数学基礎論・数理論理学のスレッド　その6

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論の質問スレッド その5
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1244375946/

スレタイ変えてみました

非古典論理について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
集合論について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1228995380/
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/


数学基礎論の質問スレッド
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170584559/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207899938/
基礎論なぜなにスレッド
http://cheese.2ch.net/math/kako/970/970523340.html
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/

良スレ保守

１乙

基礎論サマースクール2007の「集合論のブール値模型」について
ご教示下さい。

p20でのV^\veeの定義がよく分からないのですが、
普通クラスに対して行うように、
写像[[＊∈V^\vee]]を部分クラスのように思っているのでしょうか。

そう解釈すると、次の「VとV^\veeと同一視できます」の部分が
意味不明になってしまう気がするのですが。

「VとV^\veeと同一視できます」の V はGround Model のことで、
V[G]が今の Universe という意味ではないでしょうか？

必殺仕分け人の連ボーがこのスレを見たら多分こう言うだろう。
「なぜ高階述語論理がいるのですか？一階述語論理じゃダメなんですか。」
そして高階述語論理の研究費をカットしてしまうだろう。

高階先にたたず

sage

sage

お聞きしたいのですが、
クラスＸ及び同値関係(の公理を満たす部分クラス)
Ｒ⊂Ｘ×Ｘがあるとき、
集合のときの商集合に相当するようなクラス「Ｘ／Ｒ」は
構成出来るんでしょうか。

>>11
確かめてみればどうでしょうか。

数学基礎論というか論理学というものに馴染めません。
理論の中での役割が言語、論理、公理系、モデルなどに分離されていて、世界が
バラバラになってしまったような感じです。
公理系をとりかえて違う世界を扱うというのはOK。全部束ねてトータルではひとつの
数学世界に住んでる感じがするから。

>>12
ご回答ありがとうございます。
ただ、そもそも確かめる以前に、
「Ｘ／Ｒ」のようなものの存在証明、
またはこのようなクラスに相当する論理式の構成法が
分からないのですが。

>14
12 ではありません。
あなたは　X が集合のときに商集合を構成できるのですか？
また、その構成は何によっているのですか？
こういうことを確かめるべきなのです。
私の予想では、あなたは商集合の存在を聞いてしっているだ
けで上記のように、どう構成できるか考えてみたことがない
のだと思います。

俺は論理学と現実世界との対応に馴染めません。
「A→B」といった記号操作で計算できる真偽値と
「〜ならば〜である」 といった現実世界の真偽が一致するとか。
現実世界の仕組みを論理学として抽象化したんだよって事なら
１. 結局それは物理法則のような経験則なんでしょうか？
２. 宇宙(=世界?)とは無縁に論理は存在しているのでしょうか？

あと論理学の世界は一定の公理系から組み上げられているようですが、
３. 「公理系が記述可能」 であるための論理は何処にあるんでしょうか？
そんなメタ論理（？）があったとしてもキリが無い（メタメタ…論理）ように思えるのです。

>>13
>>16
それがわからないと困る理由を
哲学板へ行って熱く語ってください。

>>17
「わからない」
「困る」


誰も言ってないが・・・

普通の数学やるか哲になるかだな

>>19
基礎論、普通の数学、哲・・・
それぞれを異質なものと決め付けて分離しようとしないでくれ

>>11
NBGの強い選択公理があればそれぞれから代表元自体は取れるから
それで或る程度のことはできる。
でもクラスの集まり自体を新しい商クラスとすることはできないので
代表元についての議論で済まない場合はXやRの具体的な性質を使うしかない。

>>13
＞全部束ねてトータルではひとつの数学世界に住んでる
普通の数学では自覚的でないだけだと思います。

>>16
このスレで扱うのは「現実世界」ではなくて数学で使う論理なので。。

数学的真理は規約によって真理なのか？事実によって真理なのか？
とかそういうこと自体は結構昔からある有名な哲学上の議論ですが
いずれにせよ哲学の話だと思います

>>17 俺も 「困って」 はいない。ただ興味があるだけ。

>>19
上に挙げたようなのは
1. 基礎論の問題としては意味を成していない？
2. 普通の(＝一般の？)数学者はそんな事は気にしない？
3. それらに対して基礎論はある程度の答え(?) を出しているものなの？

>>21
哲ってなんか、ただの言葉遊びに思える。これは俺の偏見ね。

確かに偏見だね．

俺の偏見

〇〇〇か××× か？
数学：
公理系が違えば異なる数学があってもいいんですよ。 おしまい。

哲学：
〇〇〇派と×××派に別れて結論が付かない議論を繰り返す。
それぞれの派が、心理学や数学等の他分野からつまみ食いして最もらしい箔付けを付ける。
本人たちも結論が付かないのは承知していて 「俺今日もカッコいい事言えたｗ」 って悦に浸っているだけ。

公理系を決めないと何も言えないんですよ、
というのが許されるのは数学だけだからなあ。

>>15
ご返事ありがとうございます。でも、申し訳ないのですがまだ良く分かりません。
Xが集合のときは、Xの巾集合のある種の部分集合として
X/Rを構成していると思っていたのですが、
それでXがクラスのときにもこの構成が通用するか分からなくなったのですが、
もっと簡単な話なのでしょうか。

>>21
確かにNBGならそれで上手くいきそうな気がします。ありがとうございます。

哲学の中にもさまざまな立場があるんじゃないんですか？
ダメット、ドゥルーズ、ライト、ホワイトヘッド、フレーゲ、ガヴァイエスのような
数学が対象とするもの（点や空間や無限や連続や極限などが論点）を議論しているタイプと
ゲーデル、クリプキ、ラッセル、ロッサー、poolesのような
数学の手法（証明論や公理系や論理学）を議論しているタイプです

後者のほうは数学的な手法を用いていますが
やはり論理学や言語学の範疇にとどまるものだと考えられますね
重要なものは数学は自然数（ペアノの公理系）の存在を第一に仮定していることです

とはいえ、数学がどうだこうだというのは
我々21世紀の地球の文明レベルの分類方法に基づくもので、
最終的に全ての理論がプール=エル・クリプキの定理によって同型なのですから
哲学の全ての学派や論理学のあらゆる公理系および数学の全公理系が同等なんですがね

d>26
21 ではありません。集合のとき、巾集合を使うとすれば、クラスではそういうものが
ないのでこまります。それなのに　NBG だと何故うまくいってしまう気がするのでしょう。
NBG でうまくいくためには、あなたは集合のときでも、少し異なった証明ができていないと
おかしいと思いますが、、、。

あまり、つき合うつもりもないので答えを書いておきます。

各同値類のクラスのうちε−ランク最小の集合をとり Axiom E というクラス型の選択公理を
使うことで代表元を選べるので、その全体のクラスとして定義できる。後は勉強してください。

論理学の問題で分からないのがあります。
どなたか答えを教えて下さい。

〔1〕
�@反射性(Refl)は可能世界ωから可能世界ωにアクセスできるような関係である。
�A反射性(Refl)は可能世界ωから可能世界uにアクセスできるなら、逆に可能世界uから
　可能世界ωにアクセスできるような関係である。
�B反射性(Refl)は可能世界ωから可能世界uにアクセスでき、しかも可能世界uから可能世界τに
　アクセスできるなら、可能世界ωから可能世界τにアクセスできるような関係である。

〔2〕
�@様相理論Kで妥当な論理式はほかの様相理論T、Br、S4、S5でも妥当となる。
�A様相理論K以外の様相論理T、Br、S4、S5で妥当な論理式は、様相論理Kでも妥当となる。
�B様相論理Kで妥当な論理式はほかの様相論理T、Br、S4、S5では妥当とならない。

〔3〕
�@様相論理S5で妥当な論理式はほかの様相論理K、T、Br、S4でも妥当となる。
�A様相論理S5以外の様相論理K、T、Br、S4で妥当な論理式は様相理論S5でも妥当となる。
�B様相理論S5で妥当な論理式はほかの様相論理K、T、Br、S4では決して妥当とならない。

三択になります。
お願致します。

「代表元として選びうる元全体からなるクラス」って定義可能なんですかね

>>30
誰も、「選びうる」などと書いていない。「ε−ランク最小の集合」と書いている
ところの意味がわからなければ、もう少し、勉強しろということ。

様相論理とかさっぱり分からないのですが、
こうした基礎論は、他分野（代数幾何や関数論など）の専門家でも一通りの勉強(※)はしているのでしょうか？
そんなのは人それぞれでしょうが、２流、３流の学者さんのだいたいの平均で…。

※最新論文のチェックまではしないまでも、
学部レベル（〜入門の類）や院レベル（洋書でしか読めないような専門書）を読む程度の勉強

いくらなんでも代数幾何の先生が様相論理の一通りの勉強はしている
なんていうことは無いと思う。
というか様相論理は基礎論の専門家でも
ほとんど知らない人が多いんじゃないですか。

>>32
なんか上から目線なやつだな

>>34
ヒント： ここは２ｃｈ

で結局誰も答えれないと

＞で結局誰も答えれないと
「答えられない」

日本語基礎のスレへどうぞ．

哲板に様相論理スレあるぞ

様相論理を知りたいのか、単に荒らしなのか
分かりにくいなあ

そういや前スレで盛んに書き込んでた荒らしはどこいったんだろうな

>>39
様相論理が知りたいです。決して荒らしではありません。
〔1〕のReflについては�@番だと分かりましたが〔2〕〔3〕で悩んでおります。
宜しければご解答お願いします。

>>33
ありがとうございます。

>>34, >>39
私は >>29 さんとは別人です。紛らわしくてごめんなさい。
読み返してみると、ちょっとよくない文章でした。
私のほうは、基礎論は数学全ての土台になっているようなので、
全数学者必須の教養なのかなと思ったまでです。

「様相論理」は上の方で目についたので書いただけです。

>>42
>基礎論は数学全ての土台になっているようなので、

これが間違い。

全ての数学に共通の土台は作れるかというのが基礎論で
完璧ではないがそこそこの土台が作れたのが基礎論

どうやら「世界はひとつ」ではないっぽいので、それがどうにもショックです

>>45
あ、それはないです
なぜなら数学基礎論の研究自体に数学が用いられているからです
自然数なしで数学の基礎付けできないですから
まぁ数学に全体的な整合性を与えるのが基礎論の役目といえるでしょうね
上で言う様相論理も必然と可能性という「言語学的な解釈」が問題にされているだけで
構造的にはブール束と同型です
結局はじめに定理ありきなんですよ、数学は

>>40

夜逃げしたんやろ。

>>27

>とはいえ、数学がどうだこうだというのは
>我々21世紀の地球の文明レベルの分類方法に基づくもので、
>最終的に全ての理論がプール=エル・クリプキの定理によって同型なのですから
>哲学の全ての学派や論理学のあらゆる公理系および数学の全公理系が同等なんですがね

少し言い過ぎだと思います。数学に限っても、ユークリッド幾何、代数閉体の理論、
プレスバーガー算術などの決定可能な理論はペアノ公理やZFCとは同型にはなりません。
また、他の学問の論理については云う間でもなく同等にはならないと考えています。
例えば、法学に於ける論理はつまるところ説得と利益考量です。どんなに高度な理論を
構築したとしてもこの問題をクリアーするのは無理でしょう。少なくとも私には民法で
は子どもが母親から完全に露出しきらないと人として生まれたと認めないけれど刑法
では一部でも露出すれば人として生まれたと認めるような根拠を持てるような理論を
たとえ同型であったとしても数論の世界に構築出来るか非常に疑問です。
著名な数学者ラングが数学について、数学者から見れば極めてまっとうなことを、主張
したにも関わらず経済学者等からの大反発を喰らって職を辞さなければならなかったこと
を思い出せば、数学的に論理的に筋が通っていても、それは単に数学者の世界にしか通じない
と云うことです。ちなみに、インド哲学で有名な即非の論理はどのように定式化出来るので
しょう。

即非の論理：“ＡがＡである”のは“Ａ”が即“非Ａ”であるからである。

個人的は西田哲学や鈴木大拙は嫌いではないですね。絶対矛盾の自己同一とか
絶対的否定即絶対的肯定とか。ただ、これ以上は別のスレッドで・・・。

数理論理学を勉強し始めた者ですが、
>>48さんの書き込みを見て、一般教養の法律の授業の言葉を思い出しました。
その言葉は「法律の文章は、『〜でないことはない』のように書かれたものが多い」というものです。
法律の分野では「〜である」と「〜でないことはない」は、別モノだということです。

しかし数学の論理学の入門書にでてくる論理だと、Ａ＝非（非Ａ）です。
数学の論理と、それ以外（の一部ですが）の論理の違いを感じました。

>>49
そいつは荒らしだから無視した方がよい

人間はいつも「奇妙な」やり方で世界を認識するんです。
数学はそのひとつの流儀にすぎないんです。
どんな方法でも誰かにとっては奇妙なんで、それはどうにもならないんです。

>>49
法律でなくても同じです。
「〜である」と「〜でないことはない」は明らかに違います
「〜でないことはない」は少し工夫すると以下のように書けます。
「「〜でないこと」はない」
「〜である」ことの否定は「〜でないこと」です。
一方で「「〜でないこと」はない」とは「〜でないこと」という主張を否定しています。
今は論理には階層があるという考えが一般的です。
そして否定や言及はそれよりも低い階層に対してのみ成立します。
あなたの問題意識は論理学ではなく日本語に起因するものです。
英語ではThat構文など言及対象が別の階層に属することが明瞭になっています。
Ａ＝非（非Ａ）というのももっと厳密に理解する必要があります。
この主張自体に既に論理階層が複数混在しています。
これは「「Aならば非（非Ａ）」かつ「非（非Ａ）ならばA」」という意味です。
（非（非Ａ）にもさらに論理の階層がある。）
その法律の講義も論理の違いではなく、論理の適用の誤りです。

なんか果てしなく自演臭い

>>49 51
あまり脱線すると　50　からクレームが来そうなのでこの件についてはこれっきりに
しますが、個人的には様々な論理（数学だけに限らない）の並存と互いの矛盾について
今のところ一番納得が行った考え方はウィトゲンシュタインの言語ゲームによるものです。
１．世界は、無数の言語ゲームの渦巻きである。
２．言語ゲームの全体については、のべられない。
３．個々の言語ゲームについてなら、述べられる。
　　これを、論理学という。

数学も法学、経済、個々の哲学も一種の言語ゲームと
考え、それぞれに論理学がある。数理論理学はつまる
ところ数学についての論理学であり、通常の解釈と整合
的と思われる。

数学では理論と論理を区別するよ。

スレタイが読めないのか？

まー荒らしだからな。
前スレでもさんざんスレ違いを指摘されても書き込みしてたし
しかも内容も悉く頓珍漢だから手に負えない。

少しテクニカルな質問です。
Medvedev次数 0　ユークリッド幾何、代数閉体の理論、プレスバーガー算術などの決定可能な理論
Medvedev次数 1　ペアノ算術、 ZFC 集合論
それでは
Medvedev次数 r≠０，１　の具体的な例は？
多分、超越論的数学者さんはこの辺の話題が得意と見ましたが。

数学者は哲学で言う超越論的認識を証明とみなしません。

ほんと、お金が無ければお札を刷ればいいのに、みたいなやつは荒らし。

>>59
私は一度も超越論的認識を証明などといったことはありません。思ってもいませんし。
まさかとは思いますが58に書いた「超越論的数学者」が27のハンドルネームを指して
いることは認識されてますよね。
58の質問が荒らしだと言うならこのスレで意味のある質問とはどんなものか教えて下さい。
27が触れたプール-エルとクリプキの定理はゲーデルを驚かせたと云う有名な定理で私も興味
を持っていました。これがシンプソンによって「Medvedev 次数1 の実効的閉集合たち
の間には計算可能な同相写像が存在する．」と云う形に発展させられたと云うことや、
センツァーとヒンマンの結果から無限にMedvedev 次数があり、その次数の公理化可能理論が
あることはあなたも知っていることでしょう。しかし、私は素人なので０，１についての例は
それなりに成程と思えるのですが他の次元の例と云うのが思い浮かばないから聞いてみただけ
です。
まあ、私の書き込みが少し脱線気味だと云うのは認めますが、一応全く無関係なテーマにはし
ていないか、または他の人が興味を持っていそうな場合に限り限定的に書くようにはしていま
す。興味がなければ適当に無視していてくれれば良いのですが、中身も良く見ずに悪しざまに
いうこともないと思うのですが。私は別に人の悪口や政治信条を述べている訳ではないのです
から。
（こういうことを書くとまた１０倍になって罵詈雑言が来るんだろうな・・・本件はこれまで！）

「脱線気味だが一応関係があるか他の人が興味を持っていそうな話」は
前スレでおなかいっぱい

無意味な長文が延々と続くのは目障りだ

この厚顔無恥は一種の才能のような気がする

それでMedvedev次数って何？

メドベージェフ大統領のメドベージェフ次数は０
プーチン首相のメドヴェージェフ次数は１

期待させて申し訳ありませんが、私はこの分野を専門に研究しているわけじゃないんで
考えない人さんの興味を満たせるレベルの知識は多分ないです。

>>64
チューリング次数がアルゴリズムの解の複雑さの度合いを表現しているように
Medvedev次数もアルゴリズムの解を得るための困難さの度合いを示していると考えて良いと思います。
ある解の閉集合から別の解の閉集合への全射なアルゴリズムをMedvedev還元といいます。
このMedvedev還元による同値類をMedvedev次数と呼びます。
Medvedev次数が大きいほど解は複雑になります。
0は計算可能なもの全て、∞は空集合で解が存在しないと考えます。
ペアノの公理系やZFCなどの理論に関してはMedvedev次数の最大元が1になります。
Medvedev次数が1の理論同士には同相写像が存在します。
つまり全てのペアノ公理系の問題をZFCの問題に書き換えることが出来るのです。
他にもMuchnik還元、有界還元、学習還元などがあるそうですが詳しくは知らないです。
イメージだけで説明してしまい実効的閉集合とか創造的の公理を説明していませんが、
まずはチューリング次数の学習をしないと何を問題意識としているのかさえ
分からないと思いますので計算理論の本などで実効的とか決定性の意味を知るべきだと思います。

初歩的な質問すみません。
リンデンバウムの補題によれば「理論Kが無矛盾であるなら、Kの無矛盾で完全な拡大である理論Jが存在する」わけですが、
これって所謂ゲーデルの不完全性定理が適用できる形式的体系(たとえばペアノ公理系)にもあてはまるのでしょうか？
つまり、ペアノ公理系には証明も反証もできない命題が存在するけど、拡大してやれば完全になるのでしょうか？

>>67
Yes

>>67
No

>>67
Unknown

www

えー、結局どうなんでしょうか。
先程プロパーの方に聞いたら、ロッサーの不完全性定理より完全化は無理だと伺いましたが、細かいことは分からずじまいですわw

リンデンバウムの補題って云うといかめしいけれど要するに完全性定理をヘンキン流に
証明するときに出てくる極大無矛盾集合の構成のことを言われているのではないでしょうか。
だとすると、ペアノ公理系からそれを含む極大無矛盾集合は作れると思います。
しかし、それは第一不完全性定理とは矛盾しません。なぜなる、任意に与えられた論理式が
この集合に含まれるかどうかを判定するアルゴリズムがないからです。

少し補足しますと、極大無矛盾集合を構成するときの証明を見て頂ければ
もとの論理式の集合Γに全ての論理式（加算無限個）φ(１)、φ(２)・・・を
次々に付加していく様が判ります。
Γ（０）＝Γ、

Γ(i) Γ（i)∪{φ(i+1)}が矛盾するとき
Γ（i+1)=　　
　　　　　　 Γ（i+1) Γ（i)∪{φ(i+1)}が無矛盾のとき
（ちょっと、上の定義は細かいところを端折っている）
Γ（∞）＝∪Γ（i) これが求める極大無矛盾集合（たぶんあなたの云う完全拡大）
これより、あるφ(i)が肯定も否定もペアノ公理から導出出来ないときφ（i)はペアノ
公理に付加されます。しかし、φ(j) (j>i)がφ(i)の否定だったら付加されません。
ここで、φ(1),φ（２）・・・は超越的に決めらており、別の決め方も勿論OKでその
際はφ(i)の否定の方が付加されているかもしれません。このような決め方で作られた
Γ（∞）に個々の論理式が含まれるかどうかを判定するアルゴリズムがないことは容易
に理解して頂けますよね。

経験則として「可算」を「加算」と書いている文章の信頼度は低い。

>>67
73,74に納得が行かない場合は例えば「数理論理学」（鹿島亮　著）
の５．３極大無矛盾集合と６．５第一不完全性定理を読まれれば良いと思います。

ついでに、この本はクリプキモデルと中間論理と云うあまり邦書ではないトピック
を扱っており（だから買ったんですが）大変読みやすい良い本だと思います。
尚、本書は完全性定理はかなり気合を入れて書かれていますが不完全性定理の
方は難しいところは飛ばされており（本人もそう書いています）、精密に不完全性
定理の証明をフォローしようと思ったら別の本が必要でしょうね。後、自然数の扱い
も少し気になりましたがそれはまた別の機会に。

なるほど。解説ありがとうございます。

でも、まだよく分からないのが、以下のように極大無矛盾集合を構成するまでもなく、簡単に不完全性定理が成り立たない形式的体系を作れてしまう気がするんですよね。

無矛盾で自然数論が扱える形式系を考える。この形式系には、第一不完全性定理によって、証明も反証もできない命題φが存在する。そしてこのφ(もしくはその否定¬φ)をこの形式系に公理として付け加える。
すると、この形式系は無矛盾で自然数論が扱えるにも関わらず、完全になっている(？)。よって、不完全性定理は一般には成り立たない。


・・・でも、そんなわけないですよね。なんだか不完全性定理をちゃんと理解してないみたいです。難しいです。

Modal Logic に興味もって Chellas や Cresswell＆Hughes に手を出しかけたんですが、
そもそも、ちゃんとした論理学や基礎論が身についていないのに今更気づきました。
何卒、洋書で論理学や基礎論のお薦め本を教えてくださいませ＞＜

EndertonのA Mathematical Introduction to Logicなんかがいいんじゃないですかね。

>>79
早速の紹介ありがとうございます。
パラパラと見る限りは読みやすそうなので、じっくり読んでみようかと思います。

完全性定理を証明する際に、ヘンキン理論に拡大すること(つまり、定項記号(c1,c2,･･･)を付け加えて、さらに∃xφ(x)→∃xφ(c)を公理に付け加えること)はなぜ必要なんでしょうか？
どういう意図から、この操作が行われるのかがよくわかりません。

>>81
ヘンキン理論でなかったらどうなるか、証明を追ってみればわかる。

>>81
あなたの質問にぴったりと思われる回答が以下にあります。
「数学基礎論講義」（田中一之　著）　P34（「３．２ゲーデルの完全性定理」　の最後の方）

尚、この本では最初に次のような問題文を初心者向きに提示していてくれています。上記の解説
はこの問題の回答も兼ねています。
「問　ある形式体系Tにおいて、論理式∃Xφ（X)が証明できても、φ（t)が証明できるような項ｔ
が存在するとは限らない。そのような体系Tと論理式∃Xφ（X)の例をあげよ。」
著者は続けてこんなことを言っています。
「上の問題が出来ないとヘンキンの定数記号を用いた完全性定理の証明はなにをやっているのか
判らないと思う。」私も同感です。

電算機の基礎論への応用またはその逆の文献きぼん｡

Shoenfield の Mathematical logic を読むと次のことが書いてある。

言語 L 上の理論 T のモデルが存在するならば、
L を定数拡大した言語 L' 上の理論 T' で次の条件を満たすものがある。
1) T⊆T'
2) T' は完全
3) T' はヘンキン理論

逆に 1),2),3) を満たす T' があれば、T' の(したがって T) のモデルが構成できるというのが、完全性定理の証明の後半。
証明の前半が T から 1),2),3) を満たす T' の作り方。

>>77
なぜ、証明も反証も出来ない論理式がφ1個しかないと思われるのですか？
ペアノ公理系にこのφを付加した公理に対しても第1不完全性定理がそのまま
成立して、この公理内で証明も反証も出来ない論理式ψが必ずあることに
なりますよね。さらに、このψを付加した公理を考えても・・・以下同様
です。具体的にこのような論理式を付加して行っても第一不完全性定理を
満たさないような公理系が作れないことが判ったと思います。私が74で示した
のは「具体的ではなく」超越的にペアノ公理系を完全にする方法で、確かに
この方法で完全化することはできますがどの論理式がこの公理系に含まれる
のか判別できないから第一不完全性定理の前提条件を満たさないことになって
しまうのです。あなたへのアドバイスとしては完全性定理の「完全」と不完全性
定理での「完全」の意味の違いを良く確認されることだと思います。短い書き込み
だけの判断なので間違っているかもしれませんが、混同されているような気がしま
した。（ちょっと、きついこと言ってしまいましたね。）
私の説明が不足な場合は
「数学基礎論講義」（田中一之　著）６．１第一不意完全性定理の主張（１）を読
まれると良いでしょう。

>>86
あーなるほど。今、『数学基礎論講義』にも目を通しましたが、よくわかりました。
要は、公理の集合が再帰的であることを要請すると、「独立命題φを公理に加えて完全な理論にしよう」という目論見は上手くいかないのですね。

