高校生のための数学の質問スレPART256
>>725
x[n+1]=x[n](1-x[n]) の逆数を取って
1/x[n+1]=1/{x[n](1-x[n])}=1/x[n]+1/(1-x[n])=1/x[n]+1+x[n]/(1-x[n])
1/x[n]+1≦1/x[n+1]≦1/x[n]+1+x[n]/(1-x[n])≦1/x[n]+2
n-1/2<≦1/x[n]≦n-1+Σ[k=1,n-1]x[n]/(1-x[n])≦2ｎ
1/2≦{1+1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])}^(-1)≦nx[n]≦n/(n-1/2)≦2
x[n]/(1-x[n])=x[n]^2/x[n+1]≦(2/n)^2*(n+1)/2≦4/n より
1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])≦4/nΣ[k=1,n-1]1/k≦4/n*{1+log(n-1)}
ゆえn→∞で1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])→0
よって{1+1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])}^(-1)≦nx[n]≦n/(n-1/2)から挟み撃ちで
lim[n→∞]nx[n]=1
x[n+1]=x[n](1-x[n]) の逆数を取って
1/x[n+1]=1/{x[n](1-x[n])}=1/x[n]+1/(1-x[n])=1/x[n]+1+x[n]/(1-x[n])
1/x[n]+1≦1/x[n+1]≦1/x[n]+1+x[n]/(1-x[n])≦1/x[n]+2
n-1/2<≦1/x[n]≦n-1+Σ[k=1,n-1]x[n]/(1-x[n])≦2ｎ
1/2≦{1+1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])}^(-1)≦nx[n]≦n/(n-1/2)≦2
x[n]/(1-x[n])=x[n]^2/x[n+1]≦(2/n)^2*(n+1)/2≦4/n より
1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])≦4/nΣ[k=1,n-1]1/k≦4/n*{1+log(n-1)}
ゆえn→∞で1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])→0
よって{1+1/nΣ[k=1,n-1]x[k]/(1-x[k])}^(-1)≦nx[n]≦n/(n-1/2)から挟み撃ちで
lim[n→∞]nx[n]=1
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