-2≦a≦1-2*√2　で解は2個，　1-2*√2 ≦a≦1+2*√2で１個,
a<-2，a>1+2*√2　　で解は0個
間違ってる可能性があるのでよく考えてね

間違ってる

基本的なことですが教えてください
√a+√b=√(a+b)
この式は正しいですよね？

>>302
うん

>>302
ありがとうございます

間違えた
>>304は>>303宛

こういうスレで遊ぶなよ

√a+√b=√(a+b)
∴√1+√1=√2　両辺平方2乗して、
4=2　両辺を2で割って、
2=1

>>307
>√1+√1=√2
√1+√1=2≠√2
中学生レベル

>>308
背理法だよ、わかんないの馬鹿

ガキｗ

ベクトルについて質問します
vxがベクトルxを表すものとします

d >= 2において、ve = (1/√d)[1, 1, ..., 1] ∈R^dとおくとき
φ(vx) = (vx - <vx, xe>ve) / || vx - <vx, ve>ve ||
は、どのようなベクトルを表していますか
特にd = 3のときにどのような変換になるのか知りたいです

ここに、|| vx || = √<vx, vx>と定義し、< , >は内積とします

>>311
<Φ(vx),Φ(vx)>　と<Φ(vx),ve>を計算してみよ。

φ(vx)の定義から<Φ(vx),Φ(vx)> = 1

きちんと計算すると
Φ(vx) = vy / || vy || = Ψ, vy = vx - <vx, xe>veとおく
<Φ(vx),Φ(vx)>
= <Ψ, Ψ>
= <vy/||vy||, vy/||vy||>
= (1/||vy||^2)<vy, vy>
= 1 ∵ ||vy|| = √<vy, vy>

<φ(vx), ve>
= <(vx - <vx, ve>ve)/||vx - <vx, ve>ve, ve>
= (1/||vx -<vx, ve>ve||)(<vx, ve> - <vx, ve><ve, ve>)
= 0 ∵ <ve, ve> = 1

φは、任意のベクトルxをベクトルeに垂直な単位ベクトルにする関数でいいのかな

1/x-1-2/x^2-1+1/x^2+x
この分数式を簡単にすると1/xになるようなのですが途中の過程がよくわかりません。

誰か詳しい方解説よろしくお願いいたします

どう考えてもならないけど

>314
1/(x-1) - 2/(x^2 -1) + 1/(x^2 +x)
= 1/(x-1) - {-1/(x+1) + 1/(x-1)} + {1/x - 1/(x+1)}
= 1/x //

>>314
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx-1-2%2Fx^2-1%2B1%2Fx^2%2Bx

>>315-317
すみません。分母に()つけ忘れていました。
解説ありがとうございました

参考書を見て勉強してるのですが
どうしても解けないので詳しい方解説お願いします
2x^2-5x+4=0　の２つの解をα､βとするとき、(1/α+1)＋(1/β+1)の値を求めよ。

答えが9/11としか乗っていないので解き方がわかりません。

>>319
最悪αとβを求めて代入すれば解けるだろ

>>319
通分してαβとα+βで表して解と係数の関係を利用

x=5-√7/4 と X=5+√7/4で止まってしまいます。
ゆとり脳で申し訳ないです。

>>318
テンプレも読めないなら死ね

>>322
中学生が無理して解く問題じゃないよ

「ゆとり」と言えばいつでも見逃してもらえる

物理の問題ですが、数学で解けそうなのでこちらでお聞きします。
式が文字で表現しづらいので画像になります。
ttp://www1.axfc.net/uploader/Img/so/92596
この問題なんですが
(1+a)^n・・・の近似式を使って　どのように活用したら�@→�Aに変形できるのかが
理解できません。どなたか助けてください。

>322
題意より
2(x - α)(x - β) = 2x^2 -5x +4
∴ αβ = 2, α+β = 5/2かな

1/(α+1) + 1/(β+1)
= {(β+1) + (α+1)} / (α+1)(β+1)
= {(α+β)+2} / {αβ + (α+β) + 1}
= (5/2 + 2) / (2 + 5/2 + 1)
= 9/11 //
= 13/2 //

>327
最後の一行関係ないわ

>>326
n=1/2で近似をそのまま適用してるだけ

>>327
ありがとうございます。
またわからない事があれば質問させていただきます。

>>329
ありがとうございます！
ものすごくスッキリしました(汗)

スッキリつるつる！

1^1/2=1
また1=e^2πiより
1^1/2=(e^2πi)^1/2=e^πi=-1
よって1^1/2=±1

どこが間違いなのか教えてください

>333
e^πi = a = -1とおくと
(a^2)^(1/2) = | a | = | -1 | = 1 //
自乗の平方根とるときは絶対値がいるよ
ちなみに、奇数根ならそのまま

>>333
指数法則の成立条件

>>334
ありがとうございます
ではもう一つ
ω=e^(2/3πi)としたとき
ω＾(1/2)はどうなるのでしょうか

>>336
都合のいいように定義すれば

こいつ、あいつじゃねえのかなあ？

>>334
複素数の指数法則にそんなルールはねえよ
1^1/2=±1であってる

また始まったよ

http://www.google.co.jp/search?q=1^1%2F2

数列a_n,b_nについて
lim[n→∞]a_n=α、lim[n→∞]b_n=βのときは
lim[n→∞]a_n*b_n=αβ
が成り立ちますが、

lim[n→∞]n^3=∞とlim[n→∞](1-10/n)=1
から
lim[n→∞](n^3-10n^2)=∞
を導くことができる理由はどういうゆうものでしょうか
この場合収束していないので使えないと思いますが
よろしければアドバイスお願いします。

>>342
自明だと思うが
例えば
lim[n→∞](1-10/n)=1だから十分大きなnに対して
n^3-10n^2>(1/2)*n^3
って考えてみるとか

>>343
中間値の定理とかはさみうちの原理とかは
ことわってつかうみたいなので、
なんか微妙な感じですが
自明であるといわれるとそんな気もします。

>>344
細かいところが気になるのなら、ε-δ（イプシロン・デルタ）論法を使おう。

>>312
今さらだが、ようやく理解できた、ありがとう
グラムシュミットの正規直交基底作る式だったのか

適当な図や計算からも自明だけど
vz = <vz, ve>ve + <vz, φ(vz)>φ(vz)
基底方向の成分倍の基底ベクトルの線形結合で複雑(?)に表現できるのが面白い

vx = r*veのときは線形従属なので、vxからは正規直交基底はできない、φが計算できない
vx ∈R^d \ {r*ve | r ∈R}, \ : 差集合
の条件も必要でした、以上

どうしたの？大学の授業ついていけないから、わざわざここで衒学しにきたの？

無限大という概念がどうもしっくりこないのですが
例えば地球上の紙全てに数字を書いていっても有限数になりますし
この宇宙の原子をすべて数えたところで有限だと思います

少なくとも人間が触れられる範囲で無限大というものは有り得ないのではないでしょうか？

>>348
有限でないことが無限の定義みたいなもんだから、触れられる範囲にあるものは有限と仮定したら、その範囲に無限はないというのは同語反復っぽい。

Young man, in mathematics you don't understand things.
You just get used to them.

-- John von Neumann

>>350
日本語でおｋ

東大文一狙いなんですけど東大といえど文系なら黄チャートで十分って話聞いたんですけどまじですか？
他の科目は十分東大レベルなんですけど数学が苦手で青チャートちょっと難しすぎるので色々調べてたらそんなことが書いてあるのを結構みかけたんですが

学部レベルなんか教科書と過去問だけで十分

わけえもんよ、数学ではおめえさんはなんもわかっちゃいねー
ようやっと数学ってえもんに触れただけさ

奇人変人禿げちゃビン　ノイマンより

>>351
http://twitter.com/tsurumau/status/9618769113

>>354
顔真っ赤ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>349
ありがとうございます
つまり大袈裟に言うと無限大を扱うのは宗教ってことになりますよね？

おまえの脳内の宗教の定義がオカシイ

○○よね？ の○○は大抵誤解

>358
オカルトってことです

グラフの平行移動でy-q = f(x-p)でなぜqとpがマイナスになるのかわかりません

y=2x でx軸に+p　y軸に+qに平行移動させた場合
y=2xのある点を（x,y）とした場合に平行移動させた点は（x+p,y+q）なり
後者のx+p=X、y+q=Yと置き換える所までは理解できたのですが、

その後になぜY-q＝２（X-p）になるのかが理解できません、XとYを元に戻せば
y+q-q＝２（x+p-p）
y=2(x）
となり平行移動前の関数になってしまいます、これでは平行後の関数をあらわす式になりません
どこが間違っているのでしょうか？どなたかお願いします。

x+p=X⇔x=X-p
y+q=Y⇔y=Y-q
これをy=2xに代入すればいいんじゃないの

>>362

>>362
レスありがとうございます。
今日一日中考えていたのですがさっぱりわかりません。
ｘ、ｙ（平行前）の代わりにX,Y（平行後）が入ってきた以上はもはやX,Yに乗っ取られた関係式と
思い込んで納得することにしました。

xの関数y=f(x)のグラフとは点集合{(x,y)：y=f(x)、xはf(x)の定義域全体を動く}のことだ。
この点集合をｘ軸方向にp、y軸方向にq平行移動してできる点集合は
｛(x+p,y+q)：y=f(x)、xはf(x)の定義域全体を動く｝　になる。
さて点　(u,v)∈｛(x+p,y+q)：y=f(x)、xはf(x)の定義域全体を動く｝の全体が、
y=f(x)のグラフをｘ軸方向にp、y軸方向にq平行移動したグラフ上の点だから
uとvの関係を見てみると
(u,v)がy=f(x)のグラフをｘ軸方向にp、y軸方向にq平行移動したグラフ上の点
⇔y=f(x)となるあるx、yがあってu=x+p、v=y+q　と表される
⇔v-q=f(u-p)　が成立する
⇔(u,v)は関数　y=f(x-p)+qのグラフ上の点

ありがとうございます
さっぱりわかりません
がんばってください

だめなヒト、ね

imepita.jp/20100827/304640
(2)の(よって)以降の文章が全く理解できません
2*2xや1/4という数字はどこからでてきたんでしょうか

見えんわボケ

あともうひとつ質問させていただきます
imepita.jp/20100827/317520
の(1)整理した後なんでといたらx=0,-3になるのかわかりません何か公式を使っているのでしょうか

URLをちゃんと載せないのは嫌がらせか？

質問者のくせに生意気だな

>>370
2次方程式解けないの?

