>>479 単調増加だけなら y=√(x+1)という関数を微分して y’> 0を言えばよいが、有界と同時にやる
なら、次の方法はどうだろう。新しい数列 b[n]を b[n] = 2-a[n]と定義すれば、
b[1] = 1 で b[n+1] = 2-√(3-b[n]) = (1+b[n])/(2+√(3-b[n]))だ。
a[n]>0 だから b[n] <2 で、上の漸化式より b[n]>0 が言える。つまり a[n]<2 (有界)。
2-√(3-x)を微分すれば負になって b[n]の単調減少もわかる。つまり a[n]は単調増加。
極限値は a[n]の停留条件からわかって、 x=√(x+1)を解いて x = (1+√5)/2 (黄金比).