数列に萌えるスレ

ここは数列に萌える人たちが語るスレです。

そんな人いません


終了

1,1,2,3,3,4,5,5,6,6,6,8,8,8,10,9,10,11,11,12,12,12,12,

>>3
Hofstadter Q-sequence: a(1) = a(2) = 1; a(n)=a(n-a(n-1))+a(n-a(n-2)) for n > 2.

1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6,
6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11, 11, 12,
12, 12, 12, 16, 14, 14, 16, 16, 16, 16,
20, 17, 17, 20, 21, 19, 20, 22, 21, 22,
23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 32, 24, 25,
30, 28, 26, 30, 30, 28, 32, 30, 32, 32,
32, 32, 40, 33, 31, 38, 35, 33, 39, 40,
37, 38, 40, 39

ちょｗｗ凄ぇやり取りｗｗｗ

test

1,11,111,1111,11111,111111......
n+10n+100n+......

８といえばエイトマン

問題
　1, 6, 12, 21, 36, 61, 101, …
の一般項を求めよ。

すまん。９の問題はなかったことにしてくれ。
かわりに次の問題。

次の数列で、□に入る数は何か。
　1, 4, 9, □, 25, …

>>10
簡単すぎだろ

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...

数列に萌えるとかレベル高すぎだろ・・・

>>10
答えが１６だと思った人、甘い。砂糖より甘い。

仮に一般項　a(n) = x^2 を考えれば確かに
a(1) = 1, a(2) = 4, a(3) = 9, a(4) = 16, a(5) = 25

だが、一般項　a(n) = -1/6(x^4-11x^3+35x^2-61x)-5　を考えると、
a(1) = 1, a(2) = 4, a(3) = 9, a(4) = 17, a(5) = 25

a(4)が 18 や 19 の場合の一般項も同様に定義できる。
したがって、「無数に存在する」が正解である。

…上の一般項を出す途中の計算は死にかけたぞ。

本当に無数に存在するのか？

>>15
次のように求めていきました。長くなりますが，

a(n) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e　とすると，
a(1) = a + b + c + d + e = 1
a(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 4
a(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 9
a(4) = 256a + 64b + 16c + 4d + e = t（←実数）
a(5) = 625a + 125b + 25c + 5d + e = 25
　　↓
15a + 7b + 3c + d = 3
65a + 19b + 5c + d = 5
175a + 37b + 7c + d = t-9
369a + 61b + 9c + d = 25-t
　　↓
50a + 12b + 2c = 2
110a + 18b + 2c = t-14
194a + 24b + 2c = -2t+34
　　↓
60a + 6b = t-16
94a + 6b = -3t+48
　　↓
34a = -4t + 64

よって a = 1/34(-4t+64)，これからb, c, d, eを導き出す。
あとはtに自分の好きな数を代入するだけ。

訂正　a = 1/24(-4t+64)

次の数列で、□に入る数は何か。
　1, 1, 1, □, 1, …（以降ずっと1）

>1, 4, 9, □, 25, …

任意のaに対して

x^2 - a(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)/6

とすればよい。

訂正

x^2 +(16-a)(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)/6

0,1からなる数列a[1],a[2],a[3],...で
∀n∈{0,1,...,Nｰ1}a[M+n]=a[M+N+n]=a[M+2N+n]となる
M,N>0が存在しない数列を求める方法は？

>>20
一つの式だけで作れるんですね。
私の計算の時間・・。

ここは数列専用スレ

>>21
xの小数部分が0.5より小さければf(x)=0、そうでなければf(x)=1となるようにf(x)を定義して
適当な無理数p,qを用意してa[n]=f(pn+q)とおけばいいよたぶん

>>18

1だろ。それか、パズル？

数列{a[n]}は以下を満たすとき、a[n]の一般項は？

(1)a[1]=1
(2)a[n]<a[n+1]
(3){a[n]}の任意の３項を a[p],a[q],a[r](ただし p<q<r)とすると
　どの a[p],a[q],a[r]もこの順に等差数列を為さない


で、からどの３項を取り出してもその３項が等差数列

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741

>>26

＞で、からどの３項を取り出してもその３項が等差数列

日本語でおｋ

昔、小学校の入試で、

１，３，４，６，□，１０，１２

の□を埋めさせる問題が出たとか。
でも、首都圏（関東地方？）在住でないとわからない。

＃p.s.数学ってかパズルです

↑ＶＩＰでやれ（ＡＡ略）

>>27
a(0) = 0,
a(1) = 1,
a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2)

