【検証】コラッツの予想(1-1000)

コラッツの予想とは
「任意の自然数をとり、その数が
・偶数なら、その数を2で割る
・奇数なら、その数に3をかけて 1を足す
という操作を繰り返すと、有限回で 1に到達する」
というもので、いまだに証明されていません。

そこでコラッツの予想を検証するため、レス番の数字から始めて 1に到達するまでの
有限列（コラッツ数列）と、そのステップ数を書きこんでいきましょう。

1 (0 step)

2,1 (1 step)

　　　　　　　　　　　　　　/::::::::::／:::::::::::::::/:::::::::,ｲ:::::/ |:::::::::::::::::|:::::::ﾍ::::::::::::::::ヽ::::::::::::',
　　　　　　　　　　　　　 /:::::／ /:::::::::::::::/:::::／i￣＞　|:::::::::::::::::iヽ＿_＼:::::::::::::::ヽ:::::::::',
　 　 　 　 　 　　　　　 / ／ 　/:::::::::::::::,ｲ:::::::/　!:::/ 　 !::::::::::::::::|　＼ `ﾄ､ヽ:::::::::::::ヽ:::::::i
　　　　　　　　　　　　〃 　　　!:::::::::::／:|:::::/＿」/＿_　|::ﾊ::::::::::| ＿_ヽj＼:::ヽ::::::::::::ヽ::::!
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 |:::::::,ｲ:::::::l::::,ｲﾃ〒赱示 i::! ヽ:::::::|示迄〒ﾐﾄ::::::ヽ:::::::::::ヽl
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 |:::::/ |:::::::|::∧i! {:::::::::::i|　ﾘ 　ヽ::::l {::::::::::::ﾃFヾ::::::::::ﾄ､::::::ヽ
　　　　　 　 　 r‐､ 　　　　　　|:::/　l:::::::�Wﾊ　 lfひvy　　　　 V　l fひｖy/ l:::::∧:::�丶::::::::＼
　　　,- ､ 　 　 |　|　　　　　　│/　 |::::,ｲV:│　｀ー'" 　 　 　 　　｀ー‐'"　|:::/:::�Y勹::ﾄ､:::::::＼__　　
　　　＼ ＼ 　 .!　|　 　 　 　　�W 　 !/ l|:::::::} 　 　　　、 ｀ 　 　 　 　 　 ． |:/::::::Vし'::::|　 ￣￣
　　　　 ＼ ＼_j　/⌒ヽ、　　　　　　|!　|:::::八　　　　　￣｀ｰっ 　 　 　 　,/::::::::::|:::::::::::|
　　　　　　ヽ、　/　r､　ヽ.　 　 　 　 　 |:::::::::::＞　.　_　　 ￣ 　　 _　. イ/:::::::::::::|:::::::::::| 　　３ゲット!!!
　　(´ ￣￣f⌒`し'、　　 }__　　　　　　 |:::::::::::::::|　　　｀＞r-‐　´├ 、_/::::::::::::::l|:::::::::::|
　　　￣￣｀{　 「 ｰ' 　 　ﾄ､ ヽ. 　 　 　 |:::::::::::::::「￣￣´,.┘ 　　　ﾚ'"/::::::::::::::::丿::::::::::|
　　　　　　　`ー-┐　　 ﾚ'　ハ　　　／|:::::::::::::::|　　　/　 　 　 ／　/::::::::::::::xく:::::::::::::::|
　　　 　 　　　 / /|　 ／ ／ ,ハ　　/ /|:::::::::::::::l　　 √￣ ｀ﾞ７　 ／:::::::::::／／>＼:::::::|
　　　　　　　 /　��イ ／　／ ∧　/ / |:::::::::::::::|　　 !　　　 /　／:::::::::／／／／^ ヽ::::|

単純作業系スレは続かないから辞めてくれ

3,10,5,16,8,4,2,1(7step)
4,2,1(2step)

5,16,8,4,2,1(5step)
6,3,10,5,16,8,4,2,1(8step)

3,10,5,16,4,2,1 (6 step)
4,2,1 (2 step)

7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (16 step)
8,4,2,1 (3 step)

　　　　　　　　 　 　 　 /ヽ　　　　　　 /ヽ
　　　　　　　　　　　　/ 　ヽ　 　　　 / 　ヽ
　　＿＿＿＿＿＿ / 　 　 ヽ＿＿/　 　 　ヽ
　　|　＿＿＿＿　／　　　 　 　 　　　:::::::::::::::＼
　　| |　　　　　　 /／　　　　　　　＼　　:::::::::::::::|
　　| |　　　　　　 |　 ●　　　 　　● 　　 ::::::::::::::|
　　| |　　　　　　.|　　　　　　　　　　　　　:::::::::::::|
　　| |　　　　　　 |　 　（__人__丿 　.....:::::::::::::::::::/
　　| |＿＿＿＿　ヽ　　　　　　.....:::::::::::::::::::::::<
　 └＿＿＿／￣￣　　　　　　　:::::::::::::::::::::::::|
　　|＼　　　 |　　　　　　　　　　　　:::::::::::::::::::::::|
　　＼ ＼　　＼＿＿＿　　　　　　 ::::::::::::::::::::::::|





　　　　　　　　　　　 　 /ヽ　　　　　　 /ヽ
　　　　　　　　　　　　/ 　ヽ　 　　　 / 　ヽ
　　＿＿＿＿＿＿ / 　 　 ヽ＿＿/　 　 　ヽ
　　|　＿＿＿＿　／　　　 　 　 　　　:::::::::::::::＼
　　| |　　　　　　 /　＼　　　　　　／　　:::::::::::::::|
　　| |　　　　　　 |　 ●　　　 　　● 　　 ::::::::::::::|
　　| |　　　　　　.|　　　　　　　　　　　　　:::::::::::::|
　　| |　　　　　　 |　 　（__人__丿 　.....:::::::::::::::::::/
　　| |＿＿＿＿　ヽ　　|r┬-|　.....:::::::::::::::::::::::<
　 └＿＿＿／￣￣　　`ー'´　　:::::::::::::::::::::::::|
　　|＼　　　 |　　　　　　　　　　　　:::::::::::::::::::::::|
　　＼ ＼　　＼＿＿＿　　　　　　 ::::::::::::::::::::::::|

9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (19 step)
10,5,16,8,4,2,1(6step)

テスト

11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (13 step)
12,6,3,10,5,16,8,4,2,1 (9step)

>>12
(13 step)×⇒(14 step)

13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (9 step)

強迫神経症か

14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (17 step)
15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (17 step)

16,8,4,2,1 (4 step)

17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (12 step)

18,9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (20 step)

21,64,32,16,8,4,2,1 (7 step)

19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (20 step)
20,10,5,16,8,4,2,1 (7 step)

21,64,32,16,8,4,2,1 (7 step)

22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (15 step)

23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (15 step)

24,12,6,3,10,5,16,8,4,2,1 (10 step)

25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (23 step)

26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (10 step)

12⇒ 9 step、13⇒ 9 step
14⇒17 step、15⇒17 step
18⇒20 step、19⇒20 step
20⇒ 7 step、21⇒ 7 step
22⇒15 step、23⇒15 step
これって偶然かな？

>>26
うん、偶然。
27
28
やってみな。
へこたれるなよw

ところで、エクセルで１分あったら100の数字までぐらいなら簡単に
ステップ数なんぞ割り出せるのにここでやる意味は何？

茶々を入れずにはいられない強迫神経症か

フー、これで合ってるよね？

27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91
,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890
,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438
,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308
,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106
,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (111 step)

28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (18 step)

29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (18 step)
30,15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (18 step)

31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,
466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,
754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,
4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,
577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,
80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (106 step)

32,16,8,4,2,1 (5 step)

nに対するステップ数Step(n)とnとの比　step(n)/n って、上限あんのかな？
あ、分母は特にnでなくて、定数rを使った　n^r　みたいなのでもいいんだけど。

さあ、わかんない。27や31みたいなのがあるから…
でも、28⇒18step、29⇒18step、30⇒18step とかあるから何か規則性がありそうな気もしないではない。

33,100,50,25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (26 step)

このスレには期待せざるをえない

期待するなら協力してあげたらどうだ
俺は期待しないから協力しないけど

34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,4,2,1 (12 step)
35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,4,2,1 (12 step)
36,18,9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,4,2,1 (20 step)

37,112,56,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (21 step)

38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (21 step)

3=√9

39,118,59,178,89,268,134,67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,
13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (34 step)
40,20,10,5,16,8,4,2,1 (8 step)

41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,
103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,
334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,
1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,
4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,
35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (109 step)

42,21,64,32,16,8,4,2,1 (8 step)

これでいいのかな？

43,
130,65,196,98,49,148,74,37,112,56,
28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,
40,20,10,5,16,8,4,2,1
(29 step)

44,
22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,
5,16,8,4,2,1
(16 step)

45,
136,68,34,17,52,26,13,40,20,10,
5,16,8,4,2,1
(16 step)

46,
23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,
5,16,8,4,2,1
(16 step)

47,
142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,
182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,
233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,
1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,
377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,
479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,
3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,
4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,
976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,
35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,
8,4,2,1
(104 step)

48,
24,12,6,3,10,5,16,8,4,2,
1
(11 step)

49,
148,74,37,112,56,28,14,7,22,11,
34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
(24 step)

50,
25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,
34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,
8,4,2,1
(24 step)

>>7
3 (6 step)×⇒(7 step)

>>36
36 (20step)×⇒(21step)

51,154,77,232,116,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5
,16,8,4,2,1 (24 step)

52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (11 step)

53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (11 step)

54,27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,
479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (113 step)

55,166,83,250,125,376,188,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,
958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (113 step)

>>54
54 (113 step)×⇒(112 step)
>>55
55 (113 step)×⇒(112 step)

56,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (19 step)

57,172,86,43,130,65,196,98,49,148,74,37,112,56,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (32 step)

プログラム組んで10＾レス番突っ込んだ方がよさげな気がする…
58　29
29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (18 step)
19ステップ

59,178,89,268,134,67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (32 step)

ちょっと発見したんだけど8n+4と8n+5のステップ数は同じになるんだね
8n+4と8n+5のコラッツ数列はそれぞれ次のようになるから…

8n+4,4n+2,2n+1,6n+4,...,1
8n+5,24n+16,12n+8,6n+4,...,1

実際に
12⇒ 9 step、13⇒ 9 step
20⇒ 7 step、21⇒ 7 step
28⇒18 step、29⇒18 step
36⇒21 step、37⇒21 step
44⇒16 step、45⇒16 step
52⇒11 step、53⇒11 step
だから次の60と61は同じステップ数になるはず

60,30,15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (19 step)
61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (19 step)

同じになったね

62,31 (続きは>>31 参照) (107 step)

63,190,95,286,143,430,215,646,323,970,485,1456,728,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,
502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,
1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (107 step)

64,32,16,8,4,2,1 (6 step)

65,
196,98,49,148,74,37,112,56,28,14,
7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,
10,5,16,8,4,2,1
(27 step)

66,33,100,50,25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (27 step)

67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (27 step)

68,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (14 step)

69,208,104,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (14 step)

70,35,(>>36) (13 step)

71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233
,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377
,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644
,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976
,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8
,4,2,1 (102 step)

>>36
34 (12 step)×⇒(13 step)
35 (12 step)×⇒(13 step)
36 (20 step)×⇒(21 step)

>>70
70 (13 step)×⇒(14 step)

72,36,18,9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (22 step)

73,220,110,55,166,83,250,125,376,188,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242
,121,364,182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395
,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638
,319,958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154
,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46
,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (115 step)

単にそれぞれの整数についてコラッツの予想が成り立つことを確かめるだけじゃつまらんだろう。
>>60が結構面白いこと言ってるじゃないか。
>>60のアイディアをもっと広げていったらいいんじゃないか？

ここで、コラッツの予想をすこし言い換えてみよう。

まず、「偶数なら２で割り、奇数なら３をかけて１を足す」という操作を有限回繰り返して１に到達する数をコラッツ数と呼ぶことにする。
コラッツの予想とは「全ての自然数がコラッツ数である」という予想であると言える。
さて、コラッツ数が定義できたが、「偶数なら２で割り、奇数なら３をかけて１を足す」という操作を１から逆に辿ることを考える。

そうするとコラッツ数が次のように再帰的に定義できる。

１はコラッツ数
nがコラッツ数なら２nもコラッツ数
3n+1がコラッツ数ならnもコラッツ数

さてここで>>60の主張をみてみると　「8n+4がコラッツ数なら8n+5もコラッツ数である」と読めそう。
こんな感じで「xxxがコラッツ数ならyyyもコラッツ数」みたいなのをたくさん集めていったほうが
それぞれの整数について単に予想を確かめるより、いくらか面白いだろ。

とりあえず隣接する数のステップ数が同じものを挙げてみる

12= 9step, 13= 9step
14=17step, 15=17step
18=20step, 19=20step
20= 7step, 21= 7step
22=15step, 23=15step
28=18step, 29=18step, 30=18step
34=13step, 35=13step
36=21step, 37=21step, 38=21step
44=16step, 45=16step, 46=16step
49=24step, 50=24step, 51=24step
52=11step, 53=11step
54=112step, 55=112step
60=19step, 61=19step
62=107step, 63=107step
65=27step, 66=27step, 67=27step
68=14step, 69=14step, 70=14step

6n+4 と 6n+5 のステップ数が同じ時、
4n+2 と 4n+3 のステップ数も同じ

4n+2, 2n+1, 6n+4, ...
4n+3, 12n+10, 6n+5, ...

>>74
>3n+1がコラッツ数ならnもコラッツ数
nは奇数でないといけないから正確には
6n+4がコラッツ数なら2n+1もコラッツ数
だと思う

今のところ分かっているのは
(1)1はコラッツ数
(2)nがコラッツ数なら2nもコラッツ数
(3)6n+4がコラッツ数なら2n+1もコラッツ数
(4)8n+4と8n+5のステップ数は同じ
(5)6n+4と6n+5のステップ数が同じ時、4n+2と4n+3のステップ数も同じ

あと(4)より24n+4と24n+5のステップ数が同じなので(5)より
(6)16n+2と16n+3のステップ数は同じ

良スレの予感

Rubyで一次式版のコラッツのスクリプト書いたんで書き込んでみる。

class Integer
def collatz_next()
return nil if self==1
return self/2 if self%2==0
return self*3+1
end
end

class Linear

attr_accessor :a
attr_accessor :b

def initialize(a,b)
@a=a
@b=b
end

def collatz_next()
return Linear.new(@a/2,@b/2) if(@a%2==0 && @b%2==0)
return Linear.new(@a*3,@b*3+1) if(@a%2==0 && @b%2==1)
return nil
end

def to_s
return "#{@a}n+#{@b}"
end
end

使い方はこんな感じ。

例えば32n+9のコラッツの計算をしたかったら次のようにスクリプトを書く。

a=Linear.new(32,9)

while a
print a.to_s,"\n"
a=a.collatz_next
end

で出力はこうなる。

32n+9
96n+28
48n+14
24n+7
72n+22
36n+11
108n+34
54n+17
162n+52
81n+26

Linear.new(2**n,2**n-1)をコラッツの操作にかけるとLinear.new(3**n,3**n-1)になるみたい。（未証明）
ちなみにa**bはRubyではaのb乗の意味です。

>>81が正しければ、ある数ｘと、ｘのコラッツの計算過程で現れる数の最大値との比率には上限が無いってことになるね。

2^k*n-1という形が肝みたい。これを奇数の標準形その１と呼ぶことにしよう。
ちなみにこれにコラッツの操作を加えていくと3^k*n-1になることがわかる。

コラッツの予想を考えるときは奇数だけ考えればいいのは当たり前。
そこで奇数を2^k*n-1の形で表すことを考える。このとき、できるだけkが大きくなるようにする。
k=1の時を考えればこの形式で全ての奇数を表せることがわかる。
kを出来るだけ大きくとるということはnは２以上の偶数ではありえない。
nが偶数ならkをもっと大きく出来るから。
nが奇数ならそれもまた奇数の標準形その１で表すことが出来る。
nを標準形2^i*m-1という形にすると、元の式は2^k(2^i*m-1)-1となる。
こんな感じでどんどん入れ子構造をつくると最終的にはどこかでとまるはず。
それを奇数の標準形その２と呼ぶことにしよう。
奇数の標準形２は 2^a[1](2^a[2](2^a[3]...(2^a[n]-1)-1)-1)...-1)-1 のような形になる。
これにコラッツの操作を加えると3^(a[1]+a[2]+...+a[n])-1の形になる。

てことで今のところの結論。
全てのnにおいて3^n-1がコラッツ数ならコラッツ予想は成り立つ。

あれ、なんか勘違いしてんな。
すんません。
>>83は取り消し。

>>81
2^k*n+2^k-1, 3*2^k*n+3*2^k-2, 3*2^(k-1)*n+3*2^(k-1)-1,..., 3^k*2*n+3^k*2-2, 3^k*n+3^k-1

同様にして、2^k*N*n+2^k*N-1は、3^k*N*n+3^k*N-1になる。

奇数の標準形もRubyスクリプト化しといた。

class CollatzOddForm

attr_accessor :a
attr_accessor :b

def initialize(a,b)
@a=a
@b=b
end

def to_i
return (2**@a)*@b.to_i-1
end

def to_s
x=((@a!=1)? "^#{@a}" : "")
y=((@b!=1)? "*#{@b.to_s}" : "")
return "(2#{x}#{y}-1)"
end

def to_a
[@a,@b.to_a]
end
end

続き
class Fixnum
def to_a
self
end
end

class Integer
def collatz_odd_form()
if self%2==0
return self
else
tmp=self+1
res=0
while(tmp>1 && tmp%2==0)
tmp/=2
res+=1
end
if( tmp!=1 && tmp%2==1)
then
return CollatzOddForm.new(res,tmp.collatz_odd_form)
else
return CollatzOddForm.new(res,tmp)
end
end
end
　
def to_a
self
end
end

サンプルはこんな感じ

for i in 3..20
print i.to_s.rjust(3)," : "
print i.collatz_odd_form.to_s.rjust(30)," : "
print i.collatz_odd_form.to_a.inspect.rjust(30)," : "
print i.collatz_odd_form.to_i.to_s.rjust(3),"\n"
end

出力はこうなる。

3 : (2^2-1) : [2, 1] : 3
4 : 4 : 4 : 4
5 : (2*(2^2-1)-1) : [1, [2, 1]] : 5
6 : 6 : 6 : 6
7 : (2^3-1) : [3, 1] : 7
8 : 8 : 8 : 8
9 : (2*(2*(2^2-1)-1)-1) : [1, [1, [2, 1]]] : 9
10 : 10 : 10 : 10
11 : (2^2*(2^2-1)-1) : [2, [2, 1]] : 11
12 : 12 : 12 : 12
13 : (2*(2^3-1)-1) : [1, [3, 1]] : 13
14 : 14 : 14 : 14
15 : (2^4-1) : [4, 1] : 15
16 : 16 : 16 : 16
17 : (2*(2*(2*(2^2-1)-1)-1)-1) : [1, [1, [1, [2, 1]]]] : 17
18 : 18 : 18 : 18
19 : (2^2*(2*(2^2-1)-1)-1) : [2, [1, [2, 1]]] : 19
20 : 20 : 20 : 20

xのコラッツのステップ数をstep(x)として、step(x)^2>=xとなる数を表示させてみたけど、115547を最後にぱったり出なくなったな。

1からNまでの中で、ステップ数が最大になる数とその最大ステップ数を出してみた

N=10 ⇒ 9 (19 step)
N=100 ⇒ 97 (118 step)
N=1000 ⇒ 871 (178 step)
N=10000 ⇒ 6171 (261 step)
N=100000 ⇒ 77031 (350 step)
N=1000000 ⇒ 837799 (524 step)

一個、予想ができた。

xをコラッツの操作にかけたときに現れる最大の数をcollatz_max(x)とする。

xが十分に大きければ（96以上?)
1.0<=log(collatz_max(x))/log(x)<=2.0
が成り立つ。

誰か>>91の反例みつけたら教えてね〜
よろしこ。

おおっと、早くも>>91の反例発見orz
早とちり、すんませんでしたｗ。

6631675だと>>91の式の値が2.0以上になる。

96から2千万まで回したけど反例は以下の２つだけだった。
6631675
7460635
この二つの数字から何がしかの特徴が抽出できればいいんだけど。

有界かどうかさえ簡単にはわかるまい
有界性が証明できるかどうかはコラッツ予想自体の解決と同じくらい困難だろう

もちろん有界性を証明するのはめちゃくちゃ難しいんだけどね。
でも>>91の式からは結構、有用な情報が取れそうな気がしてる。

とりあえず、素因数分解。

6631675 = 5^2*31*43*199
7460635 = 5*7*13*19*863

>>94
どちらの数値も32n+27で表せるね。
27は２桁の数字の中でもステップ数の多い数値のひとつだし、何か関係ないかな？

高校数学までの知識で色々やってみた。
糞レスと思ったなら無視しておくれ。

(予想)
n>2において、
コラッツ数列中に出現する奇数の存在割合は0.37以下
( = コラッツ数列中に出現する奇数の数 / コラッツ数列の総数)

この予想が証明できれば、数列の計算中に、かけ算(3n+1)より割算(n/2)の方が多いので
コラッツ数列が∞方向に発散せずに、
ある数字に収束していく証明ができないのかな？と思った。

(予想の根拠)
検証した数字は少ないorz
1000-1255　　　 存在割合のMax0.368132 Min0.090909
10000-10255　 存在割合のMax0.367799 Min0.117647
100000-100255 存在割合のMax0.369501 Min0.277778
1000000-1000255 存在割合のMax0.359073 Min0.234043

少し道具を整理してみる。

(1)collatz_next(x)
xにコラッツの操作(偶数なら2で割り,奇数なら3をかけて1を足す)を1回施したものをcollatz_next(x)とする。
collatz_next(x) = x/2 if x%2==0 else x*3+1

(2)collatz_set(x)
xからコラッツの操作で到達できる数の集合をcollatz_set(x)とする。
x∈collatz_set(x)
y∈collatz_set(x) => collatz_next(y)∈collatz_set(x)

(3)コラッツ数
1∈collatz_set(x)であるときxはコラッツ数である、という。

(4)collatz_step(x)
xにコラッツの操作を１になるまでかけたときの回数。
ただしxはコラッツ数とする。

で、もう一つ概念を導入してみる。

xを奇数とする。
x以外の全ての奇数yにたいして,xがcollatz_set(y)に含まれないとき、xはコラッツ素数であるという。

（予想１）
３はコラッツ素数である。

（予想２）
コラッツ素数は無数に存在する。

だれか、証明よろしくね♪

>>98
どうもです。
なるほど、32n+27には、何かあるかもしれませんね。

>>101
>(予想1)(予想2）

というか、3の倍数は全部そうでしょ。

奇数にコラッツの操作を1回加えると当然3で割ると1余る偶数になるけど、
3の倍数に何度2を掛けてもそんな数にはならないから、3の倍数から
コラッツの操作を逆にたどって別の奇数にたどり着くことはできない。

逆に3の倍数でない数は、2か4のどちらかをかければ、3で割ると1余る偶数
になるので、そこから1を引いて3で割れば別の奇数になる。

というわけで、>>101の言う「コラッツ素数」とは、3の倍数である奇数と同義。
正直、あんまり意味がありそうな気がしないなぁ。

>>103
レスはええｗｗ

どうもです。
どうやら、行き止まり的なものがあることに気づいたので、
そこをはっきりさせときたいなと思ったのです。

逆に3の倍数のどれかからスタートして到達できない奇数はあるのかな？

ざっと計算機を回してみた感じでは、

任意の３の倍数でない奇数xに対して3の倍数yが存在して、
x∈collatz_set(y)
が成り立ちそうに見える。

一応、道具をもうひとつ追加しとこうかな。

xからコラッツの操作を逆にたどったときに到達できる数の集合をcollatz_parent(x)という。
collatz_parent(x)={ y | x ∈ collatz_set( y )}

もし>>106が成り立てば、コラッツの予想は３の倍数だけ調べればいいってことになって、
コラッツ素数の概念にもそれなりに意味が出てくる。
個人的には、そうであって欲しいところだ。

あーなんかコラッツ問題が何故いまだに未解決な問題なのか、ぼんやり見えてきたキガス。。。

3で割り切れない数を9で割った余りは、1,2,4,5,7,8のどれかだけど、これは

1*2^6≡1
2*2^5≡1
4*2^4≡1
5*2^1≡1
7*2^2≡1
8*2^3≡1 (mod 9)

のように、どれも2を適当な回数掛けることで、9で割ると1余る偶数にできる。
ここから1を引いて3で割れば3の倍数である奇数になる。
>>106の予想は正しい。

え、まじで？
こんなに綺麗に解けるのか。。。
ショックを隠しきれないｗｗｗ

ともあれ、一歩前進ですね。
ありがとうございます。

>>94の数字に関してだけど。
collatz_set(6631675)の最大値が60342610919632になる。
試しに60342610919632を素因数分解して見ようとしたんだが、
俺の書いたしょぼいプログラムじゃなかなか計算が終わらないぜ。
もしかしたらデカイ素因数を含んでるんだろうか？

60342610919632 = 2^4 * 3771413182477
3771413182477 = prime number

処理に0秒かかりました

コラッツの予想を使って、効率よくでかい素数を得る。
なんて道もあったりするんだろうか？

ウィキペによれば2^43112609 - 1 が素数であることがわかっている数で最大みたいね。
一応、頭の片隅においておこう。

x, i に対してx から始まるコラッツ無限列（1 になっても続ける）
のi 番目の偶数の直後の数をy, y より前の奇数の個数をj とすると、
n に関する一次式 2 ^ i * (2N+1) * n + x は
(i + j)回のコラッツ操作によって 3 ^ j * (2N+1) * n + y になる

