不等式への招待 第４章

(1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2

の最大値を求めよ。

(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2

の最大値を求めよ。


http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50
より

>>438
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089292331/830
らしい

>>523 の〔類題〕

・1≦K≦√3 のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),

・0≦K≦1のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,

(略証)
　0≦K≦√3 と C≦π/3 より
　cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0,
　sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C),
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)},
ところで、 C≦π/3 より
　1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2,
(終)

>>535　出題元の解答は…

〔補題〕
　|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2),

(略証)
　{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終)

(1)
　(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2},

(2)　
　(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2
　　　　=　3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ)
　　　　= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ)
　　　　≦ 25,

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/111-112