1と一緒にラング「解析入門」を読んでいくスレ

■７−３：逆正弦関数、７−４：逆正接関数
（まとめ）逆三角関数の定義の後、その性質の記載、導関数の導出の節。
-----------------------------------------------------------
→何で逆三角関数なるケッタイなものを考えるのか最初よく分からなかったが、
　節末の練習問題を解くと確かに知ってると便利だなーと感じた。
　また、この導関数の公式は積分のときに相当役立つらしい

・p.171 にx=Arcsiny のグラフが書かれている。
　"ここで、横軸を同時にx軸、y軸とよぶことはできない"
→即ち、グラフ左右にy軸、上下にx軸なことに注意したい。
　逆関数をx=g(y)のまま考えていて、安易にxとyを入れ替えて
　ない所が私にとっては分かり易かった。

・p.172"これで導関数をyだけを用いて表すことができた。"
→だから逆三角関数の導関数は計算しやすいんですね？

・p.176の気球の例題。
→７−４節の練習問題でもこの種の問題が頻出しているが、
　なるほどdθ/dt（視角の時間的変化）を求めるときには
　逆三角関数の微分がホント役立ちますね。

この節はスラスラ読めた。次から暫くは練習問題の解答私案。

■７−４節の長文練習問題23.25.27.29.31の5題について。

いずれも解答の考え方としては…
最初に
　tanθ=ｆ(x)←→θ＝arctan　{f(ｘ)}
という式をたて、次にこの両辺をｔについて微分し
　dθ/dt＝（dθ/dx）・（dx/dt）
を計算するものだった（と思う）。
なお、27のみarctanではなくarcsinを用いる。

【問23の解答案】
観測者が飛行機をみる仰角をθ(rad)とおき、
観測者と飛行機の水平方向の距離をx(m)とすると
　　tanθ＝1500/x　←→　θ＝Arctan（1500/x）
が成り立つ。両辺を時間ｔ(sec)で微分すると、
　　dθ/dt＝（dθ/dx）・（dx/dt）
　−5/100＝（−1500/x^2）・{1/（1+1500^2/x^2）}・（dx/dt）
うまく式変形してからx＝1500を代入してやると
　（dx/dt）＝150
が大した計算をしないで導けました。

>>1さんへ
私も今、解析入門を読んでいます。
今はまだ正弦と余弦のところですが、
>>1さんのレスを参考にしながら読んでいきたいと思います。

>>84
読んでて感じたことをガンガン書いちゃって下さい。
もうこのスレを乗っ取る勢いで！


■７−４節の長文練習問題23.25.27.29.31の5題について(続き)
問23と同様に、そんなに頑張って計算しなくても解答を得られたが、
問31だけは滅茶苦茶計算が大変になったｗ
で、答えを見たらやっぱり計算が大変なようで、ラングも最後まで計算してない。
ヤラレタｗｗｗ

■第8章：指数関数と対数関数
（序の内容まとめ）
１：直接、指数関数の導関数を求めようとすると…
２：lim(h→0)a^h-1/hの極限が分からないので行き詰まる。
３：(x=0におけるa^xの傾きが1に等しくなるような数aの存在を
　　　仮定すると)上の極限は1になる。
４：「直感的に」そういう数aが存在することが推察され、
　　　これをeとする。
５：eを用いると、指数関数b^xの導関数はb^x・logbと導ける。
６：逆関数の導関数を用いて、log(b)xの導関数も導ける。
-------------------------------------------------------
(感想)
→この議論では４の部分で直感を用いているので、ラング自身も
p.183"eやいくつかの極限の存在を直感的に導いたのであって、
証明したわけではないことに注意しておかなければならない"
と注意しており、さらにp.183
"論理的な観点からは、(中略)全くはじめから出直すこととする"
とある。確かに直感の部分はあるが、十分説得力があり納得できる
説明だったと感じた。