例えば、x = 27, i = 5 とすると
27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,...なので、y = 71, j = 4
よって、32 n + 27 → 81 n + 71 となる

6631675 = 2 ^ 5 * 207239 + 27
7460635 = 2 ^ 8 * 151 * 193 + 27
関係あるかどうか分かんないけど一応書き込んでおく

ところで、このスレの推奨プログラム言語を決めておくといいかもしれないなぁ。
なにか思いついたときにパッと試せるのと試せないのじゃ全然違うしね。
このスレで出たアイディアをコードにして共有しといたほうが後々楽しいことが起こりそう。
数板的にはMaximaってのがいいのかな？

>>116の成果がまだ良く飲み込めてないんですけど、
とりあえず2^i*n+27の形について計算機を回してみたところ、
log(max(collatz_set(x)))/log(x) >=2.0を満たすxがいくつか新たに見つかりました。

719560871
2379584155

ところでlog(max(collatz_set(x)))/log(x) >=2.0をみたすxに名前を付けときたいな。
桁数が約２倍になるという事から「倍伸張コラッツ数」とでも呼んでおこうか。

「３の倍数であるような奇数を含むループは存在しない。」

これは間違いないんでしょ？

>>119
「奇数」は余分

1,2,4のループに3の倍数は無いがループの長さは3である。
なにか哲学的だね。
仮に1,2,4以外のコラッツのループがあると仮定したらそのループ長は3の倍数といえるんだろか？

max(collatz_set(719560871)) = 1414236446719942480 = 2^4*5*27329*646857023089
max(collatz_set(2379584155)) = 7125885122794452160 =2^6*5*233*1489*64185690799

一応、予想を追加しておこうかな。

(予想）
xを倍伸張コラッツ数とすると、max(colltaz_set(x)) はxより大きい素因数を含んでいる。

素因数分解はMaxima使うことにしました。Maxima便利だよMaxima。
でも試しにMaximaで2^43112609 - 1を素因数分解させたらプログラムが不正終了したんだが？
他の人の環境でも不正終了するのかな？

max(collatz_set(x)) の逆の概念であるmin(collatz_parent(x))に着目したらなにか出てこないかな？

>>121
１→４→２→１以外にループが存在しないことは証明されています
↓このサイトのコメント欄参照
http://sci.tea-nifty.com/blog/2008/07/excel_18a4.html
したがって、コラッツ数列は次の（1）（2）のいずれかになります
（1）いずれ１→４→２→１のループに行き着く
（2）ループせずに無限に続く

>>118
例えば32 n + 27 に対してコラッツの操作を行っていくと
32 n + 27, 96 n + 82, 48 n + 41, 144 n + 124,...となり
定数項に着目すると、27 のコラッツ数列27,82,41,124,... と
一致しています（当たり前ですね）次にn の係数に着目すると、
定数項が偶数なら÷２、奇数なら×３されます
したがって、32 n + 27 にコラッツの操作を行っていくと
最終的には81 n + 71 になります
これを一般化したのが>>116の最初の4行の部分です

>>124
>　１→４→２→１以外にループが存在しないことは証明されています

おいおい、ちゃんとその証明とやら読んでみたのか?
そんな結果になるのは、3の倍数になるということしか分からないところを、
3だと決めつけて話を進めてるせいだ。
そんな簡単に証明できるくらいなら苦労しない。

整数値しか取れない以上、コラッツの操作を続けてループせずに限りなく続く
には値が無限に大きくなって行く必要があるけど、それは確率的に言って
あるとは考えにくいので、反例があるとすれば1以外でループする場合だろう。

>>125
じゃあ証明しますね。

ループすると仮定します。そのループのどこかに必ず奇数があるのでその奇数をA とおきます。
このA にコラッツの操作を何回か行うと再びA に戻るのだからこれを式で表わすと次のようになります。

(3 *(...(3 *((3A+1)/2^m[1]) + 1)/2^m[2]) + 1)...) + 1)/2^m[k] = A

(m[1],...,m[k]は自然数,k≧1)

分数表現でないように整式に変形すると、

3 * (...(3*(3*(3A+1)+2^m[1]) ) + 2^(m[1]+m[2]) )
+2^(m[1]+m[2]+m[3]) ) +...)+2^(m[1]+m[2]+...+m[k-2]) )
= 2^(m[1]+m[2]+...+m[k-1]) * (2^m[k] * A - 1)

3と2^(m[1]+m[2]+...+m[k-1])は、互いに素だから、

3 = 2^m[k] * A - 1
2^m[k] * A = 4

Aは奇数だから、A = 1 以外にはあり得ません。（証明終）

この証明は有名だし、ぐぐればいくつか出てきますよ。

失礼しました

>>125の指摘の意味が分かりました
>>126は無しでお願いします

すみません。勘違いしていました
他のループが存在するかについてはまだ分かっていないようです
↓このサイトが役に立つかもしれないのでここに貼っておきます
http://www.cms.k.hosei.ac.jp/paper/pdf_vol16/vol16_25.pdf

これはまだ予想ともいえない段階のアイディアでしかないけど。
仮にコラッツ数ではない自然数が存在して、その最小の数をｘとする。
ｘより十分に大きい自然数yをランダムに選んだ場合、
ｙがコラッツ数であるか非コラッツ数であるかの確率はどれくらいになるか議論できるだろうか？

×仮にコラッツ数ではない自然数が存在して、
○仮にコラッツ数ではない自然数が存在たとして、

このスレもまた例外ではないようだ

賢い人はコラッツには手を出さない

>>131
素人がコラッツの予想に人生かけちゃうのはあれだけどね。
学生として、社会人としての本分を守れる範囲で楽しめばおｋでしょ。

（つか正直たのしすぎてちょっとやばいがｗｗ）

>>132
きもすぎ

>>129
有るか無いかが判らない事象（非コラッツ数）に対して確率が出せるとは思えないが。

コラッツ数列の最後は必ず16,8,4,2,1となる。
16になる前の数値は32か5である。（1,2,4,8,16の５つの数値は除外する）
ある数値のコラッツ数列が32を通るのか、5を通るのかは背反なので、
これらの確率は出せないだろうか。

>>134
いや、あるか無いかわからないから確率が出せない、じゃなくて
あると仮定して推論を進めるのさ。
その結果、矛盾までたどりつけば万々歳。背理法で証明終了。
矛盾までたどり着けなくても何がしかの成果が得られるかもしれない。
例えば。

xが非コラッツ数であるなら2^i*xも当然非コラッツ数になる。
だって、2^i*xにコラッツの操作をかければxになるから。
要するにxからコラッツの操作を逆に辿っていけばそれらは非コラッツ数になる。

１をルートとしてコラッツの木が成長していくように、非コラッツの木もまたxをルートとして成長していく。
その結果、xより十分大きい領域ではコラッツ数と非コラッツ数の割合を論じることが可能になるかもしれない。

仮にxより十分大きい領域でコラッツ数と非コラッツ数の割合が半々くらいになる、という結果が得られたらコレはかなり面白い。
だって、確率が半々なのに反例を見つけられなかったら、やっぱりコラッツの予想は正しそうだ、ということになる。
逆に、非コラッツの確率がほとんど０だったら、残念ながら>>129のアイディアはあんまり意味がなかったってことになるね。

存在しない代数曲線の性質をこと細かく調べ上げて矛盾を導き
解決に至ったFermat予想みたいにいけば美しいけどね
コラッツの背後にしかるべき理論体系が隠れているのかどうか

>>135
ああ、スマン。１行目に否定的な事を書いたんで誤解されたかな。
ある数Ｘ（非コラッツ数）のツリーの割合を求める、ということの前段階で
例えば32（5でも可)にたどり着く割合は求まられるか？
ということが言いたかった。
32にたどり着く割合が求められないなら未知数Ｘへの割合はさらに不可能になるので。

と、ここまで書いて思いついた。
32へたどり着く割合と5へたどり着く割合の合計が100%になれば
全ての数はコラッツ数である証明が出来るね。

>>134
コラッツ数列で１に到達する直前の奇数は（4^n-１）/3とあらわされる数であり、それらは互いに背反。
それらに到達する数がどの程度の頻度で存在するか、少し調べてみた。

一番左の数が、最終的に到達する数。
２列目から右は、３以上の奇数で小さいものから数えてそれぞれ１０個、１００個、１０００個、１００００個
までの中に、それぞれの数に到達するものがいくつあるかを示す。

　　　　５,　　　　 ９, 　　　９４,　　 ９４０,　 ９３９５
　　　２１, 　　　　１, 　　　　１, 　　　　１, 　　　　１
　　　８５, 　　　　０, 　　　　３, 　　　２３, 　　２５５
　　３４１, 　　　　０, 　　　　２, 　　　３５, 　　３４３
　１３６５, 　　　　０, 　　　　０, 　　　　１, 　　　　１
　５４６１, 　　　　０, 　　　　０, 　　　　０, 　　　　２
２１８４５, 　　　　０, 　　　　０,　　 　　０, 　　　　３

予想通りともいえるけど、それぞれの数に至る頻度は、概ね最終的な到達点となる数の大きさに逆比例する
オーダーになるようだ。（3で割った余りによって多少前後するようだけど）
またどの数についても、出現頻度は検索範囲を広げてもほとんど変わって行かないように見える。

>>135
> 仮にxより十分大きい領域でコラッツ数と非コラッツ数の割合が半々くらいになる、という結果が得られたらコレはかなり面白い。
上の結果を踏まえても、残念ながら、それはかなり望み薄だと思う。
例えば1兆程度のある奇数に到達する数の出現頻度なら、多分、１兆分の１を大きく超えるオーダーになることは
ないように思える。
もちろんただの類推なので、そうならない可能性も完全に否定できるわけではないが。

>>138 の検証をもう少し進めてみた

-------5:----940:---9395:--93679:-938003:9378361
------21:------1:------1:------1:------1:------1
------85:-----23:----255:---2412:--23743:-237828
-----341:-----35:----343:---3842:--37687:-377838
----1365:------1:------1:------1:------1:------1
----5461:------0:------2:-----13:-----78:----830
---21845:------0:------3:-----50:----448:---4810
---87381:------0:------0:------1:------1:------1
--349525:------0:------0:------1:-----36:----311
-1398101:------0:------0:------0:------2:-----15
-5592405:------0:------0:------0:------0:------1
22369621:------0:------0:------0:------0:------3
89478485:------0:------0:------0:------0:------0

次はこれをどう数式化するか、だな

なるほど、確かに望みは薄いですね。
もうすこし条件を強くして、xは非コラッツでかつループせずに無限に上昇していく、
と仮定したらどうかと考えてみたのですが、それでもやはり望みは薄そうですね。
残念。

やれることもだんだんなくなってきた感じですが。
今こんなことをやってます。

2^x+1という数字からはじめてそれにコラッツの操作をかけていき、一行につき一つその数字を2進表示させます。
このとき数字は右揃えになるようにします。
そうするとその表示の0と1がなんだか図形のようにみえます。
sin波をいくつか重ねたような図形でしょうか？

Rubyでのプログラムは以下になります。

class Integer
def collatz_next()
return nil if self==1
return self/2 if self%2==0
return self*3+1
end
end

x=0x1000000000000000000000000000001
i=0

while x
y=x
printf("%4d : %130b\n",i,y)
i+=1
x=x.collatz_next
end

Maximaってグラフも簡単、綺麗に作成できるんですねぇ。
Maxima便利だよMaxima。
しかしグラフ化してみてもコラッツに構造らしい構造は見当たらず。
さすが未解決問題だけのことはある。

役に立たないかもしれないが、気づいたことを書きこんでおく

コラッツの操作の「３倍して１加える」のところを「３倍して１引く」に変形したものを
3n-1型コラッツ問題と呼び、元のコラッツ問題を3n+1型コラッツ問題と呼ぶことにする
また、それぞれの関数をcollatz-next[3n-1](x)とおき、元のコラッツの関数をcollatz-next[3n+1](x)とおく

10000000までの3n-1型コラッツ数列を調べたところ、すべて以下の３つのループにたどりつく
（A）1,2,1　（B）5,14,7,20,10,5　（C）17,50,25,74,37,110,55,164,82,41,122,61,182,91,272,136,68,34,17
そこで、3n-1型コラッツ数列はすべてこの３つのループにたどりつくか？という予想が立てられる

3n+1型コラッツ操作と3n-1型コラッツ操作の間には次の関係がある

　　　collatz-next[3n-1]( - x ) = - collatz-next[3n+1]( x )

したがって3n+1型コラッツ操作を整数全体に拡張すると(D)1,4,2,1　の他に、(E)0,0
および、上の(A)(B)(C)の符号をすべてマイナスにしたものの計５つのループが存在することになる

さらに、コラッツの操作の「３倍して１加える」のところを「１加えて３倍する」、「１引いて３倍する」に
変形した3n+3型コラッツ、3n-3型コラッツも考えられ、これらの間には次の関係がある

　　　collatz-next[3n+3]( 3 x ) = 3*collatz-next[3n+1]( x )
　　　collatz-next[3n-3]( - x ) = - collatz-next[3n+3]( x )

32n+7,
32n+15,
32n+27,
32n+31
だけ検証すればいいって聞いたんですけど、本当ですか？

age

２w

ところで３ｎ＋１　を５ｎ＋１とかにした変形バージョンの検証とか誰か
してんの？

試しに5*n+1のコード書いてみたらcollatz(5)でスタックオーバーフローしたぞ
5 26 13 66 33 166 83 416 208 104 52 26でループ

ループか・・

>>147
もっと一般的な形で研究もされていて、それに対する未解決な予想もやはりある。
まあよくある話だ。

　 　 　 　 　 　 　　　　　,r‐-､
　 　 　 　　　　　　　　　　（　ﾍ　l
　 　 　 　　,r-、 　 　 　 　 ｀ｰﾍ│
　　　　、 〈_｝⊥_ 　　　　　　　　l |
　 　 　ヽソ 　　　｀r=＝ｉｉ　　　　l |
　 　　r'´, . . .,ィ)´} 〉　　》-─-､j |
　　　　〉ｰ‐､　￣´ 二ニ---､ 　Y
　　_,,.-Li_,.く｀jヽ、 　; 　￣￣ 　　l､
　そu-─‐-(とィ_,. -, 　　. . . . . 　　ヽ
　 　 　 　　　￣　_,/ 　／-─へ_ . . . 〉
　 　 　 　　　　　'-ｧ／ 　 　 　 <ﾝﾚｖ'

しかし、これってものすごくマイナーな分野だな。
まともな研究者でこれをやってる人いないだろ。

>>151　それはコラッタ

5n+1だと7が爆発と予想される

この何桁かの組み合わせが消せればコラッツの問題は解ける
6桁の組み合わせが右に寄せることが出来るなら
　 110011
　 110011
10011001
1011011001
解は存在しない
上位の桁が変化したところで、'3'の掛け算に、何ら影響はないし
気になるなら組み合わせが変わったと考えればいい

>>155
とりあえず数学の言葉にしてくれ

>>155
たしかに、何を主張してるかよくわからない。
だが、まるっきりでたらめを言ってるようにもみえないし。
まずは右に寄せるってのはどういうことかもうちょっと説明してくれ。

思わせ振りなデタラメにも見える

過疎ってるなー
これってこの操作を繰り返すと必ず1に収束していくんだから2^nになるんだから2^nになるって証明じゃ駄目なのか？
キチガイ発言してたらすまん

天才あらわる

2進表記したときに現れる1の個数の変化に着目しようとしてるのか
まあ難しいんだろどうせ

やべ、なんか色々と文章的におかしいw
訂正
これってこの操作を繰り返すと必ず1に収束していく過程で2^nになるんだから2^nになるって証明じゃ駄目なのか？

えーよ

まあ1にしろ2^nにしろ難しさはかわらんだろうけどな

>>144
俺も「任意の数は有限回のステップで自身より小さくなる」
ってのを証明しようとした時に同じのが出てきたな
何ステップ先まで見るかによっていくらでも条件を強くすることができるが、
その分場合分けが多くなる
8ステップ先まで見たのがそれ。
次に強いのは12ステップ先まで見たもので、
128n+a
の形が13通り

計算機使ったらどの程度のステップまで見積もれるんだろうか
ステップ数の増加はEXPTIMEだろうから
12ステップでも相当な計算量だろね

>>165は12じゃなく11ステップだった
ちなみに>>165のやり方をもう少し詳しく言うと、

任意の数が有限回のステップで自身より小さくなることを示したい。
偶数は、1ステップで自身より小さくなる
残りの奇数のうち、4n+1の形のものは、3ステップで自身より小さくなる
残りの数を16n+3,16n+7,16n+11,16n+15で分けると、
16n+3の形のものは6ステップで自身より小さくなる
これを繰り返せば、調べるべき数を次々と減らすことができる。

>>166
ステップ数は2〜3ずつ増える
残りだけを考えていけばいいから、計算量はそこまで多くないのでは？

ある自然数Ａが、ｎ回のコラッツ操作で自身より初めて小さくなるとする。
そのとき、２＾ｎ＋Ａも同様に、ｎ回のコラッツ操作で自身より初めて小さくなる。

ただし、コラッツ操作の定義は少し変化させて
偶数→半分
奇数→３倍＋１　後　半分
までを１ステップとする。
つまり、奇数の次は必ず偶数なのは知ってるから、その次に半分にするとこまでやっちゃおう、ということ。

例：３→５→８→４→２
　　１９→２９→４４→２２→１１

>>167
167のいう16n+3がまさにこれで、3は4ステップで初めて小さくなるから、
2^4n+3も4ステップで必ず小さくなる。


全ての自然数に対して有限回の操作で自分より小さくなることが言えれば、
あとはループなしを証明するだけなんだけどな。

ついでに書くと
1 5 9 13 17 21
3 11 19 27 35 43
7 23 39 55 71 87
15 47 59 111 143 175
31 95 159 223 287 351

と並べてみる。
1行目　1 5 9 13 17・・4n+1は1回のコラッツ操作で偶数になる。
2行目8n+3は2回、n行目ならn回。
n行目とn-1行目の関係は2倍+1
全ての自然数はこの表に一度のみ出現する。

この表の中からペアをみつける。
奇数列目のペアは、奇数行目とすぐ下の偶数行目
1列目なら、7-15とか、31-63とか
偶数列目のペアは、偶数行目とすぐ下の奇数行目
2列目なら、11-23とか、47-95とか

このペアは1ステップ差で１になります。
2つの数字を同時にコラッツ操作していき、数字をおっていくと
しばらくは2倍+1の関係を保って進み
あるところで同じ値になり、以降同じ進み方をするのがわかります。

例：
7 11 17 26 13 20 10 5 8 4 2 1
15 23 35 53 80 40 20 10 5 8 4 2 1

また、169の表で
(i,j)の位置にある数字は、次のコラッツ操作で
(i*3-1,j-1)の位置の奇数になります。

例：(2,3)は23。次の値は35です。
　　35は(5,2)にあります。

各行の数列式を考えていただければ理由は分かります。
16n+7→24n+11＝8(3n-1)+3

ふと思ったんだが、2^nの代表格、
トーナメント表を使うと、何かアイデアが湧かないだろうか。
不戦勝が出るトーナメント表を3倍+1していくと…

>>168
自身より小さくなることを示せば自動的にループも無くなるんじゃない？

>>173
忘れていました！確かにそうですね。



とりあえず考えていたことを列挙してみました。
何かヒントにならないでしょうか。

コラッツの予想は実はリーマン予想と等価。

>>174
>>170と>>171によって関連付けられた数同士を線で繋いでいけば
面白い形になりそう。
さらに、ある数が1になることが分かれば線で繋がってる全ての数が
1になることが分かるな。

ところで、>>170って証明できるんかい？

>>176
170は証明できますよ。今外出してるので夕方書きますね。

27からはじめて1になるまでには112個の数が出てくる
となると、省略なしで1ステップずつ進めた場合は
少なくとも111ステップは必要になる

コード組んで調べてみたが
最長シーケンス
10まで　19
100まで　118
1000まで　178
10000まで　261
100000まで　350
1000000まで　524

とまぁ、logのオーダぐらいでずっと増えていく
これが収束するならば>>167の方針でもいつかは解けるかもしれないが・・

ちなみに100までの数であれば
97スタートで118ステップになる

検索したらこれがヒット
少なくとも704までの長さを持つ数は見つかっているようだ
ttp://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html?q=0+19+118+178+261+350+524&language=japanese&go=%E6%A4%9C%E7%B4%A2

>>178
俺自身、あれだけで解けるとは思ってないさ

せっかくだから>>167の続きを

まず、なぜ4nから16nにとんでいるのか？
また、それぞれに対するステップ数はどう求めるのか？
これらは、次のように「見積もる」ことができる。

3倍した数を元の数より小さくするには、2で2回割ればよい。
9倍した数を元の数より小さくするには、2で4回割ればよい。
このように、3^n<2^mとなる最小のmを選んでいく。

ある数aが自身より小さくなる過程で、*3+1をn回行ったとき、
+1の分の誤差を無視すれば、
2で割った回数はm回であると考えられる。
また、aでない数がaと同じ過程をたどる必要十分条件は、
その数が2^m+aと表されることである。

よって、各mに対して2^m+aの形をn+mステップ先まで調べればよい。

4n+1の形の数は、
*3+1→/2→/2
という過程をたどる。
16n+3の形の数は、
*3+1→/2→*3+1→/2→/2→/2
という過程をたどる。
これらを、連続で2で割る回数を並べることで略記する。
4n+1なら２
16n+3なら１,３となる。

16n+3を除いたら次は32n+aの形の6通りを調べるが、
直接計算しなくても、除かれる個数を求めることができる。

32n+aの形の数が自身より小さくなる過程は、
上の論証より、*3+1を3回、/2を5回で構成される。
よって、過程を略記すると、和が5であるような3数になる。
ここで、第1項が2以上なら、その時点で自身より小さくなる。
第1項が1で第2項が3以上なら、これも自身より小さくなる。
これらの条件から、ありうる略記は
１,１,３
１,２,２
の2通りである。
よって、これらに対応する2通りが除かれる。
残りは32n+aが4通り、すなわち、128n+aが16通りである。

同様に、128n+aに対してありうる略記を考えると、
１１１４
１１２３
１２１３
の3通りであるから、16通りのうち3通りが除かれる。

このように、考えうる略記の個数を調べれば、その段階で除かれる個数がわかる。

>>165-167
の考えをプログラムしてみた。

4n+1 → 3n+1 (step 3)
4n+3 → × 9n+8 (step 5)
4n+a 1通り (25.0%)
8n+3 → × 9n+4 (step 6)
8n+7 → × 27n+26 (step 7)
8n+a 2通り (25.0%)
16n+3 → 9n+2 (step 6)
16n+7 → × 81n+40 (step 9)
16n+11 → × 27n+20 (step 8)
16n+15 → × 81n+80 (step 9)
16n+a 3通り (18.8%)
32n+7 → × 81n+20 (step 10)
32n+11 → 27n+10 (step 8)
32n+15 → × 81n+40 (step 10)
32n+23 → 27n+20 (step 8)
32n+27 → × 243n+214 (step 11)
32n+31 → × 243n+242 (step 11)
32n+a 4通り (12.5%)

×は小さくならずに終わったものです。

（つづき）
4n+a 1通り (25.0%)
8n+a 2通り (25.0%)
16n+a 3通り (18.8%)
32n+a 4通り (12.5%)
64n+a 8通り (12.5%)
128n+a 13通り (10.2%)
256n+a 19通り ( 7.4%)
512n+a 38通り ( 7.4%)
1024n+a 64通り ( 6.3%)
2048n+a 128通り ( 6.3%)
4096n+a 226通り ( 5.5%)
8192n+a 367通り ( 4.5%)
16384n+a 734通り ( 4.5%)
32768n+a 1295通り ( 4.0%)
65536n+a 2114通り ( 3.2%)
131072n+a 4228通り ( 3.2%)
262144n+a 7495通り ( 2.9%)
524288n+a 14990通り ( 2.9%)
1048576n+a 27328通り ( 2.6%)
2097152n+a 46611通り ( 2.2%)

2^n+aの形だけじゃなくて、3^n+aの形についてなんか考察ないすか？

すまん、間違え。
2^i*n+aの形じゃなくて、3^i*n+aの形についての考察ないすか？

盛り上がってるスレにはβがくるという事で…
ココだとβ煽りもこなさそう…

命題は、2^n-1と2^n+1（nは任意の整数）が予想を満たす
とも言い換えられる気がするんですが、どうでしょう？

age

170の証明をしますが、その前に一つ押さえておきたいことがあります。
3^k-1を4で割ったあまりについてです。

この数列は
2 8 26 80 242 728・・・と続いていきます。
4で割った余りをとると
2 0 2 0 2 0・・・
kが奇数なら2で割り切れ、4で割り切れない。
kが偶数なら4以上の2の累乗で割り切れる。といえそうです。

2 8 26 80 242 728・・・はよくみると
An+1＝An *3 +2
となっているので、これは正しいですね。

後で使います。

さて、170の表です。
k行目の左から奇数番目(2n+1)の値は
2^(k+2) *n + 2^k -1
で表せます。(k=1,2,3...)(n=0,1,2...)
n=0,1,2...とすることで式中に初項が含まれるので楽です。

まず奇数行目に注目しましょう。
kを2k-1に置換し、コラッツ操作をしていきます。

　2^(2k+1) *n + 2^(2k-1) -1
→（奇数2k-1回）3^(2k-1) *2^2 *n + 3^(2k-1) -1
→（偶数1回）3^(2k-1) *2 *n + (3^(2k-1) -1)/2
→（奇数1回）3^2k *n + (3^2k -1)/4
ここで、3^(2k-1)-1は4では割り切れない偶数であることを使いました。

次に、ペアとなる数、つまり
2k行目の奇数番目の値を同様に考えましょう。
　2^(2k+2) *n + 2^2k -1
→（奇数2k回）3^2k *2^2 *n + 3^2k -1
→（偶数2回）3^2k *n + (3^2k -1)/4
ここで、3^2k -1は4で割り切れることを使いました。
答えが一緒になりました。これが合流点です。

