数列に萌えるスレ

すまん。９の問題はなかったことにしてくれ。
かわりに次の問題。

次の数列で、□に入る数は何か。
　1, 4, 9, □, 25, …

>>10
簡単すぎだろ

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...

数列に萌えるとかレベル高すぎだろ・・・

>>10
答えが１６だと思った人、甘い。砂糖より甘い。

仮に一般項　a(n) = x^2 を考えれば確かに
a(1) = 1, a(2) = 4, a(3) = 9, a(4) = 16, a(5) = 25

だが、一般項　a(n) = -1/6(x^4-11x^3+35x^2-61x)-5　を考えると、
a(1) = 1, a(2) = 4, a(3) = 9, a(4) = 17, a(5) = 25

a(4)が 18 や 19 の場合の一般項も同様に定義できる。
したがって、「無数に存在する」が正解である。

…上の一般項を出す途中の計算は死にかけたぞ。

本当に無数に存在するのか？

>>15
次のように求めていきました。長くなりますが，

a(n) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e　とすると，
a(1) = a + b + c + d + e = 1
a(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 4
a(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 9
a(4) = 256a + 64b + 16c + 4d + e = t（←実数）
a(5) = 625a + 125b + 25c + 5d + e = 25
　　↓
15a + 7b + 3c + d = 3
65a + 19b + 5c + d = 5
175a + 37b + 7c + d = t-9
369a + 61b + 9c + d = 25-t
　　↓
50a + 12b + 2c = 2
110a + 18b + 2c = t-14
194a + 24b + 2c = -2t+34
　　↓
60a + 6b = t-16
94a + 6b = -3t+48
　　↓
34a = -4t + 64

よって a = 1/34(-4t+64)，これからb, c, d, eを導き出す。
あとはtに自分の好きな数を代入するだけ。

訂正　a = 1/24(-4t+64)

次の数列で、□に入る数は何か。
　1, 1, 1, □, 1, …（以降ずっと1）

>1, 4, 9, □, 25, …

任意のaに対して

x^2 - a(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)/6

とすればよい。

訂正

x^2 +(16-a)(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)/6

0,1からなる数列a[1],a[2],a[3],...で
∀n∈{0,1,...,Nｰ1}a[M+n]=a[M+N+n]=a[M+2N+n]となる
M,N>0が存在しない数列を求める方法は？

>>20
一つの式だけで作れるんですね。
私の計算の時間・・。