→次の節からはこの序の内容とは逆に、まず対数関数→次に指数関数
　という話の流れになります。高校のときとは逆の流れで面白いｗ

■8-1：対数関数
（内容）
1:対数関数を1からxまでの1/xの面積により定義する。0<x<1とx>1で場合分けし、
　0<x<1では面積に-1を掛けて定義する。x>1のときはそのまま。
2:d/dx(logx)=1/x　の導出
3:微分して1/xかつx=1のとき0となる関数はlogxしかない説明
4:log(ab)=loga+logbの証明
5:logxのグラフを考える
-----------------------------------------------------------
（感想）
1:これまで習ってきた『指数関数→対数関数』の流れではなく
　対数関数から議論が始まります。1/xの面積による定義で、
　しかもxが1より大きいかどうかで場合分けを必要とする定義です。
　こりゃまたケッタイな定義じゃのう…と感じましたｗ
　既に積分を習ったことのある身なので何故1/xがここに出てくるか(logxの微分なので)
　納得できますが、全く初学者だったら唐突ですし、イメージしずらい
　だろうと思います。
　ここから理論を進めていって、私の既知であった対数関数の性質が
　違った出発点からでも徐々に明らかになっていくのが面白い。

2:この証明が気に食わない。h>0とh<0で場合分けして証明しているのは
　○だが、この時点でのlogxの定義はxが1より大かどうかで場合分けした
　定義なのだから、この点に於いても場合分けして証明すべきでは？
　少なくともp185の証明ではx>1の場合しか想定してないように思う。
　さらに、xが1の近傍であってx+hが1をまたぐ場合なんかも想定してないのでは？
　(場合分けされて定義された関数において、場合分けの境となる点に
　於いてその微分係数がただ1つの値をもちうるか、ということとか)

4:p187"この議論がいかにすっきりとしていてしかも効率的であるか十分に味わってほしい"
　いや本当、この証明は巧みだと思いました！

大急ぎで微分まで読みきりました。
しかし積分に入ったとたん、難しい・・・。
急にレベルが上がったような感じがしました。
挫折しそうですが読めるところまで読んでみようと思います。

わかると思って読み飛ばしていたところに宝石が眠っていたりする、それが幸せ。

手元にあるのは Second Edition の日本語訳なので微妙に文章が違うかも >>88

> 　少なくともp185の証明ではx>1の場合しか想定してないように思う。

「はじめに h > 0 とする. そのとき, log (x+h) - log x は x から x+h ま
での区間における曲線 1/x と x 軸の間の面積である.」という記述は x > 0
であれば常に成立するわけ、というか成立するように log を定義したのです。

わざわざ 0 < x < 1 で log x を「影の部分の面積に -1 を掛けたものと定義」
したのは、まさにこのためだということです。

この対数関数の話は、積分前提であれば、関数 log(x) を関数 1/t の 1 から x ま
での定積分で定義することと同値なわけで、そう考えれば x=1 で場合分けする必要
はないことが理解し易いように思います。

792

みなさん勉強してますか？
p268の三角関数の積分のとこがむずかしい・・・

>>93 まずＰ267を100回よみなさい

やだ

>>95 じゃ200回だ！

じゃあ・・・いいよ・・・

>>94
ｐ２６７は前の単元の演習問題なのですがｗ

本を見ていないだけ。
適当に答えているだけ。
返答が早すぎるでしょｗｗ

>>98 数学は根性じゃ気力じゃ勢いじゃ！

>>100
了解した。今夜はオールで勉強しまくるっす

>>101 まくれ

>>101 まくったか？

>>
まくりましたけど結局分りませんでした＞＜；；
とりあえず一冊全体を終わらせてから戻って理解しようと思います。

とりあえず、頭に？？？？がいっぱい浮かぶまでは
どんどん進めて行けば？

>>105
はいっ！焦らず、たゆまず理解しながら進んで行こうとおもいます！
複素函数論をしっかり理解するのが夢です。

今日もオールで勉強ですっ

>>107
あなた三角関数の方（失礼！）ですか？
がんばってくださいね。

高木の解析概論なんかを読むよりはこっちの方が遥かに有益だ。
同じ出版社から出てるのが不思議だがｗ

おいらもラング「懐石入門」を読み始めました。

本をもっない俺には訳がわからないな。
単に１の印象批評を書き綴っていくスレにも見えるが、本を持っている人にとっては有益なスレなのか？

>>111
学習日記的なノリじゃねW
それはさておき、数学苦手はタイプの人は関数のおさらいからしてくれるラングが有難いよね。
でもsin、cosが「正弦」「余弦」ってのはかえって判りにくいね。
だって「シンコスコスシン」「コスコスシンシン」って覚えてるのに、
「正余余正」「余余正正」って言い換えるんず？たんだでね。