2k行目偶数番目と2k+1行目奇数番目のペアも同様の考え方でできます。

>>181
〜通り　の定義と数え方、率の出し方がよくわからないのですが教えていただけますか。

>>185について誰か何か言ってよ
2^n-1,2^n+1,2^nの中に全ての数が含まれるとかいう
アホみたいな意味で言ってないからさｗ

理由言えば反応してもらえるた思うよ

全ての数字から出発する、
ある簡単な規則に従う折れ線グラフを描いてみたんだが、
すると、2^n付近の数から出発する２つの数が描くグラフが、
対照的な形になった。

全ての「整数」ね

簡単な規則って何

全部いっぺんに言えばいいのにどうしてこういう要領を得ない会話するの

そだな。
とりあえず、グラフをアップしろよ。

いや、需要があるかどうか、試してみた。
なければ書かないつもりだったが、
意外とありそうなので、書いてみる

グラフに関しては、
関数を表示させるソフトはあるが、
ある座標を打って、それらを繋ぐソフトというのが、いくら探しても見つからない。

てことでペイントで作成する。（自分で紙に描いたのだがこれは見にくい

エクセルの散布図とどうちがうのか

散布図って、x座標に沿ってy座標を打っていくものだったと思うんだが、
x=1のとき、y=a,b,c,…と。
x,y同時に値が入れられるものがいいんだが。

>>181
サンクス！
そこまでやると2.2%まで減るのか
でも場合分けは4万通り…

これって証明に使えるかは分からんけど、
しらみつぶしに調べる時の効率アップに使えると思うんだ。
2097152n+aまで見れば、全体の2.2%だけ調べればいいことになるから、
全部調べる時の約45倍の速さで調べられる。

あと、>>170の証明も乙！
思ったより長くて驚いたｗ
>>176の線も誰か描いてくんないかなぁ…

ところで、>>179-180って誰かに理解されてるんだろうか？
読み返してみたらすげぇ分かりづらかった…orz

とりあえず途中まで
点をプロットして、別ファイルで保存してたが、途中で面倒になってやめた
思いつきだから、単純な事かも知れないが、
まぁ何かの参考になるだろう
http://koideai.com/up/src/up23600.jpg

規則はまぁ〜何となく分かるかな。
明日ぐらいに説明するわ。
とりあえずグラフをもうちょい描いてみる。

http://koideai.com/up/src/up23604.jpg
１４まで書いたが、ループがあるからほとんど変わらない。

>>201
あいかわらず、何を言ってるのかさっぱりわからん。
散布図そのものは、(x,y)の組を表す点だけを打っていくもの。
Excelには、その散布図のバリエーションとして、
(x,y)の組の表す点を順番に線で結んだ図を描くというものがあるのだが。

一応Excelの名誉のために言っておく。
べをスルーできなかった件については謝る。

>>165
完全に理解したよ！
といっても、たまたま似たような考え方をしていたんだ。
168はそのとき見つけた。
同じ過程をたどった結果、168のように、自身より小さくなるよね。

線は書いてみてもいいけど、あまり意味なかったよ。


>>204
逆にたどっていって、xy軸に交互にプロットしていったんだね。
この2例ではなると思う。数式的に。
他の例があるならみたい。

もうあきらめてROMにまわってましたが、新しいネタがきてますね。
Maximaならかなり自由に図が作れたと思いますよ〜。
Maxima便利だよMaxima.
ぜひお試しあれ。

>>170
おおっ、理解できたか！良かった。
線はあまり意味無かったか…


>>180で導入した略記が使えそうなので、掘り下げてみる。

ある数nが1になるまでの過程で、連続で2割る回数を並べたものを、
「nの割数列」と呼ぶことにする。
例えば3のコラッツ数列は、
3,10,5,16,8,4,2,1
であるから、割数列は
1,4
となる。
7のコラッツ数列は
7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
であるから、割数列は
1,1,2,3,4
となる。

異なるコラッツ数列からは、異なる割数列が得られる。
よって、割数列は、コラッツ数列を簡略化したものと見なせる。
また、割数列が与えられれば、1から逆算することで
コラッツ数列を復元することができる。

あ、割数列は3以上の奇数に対してのみ考えるとします。

現在、与えられた数列がある奇数の割数列になっているための条件を考え中。

例えば、
割数列の末項は4以上の偶数になる。
割数列の末尾が4なら、その一つ前は奇数
etc

今考えていること

逆たどり
ルール
�@1からスタート
�AAn+1はAnの値次第
　An *2 -1が3で割り切れてかつ3でなければ、An+1 = (An *2 -1) /3
　このときのAnはリスト化しておく。
�B�AがダメならAn+1 = An*2
�CAnが3の倍数ならストップ

1 2 4 8 5 3

簡単に止まっちゃいます。
この数列を第一世代とします。

止まったら、�Aでリスト化した値から再出発。まずは2倍から。
8 5がスタートですね。
8 16 32 21
5 10 20 13 26 17 11 7 14 9
第二世代とします。

繰り返します。


各数字が第何世代に含まれるか、パッと分からないかなとか
なんか面白いことわかんないかな、と思ってやってます。

気になる方。
雑多に書き上げたエクセルマクロ。分割。

Sub kora()
Dim Cnt As Long
Dim a() As String
Dim MNum As Long
Dim Ret As String
Dim Cnt2 As Long

Cnt2 = 1
Wrt 0, 0, Cnt2
Wrt 1, 0, 1
Cnt = 1
Ret = Summ(1, Cnt)
Ret = Mid(Ret, 1, Len(Ret) - 1)
a = Split(Ret)
Cnt = Cnt + 1

Do Until Cnt > 1048576
Cnt2 = Cnt2 + 1
MNum = UBound(a)
Wrt 0, Cnt, Cnt2
Wrt 1, Cnt, MNum + 1
Cnt = Cnt + 1
Ret = ""
ReDim Preserve a(MNum)
For i = 0 To MNum
Ret = Ret & Summ(a(i), Cnt)
Cnt = Cnt + 1
If Cnt Mod 100 = 0 Then
DoEvents
End If
Next i
Ret = Mid(Ret, 1, Len(Ret) - 1)
a = Split(Ret)
Loop

End Sub

Function Summ(ByVal Num As Long, Lin As Long) As String
Dim tmpl As Long
Dim Cnt As Long


Wrt Cnt + 2, Lin, Num
Cnt = Cnt + 1

Num = Num * 2
Wrt Cnt + 2, Lin, Num
Cnt = Cnt + 1

Do While Num Mod 3
tmpl = Num * 2 - 1
If tmpl Mod 3 = 0 And tmpl <> 3 Then
Summ = Summ & Num & " "
Num = tmpl \ 3
Else
Num = Num * 2
End If

Wrt Cnt + 2, Lin, Num
Cnt = Cnt + 1
Loop

End Function

Function Hexx(i As Long, j As Long) As String
Dim tmps As String
tmps = " ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
Hexx = Mid(tmps, (i \ 26) + 1, 1) & Mid(tmps, (i Mod 26) + 2, 1) & (j + 1)
End Function

Function Wrt(i As Long, j As Long, Num As Long)
Range(Hexx(i, j)).Select
ActiveCell.FormulaR1C1 = Num
End Function

4つ全部つなげてマクロ欄にコピーしてもらえれば。
オーバーフローするまで逆にたどり続けますよ。

連投すみません。

>>211
面白そう！それがわかれば大分進む気がする。

>>211は面白そうだね
>>80も言ってるけどプログラム組むのにmaxima便利だよ

コラッツ樹を求めるプログラム
(コラッツ樹でググれば最初にヒットするPDFの木をプログラム化してみた)
clz(x):=if x=1 then [1] else if mod(x,2)=0 then cons(x,clz(x/2)) else cons(x,clz(3*x+1));
c1(x):=ratsimp(x/2);
c2(x):=ratsimp(3*x+1);
evenf(x,n):=if n=0 then [c1(x),c2(x)] else flatten([c1(evenf(x,n-1)),c2(oddf(x,n-1))]);
oddf(x,n):=if n=0 then c1(x) else c1(evenf(x,n-1));
col(x,n):=evenf(x,n-1);

x=3の場合を実行
col(x,3);
結果
[x/8,(3*x+1)/4,(3*x+2)/4,(3*x+4)/4,(9*x+5)/2]

これを使えば周期nのループを持つか判定することが出来る
s(u):=rhs(solve(u=x,[x])[1]);
trys(num):=sublist(map(s,col(x,num)),lambda([x],featurep(x,integer) and x>0));
trys(3) /* 周期3のループを持つか */
結果
[1,2,4]
コラッツ問題には1->4->2->1を除いてループは簡単には見つからないけど
コラッツの亜種は簡単にループが出来るのがわかる

（予想）
割数列の末項が
6n-2⇔一つ前は奇数
6n⇔一つ前は無い（21や1365などの割数列）
6n+2⇔一つ前は偶数
帰納法とかで簡単に示せそうだけど、まだやって無い

定義からは外れるが、試しに>>143にある
5つのループの割数列を見てみる
1,4,2,1→2,2,2,2,…
0,0→∞
-1,-2,-1→1,1,1,1,…
-5,…,-5→1,2,1,2,1,2,…
-17,…,-17→1,1,1,2,1,1,4,1,1,1,2,1,1,4,…（周期7でループ）

>>219
プログラムはよく知らないんだよなぁ…
ちなみに、それって無料？

2^n*i-1の割数列⇔最初に1がn-1個並び、第n項は1でない
（iは奇数）
左⇒右は簡単に示せる。
逆も帰納法で証明できる。

（予想）
ある数列が割数列ならば、
その任意の項に6の倍数を加えたものも割数列、
任意の項から6の倍数を引いたものも割数列である。
ただし、各項が正になるようにする
さらに、6の倍数以外を加減したものは、割数列にならない

例
7の割数列は
1,1,2,3,4
であるが、例えば
1,7,2,3,4
が割数列となる奇数が存在する
（実際、483がそうである）
しかし、例えば
1,1,3,3,4
が割数列となる奇数は存在しない。
（逆算すれば分かる）

3の倍数の割数列は、これ以上伸ばすことができない。
これを完全割数列と呼ぶことにすると、
長さ1の完全割数列は
｛6｝,｛12｝,｛18｝,…
長さ2の完全割数列は
｛1,4｝,｛7,4｝,｛13,4｝,…
｛4,8｝,｛10,8｝,｛16,8｝,…
｛3,10｝,｛9,10｝,…
　：
　：

やってみて気付いた。
完全割数列｛1,4｝に対して、第2項に6を加えた｛1,10｝は
227の割数列であるが完全割数列ではない。
6の倍数による加減は、完全割数列を完全割数列にうつすとは限らない
ということが分かった。


ところで、
2^n*i-1の割数列は1がn-1個並ぶ
-1の割数列は1が無限個並ぶ
この関係は面白いと思う。

>>220
この予想は(意味を取り違えていなければ)全て誤り
反例
[20,10,5,16,8,4,2,1] = [2,4]
[42,21,64,32,16,8,4,2,1] = [1,6]
[170,85,256,128,64,32,16,8,4,2,1] = [1,8]

また、反例は無限に存在する。以下が生成式
2^(偶数)*(2^(6*n+4)-1)/3;
2^n*(2^(6*n)-1)/3
2^(奇数)*(2^(6*n+2)-1)/3;

>>222
これもどういう意味でのばすことが出来ないと言っているのかわからないけど
左にも右にものばせる反例がある
42=[1,6]
320=[6,4]
ので完全？じゃない

>>220の生成式を使えば
長さ2の割数列に関してはは任意の自然数の組を作り出せる
しかし、長さ3以上にはおそらく制限がある

思うように進まないな…
細かいルールはいくらでも挙げれるんだけど…
末尾が…,3,4ならその前は偶数、しかもどんな偶数でも入りうる。
末尾が…,5,4ならその前は奇数、しかも（以下同様）
末尾が…,2,3,4ならその前は奇数、しかも（以下同様）
等々…
もっとこう、一言でスパッと表したいね。
とりあえず、
末尾の何項かが与えられれば、その一つ前に入りうるの数は
(i)全ての奇数
(ii)全ての偶数
(iii)なし
のいずれかである。
これは成り立つと思う。
ちゃんと証明したわけじゃないけど、多分やればできる。

後、maximaはフリーなのでこれを機に是非さわってみると良いよ
↓ダウンロード先
ttp://sourceforge.net/projects/maxima/files/

165氏の割数列を実際に計算する関数を書いたのでご参考

col(x):=if x=1 then [] else if mod(x,2)=0 then cons(x,col(x/2)) else cons(x,col(3*x+1));
even(l,acc):=if l=[] then acc else if evenp(first(l)) then even(rest(l),cons((1+first(acc)),rest(acc))) else odd(rest(l),cons(0,acc));
odd(l,acc):=if l=[] then acc else if evenp(first(l)) then even(rest(l),cons((1+first(acc)),rest(acc))) else odd(rest(l),acc);
divarrayfromlist(l):=if l=[] then [] else if evenp(first(l)) then reverse(even(l,[0])) else reverse(odd(l,[0]));
divarray(n):=divarrayfromlist(col(n));
for i:1 thru 10 do print("array",i," = ",divarray(i));

divarray(7)とやると
[1,1,2,3,4]
となる

何でまてまちかと違って日本語じゃないんだ・・・

>>223-224
おおおっ！プログラムｔｈｘ！
俺はあまりPCが使えない状況なんで、いろいろ試してくｒ…下さい！

それと>>211にも書いた通り、
割数列は3以上の奇数に対してのみ考えるってことで。
0,0のループだけはちょっと例外。

>>223と>>225だった

>>165
>>割数列は3以上の奇数に対してのみ考えるってことで。
なるほど、了解

俺は数学よりプログラムのほうが得意なので
アイデアのサポートとかで手伝うよ

改めて言っておくと、
ある数列が割数列であるってのは、1から逆算してある奇数にたどり着けるってこと。
例えば、｛2,4｝は割数列でない。
1から逆算すると、
1←2←4←8←16←5←10←20←○
○には、3倍して1足すと20になる奇数が入るはずだが、
そのような数は存在しない。
よって、｛2,4｝は割数列でない。
それと、>>222の伸ばすってのは左に伸ばすことね。
右に伸ばしたらどうなるんだろう？
これは考えて無かった。

>>229
割数列からコラッツ数列を復元するプログラムとかもできたりしないかな？かな？

右に伸ばすことを考えてたら、こんなのが出てきた。

（予想）
任意の数列は、末尾に適当な数を一つ並べることで、
割数列にすることができる。
（元の数列が割数列であるかどうかは関係ない）

例えば、｛2,4｝は割数列でないが、
｛2,4,14｝とすれば、これは38833の割数列である。
また、｛1,4｝は3の割数列であるが、
｛1,4,20｝とすれば、これも1242755の割数列である。

割数列から伸ばしても、新たに作られる割数列は全く別物になる。

あ…
｛2,4,14｝は割数列だけど、｛2,4,8｝は割数列でない。
これは>>221の予想の反例ですね。
>>221の予想を次のように修正します。

ある割数列に対して、
初項に偶数を加減したもの、
第2項に6の倍数を加減したもの、
第3項に18の倍数を加減したもの
…
第n項に2*3^(n-1)を加減したもの
は割数列となる。
（ただし、各項が正、末項は4以上になるようにする。）
さらに、ある一つの項にこれ以外の加減をしたものは割数列でない。

>>221と>>222で使った例は、第2項に6を加えているので、
改めて修正する必要はない。

割数列をプログラムしてみた。

[3]{1,4}
[5]{4}
[7]{1,1,2,3,4}
[9]{2,1,1,2,3,4}
[11]{1,2,3,4}
[13]{3,4}
[15]{1,1,1,5,4}
[17]{2,3,4}
[19]{1,3,1,2,3,4}
[21]{6}
[23]{1,1,5,4}
[25]{2,1,3,1,2,3,4}
[27]{1,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[29]{3,1,2,3,4}
[31]{1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[33]{2,2,1,3,1,2,3,4}
[35]{1,5,4}
[37]{4,1,1,2,3,4}
[39]{1,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4}
[41]{2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[43]{1,2,2,4,1,1,2,3,4}
[45]{3,2,3,4}
[47]{1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[49]{2,4,1,1,2,3,4}

3から百万-1までの奇数の割数列に出てくる数値をカウントしてみた。
end=は最後に出てくる数値のみのカウント。

[ 1]=11504824回　end=0回
[ 2]=5504671回　end=0回
[ 3]=2852508回　end=0回
[ 4]=1475188回　end=468994回
[ 5]=681330回　end=0回
[ 6]=261901回　end=1回
[ 7]=124705回　end=0回
[ 8]=44613回　end=11811回
[ 9]=25752回　end=0回
[10]=11434回　end=18909回
[11]=4750回　end=0回
[12]=2711回　end=1回
[13]=1064回　end=0回
[14]=201回　end=41回
[15]=646回　end=0回
[16]=46回　end=220回
[17]=13回　end=0回
[18]=33回　end=1回
[19]=1回　end=0回
[20]=0回　end=20回
[21]=0回　end=0回
[22]=0回　end=1回
[23]=0回　end=0回
[24]=0回　end=0回
[25]=0回　end=0回

>>233-234
乙。maximaのコードはスタック使ってるからこんな大きな数は計算出来ない

>>230
復元するプログラムを作った。>>225とセットで使う
なお、最初奇数に制限しているとは思わなかったので
[5]=[16,8,4,2,1]=[5,16,8,4,2,1]と2通り解釈できるとして
それぞれに復元する版を作った
lst2colが奇数列に対して
lst2evenが偶数列に対して正しく動く

/* 割数列の復元 */
c1(x):=ratsimp(x/2);
c2(x):=ratsimp(3*x+1);
fn(f,n,g):=if n=0 then g else f(fn(f,n-1,g));
c3(n,x):=ratsimp(fn(c2,1,fn(c1,n,x)));
lst2polyaux(lst,f):=if lst=[] then f else c3(first(lst),lst2polyaux(rest(lst),x));
lst2poly(lst):=if lst=[] then [] else fn(c1,last(lst),lst2polyaux(rest(reverse(lst)),x));
lst2num(lst):=if lst=[] then [] else rhs(solve(lst2poly(lst)-1)[1]);
trim(lst):=if lst=[] then [] else if integerp((first(lst)-1)/3) then cons((first(lst)-1)/3,lst) else lst;
lst2col(lst):=if lst=[] then [] else trim(col(lst2num(lst)));
lst2coleven(lst):=if lst=[] then [] else col(lst2num(lst));
for i:1 thru 10 do print(lst2col(divarray(2*i-1)));
/* 偶数列
for i:1 thru 10 do print(lst2coleven(divarray(2*i)));
*/

実行結果
[]

[3,10,5,16,8,4,2]

[5,16,8,4,2]

[7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2]

[9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2]

[11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2]

[13,40,20,10,5,16,8,4,2]

[15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2]

[17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2]

[19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2]

個別にやるなら
lst2col([1,1,2,3,4]);
結果は
[7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2]
末尾の1は省略している

>>233-234
ふむふむ…
数が増えるごとに出現回数が大体半分ずつになってるな。これは驚いた。
1が2の10倍くらいでダントツかと思ってた。
数が大きくなると乱れてきて、14-15,17-18に至っては逆転している。
調べる範囲を広げれば解消されるんだろうか？
末尾が4以上の偶数というのも確かめられたな。

>>235-236
おおっ、出来てる！サンクス！
これって割数列にならない[2,4]とか[1,2,3]とかを入力したらどうなんの？

ところで、割数列の表記は統一したほうがいいのかな。
プロクラムの方にあわせて、今後は[]を使おうかな。

>>237
[2,4]ならば、20が偶数の割数列に対応するので[20,10,5,16,8,4,2]
[1,2,3]はちょっとややこしくて
今使ってるアルゴリズムは、まず[1,2,3]に相当する変換を行う関数を計算する
この場合だと[1,2,3]に対しては
c1(x)=x/2
c2(x)=3x+1
として
c1(c1(c1(c2(c1(c1(c2(c1(x))))))));
を計算し(9*x+4)/64という関数を計算する
(例えばc2(c2(x))=3(3x+1)+1=9x+4)

数xにこの合成関数を適用したら1になるので
(9x+4)/64=1という式を解いて50/9

正しい割数列ならこれは整数になるが
今の実装は有理数でも動くので
50/9に対する割数列を出力する

[50/9,53/3,54,27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,
182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,
1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,
958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,
2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61
,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2]

あげ

>>238
なんとｗｗｗｗｗ
50/9は最初に*3+1を連続でやって、なんとか整数にしてるんだなｗ
これはこれで面白いけど、俺的理想は奇数がでるもの以外はエラー…かな。
そんなバージョンもできたらお願いします。
割数列とコラッツ数列を1対1に対応させたいのです。

とりあえずそれはまた今度にするわ
あと、50/9が動いているのは偶然だった
3*x+1を2回適用する仮定で結果が2の倍数になるのはxが整数の時だけだ

>>165
「末尾が4以上の偶数」は証明できるよ。
末尾の数字がnってのはつまり、2のn乗から1になるってこと。
2^n-1を3で割ったあまりは、まず2^n-1が
1 3 7 15 31 63・・・だから
1 0 1 0 1 0・・

つまり、nが偶数のとき、（2^n-1）/3なる奇数→2^n→1の流れになる。
ここで、n=2とすると　1→2→1となり、不適。
よって、nは4以上の偶数。

数式で解くのが好きだからそっちでサポートしようか。

>>241
是非是非どうぞ！
俺が自分で出来ればいいんだけどね。
最近忙しくて。それに、めんｄ…ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ

ところで、仮にも数学板なんで言わせてもらうと、
＞ つまり、nが偶数のとき、（2^n-1）/3なる奇数→2^n→1の流れになる。
これは、有限個の例から立てた予測でしかない。
ここの証明がきちんと欲しいな。

って、よく見たら170氏でしたか！
前に言ってた「世代」との関係も考えてみました。

第１世代に対応する割数列は[1,4]
ここから第２世代を求めるには、次のようにすればよい。
1.初項に2を加える（[3,4]）
2.完全割数列になるまで、左に1または2を並べる。（[2,1,1,1,3,4]）
これで、第２世代に対応する数列の一つが得られる。
さらに、
3.元の数列から初項を除く（[4]）
4.第２項を初項とみなし、1,2と同じことをする。（[6]）
これで、第２世代に対応する２つの割数列が得られた。
これを繰り返せば、任意の世代を求めることができる。

>>241
＞つまり、nが偶数のとき、（2^n-1）/3なる奇数→2^n→1の流れになる。
＞ここで、n=2とすると　1→2→1となり、不適。
n=2の時、2^n=4です。なので、1→4→2→1となります。
つまり[2]は1の割数列という事が出来ます。
＞よって、nは4以上の偶数。
>>234で割数列の末項が4以上となっているのは、「3以上の奇数に対してのみ考える」
という条件だからですね。

>>243の7行目
[2,1,1,1,3,4]でなく[2,1,1,2,3,4]でした。

>>242
書き忘れていました。
2^n -1
1 3 7 15 31 63…
は、よく見ると前項×２＋１の数列です。
2^(n-1) -1を2倍して1を足すと
2^n -1になりますね。
各項を３で割った余りを考えると
初項1
次項(1×2+1)mod 3 ＝0
次項(0×2+1)mod 3 ＝1
となって、1と0がループします。

世代が分かるのはすごい！

>>233-234 に末端のパターン毎のカウントを付けてみました。
量が多いので６以下のパターンのみ取り出してます。
もう少し大きい数値まで出したほうがパターンが判りやすいのですが、何せ膨大な行になるので。
０は無視してください。[... 0,0,3,4]→[3,4]の意味です。
[... 0,0,0,4] 1回
[... 0,0,1,4] 1回
[... 0,0,3,4] 1回
[... 0,2,3,4] 1回
[... 1,2,3,4] 222131回
[... 3,2,3,4] 1回
[... 5,2,3,4] 6248回
[... 0,4,3,4] 1回
[... 0,6,3,4] 1回
[... 2,6,3,4] 1回
[... 4,6,3,4] 2048回
[... 6,6,3,4] 151回
[... 0,0,5,4] 1回
[... 0,1,5,4] 1回
[... 1,1,5,4] 217172回
[... 3,1,5,4] 1回
[... 5,1,5,4] 7192回
[... 0,3,5,4] 1回
[... 0,5,5,4] 1回
[... 2,5,5,4] 1回
[... 4,5,5,4] 209回
[... 6,5,5,4] 177回
[... 0,0,0,6] 1回

１回しか出てこないのを除いた末項８のパターン。
１回を除かないほうがよかったかな・・・。
[... 2,3,2,8] 1610回
[... 6,3,2,8] 2127回
[... 8,3,2,8] 106回
[... 1,5,2,8] 5958回
[... 5,5,2,8] 73回
[... 7,5,2,8] 25回
[... 4,9,2,8] 29回
[... 6,9,2,8] 2回
[... 3,2,6,8] 204回
[... 5,2,6,8] 36回
[... 9,2,6,8] 6回
[... 2,6,6,8] 56回
[... 1,8,6,8] 317回
[... 1,1,8,8] 866回
[... 3,1,8,8] 170回
[... 7,1,8,8] 14回
[... 9,1,8,8] 14回
[... 2,5,8,8] 56回
[... 4,5,8,8] 54回

>>246
把握した。
世代がわかるっていうか、有限回の計算で第n世代の割数列が作れるってだけだけどな。

…って書こうとした矢先に、割数列から世代を求める方法を思い付いてしまった。
例えば>>233によると39の割数列は
[1,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4]
であるが、
>>243の作り方の逆を考えれば、
[2,1,3,1,2,3,4]
を割数列に持つ奇数は39の一つ前の世代に含まれる。
その前は、
[1,1,2,3,4]
その前は、
[1,4]
となる。これは第１世代であるから、逆に数えていくと、
39は第４世代に含まれることが分かる。

