高校生のための数学の質問スレPART255

>>592
∫[0,1](1-y)/(1+y^2)dyなのかな？
∫[0,1](1-y)/(1+y^2)dy
=∫[0,1]1/(1+y^2)dy-(1/2)∫[0,1](1+y^2)'/(1+y^2)dyでいいんじゃない？

ありがとうございました
置換するのをすっかり忘れていました

ある問題の途中で、d^k/dx^k(x^(k-1)*logx) = (k-1)!/xという式が出てきたのですが、
これはどのようにして求めれば良いのでしょうか？

帰納法

>>604
特に解説も無くイコールで結ばれてたので簡単なやり方があるのかと思ってましたが、
やはり地道にやるしか無いんですね。
ありがとうございました！

>>591
α<βとして
α<1/2< 1-1/a <β<1となると思う。
そこから4次関数のグラフの形考えて計算すると1＜a≦3が出ると思うんだが
脳内計算しかしてないので確証は無い

あっ
>>606の4次関数ってのは
y=f(f(x))を指してるので
>>591の言う4次関数がf(f(x))=xなら違うわ

2pq+q(1-p)+3(1-p)(1-q)

これって因数分解出来る？
久しぶりに数学やったら完全にやり方忘れてた・・・

k^2-1/2k^2=1/3
をどう解いたら
k=√3になるか教えてください！

質問です。ある幾何学の問題で、肝心なところは解かっていて、立式できていて、
後は式をとくだけだというのに、その過程で解からなくなりました。

(x-10)(x-2)×5=420　←という式が、何故、
(x-10)(x-2)=84　となるのかが解かりません…。
僕はどうしても、
(x^2-12x+20)×5=420 → 5x^2-60x-320 となります。
教えて下さい。お願いします。

>>610
420÷5 は計算できるんだろうな

>>590,591
>>244 を念頭に >>263
それと
>>254,255 を念頭に >>213 の前半

極限の問いなのですが、
模範回答がないため答え合わせができません。
画像の二問はこれで正しいですか？http://beebee2see.appspot.com/i/agpiZWViZWUyc2VlchQLEgxJbWFnZUFuZFRleHQY38EZDA.jpg

ナメクジが塩かけられて、のたうち回ってるのかと思ったぜ。
この程度のしょぼい量を、どうしてテキストで打つ手間を省くのか
それが疑問だわ。

ちなみに読めねーから、回答できん。

cos(cos(x/2)-cos{(n+1/2))x})
をsin二つの積にしたいです。
よろしくお願いします。

訂正します。
cos(x/2)-cos{(n+(1/2))x}
をsin二つの積にしたいです。
よろしくお願いします。

>>614
失礼しました

a)　lim_[x→0]((e^x)-(e^(-x)))/x
=lim_[x→0](((e^(x)-1)/x)-((e^(-x)-1)/x))
=1-(-1)
=2

b) lim_[x→-∞](1+(1/x))^x
x=-tとおく
⇔lim_[t→+∞](1+(1/(t-1)))^t
t=1+sとおく
⇔lim_[s→+∞](1+(1/s))^s(1+(1/s))
∴(与式)=e

>>616　和積変換で万全

>>611
すみません、５は移項してもいいんですか？
×なんで左辺で計算しなければならないのかとばかり。

和積でできないのですが..
二次力落ちすぎでやばい..

>>617　　合ってるよ

>>620　どの質問のレスだよ616か

すいません616です。
昨日から2時間考えても分かりません。
センター前は出来ていたのでたいした内容ではないような気はするのですが..

>>623　高校卒業してからウン十年以上経つけど、和積変換なんか忘れようもない。

cos(x/2)-cos{(n+(1/2))x}＝-2sin((x/2+(n+(1/2))x)/2)sin((x/2-(n+(1/2))x)/2)
＝-2sin((n+1)x)sin(-nx)＝2sin((n+1)x)sin(nx)

>>624
頭老いてるんじゃないの？与式から最後の式が即出るでしょ。

k^2-1/2k^2=1/3
をどう解いたら
k=√3になるか誰か教えてください。お願いします

>>626　どう解いてもならないですよ。

いろいろ式をエスパーしたけど、その解は出てこない。

すいません分かりました。
数学には絶対の自信があったのに、和積がでないとか終わってますよね..

