2010を使った数学の問題を考えるスレ

2010=2*3*5*67

パーティー会場に2010人の参加者がいました

今年度に潰れて廃人になった数学科学生や数学科大学院生は
全部で2010人程度居たっちゅう話でんなー、な〜んてな話題
で大真面目に盛り上がったらさぞかし酒が美味いんでしょう
かね、まあ日本全国の馬鹿を追い出して追放したらソンな数
にでもなるんでしょうかネ？

まあ犠牲者の数がウナギ登りですわなァー。お〜コワ！

猫

猫が2010人の女性に痴漢を行った場合、慰謝料は合わせていくらになるか求めよ。

1から2010までの総和は
2010*2011/2=2021055

1-2+3-4+・・・・+2009-2010=(-1)*1005=-1005

2010を二進法で表すと？
また2010（2)を十進法で表すと？

>>7
2010(2)ってｗ
2進法に2は出てこないだろ

まんこ

>>8
そうだった。ごめん。2010(3)を考えようか。

57

>>3
おれが間違いなく２０１１人目になりますよっと。

>>12
そうならない様に研究実績を積むのが「アナタの使命」です。
数学科大学院というのはそういう場所であって、
また数学のプロになるという事はそういう事です。
つまりご自分が給料を貰える立場になるよりも、
研究者としてご自分の価値観だけで論文を書ける
様になる事の方が先であるのが当然だと言ってるだけです。

断念するのは勿論アナタの勝手ではありますが、
私はアナタが数学に喰い下がるのを望みます。

今後とも頑張って下さい。

敬具

猫拝

2009のスレはえらい賑わっていたのにこの落差はいったい

>>14
誰かがカキコをしたらワシがレスを付けてあげますから御心配無く。

猫

やい痴漢猫、スレタイに則って2010を使って問題を作ってみろ

１以上２０１０以下の整数のうち、正の約数の個数が偶数であるものは幾つあるか？
例えば、６の正の約数は１，２，３，６の４個なので、６はこの条件を満たしている。

２０１０年JMO本選 問３

2010個の島があり，その島をつなぐ2009本の橋がある．どの2つの島も，1本の橋で結ばれているか結ばれていないかのいずれかであって，橋の両端は相異なる2つの島に繋がっている．また，どの島からどの島へも橋を何回か渡ることにより行き来することができる．
いま，どの島も1通の手紙をいずれかの島に送付した(ただし，自分自身に手紙を送る島があってもよいものとする)．このとき、以下の事実が判明した：

島Aと島Bが橋で結ばれている場合，島Aの手紙の送付先と島Bの手紙の送付先は，橋で結ばれている島同士か，同一の島である

このとき，以下の(1)または(2)の少なくとも1つが成立することを示せ．

(1)自分自身に手紙を送った島が存在する．
(2)お互いに手紙を交換しあった，橋で結ばれている2つの島が存在する．

２０１０年JMO本選 問５

凸2010角形があり，どの3本の対角線も頂点以外の共有点をもたない．2010本の対角線(辺は含まない)からなり，全ての頂点をちょうど1回ずつ通るような閉折れ線を考える．このような閉折れ線の自己交差の回数としてありうる最大の値を求めよ．
ただし，閉折れ線 P_1 P_2…P_n P_n+1 であるとき，これを閉折れ線とよぶ．

四則演算だけで次の式を成立させよ。
ただし、１□２ は １２ として使用することもできる。

１□２□３□４□５□６□７□８□９＝２０１０

1+2345-6×7×8+9×0＝2010

0-(1-2)÷3÷4×5×67×8×9=2010

>>21-22
誰が０を使っても良いと言った？

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1256391891/525-526

に、2010使った問題だしてみたよ

手抜きだなあ

ω^2010とか受験じゃたまに見る

ωって1の立方根のことか。
すごく久しぶりに見た。
最近はωといえば順序数のωが頭に浮かぶ。

俺は根元事象のωかなωωω

根元事象なんて初めて聞いたんで調べてみた。
確率といえばルベーグ積分が頭に浮かぶおいらにとってはわりと新鮮だった。

2010＾ω＾2010

1!+2!+3!+4!+･･･2010!
を12で割ったときの余りを求めよ。

なめとんのか9

>>31
1!+2!+3!+4!+･･･2010!
は１１で割り切れることを証明せよ

証明）
1!+2!+3!+4!+･･10!=403793=3^2*11*40787
ゆえに
1!+2!+3!+4!+･･･2010! +...N! は11で割り切れる。

いや　なめてません>>32

√2010は無理数であることを証明せよ。

Ｓｕｐｐｏｓｅ　2010=2x3x5x67=2p=(m/n)^2 such that m,n are integer (m,n)=1 and p=1005

then m is even. This means n is also even because n^2=2 (m/2)^2/p.
This contracts (m,n)=1.