すみません。 集合論スレが過疎っているのでこちらでお伺いします。
ttp://evariste.jp/kagami/diary/0000/200608.html
↑こちらの方が笑い飛ばしている、
א_[n+1] = card( {0,1}^(א_[n]) )
って何が間違い・勘違いなんでしょうか？

普通に集合論の本読めばいいのに。

問　ある形式体系Tにおいて、論理式∃Xφ（X)が証明できても、φ（t)が証明できるような項ｔ
が存在するとは限らない。そのような体系Tと論理式∃Xφ（X)の例をあげよ。

これって普通のZFCだと定数記号が存在しないんだから
変数記号以外の項は存在しないわけで、
ωも空集合も2^ωも全部この t の例になるからほぼ自明なんじゃないかと
思ってたんですが、何か勘違いしていますでしょうか？

>>90

はっきり言って勘違いです。
φを定数記号に付加する前と後のZFCを別物だと云うならそれはそれで厳格に
言えば、そういうことも云えなくはないとは思いますが、少なくとも著者はそ
んな風には考えていないでしょう。

（例）証明も反証もできない文σをもつある算術の公理系Ｔを考えます。
　　　いま、Ｔは定数記号０，１を持っているとして、
　　　φ（ｘ）<->(x=0∧σ）∨（x=1∧¬σ）
　　　とおくと、
　　　T ｜- φ（0）∨φ（１）　　　　だから
　　　T ｜- ∃Xφ（X)∨∃Xφ（X)　 　すなわち
　　　T ｜- ∃Xφ（X)

しかし、T ｜- φ（t) となる項tはない。

ご理解頂けましたか？

余談ですがエルブランの定理が上の例と密接に関係しています。興味があれば
調べられたらどうでしょう。猶、エルブランはブルバキの初期（正確には発足前）
のメンバーでベイユにも比肩されるくらいの才能の持ち主でしたが、20代前半に
山で遭難して亡くなったそうです。もし彼が生きていればブルバキの構成は随分
変わったものになっていただろうと言われています。少なくともゲーデルに全く
触れないような基礎論を不当に軽視するようなことにはなっていなかったでしょうね。

>91
なぜ　90　が勘違いということになるのかわからない。
Henkin Construction は必要な要素に対応する定数記号を導入し、それからモデルをつくる
方法だから、90　が勘違いというよりは、あなたか本の著者の思い入れの問題だろう。

>90 に忠告。
考えない人の文章は、引用部分を除いては信頼度が低い。
特に、引用部分を解説した箇所の信頼度がとても低い。

>>91
はっきり言って勘違いです。

φ（t)が証明できるような項ｔが存在しないのに論理式∃Xφ（X)が証明できる、ってことは
直接的にせよ間接的にせよ∃Xφ（X)がどこかで天下り的に与えられているからだ。
「証明も反証もできない文σ」なんて、それをひねった形で持ち出してるだけだ。

>>94

エルブランの定理は調べてみましたか？
それでも納得が行かなければどう納得行かないかを示してみて下さい。

81です。みなさん、アドバイスありがとうございます。
上でも、まだウィットネスφ(t)のことが話題になってますが、ヘンキン理論の意義は以下のような理解で合ってますでしょうか？


まず、完全性定理(T|=φ　⇒　T|-φ)を証明するには「理論Tが無矛盾ならば、モデルをもつ」を証明できればいいわけですよね。
で、ここで与えられているのは、理論Tが無矛盾であるというSyntax的な情報だけです。
となれば、T|-φ、T|-¬φに注目してモデルMを構成したい、となります。そのためには、まずTが完全(つまり、任意の論理式はその肯定か否定を証明できる)であることが必要です。
そこで、理論Tを極大無矛盾理論T'に拡大しましょう。拡大する過程(>>74さんのやり方)で、もちろん∃xφ_1(x)、∃xφ_2(x)・・・もT'に含まれます。
モデルMが∃xφ_1(x)、∃xφ_2(x)・・・を満たすためには、定義よりM|=φ_1(c_1)、M|=φ_2(c_2)・・・を満たす定数記号{c_1,…c_n}が必要です。
しかし、言語に定数記号{c_1,…c_n}があるとは限らないです。だから、拡大する過程で新たな定数記号{c_1,…c_n}を加える必要があると。
また、∃xφ(x)→φ(c)を公理に加えていくのは、∃xφ(x)がT'に含まれていたら、MPによってφ(c)も証明できて、完全な理論になると。

ヘンキン理論の意義はこう考えればよいでしょうか？

>>95

>>91で出している例が納得いかないのじゃあない。
>>90に対して「勘違い」というのがお前さんの勘違いだ、と言っている。

>>96
>モデルMが∃xφ_1(x)、∃xφ_2(x)・・・を満たすためには、
定義よりM|=φ_1(c_1)、M|=φ_2(c_2)・・・を満たす定数記号
{c_1,…c_n}が必要です。

いいえ。必要ではありません。
言語 L 上の論理式 ∃xφ(x) を構造 M で解釈する際に、L を定数記号により拡張した L(M) 上の論理式 φ(c) を用いているのは、記述を簡明にするための便法と思ってかまいません。
自由変数への対象領域の元の割り当てを用いれば、論理式の解釈における言語の拡大は不要になります。

それから、理論を拡大する際に ∃xφ(x)→φ(c) を公理に加えておく方法は、ちょっと古めの方法です。
普通の証明はもっと場当たり的に ∃xφ(x) と c との対応を定めます。

>>97、90

勘違いと云うのは撤回します。

ただ、この例だとトリビアル過ぎて、著者が期待したものとはたぶん違っているのかな。
そういう意味では　９２　の云う通り、「思い入れの問題」、でしょう。

「理論Tが∃xφ(x) を証明するなら、T|-φ(ｔ)　となる言語Lの項ｔがすでに存在する
と考えるのは自然である。そして、もしもそうなら、言語をわざわざ拡張せずにLの項を
集めただけでも欲しいモデルが作れるように思える。・・・」

著者が「初心者の陥りやすい思い違い」と感じた部分でしょう。で、実際はそんな風にして
モデルは作れないわけだけれど、９１のような例を用意しておけばいくら定数記号だけ沢山
あってもだめだなと感じさせてくれるが、９０の例だと「初めから空集合φやωを定数記号
として用意しておけば良いじゃないか。」ですまされそうな気もします。

実際には、ヘンキンの定数記号もφやωでやるようなことを可算無限個の独立命題に対して
やるだけの話と言ってしまえばそれまでだけど。それが明らかに見える人にはこの本の　問
は必要ないでしょう。

一意的に存在するという理由で本質的でないといいながら、
一意的に存在する例を持ち出す馬鹿さ加減に気づかない。

要するにこういう話ね。

（問）代数幾何では非ハウスドルフ位相空間が重要なので非ハウスドルフ位相空間
にどんな例があるか考えておきましょう。

え、密着位相でしょ。自明じゃん。

勘違いじゃない？　この問の答えとしては。

どこが？

勘違いてわけじゃないけど、それじゃザリスキー位相の理解にゃ役立たんよ。

じゃあ、別の聞き方しろよ。

なんでもかんでも解釈の的を外すことにおいてはその特異な才能を感じる、が
数学やるには向いてないなぁ

>>101
ちょっと違う。(問)だけを次のように変更するとより近くなる。

（問）一般位相では非ハウスドルフ位相空間も扱うので
非ハウスドルフ位相空間にどんな例があるか考えておきましょう。

>98
古めもなにも、定数記号と、自由変数記号は、解釈の立場からは同じだから、
別に変わりはない。むしろ、その古めというやり方のほうが明解だろう。

>>104
公理に加える方法だと、理論の拡大を可算回繰り返す必要があるので面倒です。

「公理に加えておく方法」と書いたのは正確ではないですね。
∃xφ(x) に対し新しい定数記号 c を用意し、∃xφ(x)→φ(c) を公理として加える方法です。

>>98
自由変数を割り当てる方法は、例えば述語が非可算あればこまるから、言語を
拡大するのは、普通だ。

>>107
何か違う話をしていますね。
>98 の前半は論理式の充足関係の定義の話なので、言語の濃度は無関係と思いますが。

>>108
閣下、（a + b^n）/n = x　故に神は存在するのです。お引き取りください

『数学基礎論講義』では完全性定理の証明でヘンキンの定数記号を使っていますが、
P３３で追加する定数の濃度と言語の濃度が等しいことが明示されています。
（すこし端折った表現なので本を持っている人は確認して下さい。正確にかくと長くなる。）

個人的には、言語の拡大を全く行わない「数理論理学」（鹿島　著）の流儀の方が判り易かった
です。（74　のΓ（∞）に同値関係を入れて対象領域にしたりして、モデルを作ってしまうと云う方法）
と、云うか　私は未だに言語の濃度が非可算と云うことが良く判っていないのです。
誰か関数や述語が非可算の例を教えて下さい。

だいぶ前に質問したことの蒸し返しになってしまうかもしれませんが、
なんで数学の基礎の基礎たる論理の性質についての証明に非可算だの
整列可能定理（110で上げた本のP33）だのを使って良いのかが今一つ
良く判りません。最近はとりあえず進んで行きば判る日も来るだろうと
開き直っていますが。

>>111
集合論を認めなければ使えない

ソフトが使用許諾書にyesと答えなければ使えないと同様。

完全性定理の証明は T にφを加えたときに
無矛盾のままかどうか、かみさまに神託を仰がないといけないというのと
操作を可算回（正確には max(|L|, aleph_0) 回）繰り返すということの二点で超越的だし、
それが証明の一つのポイントでもあるけど
「∃xφ（x)が証明できても、φ（t)が証明できるような項tが存在するとは限らない。」
だとそれを聞いたことにはなってないよね。

>>110
（公理的）集合論とか或いは超準解析とかを勉強すれば出て来る。
後は無限論理とか。先に進めば例が出て来て意味が分かるようになるはず。

>>114

当面は可算で読むことにします。非可算は必要になってからと云うことで。

>>112

それを言うと、前スレで云ったように「ZFC　の置換公理とか分出公理の定式化
には一階述語論理が必要、しかし、一階述語論理の定式化には対象領域と云う集合
が必要だから集合論が必要・・。」みたいな話になってしまうわけです。

この話を蒸し返すことは本意ではありませんからスルーしてもらって構いません。

「ゲーデルと20世紀論理学　２」P57のように命題論理の完全性の証明で非可算の命題
を整列公理を使って超限的な順序に並べるところを見るにつけ、たかだか命題論理の
完全性定理でさえそうなのかと少し溜息ですね。

尚、「集合論」（難波莞爾　著）は論理体系を一章にし、集合論を２章にし、
出来るだけ集合概念を１章では使わないようにしているようです。完備ブール
代数とかで出てきたりしますが、少なくとも整列可能公理なんかは使っていない
ように見えます。　　

ただ、私にはとても読みにくい本です。

ゲーデル文のゲーデル数って自然数内に存在するんですか？

華麗にスルー

>>116
存在します

>>118
有り難う御座いました！

完全性定理はどうがんばっても有限の立場から逸脱しないと証明出来ないが、
不完全性定理はそれが出来る。但し、完全性定理を使った証明もあり、それ
は勿論構成的な証明ではない。
⇒　これは正しいと思われますか？

前スレから思ってたんだけど、そういうことを多数決で決めてどうするわけ？

多数決で決めようとは全然思っていません。
しかし、120　などは単なる定理の内容ではないので調べるのが難しいです。

私の持っている本にこれをにおわす文章がありますが、定理の形で述べている
わけではないので今一つはっきりしません。

似たようなことを考えていた人が「それはあの本、あの論文に載ってる。」
と言ってくれるとそれが正しいかどうかは別として調べることが出来ます。

私はこのスレッドはこういう素朴な疑問をぶつけたり、それに意見をいったり
する場所だと思っていますが　勘違い？

ついでに　120　の質問の背景を少し説明します。

最近まで私は

完全性定理はヒルベルトプログラムの完成への一歩と、当時は、見なされていて、
不完全性定理はそのヒルベルトプログラムが不可能であることを示したもの。

と思っていました。実際、ゲーデルが不完全性定理で原始再帰関数を考えたのも
ヒルベルトプログラムにある「有限の立場」を、その証明において保持するため
と聞いています。そういう、流れから完全性定理は、少なくともゲーデルの証明は、
有限の立場に則ったものと思っていたのですが、それが「不可能」と書いてあると
「え！」ってなりますよね。私が完全性定理の証明で、非可算や整列可能定理が
使われていることをすごく気にするのも「有限の立場」での完全性定理の証明を
探していたからです。

>>123
>「有限の立場」での完全性定理の証明

そんなもの、ありませんよ（終）

>>123
>完全性定理は、少なくともゲーデルの証明は、
>有限の立場に則ったものと思っていたのですが

違いますよ(終)

>>123
>「え！」ってなりますよね。

小学校を卒業したら、こういうときは
「驚きますよね。」といいましょう。

どうしても「え！」といいたいのなら

--
>但し、完全性定理を使った(不完全性定理の)証明もあり、
>それは勿論構成的な証明ではない。

え！完全性定理の証明って構成的じゃなかったの？
---

というふうに、使いましょう。

>なんで数学の基礎の基礎たる論理の性質についての証明に
>非可算だの整列可能定理（110で上げた本のP33）だのを使って良いのか

なんで論理が「数学の基礎の基礎」なんですか？

あ、君、ここ！ここで「え！」をつかうんだよ！

「え！論理は数学の基礎じゃないんですか？」

>一階述語論理の定式化には対象領域と云う集合が必要だから集合論が必要・・。

一階述語論理の定式化には対象領域は必要ない。
一階述語論理の意味論の定式化に対象領域が必要。

あ、ここで
「え！理論に、意味論は必要ないんですか？」
といわなくてもいいよ。ムカツクからｗ

どうせなら
「え！集合論の意味論に集合論を使うのは有りですか？」
と聞いてほしいね。

もちろん、答えは「有り」だけどｗ

しつこい

＞完全性定理は、少なくともゲーデルの証明は、
＞有限の立場に則ったものと思っていたのですが
ゲーデルの証明は「ゲーデルの世界」とか
"From Frege to Gödel"とかに載ってるけど多分読んでないでしょ？
扱ってる道具の超越性という点ではヘンキンの証明と変わらないよ。

完全性定理の証明は T からφが導出できないという
構文論的な情報だけから T + ¬φのモデルを作らないといけないから
「論理式の集まり」みたいなものを考える必要が絶対にあって、
だからどういう証明だろうが何がしかの集合論に類するものはどうしても要るんだよ。

具体的にはT_n にφ_n を加えた結果が無矛盾かどうかによって操作が異なるし、
しかも不完全性定理があるから、一般には無矛盾かどうかは容易に分からない
さらにその操作を可算回繰り返し終わった後の結果が必要になるから
無限二分木から無限長の道を一本取ってこないといけないことになる。
だから逆数学的には完全性定理はWKL_{0}と同値になる。
一方で有限の立場はPRAと同等だとされているから、（ここまでの問題の定式化が正しければ）
有限の立場では完全性定理は証明できないことになる。

ヒルベルトは数学をただの記号列の無意味な変形ゲームだと
敢えて見做す（形式主義）とか、無批判に認めて良い「有限の立場」
（弱い算術）を設定することで数学の基礎に関する無限後退の問題を解消しようとした。
ここで意味を捨象するというのは要は（タルスキー的な）意味論を考えないということだから
有限の立場の話をするときに完全性定理が証明できないことを気にする必要はないんだよ。
形式主義が何の為に考えられたかを理解していないんじゃないかと思う。

「有限の立場」での完全性定理の証明が不可能なことを明示した本があれば
教えて下さい。

>>128
この問題については個人的には一応の回答（未だ、自信はないけど）は持っています。

ZFCを定式化するのに一階述語論理は必要、しかし一階述語論理のなかの純粋な意味で
の述語論理に関する部分には具体的な集合としての対象領域は必要ない。述語変数と
対象変数（対象領域の上を動く）があれば十分。
（詳しくは岩波数学辞典参照）

たぶん、述語論理を具体的な対象領域の分析ツールとして使う立場と述語論理そのもの
を分析する立場で扱い方に微妙な差があるのではないかと思っています。また、私の手持ちの
「ゲーデルと20世紀論理学　２」「数理論理学」（鹿島　著）『数学基礎論講義』
は前者の立場で書かれているのではないかと勝手に今のところ思っています。

>>131
132 を書いている間に書き込み頂き失礼しました。

わたしの今回の書き込みの発端は「ゲーデルの世界」を読んだことからです。
そこにある記述で「明示されている。」と云うふうにも言えるのかもしれな
いけれど他の本で、更に確認したかったんです。
"From Frege to Gödel"はまだ読んでません。

>>131

逆数学については調べていませんでした。
「ゲーデルと20世紀論理学　３」P161　定理2.19（「定義」とあるのは誤植でしょう）
とp75のPRAの説明、p208〜p217のヒルベルトのプログラムの説明で一渡り納得出来ました。

しかし、
>ここで意味を捨象するというのは要は（タルスキー的な）意味論を考えないということだから
>有限の立場の話をするときに完全性定理が証明できないことを気にする必要はないんだよ。

については未だ良く判りません。そもそも、ヒルベルトが有限の立場を標榜して形式主義を
がんがん推し進めていたのは1920年代（主に前半）であって、タルスキーの意味論(1933）
そのものは考慮していないと思います。勿論、タルスキー的なとあるのでその原型となるよ
うなものを想定されているのかもしれませんが私には良く判りません。

ヒルベルト自身がメタ数学で帰納法の使用についてポアンカレと素朴な議論をしているのを
見るにつけヒルベルト自身はもっと素朴に完全性定理に見ていたのではないかと思えませんか。
つまり、彼自身は完全性定理が有限の立場で証明することが出来ないことを認識していなかった。
うまくやれば、将来的にはヒルベルトプログラムの完成に役立つ。など

この辺は基礎論そのものと云うより、基礎論史の話題かな。
興味がなければスルーして下さい。

>>131
有限じゃない立場っていろんなバリエーションがあるんでしょうか？

完全性定理の証明においては、「操作を可算回繰り返し終わった後の結果」についてACを仮定して
議論を進めているんだと思いますが、有限じゃない立場にもいろいろあって立場毎に異なる結果が
導出されたりはしないんでしょうか？

>>127
> あ、君、ここ！ここで「え！」をつかうんだよ！

え！日本ではmathematical logicを「数理論理学」と呼ぶよりも「数学基礎論」って呼ぶ方がポピュラーなんだ！

日本以外で「数理論理学」という言葉は使いません．．

>>136は皮肉か冗談なんだろうけど、その指摘は以前から気になっていました。
ちなみに自分は理論計算機科学屋です。
英語だとこの分野を表現する言葉として
数学基礎論に相当する "foundations of mathematics" という哲学臭のする表現を使っているのは非常に少なくて
ほとんど例外なく数理論理学に相当する "mathematical logic" という表現を使用しているように見えるのですが、
日本語だとこのスレなんかでも数理論理学よりも数学基礎論（あるいは省略して基礎論とか）と呼んでる方が多いですよね。
何か日本だけこの分野を支配する価値観がヒルベルト・プログラムのそれというか哲学色が濃いままなのかと感じてしまいますね。
この分野で日本だけが妙に哲学色の強いままなのは、やはり竹内先生や倉田先生の影響なのですか。

超初等的質問です。

非古典論理の次の基礎論（数理論理学？）の４大理論との関係は？
証明論、集合論、モデル理論、再帰理論

計算理論は再帰理論の一部？
それとも現在は数理論理学とは別の分野？

中には一般数学でも、「それは数論と代数幾何と関数論のそれぞれにまたがる。」
みたいな問題もあるでしょうから厳密な区分けは期待していません。
一応の目安として。

>>134の件はわかったんですか？
いっときますが、完全性って無矛盾性とは違いますよ。

どうせ、「え！同じじゃなかったんですか？」とかいうんでしょｗ

＞ちなみに自分は理論計算機科学屋です。
ああ、今や絶滅危惧種といわれているｗ。

そもそも「理論計算機科学」というものが
「南京玉すだれ」のような消滅しつつある芸能
だからな。

もちろん「数理論理学」はそんなことないよｗ

＞何か日本だけこの分野を支配する価値観が
＞ヒルベルト・プログラムというか

そんなこといってるのは
数セミで碍子と雲石斎の記事ばっか
読んできた中年オヤジくらいだろｗ

>>141

> そもそも「理論計算機科学」というものが
> 「南京玉すだれ」のような消滅しつつある芸能
> だからな。
>
> もちろん「数理論理学」はそんなことないよｗ

それは奇妙ですね、North-Hollandの例の黄色いシリーズでも近年は理論計算機科学がらみのが相当な比重を占めていますが。

あるいはsubstructural logicsなんて昔からの超マイナー分野が少しは日の目を見たのもGirardのlinear logicのお蔭で
そのlinear logicが一時的にせよ多大な関心を集めたのはlogic of resourceなんていって計算機科学との関連をアピールしたからですよ

理論計算機科学と無関係の純粋な数理論理学は既にタコツボ化し過ぎて行き詰まってしまってたんじゃないんですか？
その行き詰まりの救世主になったのが応用分野としての理論計算機科学という間接的にでも実用世界につながる分野ですよ。
ああモデル論の代数幾何なんかへの応用はありましたね、モデル論は昔から超準解析とか他の分野で応用される成果を確かに上げて来てますね。
でも数理論理学の保守本流というか正に日本の数理論理学屋さんたちが好きな「基礎論」という言葉にピッタリの証明論は
理論計算機科学が出現しなければタコツボの蛸になってしまってたんじゃありません？
ああそうか、最近は APPLIED proof theory なんて応用をアピールしてますね。
でも普通の数学屋さん（Mac Laneの意味での working mathematicians）にどれだけ使えると認められてるんですか？
それにKohlenbachの本にもprogram extractionなんてのをrealizabilityの応用として挙げてるみたいですけど
このレベルの "program extraction"なんて幼稚過ぎて全くの無意味だって計算機科学側では常識なんですが。
それに確かKleeneらが生み出したrealizabilityの概念が再び大いに関心を集められたのは理論計算機科学からの興味のお蔭でしたしね。
数学の保守本流からは無視されてる恨みを理論計算機科学に向けても仕方ありませんよ、タコツボの蛸さんｗ


>>142
いえ、今でも日本だけは「数学基礎論」なんて香ばしい呼び方を常用してるからそう感じるんですよ。
このスレでもその分野を「数理論理学」と呼ぶ人より香ばしい「（数学）基礎論」という呼び方を愛用する人の方が多いみたいですし。

>>140

判ったこと、
　一階述語論理の完全性定理はRCA_0上WKL_0と同値となる。
　これはハイネ・ボレルを初めとするいろいろな著名な定理と同値である。
　従って、超越的な手法を使わない限り完全性定理は証明出来ない。

　「ヒルベルトの有限の立場」の現代的な定義がPRAだとはっきりした。

しばらくはこの辺をもう少し調べてみたいですね。たとえば、
　　PAとPRAの関係　　いろいろ説明が書いてあるが未だよく理解していない。
　　PRAと不完全性定理との関係　上のことが判っていないから不完全性定理
　　がPRA上成立するのかどうかが未だ即断出来ない。

それから、あなたの言われた完全性と無矛盾性の違いが何を意味しているのか
今の私には判りません。

常識的には
　無矛盾性　＜−＞　モデルの存在定理　＜−＞　完全性定理
ですが、仮に逆数学の世界ならこう云う同値関係が成り立たないと言われても
「え！」とは言わず「へー」でしょう。
実際、健全性定理と完全性定理は同値な条件が違ってますしね。

ちなみに、クリプキ＝プーエルの定理を初めて知ったときは
「ほー！」でした。

自分のはまった泥沼で釣りを試みたら
自分の足がかかったでござるの巻

熱くなりなさんな

理論計算機科学屋のお友だちにそういうことを語り合える人がいないのかい

言い忘れましたが

ヒルベルトとその一派が完全性定理をヒルベルトプログラムの前進と
考えていたのは間違いないとして、完全性定理自身が本質的に有限の
立場では証明出来くても構わないんだと彼らが考えていたとはどうも
信じがたいのです。要するに、未だ完全性定理の証明が有限の立場で
出来なくてもヒルベルトプログラムに影響なしと云う　131　さんの
意見が良く判らないですね。もう少し考えてみましょう。

>>143
たしかに基礎論て言葉が平気で使われてるのって日本だけかもね
英語だとmath logicが普通だもんなあ
日本だと基礎論なんて数学科では超の付くマイナー扱いだから数学科のアカポスなんて皆無同然だし
アカポスにつけるのって教養や一般科とか数学科なら雑用テンコ盛りの弱小私大とかがほとんどだからさ
連中は連中で人生の先が見えない哀れな立場なんだからあまり責めてあげなさんな
自分らがやってるのは数学を基礎づける高級なことだって幻想に浸りたいだけなんだよ

ヒルベルトは数学を理念的（イデアルな）数学と実在的（リアルな）数学に分けて
信頼できる実在的数学を用いて理念的数学の正当性を示したかったわけで、
集合論的方法は本質的に理念的数学の方に属する。
だからモデルとか集合とかそういう概念はそれを用いて数学を正当化する方じゃなくて
正当化される対象の方に属する。モデルってのはある条件を満たす集合のことだからね。

だから厳密に言えば「或る理論がモデルを持つ」という言明自体が
有限の立場からいえば無意味。せいぜい記号列としてのZFCか何かの論理式としての
意味しか持たないし、完全性定理はヒルベルト計画の
方向性が正しいことを根拠づけるもの、くらいの意義しか持たない。
あったら何となく嬉しいもの、というようなポジション。