つまり、割数列から何回2を減らせるかを数えればよい。
数式で表すと、
ある奇数nの割数列が、[a_1,…a_k]であるとする。
(a_i)-1を2で割った商をq_iとおく。（q_iは整数。例えば、a_i=6ならq_i=2。）
このとき、m=q_1+q_2+…+q_kとおくと、
nは第m世代に含まれる。

27は第8世代か。案外小さいな。

>>247-248
乙です！
0が有るものが1回なのは当然か。割数列がただ一つに限られるからね。
それ以外で1回ってのは、長さ4の完全割数列か範囲がせまいからか、だな。
計算したら、そこにあるのは全部完全割数列だった。
あとは、単に数が大きくなると出現頻度が減るって感じか。

>>249
世代判定も割数列を使えばいいのか！さっくりできて感動した。
欲を言うと、ある自然数を与えられたとき、いきなり何世代めか分かるといいな。
もしくは、何世代めの数字はこれだ、っていきなり列挙できるとか。
その表し方が一意的に全ての自然数を表現できるならば、コラッツ証明おしまいだからね。

>>251
やっぱ最終目標はそこだよな〜
まあ、これで割数列と世代に関係があるってことが分かったから、
世代の方で何か新発見があれば、割数列にも応用できるかもしれない。
もちろんその逆も。

新しいことが思い付かないんで、そろそろ予想の証明でも考えようかな。
ここまでで俺が出した予想は
>>220,>>221→>>232,>>224,>>231
こんなとこか。

そのへんの予想は、割った余りを考えていけばすぐ分かるね。書くのが大変だけど。

個人的には>>222が気になる。
この表に数学的帰納法の考え方を多次元的に適用して、この割数列表が全ての３の倍数である奇数を一意的に表わせれば、全自然数についてコラッツは成り立つといえる。
全ての３の倍数である奇数のみ表わせばいいのは、このスレのどこかに載ってたな。

あ、もひとつ予想。
>>232の完全割数列バージョン。

ある完全割数列に対して、
初項に6の倍数を加減したもの、
第2項に18の倍数を加減したもの、
第3項に54の倍数を加減したもの
…
第n項に2*3^nを加減したもの
は割数列となる。
（ただし、各項が正、末項は4以上になるようにする。）
さらに、ある一つの項にこれ以外の加減をしたものは完全割数列でない。

これは>>232から一つずつずらしたものになっている。

>>253
なるほど。完全割数列にもっと注目した方がいいのかもしれないな。
長さ1の完全割数列は、[6]に上の操作を施したもの。
長さ2の完全割数列は
[1,4],[4,8],[3,10],[2,12],[5,16],[6,20]
に上の操作を施したもの。
これらを「基底」とでも呼ぼうか。
長さ3の基底は…あれ？何種類だ？
かなりの数になりそう。ちょっと考えなきゃわからないな。

>>254
基底なら、1,4と4,8だけでいいんじゃないかな？その他はその２つに2,6をn回足したものとして表せる。多分これが、完全割数列から完全割数列への移行操作の一つなんだね。
末項4と8の割数列の中で、各項最小であるもの(７以上がない)が基底と予想。

ミスった
長さ2の基底の4番目は[2,14]だな。

長さ3の基底は、第3項が4〜56の偶数のうち6の倍数でないものだから、18通り。
それぞれに対して第2項が6通り。
第2,3項が決まれば初項は一意に定まるから、
基底は全部で6*18=108通り。
多いな…もうちょっと絞れないかな。
それぞれの基底が具体的にどんな形なのかは、
いまのところ一つ一つ確かめていくしかない。
>>254以上の完全割数列同士の関係を見つけたいところだな。

>>255
おっと、読んで無かった。スマン。
でも、その操作だと[4,8],[2,14],[6,20]が成り立たんよ。

>>257
多分、基底候補もしくは完全→完全移行法がもっとあるんだと思う。帰ったら考えてみる。

予想、というか分かったこと。

長さ２の完全割数列→完全割数列の移行は・・

末項が6n-2　[2,6]を足す
末項が6n　　[0,6]を足す
末項が6n+2　[-2,6]を足す

また、[6,0]の加減もまた完全→完全移行操作である。

これを使えば
[1,4],[4,8],[3,10],[2,14],[5,16],[6,20]
の基底は最初の2つであることがわかる。

証明はめんどい・・希望があれば。

>末項が6n　　[0,6]を足す
これ、長さ１ですね。失礼しました。

>>259-260
いや、なんか流れが見えるからそういうの良いと思う。
長さ3だとどうだろう。
いくつか挙げると、
([0,1,4]),[4,3,4],[3,5,4],([0,7,4]),[2,9,4],[5,11,4],([0,13,4]),[6,15,4],[1,17,4]
([0,0,6])
[1,2,8],([0,4,8]),[4,6,8],…
[5,1,10],([0,3,10]),[6,5,10],…

どうやら第2項より初項でみた方が良さそう。
多分、
+[6,0,0]
初項が奇数→+[2,6,0]
初項が0→+[0,6,0]
初項が偶数→+[-2,6,0]
は完全→完全の操作になる。
後は第3項が絡む操作がどれだけあるか、だな。

さて、一つ証明ができた。
とりあえず>>224を証明すれば後が楽そうなんで、まずはこっから。

k個の数a_1,…,a_kが与えられて、さらに
[a_1,…,a_k]は一つの割数列であるとする。このとき、
[x,a_1,…,a_k]
が割数列となるためのxの条件を考える。
1からa_1まで逆算して、mになったとする。
このとき
あるxで割数列となる⇔m*2^x≡1(mod 3)
である。

x=iでm*2^i≡1(mod 3)ならば、
m*2^(i+1)≡2(mod 3)
m*2^(i+2)≡4≡1(mod 3)
よって、割数列になる、ならないが交互に現れる。…�@
また、x=iでm*2^i≠1(mod 3)ならば、
（「合同でない」の記号がないので、代わりに≠を使う）
m*2^(n+2)≠4≡1(mod 3)
よって、一つおきの全ての数で割数列にならない。…�A

・x=1で割数列になるとき
�@より、全ての奇数で割数列になり、全ての偶数で割数列にならない。
・x=1で割数列にならず、x=2で割数列になるとき
�@,�Aより、全ての偶数で割数列になり、全ての奇数で割数列にならない。
・x=1でもx=2でも割数列にならないとき
�Aより、xに入りうる数は存在しない。

以上から、>>224の予想が示された。

長さ３の完全割数列
[1,1,46],[1,2,8],[1,3,16],[1,4,56],[1,5,22],[1,6,14],
[1,7,10],[1,8,44],[1,9,34],[1,10,38],[1,11,40],[1,12,50],
[1,13,28],[1,14,26],[1,15,52],[1,16,20],[1,17,4],[1,18,32],
[2,1,34],[2,2,38],[2,3,40],[2,4,50],[2,5,28],[2,6,26],
[2,7,52],[2,8,20],[2,9,4],[2,10,32],[2,11,46],[2,12,8],
[2,13,16],[2,14,56],[2,15,22],[2,16,14],[2,17,10],[2,18,44],
[3,1,28],[3,2,26],[3,3,52],[3,4,20],[3,5,4],[3,6,32],
[3,7,46],[3,8,8],[3,9,16],[3,10,56],[3,11,22],[3,12,14],
[3,13,10],[3,14,44],[3,15,34],[3,16,38],[3,17,40],[3,18,50],
[4,1,52],[4,2,20],[4,3,4],[4,4,32],[4,5,46],[4,6,8],
[4,7,16],[4,8,56],[4,9,22],[4,10,14],[4,11,10],[4,12,44],
[4,13,34],[4,14,38],[4,15,40],[4,16,50],[4,17,28],[4,18,26],
[5,1,10],[5,2,44],[5,3,34],[5,4,38],[5,5,40],[5,6,50],
[5,7,28],[5,8,26],[5,9,52],[5,10,20],[5,11,4],[5,12,32],
[5,13,46],[5,14,8],[5,15,16],[5,16,56],[5,17,22],[5,18,14],
[6,1,16],[6,2,56],[6,3,22],[6,4,14],[6,5,10],[6,6,44],
[6,7,34],[6,8,38],[6,9,40],[6,10,50],[6,11,28],[6,12,26],
[6,13,52],[6,14,20],[6,15,4],[6,16,32],[6,17,46],[6,18,8]

>>263
おー！ＧＪ！
最初の意味での基底は、この108個で全てだな。
まあ関係式は後で考えさせてもらうとして、
とりあえず>>220について。

[1,4],[2,8]は割数列であり、
[2,4],[1,8]は割数列でない。
また、[6]は完全割数列である。
これらは、逆算すれば明らか。
残りは>>232と>>254の予想に帰着される。
というわけで、今はここまでってことで。

ところで、世代の定義をはっきり確認したい。
5と8は第1か第2か両方か。
ちなみに>>249の式を成り立たせるためには、
5と8は第1世代のみ。10と16も、とばさずに第1世代に含める。
としたいんだけど、いいかな？

>>263
ＧＪ！絶対関係があるはず。
どこかを６増やすと、あとどの項を変化させればいいか、を見つけたいね。

>>264
16、10は第一世代、32や20から第二世代として考えてる。>>264の通りでOK！

見えた！
全てに対して
[6,0,0],[0,18,0],[0,0,54]
初項が奇数なら
[2,6,0],[0,6,-18],[2,0,-18]
初項が偶数なら
[2,-6,0],[0,6,18],[2,0,18]
第2項に関して、6引けないときは+12
第3項に関して、18引けないときは+36
言い換えると、それぞれmod 18,mod 54で循環させる。

ちなみに奇数と偶数それぞれ３つずつあるが、
ある一つは他の２つの組み合わせで導けるので、実質２つで十分。
これで残る基底は
[1,1,46],[1,2,8],[1,3,16],[1,4,56],[1,5,22],[1,6,14]
[2,1,34],[2,2,38],[2,3,40],[2,4,50],[2,5,28],[2,6,26]
の12個。
まだいけるか…？

あれ？なんか違う…
すまん、忘れてくれ。

用語の定義を再確認したいんだが、
割数列はよいとして、完全割数列というのはつまり３の倍数の奇数の割数列と同義と考えてよい？
それと「世代」の定義が今一つ判らない。基本的には>>212で良いんだよね？

>>268
完全割数列はそれでおｋ
世代は提唱したの俺じゃないけど、多分こんな感じ。

1から逆算していくと、「1を引いて3で割る」と「2倍する」の両方を
することができる数が現れる。(10,16など)
これらを分岐点と呼ぶことにする。
・1,2,4,8,16は第1世代に含まれるとする。
・第n世代に含まれる分岐点から1を引いて3で割って進み、
次の分岐点または3の倍数になるまでに現れる数は第n世代、
2倍して進み、次の分岐点または3の倍数になるまでに現れる数は
第(n+1)世代に含まれるとする。
このようにして、帰納的に全てのコラッツ数の世代が定まる。

あ、4は分岐点に含みません。

>>269-270
有難う。ということは分岐数を数えれば世代が判るんですね。
ということでプログラムしてみました。( )内は分岐出来る数値(6n+4)
[3] 1世代
[5] 1世代
[7] (10) 2世代
[9] (10) 2世代
[11] (10) 2世代
[13] (10) 2世代
[15] (40)(10) 3世代
[17] (10) 2世代
[19] (22)(10) 3世代
[21] (16) 2世代
[23] (40)(10) 3世代
[25] (22)(10) 3世代
[27] (334)(1822)(2308)(244)(46)(40)(10) 8世代
[29] (22)(10) 3世代
[31] (334)(1822)(2308)(244)(46)(40)(10) 8世代
[33] (22)(10) 3世代
[35] (40)(10) 3世代
[37] (28)(10) 3世代
[39] (76)(22)(10) 4世代
[41] (334)(1822)(2308)(244)(46)(40)(10) 8世代
[43] (28)(10) 3世代
[45] (34)(10) 3世代
[47] (334)(1822)(2308)(244)(46)(40)(10) 8世代
[49] (28)(10) 3世代
[51] (58)(22)(10) 4世代
[53] (40)(10) 3世代
[55] (94)(334)(1822)(2308)(244)(46)(40)(10) 9世代
[57] (28)(10) 3世代
[59] (76)(22)(10) 4世代

>>269
説明ありがとう。まさにそんな感じです。

>>271
解析ありがとう。何か規則とか見いだせないかな？
8世代の数字は分岐点は一緒なんだね。1から始めて、一度やたら大きくなった数字(2308)をもう一度二ケタレベルまで落とすためには、334で分岐するのがキーなのか。つまり、334→668→1336→445を通るんだね。
なぜ445はコラッツ逆操作で小さくなれるんだろう。
3進数なら121111
2進数なら110111101
いや意味はないか。

>>269
説明ありがとう。まさにそんな感じです。

>>271
解析ありがとう。何か規則とか見いだせないかな？
8世代の数字は分岐点は一緒なんだね。1から始めて、一度やたら大きくなった数字(2308)をもう一度二ケタレベルまで落とすためには、334で分岐するのがキーなのか。つまり、334→668→1336→445を通るんだね。
なぜ445はコラッツ逆操作で小さくなれるんだろう。
3進数なら121111
2進数なら110111101
いや意味はないか。

>>271>>272
あの説明で分かるのか。さすが数学板。
そしてプログラム乙！

間の第5〜第7世代がないのも興味深いな。
最小の第5世代は…と、手計算しようとしたけど分岐多すぎてやめた。
プログラムってすげー。
逆に最大の第2世代は21。第3世代だと多分最大113。
これはどの程度の割合で増えていくのだろうか？

長さ3の完全割数列はまだわかんね。

あげ

>>272
そうだ、もう一つ確認したい。
世代ってのは数の集合であって、数の性質を表す言葉ではない。
つまり、
「27は第8世代に含まれる」が正しい言い方で、
「27は第8世代である」という言い方は厳密には誤り。
てことであってる？
それとも後者でもおｋ？

あと、もしちゃんとした定義文が用意してあれば、書いてくれるとうれしい。

どっちでもえーやん
３は奇数に含まれるも３は奇数であるもどっちも言うだろ？
極論すれば述語と集合に区別なんてねーよ

>>273
第五から第七はここまで小さくなれないのだろうね。

世代の言い方は、含まれるって表現の方が正しいんだろうね。

定義文はないな…でも>>165の考えてる通りだよ。
16みたいな分岐までが1世代で、5以降も1世代、32以降は2世代に含まれる。

>>276
○「3は奇数全体に含まれる」
×「3は奇数全体である」
区別しなきゃいけない場合もある。

>>277
了解

>>271のプログラムで各世代のmin、maxを出して見ました。
countはその世代に含まれる数値の数です。検索範囲は3から一千万までの奇数。
10世代あたりから数え切れてないようですね。
[ 1世代]count= 2 minNo= 3 maxNo= 5
[ 2世代]count= 6 minNo= 7 maxNo= 21
[ 3世代]count= 18 minNo= 15 maxNo= 113
[ 4世代]count= 41 minNo= 39 maxNo= 453
[ 5世代]count= 130 minNo= 79 maxNo= 2625
[ 6世代]count= 399 minNo= 127 maxNo= 14001
[ 7世代]count=1186 minNo= 111 maxNo= 81473
[ 8世代]count=3591 minNo= 27 maxNo= 684033
[ 9世代]count=10684 minNo= 55 maxNo= 5034753
[10世代]count=32092 minNo= 147 maxNo= 9942081
[11世代]count=92823 minNo= 327 maxNo= 9989009
[12世代]count=214489 minNo= 487 maxNo= 9999745
[13世代]count=354302 minNo= 667 maxNo= 9999855
[14世代]count=447218 minNo= 703 maxNo= 9999967
[15世代]count=476328 minNo=1407 maxNo= 9999993
[16世代]count=475852 minNo=2223 maxNo= 9999995
[17世代]count=479043 minNo=2919 maxNo= 9999997
[18世代]count=475459 minNo=3711 maxNo= 9999937
[19世代]count=443416 minNo=6171 maxNo= 9999981
[20世代]count=381187 minNo=10971 maxNo= 9999903
（中略）
[46世代]count= 13 minNo=1126015 maxNo= 9619519
[47世代]count= 19 minNo=2252031 maxNo= 9997729
[48世代]count= 4 minNo=7117527 maxNo= 9490035
[49世代]count= 0 minNo=------- maxNo= -------
[50世代]count= 2 minNo=8400511 maxNo= 8901447
[51世代]count= 3 minNo=6649279 maxNo= 9973919

各世代のパターン毎の数値を出してみた。ちょっと手こずったw

第3世代　パターン数=6
(40)(10)[15,23,35,53]
(22)(10)[19,25,29,33]
(28)(10)[37,43,49,57,65]
(34)(10)[45]
(52)(10)[69]
(64)(16)[75,85,113]

第4世代　パターン数=18
(76)(22)(10)[39,59,67,89,101]
(58)(22)(10)[51,77]
(46)(40)(10)[61,81]
(148)(28)(10)[87,131,197]
(70)(40)(10)[93]
(112)(28)(10)[99,149]
(130)(28)(10)[115,153,173]
(88)(22)(10)[117]
(100)(22)(10)[133,177]
(172)(28)(10)[135,203,229,305]
(106)(40)(10)[141]
(256)(64)(16)[151,201,227,341]
(136)(34)(10)[181,241,321]
(160)(40)(10)[213]
(196)(28)(10)[261]
(226)(64)(16)[267,301,401]
(208)(52)(10)[277,369]
(340)(64)(16)[453]

>>279
たびたびＧＪ！
>>280を割数列で表現できる？何かが見えるかもしれない。

>>279
あと、それぞれのルートでたどり着く３の倍数の奇数も挙げられるとまた手がかりになるんだけど、そういう風に書ける？
全ての３の倍数の奇数が「何らか一つの」世代「だけ」に含まれるなら、全部の自然数についてコラッツ予想が成立するからね。

>>281-282
一応やってみた。割数列の追加と、３の倍数には＊をつけた。
第1世代　パターン数=1
[3*,5]
[3*]{1,4} [5]{4}
第2世代　パターン数=2
(10)[7,9*,11,13,17]
[7]{1,1,2,3,4} [9*]{2,1,1,2,3,4} [11]{1,2,3,4} [13]{3,4} [17]{2,3,4}
(16)[21*]
[21*]{6}
第3世代　パターン数=6
(40)(10)[15*,23,35,53]
[15*]{1,1,1,5,4} [23]{1,1,5,4} [35]{1,5,4} [53]{5,4}
(22)(10)[19,25,29,33*]
[19]{1,3,1,2,3,4} [25]{2,1,3,1,2,3,4} [29]{3,1,2,3,4} [33*]{2,2,1,3,1,2,3,4}
(28)(10)[37,43,49,57*,65]
[37]{4,1,1,2,3,4} [43]{1,2,2,4,1,1,2,3,4} [49]{2,4,1,1,2,3,4} [57*]{2,1,2,2,4,1,1,2,3,4} [65]{2,2,4,1,1,2,3,4}
(34)(10)[45*]
[45*]{3,2,3,4}
(52)(10)[69*]
[69*]{4,3,4}
(64)(16)[75*,85,113]
[75*]{1,2,8} [85]{8} [113]{2,8}
第4世代　パターン数=18
(76)(22)(10)[39*,59,67,89,101]
[39*]{1,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4} [59]{1,2,1,4,1,3,1,2,3,4} [67]{1,4,1,3,1,2,3,4} [89]{2,1,4,1,3,1,2,3,4} [101]{4,1,3,1,2,3,4}
(58)(22)(10)[51*,77]
[51*]{1,3,3,1,2,3,4} [77]{3,3,1,2,3,4}
(46)(40)(10)[61,81*]
[61]{3,1,1,5,4} [81*]{2,3,1,1,5,4}

(148)(28)(10)[87*,131,197]
[87*]{1,1,4,4,1,1,2,3,4} [131]{1,4,4,1,1,2,3,4} [197]{4,4,1,1,2,3,4}
(70)(40)(10)[93*]
[93*]{3,1,5,4}
(112)(28)(10)[99*,149]
[99*]{1,6,1,1,2,3,4} [149]{6,1,1,2,3,4}
(130)(28)(10)[115,153*,173]
[115]{1,3,2,2,4,1,1,2,3,4} [153*]{2,1,3,2,2,4,1,1,2,3,4} [173]{3,2,2,4,1,1,2,3,4}
(88)(22)(10)[117*]
[117*]{5,1,2,3,4}
(100)(22)(10)[133,177*]
[133]{4,2,1,3,1,2,3,4} [177*]{2,4,2,1,3,1,2,3,4}
(172)(28)(10)[135*,203,229,305]
[135*]{1,1,2,4,1,2,2,4,1,1,2,3,4} [203]{1,2,4,1,2,2,4,1,1,2,3,4} [229]{4,1,2,2,4,1,1,2,3,4} [305]{2,4,1,2,2,4,1,1,2,3,4}
(106)(40)(10)[141*]
[141*]{3,5,4}
(256)(64)(16)[151,201*,227,341]
[151]{1,1,10} [201*]{2,1,1,10} [227]{1,10} [341]{10}
(136)(34)(10)[181,241,321*]
[181]{5,2,3,4} [241]{2,5,2,3,4} [321*]{2,2,5,2,3,4}
(160)(40)(10)[213*]
[213*]{7,4}
(196)(28)(10)[261*]
[261*]{4,2,4,1,1,2,3,4}
(226)(64)(16)[267*,301,401]
[267*]{1,2,3,2,8} [301]{3,2,8} [401]{2,3,2,8}
(208)(52)(10)[277,369*]
[277]{6,3,4} [369*]{2,6,3,4}
(340)(64)(16)[453*]
[453*]{4,8}

>>283
ありがとう！ここから何か出てこないかな・・

一つ、完全割数列→完全割数列に関しての操作を見つけた。
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列

まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３　・・　[4,+2]or[1,-2]をつける
６　・・　[2,+2]or[3,-2]をつける
０　・・　[6,+2]or[5,-2]をつける
分かりづらいと思うので例を。

21≡3(mod 9)　21=[0,6]
このとき、[4,6+2]と[1,6-2]が存在する。
ちなみに、[0,1,…,]みたいに、２項目（本来の初項）が１か２のときは２で引けない。
このときは本来の初項に６を足した[0,7,…,]から考える。本来の初項に６の倍数を加減してもOKなので。

初項になら6の倍数を加減して良いってことと>>285を使えば、全ての完全割数列を列挙できるね。
それが全ての3の倍数の奇数をもれなくしかも一意的に表すことを言えればいいのかな。

ちなみに、完全割数列の初項に6を足してできる完全割数列の答えを9で割ったあまりは
（元の答え+3）を9で割ったあまりになります。
もっとちゃんと書くと、ある完全割数列の答えが9n+aとすると
初項に6を足した完全割数列の答えは
64*9n +64a +21 =9* (64n +7a +3) +a +3
になるから。

>>285と>>286はちゃんと証明してあるから安心して使ってください。

証明書くのはめんどくさいくらい長いので勘弁してください。強い希望があればで。

>>285-287
これは…………！
素直に凄いと思った。一歩前進した感じがする。
「全ての」完全割数列を列挙できるってのもちゃんと証明できてる？
だとしたら本当に凄い。

ところで、
＞ それが全ての3の倍数の奇数をもれなくしかも一意的に表すことを言えればいいのかな。
この一意性は明らかだと思う。
どの数から始めても、コラッツ数列は一意に定まるからね。

ところで、割数列の「最終値」とか「答え」とかいう言葉が気になった。
ちゃんと定義しとこう。

ある割数列に対して、そこから復元したコラッツ数列の初項を、
その割数列の「初期値」とする。
さらにこれを使うと、完全割数列の定義が簡潔に記述できる。
完全割数列⇔初期値が3の倍数てある割数列

全ての完全割数列を列挙できるかはゴメン、証明してないや。
でも、ちょっとやればできる気がする。今度時間ができたとき確信を得てみるよ。

＞どの数から始めても、コラッツ数列は一意に定まるからね。
確かにそうだね。これ書いた時は、一意でないものがあればそいつは１４２１以外のループをもつのかと
なんとなく思っていたけど、割数列を基に１スタートで逆にたどっていくならば
どこかでループしてしまうような値にはたどり着かないもんね。
ループしてしまうならば１にたどり着かないのだから。
「完全割数列で全ての３の倍数の奇数を表せる」だけ分かれば良いか。

今の流れと関係無いけど、割数列を見ていて気が付いた事を書いてみる。
2^n-1の数値は割数列で最初に1が並ぶ。m*2^n-1も同様。
[127]{1,1,1,1,1,1,2,4,3,3,3,1,2,3,4}
[255]{1,1,1,1,1,1,1,6,3,3,3,1,2,3,4}
[511]{1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,7,3,2,2,4,1,1,2,3,4}
[1023]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,3,2,2,4,1,1,2,3,4}
[2047]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,1,1,1,1,1,2,1,1,3,2,2,2,1,2,3,2,1,2,1,5,1,2,2,3,1,2,2,4,2,1,1,1,1,1,1,2,4,3,3,3,1,2,3,4}
[4095]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,5,1,1,1,1,1,2,1,1,3,2,2,2,1,2,3,2,1,2,1,5,1,2,2,3,1,2,2,4,2,1,1,1,1,1,1,2,4,3,3,3,1,2,3,4}
[8191]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,3,1,4,1,2,1,5,5,1,1,1,1,3,1,1,4,3,1,2,2,4,2,1,1,1,1,1,1,2,4,3,3,3,1,2,3,4}
[16383]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,1,1,1,2,1,3,1,4,1,2,1,5,5,1,1,1,1,3,1,1,4,3,1,2,2,4,2,1,1,1,1,1,1,2,4,3,3,3,1,2,3,4}
[32767]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,5,3,1,4,1,2,1,1,1,1,1,2,1,4,3,1,4,1,2,2,2,10,2,1,3,1,2,3,4}
[65535]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,7,3,1,4,1,2,1,1,1,1,1,2,1,4,3,1,4,1,2,2,2,10,2,1,3,1,2,3,4}
[131071]{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,1,1,1,1,2,1,2,1,1,1,5,2・・・（Byte制限により後半略）}