>>29
これかなりの昔の数学板かyahooの掲示板みたいな所で
誰かが質問した奴じゃなかったっけ？
んで誰かの「番組のチャンネルの番号だろ」って突込みに対して
必死に違います違いますって否定して大荒れしたんじゃなかったっけ

そんなに昔でもなかったような気がする

>>26の最後の二行は投稿する際に消すのを忘れてしまった二行ぽいから無視するとして、
たとえばa[n]=2^nは∀n a[n]<a[n+1]と∀n<m<l 2a[m]≠a[n]+a[l]の両方を満たす
一般に適当な急増化数列を取れば上の条件を満たすけど、
何処まで緩い増加で上の条件を満たす数列を見つけられるかは気にはなる
limsup a[n]/n<∞(liminfだったかも)を満たす数列が上の条件を満たさないことは
組み合わせ論で証明されてたような気がするが

おもしろい

問題を次のように定式化する。

N(m)=sup_{{a_n}∈S} (#{ n | |a_n|≦m})/m
here, m,n are natural numbers and S is a set of all increasing sequences of integers.

N(m)を上から評価せよ。

訂正
×　S is a set of all increasing sequences of integers.
○　S is a set of all increasing sequences of natural numbers.

どうでもいい訂正をもう一回。定冠詞はtheのほうがいいな。

taoがやったように素数列2,3,5,7,11,...には5,17,29,41,53とか任意の長さの等差数列が含まれる
liminf a[n]/n が有限の場合もそう
エルデシュは一般にΣ[i<n]1/a[i]が発散する数列{a[n]}も同じ性質を満たすことを予想した

エルデシュがそんな予想をするくらいだからn^2のオーダーで増える数列で
長さ3の等差数列が含まれない奴が存在するに違いない
∀n n^2≦a[n]≦n^2+2nを満たす数列を適当に選べばたぶん出来る

０，１，３，４，９，１０，１２，１３，２７，２８，３０，３１，３６，３７，３９，４０，８１，．．．。

女性の場合特に気になる3項からなる数列

>>40
40,81のあと急に発散しそうだな

いや、急には発散しないけど指数オーダーで増えるのか

>>40
1,2,5,14,41,122,365...

…折り返し、折り返し、それを足すこと…

>>40 はある二項係数が 3 で割れないときに出て切る数列。

三進法

493

どっかのスレで、41を中心にして書いていくと一方向に素数が沢山あらわれる
って聞いたけど、本当だなあ。でも、何でなんだろう
数列にすると、
n=3以上の自然数
a(1)=41
a(2)=a(1)+2
a(n)=a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+8
こんな感じか？

61,60,59,58,57
62,47,46,45,56
63,48,41,44,55
64,49,42,43,54
65,50,51,52,53

中央の41
→1*2増える→右下の43 → 2*2増える→左上の47
→3*2増える→右下の53 → 4*2増える→左上の61

という風に並べられているから右下・左上方向の数は
(1+2+3+...+n)*2+41=n^2+n+41になることが分かる
n^2+n+41はオイラーが見つけた素数がたくさん現れる数列
n=0〜39まで素数でn=40で平方数1681=41^2になる

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/310_r6.htm
>>49の背景にはラビノヴィッチの定理が関係している

>>49
>>50
ありがとう

この問題、どうゆう法則でしょうか？就職の適正検査で出たもので・・・

１、２、Ａ、Ｂ、１２０、１７２

ＡとＢの値は？

172じゃなく720ならすぐに思いつくんだけどもなあ

12、70、

等差と等比を間違えたっそれワカチコワカチコ♪
Hoo！スウレツゥ！！

>>55
お前は何しに来た

じゃあ問題。拾い物だけど。中学終了までの知識で全問解けるからやってみそ。
電卓使用可だけど暗算でもおｋ。


(a)3･7･11･15･19･□
(b)1･3･9･27･□
(c)1･1･2･4･7･11･16･□
(d)1･2･6･24･120･□
(e)2･3･8･63･□
(f)4･6･10･14･22･26･□
(g)1･4･27･256･□
(h)1･1･2･3･5･8･13･□
(i)6･15･35･77･143･□
(j)1010･101･22･20･14･13･□
(k)2･8･2･8･4･2･6･10･□