(1! + 2! + 3! + 4! + … + 2010!) mod 11 = 0
(1! + 2! + 3! + 4! + … + 2010!) mod 12 = 9
(1! + 2! + 3! + 4! + … + 2010!) mod 13 = 9
(1! + 2! + 3! + 4! + … + 2010!) mod 14 = 5
(1! + 2! + 3! + 4! + … + 2010!) mod 15 = 3

来年は２０１１だから、それに関連する入試問題を作るお。。。

2010!=0 mod p(素数）

の真偽を問う

>>36　(1! + 2! + 3! + 4! + … + 2010!) mod 13 = 9

2010!=0 mod p(素数）

なんてことは成り立たないのは当たり前だろｗ

>>39 成り立たないのは当たり前だろｗ

成り立たつのは当たり前だろｗ
For every p such that 2=<p<=2010, 2010!=0 mod p

成り立たないのは当たり前だろｗ
For every prime p such that p>2010, 2010! |=0 mod p

>>31

１！≡１（mod12）
２！≡２（mod12）
３！＝６（mod12）
４！≡２４≡０（mod12）

ｎ！≡０（mod12）　（ｎ≧４）

1!+2!+3!+4!+･･･2010!　≡　１+２+６+０+…+０
　　　　　　　　　　　　　　＝９

>>33

１！≡１（mod11）
２！≡２（mod11）
３！≡６≡-5（mod11）
４！≡２（mod11）
５！≡10≡-１（mod11）
６！≡５（mod11）
７！≡２（mod11）
８！≡５（mod11）
９！≡１（mod11）
10！≡10≡-1（mod11）

これらの和　≡０（mod11）
力づくでやった
証明の仕方があるのかどうかは知らん

問題１．
2010!=0 mod99
証明
２０１０！=０　mod 11, 2010!=0 mod 9
ＱＥＤ．

問題２．
2010!=0 mod ６２５６３１
の真偽をとう
問題３．
２０１０！=０　mod p
p>625631
をもとむ

すみません！　ミスタイプ
２０１０！−−−＞1!+2!+3!+.....+2010!
に置き換えてください。

>>43
問題３
p=625631x9,625631x11,625631x99

問題
1!+2!+3!+....+2010!=0 mod 625631^2
の真偽を問う

うそ

3進法では2010は 2*(3^3)+1*3=57になるね

3進法では2010は 2*(3^3)+1*3=1010になるね

うそ

２０１０の分割数を30秒で計算しなさい。
２０１０の友愛数を見つけなさい。
２０１０番目の素数をいいなさい。

ｒ＝2010^(1/p) pは素数

rがもっとも整数（＞１）に近くなるPをもとめよ。

1から2010までにナベアツ数(10進法表記したとき3がつくか3の倍数になる)はいくつあるか
またその和を求めよ

>>51

ｙ＝2010^(1/x)　はx>0で単調減少
rが近づくべき整数は１より大なので、２以上。
よってｙ＝2010^(1/x)の値域は1.5以上。

2010^(1/x)≧1.5より
ｘ≦18.758…

該当するｐは
2，3，5，7，11，13，17のみ

それぞれ計算すると
整数にとの差が小さい順に
11＜７＜２＜13＜３＜５＜17

よって求めるｐ＝11


力づくでいいのかなぁ

2010^(1/11)=1.996597....
なるほど。。。

０〜９９で
３で割り切れる数　３４個　　和　1683（A）　　３を含む数　７個　和　297（D）
１あまる数　　　　　３３個　　和　1617（B）　　　　　　　　　　６個　　　231（E）
２あまる数　　　　　３３個　　和　1650（C）　　　　　　　　　　６個　　　264（F）