グラフは置いといて、方程式解くだけなら義務教育レベルだろ、これ

>>370
x^2+3x=0　から　x=0,-3　になるのがわからないといってる？

これが一目でわからないとかバカだろ

威勢がいいな

質問するんなら、ワンクリックで画像が見えるようにしとけ
でなければ来るな

Ｘの５倍を３２で割ったら、商が３で余りがＸになったＸの値を求めなさい。

句読点も満足に打てないのか。

なぜ既知外が張り付いてるの？

アホか

ＸになったＸの値を

つーか、このレベルのxを使った式って小6でやるよね？

だからどうした？バカの自慢か？

小学生の夏休みの宿題で困ってるんじゃない？

>>365
なんとなくですが掴みかけてきた気がします。

y=f(x)のグラフPでxに+p、yに+q平行移動したものをグラフQとすると
グラフPのある点(s.t)をxに+p、yに+q移動させた点（s+p,t+q)はグラフQ上にあり
（s+p,t+q)を（u.v)とした場合に

u=s+p⇔s=u-p
v=t+q⇔t=v-q

となり、上記の右はグラフPの点であるので
y=f(x)にグラフPの点(u-p,v-q)を代入することにより
v-q=f(u-p)⇔v=f(u-p)+q⇔y=f(x-p)+q
となり、この関数はグラフQの点（u,v)の関係式であるから
y=f(x-p)+qはグラフQの関数であると証明される。

で合ってますでしょうか？参考書だと（s.t)や（u.v)が(x.y)や（X.Y)、（x',y'）で表されていて
グラフPとグラフＱの変数を同一視してしまいイマイチわかりません。

理解の仕方は人それぞれだと思うけど、俺はこんな感じで理解してる。

y=f(x)を満たす点(x,y)について、xにp、yにqを加えた点(x+p,y+q)の全体をQとする。
⇒
Qの点(X,Y)について、Xからp、Yからqを引いた点(X-p,Y-q)は元の式を満たし、Y-q=f(X-p)である。

>>386　自分的な理解の仕方はこんな感じ。証明じゃなく感覚的なもんだが。

小学生がお手伝いのお駄賃をもらう。勤続1日目に2円、2日目に4円…、n日目に2n円、と言うルール。
ところが、真面目にやってたので「3日ぶん賃上げ」してもらえることになった。
n日目には2(n+3)円もらえることになるわけだ。
これは本来ｎ+3日目にもらえるはずだったお駄賃が、3日分"前倒し"されることになる。

ってことはnがｎ+3に変化したことで、同じ金額が3日"前"にもらえるようになったことになる。
(この時点で、2nに限らず、いかなる形のf(n)でも同じことが言える)
グラフで描けば、変化が3日ぶん、nの小さい方に移動したことになるわけで、
つまりこれはn軸(x軸)方向に-3の平行移動。

同様に、ふまじめにやったペナルティで、日数から-2日されるとしたら、同じ金額が
もらえるのが2日"遅れる"ことになる。これは+方向への2の平行移動。

xから一定の正の値を引かれる→その分だけxが余分に増えないと同じ関数値にならない
→変化が引かれた一定値だけ遅れて生じる→x軸正方向へのその分の平行移動、ということ。

めんどくせええええええええええええええええええええええ

これの議論もう見飽きた。
結局はよく考えろ、ってことじゃん

放物線y=x^2上に2点P,Qがある。線分PQの長さをl、傾きをmとおく。
線分PQの中点をMとするとき、点Mのy座標の最小値を求めよ。ただし、lはl=>1を満たす定数とする。

という問題で、P(p,p^2),Q(q,q^2)、(p<qとする)と置いて、(p^2+q^2)/2の最小値を求めれば良いってことに気付き、lとmで表す式に変換しようとしたんですけど方法が見当たりません…
ちなみに
l=√(q-p)^2+(q^2-p^2)^2
m=p+q
だと思います。
どなたか教えてください!

>>391
A=(p^2+q^2)/2とおくと
pq=((m^2)/2)-A
一方l^2=(m^2 -4pq)(m^2 +1)
これにpqを代入して変形して
4A+1=(l^2)/(m^2 +1)+(m^2 +1)
これに相加相乗
違ってたらごめんなさい

>>391
> l=√(q-p)^2+(q^2-p^2)^2
l^2=(q-p)^2+(q-p)^2(q+p)^2=(q-p)^2(1+(q+p)^2)
> m=p+q
だから　l^2=(q-p)^2(1+m^2)。q＞p　としたので
q-p=l/√(1+m^2)

mと置く　とだけ言ってそれ以上言及しないとか変なの

？

【レス抽出】
対象スレ：高校生のための数学の質問スレPART271
キーワード：mと置く

抽出レス数：1

>>395　そうだね勝手に漢字にしちゃあ君が読めないよねごめんね

うむ、殊勝である。
今後はきちんと引き写すようにな。

>>391
これ、条件l≧1を外すと、解答はどうなるの？

n次の多項式って、m次の係数(定数項はそれ自身係数)を第m+1成分とするベクトルとみなせますよね？

高校でやるのは幾何ベクトルだから、その質問の答えは高校数学の範囲ではNOです。

>>392
すみません、遅くなりましたが、
出来ました!ありがとうございます。


ちなみに東大の改問だそうです。
l=>1の定数という条件があるからこそ出来る問題ですよね。変数だと値が定まらなくなるんで出来ませんよね?
また別の問題で書き込むかも知れませんがその時もよろしくお願いします。

f(x)=x^(3)-2 であるf(x)を用いて
数列a[n]を正の実数a[1]から初めて
漸化式 a[n+1] = a[n]-f(a[n])/f '(a[n]) で定める。

(1)
a[1]>2^(1/3)のとき、すべての自然数ｎに対して、
2^(1/3)<a[n+1]<a[n]　を示せ

(2)
a[1]=2のとき、｜a[n]-2^(1/3)｜<1/10
となる最小のｎを求めよ。

という問題で(2)のアプローチの仕方がわかりません
どなたか教えてください

>>402
小数使って評価する方法しか思いつかないなあ
1.25<2^(1/3)<1.26, a[2]=1.5, 1.29<a[3]<1.30
より
|a[2]-2^(1/3)|>0.24>1/10
|a[3]-2^(1/3)|<0.05<1/10

大学入試の過去問らしいのですが、さっぱりお手上げです．
どなたかお教えいただけば幸いです．

【問】 空間内の点O を中心とする一辺の長さがl の立方体の頂点をA1，A2， ，A8 とする．
また，O を中心とする半径r の球面をS とする．

(1)S 上のすべての点からA1，A2， ，A8 のうち少なくとも1 点が見えるための必要十分条件を
l とrで表せ．

(2)S 上のすべての点からA1，A2， ，A8 のうち少なくとも2 点が見えるための必要十分条件を
l とrで表せ．

ただし，S 上の点P からAk が見えるとは，Ak がS の外側にあり，線分PAk とS との共有点がP のみ
であることとする．

>>404
よーするに「PからAkが見える」ってのは
PでSに接する接平面を考えて、Akがこの接平面上、またはこの接平面に対して
Oと反対側の半空間にあればいい、ってこと※だと思うのだが、

これでいいなら(1)はl=2r（立方体が球に外接する時)。
ｌがこれより小さいと、立方体からはみ出た部分の「中心」での接平面は
立方体の頂点のいずれも見ることができない。

ただそうすると、たとえばA_1の「真下」の点（線分OA_1とSとの交点）では、
他のAkはどう頑張っても見えないような気がするんだが…
※の時点で考え違いしてるんだろうか。

>>405
(1)の条件は l≧2ｒに修正。

3段落目は勘違い。※はそのままでいいはず。

空間図形の方程式(無理筋なのは承知)で考えてみると、
Oを原点、Sをx^2+y^2+z^2=r^2、A1を(l/2,l/2,l/2) と考えてやって、
（他のAkはx,y,z座標の絶対値が すべてl/2となる点)
この真下のS上の点Pが（r/√3,r/√3,r/√3）
この点を通るSの接平面がx+y+z=(√3)ｒ
この平面より「右上」方向に、(-l/2,l/2,l/2) 等、座標の値のうち一つが-l/2、
他がl/2である点があればいいのだから
(-l/2)+(l/2)+(l+2)≧(√3)r　よってl≧(2√3）ｒ
ｌがこの値より小さい時、上記で考えたPからはA1しか見えないから
これで必要十分条件になってる、と思う。

過去問であるとすればいつ出題なのかは確認したいなぁ。95年くらいより前だと
現状の高校内容では道具不足、あるいは面倒になるかもしれない。

↑連投ごめん。「必要条件」にはなってる。十分性は他の点についての議論が不足。

十分性を言う場合、
x^2+y^2+z^2=r^2上でかつx≧0、y≧0、z≧0の範囲を、軸と上記のPを通る3つの平面で
切って3等分してやって、A_1以外に最寄りの1点が見えることを言えば
(たとえば、y軸を含む面とz軸を含む面で切ったところからは(-l/2,ｌ/2,ｌ/2)が見える
あとは対称性で押し切れると思う。

まだ勘違いしていて、または思いこみがあって、先の値では十分じゃないかもしれんが。

>>406
96年　東大理系第３問

初歩的な質問で悪いんだけど、底辺が同じで二等辺三角形じゃない場合ってある？

>>409
> 底辺が同じで

日本語でお願い

ごめん、底角が同じだた

てーへんだてーへんだ

2次関数を求めろって問題なんだけど
y=(x+1)
　　 ↑2乗
こんな感じの答えになったときって2乗した答えをかかなきゃいかんの？
同じ問題なのに答えみるとそのままのときと2乗したこたえがあってどっちにすりゃわかんないんだけど・・・
　　

書式を守れ、そしてケースバイケースなんだから問題を書け

>>408
96年は、課程切り替わりでの受験者が出てきた最初の年だと思う(10年に一度課程変更で、
その次は2006年、センターで移行措置の選択問題があった年)。

浪人組は空間図形の方程式を代数・幾何でやってたはずだから、使って解いても
そんなに文句は言われなそうだ。

4個のサイコロを投げて、出た目の数のうち、偶数の個数をa、奇数の個数をb、3

の倍数をcとする。例えば2の目が2個と5と6の目が一個ずつ出た時は、a＝3 b＝1

c＝1となる。

（1）a＞bとなる確率を求めよ。

（2）a＞cとなる確率を求めよ。

このもんだいについて教えてくれませんか？
とくに（２）が分かりません

泥臭い場合分けを根気よくするだけ
5/16
5/9

>>417　数C確率の独立に関する議論を使えば、(2)はもう少し楽にできる。
P(偶数)=1/2、P(3の倍数)=1/3、P(2の倍数かつ3の倍数)=1/6=1/2 * 1/3 だから
「偶数の目が出る」と「3の倍数の目が出る」は独立。

偶数が4回〜0回出る確率は
　1/16、4/16、6/16、4/16、1/16
3の倍数が4回〜0回出る確率は
　1/81、8/81、24/81、32/81、16/81　（ここまでは反復試行で出す）
3の倍数が4回〜0回以下出る確率は(右から足していって)
　81/81、80/81、72/81、48/81、16/81
よって求める確率は、偶数がn回出て、かつ3の倍数がｎ-1回以下出る確率の総和で、
(1/(16*81))(1*80+ 4*72 + 6*48 +4*16)

出目を偶数だけに寄与する(2,4)、3の倍数だけに寄与する(3)、
偏った寄与のない(1,5,6)の3通りに分類して回数を考えると6通りに場合分けが必要で、
これは数Aとしてはまっとうな解法だが、上記はこれより場合分けの手間・数、計算量、
ともに少ない。ただし数C既習者、または学校で確率がらみをA・Cに分けず授業している
ところ向けで、数Aだけやった人の定期テスト用解法としては非推奨。

>>416
(2)は2または4の目の出る回数が3の目の出る回数より多ければいいから
3の目が0回と1回で場合わけするだけでいい

>>407
一番大事な十分性の議論がよく分からないのだが

lim [ x → π/2 ] tan x という極限は存在しないというのがよく分からないんですけど
グラフで描いたときに右側極限が -∞ 、左側極限が ∞ になり一致しないからという考えでいいのでしょうか？

>>420
表現を変えて書きなおしてみる。
l/2=Lと書くことにして、A_1(L,L,L) A_2(-L,L,L) A_3(-L,-L,L) A_4(L,-L,L),A_5(L,L,-L)
L≧(√3)ｒ ※のとき、「S上の、x,y,z座標のいずれか最大2つが0で他が正の」領域◎から、
A_1のほか、A_2、A_4、A_5のいずれか少なくともひとつが見えることが言えれば十分
(あとは対称性で片がつく)
◎からA_1が必ず見えることは、ｚ軸とA_1を含む断面図を描けば言えるでしょう。

で、>>407で言ったのは、S上の上記領域のうち、x,y,z座標の値を比較して、
x座標が最小…（x座標が負の)A_2が見える
y座標が最小…A_4が見える　z座標が最小…A_5が見える
(x=y<zならばA_2、A_4のどちらも見える)
ということを言えば良いだろう、という方針だけ。これを「最寄り」と表現したわけ。

