分からない問題はここに書いてね３０７

妙に気になるのでどなたか>>623を解いてみて頂けませんか？
おそらく高校レベルの公式を駆使すれば解けると思うのですが、ほとんどの公式が記憶の彼方で・・・

参考画像　ttp://sakuratan.ddo.jp/uploader/source/date110328.jpg　

>>760
相似図形の面積比は、相似比を a としたとき a^2になることを使うと
解ける。この扇型の面積を S として、オリジナルの半径 = 10, 移動後
の共通部分の半径 6だから、相似比 a = 6/10 = 3/5.
よって共通部分の扇型の面積 T = a^2・S = (3/5)^2・S.
はみ出した部分の面積は S-T = (1-(3/5)^2)S = (16/25)S.
あとは S = (1/6)π×10^2より上の値を数値化すればよい。

>>761
共通部分の扇形に見えるところは、実際は扇形ではないのですが・・・
そこで悩んでるんです。

>>761
相似にはならないだろ。

>>761
中央の小さいのは扇形じゃないよ。
扇形ならもうちょっと弧が丸い。
あれは半径１０ｃｍの円の一部である扇形の弧だから

>>762
ヒント：ラスター画像

だから、
>>761みたいに勘違いしたバカ出題者が出した出題ミスか、釣りかのどっちかだろって。
あんなもん、逆三角関数とかぐじゃぐじゃ使った汚い答えしか出ねーよ。

>>760
直線上の点を左からA,B,C,Dとする。
一番上の点を左からE,F
一番下の点を左からG,H
扇形AEGと扇形BFHの公転を上からP,Qとする。
△ABPの面積が分かれば、真ん中のエセ扇形の面積も分かり、
青い部分の面積が分かる。

Aを原点として座標入れてみる。
左の扇形
x^2 + y^2 = 100
と、BF
y = (x-4)/√3の交点を求めればok

>>762 ほかの皆様。失礼つかまつった。あらためて。
原点を移動後の扇型の中心におく。極座標(r,θ)で評価する。角度θの
ときのr 積分範囲はsから 10までで、この s は (s cosθ+ 4)^2 + (s sinθ)^2 = 100
より求める。s(θ) = -4 cosθ+ 2√(23+2cos2θ).
これより面積は S = 2∫[0,π/6]dθ∫[s(θ),10] r・dr
= 8√6-4√3+100arctan(1/(2√6)) ≒ 32.8.
さっきの間違った相似による解答では 33.5くらいになる。

>>760
S = 2∫_[a, b] √(100 - x^2) dx + (5+c)(5-c)√3

c = 2(√6) - √3
a = 10√5
b = 4+(√3)c

・・・無理

すまん a=5√3 だった
S=32.80350679102301

>>760
左側の扇型の中心をＰ、弧の両端を上からＡ，Ｂ
右側の扇型の中心をＱ、弧の両端を上からＣ，Ｄ
弧ＡＢと、線分ＱＣ，ＱＤとの交点をそれぞれＥ，Ｆとおく。
また、直線ＰＱにＥから降ろした垂線の足をＨとする。

EH=x、∠EPH=θとおくと、
扇型CQD = 50π/3
扇型EPF = 100π・(2θ/(2π)) = 100θ
四角形EPFQ = 4x
弧EFと線分QE,QFで囲まれた図形 = 100θ-4x
求める面積 = 50π/3-100θ+4x

で、xは直角三角形EPHで三平方の定理より
x^2+(√3x+4)^2=100
を満たし、解くと
x = 2√6-√3

θ = Arctan(x/(√3x+4)) = Arctan((25√3-8√6)/71)

求める面積 = 50π/3+8√6-4√3-100・Arctan((25√3-8√6)/71)
= 約32.8035

逆正接関数に抵抗感がなければ、別に難しいことは何もないが、
高校までの範囲ではないわな

771だが、リロードせずに書いた。スマソ

ttp://sakuratan.ddo.jp/imgboard/img-box/img20090514031723.png
図の上半分のみを考える
補助線を1本ひく
�@＋�A＝�Bである
�Aは2辺と1角がわかっているので、余弦定理から右の辺の長さがわかる
10^2 = 4^2 + x^2 - 2*4*x*cos150°
x = 4√6 - 2√3
よって�Aの面積は
4 * (4√6 - 2√3) * sin30°/ 2
= 4√6 - 2√3

ここで別の補助線を引き�Cを見ると
平行線間の距離は2cmだとわかる

扇形�@の内角をθとすれば、sinθ = 2/10 = 1/5
θ = arcsin(1/5)
よって�@の面積は
10^2 * π * arcsin(1/5) / 2π
= 50 arcsin(1/5)

よって求める面積は
4√6 - 2√3 + 50 arcsin(1/5)

>>768と違うな・・・どっか違ったら教えてｗ

最後間違えた・・・半分で考えてたんだから
求める面積は
8√6 - 4√3 + 100 arcsin(1/5)

グーグル先生による計算
(8 √(6)) - (4 √(3)) + (100 arcsin(1 / 5)) = 32.8035068
でした

>>744
その文章の一部をぐぐれば出る。

1.2つの写像f: X->Y , g:Y->Z の合成写像gof: X->Zが全単射ならば、fは単射、gは全射であることを示せ。  
2.写像f: X->Yは全射でなく、g:Y->Zは単射でないが、合成写像gofが全単射となる例を一つ挙げよ。(X,Y,Zは空集合で無いとする)  
3.X,Yを元の個数がそれぞれm,nの有限集合とする。XからYへの写像全体の集合F(X,Y)の元の個数を求めよ。  
　また、F(X,Y)に属する写像の中で単射となるものの個数を求めよ。  
4.自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zは対等であることを示せ。  
　また、Nと実数全体の集合Rは対等でないことを示せ。  

お願いします。  

>>777
>>686

スルーされてたからもう一度書いただけだろ。
マルチしてるわけでもないのにいちいち反応すんな雑魚

↑いちいち反応すんな雑魚

1.2つの写像f: X->Y , g:Y->Z の合成写像gof: X->Zが全単射ならば、fは単射、gは全射であることを示せ。  
2.写像f: X->Yは全射でなく、g:Y->Zは単射でないが、合成写像gofが全単射となる例を一つ挙げよ。(X,Y,Zは空集合で無いとする)  
3.X,Yを元の個数がそれぞれm,nの有限集合とする。XからYへの写像全体の集合F(X,Y)の元の個数を求めよ。  
　また、F(X,Y)に属する写像の中で単射となるものの個数を求めよ。  
4.自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zは対等であることを示せ。  
　また、Nと実数全体の集合Rは対等でないことを示せ。  

お願いします。  

nより小さい正の整数の集合からそれ自身への、
数をm乗してnで割った余りをとるという規則で得られる写像が全単写であることを証明せよ

お願いします

>>782
問題を正しく写していないのではないの?