不完全性定理の元の証明が「自然数」という実体にできるだけ触れずに
あくまでも構文論的な証明をしているのもそういう意味だよ。

数学的には実在的とは言わず形式的というんだけどね

いや（後期の）ヒルベルトの言うレアルな数学というのは
超越的な概念や方法を使わず
弱い算術相当の範囲で議論を行うことなんだから
数学の理論をただの記号列だと擬制する形式主義とは厳密には別か

別か→別かと。

>>143
>North-Hollandの例の黄色いシリーズでも
>近年は理論計算機科学がらみのが
>相当な比重を占めていますが。

数学のほうでは、あいかわらず＊＊の一つ覚えで
計算機に絡ませるだけ。

計算機屋のほうでは、「理論計算機科学」なんてものは
黒歴史とはいわないまでも、一時期の流行として
急速に忘れ去られている。

>>143
>substructural logicsなんて昔からの超マイナー分野が
>少しは日の目を見たのもGirardのlinear logicのお蔭

日本人のくせに、Girardのお陰とかいうなよｗ
小野・古森の研究も知らないのかい？
日本人がやると駄目で、フランス人がやるといいのかい？
別に国粋主義のつもりはないぞ。
中国人のMoh Shaw-Kweiや、ロシア人のGrisinの研究
だってあるからな。
今時西欧中心主義って、全然時代遅れだろｗ

>linear logicが一時的にせよ多大な関心を集めたのは
>logic of resourceなんていって計算機科学との関連を
>アピールしたから

リソースの問題は、別に計算機科学に限ったものではないよ。
計算機屋は、いろいろ数学を使うわけだが
だからといって、それが理論的背骨だなんて
いちいち考えない。

>>156
>理論計算機科学と無関係の純粋な数理論理学は
>既にタコツボ化し過ぎて行き詰まってしまってたんじゃ
>ないんですか？

数学屋の側の事情は知らん。
計算機屋のほうでは「理論計算機科学」なんて
現実のプログラミングの営みとは関係ないと思ってる。

>行き詰まりの救世主になったのが
>応用分野としての理論計算機科学
>という間接的にでも実用世界につながる
>分野ですよ。

それは数学屋の姑息な考え。
計算機屋のほうでは、
「あんなもんつながってるうちに入らん」
と思ってるから。

>>143
>数理論理学の保守本流というか
>正に日本の数理論理学屋さんたちが好きな
>「基礎論」という言葉にピッタリの証明論は
>理論計算機科学が出現しなければ
>タコツボの蛸になってしまってたんじゃありません？

ん？証明論の成果って、現実のプログラミングに適用されてるか？
具体的な問題の解決に、超限帰納法なんて適用されてるか？
そんなことないよな。

>ああそうか、最近は APPLIED proof theory なんて応用をアピールしてますね。
>でも普通の数学屋さん（Mac Laneの意味での working mathematicians）に
>どれだけ使えると認められてるんですか？

普通の数学屋が使わないんだから、
普通の計算機屋はもっと使わないよｗ

>Kohlenbachの本にもprogram extractionなんてのを
>realizabilityの応用として挙げてるみたいですけど
>このレベルの "program extraction"なんて幼稚過ぎて
>全くの無意味だって計算機科学側では常識なんですが。

うん、数学屋の考えるこたぁ現実では全く幼稚だね。
システム設計で難しいのは要求を明確化することであって、
プログラムも同然の完璧な仕様からプログラムを抽出することじゃない。

林晋だって、昔PXとかやってたけど、結局方針転換したじゃないか。
フォーマルメソッドだって、実用化したのは
モデル検査とかSATソルバーの活用とかだけ。
証明系を使って証明とかいうのは、そもそも
何がどう役に立つんだか示せん時点で
全くの大失敗なわけだ。

>確かKleeneらが生み出したrealizabilityの概念が
>再び大いに関心を集められたのは
>理論計算機科学からの興味のお蔭でしたしね。

それ、歴史の歪曲

数学屋が、「計算機にも役立ちまっせ」といって
情報科学のほうに広げた出店が「理論計算機科学」

つまり数学屋の計算機業界への侵略行為。失敗したけどなｗ

>>160
>数学の保守本流からは無視されてる恨みを
>理論計算機科学に向けても仕方ありませんよ、
>タコツボの蛸さんｗ

実際に計算機を使ってる連中からは
役立たずといわれてることに耳をふさいで
タコツボにこもってるタコは君だよ、キ・ミｗ

>>149
＞モデル…とかそういう概念は

イデアルな数学だ、といいたいんだろ？

＞「或る理論がモデルを持つ」という言明自体が
＞有限の立場からいえば無意味。

ごもっともだが、>>144で「常識的には
　無矛盾性　＜−＞　モデルの存在定理　＜−＞　完全性定理
ですが」なんていってる”考えない人”にはわからんだろうな。

お前ら煽ることしかできないのか？

>>144
君には、無矛盾性と健全性の違いが分からないだろ。
健全性はモデルが必要だが、無矛盾性はそうではない。

>>154
> >substructural logicsなんて昔からの超マイナー分野が
> >少しは日の目を見たのもGirardのlinear logicのお蔭
>
> 日本人のくせに、Girardのお陰とかいうなよｗ
> 小野・古森の研究も知らないのかい？

現実問題として小野や古森が以前からずっとやってても何もインパクトもなかったし他の関心を惹くこともできなかっただろ
部分構造論理が注目を集めたのはジラールが大々的にＬＬをブチ上げたからだろ
昔からやってても内輪の人間にしか興味を持ってもらえないんじゃ単なるヲタクと同じだよ
広く注目を集められたのはジラールの力だというのは正直に認めるべきだろ
ジラールがＬＬを打ちだしてなけりゃ部分構造論理の本なんて小野のも含めて１冊も出版されなかったんじゃないのｗ

それと143書いた計算機屋もお前も忘れてるがジラールのＬＬは！と？との様相で部分構造論理が古典論理や直観主義論理になるってのがポイント
部分構造論理だけじゃ大して面白くも何ともないし他の役にも立たない
それこそ小野や古森なんかの仕事で終わってる

> 日本人のくせに、Girardのお陰とかいうなよｗ

国粋主義じゃないといいながらジラールが与えたインパクトの大きさとそれが部分構造論理という内輪を遥かに超えた興味を惹きつけて
脚光を浴びさせてくれたってのを正当に評価できんと内輪に籠ってた小野らがえらいと主張してる時点で
お前は立派に国粋主義者つか井の中の蛙ってやつだな

平学生にはついてけない話だから3年ROMってよっと

盛り上がってまいりました。

罵りあってる当事者達だけな

昔熱湯CMと言うのがあってだな・・・w

外枠の思想よりも具体的な命題の話をしろよクズ

>>164
まあまあ、GirardがLL始めたころには、
竹内御大もやめてもとの研究にもどれとか言ったそうだな。

>>164
>ジラールのＬＬは！と？との様相で部分構造論理が
>古典論理や直観主義論理になるってのがポイント

ツマンネーｗ
Grisinは、BCK論理上の素朴集合論は無矛盾だと証明したゾ。
こっちのほうがスッゲー。

だからどうした
それがフツーの数学や他分野にどんな影響があるんだｗ

>>172
まあ、これでも見てくれたまえ。
いっとくけど、オレはytb氏じゃないよ。
ttp://ac-net.org/altmath/doc/060509-yatabe.pdf

私怨とか私憤とか長文とかここで書かれても

>>170
> まあまあ、GirardがLL始めたころには、
> 竹内御大もやめてもとの研究にもどれとか言ったそうだな。

Girardは証明論のスターだったからなあ。
線形論理に行ってしまったから
あの本の第２巻は書かれなかったし。

あげとく

歴史的に完全性定理が有限の立場で証明されていないことを当時の人たちが
どう感じていたかは私には未だ判りませんが、現代的な意味での有限の立場（PRA)
で完全性定理が証明されていなくても現代的な意味でのヒルベルト還元プログラム
に支障がないことは「数の体系と超準モデル」のP240-242ではっきりしました。
　　　　　　0
（実際にはΠ 文に制限されているところが気になりますがそれはまた別の機会で）
　　　　　 1

しかし、PRA上不完全性定理（第一、及び第二）が成り立つかどうかについてはこの
本の書き方は少し微妙で、未だ確信が持てません。何か情報（証明の載っている本等）
を持っていたら教えて下さい。（それとも簡単に確認出来ることなんでしょうかね。）

「数の体系と超準モデル」P241で「以下では、Tもｔも少なくともPRAを含むとしておく。」
と書いておいて次ページに「Godelの不完全性定理により、TにおいてもCon(T)は証明できないし、
またｔにおいてはCon(t)が証明できないことが判った。」と明記している以上PRAにおいて
第二不完全性定理が成り立つと見るのが自然だろう。しかし、肝心の第二不完全性定理の説明
部分では「それは非常に精緻な議論を要する」と云った後、
「第一定理は、足し算と掛け算が普通に定義されていればどんな算術体系でも成り立ったが、第二
定理の方はある程度の帰納法を要する。」
と来るが、PRAがこれを満足するかどうかは明記されていない。一方、「ゲーデルと20世紀　３」P75
では「PRAは帰納法の制限のおかげでPAより本質的に弱い理論」と明記されているが、その後の章では
普通に第一、第二不完全性定理をPAを含む理論を前提に証明している。つまりPRAを含む理論でも成立
するかは表面上触れられていない。

勿論、PRAがPAと同等か強いならこの質問はしませんが弱いと書いてあるので気になる訳です。
ちなみに、「数学基礎論講義」のヒルベルトのプログラムでも「数の体系と超準モデル」と
同じことが書かれていますが、証明はやはりないです。

>>177
「○○は□□の証明だ」はprimitive recursiveだが、
「□□の証明が存在する」も「□□の証明が存在しない」も
primitive recursiveではないゾ。ワカッテルか？

PRAの公理知らないで話してたの？
具体的な公理を知らずにPRAでは〜〜が成り立つとか
そういうことだけ知ったってあまり意味無いと思うけど

>>178

それってひょっとすると、
Prov_T(n,m)が再帰的公理化可能なら再帰的関係になるけれど、
Pr_T(x)は再帰的関係ではない。
と云うことですか？
もしそうなら、前半は良いとして後半部分は自明なんですか？
TがQの拡大で無矛盾のときPr_T(n)を少し補正すれば再帰的関係でない
と思いますが一般の場合は、私は判りません。

>>179
PRAの公理はPAの帰納法の公理の中の対象論理式に量化記号のない
ものに制限したものと理解しています。従って、PAより弱いことは
明らかです。でも、加法と乗法は定義されているので第一不完全性
定理はPRA上も成立すると思います。
ああ、それから記号についてはPAよりも豊富でしたね。でも、今の
議論では本質的ではないでしょう。

で、話は戻りますが、PRA上第二不完全性定理は成り立つと思いますか？

>>163
>君には、無矛盾性と健全性の違いが分からないだろ。
>健全性はモデルが必要だが、無矛盾性はそうではない。

健全性の方にモデルが必要なんですか？　無矛盾性ではなくて！
「数学基礎論講義」の３．２ゲーデルの完全性定理に書いてあること
の真逆のように思えるのですが。

誤読と誤解の権化だな
時間を無駄に過ごす好例だ

>>181

では教えて下さい。

正直つきあいきれない
俺まで時間を無駄にする怖れがある

>>183

そうですか。それでは仕方ありません。嫌がる人の時間を使わせるのは本意ではありませんから。

誰か別の人で

PRA上第二不完全性定理は成り立つかどうか知ってる人がいたら教えて頂けると助かります。
個人的には成り立つように思うのですが証明がどこにあるのか判りません。

まあ、これで回答がなければあきらめましょう。

>>180
>ひょっとすると、
>Prov_T(n,m)が再帰的公理化可能なら再帰的関係になるけれど、
>Pr_T(x)は再帰的関係ではない。
>と云うことですか？

Prov_TとかPr_Tとかいうのは
「ゲーデルと20世紀の論理学　３」
p82　3.4　証明可能性述語で定義されたものだな？
じゃ、
・Prov_T(n,m)「ｎがｍを証明する」は原始帰納的
・しかしPr_T(x)「ｘの証明が存在する」は帰納的でない

p91　定理3.22で、Pr_Tは計算不可能だ、と言ってるだろ。
読まなかったのか？読んだが理解できなかったのか？

>>184
>PRA上、第二不完全性定理は成り立つと思いますか？

そもそも、PRAで
Pr_T(x)（≡∃yProv_T(y,x))
なんて表わせないだろ。

quantifier-freeって、なんだかわかってんのか？

>>181
>誤読と誤解の権化だな

基本的に、定義されている言葉の定義を知らず
勝手に意味を捏造する素人特有のサボり読みが原因。

「論理学に王道はない」

>>183
>正直つきあいきれない

自分で勉強せず、他人の説明で分かろうとする奴は、
根本的な好奇心が無いくせに、ただ自分の気持ちを
収めたいだけでなんでもかんでも聞いてくる。

ムラムラしただけで誰彼なく男を誘う女と変わらない
いくら＊＊Ｘしてもおさまらないからしまいには腎虚になる。

＊＊依存症は、「＊＊が好き」なわけではなく、
自分の心の隙間を埋めるために＊＊にすがってるだけ。
だからまず心の隙間がなんなのかを知るべき。精神医学の問題だ。

>これで回答がなければあきらめましょう。

>>186で回答した。
貴様の心の隙間は埋まらなかっただろうが、あきらめろ。

そもそも「論理学は絶対だ」なんて勝手に思い込み
それが実は全くの誤りだと知って動転し、
「ね、ウソだよね。ウソだといってくれ！」
なんて勝手に発狂されても迷惑。

そういう奴に限って、論理学を大して知らない。
∧、∨、⇒、¬の論理計算を知った程度で
「オレ様は論理学を完璧に理解した！」
と思い込んでる人のなんと多いことか！
実は∀とか∃とかが曲者なんだがなｗ

>>189
> 「論理学は絶対だ」なんて・・・それが実は"全くの誤り"

ね、言い杉だよね？言い杉だといってくれ！

>>186
>そもそも、PRAで
>Pr_T(x)（≡∃yProv_T(y,x))
>なんて表わせないだろ。

そうなのだけれど、第二不完全性定理は次のようにして表現できる。
a を自由変数とするとき、¬Prov_T(a,"0=1") は証明できない。

同じようなことを前原先生が数学セミナーに書いていた。古いバックナンバーを探すと見つかるはず。

>>180
>ああ、それから記号についてはPAよりも豊富でしたね。でも、今の
>議論では本質的ではないでしょう。

不完全性定理の論文中の重要なポイントで、ゲーデルが論文を書くために勉強し直した箇所だよ。

健全性というのは、「証明可能な式はモデルをもつ」という意味論と構文論にまたがる性質だろ？
無矛盾性というのは、「任意の論理式で肯定と否定どちらも証明できることはない」(他にも同値な命題はあるけど)
という、意味論がまったく関わってこない構文論だけの性質だろ。

文系のおれですらこんな違い分かるわ。

>>191
なるほど。で、第一不完全性定理のステートメントは？
同じやり方で書ける？

>>185

勿論、読みましたよ。理解も出来たと思います。だから、P91の下の方にある
「ロビンソン算術・・・。」の部分を実際に示している「数学基礎論講義」
のP97の定理７．８（こっちの方が定理３．２２より少し一般的）を想定して
　180　で次の書いているではないですか。
　「TがQの拡大で無矛盾のときPr_T(n)を少し補正すれば再帰的関係でない」

>>191　情報提供ありがとうございました。実は、田中さんの「Hilbert's Program」
　　　の「第2不完全性」の説明のところでも同様のことが述べられていることは知
　　　っていました。

>>186
　　　あなたの疑問は　191　で一応回答されているとは思うのですが　177　で触れた
　　「数の体系と超準モデル」P241ｰ242の部分は読んで見られましたか。
　　　普通の流れで読むとPRA上第二不完全性定理が成り立つと読めてしまう
　　　と思うのです。「違う。」と云うなら反証を示した本とかを教えて下さい。

>>193
　あなたがどういう文脈で言われているのか今一つ判らないのですが、私の言っている
　意味は単純で下記の内容にまとめられます。
　「・健全性定理の証明にはモデルの存在定理は必要ない。
　　・無矛盾であることとモデルを持つことは同値である。
　　・完全性定理の証明の肝はモデルの存在定理である。」
　少なくとも、3通りの本で完全性定理の証明を追って比較検討した現在の感想です。

　勿論、「だから完全性定理は良く判っているんだ。」とは思っていません。
　証明は追えても、ヒルベルトプログラムとの関係とかは判っていなかった
　訳ですし、他にもいろいろ疑問がありますから。
　まあ、だからここで聞いてみたりしてるんですけどね。

　
>>192　
　それは知りませんでした。どこにその件に関する話は載っていますか？
　私は単純に「ゲーデルと20世紀論理学　３」の5.1を読んで本質的でない
　と思ったのですが。　　

>>195
>勿論、読みましたよ。理解も出来たと思います。

p84の定理3.7の対角化定理の証明は読んだか？理解できたか？

読んでないだろう。
どうせ定理だけ読んで「ああわかった」ですませたんだろう。
数学嫌いの奴にありがちな読み方だ。

>>195
＞・健全性定理の証明にはモデルの存在定理は必要ない。

健全性定理はモデルの存在定理の逆、つまり
「モデルが存在すれば無矛盾だ」と同値だが。

＞・無矛盾であることとモデルを持つことは同値である。

それは「健全性定理＆完全性定理」と同値だが。

＞・完全性定理の証明の肝はモデルの存在定理である。

証明読んだか？
証明の中で、無矛盾という前提からモデルを具体的に構成したか？

完全性定理
「理論Γの任意のモデルがＡのモデルならば、ΓからＡが証明できる」
健全性定理（完全性定理の逆）
「ΓからＡか証明できるならば、理論Γの任意のモデルはＡのモデル」
モデルの存在定理（完全性定理の対偶の特殊化）
「Γから矛盾が証明できないならば、理論Γのモデルが存在する」
モデル存在による無矛盾性（健全性定理の対偶の特殊化）
「理論Γのモデルが存在するならば、Γから矛盾が証明できない」

＞「数の体系と超準モデル」P241ｰ242の部分は読んで見られましたか。

なんてこといわずに、当該部分を全部打てばいいだろう。

>>194
書ける気がしてきたｗ。

a,bを自由変数として¬Prov_T(a,subst(b,b)) のゲーデル数をgとする。
関数subst(x,y)は、ゲーデル数xで表わされる式中の自由変数bを、
数yで置き換えた式のゲーデル数を返す。もちろん、原始帰納的。
ゲーデル命題Gを¬Prov_T(a,subst(g,g))とすれば、いいんじゃね？
どうよ？

>>197

この本ではないですが読んだことはありますよ。証明はそんなにひっかからなかったと記憶してますが。
対角化定理と云う名前の自然だし、不動点定理と呼ばれるのも自然ですね。

>>198､199　

うーん、この手に質問、意見は建設的な質問、意見と云うより、「どこかで馬脚を出させて
やろう。」と云うように見えるので回答するのは辞めることにします。私はここで喧嘩をす
る積りもなければ心の隙間を埋める積りもなく、単純に疑問解決の手段として利用している
だけですから。（遊び心が過ぎて脱線してしまうことはありますが）

とは言え、せっかくですから「完全性定理」の証明について私が読んだ３冊に
ついて寸評を書いてこの話題は下げます。

前にも書きましたが、ヘンキン定数を使ってモデルを作る「数学基礎論講義」の方法
よりも「数理論理学」（鹿島）の直接的なモデル構成方の方が判り易かったです。
ただ、今回、逆数学を少し勉強して完全性定理がWKL0と同値であることを知って
からは「ゲーデルと20世紀論理学　２」の方法がどこに超越性が入ってくるかを
知る上では優れているような気がしました。（本人は別の点の長所を強調されて
いましたが）

>>202
>「どこかで馬脚を出させてやろう。」
馬じゃなきゃ問題ないと思うがｗ

自分の無知を知るのはもっとも建設的だよ。
軟弱な足場にいくら建物を建ててもあっという間に崩れるし。

>単純に疑問解決の手段として利用している

その疑問を生んでいるのが、心の隙間だと思わないかい？

すでにこれだけ徹底的に馬脚露出プレイしておいて、>>202は何をかいわんやだな
折角肝心の部分が聞かれているのに

>>202
馬脚を表すのを恐れていては数学の勉強はできないよ。
自分なりに考えたことを発表して、他人から厳しい評価を受けて、また考え直して、の繰り返しだよ。どんな偉い研究者でも。

>>201
第一不完全性定理に登場するのは、決定不能な sentence.

>>196
> 私は単純に「ゲーデルと20世紀論理学　３」の5.1を読んで本質的でない
> と思ったのですが。

次の 2 つの文のくい違いに気づかないから、本質的でないと思ってしまうわけです。

> PRAの公理はPAの帰納法の公理の中の対象論理式に量化記号のない
> ものに制限したものと理解しています。従って、PAより弱いことは
> 明らかです。

> ああ、それから記号についてはPAよりも豊富でしたね。

>>207
次の表現だと食い違っていないのですか？

PRAは帰納法の制限のおかげでPAよりも本質的に弱い理論になっている。
言語、つまり論理式を構成する記号の点ではPRAはPAを拡張したものに
なっているが、そのような言語の拡張は本質的ではない。

誤解だらけで読んだ本の寸評書いても意味ないぞ

>>208
その引用したつもりになっている部分の前の段落が重要。
その段落と、一行目の間を埋める労力を考えると、

> 従って、PAより弱いことは明らかです。

などとは書けないわけ。ましてや、その後に

> ああ、それから記号についてはPAよりも豊富でしたね。

とつけ加えているのを見ると、誰もがおかしいと思いますよ。

2chだから仕方ないのだけれど、口の悪い人が多いですね。

まあ、質問に答えてくれないのは仕方がないと思いますが、
なぜ、そんなに人を罵倒しようとするのか正直理解出来ないです。

まあ、学生さんか研究者なら数学命みたいなところがあって私の
ようなぬるいアプローチをされるとカチンカチン来るのかもしれ
ませんが。

でも、ちょっと視点を変えると、私のように、現在、数学の学生でもない
人間が自腹で専門書を買ってくれれば数学者の収入は潤いますよ。
また、そういう社会人が増えればカルチャーセンターで「基礎論」教えて
こずかい稼ぎが出来ますよ。そのうち立花隆あたりがインンタビューに来て
「立花隆の現代の基礎論」なんてのがベストセラーになって、優秀な学生
が沢山集まって、予算も増え、事業仕分けの対象にもならずに済むかもしれ
ませんよ。どんな分野も裾野を広げないと衰退してしまいます。プロやプロ
の卵でないなら無理に厳しい訓練なんてしなくても良いのです。（勿論、
したい人はすればいいんですが、私はああいう修行のような生活をする気はあ
りません。働きながらやったりしたら生活が破たんしかねませんしね。）

ハンドルネームを使うのはこれを最後にします。

いやいやどう見てもあなたの方がおかしいでしょ
最初は親切に回答してくれた人も多かったけど
どうして次第に見放されたか自分でわからない？

>口の悪い人が多いですね。

アタマより先に口が動く軽率な奴も多いよなｗ

>私のようなぬるいアプローチ

というか正直キモイｗ
興味がないのにこだわるところとかね。
ね、いったい何がしたいわけ？

＞現在、数学の学生でもない人間が
昔はそうだったのかい？
ああ、でも出来悪かっただろ。
勉強嫌いそうだったもんなあ。

＞自腹で専門書を買ってくれれば
＞数学者の収入は潤いますよ。
全然関係ない。あれって赤字だから。
補助金なかったら本なんか出せねぇし

正直、学問だけでなく、学界の経済も分かってないなｗ

おまえもさらにわかっていないなｗ

>>211
>そのうち立花隆あたりがインタビューに来て
>「立花隆の現代の基礎論」なんてのがベストセラーになって、

もしかして、考えない人は立花ゼミ出身？

>>211
>プロやプロの卵でないなら
>無理に厳しい訓練なんて
>しなくても良いのです。

それは
「数学書の中から、自分にわかるところだけ拾い読みして
　あとは勝手な解釈でつなぎ合わせて辻褄を合わせる」
という素人の勝手読みを正当化するものではないが。

社会や政治関係の著書なら立花でも良いが
科学関連の立花はトンデモ系だぞ。

煽り癖のある奴が一人いるみたいだが、まぁ概ね212の言うとおり自らが真面目な回答者を遠ざける
態度だったね。思いこみが激しすぎるんだな。
こういう言い方は好きではないんだけど叩かれる側にも相当の理由がある。

その人を叩くと云う発想が理解出来ない。
無視しておけば良いだけではないか。
人の本の読み方なんか自分には全く関係ないのだから放っておけば良い
となぜ思えないのかが判らない。（その存在自体が許せないのだろうか？）
素人は数学を数楽にする権利があると思う。私はピアノでプロのような練習は
しないし、プロのように弾くことは出来ないが本人も楽しみ友人・知人を楽しませる
ことくらいは出来る。私はクリプキの定理の証明を追うことは出来ないがそう
いう面白い定理があるらしいと早熟な高校生に伝えることくらいは出来る。