４ケタのうち上２ケタが
３で割り切れるとき　A＋E＋F　４６個　計2178
１あまるとき　　　　　C＋D＋E　４６個　計2178
２あまるとき　　　　　B＋D＋F　４６個　計2178

よって上２ケタが０３、１３のとき以外の１８通りは４６個
上２ケタが２０の時は　2001、2003、2004、2007、2010の５個
18×46＋２×100＋５＝1033　　　
ただしこの場合は０を３の倍数としてカウントしているので１引いて
こたえ1032個

合計は
下２ケタ分に関しては
18×2178＋２×5050＋25＝49329
上２ケタ分に関しては
（１＋２＋　…　＋19）×100×４６＋（３＋１３）×100×52＋2000×５＝967200
総和　1016529　こたえ1016529

>>52

>>43
ｎが素数の時の

ｎ
�狽求I　≡０（mod　ｎ）
K=1

ってのは成り立つのか？

n=2のとき　１
n=3のとき　０
n=5のとき　１
n=7のとき　５
n=11のとき　０
n=13のとき　９

　2009
＞�葱!≡0 mod ６２５６３１
　ｋ＝１
これは真っぽいけど、どこから625631を導き出したの？
2010！までの和で都合よく0になる数というのは限られてると思うけど
2010!までの和を求めて素因数分解？

ちなみに　

625630
�狽求I　≡469714（mod625631）
ｋ＝１

訂正

　2010
＞�葱!≡0 mod ６２５６３１
　ｋ＝１

定番は二次か三次の正方行列与えて、それの２０１０乗を計算させるやつかな？w

2次の正方行列
　A= a -a
　 a-1 1-a　　のとき
　

A^2010 をもとむ

A=　 a b
-a -b　のとき
　

A^2010 をもと

2010!の値(十進法表記)の末尾には、0が何桁連続しているか？


これ、2005!〜2009!だと500桁なんだけどな…
今年は501桁なんだよ…

>2010!の値(十進法表記)の末尾には、0が何桁連続しているか？

証明）　５＾（５０１）｜２０１０！だから　（２は充分供給される。）　
　
ちなみに
　　５＾（５００）｜２００９！
　　　５＾（４９６）｜１９９９！

質問
２０１０！の素因数分解要素　ｐ＾ｎでは　pとｎは1/x　の関係になるのでしょうか？

>>63
n!の素因数pの指数は�納k=1,∞] [n/p^k]（[x]はxを超えない最大の整数）
で表されるので
p(pの指数)=p�納k=1,∞] [n/p^k]
≒p�納k=1,∞]n/p^k
=np/(p-1)

この近似の誤差は
p�納k=1,∞] {n/p^k}（{x}はxの小数部）
≦p(log n/log p + 1/(p-1))

>>43 >>57
素因数分解してみました
1!+2!+3!+…+2010! = 3^2 * 11 * 625631 * 22267309
　　　　 * 6271926985943393064992301574651
　　　　 * 16592100172839295019790725873927 * …
10桁までの素因数は楕円曲線法で一瞬で計算できるのですが
30桁以上の素因数は数時間かかりました

ちなみに
0!+1!+2!+3!+…+2010! = 2 * 47777 * 5400587532803093 * 349641875968277713
　　　　 * 7996777165070527367321 * 505024720749795591525799543 * …

普通のPCではこの辺が限界かな

>>64
ありがとうございます。　なるほど目が開けました。
>>65
わかりました。　ありがとうございます。

みなさん　すごいですね。

来年は
2011年 2011は素数
平成23年 23は素数
皇紀2671年 2671は素数
数学の問題に期待できそうだ。

>>66
で、>>43であんたは 625631という数字をどこから持ってきたんだ？

>>59
二次の正方行列 A,B が

A^2 - 2AB + B^2 = O
(O は零行列)

を満たすとき、

( A - B )^2010

を求めよ。

とかか。

？ A^2 - AB - BA + B^2 = O ？

>>70だと楽すぎない？

だよなｗ
頭を使うところが無いし。

2010じゃなきゃダメって問題にしたいよね。そこまで無理なら、相当限定されて、そのうちのひとつが2010であるようなのとか。

2010に個性があれば良いけどねえ

では個性とやらを数学的に定義しないとw

　