>>782
反例
n=3
m=2

すいません間違えました
RSA暗号に関するものでもっと条件がありました

nとmはnは2つの素数p,qの積でmは(p-1)(q-1)と互いに素な自然数です

後出し条件あり杉･･･

>>781
全部やるのは、いやだよ。

2について。X = Y = Z = N (自然数)とする。
f(x) = 2x, g(x) = (1/2)x とすれば g・f = I (恒等写像)で 1対1だ。
この f(x)は単射 (奇数の値はとらない)、g(x)は全射 (どのような自然数
値もとりうる)だ。

3.　について。X→Yの写像のつくり方は m^n通りある。うち、単写は
　n!/m! だけある。n≧mでなければならない。

4. 前半は n∈N が奇数なら -(n-1)/2, 偶数なら n/2という写像を作れば
　整数Zに全単射になって対応がつく。後半は、知らね。

>>787
× 単写は　n!/m!だけある。
○ 単写は　n!/(n-m)!だけある。

>>787
ありがとうございます。
>>779と>>781は私じゃないです。

>>782 >>785なんですが

偶然>>781に合成写像が全単射ならfは単射とあったのを見て思ったんですが
782,785でm乗したあとm*k ≡ 1 mod (p-1)(q-1)になる数kを探してk乗するとm乗する前の数に戻ることは分かっているので、
m*k乗してnで割った余りを取るのが全単射ならm乗は単射になって、
元の数が同じ有限集合だから単射なら全単射になるってことでいいんですかね？

>>790
考え方はそれでいいんじゃない？

A=（左上a 左下ε 右上1 右下a）を実行列とする。
ここで、a?1（1に近い数）、ε?0（零に近い数）である。
このとき、適当に与えた初期ベクトルx0(≠0)に対して、漸化式xn=Axn-1(n=1,2,3…)
で定まる点列x0,x1,x2,…の挙動について議論せよ。

お願いします。

文字化けキモチワルイ

拡張互除法を勉強して
41 X + 15 Y = 1
のとき[-4,11]となったのですが、この式を満たすx,yの組は[-4,11]しかないのでしょうか？（[-4,11]で一意）
それとも拡張互除法はあくまでもこの式を満たす[x,y]の代表組を出すに過ぎないということなのでしょうか。

y=√(x1 * x2)の全微分はどうやるんでしょうか？
(x1 * x2)1/2としてからさっぱりわかりません
よろしくお願いします

69 名前：１３２人目の素数さん ：2009/05/14(木) 14:44:46
y=√(x1 * x2)の全微分はどうやるんでしょうか？
(x1 * x2)1/2としてからさっぱりわかりません
よろしくお願いします

70 名前：１３２人目の素数さん ：2009/05/14(木) 14:46:10
>69
マルチ

71 名前：69 ：2009/05/14(木) 14:54:01
>70
なんでもかんでもマルチって言うクズか…

72 名前：１３２人目の素数さん ：2009/05/14(木) 14:54:50
↑クズか…

>>796
暇だなぁ…
ついてくんな(笑)

次のマルチはどこ？(笑)

>>794
41 X + 15 Y = 1
41*(-4) + 15*11 = 1
この２式の差をとる。
41(X+4) + 15(Y-11) = 0 ⇔
41(X+4) = -15(Y-11)
41 と 15 は互いに素だから k を任意の整数とすると
X+4 = 15k , Y-11 = -41k ⇔
X = -4+15k , Y = 11-41k　と表せる。

>>794
座標平面上に　41x+15y=1　のグラフを書いてみろ。
求めたように（-4,11）を通り、傾きが-41/15の直線だ。
無数の格子点を通るだろ？

y=(1+x)^(1/x)
の導関数を途中式込みで教えて下さい。
よろしくお願いします。

対数微分

伝統的にはそうやって導くのですか。
X= 11 + 15*(k-1)
Y= 11 - 41*k
でも同じなんです。

それで、
X = -4+15k , Y = 11-41k　
ですが、このとき与式を満たす[-4,11]は
任意整数のkが存在する場合においてのみ「一意」と考えるべきなのでしょうか。
つまり
X= 11 + 15*(k-1), Y= 11 - 41*k
などと[x,y]を導出するための式は容易に変形できますが、
その基本形
X = -4+15k , Y = 11-41k　
（この専門数学用語を知りませんが）は、
このX, Yの２式連立を解くための[-4,11]の組このときただ一つである、
つまり与式を満たす剰余[-4,11]の組はただ一つということを主張しているのでしょうか？

もしくは与式を満たす[x,y]の組が一意でないなら、その組の出し方が他にあるということなのでしょうか。
もう一つ -41*k となっていますが、41*(-k)ということでしょうか、
それともmod -41や割る数が負数でも可能なように拡張している(A ÷ -41)ということなのでしょうか。

>>803
(-4,11)でなくても k = 1を入れた (11,-30)でもいいし
解ならなんでもいい。

x = 11+15k
y = -30 -41k
は、
x = -4+15k
y = 11-41k
と本質的に同じ。
kを変化させてできる解(x,y)の集合は一致するからね。

a x + b y = c
という方程式の解の1つを(p,q)としたとき
a p + b q = c
a(x-p) + b(y-q) = 0
で、aとbの関係から x-p と y-qが求まるということ。
見つけやすい解を1つだけ見つければ、解を求めるのは容易だということ。
こういうのは線型性と呼ばれる性質で、こういう方程式は線型方程式と呼ばれる。

なんでもいいから1つだけ見つけて、引き算すると、すっきりと求まる方程式。
これは（線型）微分方程式なんかでも用いられる方法。

任意の正の整数に対し
１/１の３乗＋１/２の３乗＋･･･＋１/ｎの３乗＜５/４
が成り立つことを示せ。

という問題なんですけど、教えてください。

5/4=1+1/2^3+∫[2,∞](1/x^3)dx

一応少し正確に言うと、一般解（基本形）
X = -4+15k , Y = 11-41k　
じゃなくて、このk=0のときの組み合わせ[X,Y]が[-4,11]しかないのでしょうかということです。
グラフで書いてみても整数格子を通る組み合わせはこれしかないようなので（その他の点は実数などになる）、

