高校生のための数学の質問スレPART255

他サイトで質問したんですが、まともな答えがまだ返ってこない。
先生いわく、かなり難しい。このスレの人解けますか？
まじ頭こんがらがってます。

点Ｏを中心とする半径１の球面上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがある。線分ＢＣ、
ＣＡ、ＡＢの中点をそれぞれ、Ｐ、Ｑ、Ｒとする。線分ＯＰ、ＯＱ、ＯＲ
のうち少なくとも一つは長さが1/2以上であることを証明せよ。
一応全て1/2以下と仮定して矛盾を導こうとしたんですが、数式から矛盾発見
できない。解ける人いますか？