早慶までは時間がまだあるのでなんとか取り戻したいと思います！

>>624>>625　計算間違ってるよwwww

与式=2sin((n+1)x/2)sin(nx/2)

かなり久しぶりだけど質問するよ
この前宝くじ買ったんだけどさあ、11か所の宝くじ売り場でそれぞれ1枚ずつ買って合計11枚買ったんだよね
それで末等に5枚当選したんだ　末等のあたる確率は下1桁が一致だから1/10ね
んでこの確率を求めみようとおもって計算したの
俺の式がこれ→11C5*(1/10)^5*(9/10)^6　これ計算したらだいたい1/417になるはず
いちおうあってるか確かめたかったから予備校の先生にきいたんだけど　そしたら！
なんと間違っているらしい
先生は(1/10)^5*(9/10)^6っていうんだけどどういうことなんだろう
教えて

しかも2浪目

y=exp(-2x)sinxとx軸で囲まれる面積を以下の条件で求めたいです。

x≧0の場合。

関数が複雑？なので積分してからの範囲指定がいまいち
わかりません。
回答は0から∞になってます。
お願いします。

すいませんスレチでした。

、

>>607
ありがとうございます
>>265
>>265
わかりました。やってることが。

結局僕はf(f(x))って構図をみただけで逆関数だの
定義域だの余計なこと考えていましたが、これは
結局同値なyとxの２元２次連立方程式に直せるって
ことですね？本当にわかりました。ありがとうございます。
これは本当に良い問題だ。何もxを消して、ひとつの関数で
勝負するのではないのですね。これ数学のエッセンスですよね？

三浦和弘の河合塾出版　やさしい理系数学で

y=x^2-aとx^2=y-aの交点を求めろって問題も、xを消去して
４次関数で考える必要はまったくなかったからですね。また
書店で見てください良い問題です。

いやぁほんと助かりました。結局方程式を解いているんだって
感覚に戻らないといけないんですね。

答えてくださった人全員ありがとうございます。このスレだけは
２ちゃんで唯一の神です。




(イ)はどうしても解があるから、重解にするってことですね？

かなり危ない理解だなw

>>636
危ないですか？

べつに２次方程式じゃないですねｗ

ただの２元複合次数関数に直すってことですねｗ
いや本当にいい問題だ。必要十分条件理解以来の
充実感だ。これで阪大に近づいてきた・・・・

>>621
ありがとうございました

>>206の回答くらいで50/50くらいですよね？
今日駿台に行って先生に見せてきます。

皆さんこれからもよろしくおねがいします。また
僕も回答者になれるように頑張ります

>>637
君たぶん阪大向いてるよ。
そういうことに感動できるやつが伸びるし、阪大生って概して君みたいに一般人には理解されない面を持ってる。

がんばれ〜

またかぁ〜

e^-x/2＋(x＋3)×e^-x/2×-1/2
をどうすれば-1/2(x＋1)e^-x/2
にできるんでしょうか？
よろしくお願いします。

行列AとBがあるとき（A+B)^2＝A^2+AB+BA+B^2
って間違ってませんよね？

ません

>>643
任意の行列の積の演算が成立ならば、
A^2+AB+BA+B^2は成立

機械工学科に入学することになったのですが、
数学はどの分野を特に力を入れて勉強すれば、入学後に便利でしょうか

赤玉7個、白玉8個を一つずつ順番に取り出す。ただし、一度とった玉は戻さないとする。
このとき、赤玉が先になくなる確率を求めよ。
という問題で、
赤が先になくなる確率をP、白が先になくなる確率をQとすると
赤玉と白玉の個数の比からP:Q=8:7となり
P+Q=1なので、P=8/15
と解いたんだけど、ダメですか？
個数の比から・・・ってとこが怪しげなんですが。

xyz空間でO(0,0,0)、A(3,0,0)、B(3,2,0)、C(0,2,0)、D(0,0,4)、E(3,0,4)、F(3,2,4)、G(0,2,4)
を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。
辺AEを s:1-s に内分する点をP、辺CGを t:1-t に内分する点を Q とおく。ただし、0<s<1、0<t<1とする。
Dを通り、O,P,Qを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなs,tのみたす条件を求めよ。