>>57

ａ ２３
ｂ ８１
ｃ ２２
ｄ ７２０
ｅ パス
ｆ パス
ｇ ３１２５
ｈ ２１
ｉ パス
ｊ パス
ｋ パス

ｏｒｚ

58だけどeは3968！

最後の三つむずすぎ

(f)は素数の二倍の数列
(k)は√2の各位を二倍した数列

(i)と(j)はもうちょい考えてみる。
電車んなかだから
紙とペンがないから辛い…

(i)はp[n]をn個目の素数として
a[n]＝p[n]p[n＋1]
か
だから13×17＝221だな

お前らよくわかるな

(j)はガチだな
わからんわ

まさかと思うが……

p進法か？

1010=二進法の10
101=三進法の10
22=四進法の10
20=五進法の10
14=六進法の10
13=七進法の10
か
次は八進法の10、『12』だな

>>65
a[n]＝(n＋1進法で10進法の11を表す数)
だな
おまえすげぇな

あぁ 10だったか…

(e)で気付いたが『前項の数の平方マイナス1』『前項のプラスマイナス1の数の積』は同義なんだな
そこそこ楽しめたわ

>>69
因数分解

(k)はないわーって思っちゃった
まぁ、一世一世に人見頃くらい数学板じゃなくても知らない奴なんかいないぞと言われたらそりゃ否定できんが
√8ではなくあくまで√2の２倍という設問がニクい

>>70
あぁ、(a-1)(a+1)=a^2-1ってことか……
こんな単純なことで感動してた俺バカス

>>71
数学ガールに円周率の各位を二倍にした数列ってのもあった

1 4 27 256 ・・・

n^n

1 2 3 4 6 9 8 12 ……

18

1 8 81 1024 …

15625

貴様らＺＥＮＫＡＳＨＩＫＩ好きか

>>80
SOKOSOKO

1 3 5 8 11 ……

3 5 9 13 21 25 33 ……

1 3 5 7 8 10 □

0 1 2 4 7 12 20 33 ……

4 6 8 9 10 12 14 15 ……

>>85
54

>>87
正解age

1 1 3 7 17 41 99 239 ...

577

漫画「バナナフィッシュ」で試験官がアッシュに出題した
フィボナッチのできそこない（らしき）数列の正体は何なんだろう？

出来損ないなんだっけ？ 

できそこない、つーかフィボナッチのつもりで出題したら
ある項だけ間違えてたというオチ
そこをアッシュにイヤミたらしく切り返されて「？？？」となっている試験官

なるへそ

数列凄い苦手です

2 3 5 8 12 .....

だれかこれの一般項を教えて下さい

とうさすうれつだすな

n(n-1)/2+2

ありがとうございます。オナニーしか頭に無い自分には羨ましい頭脳です。

a1=1
an+1ｰan=2n

これの一般項わかる人いませんか？

ここは数列に萌えるスレです

>>100
わからないなら黙ってろよ。俺はわかるがめんどい

>>99
階差数列の一般項が2n

わかるがめんどい、か
便利な言葉だこと
今度から俺も使おう

めんどいということはまだわかってないんじゃないのか？
計算はして答はわかったけども、書き写すのがめんどいのか？

どこが添字なのかそうでないのかよくわからんが
a_[n+1] - a_[n] = 2n 、 a_[1]=1 なのなら a_[n] = n^2-n+1

>>104
いちいち面倒なことで俺の手を煩わせるな、と>>101様は仰せのようです

「わかるがめんどい」と「いかるがのめんどり」は似ていますね。

すごく……似てません……

高校生が紛れ込んでるな
質問する方も答える方も死ね

微分積分学の基本定理というのは、微分と積分が反対の操作だと
言ってるようなものなのです。
冬になって、猫さんがこたつでがくがくぶるぶるにゃ〜にゃ〜ふるえていても
反対に犬さんは元気にかけまわっていますです。
つまり、微分積分学の基本定理というのは猫さんと犬さんの関係みたいなものなのです。
この定理の証明は難しすぎてボクにはわかりませんですが、ニュートンさんが見つけたみたいです。

（りんごを落ちるのを眺めていられるくらい暇だから見つけたのかしら）

み〜☆

2,4,6,9,11,……

2,3,4,8,9,16,27,32,64,81,…

1,3,4,9,10,12,13,27,28,30,31,…

2,5,10,17,28,41,58,77,100,…

1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,…

1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,…

おいみんな
一般項も書いてくれよ ？

一般に、第１項から第ｎ項までが与えられた数列の一般項は
n-1次式：f(x)として表すことができる。
また、n次式をうまく用意することによって第n+1項を任意の値にすることもできる。