>>112
俺にとってはチラ裏でも、本を持っている人に役立ってるなら別にいいんだが。
じゃあ、>1よ、気にせず続けてくれ。

独学でやってる人にとっては役に立つと思うよ
一緒にやってる人がいればやる気も出るだろうし

>>1には続けて欲しいな。最近更新がないからｗ

Lang と Spivakって後者が高度なの？
偉い人教えて！

>>111
>> 本を*持た*ない俺には訳がわからないな。
>> 単に１の印象批評を書き綴っていくスレにも見えるが、本を持っている人にとっては有益なスレなのか？

同感だね。パラノイアのモノローグにしか見えん。

本を持っている人には有益だからおｋ

その割にはスレの伸びが悪いな
正月休みか？

　ラングの元本はもう５版ぐらいが出てると思うよ
　松坂和夫先生はもう９０近いので翻訳は更新されないと思われる

　なおラングは亡命ユダヤ人ですよ〜　ウイスコンシン大数学科には日本人の
　教授もいますよ〜

>>119
松坂先生「90近い」は言いすぎ。
1927年生まれだから82歳です。
>>115
SpivakのCALCULUSって、Langと違って著者も健在（1940年生まれ）で著書も版を重ねているようだし、
アメリカの初級解析教科書の定番なのでは？

tes

向学心のある定年退職者の数学ファンにすすめるとしたら
ラングか松坂の解析入門どっちがいいの？

ウイスコンシン大は小野Jr？　日本語しゃべれるのかな？

>>122
ラング。
（理由）
とにかく説明が懇切丁寧。式の跳躍がないので安心して読める。
松坂先生の解析入門は全部読むと金銭的に負担が大、かつ大判なので持ち運びに不便。

ラングは練習問題の節々にジョークがちりばめられていて好きだ

↑知ったかクン　乙ｗ

以下の様な書き込みがありました。皆さんのご意見を賜りたいと
存じます。

敬具

猫拝


>頭が悪いのがコンヌみたいな数学史に残るであろう大天才に推薦状を書く雑用をさせていいと思ったのかい？
>お前が飢えてどこで野垂れ死のうと数学の歴史には全く影響がないが
>コンヌの時間を奪えば数学の歴史に影響しかねんとは考えられなかったのかい？
>お前は数学という学問への良心や献身の精神すら残ってないんだね

>その数学者の業績が高々30年以内に消えてしまうような数学者はマクロに見れば存在しようがしまいがどうでも良いんだよ
>そんなレベルの数学研究の従事者は世界全体で見れば掃いて捨てるほどいるからな
>そいつがそれなりに大事な定理を発見して証明したとしても、そいつがいなくても誰かがいずれは見つけてるんだよ
>その程度の独創性しかないからこそ30年未満で消えていくんだ

>そういう掃いて捨てるレベルの数学従事者に求められるのは研究よりも教育だよ
>教育者に求められるのは中途半端な数学の研究業績よりもちゃんとした人間性だ

>女性への欲望を押えられなくて痴漢に及ぶのなんてのは教育従事者としては論外だな
>自分の業績でウソをつくのも教育従事者としては論外だな
>盗撮も論外だ

>最低でも30年以上は業績がリファーされるほどの才能もなく教育従事者としての適性もない数学しかできん半端者に税金から給料を払う必要なんてないのさ
>何をやろうと許されるのは数学史に名前が刻まれるレベル、つまりそいつが消えれば数学の歴史が変わってしまうであろう本当の天才だけだ
>それ以外の少し数学が得意なだけの幾多の凡人は社会人としての常識がなければ社会では必要ないのさ
>社会で必要ないってことは大学や組織が給料を払ってやる必要はないってことだ

EOF

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

773

本は読んだけど対数のあたりで書いたメモを紛失しちゃって、
そのままにしちゃったな…。

hoge

235