この問題のように「組み合わせは一意である」というのは、たぶん何かの定理だと思うんですけど・・
つまり、a x + b y=1 (a=41,b=15などa,b互い素)をみたす整数の組[X,Y]で、一般解を作る組[x,y]は唯一しかない。

質問です。

Acos(X)=1
-Awsin(X)=0

この二式から
　　　　　　　X=0
A=1
という事がわかるらしいのですが、どうやって考えてこのようになるのかわかりません。
どうやって考えて答えを導くのか、教えてください。お願いします。

>>807
何を言いたいのかさっぱりだが
kで書き下された式があったときに
k = 0を入れたらそれしかないのは当然のこと。
でも kというのは勝手なパラメータでしかないので
k=0 に (-4,11)が対応していようが (11,-30)が対応していようがどうでもいい。

唯一という言葉を何か別の意味で使ってたりしないか？

>>807
[X,Y]=[-4,11] は 41X+15Y=1 を満たす。
[X,Y]=[11,-30] は 41X+15Y=1 を満たす。
[X,Y]=[-19,52] は 41X+15Y=1 を満たす。
…

>>808
A cos(X) = 1から A≠0
-A w sin(X) = 0 から w sin(X) = 0
もし w ≠ 0なら sin(X) = 0

X = n π
あとは Xの定義域を確認する。

n>1のとき、1+1/2+1/3+…+1/nは整数でないことを証明せよ

>>809,810
その(11,-30)などを拡張互除法以外の方法で出せるんですか？
それをお聞きしてるんですが？

(-4,11)が分かって初めて、k=1などとしてその(11,-30)を導いたんじゃないんでしょうかね。

>>811
なるほど。ありがとうございました。

>>813
例えば虱潰し

>>813
山勘でもなんでもいいんだよ。

41x + 15y = 1
11x + 15(2x+y) = 1
11(3x+y) + 4(2x+y) = 1
3(3x+y) + 4(8x+3y) = 1

3x+y = 3
8x+3y = -2
は (11,-30) に対応するし

3x+y = -1
8x+3y = 1
は (-4,11)に対応する。

あらかじめ (-4,11)を知っている必要はなく (11,-30)も出る。

ある特定の方法を用いて、(-4,11)に定まることはあるかもしれない。
ほかの方法をとれば、ほかの解が出るかもしれない。
しかし、いずれの解であっても、それが解である以上
一般解の生成にまったく支障はない。

>>815,816
しらみつぶしとか山勘とかいった「試行錯誤」を回避して機械的に公式や構造に当てはめて解答が出るようにしたのですけど。
それが数学の本質じゃないでしょうかね。
その2x+yとかも山勘見たくて（数学的には天下り的とか言いますが）なんか胡散臭いんですよね・・
そういう人知を超えたひらめきとか、試行錯誤の結果だ！とかを回避したいと思いませんか？

しらみつぶしは機械的アルゴリズムだが？

>>817
根本的に会話がかみ合ってない。

ある方法で機械的に特定の解が求まることと
それを種として一般解を書き下せるようになるかどうかということは
まったく別の話であり、一意性というのは全くこの場にそぐわない言葉だ。

>>817
沢山の解の中から１つを選ぶ方法はいくらでもあるし
その時に選ばれる解は、使う方法に依存して変わる。
(-4,11)はx < 0だけれど、x > 0 となるものを探索する方法もある。
(-4,11)を特別視しなければならない理由は無い。

>>820
数値計算（整数）上ではgcdは楽なんですその解の組である[-4,11]は特別視するに値するんですけど。
その[-4,11]をseedsとして一般解の組を導く基本式が作れるわけでして…
結局合同式なんですけど、どうも合同式は人気ないんですね。
使ってあげないとガウス大先生がせっかく作ったのに泣いちゃいますよ？

>>816
その行列に還元する方法は面白そうですね。
行列だと２元以上に簡単に拡張できるので、もう少し考えてみます。
ただ、本質的にやってる式変形はgcdと同じなんですけど。

y=√(x1 * x2)の全微分はどうやるんでしょうか？
(x1 * x2)1/2としてからさっぱりわかりません
よろしくお願いします

(1/2-2/3)÷3/4=-2/9がわかりません
解き方をご教示ください

数列x₁,x₂,...,xnが

x₁+x₂+...+xn=0・・・�@

｜x₁｜+｜x₂｜+...+｜xn｜=1・・・・�A

を満たすとする。

この時、a₁,a₂,...,anの最大値をM,最小値をmとすると,
x₁*a₁+x₂*a₂+...+xn*an≦M-m/2
であることを示せ

ぐちゃぐちゃとやったら示せたけれど、鮮やかな証明をみてみたいのでお願いします

実数a,b,cがf(a)＝b、f(b)＝c、f(c)＝aを満たすとき、a＝b＝cと結論できるか、次の二つの場合について、それぞれ調べよ。
(１)f(x)が増加関数の場合。
(２)f(x)＝{２x(x≦２)、−２x＋８(x＞２)}

手も足もでましぇんorz

>>821
> 使ってあげないとガウス大先生がせっかく作ったのに泣いちゃいますよ？

自分がやりやすい方法を選んだ。それだけのことで
数学とは無関係な部分で意味があるかもしれない。
でもそれは数学的に意味があるかどうかとは全く別の話。
個人的な好みの範疇でしかない。

>>822
dy/dx1 = (1/2) √(x2/x1)
dy/dx2 = (1/2) √(x1/x2)

dで書いたが実際は変微分∂

dy = { (1/2) √(x2/x1)} dx1 + {(1/2) √(x1/x2)} dx2

>>826
ただの勉強不足ってことを白状したらどうですか？
合同式は普通、高校ではやりませんからね

>>825
y = x を描く。
f(x)が
これより上の部分では f(x) > x
これより下の部分では f(x) < x
つまり y = f(x) が y = x と何度か交わる場合
fという写像は大きい値にも小さい値にも移しうるので
増加関数というだけでは、a = b = c は結論できないのでは。
b = f(a) > a
c = f(b) > b
a = f(c) < c
というような曲がらせ方があると思われる。

>>828
もうちょっと、数学の言葉で質問を書けるようになってから
またおいで。
高校がどうとかどうでもいい。
所詮、日本のゆとり教育制度の話でしかない。

>>823

>>823
とりあえず通分
(1/2) - (2/3) = (3/6) - (4/6)
= (3-4)/6 = -(1/6)