科学関連で内容的に立花がトンデモ系と云うのは簡単だ。
でも、小林・益川理論の解説本の取材力が他のジャーナリストにあるだろうか。
加速器の存在を真に文化的な国にしか出来ない偉業と認めた彼のメッセージに莫大
な加速器の維持管理コストを税金から賄ってもよい理由として納得した人は少なく
なかったと思う。

大学院で数学を勉強していたときは秋山仁を、「１年生でも判るジョルダン標準形
の理論を大学で講師になるまで理解出来なかった。」と言って馬鹿にしていたが、
今は一応の評価している。
少なくとも彼がいなければ組み合わせ論は今以上にマイナーだっただろうし、アスコリ
アルツェラを修論にするレベルでも根性と行動力があれば数学者になれるかもしれない
と数学科の劣等生に夢を与えたのだから。

神経逆なでするような書き込みだから無視できないんだろう。
再三の諫言を受け入れようともしなかったし。

町中で基地外が喚き散らしている状況で耳をふさいで無視していればよかろう、
なんて言葉は通用しない。
そりゃ周辺住人は文句や罵倒のひとつもするってもんだ。

端的に言えば、何か指摘されても、薄っぺらい知識ばかり振りかざすばかりで、
質問するものとしての謙虚さ・感謝が足りなかったんじゃないのか。
（文章もスノッブ気取りで慇懃無礼というべきか）

>>221ってコテ外しただけだよね。

「数の体系と超準モデル」P241の最後の方から　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　
「以下では、Tもｔも少なくともPRAを含むとしておく。また、Con(T)を、Tの無矛盾性を表すΠ_0文とする。
　　　　　　　　　 　1
定理8.3.11　任意のΠ_0命題φに対し、T｜-φ　ならば　ｔ+Con(T)｜-φ.
ここからP242
証明・・・・・□

この定理により、t｜-Con(T)　ならば、HPがいえることがわかる。しかし、Godelの不完全性定理により、TにおいてもCon(T)は証明できないし、
またｔにおいてはCon(t)が証明でないことがわかった。」

この文章を素直に読めば「PRA上第2不完全性定理が成り立つ」ことになる。しかし、定理の証明終（□）の直後でｔ、Tの条件が変わっていない
とも限らないし、著者が筆を滑らしている可能性もある。
だから、『PRA上第2不完全性定理が成り立つや否や？』と云う問題提起をしただけで、177の質問の主旨はなんのか判らないし、179の言い方も
失礼だと思う。180　で一応答えたがこちらの質問とは無関係ところばかり突っ込んでくる理由は良く判らない。
この質問の答えを知っていて、答えても良いと思えるなら答えてくれれば良いし、知らないまたは答えたくないなら黙っていれば良いと思う。
こちらの質問にジャストした回答をしてくれた人には感謝の言葉は忘れなかった積りだ。しかし、罵倒だけして答えは言わないと宣言する181や
直接関係ない定理を持ちだして「読んでいないだろう。」と決めつけて罵倒する197にまで感謝の言葉を返す義理はない。

私はこの問題は次の理由で意味があると思っている。
・もし、『PRA上第１、2不完全性定理が成り立つ』なら通常の不完全性定理の「PAを含む場合」と云う条件が少し緩められた言える。
・もし、『PRA上第1不完全性定理は成り立つが第2不完全性定理は成り立たない』なら一方しか成立しない面白い例になる。（淵野さんがどっかでそういう例をあげてたかな）

勿論、他の可能性もあるだろうし、この意味づけが頓珍漢と云うならそれはそれでそういう人傾聴したいと思うが、そういう問題を根拠となる文献付きで提示
しただけで罵倒される理由は判らない。

文章が慇懃無礼とまで書かれたので（こちらは気を使っている積りだったのだが）こういう硬い文体に変えることにした。

単純に読むべき本を間違えているということですね。
妄言を撒き散らさせないためには、もっと誤読の余地の狭い本を与えないといけないというわけです。

第二不完全性定理が成立するための十分条件をより具体的に挙げている本としては、前原「数学基礎論入門」とか Handbook of Mathematical Logic の Smorynski "Incompleteness theorem" があります。

あなたが面倒くさくなってすっとばして読んでいるであろう部分に答があることがわかっていても、それを読む気がないと宣言されていては、教える義理がないと考えた人は大勢いると思います。

>>225　
コーフンしてるねｗ
　　誤　　　　　　　　　　　　　　　　正
なんのか　　　　　　　　　→なんなのか
少し緩められた言える。→少し緩められたと言える。

あと、"ジャストした"という言い方はおかしい。
justは形容詞もしくは副詞であるから、
"ジャストな"あるいは"ジャストフィットした"が適当。

もっとも日本人ならこんないかがわしい言い方はしない。
「的確な」もしくは「ピッタリの」といえばいい。

>>225
>『PRA上第2不完全性定理が成り立つや否や？』
>もし、『PRA上第1不完全性定理は成り立つが第2不完全性定理は成り立たない』なら

もしかして
「PRAでは第2不完全性定理は成り立たない」
ことを期待してる？

これで「PRAで無矛盾性は証明できる！」といいたいのかい？

なんで無矛盾性を証明したいのかい？

>>225
>>p84の定理3.7の対角化定理の証明は読んだか？理解できたか？
>直接関係ない定理を持ちだして

直接関係するよ。根本だから。

>「読んでいないだろう。」と決めつけて罵倒する

「読んでいないだろう。」は、ただのあて推量だと思うが
「直接関係ない」という答えは、その推量が当たっていた
ことを示してしまっているね。残念だけど。

>>221
>大学院で数学を勉強していたときは

何、勉強してたの？

漏れが「不動点結合子が対角線論法の応用だ」と知ったのは
大学院出てもう１０年も経ってからだったがな・・・ＯＴＬ

>>226
一行目がなければ素直に感謝が言えるところだけれど「妄言」とか「与えないと」と言われて喜ぶほど人間は出来ていない。
それはさておき、あなたの紹介してくれた本の洋書の方は持っていないし、読んだこともないのでノーコメント。
前原さんの本については、今の問題には直接には役立たないように見える。なぜなら、この本ではPAが大前提に書かれていて
PAをどこまで緩められると云う発想はないように思えるからだ。勿論、最終ページでP197で前原さんは当時大学院生だった林
さんに指摘されたことを受けていろいろ第2不完全性定理の成立する条件について検討しているがPAそのものの公理を外すとか
緩めるとかと言った話ではない。付言すると、第1がPAではなくQの再帰的拡大に対して成り立つと云う話も出てきていない。

「数の体系と超準モデル」が誤読の余地が広い本だと云うならどう誤読なのかを教えてもらいたいところだがたぶん教えては
くれないだろうからもう一冊誤読の余地の広い本を紹介しておく。一応、巷では名著だと聞いているが。
数学基礎論講義　P198−199　でヒルベルトのプログラムについての説明があるが少し抜粋してみよう。

「大きな体系Tに対し、その体系の記号操作が出来る程度の小さい体系（例：PRA)をｔとして、われわれは次の図式をヒルベルト
の計画HPと呼ぶことにする： 0
　　　　　　　　　任意のΠ_1命題φに対し、T|-φならばｔ|-φ
以下、Ｔもｔもすくなくとも原始再帰的算術PRAまたはIΣ_1を含むとしておく。
　　　　　　 　0
補題. 任意のΠ_1命題φに対し、T｜-φ　ならば　ｔ+Con(T)｜-φ.
[証明]・・・□

この定理により、T｜-φ　ならば　HPがいえることがわかる。そこで、Con(T)を有限の立場で証明することが具体的な目標に
なるが、これはヒルベルトが直観主義とも論争以前からその重要性を強調していた数学の無矛盾性の問題に他ならない。しかし、
ゲーデルの不完全性定理によって、Tにおいて（従ってｔにおいても）Con(T)は証明できないことがわかり、この方法でHPを導く
ことはできない。」
前回の抜粋と記号とかの違いはあるが殆ど同じである。

あなたが問題としていることは、基本的なことだけしか書いていない本の証明を読んでいれば納得できることだから。より広い話題を扱った本を与えるとその分誤読をする余地が増えるという意味です。

同じ著者の書いた文章を引用しても、例が増えるわけでもないのにご苦労なことです。でもこの記述については、"著者が筆を滑らしている可能性もある" とお考えのようですから、二回も筆を滑らせているとお考えになればよいでしょう。

もういい加減にしろよ
>>232はもともとのゲーデルの証明の中に求めてる答えがある、って言ってるんだよ。
なんで証明をキッチリ追おうとしないのか理解に苦しむ。こんなの基本中の基本だろ。

>>232
私が「著者が筆を滑らした可能性もある」と書いたのは前提条件をスルーした
と云う意味で間違えているとは思ってはいない。２回も同じ間違いをする程この
著者を馬鹿にはしていない。むしろ殆ど同じだが微妙に条件が違っていたりして
いるから「たぶん何か適当に省いているかもしれない。」と思いながらそれが判
らないから問題提起しただけである。自分が誤読しているかもしれない可能性も
初めからちゃんと書いたつもりである。

個人的な感想を言えば数学の定理の証明だけを追うのはそんなに難しくないがその
意味や解釈をきちんと理解するのは時間がかかるものである。「証明を読んだ。」
としてもその意味を額面通りにしか最初は理解出来ないのは当たり前である。
微分積分の最初の方でアーベルの級数変形法の証明を理解したと思った学生の何%が
それが実は部分積分の級数版だと喝破していたか怪しいものだし、リーマン球の表面
が内側だと知らなかった関数論専攻の院生を何人も見たことがあるが、私は少なくと
も229のような言い方をその学生達にはしたことはない。

いやいや証明を理解してないからこそそういう疑問が出ている訳だが…
結果派生する系や意味論の問題じゃなくて「証明のキモの部分はなんなのか」ってところで。

とりあえずだ、「言い方が気に入らない」というのと自分の質問に関する話とは分けような？
な？

>>110
>個人的には、言語の拡大を全く行わない「数理論理学」（鹿島　著）の流儀の方が判り易かったです。（74　のΓ（∞）に同値関係を入れて対象領域にしたりして、モデルを作ってしまうと云う方法）
>>202
>ヘンキン定数を使ってモデルを作る「数学基礎論講義」の方法よりも「数理論理学」（鹿島）の直接的なモデル構成方の方が判り易かったです。

鹿島に書いてあるのはほとんどヘンキンの方法そのままなのに、どこが違うと思ったのだろうか。「同値関係を入れて対象領域にする」のはオリジナルでも何でもないのに。証明を読まずにこういう主張をするから、そういう人物であると思われるのは当然のこと。

>>231
>この本ではPAが大前提に書かれていて

前原の本もそしてその元となるゲーデルの原論文でも、PA での不完全性定理は証明していない。この話と >>210 のコメントが問題提起とやらに関係している。

リーマン予想スレのあの人じゃなかろうな

>>234
あんたがウザがられてる一つの理由には、
ただ、「〜が分からないので教えてください」と書けばよいものを
（もちろん、2ちゃんだから誰かが答えてくれるとは限らない）、
いつもこの第二段落のような御託を付け加えることがあるんじゃない。

ヒントやコツでどうにかなると思っている小才子は
手を広げられるだけ広げはするが
地道な努力が嫌いで頭が高い
少年老い易く学成り難し

勘っていうのは、その意味が理解できてるからはたらくんだよ。
例えば、完全性定理なら、その周辺のスコーレムの定理とエルブランの定理の３つのうち、
エルブランの定理は面倒でも他の定理はきちんと省略無く、証明を追ってみる。
さらには、ブール代数のストーンの定理を追ってみる。
不完全性定理なら、符号化でどちらの世界を扱ってるのかをきちんと確かめながら、
一つ一つ埋め込めることを確かめる。大概の本には証明の全体の構図も載ってるだろう。
そうやって始めて対角化で「あ！」ということができるんだ。

>>234
>リーマン球の表面が内側だ

いままで散々語ってきた中で
唯一「ほー」と思えた記述ｗ

ただ、全く簡単な変更で
外側が表面になるようにできる
ので全然本質的ではないｗ

問：上記の「簡単な変更」とは何か１００字以内で答えよ。

>>231
PRAで不完全性定理が扱えないかもしれない、という主張を聞いたときに
「そもそもPr_Tがなきゃ、ステートメント自体書けないんじゃね？」
と思ったが、>>191は、Prov_Tを使った無矛盾性の記述案を示してるし
これが正しいなら、>>201のような形で、ゲーデル文も書けると思うので
PRAで不完全性定理(第一も第二も)が証明できてもおかしくないと思う。

むしろ、>>231が
「PRAで第二不完全性定理が証明できない」と何が嬉しいのか？
を率直に語ったらどうか？

>>241
>対角化で「あ！」

正しくは、
「対角化であることに気付いて
　「あ！」ということができる」
だと思う。

もちろん、ゲーデルははじめから対角化を意識してた筈。

対角化にもっていくために、苦労してコード化したり
アホでも計算できる原始帰納的関数で手続きを書いたり
してるわけで。

ラッセルが、自分のパラドックスの導出の仕方を利用した
ゲーデルの不完全性定理が理解できなかったのは、
おそらく「真」と「証明可能」が同じだと思い込んでた
のだろう。

ハケーン！
"On the Difficulty of Writing Out Formal Proofs in PRA(Mathematical Incompleteness in Arithmetic)"
Kashima Ryo

PRAで証明できるがムズカシイらしい。

>>243
PRA と呼んでいる体系には、いろいろなバリエーションがあって、
言語そのものからquantifire (∀, ∃) を排除した体系を指すこともあれば、
数学的帰納法を適用できる論理式を、PRA の言語における quantifier free な
ものに制限しただけの体系もある。

>243 や >191 で考えているものは前者。
この体系では、閉論理式はすべて決定可能になる。

後者の体系ならば Pr_T が書けるのはおわかりと思います。

>>246
>Mathematical Incompleteness in Arithmetic
は論文タイトルの一部ではなく、この講究録のタイトル。

>>246
いいの見つけたね！　これ読んで「第二不完全性定理」と自分がわからずにいっていた
ことが分かれば大したもんだ。

>>242
射影元をＮからＳに換えるだけ。

>>243､247
PRAが後者の体系なら第一不完全性定理は成り立つはず。Qで成り立つんだから。

>>247
>後者の体系ならば Pr_T が書けるのはおわかりと思います。

実はquantifierが１個ならOKだった、
と気付いたのは191を見てからだった　ＯＴＬ

But it is remarkable that giving a perfect proof of the
second incompleteness theorem is practically impossible because it needs writing out
vast formal proofs in arithmetic.

は林さんが前原さんの疑問に対して感じていた”自然に”の”形式化の困難”を表している訳か。
つまり、鹿島さんは林さんが経験則で下のように感じているものをきちんと表現したわけだな。

「第２不完全性定理というのは、"Tが無矛盾"という命題を自然に形式化したときに成り立つ、と考えるのが一番です。
そして、この自然に、という条件は、結局は形式化できないと考えるべきなのです。」

集合論の代わりに圏論を基礎にすることができると聞いたのですが
圏論でも不完全性定理は成り立ちますか？

>>253
「しかし、注目すべきことは、
　第二不完全性定理の完全な証明を与えることは
　実際的に不可能だということです。
　なぜなら算術の膨大な形式的証明を書き上げる
　必要であるからです。」

形式化の仕方の問題ではなく、形式化による
証明量の増大の問題だと思うが。

完全性定理についてのいろんな解説が読みたくてぐぐってみたけど
不完全性定理ばかり引っかかるｗ

上のほうで嫌われてる人と同じ（？）ように超越的な証明方法が使われて
いるのが気になってたんだけど、最近になって仮定「無矛盾ならば」の方が
もっと超越的な気がしてきた。

>>254
集合論の代わりに圏論を用いるのは数学の話です。
不完全性定理は論理学の定理で、圏論でも成立します。
あなたが聞いたのは不完全性定理ではなく集合論の逆理でしょう。

それから圏論が逆理を生じないのは、
メタ圏という形式定義から圏論がはじまるからです。
しかし圏論を構成する対象は集合の背理的な存在として考案されているため、
やはりはじめに集合ありきになってしまうのです。

もし集合の考えを免れるなら、
存在グラフという古典的方法があるので参考にしてください。

ttp://www.existentialgraphs.com/peirceoneg/existentialgraphs4.372-417.htm

またトポスといわれる圏はブール論理を導き、
さらに充満なトポスはそれ自体が完全性定理になるらしいです。

論理学の中にはFauconnierによるメンタル・スペース理論というものがあって、
blending、access principle、connector Fiという概念を使って
認知メカニズムといわれる特殊な体系を作っているそうです。
スペース構成表現の間で集合論でいう写像のようなものが成立するらしいです。
この理論に加えてFillmoreのframe semanticsとかLakoffのICMとかも圏論化が有効らしいです。
ttp://books.google.co.jp/books?id=eRFL_367VoUC&dq=Mental+spaces%E3%80%80&printsec=frontcover&source=bn&hl=ja&ei=LkS_S7skj-zsA8bSzOsL&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CB0Q6AEwBA#v=onepage&q&f=false

>>255
パリクの背理のような話になるわけ？

>>256
うーん、さすがに無矛盾性は「当然必要だろう。」としか考えなかったな。
「それがその理論内で証明出来ないのに仮定するのは超越的だ。」との見方
もあるかもしれないがこれを仮定しないとなんでも証明できちゃうしね。
ヴィドゲンシュタインの授業でチューリングが彼と矛盾について激しい議論
をした記録が残っている。基礎論とは直接関係ないかもしれないけど調べて
みたら。

>>260
完全性定理を
『理論Tが無矛盾であることとその理論がモデルを持つことは同値』とした場合、
無矛盾→モデルを持つの方の証明に超越的な方法(AC)が必要になるよね。

「Aかつnot A」という式が理論Tから決して導かれないことを前提とするわけだが、
そんなのモデルを見つける以外に確認できるわけない。有限ではない何か
超越的なことをやった結果なんだろうと。その情報を使わせてくださいよ。
いや無矛盾性は単なる仮定だからどうやって導いたかは関係ない、と言うなら
そういった情報を使えないということであって、そりゃ何らかの超越的な方法を
持ち出さなければモデルの存在を示すことはできないだろう。

無矛盾性の仮定ってなんなの？

タルスキーの業績についてのいろんな解説が読みたくてぐぐってみたけど
バナッハ・タルスキーの逆理ばかりひっかかるｗ

Tarskiは英文の伝記が出版されてたはず

>>261
モデルを持つならば無矛盾と言うのは
理論T1で理論T2がinterpret出来るならば、
T1が無矛盾→T2が無矛盾
という一般的な定理の特殊な場合だと思う

だからZFCでモデルを持つことを示したなら
ZFCの無矛盾性くらいは陰に使ってると思うぜ

>>263
モデルは対象理論の公理を全て満たすstructureであれば別に理論でなくても
いいから、一般と特殊が逆だと思ってたけど？

構造 S1 は S2 をinterpretableだ、というのは確かに理論 T1 と T2 の間の
解釈関係の話よりも一般的なんだけど、263はそういうことを言ったわけでは無くて、

例えばZFCで完備アルキメデス順序体が存在することが証明できるから
実数論は無矛盾だとかいうのは
この場合で言えばT1にZFC、T2に実数論を代入したことになっている。

そうするとモデルを持つといった場合普通は（構文論的意味論とかの文脈でなければ）
T1には集合論が入るんだから、その意味で特殊だと言いたかった。

>>261

質問の主旨が「無矛盾→モデルを持つ」の証明のどこで超越的な方法が使われたか？
であるなら　極大無矛盾集合　を構成する部分だと思う。

もとの理論Tの無矛盾性はその極大無矛盾集合の無矛盾性の証明で必要。（クドイ言い方だな）
そして、⊥¬∈この極大無矛盾集合　であるので次が言える。（ますますクドイかな）
　φ∈この極大無矛盾集合　ならば　モデルM（φ）＝真

「無矛盾性の仮定ってなんなの？」の質問の意図にはそぐわないと思いつつ
266の後半部分では最終的に無矛盾性の仮定がモデルの定義
にまで遡ってどう使われたかを示した。（蛇足）

なんか今良く見ると261の元の文章と全然関係ないことを掻いてる気がしてきた

パリクの背理にだれも喰いつかないので一応簡単な説明を付けておく。
計算機科学と基礎論の狭間みたいな話だと思うが具体的にどれくらいが
現実的証明可能の限界なんかね。計算機屋さんが詳しそう。

（パリク）ペアノの公理系には原理的には証明可能であるが、
　　　　　実際には証明できないような論理式がある。

なぜか？次のような論理式φがあるから。
「ϕ にはそのゲーデル数「φ」が10の10乗の10乗 より小さい証明はない」
これを論理式で表すと次のようになる。

　　　　　　　10
　　　　　　10
　　∀x < 10　　　　[¬Proves(x, 「φ」)]

書き間違えた。
「ϕ にはそのゲーデル数が10の10乗の10乗 より小さい証明はない」

10の10の10乗乗
じゃなくて？

>>269
早稲田大学複雑系高等学術研究所編「複雑系叢書7 複雑さへの関心」(共立出版2006)p55-108「有限の中の無限」

>>266
「極大無矛盾集合が存在する」という主張が超越性の本体なんだろうけど、
そんなことまで要求したつもりはなく、無矛盾というのはもっとずっと控えめな
仮定だと思ってました、自分（理論）の整合性を主張しただけで、そのために
わざわざ悪魔(AC)まで召還しなくていいです。

・・・ダメなのかな、そんなう立場？

>>269

あの・・・「パリクの背理」という言葉が初耳だったのでぐぐってみたのですが、
なにか見ちゃいけないかもしれないページがひっかかって・・・
http://ms8t8.myhome.es3rds.homeip.net/

しかも延々続いてるらしく・・・
関係者？>>269

>>274

断じて違う。しかし、文章でここまで危ない恐怖を覚えたのは初めてだ！！
↓を参照のこと　「基礎論講義」にもパリクの定理は載っているが似て非なるもの。
　　　　　　　　こっちの方が面白そうに思えた。　　　　　　　

http://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf

>>273
回答にはなっていないかもしれないが・・・。

完全性定理で前提となる閉論理式の集合Γが無限集合のときは
「強完全性定理」で有限集合の場合を「完全性定理」と云うこともあるとか。

有限集合なら無矛盾性は有限の手続きで確認出来るからその点では超越性は
入ってこない。強完全性定理の場合はΓの任意な有限集合は無矛盾であるこ
とが求められるから若干の超越的な仮定とも言えるかな。
　

うーなんか超面白そうな材料を提供されてありがたいんですがもうダメ。
朝になったら読んでみます。

これは基礎論屋さんよりも哲学屋さんや計算機屋さんの方に興味があるかも
しれないけど・・・。

http://d.hatena.ne.jp/HODGE/20051010/p2

少し前に「円周率πの近似値」を小学校で３で教えるということが大問題になった．正直いって，数学の専門家は「そんなことどうでもいいじゃん」という気分だったと思う．
何も考えてない大人に限っていろいろわめいていたが，そういう人には「3.14の次の値は何ですか？　理論的に導いて下さい．」という簡単な問題をだしておこう．
これができないなら3.14でも３でもそんなに変わらないのではあるまいか？実際にはπの近似値よりも「円周率の定義とは何か？」の方が重要で，それがわかっていない子供が多いことの方が大問題なのだ．
例題:半径1の円に正六角形が内接している。その点をそれぞれa,b,c,d,e,fとするとき、辺abの長さと⌒abの長さを求めよ。
これをみると「円周率が３」というのはやっぱりまずいと思う人は多いと思う．そして，私ももちろんこの問題を使って説明したことはある．ただ，ここで話を終えてしまっては面白くも何ともないのだ．

「ところで曲線の長さの定義って何だったっけ？」という問題を考えてみてほしい．
そして，もう１度上の問題をみて，３と3.14が違うというのをみると，逆に「3.14と３ってあんまり変わらないよな」って気分になるのではあるまいか？
これが大きく違っていては曲線の定義ができないんだから！
「曲線の長さ」というのは「瞬間速度」という言葉と同じで，別に，ほんとに「曲線」の長さをはかるものではない．
少なくともそうしないとうまく定義できないのだ．
物理なんかでは，円周の長さの定義をせずに，その測り方を定義と勘違いした上に，「細い糸を円周にそっておいて，それをまっすぐにのばせはいい」
なんて本気でいう人がいてびっくりさせられるのだが，「定義」を答えていないで測定法も何もない上に「ところで，のばすときにどんなに細い糸でも内側と外側の伸縮率が違うってことはないのかな？」
というと大抵は返答に窮する．（この辺は数学でいう「評価」で切り抜けられなくもないのだが，いかんせん「定義」がないから，これ以上この会話を続けると返答者は地獄をみることになろう．（笑））
「言葉」にだまされ，「理論展開」にだまさる人のいかに多いことか！
そういう雰囲気にのまれやすい，浅はかな人間は数学よりも物理学の方が向いている．もちろん私なんかもそうかもしれない．
「お前なんかに物理がわかるわけないだろ」と言われそうだが，あいにく，私の方がねがいさげだ．
物理の理論的根拠のない式変形に吐き気がする.