そして2^n+1の数値は割数列で最初に2が並ぶ。m*2^n+1も同様。
[129]{2,2,2,1,1,3,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[257]{2,2,2,3,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[513]{2,2,2,2,1,5,1,1,5,4}
[1025]{2,2,2,2,4,3,1,1,5,4}
[2049]{2,2,2,2,2,1,1,2,1,1,3,1,1,3,1,2,6,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[4097]{2,2,2,2,2,3,3,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[8193]{2,2,2,2,2,2,1,3,5,3,3,1,2,3,4}
[16385]{2,2,2,2,2,2,4,1,5,3,3,1,2,3,4}
[32769]{2,2,2,2,2,2,2,1,1,5,1,2,1,1,1,5,2,1,1,3,2,3,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4}
[65537]{2,2,2,2,2,2,2,3,2,3,1,2,1,1,1,5,2,1,1,3,2,3,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4}
[131073]{2,2,2,2,2,2,2,2,1,4,1,2,2,1,2,2,4,3,2,1,2,3,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4}

最初に3が並ぶ割数列をピックアップしてみる。
[77]{3,3,1,2,3,4}
[205]{3,3,3,1,2,3,4}
[1229]{3,3,3,2,2,4,1,1,2,3,4}
[2253]{3,3,3,1,1,3,4,1,3,1,2,3,4}
[3277]{3,3,3,3,2,2,4,1,1,2,3,4}
[11469]{3,3,3,3,1,10}
[19661]{3,3,3,3,4,2,1,1,3,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[27853]{3,3,3,3,1,1,2,1,5,1,4,4,1,1,2,3,4}
[36045]{3,3,3,3,2,1,1,5,2,8}
[44237]{3,3,3,3,1,2,2,1,8,3,4}
[52429]{3,3,3,3,3,4,2,1,1,3,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[117965]{3,3,3,3,3,1,2,2,1,8,3,4}
[314573]{3,3,3,3,3,3,1,2,2,1,8,3,4}
[838861]{3,3,3,3,3,3,3,1,2,2,1,8,3,4}
これらの差分は全て2^nとなっている。
また最初に4が並ぶ割数列をピックアップしてみる。
[197]{4,4,1,1,2,3,4}
[709]{4,4,2,1,3,1,2,3,4}
[1221]{4,4,1,2,2,4,1,1,2,3,4}
[1733]{4,4,3,1,1,5,4}
[3781]{4,4,4,2,1,3,1,2,3,4}
[11973]{4,4,4,1,1,1,3,4,1,3,1,2,3,4}
[20165]{4,4,4,4,2,1,3,1,2,3,4}
[151237]{4,4,4,4,1,2,1,3,1,1,3,4,1,3,1,2,3,4}
[282309]{4,4,4,4,3,1,4,4,1,1,2,3,4}
[413381]{4,4,4,4,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,7,3,2,2,4,1,1,2,3,4}
[806597]{4,4,4,4,4,1,2,1,3,1,1,3,4,1,3,1,2,3,4}
これらもまた差分は全て2^nとなっている。
↓ついでに。最初に9が並ぶ場合。
[320341]{9,9,1,2,3,4}
[844629]{9,9,3,1,2,3,4}

>>290-291
ほほう、これは面白い。

多分こうだな。
自然数aとbの差が2^nの倍数⇔aとbは2でn回割るまで同じコラッツ操作を辿る
例えば、
77と205の差は128=2^7で、総計7回割るまでは同じになっている。
197と1733の差は1536=3*2^9で、総計9回割るまでは同じになっている。
もっと小さい数でも、
7と19の差は12=3*2^2で、割数列はそれぞれ
[1,1,2,3,4]
[1,3,1,2,3,4]
であり、総計2回割るまでは同じになっている。

例によって未証明です。

面白いね、家帰ったら証明します。今頭の中では理由がわかった。

>>292の予想が正しいとすると、最初の数列が何でもn^2の差になるはず
と思い1,2,3,4,5で調べてみた。
1+2+3+4+5+1=16で2^16=65536。きちんと差が65536になるね。
[53259]{1,2,3,4,5,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[118795]{1,2,3,4,5,2,6,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[184331]{1,2,3,4,5,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}
[249867]{1,2,3,4,5,3,1,1,3,1,2,6,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,1,2,3,1,1,2,1,2,1,1,1,1,1,3,1,1,1,4,2,2,4,3,1,1,5,4}

とするともうひとつの予想として、n回割るまで同じになるコラッツ数列は2^n差より前には出てこない、と言えるだろうか。

最初に気になったのは>>290の、1並びの特徴を調べたら2^n-1で、2並びは2^n+1だった、という事でした。
で、3並び以降を調べると全て2^nの差になった、という流れだったんですが。
1の割数列を無理やり書くと{2,2,2,2...}で、-1の割数列は{1,1,1,1...}ですね。
だから292の予想が正しいと2^n-1は1並び、2^n+1は2並びになるんですね。

>>293
宜しく。期待してます。

>294
長さｎの割数列[a1,a2,a3,...,ak,...an]があるとして
k項目akまでが同じである割数列を作りたいとする。
そのとき、長さｎの割数列の初期値に2^Σ(am)(m=1→k)を足した値を初期値とした割数列を考えればよい。

証明というか、例
[a1,a2,a3,......an]の初期値がＭで
a3まで真似たいとする。また
M1=(3M+1)/(2^a1)
M2=(3M1+1)/(2^a1)
M3=(3M2+1)/(2^a1)
M(n+1)=(3Mn+1)/(2^a1)とする
このとき
2^(a1 +a2 +a3) +M
→3^a1 *2^(a2 +a3) +M1
→3^(a1 +a2) *2^a3 +M2
→3^(a1 +a2 +a3) +M3
となるので、[a1,a2,a3,......]という割数列をとる。

M1=(3M +1)/(2^a1)
M2=(3M1 +1)/(2^a2)
M3=(3M2 +1)/(2^a3)
M(n+1)=(3Mn +1)/(2^a(n+1))とする
の間違いでした。訂正します。

要は、コラッツ操作を
偶数→半分
奇数→３倍＋１→（必ず偶数なので）半分
と省略して考えたときに、必ずどちらも半分にする操作を行うので
コラッツ操作をｎ回繰り返すに耐えるには、２＾ｎを足したものが必要なのでしょう。

2^n-1 2^n+1の、端数だけについてコラッツ操作を考えると・・
-1→-2→-1→-2→・・・　　　　[1,1,1,....]
1→4→2→1→4→2→1→・・・　 [2,2,2,....]

こうやってできた数列は面白いかもしれない。
どの自然数もいつしか初期値よりも小さくなるぞ、ということが
言えれば、それもそれでコラッツの証明になります。

ちなみに、この2^Σ(am)(m=1→k)を加えるといった操作で
a1〜akは同じ！ということは保証されるけど
a(k+1)が必ず異なるか？というと、それはそうでもないと思う。
たまたま一緒になるかもしれない。
ただし、akまでは必ず一緒。

たびたびの訂正すみません。
2^(a1 +a2 +a3) +M
→3^a1 *2^(a2 +a3) +M1
→3^(a1 +a2) *2^a3 +M2
→3^(a1 +a2 +a3) +M3
ここがデタラメです。
2^(a1 +a2 +a3) +M
→3^1 *2^(a2 +a3) +M1
→3^(1 +1) *2^a3 +M2
→3^(1 +1 +1) +M3
て感じで。

>>294
なるほど、1と-1までは考えて無かった。
おもしれー。

>>295-298
乙乙乙乙！
3を文字に変えれば一般化できると。

２つの割数列
[a1,…,an]
[b1,…,bm]
で、
a1=b1,a2=b2,…,ak=bk,a(k+1)≠b(k+1)
のときは、2^(a1+…+ak+min｛a(k+1,b(k+1))｝)を考えると良い気がする。

あげ

そういや、同じ数が並ぶ割数列について考えてなかったな。
初期値が16n+13なら、割数列は[3,…]
初期値が128n+77なら、割数列は[3,3,…]
初期値が1024n+205なら、割数列は[3,3,3,…]

kがm個並ぶ割数列の初期値は、2^(km+1)+aの形になっていると予想。
1や2が並ぶときはaが一定だったけど、3以上だとそうはならない。
13,77,205,…を一般式で表せるだろうか？

あと、3が無限に続く割数列を考えると、コラッツ数列に現れる奇数の列は
a_(n+1)=(3a_n+1)/8
という漸化式を満たす。
a_nは自然数だから、必ずa_(n+1)<a_nとなり、無限に続くことはありえない。
（仮にa_n<0としても、a_(n+1)>a_n）
4以上も同様。

>295-298乙です。
＞偶数→半分
＞奇数→３倍＋１→（必ず偶数なので）半分
＞と省略して考えたときに、必ずどちらも半分にする操作を行うので
＞コラッツ操作をｎ回繰り返すに耐えるには、２＾ｎを足したものが必要なのでしょう。
この証明に尽きると思うんだけど、
[a1,a2,a3,......an]の初期値がＭで、a3まで真似たい場合には
2^(a1+a2+a3 +1 )が必要になるね。
割数列はコラッツ数列の偶奇を表したものでもあるから、
a3の最後の偶奇を合わせるには＋１が必要になる。
そして差分を奇数倍しても同様のことが言えるので、
akまで同じ割数列通しの差分は
i*2^(Σ(a1,a2...ak)+1)で表せる（ i は正の奇数）。
>>297
＞a(k+1)が必ず異なるか？というと、それはそうでもないと思う。
いや、上の証明は、「ある自然数に偶数を足しても偶奇は変わらない」という事から来てるので、
2^nを使い切った次の数値は必ず奇数になり、
奇数を加えることにより、必ず偶奇が入れ替わる→a(k+1)は必ず異なる、と言えると思う。

>>299
a1=b1,a2=b2,…,ak=bk,a(k+1)≠b(k+1)の時の両者の初期値の差分は
i*2^(a1+…+ak+min｛a(k+1),b(k+1)｝) である、と言えそう。

良スレage

スレの上のほう見てたら、ステップ数についての議論が盛んだった。
割数列から何かアプローチできないだろうか？

とりあえず、
ある数の割数列が[a1,…,an]なら、その数のステップ数はn+Σ[k=1,n]ak
（３倍して１足す回数）+（２で割る回数）

完全割数列→完全割数列の操作に関する予想（>>261の一般化）未証明です
完全割数列[a_1,...,a_n]の第k項(k<n)が、
・奇数なら、±[0,...,0,2*3^(k-1),2*3^k]（0がk-1個並ぶ）
・偶数なら、±[0,...,0,2*3^(k-1),-2*3^k]（0がk-1個並ぶ）
この操作は完全割数列を完全割数列に移す
※この操作で第(k+1)項が負になったら[0,...,0,0,2*3^(k+1)]を加える

良スレage
割数列すら解らない俺orz
頑張ってくらはい

>>304
奇数偶数、だけでは分けられないと思います。

元の割数列[a_1,...,a_n]の初項を9で割った余りによって
どういう操作をしたら良いのかが変わる、というのを見つけました。
とはいえ、それをまだ発展させられていません。。。

>>305
割数列は俺がこのスレで言い出した概念だからな。知らなくて当然。
興味があるなら>>210あたりから読んでくらはい。

>>306
とりあえず長さ３までは反例は無さそう。
あってる気もするんだけどな。

>>307とりあえず読み返してみまふ
さて俺の程度の頭でどの程度理解できるんだか…

>>307
パターンが>>304の2つになるだろうな、っていうのはわかる。
分岐条件について、4以上の割数列でも奇数偶数で分けられるかちょっと考えてみる。

最近奇数を見ると１ステップ後の数字を考えてしまう。
35→106

１億迄の長さ別完全割数列数を出してみた。
長さ1 :4　長さ2 :19　長さ3 :64　長さ4 :160　長さ5 :373
長さ6 :811　長さ7 :1316　長さ8 :2470　長さ9 :3489　長さ10 :5752
長さ11 :9606　長さ12 :11249　長さ13 :17471　長さ14 :19661　長さ15 :27645

長さ１の完全割数列　( )内は初期値
(21)[6] (1365)[12] (87381)[18] (5592405)[24]

長さ２
(3)[1,4] (213)[7,4] (453)[4,8] (909)[3,10] (7281)[2,14] (13653)[13,4]
(29013)[10,8] (58197)[9,10] (233013)[5,16] (466005)[8,14] (873813)[19,4]
(932067)[1,22] (1856853)[16,8] (3724629)[15,10] (7456533)[6,20]
(14912853)[11,16] (29824341)[14,14] (55924053)[25,4] (59652309)[7,22]

長さ３
(69)[4,3,4] (75)[1,2,8] (141)[3,5,4] (1137)[2,9,4] (2421)[5,1,10]
(4437)[10,3,4] (4821)[7,2,8] (9045)[9,5,4] (9669)[4,6,8] (9699)[1,7,10]
(19341)[3,8,8] (36405)[5,11,4] (38835)[1,3,16] (72789)[8,9,4] (77589)[6,5,10]
(77667)[1,6,14] (145635)[1,17,4] (154737)[2,12,8] (154965)[11,1,10]
(283989)[16,3,4] (308565)[13,2,8] (310677)[6,1,16] (578901)[15,5,4]
(618837)[10,6,8] (620757)[7,7,10] (621333)[6,4,14] (1165077)[6,15,4]
(1237845)[9,8,8] (1241541)[4,11,10] (2329941)[11,11,4] (2483085)[3,13,10]
(2485461)[7,3,16] (2485509)[4,2,20] (4658517)[14,9,4] (4951605)[5,14,8]
(4965717)[12,5,10] (4970709)[7,6,14] (4970949)[4,7,16] (4971021)[3,4,20]
(9320661)[7,17,4] (9903189)[8,12,8] (9917781)[17,1,10] (9941445)[4,10,14]
(9941901)[3,9,16] (9942051)[1,5,22] (18175317)[22,3,4] (18641349)[4,21,4]
(19748181)[19,2,8] (19806435)[1,20,8] (19864689)[2,17,10] (19882893)[3,12,14]
(19883349)[12,1,16] (37049685)[21,5,4] (37282701)[3,23,4] (39605589)[16,6,8]
(39728469)[13,7,10] (39765333)[12,4,14] (39768177)[2,8,20] (74564949)[12,15,4]
(79222101)[15,8,8] (79458645)[10,11,10] (79535217)[2,13,16] (79536405)[6,3,22]
(79536429)[3,2,26]

長さ４
(45)[3,2,3,4] (93)[3,1,5,4] (201)[2,1,1,10] (369)[2,6,3,4] (753)[2,5,5,4]
(1605)[4,3,2,8] (1611)[1,2,6,8] (2901)[9,2,3,4] (3033)[2,1,11,4] (3213)[3,5,2,8]
(5973)[9,1,5,4] (6453)[5,3,1,10] (6465)[2,2,5,10] (11829)[5,8,3,4] (12885)[8,1,1,10]
(23637)[8,6,3,4] (24117)[5,7,5,4] (24261)[4,4,9,4] (25713)[2,9,2,8] (25827)[1,9,1,10]
(47331)[1,14,3,4] (48213)[8,5,5,4] (48525)[3,6,9,4] (51573)[5,1,8,8] (51729)[2,3,7,10]
(51777)[2,2,4,14] (96483)[1,13,5,4] (97077)[5,3,11,4] (97089)[2,2,15,4]
(102741)[10,3,2,8] (103125)[7,2,6,8] (103557)[4,2,1,16] (185685)[15,2,3,4]
(194133)[8,1,11,4] (205653)[9,5,2,8] (206277)[4,6,6,8] (206307)[1,7,8,8]
(206613)[6,7,1,10] (206901)[5,4,5,10] (207117)[3,4,1,16] (378645)[6,12,3,4]
(382293)[15,1,5,4] (388209)[2,10,9,4] (388323)[1,9,11,4] (412557)[3,8,6,8]
(413013)[11,3,1,10] (413781)[8,2,5,10] (413847)[1,1,13,10] (414225)[2,3,6,14]
(414243)[1,5,3,16] (757077)[11,8,3,4] (771861)[6,11,5,4] (776721)[2,3,17,4]
(822837)[5,11,2,8] (824661)[14,1,1,10] (825267)[1,3,14,8] (827619)[1,10,5,10]
(1512789)[14,6,3,4] (1543509)[11,7,5,4]

長さ５
(15)[1,1,1,5,4] (117)[5,1,2,3,4] (267)[1,2,3,2,8] (483)[1,7,2,3,4] (537)[2,1,3,1,10]
(981)[7,1,1,5,4] (1971)[1,3,8,3,4] (1989)[4,5,1,5,4] (3861)[6,5,2,3,4]
(3939)[1,6,6,3,4] (3981)[3,7,1,5,4] (4017)[2,4,5,5,4] (4293)[4,4,1,1,10]
(7509)[11,1,2,3,4] (8037)[4,1,7,5,4] (8565)[5,1,5,2,8] (8589)[3,6,1,1,10]
(8595)[1,3,1,8,8] (15765)[6,1,8,3,4] (16077)[3,3,7,5,4] (16173)[3,2,4,9,4]
(16179)[1,3,3,11,4] (17109)[7,2,3,2,8] (17187)[1,5,2,6,8] (17205)[5,3,3,1,10]
(17217)[2,2,7,1,10] (17241)[2,1,4,5,10] (17259)[1,2,2,1,16] (30933)[7,7,2,3,4]
(31509)[6,4,6,3,4] (31857)[2,11,1,5,4] (32349)[3,1,6,9,4] (32355)[1,6,1,11,4]
(34245)[4,6,3,2,8] (34275)[1,7,5,2,8] (34389)[8,1,3,1,10] (61893)[4,11,2,3,4]
(62805)[13,1,1,5,4] (68493)[3,8,3,2,8] (68721)[2,10,1,1,10] (68757)[6,1,1,8,8]
(68835)[1,9,3,1,10] (123789)[3,13,2,3,4] (126165)[7,3,8,3,4]

>>309
俺も奇数を３倍して１足す計算と偶数を２で割る計算だけは人より速い自信があるｗ

>>310-311
長さが増えるほど存在割合も増えるのか。もともとたくさんあるから、当然といえば当然か…
>>304の予想を検証しようとしたけど、第3項が18以上ってなかなかないね。
知らないうちにかなり大きな数を扱ってたんだな。
ちなみに、「第3項に54を加える」って言うと初期値が16桁ぐらい増えるｗ

>>232や>>254の操作が初期値にどう影響するのか考え中。
初項に2を加えると、初期値はa→4a+1
このことから帰納的に、初項に2kを加えたとき、初期値は
a(n+1)=4an+1,a0=a
という数列の第k項であることがわかる。
実際に解くと、
ak=(a+1/3)*4^k-1/3
かな。
この形なら、kは負でもよい。

>>310-311
ん？長さ３の完全割数列ってそれで全部？
ずいぶん偏ってるように見えるが…。
あと、初期値が約２倍の関係にあるものが多いな。
今考えてる初期値への影響となにか関係ありそう。

>>313
長さ１〜３は初期値１億までの全部です。
初期値の偏りは、私も気になってました。
長さ４と５は後半端折りましたが、それでも偏りが在りますね。
（長さ４、５も途中は端折ってません）

>>313
偏りも約２倍も、各項総和が関係すると思います。
要は、２倍を何回して、約３分の１を何回するかにかかっています。

232も分かる気がしますがまだ確信を得ていないので、やったら書きます。

>>315
なるほどたしかに。
割数列の項数をn,総和をmとすると、その初期値は
(2^m)/(3^n)より少し大きい数になる、ということか。
これは完全割数列でなくても成り立つな。

項数と総和が同じでも、
はじめの方の数が大きければ初期値は比較的小さくなり、
後ろの方の数が大きければ初期値は比較的大きくなるみたい。

(2^m)/(3^n)より少し小さい数
だった

初期値をa、割数列の初項をa1をとする。
このとき、割数列の第2項に6を加えると、
初期値は64a+21+7*2^a1となる。
これは実際に計算することで、簡単に示せる。

一般化はかなり大変そう…

１から遡る形で完全割数列を出してみた。
長さ１０までとし、overflowしない範囲で出したらこんな感じで、出力ファイルが300MB orz
[1,4](3)
[2,1,1,2,3,4](9)
[2,1,2,2,4,1,1,2,3,4](57)
[8,1,2,2,4,1,1,2,3,4](3669)
[14,1,2,2,4,1,1,2,3,4](234837)
[20,1,2,2,4,1,1,2,3,4](15029589)
[26,1,2,2,4,1,1,2,3,4](961893717)
[32,1,2,2,4,1,1,2,3,4](6.16e+010)
[38,1,2,2,4,1,1,2,3,4](3.94e+012)
[44,1,2,2,4,1,1,2,3,4](2.52e+014)
[50,1,2,2,4,1,1,2,3,4](1.61e+016)
[56,1,2,2,4,1,1,2,3,4](1.03e+018)
[5,3,2,2,4,1,1,2,3,4](1845)
[11,3,2,2,4,1,1,2,3,4](118101)
[17,3,2,2,4,1,1,2,3,4](7558485)
[23,3,2,2,4,1,1,2,3,4](483743061)
[29,3,2,2,4,1,1,2,3,4](3.10e+010)
[35,3,2,2,4,1,1,2,3,4](1.98e+012)
[41,3,2,2,4,1,1,2,3,4](1.27e+014)
[47,3,2,2,4,1,1,2,3,4](8.12e+015)
[53,3,2,2,4,1,1,2,3,4](5.19e+017)
[5,2,2,4,1,1,2,3,4](693)
[6,7,2,2,4,1,1,2,3,4](59157)
[12,7,2,2,4,1,1,2,3,4](3786069)
[18,7,2,2,4,1,1,2,3,4](242308437)
[24,7,2,2,4,1,1,2,3,4](1.55e+010)

長さ３までにしたのを次にＵＰします。

[1,4][4,3,4][10,3,4][16,3,4][22,3,4][28,3,4][34,3,4][40,3,4][46,3,4][52,3,4]
[58,3,4][3,5,4][9,5,4][15,5,4][21,5,4][27,5,4][33,5,4][39,5,4][45,5,4][51,5,4]
[7,4][2,9,4][8,9,4][14,9,4][20,9,4][26,9,4][32,9,4][38,9,4][44,9,4][50,9,4]
[5,11,4][11,11,4][17,11,4][23,11,4][29,11,4][35,11,4][41,11,4][47,11,4][13,4][6,15,4]
[12,15,4][18,15,4][24,15,4][30,15,4][36,15,4][42,15,4][1,17,4][7,17,4][13,17,4][19,17,4]
[25,17,4][31,17,4][37,17,4][43,17,4][19,4][4,21,4][10,21,4][16,21,4][22,21,4][28,21,4]
[34,21,4][40,21,4][3,23,4][9,23,4][15,23,4][21,23,4][27,23,4][33,23,4][25,4][2,27,4]
[8,27,4][14,27,4][20,27,4][26,27,4][32,27,4][5,29,4][11,29,4][17,29,4][23,29,4][29,29,4]
[31,4][6,33,4][12,33,4][18,33,4][24,33,4][1,35,4][7,35,4][13,35,4][19,35,4][25,35,4]
[37,4][4,39,4][10,39,4][16,39,4][22,39,4][3,41,4][9,41,4][15,41,4][43,4][2,45,4]
[8,45,4][14,45,4][5,47,4][11,47,4][49,4][6,51,4][1,53,4][7,53,4][55,4][4,57,4]
[6][1,2,8][7,2,8][13,2,8][19,2,8][25,2,8][31,2,8][37,2,8][43,2,8][49,2,8]
[55,2,8][4,8][4,6,8][10,6,8][16,6,8][22,6,8][28,6,8][34,6,8][40,6,8][46,6,8]
[3,8,8][9,8,8][15,8,8][21,8,8][27,8,8][33,8,8][39,8,8][45,8,8][10,8][2,12,8]
[8,12,8][14,12,8][20,12,8][26,12,8][32,12,8][38,12,8][44,12,8][5,14,8][11,14,8][17,14,8]
[23,14,8][29,14,8][35,14,8][41,14,8][16,8][6,18,8][12,18,8][18,18,8][24,18,8][30,18,8]
[36,18,8][1,20,8][7,20,8][13,20,8][19,20,8][25,20,8][31,20,8][37,20,8][22,8][4,24,8]
[10,24,8][16,24,8][22,24,8][28,24,8][3,26,8][9,26,8][15,26,8][21,26,8][27,26,8][28,8]
[2,30,8][8,30,8][14,30,8][20,30,8][26,30,8][5,32,8][11,32,8][17,32,8][23,32,8][34,8]
[6,36,8][12,36,8][18,36,8][1,38,8][7,38,8][13,38,8][19,38,8][40,8][4,42,8][10,42,8]
[3,44,8][9,44,8][46,8][2,48,8][8,48,8][5,50,8][52,8][1,56,8][5,1,10][11,1,10]
[17,1,10][23,1,10][29,1,10][35,1,10][41,1,10][47,1,10][53,1,10][3,10][6,5,10][12,5,10]
[18,5,10][24,5,10][30,5,10][36,5,10][42,5,10][48,5,10][1,7,10][7,7,10][13,7,10][19,7,10]

>>318
一般化なら
[a1,a2,a3,..,ak,..an]
のakをak+6にした場合
元初項をX、Am=a1+a2+a3+...amとして
★ = (3^(n-1)+ 3･2^A1+ 9･2^A2+ ... 3^(k-1)･2^A(k-1))/3^nとすると
X　→　(X+★)*2^6-★
になる。

6以外でもOK。

★ = (3^(n-1)+ 3^(n-2)･2^A1+ 3^(n-3)･2^A2+ ... 3･2^A(n-k))/3^n
でした。

文字が多くて混乱します。。まだ違っているかも、

★ = (3^(n-1)+ 3^(n-2)･2^A1+ 3^(n-3)･2^A2+ ... 3^(k-1)･2^A(n-k))/3^n
かな

>>319-320
すごく……乙です……！
それにしても初期値の大きさには驚くな。
でも、たとえコンピュータに計算できなくても
[105,113,112]（初期値90桁以上）
が完全割数列であることが分かる人間も捨てたもんじゃないと思う。

>>321-323
nが関わるのはおかしいんじゃないか？
a(k+1)以降には影響ないんだし。

>>324
分かりづらい式でゴメン。
★の最後見ると、3^nで割ってあるよね。あれを各項に適用すると、nは式から消えるんだ。
各項を整数にして分かりやすくするためにあえて出した。

nが消えるように書くと
★ = (3^(-1)+ 3^(-2)･2^A1+ 3^(-3)･2^A2+ ... 3^(-k)･2^A(k-1))/3^n
だね。
最後の項違っていたので訂正しました。

/3^n消してください・・

>>325
★ = (3^(n-1)+ 3^(n-2)･2^A1+ 3^(n-3)･2^A2+ ... 3^(n-k)･2^A(k-1))/3^n
こうか。
これなら>>318の結果とも一致する。

>>326-327
あ、先に言われちった。

逆に言えば、これで初期値が整数から整数に移るならば、
割数列を割数列に移す操作である、と言えるな。

>>319-320は、末項からの割数列と完全割数列のパターンを読もうとしてやって見ました。
単純にまとめると、次のような感じ。

長さ1の割数列（*は完全割数列）　　4,6*,8,10,12*,14,16,18*,20...