>>113
一般項を簡単に書ける数列ばかりじゃつまらないだろ
それにしても、その数列の説明ぐらい書くべきかもな←と言っていながら書かないｗ

>>114
んなこと改めて言われなくてもみんなわかってる
しかし、よっぽど捻くれ者でない限り、
1,2,3,4,5,6,7,8,□,10,11,12,13,14,15,…
の□には9を入れるだろう(もちろん9以外も入ることを知っていながら)

＞ んなこと改めて言われなくてもみんなわかってる 

んなわけない。

わかっていない人がいるからこそ
そこに９以外を入れたら不正解とされるようなことが起こる。

＞ しかし、よっぽど捻くれ者でない限り〜(略)〜9を入れるだろう

それは数学ではない。
そのようなことはクイズ板でやればいい。

数列を肴にイッパイやるスレじゃないの、ここは？

１,３,５,７，*，11　　　　　　　　　*＝９
１,２,４,７，*，16 *＝11
１,１,２,６，*，120　　　　　　　　 *＝24
１,１,２,３,５,８，*，21　　　　　　*＝13

１,３,５,＊,11,25,35　　　　　　　 *＝？

厳密に考えれば数学の問題として
一番もっともらしい値を与えるというのは
成立しにくいかもしれない。
それが、一番もっともらしいことを
証明できれば問題ないのだけど。

ここで遊ぼう

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

0, 7, 2, 1, 4, 5, 4, □, ...

1,1,2,720……

>>122
5,4,5,4,5,4ドピュ

Σ[k=1,n]k!

今、ある数列の問題を解いているのですが、その一般項を求めるのに困っています。

〔問題〕　次の数列の一般項を求めよ。
　　　1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，・・・

隣接していない３項間漸化式の一般項です。
a_1 = a_2 = a_3 = 1,
a_(n+3) = a_(n+1) + a_n,
という漸化式を満たす数列の一般項です。
誰か教えてください。

http://www2.hamajima.co.jp/~mathenet/wiki/index.php?TalkingRoom

>>126
　(a_1,a_2,a_3) を与えれば a_n が定まる。
　(a_1,a_2,a_3) = (1,0,0) のとき、(a_3,a_4,a_5) = (0,1,0)
　(a_1,a_2,a_3) = (0,0,1) のとき、(a_2,a_3,a_4) = (0,1,0)
となるので、重ね合わせから
　　(a_1,a_2,a_3) = (0,1,0)
に帰結する。
その解を f(n) とおくと、一般項は次式で与えられる。
　a_n = a_1*f(n-2) + a_2*f(n) + a_3*f(n-1),


c^2 ≧ b^3 のとき、t^3 -3bt -2c = 0 の実根αは、
　α = {c - √(c^2 - b^3)}^(1/3) + {c + √(c^2 - b^3)}^(1/3),
また虚根は
　β = {-α -i√(3(α^2 -4b))}/2 = -|β|exp(iω),
　γ = {-α +i√(3(α^2 -4b))}/2 = -|γ|exp(-iω),
ここに
　|β| = |γ| = √(βγ) = √(2c/α) = √(α^2 -3b),
　ω = arccos(α/{2√(α^2 -3b)}) = (1/2)acos( (3b -(1/2)α^2)/(α^2 -3b) ),

>>126
本問の特性多項式は t^3 -t -1,
　b = 1/3,
　c = 1/2,
　α = 1.3247179572447460259609088544781･･･,
　|β| = |γ| = 0.86883696183270930180656996419095･･･,
　√(α^2 -3b) = 0.8688369618327093018065699641911･･･
　ω = 0.70385772130147651749176082584219･･･
　cosω = 0.76235128996492588507917197863096･････
　sinω = 0.64716343429524314674321067302557･････

そこで
　f(n) = C･α^(n-1) - {-√(α^2 -3b)}^(n-1) {C･cos((n-1)ω) + S･sin((n-1)ω)},
とおいて係数を決めると
　S / C = 2.191435475038075232007007886857･･･
　C = 0.31062882964046707776190271122921････
　S = 0.68072303684367831453364331715316････