なんのコピペか知らないが、せめて>>1くらいは読んでから書き込みしてくれ

>>279-281
ひょっとすると　269　に対する批判かな。
「明確な定義の不在」を憤っていると見たが如何に？

確かに、定義が適切でないと数学の議論として成立しないから定義をはっきり
させてから議論をすべきだってのが大学初年の頃の通過儀礼ではあったな。
しかし、数学の歴史を見ると定義はどんどん進化し、深化する。どのように定義
すべきか自身が十分意味のある数学的問題だ。また、物理学者の蛮勇が数学の新
しいアイデアや理論の呼び水になっているのもれっきとした事実だ。
勿論、だからと言ってそういう「不純な話」を好きになれと云うわけではない。
ただ、「価値は認めろ。」と言いたい。

>>279-280
>>282

黙れ

オウ、不満が溜まっとりますナ。

猫

>>279-280

円周率は、ユークリッド幾何学では一定値だが、
非ユークリッド幾何学ではそうではない。

双曲幾何では半径が大きくなるほど増大し
楕円幾何では逆に半径が大きくなるほど減少し、
あるところで０になる。

もちろん、両者とも、半径を小さくした場合の極限値は
ユークリッド幾何における一定値であるπに収束する。

>>269
>（パリク）ペアノの公理系には原理的には証明可能であるが、
>　　　　　実際には証明できないような論理式がある。

「実際には証明が長すぎて、人間にはできない」だな。

パリクの逆理は、ゲーデルの不完全性定理における
ゲーデル文中の「証明が存在しない」のところを
「長さ＊＊以下の証明は存在しない」とするだけ。

>「実際には証明が長すぎて、人間にはできない」だな。

証明できないというより証明を書き上げることはできないの方がより正確かな。
にもかかわらず、その長い証明を作る手順は簡潔に述べることができるので、証明があることは簡単にわかる。

この定理にはさまざまなバリエーションがあって、
「証明も、証明ができることの証明もとんでもなく長いが、証明ができることの証明ができることの証明は簡単」等々。

>>286
その通り、これだけじゃつまらんが、人間が現実的に表現出来る数の上限
なんかを考えると云うのも面白いかも。
例えば、2進法に限定し、冪まで許して6文字（こんなに小さいはずはないが）
までしか使えないなら
　　　　１１
　　１１
１１
が最大かな。（きちんと確認したわけではない）
しかし、もっと別の演算の定義を許し、ｎ文字以下で定義されるとすればもっと
むずかしくなる。
勿論、新演算の定義部分まで含めてｎ文字でなければならない。
グラハム数の定義なんかを見ると驚くほど巨大な数字が小さな文字数で定義されて
いることが判る。

>>288
巨大数探索スレッド8
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194777915/

へどうぞ。

>>289

こんな面白いスレッドがあるとは知らなんだ。

知ってて釣りに来てるのかと思ってたけどな

■■C++で大きな数を作るスレ■■
http://pc12.2ch.net/test/read.cgi/tech/1237894070/

>>285
おまえ，一体何年数学勉強してんだよ？
さっさと老人ホームいって世界最高レベルのいじめを受けて反省してこい！

>>292
コラァ、ワシにかて何かカキコをせえやっちゅうてるやないけェー

猫

>>293
熊猫さんは微分幾何が好きなわけ。
それなら「ガウスの抜群定理がWKL_0から導けるか？」
なんてのに挑戦してみたら。

複素解析への逆数学の挑戦が結果を出しつつ
あるみたいだけれど微分幾何では未だ聞いていない。
成功すれば、今なら、博士論文並みの価値があるかも。
（これは完全な偏見。だれか専門家つっこんで）

>>294
いや私は微分幾何は嫌いというか、かなり苦手だと思いますね、
特に計算っぽいヤツとか解析っぽいヤツとかがですね。やっぱ
し私は代数的なヤツとか計算しなくてもエエ数学とかですね、
まあそんな感じなのが好きなんでしょうかね。例えば幾何であ
れば代数的位相幾何とかが好きですね、まあ趣味としてだけで
すけど。

まあ要するに具体的なヤツとか計算ばっかしのヤツは嫌いですワ。

猫

Hilbert以後に生まれて良かったですね

>>46
数学の基礎部分を構築しようとするとき
どのようにしても自然数を既知としなければそれは出来ないということ？

もしかしたら一人くらい喜ぶ人もいるかも……で貼ってみる

ttp://www.bookcyber.net/basket/detail.cgi?key=20100411

「無矛盾性の仮定ってなんなの？」と聞いたものですが、>>275のpdfを適当に読んでみて
この仮定にも不定性が隠れてんのかな、と思いました。

>>297
ここで私が言う数学基礎論とは大体ロジックのことを言っていると考えてください。
現在、集合論はロジックでは説明できていません。
自然数の公理は純粋に論理学で記述されますが、
その意味内容について論理は何も説明していません。
一方でいくらでも作れる公理系の全てにおいて
同様の自然数の直感が基礎にあるのは明らかです。
でないと公理や推論規則の対応ができるはずないです。
そういう意味で数学は単一で、ロジックは制限に過ぎません。

>>300
その理屈は「全ての学問は単一だ」という空虚な一般論になるのでは？

現在、物理学は数学で説明できていません、
数学の公理系の取り方は任意ですが
物理はこの現実と対応を持たなければなりません、
とかいうのと同程度の無意味な話に見える

>>302
>数学の公理系の取り方は任意ですが
公理系の数だけ法則の異なる宇宙があると考えればOKじゃありませんか？
だとすれば、我々の宇宙に合った公理系はただ一つだけあるんじゃないかな？

数学って結局人間の業なの？

「人間」の定義が曖昧だからあまり意味がない

>>305
数学の定義の曖昧さの方を問題にすべきじゃねえ？

では分かりやすく言いましょう。
なぜ公理系の取り方次第で、さまざまな世界が作られるのに
私たちはそれら全てを理解することができるのでしょうか？
半集合や極値集合やnull集合が等しく認識できる理由は？

>>307
>>300から続いてんの？

「同様の自然数の直感が基礎にある」から、と言いたいのか知らんが
意図がよくわからん。はっきり言って全然分かりやすくないぞ。

>>307
あなたが勝手に理解している思っているだけ。
大体、今まで書いていることから、ロジックにおける syntacs と semantics の違い
を把握できていないことが明白。

>>309
俺もその違いがわからなかったな。
というか、ひとつのものであって欲しかったと言うべきか。
systacsとsemanticsで役割が分担されちゃうでしょ。
世界が割れちゃってるじゃん．．．

訂正します
syntacs

307の二行目と三行目がなんで逆接の関係になるのか分からん

＞自然数の公理は純粋に論理学で記述されますが、
そんなこと無いよ
Peanoの公理でもZFCのωだとしても不充分

足立恒雄さんが「類体論へ至る道」の増補版で

A=B　とは　A⊂B　かつ　B⊂A　ではない。
多くの一般数学者はそこを勘違いしている。（自分も勘違いしていた）

と云ったことが書いているけど、どうして？

>>275や足立恒雄さんの「数の体系」でも触れられているグッドシュタイン数列
についてだがメチャクチャ不思議だ。

定理１　どの(x, n) から出発しても有限ステップで第一成分が0 になる。
（(x, n)の定義とかは 簡単で275の該当箇所を3分くらい集中して読めば判る）

特に、この定理１について次の定理２が成り立つと云うのが感覚的に納得できない。
定理２　グッドシュタイン数列の有限性はペアノの公理系では証明できない。

たぶん、「どの（ｘ、ｎ）」と云うところに定理２が成り立つエッセンスがあるんだろう
けど、具体的な（ｘ、ｎ）について本当に０になるところが見たいものだ。
これって、グラハム数より大きくなる場合がありそうな気がするけどな。
そしたら、ギネスが塗り替えられる。

>>313
そこで参照している「集合論入門」をまず読んでみたら?

>>315
なに、わざわざこの為だけに本を買えって？
近所の図書館にはないぞ。
買ってくれって言ったら「特殊すぎる。」と言われたぞ。

まっ、良いか。
ペンディング

>>316
外の図書館から借りてもらえばいいのに

>>313
Ａ、Ｂを位相空間とする。ＡからＢへの単射連続写像、ＢからＡへの単射連続写像がどちらも存在するときＡとＢは同相になるか？

多分一般にはならない

>>318
足立さんを含め一般の数学者がこのレベルの問題に勘違いすることはあり得ない
ので313の話とは別として。

Aを単位開円盤、BをAから原点を抜いたアニュラスとする。
BからAへは自然に単射連続写像が定義出来る。
Bの中に小さな開円盤Cを定義し、AからCに同相写像を定義すれば
当然AからBへの単射連続写像。しかし、AとBは同相ではない。

集合だとＡからＢへの単射とＢからＡへの単射があれば同型なんだよね
カテゴリーごとに言えたり言えなかったりするわけか

本を持ってないから知らんが
>>313の話ってそんなことなの？

多くの本で、「A⊂B　かつ　B⊂A のとき A=B と定義する」
と書いてあるけれど、それは間違いという話。

ここにもあほがいるのか？

>>322
その言い方はさすがに拙い。定義ではない。しかし、定理としては成り立つ
と思っているのだが・・・。

本を持っていないから単なる予想だが
「A⊂B」　と云うのは実は「∀ｘ（ｘ∈A　→　ｘ∈B)」の略記に過ぎない
と「数学のロジックと集合論」（田中・鈴木著）には書いてある。このこと
を指しているのか？

　でも、この程度なら普通の数学者は理解していると思うから別なんかね。
ちなみに上の著者二人はばりばりの基礎論さんだから内容的には信頼している。

313と似たような話で巷の数学書の群の定義は数理論理学的には間違っていると
野崎さんがどっかで書いていた。

等号についての公理のことは
意外と普通の数学者は知らないもんだよ

a = b → F(a) = F(b)
a = b → [φ(a) ⇔ φ(b)]

こういうののことが言いたいんでしょ
「常識的に明らかだ（だからこのような公理を立てる必要はない）」
と何となく考えている人が多いと思う

そういうこと。
= で誰もが知っている等号を指しているならば
「A⊂B　かつ　B⊂A のとき A=B となる」と述べるべきだし、
「A⊂B　かつ　B⊂A のとき A=B と定義する」ならば
この = は等号公理を満たすことは別に述べるべき。

どうも、「M_SHIRAISHI氏の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと

と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして

M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］

こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

数学糞論？

>>327
私はあなたと議論する気はないが、「なになにの理論が正しい。」と云うの
はむなしい。絶対的な正しさなんていうものはないのだから。たとえ、あなた
の理論があなたにとって絶対的に正しいとしても他人を引きつけられないない
なら意味がない。「俺の理論を理解出来ない馬鹿どもめ。」と思えるとしても
仕方がない。世の中はその「馬鹿ども」によって動いているのだから。ただ、
歴史を振り返れば正しい理論は結局は認められている。（あるいは認められた
から正しいのだとも言えるかもしれないが）だから、自分の理論に絶対の自信
があるならどこかに発表しておけばそれでよかろう。それ以上何も云う必要は
ない。本物なら100年後に残っている。

ページ数くらい書けや>>313

>>324
> 313と似たような話で巷の数学書の群の定義は数理論理学的には間違っていると
> 野崎さんがどっかで書いていた。

野崎さんが書いてるのは知らないが、本橋さんのどれかの本（彼は何冊も本を書いているけれど確か割と最近に出版されたもの）で
上の問題を取り上げて説明してるのを立ち読みした覚えがある。

立ち読みなんで確実とは言えないんだが、要するに群の定義を日本語で書き下している時に、
論理式での定義で使う限量子に相当する修飾句の位置や有効範囲が間違っていて束縛変数が自由変数になってたり
あるいは逆の状況になってるという類の話だったと思う。

日本語の文章で
任意の a に対して 〜〜 となるような b が存在する、
と書いた場合、∀a ∃b 〜〜 なのか∃b ∀a 〜〜 なのか、
文法的には両方がありうるけどね

量化子のスコープや量化の順番やらがそもそも
文法的に必ずしも一意に定まらない

>>331
新しい論理序説 (すうがくぶっくす) (単行本) 本橋 信義 (著)

野崎さんが書いていたと云うのはたぶん記憶違いだったと思う。
上記の本の編集なり短評に野崎さんの名前があるので混乱した。

それから、集合と位相 (岩波基礎数学選書) (単行本) 彌永 昌吉 (著), 彌永 健一 (著)
には「P→Q　が　¬P∨Q　が同値である証明」が最初の方に載っているがすごく怪しい。
もう忘れてしまったが基礎論屋さん（多分、竹内さんあたり）の本にその証明をかなり
厳しく批判しているのを読んだことがある。多分、彌永さんのオリジナルな証明ではなく
だれか昔の著名な数学者の証明ではないかと睨んでいるのだが。

そもそも何を証明に使って良いのかはっきりせんよね

＞ ZFC で証明できるなら ZF で証明できることは、ずっと昔から知られている。
ZF で C が証明できる

怪電波発見w

リーマン予想スレに数日前から常駐

>>332
任意と存在ならば、次のように書けば切り抜けられる。
任意の a に対して、b が存在し 〜〜
b が存在し、任意の a に対して 〜〜

困るのが、
任意の a に対し〜〜でない。

>>329
> 絶対的な正しさなんていうものはない

「異なる３個のものから、２個を選び出す組み合わせの数は３通りである」
は、絶対的に正しい。

>>329
> 絶対的な正しさなんていうものはない

んなこたぁない。例えば、「異なる３個のものから、２個を選び出す組み合わせの数は３通りである」
は、絶対的に正しい。

「三つの電子のなかから、二つの電子を選び出す組み合わせの数」は
一通りだけどね

>>340
クリプキのクワスって聞いたことある？

６８＋５７＝５　と書いたら絶対間違っていると思うでしょ。
普通は１２５だよね。ところが、当代最高のロジシャンの一人クリプキは
これが間違いとは言い切れないと云う。それどころか、間違いだととの反論
をことごとく覆して見せる。
詳しくは調べてみたら。
ちなみにこのクリプキってあのゲーデルを驚かせたプール-エルとクリプキの
定理のクリプキだ。

そのプラスクワスの話は何度聞いても意味が分からないんだよね

（その＋がペアノの公理で定義された演算で
＝が等号公理で定義された関係で68や57や5が小学校で習った
普通の十進法表記で表されているなら）1+1はmod 2なら0だから
1+1=0でも良いんだとかいう空虚な話と同じだと思う

寧ろ考えるべきは、純論理的には68+57は5だという理解もありうるのに
どうして我々は間違いなく68+57=125だと正しく理解するのか、
その際に働いているコモン・センスやら何やらについて解明することだと思う

クリプキが様相論理に関する完全性定理を高校の時に示したのは
知らないがプール・エルの定理は知っている、というのはだいぶ特殊だと思うけどね
情報源が2chか数学セミナーくらいしかない人というか。。

>>343
そんなことはない。今は、「ゲーデルと20世紀の論理学」でも触れている。
あと、クリプキが様相論理の完全性定理の話は勿論知ってるよ。
だからと言って内容をきちんと理解している訳ではないからいばれないけどね。

あと、なぜ68+57＝125だと正しく理解出来るかを追求すると結局は脳の構造と
機能の話に帰着するだろう。下記の著者は極めて高い知性を持ちながら計算だけ
は出来ないと云う特殊な「学習障害」をもっており、紙やリンゴは数えられるの
にそれを一般的な「数」に抽象出来ない。そのあたりのことを彼女自身の卓越し
た表現力で書かれている。

「13歳の冬、誰にも言えなかったこと―ある学習障害の少女の手記 (単行本)
サマンサ アビール (著)」

カテゴリー欠損症

いやいや、クリプキの言う＋クワスの理屈はほとんど屁理屈で、
あんな理解をする学習障害はありえないよ

結局人間同士の相互理解に頼ってるってことでしょ。屁理屈として除外するために。

> 絶対的な正しさなんていうものはない

言いたかったことは単に次のことだった。
「正しさと云うのは相対的なものである。つまり、なんらかの前提の上で
その正しさが保証される。」

形式的に過ぎないってこと？

1+2+3+4+…=-1/12が有りならクワスも有りでしょ
クワスが数学的に詰まらない演算だからへ理屈に思えるわけで

>>349
形式化された数学の正しさが保証されるとしても、
全ての数学が形式化出来る（ヒルベルトのテーゼ）と云うこと自体は証明出来ることではない。
だから、ヒルベルトのテーゼを前提にしてこそ証明論の正しさが意味を持ってくる。
更に、形式化は実際は一意的ではないだろうから、ここにも曖昧さが入り込む。
他にも様々な有象無象の前提条件を課して初めて正しさが保証される。
このような状況を指して「正しさと云うのは相対的なもの」と言った。

ちょっとド素人の意見で誠に恐縮なんですが：
★★★「形式化出来るモノしか数学とは呼ばない」★★★
という考え方は間違ってますかね？　（但し形式化の
一意性は一切問いません。）コレは私の感覚ですが、
この点こそが数学と物理の分水嶺ではないでしょうかね？
つまり「目に見えて納得（コレは実験結果を無視しない事
を指す）」でありさえスレばロジックなんてどうでも良い
というのが物理みたいに見えますけど・・・

猫

法則

普段論文を書くときにそれが形式化されるかなんて気にしないし、その論文を形式化しようなんて思わない。形式化出来るだろうという確信程度ならあるかもしれないが、はっきり言って形式化出来ようが出来まいがどうでもいい。
それでも数学をやってると思ってる。

へい、へい、オイラーは形式化のカケラもなしに凄い数学展開してたぜw

>>352、354
野崎さんがその本「不完全性定理」の中で
「形式系が現実の数学を、忠実に表現しているのは当たり前」のように書かれているので
林さんが、
「それは証明できることではなくて、そう仮定しているだけなのだ。」
と指摘すると
「そういうことは専門家は全然説明しないではないですか、それで自分たちのような素人にはわからない。」
と言われて目から鱗と感じ、「ヒルベルトのテーゼ」と云う言葉を考えたとか。
個人的には「チャーチの提唱」のように多分そうなんだろうけど証明は出来ない事柄と理解している。
よく考えてみれば全ての数学の形式化なんか出来っこない。やってみなければ本当に出来るかどうかは判らない
わけだけどまともな数学ならきっと出来るはずだと信じていることがヒルベルトのテーゼなんでしょうね。

あと、物理を含む自然科学についてはデュエム-クワイン・テーゼと言うのがある。詳しくは調べられれば良いが
早い話が同じ実験結果に対してそれを裏付ける理論は一意的ではないことに注意すれば良いでしょう。
多分こっちの方が数学よりも更にその基礎付けが曖昧であることに気づかされるテーゼである。

>>356
お返事をどうも有難う御座います。私は野崎先生の文献も林先生の文献も
存じ上げませんが：
「形式系が現実の数学を、忠実に表現しているのは当たり前」
という事の意味を私なりに解釈スルと：
「形式系で忠実に表現出来るモノ（だけ）を数学と呼びたい」
というのが自分の主張ではないのか、と何となく認識しました。
従って：
「それは証明できることではなくて、そう仮定しているだけなのだ。」
という指摘は悩まなくても良いのではないでしょうか？

まあいずれにしても：
「確実なモノ以外は（絶対に）使ったりやったりしてはいけない」
のが数学ではないでしょうか。尤もこういう事を真剣に悩めば
数学なんてとても出来ないんでしょうけど。

まあやっていい事とやってはいけない事との区別が存在しなかった
オイラーの時代ならばともかく、現代は例えばブルバキという美し
い基準点がアリますからね、だから例えば：
「ブルバキで記述出来る事を取り敢えずは（純粋）数学と規定スル」
等という立場は明快だと考えます。こういう考え方をすれば、
例えば理論物理学の全教程がブルバキ式に記述出来れば物理は
もっともっと明快になるのではないでしょうかね、一方で物理
としては極めてつまらないモノになってしまうのかも知れませ
んけど。

（続きます）

続き：

ソレでデュエム-クワイン・テーゼは、取り敢えずは認識している
積りです。だから実験結果に議論が左右されかねない理論物理は
私は好みません。まあ数理物理であれば、厳密な数学の方法論を
踏襲する「数学の一研究領域」としてなら私はオッケーですよ。

アト何でしたっけ、逆アセンブルに関係した有名な議論もありま
すよね、内容は今は忘れましたが。世の中、疑わしい話ばっかり
ですよ。

でもまあ私は専門家ではないのでややこしい理屈は別としてですね、
「数学というモノは自分の考えを表現する手段」
程度に考えています。加えて：
「どんな表現であっても完全に忠実では有り得ない」
と認識しています。つまり：
「どんなアイデアであっても数学として論理的に
書き下した瞬間にその本質の大部分を失う」
と思います。でも、だからと言って言語を一切使用しなければ
数学は出来ませんしね、困ったものです。

猫

>>357-358
お前一体何年数学勉強してきたんだよ？
さっさと老人ホームいって世界最高レベルのいじめを受けて猛省してこい！

>>359
アホな事を言わんといてやー

猫

>>356
読み返した結果、説明不足なので>>357-358に追加します。問題は：
「どの部分を数学と認識するのか」
ですが、私の立場は：
「ロジックという言語で表現されたモノだけを数学と呼ぶ」
のであって：
「言語や論理で表現される前のモノは数学ではなくてアイデア」
という解釈です。ソレで一番大切な部分は：
「言語を以て外部に論理的に表現されたモノしか他人には伝達は出来ない」
と考えます。

猫

ブルバキは論理の体系や集合論に関しては
かなり変ちくりんな体系なので何だか

あと現代の理論物理学で大事なのは抽象的な数学的理論が
現実をどういう意味で表現しているかだと思うので、それはやはりブルバキ式に
厳密にやれば解消するというような問題では無いんじゃないかと

>>362
前半に関して：
変かどうかではなくて「万人に対して客観的か否か」を問うています。

後半に関して：
貴方が仰る「現実」というのがもし「実験結果」を指すのであれば、
ソレはそれこそデュエム-クワイン・テーゼが指摘する問題点を伴い
ます。また「現実の表現」という観点であれば、例えば：
「複数の互いに異なるソースコードから同一の実行ファイルが生成される」
という話もアル訳ですよ。加えて「ゴッホが描いた絵」は現実か否か
という議論もありますしね。

因みにブルバキ式にやれば「解消する」のではなくて、物理A、物理B、・・・
みたいに沢山物理が出て来る様な気がしますけど。

猫

公理化と形式化の間の距離も随分あると思うね

>>361

なにをどう呼ぶかは定義の問題なのであまりそれ自体について議論する気は
ないが、数学の肝はアイデアであろう。
例の　ｙ＝√（ｚ−a)(z-b)(z-c)(z-d) のリーマン面がトーラスになると
言う認識には本質的に計算や形式的論理の積み重ねを必要とせず高度に幾何的
な直観があるだけで良いことは多分ご存じだろう。岡潔が「計算も論理も
使わない数学がしたい。」と言ったのは多分このようなアイデアに満ち溢れた
数学がしたいと云う意味と理解している。現実の数学者の感覚も、これほど
詩的ではないにしても、似たものだ。
また、「ロジックと云う言語で表現されたものだけを数学と呼ぶ」としても
超関数論が発見される前のヘビサイドの理論やファイマン経路積分が放った
魅力は「未知の数学」に対するものであることは否定できまい。
要は現実の数学は生ものであって、形式化の可能性はある種の「信仰」に過ぎない。

>>363
さっさと老人ホームいって世界最高レベルのいじめを受けて猛省してこい！

>>365
君は素晴らしい。

>>365
なるほど。私もソレは１００％了解します。ではその「了解するモノ」
とは一体何であるかを考えてみると、ソレは「モチベーション」みた
いなものではないでしょうかね。でもまあココで：
「ではモチベーションとアイデアとはどう違うのかを論理的に説明せよ」
となってしまったら私にはどうしようもありません。

でも確かに岡潔先生の「計算でも論理でもない何か求めるもの」という
のは「そういう未知の数学に対する強い期待」であり、然しソレは言語
とか論理を用いて完成した理論として書き下して初めて第三者に伝達可
能な状態になるのではないでしょうか。

まあ超関数にせよ経路積分にせよ、物理から戴いた宝物であるのは確か
ですから。コレは良く言われる事ですが、数学に取って一番大切なモノ
はアイデア（或いはモチベーション）でしかアリマセン。論理は誰でも
使えて当たり前だという主張ですね。でも計算の方は誰にでも当たり前
な道具かどうかは私には判りません。もし計算が万人に取って当たり前
であれば、例えばオイラーみたいな人が普通の人になってしまうので、
とても困りますから。

猫

流れを読まずに申し訳ないんだけど、今Shoenfieldの本でモデル理論の章を読んでます。
次のモデル拡張定理（Model Extension Theorem： Keisler）についてどういうイメージで
掴んでいいものかわからず悩んでたんですが、、、
--------------------------------
　α：言語L上のstructure
　T：言語L上の理論
　Γ：言語L上のregularな式集合、　とするとき、　
　αがTのモデルとなるようなΓ-extensionを持つ
　⇔
　T|- ¬A1 ∨・・・∨¬An　（Ai∈Γ）　ならば　 α(¬A1 ∨・・・∨¬An) = true
--------------------------------

式集合Γから出発して "Γ方向" に延長する、とイメージしたとき、
¬A1 ∨・・・∨¬An という形の式集合は理論Tの "Γ切片" とでも呼べばいいのでは
ないかと考えました。
structure αが理論Tの "Γ切片" をカバーしていれば、残りの "Γ方向" に延長
することでTのモデルにまで拡張することが可能、という理解でいいのかと。
これって真っ当なイメージだといえますかね？