末項が4となる長さ2の割数列の末から２つ目の値　[...k,4]　1*,3,5,7*,9,11,13*,15...
末項が8の場合　[...k,8]　2,4*,6,8,10*,12,14,16*,18...
末項が10の場合　[...k,10]　1,3*,5,7,9*,11,13,15*,17...
末項が14の場合　[...k,14]　2*,4,6,8*,10,12,14*,16,18...

末項から２つが、3,4の時の３つ目の値　[...k,3,4]　2,4*,6,8,10*,12,14,16*,18...
末項から２つが、5,4の時の３つ目の値　[...k,5,4]　1,3*,5,7,9*,11,13,15*,17...
末項から２つが、9,4の時の３つ目の値　[...k,9,4]　2*,4,6,8*,10,12,14*,16,18...

末項から２つが、2,8の時の３つ目の値　[...k,2,8]　1*,3,5,7*,9,11,13*,15...
末項から２つが、6,8の時の３つ目の値　[...k,6,8]　2,4*,6,8,10*,12,14,16*,18...
末項から２つが、8,8の時の３つ目の値　[...k,8,8]　1,3*,5,7,9*,11,13,15*,17...

末項から２つが、1,10の時の３つ目の値　[...k,1,10]　1,3,5*,7,9,11*,13,15...
末項から２つが、5,10の時の３つ目の値　[...k,5,10]　2,4,6*,8,10,12*,14,16,18*...
末項から２つが、7,10の時の３つ目の値　[...k,7,10]　1*,3,5,7*,9,11,13*,15,17...

これらを見るとすごく規則性があるようですが、数式化とかは可能なんでしょうか？

>>330
その関連の数式化を私も目指してみましたが、まだ無理ですね・・・
一部分かったのは>>285と>>286です。

例えば、[...k,8]　2,4*,6,8,10*,12,14,16*,18...についてですが
これは[6]に>>285の操作をしたものと考えれば
[6]は21≡3(mod9)なので、[4,+2]がつけられるので
完全割数列として、まず[4,8]が出てくる。
ここで[?,14]を考えると、これは[12]に上と同様の操作をしたもの。
[12]は>>286の考え方をすれば、9で割ったあまりは3+3で6。
だから>>285より[2,14]になるだろう、と予想できる。

[奇,a,b,...]が完全割数列なら[奇+2,a+6,b,...]が割数列だし
[偶,a,b,...]が完全割数列なら[偶-2,a+6,b,...]が割数列ともなる。

これは>>330と同じことで、実際に>>330の出してくれた表でこれが検証できて嬉しいです。

ただ困るのは
[...k,5,4]　1,3*,5,7,9*,11,13,15*,17...
があるから
[...k,11,4]は 1,5*,7,9,11*,13,15,17*...
だろう、といえるけど、[...k,5,4]で3が*なのは、やってみないとわからない。
実際に計算して、[13,4]を9で割ったあまりを出せば
それは0だから、ああ[5,11,4]あるな、って判定できるけど、大変だよね・・
しかも計算過程で数が大きくなると、この検証も不可能になる。

割数列を見ただけで、9で割ったあまりが出せないものかね。
それができれば、>>330は数式化できる。

「aが〜ならばbも〜である」っていう形の性質はたくさん見つかるのに、
一方で、与えられた数列が割数列であるかどうかさえぱっと見ではわからないんだよな。

>>330
奇数か偶数が並ぶってだけなら>>262で証明済みだけど、
あとは、ある項を２ずつ増やしていくと、
一つ前は奇数→完全→一つ前は偶数→一つ前は奇数→…
といった循環をする、と言えるだろうか。

>>333
>あとは、ある項を２ずつ増やしていくと、
>一つ前は奇数→完全→一つ前は偶数→一つ前は奇数→…
>といった循環をする、と言えるだろうか。
一つ前っていうのは、kを指すんだよね？
で、完全っていうのは、２増やした項で完全割数列になるから、そもそもkがない、と。
その意味であってるなら、それはいえる。

9a+bって形の整数を、一回以上で何回二倍にすると、-1してから3で割れるかというのを考えると

9a+1→36a+4→12a+1（2回）
9a+2→18a+4→6a+1（1回）
9a+3→×
9a+4→36a+16→12a+5（2回）
9a+5→18a+10→6a+3（1回）
9a+6→×
9a+7→36a+28→12a+9（2回）
9a+8→18a+16→6a+5（1回）
9a+9→×

ここである割数列の初期値が9a+bとし、その二項目に2を足すとすると
9a+b→36a+4b+1≡4b+1(mod9)
となり、9で割ったあまりが
1→5　4→8　7→2
2→9　5→3　8→6
3→4　6→7　9→1
のように変化する。
つまり
3n+1→3n+2　3n+2→3n　3n→3n+1
のようになる。
このことと>>334を使うと、>>333の予想が正しいといえる。

>>333だけなら3で割ったあまりだけでもよかったか。

>>334-335
そうそう、そういう意味。
証明乙です。

そういや、
>>232を一つずらして>>254ができたように、
>>304を一つずらしたら割数列→割数列の操作になりそう。

あと、あまり意味無さそうな発見。
全ての項が4以下であるような、任意の長さの割数列が存在する。
証明は簡単なので略。

また、任意の完全でない割数列は、
4以下の数でいくらでも左に延長することができる。
こちらも証明は簡単。

気付いたんだが、ここまで言われてきた完全→完全の操作は全て、
一つ前に奇数を並べられる割数列→一つ前に奇数を並べられる割数列の操作、
つまり、>>330で言うkに奇数が入る割数列同士で移りあう操作でもあり、
一つ前に偶数を並べられる割数列→一つ前に偶数を並べられる割数列の操作、
つまり、>>330で言うkに偶数が入る割数列同士で移りあう操作でもある。

まあ、直感的にほぼ明らかだけど、一応ちゃんと説明を。
まず、次のことが成り立つ。
�@初期値が3n+1⇔一つ前に偶数を並べられる
�A初期値が3n+2⇔一つ前に奇数を並べられる
左⇒右は、実際の計算により�@なら2が、�Aなら1が並べられることと
>>224（証明済み）から言える。
右⇒左は、例えば�@なら
一つ前に偶数を並べられる
⇒一つ前に奇数を並べられない、かつ、完全でない
⇒初期値は3nでも3n+2でもない
⇒初期値は3n+1
と示せる。�Aも同様。

さて、完全→完全の操作は（おそらく）初期値を3で割った余りを保つ操作であると言える。
よって、この操作によって初期値は3n+1→3n'+1、3n+2→3n'+2となる。
したがって、�@�Aより、定理は成り立つ。

おそらく、ってつけたところに若干の穴があるけど、まあこん

入りきらなかった……だと……？
最後は「まあ、こんな感じ。」と補間しといて下さい。


あげ

ひとつ発見。
割数列の初項に18を加減（マイナスにはならないように）すると、初期値を９で割った余り(mod9)は変わらない。
これは、証明出来た。

これを発展させて割数列のｎ番目の値を6*3^n加減しても、初期値の(mod9)の値は変わらない、と言えそう。
それから>>331-332に関しての予想。初期値xの(mod9)が、
x≡0 →　完全割数列
x≡1 →　k=2,4,6*,8,10,12*...
x≡2 →　k=1,3,5*,7,9,11*...
x≡3 →　完全割数列
x≡4 →　k=2,4*,6,8,10*,12...
x≡5 →　k=1*,3,5,7*,9,11...
x≡6 →　完全割数列
x≡7 →　k=2*,4,6,8*,10,12...
x≡8 →　k=1,3*,5,7,9*,11...
となる。（これは演算結果でこうなっただけで、未証明です）

>>337
そうだね、完全→完全は、3で割った余りを保持する操作だと思う。
というか、その考え方で見つけてきたので間違いないｂ。
336に関連してだけど、ある長さの割数列のうち初期値最小となるのは、4以下を並べたものとは限らない。
27の割り数列考えると、5とか入ってくるからね。これがまたややこしい。


>>339

初期値っていうのは、[k,…]の初期値ですよね。
18の加減も下の表も間違いないですね。

>>340
> 初期値っていうのは、[k,…]の初期値ですよね。
初期値xの割数列[…]に対し、x(mod9)の値によって[k,…]と出来る、という事です。
説明不足ですみません。

> 18の加減も下の表も間違いないですね。
検証有難うございます。

まとめると、こういうことか。
>>232の操作は初期値の有無を保つ。
一つずらした>>254の操作は初期値を3で割った余りを保つ。
さらに一つずらした>>339の操作は初期値を9で割った余りを保つ。
もう一つずらせば初期値を27で割った余りを保つ操作になるのかな。
意味があるかどうかは知らんけど。

また、3で割った余りから左に並べられる数を判定でき、
9で割った余りから二つ左まで並べられる数を判定できる。

>>304の操作でも似たようなことが言えるだろうか？

＞ 9で割った余りから二つ左まで並べられる数を判定できる。
ここが説明不足かな。
9で割った余りから、まず>>339により
何を左に並べれば完全割数列になるのかが分かる。
ここで、>>333-335あたりの循環の法則を用いれば、
二つ前に奇数が入るのか偶数が入るのかが分かる。

また意味不明な法則を見つけました。
長さ１の完全割数列は割数列の数値を４倍しても初期値の(mod9)を保つ。
長さ２の完全割数列で[奇数,偶数]のものは、
[4*奇数,2*偶数]が完全割数列となり初期値の(mod9)を保つ。
例によって未証明です。
２つ目の例
[1,4](3)≡3　→　[4,8](453)≡3
[7,4](213)≡6　→　[28,8](7.61e+009)≡6
[3,10](909)≡0　→　[12,20](477218133)≡0
[5,16](233013)≡3　→　[20,32](5.00e+014)≡3
ちなみに完全でない割数列には適用出来ません。
[...3,4](13)≡4　→　[...12,8](116053)≡7

>>344
>長さ１の完全割数列は割数列の数値を４倍しても初期値の(mod9)を保つ。
長さ１の完全割数列は[6n]なので、4倍するということは
[6n]→[18n]　つまり、18の倍数を加減するということ。
なので、正しいですね。

>長さ２の完全割数列で[奇数,偶数]のものは、
>[4*奇数,2*偶数]が完全割数列となり初期値の(mod9)を保つ。
こっちがどういう仕組かわかりません。
>>285の考え方から、[奇数,偶数]となるときは必ず[奇数,6n-2]であるから
これについて考えればいいのかな？

証明をさぼっていて悪かったのだけれども、>>285と>>286で全部の完全割数列の列挙はできそうなので
その方向で進めて、全ての3の倍数を表せることを示したい。

考えている手順

�@長さ１の完全割数列を列挙する
�Aそれぞれに対し>>285を行い、長さ２の完全割数列の一部を得る
�B初項に６を加減し、全ての長さ２の完全割数列を得る
�B長さｎの完全割数列に対し�A�Bを行い、長さｎ＋１の完全割数列を列挙する


完全割数列の初期値は全て３の倍数の奇数である　は明らかに真
３の倍数の奇数は、全てこうして得られる完全割数列のいずれかで表せる　は不明

後者が示せれば必要十分条件になる、といえる
示せない例があれば、それは１から逆にたどれない⇔ループが生じる　反例だろう。

>>285と>>286で全ての完全割数列が示せるという仮定（★と呼ぶ）の証明

[k,....]というn項の完全割数列は★を満たすとし
>>285の操作を行って得たn+1項の完全割数列が★を満たさないと仮定する。
kには偶数しか加減できないこと（割数列保持）と、6の倍数を加減すると>>285が分岐するため
k→k-2、k+2のみを考慮すればよい。

反例を具体的に考えると、[偶数,k-2]のような形。
しかし>>339から分かるように、これは割数列ですらない。
（[奇数,k-2]であれば、それは>>285と>>286の操作で全て作れる。）

[奇数,k+2]についても同様。


反例があると仮定すると、その反例は割数列ですらない、というおかしな結果になった。
よって、反例があるとしたのが間違いだったので、反例がない。

>[奇数,k-2]であれば、それは>>285と>>286の操作で全て作れる。
の補足。

[k,....]という完全割数列から
[...奇数,k-2,....]なる完全割数列が作れる。
これをそのまま短くして[奇数,k-2,....]とすれば
割数列が得られる。が、続きがあるため、必ず完全割数列ではない。

>>344
完全割数列[6]の初期値は21≡3(mod 9)
これと>>286を用いれば、
割数列[18n]…初期値9m
割数列[18n+6]…初期値9m+3
割数列[18n+12]…初期値9m+6
であることがわかる。
それぞれにの>>285の操作を行うと、
[6n',18n+2],[6n'+5,18n-2]
[6n'+4,18n+8],[6n'+1,18n+4]
[6n'+2,18n+14],[6n'+3,18n+10]
となる。
>>347より、長さ２の完全割数列はこれで全てである。

[奇数,偶数]の形の物に対して>>344の操作を行うと、
[6n'+1,18n+4]→[24n'+4,36n+8]
これは[6n'+4,18n+8]の形になっている。
[6n'+3,18n+10]→[24n'+12,36n+20]
これは[6n',18n+2]の形になっている。
[6n'+5,18n-2]→[24n'+20,36n-4]
これは[6n'+2,18n+14]の形になっている。
以上から、>>344の操作は正しいと言える。

これと>>254と>>259で、初期値を判定せずに長さ２の完全割数列を全て得られるな。

>>345
>>285の操作で完全→完全となるのは良いんですけど、その時に
初期値の(mod9)が保てない（＋３や−３も確定出来ない）んですよね。

例えば初期値の(mod9)が０になる２つの完全割数列
[18](87381)≡0　と、[36](2.29e+010)≡0　に>>285の操作の一つ[6,+2]を行うと、
[6,20](7456533)≡6　と、[6,38](1.95e+012)≡0　になる。
ついでに[5,-2]をやってみると
[5,16](233013)≡3　と、[5,34](6.11e+010)≡0　になる。

>>285-286の操作で全ての完全割数列を列挙するとなると、
>>332で仰ってるように、割数列を見ただけで(mod9)が出せる、
あるいは操作によって(mod9)の値が追いかけられる事が必要になる、と考えて
>>285の式の変形を考えてるんですけど、今ひとつ良い案が浮かばない。

初期値の(mod9)が保てる操作は・・・、と考えてて出てきたものが>>344だったりします。

>>349
初期値の(mod9)の値が保持出来る証明になってますか？

>>347

＞6の倍数を加減すると>>285が分岐するため
と、
＞ しかし>>339から分かるように、これは割数列ですらない。
のあたりをｋｗｓｋ。

>>350
あ、忘れてた、スマン。
(mod 9)を保持ことはまだ示してません。
そこが一番大事だったのね。

>>352
(mod 9)の証明は難しいですよね。どこから手を付けて良いやら・・・。

長さ１の完全割数列[k]の初期値の(mod 9)の値は、(k/2)(mod 9)で表わせる。
長さ２の完全割数列[k1,k2]の初期値の(mod 9)を無理やり表わすと、

k1≡1(mod 6),k2≡4(mod 9)の場合
((k1-1)/2+(int(k2/9)*3+3))(mod 9)
k1≡3(mod 6),k2≡1(mod 9)の場合
((k1-3)/2+(int(k2/9)*3+6))(mod 9)
k1≡5(mod 6),k2≡7(mod 9)の場合
((k1-5)/2+(int(k2/9)*3+0))(mod 9)

k1≡2(mod 6),k2≡5(mod 9)の場合
((k1-2)/2+(3-int(k2/9)*3))(mod 9)
k1≡4(mod 6),k2≡8(mod 9)の場合
((k1-4)/2+(3-int(k2/9)*3))(mod 9)
k1≡6(mod 6),k2≡2(mod 9)の場合
((k1-0)/2+(9-int(k2/9)*3))(mod 9)

となった。int(a/b)はa/bの商（小数点以下切捨て）の意味です。
長さ２で６パターンにも分けてしまうと、この先が大変だね。

>>353
おーなんかスゴいな…！しっかし難しい。可能かわからんが、もっと簡潔にしたいね。
何か手伝えるかもしれないから、長さ２の完全割数列をmod9ごとに並べてみてくれないかな。

>>350の方針把握。
長さを固定したままmod9を保つ操作の一例になりそうだね。長さを１増やしてmod9を保つ操作があるとすごく進みそうだ。



>>351
やっぱり分かりにくかったか！ゴメン、もう少し頭整理してみる。
夕方にはきっと。

>>354
(mod 9)ごとではないけど、こんな感じです。長さ１の割数列は表の見易さの為に入れてます。

[1,4]≡3　[7,4]≡6　[13,4]≡0　[19,4]≡3　[25,4]≡6　[31,4]≡0　[37,4]≡3　[43,4]≡6　[49,4]≡0　[55,4]≡3　
[6]≡3　
[4,8]≡3　[10,8]≡6　[16,8]≡0　[22,8]≡3　[28,8]≡6　[34,8]≡0　[40,8]≡3　[46,8]≡6　[52,8]≡0　
[3,10]≡0　[9,10]≡3　[15,10]≡6　[21,10]≡0　[27,10]≡3　[33,10]≡6　[39,10]≡0　[45,10]≡3　[51,10]≡6　
[12]≡6　
[2,14]≡0　[8,14]≡3　[14,14]≡6　[20,14]≡0　[26,14]≡3　[32,14]≡6　[38,14]≡0　[44,14]≡3　[50,14]≡6　
[5,16]≡3　[11,16]≡6　[17,16]≡0　[23,16]≡3　[29,16]≡6　[35,16]≡0　[41,16]≡3　[47,16]≡6　
[18]≡0　
[6,20]≡6　[12,20]≡0　[18,20]≡3　[24,20]≡6　[30,20]≡0　[36,20]≡3　[42,20]≡6　
[1,22]≡0　[7,22]≡3　[13,22]≡6　[19,22]≡0　[25,22]≡3　[31,22]≡6　[37,22]≡0　
[24]≡3　
[4,26]≡6　[10,26]≡0　[16,26]≡3　[22,26]≡6　[28,26]≡0　[34,26]≡3　
[3,28]≡6　[9,28]≡0　[15,28]≡3　[21,28]≡6　[27,28]≡0　[33,28]≡3　
[30]≡6　
[2,32]≡3　[8,32]≡6　[14,32]≡0　[20,32]≡3　[26,32]≡6　[32,32]≡0　
[5,34]≡0　[11,34]≡3　[17,34]≡6　[23,34]≡0　[29,34]≡3　
[36]≡0　
[6,38]≡0　[12,38]≡3　[18,38]≡6　[24,38]≡0　
[1,40]≡6　[7,40]≡0　[13,40]≡3　[19,40]≡6　
[42]≡3　
[4,44]≡0　[10,44]≡3　[16,44]≡6　
[3,46]≡3　[9,46]≡6　[15,46]≡0　
[48]≡6　
[2,50]≡6　[8,50]≡0　[14,50]≡3　
[5,52]≡6　[11,52]≡0　

>>355
ありがとう！規則がバッチリ見えるね。
初項を偶奇にわけて、なんか基本型を考えて、それに2,6を何回足して、0,18を何回加減したかで分かりそうだね。
とりあえず飯食って考えます。

予想です。証明はまだです。

a:0以上の整数　b:整数　各項は自然数　とすると

[1+6a,4+18a+18b]　≡3-3b(mod9)
[3+6a,10+18a+18b]　≡0-3b(mod9)
[5+6a,16+18a+18b]　≡3-3b(mod9)

むしろこっちの方がいいかな。

[1+2a+6b,4+6a]として
a≡0,2(mod3)のとき　3+3bを9で割った余り
a≡1(mod3)のとき　　3bを9で割った余り

[4-2a+6b,8+6a]として
a≡0,2(mod3)のとき　3+3bを9で割った余り
a≡1(mod3)のとき　　3bを9で割った余り

とりあえず、>>355の表には反例がないです。

>>351
＞6の倍数を加減すると>>285が分岐するため
例えば長さ1の[k]を考えると、6の倍数であるkからk-2とk+2が作れる。
このように、3つの数字のセットを考えることができる。
kに6を足すということは、一つ次のセットを考えるという意味になるので、考えなくてよいとした。

＞ しかし>>339から分かるように、これは割数列ですらない。
>>285から、[?,-2]の?に入れるのは奇数だけである。
念のため>>339を見ると、奇数なら奇数、偶数なら偶数だけが入るとき、割数列になる。

しょうもない質問でもうしわけないが、割数列のよみかたはわりすうれつでいいの？

>>360
むー、>>339を見てなぜそう言えるのかいまいち分からない。

>>361
俺は「かつすうれつ」のつもりだけど違和感ある？

>>358
乙です。すっきりしましたね。
でも初項を偶奇で分けた後(mod 3)で分岐させてるので、実質６パターンですね。
しかし、aを第２項で決めてから初項でbが決まるのは面白いですね。

>>360 (>>351)
割数列の初項に６を加えると、初期値の(mod 9)が３増える　→>>285で加えられる操作が変わる。
というのはＯＫですか？

それから>>339の表は(mod 9)の順に並べてますが、割数列の初項に２を加えて行くと初期値の(mod 9)は
0(or9)→1→5→3→4→8→6→7→2→0で巡回します。この事は >>335 参照。

これらを合わせて、例えば初期値(mod9)が３の割数列の初項に２を加える
→上の表により(mod 9)は４となる。
→>>339により[k,+2]のkは、≡4により、k=2,4*,6,8,10*,12... →k=4の時完全割数列となる
これを(mod 9)の0,3,6に於いて±2した６パターンで行うと>>285の表が出来ますね。

ただし>>347については私もよく分かってません。済みません。
背理法と帰納法を使って証明しようとしてるんでしょうけど、私にはよく分かりませんでした。

>>362
私も「わりすうれつ」と思ってた。
なので、プログラム名も「warisuretu.cpp」とかになってるw
考えると「すうれつ」が音読みだから「かつすうれつ」の方が良いのか。
それに「わりすうれつ」だと「割り数列」と書くべきかな。

調子に乗って長さ３の(mod 9)も出してみます。
初項を+6で(mod 9)が+3となるは判ってるので初項は6以下のみとしました。
【　】内は長さ２のものです。

ここで問題発生。
初項は+6で(mod 9)が+3、+18で一巡。第２項は+18で(mod 9)が±3、+54で一巡、
と考えると、第３項は+54で±3、+162で一巡と予想出来ますが、
使ってる変数が、uint64型（符号なし64ビット整数型）なので2^64でオーバーフローします。
つまり第３項で+54を確認出来るものが殆どありませんorz

【[1,4]≡3】[4,3,4]≡6　[3,5,4]≡6　【[7,4]≡6】[2,9,4]≡3　[5,11,4]≡0　【[13,4]≡0】[6,15,4]≡0　[1,17,4]≡6　
【[19,4]≡3】[4,21,4]≡0　[3,23,4]≡3　【[25,4]≡6】[2,27,4]≡6　[5,29,4]≡6　【[31,4]≡0】[6,33,4]≡3　[1,35,4]≡3　
【[37,4]≡3】[4,39,4]≡3　[3,41,4]≡0　【[43,4]≡6】[2,45,4]≡0　[5,47,4]≡3　【[49,4]≡0】[6,51,4]≡6　[1,53,4]≡0　
【[55,4]≡3】[4,57,4]≡6　
[6]≡3　
[1,2,8]≡3　【[4,8]≡3】[4,6,8]≡3　[3,8,8]≡0　【[10,8]≡6】[2,12,8]≡0　[5,14,8]≡3　【[16,8]≡0】[6,18,8]≡6　
[1,20,8]≡0　【[22,8]≡3】[4,24,8]≡6　[3,26,8]≡6　【[28,8]≡6】[2,30,8]≡3　[5,32,8]≡0　【[34,8]≡0】[6,36,8]≡0　
[1,38,8]≡6　【[40,8]≡3】[4,42,8]≡0　[3,44,8]≡3　【[46,8]≡6】[2,48,8]≡6　[5,50,8]≡6　【[52,8]≡0】[1,56,8]≡3　
[5,1,10]≡0　【[3,10]≡0】[6,5,10]≡0　[1,7,10]≡6　【[9,10]≡3】[4,11,10]≡0　[3,13,10]≡3　【[15,10]≡6】[2,17,10]≡6　
[5,19,10]≡6　【[21,10]≡0】[6,23,10]≡3　[1,25,10]≡3　【[27,10]≡3】[4,29,10]≡3　[3,31,10]≡0　【[33,10]≡6】[2,35,10]≡0　
[5,37,10]≡3　【[39,10]≡0】[6,41,10]≡6　[1,43,10]≡0　【[45,10]≡3】[4,47,10]≡6　[3,49,10]≡6　【[51,10]≡6】[2,53,10]≡3　
[12]≡6　
【[2,14]≡0】[6,4,14]≡0　[1,6,14]≡6　【[8,14]≡3】[4,10,14]≡0　[3,12,14]≡3　【[14,14]≡6】[2,16,14]≡6　[5,18,14]≡6　
【[20,14]≡0】[6,22,14]≡3　[1,24,14]≡3　【[26,14]≡3】[4,28,14]≡3　[3,30,14]≡0　【[32,14]≡6】[2,34,14]≡0　[5,36,14]≡3　
【[38,14]≡0】[6,40,14]≡6　[1,42,14]≡0　【[44,14]≡3】[4,46,14]≡6　[3,48,14]≡6　【[50,14]≡6】