去年の京大の問題ですが、O,P,Qを含む平面におろした垂線の足をHなどとおき、教科書風に
OH=aOP+bOQ （a,bは実数）などとしてHを求め、…などとすると、大量の文字と条件式が出てきて面倒くさいですが、
『O,P,Qを含む平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）の1つを求め』てしまえば、（今回の場合は(-8s -12t 6)）
線分ACのz座標が0であることから、Hを出さなくても線分ACとの交点が求まる…といった具合に、非常に簡単な問題に成り下がります。

この『法線ベクトル』っていう発想はどこから出てくるのですか？
「慣れ」の一言で片付けられると、私が今年京大に受からないことになってしまうので、困るんです。

>>646
レベルによるけど初等数学しかやらないんじゃないの？
最初は�VCの内容ばかりで、線形代数、解析幾何、集合論とかやると思う
線形代数は個人的には面白いと思うし、本も沢山出てるから読みたければ読めばいいと思う

>>648
切実だなｗ

>>646
微積と行列

>>648
>O,P,Qを含む平面に垂直な直線
ここから

まあ今年は受からないですよ

今の時期にそんな程度で躓いてるなら…悪い事は言わないから一浪するか志望校変えなよ

京大とか本気で言ってるの？
身の程を知った方がいい、受かるとも思えないし
>>654の言った通り志望校かえた方がいいよ。

>>648
Dを通り、O,P,Qを含む平面に垂直な直線上の点をHとおくと（文字はぜんぶベクトルで）
OH=OD+ｅ
になるから、あとはｅ（法線ベクトル）をもとめる
発想もなにも問題文どおりに式を作ってるだけ

OH=OD+ｅ　→　OH=OD+kｅ　kは実数

lim_[x→-∞](√(x^2-x)-x)/x
=lim_[x→-∞]-(√(1-(1/x)))-1
=-2

この二行目の先頭のマイナスを、"[x→-∞]だからつけろ"と言われるのですが、
二行目ではxで割っただけなのに、√の先頭にマイナスをつけたのはなぜですか？

たとえばx＝-１のとき
x＝-√(x^2)

>>659
[x→-∞]のとき、x<0
このときx=-√(x^2)であるから、
√(x^2-x)=-√(1-(1/x))

ということでしょうか。
3行目の左辺の動きがよくわからないのですが、
どのようにして右辺とイコールになるのでしょうか。

>>660
> √(x^2-x)=-√(1-(1/x))
違うだろ。
/xはどこへいっちゃったんだよ。/xのxを-√(x^2)とするんだ。

>>661
なるほど！
分子ばかり見ていて、分母をスルーしていました。
分母のxを-√(x^2)とすればうまくいきますね。

とてもスッキリしました。ありがとうございます。

俺は宣言する。
名古屋終わるまでオナニーしない。

>>663
計画的にするべきだろ
オナ禁はむしろ悪い結果を招く恐れがあるよ
俺は受験前日も当日も京都のホテルで出しまくったけど受かったよw

じゃあ毎週金曜日にすることにするよ。
早慶も名古屋も最低限度のダメージですむように

金曜が楽しみだ。

センター死んだから

ドピュ

（ｎ個からr個取る組合せ）＝（ｎ−１個からr−１個取る組合せ）＋（ｎ−１個からr個取る組合せ）
これの証明を（ｎ個からr個取る組合せ）＝ｎ！/r!(n-r)!を利用して証明したいのですが、
最終的に（ｎ個からr個取る組合せ）の形に持っていくことができません。
なので計算過程を詳しく知りたいのですが、どうすればできるんでしょうか。