>>369
空気読めない人に、答えるつもりはない。

>>356
＞全ての数学の形式化なんか出来っこない。

というより、形式化は煩雑なだけで、ちっとも分かりやすくない。

＞同じ実験結果に対してそれを裏付ける理論は一意的ではない

別に一意的である必要はないがな。

>>357
＞現代は例えばブルバキという美しい基準点がアリますからね

20世紀後半は、もはや現代ではないが。

今は21世紀。ブルバキを「美しい」というと笑われる。

>>362
＞ブルバキ式に厳密にやれば解消する

ブルバキは別に厳密性を追求したわけではないが
抽象化は厳密性とは別の話。

分かってる人には、抽象化はそれなりに意義があるが
なんも分からん人には、多分その意義が分からない。

＞「計算も論理も使わない数学がしたい。」

というか計算と論理を除いたら後に何にも残らんような数学はツマラン。
「直感」こそが数学の内容であって、
計算や論理は直感の裏づけにすぎない。

いくら計算や論理で正しいと示されても
なおかつ不思議だと思わせる結果でなければ
意味がない。

>>375
証明され、年月がたてば、みな、その線の直感をつくるわけで、必ずしも
初めから直感があるわけではない。

直観を直感と書かれても説得力無いな。

>>309
アク禁で書けなかったので大分流れてしまいましたが、
一応書いておきます。

＞大体、今まで書いていることから、ロジックにおける syntacs と semantics の違い

そんなものは分かっています。
シニフィエ：シニフィアン図式のことですから。
私が言っているのは、(object：meta)：(syntacs ： semantics)図式という
2つの分裂を区別する人間の能力に関して言っています。
もう一度レスを読み直してみては？
まぁ恐らく盲人に色を説明しているようなことになりそうですが・・・。

>>342-343で言及されているクワス算も同じもので、
規則が行為の仕方を決定しないというのは、
人が加算のような行為を行うときに、
実は加算を行っているのではなく別の規則に基いて行為をしており、
加算をしているのではないのではないかというもので、
それでは完全な言語が存在不可能なことを意味しています。
例えばタブロー法や真理木を書くことさえ、この議論の支配下にあります。

>>377
直感の方が普通の言葉で、大きな意味の相違はない。
知識不足！
直観はどちらかといえば哲学的なにおいが強い。

直勘

西洋翻訳哲学では
直観(Intuition)と直感は明確に区別されており、
カントが純粋理性批判のはじめの方で用いている。
対象に推論を適応する前段階に、対象をそのまま捉えること。
つまり推論との対比で、人間の認識の機能を語るときに用いられる。
一方、直感は瞬間的に何かを感じ取ることで、例えば五感なんかと同じ意味で使われる。
数学に関する議論で直観が用いられるのは、
カントの数学的能力が直観形式に基くということに影響されている。
ブラウアーは数学的構造が予め存在していて、
数学者がそれを発見するという立場であったので、人工的な排中律を否定している。
現在は直観とはtruth value={complete Heyting algebra}の集合の指定と定義される。

でも>>376の言う通りの面もあるよな。
そうすると「対象をそのまま」も「瞬間的に感じ取る」もどっちも違ってくるよ。
瞬間的どころか習慣的だったりして。

誰か>>369にコメントよろ

>>313
http://www.google.co.jp/search?q=%22%E9%81%95%E3%81%84%E3%81%BE%E3%81%99%EF%BC%81%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AEX%3DY%E3%81%AF%22
これは関係ない？

>>369
イメージは自分でつくるものだ。
そのようなイメージを自分でつくったのならそう思えばよい。
少なくとも、私は、そのような、つまり、　、、、方向だの、、、、切片
などのようなイメージはもたない。

>>376
＞証明され、年月がたてば、みな、その線の直感をつくるわけで、

証明した人の直感を、証明を読んだ人が構築するだけのこと

>>385
それは違う。
証明した人が、必ずしも自分の証明を信じていないことさえある。

>>384
モデル拡張定理に対して何らかのイメージは持ってるけど>>369のようなイメージではない、という意味？
それとも特段イメージはもってない？

証明した人の直観を再構築なんて器用なこと

いやあ最近このスレも香ばしくて良い感じですね

このスレが香ばしくなったのは最近の事じゃないぞ

>>381

狂えるMarx, 馬鹿Kant, いかれしHegel アホかいな。（ｗ

どうも、「M_SHIRAISHI氏の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。

イメージとか直感とかだけで遊んで貰いたいならそういう世界へ行け
ただのお絵描きでもそれなりに絵を描いて見せないと
演説だけじゃ相手にされないと思うがな

>>387
その証明を読めば、とくに変わった議論を使うわけではないことがわかる。

>>394
ええ、証明自体は追えるんですが、いったいどういうわけで
¬A1 ∨・・・∨¬An　（Ai∈Γ）　
なんて形の式を考えるんだろう？と。
この式は本の前のほうにある Consistency Theorem(Hilbert-Achermann)
にも出てきており、この特徴あるパターンを何と呼んだらいいだろうかと意味を考えてました。
Model "Extension" Theorem にこの式が出てきたことで、
　・構造αを式集合Γに沿った"方向"に拡張していって理論Tのモデルにできるかが議題だ
　・構造αがもともと持っていた"広がり"がどの程度かに依存するだろう
　・Γに沿った方向とそれと"直交する成分"に分けて考えるってことか？
式集合 ¬A1 ∨・・・∨¬An　（Ai∈Γ）　が式集合Γの直交成分と呼ぶべきものなんじゃないか
と考え、>>369では「理論Tの "Γ切片"」 と表現しました。

>>395
T|- ¬A1 ∨・・・∨¬An　（Ai∈Γ）　ならば　 α(¬A1 ∨・・・∨¬An) = true
というのは、
T|- ¬(A1∧...∧An) (Ai∈Γ) ならば A1,...,An がすべて true になる T のモデルはないということだから、当然成立すべき条件で何の不思議もない。

さて、スペンサーブラウンが提唱した形式の法則であるが、
これはCalculusに基くブール代数の構成を可能にした「区別」と
呼ばれるシステムの自己観察機能による再循環−これは
マトゥラーナ＝ヴァレラ図式によるもの−に「拡大」可能となっている。
例えば「横断」による算法、これは自己同型写像による対象aの分布関数
R：Spec(�農N0)；B(a,ε)→Vll(-<>r)
を意味するもので、primary algebra の公理からアイオーンの時間の固体化、
即ちリンデンバウム補数の位相が閉であること(ArrX/R)、
また複素散乱ウカシェベッチ型ベクトルの縮減対応から得られる
「埋め込み」が線型写像であること⇔Θ：ξ(Asc(3))ΛΓ(A_0)→Γ(A_0)の作用が存在する。
直線的被覆が「シミュラークルの質料」というXの規定、これが即ち論理学である。

山之内　彰

中間休止RC0が論理のイマージュとなった「差異」、
セリーの合弁写像Fmin：など、アームストロングの公理系による裏付け、
ドゥルーズのindetermineとideeの分裂など、果てがないが、
まずはボニファスの記述(無限還元公理)から紹介しよう。

Tc1：aを中心とした推論可能域をｒをa；ｒと記述する
Tc2：消滅を∃¬%とする
Tc3：∃¬%のヒルデガルド対応は∃%である
Tc4：∃%の次は0；ｒとする
Tc5：0；ｒ→1；ｒの対応でModanponet
が一階無効になる

これはあなた方が使用している論理学の根底にあるものである。

山之内　彰

>>397,398
これを読んでいてソーカル・ブリクモン事件を思い出した。

>>313
相当遅いレスになるんですが、
「類体論へ至る道」を読んでみたんですが、引用ミスですよ。
正確には
（x∈A）∧（y∈B） ⇔ A＝B
が誤りだと書いてあります。

（x∈A）∧（y∈B） ⇒ A＝B
は成立しますがその逆は成立しないそうです。

A＝Bは全く別に等号公理（既にレスがありますが）から
導かれると書いてありました。
等号公理の代入規則から。

手元の松坂の集合・位相入門も間違ってました。

まずヒルデガルド対応の説明を与えよう、
一般的なTate仮説の∃¬%がKe(C*)の底鎖列として定義される場合の
Vintage代数がストーン双対であるとは、任意のカントール空間の
実効的閉集合の世界のMedvedev 次数構造がimmunityであることとは
以下の可換図式が成立することと同値である。

s → bl → bel → I
　　　　　↓　↓
　　　　　b → tl → w

また、identification in the limit をベール空間の集合へ一般化したも
のがこの学習還元可能性である、学習は以下のような具体例がある。

心象自制有界学習(P ≦bl Q)：
(∃ψ)(∃c)(8g 2 Q) [limn(gn)(g) 2 P
& #fn :(g n) , (g n + 1)g < c]:

誤謬有界学習(P ≦bel Q)：
(∃ψ)(∃c)(8g 2 Q) [limn(gn)(g) 2 P
& #f(g n) : n 2 !g < c]:

剰余類学習(P ≦tl Q)：
(∃ψ,;;;;,ψ_k )(∀g∈ Q)(∃m ≦ k) limnψm(gn)(g) ∈ P:

つまりジュリア閉集合とは、
(∀m) P ∧ Im ≠�唐ﾆなるような
有理区間の計算可能な枚挙fImg が存在しないときを指すのである。

>>400
そのxとかyって何？自由変数？
いみふ

>>402
間違えました。

（B⊆A）∧（A⊆B） ⇒ A＝B

でした。
公理的集合論の外延公理によるものだそうです。

だからページ数ぐらい書けよ。どこに書いてんだよ。

類体論へ至る道 改訂新版 　初等数論からの代数入門
第3章　類別とイデアル
§2．「等しい」ということの考察

立ち読みだからページ数は忘れた

成立しないんじゃなくて
片方は外延性公理、もう一方は等号公理による。
ただし結果として両方とも成立するから外延性公理を
⇔の形で表すことも多い。

該当箇所読んでみたけど、足立が言葉遊びしているようにしか思えない。何を公理とし、何を等号の定義とするか
なんて、ある程度自由だろ。「等号の定義はこうであらねばならない」なんて思い込みがあるから、言葉遊びしている
ことに気が付いていないんだと思う。詳しく書くと長くなるからやめるけど、
「（B⊆A）∧（A⊆B）」をA＝Bの定義とする定式化だって可能だよ。そのかわり
a=b→(a∈x→b∈x)
みたいな論理式を公理にしなくてはならなくなるけどね。それだけのこと。だから
>>400
＞手元の松坂の集合・位相入門も間違ってました。
は違うと思う。

>>407
>そのかわり
>a=b→(a∈x→b∈x)
>みたいな論理式を公理にしなくてはならなくなるけどね。それだけのこと。
>＞手元の松坂の集合・位相入門も間違ってました。
>は違うと思う。

集合・位相入門には、こう書いてある。(6 ページ)

集合 A,B は、全く同じ元から成るとき、
すなわち A の任意の元は同時にまた B の元でもあり、
B の任意の元は同時にまた A の元でもあるとき、
等しいといわれる。そのとき A=B と書く。

でどこにも a=b→(a∈x→b∈x) のような公理は書かれていない。

なんで足立みたいなアホを相手にしてるんだ？

「数学の基礎」（島内剛一）によるとP53−P63までびっちりと「§１"等しい"と云うこと」
を論じ、「§２集合」のP66で問題の[⊂の反対象律]が証明されている。
関連するところだけつまむと

等号の公理は
∀x x=x　（反射律）　と
A(x)を,xに関する命題でyを含まないものとするとき、
∀x,y(x=y A(x) → A(y)) （＝の代入法則）
だけで、対象律と推移律は定理として示されている。

また、∀x(x∈A→x∈B)をA⊂BまたはB⊃Aと書く。と定義し、
（B⊂A）∧（A⊂B） → A＝B　[⊂の反対象律]
を外延性公理を使って定理として示している。
しかし、[⊂の反対象律]の逆は示されていない！

>>403　大体、その通りだと思う。
>>406　逆の証明根拠をもう少し詳しく教えて。
ちなみに、外延性公理は下記の通り（キューネン）
∀x∀y(z(z∈x⇔z∈y)→x=y)
ここで「→」の部分がもし「⇔」なら逆が示せるとは思うが・・・。

わざわざ外延性公理をキューネンから引用したのは、島内さんの本も勿論
同じ内容だったのだが、
http://ufcpp.net/study/set/axiom.html
のようなものがあって、少し不安になったからだ。

>>409
足立さんがアホとは思わないが、基礎論学者でないのでこう云うところで躓くのは仕方あるまい。
むしろ、それを素直に話してくれる所に懐のふかさを感じる。

それはさておき、基礎論学者の島内さんが何気に注意している問題を一つ。
「反射律、対称律、推移律の３つを合わせて、同値律という。
ここで、反射律は重要である。対象律と推移律とからだけでは、反射律を導くことはできない。
”a=bとすれば対称律よりb=a
故に、推移律より a=a"
と云うのは反射律の証明になっていない。なぜか？
足立さんをアホだと云うならこの程度の問題は簡単でしょ。

訂正　410、412の対象律は対称律の間違い。

>>410
>逆の証明根拠をもう少し詳しく教えて。
>ちなみに、外延性公理は下記の通り（キューネン）
>∀x∀y(z(z∈x⇔z∈y)→x=y)
>ここで「→」の部分がもし「⇔」なら逆が示せるとは思うが・・・。

一階の論理体系の定式化には、= が基本記号であり、等号公理は論理の公理としているものがある。(モデル理論ではこの立場が普通)
この論理体系の上で公理系を考えることになる。
Kunen の本でもこの定式化を採用している。(翻訳書しか手元にないけれど、次のように書いてある。)

= は基本記号。
等号の基本的な特徴は論理的に正当で ZFC の公理として明示的に言い表すには及ばない。

>>414
成程、P8にそう書いてある。また、その直ぐ前には「直観的には、x=yはxとy
が同じ対象だということを意味します。」とある。

一方で島内さんの方はその辺をもっと細かく見る立場のようだ。P54
「”等しい”ということは、”同じものである”ということではない。たとえば、
aが３のときa+1と４とは等しいが、a+1と４とが全く同じものであるとはいえない。
少なくとも、表現は異なっている。
２つの数が等しいというのは、それらの値のみに注目したときに同じだというので
あり、点どうしが等しいというのは位置のみに注目していい、集合はその構成要素に、
関数はその作用のみに注目する。このように、対象のある性質のみに注目して同じとき
に等しいと云うわけである。」
この立場だと、多分、簡単には逆は言えない。足立さんの言いたかったこともこんな
ことではないかと推測する。

>>412がミスリーディングなので書いておく。
二項関係〜に関して対称律と推移律から反射律が導かれないのは、「∀a∃b　a〜b」が一般には成り立たないからである。
これは等号の公理に関するデリケートな話とはあまり関係ない。

さて、茶番が終わったところでセリーの合弁写像の根拠を与えよう。
ギヨーム理論が数詞と内部空間をゼロ複数、S単数などの空間的配置によって
形態論に内在する意味の精神過程を捉えるエルチュードだとは自明であろう。

P; Q 2 ω＾ω とする．P がQ にculervent還元(P s Q) とは、
ある双対アルゴリズム が存在して，任意のg 2 Q に対して
(g) 2 P となるときを指すから、T の定理とL反駁の
分離関数全体の集合Sep(T) はr.e.separating class
と呼ばれる特殊な実効埋蔵閉集合になる。

即ち完備側芽のTerr分解X_0[−，]：が以下のように変形される。

Ps j= (8x; y)(9z)(x < y ! x < z < y).
(9e0; : : : ; ek )(8g 2 Q)(9m k) em(g) 2 P

これはセリーの合弁写像と同型である。


山之内　彰

専門外の者が初歩的な質問して悪いけど、
「∀x P(x)」
という論理式に、昔から素朴な疑問を持っています。
普通の実関数 f(x) なら、「∀x f(x)」と書いたとき
x に代入し得るのは f(x) の定義域に属する実数だけだけど、
命題関数 P(x) にはその定義域(それが集合なのか類なのかは
よく知らないけど)が定まっていることを仮定しているのですか?
もしそうだとすると、公理的集合論の公理は、ニワトリと玉子の
理論になってしまいますね。
「命題関数」の厳密な定義がよくわからない。
「ヨx P(x)」
のほうは、罪がない気がしますが。
自分自身、「類」の公理的定義もよく知らないで、
「カテゴリー」とか毎日使っていますが。

述語論理の場合でも変項に代入される値の範囲はdomainとか対象領域とか
場合によってはuniverseなどと言う。
述語論理を初めに考えたFregeは、 x にはこの世のすべての対象が
代入されうるのだから対象領域は本質的にひとつだ、と考えていたフシがあるらしいが、
現在ではユークリッド幾何の公理系の対象領域、
自然数論の対象領域、と言ったように個々にdomainを考える。

そのuniverseを或る程度自由に変えることで
或る集合から或る集合への前単射が存在したりしなくなったりするなどということがあって、
選択公理やら連続体仮説やらの独立性の証明などではこのことが本質的に使われる。

ただ厳密なことを言うと、対象領域はものの集まりであれば何でも良くて、
別にその中で冪集合を取ったりとか、単射な函数の像を考えたりする操作が行える必要は
必ずしも無いので、純粋に論理学的な観点からは
集合論の公理全てが対象領域の要素の集まりに対して要請されるわけではない。
あと過去ログの話と被るので詳しくは言わないけど、数学を基礎付けるときに
必ずしも意味論が予め展開されている必要があるわけでも無い。

＞普通の実関数 f(x) なら、「∀x f(x)」と書いたとき
「任意の x に対して sin x 」とか言われても意味不明なんですが。。

>>419
>場合によってはuniverseなどと言う。
一般相対性理論とかはどう表現できるのですか？

なんだ冷やかしか

>>420
物理学は論理的に記述されていない。
419の最後に書いてあるように「意味不明」なことを口走る人にわかる
ようなことではない。

> 419
ありがとうございました。
ついでに、「類」の公理的定義が書いてある文献をご存知でしたら教えて下さい。
BG-ZFは、もう一度、よく考え直してみます。
「集合」と「類」以外の domain というのは、どういうような例があるのですか?
「層」とか「トポス」とかは別にして。

Endertonの本とか倉田・篠田の「公理論的集合論」とかにはBGのことが載っている。

＞「集合」と「類」以外の domain というのは、どういうような例があるのですか?
例えばメレオロジーとかがその例かなあ。
ただ数学科よりも寧ろ哲学科向けだけど。

>>420 所謂(iwayuru)*一般相対性理論*なるしろものは、どーも「怪しい」ｗ

天(Heaven)が、あの、死地面倒くさいテンソル解析をマスターしなければ、
我々(Whole of the People)に理解できない様に、宇宙ｗを創られたとは、
余or世には、到底、思われない。

所謂(iwayuru)*特殊相対性理論*のほうは、異存は無い。 中学生には、さすが、
無理だと思うが、高校生なら、多分、解かると、余は信じて疑わない。

将(masa)に、「目から鱗(uroko)」だゾ！！！！！！！

>>426
怪しむの勝手だけど車のGTSの計算補正にさえ、特殊と一般の両方がある
んだよ。物理の学位もってる人でも専門が違うと、特殊しか使われていない
と勘違いしてるみたいだけど。実は、一般の補正項の方が特殊より若干大きい
くらいだ。

たぶんGPSの間違いじゃなかろうか。
一般相対論の応用と言えばGPS、
GPSと言えば一般相対論の応用というのは割と有名な話

>>427
その話は知っていますけど、文献とかはアルんですか？
でもまさか一般相対論の教科書とかに記述がアルともとても
思えませんし、何処に書いてあるんですか？　まさか工学部
とか電子工学の教科書とかですか？

猫

>>398
ボニファスが主張する一階無効は
包摂完備形相の群順正Tr(2)だから
ドゥルーズはノマド願望を表現したかったんじゃないかと思ってます。
そうすればファニー類の制限双対⇔R堆積における不完全性定理の
準備外因の分布と関連してくるんですよね。
アギルの特性散乱でもモデル集合が成立するってことじゃないでしょうか。

>>429
例えば、次なんかどう？あと428の云う通りGPSの間違い。
http://maya.phys.kyushu-u.ac.jp/~knomura/museum/GPS/node11.html

>>431
なるほど。こういうHPがアルんですね。どうも有難う御座いました。
明日になったらちゃんと読んでみます。今夜はもう遅いので・・・

猫

テンソルってバンドル解析だよ、下敷きをりんごに当てて分度器で中心方向との角度をはかるだけ。
小３から履修可能です。

> 325
私も「等号の公理」のことは、よく知りません(数学者ですが)。
昔読んだレベルの低い論理学の教科書に、等号
a=b
の定義として、
「任意の命題関数 P(x) に対し、(P(a)→P(b)) ∧（P(b)→P(a))」
と書いてあったけど、これ、限りなく怪しいですよね。
まず、命題関数 P(x) として許される domain の範囲がはっきりしない。
次に、「加群のカテゴリー」のように「類」を考えるとき、
「同型」と「等号」の違いを上の定義で区別できるか、よくわからない。
学部生の頃、本の著者に直接質問したが、まともな答が返ってこなかった。
集合上での等号はあまり問題ないと思うが、類における等号って考えるほど
よく分からない。
基礎論では、どう考えるのでしょうか ?

形式的な公理系の言語（無定義術語）のセットを決めないとPの範囲は定まらないし、
また、それを決めれば定まる。マクレーンは基礎論で博士号取ってたはずなので、
彼が圏というものを考えた時もそういう前提で議論をしてたはずですし、
GTMの圏論の本とかを見てもそのように思われます。

a=bならば任意のPについて、[P(a)→P(b) ∧（P(b)→P(a)]
は正しいけど、
任意のPについてP(a)→P(b) ∧（P(b)→P(a)
がメタな立場から証明できたからといって必ずしもa=bだとは言えません
（但し、既に体系の言語に等号が基本記号として含まれていて
Pにx=aのような単項述語を代入できる場合を除く）。

そうではなくて、
どんなPについても a=b→((P(a)→P(b))∧（P(b)→P(a))
が成り立つ（公理として要請される）ような記号 = のことを等号と読んでいるのだ、
ということで、等号の公理が記号=の意味内容を定めているというのは
あくまでそういう意味です。

次の式を因数分解せよ。
(2x＋y)³ー(x−2y)³　

この問題の途中式と答えを教えてください

>>436
まずは>>1を読んで場違いであることをご理解下さい

>434
私は普通の数学だけ勉強している間は”等しい”とは同値律で統制出来るものと単純に
思い込んでいたけれど、「代入法則」が同値律からだけでは導かれないことを
見るに、同値律が”等しい”の性質の全てを表現していないことが明確に判った。

GPSをそこまで精度出しても、あいつらふつうにジオイドにそって+/-10mは動いているよ。

>>439
なるほど、それもそうだな。勉強になるな〜〜ぁっと

文系の人が対角線論法と微塵も関係無い現象に対して
「ゲーデル的」とか言うのは止めてほしいなあ

それだけじゃ「ハイゼンベルグ的」と言ったって良いじゃない

>>441
甘いな。
やつらは「不確定」だけをキーワードにハイゼンベルグ的とも言ったりするぞ。

以前ニュース系のスレで不完全性定理は世の中には完全なものはない事の証明だ
と吹聴してた馬鹿を思い出した。

じゃ、「相対」ならアインシュタイン的か？　あながち間違いではなかろう。

>>444
それがCSの根拠のひとつだろうし，アホというのは自分の都合のよいように
何でも解釈する例でもある．

>>441
いまどき、文系とか理系という区分けとはなんとオールドファッションな！
それに数学はどちらかと言えば文系じゃないかな。少なくとも自然科学じゃ
ない。自然からインスピレーションを受けることはあるだろうが自然そのもの
は研究せんからね。

下手な釣りだな

すみません、唐突なのですが、
他学部卒で学士入学で入り直して日本で数学基礎論を学ぶとしたら
どこの大学がいいでしょうか
東大とか京大とかのＨＰみてもあまりそれらしい情報が載っていない上
右も左も判らないので･･･

東大か京大にしとけ

>>448
東北大が良い。

>>449
何を根拠に京大？
あそこはきついぞ。
ちょっと前までは2軍制を引いていたな。
しかも、1軍は1学年で１，２人。
ちなみに、2軍は「お前の学力じゃ先々しらんよ。」と云う意味。
論文も、レベルの高いものでないと、なかなか出せない雰囲気がある。
Aさんがある定理証明して、Bさんがある未解決問題出していて、
ショウセイが「Aさんの定理使えばBさんの問題解けるじゃん！」ときずいて
論文にしようとしたら「お前、そんなもん書いて恥ずかしくないんか！」
と周りから言われたぞ。論文は質も大事やけど数も大事なのにね。（就職するとき）

そもそも右も左もわからない人間が数学に専攻替えするほうが間違ってる。
前専攻とこれから学びたいことに関連性があるなら下調べする際ある程度の環境予備知識も
備わってるもんだからな。

〜昔の鏡台某研究所でのとある光景〜

院生：センセイ、某大学の某さんの論文を読んでいたらその定理の拡張が出来ました。
教授：ああ、そうですか。ソレは難しくないからやったら出来るでしょうナ。
院生：あのぅ、だからソレを原稿に纏めようと思うんですが・・・
教授：そうですか。でもそんなモンを纏めてどうするんですかね？
院生：いや、だから論文と言うか・・・
教授：論文ですか！　でもそんなモンを書いて何処に出すんですかね？
院生：いや、書いたら某雑誌には発表出来るかと思いまして・・・
教授：ソレはどこかには出るでしょうな。でもそんな事をしてどうスルんですかね？
院生：業績にはなるのではないかと・・・
教授：そんな結果を出版しても大した業績にはナリマセンな。
院生：はい、どうもスミマセン。また出直して来ます。
教授：ではまた頑張って下さい。