[6,1,16]≡6　[1,3,16]≡0　【[5,16]≡3】[4,7,16]≡6　[3,9,16]≡6　【[11,16]≡6】[2,13,16]≡3　[5,15,16]≡0　【[17,16]≡0】
[6,19,16]≡0　[1,21,16]≡6　【[23,16]≡3】[4,25,16]≡0　[3,27,16]≡3　【[29,16]≡6】[2,31,16]≡6　[5,33,16]≡6　【[35,16]≡0】
[6,37,16]≡3　[1,39,16]≡3　【[41,16]≡3】[4,43,16]≡3　[3,45,16]≡0　【[47,16]≡6】
[18]≡0　
[4,2,20]≡6　[3,4,20]≡6　【[6,20]≡6】[2,8,20]≡3　[5,10,20]≡0　【[12,20]≡0】[6,14,20]≡0　[1,16,20]≡6　【[18,20]≡3】
[4,20,20]≡0　[3,22,20]≡3　【[24,20]≡6】[2,26,20]≡6　[5,28,20]≡6　【[30,20]≡0】[6,32,20]≡3　[1,34,20]≡3　【[36,20]≡3】
[4,38,20]≡3　[3,40,20]≡0　【[42,20]≡6】
【[1,22]≡0】[6,3,22]≡3　[1,5,22]≡3　【[7,22]≡3】[4,9,22]≡3　[3,11,22]≡0　【[13,22]≡6】[2,15,22]≡0　[5,17,22]≡3　
【[19,22]≡0】[6,21,22]≡6　[1,23,22]≡0　【[25,22]≡3】[4,27,22]≡6　[3,29,22]≡6　【[31,22]≡6】[2,33,22]≡3　[5,35,22]≡0　
【[37,22]≡0】[1,41,22]≡6　
[24]≡3　
[3,2,26]≡0　【[4,26]≡6】[2,6,26]≡0　[5,8,26]≡3　【[10,26]≡0】[6,12,26]≡6　[1,14,26]≡0　【[16,26]≡3】[4,18,26]≡6　
[3,20,26]≡6　【[22,26]≡6】[2,24,26]≡3　[5,26,26]≡0　【[28,26]≡0】[6,30,26]≡0　[1,32,26]≡6　【[34,26]≡3】
[3,1,28]≡3　【[3,28]≡6】[2,5,28]≡6　[5,7,28]≡6　【[9,28]≡0】[6,11,28]≡3　[1,13,28]≡3　【[15,28]≡3】[4,17,28]≡3　
[3,19,28]≡0　【[21,28]≡6】[2,23,28]≡0　[5,25,28]≡3　【[27,28]≡0】[6,29,28]≡6　[1,31,28]≡0　【[33,28]≡3】
[30]≡6　
【[2,32]≡3】[4,4,32]≡6　[3,6,32]≡6　【[8,32]≡6】[2,10,32]≡3　[5,12,32]≡0　【[14,32]≡0】[6,16,32]≡0　[1,18,32]≡6　
【[20,32]≡3】[4,22,32]≡0　[3,24,32]≡3　【[26,32]≡6】[2,28,32]≡6　【[32,32]≡0】

[2,1,34]≡0　[5,3,34]≡3　【[5,34]≡0】[6,7,34]≡6　[1,9,34]≡0　【[11,34]≡3】[4,13,34]≡6　[3,15,34]≡6　【[17,34]≡6】
[2,19,34]≡3　[5,21,34]≡0　【[23,34]≡0】[6,25,34]≡0　[1,27,34]≡6　【[29,34]≡3】
[36]≡0　
[2,2,38]≡6　[5,4,38]≡6　【[6,38]≡0】[6,8,38]≡3　[1,10,38]≡3　【[12,38]≡3】[4,14,38]≡3　[3,16,38]≡0　【[18,38]≡6】
[2,20,38]≡0　[5,22,38]≡3　【[24,38]≡0】
【[1,40]≡6】[2,3,40]≡3　[5,5,40]≡0　【[7,40]≡0】[6,9,40]≡0　[1,11,40]≡6　【[13,40]≡3】[4,15,40]≡0　[3,17,40]≡3　
【[19,40]≡6】[2,21,40]≡6　
[42]≡3　
[5,2,44]≡3　【[4,44]≡0】[6,6,44]≡6　[1,8,44]≡0　【[10,44]≡3】[4,12,44]≡6　[3,14,44]≡6　【[16,44]≡6】[2,18,44]≡3　
[1,1,46]≡3　【[3,46]≡3】[4,5,46]≡3　[3,7,46]≡0　【[9,46]≡6】[2,11,46]≡0　[5,13,46]≡3　【[15,46]≡0】
[48]≡6　
【[2,50]≡6】[2,4,50]≡0　[5,6,50]≡3　【[8,50]≡0】[1,12,50]≡0　【[14,50]≡3】
[4,1,52]≡3　[3,3,52]≡0　【[5,52]≡6】[2,7,52]≡0　【[11,52]≡0】
[54]≡0　
[6,2,56]≡6　[1,4,56]≡0　【[6,56]≡3】
【[1,58]≡3】[4,3,58]≡3　
[60]≡3　
[1,2,62]≡0　

>>364
>使ってる変数が、uint64型（符号なし64ビット整数型）なので2^64でオーバーフローします。

http://gmplib.org/
ぐぐったらこんなのが出てきた。使えないかな。

>>367
情報有難う。
でも、もしこれ以上の整数型を扱うとしても多分自前で用意すると思う。
コラッツ演算で必要なのは2と3の乗除、1の加減がメインだし、後は(mod n)くらいだしね。

それよりも出来るなら演算結果でなく理論で証明したいね。
私が演算結果を並べてるのは、そこから何か法則が見えないか、理論の構築の手助けにならないか、と思うからだし。

2^n(mod 3^m)の関係
m=1[2^n(mod 3)]の場合（n=1から1づつ増やす）
{2,1,2,1,2,1,2,1...}（n+2でループ）
m=2[2^n(mod 9)]の場合
{2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2...}（n+6でループ）
m=3[2^n(mod 27)]の場合
{2,4,8,16,5,10,20,13,26,25,23,19,11,22,17,7,14,1,2,4,8...}(n+18でループ）

2^n(mod 3^m)は、3^m*2/3でループする。また3^m*2/3番目は1である、と言えるだろうか。

>>363
やっとわかった。ありがとう。

>>344の操作の証明
割数列の初項に18の倍数、第２項に54の倍数を加減しても
初期値を9で割った余りは変わらない。
よって、初項1〜18、第２項4〜56のもの、すなわち
[1,4][3,10][5,16]
[7,4][9,10][11,16]
[13,4][15,10][17,16]
[1,22][3,28][5,34]
[7,22][9,28][11,34]
[13,22][15,28][17,34]
[1,40][3,46][5,52]
[7,40][9,46][11,52]
[13,40][15,46][17,52]
の27個について成り立つかどうか調べればよい。
あとは誰かお願いします。

>>370は自己解決しました。
よく考えたら、今まで得た性質と>>355や>>364-366を使えば簡単だった。

そういや、今まではっきりとは言われなかったけど
割数列[a1,…,an]に対して、
s_k=a1+…+ak,s_0=0と置くと、
その初期値は
(2^s_n-Σ[k=1,n]3^(k-1)*2^s_(n-k))/3^n
=(2^s_n-2^s_(n-1)-3*2^s_(n-2)-…-3^(n-2)*2^s_1-3^(n-1))/3^n
と表せる。
証明は帰納法で一発。

これを使えば>>321は簡単に示せる…多分。
というか、この形から導いたんじゃない？勘だけど。

>>363
170氏には失礼だけど、>>347を俺なりに書き直してみる。

全ての完全割数列は、[6]に初項への6の加減と>>285の操作（この操作を★とする）を
有限回行うことで得られることを示す。

長さ１の完全割数列は[6n]で表されるから、[6]の初項に6(n-1)を加えて得られる。
よって成り立つ。
長さnで成り立つと仮定する。
このとき、長さn+1で成り立つことを示せばよい。
これを背理法で示す。

長さn+1の完全割数列で、★によって得られないものが存在すると仮定する。
それを[a1,…,a(n+1)]とおく。
このとき、[a3,…,a(n+1)]は完全でない割数列。
よって、>>339より適当な自然数kで[k,a3,…,a(n+1)]は完全割数列となる。
仮定より、これは★によって得られる。
さて、a2=kとするとa1が存在し得ないので、不適。
また初項には偶数しか加減できないので、a2=k+1,k+3,k+5も不適。
a2がk+m(m≧6またはm＜0)のときは、a2に6の倍数を加減することで
k〜k+5のどれかと同一視できる。
したがって、a2=k+2,k+4(≡k-2)の場合を考えればよい。

あとは仰る通りです。

長さ2の基底が[1,4],[4,8]に絞られたように、
長さ3の基底を>>254と>>304の操作から考えると、
[4,3,4],[3,5,4],[1,2,8],[4,6,8],[5,1,10],[6,5,10]
[6,4,14],[1,6,14],[6,1,16],[1,3,16],[4,2,20],[3,4,20]
の12個に絞られる。（第3項,第2項が小さくなるように絞った。）

>>357-359の発想を長さ3でも行おうとすると、12個の式が出てくることになる。
12個の式をまとめて表す方法か、
完全→完全のさらなる関係式を見つけたいところだな。

あげ

ふと思い付いた。
1になってからもコラッツ操作を続けると、割数列の末尾に2が並んでいく。
そこで、割数列の定義を少し拡張して、
末尾に任意個の2が省略されていると見なしてよい
とする。

こうすると、例えば[6,2],[6,2,2]は長さ2,3の完全割数列と見なせる。
これらは（おそらく）今まで得た完全割数列の性質に反しない。
つまり、必要なだけ6の後ろに2を並べれば、
任意の長さの完全割数列の一つが簡単に得られる。

それと、割数列の初期値を表す記号を作ったほうが良さそうだな。
>>355みたいな書き方は本当はあまりしてほしくない。
ということで、割数列[a1,…,an]の初期値を
B[a1,…,an]
と表すことにする。
例
B[1,4]=3
B[4,3,4]=69
B[18n+12]≡6(mod 9)

>>374の拡張にあわせて、1の割数列も考えてよいとしよう。
これは、全ての項が2であるような割数列である。
これもおそらく、今までに得た性質に反しない。

それと、新たな割数列→割数列の操作(+α)を見つけた。
割数列[a1,…,an]に対して、
a1が奇数のとき
初項に1、第2項に4を加えた[a1+1,a2+4,a3,…,an]も割数列
初項を除き、第2項に2を加えた[a2+2,a3,…,an]は完全割数列
a1が偶数のとき
初項に1、第2項に2を加えた[a1+1,a2+2,a3,…,an]も割数列
初項を除き、第2項に4を加えた[a2+4,a3,…,an]は完全割数列

証明は、>>333-335の循環の法則を第2項に適用すれば簡単。
珍しく奇数が関わる関係式だから、なんか使えるかも。
第3項以降への拡張、完全割数列バージョン、初期値への影響などを考え中。

計算機つかうならGMPくらい使えや、ボケどもめ

>>367

>>374-375
むしろ、
[a_1,...,a_n]は[a_1,...,a_n,2,2,...]の省略形と考えた方がいいんじゃないか？

>>378
それは俺もちょっとおもった。

あと、割数列は２で割る回数をまとめるけど、あえてまとめなかったらどうなるかな。
コラッツの操作で２でわるときは１、3倍して１足すときは０として数列を作る。

例えば1からスタートするなら011011011...という数列になる。
この数列を仮に2進数の小数部分とみなすと0.011011011...=3/7と表現できる。

これから、なにかおもしろい話がでてこないかな〜とか思ってる。

>>378
そう書いたつもりだが…
書き方が悪かったかな？

>>379
とりあえず最後は011011…と循環するから、必ず有理数になるな。
それと、0の次は必ず1か。
これによって得られる有理数はわりと限られそうだな。

これについて検証するのはやめておいた方がいい。
計算機に頼らない証明を試みたものの、とんでもなく難しい部分があって証明が間違っていることに気付いてしまった。

>>381
これについてって、どれについて？

長さ３の完全割数列を眺めてたら、こんなんが出た。

[4,3,4]→[5,1,10]は[+1,-2,+6]
[7,2,8]→[6,4,14]は[-1,+2,+6]
[6,5,10]→[7,3,16]は[+1,-2,+6]

[4,3,4]→[6,5,10]は[+2,+2,+6]
[3,8,8]→[1,6,14]は[-2,-2,+6]
[5,1,10]→[7,3,16]は[+2,+2,+6]
[6,4,14]→[4,2,20]は[-2,-2,+6]
[1,6,14]→[3,4,20]は[+2,-2,+6]

[3,5,4]→[6,5,10]は[+3,0,+6]
[4,6,8]→[1,6,14]は[-3,0,+6]
[6,4,14]→[3,4,20]は[-3,0,+6]

なんかありそう。
[6,2,2]という自明な完全割数列から全てを導ければいいんだけど。

あと、1と2と4は第0世代としたほうが自然な気がしてきた。

あげ

なんだかちょっと重要そうな発見。
与えられた任意の数列が割数列かどうか判定できる⇔与えられた任意の数列が完全割数列かどうか判定できる

証明
（左⇒右）
割数列判定ができるとする。
数列[a1,…,an]が与えられたとき、次のことを確かめる。
�@[a1,…,an]が割数列である。
�A[1,a1,…,an]が割数列でない。
�B[2,a1,…,an]が割数列でない。
これらを満たせば、[a1,…,an]は[k,a1,…,an]が割数列となるようなkが存在しない割数列、すなわち、完全割数列であると言える。
また、�@�A�Bのうちひとつでも成り立たなければ、これは完全割数列でないと言える。

（右⇒左）
完全割数列判定ができるとする。
数列[a1,…,an]が与えられたとき、
a1が奇数なら、[a2+2,a3,…,an]
a1が偶数なら、[a2+4,a3,…,an]
が完全割数列であれば、[a1,…,an]は割数列であると言える。
これは、>>333-335にある循環の法則から分かる。

やるんなら頼むからもっと意味のあることをやって来れ

意味のあること（笑）

反論できないからって（笑）付けて反論した気にならんでもええんやでー

数板民のくせに数論に意味をもとめるのか。
やれやれ。

(・3・)

この問題を解くために意味のあることって意味だろ

未解決問題にチャレンジしてるのに、そうそう目覚ましい成果がでるかっつの。

384の発見が後にされる証明の重要な理論となることに、当時のスレ住民は想像もしていなかった・・・

一般化しないとき
無限を有限個の場合分けに帰着できれば、それがいくら多かろうが虱潰しが出来る。
そうでなければ何超個の例を挙げようが解決にはならない。
解決の糸口にはなるかもだけど。

あ、よく考えたら割数列かどうか、完全割数列かどうかってのは、逆算してみればわかるのか。
>>384で俺が言いたかったのは、逆算して初期値を求める、またはそれと同等に大変な計算をすること無く判定できるってことです。

>>393
例をいくらあげても解決にならないことぐらい、文系志望の高校生でも知ってることだ。
有限個の上手いの分け方があるなら教えてくれ。

131 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/05/20(水) 20:02:27
このスレもまた例外ではないようだ

賢い人はコラッツには手を出さない

>>395
教える前に論文提出しますｗ

オンライン整数列大辞典って便利だね

まあ同じ命題を弄くり回してるんだから当然だが
自分で導きだした性質や数列も、やっぱ誰かさんが一度は辿り着いてる
悲しいけど、自分でプログラムを組んで出力したものや、紙に計算したものの確認にはなる
でも誰かが通って解決してないってことは…

でも証明のために結構要るだろうなって考えてる数列でも、検索には引っかかるが
コラッツについては言及してない数列もあるけど

いや訂正、やっぱり無いのもあった。安心安心

しつこいようだけど、完全→完全操作を発見。
初項、第2項に関するのは多分これで最後。

完全割数列[a1,…,an]に対して、a1が6の倍数ならば、初項に1、第2項に2を加えても完全割数列。
これと>>304などを組み合わせると、a1≡1(mod 6)からa1≡5(mod 6)に対しても同じような操作が得られる。

ここで、割数列に行う操作のうち、
�@有限個の項に定数を加減するものである。
�A条件が有限個の項をある整数で割った余りで表される。
という条件を満たすものを基本操作と呼ぶことにする。

初項と第2項が関わる完全→完全の基本操作は
初項への6の加減、第2項への18の加減
初項が奇数のとき初項+2,第2項+6
初項が偶数のとき初項-2,第2項+6
それと、上で得た6つ（実質1つで十分）の操作の組み合わせで全て得られる。多分。

[6,2,…,2]という自明な完全割数列から、基本操作だけで全ての完全割数列を得るのを当面の目標にしよう。
長さ1,2は達成済み。

あ、大事なのが抜けてた。
基本操作の条件に
�B割数列を割数列に移す操作である。
を付け加えます。
特に完全→完全の基本操作を完全基本操作と呼ぶことにします。

長さ2までなら、完全基本操作を用いて完全割数列かどうか判定できる。
例
[100,100]が完全割数列かどうか判定したい。
初項から6、第2項から18を引けるだけ引く
[100,100]→[4,10]
初項が偶数だから初項に+2、第2項に-6
[4,10]→[6,4]
もし完全割数列なら、有限回の操作で[6,2]となるはずだが、そうならなかった。
よって、[100,100]は完全割数列でない。

age

age

おっ、ちょうどいいタイミングであがってる。

長さ3の完全割数列について。
上の完全基本操作を用いれば、完全割数列を保ったまま初項を任意の数にすることができる。
よって、初項をある数に固定した場合のみ考えればよい。
とりあえず、6に固定することにする。
さらに>>254と>>304で得られるものを除くと、
[6,1,16],[6,2,56],[6,3,22],[6,4,14],[6,5,10],[6,6,44]
が残る。ここから、初項が6のとき、第2項を6で割った余りが
1ならば+[0,2,6]
2ならば+[0,2,12]
3ならば+[0,2,42]
4ならば+[0,2,30]
5ならば+[0,2,24]
6ならば+[0,2,48]
また、初項が6のとき、第2項を18で割った余りが2ならば+[0,-1,+14]
以上は完全基本操作になると予想できる。
これらによって、[6,2,2]から全ての長さ3の完全割数列が（多分）得られる。

age

だいぶ止まってるな
進んでないんだろうか

きりがないと気づいたんだろう

[0,...,0,-1,-{3^(n-1)-1}]
[0,...,0,0,3^(n-1)-1]
[0,...,0,1,2*{3^(n-1)-1}]

[1,...,1,1,-{(-3)^(n-1)-1}]
[1,...,1,2,(-3)^(n-1)-1]
[1,...,1,3,2*{(-3)^(n-1)-1}]

（第k項は2*3^kを法として循環していると見る）
これらは完全割数列か？

age

410,205,616,308,154,77,232,116,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (27 step)

ほ
ついでにあげ
過疎すぎだろう

今年も解かれませんように

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★

小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

「ハッカーのたのしみ」って本を読んでいたら-1+i進数というのがあった。
普通の２進数はΣa_n * 2^n (a_n=0 or 1) ですべての整数を表すわけだけど、
-1+i進数というのはΣa_n * (-1+i)^n　(a_n=0 or 1)で全ての複素整数（実部も虚部も整数の複素数）を表せるらしい。
で、-1+i進数で2と3を表すと
2(10進数) = 1100 (-1+i 進数)
3(10進数) = 1101 (-1+i 進数)
となる。
なんとなくコラッツの予想を考えるのに、なにかの足しになりそうな予感がしたので書いておく。

415,1246,623,1870,935,2806,1403,4210,2105,6316,3158,1579,4738,2369,7108,3554,1777,5332,
2666,1333,4000,2000,1000,500,250,125,376,188,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,
182,91,274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,
445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,
2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,
4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,
160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1

厨房がコラッツをがんばっています
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264327094/

コラッツが中学生によって解かれた模様です。
http://alan.dousetsu.com/Untitled2.pdf

すげーな。
4ページ目の3行目と10行目が気になるとはいえ・・・

消えてるんすけど・・・

>>417
4ページ目の16行目と18行目のaとbは、a_nとb_nの間違いでしょうか
また、一番下の段落の(ea)_n,(eb)_n,(ej)_n,(rea)_n,(reb)_n（たぶん数列だと思いますが…）
の定義がよくわかりません

理屈は分からんが3n-1でも同様の性質が認められんじゃ？

メールアドレス公開しました。http://alan.dousetsu.com/
４ページ目見直します。>>418-420

こっそり燃料投下しました

え、マジで証明できたん！？

3X_{n-1}+1≡2 mod 4ならm_{n-1}=2なのでX_{n}=(3X_{n-1}+1)/4なのでは？

>>425
3X_{n-1}+1≡2 mod 4というのは
0 mod 2だけど0 mod 4でないので
m_{n-1}=1だと思います

数学板きて知ったのですが添字はアンダーバーをつかうのですね

3X_{n}+1≡2^{m_{n}-1} mod 2^{m_{n}}っていう定義なんだから
3X_{n-1}+1≡2^{m_{n-1}-1} mod 2^{m_{n-1}}じゃん。
てことは3X_{n-1}+1≡2 mod 4というのは　
3X_{n-1}+1≡2^(2-1) mod 2^2 だからm_{n-1}=2じゃん

お

重要な間違いを指摘していただいたのにすぐ気付かなくて申し訳ないです。
訂正します。

やっぱり眠いので明日にします

論文の3ページ目までを自分なりに解釈してみる

m_{n}はこのスレで言うところの「割数列」に当たるものだと思う(>>210以降参照)

証明（１）の主張
n>0のとき、
・X_{n}≡5 (mod 6)　(m_{n-1}≡1 (mod 2)のとき)
・X_{n}≡1 (mod 6)　(m_{n-1}≡0 (mod 2)のとき)

証明（２）の主張
任意のnに対して、
・X_{n}≡(5*2^m_{n}-1)/3 (mod 2^(m_{n}+1))　(m_{n}≡1 (mod 2)のとき)
・X_{n}≡(2^m_{n}-1)/3 (mod 2^(m_{n}+1))　(m_{n}≡0 (mod 2)のとき)

したがって、4ページ目にあるようにa_{n},b_{n},a'_{n},b'_{n}を定義すると
X_{n}=a_{n}*j_{n}+b_{n}=a'_{n}*j'_{n}+b'_{n}と書ける

ここまで、この解釈でよろしいでしょうか？

それから、4ページ目の下あたりからよくわからないのですが
（特に、(ea)_n,(eb)_n,(ej)_n,(rea)_n,(reb)_nの定義の仕方）
詳しく教えてくれませんか？

定義は
X_{n+1}=(3X_{n}+1)/2^m_{n}
じゃなくて
X_{n+1}=(3X_{n}+1)/2^{m_{n}-1}
じゃないとX_{n+1}が整数にならない。

証明（１）の後半が何いってるのかさっぱりわからん

どんな自然数ｎをとってもｎ≡2＾{m-1} mod 2^mが存在するってあるけど
ｎ＝5 やn=7 のときはｍは何？

>>435
m=1

そんなことよりも、この論文の趣旨はこういうことだと思う↓
例えば、X_{0}として7をとってきた場合、
7のコラッツ数列は7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1で割数列は[1,1,2,3,4]（2で割った回数）
このとき、m_{0}=1,m_{1}=1,m_{2}=2,m_{3}=3,m_{4}=4,...
X_{0}=7,X_{1}=11,X_{2}=17,X_{3}=13,X_{4}=5,X_{5}=1,...
と定義する

いま学校から帰ってきました。
某所に燃料を入れればアクセス数が20倍になっていました。
ちょっと論文訂正してきます。時間かかるかもしれません（アウトラインにしちゃったのでめんどくさい）

すいません。遊戯王のデッキを作っていたのでまだ手をつけてもいません。
すぐやります。

色々修正しました。
http://alan.dousetsu.com/

>>439
そういやどこか海外の数学研究所が懸賞金かけてなかったっけ？

>>440欲しい。
wikiには５００ドルもらえると

英語版のWikipedia読め
あと、この証明は間違ってるね
地元の大学の先生とかにでも見せたら感心されると思うよ

間違ってるか…どこ？

読めない。
In 2006, researchers Kurtz and Simon,
building on earlier work by J.H. Conway
in the 1970s,[5] proved that a natural
generalization of the Collatz problem is
undecidable.[6] However, this proof
depends upon the generalization and cannot
be applied to the original Collatz problem.