個体から個性を取り去って扱うのが数学の醍醐味。

2011ならともかく、今更2010の問題作ってどうすんだ？

4次元ユークリッド空間の微分構造とか見ると個性もまた大事だ

>>78

平成2010年への準備

某国立理系単科大のU先生は関数論の試験に必ず年号を使った問題を入れていた。

屁ぇせぇ2010年なんて人類滅びてるだろｗｗｗ

数学オリンピック 2010 予選

正2010角形から異なる頂点A,B,Cを選ぶ。
△ABCのすべての角が(度数法で)整数度になるような
A,B,Cの組み合わせは何通り？
[A,B,Cを並べ替えただけのものは同じとみなす]

>>73のいうとおり
これも2010以外でも使える問題だな
解いてみて間違えた俺に利けた口じゃないけどorz

因みに答えは(2*2*5*7*29*67)ね

>>83
俺の答えと違うが、
答え合ってる？

>>84
TVでやってたのを解説してる人がいる。数値には間違いはない。
ttp://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2010/05/1782010-bd55.html

>>85
計算まちがっちゃった。すまそ。

>>82
陛下の長寿を喜ぼうぜ

age

>>18がわからん。見当も付かない

（a）どの2つの島も，1本の橋で結ばれているか結ばれていないかのいずれかであって
→橋が２本以上かかっているところはない
（b）橋の両端は相異なる2つの島に繋がっている
→一つの島の中で完結している橋はない
（c）また，どの島からどの島へも橋を何回か渡ることにより行き来することができる．
→（a）（b）と島（頂点）の数と橋（辺）の数から、環になっている部分は無いことがわかる
（d）島Aと島Bが橋で結ばれている場合，島Aの手紙の送付先と島Bの手紙の送付先は，橋で結ばれている島同士か，同一の島である
→ある辺の両端の２点の送付先は、辺の両端の２点（自身でも可）または一つの点に対応する

極端な例は
・全ての島が自分宛てに送付（これは（１）に該当）
・全ての島が一つの島宛てに送付（これもその宛先の島が（１）に該当）
・（橋の配置が分岐なしの一直線だった場合）一番右端の島は一番左端に、一番左端の島は一番右端の島に送付という形。
　（この場合真ん中で（２）に該当する組が出てくる）

さて、どうしよう。

>>90
ヒント
島と橋で二人で追いかけっこすれば必ず捕まえることが出来る。
範囲をどんどん狭めていくことが出来る為。

鬼：手紙を送る元の島
逃げる側：手紙を受けとる島

>>87
その頃には誰もが今上を現人神と認めているでしょうね

>>90
要は、全ての島が一直線に並んでいるか、
１００６島以上の主鎖から脇に副鎖が分岐してる感じなんだろ？
そこに２０１０通の手紙が島同士の形をまねて長い糸でそれぞれ結ばれている・・・と。

そのときに自分自身に送らない、かつ隣の島と互いに送りあわない・・・と。
もし２０１０島が一直線に並ぶとき、島１と島２０１０がお互いに送りあうならば
１００５と１００６がお互いに送りあうわけだ。
島１と島２が島２０１０に送って、島２０１０が島２に送ると、島１００６が自分に送ることになる。

これを主鎖の長さが短くなっても同じだと数学的帰納法で証明する・・・でおｋ？

>>93
3連がMAXな構成も有り得るぞよ。
1つの島が他の島すべてと直接つながってる場合。

帰納法じゃ難しいんじゃ？
>>91 のヒントを使った方が良いと思う。

もうちょっとヒント

f(x) : 島xからの手紙の送り先の島
g(x,y) : 島xと島yを結ぶ最短コース上、xからyに向かって1回橋を渡ったところの島
　　ただし、x=y の時は g(x,y) = x
A_n : 以下で定義される島の列
　　A_0 = 適当な島1個 | A_(i+1) = g(A_i, f(A_i))