球x^2+y^2+z^2=r^2上の点(s,t,u)でこの球に接する接平面の方程式は
sx+ty+uz=r^2 ⇔ sx+ty+uz-r^2=0
s=t=u=r/√3 の場合、※の条件で2点以上が見えることは論証済み
0≦s≦t、0≦s<uである領域について
　（つまり上記のx座標最小(y,zの大小は不問)、またはx=y<zの場合に相当)
この領域でmax(t,u)>ｒ/√3、よって
s(-L)+tL+uL-r^2　> （ｒ/√3）L-r^2 ≧0 （※L≧√3ｒ)
s・0+ｔ・0+u・0-r^2 <0 だから、
考えている接平面に対して原点とA_2は反対側、したがって上記のようなP（s,t,u)からA_2は見える。
同様に◎内の他の領域からもA_4とA_5のどちらかが見える。

y=cos x (0≦x≦π/2)とx軸とy軸で囲まれた部分の面積を
y=a sin xが2等分するとき、aの値を求めよ。

交点が出せないので、交点のx座標をtにおいてやってみたのですが、
うまくいきません。
よろしくお願いします。

>>423
何がどううまくいかないのか？

>>423
costやsintが求められないという意味で言ってるのなら半分まちがい

座標平面上に２点 A(2,7),B(13,0)と直線x+y-5=0が与えられている。
この直線上に１点Pをとって、AP+BPを最小にするとき、点Pの座標とAP+BPの値を求めよ。

P(a,-a+5)とおいて解いてみましたが、答えにたどり着けません。
宜しくお願いします。

>>426
A,Bどっちかについて、直線に対して対称な点を取る。
Bについて対称な点B'を取るとすれば、PがどこでもAP+BP=AP+B'P

で、どこにPとりゃ最小になるか考える。

>>422
すばらしい

x^2=-6x+9の極方程式を求めよ。


もうちんぷんかんぷんです。
教えてほしいです。

極方程式の定義を書いてみろ
まずはそこからだ

x=rcosθ、y=rsinθ
r^2=x^2+y^2
ですか？

x=rcosθ、y=rsinθをx^2=-6x+9に代入すればいいのかなって考えたけど、
ダメだったんで解らなくなった。

極方程式とは何か習ってから再挑戦

>>429
そもそも
x^2=-6x+9
はxについての2次方程式であって、
図形(曲線)の方程式になってないんだが。

>>433
平行な２直線の方程式にはなってるが？

429だけど解決しました。
もう一回極座標勉強し直してきます。

>>434
それなら極座標で示せるはずだね。

直角三角形ではない三角形の一辺の長さとその辺の両端の角が分かっている場合、残りの片の長さを求めるにはどうすればいいですか？

>>437
正弦定理

>>434
なってねえよ。(y-ax-b)^2=0　の形じゃねえし

>>439
x=a (aは定数)はxy平面上でy軸に平行な直線の方程式だろ。

だめだこりゃ

>>433=>>439
馬鹿すぎる

とまあ>>440に御追従するバカが釣れるわけだ

>>443
涙ふけよ

中学数学すら修了していないものが回答者に紛れ込んでいたのか

自分が433だが、指摘されてグウの音も出なかったので引っ込んだ。
>>439は別人。

書かれた直後「それは理屈だ!」「だが、正しいものの見方だ」と書こうと思ったんだが、
まあそういうこと。そもそもの問題は違ったはずだ、とは今でも思っているが、
書かれたものをそのまま解釈すればｙ軸に平行な2直線は表せるんで、
違うと言い切ってしまった自分の負け、というか見落としだ。その意味で
2直線になってるってのは「正しいものの見方」であるのは間違いない。

で、>>445 今は中学ではx=a(定数)の形の式の直線を(直接)扱うことはしないと思われ。
移行措置で帰ってきてるかもしれんが、手持ちの高校教科書ではこの形の
直線を、新たに認識させるような書き方がなされている。

だっふんだー

そろそろ夏休みも終わりなのに、意外に宿題がらみが少ないな。

>>448
教えて！gooはすんげえストレートに宿題だらけｗ

なるほど、脈のある方に行ったか。

>>448
まだ夏休み終わってない高校なんかあるのか？

横からだけど自分はまだ終わってない

>>451
多くは9/1からだろ

大阪だが23日ごろにはたいてい始まっとるよ
週休2日制で授業に追われてるのにそんなに夏休みとれんよ

大阪は本土じゃないからな

外国ははやいのか

高3の休み全部受験前に集中させろよ100日くらい

ｘのすべての実数の値に対して(k^2-1)x^2+2(k+1)x+3>0が成り立つように、
ｋの値の範囲を定めよ。

という問題なのですが、答えはk≦-1,2<kになるそうです。
このうち、ｋ＝−１の求め方がわかりません。
おねがいします。

>>458
k^2-1>0
k^2-1<0
k^2-1=0→（k=1,k=-1)
――と4つの場合があり、

x回の間に1/yがｚ回連続する確率を求めるのはどうすればいいのでしょうか？
例えば70回の間に1/2.57が4連続する確率はどうなるのでしょうか？

例えばもクソも何が言いたいのかさっぱり理解できない
キミの貧相な日本語力で無理やり短縮せず、問題文を正確に書いてくれないと困る

>>459
すいません・・・
考えてみたのですがちょっとよくわかりません。
もう少し詳しく教えていただけませんか？

>>462
お前k<-1,2<kの部分は分かるんじゃないのかよ！

>>463
k<-1,2<kの部分は判別式を使って求めたんですが・・・
すいません・・・

>>464
f(x)=ax^2+bx+c とする。
a=0 のとき f(x) はどんな関数か。
a=b=0 のとき f(x) はどんな関数か。

>>465
わかりました！
ありがとうございます！

関数の意味が分かりません。
説明されている文章自体が分からないからです。
これを見ても分かりません。
教えてください。
http://plaza.rakuten.co.jp/nakamoto1236/diary/200901190000/
＞働きは、英語で　function というので、その頭文字をとってf で表すことにすると、
＞入口から入ってくる数を（　）で表すと、このブラックボックスの構造は、
　　　　　　　　＞ｆ　( 　 )　＝３（　　）
この記述の前までは分かりました。
しかし上記に書いたように、突然説明が分かりません。
これは入り口から入ってきた数を（　）で書きますとあるので
（　　）Ｆ＝３と言いたい所を
Ｆ（　　）という風に書き換えただけなのかな〜とも思ったんですが
それなら３の後は（　　　）ではなくてＦだろと思ったんです。
何で３の後に、入り口の数字が入るのかが分かりません。

>>438
なるほど、言われて見れば。
ありがとうございます。

三角形ＡＢＣ内の一転Ｐから辺ＢＣ,ＣＡ,ＡＢの中点をそれぞれＤ,Ｅ,Ｆ
とし,三角形ＡＢＣの重心をＧとする。
(1)BC+CA+AB<2(AG+BG+CG)であることを示せ
(2)三角形ABCの周の長さをyとする
　　　3/4y<AD+BE+CF<y
　となることを示せ

　ほかのスレで聞いて(1)と3/4y<AD+BE+CFまではわかりました。
　AD+BE+CF<yが証明されることを教えてください。
　よろしくお願いします。

>>469　そこも三角不等式で示せる。

平行四辺形ABA'Cで、AA'=2AD＜AB+BA'=AB+AC
他の3ヶ所についても同様に書き上げて、辺々足して…

>>469
ありがとうございます
やってみます。

>>470ですね間違えました。

>>467
うしろ(カッコの中)に文字が入ることを前提に「×」(かける)が省略されてる。

で、基礎概念で引っかかってるなら、初学者に配慮されたしっかりした本読みましょう。
http://www.amazon.co.jp/dp/400115191X
とか。

a,bはa^2-b=1を満たす正の整数である
1/(a-√b)に最も近い整数をもとめよ

誰かといてくださいお願いします

>>474
お気持ちだけで結構です

>>474
既に解答が寄せられていただろ。

>>474
1/(a-√b)にb=a^2-1を代入して整理するとa+√(a^2-1)。
a+√(a^2-1)<2a
より、答えは2aぽい。これを確かめるには、
2a-{a+√(a^2-1)}=a-√(a^2-1)<1/2
を示せばよいみたい。両辺にa+√(a^2-1)をかけて整理すると
2<a+√(a^2-1)
だから、これを示せばいいみたい。a≧2だからこれは成りなってるね。

空間内に3点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)をとる。
空間内の点PがPA↑・(PB↑+2PC↑)=0を満たしながら動くとき, この点Pは平面ABC上のある定点Qから一定の距離にあることを示せ。
という問題にて、模範解答には、

与式はPA↑・(PB↑+2PC↑)/3=0であり,
線分BCを2:1に内分する点をDとすると,PA↑・PD↑=0である。
したがって,ADの中点をQとすると,QP=QA(一定)であり,
Qは平面ABC上にあるから,題意は証明された。

とあるのですが、QP=QA(一定)となる理由はどうしてなのでしょうか？

>>478
PA↑・PD↑=0 ならPはADを直径とする円の円周上を移動する(円周角定理)
だからADの中点(この円の中心)から円周上に位置するPとAまでの距離は等しく一定

>>479
球面上！

しまったorz
空間だったね〜

>>478
�儔PAが底角45度の2等辺三角形だからと想う

>>482
こらこら

>>421をお願い致します

>>484
駄目

高校の数学なんて分からない、中学の数学も忘れた。
小学３年ぐらいまでは、分かるだろう。
こんな状態で、独学で高校の数学を覚えるまでにかかる期間は
どのぐらいだと思いますか？
一週間ほどで可能だと思いますか？

>>486
人による

手に職の道を選んだほうがいいよ。

>>487
やはりそうですか。中学３年間の教科書を手にとると
これっぽっちのページ数なのか？って思ったんで、もしかして可能なのか？
ってなりました。
しかし例えば東大に受かる為に毎日１０時間以上勉強している人がいますが
そもそも応用問題が全然違っているからそれほど勉強しているんでしょうか？

x^3-10x^2+16x-8=0 　

を因数分解したいんですけど、出来なさそうなんです。
f(a)=0も無くて・・・。

計算の過程で出てきた3次式なので、どこかで計算間違えたのかもしれません。
やっぱ解の公式とか使うんでしょうか

(x-8)(x-2)x=8

>>490
どっかで計算間違いをしたのだろう

>>491

あ！なるほど･･･って思いました。
ありがとうございます！

あと、そこからxの解を求めるとしたら
どうすればいいでしょうか？

そんな因数分解には何の意味もないのだよ

もともとの問題は、
直線l:y=2x
直線m:点(2,2)を通る傾きaの直線(ただし,a<0)

(1)直線lとmの交点Aの座標を求めよ
(2)直線mとx軸の交点Bの座標を求めよ
(3)原点Oとしたとき、△AOBの面積Sを求めよ
(4)S=9/2のときaの値を求めよ。

で、(4)といていったらこうなったんですけど、
(1)(2)からもう間違ってるのかも・・・ｗ

だったら途中までの答えをここに書いてみな。

e^iπ=-1という等式について、両辺2乗すると
左辺＝e^(-π^2)
右辺＝1=e^0
∴π^2=0

考えていてわからなくなってしまったんですが…
2乗をするという操作でおかしくなってしまったんでしょうか？

>>497
なぜ、オイラーをつかわぬのだあ・・・
あ、高校生だからかあ

e^2iπ=1 でないかい＾＾；

x^a * x^a = x^(2*a)　であって x^(a^2)　ではない

>>485
ではどう考えればいいのでしょうか？
いまいち極限なしというのがよく分かりません

教科書の極限の定義をよく読んでみな。

421じゃないが　左方極限と右方極限が一致しないときは
極限が存在しないってだけじゃだめだっけ？
他に条件なんてあったっけ？

>>500　>>485のほうが不適切。>>421の考えで問題なし。
("グラフで描いたときに"は余分だけど)

まず、極限としてlim[x→a]f(x)=∞のように右辺に出てくる∞、
または-∞については、「極限値」ではないけれど「極限」である。

そして、tanのπ/2における右極限左極限については、
lim[x→π+0]tan(x)=-∞ lim[x→π/2-0]tan(x)=∞ で問題なし。
言うまでもないが、x=π/2でtan(x)が定義されていないことは全く問題にならない。