否定的に証明されたってこと？

じゃなくて日本Wikipediaの外部リンクの方か
1000ポンドの賞金について書いてあるのは

最大公約数はgcd(a,b,...)、最小公倍数はlcm(a,b,...)が一般的じゃなかったっけ
互除関数はAを算出する関数とBを算出する関数に分離しちゃいかんのだろうか
互除関数のeとかrとかがよくわからん

>>447
１行目、それが一般的だろうね

undecidable というのは決定不可能命題とかいう意味なのかな
それとも解が一意に定まらないみたいな意味なのか
どっちにしろオリジナルの問題には役に立たない一般化の話みたい

一般化は素直なアプローチだと思うが。

>>softbank
2頁の証明(1)の後半は　X_{n}≡5 (mod 6)　を仮定してるのに
その5行後にX_{n}≡5 (mod 6)が何故結論になってるの？

>>447その関数知らなかったから許して。eとrはdy/dxみたいなeaで一つの文字として見てください。
>>451X_{n}≡5 (mod 6)　のときはなんたらかんたらだからm_(n-1)のときX_{n}≡5 (mod 6)　というつもりなんですが何か変ですね。
書き直します。

>>452
とりあえず場合分けする時は(i)とか(ii)とか書くようにしてくれればもう少し見易くなる

>>452
ＡならばＢ、よってＣならばＡ、っておかしくないか？

X_{n}=(X_{n-1}*3+1)/2^(m_{n}-1)の定義なら
式から明らかに3の倍数ではない。つまり1,5(mod 6)
で証明（１）の結論に至るのでは。

今日の0時ごろちょろっとうｐしました。

完全にうｐしました。

エルディッシュが証明できなかったような問題を、素人が簡単に
１年程度で解けると思ってはいけません。

数学はガチで実力の世界で運不運はないからね。
まあ、しばらくはいい夢を見させてもらおうよ。

最新版読んでるけど読みにくくてさっぱりわからん。
結論（２）の　∧　は　∨　ではないのか。
あとlcmじゃなくてlcnな。
３頁の１行目後ろの方「３分の」が抜けている。
３頁の結論（３）は何故a(ra)=Aになるの？
その直後の行m_{n}≡1 mod 2 のとき・・・はm_{n-1}≡1 mod 2 のときではないのか。
３頁下から４行目も同様にm_{n-1}ではないのか。
３頁下から５行目j'_[n}になっているが、ダッシュは必要あるのか。

最新版の証明（１）だけど
単にX_{n}≡5 (mod 6)　∨　X_{n}≡1 (mod 6)　だけを証明するんじゃなくて
・X_{n}≡5 (mod 6)　(m_{n-1}≡1 (mod 2)のとき)
・X_{n}≡1 (mod 6)　(m_{n-1}≡0 (mod 2)のとき)
（m_{n-1}の偶奇によって場合分け出来ること）を証明しなければならないんじゃないか

>>460
＞あとlcmじゃなくてlcnな。
ん？

つられるなよ

ネタに釣られに逝くと最小公倍数はexcelを参考にしたから間違ってるかも。
他も調べてみる。

>>460は色々とフェイクが入っている？？
たまにノイズが入ってるほうがモチベーションが保たれる気がします。

４ぺーじあたりからめちゃくちゃだな。
定義じゃないのに定義（ｷﾘｯ)とか書いてあったり。
欠番ってなんだよ。野球かよ。
４頁の定理５なんでいきなりm0出てくるんだよ。2^m0じゃないのかよ。
m0(ea)1はなんで0でないんだよ。
(rea)nってなんだよ。
なんでAnは３の倍数なんだよ。
（だから(ea)1＝6だから）ってどんだけ「だから」好きなんだよ。
(ea)1はなんで３の倍数でないんだよ。
(rea)nはなんで３以上なんだよ。
なんで(reb)t=(reb)t+1=・・・=0を満たすtが存在するんだよ。
B=NaNのときの話はどこいったんだよ。

書き方がひとりよがすぎてわかわかんねーんだよ。

正の数の無限和はいつも無限大になるとか
思ってないだろうな。
1+0.1+0.01+0.001+・・・=10/9 ですから！！残念！！

>>467さすがにそれは…
>>468色々端折りすぎました。だから→なので？

英語訳とか後回しでいいから早く日本語で書き直せ

みんな口は悪いがお前を応援してるぞ。
がんがれ

コラッツの予想はなまやさしいものではない。
悪いことは言わないから、手を出すのはやめときな。

「フェルマーの最終定理をエクセルで解きました」
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=10916

一瞬の祭りだったな。

私立の試験終わりました。都立が本命なので都立が終わったら見直そうと思います。

>>472
これはひどい。明らかにX<27,n<10の話ではないでしょうか？

　　x　　　-　　x/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1/2
　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+
　3x/2　　-　　3x/4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1/4
　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+　
　9x/4　　-　　9x/8　　-　　9x/16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1/16
　　|　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 +
　27x/8　-　　27x/16　--　　27x/32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　2/32
　　|　　　　　　　　||　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　+
　81x/16　-　81x/32　　---　81x/64　　---　81x/128　　　　 　　　　　　3/128
　　|　　　　　　　　|||　　　　　　　　|||　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+
　243x/32　-　243x/64　　-　243x/128　　-　243x/256　 　　　　　　　　7/256
　　|　　　　　　　　||||　　　×4　　|||||||　　　×7　　　　　　　　　　　　　　　　　+
　729x/64　-　729x/128　-　729x/256　-　729x/512　-　729x/1024　　12/1024
　　　　　　　　　　　　　　　×5　　　　　　×12　　　　　　×12

右の式を計算すると 1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4
これをを続けると　 1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4…=1
よってすべての整数は元の数より小さくなる

意味不

反例を見つける方向で頑張ってる人っているの？
順番に計算してみる以外の方法で

>>476
結局、何をいってるの？

>>476 は適当な整数をxと置くとそれが偶数の場合はすべての整数の1/2が元のxより小さくなる
奇数の場合3x+1/2になりこれが偶数の場合3x+1/4で4n+1つまり
すべての整数の1/4が元のxより小さくなる
奇数の場合9x+5/4になりこれが偶数の場合9x+5/8　(�T)
奇数の場合27x+15/8 (�U)となる
(�T)が偶数の場合9x+5/16で16n+3つまり
すべての整数の1/16が元のxより小さくなる
(�T)が奇数の場合27x+23/16となる　
(�U)が偶数の場合27x+15/16となる
これら２つが偶数の場合27x+23/32,27x+15/32で32n+11,32n+3つまり
すべての整数の2/32が元のxより小さくなる
また上の２つの式の定数項は23≠15
これは毎回１を足すタイミングが違うためである
ここまでで元のxより小さくなるのは
1/2+1/4+1/16+2/32つまり1/2+1/2^2+1/2^3
これをを続けると1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4…=1
よってすべての整数は元の数より小さくなる

発想の種としてなら試してみる価値はあるけどね
証明の本番でもそのロジック止まりだとしたら噴飯ものでしかないよ

今任意の数についてそれが循環しないことは割と綺麗に証明出来そうなんだけど
その論法だと、全ての数が1に戻るってことは説明できないんだよね
循環しないで1にも戻らないってことは直感的にまずあり得ないんだけど
理論的には何と言えば良いのかな

>>482
＞今任意の数についてそれが循環しないことは割と綺麗に証明出来そうなんだけど
それは矛盾してる。1→4→2→1→4→2→1→ … という循環があるから。
あと、循環がなくても発散する可能性がある。

>>480
整数nに対して、次のように変換Tを定義する。

nが偶数のとき：nを0に置き換える。
nが奇数のとき：nを(n＋1)/2に置き換える。

このとき、どんな整数に対しても、
変換Tを何回か施すと0になる。

例：
4 　→　0
5 　→　3　 →　2　→　0
0　 →　0
-2　→　0
-3　→　-1　→　0

>>483
ああ、ごめんごめん。俺の方法だと、それだけに限られることが証明される
他にもコラッツは3n+1についてだが、例えば3n-1についてもどこで循環するのか分かる
発散がありえないと思うのは、発散する条件が厳し過ぎるから

分かってると思うけど追加して言っておくと、1で循環するのは例外ではないよ
当然だけど他のすべての数と同じ規則に従ってる

(>>484の続き)

証明：

適当な整数をxと置くと、それが偶数のときは
0に置き換えられるから、すべての整数の1/2が0になる。
xが奇数のときは(x＋1)/2に置き換えられるので、奇数全体を
縦1列に並べて「A列」と名づければ、A列は次のようにB列に変換される。

A列　　B列
：　　　：
：　　　：
-5　→　-2
-3　→　-1
-1　→　0
1　 →　1
3　 →　2
5　 →　3
：　　　：
：　　　：

B列は整数全体なので、次の変換によって、B列の1/2(偶数全体)が0になる。
これをA列から見れば、A列の1/2が0になるということ。一番最初の整数全体で
見れば、整数全体の1/4が0になるということ。この議論を繰り返すと、
整数全体の1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , … が0になるので、
1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4…=1　よって全ての整数は0になる。

(>>484の続き)
一方で、1について変換Tを繰り返すと 1 → 1 → 1 → 1 → … となって、0にならない。
これは矛盾。


1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4…=1 だからといって、「すべての整数が〜」と主張することは
できない。>>480は間違っている。

>>483
重ねてすまんが、オリジナルに従ってそう書いてくれたんだろうが
奇数と奇数の間の偶数について考えても意味ないよな
そう考えるのは普通だと思うし、少なくとも俺はそれでやってる
循環するのは1→1だけ。方程式を立てるとそれを満たすのが1だけってこと

＞循環するのは1→1だけ。方程式を立てるとそれを満たすのが1だけってこと
おかしいなあ。その方程式は物凄く難しくて、
今の人類には手がつけられないはずなんだけど。
少なくとも、「割と綺麗に」できるはず無いよ。

>>490
なんで物凄く難しいって分かるんだろう。それこそおかしいよ
コラッツの規則は割と単純だよ。具体的には場合分けは2つ
3n+1の3や1がもっと大きな数なら大変なことになるけどね
俺の質問は循環せず1にも戻らない数の存在がないことの説明なんだけど
つまり循環は1→1以外ないとするとってことで考えてみてよ

>>491
＞なんで物凄く難しいって分かるんだろう。それこそおかしいよ
コラッツ変換の定義から、方程式はすぐに立てられる。
誰が立てても本質的に同じ方程式になる。記号の使い方、
変数の意味するところによって、式の形にバリエーションが
出るけど、本質的には同じ方程式になる。
そして、その方程式は物凄く難しい。


＞コラッツの規則は割と単純だよ。具体的には場合分けは2つ
あなたは何かを勘違いしてるんでしょう。
場合分け2つで出来るわけが無い。

＞俺の質問は循環せず1にも戻らない数の存在がないことの説明なんだけど
それが示せたら論文になります。1つの方法としては、

「1でない任意の自然数nに対して、有限ステップでnより小さくなる」　…　(*)
を示すこと。あとは↓の議論でおわり。


コラッツの変換をf(n)と書く。
発散するnがあったら、n→f(n)→f^2(n)→… という系列の中で
値が最小のものを見つけ、それをf^k(n)とする。m＝f^k(n)とおけば、
mから出発した系列 m→f(m)→f^2(m)→… においては、mより小さい値が無い(矛盾)。


もっとも、(*)が言えたら、それだけで「循環は1→1しかない」ことも言えてしまうが。

>>492
ああ、もしかしてｆｆｆｆｆｆｆ（（（（（（（･････みたいなやつの事？ああいうのじゃないよ
俺が心配なのはここにアイデアを晒すとどうなるかってことだけど

じゃあここからは仮定として軽く聞いてよ。
コラッツの規則に従えば、ある奇数と次の奇数の関係は2つの場合分けで表されるとしよう
A→A'とB→B'ね。そしてA'、B'はそれぞれAかBの形で表される。だから厳密には最初の場合分けが2つってこと
じゃあここで偶数を除いたコラッツ木の距離1の閉路、つまりループを考えてご覧よ
これはA=A'とB=B'を解けば良くて、これを満たすのは1だけ、つまり1→1だけだってこと
距離2でも常識的な範囲で解ける（3n+1の場合は解なし、3n-1なら5と7つまり5→7→5）
でも一般的に距離nなら確かに複雑になるね。そこでちょっと工夫が必要なんだけど
場合分けした2つは同じ形で表されるんだよね、実は。

もう良いでしょ。
俺の質問は循環せず1にも戻らない数の存在がないことの説明なんだけど
つまり循環は1→1以外ないとするとってことで考えてみてよ

>>493
そうなんだよ。俺もそういう論法で行きたいんだけど、こっちの方が遥かに難しい
1から逆にたどれば任意の数に行けるってことだよねえ
それだけでコラッツの証明は完結するんだけど

＞でも一般的に距離nなら確かに複雑になるね。
そこだ！！そこを実際に方程式の形で書き下すと、ｆｆｆｆｆｆｆ（（（（（（（････みたいな
やつで書いた方程式と本質的に同じ方程式になる。そして、それを解くのが物凄く難しいんだよ。

＞そこでちょっと工夫が必要なんだけど
＞場合分けした2つは同じ形で表されるんだよね、実は。
じゃあ、そこが間違ってるな。そんな簡単に解けないよ、あの方程式は。

>>496
いやｆｆｆｆｆじゃないよ。単に整数の問題として解けるんだけど、まあ解けないと思うんならそれでいいよ
あんまり詮索されたくないし

俺の質問は循環せず1にも戻らない数の存在がないことの説明なんだけど
つまり循環は1→1以外ないとするとってことで考えてみてよ
循環するかどうかより遥かに難しいから

>>497
＞いやｆｆｆｆｆじゃないよ。
ｆｆｆｆｆじゃなくても、ｆｆｆｆｆで記述したのと本質的に同じ方程式になる。

＞単に整数の問題として解けるんだけど、まあ解けないと思うんならそれでいいよ
整数の問題として物凄く難しい。


＞俺の質問は循環せず1にも戻らない数の存在がないことの説明なんだけど
循環せず1にも戻らないなら、発散する。
つまり、発散する自然数が無いことを言えばよい。
でも、発散する自然数が無いことを言うのは物凄く難しい。
ていうか、ループが1以外に無いことを言うのも物凄く難しい。
まだ人類には解けない。

>>498
ちょっと待て、難しい簡単の議論はどうでも良いが
最後の行は「君には一生解けない」の間違いだろ。いい加減にしてくれ

これじゃあ俺が解けないって言われてるみたいだ
>>498には解けないってこと

>>499
いやいや、キミにも解けてないからｗ

……こんなふうに煽られるのがイヤなら、最初から
書き込まなければよかったのだよ。単に
＞俺の質問は循環せず1にも戻らない数の存在がないことの説明なんだけど
この部分だけ書いて質問しておけば良かったのだよ。


＞いい加減にしてくれ
「晒す気はない。でも煽られるのはイヤ。」ってか？
キミこそ いい加減にしてくれ。

式を捏ねくり回していくうちに
それが意味するものを見誤る
よくあるパターンっぽいですな…

煽り合いになるのは分かってたけど見事に釣られちゃったなあ。いかんいかん
嘘八百を並べて、「絶対解けない理論」の奴が「書き込むな」か
あの中学生の方が姿勢としてはマシだな

>>502
大丈夫だよ。3n+1と平行して変数を変えたものでも同じ方法を試して
解があればちゃんと循環してるから

解けたとか言う奴が現れたらコケ下ろすのが定石

解釈に振り回されて、本当は解けてないのに解けたと勘違いする。
よくあるパターンっぽいですな…

＞そこでちょっと工夫が必要なんだけど
＞場合分けした2つは同じ形で表されるんだよね、実は。
これがね、「同じ形」っていうのがね、凄く引っかかるんですよ。
ffff…という繰り返しなんだから、同じ形が出てくるのは当然のこと。
しかし、そんなことで解けるわけが無い。「形が一緒」という解釈の
あとに、とんでもない間違った計算をしてるはず。

>>506
形が一緒でも中身は違いますよ。条件が違いますからね

＞嘘八百を並べて、「絶対解けない理論」の奴が「書き込むな」か
晒す気が無い奴の「解けた」は嘘八百と同じだ。
晒す気が無いのなら、煽られても文句は言えないだろｗ


＞あの中学生の方が姿勢としてはマシだな
そうだね、全部晒してたあの中学生の方が、姿勢としてはマシだね。

仮定の話として軽く聞いてと言ったよね
煽られるのは分かってたって言ってるじゃん。文句はないよ
ただ嘘八百を並べて難しいから解けないって言われても困るし

>>507
その中身には、例の方程式の複雑な情報がぎっしり入っている。
簡単に見えるのは、適当に変数を置いて「見た目が単純」に
なるようにしてるだけだな。
で、そのあとどこかで間違った計算をしているわけだ。

>>509
あと、仮定の話だと割り切るのなら、
「難しいから解けない」って言われても
誰も困らないよな。

>>511
ふうん。それは良かったね

>>512
真実ではなく、仮定の話なのであれば、
結局、ループが1以外にないことは
まだ人類には証明できないってことだ。

なんだ、俺が書いていたことは嘘八百ではなかったわけだ。
良かった良かった。

証明できていないことと証明できないことを同義とするならね

おじちゃん達、みんなが汗水流して働いてる時間に
罵倒祭りで遊んでたの？

大学は無駄に長い春休みに突入してますから

他人に解釈に振り回されて解けてないと言っている人の方こそ
明らかに自分の解釈にハマり込んでるよね

振り回されずに自力で考察できる力があれば問題なし
さ、勉強しよう

解けない解けない言ってる人は既知の方法のことを言っているんだろう？
未解決問題が既知の方法で解けるわけないじゃん
未だ見ぬ解法が綺麗か汚いかなんて知る由もないはずなのに
綺麗だと言われると納得できないのは何故だろうか

いくらグダグダ言っても、誰にも晒さない解法に説得力は皆無

ここに晒すか、論文にして雑誌に載せるかだな

雑誌に載るまでどの位かかるんだよｗ
説得力がないのはどちらも同じだろ
批判する方だって答えを知らないんだから。まあ正しいはずの自分の方法とは違う
というスタンスでなのかも知れんが。それが正しいなら晒してみろって話だし
それに綺麗に解けた＝簡単に解けたではないからな。一般には綺麗に解く方が遥かに難しい

・論文に載せる気が無い
・ここに晒す気も無い
・でも、それじゃ説得力が無いことも理解している


結局何がしたいのか分からん
もう自分の墓場まで持っていけよ、その解法とやらを。
勝手に独りで満足してればよろしい

煽りは結構

目的不明な君の雑談も結構

>>524
目的不明？読めてないね。初めから循環の証明なんて問題ではなかったよ
煽りが議論をすり替えただけで、循環しないとした前提での発散する数の話だったんだよ
何度説明したかなあ、そう仮定して考えみてってさ
それにこのスレは>>1から中学生以外は雑談か数字の列挙と雑談しかしていない
俺の初めからの目的である発散の話題を振ったのに、特に議論することも無く
難しくて人間には解けないという結論を出しただけだったね
君がこのスレを覗く目的、コラッツの予想を考える目的、それこそが不明だね

>>525
＞何度説明したかなあ、そう仮定して考えみてってさ
それが目的なら、「循環の証明が出来ました」ってのは
口に出す必要が無かったはずだなｗ
それなのに、「証明できた」と口にする行為が意味不明。
しかも、証明を晒す気は無いという。

証明を晒さないのなら、証明できたなんて誰も信じない。
説得力が無いからな。そして、説得力が無いことを
理解しているのなら、どんな煽りが来たってスルー出来たはずだな。
「晒さないけど、俺の証明は正しい！」とか吠えて見ても、
やっぱり誰も信じないもんな。無意味なやり取りだよな。
君はそういうことが分かっているはず。
にも関わらず、俺の煽りに反応しまくってしまったわけだｗ
こういうチグハグな行動も意味不明。

最初から「発散する数」のことだけを話題にしてれば
よかったのにね。君は余計なことを口にし、無意味と
分かりつつも煽りに参戦してしまった。身から出たサビだな。

>>525
＞俺の初めからの目的である発散の話題を振ったのに、特に議論することも無く
＞難しくて人間には解けないという結論を出しただけだったね
正確に言えば、君の話題は「発散する数の話」ではなく、
「1に戻ることも循環することもない数」の話だな。
で、これに対する俺のレスは>>498。つまり、

「1に戻ることも循環することもない数　＝　発散する数　が成り立つから、
　発散する自然数が無いことを言えばよい。物凄く難しいと思うけどね」

というのが俺のレス。ちゃんと議論してるじゃん。

>>526
証明出来たから証明できたと言ったまでで、そこは本質ではない
信じなくてもいいし、あまつさえ間違っていてもいい
君の煽りなんて本質には1ミリもかすってさえいない
俺の証明の正しさに関わらず、君の主張は間違っている
そういう人の相手をするのは暇つぶしになる。君がこのスレを覗く目的と全く同じだね、本質ではない

>>527
ああ、君が発散という言葉を使ったから以降発散を使うようにしたね
共通の言葉を定義しただけで、そこが問題ではないんだよ
ねえ問題が見えない？

>>528
＞信じなくてもいいし、あまつさえ間違っていてもいい
俺は信じないし、誰も信じない。ここに晒すか、論文として
雑誌に載ったら話は別だがね。

＞そういう人の相手をするのは暇つぶしになる。
>>499,>>500,>>503のレスを見ると、
とても暇つぶしとしての反応には見えないがねｗｗ


＞ねえ問題が見えない？
「発散する数が無い」ことを言えばよい。方法は知らない。
というか、脈がありそうな方法が閃いたら、こんなところには
書き込まないよｗ　俺が損するだけだろ。

>>529
ふうん。それは良かったね

・雑談は結構
・俺は晒さない
・他の奴も晒さないなら黙れ

このスレを覗いて、口を咥えて何を待ってるんだろう

口を咥えては日本語が変すぎたｗ

指を咥えて　か　口を開けて　だな

・俺は晒さない
・論文にもしない
・でも「発散する数」の議論はしたい。誰か手の内を明かしてアイデアを書け。

このスレを覗いて、指を咥えて何を待ってるんだろう

ああ、この深夜のバラエティより下らない流れとは関係ないけど
煽りの人って100%オウム返しを使おうとするよね

俺は論文にこそしてないが考えを晒したよ
それは晒したうちに入らないと言うのなら、このくらい抽象的なレベルで
発散する数について書いてくれてもいいよね
単純に分からないし、議論もしたくない。でも煽りたい。これに意味はないよね
いや別に良いよ。いつまで相手してくれるのかな

＞俺は論文にこそしてないが考えを晒したよ
それは晒したうちに入らないな。
永遠にその程度の晒し具合なら、結局、墓場まで持っていくことになるな。
あ、これは煽りじゃなくて論理的な帰結ね。実際そうだからな。

もっとも、距離1,距離2のループの場合の計算方法は検討がつくけどね。
本質的に1つの計算方法しかないからね。
で、その後の「工夫」とやらも、少しは想像がつくな。
どういう勘違いをして間違った証明に突き進んでしまったのかをねｗ


＞それは晒したうちに入らないと言うのなら、このくらい抽象的なレベルで
＞発散する数について書いてくれてもいいよね
このスレを覗いて、指を咥えて何を待ってるんだろう。
「ほんのちょっとでいいからアイデアをくれ」とな？
そりゃあ、誰だってそう思ってるだろｗ
でもね、誰も書き込みはしないよ。君や俺と同じようにな。

え、君この問題解こうと思ってるの？クソワロタ
君には難し過ぎるよ

これは滑稽だなｗｗ
循環の問題が解決できたと勘違いしてるそこの君、
残念ながら君にもこの問題は難しすぎるよ。

というか、コラッツの予想は人類全体にとって難しい問題だ。
あと数世紀は解けないままだろうな。循環の問題も、発散の問題も。

>>538
君が間違ってると思うなら、間違ってることにして良いって
あと何回説明すれば安心してくれる？循環はそんなに難しくなかったが
発散の方を証明しないと完全証明じゃないからちょっと聞いたんだが
どうやら循環だけでも世に出せるらしいな
春休みの内にTeXで書いて数学科の先生に出してみようかな

>>539
＞どうやら循環だけでも世に出せるらしいな
出せるなんてもんじゃないぞ。
本当に証明できているのなら相当の成果だ。
コラッツ予想に関連した論文を3つほど読んだことがあるが、
解決からは程遠い結果ばかりだよ。人類がいかに無力か
思い知らされる。循環に関する問題だって、かなり特殊な
形状のループについて、「そういうループは存在しない」
っていうのが証明されてるだけ。しかも、その証明には
Baker理論を使った高度な数学が使われている。ていうか、
それを使っても そういうショボイ結果しか出ないという状態。


＞春休みの内にTeXで書いて数学科の先生に出してみようかな
「みようかな」じゃない。ぜひ出してくれ。
別にここに晒す必要はない。

ま、世界中の天才が挑戦して解けない問題をここの住民が解けるはずはないが、
どこまで近づけるかだな．

まあ半歩踏み出せれば立派なもんだ

半歩進んで二歩下がる〜♪

test

test

酉思い出した。

こないだからある数の割数列からある数を割り出す方法を考えている。

更新しました。
今回は論文は無いです。

N=E+O
c:E->E/2,O->3*O+1=2*O+O+1->O+(O+1)/2
O=2^n+1->2^n+2^n-1+1->2^n+2^n-1+2^n-2+1...->2^n+...+1+1->2^n-1+...+1
->...->1+1->1

O=2^an+1->1
O=Σ2^an+1->O'+1->O''+1->...->1+1->1
QED!

コラッツ予想の類似物や一般化はいろいろあるみたいだけど
対応する予想が成立するようなものとかあるの？

解けましたよ。冗談ではなく。
7年ぐらいかかったかな？それも行き帰りの電車の中だけで
考えて。

解けた解けた。何百回自己批判を繰り返しても誤謬がないよ

http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/uindou.htm
やっぱしこれが図星だったよ。とっかかりだけだけど

>>551
次のステップは、論文にして数学雑誌に投稿して
世界に公開することだな

コラッツの予想って素人目には当たり前に見えてつまらない。

そんなことはない

現に 1→4→2→1 のループが存在するわけで、これが唯一の例外と考える根拠もないからな

あげ

もうみんな諦めたかな？

448