分数の割り算は、逆数の掛け算ということで
÷ ( 3/4) は
× (4/3) に直す。

{ (1/2) - (2/3) } ÷ (3/4)
{ (1/2) - (2/3) } × (4/3)
= -(1/6) × (4/3) = - 2/9

・−1＝√−1√−1＝√（−1）（−1）＝√1＝1
この式の誤りを教えてください

>>833
√−1√−1
ここ

>>833
−1＝√−1√−1がですか？√−1√−1＝√（−1）（−1）がですか？
どうおかしいのか教えてください

>>829
なるほど。テーマに写像ってあって意味がわからなかったがそういうことか。
関数で区切られた各領域の点についてかんがえるのか。

ありがとうございます。

>>835
ルートの定義を調べて来い

>>825
(1) a<b と仮定する。
f は増加関数だから f(a)<f(b) ⇒ b<c
さらに f(b)<f(c) ⇒ c<a
b<a となり矛盾。a>b と仮定しても同様。よって a=b
まったく同様にして a=b=c と結論できる。

数学というか算数なんですけど……
「２」二つ、「８」二つを四則計算のみを使用して２４を作って下さい

>>839
2*2*8-8

すみません
「２」じゃなくて「３」でした

>>837
調べました。自己解決しました

>>825
(1)
a<=b<=cとしても一般性は失われない
f(x)が増加関数なので
a<=bより
f(a)<=f(b)
⇔b<=c
∴f(b)<=f(c)
⇔c<=a
∴a<=b<=c<=a
∴a=b=c

>>825
(2) a=8/9 , b=16/9 , c=32/9 ととればいい。
f(f(f(x))) = x の解の一つが x=8/9

行列A=(1 1 1 1)　
(-1 1 3 1)
(0 2 4 2)　の(3,4)行列の時
Ker（A)の正規基底を求めてください

任意の行列Aについて、detA^t＝detAが成り立つ。
これを用いてdet(AB)＝det(BA)を示せとあるんですが、わかりません
違うのを用いると示せるんですが、これを用いるのが・・

あと

一般線形行列のうち、直交行列の全体、およびユニタリ行列の全体はそれぞれ部分群になっていることを示せ。
またエルミート行列はどうか？
というのは全くわかりません・・

>>805
n > 1 のとき
1/n^3 < 1/{(n-1)n(n+1)} = (1/2){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}

>>829>>838>>843>>844
遅くなったが色々な考えありがとう。
すごくタメになった。

n!≦2(n/2)^n (n＝1,2,3,……)を示せ。

お願いします……。

>>841
8 / (3 - (8/3))

Nの直積集合の要素(m,n)に対応するNの要素を示せ。

お願いします

>>839 >>841 さんざんマルチ
「誰か知恵を貸してくれ」の113
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193733524/113

>>850
ありがとうございました

A=（左上a 左下ε 右上1 右下a）を実行列とする。
ここで、a≒1（1に近い数）、ε≒0（零に近い数）である。
このとき、適当に与えた初期ベクトルx0(≠0)に対して、漸化式xn=Axn-1(n=1,2,3…)
で定まる点列x0,x1,x2,…の挙動について議論せよ。

文字化け修正しました
今度こそお願いします

>>849

k!≦2(k/2)^k と仮定し両辺に(k+1)をかける
(k+1)! ≦ 2 { (k/2)^k } (k+1)

右辺 ≦ 2 { (k+1)/2)^(k+1) を示せばよいが
比べてみると
2 k^k ≦ (k+1)^k
を示せということか。
2 ≦ (1+(1/k))^k
なんだか見覚えのある式がでてきた。
(1+x)^m = 1 + mx + … + x^m であることを考えると

(1+(1/k))^k ≧ 1 + k (1/k) = 2

平面上のC^1級関数P,Q∈C^1(R^2)に対して
　　　ux(x,y)=P(x,y), uy(x,y)=Q(x,y)
をみたすu(x,y)が存在するための必要十分条件は
　　　　　　Py(x,y)=Qx(x,y)
であることを示せ。

という問題なんですけど、教えてください。

>>851
決め方による

集合A上の2項関係は直積集合A×Aの部分集合として表される
以下の問いに答えよ
(1) R1,R2をA上の同値関係とするとき、R1∩R2もA上の同値関係であることを示せ
(2) R1,R2をA上の同値関係とするとき、R1∪R2は必ずしもA上の同値関係にならないことを
　　 A={a,b,c}の場合の例で示せ

よろしくお願いします。

>>855
ありがとうございます！

>>856
http://www.scc.u-tokai.ac.jp/~nfujii/note/Diff-4-03a.pdf

>>856
必要性
P_y = u_{xy} = Q_x

十分性
u(x,y) = ∫P(x,y) dx とおくと
u_y = ∫P_y dx = ∫Q_x dx = Q

>>854
x(n) = A x(n-1) = A^2 x(n-2) = … = A^n x(0). よって A^n の形により
x(0), x(1), … , x(n) の挙動を議論できる。そう思って A^n を導いたんよ。
( A の固有ベクトルを使って対角化すればよい) ここに書き写すには少し面倒
だけど、でもまとまった式にはなる。で、n→∞にすれば、a が 1に近いとか
εは ０に近いとかの性質で、どこかに収束すると期待したんだけど、どうも
そうならない。n>100くらいにすると
x(0) = (p,q) として、x(n)→(1/6)a^(n-2)εq(n^3, 3n^2)となる傾向はあるけど

>>858
(1)同値関係の定義をチェックするだけ。
たとえば対称律なら、
(x,y)∈R1∩R2 ⇒ (x,y)∈R1かつ(x,y)∈R2 ⇒
(y,x)∈R1かつ(y,x)∈R2 ⇒ (y,x)∈R1∩R2

(2)
R1={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)}
R2={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}
これらの和は(a,b)(b,c)を含むが(a,c)を含まないので
同値関係にならない。

>>860
>>861
ありがとうございます！

>>863
ありがとうございます。やってみます。

>>849
相乗･相加平均より
√{1*(n-1)} ≦ n/2,
　√{2*(n-2)} ≦ n/2,
　√{3*(n-3)} ≦ n/2,
　　　･･････
　　　･･････
　√{(n-2)*2} ≦ n/2,
　√{(n-1)*1} ≦ n/2,
　　　　　　n = 2*(n/2),
辺々かける。

>>854
とりあえずa=1, ε = 0のときの
変化を描いてみる。
a = 1.01や0.99などにして変化を描いてみる。
εも同様にずらす。
最後にaとεを同時にずらす。くらいの図を用意して考察書いておけば。

>>863
(2)の方はR1やR2が同値関係を表してないような気がする。

関係だけしか見てなかったのだろうな。

>>812は難しいでしょうか？

◆ghclfYsc82 ＝数学者・増田哲也（専門：置換・左様素環）元筑波大学助教授

ここ数ヶ月　猫関係のＨＮで数学板で荒らしまわる
四六時中書き込みしているので、関わりにならないように注意されたし

徳島の事件については謝罪の石がないようだ

東大と京大相手に犯罪予告してたな、そいつ。

>>812
違うかもしれないけど
通分すると

Σ_{k=1 to n} (n!/k)/n!