さらに、今参照している高校数IIIの検定教科書によれば、
----
αを定数あるいは∞，-∞とするとき，次のことが成り立つ。
[極限が存在するための条件]
lim[x→a]f(x)=α ⇔ lim[x→a+0]f(x)=lim[x→a-0]f(x)=α
----
したがって、例に出したtan(x)のx→π/2については、右側極限と左側極限は
ともに存在するけれど、それらが一致しないから極限が存在しない、という理解で
間違ってない。

違っているというなら「教科書嫁」ではなく具体的にどこが間違いか指摘してくれ。
繰り返すがこれは高校数IIIの教科書の記述を実際に参照・引用しながら書いてる。

>>495
(1) 2*x_a=a*(x_a-2)+2 から (2-a)*x_a = -2*a + 2,　x_a = -2*(a-1)/(2-a)
y_a = -4*(a-1)/(2-a)
(2) m: y = a*(x-2) + 2 だから　y_b=0で
　　a*(x_b - 2) + 2 = 0,　x_b = 2*(a-1)/a
(3) S = x_b * y_a / 2 = -4*(a-1)^2/( a*(2-a) )
(4) -4*(a-1)^2/( a*(2-a) ) = 9/2
　　-8*(a^2 - 2*a + 1) = 9*(2*a - a^2)
　　a^2 -2*a - 8 = 0
　　(a-4)(a+2) = 0　　　a<2より a=-2
なんで三次式になった？

混乱しています。

複素数の範囲で計算できる電卓で
ｆ(x)=(-i)^x　と　ｆ(x)=((-1)^x)*(i^x)
に実数を次々代入していくと計算結果が異なって出てきました。
(-i)^x=((-1)*i)^x=((-1)^x)*(i^x)なので、この二つの関数は同じものではないのでしょうか？

また、ｆ(x)=(-i)^xの計算結果はガウス平面上で時計回りに現れました。
オイラーの公式cosθ+i*sinθ=e^iθを習ったので
(cosθ+i*sinθ)^x=e^iθx=cosθx+i*sinθxと考え
-i=cos(3π/2)+i*sin(3π/2)から
(-i)^x=(cos(3π/2)+i*sin(3π/2))^x=cos(3πx/2)+i*sin(3πx/2)と書きました。
cosθ+i*sinθを掛けることは、ガウス平面上で原点周りのθ回転に対応するなら
-i=cos(3πx/2)+i*sin(3πx/2)の偏角は正なので、(-i)^xは反時計回りに現れると思ったのですが…

根本的に何かを間違っているような気もするのですが、分からなくなってしまいました。
うまく説明できていないかもしれませんが、よろしくお願いします。

>>505
> ｆ(x)=(-i)^x
は -i=e^(-iπ/2)=e^(i(3π/2))=e^(i(7π/2))=… に由来する多価関数。
その電卓が分枝をどう選んでるかは知らん。

>>506
電卓が一つの値だけを表示しているだけってことで、実際は値は複数個あるってことですか?

複素数aの平方根は本来二つあるが、その一方を√aと決めると、
√(a*b)=(√a)(√b) は必ずしも成り立たない、というのと同じこと

>>508
複素数aの平方根は本来二つある…おー！ありがとうございます。

実は「群の発見」という本を呼んでいて、x^4+1=0を考えていました。
x^4+1=(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)として
√i,-√i,√-i,-√-iがそれぞれ異なる一つの解だと思っていたのですが、違って
(x-√i)と(x+√i)は同じ異なる二つの解の組に対応しているということで良いですか？

でも、x^4+1=(x^2-√2*x+1)(x^2+√2*x+1)=(x-(1+i)/2)(x-(1-i)/2)(x-(-1+i)/2)(x-(-1-i)/2)
で、因数分解って一意なんじゃないんですか？

なんどもすみません。

>>509
> x^4+1=(x^2-√2*x+1)(x^2+√2*x+1)=(x-(1+i)/2)(x-(1-i)/2)(x-(-1+i)/2)(x-(-1-i)/2)
間違い。例えば (1+i)/2 を2乗してみ？

>>510
遅くにすみません。

x^4+1==(x-(1+i)/√2)(x-(1-i)/√2)(x-(-1+i)/√2)(x-(-1-i)/√2)

でした。二次方程式の解の公式を使って分解したんですが、これもおかしいですか?
確かにx^4+1になると思うんですが。あれ？

>>511
ザッと見るに、-(1+i)/√2とかを2乗するとちゃんとiやら-iになるが。

おはようございます。

ｆ(x)=(-i)^xとｆ(x)=((-1)^x)*(i^x)の電卓での計算結果が異なることについては
納得行きました。ありがとうございました。

ただ、そこから新しくできてしまった疑問

x^4+1=(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)
x^4+1=(x-(1+i)/√2)(x-(1-i)/√2)(x-(-1+i)/√2)(x-(-1-i)/√2)

は因数分解の一意性に反しているのではないか？
がやはり、分かりません。

なんどやっても計算は合ってる気がするのですが

よろしくお願いします。

表記　±√i、±√(-i)　の約束（意味）を知って、
((±1±i)/√2)^2(複号任意)を計算してみたら疑問は解けるんじゃないの。

>>514
(±1±i)/√2)^2=i、,-iですよね?
±√i、±√(-i)　の幾何的な意味はなんとなく分かりましたが…

それらで、(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)=(x-(1+i)/√2)(x-(1-i)/√2)(x-(-1+i)/√2)(x-(-1-i)/√2)
の各項が一対一に対応してないことの説明をしようとしても…、もうちょっと解説お願いします。

学校いきます。自分でも考えてみてますが、よろしくお願いします。

日本語足りなくてすみません。↑の訂正です。
(±1±i)/√2)^2=i、,-iと
±√i、±√(-i)　の幾何的な意味とかから
(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)=(x-(1+i)/√2)(x-(1-i)/√2)(x-(-1+i)/√2)(x-(-1-i)/√2)
の各項が一対一に対応してないことは納得いくようになりました。

ただ、因数分解の一意性に反しているような気がする部分がやはり分かりません。

失礼します。

 √ i = (  1 + i ) / √2
-√ i = ( -1 - i ) / √2
 √-i = (  1 - i ) / √2
-√-i = ( -1 + i ) / √2

実数でも √4 と 2 は同じでしょ…と

>>517
まだ、家にいました。

そこが分からないです!
√i=(1+i)/√2,(-1-i)/√2
√-i=(1-i)/√2,(-1+i)/√2
じゃないんですか?

それだと -√i と -√-i はどこいった

今の高校過程で、複素数平面は結局やらないことになったの？

高校課程じゃないかと重箱チェック

高校大学初等レベルなら、指数関数についてはオイラーの公式とかいって背伸びせずに素直に複素数平面からやらないと数の幾何学的な醍醐味（面白さ)が得られない

http://imepita.jp/20100901/372520
赤チャートの説明の部分なんですがなんであの角度が90-シータになるかわかりません・・・

>>523
三角形の内角の和って小学校か中学校で習うと思うんだが…

＞＞524
三角の和が180になるってやつですよね？
それはわかりますがそれでもわかりません・・・

義務教育レベルだべ？

ああ、180-90=90で90-シータってことか
こんなこともわからなかったとか暑さで頭やられめるのかな・・・

よく赤チャをやる気になるもんだな

よく赤チャをやる気になるもんだな（笑）

>>519
どうしても
√i=-√i
√-i=-√-i　
と考えてしまいます。

例えば√i=-√iにつていは
i=e^(iπ/2)=e^(i(5π/2))=e^(i(9π/2))=…から
√iつまりi^1/2は
e^(iπ/4),e^(i(9π/4)),…=(1+i)/√2 と
e^(i(5π/4)),e^(i(13π/4)),…=(-1-i)/√2　の二つを意味するのかと考えました。
やはり、ガウス平面上でこの二点は√iは2点は2乗してiになる点であると思います。

実数の範囲で考えるなら√(x^2)=|x|ですが、複素数の範囲なら√(x^2)=±xかと

こう考えると
x^4+1=(x-(1+i)/√2)(x-(1-i)/√2)(x-(-1+i)/√2)(x-(-1-i)/√2)
x^4+1=(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)　としたとき
√iと(1+i)/√2では意味するところが異なるので(x-(1+i)/√2)と(x-√i)は項として異なる
のではないかと思い因数分解の一意性に疑問を持ちました。

参考書「群の発見」にも複素数の冪根は一意に定まらないという記述があります。

間違っているところを指摘していただきたいです。

>>520
複素数平面ってガウス平面ですよね。今は習いません。
復活するらしいですが。僕は独学です。

ながながとすみません。よろしくお願いします。

学校でも「√2」と「2の平方根」が違うことは習うでしょ？
それを踏まえて「2乗してiになる複素数」と「√i」の違いを考えてみな。

>>531
複素数の範囲では√iは実数部分が正であるものをとるということですか?

誰もそんなこと言ってないだろ

>>533
どういうことですか？

今、参考書で「複素数のｎ乗根は、はじめに実数部分の大きさ、次に虚数部分の大きさで
辞書式順序をつけ、一番大きいものをとるとする」という記述を見つけてコレか！と喜んだ
所だったんですが。

中学数学の問題なんですが、お願いできますか？
ttp://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/09/kgw/kgw/kgw-su/su5.html
(イ)の問題はどう考えていけばいいんでしょうか？

>>535
> 中学数学の問題なんですが、お願いできますか？

ダメです

>>535
こっち
小・中学生のためのスレ　Part 38
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1279066071/

>>536
すいません
>>537
有難うございます

>>530
>>506にあるように、複素関数では、√xは2つの値を持つ関数(実関数の時のように2つあるうちのどちらかと定義するやる方では、連続関数にならなくなる)なので、"√i"という記号は、複素平面上の2つの点をさしている。
(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)と書くからには、√iは1つの数というイメージなんだろうが、こう書くからには、「いまこの文章では、2つのうち、（例えば)(1+i)/√2と考えている (ここでの√2は実関数の意味での√2、つまり2の平方根のうち正の方)」という前置きが必要。
ちなみに、この場合、どちらを√iとしてももう片方は-√iになるのでどちらをとるかは別に重要な問題ではない。

>>539
丁寧にありがとうございます。

(x-√i)(x+√i)(x-√-i)(x+√-i)と書くときに√iを2つの点を表す記号のまま
用いてはならない理由はなんですか？

分かったような、分からないような…

>>539は誤ってる。
記号を割り振るならその前に一つのものを表すことに決めなくてはいけないというのは数学の基本的なルール。

>>541
なら正しいのをかけよ。

>>541
まじっすか？
できれば詳しいソースが欲しいです。

複素関数論ていうのを勉強したらスッキリするのでしょうか？

色んな科目の受験勉強が本格的に始まるまでにガロア理論を
一通りやってみようとか思ってみたんですが気が遠くなります。

>>542
>>539の「いまこの文章では・・・以降は正しい、その前はでたらめ。
特に補足する必要もないと思ったが。

>>543
ソースなぁ。数学の基本的なお作法だから、探すのは難しそうだ。
このお作法に関して言ってるなら、複素関数論を勉強しても関係ない。
多価関数について詳しく知りたいというなら複素関数論を勉強するといい。

ガロア理論を一通り眺めたいというなら、こんな小さいことは無視してもいいよ。
大事なのは体の拡大とガロア群との対応をしっかりつかむこと。
具体例はとりあえずおいといていい。

>>544
だんだん分かった気にはなってきたんですが、ダメ押しで

数学のそのような基本的な作法を仮定するなら
たとえば多項式における文字ｘとはなんなんでしょうか？

なにが入るかなんて決まっていない気がするのですが
多項式自体を一つのものとして見るような感覚ですか？

次の極限値をf(a),f'(a)で表せ。ただし、a≠0、f'(a)≠0とする。
lim[h→0] 1/h{((f(a+h))/(a+h))-((f(a-h))/(a-h))}

