超関数(Distribution・hyperfunction)やろうぜ

sage

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おいこら>>1

シンク関数を
　sinc(x) = sin(x) / x
で定義すると、
　f(x) = sinc(x/a) / a
は　a-> 0 の極限でデルタ関数になる。
（http://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0）

この時、
　h(x) = f(x)^2
はどんな関数になるのでしょうか？

単純に考えると、h(x)はδ関数を「もっととがらせた関数」で、次のような性質を持つ。
　h(x) = 0 ( x ≒ 0)
　h(x) = ∞^2 (x = 0)


h(x)も超関数と呼んで良いのか？
聞きたいのはそれだけです。

長々と書きましたが、考えを整理してみると、
「δ関数の二乗は、どんな関数？」
と、一言で要約できました。

>10
超関数の定義に基づいて計算してみたら？
>11
「δ関数の二乗」をどう定義するの？
もしかして、>10のh(x)を定義として考えようとしている？
もしそうなら君は数学のセンスが無いよ。

超関数ってなんですか

すごい関数ってことです

HyperfunctionってDistributionより優れてる点一つでも阿武？ｗ

suppΛ={x1,...,xn}
⇒Λ=Σ_[|α|≦N,1≦i≦n]c(α,i)D^ατ_[xi]δ

∫δ(x)dx はルべーグ積分だとどう考えても 0 にしかならないんですけど？
零集合の上でなにがおころうともそいつはシカト

>>10
Sinc関数はジンク関数って読むのな。

>>12
δの二乗って無いの？

>>20
残念ながら超関数同士の積は一般には定義できるとは限らない。

>>20
部分的にはできるの？

>>21
黙ってwikipedia読んで来い、英語版のほうな。日本語版はゴミ。

微分使った方法とかコロンビューアルジェブラ？とか書いてある奴か・・・
なんか難しいからできればちょっと解説してくれると嬉しいな・・・

コロンボ代数とか今の話とは全然関係なくね？

Multiplication of distributions
The problem of multiplication of distributions, a limitation of the Schwartz distribution theory, becomes serious for non-linear problems.
Various approaches are used today. The simplest one is based on the definition of generalized function given by Yu. V. Egorov.
Another approach to construct associative differential algebras is based on J.-F. Colombeau's construction.
だって

δ関数の２乗を考えると矛盾でまくりだから、普通考えない。

たとえばヘビサイドHの微分がδだが、ヘビサイドの２乗は自分自身だ。
後は自分で考えてみろ。

すみません分からないです・・・
原始関数が二乗して自身になる関数は二乗するとマズイんでしょうか・・・

bibunnsitemiryawakarudarou

えーと、
H'=(H^2)'=2Hδ で、H(0)=1/2とすれば
2Hδ=δ になって割と問題ないような・・・

H=H^2=H^3=…

>>1
microfunctionとかultradistributionとかもやれや

>>10は
> a-> 0 の極限でデルタ関数になる
というのが弱収束極限だというようなことは理解してるんだろうか。

弱収束極限って何ですか？

すまん、「弱収束の意味での極限がδ函数になる」という風に言いたかった。

任意のC^∞級のコンパクトな台をもつ函数fに対して
∫fg_ndx→f(0)のとき、g_n→δweakly という。

>>35
用語の問題だから、ガタガタ言っても仕方ないんだけど、
それが distribution の「通常の」位相であってそれより
強い位相は考えないよね。

weakly っていうより 「distribution の意味で」とかいう方が
普通なのでは？

強収束を考えないわけでも無かろう荷

Dの共役空間としての位相だから、あえていうなら
weakじゃなくてweak starではあるまいか？

結局δの二乗が不味い主な理由は何なんだっけ？

>>39
2×1 行列の2乗を考えるようなもんだ、というと例えが
悪いけれども、そもそもどう定義するかが問題だ

超関数の意味での収束ってのがすごい微妙な問題だからなぁ。
f_nがある超関数に収束しても
f_n^2は超関数として収束しないなんてのがザラに起こるから。

超関数って何なの
何かの関数空間の双対空間の元だったり何かの関数空間を完備化した空間の元？

微積分がらみの何か。

kingは超関数に詳しいのか

>>42 秀ワルツの定義ではC^∞級でコンパクトな台を持つ関数のなす
　関数空間の連続線形写像のこと。
　δ函数のように積分の極限や測度などを使って積分表示できるものが多いことから
　普通の関数のようだと勘違いされる。

Reply:>>44 詳しいとは、定義を知っているだけでいいのか。

超函数は、質点がある場合の密度分布などで考えられたものらしい。
ある点では密度無限大になるだけではなく、その点を含む微小空間で積分すると、質点の質量になるというもの。
通常の積分では、測度0の部分を積分しても0にしかならない、それはたとえ値が無限大でも。
そこで、質点を含む場合の密度およびその積分を考える場合は何か新しい数理構造が必要になる。
そこで、distribution, hyper function などがある。

さすがキングさん、アカポスゲットしただけのことはありますね！

もともと超関数はもともと物理出身
ディラックが量子力学を定式化するさいに考えたものらしい
幅が1/ε、値がεの矩形関数を想像しろと書いていた気がする

>>48
そう書いてる馬鹿本が多いが、さかのぼれば19世紀、
遅くとも20世紀初頭の量子力学以前からアイデアはある。

ヘビサイド関数H(x)を考えることまで超関数の範疇にしちゃうと
ずっと昔になってしまうから除外するとして、
δ(x)=H(x)' みたいなことをずっと昔に考えてたのは誰だ

>>48
＞もともと帖函数、もともと物理

とは一体…？

> δ(x)=H(x)' みたいなことをずっと昔に考えてたのは誰だ

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta
を眺めると、19世紀早々のコーシーやポアソンから19世紀末のヘビサイドまでの
歴史があって、ディラックが1927年出版の「量子力学」でデルタ関数という名称
を使い出した、という流れみたいですね。

いわゆる演算子法ではH(x)の「微分」が自然に出てきますから、少くともヘビサイド
にはそういう考えがあったんじゃないかと思いますけど、詳しい人の話を希望。

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