ぬるぽ

>>126
　本問では (a_1, a_2, a_3) = (1,1,1) だから
　a_n = f(n) + f(n-1) + f(n-2)
　　　= f(n) + f(n+1)
　　　= f(n+3)
　　　= C･α^(n+2) - {-√(α^2 -3b)}^(n+2) {C･cos((n+2)ω) + S･sin((n+2)ω)},

>>126
　√(α^2 -3b) = 0.868837･･･
　√(C^2 + S^2) = 0.74824737･･･
∴　右辺第2項以下は絶対値で見て
　{√(α^2 -3b)}^3・√(C^2 + S^2) =（0.868837)^3・0.74824737 ≦ 0.490749722
を超えない。 よって、小数点以下を四捨五入して
　a_n = [ C '・α^n + 0.5 ]
ここに
　C ' = Cα^2 = 0.54511559562840436790760385523585
　α = 1.3247179572447460259609088544781･･･

245

>>26
数年前、数学板にありました漸化式一般に特化したスレが、google検索するも
下示特定話題スレしかhitしません。どなたかURLを控えておられませんか？
この３項間漸化式が解けません・・・
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202391629/

聞きたいんだが、数列の和の公式で
例えば、初項＝-15、末項＝40.2、公差＝2.3
の公式って確立してるの？

>>133
意味分からん死ね

>>133
公差が2.3で初項が-15の時、402になるのは、何項目なのかを考えてみろ。

>>134
まぁ意味わからんわな
俺完全に初心者だし
>>135
-15, -12.7, -10.4, -8.1.... 35.6, 37.9, 40.2
40.2か？25項目だな
数列の和の公式って負の数もあるのか気になって
仮にどうやって求めるの？(・ω・)

コラッツをモジュライ３したら？

コラッツやり方わかんねぇ

>>136
お前の場合、公差つってる時点で等差数列しか想定してないことになるので
等差数列の和の公式を見ろでおしまい。

>>139
おお、この公式万能だなおいｗｗｗｗ早速使うかｗｗｗｗ
無知でｽﾏﾝ(´・ω・｀)

　　　柳　下　浩　紀

さんのことなの？非線形拡散方程式って
専門は解析だね。つか、偏微分方程式？

>>126

　a_n = Σ[r=[n/3], [(n-1)/2]] Ｃ[r+1, n-2r-1]
とも表わせるらしい･････

http://www.bun-eido.co.jp/
　文英堂 → 高校数学科 → シグマジャーナル, No.35, p.10-15 (2008)
　森原則男, 連載「椅子の座り方」の数, 問題1

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…
実はこれって、「等差数列である」と言っておかないと次の数は定まらないのではないか?

a[n] = k*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(n-7)*(n-8)*(n-9)*(n-10)+n
とすると、
a[11] = 3628800*k+11
例えば、 k = 1 とすると
a[11] = 3628811
となる。

>>143
＞ 実はこれって、「等差数列である」と言っておかないと次の数は定まらないのではないか? 

まったくもって、そうだよ。

やっと気づいたか

>>110
梨花たん(;´Д｀)

2147483648262144→1073741824524288→5368709121048576→2684354562097152
→1342177284194304→671088648388608→？

a_(n+3)x^n+3 = x^2a_(n+1)x^n+1 + x^3a_nx^n
f-a2x^2-a1x-a0=x^2(f-a1x-a0)+x^3f
f=(-a1x^3+(a2-a0)x^2+a1x+a)/(1-x^2-x^3)
an=f^n/n!

コラッツとかけまして

試験のときにカンニングがバレたのび太くんとときます

コラッ／

コラッツ　mod3

0,1,2
0,1,1

1、3、7、9、21、35、44、79、133

cos(1/x)を漸化式で表せ

面白いから　レスすると　111　これだけでも萌えるってやつだな　例　111を足して2で割ってさらに6を×と・・・・？

162

0<a[1]<a[2]<a[3]<...を満たし
a[a[1]],a[a[2]],a[a[3]],...とa[a[1]+1],a[a[2]+1],a[a[3]+1],...が等差数列になる
整数の数列a[1],a[2],...は等差数列であることを証明できるかね

a[a[1]+1]-a[a[1]]+a[a[2]]-a[a[2]+1]=-d+m=c
a(x+1)-a(x)=c/2

a[n]=n

a[a[1]+1]-a[a[1]]+a[a[2]]-a[a[2]+1]=2-1+2-3=0
a(x+1)-a(x)=1

an=cos(an-1)

数列を微分したくなってきたお

>>159
階差