お願いします＞＜

>>545
ｘは文字です。ただそれだけ。
勿論、数字と文字の混じった式の形が定義され演算規則が決まっているということで、
たんなる文字の羅列ではありません。
xになにが入るかなんて決まっていません。

>>545
Z_+: 自然数と0からなる集合
R: 単位元をもつ可換環
Mを
　f : Z_+x: Z_+ → R
の写像で、有限個を除くすべてのi?Z_+に対しf(i)=0となるもの全体。

このとき、xはMの元
x: Z_+ → R
で
x(1)=1, x(0)=0
を満たすものと定義されます。
よろしく

>>545
（訂正)
Z_+: 自然数と0からなる集合
R: 単位元をもつ可換環
Mを
　f : Z_+ → R
の写像で、有限個を除くZ_+に属るすべてのiに対しf(i)=0となるもの全体とする。

このとき、xはMの元
x: Z_+ → R
で
x(1)=1, x(0)=0
を満たすものと定義されます。

>>546
多分、lim[h→0] （1/h）{f(a+h)/(a+h)-f(a-h)/(a-h)｝なんだろうな、何を思って(f(x+a))なんて書くのか理解に苦しむが…1/hには（）が要る
{f(a+h)/(a+h)-f(a-h)/(a-h)｝が分母ならいいけど。

で、lim[h→0] {f(a+h)/(a+h)-f(a-h)/(a-h)｝/2h がf(x)/xって関数の微分になってる。
lim[h→0] {f(a+h)/(a+h)-f(a-h)/(a-h)｝/2h=(f(a)/a)'={af'(a)-f(a)}/a^2

>>548
そんな定義は殆ど無意味。
忘れていい。

みなさんありがとうございました。
ちょっとずつ先に進んでみたいと思います。

>>550
答えてもらってありがとうございます！
問題は指摘していただいたとおりです＾＾；

ずっと考えていたのですが、よくわからないので
もう少し詳しく教えていただけませんか？

整数nに関するある命題について、
それが全ての整数nで成り立つ事を数学的帰納法みたいな感じで
[1]n=0のとき成立
[2]n=kのとき成立と仮定すると、n=k+1のとき成立
[3]n=kのとき成立と仮定すると、n=k-1のとき成立
の3つを示して証明するのは正しいですか？

結論から言うと正しい

人間とは、人の間と書きます。
すなわち、Hを人間の集合とすると、
a∈H ならば b,c∈Hが存在して
b < a < c
というわけです。

ちょっと質問があります。
正三角形の一辺が０．８ｃｍで、面積を求めると０．８ｃｍ以下の
０．６４平方ｃｍになります。割られる数よりも小さくなってますよね？
しかし０．８ｃｍをｍｍに治して考えると、８ｍｍです。
面積は６４平方ｍｍです。（平方にｍｍがあるのかは定かではないですが）
６４平方ｍｍをｃｍに治すと、６．４平方ｃｍになります。
割られる数よりも大きくなってますよね？
この矛盾はどう解釈すればいいでしょうか？

訂正：＞正三角形
　　　正方形

>>557
矛盾してるのはあなたの頭の中。

>６４平方ｍｍをｃｍに治すと、６．４平方ｃｍになります。
なりません。10mm×10mmの正方形の面積は100mm^2だけど、
これは同様に1cm^2で、これらの面積は同じものである以上
等しいんだから(以下略

ついでに、この話題を続けたいなら小中学生スレへどうぞ。
この程度の面積の単位は小学校の話題。

>>557

>６４平方ｍｍをｃｍに治すと、６．４平方ｃｍになります。

ダウト。平方なんだから1/100倍しないといけない。
そもそも一辺の長さと面積の単位が違うのだから比較する意味がない。

でも単純に考えて０．８ｃｍ×０．８＝０．６４平方ｃｍになっていて
０．８以下になってしまってますよ？
横の長さが縦の長さ分あると考えるなら、０．８以上になると思います。
正方形の一辺が３ｃｍの場合、横の長さ３ｃｍが縦の長さ３ｃｍ分
積み重なっているわけですよ？だから９になって増えているんです。
０．８だってマイナスではありません。
０以上はあるんです。
０．８以上にならずに、減っているんですよ？
変な現象じゃないですか。

小中学生スレ行け
まあ高校生でもこの手の計算が理解できてない奴はいるんだよな…

>>503
>>421の考え方で合っていたんですね、どうも有り難うございます
あと、

＞lim[x→π+0]tan(x)=-∞ lim[x→π/2-0]tan(x)=∞ で問題なし。

に関しては x→π/2+0、x→π/2-0 と捉えていいのでしょうか？

>>563
ご指摘通り、lim[x→π+0]tan(x)=-∞
はx→π/2+0 の間違い。

高校の範囲の知識で解けるか不明ですが
とりあえずこちらで質問します。

無限級数の和の求め方を知りたいです。
（シグマ、k=1から無限まで）k/2^k = ???

念のため書き下すと、
1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... です。

総和をSとおいて、(1/2)Sを引く

できました。ありがとうございます。

もう1つ、アプローチだけでも教えてください。

Jリーグチップスカードがあり、11選手のカードが同確率で封入されている。
11選手全部のカードをそろえるまで、買わないといけない
チップスの平均袋数はいくつ？（1袋あたり1カード）

33袋強とでた（モンテカルロ）

僕も答えは出たんですが、どうもアプローチがかっこわるく・・・
モンテカルロでやってみます。
ありがとうございます。

>>570
クーポンコレクターでググれ

数Aの組み合わせ順列ですが、問題文に「取り出す」だったらCを使い、「取り出して並べる」
ならPを使う、でいいですか？

>>572
内容によるとしか言いようがない

>>564
三角関数の極限がよく分からず迷っていたので凄く助かりました
本当に有難うございました

>>572
「連立方程式の問題ですが、xとyの連立方程式だったら(x、y)=(2，1)でいいですか？」
って言うくらいだめ。

x=1+1/xのときxの値をを小数点第３位まで求めろ
で１ずつ数字を増やしたり減らしたりしてなんとか1.618と求めたのですが、どうやって解くのでしょうか？
もしテストで似たのが出たらこれだけで時間がなくなります

>>553
　lim[h→0] {f(a-h+2h)/(a-h+2h)-f(a-h)/(a-h)｝/2h　の方が分かりやすいかな

>>576
√2,3,5くらいの大体の値は暗記してないと
いちいち計算しないとだめかもな
x=0は方程式満たさないからxを掛けて変形して
x^2 - x - 1 = 0　　　　x = (1±√5)/2
√5 ≒ ± 2.236　
2*x = ± √5 + 1 ≒ ± 3.236　 x ≒ 1.618

>>576
まず、x>0のときってな縛りが必要なはず。

両辺x倍して整理すると、x＾2-x-1=0の正の解だからx=(1/2)（1+√5)
・√5を開平計算、あるいは
・暗記していてしかるべき値である√5≒2.236から、
2.236＾2<5<2.237^2を示しておいて
1.618<x<1.6185 から四捨五入

>>572
そういう「部分的にキーワード見つけて公式当てはめる」やり方で数Aの場合の数・確率は
乗り切れないよ。ただし、

「互いに異なるものを」とり出す（だけ）、だったらCでいいし、
「互いに異なるものを」取り出して「（順序がつくように）一列に」並べるだったらPでいい。

元に同じものが含まれていたり、並べ方が単純な一列でなかったり、
とりだしたものを組に分けるのだったりしたら、それだけで単純なPやCの式では解けないし、
逆に見掛け上これらの形でなくてもPやCを使って考えられるものもある。だから、
そういう単純化された解き方があると思うこと自体がダメ、という最初の話に戻る。

√5を知ってろとか開平を知ってろって問題はちょっと不可解だなあ。
過去問だとしたらそんな問題出す大学は無視していいんじゃね？ｗ
もちろん、知って置いた方がいいけど。

白玉3個、赤玉6個が入っている袋から、玉を1個取り出し、色を調べてからもとにもどすことを7回繰り返すとき、次の確率を求めよ。

(１)7回目に3個目の白玉が出る確率
(２)4回目に2個目の赤玉が出て、7回目に4個目の白玉が出る確率

この問題が分かりません。解説していただけると大変助かります!

数学Aの教科書、反復試行の項を熟読すべし

>>583
色々見てみたんですが、イマイチ分かりません。

>>582
(1)
６回目やった時点で６つの内2個白玉かつ７回目が白玉だから
P = C[6,2]*(3/9)^2*(6/9)^4 * 3/9
(2)
(1)と同じように考えて
３回目までで赤1白2かつ四回目が赤，6回目までで赤3白3，７回目で白だから
P = C[3,2]*(3/9)^2*(6/9) * (6/9) * C[2,1]*(3/9)*(6/9) * (3/9)

イマイチわからんと言われても、ここは基礎事項を丁寧に解説するようなスレじゃない
自分でやって、わからなければ友達か先生に聞くのが良いよ

>>585
解説ありがとうございました。助かります。

>>586
申し訳ありません。初めてなものなので、ご指摘ありがとうございます。

>>587
もうちょっと簡単なところからきちんとやった方がいいと思うよ。すげえ遠回りなことをやってると思う。
http://news.livedoor.com/article/detail/4981710/ これのB層のやり方をやってると思う。

＜問題＞
x^2 - 2x(cosθ) + 3(sinθ)^2 = 0　が実数解を持つとき、
θの範囲を 0°≦θ≦90° で求めよ。

＜解答＞
判別式 D = 4{(cosθ)^2 - 3(sinθ)^2} = 4{1-(sinθ)^2 - 3(sinθ)^2}
= 4(1 + 2sinθ)(1 - 2sinθ)
2次方程式が実数解を持つとき、D≧0 なので
　(1 + 2sinθ)(1 - 2sinθ) ≧ 0

※ここで、sinθ≧1/2，sinθ≦-1/2
0°≦θ≦90°なので、sinθ≧0
よって、sinθ≦-1/2 は不適
sinθ≧1/2　→　30°≦θ≦90°
とやるのは間違いだという理由を教えていただけますでしょうか？

※正しい解答は、
0°≦θ≦90°より、sinθ≧0 であるから、(1 + 2sinθ) ＞ 0
よって、D≧0 となるのは、(1 - 2sinθ) ≧ 0 から、0≦sinθ≦1/2
したがって、0°≦θ≦30°
となってます。

(1 + 2sinθ) と (1 - 2sinθ) の正負を考えるとそうなるのは納得出来るんですが、
sinθ≧1/2，sinθ≦-1/2 から 30°≦θ≦90°とするのは、なぜ間違いなのかなと…

>>589
(1 + 2sinθ)(1 - 2sinθ) ≧ 0　の解がそもそも間違ってる。
正しくは-1/2 ≦ sinθ ≦ 1/2

sinθ≧1/2　ってどこから来たの
不等号の向き逆じゃね

>>590-591
(x + 1)(x - 2) ≧ 0 の場合は、x≦-1，2≦x というふうに2つの解の外側になりますよね？
同じように、(1 + 2sinθ)(1 - 2sinθ) ≧ 0　のときは　sinθ = ±1/2　の外側ということで
sinθ≧1/2，sinθ≦-1/2 にならないのかなと思ったのですが・・・？

教科書嫁

>592
そういう考えでいくと
(1 + 2sinΘ)(1 - 2sinΘ) ≧ 0
⇔(sinΘ + 1/2)(sinΘ - 1/2) ≦ 0
と変形するんじゃないかな

不等号の向きがどうこうではなくて、出てきた条件内の適当な値を代入してみて不等式を満たすか確認すればいいよ
たとえば、sinΘ = 1とか
(1 + 2sinΘ)(1 - 2sinΘ)|sinΘ=1
= (1 + 2)(1 - 2)
= -3 ≦ 0
出てきた条件が明らかにおかしいとわかる

