１＋１＝２について

最近インターネット上で次のようなものを拝見しました。
ttp://oshiete1.goo.ne.jp/qa217225.html?from=navi_ranking
とりあえず、stomachmanさんの回答を見て一応は納得したのですが、
まだ分からないところがあります。上のページの回答が締め切られていたので、
こちらで質問させていただきます。
自然数の定義に集合を使う必然性が感じられなかったのですが、これは
現代数学の基礎が集合論でできているからでしょうか。たとえば、
まず、１を定義する。
２を１＋１で定義する。３を２＋１で定義する。ここでｎ＋１はｎの次の数である。
一般のプラスはｍ＋ｎ＝(ｍ＋(n-1)+1と定義する。
こうすれば、＋１から一般の加法について帰納的に定義できる。
ただし、-はプラスの逆関数である。
という風に定義します。
私がなぜそう思ったかというと、上記のページの証明で使われている
s(n)という関数が＋１と全く同じものだと感じたからです。
それなら、そもそもの関数s(n)を＋１と定義してしまえば、１＋１＝２を
は定義そのままで証明する必要がないように感じました。
つまり、わざわざ、上の証明が+1と全く同値な関数をわざわざ別に
定義して、証明する必要のないものを証明しているように思えたからです。
もしチンプンカンプンなことを言っていたらごめんなさい。
お願いします

2げと

あの、自分でも分け分からないことを書いてしまいましたが、
ようは＋１と全く同値な関数を定義しておいて、それを使った証明
が本当に証明と言えるのかということです。

質問スレへ行かない者は
スレ乱立荒らしと見なす

>>1　そもそも
・定義
・証明
の意味が俺ルールになっているからだ

>>5
ごめんなさい。どうやら質問スレに書くべき内容だったようで、ここは
削除依頼を出しました。でも、分からないのは＋１と全く同値な関数を
新たに定義する必要性です。同値な関数を作り出して、それをもちいて
証明しても証明とは言えないのではないでしょうか。たとえば、
n+1=s(n)と定義してしまえば、上のページで上がっているような
証明は必要ないのではないでしょうか？

1+1=2
を
「1」「+1」「=」「2」
と見るか、
「1」「+」「1」「=」「2」
と見るかの違い。

上だったら定義のままで証明いらないだろうけど、
下なら加法の定義と自然数の定義に整合性があることを
証明する必要がある。

でも、上の定義の「＋１」から下の定義の「＋」「１」に定義を拡張すること
は可能なんじゃないかな。

こっち池

1+1を計算すると2になる事を証明せよ
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1153885295/