>>668
先ず、数学記号で置き換える過程から始まる

>>668
(n-1)!=n!/nってのはわかる？

質問させてください。
うろ覚えなんで不十分なところもあるとおもいますがすみません

問：
平均して3問中2問の問題を解ける能力をもってる生徒がいる
その生徒に三問のテストを受けさせる
少なくとも二問正解ならば合格、それ以外は不合格とする
このとき生徒が合格する確立は？

この場合、「平均して3問中2問の問題を解ける能力をもってる生徒がいる」っていう記述はどのように考えればいいでしょうか？

>>671
ある問題を解ける確率が2/3ってことじゃないの？

よくわかんないんで画像うｐしました。
一応答えは 20/27 ですが
平均して3問中2問の問題を解ける能力をもってる生徒がいる
をどこで使うかがわかりません。
それともこういうのは考えなくても良いのでしょうか？


http://up3.viploader.net/ippan/src/vlippan058159.jpg

>>673
何を計算しているのか意味不明。

>>674
すみません>>671と>>673ですが、確立をもとめてます
今までのことはなかったことにして誰か解説お願いします。

>>673
明確に間違ってる。
なんで不合格の場合まで足してんだ？
それに、不合格の場合も足したら1になるはずじゃないか。

しかも、計算も間違ってるし。

>>669
>>670
ありがとう。
アドバイス参考にして解いてみます。

半径１の球面に内接する、直方体の体積をＶ、表面積をＳとする
それぞれの最大値を求めよ

Ｖは8/9√３と一発で出るんですが、Ｓが出ないです。
Ｓは√xやら√(1-x^2)の和で、微分しないとできないんですが
これ微分しないでも求めれる方法ありますか？√の微分はした
くないです。数学�UＢのテキスト何で。

>>679
もう少し何をxと置いたかとか書いてほしいかもな。

立方体のときが最大かな

∫1/√(1-x^2)dx

ひとつ前の
∫1/√(x^2+1)dx
は
t-x=√(x^2+1)
と置いて解答したのですが、これはどのように置けばいいのでしょうか？

点Pは1秒ごとに正四面体OABCの各頂点を移動する。
0秒のときに点Oにいる。n秒後までに全ての頂点を通りきる確率を求めよ。
どの頂点に移動する確率も等しいとする。


次のように解いたのですが、1や2を代入してみても答えがあいません。

全ての通り方は3^n（通り）

n秒後までに通りきらないのは、3つの頂点しか通らない場合
頂点の選び方は3C2=3（通り）。
１秒ごとに、2つの頂点から1つ選んで進むので 3*2^n（通り）

以上から求める確率は、

1-(2^n/3^(n-1))

だって、
O→A→O→A→O→…　（OABのみ通る場合と、OACのみ通る場合に1個重複）
O→B→O→B→O→…　（OABのみ通る場合と、OBCのみ通る場合に1個重複）
O→C→O→C→O→…　（OBCのみ通る場合と、OCAのみ通る場合に1個重複）
をダブルカウントしてるもん

よかった？

>>682
x=cosθやsinθで円の一部になる。


ここから先はわかればの話だけど、
円関数を用いるか双曲線関数を用いるかの違いだね
後者については
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/integral/integral2.htm

半径１の球面に内接する、直方体の体積をＶ、表面積をＳとする
それぞれの最大値を求めよ

Ｖは8/9√３と一発で出るんですが、Ｓが出ないです。
Ｓは√xやら√(1-x^2)の和で、微分しないとできないんですが
これ微分しないでも求めれる方法ありますか？√の微分はした
くないです。数学�UＢのテキスト何で。

↑これ昨日からスルーされてます　よろしくおねがいします。

>>686
ごめん、ちょっと説明不足だった
∫1/√(1-x^2)dx
これはx=cosθかsinθとおく（円関数）


∫1/√(x^2+1)dx
は
t-x=√(x^2+1)とおく（双曲線関数）
ってことね

受験生なら、なんでこう置くのかとか細かいことは気にしないで計算できればおｋ

y=(x+y)(2x+3y)を満たす整数x,yの組を全て求めよ
解は4つあるらしいのですが、色々な考え方をしてみましたが
結局(0,0)と(-2,1)しか見つけられませんでした
どのような考え方で解けばよいのでしょうか？