分子はk番目の項はkを除いた階乗の意味
pがn以下の最大の素数としたとき
2p > n の場合
k ≠ pならば(n!/k) は pの倍数

(n!/p) だけが分子で残るが
pの倍数にはならずpで約分できないことになる。

みたいにやっていくんだろうか？

２の１００乗÷１００の余りを教えて下さい。

◆ghclfYsc82 ＝不良中年・鳥獣戯画（専門：猥褻行為・管理職へ反抗）元国家へ服従大学用務員

ここ一ヶ月　動物関係のＨＮで数学板で説教を垂れる
四六時中書き込みしているので、精々叩いてやって下さい

旧蝕刃での狼藉については瀉剤の医師は休診中

>>874
2^100 = 1267650600228229401496703205376

そやから７６やと言うてるやろ〜

>>874
2^n (n=1,2,3,…) の下二桁
02
04 08 16 32
64 28 56 12
24 48 96 92
84 68 36 72
44 88 76 52
04 以下繰り返す

2^(20*k), k=1,2,3,… は全部下二桁が76

>>816
少し数式いじってみましたが、

3 1=行列Aとおいて
8 3

A^-1 . [2, -5/4](=U) => [29/4, -79/4](=X)
となり、この組Xは与式41x + 15y = 1 を満たすので、
一度有理数を介すことが出来るなら、[-4, 11]にこだわる必要はなく一意というのは言いすぎでした。

A^-1 . [-1,1] => [-4,11]
A^-1 . [3,-2] => [11,30] これも与式を満たす

さらに、偶然にU=[-1, 1], U=[63,178]など整数の組が出ればいいのですが、
有理数の組[2,-5/4]などでもいいのでこの行列による方法は思ったより制約がなかったので
有理数を会してもよいなら機械的だと思います。
でも、PCだと浮動少数演算がサポートされていないくて整数しか駄目というのもあるんで…
ただ、この行列による方法はいろいろ技が詰め込まれていて面白かったですが、何か名前がついた有名な解法なのでしょうか？

さらに、偶然にU=[-1, 1], U=[3,-2]など

2arctan(x)+arctan(2x)=π
と
arcsin(x)+2arcsin(2x)=π
xの符号の決め方がわかりません

p､qを異なる素数とするとき、整数ａとｂ(ａ＜ｂ)の間にあってpqを分母とする規約分数の和を求めよ。

だれか助けて

>>881
arctan については x=0 のほかに x=±√2を得たんだね? それはプラスの
解をとらなければいけない。さもないと arctan xはマイナスになって、
加えたものも -πになる。
arcsinも同じ。x = ±(√5)/8 のうち、正のほうをとる。

>>883
理解できました！
ありがとうございます

>>882
a(pq)+1 から b(pq)-1までの整数を加える。つぎにこの範囲の pの倍数を引く。
この範囲の qの倍数を引く。pqの倍数を加える。以上をpqで割って、おしまい。

>>882
nとn+1の間の和を求めて、さらにそれをn=a〜b-1でΣをとる方が考えやすいかな。

で、nとn+1の間の和については、
k/pq (npq＜k≦(n+1)pq)
の総和から、既約でない物の和を引けばよい。

x≧0,y≧0,2x+y=3のとき,x^2+y^2は
x=0,y=3のとき最大値9
x=6/5,y=3/5のとき最小値9/5

で、なぜx=0のときに最大値を取るかがわかりません。

>>887
2x+y = 3 ということは、y = -2x + 3 の直線を書いてごらん。そして
x>=0, y>=0 だから、この直線が x-y軸の第一象限で切られる部分を
考える。x^2+y^2というのは、この直線上の点の原点からの距離(の2乗)その
ものだから、x=0で最大というのは、直線の切片 3というのが、もっとも
離れた場所なのだろう。

T、O、H、O、K、U、U、N、I、V、E、R、S、I、T、Y
の16個の英字を一列に並べる
同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りか

院生が自殺するという1通り

888>>距離の二乗･･･なるほど！！
わかりました。
丁寧な解説ありがとうございます。

>>889
まず同じ文字がどれでいくつあるかチェックだ

>>892
T、O、U、Iが2つずつです
計算しようとしましたが諦めました

諦めるなよ！
やれる　できる　できる

｛16!/(2!×4)｝−｛12!/(2!×4)｝
でできるのかな・・・
どうだろうなぁ・・・

>>895
それはTT,OO,UU,IIで全て隣り合ってる場合だけを考えた臭くないか？

>>896

｛12!/(2!×4)｝が12!
ならOKですか？

全体‐(TTが隣り合う*4)+(TT,HHが隣り合う*6)-(TT,HH,UUが隣り合う*4)+(TT,HH,UU,IIが隣り合う)
16!/2!2!2!2!-15!/2!2!2!*4+14!/2!2!*6-13!/2!*4+12!
ではだめかな？

返答ありがとうございます！
大変参考になりました

>>898
これでよさそうだ。プログラムを書いて検証した (16文字の順列だと
メモリーにおさらまらないので、11文字中4文字種をダプらせる形に
縮小したが）。ここにある式の形で、正しい結果を得た。

>>868
なんで？

ガウス式割り算なるものを最近知ったのですが、
これは有名なものなのですか？

>>898>>900
ありがとうございます。

>>902
どんなもの？

>>902
なんぞそれ？

>>719
ありがとうございます
できれば、求め方を教えてください

>>906
>>719ではないがその問題は
少なくとも2個は空けておく確率→C(n,2){(n-2)/n}^n
少なくとも3個は空けておく確率→C(n,3){(n-3)/n}^n
ちょうど2個空く確率は
C(n,2){(n-2)/n}^n-C(n,3){(n-3)/n}^nだと思います

>>902
ﾅﾆｿﾚｵｲｼｲﾉ?