まぁ、領域の問題だからグラフ書けば一発なんだけどね

>>594
ありがとうございました。全部つながりました。

数Aの多項定理についてなのですが

｢指定された項の係数は同じものを含む順列の数として考えろ｣
(a+b+c)^n=(a+b+c)*(a+b+c)*･･･*(a+b+c)
それぞれabcのいずれかをとりそれらを掛け合わせて和を作ると展開式になる

とチャートに載っており、理由がよくわかりません
なぜそれで係数が出るのでしょうか？

>>596
かけ算の順序を交換せずに展開するとこうなる。
(a+b+c)^3
= (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
= a(a+b+c)(a+b+c) + b(a+b+c)(a+b+c) + c(a+b+c)(a+b+c)
= aa(a+b+c) + ab(a+b+c) + ac(a+b+c)
+ ba(a+b+c) + bb(a+b+c) + bc(a+b+c)
+ ca(a+b+c) + cb(a+b+c) + cc(a+b+c)
= aaa + aab + aac + aba + abb + abc + aca + acb + acc
+ baa + bab + bac + bba + bbb + bbc + bca + bcb + bcc
+ caa + cab + cac + cba + cbb + cbc + cca + ccb + ccc

これをまとめると
a^2 b の項： aab + aba + baa = 3 a^2 b
abc の項： abc + acb + bac + bca + cab + cba = 6 abc
等

>>596
>>597さんのように展開したものを同類項でまとめずに掛け合わせる順番も変えずに書き出すときのことを考えると、
例えばa^2bの同類項は、
１つ目の(a+b+c)　２つ目の(a+b+c)　３つ目の(a+b+c)
　　　　　a　　　　　　　　　　a　　　　　　　　　　b
　　　　　a　　　　　　　　　　b　　　　　　　　　　a
　　　　　b　　　　　　　　　　a　　　　　　　　　　a
の3個あることになるが、これはaabを並べる並べ方と同じことをやっているってこと。

>>597>>598
ご丁寧にどうもありがとうございます
以前から理由が気になっていたので大変助かりました！

二項定理、多項定理って名前つけたのが間違いな気がしないでもない。
たいそうなものっぽく感じられちゃって、数学苦手な人はそこで思考停止してしまっているような。

omaedake

こりゃ失礼した

「○○○であることは、△△△であることの
必要十分条件であることを証明せよ」
という問題では、
（１）「○○○ならば、△△△である」ことと、
（２）「△△△ならば、○○○である」こと
を証明の中で示す必要がありますが、問題文と同じような内容を
２度も記述するのは疲れるので、（１）や（２）を簡潔に
区別する表現があれば教えて下さい。

以前、「→を証明する」とか、「←を証明する」みたいに、矢印の
方向で（１）と（２）を区別している証明を見かけましたが、あ
まりにも俗っぽいので、正式な言い回しがあれば知りたいです。

>>603
「『○○○』をA、『△△△』をBとする」と宣言して
「『AならばB』を証明する」「『BならばA』を証明する」等と書いたら？

>>603　最初に、問題文中に使われていないアルファベットで名前をつけちゃう。
「p:○○○であること q:△△△であること、とする。
　(1)pならばqであることの証明： (または p⇒qの証明)
　　…
　(2)qならばpであることの証明：
　　…」
てな感じ。センターでの論理に関する出題でもこういう記号法は使われてる。

>>604, >>605
ありがとうございました。参考にします。

必要条件であることの証明
十分条件であることの証明

でいいじゃないか

カッコして(必要性)とかてかいときゃいいだろ

>>607
非常にスッキリしていますね。
でも、その書き方で、どっちからどっちを証明するのか、
伝わるのでしょうか。たとえば、「必要条件の証明」
と書いたとき、>>603の(1)と(2)のどちらの証明を指すのでしょうか？

>>608
（必要性）と書いた場合に、>>603の(1)と(2)のどちらの証明を
指すのでしょうか？

>>609
(1)は(2)の必要十分条件
(必要)：(1)→(2)
（十分）：(2)→(1)
普通はこうだな

次の行列の階数を求めよ

　([1, -1, 1],
　 [2, -3, 1],
　 [-1, 4, 2])

どう行基本変形しても [0, 0, 0] になる行が無くて rank(3) だと思うんですが
答えには rank(2) と書いてあります

なんでですか

>>610
(1)ならば(2) ⇔ (1)は(2)の十分条件
(2)ならば(1) ⇔ (1)は(2)の必要条件
では？

>>611
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Eigenvalues[{{1%2C-1%2C1}%2C{2%2C-3%2C1}%2C{-1%2C4%2C2}}]

>>613

な、なんだこれは
僕は初級者でガウスの消去法というやつしかわからないんですが
それだけで階数を求められますか（＠＠；

>>611
(2行)-2*(1行) = [0,-1,-1]
(3行)+(1行) = [0,3,3]
で行けるんじゃないの？

>>615

ああ行けましたね……どうもすいませんでした

>>612
ごめん。逆だった

次の関数のとり得る値の範囲を求めよ。ただし、0≦x＜2πとする。

(1)y = sinxcos{(π/3)-x}

この問題が解答の(√3/4)-(1/2)≦y≦(√3/4)+(1/2)にならないので教えて欲しいです

以下自分で出した計算式です

1/2[sin{x+(π/3)-x}+sin{x-(π/3)+x}]
y=1/2[sin(π/3)+sin{2x-(π/3)}]
y=(√3/4)+(1/2)sin{2x-(π/3)}・・・(1)

0≦x＜2π より
0≦2x＜4π
-(π/3)≦2x-(π/3)＜4π-(π/3)
-(π/3)≦2x-(π/3)＜(11/3)π
-√3/2≦2x-(π/3)＜√3/2

(1)の2x-(π/3) をtとおき、

y = (√3/4)+(1/2)t

tに-√3/2、√3/2を代入して

0≦y＜√3/2

>>618
> y=(√3/4)+(1/2)sin{2x-(π/3)}・・・(1)
グラフを描いてみろ

定義域の端っこが最大最小を与えるとは限らないって何回出たかな
-π/3 ≦ θ < 11*π/3　のとき
-1 ≦ sinθ ≦ 1　だろ？　一周以上回転するんだから・・・

>>618
> (1)の2x-(π/3) をtとおき
だったら
> y = (√3/4)+(1/2)t
じゃなくて y = (√3/4)+(1/2)sin(t) だろう。

(2＋x)^2を展開したときのx^4の項の係数と、(1＋x)^6(2＋x)^6を
展開したときのx^3の項の係数を求めよ。

解説読んだけど一行目から全く分かりませんorz
なんだか一般項というものをどうにかするらしいのですが。
どなたか求め方をおしえてください。

>>622
> (2＋x)^2を展開したときのx^4の項の係数
これぐらい展開しろよ。

>>623
ご指摘ありがとうございます。
つけ忘れていましたが、知りたかったのは展開しないで求める方法です。

>>623
えっ？問題オカシイとか思わない？

>622
数字の入った箱があると考えてみればいい
箱A[1, x], 箱B[2, x]と与えて
箱Aから1をa個, xをb個, 箱Bから2をc個, xをd個取り出すことを(a, b, c, d) = (C[a+b, b]1^a x^b)(C[c+d, d]2^c x^d)とおく、C[n, m]はコンビネーション
x^3になればいいので、b + d = 3となるような組み合わせだけ考えればよい
このとき、(a, b, c, d)は、x^3の項を求めていることに他ならないので、足しあわせればよい

(6, 0, 3, 3) + (5, 1, 4, 2) + (4, 2, 5, 1) + (3, 3, 6, 0)
= (C[6, 6]1^6 x^0)(C[6, 3]2^3 x^3) + (C[6, 5]1^5 x^1)(C[6, 4]2^4 x^2) + (C[6, 4]1^4 x^2)(C[6, 5]2^5 x^1) + (C[6, 3]1^3 x^3)(C[6, 0]2^6 x^0)
= 160x^3 + 1440x^3 + 2880x^3 + 1280x^3
= 5760x^3

よって、x^3の係数は5760
確認はしていない

>>626　正解

>>625
ちゃんと答がある問題では？

>>628
最高次数2なのにx^4の係数はオカシイだろ。
^12とかの間違いじゃないか。

その式で言えばx^4の係数は0だろ
別におかしくない

>>630
安易すぎね？
>>622が間違えてると考えるほうがありそうなんだが。

>>626
正解です!解説ありがとうございます!

http://deaimuryou.matrix.jp/up/src/up5838.jpg
すみません、教えてください。
画像が必要なので上げました。
中心はZに
八角形の頂点にI,J,K,L,M,N,O,P
と置きました。
答えは2/3です。

△EZOを作ると八角形の一つの△IZOは△EZOの1/3
△EZOは辺IZが1、辺ZOが1/2なので面積は1/4
△IZOの面積は1/12
よって求める八角形の面積は8/12＝2/3

自分のやり方は
△IZOの面積は　1/2・1/2・1/2・sin45°＝1/8・√2
これが8個あるので8・1/8・√2＝1/√2
となってしまいます。
どこがおかしいのでしょうか？

単純な質問ですみません

xa=a

という方程式があったときに
x=1
としたいですが
a=0である可能性も否定できないので

答え：解けない

となりますか？

それともそのまま

答え：x=1

としてしまってよいものでしょうか

よく分からないので教えてください。

>>633
△EZO∽△CDOを考えると
ZO=(√2)/3になるよ

>>634
xa = a
⇔a(x-1) = 0
⇒　a = 0 または　x=1

>>633
ZOは1/2ではないんじゃないか
これ正八角形じゃない

>>634
a=0も答えに入れることで解決するんですね！
ありがとうございました

立体の展開図のところで
正八面体の展開図をどうしても頭の中で組み立てることができません・・・

何かコツってありますかねぇ？

1/2*{log(√2+1)/(√2-1)}=log(√2+1)

この変形が分らないんで教えてください。

>>634
a=0のときはxが何であってもこの方程式はなりたつので、
方程式の解としてはxは任意、ということになる。
xに具体的な値を入れておくなら、特にx=1としておいもよい。
結局、aがなんであっても、x=1としておけば、常に方程式はなりたつ。
(解として)x=1が確定する、という意味ではない。

>>640
(√2+1)/(√2-1) = (√2+1)^2/((√2-1)*(√2+1))
= (√2+1)^2

1/2*{log(√2+1)/(√2-1)} = 1/2*log((√2+1)^2) = log(√2+1)

>>634
>>636
xa = a
⇔　a(x-1) = 0
⇔　a = 0 または　x = 1
よって、
a＝0のとき xは任意
a≠0のとき x = 1

>>633です。
>>635&>>637
ありがとうございます！わかりました。
正八角形と思い込んでやってました。
たしかに対辺のそれぞれ半分が違いますねえ。

数nが素数でなければ、ﾙｰﾄn以下の素数で割れなくてはならない。
っいう定理が成り立つ理由がよく飲み込めません。
教えてくださり

>>645
√nより大きい素数同士なら2つ掛け合わせただけでnより大きくなってしまう。
だから、nが何かの積ならそのうちの少なくとも一つは√n以下。

>>645
もしかして、頭の中で定理の主張を、√nより大きい素数では割れない、と補完してるんとちゃう？

ヒント：\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n

>>647>>646
そうそうそうなんです、
一つの数がﾙｰﾄエヌ以上でも成り立つのではないかと思って。
別にいいのかな。

>>649
100=2*2*5*5
√100=10以上の素因数は無い。

>>650　なにを主張したいのかわからんなあ
6=2*3
√6以上の素因数がある

>>649
14=2*7
√14=3.74... < 7
何か疑問でも？

>>645
>>650,651 をまとめると、√n 以下の素因数は必ずあるが √n 以上の素因数はある場合もない場合もある、というのがの定理の意味ね。

>>649
√n以上の数で割ったら残りは√n以下だろ。

>>645
背理法で証明したら？
n = p*q, (p, q > √n)
となる素数p, qが存在する仮定すると
n = p*q > √n * √n = n
∴　n > nで矛盾　　　□

lim_[n→∞][(5・3^n)/{3^n+(-2)^2}]