故郷は〜遠きにアリて〜想うものォ〜

猫

で、電車で痴漢してタイーホされて今に至る訳か

集合について、つまらん問題を一つ。1回生あたりがいいな。
ノイマンは良く知られているように
０　φ
１　{０}＝{φ}
２　{０,1}={φ,{φ}}
・・・・
と定義した。さて、素人的には
０　{}＝φ
１　{φ}
２　{φ,φ}
・・・
でも良さそうだがなぜだめか？

>>453　猫さん出番ですよ。

>>455
猫の出番はもうアリマセンので、どうかアテにせえへんで下さいませ〜
でも集合として：
{φ,・・・,φ}＝・・・＝{φ,φ} ＝{φ}
ですからね、ソレではアカンと思いますね。

ではまた。

猫

>>452
数学基礎論自体は全く関係ないんだけれどもサイドワークでやろうかなと

数学知らない人間が片手間で出来ると思われてる基礎論ってどうよｗ

これで食べていく人間って大学教官以外にあるのかね？
普通は別の専門を持っているものだと思うが

いやー予備知識無しに片手間で勉強できる、と思いこめるってのがいいね。
専門でやってても奥が深すぎて分からないことが多いって人が大半なのに。

よっぽど優秀な頭脳を持ってる…、ん、なのに東大や京大のシラバスも知らない？
またまたご冗談をｗ

よくゆうよ、ゲーデル数の本をハードカバーで一般向けに岩波から出してたくせに。
あれひらいて後悔したひとがどれだけいたことか。
A４、３枚で説明つくのに。

一般向けに書かれた本で専門の深さが理解できると思ってるとは…
君はブルーバック読んで俺は極めたぜ！とか言い出すタイプ？

俺のこと？

ゲーデル 不完全性定理 (岩波文庫) (文庫)
ゲーデル (著), 林 晋 (翻訳), 八杉 満利子 (翻訳)

◇作品名：数学ガール　ゲーデルの不完全性定理
◇著者：結城　浩
◇購入場所：大地屋書店（大山店）

1 数学ガール
2 数学ガール・フェルマーの最終定理
3 数学ガール・ゲーデルの不完全性定理

俺も数学ガールでフェルマーの最終定理は極めたぜ！

しかしゲーデル数の本ってまたマニアックな本だな
岩波からハードカバーで出た不完全性定理関係の本ってちょっと思い当たらないが何だろう

>>466
んじゃ Hecke algebraと谷山志村予想の関連について触りだけでも良いから語ってくれ。

>>460
東大や京大のシラバス知っているかなんて単純に学内者であるか否かだけの問題だろうと思うのだが？
自分の頭脳が優秀だなどと言うつもりはさらさら無いが、優秀な頭脳を持っているのは
数学科の人間だけだとでも思っているのだろうか

だから国内有数の大学の学内者ですらない人間がサイドワークで簡単に基礎論を習得できると思ってる
事に対する皮肉だろ。

万事いいかげんで卒業しやすいなんて言われる京大ですら>>451みたいなもんだぞ。
ゼミで担当教官に散々突っ込まれてプライドをずたずたにされて泣かされる奴もいる。

京大が卒業しやすいのは確かだけどね。
ただ見捨てられるだけの話。

東大京大の学内者でなければ優秀な人がいないわけというわけでもないし
仮に同じ大学であっても他学部のシラバスまで公開されているとは限らないだろ
数学基礎論を軽く見るつもりはないが人それぞれでサイドワークをやっている人はいる
あなたは自意識過剰な上に世間知らずではないのかね

とはいえ私自身もまだひよっこで世間知らずでもあるが
世の中には複数の分野で一流の業績を上げている人もいるし
特定の分野で功成り名を遂げた人が五十の手習いで新しい分野を始めることもある
例えば科学史なんかやる人だと数学基礎論には興味持ってもおかしくないと思うのだが
経済学やっている人でも多少関係ある分野はあるぞ

ショウセイは解析で一応論文をレフリーにいる雑誌に載せるレベルには勉強
したが、基礎論は片手間では到底極められん。
良いとこ、並みの修士レベルだろう。（ネットで拾える修士論文から判断）
ただ、この方面の研究者がさぼっているから良質の教養書が他の分野に比べて少ない。
最近読んだこの分野の教養書（入門書？）では次が良かったね。
「数学のロジックと集合論」田中・鈴木
読んだ人いる？

ウィトゲンシュタイン全集　１
論理哲学論考　草稿一九一四−一九一六　論理形式について
ウィトゲンシュタイン全集　　　１
ルートウィッヒ・ウィトゲンシュタイン／著
奥雅博／訳

出版社名 大修館書店
出版年月 1977年
ISBNコード 978-4-469-11011-1
(4-469-11011-6)
税込価格 4,200円
頁数・縦 ４１１Ｐ　２２ｃｍ

分類 人文 ／哲学・思想 ／分析哲学

なんか根拠のない自信を持った輩が紛れ込んできたようですね。

>>474
それで一体何が云いたいわけ？
ポッパーになった気分だな。
引っ掻き棒は必要か？

L = {0,1,+,・} を言語として，実数RをL-構造にする方法は１つでない．０
は実数の０と解釈して，１は１に解釈，+は和を与える関数，・ は積を
与える関数に解釈するのが普通ではあるが，たとえば，０を実数の１
と解釈しても我々の意味ではL-構造になる．
具体的にどうするか？

指数関数をモデルに取っても良いし、minとmaxにしても良いし
max-plus代数でも良いだろうし、いずれにせよ自明

述語論理を学んでいくと

「Γ を用いたα の証明」があるときΓ｜−α　と記号でかく．」
ここで、Γは閉論理式の集合　とか、　｜−α　とはφ｜−α　のこと
、Γの有限部分集合

と云った集合論の用語が説明無しで出てくる。これを外すことは出来ないものか。
気持ちの上では述語論理は集合論の前に位置づけられていると思っているのだが。

まあ、「完全性定理」まで行くとWKL_0が仮定されていないといかんと云うことらしい
からしょうがないけど。

と容疑者は意味不明な供述を繰り返しており…

>>480
意味は明快じゃん。
479はようするに集合論抜きで述語論理の基礎部分を構築したいと云ってるんでしょ。

>>479
集合論について云うなら自然数についても云う必要はあるな。
n変数関数　とか出てくるでしょ。
このｎを使わずに理論構成せにゃいかんでしょ。
そうすると、最初にプレスバーガー代数Qあたりをユニバースにして
具体的にある程度理論構成したあとで0，1，2，・・・・を使えば良い。

まず使って良いメタ理論の範囲を決めてしまう必要があるよね

>>483
そうだね。下記のように明記しておけば479のような疑問は出てこない。
ただ、素朴な0，1，2，…さえ使えなくなると書き方が回りくどくなるだろうな。
ｎ項述語なんてどう表現するんだろう。

記号論理学では論理式自体を扱っているときには集合の言葉は使わないが，
論理式に意味を与えるときにはさまざまな集合，集合間の写像，集合の要素間の関係，
などを使う．

>>483-484

じゃ、メタ理論では洗練された日常言語と形式化されていない数学的論理以上
のものは使えないとしたら（つまりブルバキの出発点）数理論理学は構築出来
ないわけ？

基礎論って、文系上がりで論理学出身の人も結構みるようなんだけど、
数学としては簡単な方なの？

ややこしい数式なのですが、誰か解いていただけないでしょうか？
これは自己相関関数についての式です。
x(t)が時間τだけ後の時刻における値x(x+τ)とどれだけ相関であるかを表す式です。
周期＝2T
w=2π/2Tです。

　　　∞
x(t)=ΣCn・cos(nwt+θn) この式をしたの式に代入します。
　　n=1

　　　　　　T
lim 1/2T・∫ 　x(t)x(t+τ)dt
T→∞ 　　　-T

　T 　∞ 　　　　　　　　∞
=∫ 　Σ Cn・cos(nwt+θn) Σ Cn・cos｛(nwt+τ)+θn｝
　-T n=1 　　　　　　　　n=1
ここからは恐らく「ΣΣ∫」の形にして加法定理を使うことになるかと…
しかし三つ目の式はあっているかどうか自信はありません…
すみません、私にはこれが限界です。
できればいくつか途中式も宜しくお願いいたします。
解いたものを写真でアップしていただいてもかまいませんので…

すごく難しいとは思いますがどなたか宜しくお願いいたします。

>>486
そんなには居ないと思うけど。。
だいたいロジックを研究している人は居ても
数学基礎論 Foundation of Mathemticsを
文字通りに研究している人は今は少ないと思う

>>487
>>1あたりを参照

>>486
偉い人が専門外の分野を甘く見て赤っ恥をかく
基礎論に限らないけどな

>>488
すみませんでした。

本当に偉い人はちゃんと前もって「これは判ってない。」と云う。
小平さんなんかも強制法は結局判らんかったと素直に言っている。
学問に対して謙虚だから言えたんだろうな。
ちょっと穿った見方をすると判らんと言っても自分は馬鹿にされない
と云う自信もあるのだろう。あるいは馬鹿にされてもこたえないくらい
の自分の学問に対する自負心かな。

大学院生が勉強しても分からなかったとか言っても
じゃあやめろと言われるだけだからな

まあ、本当に偉い人の「判ってない」は、普通の学者よりよっぽどわかってる可能性も
あるけどな。

つまり、自分は分かっていないと言いたいのだな。

それについて新事実を発見できるくらいに理解して、やっと
判ったという人だから、判るのレベルが違いすぎるｗ

四捨五入ってなんかイラっとするよね　不完全な結論だよ

実数から有理数を全て取り除けば、全て解決しそう。

>>497
零元や乗法単位元抜きって無理がないか？

>>498
四捨五入だとか近似だとかのアホなことを夢見る者はいなくなるだろ。

しかし a - a という計算が出来ないというのは無理有り過ぎだろ
加法乗除全てに関して閉じてないとか

>>493
と凡人が妄想しておりやす

>>491
>小平さんなんかも強制法は結局判らんかったと素直に言っている。

ロジックは、他の数学とは異なる独特のセンスが必要。
多分、数学者の中でも、ようわからん人は沢山いるはず。

>>491
>判らんと言っても自分は馬鹿にされない
>と云う自信もあるのだろう。

小平さんは、そういうつまらないことは考えないんだろう。
藤原正彦みたいなケツの穴の小さい奴とは違うよ。

小平は、馬鹿にされるとかは思ってないと思う、
むしろ判らないからなんだ、そんなもの数学でない
と思ってたんじゃないかな。

>>504
そうでもない。不完全性定理はなんとかわかった、と書いている。
つまり、率直に書いているだけだ。

本人が生きていれば、判るのにねえｗ

古典記号論理を勉強しています。
前原さんのテキストで、わからないところがありました。
¬¬A→AとA∨¬Aの同値性を証明したあと、
「二重否定の除去を公理と考えれば[矛盾→A]が証明される」とあって、
「二重否定の除去は排中律と[矛盾→A]を含んでいる。要するに、
二重否定の除去というものは、排中律と[矛盾→A]の双方を合わせたものと同等」
と結論されています。

論理的に言って、排中律からも[矛盾→A]は証明可能なわけですよね？
だとすると、最後の結論がどうしてこういう書き方がされているのか？
まるで、排中律と[矛盾→A]を合せて初めて二重否定の除去と同値になるかのような書き方をされてます。

二重否定の除去と排中律は同値で、
二重否定の除去→[矛盾→A]、
排中律→[矛盾→A]

でいいんですよね？

AとBが同値というのはあくまで、
「ある公理系において」A→BとB→Aが両方導けると言うだけだからね。

>>509
え？どういうこと？
公理系は古典論理。
質問は、二重否定の除去と排中律が同値なのに、なぜ
「二重否定の除去というものは、排中律と[矛盾→A]の双方を合わせたものと同等」
という言い方をされているのか、不自然ではないか、という質問です。

「同値」と言ったって、実際には片方からもう片方を導くときに
論理の法則（公理或いは推論規則）を使っているわけで、
また、使わないと証明できない訳でしょ。

前原先生がどういう定式化を採用したのか分からないけど
（古典論理と一口に言ったって定式化の方法には
ヒルベルト流、自然演繹、シーケント計算などいろいろある）、
その体系から二重否定除去・排中律・矛盾律を除いた上で、
　排中律からも[矛盾→A]は証明可能
というのが正しいなら変なことが書いてある訳だし、
もし出来ないのなら二重否定除去は若干強い公理なんだ、と言いたいんでしょう、たぶん。

どの公理系を使ってるかって関係ある？
何であろうとある一つの公理系によって、
二重否定除去⇔排中律
二重否定除去⇒[矛盾→A]
が証明されているのに、
「二重否定除去は排中律と[矛盾→A]を含んでいる。
二重否定の除去というものは、排中律と[矛盾→A]の双方を合わせたものと同等」
っていう言い方が不自然な気がして。
なにか自分の理解に間違いがあるのかと訝ってしまった。
別に論理的に間違ったことは言って無いんだけど、その言い方だと
二重否定除去⇔排中律∧[矛盾→A]
が自然な気がして

その本が記号論理入門ならば、
二重否定の除去が排中律と同等なのは、直観主義論理=最小論理+[矛盾→A] の下であることと、
最小論理の下で二重否定の除去から[矛盾→A] が導けることが書いてあるはずだけれど。

>>513
thanks.
確かに二重否定除去と排中律との同等性は直観主義論理を使ってる。
ということは、、、直観主義と古典論理の関係ってどうなってんだ？

専門家に対する入門書じゃないって書いてあるわりに、わかりにくいなぁ！
俺の理解力の問題かな

最小論理上で排中律から矛盾律を導くことってできる？

二重否定除去と排中律と矛盾律の関係がわからん！
わかってるのは、全て最小論理上で
二重否定除去→矛盾律
二重否定除去→排中律
矛盾律not→排中律
排中律not→矛盾律
矛盾律∧排中律→二重否定除去

各々で証明できる命題の包含関係を描こうと思ったらわけわかんなくなってきた

「証明できない」ことの証明って結構めんどくさいんだよね

>>516
それらの疑問に対しては、全部付録に答が書いてある。

すみません、ちょっと質問です。
ホーン節について勉強しているのですが、どこかに詳しい参考書or解説Webページはありますでしょうか？
DTMとの等価性とかを知りたいと考えています。論理プログラムはあんまり興味ありませんが……

英語が達者だと数学も得意になれるってほんと？

ほんと。

英語国民は数学の潜在能力において日本人を遥かに上回るんですねー。裏山。

天才の輩出ならドイツやフランスも負けてないと思うが。

>>523
おフランスやドイツの学者、遠い目をして
「昔のことです」

つーか結局どこ出身だろうと殆どユダヤ系でくくられるんだけどね。
やっぱ英語関係ないじゃん。

ヘブライ語かw

日本人には信心がないから数学は無理だ。諦めろ。

馬鹿言うなよ。日本語は独自の構造をしているけど、けっして劣っているわけじゃないぜ。
例えば逆ポーランドの構造は日本語の構造の方がよっぽど近いし。
数字の読み方もそうだし、汎用性という面では日本語はかなり凄い性能を持っていると思うよ。

馬鹿言うなよ。日本語は独自の構造をしているけど、けっして劣っているわけじゃないぜ。
例えば逆ポーランドの構造は日本語の構造の方がよっぽど近いし。
数字の読み方もそうだし、汎用性という面では日本語はかなり凄い性能を持っていると思うよ。

ぱかを言うなハングルが最強よ

朝鮮語ってどんな構造してたっけ？
ハングルは愚民むけというだけあって汎用性高い良い文字だと思うけど。

文法は日本語と殆ど同じだな。

どうしてどこでもネット言語学者が湧くんだろうな

言語学板へ行けば？
http://academy6.2ch.net/gengo/

「ゼヨ」「ゼヨ」いってる土佐人の龍馬どんは挑戦人ですか？

>直観主義と古典論理の関係ってどうなってんだ？
ゲーデル解釈っていうのがあったよね
それをつかうと古典論理から矛盾がでたら直観主義論理からも矛盾が導ける

＜質問＞

（１）　基数と順序数では圧倒的に一般数学では基数の方がよく使われるにも拘わらず、
順序数の方が基礎論では重要であると言われる（例えば竹内）のはなぜか？
　
（２）　有限な場合に制限すれば基数と順序数（この場合は普通、序数と呼ばれる）は
同型となるがそれでもクロネッカーや高木のように序数がより基本的であると考える学者
が多い（勿論、ラッセルのような逆もいる）がその合理的な根拠は与えられていないよう
に思う。この種の議論での貴君の意見または有益な資料を提示を求む。

竹内外史に関して言えば、彼の主な業績が
ordinal analysisについてのものだからじゃなかろうか

猫　何か答えてやれよ。犬は苦手か？

というか
＞基数と順序数では圧倒的に一般数学では基数の方がよく使われる
これ本当？
基数なんて普通の数学じゃほとんど使わない気がするけど。

え？

>539

測度論とか勉強したことないの？

数論でも、代数でも、幾何でもある程度のレベルになると測度論は勿論のこと
可算性と非可算性の区別は必ず必要になる。（関数解析だと連続濃度とそれより高い濃度を区別することもある）
ちなみに、ｳﾞｪｲﾕのBasic Number Theoryはハールメジャーから始まる。

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可算非可算を論ずるのに基数順序数が絡んでくるとは思えない

A⊆BでAが可算でBが連続だからA≠Bだ、
という状況しか出て来ないと言っても決して過言ではない。
無限基数で実際によく登場するのはこの二つだけ。
圧倒的に良く使うというほどじゃない。

基数というのは普通の数学には縁遠いもので、
だから基数に関する基本的性質の多くは
ZFCから真偽が定まらないし、それなのにほとんど困ることは無い。

無限基数に関する人間の知識なんて、例えて言えば
三以上を数えられない動物が持ってる自然数の知識みたいなものだよ

>543

一般数学で可算性の定義を自然数と同じ基数と定義せずにどう定義するわけ？

>543
>　A⊆BでAが可算でBが連続だからA≠Bだ、
>　という状況しか出て来ないと言っても決して過言ではない。

あんたもルベーグ積分の入門書を読んだ方がええな。

>無限基数で実際によく登場するのはこの二つだけ。
>圧倒的に良く使うというほどじゃない。

超関数も知らんのか。関数濃度だよ。これも一般数学では常識として使うだろが。

>　基数というのは普通の数学には縁遠いもので、
>　だから基数に関する基本的性質の多くは
>　ZFCから真偽が定まらないし、それなのにほとんど困ることは無い。

一行目についてはこれ以上云う必要なし。
関数濃度よりでかい基数は滅多にお目にかかわらないが最初の３つは
しょちゅう出てくるだろうが、これ無しで一般の現代数学が構成出来るか？
無いと困るんだよ！！

一方で、順序数の方は集合論以外で一般数学書で見かけることは殆どない。
全然ないとは言わんけどね。（いくつか例を知っている）
しかし、そうとう探さにゃならんくらい使うことはない。

536はその違いを言ってるんだと思うよ。

おっと、二つ目の543は544の間違いだった。

>>545
>一般数学で可算性の定義を自然数と同じ基数と定義せずにどう定義するわけ？
有理数の奇数じゃ駄目ですか？

>547

つまらん、退場

不定の輩どもめ

虚苦学阿世の徒が何を言う。

私が以前にこのスレッドに書き込んだ内容において誤りがあったため訂正いたします。

「数学基礎論の質問スレッド その5」において、
レス番号764、765に「猫は珍獣 ◇ghclfYsc82 」というハンドルネームで書き込んだ内容ですが、
私はメタ圏に関してはマクレーンの圏論の基礎で書かれている
定義を少し眺めた程度なので、これは圏論に関する深い洞察に基く書き込みではありません。

次に同スレッドレス番号909の「超越論的数学者」というハンドルネームで書き込んだ内容ですが、
擬似カシミール元、LC浮動集合、Aleister CrowleyのLiber-AL、Lindeulm置換可能といった
用語は私の完全な独創であり、物理学や選択公理となんら関係のないものです。


特にAleister Crowleyとは米国の魔術師の名前で、Liber-AL

とは彼の著作名です。
魔術師でぐぐって出てきたものを無作為に使用しました。

以下、量が多いので箇条書きで私のレスを列挙します。

「910 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/02/02(火) 21:30:33 」
の

新フレーゲ主義、ヒュームの原理、数operaterは実在しますが解説は全くの独創です。
本当のところ新フレーゲ主義が何かは知らないですが、哲学畑の議論らしいです。

「916 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/02/04(木) 07:24:03 」ですが、
RC_0と呼ばれる公理系、Jacobian根基と同等の議論、有限かつ非加算無限の関数の対応、
ゲーデル数が付番できず不完全性定理が成立しない体系、三階述語論理は完全なデマです。

「922 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/02/05(金) 00:59:01」の主張も完全にウソです。
考える人さまには大変ご迷惑をおかけしました。

「974 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/02/07(日) 18:52:54 」での新しい公理系を
つくるというのも大嘘です。
当時、位相について学習しはじめだったので、つい覚えた手の知識を使ってしまいました。
P=NP問題にいたってはいまだに良く分かっていません。

「987 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/02/09(火) 20:17:00 」は事実です。
野矢の本を読んだ時点では、私は集合についてさえ学習したことはありませんでした。

さていよいよこの「数学基礎論・数理論理学のスレッド　その6」での失言です。

「27 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/03/06(土) 21:35:26 」については、
誤りや創作というよりも知ったかです。
「46 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/03/07(日) 22:17:02 」と
「52 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/03/13(土) 15:21:50」に関してもです。

「66 名前： 超越論的数学者 [sage] 投稿日： 2010/03/14(日) 22:33:51 」の内容ですが、
Medvedev次数でぐぐったところ、東北大の研究室のパワポがヒットしたので、
その内容を想像で補って書き込みました。

「257 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/09(金) 21:38:20 」も知ったかです。
存在グラフはネットサーフィンで偶然見つけたので、図がいかにも神秘的な概念を
意味しているようだったので書き込んでみました。

「258 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/10(土) 00:17:56 」も全くのでたらめ、
同じくネットサーフィンで発見したものでした。

「300 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/14(水) 00:23:37 」、
「307 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/14(水) 22:38:20 」、
「378 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/20(火) 08:01:38 」、
「381 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/20(火) 19:27:12」は
フランス現代思想的なそれっぽい哲学的詭弁で、うまいことを言っているように見せかけました。
深いな思いした方がおられましたら申し訳ありませんでした。

「397 名前： 23世紀の論理学の提唱 投稿日： 2010/04/25(日) 11:16:36 」、
「398 名前： 23世紀の論理学の提唱 ◆QDm8GWk5t. 投稿日： 2010/04/25(日) 11:52:43」、
「401 名前： 23世紀の論理学の提唱 ◆QDm8GWk5t. 投稿日： 2010/04/25(日) 20:15:59 」、
「417 名前： 23世紀の論理学の提唱 ◆QDm8GWk5t. 投稿日： 2010/04/26(月) 07:45:21 」、
「430 名前： 超越論的数学者 投稿日： 2010/04/27(火) 23:16:56 」
これらも私のレスで、自明ですが全くのでたらめです。
もはや語感だけで造語をし、でたらめに書き込みました。

なお、基礎論以外のスレッドにも「超越論的数学者」の名前でいくつか投稿しました。
この名前で書き込む際は必ず基礎論的トンでも数学を展開しました。

では、今回なぜ私がこのような告白に至ったのかについて知らせておきます。

当時、私は非常に忙しく仕事上での精神的な負荷が大きかったために、
冷静な状態で2ｃｈに書き込むことができなくなっておりました。
一方で、数学者のように特別な存在でありたいという自我の強さとの葛藤も存在しました。
しかし私自身は三流の私立大学工学部出身であったため、
主流の数学に関して書き込むことなど到底適わない話でありました。
ところが基礎論というある程度哲学に近い世界があることは知っていました。
そこでウィキペディアを利用して、浅くまた広く基礎論について調べました。
ですから私はまともに基礎論の数学書など読んだことはありません。
それでも、それっぽい記述を書くことはできました。
そしてそれらに騙される者も数多くいました。
そいうった方々の存在が私の書き込みを過剰なものにさせていきました。
ですが、無職になった今改めて自らの書き込みを読み返してみて、
面の皮を厚くしていることはできませんでした。
そこで今回このような謝罪に至りました。
本当に申し訳ありませんでした。

今後は2ｃｈへの無責任な書き込みは控えさせていただくとともに、
まともな数学の学習を続けて生きたいと考えております。


了。

>>555
和田喜八郎って知ってるかい？

東日流外三郡誌（つがるそとさんぐんし）っていう古文書を
”発見”したとされる人だが、実はそれは自分で作った
真っ赤なニセモノだったんだな。

和田喜八郎も、青森生まれで家は貧乏だったらしいが
「戦時中、陸軍中野学校にいた」とかウソの経歴を
口にしていたらしい。

「数学界の和田喜八郎」になったら、
それはそれで「特別な存在」だと思うが
嫌だというのなら、仕方あるまい。

専門分野としての集合論以外の分野に出て来る無限集合で、
濃度がalephであるとも2^alephであるとも（2^2^alephであるとも）
証明できないようなものってありますか？