ガウス式わり算 - Google 検索
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%BC%8F%E3%82%8F%E3%82%8A%E7%AE%97&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_ja

ガウスのわり算 - Google 検索
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E3%82%8F%E3%82%8A%E7%AE%97&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_ja

何か色々出てきた

>>714
>>906

これについてだが、>>748 と >>750 で修正回等した。箱の数ｎが 7個まで
シミュレーションしたが、式と合致するのでだいじょうぶと思う。(それ以上は
場合の数が爆発して、プログラムにおさまらない). n=0, 1, 2では解のないこと
が式の上で自動的に出てきたのは面白い。

式の導きかたは、一つの箱に 3個はいる形で空きが 2箇所できる場合の数
C(n,2)・C(n,3)・(n-2)・(n-3)!　(2箇所空席のつくりかた、3個組のつくり
かた、3個組の場所の置き方、残り n-3の配分のしかた)

と 2個入りの箱が 2個できるかたちでの分配の場合の数
C(n,2)・(C(n,2)・C(n-2,2)/2)・C(n-2,2)・(n-4)! （空き箱のとりかた、
2個組を2つのつくり方、2個組の置き方、残りの並べかた)

を加えて全体の場合 n^nで割ったのではなかったかと思うが、詳細はわすれた。

f(x)=(-x^4+x^2)(1/2-cos(2π/x))　　(x≠0)
x=0で極小値を取らないことを示せ。

微分を何回かやったんですが検討がつきません。。。
何か調べ方はあるんでしょうか？どなたか教えてください

例えば1÷23を考えると、0.043478まで普通に筆算する。
ここで余り6が出てくるのですが、これは2段階前の余り18の1/3倍であることに着目。
以降の商は1/3倍になるので、7を3で割って2(商の続きに書く)、その余り1と次の8で18(ここの部分は暗算する)、
それを3で割って6(商の続きに書く)、その余り0と次の2で2(暗算)、それを3で割って0(商の続きに書く)、
その余り2と次の6で26(暗算)、それを3で割って8…


という、有理数の割り算を高速化するものなのですが、何故これでいいのか理解出来ません(∋_∈)

>>912
f(x)は x=0 は定義域でないので、極小もへったくれもないのであるが、別途 f(x)=0の
定義を補えば連続になって議論は進行する。
こうすると (d/dx)f(x) = 0 (停留点)だが、まだ極大でも極小でもない。
極小を言うには小さな h をとって f(0±h) >= f(0) を証明することに
なるが、1/2-cos(2π/x)は正負に振動するので、こうはならない。ということ
で OK? この部分 1-cos(2π/x)なら極大かな。

>>912
1/3だから3で割ってるだけなのでは？

>>912
その手順で2608…を求めるところは、0.2608… = 78/(3×100-1)
つまり (78/300)/(1-1/300) を求めているものと解釈できる。3とか
78とか 100　とかはどこから出てきたか、わかるだろう。
つぎに (78/300)/(1-1/300)は等比級数の和と思えば、
78/300 + 78/300^2 + 78/300^3 + …　だが、例の手順はまず 78/300
を 0.26 + 0/300と計算しておいて、余りの部分を足しこみながらあら
ためて商を 300で割ることで 78/300^2を計算して…、とこの
級数の計算をしていることがわかる。

>>912
18÷23＝0.78abcdefg……とすると、18÷23＝0.78あまり0.06だから、18÷23＝0.78+0.06÷23。
従って、0.06÷23＝0.00abcdefg……なので6÷23＝0.abcdefg……。
一方、6÷23＝0.78abcdefg……÷3だから、0.abcdefg……＝0.78abcdefg……÷3。
長ったらしく書いたけど、要するに>>914。
0.78abcdefg……÷3を実際に計算していくと、最初は78÷3までしか計算出来ないが、
7÷3をやった時点でaがわかり、18÷3でbがわかり……となっていくということ。

加速計算の一種かな。

>>909
ガウス消去法（ピボット使ったアルゴリズム）がでてくるけど、これじゃないの？
ピボットを1にするように割り算するから似てなくもないけど。
もしくはwikiとかちょっと興味あるからある程度体系的に書いてあるところないかな（英語でもいいよ）。

既に書かれているのに
今更、異を唱えるってどういうこｔ

正解が書かれてから予想大会in数学板

>>919-920
よく読んでみたら等比数列と有理数の関係のことか。
加算加速とか書いてあったからエイトケン加速と間違えた。悪かった。
とこで、グーグル先生に聞いても知らないみたいだったけど、それがガウス割り算の仕組みなの？

そういえば最近グーグル先生は盗撮影（グーグルマップ）したり
著作権無視で強引に無断引用したり（グーグルブック）して、
あまりほっとくと情報は十分たちのものとか勘違いして調子乗っちゃうんじゃないの？
そもそもグーグルはITバブルの虚像企業だし、ここまで調子乗るともう信用できないな。
東大・早稲田のODINとかもよかったけど、グーグルはそろそろ落ち目なのかもね。

盗撮のことを盗撮影と書く人なんて
めずらしいな^^

>>923
とうさつを変換できないのは俺だけ？

盗撮

変換一発で出る

盗撮 出るなあ。

俺だけか・・・
グーグル雑魚に文句言うからもういい（＞＜＃

かな漢字変換とgoogle関係ないじゃん。

自分を 十分と書く人もめずらしいw

lim ａn=α、lim ｂn=βのとき

lim(ａn-ｂn)=α-β
と
lim cａn=cα



cは定数。limはn→∞を示す。
エロい人お願いします

ε-N法で一発

>>930
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node16.html

>>929
これはただの誤字脱字。
数学の定義や条件をうるさく言うのは分からないでもないけど、これはちょっとね・・・・そんなにヒマなの？

アパートやったらエエのがありますよ、駅からたった「十分」でっせ

>>934
一応それ、「じっぷん」な

じってをじゅってというのは何時から？

俺「五十歩百歩」をずっと「ごじゅっぽひゃっぽ」と読んでいたよ

十人十色　を　じっじんじっしょく　で読んでいたよ。

f(x) = ∫g(x)dx
ただしg(x)はf(x)の関数

この場合のf(x)を求めるのに必要な道具は何ですか?
何を手がかりにしていいのか、さっぱりわかりません。

十歩は不可能だろう。
将棋盤は縦横9こまでしかマス無いよ。

>>939
g(x)はf(x)の関数という条件が意味不明過ぎるので
なんともいえない。

> ただしg(x)はf(x)の関数

の意味がわからん。

>>940
十歩は常に二歩であることを証明せよ

たとえば
g(x) = 1/f(x)
などです。

実際にやりたい計算は、もう少し複雑で、変数がもっと多いのですが・・・

>>944
つまり
y = f(x)として
g(x) = p(y) とする。

y' = p(y)
{1/p(y)} y' = 1
∫{1/p(y)} dy = x + c
この左辺の積分が分かればいい。

>>945
ありがとうございます。
左辺の積分もわからない・・・高校の数学からやり直します。

>>946
多変数になると話が少し変わってくるだろうから
元の式をちゃんと書くのがいいと思うよ。

それでは、お言葉に甘えて

ff(x) = ∫(C1 * f(x) / ((f(x)^2+ g(x)^2)^1.5) dx + C2
gg(x) = ∫(C1 * y(t) / ((f(x)^2+ g(x)^2)^1.5) dx + C3
f(x) = ∫ff(x) dx + C4
g(x) = ∫gg(x) dx + C5