を分子と分母に3^nを掛けて

lim_[n→∞][5/[1+{(-2)^n/3^n}]]

(-2)^n は負の数と正の数を取るから振動だと思うんですが
極限値が５になる理由を教えたください

×　を分子と分母に3^nを掛けて
○　を分子と分母に3^nを割って

訂正です

>>656
(-2/3)^n→0

5人がじゃんけんをしてあいこになる場合の数を

5人とも同じ手:3通り

XXYYZのようなパターン:
Xの手を出す人の選び方:C(5,2)=10(通り)
この人が出す手の選び方:3通り
Yの手を出す人の選び方:C(3,2)=3(通り)
この人が出す手の選び方:2通り
Zは自動的に決まる。
よって、10*3*3*2=180(通り)

XXXYZのようなパターン
同様にして、10*3*2*2=120(通り)

合計して、3+180+120=303(通り)

としたのですが、
全ての手の出し方:3^5通りを超えてしまいました…
どこで間違ってしまったのでしょうか

>>659
ダブりまくっている。
例えば、XXYYZのとき
Xの手を出す人がABでこの人が出す手がグー、YがCDで手がチョキ、Eがパー
XがCDで手がチョキ、YがABで手がグー、Eがパー
など、同じパターンをダブって数えている。

>>659
2,2,1のような場合、2,2,の出す手を二重に数えてしまう誤りに気をつけなければならない。

5人というのは区別のある5人なんだろうな
結果だけアイコになる数じゃないよな

あいこにならない場合を引いた方が間違いにくそう。

どちらかを固定しておけ、ということだな。

質問です。

赤球2個　青球2個　白球3個の合計7個から
無作為に4つ選ぶとき、それぞれ1個以上含まれてる確率は？

という問題なのですが、赤青白から1個ずつ取って、残りの4個から1個選ぶという考え方で
2C1*2C1*3C1*4C1としました。これは何故間違っているのでしょうか？

ちなみに解答は24/35で、赤が2個、青が2個、白が2個の場合と
それぞれ分けて計算し、足していました。

>>665
ダブるじゃん、それだと。
赤aを2C1で選んで赤bを4C1で選ぶ場合も数えているし、赤bを2C1で選んで赤aを4C1で選ぶ場合も数えている。

>>659
153

考えたけど分かりません。どなたか回答をお願いします。

２桁の連続する９個の自然数のうち、少なくとも１個は
各桁の和で割り切れることを示せ。

「各桁の和で割り切れる自然数」を別の言い方で表せれば答えが見えてくる

>>668
91〜99だとどうなの？成り立つの？

nは自然数とする。n^2-21n+90が19の正の倍数となるようなnの最小値と、
そのときのn^2-21n+90の値を求めなさい。

お手上げ状態です。教えてください。

n^2-21n+90=(n-6)(n-15)　で　19　は素数

tan(θ/2)=ｔとおくとき
sinθ=2t/(1+t^2)　cos=(1-t^2)/(1+t^2)となる
過程を教えてください。

>>673
右辺のtにtan(θ/2)を代入して倍角の公式を使って左辺を導けば分るだろう。

>>674
sinθ=□　cosθ=□
のような穴埋め問題なんですが
この場合はどうすればよいのですか？

>>673
単位円x^2+y^2=1の円周上の点をP(cosθ,sinθ)とする。
点A（-1,0)とPを結ぶ直線の方程式は　y=tan(θ/2)(x+1)　である。
x^2+y^2=1とy=t(x+1)を連立して解くと
(-1,0)と((1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2))が得られる。ただし、t=tan(θ/2)である。
よって、sinθ=2t/(1+t^2)　cos=(1-t^2)/(1+t^2)　である。

>>675
>>673の結果を暗記しておけ。

>>675
じゃあ過程必要ないし答え出てるじゃん

>>677>>678
そうなんですが、
どうすれば出るのか解らなかったので聞いたんです。
>>676のやり方が一般的なんですか？

一般的であることの何が重要なんだ？
大体、>>673の右辺から左辺への変形はやってみたのか？
一度やれば、左辺から右辺への変形など何ほどのこともなく実行できるだろう。
やっていることは
sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)、cosθ=(cos(θ/2))^2-(sin(θ/2))^2　と
(cos(θ/2))^2+(sin(θ/2))^2=1を使うことだけだ。

sinθ
=2sin(θ/2) cos(θ/2)
=2tan(θ/2) cos^2(θ/2)
=2tan(θ/2) / (1+tan ^2(θ/2))
=2t/(1+t^2)

いざとなればパズル的に左辺を変形して式を作れる
cosθは自分でやるように

>>672
n^2-21n+90の解が素数ではない（6と15である）から
n^2-21n+90が19の正の倍数となりえない
ということですか？

>>682
違う。
(n-6)(n-15)が19の倍数ならn-6かn-15のどちらかが19の倍数ということだ。
そのうち、正の数で一番小さい場合は、n=25になるということ。

1辺の長さが１の正方形R[1]に内接する円をC[1]とし、C[1]に内接する正方形を
R[2]、R[2]に内接する円をC[2]とする。このようにして、次々に接する正方形と
円をR[1]、C[1]、R[2]、C[2]、R[3]、C[3]、・・・とつくっていくとき、円の面積の
総和を求めよ。

円C[n]の半径をr[n]とすると、右の図から、円C[n+1]は、円C[n]の半径r[n]を
用いて、r[n+1] =(1/√2)r[n] (n=1,2,3,・・・)
となる。円C[1]は１辺の長さが１の正方形R[1]に内接するのでr[1]=1/2
ゆえに、数列{r[n]}は初項1/2、公比1/√2の等比数列である。

半径r[n]の円の面積はπ(r[n])^2であるから

(r[1])^2 = 1/2、(r[2])^2 = 1/4　、　・・・　

よって数列{π(r[n])^2}の初項は1/2、公比は1/2である

Σ_[k=1,∞]{π(r[n])^2} = (1/2π) / {1-(1/2)} = π



参考書の解答はπ/2になっていました。間違ってる所を教えてください

>>679
あなたの問いは
　任意のアフィン多様体は有理パラメータ表示を持つか？
ということですね？
　(ここでは、単位円の方程式 x^2+y^2=1 をパラメータｔで表現できるか?)

答えは、ほとんどのアフィン多様体は有理パラメータ表示をもちません。
一般的に、アフィン多様体が有理パラメータ表示をもつかどうかの判定もできません。

>>684
r[n]^2　は　初項；1/4、公比：1/2だろ。

>>680>>681
やっと理解できました。
ありがとうございます。

>>683
すいません　19　は素数　と強調した理由がわからないんですが
素数ではない場合とどう違うんでしょうか。
それと答えは　
nの最小値は25　その時のn^2-21n+90の値は190
でしょうか？

>>688
素数の性質として次は極めて重要であると思え。
(a | b は、aはbを割り切るという読む)

p：素数, a, b：整数 に対して

p | a・b ⇒　p | a または p | b

素数でない場合、たとえば6の場合
6は2・9を割り切るが、6は2も9も割り切らない。

>>685
で？

>>691
陰関数表示をパラメータ表示する一般的方法はない
という意味だが何か？

誰が一般の場合を聞いているんだ。天の声か。

問題の意味を考えずに、ただ手を動かすのはただのサル

狭い世界で朽ちて行けばいいよ。

asso

>>689-690
大変詳しい説明ありがとうございます
2・9は内積？でしょうか、2*9なら理解できますが
内積についてはまだよくわからないので...
長らく失礼しました。

確かに数直線上におけるベクトルの内積と考えても語弊はない
まあ意味は×と一緒で、便宜上省略して書いてるだけ、深い意味はないと思う

確率の問題について

袋の中に赤玉3個、黒玉1個、白玉1個あるとする。
この中から2個同時に引き抜く時、2個とも違う色である確率は？
なんですけど

まずは全体の通りを出すと5C2=10
そして、赤玉を取り出す通りは3C2=3
他の色はどのように計算すればいいでしょうか？

赤１つを取り出すのが3C1
黒１つを取り出すのが1C1
掛けてあげて3通り

赤黒　3C1*1C1=3

赤白 3C1*1C1=3

白黒 1C1*1C1=1

3つ足して7通りですか？

他の色ってか答え出すだけならそんなこと考えなくてもよさそうだが
赤3黒1白1なら取り出した２個がともに赤である以外なら
どんな組み合わせでも2個とも違う色なんだから
1 -C[3,2]/C[5,2] = 1 - 3/10 = 7/10

赤1*赤2　赤1*赤3　赤1*黒　赤1*白
赤2*赤3　赤2*黒　赤2*白
赤3*黒　赤3*白
黒*白
の10通りの内違う色の組み合わせは7個だしあってるはず

>>701
全部書き出してみればわかるよ。全部で10通りしかないんだから、手を動かそう。

>>701
それで分母と分子が同じになるでしょ
自信持ちなよ

>>703
いやそうなんすけど、CかPを自在に使えるようにしないと

>>704
へ？

>>705
いや、とりあえず一通りでも解き方がわかったんだったら、検算方法には>>703みたいな地道な方法をお薦めするよ

>>706
どうもすんません
でもそれはパターンが少ない時はそれでいいすけど、何十通りとかになったら
PとかC使わないとしんどくならないすか？

しんどいから使うけど
確率ってのは間違いやすいんだよ
難しい公式がない分、理解力を高めておくが吉
円順列とかネックレスとか裏返すと重複になるとかね
数式化が難しいし用心深く解かないとコケちゃう

遅くにすみません。

(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2の不等式を使って、0<x<1のとき、数列{n(x^n)}が0に収束することを示せ

相加平均と相乗平均の大小関係を利用するとなっていて…
解答は
両辺の逆数をとって
1/(1+h)^h<1/[nh+{n(n-1)/2}h^2]、x=1/(1+h)
となってるんですがお手上げ状態です…どなたかお願いします。

>>709
相加相乗平均をどこで使うのか分かんないけど
0<n(x^n)=n/(1+h)^n≦n/[1+nh+{n(n-1)/2}h^2]=(1/n)/[1/n^2+h/n+{(1-1/n)/2}h^2]→0 (n→∞)

ええと、、
もうちょっとわかりやすくお願いできますか…？
ほとんど理解できてない範囲なのに板書にあたってしまってて…

>>711
何がわからないんだい？

あ…何回も書いてみたらなんとかわかってきました。

>>712
こんな遅い時間にありがとうございました。

1辺の長さ1の正三角形PQRの内接円C[1]の中心をO[1]とする。円C[1]と２辺PQ、PR
に接する円C[2]の中心をO[2]とする。次に、円C[1]とC[2]と辺PRに接する円C[3]
の中心をO[3]とする。円C[i]の半径をr[i]とする(i =1,2,3）。このとき
、r[1]=（ア）、r[2]=(イ）である。また、点O[i]から辺PRに下ろした垂線と辺
PRとの交点をH[i]とする（i = 1,2,3)。 線分H[1]H[3]、H[2]H[3]の長さをそれぞれ
l[1]、l[2]とする。このとき、l[1]+l[2]=(ウ)、l[1]^2=(エ）r[1]r[3]、l[1]/l[2]
=(オ)、r[3] =（カ）である。


O[1]は三角形PQRの重心であるからr[1]=(√3/2)×(1/3) = (√3/6)

r[1]-r[2] = (r[1]+r[2])×(1/2)であるからr[2]=(1/3)r[1]=(√3/18)