>>557
aleph-1

ℵだめ？

工学部でちょっと基礎論に興味があるんだけど、
変数と定数の違いってどう定義されるの？結局は記号に対する
解釈の相違であって完全に何らかの記号列によって定義を記述
することはできないの？
もうひとつ質問。任意と全てって違う気がするんだけど。
ある命題の成立においてある項について任意性があるということは、
その項を固定して、いかなる過程を与えずともこの命題が成り立つという
ことでしょ？それは項を固定するというさらなる仮定の下で命題が
成り立つってことで、無限個のものについて全て、同時に成り立っている
こととは違うのでは？無限個の全てのものを一つ一つ固定して、同一の議論の
対象とはできるの？ある種の想像じゃない？
工学部だから糞みたいなこと言ってるかもしれないけどｗ

とりあえず落ち着いて文章を整理したまえ

P(x):ある述語
∀xP(x)が真であることを示すことは、xがある同一の対象を意味している
として、つまり常にx=xとして、xについていかなる除去不可能な仮定を
与えずにP(x)が導出できればいいわけでしょ。
これは∀の導入規則、言い換えれば∀記号の意味の定義だよね？
この議論においてxが同一の対象を意味しているという仮定、
くどいから固定すると呼ぶと、xを固定するという仮定を
与えている。ということは、xの変域が無限集合だったとき、
その無限集合の全ての元が述語P(x)を満たすということは
無限個あるもの全てを一つずつ固定して初めて示されることでしょ？
それって可能なの？

>>562
「それ」ってなんのこと？

意味の話と証明の話を区別して考えればいいんじゃないか。

>>563
無限集合の全ての元がP(x)を満たすこと。
2行目の意味はいまいちピンとこない。セマンティクスを
ってのは記号に対する解釈とかってことだっけ？解釈として
無限個の元を取るってことを許すってことを示唆してる？

>>564
>無限集合の全ての元がP(x)を満たすこと。

それを「モデルの上で示す」こと？それとも
「理論の中で証明する」こと？
前者だとしたら「不可能です」でもよくない？
後者は普通の数学上の問題。

>>565
自分は今普通の数学を考えてる。素朴集合論ってやつかな。
普通の数学の場面で当たり前に行われてるでしょ。
中学ぐらいから公式っての全称命題が多いから扱ってるし。
いまさら何をって話だけど。自分は正直全然詳しくない。
授業では集合もやってない。

とりあえず論理学を勉強しよう

>>567
ようはアルゴリズムしか分かってないんだから無限個に
ついて適用して無限個全てがある性質を満たすことが示されました
ってのは想像でしょ？あくまで手続きが正当化されてるだけじゃん。
選択公理があるから無限個とるという操作は認められるの？

>>568
なぜアルゴリズムの存在と選択公理を並列させているんだ

なんで四則演算って０で割ったらいけないのですか？

割ってもいいよ。でも、後片付けが大変なんだ。

任意と全ては勿論一般数学ではニュアンスとしての違いはある。
しかし、一階述語論理で形式化する際は同一として扱われる。
こういうニュアンスの差をネグレクトして同一の記号に集約する
ことはよくあることじゃないのかな。例えば、「存在する」を
「見つけることが出来る」と言ったりもする。ただ、この場合
後者は具体的な近接手続きがある場合に限られることが多い。
選択公理とかを使って存在を保証する場合には使わない。
（たまに使っている例があったりもするが）

どのような a を任意に取ってきても、その a が性質 P を満たす、というのが
「"全ての x に対して P(x)"が成り立つ」の古典論理的な定義なんだから、
前者と後者で若干文言は違うし感じるニュアンスも違う。

或る対象を仮に自由変数でもって a と名付けたときに、
議論のある場所に出て来た a と、何行か後に出て来た同じ a が
正に同じ対象を指している、というのは記号列を論理式として
解釈する際の約束であり、また、述語論理の定式化の際の
（というか言葉を使って議論をする際の）大前提であって、
特定の議論の中の仮定とは違う。

あと「"x1"の指示対象と"x2"の指示対象が同一であるとして」
を「つまり x1 = x2 として」とかごちゃごちゃに表現しちゃまずい。

|- ∀xP(x) ⇒ (∀n) |- P(n)

であるが、逆は必ずしも成立しない。(不完全性定理の系)
ただし、(∀n) はメタの意味での全称を指す。

>>574
逆が必ずしも成立しないって、当然に思えるけど、
それが不完全性定理の系だってのはほんとなの？

>>575
お前がゲーデルの証明を読んだことがないことだけは分かった。

>>575
読んでないよ。ちょっとは教えてよ。

アンカー間違い。>>576ね。

あるモデルで右辺 (∀n) |- P(n) がいえたとしても全てのモデルで成り立つわけじゃない。
それが>>574の「逆は必ずしも成立しない」ってことだと思ったんだけど、違うんですか？
わざわざなんで不完全性定理が必要なんだろ？って疑問。

>>575
何故、当然だと考えられるのか、もう少しいえば、何故、同値にならないのか
考えればわかる。

>>579
それは>>578で書いたつもりだけど。
あるモデルのユニバース全体で成立してても、モデルを拡張して成り立たない
要素が含ませることができる。
「必ずしも成立しない」って例はなんでもいいんだろうから、わざわざ
不完全性定理を証明してからじゃないとダメなの？って話。

>>580
どうしたら、そのようにモデルを拡張できたりするわけ？

竹内外史が書いた『ゲーデル』を読んでみた
ゲーデルのイメージがだいぶ変わったわ
やっぱりマスコミはどこの国も嘘を伝えるね

竹内は今、オーストリアに住んでるのか？

P≠NP問題に取り組んでるよ。

P≠NP問題は数学基礎論では解けないな。
あれは離散数学の問題だ。

何とかなりそうだけど？

>>583
最近、瀬戸内科医の島に、ヌートリアが移住してきたそうだ。

昨日の午後なんだが復刊の証明論を買った　
いま３３頁まで読んだがかなりおもしろい

難波完爾の「集合論」ってLKのカット除去定理の証明までしてるんだな
読んでてびびった

ただこの本ケアレスミスが多い気がするけど
g^(-1)[F1∩F2]=g^(-1)[F1]∩g^(-1)[F2]　（一般に成り立たない）
が∪のときと同様に証明できるとか書いてたり

>>589
それは同様に証明できる。ちっとも間違っていない。
g^{-1} でなく g ならば一般に成立しない。
他人の間違いを指摘するときは、もっと慎重であるべき。

不完全性定理ってようするに「なんでも映せる魔法の水晶玉」は
自分自身を写すことをできないってことですか？

自分自身を映そうとすると矛盾する。

中野秀五郎の集合論って、正統的な基礎論の世界ではどういう位置づけか教えて

http://www.springerlink.com/content/t7l2243282162w3x/

を読む限り、めちゃくちゃ怪しく見える。
ただ、解析の世界ではかなり優秀な人だったみたいだけど。

後、相当な自信家だったみたいだね。
あるときだれかに「あなたは日本のノイマンですね」と聞かれ、
中野は次のように答えたとか。
「いいえ、ノイマンがアメリカの中野なんです。」

書き忘れたけで
彼はその著書　Set Theory　の序文に
「一般連続体問題に対する解答も得ることができた。」
と書いていると矢野健太郎が書いている。

>>593
簡単な意味のないことを書いているだけ。
形式化されない通常と異なる Metatheory に基づいていると書いている。ただ、それも
使わず、簡単なことを書いているだけで、数学的な意味はない。えらい先生がバカなことを
発表する典型的なパターン。

ゲーデルやナッシュみたいなもんか。
スケールは比べものにもならないが。

Math. Annはレフリーなしで載せるのか？
ゲーデルは精神衰弱状態で書いた論文は突き返されたはずだが。

ところで、こういう偉い先生が基礎論でオオボケをかます他の
例を教えてチョ。

>>597
偉い先生でも基礎論関連でもないが、とある大学の数学教員が電車で痴漢
行為を働いて懲戒免職になったまことに恥知らずな事例があった。
オオボケをかますのもいい加減にしろって感じだな。

>>597
犬はバター犬

>>593でどうしてラッセルのパラドックスが起きないのか
さっぱり分からん

>>600
S が全体でそれを飛び出すものは認めていない、というのがそこの立場らしい。
べつに数理論理学の枠で形式化されているわけでもないから、まあ、よく解釈すれば
という話。どちらにしても、ろくにわかってない人が、数学のある分野である程度
できたから自分が頭がよくなんでもわかるという風に思う、志村五郎に似たタイプ
だろう。そんなことをしなければもっと尊敬されるんだけどね。

志村五郎は専門外の分野に手を出してはいなかったような
陶器がどうとかそういうのはあくまで趣味だろう

>>602
自分が何でも、よくわかっていると思っていることが、表にでてくるって
とこが似てるのさ。「記憶の切絵図」

オイラーもそういう性質だったらしいな
作曲家と作曲対決をしたとか

>>603
表に出てきてるとは思わなかった。
続編の奴に出てくる丸山真男のインチキインテリぶりの暴露も指摘自体は正当なものである。

>>278
そのページのイケメンに掘られたい

ほんなら自分から行って来いや、誰も止めへんさかいナ。

猫

実数の非可算性の証明は１．が有名だけど小牲の知る限りでは５つはある。
他にあったら教えてちょ。
１．カントールの対角線論法
２．カントールの区間縮小法による証明
３．カントールの自然数のべき集合が非可算であることを使う証明
４．カントールの往復論法による証明
５．測度論的証明（誰の発案かは知らない。ルベーグ？それともカントール？）

ベールカテゴリもあるよ

>609
ベールのカテゴリー定理の証明でカントールの区間縮小法を使っているから、
実質的には２．の変種だと思うんだけど。
でも、ご意見ありがとね。

そういうことを言い出すと、3 は二進小数を用いた対角線論法。

＞丸山真男のインチキインテリぶりの暴露も
＞指摘自体は正当なものである。

君が丸山真男を理解できない点で、
志村五郎と同程度ってだけだろうｗ

＞数学のある分野である程度できたから
＞自分が頭がよくなんでもわかるという風に思う

数学者は世間知らずで傲慢な点でスポーツ選手に近い。

数学者が知識人だというのは嘘である。

数学者が知識人なんて誰が言ってるんだ？

世間の認識はその逆だろ

＞ゲーデルは精神衰弱状態で書いた論文は突き返されたはずだが。

ゲーデルはロジシャンだし、見せたのはタルスキーだから。
そもそも、ゲーデルは空気を読まない人ではあったが、
ウヌボレの性分は無かったからな。

＞数学者が知識人なんて誰が言ってるんだ？

誰もいってないなｗ

大道芸人かコメディアンと同程度だと思ってる人は多いらしいｗ

大道芸人やコメディアンなら比較的多数の人間を笑顔に出来る分数学者よりよほど直接的に
世の中の役に立ってると思うが。

世間の認識だと「数学者＝怪しげなことをブツブツ言ってる変人」
そしてその認識で大体合ってる（少数の例外まで考慮しない）

>>617
＞大道芸人やコメディアンなら比較的多数の人間を笑顔に出来る分
＞数学者よりよほど直接的に世の中の役に立ってると思うが。

秋山仁のコメディアンとしての評価は野球選手より低いらしい。
こういうと、きっとこんな反論があるだろう。
「そりゃ秋山幸二と比べちゃいかんよ」

↓詳細
【講演ﾌﾞﾁﾞﾈｽ】講師に「秋山さん」　秋山仁を招いたはずが秋山幸二登場
http://book.2ch.net/test/read.cgi/bizplus/1069478615/

最近の数理論理学はそういうことが流行ってんのな

実数の非可算性の証明は１．が有名だけど下記の6種類以外に知ってます？
１．カントールの対角線論法
２．カントールの区間縮小法による証明
３．カントールの自然数のべき集合が非可算であることを使う証明
４．カントールの往復論法による証明
５．測度論的証明（誰の発案かは知らない。ルベーグ？それともカントール？）
６．ベールのカテゴリー定理を使う証明（ベール発案？）
　6番目は2番目とは違う抽象空間に拡張出来る方法があることに気付いたので
　別証明と考えることにしました。
>>609　ごめんね。

どうせ同じことだから同じことしか証明出来ないことなのにいっぱいPATHを知ってたからなんなんだよ。どうせならこうやると証明できないってことについて考察しろよｋｓ

重要な定理をいろいろな別証明を与えることは意味があると思うよ。
ガウスが代数学の基本定理を生涯に何通りも与えているのは知ってるよね。
この例でも、１が実数の小数での表現可能性から出来る証明だし、
２,4は実数の順序構造を使っているし（使い方が違うが）、
５は測度的側面、６は局所コンパクト性が効いている。
３は集合論の基数理論の一般論の応用。
と、まあ、こんな風に同じ結果でも違う性質を使っているところに意味がある
んだよ。
まあ、本件はこれでおしまいということで。（もう出ないだろう）

> よほど直接的に
> 世の中の役に立ってると思うが。

そういうことしか考えられない奴はフルチンで歩けよな

フルチンで歩いたって世の中の役には立たないよ

直接的って単語を入れてるから違和感はないけど
数学が役に立たないなんて思わないけど間接的なものだよね

だからいまだに数学なんて勉強してなんの役に立つの？
なんて尋ねる人間が後を絶たない

>数学なんて勉強してなんの役に立つの？

そもそも、数学好きが数学をやるのは
数学が役に立つからではない。

数学をサッカーや野球に置き換えれば明らかだろう。

＞「数学者＝怪しげなことをブツブツ言ってる変人」

数学関係者では見たことないが、
駅とか電車の中でたまにそういう人に見かける。
どうも駅員や車掌の真似をしているらしい。

数学者でときどき見られるのは
「話をするとき相手を見ない」
という行動

どこかでみたことあるなとおもったら
秋葉原にいる人たちとそっくりだった。

実際、共通集合の元は多いらしい。

いい加減そういう話は雑談スレでやらないか？
基礎論とも数理論理とも微塵も関係が無いんだが

＞数学者でときどき見られるのは
＞
＞実際、共通集合の元は多いらしい。

時々なのに多いの？

>>630
横レスだが隠れヲタが多いのでよく分からないのだろう

解析の本とかに「実数の公理」ってあるじゃない。（もとはヒルベルトあたり）
でも、その公理の中には自然数が明示的には含まれてないよね。
まあ、0,1は与えられてるから2=1+1・・・てな定義をして行けば
良いんだろうけど、数学的帰納法についての公理はないよな。
どうすんだろね。
この公理が集合論を前提にしていて、定義であって公理じゃないって
話なら、別のところで自然数を定義せにゃいかんよな。
当然、0,1は実数と共用出来る必要もある。こんなことあんまり、解析の
本で書いてんのは見たことないね。あれって、どうなんよ。
そんなんだったら、いっそ、昔風のペアノ公理から整数、有理数、実数って
拡張定義して行く方がすっきりしてると思うやけどどう思う。
それから、実数の公理ってモデルがあることをちゃんと証明せにゃならんから
結局は、昔風が必要になってくるよな。
ヒルベルトが昔風より公理式の方が良いって書いてるけど、未だに俺はその意味
がよう判らん。だれか教えてくれ。

バカの考え休むに似たりとはよく言ったものだ

>>633
おいおい、貶すだけならそれこそ「バカ」でもできるぜ。

「これこれはこう考えるべきなのにこんな風に考えてるから外してるよ。」
って言えれば格好が良いんだけどね。

いやどこで疑問を感じてるのかまずよくわからんのだ
知識が足りないだけで妄想展開してんのか

>>632
コレはド素人の私の考えでしかありませんが、数学としての実体は
きちんと論理的に構成された：
★★★「ペアノの公理→整数→有理数→実数→複素数、等々」★★★
以外は確実なモノというか信用出来るモノは何も無いと思います。
ですが、例えば実数直線とかは物理というか現実世界にアルと人間
が錯覚しているモノで以て「近似的に良し」としているだけじゃな
いですかね。実際は「目に見えるモノ」なんてイリュージョンでし
かありませんけど。

因みに>>633みたいな低脳は相手にスル価値がありませんから無視し
て捨てましょう。

猫

>>632
杉浦光夫の本は公理的に実数体を定義した上で
自然数の集合を「0を含み、+1に関して閉じた最小の部分集合」
として定義している。そうすると帰納法は定義から従う。

集合論を部分的に使ってるじゃないかとか
言われるかもしれないけど、それはそういうもので、
完備アルキメデス性は集合論を援用してモデルの性質として表現せねばならず、
順序体の理論の上の一階の論理式としては表現できない。
ヒルベルトは自然数論の場合の帰納法の公理に相当するもの、とか言っているね。

それにペアノの公理では構造が一意に定まらないから駄目。
人間がどれだけ性質を付け加えていっても必ず超準モデルが存在するから。

>>632
「代数系の公理」を「集合論の公理」と混同してる時点でｵﾜｯﾄﾙ。
集合論の上で公理的に数学を展開しているのだから、
「代数系の公理」はそういった枠組みのなかで「追加」される種類のもの。

何でそんな低レベルがここ覗いてるの？

猫さんも出てきたことだし、頑張って吠えてみるかね。

１）杉浦本は基本的に素晴らしい本だと思うが、小生が提起した「実数公理のモデルの存在」
　の必要性についてなにも触れていなかったと記憶している。これはちょっとした瑕疵だと思う。
　前からこの点が気になっていたのだが「距離空間と位相構造」（矢野公一著）でP239でちゃ
　んと同じことを書いていてくれている。（小生の勘違いではなさそう）
２）自然数の集合を「0を含み、+1に関して閉じた最小の部分集合」と定義しているなら帰納法の
　話はOK.それはそうとこの定義で帰納法が成り立つことは杉浦本には明記されてったっけ。手元
　にないから判らんが。もし証明がないなら少し不親切だね。「数学のロジックと集合論」P75〜を
　見れば載っているが１年生が自力でホローするのはちょっとしんどいかな。
３）それから小生がこの「実数論の公理」が集合論を前提としたものであるこを否定的に言っている
　ように見なしている輩が多いが、そんなつもりで書いたんじゃない。集合論を前提にしたいわゆる
　「ぺアノ公理」で定義される「ペアノ構造」は一意的であることが証明出来るが、集合論を前提に
　しない「ペアノ算術」は637が言うようにいろんなモデルが存在すると云う際立った違いがある。
　それ故、実数についてもそのあたりをきちんと確認して考えないといけないと云うつもりで書いただけ。
４）637は
＞完備アルキメデス性は集合論を援用してモデルの性質として表現せねばならず、
＞順序体の理論の上の一階の論理式としては表現できない。
と言っているが、E.Artinによる実閉体の定式化を用いれば公理化出来る。
５）そもそも小生が提起した次の質問は誰も答えてくれんな。
＞ヒルベルトが昔風より公理式の方が良いって書いてるけど、未だに俺はその意味
＞がよう判らん。

実数の構成ってのは要は
集合論が無矛盾⇒実数論も無矛盾ってことを示してるだけなので、
「集合論」をZFCだと思うとかなりナンセンスなことをやってるんですよね。
「彼の数学の実力は分からないが、もし代数幾何学を理解しているならば
高一で習う因数分解の問題も解けるだろう」みたいな。
そんな強い仮定をすりゃそのくらいの結論は出て当たり前だろう、という。

もっとずっと弱い集合論なら、論理学的に意味がありますけれども。
＞実閉体の定式化を用いれば公理化出来る。
Qみたいな弱い算術でさえ解釈できませんけどね。

>>640
昔から「ヘタの考え休むに似たり」と申しまして。

＞641
言われているいる意味は良く判る。ここを覗いている者の大半にとっては
常識なんだろうけで、一般数学だけを学んだ学生・元学生にとっては必ず
しもそうではないと思って書いてみた。
特に、実閉体の話なんかはA.Tarskiの仕事を前提にしているのか「普通の
数学」の話をしているのかで全然違ってくる。
普通の数学を話しているときに「実閉体は第一不完全性定理の統制下にない
完全にして、決定可能な理論」なんて言えば、「実閉体は自然数を含んでる
からそんなはずないだろう。」てことになる。集合論を前提にしない上手く
定式化された「実閉体の公理」ではこれが成り立ち、更に、彼はこの結果を
使ってユークリッド幾何（正確にはその初等幾何部分とでも言った方がよい
かも）の完全性や決定可能性を証明したわけだよね。

http://books.google.com/books?id=eVVKtnKzfnUC&pg=PA16#v=onepage&q&f=false

まあ、もともとは自然数から構成していく実数論の方が公理的実数論の方より優れて
いるように小生には見えたから反対の立場であるヒルベルトの意見をもう少し代弁す
る人に書き込んでもらいたかっただけなんだけど話があらぬ方向に行っちゃったな。

犬は吠え過ぎたので犬小屋に戻るw

Hilbertが何を考えてたかは分からんけど
常識的に考えて本質的な性質と非本質的な性質は区別出来た方が良いじゃない

切断を用いて実数を作ったときの、実数は ∀x, y ∈QA x＜y かつ y∈r ならば x ∈ r
を満たすような Q の部分集合 r のことだ、などというのは
実数自体のことを考えるためには要らないどうでも良い性質でしょ

第２不完全性定理について疑問に思ったことです。
体系が無矛盾であると解釈できる論理式consisが証明不可能ということですが、
仮にconsisiが証明可能だったとしても、そのことが体系が無矛盾であることを保障するわけではありませんよね。
第１はともかく、何故、第２不完全性定理の内容がヒルベルトらに重く受けとめられたのでしょうか。

>>645
対偶命題の作り方を考えれば、議論の向きが逆だということがわかる。

Hilbertがやろうとしたこと：
1．弱い算術は信頼してよいだろう。
2．形式的体系 T の信頼性を弱い算術で証明できるならば
T で表される数学の体系も信頼できるだろう。
3．弱い算術で T の無矛盾性を証明しよう！(HP)

NeumannとGödelのが気付いたこと：
1．（T がこれこれの条件を満たすなら）
T の無矛盾性を（常識的な仕方で）表現した
命題 CON_T は T から証明できない。
2． T が弱い算術を含むならば、CON_T は
T で証明できない以上、弱い算術からも証明できない。
3．HPは実現不可能だろう。

なるほど、すっきりしました！　ありがとうございます！
"自身の"無矛盾性を証明できない、という表現をよく見かけるせいか、
より信頼のおけるシンプルな体系で無矛盾性を示そうとしていたことに気がつきませんでした。

>>258
すみません、充満なトポスって何ですか？

>>641
こういう歴史を無視した事をいう馬鹿は度し難い

充満なおっぱいキボン

729

5月
数理論理学 使い方と考え方：超準解析の入口まで
江田勝哉　著
内田老鶴圃
A5／168頁　3045円（本体2900円＋税5%）

6月
現代数理論理学序説
古森　雄一・小野　寛晰　著
日本評論社
判型：B5判　ページ数：188ページ
定価：税込み 3,150円（本体価格 3,000円）

復刊 証明論入門
竹内外史・八杉満利子　共著
A5，208頁，3500円
還元法による証明論という数学基礎論の一分野への導入という一貫した姿勢で，
従来の論理関係の教科書に見られない内容を扱って初歩から解説。
『証明論入門（数学基礎論 改題）』として1988年に改題発行後，
以来，長年にわたり多数の読者にご愛読いただいてまいりました。
この度，多くの読者からの要望を受け再発行するものです。
ttp://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin1006_01.html

9月
復刊 数理論理学序説　前原昭二　著
A5，232頁
●内容
　論理計算の形式的な実際面とともに，記号論理学の基本的な考え方や基礎概念をわかりやすく説明。
『共立全書 160.数理論理学序説』として1966年初版発行後，以来，長年にわたり多数の読者にご愛読いただいてまいりました。
この度，多くの読者からの要望を受け単行本に改装し発行するものです。
ttp://www.kyoritsu-pub.co.jp/kinkan/shosai/kin01943-0.html

論理専攻はいるかい？

数学板にはいないでしょう。
哲学や情報工学系の板のが充実してる

数理論理学は完全に数学なんだけどな‥‥

数学の発見は時期や発見者については若干運だのめぐりあわせのような偶然が
支配するが長い目で見れば大抵必然だと思うのだが、どう考えてもこれは
偶然だよなと思えるような数学の発見って知ってる？

この意味はだれそれがたまたまこれこれを発見してしまったが、こんな発見
こいつがしなければ100年、200年たっても誰もしそうにないぞということ。

ラマヌジャンの発見した定理の大部分

ウーン。確かに、100年くらいならそうかもしれないけれど200年だったら
どうだろう。現在ではすでに全ての定理の証明は済んでいて、発見の背景
がだんだん明らかにされつつあると聞いたが。

>>659
> ウーン。確かに、100年くらいならそうかもしれないけれど200年だったら
> どうだろう。現在ではすでに全ての定理の証明は済んでいて、発見の背景
> がだんだん明らかにされつつあると聞いたが。

ラマヌジャンが発見したことが研究の動機となって証明も行われ背景の解明も進んだという部分が多分にあるんじゃないのか？
ラマヌジャンが発見してなかったら今でも発見されないまま埋もれてる定理もあると思うんだが

ラマヌジャンの証明した式とか、その発想にはパターンがあって
ありとあらゆる定理を発見したというわけでもないから
一度似た現象が発見されたら残りのほとんども案外早く発見されるよ

実際ロジャーズとかによって独立に発見されていた定理とかもそこそこあるでしょ

数学基礎論と関係あるのか？