C1〜C5 定数
積分は0からxまで

>>948
y(t)って何？g(x)かなにかの間違い？

はい、g(x)の間違いです
gg(x) = ∫(C1 * g(t) / ((f(x)^2+ g(x)^2)^1.5) dx + C3
です。

>>948
万有引力 運動方程式 くらいでぐぐると類題が見つかると思われる。

問題の解というか、どういう分野でこの問題を扱っているかを教えていただきたいのですが、

1. 二人のプレイヤーがそれぞれコイン百枚を持つ
2. 二人は同時に何枚かのコインを出し、多かった方がコインをすべて得る
3. 100回行ってコインの数が多い方が勝ち。

ただし、100回のプレイで最初のコイン百枚をすべて使いきらなければならない

という問題です。
明らかに必勝法は存在しないのですが、何千回も繰り返す中で敵の手筋を読むなどして、
勝率を上げる方法全般に関連した論文や分野など教えていただければありがたいです。

分野や論文等に関係なく、これがなんというゲームなのかだけでも教えていただけると助かります。
今まったく取っ掛かりがなくて途方にくれていまして・・・。

>>952
実際、聞いたことはないのですが、ゲーム理論ならそんな話があってもおかしくない気がする。

「全て使い切る」の意味がわからん。持ってたらだめってことか？

あるとすればゲーム理論だろうけど

正確にいえば
ゲーム理論以外にありそうな気がしない。

>>952
名前は知らないが、それよりルールが不正確じゃないか？
一枚も出さない時があってもいいのかどうかについて触れられてないが、

Ａ．一枚も出さない時があってもいい場合
１００回で１００枚なので、毎回一枚ずつ出すしかない。
戦略が一通りなのでこれが最善戦略。

Ｂ．一枚も出さないときがあってもいい場合
ある１回に１００枚全部出して、残りの９９回は０枚。
これで絶対負けない。

なので、
・必ず1枚は出さないといけない
・勝負の回数よりもコインの数のほうが多い（１００回で２００枚など）
というルールにしないと興味あるゲームにはならないと思うのだが。

場合わけ間違ってるな。
Ａ．必ず一枚以上出さなければならない場合
だ。ｽﾏｿ

>954,956,957
ゲーム理論ですか、名前は聞いたことあるんですが詳しいことは知りませんでした。
少し調べてみましたらかなり似てますね。後でもう少し調べてみます。

>>955
100回で100枚のコインを使用しないといけないってことです。

>>958
すいません、確かに不明確でした。
0枚でもおkです。
あと今確認してみましたら、ルールが間違っていました。
最終的に取得したコインの"少ない"方が勝ちでした、すみません。

だよな
絶対しょっぱなに１００枚出すだろって思った

ゲーム理論という手がかりをいただけたので、これを糸口になんとか関連サイトや論文を当たれそうです。
本当に助かりました、ありがとうございます。

>>960
出した枚数が同数のときはどちらも自分が出しただけ貰うのかな？
だとするとやっぱり最善戦略が存在する。
・「毎回一枚ずつ出す」
これが最善。相手が同じ戦略のときだけ引き分け、他の戦略には全て勝つ。
（証明略）

本来的には、「相手が出した数よりほんのちょっとだけ少なく出す」ことにより
相手になるべく多めに取らせるのが目的のゲームのはずだが、
１枚出してる相手に取らせる方法は０枚しかないことが、
この戦略相手に勝つ方法が無い理由のキモ。

なのでやっぱり100回で200枚とか1000枚とかにしないと意味が無い。

長さl,質量mの単振り子に関する直交座標系の運動方程式

m(d^2x/dt^2)=-Tsinθ, m(d^2y/d/t^2)=Tcosθ-mg
から
x=lsinθ, y=-lcosθ
を用いて
d^2θ/dt^2 = -(g/l)sinθ

を導けというものなのですが、
1,1行目の式2つからTを消去
2,2行目の式をそれぞれtで2回微分
3,出てきたd^2x/dt^2,　d^2y/dt^2を代入

としても最後の式が出てきません。どなたか解法orどこが間違ってるかご指摘頂けないでしょうか。

>>964
問題の設定が変･･･
普通そこ接線方向と速度垂直方向に分けて考えるところだろう。

1行目の二つの式にそれぞれcosθ,sinθを乗じて辺々和をとるとＴが消えるが。
「2,2行目の式をそれぞれtで2回微分」をそれに代入すると、お目当ての式にたどり着く

>>934
この方針どおりで出るはず。
1. から、my" = -mx"(cosθ/sinθ) -mg つまり x"cosθ + y"sinθ = -g・sinθ.
2. から、x" = l(θ"cosθ-(θ’)^2 sinθ), y" = l(θ"sinθ+(θ’)^2cosθ)
3. 2.を 1. に代入して lθ" = -g・sinθ.

>>965-966
ありがとうございました。
途中で計算間違えてたみたいで…無事に導出できました。

次スレ立てました
分からない問題はここに書いてね３０８
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242515952/

>>963
そして初回100枚戦略の相手に101枚持って行かれて負けるわけですね

>>969
それ勝ってるよ

v_1, ..., v_m が張る線型空間 V = span {v_1, ..., v_m} について、
その中の単位球面 S = { x ∈ V; |x| = 1 } から一様ランダムサンプリングしたいのですが、
どうすればよいのでしょう？

>>971
極座標じゃだめなの？

>>971
オレなら最初からそんな難しいことはやらず、まず 2次元、3次元のユークリッド
空間での方法を導いておいて、それを一般次元に拡張し、さてそれと問題の
シチュエーションとはどう違うのか、というように考えるなあ。