>>686>>688
1-sin^2θの形を作ればよかったんですね…
なんとか解けました。ありがとうございました。

>>689
x+y=tとおいてかんがえる

>>689
どちらかについて強引に解の公式で解いてどうにかならないかな。

>>691
既にやりましたが、それだと整数がなかなか出てこないのであきらめました

>>692
その後に判別式で弄繰り回したりなど色々試しましたが、結局整数が出てきませんでした

>>693
あんまり自信ないけどできたよ。
xについて解くと、判別式がy^2+8yになる。
y^2+8y=(y+4)^2-16で、これが平方数でないとダメだが、
(y+4)^2も平方数なので、平方数と平方数の差が16である組み合わせを考える。
すると、(y+4)^2は16か25しかないことがわかる。
なのでyの候補は4通り出てくる。
それらを代入してxも整数になるものをさがすと4通り見つかる。

論理の問題教えてください。
答えは一人と聞いたのですが、なぜなのかわかりません。
よろしくお願いします。

常に嘘ばかりをつく嘘つきと、常にただしいことだしいことだけを言う正直者
からなるA〜Fの6人が次のように発言しました。この中に正直者は何人いますか。

A「Fは自分が嘘つきだと言っていた」
B「Aは正直者である」
C「Bは嘘つきである」
D「Dは嘘つきである」
E「Dは嘘つきである」
F「Eは正直者である」

>>695
> D「Dは嘘つきである」
これ、おかしくないか？
嘘つきでも正直者でも言うはずのない言葉だと思うのだが。

すみません。
D「Cは嘘つきである」
でした。

Ａ　主張が過去の伝聞だから、正直者
Ｂ　は　Ａは現在はわからないから、Ｂも正直者に分類される。
Ｃ　は根拠がないのでだめ
Ｄ，Ｅ，Ｆは自己矛盾でうそつきと判定される。

>>689
l，kは整数
xの方程式とすると、判別式=y^2+8y
よって　y^2+8y=k^2　が必要
yの方程式とすると、判別式=16+k^2
よって　16+k^2=l^2　が必要
したがって　16=（l-k）（l+k）
（l-k）+（l+k）=2の倍数
（l-k）-（l+k）=2の倍数
よって
（l-k，l+k）=（±2，±8）（±4，±4）（±8，±2）
これからkを求めてあとはしらみつぶし
もっと賢いとき方もあるだろうけど、思いつかん

>>687
直方体の高さをhとする
z=h に底面があるとして、球面とz=hの交わりの円の半径をr、底面の辺の長さをx,yとおくと
x^2+y^2=r^2　ここで、hを固定して表面積を考えると、
r^2=x^2+y^2>=2*(x^2*y^2)^(1/2)=2xy
であるから、底面の面積はx=yで最大
また、側面の面積はx+yが最大になるときに最大になるが、
x=rsinθ、y=rcosθ (0<θ<π/2)おけて
x+y=r(sinθ+cosθ)=rsin(θ+π/4) であるから、
θ=π/4で最大となる。このときやはり、x=y となっている。
底面が正方形のとき表面積最大。
r^2+h^2=1であるから、r=cosφ、h=sinφとおけるので、表面積をSとして、
S=4r^2+4√2rh=4(cosφ)^2+8√2sinφcosφ=2(1+cos2φ）+4√2sin2φ
ここで、sinα=1/3 となるαを用いて
S=sin(2φ+α)+・・・ よって、2φ+α=π/2で最大となる。
sin(α/2)=(√2-1)/√6、cos(α/2)=(√2+1)/√6 であるから
r=cosφ=・・・=√6/3、h=sinφ=√3/3
x=y=r/√2=√3/3=h
よって、立方体のとき表面積は最大。
これって、数�UBの範囲内かな？