A_n を考えてみよう。
いずれ定数となるか、2個の島を行ったり来たりする。

おいおい数式出されたら頭が拒否反応示し始めたぞ。
考える時間をくれ

2010年に生まれた人が100歳(2110年)まで生きるとして、暦年が年齢で割り切れる年は2011〜2110年の間に何回あるか。

>>96
そういうプログラム作れといわれたらすぐ作れるけど
数学的に示せといわれたらはたととまってしまう。

中学レベルだが良い問題かもね

オイラー関数でぐぐれ

位数２０１０の群を同型に分類せよ

>>94

90だがヒントありがとう

>>93
島同士の形をまねた糸は
途中で何重にも折りたたまれてもいい

>>96
問題が非常に曖昧。

[暦年が年齢で割り切れる年]
暦年が年齢で割り切れることがある年？
暦年が年齢でいつでも割り切れる年？
2010/1/1 0:00:00に生まれた場合は？

ていうか、
2010+nがnで割り切れるn∈自然数 をすべて求めよ
でいいじゃんか。

2010, 2011 の約数を考えれば良さそうだ。

2010 の約数 1,2,3,5,6,10,15,30,67,134,201,335,402,670,1005,2010
2011 の約数 1,2011

誕生日前が割り切れるのは 2012 年
誕生日後が割り切れるのは 2011, 2012, 2013, 2015, 2016, 2020, 2025, 2040, 2077 年

一年中割り切れるのは 2012 年
割り切れることがある年は 2011, 2012, 2013, 2015, 2016, 2020, 2025, 2040, 2077 年

もっと上　初代武装戦線

３コ上　桂木さん

２コ上

１コ上　阪東　リンダマン

春道世代　ヒロミ・ポン・マコ　ブル　龍信　美藤竜也　県南５人組　ドスケン

１コ下　ヤス　美藤秀幸

２コ下　ゼットン　好誠　アンモ　キングジョー　光信

３コ下　グリコ　鉄生　光義

４コ下　花　村田将五　天地　光政

こんな感じ？

(1)n＾2-22が67の倍数になるような67以下の整数ｎを求めよ

(2)n(n＾2-22)が2010の倍数になるような2010以下のｎの個数を求めよ

学コンからのパクリ乙

25^2-22が67nっての入れないと難しいと思うよ

2010で割り切れる数すべて挙げてください。

>>109

2010*n （n は整数）

連続する2010個の正整数の積が平方数となるか

>>111
むずかしすぎる。
ヒントちょうだい！

ζ（2010）＝？

>>113
ζ（2010）=（4169桁）/（5168桁）* π^2010

（4169桁）
5041836826526179137
06850656480091147003799763877435460705897484384349
57259757935314622711818831269060661697363298679215
25573613254051173089899748353706400298077877135088
84642311734093147527131955837307742057926279018135
----------------途中省略---------------
29994900990990438973061178524733927317085116541230
14692737455719729736936593763646338422234815309517
46177044245182594792450495484431304196956392802672
21344322621227939372780126659532532590145349821632

（5168桁）
941527265791151581
29819879931814353618746894956911089608273041189573
15813423759670527724491985919891171920002309540763
63629414067768635477878025644423156098680647564555
60314407414670780374681048929521311101154079705215
----------------途中省略---------------
37203612818984294788418656439186707945033977918746
43501497170809748851893968568779227708453629278666
52788926153405900284544505824664153755673371390294
91145810445151820289311217493377625942230224609375

※π^2010の整数部分が丁度1000桁

連続する2010個の正整数の和が平方数となるか

3518,3519,......,3518+2009

和=(3015)^2

>>115
2010 n^2 + 2010 n - 502 ....(※nは自然数)
から始まる2010個の整数

で結局積の方の答えは？

>>114
せっかくがんばって計算したんだからだれかなんか書いてよ！
結構大変だったんだから。

500

おれは>>118だが、>>2010を取って見せてみよ

>>116
それ正しいの？

今年の国際数学オリンピックの問題です。
出場する人間はあらかじめ解いておくといいですよ。
解法が分かれば20分弱で解けると思います。

室温18℃を保った部屋の中で500mlのペットボトルに入った炭酸飲料を観測しましたところ
只今までに、2010個の気泡が現れました。
ペットボトルは地面に垂直な円柱に、そこから内側へ60度折れた円錐が乗っています。
そして丁度、円柱一杯に炭酸飲料が残されております。
ペットボトルには、初めから201π/(2√3)mlの空間が開いておりました。

気泡一つあたりの体積を求めなさい。