＞r[2]=(1/3)r[1]=(√3/18)
なんでr[2]がr[1]の1/3なのか教えてください

>>714
r[1]-r[2] = (r[1]+r[2])×(1/2)
を整理するだけ

出ました
ありがとうございます

>>707
実際の受験問題ではしらみつぶしが出来るようなものは少ないだろうけど、
その時でもしらみつぶせるくらいに問題を簡略化して確かめることが出来ればその方針でよいとわかる。
確率は面白いんだけど、思い違いに気づきにくい。思い違いしたまま検算しても同じ間違いをするだけ。
思い違いに気づくにはしらみつぶしと比較するくらいしかないから、可能ならやるべき。
問題の意味合いを変えずに簡略化するのは理解が深まっていないと出来ないが、
簡単な問題をしらみつぶす作業を繰り返すことは、ああ、こういうことをやっているのかと理解しやすくする手段の一つ。
出来るようになった人たちは、一部の天才の除けば手を動かしまくっているはずだよ。

僕高２なんですけど京大東大の二次の問題とかあと何年勉強しても解けるようになる気がしないんですけど合格者の人は受験前には余裕で解けるレベルに達しているものなんですか？

スレチ
受験板へどうぞ

http://www.ops.dti.ne.jp/~gwe480/mt/mt82/mt8201.html

この問題の解法ですが、半径1/nの外接円の中心の成す円の円周:2(1+1/n)π=An×2/nという感じで答えのπを導出しても大丈夫ですか？

>>720
極限では等しくなるかもしれんけど
一般的に成り立つ式じゃないからちょっと怪しい

半径1の円の中心を原点として半径1/nの円を１個外接させたとき
原点を通る半径1/nの円の接線をひいてそれに垂線を下ろして
相似からはさみこみするんじゃないかなー　と予想してみる

以下東大の有名な過去問ですが，塾の先生によると背理法でない解法があるらしいです．
調べてみましたが見つかりませんでした．どなたか知ってる方，もしくは分かる方いませんか？

--------------------------------------------------------------------------------
【問】
容器1 リットルのm 個のビーカー(ガラス容器) に水が入っている．m ≧ 4 で空のビーカーは無い．
入っている水の総量は1 リットルである．またx リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，そ
の他のビーカーにはx リットル未満の水しか入っていない．
このとき，水の入っているビーカーが2 個になるまで，次の (a) から (c) までの操作を，順に繰り返し行う．

(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ．
(b) さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ．
(c) 次に，（a）で選んだビーカーの水を（b）で選んだビーカーにすべて移し，空になったビーカーを取り除く．

この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは，
そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

(1) 省略

(2) x ＞ 2/5のとき，最初にx リットルの水の入っていたビーカーは最後までx リットルの水が入ったままで
残ることを証明せよ．

>>723
最初にxリットル入っていたビーカーをxと呼ぶ。
x以外のビーカーに入っている水の合計は3/5リットルより少ない。
x以外のビーカーが3つ以上あるときは、1/5リットル未満のビーカーが2つ以上あるので、
一連の操作で2/5リットル以上のビーカーが出来ることはない。
従って、xが(a)または(b)で選ばれることはないから、最後まで最初のまま。

> 1/5リットル未満のビーカーが2つ以上ある
これを証明しようとすると背理法になっちゃうか？

>>725
そもそも反例があるよ。
ビーカーが４つあって、それぞれ４．１ ２.１ ２.１ １．７デシリットルずつ入っている場合とか。
x以外のビーカーが３つの場合、そのどれか１つは(1-x)/3以上なので、残りの２つの合計は４デシリットル未満。４つ以上の場合は、任意の２つのビーカーの合計とそれ以外のビーカーの合計のいずれから４デシリットル未満。
という感じで証明すればいいんじゃないかな。

>>726
ああ、ほんとだ。簡便にしようと思って失敗した。

てす

m個のビーカーの内水の量がx�gでないのはm-1個で
1-x�gをm-1個で分けるんだよね？
今 x > 2/5 だから残りの水の量は　<　3/5
残りのビーカーの平均水量は =3/5*(1/(m-1)) < 1/5
(m-1)個のビーカーの内最大水量をyとすると　y >= 3/(5*(m-1)) >= 1/5　もちろん y<x
これを除いた残りのビーカーの総水量vは
v = 3/5 - y <= 2/5 < x
だから全部混ぜてもxより少ない
y, v < x より　必ずxは最後までそのまま　じゃだめかな
間違えてたらごめん

P(x)=(x^n+1)(x^2n+1)
Q(x)=(x+1)(x^2+1)　　とする

nが正の奇数のときP(x)はQ(x)を因数にもち
nが正の偶数のときはP(x)はQ(x)を因数に持たないことを示せ


だれか詳しい解説お願いします　

>>730
P(x)がQ(x)を因数に持つということは
Q(x)=0なるxにおいてP(x)=0となるということ

不定形ってことですか？

別にそんな話はしてない
P(x)がQ(x)を因数に持つということは式で表すと
P(x) = Q(x)*R(x) + 0
ということつまりはQ(x)で割り切れるってこと
だったらR(x)がどんな形が分からなくても
Q(x)=0ならP(x)も0になるはず
ならないなら因数でないってこと

>>733
なんとなくわかりましたが
R(x)が0でQ(x)≠0　のときもありえるのではないでしょうか？

>>730
P(x)にx=-1を代入して0になるならP(x)は(x+1)を因数に持つ（以下略

R(x)=0ならP(ｘ)=0じゃないか
P(x)=(x^n+1)(x^2n+1)≠0に反するのでR(x)≠0

>>734
Q(x)=0のときのことを考えているんだから、Q(x)≠0であることなどない。

>>734
R(x)はどうてもいいんだよ
R(x)はQ(x)の係数と考えろ

余りが0だからQ(x)=0でその時のP(x)（＝余り）も0だったら割り切れる

P(x)は(x+1)が因数ならP(-1)は0になる
これ因数定理の基本

http://up.mugitya.com/img/Lv.1_up124945.jpg
http://up.mugitya.com/img/Lv.1_up124946.jpg

もの凄く基本的すぎる数学の質問で申し訳ないんですが
これってB=をどのようにして導けばいいんですか？

>>740
1/(1/x) =x

だから1/A+b+C=1/A+B+Cになって　B=b

　　　　 　　　 　　　∩＿　
　　　　　　　　　 　〈〈〈　ヽ
　　　　　　　　　　〈⊃　　}
　　 ∩＿＿＿∩　 |　　 |
　　 | ノ　　　　　 ヽ !　　 !
　　/　　●　　　● |　　/
　 |　　　　( _●_)　 ミ／ こいつ最高にアホ
　彡､　　　|∪|　　／
/　＿＿　 ヽノ　/
(＿＿＿）　　　/

>>729
(m-1)個のビーカーの平均水量をtとすると、t以上の水量をもつビーカーは存在するけれど、t＜1/5だとして、1/5以上の水量をもつビーカーが存在するとは限らないよ。
だって、tは1/10かも知れないから。
tより大きいビーカーがあることから、２個の合計が2t未満となる２つのビーカーがあることを示す、という考え方ではいかがでしょう。

(1)
1/(b+C) = 1/B+1/C
1/B = 1/(b+C)-1/C = 1/(-C*(b+C)/b)
B = -C*(b+C)/b

(2)
A+B = 2*(A+B*C/(B+C)) = 2*A + 2*B*C/(B+C)
-A*(B+C) + B*(B+C) = 2*B*C
B^2 -(A+C)*B -A*C = 0
B = (1/2)*(A+C±√((A+C)^2+4*A*C))

xx

まんこ

>>723

x＋x(1)＋x(2)＋．．．＋x(m-1)＝1， x＞x(1)≧x(2)≧．．．≧x(m-1) とすると
x(1)≧｛x(m-2)＋x(m-1)｝/2， x(2)≧｛x(m-2)＋x(m-1)｝/2 ，．．．， x(m-3)≧｛x(m-2)＋x(m-1)｝/2 より
x(m-2)＋x(m-1)≦1−x−(m-3)・｛x(m-2)＋x(m-1)｝/2
よって x(m-2)＋x(m-1)≦2(1−x)/(m−1)＜2/5

2の答えは↓らしいんだけど
過程が分からないです

C(C-A)/(A+C)　

>>748
その答えあってる？
C=Aのとき　B=0だけど
もとの式だと　(A+B)/(A+B*C/(B+C)) = 1　で
合わないと思うんだけど

>>744に解答が書かれていても全く無駄なわけｗ
ほっとけよ。

>>749
すいません。
元々の問題は昨日行われた第三種電気主任技術者の理論10問なんですが
数学の基礎力がなくて式を立てられてもその式の変形の仕方が分かりませんでした。
ただ選択肢の中に二次方程式の解の公式を用いたようなものは
含まれていませんでした。
スレチでなければ明日その問題アップします。

電験ってことは合成抵抗かなんかかな

よく食塩水の濃度とか求める問題があって、普通は連立方程式使いますよね？
それで、食塩水に限らずこういった類の問題をスラスラ解けるようになりたいわけですが、
そのためには連立させるコツとかを理解する必要があると思うんです
そういうやり方というか基礎を身につけるならどのように学習したらいいですか？
連立方程式の仕組みを理解するしかないでしょうか？

ここは高校生スレなわけだが。

はあ・・・そうですか・・・

>>753
連立方程式使うってどういうこと？
例を出してくれると嬉しいが

>>753
問題文を数式として記述しなおす力。

>>756
どうもすんません
例えばつるかめ問題とか知ってますよね
あんな感じですよ
まあこれは流石に簡単ですぐ連立できるので例を出すまでもないと思いますが、
食塩水はいろんなパターンがあります
もちろん食塩水だけじゃないです
時間と速さ、道のりを使った問題もありますし

>>757
それどうやって鍛えれますか？
ひたすら色んなのを解くしかないでしょうか？

文中に現れる要素ことごとくに変数を当てはめ、文章記述をそれらの変数で書くだけ。
まず、それが出来なければ、なんにも始まらない。

>>747
済みません。
もう少し詳しく解説して頂けるとありがたいのですが．．．

a>b>cなら　a>(b+c)/2　という当たり前の不等式

>>747はあってるの？

小さい方の2つを足しても決して2/5に満たない、ということ。

厳密には帰納法ですか？

連立させるコツって言ったって
問題文が言わんとすることを数式で表しただけで
別に連立させたくて式を用意したんじゃないからな

すぐ上に対するレスでなけらばアンカー貼れよ、カス

>>764
帰納法というか、降下法だな。
m≧4なら、小さい2つを足しても2/5に満たない。よって、m-1の場合に帰着。
結局、m=4のときを示せば十分。
x＞x_1≧x_2≧x_3　とすると　y=x_2+x_3＜2/5
よって、最後のステップはx_1+yを行うことになり、xリットルのビーカーはxリットルのままである。

という理屈

>>723の塾の先生はこれを自力で解けたんだろうか？

問題を作った人に、どうやってみつけたのかを聞いてみたいものだ。
誰だろ？

東大はこの年だけ論証問題があったんだよな。

>>723 の問題って範囲的には中学校だよね。
大数でのランクではD****で模範解答は間抜けですな。

こういうのは難しいか簡単なのか意見が分かれると思う

>>772
「m≧4なら、小さい2つを足しても2/5に満たない」
ここだけだからな。
これを示せばよい、と気付けば簡単だし、
そうでなければ、何を示したら良いのか、途方に暮れるばかり。

すみません、とても基本的な事を聞くようで恥ずかしいのですが


平方根の問題で最後の答えが

-1-3√2/2と、問題集の解答にあるのですが、
-2-3√2では駄目なんでしょうか？


分数にしてある意味がわからないのですが

全然ダメと思うけど
どういう意味かこちらも分からない

>>774
簡単な数字に置き換えて同じことしてみ
１と1/2　和は3/2
各項を2倍してみる
２と１　和は3

分数にしてある意味うんぬんよりも
各項を2倍しといて答えを同じとか言う方がダメかと

>>776
馬鹿がえらそーにww
お前みたいな馬鹿は算数ドリルでもやっとれボケ

>>751
電験三種スレへ
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/lic/1283704692/

>>774
問題を書いてくれないとさっぱりわからない。
>>1以下をよく読んで。

問題集の答えが正しいのなら、それとは明らかに違う数である-2-3√2は間違いということになると思うよ。
問題集の答えが間違っていることだってあるけど。