そんなに難しいか？

>>951
ググってみたのですが、おなじ軌道をぐるぐる回り続ける、という前提で端折っての計算しか見つけられませんでした。
天文板で聞いてみます。

sinθ+sin^2θ=1のとき、cos^2θ+cos^6θの値を求めよ。
変形の仕方などが分かりません。
途中式も含めて教えてください。

sin^2θ=1-sinθ だから、cos^2θ+cos^6θのcosをsinに変形して
次数をひとつずつ下げていけばいいんじゃないの？

>>976
sinθ = 1-(sinθ)^2 = (cosθ)^2
t = sinθとおくと
t + t^2 = 1
(cosθ)^2 = t
(cosθ)^2 + (cosθ)^6 = t + t^3 = t + t (1-t)
= 2t -t^2 = 2t - (1-t)
= 3t - 1
9t + (3t)^2 = 9
s = 3t-1 とおいて
3(s+1) + (s+1)^2 = 9
s^2 + 5s = 5
{ s + (5/2)}^2 = 45/4
s = { -5 ± 3√5}/2
-1 ≦ t ≦ 1だから
-4 ≦ s ≦ 2
s = { -5 + 3√5}/2

>>977-978
ありがとうございます。

>>976
マルチ

まだまだ使えるじゃん

||x|−|y|| ≦ |x±y| ≦ |x|＋|y|をしめせ。（ただし、|x|＝max｛x、-x｝）

という問題の解答を教えてください。

虚数の正負はどうやって定義されてるのでしょうか
単純に虚数単位をi、Aを正定数として　+iA>0　-iA<0　とは出来ませんか

お願いします

>>982
|x| = max{x,-x} = max{-x,x} = |-x|

||x|−|y|| ≦ |x+y| ≦ |x|＋|y|　の yを-yに置き換えたとき
||x| - |-y|| ≦ |x-y| ≦|x| + |-y|
||x|−|y|| ≦ |x-y| ≦ |x|＋|y|
なので、x+yの不等式だけを示す。

|x+y| = max{x+y, -(x+y)} = max{x+y, (-x) + (-y)}
≦ max{x, -x} + max{y, -y} = |x| + |y|

左は面倒かな

>>983
なんのために正負を入れたいの？

実数体とベクトル空間と座標しか定義されていない時に
平面ベクトルの内積を定義せずに
三角関数の加法定理を代数的に証明する方法は存在しますか
存在するとしたらどのような手順になりますか

三角関数をどう定義したのかが重要なのであって
ベクトル空間がどうだとか全く関係ないだろ。

aベクトルの絶対値が√35
bベクトルの絶対値が2√35

これら2つのベクトルは空間内でどのような関係にあるか？

これを教えてください。

>>987
すみません　混乱してました
一般的な高校レベルの教科書の加法定理の証明だと
図を用いた証明になっていたので、この図はユークリッド平面的な直角とか平行とか角とかの概念を使っていますよね
そういうユークリッド平面的な処理を使わない加法定理の証明を知りたかったのです
そこでベクトルの一般的な演算と座標系を許した時に加法定理を導くことが出来るかどうかが問題なのですが
このとき『ベクトルの一般的な演算』には内積・外積を含めないものとする
と証明不可能になってしまうのでしょうか

>>984　左はどう進めるのですか？？
面倒ですがすいません。。。

>>989
＞図を用いた証明になっていたので、この図はユークリッド平面的な直角とか平行とか角とかの概念を使っています
それは高校の教科書における三角関数はお前さんの言う「直角とか平行とか角とかの概念を使って」定義されてるからだろ。
まず「ベクトルの一般的な演算と座標系を許し」たうえで「直角とか平行とか角とかの概念を使って」いない
三角関数の定義を示せといってるんだよ。

三角関数を微分のアレを満たしたものと定義すると、その加法定理とやらの幾何的証明は、三角関数が微分で定義されているから定理でも証明でもなくなるってこと。
俺はいまだにsin[0]==sin[t + 2 pi k]の関係を認めたくないけどな。
俺はそういう世界でsinを使ってるから…

sin[0]==0はいいとしても、sin[t]==sin[t + 2 pi k]の方ね。

>>985
う〜ん…なんとなく気になっただけなので…

さまぁ〜ず×さまぁ〜ず　１０
http://dubai.2ch.net/test/read.cgi/tv/1239028274/430

430 名前：名無しでいいとも！＠放送中は実況板で[] 投稿日：2009/05/15(金) 14:41:55 ID:LRAwYpbaO
あっ、松本 結婚決まったよ。
デキ婚だよ。
今、事務所が動いてる

>>991
がんばって定義してみたのですが
1. 点とは実数体Rの直積集合(R,R)で与えられる位置をさす
2. 点の集合をA、ベクトル空間をV、実数体をRで表す
3. 二点p1,p2についてp1+v=p2　(A+V→A)となる演算をさだめる。演算を満たすv∈Vが常に一つ存在する
4. 二点p1,p2についてv=p2-p1　(A-A→V)となる演算をさだめる。演算を満たすv∈Vが常に一つ存在する
5 .二点をとおる直線とは二点p1(x1,y1),p2(x2,y2)について定められるv=(x2-x1,y2-y1)についてp1+kv (R∋k)を満たす全ての点の集合をいう
　0≦k≦1としたとき、満たす点の集合を線分という
6. 二点の距離とは√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2で表される値をさす
7. ベクトルv=(x,y)の大きさ|v|=√x^2+y^2とさだめる
8. 平面において独立な二つのベクトルとはkv1≠v2となるR∋kが存在しないv1,v2をさす
9. 平面において独立ではないベクトルによって表される二直線を平行であると言う
10. 平行でない二直線の関係を交わると言う
11. 平面上の異なる三点p1,p2,p3についてp2-p1,p3-p2で表される二ベクトルが独立である時、p1,p2,p3は同じ直線上に存在しない。このとき、三点は三角形をなすという
12. v=s(p1-p2)+t(p3-p2) R∋s,t,0≦s≦1,0≦t≦1であらわされる点の集合を三角形の内部と言う
13. 任意の三角形の任意の点p1について三角形の内部に関連する要素として内角*p1を定めることが出来る※
14. ベクトルv1=v2+v3で表される時v2,v3をv1を分解したベクトルであるという
15. 大きさが1であるベクトルを単位ベクトルと言う
16. 任意のベクトルvはv=ke1+le2となるR∋k,lで表すことが出来る
　このときkをvのx成分、lをy成分という
18. 三角形p1,p2,p3についてp1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)としたときS=(1/2)|(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)|を三角形の面積と言う
19.  このとき内角*p1についてsin(*p1)=2S/|p2-p1||p3-p1|とsin(*p1)をさだめる

結局19.あたりで内積か外積の変形と同じのが出てきてしまいますね
いかに自分が愚かな質問をしていたのかわかりました
ありがとうございました

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